אלגברה לינארית ב

‫אלגברה לינארית ב ‪ -‬הרצאות‬
‫מההרצאות של מר' מני אקא‬
‫מרכז הבינתחומי הרצליה‬
‫סמסטר ב'‪ ,‬שנה א'‪2009 ,‬‬
‫תאריך עדכון אחרון של קובץ זה הוא‬
‫ראשון‪11 ,‬אפריל‪2010 ,‬‬
‫עדכונים וכתב הויתור )שווה לקרוא( נמצאים באתר‬
‫‪http://idc.gadi.cc/compsci/‬‬
‫הסיכומים הוכנו ע"י גדי כהן‬
‫סטודנט לתואר מדעי המחשב‬
‫תוכן העניינים‬
‫שיעור ‪1.............................25.02.10 – 1‬‬
‫מרחבים וקטורים‪1...............................‬‬
‫העתקות לינארית ))‪1............Linear maps‬‬
‫גרעין ותמונה של העתקה לינארית‪6........‬‬
‫שיעור ‪1.............................11.03.10 – 3‬‬
‫מציאת מטריצה המייצגת העתקה לינארית‬
‫‪1‬‬
‫כיצד נקבעת העתקה לינארית‪2..............‬‬
‫מציאת מטריצה המייצגת העתקה כללית ‪4‬‬
‫שיעור ‪6.............................18.03.10 – 4‬‬
‫על ייצוג העתקה )כללית( העזרת‬
‫מטריצות‪6..........................................‬‬
‫מטריצות מעבר ודומיין מטריצות‪8...........‬‬
‫וקטורים עצמיים וערכים עצמיים‪12..........‬‬
‫שיעור ‪) 08.04.10 – 5‬אחרי פסח(‪13.........‬‬
‫נושאי הקורס‪13..................................‬‬
‫סיכום קצרה על העתקות לינאריות‪13......‬‬
‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‪16..........‬‬
‫מציאת ערכים עצמיים וקטורים עצמיים‬
‫של מטריצות ‪18..................................‬‬
‫להתעלם מדף הזה ‪20...........................(:‬‬
‫‪21..................................Quick Reference‬‬
‫אינדקס‪22.............................................‬‬
‫שיעור ‪25.02.10 – 1‬‬
‫מני אקא‪amenny@idc.ac.il ,‬‬
‫‪ 70%‬מרתגילים הטובים – ‪ 10%‬מהציון‪.‬‬
‫מבחן אמצע מגן – ‪.10%‬‬
‫תרגיל מפורסם ברביעי‪-‬חמישי ומגישים ביום א' שבוע וחצי אחרי‪.‬‬
‫ספרות‬
‫אוניברסיטה פתוחה – אלגברה לינארית ‪ – I‬בפקרים האחרונים‪.‬‬
‫אוניברסיטה הפתוחה – אלגברה לינארית למדעי הטבע‪.‬‬
‫‪Google: Linear Algebra MIT course‬‬
‫שעות קבלה – בתיאום מראש‬
‫רביעי – ‪8:00-10:00‬‬
‫שישי – ‪8:30-10:00‬‬
‫לשלוח מייל‪.‬‬
‫מרחבים וקטורים‬
‫} ‪{ ‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪ℝn ={a1 ,... , an  ∣ a i∈ℝ }= ⋮ ∣ a i ∈ℝ‬‬
‫‪an‬‬
‫•‬
‫•‬
‫מרחבים וקטורים כלליים יותר‪:‬‬
‫•‬
‫מרחבי פונקציות‬
‫•‬
‫פולינומים‬
‫•‬
‫מרחב המטריצה‬
‫)תזכורת בהמשך(‬
‫העתקות לינארית ) ‪(Linear maps‬‬
‫)שם אחר‪ :‬טרנספורמציות לינארית – ‪(Linear transformation‬‬
‫‪ .1‬פונקציות וקטוריות‬
‫כמאור‪,‬‬
‫‪ ℝn‬זוהי קבוצה ‪ .‬ניתן להגדיר פונקציות בין‬
‫כלומר ‪ f‬לוקחת וקטור ב‪ ℝn -‬לוקטור ב‪ℝn -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪f :ℝ‬‬
‫‪n ℝn‬‬
‫טווח‬
‫תחום‬
‫‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫א(‬
‫‪F : ℝ 2  ℝ3‬‬
‫ב(‬
‫‪3‬‬
‫ג(‬
‫ד(‬
‫‪ x , y , z  ↦  x y , x−z ‬‬
‫‪G :ℝ  R‬‬
‫‪ B :V V‬היא העתקת הניסוח ב‪.2-‬‬
‫‪ V‬מ"ו‪,‬‬
‫‪ w ∈V‬עובר ע"י ‪ B‬לוקטור ‪V‬‬
‫כלומר‪ ,‬וקטור‬
‫‪ V =ℝ2‬אז‬
‫ה(‬
‫למשל‪,‬‬
‫ו(‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫ז(‬
‫‪f :ℝ 2  ℝ 2‬‬
‫ח(‬
‫‪g :ℝ  M 2 ℝ‬‬
‫‪‬‬
‫‪h :ℝ  M 2 ℝ‬‬
‫‪‬‬
‫ט(‬
‫‪.3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ x , y  ↦  x  y , 3x5y , 2y ‬‬
‫‪. 2w∈V‬‬
‫‪ x , y  ↦2x , 2y‬‬
‫‪B :ℝ 2 ℝ 2‬‬
‫‪a , b ↦ 4a7b , a−b ‬‬
‫‪H :ℝ ℝ‬‬
‫‪ x , y  ↦  x sin y  , x 2 y‬‬
‫‪2‬‬
‫‪b‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪‬‬
‫↦ ‪a , b‬‬
‫‪‬‬
‫↦ ‪a , b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ab‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ab b‬‬
‫י(‬
‫] ‪d :ℝ n [ x ]ℝn [ x‬‬
‫כ(‬
‫} פולינום מעל ‪ ℝ‬ממעלה קטנה שווה ל‪Rn [ x ]={n-‬‬
‫‪p  x  ↦ p '  x‬‬
‫נדבר על הרכבת פונקציות – בקצרה )נחזור לזה(‪.‬‬
‫‪ℝ2  F  R3 G ℝ2‬‬
‫‪ x , y  ↦ F ↦  x y , 3x5y , 2y  ↦ G ↦ 4x6y , x− y‬‬
‫‪.4‬‬
‫פונקציות "הולכות" מקבוצה לקבוצה‪ .‬אבל מרחב וקטור זו לא סתם קבוצה!‬
‫נתבונן ב‪)-‬ב(‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪G :ℝ ℝ‬‬
‫‪v =3,4,1‬‬
‫‪G v =7,2‬‬
‫‪w=0,0,1‬‬
‫‪G w=0,−1‬‬
‫‪v w=3,4,2‬‬
‫‪G v ‬‬
‫‪ w =GV   G W =7,1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ℝ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ℝ‬‬
‫‪" G‬מכבדת" את תכונת חיבור הוקטורי‪.‬‬
‫‪7V= 21,28,7‬‬
‫‪G 7V= 4,9,14‬‬
‫קיבלנו ש‪G 7V=7⋅G V  -‬‬
‫‪" G‬מכבדת" את הכפל בסקלר‪.‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫יהיו ‪ V,W‬מרחבים וקטורים‪ .‬פונקציה‬
‫‪ F :V  W‬תקרא העתקה לינארית אם‪:‬‬
‫‪ v 1, v 2∈V‬מתקיים ‪F v 1v 2 = F  v 1 F  v 2‬‬
‫‪.1‬‬
‫לכל‬
‫‪.2‬‬
‫לכל סקלר‬
‫‪ ∈ℝ‬ולכל‬
‫‪ v ∈V‬מתקיים ‪F  v = F  v‬‬
‫‪2‬‬
‫תכונות בסיסיות‬
:‫ העתקה לינארית אז‬T :V W
‫תהי‬
T  0v = 0w
.1
T −v =−T v 
.2
:‫טענה‬
:‫ זה נובע פשוט מההגדרה‬.(2)-‫נתחיל ב‬
:‫הוכחה‬
T −v =T −1⋅V  =
 −1T v =−T v 
‫לינאריות‬
:‫עתה נוכיח את‬
T  0v =T  0v 0v  =

T  0v T  0v 
)1) ‫לינאריות‬
T  0  = 0w
:‫נעביר עגף ונקבל‬
0v0v = 0v
.‫תרגיל אופייני הוא לבדוק האם עתקה הוא לינארית‬
‫אם העתקה לא מעבירה את וקטור האפס לוקטור האפס‬
:‫הערה‬
.‫אז הוא בוודאי לא לינארית‬
‫ העתקה לינארית‬.5
T  vw =T v T w ∀ v , w∈V
T  v = T  v ∀ ∈ℝ , ∀ v ∈V
f v =2sin 2 , 8
v = 2,2
f 3 2,2=6sin6 , 216
≠
3⋅ f  2,2=6sin2 , 24
 x , y  , x ' , y ' ∈ℝ2
‫העתקה לינארית ונקח‬
F  x , y  x ' , y ' =F  x x ' , y y ' 
= xx ' y y ' ,3x3x '5y5y ' , 2y2y ' 
F  x , y F  x ' , y ' = x y , 3x5y , 2y x ' y ' , 3x ' 5y ' , 2y ' 
= x x '  y y ' , 3x3x '3y5y , 2y2y ' 
3
.‫א‬
‫אקסיומת השנייה‪:‬‬
‫‪F  x , y = F  x , y = x y , 3  x5  y2  y‬‬
‫‪ F  x , y= x y ,3x5y , 2y‬‬
‫ב‪.‬‬
‫לינארית‬
‫ג‪.‬‬
‫לינארית‬
‫ד‪.‬‬
‫לינארית‬
‫ה‪.‬‬
‫לא‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫לא‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫לינארית‪.‬‬
‫ח‪.‬‬
‫לינארית‪ ,‬כי‪:‬‬
‫‪b2‬‬
‫‪ p  x q  x ' = p '  xq '  x ‬‬
‫‪⋅p  x  '= p '  x‬‬
‫ט‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ℝ ℝ‬‬
‫‪ x , y  ↦ x , y 1, x y ‬‬
‫‪ 0, ↦0,1,0≠0‬ומהטענה שראינו נובע שזו לא העתקה לינארית‪.‬‬
‫‪.5‬‬
‫תמונה של צירוף לינארי‬
‫תהי‬
‫‪ . T :V W‬לכל‬
‫‪ v ∈V‬הוקטור ‪ w=T v ‬נקרא התמונה של ‪.v‬‬
‫מה התונה של צ"ל‪:‬‬
‫יהיו ‪ v 1 ,... , v n ∈V‬ויהיו ‪ v =1 v1 ...n v n‬צירוף לינארי‪.‬‬
‫נרצה לדעת מיהו‪:‬‬
‫=‬
‫‪‬‬
‫‪1 T v 1 2 T v 2...n T v n ‬‬
‫‪T  v=T 1 v 1...n v n‬‬
‫באינדוקציה מההגדרה‬
‫נסביב במקרה ‪n=2‬‬
‫= ‪T  v  v ' ‬‬
‫‪ T  v  v '  =  T v T  v ' ‬‬
‫‪ 2‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ 1‬‬
‫תהי‬
‫‪ T :V W‬העתקה לינארית‪.‬‬
‫אם‬
‫‪ v 1 ,... , v n ∈V‬תלויים לינארית‬
‫אז‬
‫‪ T  v 1 , ... , T v n ∈W‬גם כן תלויים לינארית‪.‬‬
‫בדף הבא‪.‬‬
‫‪4‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫מהנתון‪ ,‬קיימים‬
‫‪ 1 , ... , n‬שלא כולם אפסים כך ש‪. 1 v 1... n v n=0 -‬‬
‫נפעיל את ‪ T‬ונקבל‪:‬‬
‫‪ 1T v 1...n T  v n=T 1 v 1... n v n=T  ‬‬
‫‪0 =0‬‬
‫מכיוון שלא כל ה‪-  -‬ות הן אפס‪ ,‬נובע ש‪ T  v 1 , ... , T  v n  -‬תלויים לינארית‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫חשובה‪:‬‬
‫העתקת האפס‪ .‬יהיו ‪ V,W‬מרחב וקטורי ונגדיר‬
‫זו העתקה לינארית‪.‬‬
‫‪T :V W‬‬
‫‪v ↦ 0w‬‬
‫‪) ‬תרגול(‬
‫‪0 =T vw=T  vT w=0 ‬‬
‫‪0‬‬
‫ההפך לא נכון‪ .‬כלומר את‬
‫‪ T : V W‬העתקה לינארית‬
‫ו‪ v 1 ... v n∈V -‬בת"ל אז לאו דווקא נובע ש‪ T  v 1 , ... , T  v n  -‬בת"ל‪.‬‬
‫למשל‪ ,‬העתקת אפס‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫תהי‬
‫‪ T :V W‬ויהי‬
‫‪ℝ2 ℝ2‬‬
‫‪ x , y  0,0‬‬
‫‪ v 1 ,... , v n‬בסיס ל‪.V-‬‬
‫אם ידוע מיהם ‪ , T  v 1 , ... , T v n ‬כלומר‪) ,‬במילים אחרות(‪ ,‬אם ידוע‬
‫תמונה של בסיס‪ ,‬אז אני יכול לדעת לאן ‪ T‬מעבירה כל וקטור‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫עמ' ‪ 12‬של ציפי‪.‬‬
‫יהי‬
‫‪v 1=1,0,0‬‬
‫‪v 2 =1,1,0‬‬
‫‪ v 3=1,1,1‬בסיס ל‪. ℝ3 -‬‬
‫נתונה ‪ T :ℝ3  ℝ 2‬וידוע ש‪T  v 1=−1,1 -‬‬
‫צריך למצוא את‬
‫‪ T 8,11,7‬לכל‬
‫‪T  v 2=3,0‬‬
‫‪T  v 3=0,1‬‬
‫‪. a ,b ,c‬‬
‫ראשית‪ ,‬נמצא איך נכתב לפי איברי הבסיס‪.‬‬
‫‪8,11,7=c 1 1,0,0 c 2 1,1,0c 3 1,1,1= c1c 2c 3 ‬‬
‫‪c 3=7‬‬
‫‪c 2=4‬‬
‫‪c 1=−3‬‬
‫‪T 8,11,7 = T −3v 14v 27v 3 ‬‬
‫=‬
‫‪ −3T v 1 4T v 2 7T v 3‬‬
‫לינאריות‬
‫‪= −3 −1,14 3,07 0,1‬‬
‫‪= ...‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫יהי‬
‫‪ . v ∈V‬נכתוב את ‪ V‬בצ"ל של‬
‫נבדוק מהו‬
‫‪: T V ‬‬
‫‪: v 1 ,... , v n‬‬
‫‪V =1 v1 ...n v n‬‬
‫= ‪T V =T 1 v 1... n v n‬‬
‫‪ 1 T  v1 ...n T v n ‬‬
‫לינאריות‬
‫מכיוון ש‪ T  v 1 , ... , T v n  -‬ידוע לי‪ ,‬אני יכול לחשב את‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ T V ‬מהביטוי האחרון‪.‬‬
‫‪V =ℝn‬‬
‫אם כל‬
‫הדוגמאות‪:‬‬
‫‪ W =ℝ m‬תהי ‪ A‬מטריצה‬
‫שנסמנה ב‪. T A -‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪m‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪v = Av‬‬
‫‪⋮n‬‬
‫⋮‬
‫צריך לבדוק‬
‫‪ m×n‬אז היא מגדירה העתקה לינארית‬
‫‪. T A : ℝn ℝ m‬‬
‫‪v ↦ Av‬‬
‫‪ A  m×n‬‬
‫?‬
‫= ‪T A v w‬‬
‫‪ T A  vT a  w‬‬
‫?‬
‫מה כתוב כאן?‬
‫= ‪A vw‬‬
‫‪ Av Aw‬‬
‫וזה ראינו בסמסטר קודם‪.‬‬
‫?‬
‫וזה שקול למה שאנחנו יודעים ‪A v = A v‬‬
‫= ‪T A  v ‬‬
‫‪ T A v ‬‬
‫“?” כי צריך לבדוק אם זה לינארי‪.‬‬
‫בתרגול‪:‬‬
‫דוגמאות מסיכומים של ציפי – ‪.12-15‬‬
‫גרעין ותמונה של העתקה לינארית‬
‫גרעין = ‪ ,kernel‬תמונה = ‪image‬‬
‫תהי‬
‫‪ T :V W‬העתקה לינארית‪ .‬נגדיר‪:‬‬
‫‪ .1‬הגרעין )‪ (kernel‬של ‪ T‬הוא‬
‫‪ {v∈V ∣ T v =‬וימסומן בתור‬
‫}‪0‬‬
‫‪. Ker T ‬‬
‫‪ .2‬התמונה של ‪ T‬מוגדרת להיות‬
‫} ‪. ImT ={w ∈W ∣ ∃ v∈V s.t.Tv=w }={T v ∣ v ∈V‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪T :ℝ  ℝ‬‬
‫‪T  x , y= x , 0‬‬
‫נבדוק מהו ‪.kerT‬‬
‫}‪kerT ={ x , y ∣ T  x , y = 0,0‬‬
‫} ‪={ x , y ∣  x , 0=0,0‬‬
‫ציר ה‪={ x , y ∣ x=0 }=y-‬‬
‫‪2‬‬
‫} ‪ImT ={T  x , y ∣ x , y ∈ℝ‬‬
‫‪2‬‬
‫} ‪={ x ,0 ∣  x , y ∈ℝ‬‬
‫ציר ה‪={ x ,0 ∣ x ∈ℝ }=x-‬‬
‫‪6‬‬
‫“דוגמה"‪:‬‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪ .mxn‬ראינו שהיא מגדירה העתקה‬
‫‪m‬‬
‫‪n‬‬
‫‪T A: ℝ  ℝ‬‬
‫‪. v ↦ Av‬‬
‫‪ker T A ={v∈ℝ n ∣ T A v =‬‬
‫‪0 }={v ∈ℝ n ∣ Av=‬‬
‫} מרחב האפס {=‪0 }=null  A‬‬
‫של מטריצה ‪A‬‬
‫בשפה של מערכות משוואות ‪ kerT A‬אלו בדיוק הפתרונות של מערכת‬
‫המשוואות ההומוגנית ש‪ A-‬מגדירה‪.‬‬
‫‪n‬‬
‫} ‪Im T A ={ Av ∣ v ∈ℝ‬‬
‫‪‬‬
‫‪     ‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪= Av = 1 v 1 ⋯n v n‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫⋮‬
‫‪1‬‬
‫⋮ ⋮‬
‫‪v1 ⋯ vn‬‬
‫⋮ ⋮‬
‫משפטים‬
‫‪.1‬‬
‫‪ kerT‬תת מרחב של ‪ V‬ו‪ ImT-‬תת מרחק של ‪.W‬‬
‫‪.2‬‬
‫משפט "שימור האנרגייה" משפט הדרגה והאפסות‬
‫‪.3‬‬
‫‪dim  KerT dim  ImT =dimV‬‬
‫הוכחת ‪:1‬‬
‫א( ‪ kerT ⊆V‬תת מרחב‪.‬‬
‫נשתמש הבוחן לתת מרחב‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪ .1‬צ"ל ש‪0 ∈kerT -‬‬
‫‪) T  0 =‬לכל העתקת הלינארית(‪.‬‬
‫כלומר יש להראות ש‪0 -‬‬
‫כבר ראינו‪.‬‬
‫‪ .2‬סגירות לחיבור‪ :‬אם‬
‫‪ v , w∈kerT‬אז צ"ל ‪v w∈ kerT‬‬
‫= ‪T  vw ‬‬
‫‪ T v T  w=0 0=0‬‬
‫לינאריות‬
‫= ‪T  v ‬‬
‫‪  T v = 0 =0‬‬
‫‪ .3‬סגירות לכפל בסקלר‪:‬‬
‫ב(‬
‫‪ ImT ⊆W‬תת מרחב‪:‬‬
‫לינאריות‬
‫} ‪ImT ={w ∣∃ v ∈, T  v=w‬‬
‫‪) T 0 v =0w‬תמיד(‪.‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪ 0w∈Im‬כי‬
‫‪.2‬‬
‫‪ w 1, w 2∈ ImT‬צ"ל‬
‫‪w 1w 2 ∈ ImT‬‬
‫‪∃v 2 , T v 2 =w 2 ∃ v 1 ,T v 1 =w 1‬‬
‫= ‪T  v 1v 2 ‬‬
‫‪ T  v 1T v 2 =w 1w 2‬‬
‫לינאריות‬
‫כלומר‪ ,‬מצאנו וקטור ב‪) V-‬הוקטור‬
‫‪ w 1w 2‬נמצא ב‪.ImT-‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ ( v 1, v 2‬שתמונתו‬
‫‪ w 1w 2‬ולכן‬
‫ג( צ"ל ‪ w ∈ ImT‬אז‬
‫הוכחה‪ :‬מהנתון‪ ,‬קיים‬
‫‪  w∈ ImT‬לכל‬
‫‪ v ∈V‬כך ש‪T  v=w -‬‬
‫נתבונן ב‪ ,  V -‬תמונה היא‪:‬‬
‫= ‪T  V ‬‬
‫‪  T V = w‬‬
‫לינאריות‬
‫כלומר‬
‫‪∈ℝ‬‬
‫‪  w‬אכן נמצא בתמונה‪.‬‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫שיעור ‪11.03.10 – 3‬‬
‫)באדיבות ז'רמי אבוהי(‬
‫מציאת מטריצה המייצגת העתקה לינארית‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪T  x , y , z = x y , x− z ‬‬
‫המטרה למצוא‬
‫כלומר למצוא‬
‫‪ A∈ M 2×3 ℝ‬כך שלכל ‪ x ∈ℝ3‬מקיים ‪. T x = A x‬‬
‫‪ A∈ M 2×3 ℝ‬כך ש‪. T =T A -‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪1 1 0 x = x y‬‬
‫‪y‬‬
‫‪1 0 −1 z‬‬
‫‪x −z‬‬
‫נמצא אותה ע"י ניחוש‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ננסה למצוא דרך כללית יותר ושנוכל להכליל אותה למציאת מטריצה ביחס‬
‫לבסיסים כלליים‪ .‬נשים לב שעמודות‪:‬‬
‫העמודה השנייה‬
‫העמודה הראשונה‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪T 0=1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T 1=1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪T 0= 0‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪1‬‬
‫תהי ‪ T :ℝn  ℝm‬העתקה לינארית‪ .‬אז קיימת מטריצה ‪ A∈ M m×n ℝ‬כך‬
‫שלכל‬
‫‪‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫העמודה השלישית‬
‫‪ . T x = A x , x ∈ℝn‬יתר על כן‪ A ,‬היא מטריצה שעמודיה הן‬
‫⋮ ⋮‬
‫⋮‬
‫‪Te1 Te2 ⋯ Te n‬‬
‫⋮ ⋮‬
‫⋮‬
‫‪‬‬
‫שימו לב שיש פה שימוש בבסיס הסטנדרטי‪ .‬זה אמור להעלות תהיות‬
‫למה היה קורה אם היינו משתמשים בבסיס אחר‪.‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫⋮‬
‫‪0‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫יהי‬
‫=‪, e 1‬‬
‫‪0‬‬
‫⋮‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‪e n‬‬
‫כלומר‬
‫‪ e 1 , ... , e n‬זהו הבסיס הסטנדרטי‬
‫של התחום של ‪ ,T‬שהוא ‪. ℝn‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪ x = ⋮ ∈ℝ‬כלשהי‪.‬‬
‫‪xn‬‬
‫נשים לב לעובדה הבאה‪:‬‬
‫נפעיל את ‪ T‬ונקבל‬
‫‪x = x 1 e 1 x 2 e 2 ...x n e n‬‬
‫* = ‪T x = T  x 1 e 1... x n e n = x1 T e 1 ... x n T e n‬‬
‫נתבונן במטריצה ‪ A‬שבעמודה ה‪ i-‬שלה היא ‪. T e i ‬‬
‫‪1‬‬
‫זו אכן מטריצה מסדר ‪m×n‬‬
‫‪: A x‬‬
‫נבדוק מהו‬
‫*=‪= x 1⋅T e 1...x n⋅T en‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪x1‬‬
‫⋮‬
‫‪xn‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪Te 1 ⋯ Te n‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪‬‬
‫‪= Tx‬‬
‫סה"כ קיבלנו‬
‫‪ T x = A x‬לכל‬
‫מ‪.‬ש‪.‬ל‪.‬‬
‫‪x ∈ℝ‬‬
‫כיצד נקבעת העתקה לינארית‬
‫תהי ‪ T :V W‬והי‬
‫} ‪ B={v 1 ,... , v n‬בסיס ל‪.V-‬‬
‫אם ידועות לנו תמונות איברי ‪ B‬אז ניתן לדעת תמונה של כל צ"ל שלהם‪.‬‬
‫כלומר‪ ,‬תמונת ‪ T‬לכל וקטור ב‪.V-‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫יהיו‬
‫‪ T :V W‬ו‪ S :V W -‬העתקות לינאריות‪ ,‬והי‬
‫אז‬
‫‪S=T‬‬
‫‪‬‬
‫⇔ ‪S V i =T V i ‬‬
‫‪ ‬לכל‬
‫כלומר‪ ,‬זו אותה‬
‫העתקה‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ v 1 ,... , v n‬בסיס ל‪.V-‬‬
‫‪i=1, 2,... , n‬‬
‫כלומר הן מסכימות‬
‫על איברי הבסיס‬
‫⇐ טריביאלי‪ S=T .‬אומר שלכל‬
‫‪, v ∈V‬‬
‫‪S  v=T v ‬‬
‫‪ S  v i=T v i ‬לכל ‪i=1, 2,... n‬‬
‫ובפרט‬
‫⇒ יהי‬
‫‪ v ∈V‬כלשהו‪ .‬אז קיימים‬
‫‪ a 1 , ... , a n∈ℝ‬כך ש‪v =a1 v 1...a n v n -‬‬
‫‪T v  = T a 1 v1 ...a n v n  = a1 T  v1 ...a n T  v n ‬‬
‫=‬
‫‪ a1 S  v1 ...a n S  v n  = S a1 v 1...a n v n  = S v ‬‬
‫לינאריות‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫מצאו העתקה לינארית‬
‫‪ ‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪‬‬
‫‪= Te 1 Te 2‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪4 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ T :ℝ2 ℝ2‬כך ש‪T e 1 = 2 -‬‬
‫‪4‬‬
‫‪‬‬
‫‪T  x , y=2x− y , 4x y ‬‬
‫תשובה‪ :‬כל העתקה מהצורה‬
‫‪  ‬‬
‫‪2 * x‬‬
‫‪4 * y‬‬
‫‪.‬‬
‫שימו לב שמצאנו שאת ‪ e 2‬אני יכול לשלוח לאיפה שבא לי‪ ,‬באופן מתמטי ‪-‬‬
‫אני יכול לבחור את תמונת ‪ e 2‬בחופשיות‪.‬‬
‫‪T :ℝ2 ℝ2‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪T e 1 = 2‬‬
‫‪ 0‬‬
‫‪T e 2 = 3‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪4 5‬‬
‫‪ 4‬‬
‫‪T e 1 = 2‬‬
‫‪T :ℝ2  ℝ2‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪126 =3 24=3T e =T 30 = 66‬‬
‫‪1‬‬
‫אין מצב‬
‫‪ V‬מ"ו ו‪ v 1 ,... , v n -‬בסיס ל‪ .V-‬יהי‬
‫‪ v ∈V‬וקטור כלשהי‪.‬‬
‫יש ל‪ V-‬כתיבה יחידה בצירוף לינארי של‬
‫‪. v 1 ,... , v n‬‬
‫כלומר אם ‪ v =a1 v 1...a n v n‬אז ה‪- a i -‬ים יחידים תלויים רק ב‪.v-‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1‬‬
‫⋮‬
‫‪an‬‬
‫נתחיל ביחידות‪:‬‬
‫נניח שקיימת שתי העתקות‬
‫ששתיהן מקיימות‬
‫‪T v i =wi‬‬
‫‪S :T W ,T :V W‬‬
‫‪, 1≤i≤n‬‬
‫‪S v i =wi‬‬
‫‪1≤i≤n‬‬
‫נשים לב שבפרט זה אומר ש‪ S-‬ו‪ T-‬מסכמות על איברי הבסיס ‪. v 1 ,... , v n‬‬
‫מהמשפט האחרון נובע ש‪ .S=T-‬כלומר הוכחנו יחידות‪.‬‬
‫הוכחת הקיום‪:‬‬
‫נגדיר ‪ T‬כזו‪ .‬ראשית נגדיר ‪ T  v i=wi‬לכל ‪. 1≤i≤n‬‬
‫עתה נרצה להגדיר את‬
‫‪ T  v‬לוקטור כללי‬
‫‪. v ∈V‬‬
‫יהי ‪ V‬וקטור כלשהו ‪v =a1 v 1...a n v n‬‬
‫כאשר‬
‫‪ a 1 , ... , a n‬נקבעו ביחידות לפי הוקטור ‪.v‬‬
‫היחידות של ‪ a 1 , ... , a n‬את האפשרות לתגור‪.‬‬
‫{‬
‫‪a 1 T  v 1  ⋯  an T v n‬‬
‫║‬
‫║‬
‫‪a 1 w1‬‬
‫‪ ⋯ ‬‬
‫‪an w n‬‬
‫≝ ‪T  v‬‬
‫‪ T‬מוגדר היטב מכווין שהמקדמים‬
‫‪ a 1 , ... , a n‬תלויים רק בוקטור ‪.v‬‬
‫נותר לנו להוכיח ש‪ T-‬לינארית‪ .‬נתחיל בלהראות שהיא מכבדת חיבור‪:‬‬
‫יהי‬
‫‪ v , u∈V‬וקטורים כלשהם ב‪ .V-‬צ"ל‬
‫נכתוב את‬
‫‪ai ∈ℝ‬‬
‫‪. T  vT w=T vw‬‬
‫‪ v u , u , v‬כצירופים לינאריים של ‪. v 1 ,... , v n‬‬
‫‪b i∈ℝ‬‬
‫‪v =a1 v 1...a n v n‬‬
‫‪u=b 1 v 1...b n v n‬‬
‫‪v u= a1b 1 v 1...a nbn  v n‬‬
‫עתה נבדוק‬
‫‪T v T  w:=a1 w1 ...a n w nb 1 w1...v n w n ‬‬
‫‪=a1 b1  w1... an b n w n‬‬
‫‪T  vu :=a 1b 1 w1... an b n w n‬‬
‫כלומר ‪ T‬שומרת על פעולת חיבור‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫‪v‬‬
‫נוסיף עוד פס להוכחה‪:‬‬
‫‪T  v j  ≝ 0⋅w10⋅w 2...1 w j 0⋅w j ...0⋅wn=w j‬‬
‫‪v j = 0⋅v 10⋅v 2...1⋅v j 0⋅v v1...0⋅v n‬‬
‫שתי הגדרות מסכימות‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ℝ‬‬
‫‪ℝ ‬‬
‫‪3‬‬
‫‪T‬‬
‫‪1,2,3‬‬
‫‪ ,1,2,3‬‬
‫‪ ,1,2,3‬‬
‫‪‬‬
‫‪T e3‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪x‬‬
‫‪x 1 11‬‬
‫‪z‬‬
‫‪z 3 33‬‬
‫‪A y 2 22 y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ImT =S ° 2‬‬
‫‪3‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪Te 1‬‬
‫‪Te 2‬‬
‫‪     ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A 0=2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A 1=2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A 0=2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪x‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‪z‬‬
‫‪A y = x 2  y 2 z 2 =  x yz  2‬‬
‫‪ T  v i=0‬לכל ‪ .i‬כלומר ‪ w i=0‬לכל ‪ .i‬מה נקבל?‬
‫‪T  v = a1 w1...a n wn =a1 ‬‬
‫‪0 ...an ‬‬
‫‪0 = ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪v =a1 v 1...a n v n‬‬
‫כלומר נקבל את העתקת האפס‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫במרחב בו ‪ ,w=v‬נוכל לבחור למשל את ‪. w i=v i‬‬
‫כלומר נרצה למצוא ‪ T‬כך ש‪. T  v i=v i -‬‬
‫במרחב הזה נקבל את העתקה הזהות‪.‬‬
‫מציאת מטריצה המייצגת העתקה כללית‬
‫) לא דווקא מ‪ ℝn -‬ל‪( ℝm -‬‬
‫הסבר‪:‬‬
‫יהי ‪ V, W‬מרחבים וקטורים‪ .‬מהי ‪? T :V W‬‬
‫‪T‬‬
‫‪:ℝ4 [ x ]  ‬‬
‫‪M 3×3  R‬‬
‫‪‬‬
‫‪w 1 ,w 2 ,w 3 ,w 4 ,w 5‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3,‬‬
‫‪2,‬‬
‫‪1, x , x x x‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪ A = 4 5 6 = w1=w2 =...=w5‬אז נקבל ‪ T‬שמקיימת ‪T  v i= A‬‬
‫‪7 8 9‬‬
‫‪T  x3x 2 = T  x 3T x 2  = A3A = 4A‬‬
‫נבנה משהו טכני שמכליל בנייה שסיימנו‪:‬‬
‫תהי‬
‫‪ T :V W‬העתקה לינארית‪.‬‬
‫יהי } ‪ B={v 1 ,... , v n‬בסיס סדור ל‪,V-‬‬
‫‪4‬‬
‫} ‪ C={w 1 , ... , w n‬בסיס סדור ל‪.W-‬‬
‫אני רוצה למצוא מטריצה ‪ A‬שתקיים‬
‫‪[v ] B ↦ [Tv ]C‬‬
‫כפל ב‪A-‬‬
‫‪A[v ]B = [ Tv ]C‬‬
‫‪ [v ]B‬לכל ‪.v‬‬
‫‪‬‬
‫למטריצה כזו נקרא המטריצה המייצגת את ‪ T‬לפי הבסיסים ‪ B‬ו‪C-‬‬
‫‪B‬‬
‫מטריצה כזו אכן קיימת ונסמן אותה ב‪[T ]C -‬‬
‫בניית ‪ : [T ]BC‬מבדיקה מהירה נגלה שמטריצה צריכה להיות מבסדר‬
‫‪. m×n‬‬
‫כלומר‪ ,‬יש לה ‪ n‬עמודות שכל אחת בגודל ‪ .m‬נגדיר את ‪ [T ]BC‬להיות המטריצה‬
‫שעמודה ה‪ i-‬שלה היא‬
‫‪[ ][ ] [ ] ‬‬
‫‪ , [Tv i ]C‬כלומר‪:‬‬
‫‪⋯ Tv n‬‬
‫ואכן קיבלנו מטריצה‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫‪. m×n‬‬
‫‪C‬‬
‫יהי‬
‫‪. ℝ3 [ x ]=V =W‬‬
‫יהי‬
‫} ‪ B1={1, x , x 2, x 3‬בסיס ו‪ B 2={1, 1 x , xx 2, x2x 3 } -‬בסיס‪.‬‬
‫תהי ‪ D‬העתקה הזהות‪ .‬נמצא‬
‫פתרון‪:‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Tv 2‬‬
‫‪C‬‬
‫‪Tv 1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ [ D]B‬ו‪. [ D]B -‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D :ℝ‬‬
‫‪3[ x ] ℝ‬‬
‫] ‪3 [x‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪[ D] = [ D1]B [ D x ]B [ D  x 2 ]B [ D  x 3]B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0⋅10⋅x0⋅x 20⋅x 3‬‬
‫‪= 1⋅10⋅x0⋅x 20⋅x 3‬‬
‫=‬
‫‪...‬‬
‫=‬
‫‪...‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪= 2x‬‬
‫‪= 3x2‬‬
‫‪D 1‬‬
‫‪D x ‬‬
‫‪D  x2 ‬‬
‫‪D  x 3‬‬
‫‪[ D]B = [ D1] B [ D1 x ]B [ D  xx 2]B [ D x 2x 3 ]B‬‬
‫‪B2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫‪...‬‬
‫‪= 1⋅10⋅1 x 0⋅ x x 20⋅ x 2 x 3‬‬
‫=‬
‫‪...‬‬
‫=‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪B1‬‬
‫‪1 −1 1‬‬
‫‪0 2 −1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫=‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪= 12x‬‬
‫‪= 2x3x 2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪D1‬‬
‫‪D1 x‬‬
‫‪D x x 2 ‬‬
‫‪D  x 2x 3 ‬‬
‫‪B‬‬
‫= ‪C‬‬
‫] ‪[T‬‬
‫שיעור ‪18.03.10 – 4‬‬
‫תזכורת שוב על וקטור הקואורדינטות‪.‬‬
‫‪ V‬מ"ו‬
‫} ‪ B={v 1 ,... v n‬בסיס ל‪.V-‬‬
‫אפשר לחשוב על וקטור הקואורדינטות כהעתקה‬
‫‪, V ℝn‬‬
‫‪ , V ⟼[V ] B‬וזו העתקה לינארית‪.‬‬
‫‪[v ]B[w] B =[ v w ]B : v , w∈V‬‬
‫מה זה אומר? לכל‬
‫לכל‬
‫‪, ∈ℝ‬‬
‫‪: v ∈V‬‬
‫כדאי לזכור‪ :‬לכל‬
‫‪, i ∈ℝ‬‬
‫‪: v i ∈V‬‬
‫‪[v ] B=[ v ]B‬‬
‫‪1 [v 1 ]B...n [v n ] B=[1 v 1...1 v 1 ]B‬‬
‫על ייצוג העתקה )כללית( העזרת מטריצות‬
‫משפט‪:‬‬
‫תהי‬
‫‪ T :V W‬העתקה לינארית‬
‫} ‪ B={v 1 ,... , v n‬בסיס ל‪,V-‬‬
‫} ‪ C={w 1 , ... , w n‬בסיס ל‪W-‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫אז קיימת מטריצה שמסומנת ב‪ [T ]C -‬המקיימת ‪[Tv ]C =[T ]C [V ] B‬‬
‫יתר על כן‪,‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫יהי‬
‫‪B‬‬
‫] ‪* [T ]C =[ [Tv1 ]C [Tv 2 ]C ⋯[Tv n ]C‬‬
‫‪ v ∈V‬כלשהי‪ .‬נכתוב את ‪ V‬לפי הבסיס ‪:B‬‬
‫‪ v =a1 v 1...a n v n‬עבור ‪1 , ... , n ∈ℝ‬‬
‫כלומר‬
‫][‬
‫‪a‬‬
‫⋮ =‪[V ]B‬‬
‫‪an‬‬
‫כמובן שנגדיר את‬
‫‪ [T ]BC‬להיות כמו ב‪.*-‬‬
‫מהגדרת כפל מטריצת‬
‫][‬
‫‪a1‬‬
‫‪[T ]BC [V ]B = [[Tv1 ]C ⋯[Tv n ]C [ ⋯ = a 1 [Tv 1 ]C ...a n [Tv n ]C‬‬
‫‪an‬‬
‫‪= [T a1 v 1...a n v n ]C = [Tv ] C‬‬
‫שימו לב של‪ [T ]BC -‬יש ‪ n‬עמודות ) ‪ ( n=dimV‬ויש לה ‪ m‬שורות ) ‪.( m=dimW‬‬
‫‪6‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫באותם תנאים וסימונים של המשפט הקודם‪:‬‬
‫אם מטריצה ‪ A‬מסדר‬
‫‪ n×m‬מקיימת‬
‫‪ A[v ] B =[Tv ]C‬אז ‪. A=[T ]CB‬‬
‫זה בדיוק אומר שיש יחידות במשפט הקודם‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫= ‪= A[V 1 ] B‬‬
‫אז ‪ [Tv 1 ]C‬‬
‫מכיוון ש‪ A-‬מקיימת את‬
‫= ‪Ai e i= A[V i ] B‬‬
‫באופן דומה ‪ [Tvi ]C‬‬
‫מסקנה‪:‬‬
‫תהיינה‬
‫‪, T :V W‬‬
‫=‬
‫עמודה‪A‬ה‪[ i-‬‬
‫] של‬
‫][‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫⋮‬
‫‪0‬‬
‫‪= A‬‬
‫]‬
‫עמודה ‪1‬‬
‫של ‪A‬‬
‫[‬
‫‪B‬‬
‫כלומר ‪A=[T ]C‬‬
‫‪S :W U‬‬
‫‪ B‬בסיס ל‪ C ,V-‬בסיס ל‪ D ,W-‬בסיס ל‪.U-‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪[S °T ]D =[ S ] D [T ]C‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫נראה ששני הצדדים מקיימים שאם ניתן להם לפעול על ‪[V ]B‬‬
‫הם יחזירו את ‪. S [T  v] D‬‬
‫‪B‬‬
‫‪[S °T  v] D =[S °T ] D [v ] B‬‬
‫)‪(3‬‬
‫מהגדרת‬
‫ומצד שני‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪ [S °T ]D‬היא מקיימת ‪[S °T  v] D=[S °T ]D [V ]B‬‬
‫‪[S ]CD [T‬‬
‫‪]CB [V ]B = [ S ]CD [Tv ]C = [S Tv] D = [S °T v ]D‬‬
‫‪‬‬
‫‪[Tv ]C‬‬
‫ראינו שישנה מטריצה יחידה המקיימת תנאי זה‪.‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫ולכן ‪[S °T ]D =[ S ] D [T ]C‬‬
‫•‬
‫‪[T ]C [V ] B =[Tv ]C‬‬
‫‪B‬‬
‫•‬
‫‪[Tv ]C =A[V ] B ⇒ A=[T ]BC‬‬
‫•‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ ⇐[S ]D [T ]C ,[S °T ] D‬יש שוויון בינהן‬
‫‪7‬‬
‫העתקת הזהות ממרחב וקטורי ‪ V‬לעצמו‬
‫} ‪ B={v 1 ... v n‬בסיס שלו‪ .‬אז‬
‫טענה‪:‬‬
‫יהי ‪ V‬מ"ו‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫העמודה הראשונה הוא‬
‫][‬
‫‪=e1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫⋯‬
‫‪0‬‬
‫][‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫⋯‬
‫‪0‬‬
‫= ‪[ I ]BB‬‬
‫=‪[ I  v i] B=[v 1 ]B‬‬
‫‪v 1=a1 v 1...an v n‬‬
‫העמודה ה‪:j-‬‬
‫לכן‬
‫‪I‬‬
‫][‬
‫] [‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪=e j‬‬
‫⋯‬
‫‪0 c‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫= ‪[ I  v j ] = [v j ]B‬‬
‫= ‪[ I ]BB e i ⋯ en‬‬
‫מטריצת‬
‫היחידה‬
‫מטריצות מעבר ודומיין מטריצות‬
‫בדוגמת הגזירה שראינו בשיעור הקודם ובדוגמאות שנראת ‪ /‬ראינו בתרגול‪,‬‬
‫ראינו שמטריצת הייצוג תלויה מאוד באיזה בסיסים בחרנו ע"מ לייצג אותו‪.‬‬
‫עתה נדבר רק על העתקות ממרחב וקטורי לעצמו‪ .‬העתקות אלו נקראות אנדומורפיזים‪.‬‬
‫למשל בהעתקת הגזירה‬
‫‪  ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪E‬‬
‫‪0‬‬
‫=‪[ D] E‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪D‬‬
‫‪ℝ3 [ x ] ‬‬
‫] ‪ ℝ3 [ x‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪E‬‬
‫‪0‬‬
‫=‪[ D ] E‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫אלו מטריצות שונות‪ .‬מה הקשר בינהן?‬
‫נשים לב שאם‬
‫‪, T :V V‬‬
‫‪I :V V‬‬
‫‪T=I°T‬‬
‫‪T =T ° I‬‬
‫‪8‬‬
.(‫ )כלשהם‬V ‫ בסיסים של‬C-‫ ו‬B ‫ והיו‬T :V V ‫ מ"ו ותהי‬V ‫יהי‬
C
B
B
:‫טענה‬
C
[T ]C = [ I ]C [T ]B [ I ]B
‫נשתמש במה שלמדנו על ייצוג הרכבת העתקות‬
B
B
C
B
C
C
:‫הוכחה‬
C
[
I ]C [T ]B [ I ] B = [ I °T ]C [ I ]B = [ I °T ° I ]C = [T ]C
.‫ל‬.‫ש‬.‫מ‬
. [Tv ]C ‫[ הם נותנים‬V ]C ‫ פשוט מראים שכאשר שני הדצצים פועלים על‬:‫תרגיל‬
:2 ‫הוכחה‬
T  x , y=5x y , x5y  , T :ℝ2  ℝ2 ‫ תראו שאם‬/ ‫ראיתם‬
:‫דוגמה‬
 
E
5 1
( E={1, e  ,0,1} ) [T ]E =
1 5
 
[T ]BB = 6 0
0 4
‫אז‬
‫{ אז‬1,1 ,1,−1} ‫ הבסיס‬B ‫ואם‬
:‫מה שנעשה אחרי פסח‬
(4)
    
    
5 1 1 = 5 = [Te ]
1 E
1 5 0
1
6 0 1 = 6 = [Tv]
B
0 4 0
0
  = [T ]
5 1
1 5
E
E
 
= [ I ]BE [T ] BB [ I ] EB = [ I ]BE 6 0
0
[ I ]EB = [[ I e 1]B [ I e 2 ]B ] = [[1,0]B [0,1]B ]
4
‫נמצא מיהם‬
1,0= a 1,1 b 1,−1=ab , a−b
ab=1 a−b=0
2a=1 a= 12 b= 12
0,1=ab , a−b
ab=0 a−b=1
2a =1 a= 12 b=− 12
9
‫‪‬‬
‫נמצא את‬
‫בדיקה‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪[ I ]E = [[ I 1,1] E [1,−1] E ] =  [1,1]E [1,−1]E  = 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 1 =1 0‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫= ] ‪I =[I ] =[ I ] [ I‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪5 1 = 1 1 6 0 2 2 = 1 1 ⋅3 3 = 5 1‬‬
‫‪1 5‬‬
‫‪1 −1 0 4 1 − 1‬‬
‫‪1 −1 2 −2‬‬
‫‪1 5‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫למטריצה ‪ [ I ]CB‬כאשר ‪ B‬ו‪ C-‬בסיסים‬
‫נקרא מטריצות מהעבר מהבסיס ‪ B‬לבסיס ‪.C‬‬
‫סימון‪:‬‬
‫מכווין שאנו מתרכזים כרגע בהעתקות ממרחב וקטורי לעצמו‪,‬‬
‫סימון‬
‫מקובל להשתמש בסימון‬
‫טענה‪:‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫הערה‪:‬‬
‫= ‪[T ]B‬‬
‫‪ [T ]BB‬‬
‫יהי ‪ V‬מ"ו ‪ B‬ו‪ C-‬בסיסים אז‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ [ I ]C‬הפיכה ומתקיים ש‪= [ I ]B -‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ [ I ]CB ‬‬
‫‪[ I ]CB⋅[ I ]CB =[ I ]CC =I‬‬
‫‪ T :T V‬אז ‪ [T ]BC‬מטריצה ריבועית‪.‬‬
‫שימו לב שאם‬
‫ראינו שיש קשר הדוק בין ‪ [T ]BB‬ל‪ [T ]CC -‬והוא נתון ע"י מטריצות המעבר‪.‬‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪[T ]C =[ I ]C [T ]B [ I ]B‬‬
‫* אז רואים שיש קשר הדוק בין ‪ [T ]BB‬ל‪ [T ]CC -‬ונרצה לתת לו שם‪.‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫מטריצות ריבועיות ‪ A‬ו‪ B-‬נקראות דומות )‪(Similar‬‬
‫אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ P‬כך ש‪B=P−1 A P -‬‬
‫ראינו ש‪ [T ]BB -‬ו‪ [T ]CC -‬דומות‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫היחס "דומות" הוא יחס שקילות על מטריצות‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪ A‬דומה לעצמה‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪A= A A I‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪ A‬דומה ל‪ B-‬אז ‪ B‬דומה ל‪P B P A ⇔ B= P A P :A-‬‬
‫אם‬
‫‪, B=P−1 A P‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪C=Q B Q‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪C=Q −1 P‬‬
‫אז ‪A P Q= PQ −1 A P Q‬‬
‫‪‬‬
‫‪B‬‬
‫‪10‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪T  x , y=5x y , x5y ‬‬
‫}‪B={1,1 ,1,−1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪[T ] =‬‬
‫‪‬‬
‫‪[T ] =‬‬
‫‪‬‬
‫}‪A={1,1 , 0,1‬‬
‫‪E‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪det=24 tr=10 [T ]E = 1 5‬‬
‫‪6 0‬‬
‫‪0 4‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫‪6 1‬‬
‫‪0 4‬‬
‫‪A‬‬
‫‪A‬‬
‫‪det=24 tr =10‬‬
‫‪det=24 tr=10‬‬
‫‪[T‬‬
‫‪1,1]A=6,6=6 4,10⋅0,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 6,0‬‬
‫‪[T‬‬
‫‪0,1] A =1,5=11,14⋅0,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1,4‬‬
‫טענה ‪:1‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫למטריצת דומות יש אותה דטרמינטה‪.‬‬
‫יהיו‬
‫‪ B=P A P−1‬כאשר ‪ P‬הפיכה‪.‬‬
‫‪∣P∣ = ∣P A P−1∣ = ∣P∣∣A∣∣‬‬
‫∣‪P−1∣ = ∣P∣∣P∣−1⋅∣A∣=∣A‬‬
‫‪−1‬‬
‫טענה ‪:2‬‬
‫טענת עזר‪:‬‬
‫“הוכחה"‪:‬‬
‫‪∣P∣‬‬
‫למטריצות דומות יש אותה עקבה = ‪.trace‬‬
‫‪tr  AB=tr  BA‬‬
‫נובע מנוסחה לכל מטריצות‪) ....‬נסו שוב(‪.‬‬
‫הוכחת טענה‪ :‬יהיו‬
‫‪ B=P A P−1‬כאשר ‪ P‬הפיכה‪.‬‬
‫‪tr  ‬‬
‫‪P A P  = tr  P PA = tr  A‬‬
‫‪−1‬‬
‫טענה ‪:3‬‬
‫טענת עזר‪:‬‬
‫‪−1‬‬
‫למטריצות דומות יש אותה דרגה ואותה אפיסות ) אפיסות =‬
‫אם ‪ P‬מטריצה הפיכה אז‬
‫‪( dimNull  A‬‬
‫‪rank  PB=rank  B=rank  BP ‬‬
‫הוכחת ט"ע‪ :‬ראינו‪ .‬נראה שוב אחרי פסח‪.‬‬
‫הוכחת ט' ‪:3‬‬
‫‪, B=P A P−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪rank  B =rank  P A P =rank  AP =rank  A‬‬
‫ומשפט המימד יש לה אותו אפסיות‪.‬‬
‫סיכום‪:‬‬
‫יהיו ‪ A, B‬מטריצות דומות‪.‬‬
‫אז‬
‫∣‪∣A∣=∣B‬‬
‫‪tr  A=tr  B‬‬
‫‪rank  A=rank  B‬‬
‫‪dimnul  A=dimnul B‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪              ‬‬
‫‪5 1‬‬
‫‪1 5‬‬
‫נדבר שוב על ‪: T  x , y=5x y , x5y ‬‬
‫‪a 0 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪=a‬‬
‫‪0 b 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a 0 0 =b 0‬‬
‫‪0 b 1‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪[T ]EE‬‬
‫‪a 0 x =a ax‬‬
‫‪0 b y‬‬
‫‪by‬‬
‫וקטורים עצמיים וערכים עצמיים‬
‫)הקדמה לאחרי פסח(‬
‫∣‪‬‬
‫‪=  x−52−1 = 0‬‬
‫‪x−5 −1‬‬
‫‪−1 x−5‬‬
‫‪∣‬‬
‫‪ . x=6,4‬מחפש י"ע עבור הע"ע ‪:6‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪y‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1 −1 x‬‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪−1 1 y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪   ‬‬
‫‪4−5 −1 x = 0 =  x−52−1 = 0‬‬
‫‪−1 4−5 y‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪  ‬‬
‫‪x‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪y‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1 −1 x = 0 =  x−52−1 = 0‬‬
‫‪−1 −1 y‬‬
‫‪0‬‬
‫מצאנו בסיס של‬
‫נקר אלו‬
‫‪ ℝ2‬המורכב מוקטורים עצמיים ביחס לפעולות ‪!!T‬‬
‫}‪ B={1,1 , 1,−1‬ונקבל‬
‫‪ ‬‬
‫‪6 0‬‬
‫‪0 4‬‬
‫=‪ e‬אלכסונית ‪[T ]BB =‬‬
‫‪¿ B [T 1,−1]B‬‬
‫‪[¿ ]= 6 0‬‬
‫‪0 4‬‬
‫‪B‬‬
‫¿=‪[T ] B‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪61,1= 6 1,1 0 1,−1‬‬
‫‪T 1,−1=4,−4=01,14 1,−1‬‬
‫אחרי פסח‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫‪.2‬‬
‫נלכסן מטריצות‬
‫לדבר על‬
‫‪ ℝn‬באופן גאומטרי‪ :‬מיתקיים‪ ,‬זוויות‪ ,‬וכו"‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫שיעור ‪) 08.04.10 – 5‬אחרי פסח(‬
‫נושאי הקורס‬
‫‪ .1‬העתקות לינאריות‬
‫‪ .2‬ערכים עצמיים ולכסון מטריצות‬
‫‪ .3‬היבט הגאומטריים האלגברה הלינארית המרחב האויקלידי ה‪ n-‬מימד‪.‬‬
‫סיכום קצרה על העתקות לינאריות‬
‫‪ V,W‬מ"ו‪ . T :V W .‬לינארית אם‪:‬‬
‫•‬
‫‪ T  vw =TvTw‬לכל‬
‫•‬
‫‪ T  v = T v ‬לכל‬
‫‪v , w∈V‬‬
‫‪v ∈V ,∈ℝ‬‬
‫ועוד‬
‫‪T  0 =‬‬
‫* ‪0‬‬
‫*‬
‫‪ImT ={Tv ∣ v ∈V }, KerT ={v ∣ Tv=‬‬
‫}‪0‬‬
‫משפט המימד‪:‬‬
‫‪dimV =dimKerT dimImT‬‬
‫‪ .1‬למדנו שמטריצה ‪ A∈ M m×n ℝ‬משרה העתקה לינארית שסומנו ב‪-‬‬
‫‪.2‬‬
‫‪m‬‬
‫‪T A v = Av‬‬
‫‪ .3‬למדנו ש‪, kerT A=nul  A -‬‬
‫‪ImT A=col  A‬‬
‫‪ T =T A‬כאשר‬
‫‪ .4‬למדנו שאם ‪ T : ℝn ℝm‬לינארית אז‬
‫‪ .5‬למדנו שאם‬
‫‪ .6‬למדנו שאם‬
‫‪ T :V  W‬חח"ע ועל אז הוא נקראת איזומורפיזם‪.‬‬
‫‪ T :V V‬אז ‪ T‬חח"ע ⇔‬
‫‪ .7‬ייצוג העתקות כללית‪:‬‬
‫‪kerT ={‬‬
‫}‪0‬‬
‫‪T :T  W‬‬
‫‪ B .8‬בסיס ל‪ V, C-‬בסיס ל‪ .W-‬הגדרנו‬
‫וראינו ש‬
‫‪‬‬
‫] ‪[T ]BC =[ [Tv1 ]C ...[Tv n ]C‬‬
‫‪. [Tv ]C =[T ]BC [V ] B‬‬
‫‪13‬‬
‫‪‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪A= Te 1⋯ Te n‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪n‬‬
‫‪T A: ℝ ℝ‬‬
‫ואם בנוסף‬
‫‪B‬‬
‫‪ D , S :W  V‬בסיס ל‪ V-‬אז‬
‫‪ .9‬קראנו למטריצה‬
‫‪) [ I ]CB‬כאשר‬
‫‪B‬‬
‫‪C‬‬
‫‪[S °T ]D =[ S ]D [T ]C‬‬
‫‪ I :V V‬העתקת הזהות‪ ,‬ו‪ B-‬ו‪ C-‬בסיסים של ‪.(V‬‬
‫מטריצת מעבר מ‪ B-‬ל‪:C-‬‬
‫‪ .1‬הראנו ש‪ → I =[I ]CB -‬מטריצת הזהות‬
‫‪C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪B‬‬
‫והראנו ש‪I =[I ]B [ I ]C =[ I ] B -‬‬
‫דימיון מטריצות‬
‫‪ .1‬נאמר ש‪ A-‬דומה ל‪ V-‬אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ D‬כך ש‪A P -‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪B=P‬‬
‫‪ .2‬למדנו שיחס הדמיון הוא יחס שקילות‪.‬‬
‫‪ .3‬משפט‪ :‬יהיו ‪ A,B‬מטריצות דומות אז‪:‬‬
‫‪, tr  A=tr  B‬‬
‫∣‪, ∣A∣=∣B‬‬
‫‪, rank  A=rank  B‬‬
‫‪dimNul  A=dimNul  B‬‬
‫יהיו עוד דברים‪.‬‬
‫‪ .4‬נאמר ש‪ A-‬לכסינה )או ניתנת ללכסון – ‪(diagonalizable‬‬
‫אם ‪ A‬דומה למטריצה אלכסונית‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ A ,‬לכסינה אם קיימת ‪ P‬הפיכה כך ש‬
‫‪ .5‬תזכורת‪ :‬מטריצה אלכסונית מהצורה‬
‫‪‬‬
‫‪a1 0 0 0‬‬
‫‪0 a2 0 0‬‬
‫‪0 0 ⋱ 0‬‬
‫‪0 0 0 an‬‬
‫‪‬‬
‫‪ P−1 A P‬מטריצה אלכסונית‪.‬‬
‫= ‪diag a 1 , ... , a n ‬‬
‫‪ .6‬ברור שמטריצה אלכסונית היא לכסינה )כי היא דומה לעצמה(‪.‬‬
‫לעומת זאת‪ ,‬מטריצה לכסינית הם לא בהכרח אלסונית‪.‬‬
‫‪ .7‬לא כל מטריצה היא לכסינה‪ ,‬לדוגמה‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫לא לכסינה – נראה בהמשך‪.‬‬
‫מה הדוגמה העיקרית למטריצות דומות‪:‬‬
‫תהי‬
‫‪) T :V V‬בשלב זה אנחנו מתרכזים בעתקות מאותו מרחב לעצמו(‪.‬‬
‫והיו ‪ B‬ו‪ C-‬בסיסים ל‪.V-‬‬
‫סימון‪:‬‬
‫‪B‬‬
‫‪[T ]B :=[T ]B‬‬
‫‪14‬‬
‫הדוגמה היא‬
‫‪ [T ]B‬דומה ל‪ . [T ]C -‬מדוע?‬
‫‪C‬‬
‫רוצים ‪<= P−1 [T ]B P=[T ]C‬‬
‫‪B‬‬
‫‪[ I ]C [T ]B [ I ] B =[T ]C‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪C‬‬
‫‪ P=[ I ]B‬נקבל ש‪P [T ]B P=[T ]C -‬‬
‫כלומר אם נגדיר‬
‫מטרית חלק ‪) 2‬של נושאי הקורס( היא ללמוד ללכסן מטריצות‪.‬‬
‫•‬
‫להבין מתי אפשר ומתי אי אפשר‪.‬‬
‫•‬
‫איך ללכסן אם אפשר‪.‬‬
‫•‬
‫למה זה טוב‪.‬‬
‫נאמר שאפשר ללכסן את ‪ A‬אם קיימת מטריצה הפיכה ‪ P‬כך ש‪ P−1 A P -‬אלכסונית‪.‬‬
‫למטריצה ‪ P‬נקרא מטריצה המלכסנת של ‪.A‬‬
‫תרגיל‪:‬‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה לכסינה ותהי ‪ P‬מטריתה המלכסנת אותה‪.‬‬
‫למשל‪:‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 0‬‬
‫המשך‪:‬‬
‫מצאו את‬
‫פתרון‪:‬‬
‫נסמן ‪=D‬‬
‫‪‬‬
‫‪A= 1 1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫=‪ P‬אז‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−  5‬‬
‫‪0‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫=‪A P‬‬
‫‪P‬‬
‫‪. A1000‬‬
‫‪‬‬
‫ואז‬
‫‪1−  5‬‬
‫‪1  5‬‬
‫‪1  5‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪an‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫⋱‬
‫‪0‬‬
‫‪a1 0‬‬
‫‪0 a2‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪‬‬
‫=‪P−1 A P=diag a1 ,... , an ‬‬
‫ולכן *=‪An = P D P−1n‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪P D P = A <= D=P A P‬‬
‫‪n‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪*= P D P  P D P  ... P D P =P D P‬‬
‫למשל במקרה שלנו‬
‫‪−1‬‬
‫‪P‬‬
‫‪‬‬
‫‪1  5 k‬‬
‫‪0‬‬
‫‪k‬‬
‫‪2‬‬
‫‪1−  5‬‬
‫‪2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪k‬‬
‫‪P‬‬
‫=‬
‫‪ ‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫תרגיל‪ :‬מצאו נוסחה לסדרת פיבונצ'י מהנתונים לעיל‪.‬‬
‫מה זה וקטור‬
‫‪ v ∈V‬שיעביר מתקיים‬
‫‪15‬‬
‫המקום ה‪ i-‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫⋮‬
‫‪a‬‬
‫⋮‬
‫‪0‬‬
‫= ‪[v ] B=a ei‬‬
‫‪v = 0v10v 2...avi 0v i1...0v 4 = av i‬‬
‫ערכים עצמיים ווקטורים עצמיים‬
‫תהי‬
‫‪. T :V V‬‬
‫נאמר שוקטור‬
‫≠‪0‬‬
‫‪ v ∈V‬‬
‫הוא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי‬
‫*‬
‫‪ a∈R‬אם‬
‫‪Tv=av‬‬
‫‪.‬‬
‫נאמר ש‪ a∈ℝ -‬ערך עצמי של ‪ T‬אם קיים ‪ v ≠0‬שהוא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪.a‬‬
‫‪ T : V  V‬העתקת האפס‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫אז כל וקטור‬
‫למה?‬
‫תהי‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫≠‪ 0‬הוא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪.0‬‬
‫‪0=Tv=0v‬‬
‫‪ T =T A‬כאשר‬
‫‪  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫נבדוק‪:‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫‪= 6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫‪6‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪= A‬‬
‫‪5‬‬
‫‪‬‬
‫‪2 −1‬‬
‫‪2 2‬‬
‫‪−1 4 4‬‬
‫‪ A= 2‬אז הוקטור‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪TA‬‬
‫תהי ‪ T :V V‬לינארית‪ .‬אז‪:‬‬
‫‪.1‬‬
‫הוא ו"ע עם ע"ע ‪.6‬‬
‫ערכים עצמיים‬
‫אם קיים בסיס ‪ B‬ל‪ V-‬המורכב מוקטורים עצמיים של ‪v 1 ,... , v n T‬‬
‫אז מטריצת הייצוג של ‪ T‬ביחס לבסיס ‪ B‬הוא אלכסונית ואם נסמן‬
‫‪ [T ]B =diag  a1 , ... , a n ‬אז ‪ a i‬הוא הערך עצמי המתאים לוקטור ‪. v i‬‬
‫‪.2‬‬
‫אם‬
‫אז‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫} ‪ C={w 1 , ... , w n‬בסיס של ‪ V‬כך ש‪[T ]C =diag b1 ,... , bn  -‬‬
‫‪ w i‬הוא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ערך עצמי ‪. b i‬‬
‫נתחיל ב‪ (1)-‬אז ‪ B‬הוא בסיס של וקטורים עצמיים‬
‫‪ v 1 ,... , v n‬עם ערכים עצמייים‬
‫‪ a 1 , ... , a n‬בהתאמה‪ .‬כלומר‪ ,‬מתקיים ש‪ v 1 ,... , v n -‬בסיס ל‪V-‬‬
‫ו‪, T  v 1=a1 v 1 -‬‬
‫נבדוק מהי‬
‫‪, … , T  v 2=a2 v 2‬‬
‫‪: [T ]B‬‬
‫] [] [‬
‫‪. T  v n a n v n‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪[T ]B = Tv1 . .. Tv n‬‬
‫⋮‬
‫⋮‬
‫‪16‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪T v 1=a2 v 1‬‬
‫‪ = a1 v 1  ... n v n‬‬
‫?‬
‫‪=a1 e 1‬‬
‫][‬
‫‪a‬‬
‫‪0‬‬
‫⋮‬
‫‪0‬‬
‫=] ‪[T v1‬‬
‫באופן דומה‬
‫][‬
‫‪0‬‬
‫‪[T v1 ]B= ⋮ =a i e i‬‬
‫‪ai‬‬
‫‪0‬‬
‫בסה"כ מקבלים‬
‫‪=diag a1 , ... , a n ‬‬
‫]‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪⋱ 0‬‬
‫‪0 an‬‬
‫‪a1 0‬‬
‫‪0 a2‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫[‬
‫= ‪[T ]B‬‬
‫סיימנו את )‪:(2) .(1‬‬
‫‪‬‬
‫נבדוק איך ‪ T‬פועלת על ‪ . w i‬ידוע לי ש‪=b i ei -‬‬
‫‪0‬‬
‫⋮‬
‫‪bi‬‬
‫⋮‬
‫‪0‬‬
‫=העמודה ה‪ i-‬של ‪[Tw 1]C =[T ]C‬‬
‫ומהגדרת וקטור קואו' )מהתרגילון( מקבלים ‪. Tw i =bi wi‬‬
‫כלומר‪ w i ,‬היא וקטור עצמי של ‪ T‬עם ע"ע‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫‪. bi‬‬
‫נאמר ש‪ T :V  V -‬נתנת ללכסון אם קיים בסיס ‪ B‬כך ש‪ [T ]B -‬אלכסונית‪.‬‬
‫בעצם ראינו ש‪ T-‬ניתנת ללכסון אם"ם קיים בסיס ל‪ V-‬שמורכב מוקטורים עצמיים‬
‫של ‪.T‬‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה‬
‫‪ . n×n‬נרצה ללכסן את ‪) A‬ז"א למצוא‬
‫‪ P−1 A P‬אלכסונית(‪.‬‬
‫נתבונן בהעתקה ‪. T A : ℝn ℝ n‬‬
‫נשים לב ש‪ [T A]E = A -‬כאשר ‪ E‬הבסיס הסטנדרטי‪.‬‬
‫נשים לב שאם נצליח ללכסן את ‪, T A‬‬
‫כלומר נמצא בסיס ‪ B‬של ‪ℝn‬‬
‫כך ש‪ T A -‬אלכסונית‪.‬‬
‫נקבל ש‪ [T A]B =[ I ]EB [T A ] EE [I ] BE -‬אלסכונית‬
‫= ‪ P−1 A P‬כאשר ‪. P=[ I ]BE‬‬
‫כלומר‪ ,‬ללכסן את ‪ A‬זה כמו ללכסן את ‪. T A‬‬
‫לכן מהמשפט שהראנו כדי ללכסן את ‪ A‬עלינו למצוא בסיס של וקטורים עצמיים‬
‫של ‪. T A‬‬
‫הגדרה‪:‬‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪. n×n‬‬
‫‪17‬‬
‫‪ v ≠0‬וקרא וקטור עצמי של ‪ A‬עם ערך עצמי‬
‫בהינתן מטריצה ‪ A‬ריבועית‬
‫לסיכום‪:‬‬
‫צריך למצוא בסיס של‬
‫‪ a∈ℝ‬אם ‪. Av=av‬‬
‫‪ , n×n‬ע"מ ללכסון אותה‬
‫‪ ℝn‬שמורכב מוקטורים עצמיים של ‪.A‬‬
‫מציאת ערכים עצמיים וקטורים עצמיים של מטריצות‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪ . n×n‬איך נמצא מיהם הערכים העצמיים של ‪?A‬‬
‫אנחנו מחפשים‬
‫נעביר אגף‪:‬‬
‫‪ x ∈ℝ‬כך שקיים‬
‫‪ v ≠0‬המקיים ‪. Av= xv‬‬
‫‪ xI − Av=0‬‬
‫‪0=xv− Av = xIv− Av =  xI − A v‬‬
‫זה קורה אם ורק אם‪:‬‬
‫‪ v .1‬הוא פתרון לא טריביאלית למערכת המשוואות ההומוגנית ש‪ xI − A -‬מייצגת‪.‬‬
‫‪.2‬‬
‫∣‪0=∣xI− A‬‬
‫‪.3‬‬
‫‪v ∈nul  xI − A‬‬
‫לסיכום‪:‬‬
‫הערכים העצמיים של ‪ A‬הם כל ה‪ x ∈ℝ -‬המקיימים ‪. ∣xI− A∣=0‬‬
‫למטריצת ‪ xI − A‬קוראים המטריצה האופיינית של ‪ A‬ולפולינום‬
‫קוראים הפולינום האופייני של ‪.A‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫∣‪∣xI − A‬‬
‫‪‬‬
‫‪A= −7 8‬‬
‫‪−6 7‬‬
‫המטריצה האופיינות של ‪ A‬הוא‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪xI − A= x 0 −A= x7 −8‬‬
‫‪x−7‬‬
‫‪6‬‬
‫‪x‬‬
‫‪0‬‬
‫הפולינום האופייני של ‪:A‬‬
‫‪2‬‬
‫‪= x 0x−1‬‬
‫∣‬
‫‪−8 = x7 x 748=x 2−4948= x 2−1‬‬
‫‪x−7‬‬
‫∣‬
‫‪x7‬‬
‫‪6‬‬
‫שימו לב שזה פולימום מתוקן‪ ,‬כלומר המקדם העליון שלו הוא ‪.1‬‬
‫שימו לב שהמקדם האחרון החופשי הוא ∣‪. ∣A∣=−12∣A‬‬
‫והמקדם של ‪ x‬הוא ‪. −trA‬‬
‫מיהם הערכים העצמיים של ‪?A‬‬
‫אלו כל ה‪ x ∈ℝ -‬כך ש‪ ∣xI − A∣=x 2−1=0 -‬כלומר ‪. x=±1‬‬
‫לפי מה שראינו‪ ,‬לכל ערך עצמי שמצאנו נוכל למצוא לפחות וקטור עצמי אחד‪.‬‬
‫אז נעשה זאת‪:‬‬
‫‪18‬‬
‫‪. 1I−A v=‬‬
‫ראינו שעבור ‪ ,x=1‬קיים וקטור ‪ v ≠0‬כך ש‪0 -‬‬
‫‪‬‬
‫‪8 −8‬‬
‫‪6 −6‬‬
‫‪=‬‬
‫‪‬‬
‫‪= 17 −8‬‬
‫‪6‬‬
‫‪1−7‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ v 1= 1‬פתרון המשוואות‪.‬‬
‫קל לראות‪/‬מדרגים ש‪-‬‬
‫כלומר‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ v 1= 1‬הוא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪.1‬‬
‫נבדוק‪Av 1=1 v 1 :‬‬
‫‪  =  =1  ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪−7 8 1‬‬
‫‪−6 7 1‬‬
‫שימו לב שגם‬
‫‪, a , a‬‬
‫‪, 2,2‬‬
‫‪ a≠0‬וקטורים עצמיים‪.‬‬
‫נמצא וקטור עצמי עם ערך עצמי ‪.x=1‬‬
‫‪‬‬
‫דוגמאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 −8‬‬
‫‪‬‬
‫‪−6 7‬‬
‫‪‬‬
‫‪  =  ‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−1I− A= 6 −8‬‬
‫‪6 −8‬‬
‫‪6 −8‬‬
‫‪‬‬
‫כלומר‬
‫‪  =   = −1  ‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪A= −7 8‬‬
‫‪‬‬
‫‪4‬‬
‫= ‪ v 2‬וקטור עצמי עם ע"ע ‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪‬‬
‫‪−7 8 4‬‬
‫‪−6 7 3‬‬
‫‪−4‬‬
‫‪−3‬‬
‫קיבלנו ש‪ B={v 1, v 2 } -‬הם בסיס המורכב מו"ע של ‪ A‬אז אפשר ללכסן את ‪!!A‬‬
‫‪ = P AP‬‬
‫‪P = [T ] = [ [ v ] [v ] ] = ‬‬
‫מיזו ‪ ?P‬‬
‫‪1‬‬
‫‪⋅‬‬
‫‪  = ad −bc‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫= ‪P‬‬
‫‪= ‬‬
‫‪3−4 ‬‬
‫ולכן יתקיים ‪  =    ‬‬
‫או ‪  =    ‬‬
‫‪  =  ‬‬
‫למשל ‪ ‬‬
‫‪ A=‬להסיק נוסחה לאיבר הכללי של‬
‫לעשות אותו דבר שעשינו עבור ‪‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪‬‬
‫‪E‬‬
‫‪B‬‬
‫‪[ I ]B [T A ]E [ I ]E = [T A ] B = 1‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‪2 E‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪d −b‬‬
‫‪−c a‬‬
‫‪−3 4‬‬
‫‪1 −1‬‬
‫‪B‬‬
‫‪E‬‬
‫‪1 E‬‬
‫‪a b‬‬
‫‪c d‬‬
‫‪3 −4‬‬
‫‪−1 1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪−3 4 −7 8 1 4‬‬
‫‪1 −1 −6 7 1 3‬‬
‫‪1 4 1 0 −3 4‬‬
‫‪1 3 0 −1 1 −1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−3 4‬‬
‫‪−1431 1 −1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0 −1‬‬
‫‪−7 8‬‬
‫‪−6 −7‬‬
‫‪431‬‬
‫‪1 4 1‬‬
‫‪1 3 0‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 0‬‬
‫נוסחת פיבונצ'י‪.‬‬
‫‪19‬‬
‫‪431‬‬
‫‪−7 8‬‬
‫‪−6 −7‬‬
(: ‫להתעלם מדף הזה‬
↦
[
1 −1 2 3
A = 2 −2 3 5
1 −1 0 1
]
−2R 1 R 2  R 2

−1R 1 R 3  R 3
20
[
1 −1 2
3
0 0 −1 −1
0 0 −2 −2
]
−2R 2 R3  R 3

[
1 −1 2
3
0 0 −1 −1
0 0
0
0
]
‫‪Quick Reference‬‬
‫ערכים עצמיים‬
‫ע"ע הופך מטריצה רגולרי לסינגולרי )אפשר לבדוק ככה(‬
‫במטריצה ‪ nxn‬יהיו בד"כ ‪ n‬ערכים עצמיים‪ ,‬שהסכוםם =‪ ,tr‬והכפלתם = ‪det‬‬
‫במטריצה מאונכת יהיו ‪ 2‬ע"ע מורכבים‪ .‬במשולשית אולי ו"ע יחיד‪.‬‬
‫במטריצה ‪:2x2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪det  A− I = −tr  A⋅det  A‬‬
‫אם מוסיפים ‪  I‬למטריצה‪ ,‬ע"ע נשאר יגדל ב ‪ I‬‬
‫העתקה לינארית‬
‫בהינתן בסיס קלט‬
‫‪ v 1 ... v n‬ובסיס פלט ‪w 1 ... w n‬‬
‫למצוא את ‪:A‬‬
‫עמוד ‪:1‬‬
‫‪T  v=a‬‬
‫‪m , 1 wm‬‬
‫‪1,1 w 1a2,1 w 2...a‬‬
‫‪21‬‬
‫וו"ע נשאר אותו דבר‪.‬‬
‫אינדקס‬
‫ג‬
‫גרעין‪6....................................................‬‬
‫ד‬
‫דומות‪10.................................................‬‬
‫ה‬
‫העתקה לינארית‪2.....................................‬‬
‫העתקות לינארית‪1....................................‬‬
‫העתקת האפס‪5........................................‬‬
‫ו‬
‫וקטור עצמי‪16..........................................‬‬
‫ט‬
‫טרנספורמציות לינארית‪1...........................‬‬
‫מ‬
‫מלכסנת‪15..............................................‬‬
‫ע‬
‫ערך עצמי‪16............................................‬‬
‫פ‬
‫פונקציה‪..................................................‬‬
‫הולכות‪2..............................................‬‬
‫העתקה לינארית ‪2.................................‬‬
‫ת‬
‫תמונה‪6...................................................‬‬
‫תמונה של צירוף לינארי‪4...........................‬‬
‫‪22‬‬