שיעור – נושאים חישוביים בתורת המשחקים 10

‫סיכום קורס מוקלד ע"י גרבר ערן‪.‬‬
‫סיכומים אלו הן של ההרצאות של מיכל פלדמן‪.‬‬
‫כל אשר בוחר להשתמש בהרצאות אלו עושה זאת על דעת עצמו‪.‬‬
‫לכל טעות בסיכום (או כל נושא אחר) ניתן לפנות למייל‪:‬‬
‫‪garber.eran@gmail.com‬‬
‫נושאים חישוביים בתורת המשחקים – שיעור ‪10‬‬
‫תיאוריה של בחירה חברתית‪:‬‬
‫המודל‪:‬‬
‫| |‬
‫‪ :A‬קבוצה של אלטרנטיבות (מועמדים)‬
‫| |‬
‫‪ :I‬קבוצה של בוחרים‪.‬‬
‫‪ :L‬קבוצת הסדרים הליניאריים על ‪.A‬‬
‫‪ :‬פונקציית רווחה חברתית‪.‬‬
‫הפונקציה‬
‫‪ :‬פונקציית בחירה חברתית‪.‬‬
‫הפונקציה‬
‫דוגמאות לכללי בחירה‪:‬‬
‫‪ .1‬החזר את המועמד שדורג ראשון ע"י רוב הבוחרים‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫‪ 52% ‬מהבוחרים הצביעו‬
‫‪ 52% ‬מהבוחרים הצביעו‬
‫‪ 04% ‬מהבוחרים הצביעו‬
‫לפי כלל זה ‪ c‬יבחר‪ ,‬למרות ש ש‪ 04%-‬מעדיפים את ‪ b‬על ‪,c‬‬
‫אבל ‪ 02%‬מעדיפים את ‪ a‬על ‪.b‬‬
‫מנגד יותר מ‪ 04%‬מעדיפים את ‪ c‬על ‪a‬‬
‫(וחוזרים להעדפה של ‪ b‬על ‪)...c‬‬
‫‪ .5‬כלל בורדה‪:‬‬
‫כל בוחר שמדרג את המועמד ‪ a‬במקום ‪ ,i‬המועמד ‪ a‬יקבל ‪ m-i‬נקודות‪.‬‬
‫המועמד בעל מספר הנקודות הגבוה ביותר זוכה‪.‬‬
‫לדוגמא‪:‬‬
‫‪ ‬הדירוג של בוחר ‪:1‬‬
‫‪ ‬הדירוג של בוחר ‪:5‬‬
‫בוחר ‪ 1‬נתן את הניקוד הבא‪:‬‬
‫ל‪ 5 a-‬נקודות \ ל‪ b-‬נקודה אחת \ ל‪ c-‬אפס נקודות‪.‬‬
‫בוחר ‪ 5‬נתן את הניקוד הבא‪:‬‬
‫ל‪ a-‬אפס נקודות \ ל‪ 5 b-‬נקודות \ ל‪ c-‬נקודה אחת‪.‬‬
‫ומקבלים כי הזוכה הוא ‪ b‬שלו ‪ 5‬נקודות‪.‬‬
‫הגדרה‪ :‬אי‪-‬תלות באלטרנטיבות לא רלוונטיות – ‪IIA‬‬
‫‪ F‬מקיימת ‪ IIA‬אם העדפה בין ‪ a‬ו‪ b-‬נקבעת על סמך העדפות הבוחרים בין ‪ a‬ל‪.b-‬‬
‫סימון‪:‬‬
‫( הינו דירוג האלטרנטיבות של השחקן ה‪)i-‬‬
‫ולכל‬
‫הסבר – לכל‬
‫אם לכל ‪i‬‬
‫תכונת פה אחד – ‪:Unanimity‬‬
‫אם כל הבוחרים נתנו את אותו הסדר‪ ,‬נרצה שכלל הבחירה יחזיר סדר זה‪.‬‬
‫הסדר שכל הבוחרים דירגו בו את האלטרנטיבות אז‬
‫כלומר‪ ,‬עבור‬
‫תכונת הפרטו‪:Pareto-‬‬
‫אז‬
‫אם לכל ‪i‬‬
‫למה‪:‬‬
‫תחת ‪.Unanimity Pareto IIA‬‬
‫הוכחה (בנפנוף ידיים)‪:‬‬
‫נניח שכל הבוחרים דרגו את ‪ a‬מעל ‪.b‬‬
‫נעביר את ‪ a‬ו‪ b-‬למעלה הבחירה ושאר ומשאר הבחירות נתעלם‪.‬‬
‫(* הן שאר הבחירות)‬
‫מתכונת ה‪ Unanimity-‬נקבל את הסדר‬
‫‪( .‬לא ברור לי לגמרי למה זה נכון)‬
‫מ‪ IIA-‬נקבל כי‬
‫דיקטטורה (הגדרה)‪:‬‬
‫‪ F‬מקיימת דיקטטורה אם קיים ‪ ,i‬כך שלכל‬
‫מתקיים‬
‫משפט ‪:Arrow‬‬
‫| | כל פר"ח (פונקציית רווחה חברתית) שמקיימת ‪ IIA+Unanimity‬היא דיקטטורה‪.‬‬
‫עבור‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫למת הניטרליות בזוגות‪:‬‬
‫ו‪-‬‬
‫כל‬
‫אזי‬
‫כך שלכל ‪i‬‬
‫הוכחת הלמה (בנפנוף)‪:‬‬
‫נבצע הצבות מחדש בהעדפות כך ש ‪ c‬תמיד מעל ‪ a‬ו‪ d-‬תמיד מתחת ל‪ b-‬ונתעלם משאר האלטרנטיבות‪.‬‬
‫או‬
‫נקבל כי קיימים שני סדרים אפשריים בין הארבעה‪:‬‬
‫ולכן‬
‫מותר שיהיה שוויון יחיד בין האיברים‪ ,‬כך שיהיו לנו לכל הפחות ‪ 5‬אלטרנטיבות שונות‪.‬‬
‫הוכחת משפט ‪:Arrow‬‬
‫נתייחס ל‬
‫נגדיר פרופיל ‪:‬‬
‫לכל‬
‫עבור‬
‫עבור‬
‫ולכן קיים כך שמתקיים‪:‬‬
‫(‬
‫)‬
‫)‬
‫(‬
‫הוא דיקטטור‪.‬‬
‫טענה‪:‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫תהי אלטרנטיבה‬
‫נשנה את מיקום ‪ e‬הסידורי האלטרנטיבות השונים של השחקנים כך‪:‬‬
‫ידורג ראשון‪.‬‬
‫לכל סידור ‪ 1‬עד‬
‫ידורג בין ‪ c‬ל‪d-‬‬
‫לסידור‬
‫עד ‪ ,n‬ידורג אחרון‪.‬‬
‫לשאר הסידורים‬
‫לכל ‪ i‬היחס בין ‪ e‬ו‪ c-‬שקול ליחס בין ‪ a‬ל‪ b-‬בפרופיל‬
‫לכל ‪ i‬היחס בין ‪ e‬ו‪ d-‬שקול ליחס בין ‪ b‬ל‪ a-‬בפרופיל‬
‫וקיבלנו שאם‬
‫ומלמת הניטרליות בזוגות‬
‫ומלמת הניטרליות בזוגות‬
‫מעדיף את ‪ c‬על ‪ d‬אז תמיד ‪ c‬יועדף על ‪.d‬‬
‫סיום הוכחת משפט ‪ – Arrow‬מהטענה נובע כי פונקציית הרווחה החברתית שלנו היא דיקטטורה‪.‬‬
‫חסינות בפני מניפולציה‪:‬‬
‫פב"ח (פונקציית בחירה חברתית) ניתנת למניפולציה אסטרטגית ע"י בוחר ‪ i‬אם קיימים‬
‫שמתקיים‪:‬‬
‫כתכונת הכנות‪:‬‬
‫פב"ח היא כנה אם היא לא ניתנת למניפולציה אסטרטגית‪.‬‬
‫משפט‪:‬‬
‫תהי ‪ f‬פב"ח כנה על‬
‫| | אזי ‪ f‬דיקטטורה‪.‬‬
‫וקיים‬
‫כך‬