אלגברה לינארית 1

‫אלגברה לינארית ‪I‬‬
‫אור דגמי ־ ‪or@digmi.org‬‬
‫‪ 7‬בפברואר ‪2012‬‬
‫תקציר‬
‫אתר אינטרנט‪http://digmi.org/ :‬‬
‫סיכומים החל ממטריצות של הקורס אלגברה לינארית ‪ 1‬משנת הלימודים ‪.2011‬‬
‫המרצה‪ :‬פרופסור ענר שלו‪.‬‬
‫‪20/12/2010‬‬
‫חלק ‪I‬‬
‫מטריצות‬
‫טענה ‪ 0.1‬תהיינה ‪ A, B‬מטריצות כך ש ‪ AB‬מוגדרת אז })‪.r (A · B) ≤ min {r (A) , r (B‬‬
‫הוכחה‪ :‬נובע מהטענה עבור העתקות כי דרגת העתקה = דרגת המטריצה המתאימה לה‬
‫)בבסיסים כלשהם(‪ .‬טענה זו היא חצי ממשפט סילבסטר‬
‫טענה ‪ (1 0.2‬למטריצות שקולות אותה דרגה )‪ r (P AQ) = r (A‬כש־‪ P, Q‬הן רגולריות‬
‫)הפיכות(‪.‬‬
‫‬
‫‪ (2‬למטריצות דומות אותה דרגה )‪ P ) r P −1 AP = r (A‬רגולרית(‬
‫הוכחה‪ (2) :‬נובע מ־)‪ (1‬ולכן מספיק להוכיח את )‪) (1‬מטריצות דומות הן שקולות(‪.‬‬
‫ע״י תרגום להעתקות מספיק להוכיח ) ‪ .r (RT S) = r (T‬כש־‪ R, S‬העתקות הפיכות‪.‬‬
‫‪ S‬היא חח״ע ועל‪ .‬בעבר ראינו כי עצם היותה על גורר) ‪ .r (T S) = r (T‬כמו כן ‪R‬גם‬
‫היא חח״ע ועל‪ ,‬מהיותה חח״ע נגרר‪r (RT ′ ) = r (T ′ ) :‬‬
‫נציב ‪ T ′ = T S‬ונקבל‪ r (RT S) = r (T S) = r (T ) :‬כנדרש‪.‬‬
‫דוגמה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ,‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪B = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪r (B) = 2‬‬
‫‪1 0‬‬
‫‪A = 0 0‬‬
‫‪0 0‬‬
‫‪r (A) = 1,‬‬
‫ולכן ‪ A, B‬אינן שקולות‪ .‬מדרגות שונות‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫חלק ‪II‬‬
‫משוואות לינאריות‬
‫נרצה לחקור פתרונות של מערכת משוואות לינאריות במספר נעלמים ‪x1 , . . . , xn‬‬
‫‪= b1‬‬
‫‪a1,1 x1 + a1,2 x2 + . . . + a1,n xn‬‬
‫‪a2,1 x1 + a2,2 x2 + . . . + a2,n xn = b2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪am,1 x1 + am,2 x2 + . . . + am,n xn = bm‬‬
‫המקדמים ‪ F ∋ ai,j , bi‬שדה נתון‪.‬‬
‫מטרות‬
‫‪ .1‬מתי יש פתרון?‬
‫‪ .2‬מתי הפתרון יחיד?‬
‫‪ .3‬איך נראה מרחב הפתרונות?‬
‫‪ .4‬איך פותרים את המערכת משוואות? אלגוריתם למציאת פתרון ‪ /‬כל הפתרונות?‬
‫‪n‬‬
‫‪m‬‬
‫נגדיר את המטריצה ‪.Mm×n (F) ∋ A = (ai,j )i=1, j=1‬‬
‫נגדיר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪ . ‬‬
‫∼ )‪(Mn×1 (F‬‬
‫‪=) Fn ∋ x =  .. ‬‬
‫‪xn‬‬
‫וכמו כן‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪∋ b =  ... ‬‬
‫‪Fm‬‬
‫‪bm‬‬
‫ניתן לכתיבה כ‪:‬‬
‫‪Ax = b‬‬
‫המטריצה המצומצמת של המערכת הנ״ל מוגדרת כ־ ‪ ,A‬והמטריצה המורחבת מוגדרת כ‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪bm‬‬
‫‪. . . a1,n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. . . am,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪ ..‬‬
‫∗‬
‫‪A = .‬‬
‫‪am,1‬‬
‫כלומר‪ ,‬מוסיפים את ‪ b‬כעמודה אחרונה אחרי עמודות ‪.A‬‬
‫‪2‬‬
‫מערכת הומוגנית‬
‫הגדרה ‪ 0.3‬כאשר ‪) b = 0‬כלומר‪ bi = 0 :‬לכל ‪ (i‬נאשר שהמערכת ‪ Ax = b‬היא מערכת‬
‫הומוגנית‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.4‬למערכת הומוגנית תמיד יש פתרון ‪ xi = 0‬לכל ‪ i‬־ נקרא לו הפתרון הטריויאלי‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.5‬אוסף כל הפתרונות של מערכת הומוגנית נתונה הוא תת־מרחב של ‪.Fn‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן את מרחב הפתרונות ב־ ‪.Fn ⊇ P‬‬
‫‪c·x∈ P‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪Fn ∋ x =  ...  ∈ P ⇒ F ∋ c,‬‬
‫‪xn‬‬
‫‪A (cx) = c · Ax = c · 0 = 0‬‬
‫)כפל מטריצה בוקטור היא העתקה לינארית(‬
‫באופן דומה‪ P ∋ x, y :‬אזי‪:‬‬
‫‪A (x + y) = A · x + A · y = 0 + 0 = 0‬‬
‫למעשה‪ :‬נסמן ב ‪ T‬את העתקה הלינארית שמייצגת המטריצה ‪ A‬ונקבל כי‪:‬‬
‫‪P = ker T‬‬
‫והרי ‪ ker T‬הוא תת מרחב של ‪ Fn‬כנדרש‪.‬‬
‫שאלות‬
‫‪ .1‬מהו ‪?dim P‬‬
‫‪ .2‬איך אפשר למצוא לו בסיס )למרחב הפתרונות(? )כלומר שהפתרונות יהיו צרוף לינארי‬
‫של אברי הבסיס(‬
‫הגדרה ‪ 0.6‬מימד מרחב המשוואות מוגדר כדרגת השורות של המטריצה ‪ = A‬דרגת העמודות‬
‫= )‪.r (A‬‬
‫משפט ‪ ,dim P+r (A) = n 0.7‬כלומר‪ :‬מימד מרחב הפתרונות שווה למספר הנעלמים פחות‬
‫מימד מרחב המשוואות )דרגת המשוואות(‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו ‪ T : V → W‬לינארית אז‪:‬‬
‫‪(dim ImT‬‬
‫אצלנו ‪ = T‬העתקה ‪ T : Fn → Fm‬כך ש‪ T (x) = A · x :‬אז‪:‬‬
‫‪r (T ) =) dim ker T + r (T ) = dim V‬‬
‫‪ker T = {x ∈ Fn |A · x = 0} = P‬‬
‫‪3‬‬
‫‪ V = Fn ⇒ dim V = n‬ובנוסף‪ r (T ) = r (A) :‬ולכן‪,‬נציב במשוואה מתחילת ההוכחה‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪dim P + r (A) = n‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 0.8‬בהניתן ‪ m‬משוואות הומוגניות ב־‪ n‬נעלמים אזי ‪dim P ≥ n − m‬‬
‫הוכחה‪ m ≥ r (A) ⇐ Mm×n ∋ A :‬ולכן ‪ dim P = n − r (A) ≥ n − m‬כנדרש‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 0.9‬תחת ההנחות של המסקנה הקודמת‪ ⇐⇒ dim P = n − m .‬המשוואות )שורות‬
‫‪ (A‬בת״ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון ש )‪dim P = n − m ⇒ m = r (A‬כלומר ישנם ‪ m‬משוואות בת״ל‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 0.10‬אם ‪ n > m‬אז יש פתרון לא טרויואלי )=‪ (0 6‬מס׳ המשוואות > מס׳ הנעלמים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬כיוון שנקבל ‪ dim P ≥ n − m ≥ 1‬ולכן ‪ {0} 6= P‬וזאת אומרת יש פתרון‬
‫‪.P ∋ x 6= 0‬‬
‫מסקנה ‪ 0.11‬נניח ‪ .n = m‬כלומר‪ ,‬אותו מס׳ משוואות ונעלמים אז פתרון ה‪ 0‬הוא הפתרון‬
‫היחיד ⇒⇐ המשוואות )שורות ‪ (A‬בת״ל )נובע מ‪ 2‬מסקנות למעלה(‪.‬‬
‫שיטת גאוס‬
‫הגדרה ‪ 0.12‬מערכות משוואות בנעלמים ‪ x1 , . . . , xn‬תקראנה שקולות אם יש להן אותו‬
‫מרחב פתרונות‪.‬‬
‫סימון‬
‫‪ Fn ∋ λ‬ייחשב כמשוואה אם ‪ x ∈ Fn‬נגדיר‪λi xi :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪) λ‬זה יוצא כפל סקלרי בין וקטורים(‪.‬‬
‫תכונות ההצבה‬
‫‪(λ, c · x) = x (λ, x) .1‬‬
‫‪(λ, x + y) = (λ, x) + (λ, y) .2‬‬
‫‪(cλ, x) = c (λ, x) .3‬‬
‫‪(λ1 + λ2 , x) = (λ1 , x) + (λ2 , x) .4‬‬
‫‪4‬‬
‫= )‪ (λ, x‬־ הצבת וקטור במשוואה‬
‫ומכאן נגזר באופן מיידי‪ci (λi , x) :‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫נתונה מערכת משוואות‪:‬‬
‫=‬
‫!‬
‫‪ci λi , x‬‬
‫‪k‬‬
‫‪X‬‬
‫‪.‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪λ1 = 0‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪λm = 0‬‬
‫יהי ‪ Λ‬תת מרחב של ‪ Fn‬שנפרש ע״י ‪.λ1 , . . . , λm‬‬
‫) ‪Λ = Sp (λ1 , . . . , λm‬‬
‫)שווה למרחב השורות של ‪(A‬‬
‫טענה ‪ 0.13‬יהי ‪P‬מרחב הפתרונות של ‪ λ1 = . . . = λm = 0‬אז ‪ P‬מרחב הפתרונות של‬
‫}‪{λ = 0|λ ∈ Λ‬‬
‫‪ ∀Λ ∋ λ‬מקיים ‪ (λi , x) = 0‬לכל‬
‫הוכחה‪ λ1 , . . . , λm ∈ Λ :‬ולכן כל פתרון ‪ x‬של ‪λ = 0‬‬
‫‪i = 1...m‬‬
‫להפך‪ ,‬יהי ‪ x‬פתרון של ‪ λ1 = . . . = λm = 0‬ז״א ‪ (λi , x) = 0‬לכל ‪.i = 1 . . . m‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫תהי ‪ λ ∈ Λ‬אז ‪ci λi = λ‬‬
‫‪ F ∋ ci‬ולכן‪:‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪ci · 0 = 0‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪ci (λi , x‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫‪i=1‬‬
‫=‬
‫!‬
‫‪ci λi , x‬‬
‫‪m‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪(λ, x‬‬
‫‪i=1‬‬
‫טענה ‪ 0.14‬יהיו ‪ λ1 = . . . = λm = 0‬מערכת משוואת ו־ ‪ δ1 = . . . = δl‬עוד מערכת‬
‫משוואות‪ .‬נניח‪) Sp (λ1 , . . . , λm ) = Sp (δ1 , . . . , δl ) :‬ז״א אותו מרחב משוואות( אז לשתי‬
‫המערכות הנ״ל בדיוק אותם פתרונות‪ .‬כלומר ־ הן שקולות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן ‪∆ = Sp (δ1 , . . . , δl ) = Sp (λ1 , . . . , λm ) = Λ‬‬
‫יהי ‪ P‬מרחב הפתרונות של ‪ λ1 = . . . = λm = 0‬ויהי ‪ Q‬מרחב הפתרונות של = ‪δ1‬‬
‫‪ .. . . = δl = 0‬אז מטענה קודמת ‪=P‬מרחב הפתרונות של }‪ ={λ = 0|λ ∈ Λ‬מרחב‬
‫הפתרונות של }∆ ∈ ‪Q = {δ = 0|δ‬‬
‫פעולות אלמנטריות‬
‫‪ V‬מרחב וקטורי )למשל ‪ .(Fn‬נגדיר פעולות על ‪ V ∋ λ1 , . . . , λm‬שלא משנות את המרחב‬
‫הנפרש‪ .‬מטרה‪ :‬פישוט מערכת משוואות מסובכת‪.‬‬
‫‪ .1‬החלפת ‪ λi‬ו־ ‪ λj‬כאשר ‪i 6= j‬‬
‫) ‪Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λm ) = Sp (λ1 , . . . , λj , . . . , λi , . . . , λm‬‬
‫‪5‬‬
‫‪ .2‬החלפת ‪λi‬ב ‪ cλi‬כאשר ‪F ∋ c 6= 0‬‬
‫) ‪Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λm ) = Sp (λ1 , . . . , cλi , . . . , λm‬‬
‫‪ .3‬הוספת ‪ cλi‬ל־ ‪:λj‬‬
‫) ‪Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λm ) = Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj + cλi , . . . , λm‬‬
‫ה־ ‪ Sp‬לא השתנה כי מספיק להוכיח ש } ‪ {λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λm‬ממוכלים ב‬
‫) ‪ Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj + cλi , . . . , λm‬וש } ‪{λ1 , . . . , λi , . . . , λj + cλi , . . . , λm‬‬
‫מוכלים ב ) ‪ .Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj , . . . , λm‬ברור שכל ∋ ) ‪Sp (λ1 , . . . , λi , . . . , λj + cλi , . . . , λm‬‬
‫‪ λk‬כאשר ‪ .λj = (λj + cλi ) + (−c) λi .k 6= j‬וכיוון שני הוא ברור‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 0.15‬פעולות אלמנטריות כנ״ל על מערכת משוואות הומוגניות לא משנות את מרחב‬
‫המשוואות‪.‬‬
‫‪22/12/2010‬‬
‫דוגמאות‬
‫דוגמה ‪1‬‬
‫(‬
‫‪x1 + x2 + x3 + x4 = 0‬‬
‫‪2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 = 0‬‬
‫‪r=1‬‬
‫‪m=2‬‬
‫‪n=4‬‬
‫‪ r = 1‬כיוון ששתי המשוואות תלויות לינארית‪.‬‬
‫ולכן מימד הפתרונות הוא‪:‬‬
‫‪dim P = n − r = 4 − 1 = 3‬‬
‫בסיס למרחב הפתרונות‬
‫‪x1 = −x2 − x3 − x4‬‬
‫‪ x2 , x3 , x4‬פרמטרים חופשיים‪ x1 .‬נקבע על ידם‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪β‬‬
‫= )‪(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (−1, 0, 0, 1‬‬
‫= )‪(−1, 0, 1, 0‬‬
‫‪γ‬‬
‫= )‪(−1, 1, 0, 0‬‬
‫ולכן נקבל‪:‬‬
‫)‪P = Sp (α, β, γ‬‬
‫‪6‬‬
‫דוגמה ‪2‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪x1 + x2 + x3‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪x2 + x3‬‬
‫‪x3‬‬
‫‪n=m=3 r=3‬‬
‫}‪dim P = 3 − 3 = 0 ⇒ P = {0‬‬
‫המשך שיטת החילוץ של גאוס‬
‫נזכר‪ :‬פעולות אלמנטריות על המשוואות שלא משנות את מרחב הפתרונות‪:‬‬
‫‪ .1‬החלפת משוואות ‪ i‬ו־‪ j‬זו בזו‬
‫‪ .2‬כפל משוואה בסקלר ‪c 6= 0‬‬
‫‪ .3‬הוספת משוואה ‪ i‬כפול סקלר ‪ c‬למשוואה ‪j‬‬
‫שיטת החילוץ של גאוס‪:‬‬
‫‪ .1‬ביצוע פעולות אלמנטריות עד שמגיעים למערכת בצורת מדרגות‬
‫‪ .2‬פתרון המערכת בצורת מדרגות‬
‫‪ ‬‬
‫‪‬‬
‫‪a x + . . . + a1,n xn = 0‬‬
‫‪. . . a1,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1,1 1‬‬
‫‪..  = ..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪a x + . . . + a x = 0‬‬
‫‪. . . am,n‬‬
‫‪m,1 1‬‬
‫‪m,n n‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪A= .‬‬
‫‪am,1‬‬
‫נתבונן בעמודה הראשונה של ‪ A‬אשר שונה מאפס‪ .‬נניח שזו עמודה ‪ k‬אז ‪ ai,k 6= 0‬לאיזה ‪i‬‬
‫ונחליף את שורה ‪ i‬עם שורה ‪ 1‬במטריצה ‪.A‬‬
‫נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪ai,k‬‬
‫‪ 0 6= c = a−1‬ונקבל‪:‬‬
‫נכפיל את שורה ‪ 1‬ב ‪i,k‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ... 0‬‬
‫‪ .. . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪′‬‬
‫‪A = .‬‬
‫‪. ..‬‬
‫‪0 ... 0‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 ...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0 ... 0‬‬
‫‪ .. . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪′′‬‬
‫‪A = .‬‬
‫‪. ..‬‬
‫‪0 ... 0‬‬
‫)אם כבר ‪ a1,k 6= 0‬לא מחליפים שורות(‬
‫נוסיף כפולות של שורה ‪ 1‬של ‪ A′′‬לשורות ‪ 2, . . . , m‬של ‪ A′‬כך שגם במקום ה־‪ k‬בהן‬
‫יהיה ‪.0‬‬
‫כלומר‪ :‬נאפס את האברים מתחת ל־‪ 1‬אשר נמצא בושרה הראשונה ונקבל עמודה‬
‫‪k‬מהצורה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪... 0 1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪.. ..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪... 0 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪= .‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A′′′‬‬
‫)אם ‪ A = 0‬אי אפשר לבצע כלום אבלאז ‪ P = Fn‬והכל פתור(‪.‬‬
‫כעת נגדיר את המטריצה )‪ B(m−1)×(n−k‬כתת מטריצה של ‪ A‬המתחילה משורה ‪2‬‬
‫ועמודה ‪ k + 1‬עד סוף המטריצה‪ .‬נחזור על הפעולות עבור ‪ B‬עד כשאר נקבל מטריצת‬
‫אפסים או מטריצה של אפס על אפס‪.‬‬
‫בסופו של דבר נקבלמאריצה בצורת מדרגות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪kr‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪k1‬‬
‫‪k2 k3‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 ... ... ...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1 ...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪... ... ... ... ...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0 ... ... ... ... ... ... ... ...‬‬
‫המתאימה למשוואות‪:‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪xk1 + . . .‬‬
‫= ‪xk2 + . . .‬‬
‫‪0‬‬
‫= ‪xkr + . . .‬‬
‫קל לראות ש־‪ r‬השורות הראשונות במטריצה ‪ D‬הן בת״ל ושאר השורות הן אפסים‪.‬‬
‫לכן ‪ r (D) = r‬אבל ידוע ש )‪r (A) = r (D‬לכן ‪ r (A) = r‬כי יש להן אותו מרחב‬
‫שורות‪ .‬ולכן מצאנו את‪:‬‬
‫‪dim P = n − r‬‬
‫‪8‬‬
‫דוגמה‬
‫‪‬‬
‫‪3 1 4‬‬
‫‪4 2 3‬‬
‫‪1 −1 6‬‬
‫נוסיף לשורה ‪ 2‬את שורה ‪ (−5) × 1‬נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A= 5‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A′ =  0 −11 −3 −17‬‬
‫‪−7‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1‬‬
‫‪6‬‬
‫נוסיף לשורה ‪ 3‬את שורה ‪ 7× 1‬נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪A′′ = 0 −11 −3 −17‬‬
‫‪0 22‬‬
‫‪6‬‬
‫‪34‬‬
‫נוסיף לשורה ‪ 3‬את שורה ‪ 2× 2‬נקבל‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪4‬‬
‫‪−11 −3 −17‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫ולכן‪:‬‬
‫‪dim P = n − r = 4 − 2 = 2‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A′′′‬‬
‫‪r (A) = r (A′′′ ) = 2‬‬
‫‪x1 + 3x2 + x3 + 4x4‬‬
‫‪−11x2 − 3x3 − 17x4‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪17‬‬
‫‪3‬‬
‫‪x3 − x4‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪= −3x2 − x3 − 4x4‬‬
‫‪= −‬‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪ x3 , x4‬פרמטרים חופשיים‪ .‬למשל ‪ x3 = s, x4 = t‬והם קובעבים ביחידות את ‪.x1 , x2‬‬
‫‪17‬‬
‫‪3‬‬
‫‪s− t‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪17‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪−3 − s − t − s − 4t = − s + t‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪−‬‬
‫ולכן מרחב הפתרונות הוא‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫=‬
‫‪x2‬‬
‫=‬
‫‪x1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪3‬‬
‫‪17‬‬
‫=‪P‬‬
‫‪− s + t − s − t, s, t : s, t ∈ F‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫‪11‬‬
‫בסיס ל־‪ :P‬נבחר וקטורי יחידה ל )‪:(s, t‬‬
‫})‪P = Sp {(−2, −3, 11, 0) , (7, −17, 0, 11‬‬
‫סידור המטריצה‬
‫פתרון מערכת בצורת מדרגות‪ :‬נשנה את סדרת המשתנים כך ש = ‪k1 = 1, k2 = 2, . . . , kr‬‬
‫‪) r‬החלפת עמודות במטריצה( והמטריצה החדשה תראה כך‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪. . .‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪a3,4‬‬
‫‪1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪a2,3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a1,2‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪A = 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪0‬‬
‫טענה ‪ 0.16‬לכל קביעה של ‪ xr+1 , . . . , xn‬שאר הנעלמים ‪ x1 , . . . , xr‬נקבעים ביחידות‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪xr + ar,r+1 · xr+1 + . . . + ar,n · xn = 0 ⇒ xr = −ar,r+1 · xr+1 − . . . − ar,n · xn‬‬
‫לכן כל הצבה בפרמטרים החופשיים ‪ xr+1 , . . . , xn‬קובעת את ‪ .xr‬באופן דומה‪:‬‬
‫‪xr−1 = −ar−1,r · xr − . . . − ar−1,n · xn‬‬
‫והרי ‪ xr‬קבע נקבע ביחידות‪ ,‬ולכן גם ‪ xr−1‬נקבע ביחידות‪ .‬נמשיך ברקורסיה ובכל שלב‬
‫נקבע משתנה נוסף ‪ (i ≤ r) xi‬עד שמגיעים ל־ ‪ .x1‬ולכן ‪ x1 , . . . , xr‬נקבעים ביחידות לפי‬
‫קביעה של הנעלמים ‪ xr+1 , . . . , xn‬כנדרש‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪0 1‬‬
‫הפרמטרים החופשיים הם‪ x4 , x5 , x6 :‬ונראה כי‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪−x4 − x5 − x6‬‬
‫=‬
‫‪x3‬‬
‫‪−x3 − x4 − x5 − x6 = 0‬‬
‫‪−x2 − x3 − x4 − x5 − x6 = 0‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪x2‬‬
‫‪x1‬‬
‫בדוגמה זו מרחב הפתרונות הוא‪:‬‬
‫}‪P = {(0, 0, −a − b − c, a, b, c) : a, b, c ∈ F‬‬
‫בסיס ל‪ P‬הוא‪:‬‬
‫)‪(0, 0, −1, 1, 0, 0‬‬
‫)‪(0, 0, −1, 0, 1, 0‬‬
‫= ‪α‬‬
‫= ‪β‬‬
‫)‪(0, 0, −1, 0, 0, 1‬‬
‫=‬
‫‪γ‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫}‪P = Sp {α, β, γ‬‬
‫במקרה הכללי בסיס למרחב הפתרונות יתקבל ע״י הצגת וקטורי היחידה ב‪(xr+1 , xr+2 , xn ) :‬‬
‫‪αr+1‬‬
‫‪αr+2‬‬
‫= )‪(∗, . . . , ∗, 1, 0, . . . , 0‬‬
‫= )‪(∗, . . . , ∗, 0, 1, . . . , 0‬‬
‫‪αn‬‬
‫= )‪(∗, . . . , ∗, 0, 0, . . . , 1‬‬
‫ואז‪:‬‬
‫) ‪P = Sp (αr+1 , . . . , αn‬‬
‫‪27/12/2010‬‬
‫חלק ‪III‬‬
‫משוואות לא הומוגניות‬
‫‪Ax = b‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪x1‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫כאשר )‪ A ∈ Mm×n (F‬ו‪ x =  . ‬וגם ‪.b =  . ‬‬
‫‪bm‬‬
‫‪xn‬‬
‫בניגוד למקרה ההומוגני‪ ,‬לא בהכרח קיים פתרון‪.‬‬
‫‪11‬‬
‫דוגמה עבור המערכת משוואות‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪x1 + 2x2‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪2x1 + 4x2‬‬
‫אין פתרון‪.‬‬
‫שאלה מתי יש פתרון?‬
‫שאלה מהו מבנה מרחב הפתרונות?‬
‫הערה ‪ 0.17‬אוסף הפתרונות למערכת לא הומוגנית אינו תת מרחב של ‪.Fn‬‬
‫יהיו ‪ Fn ∋ α1 , α2‬פתרונות למערכת המשוואות )‪ .A ∈ Mm×n (F‬דהיינו‪Aα1 = :‬‬
‫‪ .b, Aα2 = b‬נראה כי ‪ α1 + α2‬אינו פתרון‪:‬‬
‫‪A (α1 + α2 ) = Aα1 + Aα2 = b + b = 2 · b 6= b‬‬
‫ולכן ראינו כי אוסף הפתרונות אינו סגור לחיבור‪.‬‬
‫כמו כן‪ 0 ,‬אינו פתרון‪ ,‬ולכן לא מרחב וקטורי‪ .‬באופן זהה ניתן להוכיח כי לא סגור‬
‫לחיבור‪.‬‬
‫מבנה מרחב הפתרונות‬
‫הגדרה ‪ 0.18‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי )תת( מרחב אפיני של ‪ V‬הוא קבוצה מהצורה ‪α + U‬‬
‫כאשר ‪ U‬תת־מרחב של ‪ V‬ו־ ‪ α ∈ V‬קבוע‪:‬‬
‫} ‪α + U = {α + u : u ∈ U‬‬
‫למעשה זו ״הזזה״ של תת מרחב )ע״י חיבור וקטור ‪(α‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪ .1‬ב־ ‪ R2‬כל ישר הוא תת מרחב אפיני‪.‬‬
‫‪a=α‬‬
‫‪U‬‬
‫‪U+a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪ .2‬כל קב׳ }‪ {α‬היא תת מרחב אפיני‪:‬‬
‫}‪{α} = α = {0‬‬
‫והרי }‪ {0‬הוא תת מרחב‪.‬‬
‫‪12‬‬
‫‪ .3‬כל תת־מרחב הוא תת מרחב אפיני‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.19‬נסמן את אוסף הפתרונות של המשוואה ההומוגנית ב‪.P = {x ∈ Fn , Ax = 0} :‬‬
‫אוסף הפתרונות של ‪ Ax = b‬הוא ‪ α + P‬כאשר ‪ α‬פתרון בודד למערכת המשוואות‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪p ∈ P‬נראה ש ‪ α + p‬פתרון ל‪.Ax = b‬‬
‫‪A (α + p) = Aα + Ap = Aα + 0 = b‬‬
‫נראה שכל פתרון ‪γ‬ל ‪ Ax = b‬שייך ל ‪:α + P‬‬
‫)‪γ = α + (γ − α‬‬
‫נראה ש ‪:P ∋ γ − α‬‬
‫‪A (γ − α) = Aγ − Aα = b − b = 0‬‬
‫ולכן ‪ γ ∈ P‬כנדרש‪.‬‬
‫משפט ‪ 0.20‬אוסף הפתרונות של מערכת משוואות לינאריות הוא תת־מרחב אפיני של ‪ Fn‬או‬
‫∅‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נתבונן במערכת ‪ .Ax = b‬אם אין פתרון אז אוסף הפתרונות הוא ∅ כנדרש‪.‬‬
‫אחרת‪ ,‬יהיה ‪ α‬פתרון‪ ,‬דהיינו‪ .Aα = b :‬נתבונן במערכת ההומוגנית ‪ Ax = 0‬יהי‬
‫‪P‬מרחב הפתרונות שלה‪ .‬לפי טענה קודמת ראינו כי כלל הפתרונות של מערכת המשוואות‬
‫הם‪:‬‬
‫}‪{α + p : p ∈ P‬‬
‫כאשר ‪ α‬קבוע‪ .‬כמו כן‪ ,‬בעבר ראינו כי ‪ P‬תת־מרחב‪ .‬ולכן אוסף הפתרונות הוא תת מרחב‬
‫אפיני כנדרש‪.‬‬
‫מסקנה ‪ 0.21‬אם ‪ α1 , α2‬פתרונות ל ‪ Ax = b‬אז‪:‬‬
‫‪α1 + P = α2 + P‬‬
‫וגם ‪ .P ∋ α1 − α2‬נובע ישירות מההוכחה‪.‬‬
‫דוגמה‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫עבור ‪ Ax = 0‬הפתרונות הם‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪A = 0 1‬‬
‫‪0 0‬‬
‫})‪P = {(0, 0, −1, 1, 0, 0) , (0, 0, −1, 0, 1, 0) , (0, 0, −1, 0, 0, 1‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫עבור ‪ b = 1‬ו‪ Ax = b :‬די למצוא פתרון אחד‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪(0, 0, 0, 0, 0, 1‬‬
‫‪13‬‬
‫ולכן אוסף הפתרונות של ‪ Ax = b‬הוא‪(λ1 , λ2 , λ3 ∈ F) :‬‬
‫‪(0, 0, 0, 0, 0, 1) + P = (0, 0, 0, 0, 0, 1) + λ1 (0, 0, −1, 1, 0, 0) +‬‬
‫= )‪λ2 (0, 0, −1, 0, 1, 0) + λ3 (0, 0, −1, 0, 0, 1‬‬
‫)‪(0, 0, −λ1 − λ2 − λ3 , λ1 , λ2 , λ3 + 1‬‬
‫פתרונות ‪ Pb‬הם הפתרונות המקיימים‪ .Ax = b :‬לכל ‪ α ∈ Pb‬מתקיים‪:‬‬
‫‪Pb = α + P0‬‬
‫כאשר ‪ P0‬זה מרחב הפתרונות ההומוגנים‪ ,‬כלומר תת מרחב ממימד )‪.n − r (A‬‬
‫קיום פתרון‬
‫תזכורת ∗‪ = A‬המטריצה המורחבת‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪| b1‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪| .. ‬‬
‫‪| bm‬‬
‫‪. . . a1,n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. . . am,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪A = .‬‬
‫‪am,1‬‬
‫∗‬
‫משפט ‪ 0.22‬למערכת ‪ Ax = b‬יש פתרון אם ורק אם ) ∗‪r (A) = r (A‬‬
‫הוכחה‪ :‬נסמן את עמודות ‪ A‬ב־ ‪ ,α1 , . . . , αn‬אזי עמודות ∗‪ A‬הן‪ .α1 , . . . , αn , b :‬תחילה‬
‫ננית שיש למערכת פתרון ‪ .γ‬כלומר‪:‬‬
‫‪γ = (c1 , . . . , cn ) ∈ Fn‬‬
‫אז ‪ Aγ = b‬וזה אומר ש‪:‬‬
‫‪c1 α1 + c2 α2 + . . . + cn αn = b‬‬
‫והרי זה אומר ש‪ b‬הוא צרוף לינארי של הוקטורים ‪ ,α1 , . . . , αn‬כלומר‪.b ∈ Sp (α1 , . . . , αn ) :‬‬
‫אנו יודעים כי ) ‪ r (A) = dim Sp (α1 , . . . , αn‬כמו כן )‪r (A∗ ) = dim Sp (α1 , . . . , αn , b‬‬
‫אבל כבר הראנו כי ) ‪ b ∈ Sp (α1 , . . . , αn‬ולכן‪:‬‬
‫) ∗‪Sp (α1 , . . . , αn , b) = Sp (α1 , . . . , αn ) ⇒ r (A) = r (A‬‬
‫בכיוון השני‪ :‬נניח כי ) ∗‪ r (A) = r (A‬אז‪:‬‬
‫)‪dim Sp (α1 , . . . , αn ) = dim Sp (α1 , . . . , αn , b‬‬
‫ברור כי )‪ ,Sp (α1 , . . . , αn ) ⊆ Sp (α1 , . . . , αn , b‬אבל אנו גם יודעים שהם מאותו מימד‬
‫ולכן‪:‬‬
‫) ‪Sp (α1 , . . . , αn , b) = Sp (α1 , . . . , αn‬‬
‫ומכאן ברור כי ) ‪ b ∈ Sp (α1 , . . . , αn‬ולכן ‪ b‬הוא צרוך לינארי של ‪ α1 , . . . , αn‬כלומר‪:‬‬
‫‪b = c1 α1 + c2 α2 + . . . + cn αn‬‬
‫כאשר ‪ .ci ∈ F‬נסמן ‪ .γ = (c1 , . . . , cn ) ∈ Fn‬אז ‪γ‬פתרון ‪.Aγ = b‬‬
‫‪14‬‬
‫הערה ‪ 0.23‬נובע יש פתרון ל‪ ⇐⇒ Ax = b‬למרחב שורות ‪ A‬ו־ ∗‪ A‬אותו מימד‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.24‬נניח ששורות ‪ A‬בת״ל‪ ,‬אז לכל בחירה של איבר חופשי ‪ b ∈ Fn‬יש למערכת‬
‫‪ Ax = b‬פתרון‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.25‬תמיד ) ∗‪ .r (A) ≤ r (A‬מכיוון ש )‪Sp (α1 , . . . , αn ) ⊆ Sp (α1 , . . . , αn , b‬‬
‫הוכחה‪ :‬שורות ‪ A‬בת״ל ולכן ‪) r (A) = m‬מספר השורות(‪ .‬לכן דרגת העמודות של ‪ A‬היא‬
‫‪ .m‬ולכן‪ ,‬לפי הערה הנ״ל ‪ m = r (A) ≤ r (A∗ ) ≤ m‬אבל כמות השורות ב ∗‪ A‬היא כמות‬
‫השורות ב‪ ,A‬והן הרי בת״ל‪ ,‬ולכן‪ .m = r (A) = r (A∗ ) :‬ולכן מהמשפט נובע שלמערכת‬
‫משוואות ‪ Ax = b‬יש פתרון‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.26‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪ .n × n‬ויהי ‪ Fn ∋ b‬אז למערכת ‪ Ax = b‬יש פתרון יחיד ⇒⇐‬
‫שורות ‪ A‬בת״ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נניח שורות ‪ A‬בת״ל‪ .‬לפי טענה קודמת קיים פתרון ‪ .α‬ואוסף הפתרונות ‪ Pb‬מקיים‬
‫‪ .Pb = α + P0‬אבל ראינו כי‪:‬‬
‫‪dim P0 = n − r (A) ⇒ P0 = {0} ⇒ Pb = α + {0} = α‬‬
‫ולכן הפתרון יחיד‪.‬‬
‫כיוון שני‪ :‬נניח שורות ‪ A‬תלויות לינארית‪ .‬נראה שאין פתרון יחיד‪ .‬כלומר ‪ |Pb | 6= 1‬אם‬
‫∅ =‪ Pb 6‬אז ‪ |Pb | = 0‬לכן ננית שיש פתרון ‪ .α‬מתקיים ‪.Pb = α + P0‬‬
‫)‪dim P0 = n − r (A‬‬
‫במקרה שלנו ‪ r (A) < n‬ולכן ‪ dim P0 > 0‬וזה אומר }‪ .|P0 | ≥ 2 ⇐ P0 ⊃ {0‬ומכאן‪:‬‬
‫‪|Pb | = |α + P0 | = |P0 | ≥ 2‬‬
‫ואין יחידות‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫הערה ‪ 0.27‬מספר הפתרונות של ‪ Ax = b‬הוא ‪ 0‬או מספר הפתרונות ‪ Ax = 0‬כי אם יש‬
‫פתרון ‪ α‬אז‪ .|Pb | = |α + P0 | = |P0 | :‬התאמה חח״ע ועל מ ‪ P0‬ל־ ‪ α + P0‬היא‪x 7→ α + x :‬‬
‫‪29/12/2010‬‬
‫פתרון מערכת משוואות לא הומגניות‬
‫‪‬‬
‫‪b1‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪. ‬‬
‫|‬
‫|‬
‫‪| bm‬‬
‫‪. . . a1,n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. . . am,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪a1,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪Ax = b ⇒ A∗ =  ...‬‬
‫‪am,1‬‬
‫נבצע פעולות אלמנטריות על שורות המטריצה המורחבת )החלפת שורות‪ ,‬כפל שורה בסקלר‬
‫=‪ ,0 6‬תוספת כפולה של שורה אחת לשניה(‪.‬‬
‫פעולות אלה מביאות למערכת המערכת משוואות שקולה עם אותם פתרונות‪ .‬כיוון‬
‫שפעולות אלה אינן משנות את מרחב השורות‪ ,‬והרי מרחב השורות קובע את אוסף הפתרונות‬
‫)מרחב אפיני(‪) .‬זהה למקרה ההומוגני(‪.‬‬
‫נבצע את חילוץ גאוס על ∗‪ ,A‬ונקבל מטריצה מדורגת‪ .‬במידה ובמטריצה יש שורה של‬
‫‪ n‬אפסים‪ ,‬ובמקום ה‪) n + 1‬האחרונה( סקלר =‪ 0 6‬אז בהכרח אין פתרון ל ‪ .Ax = b‬אם‬
‫מצב זה אינו קורה‪ ,‬אז יש פתרון למערכת המשוואות )לא בהכרח יחיד(‪ .‬ניתן למצוא אותו‬
‫ע״י הצבת ערכים כלשהם ב‪ n − r‬הפרמטרים החופשיים ומציאת ערכי המשתנים האחרים‪.‬‬
‫‪15‬‬
‫דוגמה‬
‫נדרג את המטריצה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1 | 1‬‬
‫‪1 −1 | 0‬‬
‫‪1 −1 | 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1 | 1‬‬
‫‪1 −1 | 0‬‬
‫‪0 0 | 0‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪x1 + x2 + x3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫=‬
‫=‬
‫‪x1 + 2x2‬‬
‫‪2x1 + 3x2 + x3‬‬
‫‪‬‬
‫‪| 1‬‬
‫‪| 1‬‬
‫‪| 2‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪2 0‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪A∗ = 1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 | 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−1 | 0 −→ 0‬‬
‫‪1 | 2‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪−→ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 | 1‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪0 | 1 −→ 0 1‬‬
‫‪1 | 2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 1‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2 3‬‬
‫ולכן מערכת המשוואות היא‪:‬‬
‫‪= 1‬‬
‫‪x1 + x2 + x3‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪x2 − x3‬‬
‫‪= 0‬‬
‫‪0‬‬
‫כאשר ‪x3‬הוא פרמטר חופשי‪ .‬נקבע שרירותי ‪ x3 = s‬ואז‪:‬‬
‫‪x2 = x3 = s ⇒ x1 = x1 − 2s‬‬
‫פתרון כללי למערכת הוא‪:‬‬
‫)‪(1 − 2s, s, s‬‬
‫פתרון לדוגמה ‪:s = 0‬‬
‫)‪(1, 0, 0‬‬
‫חלק ‪IV‬‬
‫מבוא לדטרמיננטות‬
‫המטרה‪ :‬להגדיר לכל מטריצה ריבועית )‪ A ∈ Mn×n (F‬סקלר ‪ |A| ∈ F‬שיקרא הדטרמיננטה‬
‫של ‪ A‬באמצעות נוסחה‪ ,‬ויהיו לה תכונות כגון‪:‬‬
‫‪|I| = 1 .1‬‬
‫‪ ⇐⇒ |A| 6= 0 .2‬שורות ‪ A‬בת״ל ⇒⇐ עמודות ‪ A‬בת״ל‪ .‬כלומר‪ ,‬תלות בין שורות ‪A‬‬
‫גורמת להתאפסות |‪.|A‬‬
‫‪16‬‬
‫‪|AB| = |A| · |B| .3‬‬
‫דוגמה ‪n = 2‬‬
‫‬
‫ ‪b‬‬
‫‪= ad − bc‬‬
‫‪d‬‬
‫ ‬
‫‪b a‬‬
‫=‬
‫‪d c‬‬
‫‬
‫‪ a‬‬
‫‬
‫‪ c‬‬
‫חלק ‪V‬‬
‫תמורות )פרמוטציות(‬
‫הגדרה ‪ 0.28‬תמורה של ‪ 1, . . . , n‬היא פונקציה חח״ע ועל מ }‪ {1, . . . , n‬ל־}‪.{1, . . . , n‬‬
‫הערה ‪ 0.29‬אם ‪ x‬קבוצה סופית ו‪ f : x → x :‬חח״ע אז היא על‪ ,‬ולהפך‪ .‬ולכן ניתן להשמיט‬
‫״על״ בהגדרה‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.30‬אם ‪ x‬קבוצה אינסופית יתכן ‪ f : x → x‬חח״ע אך לא על‪ .‬לדוגמה‪f : N → N :‬‬
‫המוגדרת באופן‪ .f (x) = 2x :‬הזוגיים= ‪ Imf‬וכמו כן קל לראות כי ‪ f‬חח״ע‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.31‬לקבוצה כללית ‪) x‬אולי אינסופית(‪ ,‬תמורה על ‪ x‬היא פונקציה חח״ע ועל מ־‪x‬‬
‫ל־‪.x‬‬
‫סימון את התמורות לרוב מסמנים בעזרת }‪ .σ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n‬אך לפעמים‬
‫מסמנים גם ב ‪ τ‬או ‪.π‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫‪3‬‬
‫‪...‬‬
‫‪n‬‬
‫)‪σ (1) σ (2) σ (3) . . . σ (n‬‬
‫דוגמה למשל עבור ‪ n = 3‬כל התמורות האפשריות הן‪:‬‬
‫ ‬
‫ ‬
‫ ‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‪1 3 2‬‬
‫‪2 3 1‬‬
‫‪3 1 2‬‬
‫ ‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫ ‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 1‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪1‬‬
‫הגדרה ‪ = Sn 0.32‬כל התמורות על ‪1, . . . , n‬‬
‫טענה ‪|Sn | = n! 0.33‬‬
‫הוכחה‪ n :‬אפשרויות ל )‪ ,σ (1‬בהנתן )‪ σ (1‬קיים )‪ σ (2) 6= σ (1‬ולכן יש ‪ n − 1‬אפשרויות‬
‫עבורו‪ .‬וכך הלאה‪ .‬נקבל‪ n · (n − 1) · (n − 2) · . . . · 1 = n! :‬כנדרש‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.34‬כפל תמורות מוגדר ע״י הרכבה של פונקציות ‪ σ, τ ∈ Sn‬אז‪.στ = σ ◦ τ :‬‬
‫‪17‬‬
‫}‪σ, τ : {1, . . . , n} → {1, . . . , n‬‬
‫))‪(στ ) (i) = σ (τ (i‬‬
‫הגדרה ‪ 0.35‬תמורת הזהות היא התמורה ‪ e (i) = i‬לכל ‪.i‬‬
‫‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.36‬נקודת שבת ‪ i‬היא נקודה שבה ‪.σ (i) = i‬‬
‫דוגמה כפל תמורות‪:‬‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫ ‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪1‬‬
‫‪3‬‬
‫ ‬
‫‪3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫·‬
‫‪3‬‬
‫‪3 2‬‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫הערה ‪ 0.37‬הרכבת פונקציות חח״ע היא חח״ע וכמו כן‪ ,‬הרכבת פונקצויות על היא על‪ .‬לכן‬
‫הרכבת תמורות היא תמורה‪ .‬כלומר בהנתן ‪ σ, τ ∈ Sn‬אזי גם ‪ .σ ◦ τ ∈ Sn‬כמו כן‪ ,‬הרכבת‬
‫פונקציות היא אסוציאטיבית ולכן כפל תמורות הוא אסוציאטיבי‪ .‬כלומר‪.σ (τ π) = (στ ) π :‬‬
‫‪.‬‬
‫הערה ‪ e 0.38‬מתפקד כאיבר היחידה ביחס לכפל תמורות‪ .‬כלומר‪:‬‬
‫‪eσ = σe = σ‬‬
‫הערה ‪ 0.39‬לתמורות קיימת תמורה הופכית‪ .‬לכל ‪σ ∈ Sn‬יש ‪ σ −1 ∈ Sn‬כך ש‪σσ −1 = :‬‬
‫‪) .σ −1 σ = e‬נכון מכיוון שתמורות הן פונקציות חח״ע ועל(‪.‬‬
‫הגדרה ‪σ −1 (i) 0.40‬יוגדר בתור ה‪ j‬היחיד כך ש־ ‪:σ (j) = i‬‬
‫‬
‫‬
‫‪i = σ (j) = σ σ −1 (i) = σσ −1 (i) ⇒ σ −1 = j‬‬
‫דוגמה‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1 3‬‬
‫ ‪−1‬‬
‫‪3‬‬
‫‪1‬‬
‫=‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫‪2 1‬‬
‫טענה ‪ 0.41‬לכפל תמורות ב ‪ Sn‬התכונות הבאות‪ (1 :‬אסוציאטיביות )‪(2 .(xy) z = x (yz‬‬
‫קיום איבר יחידה ‪ ex = xe = x .e‬לכל ‪ (3 .x‬קיום הופכי‪ :‬לכל ‪ x‬יש ‪ x−1‬כך ש‬
‫‪.xx−1 = x−1 x = e‬‬
‫הגדרה ‪ 0.42‬קבוצה עם כפל המקיים תכונות אלה נקראת חבורה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ Sn 0.43‬היא חבורה‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.44‬הכפל בחבורה אינו קומטטיבי‪:‬‬
‫‬
‫ ‬
‫‬
‫‪1 2 3‬‬
‫‪1 2 3‬‬
‫=‪6‬‬
‫·‬
‫‪3 2 1‬‬
‫‪2 1 3‬‬
‫‪18‬‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪2 1‬‬
‫ ‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1‬‬
‫·‬
‫‪1 3‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪2‬‬
‫סימן של תמורה‬
‫הגדרה ‪ 0.45‬תהי ‪ σ ∈ Sn‬תמורה‪ .‬חילוף ב־‪ σ‬הוא זוג }‪ {i, j‬כך שהסדר של )‪σ (i) , σ (j‬‬
‫הפוך לסדר ‪ .i, j‬כלומר‪ :‬בה״כ אם ‪ i > j‬אזי )‪Nσ .σ (i) < σ (j‬מוגדר כמספר החילופים‬
‫ב‪.σ‬‬
‫דוגמאות‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪2 1‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬החילוף היחיד הוא‪ {1, 2} :‬ולכן ‪.Nσ = 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 2 3 4 ... n‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪2 1 3 4 ... n‬‬
‫במקרה זה‪ ,‬החילוף היחיד הוא‪ {1, 2} :‬ולכן ‪.Nσ = 1‬‬
‫‬
‫‪2 ... i k j ... n‬‬
‫‪2 ... j k i ... n‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪1‬‬
‫החילופים הם‪ ,{i, j} , {i, k} , {k, j} :‬ולכן ‪ .Nσ = 3‬ובמקרה הכללי יותר‪Nσ = :‬‬
‫)‪.1 + 2 (j − i − 1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1 2 3‬‬
‫=‪σ‬‬
‫‪2 1 3‬‬
‫במקרה הזה‪Nσ = 2 :‬‬
‫הערה ‪ 0.46‬מספר החיופים שווה למספר נקודות החיתוך של הישרים המחברים בין האיברים‬
‫הזהים מהטווח לתמונה‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.47‬תמורה ‪ σ‬תקרא זוגית אם ‪Nσ‬זוגי ואי־זוגית אם ‪Nσ‬אי־זוגי‪ .‬הסימן של ‪ σ‬יוגדר‬
‫‪N‬‬
‫כ‪ .(−1) σ :‬ז״א ‪ 1‬אם ‪ σ‬זוגית‪ ,‬ו‪ −1‬אם ‪ σ‬אי־זוגית‪ .‬ויסומן כ‪ sg (σ) :‬או‪.sgn (σ) :‬‬
‫דוגמאות‬
‫‪sg (e) = 1‬‬
‫כיוון ש ‪ Ne = 0‬וגם ‪(−1)0 = 1‬‬
‫‬
‫‪2 3‬‬
‫‪= −1‬‬
‫‪1 3‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪sg (1 2) = sg‬‬
‫‪2‬‬
‫כיוון ש ‪.Nσ = 1‬‬
‫‪sg (i j) = −1‬‬
‫‪ i, j‬מתחלפים‪ ,‬השאר לא זזים‪ .‬כיוון שראינו ש ‪ Nσ‬במקרה הזה הוא אי־זוגי‪.‬‬
‫טענה ‪0.48‬‬
‫)‪σ(j)−σ(i‬‬
‫‪j−i‬‬
‫‪Y‬‬
‫= )‪sg (σ‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫‪19‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪σ(j)−σ(i‬‬
‫‪j−i‬‬
‫חיובי אם }‪ {i, j‬אינו חילוף והוא שלילי אם }‪ {i, j‬הוא חילוף‪ .‬מכאן‬
‫‪Nσ‬‬
‫)‪ (−1‬מה שמראה לאגף שמאל וימין אותו סימן‪ σ .‬תמורה‪,‬‬
‫שסימן המכפלה הנ״ל הוא‬
‫ולכן‪ σ (j) , σ (i) :‬כאשר ‪ j < i‬עוברים על כל הזוגות }‪ {k, l‬כאשר ‪1 ≤ k ≤ n 1 ≤ l ≤ n‬‬
‫וגם ‪ .k 6= l‬מכאן שהמונה במכפלה הנ״ל הוא המכנה עם סימן ‪.±‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫|‪|j − i‬‬
‫= |)‪|σ (j) − σ (i‬‬
‫‪i<j‬‬
‫‪i<j‬‬
‫המכפלה הנ״ל יוצאת ‪ ,±1‬ומאחר שהיא שווה בסימן ל )‪ sg (σ‬נקבל = )‪sg (σ‬‬
‫מסקנה‬
‫‪Y 0.49‬‬
‫)‪σ(j)−σ(i‬‬
‫‪.‬‬
‫‪j−i‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫טענה ‪ sg (στ ) = sg (σ) · sg (τ ) 0.50‬לכל ‪.σ, τ ∈ Sn‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫)‪(στ ) (j) − (στ ) (i‬‬
‫=‬
‫‪j−i‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫)‪σ (τ (j)) − σ (τ (i)) τ (j) − τ (i‬‬
‫·‬
‫=‬
‫)‪τ (j) − τ (i‬‬
‫‪j−i‬‬
‫)‪τ (j) − τ (i‬‬
‫=‬
‫‪j−i‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫)‪(στ ) (j) − (στ ) (i‬‬
‫=‬
‫‪j−i‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫))‪σ (τ (j)) − σ (τ (i‬‬
‫·‬
‫)‪τ (j) − τ (i‬‬
‫והרי ‪ τ‬היא חח״ע ועל‪ ,‬ולכן גם‬
‫))‪σ(τ (j))−σ(τ (i‬‬
‫)‪τ (j)−τ (i‬‬
‫‪Y‬‬
‫= ) ‪sg (στ‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫))‪σ (τ (j)) − σ (τ (i‬‬
‫=‬
‫‪j−i‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫‪Y‬‬
‫עובר על כלל הזוגות של }‪{k, l‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫האפשריים‪ ,‬ולכן‪:‬‬
‫)‪τ (j) − τ (i‬‬
‫) ‪= sg (σ) · sg (τ‬‬
‫‪j−i‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫))‪σ (τ (j)) − σ (τ (i‬‬
‫·‬
‫)‪τ (j) − τ (i‬‬
‫‪Y‬‬
‫= ) ‪sg (στ‬‬
‫‪i≤i<j≤n‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫מכפלה של תמורות זוגיות היא תמורה זוגית‪.‬‬
‫מסקנה ‪ (1 0.51‬‬
‫‪sg σ −1 = sg (σ) (2‬‬
‫‪sg (στ ) = sg (τ σ) (3‬‬
‫‪sg (σ · (i, j)) = −sg (σ) (4‬‬
‫הוכחה‪1 = sg (σ) = sg (τ ) ⇒ sg (στ ) = sg (σ) · sg (τ ) = 1 · 1 = 1 (1 :‬‬
‫הגדרה ‪ 0.52‬אוסף התמורות הזוגיות של ‪ 1, . . . , n‬מסומן ב ‪ Sn ⊃ An .An‬סגור לכפל‪,‬‬
‫הופכי‪ ,‬מכיל את ‪) e‬איבר היחידה( ולכן גם ‪ An‬חבורה )תת חבורה של ‪(Sn‬‬
‫הוכחה(‬
‫הוכחה‪) :‬המשך‬
‫‬
‫‬
‫‪ σ −1 · σ = e ⇒ sg σ −1 · sg (σ) = sg σ −1 σ = sg (e) = 1 (2‬כמו כן זה גם גורר‪:‬‬
‫‬
‫‪−1‬‬
‫)‪) ,sg σ −1 = sg (σ) = sg (σ‬כתיב מוזר(‬
‫‪sg (στ ) = sg (σ) · sg (τ ) = sg (τ ) · sg (σ) = sg (τ σ) (3‬‬
‫‪ (4‬ברור כי ראינו ‪sg (i, j) = −1‬‬
‫‪20‬‬
‫הערה ‪ σ, τ 0.53‬אי זוגיות ⇐ ‪ στ‬זוגית‪.‬‬
‫דוגמה ‪ n = 3‬התמורות הזוגיות הן‪:‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‪2‬‬
‫ ‬
‫‪2 3‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪,‬‬
‫‪3 1‬‬
‫‪3 1‬‬
‫ ‬
‫‪1‬‬
‫‪A3 = e,‬‬
‫‪2‬‬
‫התמורות האי זוגיות הן‪:‬‬
‫})‪S3 \A3 = {(1, 2) , (1, 3) , (2, 3‬‬
‫תרגיל‬
‫!‪n‬‬
‫‪2‬‬
‫= | ‪ |An‬כאשר ‪.2 ≤ n‬‬
‫מעגלים )ציקלוסים(‬
‫הגדרה ‪ 0.54‬נסמן ב ) ‪ (i1 , i2 , . . . , ik‬את התמורה ששולחת →‪i1 7→ i2 , i2 7→ i3 , . . . , ik−1 7‬‬
‫‪ .ik , ik 7→ i1‬זה נקרא מעגל )צקלוס( באורך ‪.k‬‬
‫דוגמה ‪(i1 , i2 ) k = 2‬‬
‫טענה ‪0.55‬‬
‫‪k−1‬‬
‫)‪sg (i1 , i2 , . . . , ik ) = (−1‬‬
‫הוכחה‪ :‬מראים ש ) ‪ (i1 , i2 , . . . , ik‬היא מכפלת ‪ k − 1‬מעגלים באורך ‪ 2‬מאחר שכל מעגל‬
‫‪k−1‬‬
‫)‪.sg (i1 , i2 , . . . , ik ) = (−1‬‬
‫כנ״ל סימנו ‪ −1‬נקבל‬
‫‪(i1 , ik ) · (i1 , ik−1 ) · . . . · (i1 , i3 ) · (i1 , i2 ) = i1 7→ i2 7→ i4 7→ . . . 7→ (ik ) 7→ i1‬‬
‫הערה ‪ (i) 0.56‬הוא מעגל באורך ‪ 1‬אבל למעשה הוא שווה ל ‪.e‬‬
‫פירוק תמורה למעגלים‬
‫‬
‫‪7‬‬
‫דוגמה‬
‫‪1‬‬
‫‪5 6‬‬
‫‪7 2‬‬
‫‪3 4‬‬
‫‪5 4‬‬
‫‪1 2‬‬
‫‪3 6‬‬
‫‬
‫נתבונן בתמורה‪:‬‬
‫‪1 7→ 3 7→ 5 7→ 7 7→ 1, 2 7→ 6 7→ 2, 4 7→ 4‬‬
‫לכן )‪.σ = (1, 3, 5, 7) (2, 6) (4‬‬
‫טענה ‪ 0.57‬כל תמורה ניתנת להצגה כמכפלת מעגלים זרים‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ σ ∈ Sn‬נבחר ‪ i1‬כך ש ‪ .1 ≤ i1 ≤ n‬נסמן ) ‪ i2 = σ (i1‬אם ‪ i2 = i1‬קיבלנו‬
‫מעגל ) ‪ .(i1‬אחרת נגדיר ) ‪ ,i3 = σ (i2‬וכו׳ עד שיתקבל מספר ישן ‪l < k σ (ik ) = il‬‬
‫ובהכרח ‪) l = 1‬כיוון שאם ‪ l 6= 1‬זה יעמוד בסתירה לחח״ע של התמורה(‪ .‬נמשיך כך עם‬
‫המספרים הנותריםם )במידה ויש(‪ .‬כמו כן‪ ,‬במהלך המעגל החדש‪ ,‬לא יכולים להיות איברים‬
‫מהמעגל הישן כיוון שזה יעמוד בסתירה לחח״ע‪ .‬נחזור על הפעולה עד למיצוי כלל האיברים‬
‫בין ‪ 1‬ל ‪.n‬‬
‫‪21‬‬
‫נוסחה כללית לחישוב סימן של תמורה‬
‫‪m‬‬
‫)‪ sg (σ) = (−1‬כאשר ‪ m‬הוא מספר המעגלית באורך זוגי בפירוק ‪ σ‬כמכפלת מעגלים‬
‫זרים כיוון שסימן מעגל אי זוגי הוא ‪ 1‬ואילו סימן מעגל זוגי הוא ‪1‬־‪.‬‬
‫דוגמה )‪ S15 ∋ σ = (1, 2) (3, 4, 5) (6, 7, 8, 9) (10, 11, 13, 14, 15) (12‬נקבל כי = )‪sg (σ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪.(−1) = 1‬‬
‫הערה ‪ 0.58‬הפירוק למעגלים יחיד עד כדי סדר המעגלים וכתיבתם‪.‬‬
‫)‪(1, 2, 3, 4) = (2, 3, 4, 1) = (3, 4, 1, 2) = (4, 1, 2, 3‬‬
‫‪k‬‬
‫טענה ‪ 0.59‬כל תמורה ניתנת לכתיבה כמכפלת מעגלים באורך ‪ ,2‬וסימנה )‪ k(−1‬מספר‬
‫המעגלים הנ״ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נפרק את ‪ σ‬למכפלת מעגלים זרים‪ .‬כל מעגל באורך ‪ 2 ≤ l‬הוא מכפלת ‪l − 1‬‬
‫מעגלים באורך ‪) 2‬ראינו(‪ .‬מ‪.‬ש‪.‬ל‬
‫דוגמה )‪ S15 ∋ σ = (1, 2) (3, 4, 5) (6, 7, 8, 9) (10, 11, 13, 14, 15) (12‬נפרק למעגלים‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫)‪(1, 2) (3, 5) (3, 4) (6, 9) (6, 8) (6, 7) (10, 15) (10, 14) (10, 13) (10, 11‬‬
‫הגדרה ‪ 0.60‬מעגל באורך ‪ 2‬נקרא טרנספוזיציה )חילוף בעברית(‬
‫סיכום‬
‫תמורה זוגית היא מכפלה של מספר זוגי של טרנפוזיציות‪ .‬ואילו תמורה אי־זוגית היא מכפלה‬
‫של מספר אי־זוגי של טרנספוזציות‪) .‬אין יחידות הצגה‪ ,‬יש יחידות בזוגיות אורך ההצגה‬
‫כמכפלת טרנספוזיציות(‬
‫חלק ‪VI‬‬
‫פונקציית נפח‬
‫הגדרה ‪ 0.61‬יהי ‪ V‬מרחב וקטורי ממימד ‪ n‬מעל שדה ‪ .F‬פונקציה ‪∆ : v · . . . · v → F‬‬
‫נקראת פונקציית נפח אם היא מקיימת‪:‬‬
‫‪ ∆ (α1 , . . . , αn ) = 0 (1‬אם ‪ ai = aj‬ל ‪ i 6= j‬כלשהו‬
‫‪∆ (α1 , . . . , αn ) = f · ∆ (α1 , . . . , αn ) (2‬‬
‫‪∆ (α1 , . . . , αi + βi , . . . , αn ) = ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αn )+∆ (α1 , . . . , βi , . . . , αn ) (3‬‬
‫הערה ‪ 2, 3 0.62‬אומרים ש ∆ לינארית בכל משתנה ‪αi‬‬
‫‪22‬‬
‫תכונות ∆‬
‫טענה ‪ ∆ (α1 , . . . , αj , . . . , αi , . . . , αn ) = −∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn ) 0.63‬לכל‬
‫פונקציית נפח ∆‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫= ) ‪0 = ∆ (α1 , . . . , αi + αj , . . . , αi + αj , . . . , αn‬‬
‫) ‪∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αi , . . . , αn ) + ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn‬‬
‫= ) ‪+ ∆ (α1 , . . . , αj , . . . , αi , . . . , αn ) + ∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αi , . . . , αn‬‬
‫⇒ ) ‪∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn ) + ∆ (α1 , . . . , αj , . . . , αi , . . . , αn‬‬
‫) ‪∆ (α1 , . . . , αj , . . . , αi , . . . , αn ) = −∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn‬‬
‫טענה ‪ 0.64‬תהי ∆ פונקציית נפח‪ ,‬ותהי ‪ σ ∈ Sn‬אז‪:‬‬
‫‬
‫) ‪∆ ασ(1) , ασ(2) , . . . , ασ(n) = sg (σ) · ∆ (α1 , α2 , . . . , αn‬‬
‫הוכחה‪ :‬נכתוב את ‪ σ‬כמכפלת טרנספוזיציות‪:‬‬
‫) ‪σ = (i1 , j1 ) · (i2 , j2 ) · . . . · (ik , jk‬‬
‫המעבר מ ‪ α1 , . . . , αn‬ל־ )‪ ασ(1) , ασ(2) , . . . , ασ(n‬ניתן להעשות ע״י ‪ k‬החלפות של זוג‬
‫וקטורים זו אחר זו‪ .‬כל החלפה כנ״ל תכפיל את ערך ∆ב‪ (−1) :‬ולכן‪:‬‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫) ‪∆ ασ(1) , ασ(2) , . . . , ασ(n) = (−1) · ∆ (α1 , α2 , . . . , αn‬‬
‫‬
‫‪k‬‬
‫אבל ראינו ש‪sg (σ) = (−1) :‬ולכן‪∆ ασ(1) , ασ(2) , . . . , ασ(n) = sg (σ)·∆ (α1 , α2 , . . . , αn ) :‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫דוגמה ) ‪∆ (α2 , α3 , α1 ) = −∆ (α2 , α1 , α3 ) = (−1) (−1) ∆ (α1 , α2 , α3‬‬
‫‪05/01/2011‬‬
‫קיום פונקציות נפח‬
‫האם קיימת פונקציית נפח?‬
‫ראשית‪ ,‬ברור כי ‪ ∆ = 0‬זהותית היא פונקציית נפח‪ ,‬ולכן בהכרח קיימת פונקציית נפח‪ .‬אבל‬
‫זוהי אינה דוגמה מעניינת‪ .‬נרצה לבחון האם קיימת פונקציית נפח השונה מפונקציית האפס‪.‬‬
‫האם קיימת פונצקיית נפח השונה מפונקציית האפס?‬
‫למה ‪ 0.65‬אם ∆ פונצקיית נפח‪ ,‬ו־ ‪ c ∈ F‬סקלר‪ .‬אז גם ∆ · ‪ c‬היא פונקציית נפח‪.‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫) ‪c∆ (α1 . . . , f αi , . . . , αn ) = cf ∆ (α1 . . . , αi , . . . , αn ) = f · c∆ (α1 . . . , αn‬‬
‫קיום של פונקציית נפח שונה מאפס יוכח בהמשך‬
‫‪23‬‬
‫יחידות פונקציית נפח‬
‫כבר ראינו כי הפונקציה הנוצרת מכפל בסקלר של פונקציית נפח ∆ גם היא פונקציית נפח‪.‬‬
‫על כן היא לא יחידה‪ .‬נרצה לראות כי פונקציית נפח יחידה עד כדי כפל בסקלר‪.‬‬
‫משפט ‪ 0.66‬יהי ‪ ε1 , . . . , εn‬בסיס ל־ ‪ .V‬ויהיו ‪ V ∋ α1 , . . . , αn‬נכתוב‪ai,j εj :‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪.αi‬‬
‫‪j=1‬‬
‫תהי ∆ פונקציית נפח על ‪ V‬אז מתקיים‪:‬‬
‫) ‪∆ (α1 , . . . , αn ) = cA · ∆ (ε1 , . . . , εn‬‬
‫כאשר ‪ F ∋ CA‬תלוי אך ורק ב ) ‪) A = (ai,j‬ולא ב∆(‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪an,j εj ‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪a1,j εj , . . . ,‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ) ‪∆ (a1,j1 εj1 , . . . , an,jn εjn‬‬
‫‪‬‬
‫‪∆ (α1 , . . . , αn ) = ∆ ‬‬
‫‪1 ≤ j1 ≤ n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1 ≤ jn ≤ n‬‬
‫) ‪a1,j1 · a2,j2 · . . . · an,jn ∆ (εj1 , . . . , εjn‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪zero if jk =jl ∧k6=l‬‬
‫‪X‬‬
‫‪1 ≤ j1 ≤ n‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪1 ≤ jn ≤ n‬‬
‫המחוברים הנ״ל הם ‪ 0‬אלא אם כן ‪ j1 , . . . , jn‬שונים זה מזה‪ .‬כלומר מהווים תמורה של‬
‫‪ σ ∈ Sn .1, . . . , n‬אז‪ σ (1) = j1 , σ (2) = j2 , . . . , σ (n) = jn :‬ולכן‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫‬
‫= ) ‪∆ (α1 , . . . , αn‬‬
‫)‪a1,σ(1) · a2,σ(2) · . . . · an,σ(n) ∆ εσ(1) , . . . , εσ(n‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫‬
‫נציב ) ‪ sg (σ) ∆ (ε1 , . . . εn‬במקום )‪ ∆ εσ(1) , . . . , εσ(n‬ונקבל‪:‬‬
‫!‬
‫‪X‬‬
‫) ‪sg (σ) a1,σ(1) · a2,σ(2) · . . . · an,σ(n) ∆ (ε1 , . . . , εn‬‬
‫= ) ‪∆ (α1 , . . . , αn‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫נסמן )‪sg (σ) a1,σ(1) · a2,σ(2) · . . . · an,σ(n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪ CA‬והרי ‪ CA‬תלוי רק במטריצה ‪A‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫הגדרה ‪ 0.67‬תהי ) ‪ A = (ai,j‬מטריצה ‪ n × n‬מעל ‪ .F‬נגדיר · )‪sg (σ) a1,σ(1‬‬
‫‪X‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫)‪ a2,σ(2) · . . . · an,σ(n‬דטרמיננטה של ‪.A‬‬
‫‪24‬‬
‫= |‪|A‬‬
‫הערה ‪ 0.68‬בעזרת ההגדרה הנ״ל‪ ,‬ניתן לנסח את המשפט הקודם באופן הבא‪:‬‬
‫) ‪∆ (α1 , . . . , αn ) = |A| ∆ (ε1 , . . . , εn‬‬
‫כאשר ‪αi,j εj‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪αi‬‬
‫‪j=1‬‬
‫דוגמאות ‪ A = (a1,1 ) (1‬מטריצה ‪|A| = a1,1 .1 × 1‬‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫ ‪a1,2‬‬
‫=‬
‫‪sg (σ) · a1,σ(1) · a2,σ(2) = a1,1 · a2,2 − a1,2 · a2,1 (2‬‬
‫ ‪a2,2‬‬
‫} ‪| {z } | {z‬‬
‫‪σ∈S2‬‬
‫‪e‬‬
‫)‪(1,2‬‬
‫כי })‪S2 = {e, (1, 2‬‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫‪ 1,1‬נשים לב‬
‫‪a2,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ (3‬במקרה של מטריצות ‪ 3×3‬נשים לב כי )‪S3 = e, (1, 2, 3) , 1, 3, 2, (1, 2) , (2, 3) , (1, 3‬‬
‫|‪‬‬
‫‪{z‬‬
‫| }‬
‫‪{z‬‬
‫‪}‬‬
‫‪even‬‬
‫‪odd‬‬
‫‬
‫ ‪a1,3‬‬
‫‪a2,3 = a1,1 a2,2 a3,3 + a1,2 a2,3 a3,1 + a1,3 a2,1 a3,2‬‬
‫ ‪a3,3‬‬
‫‪− a1,2 a2,1 a3,3 − a1,1 a2,3 a3,2 − a1,3 a2,2 a3,1‬‬
‫‪a1,2‬‬
‫‪a2,2‬‬
‫‪a3,2‬‬
‫‬
‫‪a1,1‬‬
‫‬
‫‪a2,1‬‬
‫‬
‫‪a3,1‬‬
‫‪(4‬‬
‫‪(5‬‬
‫‬
‫‪0 . . . 0‬‬
‫ ‪..‬‬
‫ ‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ = 1 · ...· 1 = 1‬‬
‫‪..‬‬
‫‪. 0‬‬
‫‪. . . 0 1‬‬
‫‬
‫ ‪0 . . . 0‬‬
‫ ‪..‬‬
‫‪λ2‬‬
‫ ‪.‬‬
‫‪ = λ1 · λ2 · . . . · λn‬‬
‫‪..‬‬
‫ ‪. 0‬‬
‫ ‪. . . 0 λn‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪λ1‬‬
‫‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫מסקנה ‪ 0.69‬יש לכל היותר פונקציית נפח אחת הנותנת ערך נתון לבסיס נתון של ‪ .V‬כלומר‪:‬‬
‫‪∆ (ε1 , . . . , εn ) = b‬‬
‫הוכחה‪ :‬ל ‪ V ∋ α1 , . . . αn‬עם ) ‪ A = (ai,j‬כמו במשפט‪ .‬ראינו = ) ‪∆ (α1 , . . . , αn‬‬
‫‪|A| ∆ (ε1 , . . . , εn ) = |A| · b‬‬
‫מסקנה ‪ 0.70‬פונקציית נפח שמתאפסת על בסיס כלשהו היא ‪ 0‬תמיד‪.‬‬
‫הוכחה‪ :‬נקרא לבסיס עליו ∆ מתאפסת ‪ ε1 , . . . , εn‬נקבל‪∆ (α1 , . . . , αn ) = |A| ∆ (ε1 , . . . , εn ) = :‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪25‬‬
‫מסקנה ‪ 0.71‬פונקציית נפח על ‪ V‬היא יחידה עד כדי כפל בקבוע‬
‫הוכחה‪ :‬אם רק ‪ 0‬היא פונקציית נפח אז הטענה ברורה‪ .‬לכן נניח שיש פונקציית נפח ‪∆ 6= 0‬‬
‫ונראה שכל פונקציית נפח ∆ היא כפולה של ∆‪.‬‬
‫נקבע בסיס ‪ V ∋ ε1 , . . . , εn‬אז‪:‬‬
‫) ‪|A| ∆′ (ε1 , . . . , εn‬‬
‫= ) ‪∆′ (α1 , . . . , αn‬‬
‫) ‪|A| ∆ (ε1 , . . . , εn‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫= ) ‪∆ (α1 , . . . , αn‬‬
‫‪6=0‬‬
‫נחלק את המשוואות אחת בשניה ונקבל‪:‬‬
‫) ‪∆′ (ε1 , . . . , εn‬‬
‫) ‪· ∆ (α1 , . . . , αn‬‬
‫) ‪∆ (ε1 , . . . , εn‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫= ) ‪∆′ (α1 , . . . , αn‬‬
‫‪constant‬‬
‫קיום פונקציית נפח שונה מאפס‬
‫משפט ‪ 0.72‬בהנתן ‪ b ∈ F‬ובסיס ‪ V ∋ ε1 , . . . , εn‬יש פונקציית נפח ∆ על ‪ V‬כך ש‬
‫‪A (ε1 , . . . , εn ) = b‬‬
‫הוכחה‪ :‬מספיק להראות שיש פונקציית נפח עם ‪) ∆ (ε1 , . . . , εn ) = 1‬כי כפולה שלה ב‪b‬‬
‫תהיה כנדרש(‪ .‬פונקציה כנ״ל תקיים‪:‬‬
‫|‪∆ (α1 , . . . , αn ) = |A| · 1 = |A‬‬
‫לכן נרצה להראות שהדטרמיננטה היא אכן פונקציית נפח‪.‬‬
‫טענה ‪ 0.73‬הדטרמיננטה היא פונקציית נפח ששורותיה ב ‪Fn‬‬
‫הוכחה‪ :‬תהי ‪ A‬מטריצה עם שורות ‪ Fn ∋ α1 , . . . , αn‬ונגדיר |‪ ∆ (α1 , . . . , αn ) = |A‬נראה‬
‫קיום אקסיומות פונקציית נפח‪:‬‬
‫‪ ∆ (α1 , . . . , tαi , . . . αn ) = t · ∆ (α1 , . . . , αn ) (1‬בה״כ ‪:i = 1‬‬
‫‬
‫ ‪. . . t · a1,n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪...‬‬
‫ ‪a2,n‬‬
‫= )‪sg (σ) · t · a1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n‬‬
‫= ‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. σ∈Sn‬‬
‫ ‪. . . an,n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪t‬‬
‫|‪sg (σ) · a1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n) = t |A‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫‪26‬‬
‫‪t · a1,2‬‬
‫‪a2,2‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a2,n‬‬
‫‬
‫‪t · a1,1‬‬
‫‬
‫‪ a2,1‬‬
‫‬
‫‪ ..‬‬
‫‪ .‬‬
‫‬
‫‪ an,1‬‬
‫‪ (2‬חיבורית בה״כ בשורה הראשונה‪α1 + α′ :‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪a1,1 + a′1,1 a1,2 + a′1,2 . . . a1,n + a′1,n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ a2,1‬‬
‫‬
‫‪a2,2‬‬
‫‪...‬‬
‫‪a2,n‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫=‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‬
‫‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ an,1‬‬
‫‪a2,n‬‬
‫‪...‬‬
‫ ‪an,n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪X‬‬
‫=‬
‫= )‪sg (σ) · a1,σ(1) + a′1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫‪sg (σ) · a1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n) +‬‬
‫‪X‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫)‪sg (σ) · a′1,σ(1) · a12,σ(2) · . . . · an,σ(n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫‪ (3‬אם ‪ αk = αl‬אז ‪ ak,j = al,j (k < l) .|A| = 0‬לכל ‪ .j‬בהנתן ‪σ ∈ Sn‬נגדיר‪:‬‬
‫)‪σ ′ = σ ◦ (k, l‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪k‬‬
‫‪...‬‬
‫‪l‬‬
‫‪...‬‬
‫‪n‬‬
‫=‪σ‬‬
‫)‪σ (1) . . . σ (k) . . . σ (l) . . . σ (n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪k‬‬
‫‪...‬‬
‫‪l‬‬
‫‪...‬‬
‫‪n‬‬
‫‪′‬‬
‫= ‪σ‬‬
‫)‪σ (1) . . . σ (l) . . . σ (k) . . . σ (n‬‬
‫)‪sg (σ ′ ) = sg (σ) · sg (k, l) = −sg (σ‬‬
‫} ‪| {z‬‬
‫‪−1‬‬
‫נתאים למחובר בביטוי ל|‪ sg (σ) · a1,σ(1) · . . . · ak,σ(k) · . . . · al,σ(l) · . . . · an,σ(n) |A‬את‬
‫המחובר )‪ sg (σ ′ ) · a1,σ′ (1) · . . . · ak,σ′ (k) · . . . · al,σ′ (l) · . . . · an,σ′ (n‬וזה הרי שווה ל‪:‬‬
‫)‪ −sg (σ) · a1,σ(1) · . . . · ak,σ(l) · . . . · al,σ(k) · . . . · an,σ(n‬ולכן‪ ,‬סכום המחובר ובן זוגו הוא‬
‫‪ .0‬חלקנו את הסכום לזוגות שסכומם ‪ 0‬ולכן ‪.|A| = 0‬‬
‫‪10/01/2011‬‬
‫משפט ‪ 0.74‬תהי ∆ פונקציית נפח =‪ 0 6‬על מרחב וקטורי ‪n V‬־מימדי‪ .‬אז ל ‪V ∋ α1 , . . . , αn‬‬
‫מתקיים ‪ α1 , . . . , αn ⇐⇒ ∆ (α1 , . . . , αn ) 6= 0‬בת״ל‪.‬‬
‫הוכחה‪ ⇒ :‬נניח כי ‪ α1 , . . . , αn‬בת״ל‪ .‬לכן הם מהווים בסיס ל ‪ .V‬ראינו שפונקציית‬
‫נפח שמתאפסת על בסיס כלשהו ל־ ‪ V‬היא פונקציית האפס‪ .‬לפי הנחה ‪ ∆ 6= 0‬ומכאן‪:‬‬
‫‪ ∆ (a1 , . . . , αn ) 6= 0‬כנדרש‪.‬‬
‫בשלילה שהם תלויים‬
‫נניח‬
‫בת״ל‪.‬‬
‫‪α‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪,‬‬
‫‪α‬‬
‫אז‬
‫‪0‬‬
‫=‬
‫‪6‬‬
‫∆‬
‫‪(α‬‬
‫‪,‬‬
‫‪.‬‬
‫⇐ נראה כשאם ) ‪. . , αn‬‬
‫‪1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪1‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪.αi‬‬
‫לינארית‪ .‬אז קיים ‪ i‬כך ש ‪ 1 ≤ i ≤ n‬וגם ‪ αi‬תלוי באחרים כלומר‪ak αk :‬‬
‫‪k6=i‬‬
‫‪‬‬
‫= ‪ak αk , . . . , αn ‬‬
‫‪ak ∆ (α1 , . . . , αk , . . . , αn ) = 0‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫|‬
‫‪0‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k6=i‬‬
‫‪‬‬
‫‪∆ (α1 , . . . , αi , . . . , αn ) = ∆ α1 , . . . ,‬‬
‫= ) ‪∆ (α1 , . . . , ak αk , . . . , αn‬‬
‫‪X‬‬
‫‪k6=i‬‬
‫‪k6=i‬‬
‫מתאפס מכיוון ששני וקטורים שווים במקום ‪ i‬ו־‪ k‬לפי טענה שהראנו בעבר‪ .‬ולכן קיבלנו‬
‫‪ ∆ (α1 , . . . , αn ) = 0‬בסתירה להנחה‪.‬‬
‫‪27‬‬
‫ניסוח־שקול ‪ α1 , . . . , αn ⇐⇒ ∆ (α1 , . . . , αn ) = 0‬תלויים לינארית )בהנחה ‪(∆ 6= 0‬‬
‫משפט ‪ 0.75‬תהי )‪ A ∈ Mn (F‬אז ‪ ⇐⇒ |A| 6= 0‬שורות ‪ A‬בת״ל )באופן שקול‪⇐⇒ :‬‬
‫‪|A| = 0‬שורות ‪ A‬תלויות לינארית(‬
‫הוכחה‪ :‬ראינו שהדטרמיננטה היא פונקציית נפח =‪ 0 6‬של שורות המטריצה‪ .‬ולכן לפי המשפט‬
‫הקודם הטענה נכונה‪.‬‬
‫מסקנה ‪ ⇐⇒ |A| 6= 0 0.76‬עמודות ‪ A‬בת״ל‪ .‬כי ראינו שמימד מרחב השורות שווה למימד‬
‫מרחב העמודות‪ .‬ולכן במטריצה ריבועית‪ ,‬השורות בת״ל אמ״מ העמודות בת״ל‪.‬‬
‫דוגמה ‪(1‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪1 2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪3 4 = 1 · 4 − 2 · 3 = −2 6= 0‬‬
‫ואכן השורות )‪ (1, 2‬ו־)‪ (3, 4‬בת״ל‪.‬‬
‫‪(2‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫‪= 1·6−2·3= 0‬‬
‫‪6‬‬
‫ואכן מתקיים‪ (3, 6) = 3 · (1, 2) :‬ולכן יש תלות‪.‬‬
‫‪(3‬‬
‫‬
‫‪1‬‬
‫‬
‫‪3‬‬
‫‬
‫‪2‬‬
‫= ‪3 = 0 · 2 · 5 + 1 · 3 · 2 + 1 · 1 · 3 − 2 · 2 · 1 − 3 · 3 · 0 − 5 · 1 · 1‬‬
‫‪5‬‬
‫‪0+6+3−4−5=0‬‬
‫‬
‫‪0 1‬‬
‫‬
‫‪1 2‬‬
‫‬
‫‪1 3‬‬
‫ואכן מתקיים‪(0, 1, 2) + (1, 2, 3) = (1, 3, 5) :‬‬
‫טענה ‪|At | = |A| 0.77‬‬
‫הערה ‪ 0.78‬נזכר כי אם ) ‪ A = (ai,j‬אזי ) ‪ At = (aj,i‬כלומר‪ :‬שורות ‪ = A‬עמודות ‪At‬‬
‫ועמודות ‪ = A‬שורות ‪(transpose) .At‬‬
‫הוכחה‪ :‬דרך ראשונה‪ :‬קל לבדוק ש |‪|A‬היא פונקציית נפח של עמודות ‪) A‬אותה הוכחה כמו‬
‫עבור השורות(‪ .‬זוהי פונקציית נפח ∆ שנותנת לוקטורי היחידה ‪:ε1 , . . . , εn‬‬
‫‬
‫‬
‫|‬
‫ |‬
‫‬
‫‪∆ (ε1 , . . . , εn ) = ε1 . . . εn = |I| = 1‬‬
‫|‬
‫|‬
‫ראינו שיש פונקציית נפח יחידה על ‪ Fn‬שנותנת ל ‪ ε1 , . . . , εn‬ערך ‪ 1‬והיא |‪.|A‬‬
‫עבור ‪ Fn ∋ α1 , . . . , αn‬אם ניצור מטריצה שעמודותיה ‪ α1 , . . . , αn‬ומטריצה ששורותיה‬
‫‪ α1 , . . . , αn‬יש להן את אותה הדטרמיננטה‪ .‬וזה גורר |‪.|At | = |A‬‬
‫דרך שניה‪ :‬נסתמך על הגדרת הדטרמיננה‪:‬‬
‫‪X‬‬
‫= |‪|A‬‬
‫)‪sg (σ) a1,σ(1) · . . . · an,σ(n‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫‪28‬‬
‫נסמן ‪) B = (bi,j ) ,B = At‬מתקיים ‪ (bi,j = aj,i‬אז‪:‬‬
‫= ‪sg (σ) aσ(1),1 · . . . · aσ(n),n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪sg (σ) b1,σ(1) · . . . · bn,σ(n‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫)‪sg (σ) a1,σ−1 (1) · . . . · an,σ−1 (n‬‬
‫‪X‬‬
‫= |‪|B‬‬
‫‪X‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫‬
‫כיוון שראינו ש ‪ .sg (σ) = sg σ −1‬וכמו כן‪ ,‬האיברים )‪ ai,σ−1 (i‬עבור ‪ i = 1 . . . n‬הם‬
‫‬
‫האיברים‪ aσ(i),i :‬בשינוי סדר כי‪ σ σ −1 (i) = i :‬ולכן מכפלתם זהה‪ .‬ולכן‪:‬‬
‫‪aσ(i),i‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Y‬‬
‫= )‪ai,σ−1 (i‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪n‬‬
‫‪Y‬‬
‫‪i=1‬‬
‫ראינו שיש התאמה חח״ע ועל בין המחוברים ב|‪ |A‬וב־|‪ |B‬כך שמחובר עובר למחובר זהה‬
‫לו‪ ,‬ומכאן | ‪|A| = |B| = |At‬‬
‫משפט ‪) 0.79‬המכפלה( יהיו )‪ A, B ∈ Mn (F‬אז‪|A · B| = |A| · |B| :‬‬
‫הוכחה‪ :‬יהי ‪ V = Fn‬נתבונן ב∆ כפונקציית הנפח על ‪ V‬שהיא |‪ .|A‬נסמן את שורות ‪A‬‬
‫ב ‪ .α1 , . . . , αn‬נקח מטריצה )‪ B ∈ Mn (F‬ונתבונן ב‪∆B (α1 , . . . , αn ) = ∆ (Bα1 , . . . , Bαn ) :‬‬
‫)נעשה ‪ transpose‬על ‪ α1 , . . . , αn‬כך שיהיו עמודות(‪.‬‬
‫קל לוודא ש ‪ ∆B‬היא פונקציית נפח על ‪ .V‬למשל‪:‬‬
‫= ) ‪∆B (tα1 , . . . , αn ) = ∆ (B (tα1 ) , . . . , Bαn ) = ∆ (t · Bα1 , . . . , Bαn‬‬
‫) ‪t · ∆ (Bα1 , . . . , Bαn ) = t∆B (α1 , . . . , αn‬‬
‫אם ‪ αi = αj‬כך ש ‪ i 6= j‬אז ‪ Bαi = Bαj‬ולכן‪∆ (Bα1 , . . . , Bαi , . . . , Bαj , . . . , Bαn ) = :‬‬
‫‪ 0‬ולכן גם‪.∆B (α1 , . . . , αi , . . . , αj , . . . , αn ) = 0 :‬‬
‫נסמן ב ‪ ε1 , . . . , εn‬את וקטורי היחידיה של ‪B‬‬
‫) ‪∆B (ε1 , . . . , εn ) = ∆ (Bε1 , . . . , Bεn‬‬
‫נזכר כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪b1,i‬‬
‫‪ .. ‬‬
‫‪Bεi =  . ‬‬
‫‪bn,i‬‬
‫נסמן ‪ βi‬בתור העמודה ה‪ i‬של ‪ B‬ומכאן‪:‬‬
‫ ‬
‫|‪∆B (ε1 , . . . , εn ) = ∆ (β1 , . . . , βn ) = B t = |B‬‬
‫‪∆B‬היא פונקציית נפח כך ש |‪ ∆B (ε1 , . . . , εn ) = |B‬ראינו שיש פונקציית נפח שמעבירה‬
‫את ‪ ε1 , . . . , εn‬לערך נתון |‪|B‬והיא נתונה ע״י‪:‬‬
‫|‪∆B (α1 , . . . , αn ) = |A| · ∆B (ε1 , . . . , εn ) = |A| · |B‬‬
‫כאשר ‪ai,j εj‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪.αi‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪29‬‬
‫נקח מטריצה נוספת ‪ C‬ונחשב את‪:‬‬
‫|‪∆ ((CB) ε1 , . . . , (CB) εn ) = |CB| · |A| = |CB| · |I| = |CB‬‬
‫מצד שני‪:‬‬
‫= ) ‪∆ (C (Bε1 ) , . . . , C (Bεn )) = |C| ∆ (Bε1 , . . . , Bεn‬‬
‫|‪|C| · |B| ∆ (ε1 , . . . , εn ) = |C| · |B‬‬
‫ומכאן קיבלנו‪:‬‬
‫|‪|CB| = |C| · |B‬‬
‫כנדרש )בשינוי סימן(‬
‫‪12/01/2011‬‬
‫איך דרוג משפיע על הדטרמיננטה?‬
‫או‪ :‬איך פעולות אלמנטריות משפיעות על הדטרמיננטה?‬
‫שלוש פעולות אלמנטריות‪ .‬״חידוש״ אפשר לעשות פעולות גם על עמודות )כיוון ש‬
‫| ‪(|A| = |At‬‬
‫‪‬‬
‫|‬
‫|‬
‫משפט ‪ 0.80‬תהי ‪ A‬מטריצה מסדר ‪A = v1 . . . vn  .n × n‬‬
‫|‬
‫|‬
‫א( אם ‪ B‬מתקבלת ע״י ‪ A‬כאשר מחליפים את ‪ vi‬עם ‪ (vi ↔ vj ) vj‬אז‪|A| = (−1) |B| :‬‬
‫ב( אם ‪ B‬מתקבלת מ־‪ A‬ע״י הכפלת העמודה ה־‪ i‬בסקלר ‪ a‬אז‪a · |A| = |B| :‬‬
‫ג( אם ‪ B‬מתקבלת מ־‪ A‬ע״י הוספת ‪ a · vj‬ל ‪vi‬לאיזשהו ‪ a‬אז‪|A| = |B| :‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחה‪ :‬א( ראינו שכל פונקציית נפח מקיימת‪:‬‬
‫) ‪∆ (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) = −1∆ (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn‬‬
‫ובסימונים של המשפט‪:‬‬
‫) ‪det (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn‬‬
‫= |‪|B‬‬
‫) ‪det (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vn‬‬
‫= |‪|A‬‬
‫והרי דטרמיננטה היא פונקציית נפח‪ ,‬ולכן הטענה נכונה‪.‬‬
‫ב(‬
‫|‪|B| = det (v1 , . . . , a · vi , . . . , vn ) = a det (v1 , . . . , vn ) = a |A‬‬
‫ג(‬
‫= ) ‪|B| = det (v1 , . . . , vi + a · vj , . . . , vj , . . . , vn‬‬
‫|‪det (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vn ) + a · det (v1 , . . . , vj , . . . , vj , . . . , vn ) = |A‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪0‬‬
‫‪30‬‬
‫פיתוח לפי שורה ועמודה‬
‫הגדרה ‪ 0.81‬תהי ‪ A‬מטריצה ‪ .n × n‬נגדיר את ‪ Ai,j‬להיות הדטרמיננטה של המטריצה‬
‫המתקבלת מ‪ A‬ע״י מחיקת השורה ה־‪ i‬והעמודה ה־‪ .j‬נקרא לסקלר זה המינור ה)‪ (i, j‬של‬
‫‪.A‬‬
‫משפט ‪) 0.82‬לפלס( ‪(−1)i+j · ai,j · Ai,j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= |‪→ |A‬פיתוח לפי השורה ה‪.i‬‬
‫‪j=1‬‬
‫הוכחה‪ :‬צעד ‪ :I‬ראשית נוכיח כי‪:‬‬
‫‪‬‬
‫כיוון ש‪:‬‬
‫‬
‫ ‪. . . a2,n‬‬
‫ ‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫ ‪.‬‬
‫ ‪. . . an,n‬‬
‫‬
‫‪0‬‬
‫‪ a2,2‬‬
‫‬
‫‪a2,n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪..  ⇒ |A| = ..‬‬
‫‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪an,2‬‬
‫‪an,n‬‬
‫=‬
‫)‪an,σ(n‬‬
‫·‬
‫·‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪...‬‬
‫)‪sg (σ) a1,σ(1‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a2,2‬‬
‫‪an,2‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a2,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪A= .‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪an,1‬‬
‫‪X‬‬
‫|‪|A‬‬
‫=‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫‪σ (1) = 1‬‬
‫נשים לב כי‪:‬‬
‫‪σ (1) 6= 1‬‬
‫‬
‫ ‪. . . a2,n‬‬
‫ ‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫ ‪.‬‬
‫ ‪. . . an,n‬‬
‫כנדרש‪ .‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 ...‬‬
‫‪1‬‬
‫‪0‬‬
‫(‬
‫= )‪ a1,σ(1‬ולכן הביטוי הנ״ל שווה ל‪:‬‬
‫‬
‫‪ a2,2‬‬
‫‬
‫‬
‫‪= ...‬‬
‫‬
‫‪an,2‬‬
‫‪1‬‬
‫)‪sg (σ) a1,1 · a2,σ(2) · . . . · an,σ(n‬‬
‫}‪|{z‬‬
‫‪1‬‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫)‪Perm(2,...,n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪a2,2‬‬
‫‪‬‬
‫‪X‬‬
‫‪σ∈Sn‬‬
‫|‬
‫‪ a2,1‬‬
‫‪a2,n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 1) A =  .‬במקום ה‪ i‬בשורה הראשונה(‬
‫צעד ‪..  :II‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪an,1 an,2 . . .‬‬
‫‪an,n‬‬
‫נטען כי ‪ .|A| = (−1)i+1 Ai,j‬זה מתקיים כיוון ש‪:‬‬
‫נחליף את ‪ i‬עם ‪ i − 1‬אח״כ את ‪i − 1‬עם ‪ ...i − 2‬עד שהעמודה ה־‪ i‬המקורית הגיעה‬
‫לעמודה הראשונה‪ .‬נקבל את המטריצה‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪a2,n ‬‬
‫‪‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪an,n‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫‪...‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪a2,1‬‬
‫‪...‬‬
‫‪an,1‬‬
‫‪‬‬
‫‪1‬‬
‫‪ a2,i‬‬
‫‪‬‬
‫‪B= .‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪an,i‬‬
‫‪i−1‬‬
‫)‪) |B| = (−1‬כיוון שבצענו ‪i − 1‬‬
‫)עם חיסור של העמודה ה‪ i‬בהמשך(‪ .‬כמו כן‪|A| :‬‬
‫החלפות(‪ .‬ולכן קיבלנו‪:‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ a2,1 . . . a2,n‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪.. = (−1)i+1 A‬‬
‫‪..‬‬
‫‪|A| = (−1)i−1 |B| = (−1)i+1 ...‬‬
‫‪i,j‬‬
‫‪.‬‬
‫ ‪.‬‬
‫‬
‫ ‪an,1 . . . an,n‬‬
‫|‬
‫‪{z‬‬
‫}‬
‫‪without the i column‬‬
‫‪31‬‬
‫‪(−1)1+j A1,j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= ‪|A| = a1,1 A1,1 − a1,2 A1,2 + . . . + a1,n A1,n‬‬
‫‪j=1‬‬
‫צעד ‪ :III‬שורה ראשונה כללית‪:‬‬
‫‪a1,i ei‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= )‪(a1,1 , a1,2 , . . . , a1,n ) = a1,1 (1, 0, . . . , 0) + . . . + a1,n (0, . . . , 0, 1‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪ 0‬‬
‫‪ 1‬‬
‫‪1‬‬
‫‪...‬‬
‫ ‪0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫ ‪0‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ a2,1 a2,2 . . . a2,n‬‬
‫ ‪ a2,1 a2,2 . . . a2,n‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫‪+ a1,2 .‬‬
‫‪|A| = a1,1 .‬‬
‫‬
‫‪.. + . . .‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫ ‪..‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪.‬‬
‫ ‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫‬
‫ ‪an,1 an,2 . . . an,n‬‬
‫ ‪an,1 an,2 . . . an,n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪ 0‬‬
‫‪0‬‬
‫‪...‬‬
‫ ‪1‬‬
‫‬
‫ ‪ a2,1 a2,2 . . . a2,n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪1+1‬‬
‫‪ai,i A1,1 + . . . + (−1)1+n a1,n A1,n‬‬
‫‪+ a1,n .‬‬
‫)‪.. = (−1‬‬
‫‪..‬‬
‫‬
‫‪ ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪an,1 an,2 . . . an,n‬‬
‫כנדרש‪.‬‬
‫צעד ‪ :IV‬לשורה כללית לפי שורה ‪ :i‬שוב נעביר את שורה ה‪ i‬לשורה הראשונה‪ ,‬תוך כדי‬
‫חילופים של כל שורה עם השורה מעליה ונסמן את המטריצה המתקבלת ב‪.B‬‬
‫‬
‫‬
‫ ‪ ai,1 ai,2 . . . ai,n‬‬
‫‬
‫‬
‫‪a‬‬
‫ ‪a1,2 . . . a1,n‬‬
‫‪i−1‬‬
‫‪i−1 1,1‬‬
‫)‪|A| = (−1‬‬
‫)‪|B| = (−1‬‬
‫‪ ..‬‬
‫= ‪..‬‬
‫‪..‬‬
‫‪ .‬‬
‫‪.‬‬
‫ ‪.‬‬
‫‬
‫ ‪an,1 an,2 . . . an,n‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪n‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫‪X‬‬
‫‪(−1)i+j ai,j Ai,j‬‬
‫= ‪(−1)1+j ai,j · Ai,j ‬‬
‫‪(−1)i−1 ‬‬
‫‪j=1‬‬
‫‪j=1‬‬
‫והרי זוהי הוכחת השמפט‪.‬‬
‫הערה ‪ 0.83‬מכך ש | ‪ |A| = |At‬נקבל שניתן לערוך פתוח לפי עמודה ‪(−1)i+j ai,j · : j‬‬
‫‪n‬‬
‫‪X‬‬
‫= |‪|A‬‬
‫‪i=1‬‬
‫‪Ai,j‬‬
‫‪‬‬
‫∗ ‪...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪. .. ‬‬
‫‪a2‬‬
‫מסקנה ‪ 0.84‬אם ‪ A‬מטריצה משולשת )עליונה\תחתונה( למשל‪ :‬‬
‫‪‬‬
‫‪.. ..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪. ∗‬‬
‫‪. . . 0 an‬‬
‫אז ‪.|A| = a1 · a2 · . . . · an‬‬
‫∗‬
‫‪32‬‬
‫‪a1‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪0‬‬
‫‪A=‬‬
‫‪.‬‬
‫‪ ..‬‬
‫‪0‬‬
.( n × n ‫ מסדר‬A ‫ )כאשר‬n ‫ נעשה אינדוקציה על‬:‫הוכחה‬
|[a]|
=a⇐n=1
a b 0 d = ad ⇐ n = 2
|A| = a1 A1,1 + 0 (−1) · A2,1 + . . . + 0 · An,1
a2
= a1 · 0
∗
..
.
∗ ∗ an = . . . = a1 · a2 · . . . · an
(F ‫~וקטור עמודה )מעל שדה‬b ‫ ויהי‬,n × n ,‫ מטריצה רגולרית‬A ‫תהי‬:‫קרמר‬
 ‫ כלל‬0.85 ‫משפט‬
x1
 
‫את המטריצה המתקבלת‬Ak ‫ נסמן ב‬,k ‫ לכל‬.‫ יש פתרון יחיד‬A  ...  = ~b ‫אז למערכת‬
xn
 
c1
 .. 
:‫ מקיים‬, .  ‫ נסמנו ב‬,‫ אז הפתרון של המערכת‬.b ‫ בוקטור‬k‫ ע״י החלפת העמודה ה‬A‫מ‬
cn
 
 
 

|
|
|
|
c1 v1 +c2 v2 +. . .+cn vn  = c v1
|
|
|
|
|
|Ak | = v1
|
|
. . . vk−1
|
b1
..
.
bn
k|
ck = |A
|A|
 

c1
|
 
. . . vn  = A  ...  = :‫הוכחה‬
|
cn
|
v2
|
~b
|
vk+1
|
| . . . vn |
 
 
 
|
|
|
~b = c1 v1  + c2 v2  + . . . + cn vn 
|
|
|
|Ak | = det v1 , . . . , vk−1 ,
n
X
ci vi , vk+1 , . . . , vn
i=1
n
X
!
33
:‫ולכן‬
=
ci det (v1 , . . . , vk−1 , vi , vk+1 , . . . , vn ) = ck |A| ⇒ ck =
i=1
‫אבל‬
|Ak |
|A|
‫המטריצה המצורפת ל־‪A‬‬
‫תהי ‪ A‬מטריצה ‪ ,n × n‬נגדיר את המטריצה המצורפת ל־‪ adj (A)) A‬־ מתוך ‪:(adjoint‬‬
‫‪Aj,i‬‬
‫‪i+j‬‬
‫)‪bi,j = (−i‬‬
‫) ‪adj (A) = (bi,j‬‬
‫כלומר‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪...‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪−A2,1‬‬
‫‪A2,2‬‬
‫‪‬‬
‫‪A1,1‬‬
‫‪−A2,1‬‬
‫‪adj (A) = ‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪|A| 0 . . . 0‬‬
‫‪‬‬
‫‪.. ‬‬
‫‪ 0 |A| . . .‬‬
‫‪. ‬‬
‫‪‬‬
‫משפט ‪ 0.86‬‬
‫‪A · adj (A) =  .‬‬
‫‪‬‬
‫‪.‬‬
‫‪.‬‬
‫‪..‬‬
‫‪.. 0 ‬‬
‫‪ ..‬‬
‫|‪0 . . . 0 |A‬‬
‫הוכחה‪:‬‬
‫‪34‬‬