EKSTREMALNI PROBLEMI e-gradivo Mat vs Ekstremi

EKSTREMALNI PROBLEMI
EKSTREMALNI PROBLEMI
e-gradivo Mat vs
izr. prof. dr. Petra Šparl
Kranj 2013/14
EKSTREMALNI PROBLEMI
Ekstremi
Ekstremi funkcije y = f (x) so toµcke na grafu funkcije f; ki so v
neki svoji okolici najvišje ali najniµzje.
Naj bo v toµcki x0 2 Df ekstrem funkcije f: Potem je tangenta na
graf funkcije f v toµcki x = x0 vodoravna in velja: f 0 (x0 ) = 0:
Opomba. Pogoj f 0 (x) = 0 je le potreben pogoj za nastop
ekstrema funkcije f; ne pa tudi zadosten. To pomeni, da obstajajo
toµcke, za katere velja f 0 (x) = 0; ki niso ekstremi, temveµc so
prevoji.
Na predavanjih smo povedali kako za posamezno stacionarno toµcko
preverimo njeno naravo (ali je minimum, maksimum ali prevoj).
EKSTREMALNI PROBLEMI
Uporabni zgledi I
Zgled 1. Stroške proizvodnje podaja stroškovna funkcija
c(y) = 34 y 2 y + 2; pri µcemer y predstavlja obseg proizvodnje.
Doloµcimo mejne vrednosti stroškov.
Rešitev. Mejne vrednosti stroškov predstavljajo ekstremi funkcije
c(y). Torej moramo izraµcunati odvod funkcije c (odvajamo po
spremenljivki y).
c0 (y) =
3
2y
4
3
1+0= y
2
1:
Kandidate za ekstreme (stacionarne toµcke) dobimo kot rešitve
enaµcbe c0 (y) = 0 :
3
c0 (y) = y 1 = 0
2
= 32
3
2
y=1)y=
2
3
EKSTREMALNI PROBLEMI
Nadaljevanje zgleda I
S pomoµcjo drugega odvoda preverimo ali je dobljena stacionarna
toµcka y = 23 ekstrem.
c00 (y) =
3
> 0; za vsak y 2 R:
2
Kot vidimo, je drugi odvod v vsaki toµcki pozitiven (ni odvisen od
y-a), kar pomeni, da je pri y = 23 minimum.
Za dani primer to pomeni, da bo imelo podjetje minimalne stroške
proizvodnje, µce bo obseg proizvodnje enak 23 enote proizvodnje.
EKSTREMALNI PROBLEMI
Uporabni zgledi II
Zgled 2. Iz kartona v obliki kvadrata s stranico a izdelajmo škatlo
s kvadratnim dnom brez pokrova. Kakšnih dimenzij naj bo škatla,
da bo njena prostornina maksimalna.
Rešitev. Omenjeno škatlo dobimo tako, da na vseh štirih vogalih
odreµzemo kvadrate s stranico x < a2 ; kot prikazuje spodnja slika.
Na ta naµcin dobimo škatlo višine x, ki ima za osnovno ploskov
kvadrat s starnico b = a x.
EKSTREMALNI PROBLEMI
Njena prostornina je enaka
V = O h = (a
x)2 x = x3
2ax2 + a2 x;
kjer je a podana konstanta, x pa spremenljivka. Torej smo
volumen zapisali kot funkcijo x-a.
Odvod funkcije V (x) je enak
V 0 (x) = 3x2
4ax + a2 :
Niµcli pa
3x2
4ax + a2 = (x
a)(3x a) = 0
a
x1 = a; x2 =
3
Prva niµcla x = a je nesmiselna, ker v tem primeru ves karton
‘odreµzemo’.
Rešitev je torej x = a3 ; kar pomeni, da bo imela škatla za osnovno
ploskev kvadrat s stranico a 2x = a3 in višino a3 .
Torej smo dobili kocko brez zgornje ploskve.
EKSTREMALNI PROBLEMI
Uporabni zgledi III
Zgled 3. Podjetje, ki izdeluje sode za gorivo, je dobilo naroµcilo za
100 litrske kovinske sode v obliki valja. Kakšnih dimenzij (polmer r
in višina h) naj bodo sodi, da bodo za izdelavo porabili µcim manj
materiala?
Rešitev. Ker µzelimo µcim manj materiala, išµcemo minimum
površine valja.
Površina valja je sestavljena iz dveh osnovnih ploskev in plašµca
valja.
Osnovna ploskev je krog s polmerom r. Plašµc valja je pravokotnik,
kjer je ena stranica enaka višini valja h; druga pa obsegu osnovne
ploskve.
P = 2O + Splasca = 2 r2 + 2 r h:
µ µzelimo raµcunati odvod, moramo funkcijo P zapisati kot funkcijo
Ce
ene same spremenljivke.
EKSTREMALNI PROBLEMI
Nadaljevanje zgleda III
V ta namen uporabimo pogoj, da je volumen soda enak 100 l:
V = r2 h = 100 dm3 :
Iz dobljene enakosti lahko izrazimo h in dobljeni izraz vstavimo v
formulo za površino:
h=
100
r2
P (r) = 2 r2 + 2 r
100
200
2
=
2
r
+
= 2 r2 + 200r
2
r
r
1
Dobili smo formulo za površino P , ki je odvisna le od polmera r:
Odvod funkcije P (r) je enak
P 0 (r) = 4 r
200r
2
:
EKSTREMALNI PROBLEMI
Rešimo enaµcbo P 0 (r) = 0:
4 r
200
=0
r2
4 r3 = 200
200
50
r3 =
=
4
r
3 50
= 2:52 dm
r=
Izraµcunajmo še višino valja:
h=
100
=
r2
100
q
3
50
2
= 5:03 dm
Torej,
q100-litrski valj z minimalno površino mora imeti polmer enak
100
r = 3 50 = 2:52 dm in višino h = q
2 = 5:03 dm.
3 50
EKSTREMALNI PROBLEMI
Opomba
Pri strogo matematiµcnem raµcunanju bi tudi pri zadnjih dveh
zgledih za dobljene kandidate za ekstreme morali z drugim
odvodom preveriti ali gre za minimume, maksimume ali prevoje.
Ker je v obeh primerih iz narave problema jasno, kakšna je narava
dobljenih stacionarnih toµck, tega nismo naredili.
Za vajo lahko za vsako dobljeno stacionarno toµcko, v omenjenih
dveh zgledih, raµcunsko preverite njeno naravo.