Odvod

ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
OSNOVE ODVODA - utrjevanje
e-gradivo
izr. prof. dr. Petra Šparl
Kranj 2013/14
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
1. Zveznost realnih funkcij
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
1. Zveznost realnih funkcij
Prouµcimo zveznost funkcije f (x ) =
izr. prof. dr. Petra Šparl
x
2
2x
; x <1
.
; x 1
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
1. Zveznost realnih funkcij
Prouµcimo zveznost funkcije f (x ) =
x
2
2x
; x <1
.
; x 1
Graf funkcije f (x ) je enak
y
10
5
-4
-2
2
4
x
-5
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
1. Zveznost realnih funkcij
Prouµcimo zveznost funkcije f (x ) =
x
2
2x
; x <1
.
; x 1
Graf funkcije f (x ) je enak
y
10
5
-4
-2
2
4
x
-5
Kot vidimo graf v toµcki x = 1 NI sklenjen, temveµc ima skok.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
1. Zveznost realnih funkcij
Prouµcimo zveznost funkcije f (x ) =
x
2
2x
; x <1
.
; x 1
Graf funkcije f (x ) je enak
y
10
5
-4
-2
2
4
x
-5
Kot vidimo graf v toµcki x = 1 NI sklenjen, temveµc ima skok.
Namreµc, f (1) = 1 po prvem predpisu in f (1) = 2 po drugem predpisu.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
1. Zveznost realnih funkcij
Prouµcimo zveznost funkcije f (x ) =
x
2
2x
; x <1
.
; x 1
Graf funkcije f (x ) je enak
y
10
5
-4
-2
2
4
x
-5
Kot vidimo graf v toµcki x = 1 NI sklenjen, temveµc ima skok.
Namreµc, f (1) = 1 po prvem predpisu in f (1) = 2 po drugem predpisu.
Torej, funkcija f (x ) v toµcki x = 1 NI zvezna.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zveznost realnih funkcij II
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zveznost realnih funkcij II
Prouµcimo zveznost funkcije g (x ) = x 3
izr. prof. dr. Petra Šparl
2x 2 + 5.
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zveznost realnih funkcij II
Prouµcimo zveznost funkcije g (x ) = x 3
2x 2 + 5.
Graf funkcije f (x ) je enak
y
40
20
-2
-20
2
4
x
-40
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zveznost realnih funkcij II
Prouµcimo zveznost funkcije g (x ) = x 3
2x 2 + 5.
Graf funkcije f (x ) je enak
y
40
20
-2
-20
2
4
x
-40
Kot vidimo, je v tem primeru graf neprekinjena gladka krivulja, kar
pomeni, da je zvezna v vsaki toµcki svojega de…nicijskega obmoµcja.
Funkcija g (x ) je torej zvezna funkcija.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Naloge - zveznost
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Naloge - zveznost
1
Doloµcite toµcke nezveznosti funkcije f (x ) =
Odgovor utemeljite!
2
3
8
< 1
x2
;
a
;
:
1+x ;
parameter a, da bo funkcija zvezna
Odgovor utemeljite!
Dana je funkcija y =
8
>
>
<
>
>
:
1
x
1
x
3
;
x <0
; 06x 61
.
; 1<x 62
; 2<x 63
x <0
x = 0 . Kakšen mora biti
x >0
v toµcki 0 ?
Doloµcite parameter λ tako, da bo funkcija
e x +1 ; x 0
y=
zvezna za vsak x.
x +λ
; x <0
Narišite graf dobljene funkcije.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
2. Limita funkcije
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
2. Limita funkcije
Intuitivno je limita funkcije f : D ! R v toµcki x0 2 D enaka številu L, od
katerega se poljubno malo razlikujejo funkcijske vrednosti f (x ) v vseh
toµckah x, ki so dovolj blizu x0 .
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
2. Limita funkcije
Intuitivno je limita funkcije f : D ! R v toµcki x0 2 D enaka številu L, od
katerega se poljubno malo razlikujejo funkcijske vrednosti f (x ) v vseh
toµckah x, ki so dovolj blizu x0 .
Formalno se de…nicija limite glasi:
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
2. Limita funkcije
Intuitivno je limita funkcije f : D ! R v toµcki x0 2 D enaka številu L, od
katerega se poljubno malo razlikujejo funkcijske vrednosti f (x ) v vseh
toµckah x, ki so dovolj blizu x0 .
Formalno se de…nicija limite glasi:
De…nicija
Število L je limita funkcije f (x ) v toµcki x0 , µce za vsako število e > 0
obstaja takšno število δ > 0, da za vsak x 6= x0 velja:
µce je jx
x0 j < δ, potem je jf (x )
Lj < e.
Oznaka L = lim f (x ).
x !x 0
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
2. Limita funkcije
Intuitivno je limita funkcije f : D ! R v toµcki x0 2 D enaka številu L, od
katerega se poljubno malo razlikujejo funkcijske vrednosti f (x ) v vseh
toµckah x, ki so dovolj blizu x0 .
Formalno se de…nicija limite glasi:
De…nicija
Število L je limita funkcije f (x ) v toµcki x0 , µce za vsako število e > 0
obstaja takšno število δ > 0, da za vsak x 6= x0 velja:
µce je jx
x0 j < δ, potem je jf (x )
Lj < e.
Oznaka L = lim f (x ).
x !x 0
Opomba. Limita funkcije lahko obstaja tudi v toµckah, kjer funkcija NI
de…nirana.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
Rešitev.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
Rešitev. Najprej vstavimo vrednost x = 0 v funkcijski predpis.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
Rešitev. Najprej vstavimo vrednost x = 0 v funkcijski predpis.
V našem primeru dobimo:
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
Rešitev. Najprej vstavimo vrednost x = 0 v funkcijski predpis.
V našem primeru dobimo:
2 2x 1
lim x2x +
2 x +1 =
x !0
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
Rešitev. Najprej vstavimo vrednost x = 0 v funkcijski predpis.
V našem primeru dobimo:
2 2x 1
0 2 +2 0 1
lim x2x +
2 x +1 = 2 0 2 0 +1 =
x !0
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
Rešitev. Najprej vstavimo vrednost x = 0 v funkcijski predpis.
V našem primeru dobimo:
2 2x 1
0 2 +2 0 1
1
lim x2x +
2 x +1 = 2 0 2 0 +1 = 1 =
x !0
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
Rešitev. Najprej vstavimo vrednost x = 0 v funkcijski predpis.
V našem primeru dobimo:
2 2x 1
0 2 +2 0 1
1
lim x2x +
2 x +1 = 2 0 2 0 +1 = 1 = 1.
x !0
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi
µ je funkcija v dani toµcki x = x0 de…nirana, potem je limita funkcije
Ce
enaka kar funkcijski vrednosti v tisti toµcki, f (x0 ).
2
x +2x 1 , v toµcki x = 0.
Zgled 1. Izraµcunajmo limito funkcije f (x ) = 2x
0
2 x +1
Rešitev. Najprej vstavimo vrednost x = 0 v funkcijski predpis.
V našem primeru dobimo:
2 2x 1
0 2 +2 0 1
1
lim x2x +
2 x +1 = 2 0 2 0 +1 = 1 = 1.
x !0
Torej, lim f (x ) =
x !0
1
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g (x ) = x 1 2
x0 = 2.
izr. prof. dr. Petra Šparl
12 ,
x3 8
v toµcki
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g (x ) = x 1 2
x0 = 2.
12 ,
x3 8
v toµcki
Rešitev.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g (x ) = x 1 2
x0 = 2.
12 ,
x3 8
v toµcki
Rešitev. Najprej izraµcunajmo g (2):
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g (x ) = x 1 2
x0 = 2.
12 ,
x3 8
v toµcki
Rešitev. Najprej izraµcunajmo g (2):
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
=
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g (x ) = x 1 2
x0 = 2.
12 ,
x3 8
v toµcki
Rešitev. Najprej izraµcunajmo g (2):
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
= lim
x !2
1
2 2
izr. prof. dr. Petra Šparl
12
23 8
=
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g (x ) = x 1 2
x0 = 2.
12 ,
x3 8
v toµcki
Rešitev. Najprej izraµcunajmo g (2):
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
= lim
x !2
1
2 2
izr. prof. dr. Petra Šparl
12
23 8
= lim
x !2
1
0
12
0
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
=
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g (x ) = x 1 2
x0 = 2.
12 ,
x3 8
v toµcki
Rešitev. Najprej izraµcunajmo g (2):
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
= lim
x !2
1
2 2
izr. prof. dr. Petra Šparl
12
23 8
= lim
x !2
1
0
12
0
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
=∞
∞.
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi II
µ pri raµcunanju limite lim g (x ) ugotovimo, da je funkcijska vrednost
Ce
x !x 0
g (x0 ) enaka enemu od izrazov
c ∞ 0
∞, ∞, 0,0
∞ ali ∞
∞,
potem moramo funkcijski predpis ustrezno preoblikovati.
Zgled 2. Izraµcunajmo limito funkcije g (x ) = x 1 2
x0 = 2.
12 ,
x3 8
v toµcki
Rešitev. Najprej izraµcunajmo g (2):
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
= lim
x !2
1
2 2
12
23 8
= lim
x !2
1
0
12
0
=∞
∞.
Dobili smo nedoloµcen izraz, torej moramo funkcijski predpis preoblikovati.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
=
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
(x 2 +2x +4 ) 12
x 3 23
x !2
= lim
izr. prof. dr. Petra Šparl
=
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
(x 2 +2x +4 ) 12
x 3 23
x !2
= lim
izr. prof. dr. Petra Šparl
= lim
x !2
x 2 +2x 8 .
x 3 23
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
(x 2 +2x +4 ) 12
x 3 23
x !2
= lim
= lim
x !2
x 2 +2x 8 .
x 3 23
Ker je funkcijska vrednost imenovalca v toµcki x = 2 še vedno enaka 0,
poskusimo števec in imenovalec razstaviti:
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
(x 2 +2x +4 ) 12
x 3 23
x !2
= lim
= lim
x !2
x 2 +2x 8 .
x 3 23
Ker je funkcijska vrednost imenovalca v toµcki x = 2 še vedno enaka 0,
poskusimo števec in imenovalec razstaviti:
(x 2 )(x +4 )
2
x !2 (x 2 )(x +2x +4 )
= lim
izr. prof. dr. Petra Šparl
=
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
(x 2 +2x +4 ) 12
x 3 23
x !2
= lim
= lim
x !2
x 2 +2x 8 .
x 3 23
Ker je funkcijska vrednost imenovalca v toµcki x = 2 še vedno enaka 0,
poskusimo števec in imenovalec razstaviti:
(x 2 )(x +4 )
2
x !2 (x 2 )(x +2x +4 )
= lim
izr. prof. dr. Petra Šparl
x +4 .
2
x !2 x +2x +4
= lim
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
(x 2 +2x +4 ) 12
x 3 23
x !2
= lim
= lim
x !2
x 2 +2x 8 .
x 3 23
Ker je funkcijska vrednost imenovalca v toµcki x = 2 še vedno enaka 0,
poskusimo števec in imenovalec razstaviti:
(x 2 )(x +4 )
2
x !2 (x 2 )(x +2x +4 )
= lim
x +4 .
2
x !2 x +2x +4
= lim
Po krajšanju dobimo ulomek, katerega funkcijska vrednost imenovalca v
toµcki x = 2 ni enaka 0. Zato v zadnjem koraku le še izraµcunamo
funkcijsko vrednost dobljenega izraza v toµcki x = 2.
=
2 +4
2 2 +2 2 +4
izr. prof. dr. Petra Šparl
= 12 .
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Pri preoblikovanju izraza moramo paziti, da dobimo predpis, ki
predstavlja zaµcetno funkcijo! V našem primeru lahko, upoštevje enakost
a3 b 3 = (a b )(a2 + ab + b 2 ), damo ulomka na skupni imenovalec in
dobimo:
lim
x !2
1
x 2
12
x3 8
(x 2 +2x +4 ) 12
x 3 23
x !2
= lim
= lim
x !2
x 2 +2x 8 .
x 3 23
Ker je funkcijska vrednost imenovalca v toµcki x = 2 še vedno enaka 0,
poskusimo števec in imenovalec razstaviti:
(x 2 )(x +4 )
2
x !2 (x 2 )(x +2x +4 )
= lim
x +4 .
2
x !2 x +2x +4
= lim
Po krajšanju dobimo ulomek, katerega funkcijska vrednost imenovalca v
toµcki x = 2 ni enaka 0. Zato v zadnjem koraku le še izraµcunamo
funkcijsko vrednost dobljenega izraza v toµcki x = 2.
=
2 +4
2 2 +2 2 +4
= 12 .
Torej lim g (x ) = 21 .
x !2
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi IIII
Zgled 3. Izraµcunajmo limito funkcije h (x ) =
izr. prof. dr. Petra Šparl
p
p
x
3
x 3
v toµcki x0 = 3.
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi IIII
Zgled 3. Izraµcunajmo limito funkcije h (x ) =
Rešitev.
izr. prof. dr. Petra Šparl
p
p
x
3
x 3
v toµcki x0 = 3.
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi IIII
p
p
Zgled 3. Izraµcunajmo limito funkcije h (x ) = xx 3 3 v toµcki x0 = 3.
Rešitev. Ker je h (3) = 00 , kar je nedoloµcen izraz, moramo predpis
ponovno oblikovati. Tokrat bomo razstavili imenovalec z uporabo formule
a2 b 2 = (a b )(a + b ).
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi IIII
p
p
Zgled 3. Izraµcunajmo limito funkcije h (x ) = xx 3 3 v toµcki x0 = 3.
Rešitev. Ker je h (3) = 00 , kar je nedoloµcen izraz, moramo predpis
ponovno oblikovati. Tokrat bomo razstavili imenovalec z uporabo formule
a2 b 2 = (a b )(a + b ).
lim
x !3
p
p
x
3
x 3
p p
px p3 p
3 )( x + 3 )
x !3 ( x
= lim
izr. prof. dr. Petra Šparl
p
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi IIII
p
p
Zgled 3. Izraµcunajmo limito funkcije h (x ) = xx 3 3 v toµcki x0 = 3.
Rešitev. Ker je h (3) = 00 , kar je nedoloµcen izraz, moramo predpis
ponovno oblikovati. Tokrat bomo razstavili imenovalec z uporabo formule
a2 b 2 = (a b )(a + b ).
lim
p
x
3
x 3
= lim
p
p
p
x !3
Kot vidimo, lahko izraz
dobimo limito:
x
p p
px p3 p
3 )( x + 3 )
x !3 ( x
p
3 v števcu in imenovalcu pokrajšamo in
= lim
x !3
izr. prof. dr. Petra Šparl
p 1p .
x+ 3
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi IIII
p
p
Zgled 3. Izraµcunajmo limito funkcije h (x ) = xx 3 3 v toµcki x0 = 3.
Rešitev. Ker je h (3) = 00 , kar je nedoloµcen izraz, moramo predpis
ponovno oblikovati. Tokrat bomo razstavili imenovalec z uporabo formule
a2 b 2 = (a b )(a + b ).
lim
p
x
3
x 3
= lim
p
p
p
x !3
Kot vidimo, lahko izraz
dobimo limito:
x
p p
px p3 p
3 )( x + 3 )
x !3 ( x
p
3 v števcu in imenovalcu pokrajšamo in
= lim
x !3
p 1p .
x+ 3
V dobljeni izraz lahko vstavimo vrednosti x = 3 in dobimo:
=
p 1p
3+ 3
izr. prof. dr. Petra Šparl
=
1
p
2 3
=
p
3
6 .
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Zgledi IIII
p
p
Zgled 3. Izraµcunajmo limito funkcije h (x ) = xx 3 3 v toµcki x0 = 3.
Rešitev. Ker je h (3) = 00 , kar je nedoloµcen izraz, moramo predpis
ponovno oblikovati. Tokrat bomo razstavili imenovalec z uporabo formule
a2 b 2 = (a b )(a + b ).
lim
p
x
3
x 3
= lim
p
p
p
x !3
Kot vidimo, lahko izraz
dobimo limito:
x
p p
px p3 p
3 )( x + 3 )
x !3 ( x
p
3 v števcu in imenovalcu pokrajšamo in
= lim
x !3
p 1p .
x+ 3
V dobljeni izraz lahko vstavimo vrednosti x = 3 in dobimo:
=
p 1p
3+ 3
=
1
p
2 3
=
p
3
6 .
Opomba. Zadnjo enakost
p smo dobili z racionalizacijo (mnoµzenjem
števca in imenovalca s 3).
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3. De…nicija in geometrijski pomen odvoda
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3. De…nicija in geometrijski pomen odvoda
De…nicija
Odvod zvezne funkcije y = f (x ) je funkcija f 0 (x ), ki je enaka limiti
diferenµcnega kvocienta
f (x + h )
h
h !0
f 0 (x ) = lim
izr. prof. dr. Petra Šparl
f (x )
.
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3. De…nicija in geometrijski pomen odvoda
De…nicija
Odvod zvezne funkcije y = f (x ) je funkcija f 0 (x ), ki je enaka limiti
diferenµcnega kvocienta
f (x + h )
h
h !0
f 0 (x ) = lim
f (x )
.
Geometrijski pomen odvoda
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3. De…nicija in geometrijski pomen odvoda
De…nicija
Odvod zvezne funkcije y = f (x ) je funkcija f 0 (x ), ki je enaka limiti
diferenµcnega kvocienta
f (x + h )
h
h !0
f 0 (x ) = lim
f (x )
.
Geometrijski pomen odvoda
Na graf zvezne funkcije y = f (x ) µzelimo postaviti tangento v toµcki
x = x0 .
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3. De…nicija in geometrijski pomen odvoda
De…nicija
Odvod zvezne funkcije y = f (x ) je funkcija f 0 (x ), ki je enaka limiti
diferenµcnega kvocienta
f (x + h )
h
h !0
f 0 (x ) = lim
f (x )
.
Geometrijski pomen odvoda
Na graf zvezne funkcije y = f (x ) µzelimo postaviti tangento v toµcki
x = x0 .
Velja, da je smerni koe…cient tangente kT enak funkcijski vrednosti
odvoda v toµcki x = x0 :
kT = f 0 (x0 ).
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3.1 Osnovna tabela odvodov in pravila
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
3.1 Osnovna tabela odvodov in pravila
Funkcije odvajamo s pomoµcjo osnovne tabele odvodov
f (x )
xn
ex
ln x
f 0 (x )
nx n-1
ex
1
x
sin x
cos x
ax
cos x
-sin x
ax
ln a
loga x
tan x
cot x
1
x ln a
1
cos2 x
1
sin 2 x
in osnovnih pravil za odvajanje:
1
2
3
4
(k f (x ))0 = k f 0 (x ),
(f (x ) g (x ))0 = f (x )0 g (x )0 ,
(f (x ) g (x ))0 = f (x )0 g (x ) + f (x ) g 0 (x ),
f (x )
g (x )
0
=
f (x ) 0 g (x ) f (x ) g (x ) 0
g (x )2
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Naloge
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Naloge
1
S pomoµcjo osnovne tabele odvodov in osnovnih pravil za odvode
izraµcunajte odvode naslednjih funkcij:
1
2
3
f (x ) = 5x 2
7x 3 + 8x
2
g (x ) =
x 2ex ,
3
h (x ) =
x2 1
5x +2 ,
4
i (x ) = x ln x
p
x + 3,
x.
Doloµcite enaµcbo tangente na krivuljo y = x 3
x0 = 1.
3x 2 + 2 v toµcki
V kateri toµcki parabole y = x 2 2x + 5 je potrebno postaviti
tangento, da bo vzporedna premici y = x ? Parabolo in dobljeno
tangento narišite v isti koordinatni sistem.
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Rešitve - zveznost
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Rešitve - zveznost
1
Toµcki nezveznosti sta:
x1 = 0, ker je f (0) = 1 in f (x ) = ∞, ko x raste proti 0
(lim f (x ) = ∞),
x "0
x2 = 2, ker je f (2) = 2 in f (x ) = 3, ko se x pribliµzuje vrednosti 2 z
leve (lim f (x ) = 3).
2
3
x #2
a = 1.
Utemeljitev: µce naj bo f (x ) zvezna v toµcki x = 0, potem mora
veljati: 1 02 = a in a = 1 + 0 ) a = 1
λ=2:
Utemeljitev: ker sta funkciji e x + 1 in x + λ zvezni na celotni
realni osi, je edina toµcka, ki je lahko problematiµcna, toµcka x = 0.
V tej toµcki mora veljati: e 0 + 1 = 0 + λ ) λ = 2
2
-5 -2
-4
izr. prof. dr. Petra Šparl
y
5
x
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Rešitve - odvod
izr. prof. dr. Petra Šparl
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo
ZVEZNOST in LIMITA
ODVOD
Rešitve - odvod
1
Odvodi funkcij
a) f 0 (x ) = 10x
21x 2
1
p
2 x
b) g 0 (x ) = x 2 e x + 2xe x
5
c) h0 (x ) = 2 5xx+2
x2
(5x +2 )2
2
3
+8
1
d) i 0 (x ) = ln x
kT = f 0 (1) = 3 in T (1, 0):
enaµcbe tangente: y y0 = kT (x x0 ) ) y = 3x + 3.
Tangenta in premica y = x morata imeti enak smerni koe…cient:
kT = 1
f 0 (x ) = 2x 2 = 1 ) x0 = 32 in y0 = 17
4
3
11
Enaµcba tangente: y 17
4 = 1 (x
2) ) y = x + 4
y
15
-2
izr. prof. dr. Petra Šparl
0
2
4
x
OSNOVE ODVODA - utrjevanjee-gradivo