בעיות דרך והספק מושגים בסיסיים

‫בעיות דרך והספק מושגים בסיסיים‬
‫תלמיד‪/‬ה יקר‪/‬ה‪,‬‬
‫לפניך קובץ ובו מושגים בסיסיים בבעיות דרך והספק‪.‬‬
‫הקובץ מכיל ‪ 11‬מושגים‪.‬‬
‫רצוי לעבור על חומר הלימוד לפני המעבר על מבחני דרך והספק‪.‬‬
‫ניתן להדפיס קובץ זה כדי שיהיה לפני התלמיד‪/‬ה בזמן התרגול‪.‬‬
‫בהצלחה‪,‬‬
‫צוות מכון נועם‬
‫‪1‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר‪ – 1‬יחס‬
‫למושג יחס חשיבות בבעיות דרך והספק מאחר והוא מאפשר לנו לחשב הספק של כמות עבודה מסוימת‬
‫בעזרת כמות עבודה אחרת שאת תוצאותיה אנו יודעים‪.‬‬
‫יחס הוא השוואה בין שתי כמויות‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫בסלט יש ‪ 3‬עגבניות ו‪ 2-‬מלפפונים‪ .‬מהו היחס בין העגבניות למלפפונים בסלט?‬
‫דרך לפתרון‬
‫ניתן לכתוב את היחס בשתי צורות ‪:‬‬
‫צורה של שבר‪ -‬היחס בין העגבניות למלפפונים הוא‪:‬‬
‫צורה של סימן חילוק‪ -‬היחס בין העגבניות למלפפונים הוא‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ –2‬השוואה בין יחסים‬
‫כאשר שואלים אותנו על מקרים שונים בהם יש לשמור על אותו יחס‪ ,‬ניתן לרשום את היחסים כשברים ולפתור‬
‫כתרגיל חשבוני ‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫כדי להכין מיץ יש צורך להשתמש ב‪ 2-‬כוסות תרכיז על כל ‪ 5‬כוסות מים‪ .‬כמה כוסות מים יש להוסיף ל‪ 6-‬כוסות‬
‫תרכיז?‬
‫דרך לפתרון‬
‫נרשום את היחסים כשני שברים‪:‬‬
‫נשים לב שבעצם המונה הוא כפולה בשלוש של המונה בשבר היחס המקורי‪ ,‬על מנת לשמור עליו עלינו להכפיל גם‬
‫את המכנה בשלוש‪ ,‬על פי חוקי השברים‪.‬‬
‫‪3‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 3‬המרת אחוזים לשבר עשרוני‬
‫כאשר יש צורך להמיר אחוז לשבר עשרוני‪ ,‬נזכור שאחוז הוא למעשה שבר בעל מכנה ‪ .011‬לכן ניתן לרשום‬
‫את האחוז בשני מקומות אחרי הנקודה‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫רשמו כשבר עשרוני את האחוז ‪.6%‬‬
‫דרך לפתרון‬
‫נרשום את האחוז כשבר פשוט ואחר כך נמיר לעשרוני‪:‬‬
‫תשובה ‪ 6%:‬הם ‪0.0.0‬‬
‫‪4‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ –3‬טבלת יחס‬
‫בשאלות דרך והספק‪ ,‬במקרים רבים מומלץ להציב את הנתונים הידועים לנו בתוך טבלה‪ ,‬לראות מהם היחסים‬
‫בין השורות או הטורים בטבלה וכך לפתור את השאלה‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫כדי להכין ‪ 31‬כוסות מיץ תפוזים יש צורך לסחוט ‪ 6‬תפוזים‪ ,‬כמה תפוזים צריך כדי להכין ‪ 01‬כוסות מיץ?‬
‫דרך לפתרון‬
‫נציב בטבלה את הנתונים הידועים לנו‪:‬‬
‫נשאל מהו היחס בין מספרי כוסות המיץ? במעבר בין השורה העליונה לתחתונה חילקנו ב‪ ,3-‬לכן היחס הוא ‪.0:3‬‬
‫מכאן במעבר בין השורות בצד של "מספר התפוזים" עלינו לחלק בשלוש על מנת לשמור על היחס והתשובה תהיה ‪.2‬‬
‫התשובה הנכונה‪ 2 :‬תפוזים‪.‬‬
‫שימו לב שבשתי הדרכים לפתרון הגענו אל אותה תשובה סופית‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 4‬יחס ישר‬
‫יחס ישר הוא תיאור למצב בו המונה והמכנה גדלים באותו קצב‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫‪ 8‬פועלים סוללים ‪ 4‬מטר של כביש ביום עבודה‪ ,‬כמה מטר של כביש יסללו ‪ 06‬פועלים ביום עבודה?‬
‫דרך לפתרון‬
‫מכיוון שהגדלנו את מספר הפועלים פי ‪.2‬‬
‫גם מספר המטרים שהם יספיקו לסלול יגדל פי ‪:2‬‬
‫התשובה הנכונה היא ‪ 8 :‬מטרים ליום‪0‬‬
‫‪6‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ –5‬יחס הפוך‬
‫יחס הפוך הוא כאשר הגדלת אחד הנתונים מקטינה את הנתון השני באותה מידה‪ .‬למשל כאשר נגדיל את‬
‫מספר הפועלים נקטין את זמן ביצוע העבודה‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫‪ 3‬מכונות הדפסה מדפיסות ‪ 011‬עמודים ב‪ 02-‬דקות‪ .‬כמה זמן ייקח ל‪ 9-‬מכונות להדפיס כמות זהה של ‪011‬‬
‫עמודים ?‬
‫דרך לפתרון‬
‫נציב את הנתונים בטבלה‪:‬‬
‫מכיוון שכמות העמודים שעלינו להדפיס נשארת זהה‪ ,‬ככל שנגדיל את מספר המכונות המבצעות את העבודה‪ -‬זמן‬
‫ביצוע העבודה יקטן‪ .‬זוהי בדיוק המשמעות של יחס הפוך‪.‬‬
‫לכן‪ ,‬בבואנו לפתור את הבעיה‪ ,‬נזכור שככל שצד אחד קטן‪ ,‬הצד השני גדל‪ -‬ולהפך‪ .‬אם הגדלנו את מספר המכונות‪,‬‬
‫הזמן שיקח לביצוע העבודה יקטן‪0‬‬
‫אם הכפלנו את מספר המכונות פי ‪ ,3‬את הזמן לביצוע עבודת ההדפסה עלינו לחלק ב‪.3‬‬
‫תשובה‪ 4 :‬דקות‪0‬‬
‫‪7‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ – 0‬נוסחת תנועה‬
‫בבעיות יחס בהן הנושא הוא תנועה קל לזכור את הנוסחא לפיה צריך לחשב‪:‬‬
‫שימו לב‪ ,‬היחידות המתאימות לנוסחא הן‪ :‬מהירות בקמ"ש (קילומטר לשעה)‪ ,‬זמן בשעה‪ ,‬דרך בק"מ‬
‫(קילומטרים)‪.‬‬
‫אם בשאלה מופיעות יחידות אחרות יש להתאים אותן לנוסחא‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫מכונית נוסעת במהירות ‪ 91‬קמ"ש‪ .‬במשך ‪ 31‬דקות‪ ,‬איזה מרחק תעבור המכונית?‬
‫דרך לפתרון‬
‫נכניס את הנתונים לנוסחא‪ -‬ידוע לנו כי המהירות היא ‪ ,91‬הזמן הוא חצי שעה‪ ,‬ועלינו לחשב את הדרך‪.‬‬
‫שים לב‪ -‬מכיוון שהזמן מצוין בדקות‪ ,‬צריך להמיר אותו לשעות‪:‬‬
‫נכניס את הנתונים לנוסחא‪:‬‬
‫תשובה‪ :‬המכונית תעבור ‪ 45‬ק"מ‪.‬‬
‫את נוסחת התנועה ניתן לכתוב בדרכים שונות‪ ,‬בהתאם לנתון שאותו אנחנו מחפשים‪:‬‬
‫אם אנחנו מחפשים את המהירות‪ ,‬נשתמש בנוסחא ככה‪:‬‬
‫‪9‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫מושג מספר ‪ –7‬נוסחת ההספק‬
‫בשאלות העוסקות ביחסים בין ביצוע עבודה לזמן‪ ,‬ניתן להשתמש בנוסחת ההספק‪:‬‬
‫או בצורתה השנייה‪:‬‬
‫שאלה לדוגמא‬
‫‪ 4‬פועלים מייצרים ‪ 31‬נרות ב‪ 45-‬דקות‪ .‬כמה נרות ייצרו ‪ 8‬פועלים העובדים באותו ההספק ב‪ 61-‬דקות?‬
‫דרך לפתרון‬
‫בשני המקרים מדובר באותו ההספק לכן נחשב תחילה מהו ההספק של ‪ 4‬פועלים‪ ,‬לצורך כך נשתמש בנוסחא‬
‫בצורתה הזאת‪:‬‬
‫נציב את הנתונים הידועים לנו‪ 4 ,‬פועלים מייצרים ‪ 31‬נרות ב‪:45-‬‬
‫נצמצם את השבר שהתקבל‪ ,‬ע"י חלוקת המונה והמכנה ב‪:05-‬‬
‫‪10‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬
‫עד עתה‪ ,‬חישבנו את ההספק עבור ‪ 4‬פועלים בלבד‪ .‬עכשיו עלינו לחשב כמה ייצרו ‪ 8‬פועלים שעובדים באותו‬
‫ההספק מכיוון שהכפלנו את מספר הפועלים פי ‪ ,2‬ההספק יגדל פי ‪:2‬‬
‫זהו ההספק של ‪ 8‬פועלים‪ ,‬ידוע לנו שהם עובדים בהספק הזה במשך ‪ 61‬דקות‪ ,‬ועלינו לדעת כמה נרות הם מייצרים‪,‬‬
‫כלומר‪ -‬כמה עבודה נעשתה?‬
‫הפעם נשתמש בנוסחא בצורתה הזו‪:‬‬
‫נציב את המספרים‪:‬‬
‫נצמצם ע"י חלוקת המונה והמכנה ב‪:3-‬‬
‫תשובה‪ 8 :‬פועלים ייצרו במשך ‪ 0.‬דקות ‪ 8.‬נרות‪0‬‬
‫‪11‬‬
‫כל הזכויות שמורות ‪www.machon-noam.co.il | info@machon-noam.co.il | 03-5377361‬‬
‫מכון נועם מציע שירותי הכנה למבחני קבלה לבתי ספר‪.‬‬