Elevers kunskaper i aritmetik

Madeleine Löwing
Elevers kunskaper i aritmetik
– en kartläggning med utgångspunkt i
Diamant-diagnoserna
Elever som kommer från förskoleklass verkar väl förberedda för vidare lärande
i matematik när de kommer till första klass, men vad händer sen? Elevers
kunskaper i aritmetik i årskurserna F–8 har kartlagts och diskuteras här.
U
nder en följd av år har svenska elevers bristande matematikkunskaper
lyfts fram i utvärderingar. Samtidigt har kvalitetsgranskningar försökt att beskriva orsakerna till elevernas tillkortakommanden i matematik. Två faktorer förekommer ofta i förklaringar av vad de dåliga resultaten
beror på, nämligen lärares stora beroende av läromedel och bristen på variation
i undervisningen. Dessa faktorer kan tolkas som att det gäller arbetsformer och
arbetssätt, inte det väsentliga, nämligen matematikinnehållets karaktär och
hur eleverna utvecklar kunskaper i matematik. Viktiga frågor att ställa borde
vara varför lärare är så bundna av läromedel och vilket kunskapsinnehåll man
önskar att lärarna skall variera. Vad vi menar med variation är att belysa olika
aspekter av ett specifikt innehåll eller variation av arbetssätt för att synliggöra
eller öva ett specifikt innehåll.
Projektet Att våga se – och kunna ta ansvar
För att komma närmare de reella problemen har vi i vår kartläggning utgått
från Skolverkets diagnosbank Diamant som bygger på teorier för hur elever
bygger upp och generaliserar matematikkunskaper. Vårt uppdrag när vi konstruerade Diamant var att skapa ett instrument med vars hjälp läraren kan följa
såväl den enskilde elevens som gruppens kunskapsutveckling. Ett bra diagnosinstrument ska även kunna användas för att utvärdera verksamheten på systemnivå (William, 2007), vilket vi gjort i detta fall. Precis som i centrala forskningssammanställningar (Kilpatrick m fl, 2001; Loewenberg Ball m fl, 2005)
betonar vi vikten av elevernas förmåga/färdighet att utföra räkneoperationer
effektivt, säkert och med flyt. Detta är i sin tur en förutsättning för att tolka,
formulera, representera och lösa matematiska problem. En ytterligare styrka
med diagnos­banken är att uppgifterna är konstruerade på ett sådant sätt att
man med stor säkerhet kan avgöra på vilken nivå en kunskapsbrist uppstått.
På uppdrag av två större och ett antal mindre kommuner har vi kartlagt ca 40 000 elevers kunskaper i aritmetik från förskoleklass till årskurs 8.
Diamantdiagnoserna har då kompletterats med vårt eget instrument Briljant
12
Nämnaren nr 4 • 2009
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
(under utarbetande), för årskurserna 6–9 . Syftet med våra uppdrag har varit
att analysera brister i elevernas kunskapsutveckling, vilket varit möjligt eftersom diagnoserna testar om eleverna förstått alla aspekter av ett begrepp, något
som även kan uttryckas som att se variationer i ett specifikt innehåll. Utgående
från resultaten av kartläggningen planerar och genomför vi en riktad kompetensutveckling av lärarna vilket förhoppningsvis kommer att leda till bättre
måluppfyllelse för eleverna.
Eleverna gjorde i de flesta årskurserna fem diagnoser var. För att få en så tydlig bild som möjligt av elevernas aktuella kunskaper gavs diagnoserna med en
överlappning så att samma diagnos användes i två eller tre olika årskurser. På så
sätt kunde vi på skolnivå följa hur olika kunskaper utvecklades longitudinellt
och därmed avgöra om en brist i en årskurs följdes upp och åtgärdades vid ett
senare tillfälle. Med denna teknik var det möjligt att iaktta såväl en bristande
kontinuitet i undervisningen som svårigheter för eleverna att generalisera de
mest grundläggande aritmetiska operationerna till nya talområden.
Projektet heter Att våga se – och kunna ta ansvar och vad titeln säger är, att
den som inte utvärderar sin verksamhet på ett grundligt sätt, inte kan ta ansvaret för att på olika nivåer säkerställa elevernas måluppfyllelse. Samtidigt understryks att de kunskapsbrister som synliggörs inte kan skyllas på den enskilde
läraren. Vi försöker istället se skolans arbete ur ett helhetsperspektiv och
använder oss då av ramfaktormodellen (Löwing, 2004). Modellen visar hur
kursplanernas kvalitet och tolkbarhet i kombination med tillgängliga ramar
möjliggör respektive begränsar undervisningsprocessen och tillsammans förklarar resultatet av undervisningen. Med ett sådant helhetsperspektiv kommer man djupare än med övergripande förklaringar som läromedelsberoende
och att det saknas variation i undervisningen. Det handlar snarare om att den
utbildning lärarna har fått inte har gett dem en tillräcklig matematikdidaktisk
kompetens för att kunna tolka kursplanerna, hjälpa eleverna att bygga upp ett
generaliserbart matematiskt tänkande och göra kvalitativa utvärderingar av
elevernas kunskaper. Det är utgående från detta som kompetensutvecklingen
av lärare i de berörda kommunerna utformas. Styrkan i projektets arbetssätt är
att kompetens­utvecklingen har kunnat inriktas mot de faktiska problem vi har
kunnat iaktta i de olika årskurserna, problem som lärare har kunnat se i sin egen
klass och därför är angelägna att åtgärda. Det har inom projektet visat sig att
det är först när de resultat som beskrivs i tidningarna visar sig gälla också den
egna undervisningsgruppen som läraren inser att det krävs speciella åtgärder.
Resultat
Förskoleklassen
Resultaten i förskoleklassen är i allmänhet mycket bra, vilket även framgår av
Fredriksson (2009). Vi finner att drygt varannan elev behärskar talraden till
100 och att mer än 90 % av dem kan räkna till 29. Nästan alla elever kan också
räkna uppåt i talraden från 5 och bakåt från 10 och de kan det även i huvudet,
alltså utan att använda föremål göra beräkningar av typen 6 + 1 och 6 – 1. Det här
innebär att de allra flesta av eleverna är väl förberedda för att tillgodogöra sig
undervisningen i årskurs 1. Problemet är att dessa elever, när de kommer till årskurs 1, i allmänhet inte ges möjlighet att fortsätta att utvecklas. Undervisningen
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
Nämnaren nr 4 • 2009
13
i årskurs 1 verkar­ inte vara anpassad till att ta hand om en elevgrupp som har
betydligt bättre matematikkunskaper än den hade för 20 år sedan.
Subtraktion utan tiotalsövergång
Man skulle nu kunna förvänta sig ett mycket bra resultat även under de första
skolåren. De sambandsanalyser vi har gjort visar emellertid något helt annat
och vi tar subtraktion som ett exempel. Diamantdiagnoserna är uppbyggda så
att man kan följa utvecklingen av grundläggande subtraktion av typen 8 – 5, via
18 – 5 och 18 – 15 till 48 – 5 och 48 – 45. Tanken med detta är att kunna följa hur
en grundläggande kunskap utvecklas och generaliseras över tid. Resultatet i en
kommun där ca 1600 elever per årskurs har genomfört diagnosen, ser ut så här
(lösningsfrekvens för olika uppgiftstyper, med resp utan tiotalsövergång):
uppgiftstyp
8 – 5
Åk 1
60 %
Åk 2
18 – 5, 18 – 15 48 – 5, 48 – 45
12 – 7
42 – 7, 42 – 37
16 %
28 %
28 %
Åk 3
53 %
61 %
22 %
Åk 4
61 %
67 %
35 %
Vårt kriterium på att en elev behärskar en typ av uppgifter är att eleven räknar alla rätt på en grupp bestående av sex uppgifter. Eleverna har dessutom en
begränsad tid på sig. Denna tid är mer än tillräcklig för de elever som verkligen
behärskar uppgiftstypen ifråga, men otillräcklig för dem som räknar på fingrarna eller använder mindre lämpliga metoder.
När det gäller uppgifter av typen 8 – 5 har eleverna i den här kommunen en
lösningsfrekvens på 60 % i slutet av årskurs 1. Samtidigt kan vi konstatera att
lösningsfrekvensen på uppgifter som 18 – 5 och 18 – 15 bara är 16 %. Det visar
att de flesta av eleverna inte behärskar uppgiften 8 – 5 på ett sådant sätt att
kunskapen kan generaliseras till talområdet 11 – 19. Ännu tydligare blir detta
när vi konstaterar att bara 28 % av eleverna kan generalisera samma uppgift i
årskurs 2. Orsakerna till detta behöver analyseras ytterligare.
När det gäller lösningsfrekvensen 60 % i årskurs 1 kunde vi konstatera att
ovanligt många lärare inte följde våra anvisningar utan gav eleverna mer tid än
anvisat. Det betyder att 60 % inte visar andelen elever som behärskar uppgiftstypen utan istället hur många som med hjälp av fingrar o dyl kan få rätt svar på
uppgiften. Att det här är en kunskap som inte duger till att generalisera framgår klart av motsvarande resultat i årskurs 2. Detta handlar i grunden om synen
på kunskap och vad en viss kunskap på sikt skall användas till.
Ännu intressantare blir det när vi följer upp samma uppgiftstyp i årskurserna 3 och 4. För den som vet att talet 48 är sammansatt av talen 40 och 8, bör
det vara relativt enkelt att beräkna 48 – 5 och 48 – 45. Resultaten visar emellertid att hälften av eleverna har problem med detta i årskurs 3 och drygt en tredjedel av dem ännu i årskurs 4. En sammanfattning av detta är att de flesta elever
i årskurs 1 och 2 inte lärt sig subtrahera med flyt. De har visserligen fått räkna
denna typ av uppgifter men deras lärare har troligen varken tagit reda på om
eleverna använder generaliserbara strategier då de räknar eller om de verkligen
behärskar uppgifterna.
14
Nämnaren nr 4 • 2009
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
Subtraktion med tiotalsövergång
En jämförelse mellan uppgiftstypen 18 – 5 och 18 – 15 utan tiotalsövergång och
uppgiftstypen 12 – 7 med tiotalsövergång är ännu mer intressant. I slutet av årskurs 2 ger båda uppgiftstyperna samma lösningsfrekvens, 28 %. Detta indikerar att de flesta av eleverna använder samma lösningsstrategi i båda fallen trots
att uppgifterna är av helt olika karaktär. Eleverna har sannolikt inte fått tala
matematik och diskutera olika subtraktionsstrategier med sin lärare. Det här
leder till nya problem när man kommer till uppgifter som 42 – 7 och 42 – 37, där
lösningsfrekvensen sjunker kraftigt i årskurserna 3 och 4 till 22 % respektive
35 %. Nu är talområdet för stort för att eleverna skall kunna räkna på fingrarna
eller använda andra, mindre lämpliga strategier. Det är nu det visar sig vilken
kvalitet som funnits i undervisningen under de tidigare skolåren. Mot denna
bakgrund gör vi följande reflektioner.
◊
Med tanke på vad eleverna kan redan i förskoleklassen är det förvånande
att de inte fortsätter att utveckla sina matematikkunskaper i årskurs 1.
Lyckas man inte förvalta elevernas förkunskaper? Varför börjar de flesta
böcker om från början med talområdet 1 – 5, 1 – 6 osv så att eleverna inte
möter talet 10 förrän till jul. Nästan alla elever kunde ju räkna till 29
redan innan de kom till årskurs 1 och hade dessutom abstraherat enkla
räkneoperationer.
◊
På flera skolor hoppar lärare över uppgifter av typen 4 + _ = 7 och 8 = 5 + _ .
Den första uppgiftstypen är viktig eftersom den knyter samman addition
och subtraktion, något som man inte verkar inse. Det visar sig att eleverna
i alla årskurser oftast är mycket sämre i subtraktion än i addition. Man
verkar ta för givet att det skall vara så istället för att rätta till detta.
◊
Uppgiften 8 = 5 + _ är viktig även av ett annat skäl. För att förstå
tiotalsövergången i additionen 8 + 7, bör man behärska tio-kamraten 8 + 2
och samtidigt sju-kamraterna, alltså att 7 = 2 + 5. Det är ju så man inser
att 8 + 7 = 8+ 2 + 5 = 15. Här används kunskapen att dela upp tal i termer i
kombination med den associativa lagen. Detta är kunskaper som eleverna
senare använder i ett utvidgat talområde. De lärare som låter elever hoppa
över öppna utsagor hindrar deras möjligheter till att utveckla en djupare
förståelse av tiotalsövergångarna.
Multiplikation och division
Ett bekymmer är multiplikationstabellen. På diagnoserna är multiplikationstabellen uppdelad i sex nivåer: dubbling, alltså multiplikation med 2, dubbelt
dubbelt, alltså multiplikation med 4, multiplikation med 3, multiplikation med
5, multiplikation med 6 och multiplikationer som innehåller talen 7, 8 och 9. Så
här ser några av underlagen för våra sambandsanalyser av detta ut (lösningsfrekvens för olika uppgiftstyper):
uppgiftstyp
7∙4
8 ∙ 3
8 ∙ 6
7∙9
Åk 3
62 %
65 %
31 %
15 %
Åk 4
73 %
76 %
57 %
41 %
Åk 5
80 %
82 %
75 %
48 %
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
Nämnaren nr 4 • 2009
15
De här resultaten visar att eleverna i slutet av årskurs 5, då de enligt uppnåendemålen skall behärska skriftlig multiplikation och division, ännu inte behärskar multiplikationstabellen. En slutsats man kan dra av detta är att planering
och uppföljning av elevernas multiplikationsinlärning fungerar mindre bra.
Vid analyserna av resultaten för skriftlig räkning kan vi samtidigt iaktta
stora brister när det gäller taluppfattning. Skriftlig räkning verkar fortfarande
bygga på teknisk färdighet, inte på taluppfattning och förståelse av räknelagarna. Ett exempel på detta är uppgiften 864 / 8 som varannan elev räknar fel
på, inte bara i årskurs 6 utan även i årskurserna 7 och 8. Ett enkelt överslag ger
svaret 800 / 8 = 100. Svaret kan alltså inte vara 18. För den som lärt sig att förstå de räknelagar som algoritmerna bygger på, är det uppenbart att det handlar
om divisionen (800 + 64) / 8 = 800 / 8 + 64 / 8 = 108. Vi återkommer till detta i
samband med tal i bråk- och decimalform.
Vad vi kunnat konstatera när det gäller skriftlig räkning, är att alldeles för
få elever behärskar detta uppnåendemål i årskurs 5, främst beroende på bristande förkunskaper, sannolikt i kombination med en mindre bra taluppfattning. Konsekvenserna av detta blir allvarliga. Lärarna på högstadiet, som oftast
inte är utbildade för att undervisa om detta, får fortsätta att öva skriftlig räkning i årskurserna 7 och 8 på bekostnad av vad de borde arbeta med. Följden
av detta är, att när eleverna kommer till slutet av årskurs 8, så har de kvar större
delen av det innehåll som borde behandlas på högstadiet. Vår kartläggning
visar att redan när eleverna kommer till årskurs 6 är de på många skolor ett till
två år efter i relation till kraven i uppnåendemålen.
Tal i bråk- och decimalform
Enligt uppnåendemålen i årskurs 5 skall eleven ha en grundläggande taluppfattning avseende naturliga tal och enkla tal i bråk- och decimalform. De flesta
elever i årskurs 6 verkar ha nått delar av det här målet. Mer än 90 % av eleverna vet att ²⁄5 + ²⁄5 = 4⁄5, ca 85 % vet att 3 · 1⁄5 = 3⁄5 och lika många att 4⁄5 / 2 = 2⁄5.
Däremot är det mindre än 10 % av eleverna som vet att 1 / 1⁄3 = 3, alltså att det går
3 tredjedelar på en hel. Dessa uppgifter handlar om förståelse av bråkbegreppet. När eleverna sedan skall tillämpa dessa kunskaper verkar det som om de
inte fått möjlighet att tala matematik eller att läraren lyft fram de enkla (intuitiva) regler som gäller för räkning med bråk.
I årskurs 7 är det bara 60 % av eleverna som klarar uppgiften 0,54 + 0,52
alltså att 54 hundradelar + 52 hundradelar = 106 hundradelar. Problemen är
ännu större när det gäller subtraktionen 7,2 – 3,9, alltså 72 tiondelar – 39 tiondelar = 33 tiondelar. Alternativet att addera 0,1 till båda leden, är ännu enklare
och ger direkt 7,3 – 4,0 = 3,3. Detta tänkande bör grundläggas tidigare inom
talområdet naturliga tal. Metaforen ”Mamma är 39 år och farfar är 72 år. Hur
mycket äldre är farfar än mamma? För att förenkla räknandet kan man vänta
ett år. Då är mamma 40 och farfar 73” kan tas som utgångspunkt.
När det gäller multiplikation och division av tal i decimalform blir problemen ännu större. Att bara 55 % av eleverna i 7:an klarar uppgiften 9 · 1,5 borde bli
en väckarklocka. Det verkar handla om att eleverna inte förstår den distributiva
lagen, alltså att innebörden är 9 · (1 + 0,5), vilket ger resultatet 9 + 4,5.
Multiplikationen 0,7 · 50 klarar endast 60 % av eleverna. Varför så få?
Använder man den associativa räknelagen ser man t ex att 0,7 · 50 = 0,7 · 10 · 5
= 7 · 5 = 35.
16
Nämnaren nr 4 • 2009
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
Vidare kunde bara 65 % av eleverna lösa uppgiften 2,42 / 2. Uppenbarligen
ser man inte 2,42 som 2 hela och 42 hundradelar, vilket ger svaret 1 hel och
21 hundradelar. Den här osäkerheten, som hänger ihop med att eleverna inte
behärskar de mest grundläggande räknelagarna och därför inte kan se enkla
lösningar, återkommer när det gäller procent och proportionalitet. Bara drygt
40 % av eleverna i 7:an och drygt 50 % i 8:an visste att 15 % av 40 kr = 6 kr. Nog
borde alla elever veta att 10 % av 40 kr = 4 kr och att 5 % är hälften av 10 %. Det
här kan vara ett resultat av att lektionerna mer handlar om att räkna än om att
”tala matematik”.
När man kommer till bråkräkning blir problemen mycket stora. Endast
40 % av eleverna vet i slutet av årskurs 8 att 1⁄3 + 1⁄4 = 7⁄12 och bara drygt varannan
elev vet att 1⁄4 · 6 = 3⁄2 = 1 1⁄2. Ännu värre blir det när man kommer till division.
Bara 35 % av eleverna löser uppgiften 6⁄5 / 3 = 2⁄5. De verkar inte förstå att femtedelen är en enhet och att det därför räcker att dividera täljaren 6 med 3 (och
behålla enheten). Inte ens 20 % av eleverna kan lösa uppgiften 3⁄4 / 1⁄4 alltså hur
många kvartar det går på tre kvart. Detta ser man ju med blotta ögat om man
skriver 3⁄4 = 3 · 1⁄4 eller 1⁄4 + 1⁄4 + 1⁄4.
Vi kan konstatera att den grundläggande taluppfattningen av bråk ofta är
relativt bra i årskurs 6. Det som eleverna inte klarar är att byta fokus från konkretisering av ”del av hel” till att uppfatta ”bråk som tal”, när man börjar operera med tal i bråkform.
Sammanfattning
Efter att ha analyserat data i ett F till 9-perspektiv och arbetat med de lärare
som varit involverade i projektet kan vi dra följande slutsatser:
◊
De allra flesta av de elever som kommer från förskoleklassen är väl
förberedda för att lära sig matematik i skolan. Det verkar emellertid som
om de lärare som undervisar under de första årskurserna inte förmår
ta tillvara denna kunskap. Detta verkar i sin tur bero på brister i deras
matematikdidaktiska utbildning. Fokus har legat på arbetsform och
arbetssätt, inte på ämnets innehåll och struktur.
◊
Detta leder till att eleverna inte lär sig den grundläggande matematiken
med ett sådant flyt att kunskaperna kan genaraliseras till större
talområden. Följden blir en kumulerad förkunskapsbrist. Mål och delmål
som borde ha nåtts under ett visst skolår kommer av det skälet att nås först
ett till två år senare. Resultatet blir att större delen av det innehåll som
borde undervisas på högstadiet ofta skjuts upp till årskurs 9. Eftersom
läromedlen successivt anpassas till denna trend bidrar de troligen till en
lägre måluppfyllelse.
◊
Ett skäl till de just beskrivna problemen är att lärare inte är utbildade
till att tolka och lokalt anpassa kursplanernas vagt formulerade mål.
Avsaknaden av tydliga mål och delmål leder till en mindre bra progression i
matematikundervisningen i ett F till 9-perspektiv. En konsekvens av detta
är en bristande uppföljning av elevernas kunskapsutveckling. Har man inga
klara mål att utvärdera verksamheten mot så kan man ju inte avgöra om en
elev har nått målen.
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010
Nämnaren nr 4 • 2009
17
Av detta kan man få intrycket att det är inkompetenta lärare som förorsakar
problemen. Så är det absolut inte. Resultaten ser likadana ut i alla de kommuner vi undersökt. Genom att använda oss av ramfaktormodellen blir det möjligt för oss att ta ett helhetsperspektiv på problemen. Mot denna bakgrund ser
vi ett systemfel i svensk skola. Eftersom lärare inte är utbildade till att tolka och
lokalt anpassa dagens vaga kursplaner (Linde, 2007), så kommer olika lärare, på
samma skola, att tolka målen på sitt eget sätt vilket leder till bristande kontinuitet i undervisningen. Dessutom saknar alltför många lärare, speciellt i årskurserna 1–3, en adekvat utbildning i matematikämnets didaktik. Utbildningen
verkar vara mer inriktad mot att variera arbetsform och arbetssätt än mot hur
eleverna bygger upp bra kunskaper och ett bra förhållningssätt till matematik.
Våra data visar entydigt på hur elevers bristande kunskaper från tidiga årskurser vållar problem för dem under resten av skoltiden.
litteratur
Fredriksson, M. (2009). Matematiken i förskoleklassen. Nämnaren nr 4, 2009. Göteborg: NCM.
Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (red). (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington, DC: National Academy Press.
Linde, G. (2007). Det ska ni veta!: en introduktion till läroplansteori . Lund: Studentlitteratur.
Loewenberg Ball, D., Ferrine-Mundy, J., Kilpatrick, J., Milgram, R.J., Schmid, W., Schaar, R.
(2005). Reaching for Common Ground in K–12 Mathematics Education.
www.maa.org/common-ground/cg-report2005.html
Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikationen lärare - elev och matematiklektionens didaktiska ramar. (Göteborg Studies In Educational
Sciences 208) Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.
Löwing, M., & Kilborn, W. (2003). Huvudräkning. En inkörsport till matematiken. Lund:
Studentlitteratur.
Skolinspektionen. (2009). Undervisningen i matematik – utbildningens innehåll och ändamålsenlighet. Granskningsrapport. Stockholm: Skolinspektionen www.skolinspektionen.se/Documents/
Kvalitetsgranskning/Matte/granskningsrapport-matematik.pdf?epslanguage=sv
Skolverket. (2003). Lusten att lära – med fokus på matematik. Stockholm: Skolverket.
Skolverket (2004). TIMSS 2003. Svenska elevers kunskaper i matematik och naturvetenskap i
skolår 8 i ett nationellt och internationellt perspektiv. Rapport nr 255. Stockholm: Skolverket.
Skolverket. (2009a). TIMSS 2007 Swedish Pupils’MathematicalKnowledge. Stockholm:
Skolverket.
Skolverket. (2009b). Ämnesproven 2008 i grundskolans åk 9 och specialskolans åk 10. Stockholm:
Skolverket.
Skolverket. (2009c). Skolverkets diagnosmaterial för skolåren 1–5, Diamant. Stockholm:
www.skolverket.se/content/1/c6/01/46/94/Diagnos_Matematik_inledn.pdf
Wiliam, D. (2007) Keeping learning on track: classroom assessment and the regulation of learning.
i F. K. Lester Jr (red), Second handbook of mathematics teaching and learning, Greenwich, CT:
Information Age Publishing.
18
Nämnaren nr 4 • 2009
Kopierad med tillstånd av Nämnaren vt 2010