הגליון המלא להדפסה - מרכז מורים ארצי למתמטיקה בחינוך העל יסודי

‫יצא לאור ככתב עת אלקטרוני באתר מרכז המורים‪http://highmath.haifa.ac.il :‬‬
‫לפרטים נוספים‪ :‬המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי‪ ,‬טלפון‪04-8288351 :‬‬
‫מייל‪hmathcntr@edu.haifa.ac.il :‬‬
‫יצא לאור במימון האגף לתכנון ופיתוח תכניות לימודים במשרד החינוך‬
‫ומנהלת המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט‬
‫© כל הזכויות שמורות למשרד החינוך‬
‫"‬
‫"‬
‫מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי‬
‫المركز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين االعدادية والثانوية‬
‫עורכות‬
‫ד"ר גילה רון‪ ,‬ד"ר ורדה טלמון‬
‫ק וראים יקרים‪,‬‬
‫בפתח הגיליון מציגים בפנינו פרופ' רוזה לייקין‪ ,‬ראש ועדת‬
‫מערכת‬
‫ד"ר גילה רון‪ ,‬ד"ר ורדה טלמון‪ ,‬גאולה סבר‪,‬‬
‫לילך בר‪ ,‬תמי בוכבינדר‬
‫המקצוע מתמטיקה‪ ,‬ופרופ' רון ליבנה‪ ,‬ראש ועדת תוכנית‬
‫הלימודים במתמיקה בחטיבה העליונה את המיבנה‬
‫והעקרונות של תוכנית הלימודים החדשה לחטיבה‬
‫עיצוב והבאה לדפוס‬
‫עדי ניצן‬
‫עריכת הלשון‬
‫נגה ואן דורמולן‪-‬אברהמי‬
‫העליונה‪.‬‬
‫הצגת פתרונות מגוונים לבעייה אחת אביטל אלבוים‪-‬כהן‬
‫וג'ייסון קופר מציגים פתרונות אחדים לבעיית הספק אחת‪,‬‬
‫ומלווים את הפתרונות בדיון בפוטנציאל של הפתרונות‬
‫כריכה‬
‫לקשר בין תחומים בתוך המתמטיקה ובין המתמטיקה‬
‫ציור – דלתוני ריצוף‬
‫לנושאים אחרים‪.‬‬
‫עיצוב ‪ -‬גאולה סבר‬
‫השאלה "מה אני זוכרת מלימודיי‪ ,‬אילו שיעורים השאירו בי את‬
‫חותמם?" מניעה את יערה פלד‪ ,‬מורה בראשית דרכה‪ ,‬לשלב‬
‫אתר מתוקשב‬
‫בשיעור המבוא לנושא "קריאת גרפים" בכתה ז'‪ ,‬גרפים‬
‫‪http://highmath.haifa.ac.il‬‬
‫מגוונים המתארים מסע בג'ונגלים של בוליביה‪ ,‬על‪-‬פי ספרו‬
‫של יוסי גינסברג "בחזרה מטואיצ'י"‪.‬‬
‫כתובת המערכת‬
‫המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל‪-‬יסודי‬
‫הפקולטה לחינוך אוניברסיטת חיפה‬
‫הר הכרמל חיפה‪31905 ,‬‬
‫טל‪ ,04-8288351 .‬פקס‪04-8240757 :‬‬
‫דוא"ל‪hmathcntr@edu.haifa.ac.il:‬‬
‫ד"ר פיטר סמובול ונתן שטיינברג‪ ,‬מורים בעלי ניסיון רב‬
‫במשיכת‬
‫תלמידים רבים להשתתף לאורך שנים בחוגי‬
‫העשרה במתמטיקה‪ ,‬ואף לכתוב עבודות גמר שרבות מהן‬
‫זכו בפרסים‪ ,‬מתייחסים לאותה סוגייה של חוויות מטביעות‬
‫חותם‪ .‬בגיליון זה הם מתארים ומנתחים שיעור משולב‬
‫פרדוקסים‪ ,‬כדוגמה לשיעור שמושך תלמידים‬
‫להתעניין‬
‫במתמטיקה‪.‬‬
‫אתם מוזמנים להמשיך ולשלוח אלינו מאמרים‪ ,‬תגובות‬
‫ורעיונות לפירסום בגיליונות הבאים של עלה‪.‬‬
‫אנא מלאו את דף המשוב המצורף‪ .‬חשוב לנו שכתב העת‬
‫יהיה מעניין ורלוונטי עבורכם‪.‬‬
‫גיליון ‪ ,51‬ניסן תשע"ה‪ ,‬מרץ ‪2015‬‬
‫קריאה נעימה וגלישה מהנה‬
‫מערכת על"ה‬
‫וצוות המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל‪ -‬יסודי‬
‫אוניברסיטת חיפה‬
‫להפעלת הקישורים והיישומים הדינמיים מומלץ להשתמש‬
‫בגרסאות האחרונות של ‪ adobe acrobat reader‬ו ‪.Java‬‬
‫תוכן העניינים ‪ -‬גי ליון מס' ‪5 1‬‬
‫ת כנית לימודים חדשה‬
‫תכנית הלימודים במתמטיקה לחט"ע ‪ -‬מבנה ועקרונות ‪5 .........................................................................................................‬‬
‫רוזה לייקין ורון ליבנה‬
‫אפשר גם אחרת‬
‫פתרונות שונים לבעיות הספק באמצעים גרפיים ‪14 ..............................................................................................................‬‬
‫אביטל אלבוים‪-‬כהן וג'ייסון קופר‬
‫מהכיתה לג'ונגלים של בוליביה ‪ -‬שיעור על קריאת נתונים מתוך גרפים ‪20 .................................................................................‬‬
‫יערה פלד‬
‫משולחנו של מורה‬
‫שילוב פרדוקסים בהוראת מתמטיקה כאמצעי לפיתוח סקרנות ‪28 .............................................................................................‬‬
‫פיטר סמובול ונתן שטיינברג‬
‫רוזה לייקין‬
‫רון ליבנה‬
‫רציונאל‬
‫להסברים‪ ,‬להנמקות ולבחירת אסטרטגיה‪ .‬לימודי‬
‫המתמטיקה אינם מפתחים מיומנויות למידה‬
‫עצמאית‪ .‬הם מכוונים להצלחה במבחני הבגרות‪:‬‬
‫ברמה של ‪ 3‬יח"ל המוטיבציה היא הרצון לזכאות‬
‫לבגרות‪ .‬ברמות ‪ 4‬ו‪ 5 -‬יח"ל המוטיבציה היא בונוס‬
‫ללימודי המשך‪.‬‬
‫א‪ .‬ועדת המקצוע מתמטיקה רואה את המימוש‬
‫המקסימלי של הפוטנציאל המתמטי של כל‬
‫לומד כאחת המטרות הבסיסיות של מערכת‬
‫החינוך‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פוטנציאל מתמטי מורכב מיכולת‪ ,‬מוטיבציה‪ ,‬אמונה‬
‫אישית‪ ,‬והזדמנויות לימודיות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫ראשית המאה העשרים ואחת מתאפיינת בשינויים‬
‫חברתיים‪ ,‬כלכליים‪ ,‬פוליטיים ותרבותיים דינמיים‬
‫ועמוקים הקשורים לגלובליזציה‪ .‬בעידן זה‬
‫המתמטיקה היא הבסיס המשותף למדעים‪,‬‬
‫לטכנולוגיה‪ ,‬להנדסה ולמדעי החברה‪ .‬הכניסה‬
‫המסיבית של הענקיות סין והודו לקבוצת המדינות‬
‫המפותחות חידדה מאוד את הפער בין הערך‬
‫הכלכלי של טכנולוגיה שגרתית לטכנולוגיה‬
‫מתקדמת‪.‬‬
‫מבנה ועקרונות של התכנית החדשה‬
‫‪‬‬
‫מדינת ישראל תלויה ביטחונית וכלכלית ביודעי‬
‫מתמטיקה ברמה גבוהה‪ .‬מימוש פוטנציאל מתמטי‬
‫גבוה של התלמידים המתאימים לכך חיוני להכשרת‬
‫דור חדש של מדענים‪ ,‬אנשי פיתוח והנדסת הי‪-‬טק‪,‬‬
‫ביו‪-‬טק‪ ,‬וננו‪-‬טכנולוגיות מתקדמות‪ ,‬שיהיו יצירתיים‬
‫ובכך יתרמו להתפתחות החברה‪ ,‬המדע‬
‫והטכנולוגיה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫המתמטיקה הנה בעלת ערך לכל אזרח בחברה‬
‫מודרנית‪ .‬אולם הפוטנציאל המתמטי והצרכים‬
‫המתמטיים שונים מאוד מאדם לאדם‪ .‬מימוש‬
‫הפוטנציאל של התלמידים בכל הרמות‪ ,‬צריך‬
‫לענות על הצרכים האישיים והחברתיים של‬
‫התלמידים‪ ,‬לגרום להם סיפוק אישי‪ ,‬ולאפשר להם‬
‫לממש את סקרנותם והתעניינותם‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫המצב הנוכחי בהוראת המתמטיקה בחט"ע בארץ‬
‫דורש התייחסות דחופה של המערכת‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אין תכנית לימודים במתמטיקה בחט"ע‪ ,‬במקומה‬
‫יש תכנית היבחנות‪ ,‬הקובעת אילו שאלות יישאלו‬
‫בבחינה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫אין ספרי לימוד במתמטיקה‪ ,‬במקומם‬
‫תרגילים לשאלונים השונים‪.‬‬
‫יש ספרי‬
‫‪‬‬
‫כתוצאה פוטנציאל הלומדים אינו יכול להתממש‬
‫במלואו‪ .‬אין למידה אמיתית אלא רק הכנה‬
‫לבחינות‪ .‬הלימודים אינם כוללים חינוך להבנה‪,‬‬
‫בנוסף החוגים עתירי המתמטיקה באוניברסיטאות‬
‫מדווחים כי בגרות של ‪ 5‬יחידות אינה מכינה כראוי‬
‫ללימודים אצלם‪ ,‬ובטכניון שוקלים לחייב תלמידי ‪4‬‬
‫יחידות למכינה של שנה במתמטיקה‪.‬‬
‫מבנה התכנית המוצע‬
‫התכנית החדשה תכלול ‪ 4‬רמות לימוד‪:‬‬
‫‪ 3‬יח"ל התכנית מיועדת לתלמידים שלא ירצו ללמוד‬
‫מתמטיקה ברמה גבוהה יותר‪ ,‬מכיוון שהם‬
‫מכוונים בהמשך דרכם למקצועות שאינם‬
‫דורשים מתמטיקה‪ ,‬למשל לימודי תיאטרון‪.‬‬
‫תכנית ‪ 3‬יח"ל זו תתאים גם לתלמידים‬
‫מתקשים‪ .‬היא תהיה מבוססת על אוריינות‬
‫(ברמה המוכרת למערכת משאלונים ‪ 1‬ו‪.)2 -‬‬
‫‪ 4‬יח"ל התכנית מיועדת ללימודי המשך ברמה של‬
‫מדעי החברה באוניברסיטאות ובמכללות‪.‬‬
‫‪ 5‬יח"ל התכנית מיועדת ללימודי המשך ברמה של‬
‫מדעי הטבע‪ ,‬הנדסה‪ ,‬מדעיים מדויקים‪.‬‬
‫‪++5‬‬
‫אוהבי‬
‫לתלמידים‬
‫מיועדת‬
‫התכנית‬
‫מתמטיקה בעלי פוטנציאל מתמטי גבוה‪.‬‬
‫המסלול יוביל את התלמידים למקצועות‬
‫עתירי מתמטיקה‪.‬‬
‫הרמות‬
‫התפלגות‬
‫התלמידים‬
‫בין הרמות‬
‫‪++ 5‬‬
‫‪ 5‬יח"ל‬
‫‪ 4‬יח"ל‬
‫‪ 3‬יח"ל‬
‫תכנית‬
‫קיימת‬
‫לא קיימת‬
‫רשמית‬
‫כ‪10%--‬‬
‫כ‪30%--‬‬
‫כ‪60%--‬‬
‫תכנית‬
‫חדשה‬
‫כ‪5% --‬‬
‫כ‪15%--‬‬
‫כ‪40%--‬‬
‫כ‪40%--‬‬
‫טבלה ‪ :1‬התפלגות התלמידים בין הרמות‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪5‬‬
‫תכנית לימודים חדשה‬
‫תכנית הלימודים ב מתמטיקה ל חט"ע ‪-‬‬
‫מבנה ועקרונות‬
‫עקרונות ויתרונות התכנית‬
‫א‪.‬‬
‫התכנית תאפשר הנאה והנעה בלימודי המתמטיקה‪.‬‬
‫ב‪.‬‬
‫יותר תלמידים כ‪( 60% -‬ראו טבלה ‪ ,)1‬ילמדו‬
‫מתמטיקה ברמות של ‪ 5‬ו‪ 4 -‬יח"ל‪ .‬הדבר יענה טוב‬
‫יותר על צורכי החברה‪ ,‬ויתגמל נכון יותר את‬
‫התלמידים המתעניינים בלימוד מתמטיקה מעבר‬
‫למינימום הנדרש לבגרות‪.‬‬
‫ג‪.‬‬
‫התכנית תתאים לתלמידים בעלי פוטנציאל מתמטי‬
‫ברמות השונות‪ ,‬כולל תלמידים מתקשים (‪ 3‬יח"ל)‬
‫ותלמידים מצטיינים (‪.)++5‬‬
‫ד‪.‬‬
‫קבוצות הלימוד תהיינה יותר הומוגניות‪.‬‬
‫ה‪ .‬יחסית לתכנית הקיימת ברמות של ‪ 4‬ו‪ 5 -‬יחידות‪,‬‬
‫התכנית המוצעת תהיה פחות עמוסה אך תכלול‬
‫מיומנויות חשיבה‪ ,‬קומוניקציה‪ ,‬ולמידה עצמאית‬
‫בהתאם לכל אחת מהרמות‪.‬‬
‫ו‪.‬‬
‫התכנית תיבנה כך שתאפשר השלמה של חומר‬
‫ברמה גבוהה יותר‪ ,‬על בסיס לימודים ברמה נמוכה‬
‫יותר (ר' איור ‪ .) 1‬ההבדל בין הרמות יהיה במיומנויות‬
‫‪)mathematical‬‬
‫(‪capabilities‬‬
‫המתמטיות‬
‫ובתהליכים המתמטיים (‪)mathematical processes‬‬
‫שיכללו בתכנית ברמות השונות‪.‬‬
‫ז‪.‬‬
‫ברמה של ‪ ++ 5‬יח"ל הוראת התכנית תפותח (גם)‬
‫בגרסה וירטואלית‪ ,‬לבתי הספר בפריפריה שאין‬
‫בהם מספיק תלמידים ו‪/‬או מורים לרמה זאת‪ .‬חומרי‬
‫ההוראה שיפותחו להוראה מרחוק יהיו זמינים לכל‬
‫המורים‪ .‬ייתרונות הפיתוח מסוג זה מוכחים על‪-‬ידי‬
‫בית הספר הווירטואלי למתמטיקה ופיזיקה (‪ 5‬יח"ל)‬
‫בפיתוח וניהול של מט"ח ובתמיכתה הנדיבה של‬
‫קרן טראמפ‪.‬‬
‫איור ‪ :1‬מבנה חדש – תכנית הלימודים במתמטיקה בחטיבה העליונה‬
‫‪6‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪ 3‬יחידות לימוד‬
‫תכנית זו מיועדת לתלמידים שהצורך שלהם במתמטיקה‬
‫‪‬‬
‫בכל שנת לימודים נלמדים פרקים מכל האשכולות‪.‬‬
‫הוא בעיקרו יישומי‪ .‬המתמטיקה חיונית גם בחיי היום‪-‬יום‬
‫‪‬‬
‫נבנים בהדרגה ובהתאם‬
‫הנושאים המתמטיים‬
‫ובמגעים החברתיים והכלכליים בחברה המודרנית‪,‬‬
‫לצרכים האורייניים – הן בתוך כל אשכול והן בין‬
‫ולתלמידים אלה צרכים מתמטיים ניכרים‪ ,‬שתכנית זו‬
‫האשכולות‪ .‬כך‪ ,‬בכל יחידה באשכול מופיעים‬
‫תכנים מתמטיים חדשים‪.‬‬
‫מכוונת לפתח אצלם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מבנה התכנית‬
‫התכנית בנויה משלושה אשכולות המייצגים תחומים‬
‫כלליים בהם למתמטיקה תפקיד מרכזי‪ )1( :‬האשכול‬
‫הפיננסי‪-‬כלכלי;‬
‫(‪) 2‬‬
‫האשכול‬
‫החברתי‪-‬מדעי;‬
‫ה אשכול של התמצאות במישור ובמרחב‪.‬‬
‫( ‪)3‬‬
‫תכנים מתמטיים רבים משותפים ליותר מאשכול‬
‫אחד‪ .‬מאפיין חשוב זה נובע מכוחה של המתמטיקה‬
‫לאחד תופעות מתחומים שונים‪ ,‬הנראות במבט‬
‫ראשון כחסרות כל קשר‪ .‬לכן‪ ,‬תכנים מתמטיים‬
‫שהוצגו בהקשר אורייני אחד (למשל פונקציות‬
‫מעריכיות) חוזרים אחר כך באשכולות אחרים‪.‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪7‬‬
‫‪ 4‬יחידות לימוד‬
‫אוכלוסיית יעד‬
‫‪‬‬
‫פיתוח חשיבה לוגית‪ ,‬ההכרחית להבנת התופעות‬
‫החברתיות והכלכליות‪ ,‬הכוללת ביקורתיות‪ ,‬דיוק‪,‬‬
‫ודבקות במטרה‪ .‬רכישת כלים שישפרו את יכולת‬
‫האבחנה והשיפוט של התלמידים כאזרחים‪ ,‬באשר‬
‫לאיכות המידע והפרשנויות הנלוות לו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הענקת כלים שיאפשרו לתלמידים להתקבל‬
‫ולהצליח בלימודי המשך‪ ,‬ויעניקו להם אופק אקדמי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח יכולות טכניות בסיסיות בתחומי האנליזה‪,‬‬
‫האלגברה‪ ,‬הגאומטריה‪ ,‬והסטטיסטיקה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח מיומנויות של אוריינות ושל תקשורת‬
‫מתמטית‪ :‬קריאה וכתיבה ביקורתית של טיעון‪,‬‬
‫הוכחת טיעון‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח הרגלי למידה ותרגול מתמטיים ברמות קושי‬
‫עולות‪.‬‬
‫התכנית ברמה של ‪ 4‬יחידות לימוד מתאימה במיוחד‬
‫לתלמידים אשר ימשיכו את לימודיהם במדעי הרוח‪,‬‬
‫במדעי החברה‪ ,‬במדעי הבריאות והרפואה‪ ,‬ובמגוון נוסף‬
‫של מקצועות אקדמיים ולא אקדמיים‪ .‬בשונה מבעבר‪,‬‬
‫התכנית איננה תכנית ‪ 5‬יחידות מצומצמת או מוחלשת‪,‬‬
‫אלא תכנית ייחודית שנכתבה במיוחד עבור תלמידים‬
‫אלה‪ .‬עובדה זו באה לידי ביטוי מיוחד בנושא‬
‫הסטטיסטיקה‪ ,‬שהוא עכשיו מרכיב משמעותי מאוד‬
‫בתכנית‪ .‬יחד עם זאת רוב תוכני המתמטיקה הבסיסיים‬
‫משותפים לתכנית זו ולתכנית של ‪ 5‬יח"ל‪ ,‬אולם היקף‬
‫התכנים ורמת ההעמקה שונים‪.‬‬
‫התכנית מתחשבת בצורך לאפשר למידה משמעותית‬
‫עקרונות‬
‫‪‬‬
‫טיפוח חשיבה רציונלית וביקורתית‪ :‬התכנית נועדה‬
‫להקנות לתלמיד דרך חשיבה רציונלית המבוססת‬
‫על הבנת המגבלות של מודל מתמטי‪ ,‬ומסייעת לו‬
‫לקבל החלטות על סמך עיבוד מתמטי של מידע‪.‬‬
‫‪‬‬
‫גישה אוריינית‪ :‬טיפוח אוריינות מתמטית הכוללת‬
‫שימוש ויכולת ביטוי באמצעות ייצוגים חזותיים‪,‬‬
‫כמותיים ומילוליים וכן שילוב ביניהם‪ ,‬כדרך לפיתוח‬
‫יכולות של עיבוד מידע וקבלת החלטות מושכלות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫רלוונטיות לתלמידים ולאזרחים לעתיד‪ :‬אחת‬
‫המטרות החשובות של התכנית היא ליצור בקרב‬
‫התלמידים מודעות לכך שלתובנות מתמטיות ערך‬
‫חשוב בהבנת העולם הסובב אותם‪ ,‬ולציידם בכלים‬
‫מתאימים להבין עולם זה ולתפקד בו ביעילות‪.‬‬
‫הדגשת הרלוונטיות הופכת את הלמידה‬
‫לאפקטיבית עבור התלמידים‪ ,‬ועשויה לסייע ביצירת‬
‫עניין ובהעלאת המוטיבציה ללמידה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫גישה ספירלית‪ :‬עולם המושגים והנושאים נבנה‬
‫בהדרגה‪ .‬במהלך ההוראה‪-‬למידה שבים ועוסקים‬
‫במושגי היסוד לצורך הרחבה והעמקת הדיון בהם‬
‫בהקשֵ רים שונים‪ .‬בתהליך הבניית הידע‪ ,‬לימוד‬
‫חומר חדש מבוסס על חומר קודם ומתווספים לו‬
‫היבטים שונים והבנה חדשה לעומק ולרוחב‪.‬‬
‫‪‬‬
‫עידוד השיח המתמטי‪ :‬לשיח המתמטי תרומה‬
‫חשובה בהבנת התכנים המתמטיים הנלמדים‪ ,‬ולכן‬
‫חשוב לאפשר פעילויות ודרכים לעידוד השיח‪ :‬שיח‬
‫כיתתי בהנחיית המורה‪ ,‬או שיח בקבוצות באמצעות‬
‫פעילויות מתאימות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫טיפוח היכולת לראייה רחבה ורב‪-‬ממדית‪ :‬פיתוח‬
‫יכולת לאינטגרציה בין נושאי הלימוד השונים‪.‬‬
‫וביטחון ביכולת המתמטית‪ ,‬גם לתלמידים שהישגיהם‬
‫בחטיבת הביניים היו ממוצעים ומטה‪ .‬לכן‪ ,‬כלולים‬
‫בתכנית תכנים מחטיבת הביניים‪ ,‬ברמה גבוהה יותר‪,‬‬
‫במטרה לחזור על תכנים אלה ולהעמיק בהם‪.‬‬
‫תכנית הלימודים מציגה בפני התלמידים את המתמטיקה‬
‫כמקצוע עיוני דיסציפלינה מדעית‪ .‬בתכנית קיים איזון בין‬
‫מספר נושאי הלימוד‪ ,‬לבין רמת ההעמקה בהם‪.‬‬
‫תקופתנו מתאפיינת בקצב שינויים מהיר בתחומים שונים‪,‬‬
‫ולכן חשוב מאוד לטפח אוריינות מתמטית ומיומנויות‬
‫למידה וחשיבה אשר יאפשרו ללומדים ללמוד באופן‬
‫עצמאי‪.‬‬
‫מטרות העל של התכנית‬
‫‪‬‬
‫הכרת תפקידה של מתמטיקה בחיי היום‪-‬יום‪,‬‬
‫החברה‪ ,‬הכלכלה והמדעים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫עיצוב תפיסת המתמטיקה כשפה אוניברסאלית‬
‫שבאמצעותה ניתן לתאר תהליכים כלכליים‬
‫וחברתיים‪ ,‬כאמצעי לבניית מודלים המתארים‬
‫תופעות בתחומי חיים שונים של האזרח‪.‬‬
‫‪‬‬
‫בפרט‪ ,‬הבנה שאלגברה וגאומטריה הם כלים‬
‫להסקת מסקנות‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪9‬‬
‫‪ 5‬יחידות לימוד‬
‫אוכלוסיית יעד‬
‫‪‬‬
‫פיתוח חשיבה מתמטית‪:‬‬
‫המסלול המדעי מיועד לאותם תלמידים אשר מסוגלים‬
‫‪o‬‬
‫חשיבה לוגית‪ ,‬מדויקת‪ ,‬מדעית וביקורתית‪.‬‬
‫לפתח חשיבה מתמטית‪-‬מדעית ורואים עצמם ממשיכים‬
‫‪o‬‬
‫חשיבה אלגוריתמית‪.‬‬
‫ללימודים אקדמיים במקצועות עתירי מתמטיקה (מדעים‪,‬‬
‫‪o‬‬
‫הבנת מושגי הבסיס‪ ,‬כגון‪ :‬הגדרה‪ ,‬טענה‪,‬‬
‫משפט‪ ,‬משפט הפוך‪ ,‬הוכחה (להבדיל מהסבר‬
‫או דוגמה)‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫הוכחות מסוגים שונים בתחומי תוכן שונים‪:‬‬
‫הוכחה ישירה‪ ,‬הוכחה קונסטרוקטיבית‪ ,‬הוכחה‬
‫אינדוקטיבית‪ ,‬הוכחה בדרך השלילה‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫מ ושג ההיפוך במגוון נושאים מתמטיים (פעולה‬
‫הפוכה‪ ,‬פונקציה הפוכה‪ ,‬נגזרת‪-‬פונקציה‬
‫קדומה)‪.‬‬
‫‪o‬‬
‫ודוגמאות‬
‫הנדסה)‪ ,‬או במקצועות תחרותיים הדורשים הצטיינות‬
‫יתירה במתמטיקה (רפואה‪ ,‬עריכת דין‪ ,‬ארכיטקטורה‪,‬‬
‫וטרינריה ועוד)‪.‬‬
‫מטרות העל של התכנית‬
‫‪‬‬
‫קידום יכולות החשיבה של התלמידים והידע שלהם‬
‫לרמה שבה יוכלו להצליח בחייהם האזרחיים בעולם‬
‫הטכנולוגי שבו אנו חיים תוך הכרת תפקידה של‬
‫מתמטיקה בחיי היום‪-‬יום – במדע‪ ,‬בטכנולוגיה‪,‬‬
‫בפרסום וצרכנות‪ ,‬במחשוב ובכלכלה הביתית‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הענקת כלים לתלמידים שישפרו את יכולת‬
‫האבחנה והשיפוט שלהם כאזרחים‪ ,‬באשר לאיכות‬
‫המידע ולפרשנויות הנלוות לו‪.‬‬
‫‪‬‬
‫הענקת כלים שיאפשרו לתלמידים להתקבל‬
‫ולהצליח בלימודים אקדמיים במקצועות עתירי‬
‫מתימטיקה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫עיצוב תפיסת המתמטיקה כחלק מהתרבות‬
‫האנושית‪ ,‬כשפה אוניברסאלית שבאמצעותה‬
‫מתארים ומפשטים תהליכים כלכליים וחברתיים‪,‬‬
‫‪,‬ובדומה מפשטים‪ ,‬מתארים ומפתחים את המדע‬
‫והטכנולוגיה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫ריבוי ייצוגים ומעבר ביניהם‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח יכולות טכניות בסיסיות בתחומי האנליזה‪,‬‬
‫האלגברה והגאומטריה‪ ,‬תוך דגש על פיתוח‬
‫הטכניקה בתוך הקשר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫היכרות בסיסית בשימוש בטכנולוגיות עזר לפתרון‬
‫בעיות מתמטיות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח הרגלי למידה ותרגול מתמטיים ברמות קושי‬
‫עולות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח אוריינות מתמטית‪ :‬לימוד הרלוונטיות של‬
‫המתמטיקה לתחומים שונים בהקשר המדעי‪,‬‬
‫הטכנולוגי העכשווי וההיסטורי‪ .‬אוריינות כוללת‬
‫מידול של תופעות במדעים שונים‪ ,‬כגון‪ :‬פיזיקה‪,‬‬
‫ביולוגיה‪ ,‬רפואה‪ ,‬תמונה ממוחשבת ומדעי החברה‪,‬‬
‫וכן הבנת התוצאות המתמטיות של המודל בהקשר‬
‫הנתון (תוך הטמעת החשיבה הביקורתית בהקשר‬
‫זה)‪ .‬אוריינות כוללת גם את היכולת להבין את‬
‫משמעות התוצאות המתמטיות ללא קשר למודלים‬
‫(למשל הבנה של השלכות משפט בגאומטריה על‬
‫מקרים פרטיים)‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח קישוריות בין ענפי המתמטיקה השונים‪,‬‬
‫וקישוריות בין תחומי מדע שונים דרך המתמטיקה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח יצירתיות‪ :‬יצירת מודלים‪ ,‬מציאת פתרונות‬
‫שונים לאותה בעיה‪ ,‬העלאת השערות‪ ,‬יצירת‬
‫הוכחות שונות לאותה טענה‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח מיומנויות תקשורת מתמטית‪ :‬קריאה וכתיבת‬
‫ביקורת על טיעון‪ ,‬הגנה על טיעון (ארגומנטציה)‪,‬‬
‫וכמובן גם תקשורת בעל‪-‬פה תוך ניהול שיח‬
‫מתמטי‪.‬‬
‫‪‬‬
‫פיתוח מיומנויות ללימוד עצמי ותרגול באמצעים‬
‫טכנולוגים‪.‬‬
‫בפרט‪ ,‬השאיפה היא כי התכנית תעזור לפיתוח‬
‫המיומנויות הבאות‪:‬‬
‫‪‬‬
‫יכולת התמודדות עם שאלות סבוכות‪ ,‬תוך שימוש‬
‫בכלים ובשפה המתמטית לניתוחן ופתרונן‪.‬‬
‫‪‬‬
‫חשיבה מתמטית‪-‬לוגית הכוללת ביקורתיות ודיוק‪,‬‬
‫תוך בקרת תהליך פתרון בעיות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫היכולת לבחירה ושימוש באמצעים טכנולוגים‬
‫לפתרון בעיות מתמטיות‪.‬‬
‫‪‬‬
‫מיומנויות מתמ טיות ברמה הטכנית הדרושה להבנת‬
‫והטמעת החומר הנלמד‪.‬‬
‫דגשים עיקריים של התכנית‬
‫נושאי הלימוד בתכנית זו יהיו בעיקרם דומים לנושאים‬
‫שנלמדו בעבר (במסלול ‪ 5‬היחידות)‪ ,‬כאשר השאיפה‬
‫היא שההדגשים בתכנית הלימוד יהיו כדלקמן‪:‬‬
‫‪10‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫שימוש‬
‫נגדיות‪.‬‬
‫בדוגמאות‪,‬‬
‫אי‪-‬דוגמאות‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪11‬‬
‫‪ 5‬יחידות מורחב (‪)++5‬‬
‫אוכלוסיית היעד‪:‬‬
‫מבנה התכנית‬
‫התכנית מיועדת לתלמידים אוהבי מתמטיקה בעלי‬
‫התכנית המורחבת כוללת את כל התכנים של תכנית‬
‫פוטנציאל מתמטי גבוה‪ .‬המסלול יוביל את התלמידים‬
‫‪ 5‬יח"ל בשילוב תכנים מיוחדים משלושה סוגים‪:‬‬
‫למקצועות‬
‫מתמטיקה‬
‫עתירי‬
‫המכינים‬
‫מהנדסים‪,‬‬
‫העמקה‬
‫מתכנתים ומדענים ברמה גבוהה‪.‬‬
‫המתייחסת להוראה ולמידה של‬
‫נושאים הכלולים בתכנית ‪ 5‬יח"ל‬
‫עקרונות מנחים‪:‬‬
‫ברמה גבוהה יותר‪.‬‬
‫‪‬‬
‫קישורים בין תחומים שונים‪,‬‬
‫‪‬‬
‫הוכחות ופתרונות בדרכים שונות‪,‬‬
‫נושאים הקשורים לתכנית הלימודים‬
‫‪‬‬
‫חידות אתגר‪,‬‬
‫‪ 5‬יח"ל‪.‬‬
‫‪‬‬
‫רקע היסטורי‪,‬‬
‫‪‬‬
‫משימות חקר וגילוי‪,‬‬
‫הלימודים ‪ 5‬יח"ל ומוצעים להוראה‬
‫‪‬‬
‫קריאת טקסטים‪,‬‬
‫ולמידה לפי בחירת המורים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לימוד חומר לקראת השיעור‪,‬‬
‫‪‬‬
‫שימושיות‪.‬‬
‫הרחבה‬
‫בחירה‬
‫המתייחסת להוראה ולמידה של‬
‫הכוללת נושאים שלא נכללו בתכנית‬
‫דוגמה לשילוב התכנים המיוחדים של תכנית ‪ ++ 5‬בתכני הלימוד של תכנית ‪ 5‬יח"ל – כיתה יוד‬
‫שעות‬
‫נושא ‪I‬‬
‫שעות‬
‫נושא ‪II‬‬
‫יסודות‬
‫הרחבה‪ :‬לוגיקה‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫בחירה‪ :‬קבוצות ומספרים מונים‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫הנדסת המישור‬
‫‪50‬‬
‫סדרות‬
‫‪16‬‬
‫מבוא לאנליזה‬
‫העמקה‪:‬‬
‫מקומות גאומטריים‪,‬‬
‫‪15‬‬
‫העמקה‪/‬הרחבה‪. −  :‬‬
‫‪20-15‬‬
‫‪10‬‬
‫בעיות ערך קיצון גאומטריות‪.‬‬
‫בחירה‪:‬‬
‫גאומטריה היפרבולית‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫בחירה‪:‬‬
‫גאומטריות שונות‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫מבוא להנדסה אנליטית‬
‫העמקה‪/‬הרחבה‪:‬‬
‫חלוקת קטע ביחס‬
‫נתון‪ ,‬מפגש תיכונים‬
‫במשולש‪ ,‬ריבוי פתרונות‪.‬‬
‫מבוא לפונקציות טריגונומטריות‬
‫הרחבה‪:‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪-‬‬
‫קומבינטוריקה מנייתית‪.‬‬
‫‪10‬‬
‫ללא‬
‫חשבון דיפרנציאלי‬
‫העמקה‪:‬‬
‫בנושאים נלמדים בחשבון‬
‫דיפרנציאלי‪.‬‬
‫תוספת‬
‫שעות‬
‫תוספת‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫בחירה‪:‬‬
‫מתמטיקה בדידה ‪-‬‬
‫קומבינטוריקה או מבוא‬
‫לתורת הגרפים‪ ,‬או‬
‫הגרפים‪.‬‬
‫סה"כ ‪ 150‬שעות ‪ 60 +‬שעות (כולל ‪ 2‬מתוך ‪ 4‬נושאי בחירה‪).‬‬
‫‪12‬‬
‫ללא‬
‫שעות‬
‫קומבינטוריקה ותורת‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪44-39‬‬
‫‪10‬‬
‫עם הפנים קדימה‬
‫ניסוי התכנית החדשה בכ‪ 20 -‬בתי‪-‬ספר מתוכנן להתחיל‬
‫הושלמה כתיבת תכנית לימודים מפורטת לכיתות י‪.‬‬
‫בספטמבר ‪.2016‬‬
‫השנה הקרובה תהיה מוקדשת לכתיבת ספרי לימוד‬
‫הכוללת דוגמאות למשימות‪.‬‬
‫תכנית הלימודים לכיתות יא‪-‬יב כתובה ברמת שלד‪.‬‬
‫התכנית נשלחה לעיון ותגובה לנציגי האוניברסיטאות‪.‬‬
‫ניתן לראות את התכנית המפורטת באתר מרכז המורים‬
‫בקישור‪:‬‬
‫‪http://highmath.haifa.ac.il/index.php?option=com_cont‬‬
‫לכיתות י‪.‬‬
‫השלמת הכתיבה המפורטת של התכנית לכיתות יא‪-‬יב‬
‫מתוכננת להסתיים עד דצמבר ‪.2016‬‬
‫על‪-‬פי התכנון‪ ,‬בספטמבר ‪ 2017‬תיכנס התכנית החדשה‬
‫לכיתות י בכל בתי הספר בארץ‪.‬‬
‫‪ent&task=view&id=4342‬‬
‫תת‪-‬ועדות‬
‫‪ 3‬יח"ל‬
‫‪ 4‬יח"ל‬
‫פרופ' רון ליבנה‬
‫גנאדי ארנוביץ‬
‫ד"ר רותי רייז‬
‫ורדה זיגרסון‬
‫ציפי ברגלס‬
‫גרגורי שפורין‬
‫פרופ' אברהם הרכבי‬
‫פרופ' עזריאל לוי‬
‫פרופ' רון ליבנה‬
‫ד"ר מריטה ברבש‬
‫ד"ר מיכל טבח‬
‫ד"ר מרק אפלבאום‬
‫גרגורי שפורין‬
‫‪ 5‬יח"ל‬
‫פרופ' ורד רום‪-‬קידר‬
‫פרופ' טומי דרייפוס‬
‫ד"ר גילה רון‬
‫אביטל אלבוים‪-‬כהן‬
‫ציפי ברגלס‬
‫סלימאן סלאמה‬
‫גאולה סבר‬
‫‪++5‬‬
‫פרופ' אברהם ברמן‬
‫פרופ' דוד בלנק‬
‫ד"ר חמוטל דוד‬
‫פרופ' רוזה לייקין‬
‫ויר‬
‫עדה שרר‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪13‬‬
‫אפשר גם אחרת‬
‫פתרו נות שונים ל בעיות הספק‬
‫באמצעים גרפיים‬
‫אביטל אלבוים‪-‬כהן‬
‫ג'ייסון קופר‬
‫מבוא‬
‫בעיות מילוליות מזמינות תלמידים לפתור בעיות‬
‫פ תרון בעיות הספק‬
‫לטוויית קשרים מתמטיים‬
‫"אותנטיות" בעזרת כלים מתמטיים – פתרון משוואות‬
‫נתבונן בבעייה הבאה (איור ‪)1‬‬
‫ממעלה ‪ 1‬או ‪ 2‬עם נעלם אחד או שניים‪ .‬מורים רבים‬
‫מעודדים את תלמידיהם לארגן את הנתונים בטבלה‪,‬‬
‫ונעזרים בטבלה בשלבים שונים של פתרון הבעיה‪.‬‬
‫סיפורנו מתחיל בהשתלמות עדש"ה (עמיתים דנים‬
‫בשיעורי המתמטיקה)‪ i‬שבה‪ ,‬כהקדמה לצפייה בשיעור‬
‫שעוסק בפתרון בעיות הספק מילוליות‪ ,‬התבקשו‬
‫כהזדמנות‬
‫בעיה‬
‫כל אחד משני פועלים התבקש לארוז אותו‬
‫מספר קופסאות‪.‬‬
‫הפועל הראשון החל לעבוד ב‪ 8:00 -‬בבוקר‬
‫וסיים את האריזה ב‪.16:00 -‬‬
‫המשתלמים (כותבי מאמר זה בתוכם) לפתור בעיית‬
‫הפועל השני החל לעבוד לאחר השעה ‪,10:00‬‬
‫הספק מסוימת‪ .‬כדי להעצים את האתגר‪ ,‬התבקשנו‬
‫וסיים לארוז את כמות הארגזים שלוש שעות‬
‫לפתור את הבעיה בכלים גרפיים‪ .‬במאמר זה נציג‬
‫לפני הפועל הראשון‪.‬‬
‫שלושה פתרונות שלנו לבעיית ההספק שהוצגה באותה‬
‫שעה לאחר שהפועל השני החל לעבוד‪ ,‬הוא‬
‫השתלמות‪ .‬באופן מפתיע נראה כי דווקא הגבלת סוגי‬
‫הספיק לארוז כמות ארגזים השווה למספר‬
‫הפגנת‬
‫הארגזים שארז הפועל הראשון עד לאותו‬
‫הפתרונות‬
‫לתחום‬
‫הגרפי‪/‬ויזואלי‬
‫אפשרה‬
‫יצירתיות‪ ,‬שהניבה שתי גישות שונות מאוד זו מזו‪ .‬שמחנו‬
‫על כך שהנחו אותנו לחפש שיטות פתרון מגוונות שאינן‬
‫סטנדרטיות עבורנו‪ .‬פתרונות אלה הציפו הזדמנויות‬
‫להעמיק במתמטיקה ולהרהר על סוגיות פדגוגיות‪ ,‬ואף‬
‫להרהר על תפקיד בעיות מילוליות בתכנית הלימודים‬
‫רגע‪.‬‬
‫בכמה שעות ביצע הפועל השני את עבודתו?‬
‫הציעו דרכים אחדות לפתרון הבעייה‬
‫באמצעים גרפיים‪.‬‬
‫בכלל‪.‬‬
‫איור ‪ :1‬בעיית הספק‬
‫הדיון בריבוי פתרונות לבעייה אחת הוא נושא שמעסיק‬
‫את קהילת העוסקים בחינוך מתמטי‪( ,‬למשל‪ ,‬לייקין‪,‬‬
‫עוסקים בריבוי פתרונות לבעיות מילוליות ומתמקדים‬
‫קשרים תוך מתמטיים ‪ -‬פתרונות‬
‫המבוססים על דמיון משולשים‬
‫בבעיות תנועה‪ .‬מאמרנו ממשיך את המגמה‪ ,‬ומתמקד‬
‫פתרון א‬
‫ב בעיית הספק‪ ,‬תוך דיון בפוטנציאל של פתרונות גרפיים‬
‫פתרון זה מתחיל בייצוג גרפי של הבעיה‪ ,‬כאשר ציר ה‪x -‬‬
‫לקשר בין תחומי דעת מתמטיים וחוץ מתמטיים שונים‪.‬‬
‫מייצג את משתנה הזמן (שעות שחלפו מהשעה ‪8:00‬‬
‫‪ ;2006‬לייקין‪ ,‬לבב‪-‬וינברג‪ ,‬וולטמן‪ .)2012 ,‬כץ וכץ (‪)2013‬‬
‫‪14‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫בבוקר)‪ ,‬וציר ה‪ y -‬מייצג את חלק העבודה שהושלם‪.‬‬
‫(המספר ‪ 1‬מייצג את מכסת הארגזים של כל אחד‬
‫מהפועלים‪).‬‬
‫הפועל הראשון מסיים את עבודתו ב‪ 8 -‬שעות‪ ,‬ולכן‬
‫הגרף המייצג את עבודתו הוא קטע (אנחנו מניחים קצב‬
‫עבודה קבוע) שקצותיו ראשית הצירים והנקודה )‪A(8,1‬‬
‫מדמיון המשולשים ‪ 𝛥CEP~𝛥BDP‬נקבל את הפרופורציה‪:‬‬
‫𝐸𝑃‬
‫𝐷𝑃‬
‫=‬
‫𝐸𝐶‬
‫𝐷𝐵‬
‫‪ ,‬אשר במקרה שלנו נותנת‬
‫הגרף המייצג את עבודתו הוא קו ישר בין נקודה )‪P(x,0‬‬
‫‪1‬‬
‫מדמיון המשולשים ‪( 𝛥CEO~𝛥AFO‬ראו איור ‪ )3‬נקבל את‬
‫הפרופורציה‪:‬‬
‫𝐸𝑂‬
‫𝐹𝑂‬
‫=‬
‫𝐸𝐶‬
‫𝐹𝐴‬
‫‪ .‬נשים לב כי ‪ 𝐸𝐷 = 𝑇 − 1‬ולכן‬
‫)‪ 𝑂𝐸 = 𝑂𝐷 − 𝐸𝐷 = 5 − (𝑇 − 1‬ונקבל ‪:‬‬
‫)‪5−(𝑇−1‬‬
‫(ראו איור ‪ .)2‬הפועל השני מתחיל את עבודתו אחרי‬
‫השעה ‪ 10‬ומסיים אותה שלוש שעות לפני הראשון‪.‬‬
‫‪1‬‬
‫𝑇‬
‫=‬
‫𝐸𝐶‬
‫‪ ,‬או‬
‫‪1‬‬
‫𝑇‬
‫= 𝐸𝐶‪.‬‬
‫‪8‬‬
‫=‬
‫𝑇‪1/‬‬
‫‪1‬‬
‫‪,‬‬
‫השקול ל‪.𝑇(6 − 𝑇) = 8 -‬‬
‫לנקודה )‪ ,B(5,1‬כאשר ידוע ש‪ .x>2 -‬פירושו של דבר‬
‫למשוואה הריבועית לעיל שני פתרונות (‪,(T=4 , T=2‬‬
‫ששיעור ה‪ x -‬של הנקודה ‪ P‬יכול‪ ,‬על פניו‪ ,‬לקבל כל‬
‫אשר רק אחד מהם מתאים לתנאי הבעיה (‪ .)T=2‬כלומר‪,‬‬
‫ערך בין ‪ 2‬ל‪.5 -‬‬
‫הזמן שעבד הפועל השני שמיוצג על‪-‬ידי אורך הקטע ‪PD‬‬
‫הנקודה ‪ C‬מייצגת את השעה שבה שני הפועלים סיימו‬
‫להשלים את אותו חלק מהעבודה‪ .‬הנתון האחרון בבעיה‬
‫הוא שהמרחק האופקי (על ציר הזמן) בין הנקודות ‪ P‬ו‪C -‬‬
‫הוא ‪ .1‬מכאן נפתור את הבעיה כבעיית דמיון משולשים‪.‬‬
‫הוא שעתיים‪ ,‬ושיעורי הנקודה ‪ P‬הם )‪ .(3,0‬מכאן הפועל‬
‫השני התחיל את עבודתו בשעה ‪.11‬‬
‫דיון בפתרון א‬
‫הייצוג הגרפי נשען על הצגת העבודה שמשלים כל פועל‬
‫כפונקציה קווית של הזמן‪ .‬זהו תרגום של הקשר‬
‫𝑡 ∙ 𝑃 = 𝑊 (עבודה היא מכפלה של הספק קבוע בזמן)‬
‫למושגים של פונקציה‪.‬‬
‫לאחר ייצוג הבעיה במערכת צירים‪ ,‬המשולש ‪ PCE‬משך‬
‫את תשומת הלב (ידוע שהצלע ‪ )PE=1‬וניתב את המשך‬
‫הפתרון לכיוון של בעיית משלושים‪ .‬בפרט‪ ,‬הסתכלות זו‬
‫כיוונה את בחירת ה"נעלם" בתור אורך הצלע ‪ PD‬של‬
‫המשולש ‪ ,PDB‬שהוא גם הגודל שאנחנו מתבקשים‬
‫למצוא‪.‬‬
‫דמיון משולשים נראה בתחילה כקישור משונה לבעיית‬
‫הספק‪ ,‬אבל בהקשר הגרפי הוא מתברר כטבעי למדי‪.‬‬
‫איור ‪ :2‬פתרון בעיית הספק באמצעות דמיון משולשים‬
‫גישה זו מכוונת אותנו לבחור את אורך הקטע ‪PD‬‬
‫כמשתנה (שנסמנו ב‪ ,)T -‬אשר מייצג את הזמן הנחוץ‬
‫לפועל השני לסיים את העבודה‪ .‬נסמן בסרטוט את‬
‫הנקודה ‪ E‬כהיטל של הנקודה ‪ C‬על ציר ה‪( .x -‬ראו‬
‫איור ‪.)2‬‬
‫ההספק קובע את שיפוע הגרף‪ ,‬שקובע את הזווית בין‬
‫הגרף לציר ה‪ .x -‬נקודה מסוימת בזמן (למשל ‪ )t=3‬באה‬
‫לידי ביטוי בישר מקביל לציר ה‪ ,y -‬וכל הישרים האלה‬
‫מקבילים אלה לאלה‪ .‬כך מתקבל מגוון של זוויות שוות‬
‫ושל משולשים דומים‪.‬‬
‫השילוב בין שני תחומים אלה‪ ,‬אשר איננו מורגלים בו‪,‬‬
‫מציג את המתמטיקה כמארג שבו מושגים וכלים‬
‫משתלבים ומתקשרים על מנת לפתור בעיה‪.‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪15‬‬
‫באופן מפתיע‬
‫נראה כי דווקא‬
‫הגבלת סוגי‬
‫הפתרונות‬
‫לתחום‬
‫הגרפי‪/‬ויזואלי‬
‫אפשרה הפגנת‬
‫יצירתיות‬
‫שהניבה שתי‬
‫גישות שונות‬
‫מאוד זו מזו‪.‬‬
‫פתרון ב‬
‫עבודתו‪ ,‬הוא הספיק לארוז כמות ארגזים השווה למספר‬
‫לאחר השלמת הפתרון שמנו לב שבתרשים של פתרון א‬
‫הארגזים שארז הפועל הראשון עד לרגע זה")‪ .‬יש לנו‬
‫אפשר לזהות בקלות זוגות נוספים של משולשים דומים‪.‬‬
‫עוד זוג של משולשים דומים‪ ,𝛥BGC~𝛥PEC :‬ויחס‬
‫צדו את עינינו ותהינו אם נוכל‬
‫הפרופורציה ביניהם גם הוא ‪ ,x‬ולכן אורך הקטע ‪ BG‬הוא‬
‫המשולשים ‪ ABC‬ו‪OPC -‬‬
‫למצוא פתרון המבוסס על הדמיון ביניהם‪.‬‬
‫‪ .1/x‬מסיכום אורכי הקטעים ‪ BA ,GB ,PE ,OP‬נקבל‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫כץ וכץ (‪ )2013‬מתארים פתרון בעיות תנועה ב‪ 8 -‬דרכים‬
‫‪ .3𝑥 + 1 + + 3 = 8‬למשוואה ריבועית זו יש שני‬
‫𝑥‬
‫‪1‬‬
‫שונות‪ .‬אחת מהן (דרך ה) מתבססת על דמיון משולשים‪.‬‬
‫פתרונות‪:‬‬
‫ניתן לראות בעיות תנועה כסוג של בעיות הספק‪ ,‬ואכן‪,‬‬
‫נתבקשנו למצוא‪ ,‬מיוצג על‪-‬ידי סכום אורכי הקטעים‬
‫הפתרון הנוכחי שואב השראה מדרך ה במאמר של כץ‬
‫𝑥‪ .𝑃𝐸 + 𝐺𝐵 = 1 + 1/‬שני הערכים שמצאנו ל‪x -‬‬
‫וכץ‪.‬‬
‫מתאימים לשני הפתרונות שמצאנו לעיל בשיטות א ו‪ -‬ב ‪-‬‬
‫להלן הפתרון‪:‬‬
‫‪3‬‬
‫= 𝑥 ;‪ .𝑥 = 1‬זמן העבודה של פועל ב‪ ,‬אותו‬
‫‪ 2‬שעות או ‪ 4‬שעות‪ ,‬כאשר רק אחת התשובות (‪ 2‬שעות)‬
‫מתאימה לתנאי הבעיה‪.‬‬
‫נתבונן באיור ‪ .3‬כמו באיור ‪ ,2‬גם באיור ‪ 3‬הקטעים ‪ OA‬ו‪-‬‬
‫‪PB‬‬
‫הם הגרפים המייצגים את עבודתם של שני הפועלים‬
‫בפרקי הזמן בהם עבדו‪ .‬באיור ‪ 3‬העברנו אנך לציר ה‪x -‬‬
‫דרך הנקודה ‪ C‬במקום שני האנכים לציר ה‪ x -‬שבאיור ‪.2‬‬
‫שילוב קשרים פנים מתמטיים וחוץ‬
‫מתמטיים ‪ -‬גיוס מושגים מעולם‬
‫הפיזיקה ומתחום האינטגרלים לטובת‬
‫הפתרון‬
‫פתרון ג‬
‫הפתרון‬
‫השלישי‬
‫מקבל‬
‫השראה‬
‫מהקשר‬
‫הפיזיקלי‪/‬מתמטי בין המושגים "הספק" ו"עבודה"‪ .‬מתוך‬
‫הכורח לחפש פתרון גרפי עלה הקישור בין "עבודה"‬
‫ל"שטח מתחת לגרף" שמוכר מתחום הפיזיקה‪ .‬אם‬
‫נעשית עבודה ‪ W‬בהספק )‪ p(t‬לאורך זמן מ‪ 0 -‬עד ‪ ,T‬אזי‬
‫𝑇‬
‫𝑡𝑑)𝑡(𝑝 ‪ . W(T) = ∫0‬ולכן לפי המשפט היסודי של‬
‫החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי‪ ,‬העבודה היא השטח‬
‫שכלוא מתחת לגרף ההספק כפונקציה של הזמן‪.‬‬
‫בבעיה הנתונה ההספקים של הפועלים קבועים‪ ,‬ולכן‬
‫הנתון על שוויון בעבודה של שני הפועלים‪ ,‬המיוצג‬
‫מתוך הכורח‬
‫לחפש פתרון‬
‫גרפי עלה‬
‫הקישור בין‬
‫"עבודה"‬
‫ל"שטח מתחת‬
‫לגרף" שמוכר‬
‫מתחום‬
‫הפיזיקה‪.‬‬
‫כשוויון בין שטחים מתחת לגרף ההספק של שני‬
‫איור ‪ :3‬פתרון נוסף באמצעות דמיון משולשים‬
‫הפועלים‪ ,‬הוא שוויון בין שטחי מלבנים‪.‬‬
‫נתון כי הפועל הראשון השלים את העבודה בשמונה‬
‫יש לפנינו שני משולשים דומים‪ .𝛥ABC~𝛥OPC :‬נבחר את‬
‫שעות‪ .‬נסמן את הספק הפועל הראשון ב ‪ .P1‬לכן‪,‬‬
‫הנעלם ‪ x‬כמייצג את יחס הדמיון בין המשולשים‪ .‬ידוע‬
‫אפשר לייצג את העבודה כולה כ‪.8 P1 -‬‬
‫שאורך הקטע ‪ AB‬הוא ‪ ,3‬ולכן אורך הקטע ‪ - OP‬הצלע‬
‫נסמן את משך העבודה של הפועל השני ב‪( t -‬זהו‬
‫המתאימה במשולש ‪ - OPC‬הוא ‪ .3x‬מנתוני הבעיה‪ ,‬אורך‬
‫הנעלם אותו צריך למצוא בבעיה) וב‪ P2 -‬את ההספק‬
‫הקטע ‪ PE‬הוא ‪ "( 1‬שעה לאחר שהפועל השני החל את‬
‫שלו‪.‬‬
‫‪16‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫נסרטט שני גרפים באותה מערכת צירים‪ ,‬כך שהשטח‬
‫שוויון שטחי המלבנים האדומים ‪ ACOK‬ו‪ FJLK -‬באיור ‪5‬‬
‫מתחת ל כל גרף מייצג את עבודתו של אחד הפועלים‪.‬‬
‫מייצג גם הוא משוואה‪ .‬נרשום אותה קודם בייצוגה‬
‫הפועל הראשון עבד שמונה שעות‪ ,‬והפועל השני עבד ‪t‬‬
‫הגאומטרי‪ .FK·KL=AK·KO .‬על‪-‬פי בניית הגרפים ‪,FK=1‬‬
‫שעות‪ ,‬כך שסיים את עבודתו כעבור חמש שעות‬
‫‪ KO=P1‬וכן ‪.KL=P2‬‬
‫מתחילת העבודה של הפועל הראשון‪ .‬כמו כן‪ ,‬לא נתון‬
‫מועד ראשית העבודה של הפועל השני‪ ,‬אלא שהתחיל‬
‫לעבוד אחרי שהפועל הראשון השלים שעתיים של‬
‫עבודה‪( .‬ראו איור ‪.)4‬‬
‫נשאלת השאלה איך נייצג את‬
‫‪ AK‬באמצעות נתוני‬
‫הבעיה‪ .‬נסתמך על השוויון ‪ .AK+FE=AE+FK‬לפי הנתונים‬
‫והסימונים ‪ AE=5 ,FE=1‬ו‪ .FE=t -‬לכן ‪. AK=5-t+1=6-t‬‬
‫לסיכום‪ ,‬מתוך איור ‪ 5‬אפשר להסיק כי שוויון שטחי‬
‫המלבנים האדומים מיוצג על‪-‬ידי המשוואה ‪P1·(6-t)=P2·1‬‬
‫הספק‬
‫ביחידות‬
‫שעה‪1/‬‬
‫קי בלנו שתי‬
‫משוואות בשלושה נעלמים‪ .‬חלוקת‬
‫המשוואות זו בזו מניבה את המשוואה‬
‫‪1‬‬
‫𝑡‬
‫=‬
‫𝑡‪6−‬‬
‫‪8‬‬
‫‪.‬‬
‫למשוואה שני פתרונות ‪ t=2‬ו‪ t=4 -‬כאשר רק הראשון‬
‫מבניהם מתאים לנתוני הבעיה‪.‬‬
‫הספק‬
‫ביחידות‬
‫שעה‪1/‬‬
‫זמן בשעות מתחילת‬
‫עבודתו של הפועל‬
‫הראשון‬
‫איור ‪ :4‬פתרון בעיית ההספק בשילוב מושגי פיזיקה ‪-‬‬
‫ייצוג העבודה כולה‬
‫נשים לב שאנחנו מסרטטים את הגרף אחרי שנתנו את‬
‫דעתנו על כך שהפועל השני משלים את העבודה בפחות‬
‫זמן מהפועל הראשון‪ ,‬לכן הספקו חייב להיות גדול‬
‫זמן בשעות מתחילת‬
‫עבודתו של הפועל‬
‫הראשון‬
‫מהספקו של הפועל הראשון )‪ .(P1<P2‬על‪-‬פי הנתון‬
‫בבעיה‪ ,‬שטחי המלבנים ‪ ABDC‬ו‪ EHJF -‬שווים זה לזה‪.‬‬
‫איור ‪ :5‬פתרון בעיות הספק בשילוב מושגי פיזיקה ‪-‬‬
‫ייצוג כל המשוואות‬
‫שוויון שטחי המלבנים שבאיור ‪ 3‬מיוצג אלגברית על‪-‬ידי‬
‫המשוואה ‪8· P1=t· P2‬‬
‫עוד נתון בבעיה כי ב שעה אחת מתחילת עבודתו הצליח‬
‫הפועל השני להשלים את אותה כמות עבודה אותה‬
‫השלים הפועל הראשון עד אותו הזמן‪ .‬מכאן נוכל‬
‫להוסיף לגרפים עוד שני מלבנים שמלמדים על השוויון‬
‫השני שנתון בבעיה‪( .‬ראו איור ‪).4‬‬
‫דיון בפתרון ג‬
‫בעיות מילוליות (בעיות תנועה‪ ,‬בעיות הספק‪ ,‬ומעט‬
‫בעיות מילוליות בנושאים סדרות והסתברות) הן‬
‫מההזדמנויות המעטות של תלמידים הלומדים במסלול‬
‫של ‪ 5‬יחידות לימוד בחטיבה העליונה‪ ,‬להשתמש בכלים‬
‫מתמטיים למטרות יצירת מודלים‪ .‬במקרה של בעיות‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪17‬‬
‫יכולות להיות‬
‫להוראה מטרות‬
‫נוספות‪ ,‬מטה‪-‬‬
‫מתמטיות‪ ,‬כגון‬
‫הצגת‬
‫המתמטיקה‬
‫כמארג‬
‫קוהרנטי שבו‬
‫הנושאים‬
‫והתחומים‬
‫השונים קשורים‬
‫אלה באלה‪,‬‬
‫ומשתלבים‬
‫בשרות של‬
‫פתרון בעיות‪.‬‬
‫תנועה ובעיות הספק‪ ,‬הבעיות עבורן בונים מודלים‬
‫בפתרון ב הייצוג הגרפי מנחה את בחירת‬
‫לקוחות מתחום הפיזיקה‪ .‬או מנם‪ ,‬התלמידים נדרשים‬
‫הנעלמים ‪ ,P1, P2, FE‬שהם אורכי הצלעות‬
‫לבנות מודלים ל מצבים שהתוכן הפיזיקלי שלהן מסתכם‬
‫במלבנים ששטחיהם מייצגים את העבודה‪.‬‬
‫בקשר פשוט בין שלושה משתנים‪ ,‬והסיבוך של הבעיות‬
‫נגזר בדרך כלל מאילוצים מלאכותיים‪ ,‬אבל עדיין‪,‬‬
‫מושגים פיזיקליים משובצים בתוך הבעיות‪ .‬במקרה דנן‪,‬‬
‫השילוב בין בעיית הספק ודרישה לפתרון גרפי‪ ,‬הוא‬
‫שהוליד את השימוש במושג ההספק בפיזיקה‪ ,‬ובמשפט‬
‫היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי לפתרון‬
‫הבעיה‪ .‬כמו בפתרון א גם כאן הדרישה לפתרון גרפי‬
‫מזמנת את פריצת חומות האלגוריתם הסטנדרטי‪ ,‬וגיוס‬
‫כלים אחרים וקישורים אחרים לטובת פתרון הבעיה‪.‬‬
‫‪ .2‬גם השלב השני בפתרון ‪ -‬בניית המשוואות ‪-‬‬
‫נעזר בייצוגים הגרפיים‪ ,‬ובפרט בהיבטים‬
‫גאומטריים של ייצוגים אלה‪ .‬בפתרון א‬
‫המשוואה נגזרת מדמיון משולשים‪ ,‬ובפתרון‬
‫ב המשוואות נגזרות משוויון שטחים‪ .‬הרכבי‬
‫)‪ (Arcavi, 2003‬רואה בוויזואליזציה "כלי‬
‫[לפותר בעיה] להיחלץ ממצבים בהם לא‬
‫ברור כיצד להמשיך‪( ".‬עמ' ‪ .)224‬אפשר‬
‫לראות בייצוגים הגרפיים ששרתו אותנו‬
‫בבעיה הנ"ל‪ ,‬הדגמה לאפשרויות הגלומות‬
‫בשימוש בכלי כזה לפתרון הבעיה הנתונה‬
‫סיכום ומסקנות‬
‫במאמר זה‪.‬‬
‫בדרך כלל‪ ,‬כאשר אנחנו עוסקים בבעיות מילוליות‪,‬‬
‫מטרתנו העיקרית היא שתלמידים יפתחו מיומנויות‬
‫בפתרון בעיות מילוליות‪ .‬נראה תחילה כיצד הפתרונות‬
‫לעיל אשר נעזרים בייצוג גרפי יכולים לתמוך במטרה זו‪.‬‬
‫בכל פתרון של בעיות מילוליות מסוג זה יבואו לידי ביטוי‬
‫השלבים הבאים‪:‬‬
‫פתרון המשוואות‪ .‬עם זאת‪ ,‬אפשר להעלות‬
‫על הדעת מקרים בהם הייצוג הגרפי של‬
‫הבעיה יקדם את תהליך הפתרון האלגברי‪,‬‬
‫כפי שתיאר הרכבי (‪ ,)Arcavi, 1994‬מקרה‬
‫שבו "חוש לסמלים אלגבריים" ( ‪symbol‬‬
‫‪ .1‬בחירה של משתנה או משתנים אשר יהוו‬
‫את הנעלמים של הבעיה‪.‬‬
‫של משוואה או משוואות מתאימות)‪.‬‬
‫‪ .4‬הקשָ ה של פתרון לבעיה מתוך פתרון‬
‫ובדיקתו‬
‫‪ .4‬סרטוט מחדש של הגרפים לאור הפתרון‬
‫האלגברי‬
‫("הפועל‬
‫השני‬
‫עבד‬
‫במשך‬
‫שעתיים או במשך ארבע שעות") מאפשר‬
‫‪ .3‬פתרון המשוואה או המשוואות‪.‬‬
‫לאור‬
‫‪ )sense‬נתן השראה לשלב האלגברי של‬
‫פתרון בעיה‪.‬‬
‫‪ .2‬בניית מודל אלגברי של הבעיה (בנייה‬
‫המשוואות‪,‬‬
‫‪ .3‬לא נראה שהייצוג הגרפי תורם לשלב‬
‫הנתונים‬
‫המקוריים‪.‬‬
‫הייצוגים הגרפיים בפתרונות שהוצגו לעיל תומכים‬
‫בשלושה מתוך ארבעת השלבים של פתרון הבעיה‪.‬‬
‫את בדיקת הפתרון מול נתוני הבעיה‬
‫המקורית וגילוי שרק תוצאה אחת מבין‬
‫השתיים מתאימה‪.‬‬
‫עד כאן ראינו את תרומת הייצוג הגרפי לפתרון הבעיה‬
‫המילולית‪ .‬זוהי תרומה משמעותית כאשר מטרת ההוראה‬
‫היא פתרון בעיות‪ .‬יחד עם זאת יכולות להיות להוראה‬
‫‪ .1‬הייצוג הגרפי בפתרון א הנחה את בחירת‬
‫מטרות נוספות‪ ,‬מטה‪-‬מתמטיות‪ ,‬כגון הצגת המתמטיקה‬
‫הנעלם‪ .‬הגרפים יוצרים משולש ישר‪-‬זווית‬
‫כמארג קוהרנטי שבו הנושאים והתחומים השונים‬
‫‪ ,PDB‬ואורך הקטע ‪ - PD‬ניצב במשולש זה‬
‫קשורים אלה באלה‪ ,‬ומשתלבים בשרות של פתרון‬
‫– הוא מועמד טבעי למשתנה בבעיה‪ .‬גם‬
‫בעיות‪.‬‬
‫‪18‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫פתרונות גרפיים כמו אלו שהוצגו לעיל‪ ,‬מראים שאפשר‬
‫גם אם מטרתנו אינה להרבות דרכי פתרון‪ ,‬כדאי לשקול‬
‫להתייחס לנושא של "בעיות מילוליות" מנקודת מבט של‬
‫הצגה של פתרון גרפי‪ ,‬שכן ההתבוננות דרך משקפיים‬
‫משימות חקר‪ ,‬אשר מזמנות פתרונות מגוונים‪ ,‬לא‬
‫גרפיים עשויה לסייע לתלמידים מסוימים לראות (תרתי‬
‫סטנדרטיים‪ ,‬ואף יצירתיים‪ .‬לגישה כזאת לפתרון בעיות‬
‫משמע) את התמונה השלמה של מה שמיוצג בבעיה‪,‬‬
‫עשויות להיות השלכות פדגוגיות‪ .‬המורה לא רק "מלמד"‬
‫ובשל כך להקל עליהם את בניית המודל האלגברי‪.‬‬
‫כיצד לפתור את הבעיה‪ ,‬אלא מעודד עושר של פתרונות‬
‫שונים השואבים מתחומים מגוונים‪ ,‬אפילו חוץ‪-‬מתמטיים‬
‫(כמו בפתרון ב)‪.‬‬
‫מ ק ו ר ות‬
‫כץ‪ ,‬י'‪ ,‬וכץ‪ ,‬מ' (‪ .)2013‬פיתוח חשיבה מתמטית של תלמידים בפתרון בעיות מילוליות‪ .‬על"ה (‪,)48‬‬
‫‪.30-36‬‬
‫לייקין‪ ,‬ר' (‪ .) 2006‬על ארבעה סוגים של קשרים מתמטיים ופתרון בעיות בדרכים שונות‪ .‬על"ה ( ‪,)36‬‬
‫‪.14 – 8‬‬
‫לייקין‪ ,‬ר'‪ ,‬לבב‪-‬ויינברג‪,‬ע'‪ ,‬וולטמן‪ ,‬א' (‪ .)2006‬על ארבעה סוגים של קשרים מתמטיים ופתרון בעיות‬
‫בדרכים שונות‪ .‬על"ה (‪.36 – 30 ,)46‬‬
‫‪Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense making in formal mathematics. For the Learning of‬‬
‫‪Mathematics , 14 (3), 24-35.‬‬
‫‪Arcavi, A. (2003). The role of visusal representations in the learning of mathematics. Educational‬‬
‫‪Studies in Mathematics , 52, 215-241.‬‬
‫מכללת חיל האוויר‬
‫עדה שרר‬
‫‪i‬‬
‫מידע נוסף על פרויקט עדש"ה של מכון ויצמן ניתן למצוא בקישור‬
‫‪http://stwww.weizmann.ac.il/menu/Teachers_Professional_Development/Development17_he.html‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪19‬‬
‫אפשר גם אחרת‬
‫מהכ י תה לג'ונגלים של בוליביה ‪-‬‬
‫שיעור על קריאת נתונים מתוך גרפים‬
‫יערה פלד‬
‫זכרונות מבית הספר‬
‫ומה עם מתמטיקה?‬
‫כשסיימתי את כיתה יב לפני ‪ 22‬שנה‪ ,‬מקצוע ההוראה‬
‫מה אני זוכרת משיעורי המתמטיקה? זוכרת קושי‪ ,‬אימה‬
‫קסם לי בערך כמו לקפוץ ראש לבריכה ריקה‪ .‬השנים‬
‫לפני מבחנים‪ ,‬רגשי נחיתות‪ .‬ובעצם הרבה לפני מריו‬
‫חלפו והקשר שלי עם המתמטיקה נשמר פה ושם דרך‬
‫ליביו שאלתי‬
‫את השאלה‪" :‬האם אלוהים הוא‬
‫הוראה בשיעורים פרטיים‪ .‬מדי פעם השתעשעתי ברעיון‬
‫מתמטיקאי?" רק שלא פרסמתי את הספר‪ .‬שאלתי את‬
‫שבו אני מורה בישראל‪ ,‬אך החיזיון בו אני עומדת מול‬
‫עצמי אם במתמטיקה זה בכלל אפשרי? האם גם‬
‫כיתה ומנסה ללמד‪ ,‬נותר שנים רבות בגדר חיזיון‬
‫מתמטיקה‬
‫שמתקשר‬
‫תעתועים‪ .‬והנה לפני שלוש שנים‪ ,‬בשלו התנאים‪,‬‬
‫למציאות?‬
‫ניתן‬
‫ללמוד‬
‫באופן‬
‫חווייתי‬
‫השעשוע הפך להסבת אקדמאים להוראה‪ ,‬והתעתוע‬
‫היה למציאות‪.‬‬
‫כיום אני עדיין מגששת‪ ,‬בתחילת דרכי‪ .‬לקראת‬
‫ההתנסות בהוראה אני מנסה לשחזר מה אני זוכרת‬
‫מלימודיי‪ ,‬אילו שיעורים השאירו בי את חותמם? מה היה‬
‫בהם שונה? האמת היא שאני לא זוכרת הרבה‪ .‬אולי‬
‫הדחקתי ואולי לא היה מספיק מעניין ‪...‬‬
‫אבל אני כן זוכרת מה זה ‪ past perfect progressive‬כי‬
‫למדנו את זה דרך השיר של להקת ‪: Foreigner‬‬
‫לקראת‬
‫ההתנסות‬
‫בהוראה אני‬
‫מנסה לשחזר‬
‫מה אני זוכרת‬
‫מלימודי‪ ,‬אילו‬
‫שיעורים‬
‫השאירו בי את‬
‫חותמם? מה‬
‫היה בהם‬
‫שונה?‬
‫"‪ ."I have been waiting for a girl like you‬זה היה‬
‫בכיתה ט‪ ,‬בימים שהמורה נשאה עמה את הטייפ והריצה‬
‫גרפים מספרים סיפור מסע‬
‫והנה הזדמן לי לפתוח נושא חדש‪ :‬קריאת גרפים‪ .‬הפעם‬
‫החלטתי לנסות לחשוב אחרת ולשלב עניין בחומר‬
‫החדש ‪ -‬לספר סיפור מהחיים‪ .‬הקשר שלי לסיפור‬
‫מתחיל בכיתה ז‪ ,‬כהשתתפנו בהרצאה מרתקת וסוחפת‬
‫של יוסי גינסברג‪" ,‬בחזרה מטואיצ'י"‪ ,‬שסחפה אותנו אל‬
‫סיפור ההישרדות המרתק שלו‪ ,‬אותו חווה בג'ונגל‬
‫הבוליביאני לאורך נהר הטואיצ'י‪ .‬סיפור שתחילתו‬
‫התרגשות וציפייה לקראת מסע‪ ,‬שהוא חלומו של כל‬
‫מוצ'ילר‪ ,‬וסופו בהיחלצות ממוות בטוח‪ .‬מסע אליו יצאו‬
‫ארבעה צעירים‪.‬‬
‫את הקלטת קדימה ואחורה עד שהגיעה לפזמון‪.‬‬
‫החלטתי להכיר לתלמידים את השפה הוויזואלית לייצוג‬
‫מלחמת האזרחים ונושא העבדות בארצות הברית קיבלו‬
‫צבע ועניין דרך הסרט "חלף עם הרוח"‪ ,‬שהקרינו לנו‬
‫בשיעור היסטוריה‪ .‬למה אני זוכרת את אלו בעצם? אני‬
‫מנסה למצוא מכנה משותף ונראה לי שהמוחשיות‬
‫שיחקה תפקיד בכולם‪ .‬בעיניים הביקורתיות והחשדניות‬
‫של התלמיד‪ ,‬תכנית הלימודים לפתע קיבלה "אחיזה‬
‫במציאות"‪.‬‬
‫‪20‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫נתונים‪ ,‬שפת הגרפים‪ ,‬דרך סיפור הישרדותו של יוסי‪.‬‬
‫התלמידים תהו מה הקשר בין סיפור ההישרדות בג'ונגל‬
‫הבוליביאני לבין קריאת גרפים? האם זהו שיעור‬
‫מתמטיקה? ואכן זה היה שיעור במתמטיקה‪ ,‬אבל גם‬
‫בגיאוגרפיה‪ ,‬בספורט‪ ,‬בספרות‪ ,‬בטבע ובמדעים‪ .‬לימדתי‬
‫שיעור בנושא גרפים‪ ,‬ו בהשראת סיפורו של‬
‫גינסברג‬
‫הגרפים היו אמצעי לספר את הסיפור‪ .‬למרות שהרשיתי‬
‫לעצמי פה ושם לסטות מהעלילה‪ ,‬להוסיף‪ ,‬להשמיט‬
‫למתמטיקה? השגתי ‪ 100%‬הקשבה מצד הבנים‬
‫ולהתאים אותה לגרפים‪ ,‬רוח החוויה לא נפגמה‪.‬‬
‫בקבוצה‪).‬‬
‫תיאור השיעור שאציג מכאן ואילך שזור בסיפור‬
‫ההישרדות בג'ונגל הבוליביאני‪ ,‬אותו אפשר לקרוא‬
‫בלה‪-‬פאס פוגשים יוסי ומרקוס את קווין האמריקאי ואת‬
‫קארל האוסטרי‪ ,‬שמציג את עצמו כגיאולוג כורה זהב‪,‬‬
‫צייד יגוארים והמאסטר של הג'ונגל הבוליביאני‪ .‬הוא‬
‫בספר "בחזרה מטואיצ'י" (גינזברג‪.)1985 ,‬‬
‫בתחילת השיעור חילקתי לכל תלמיד מקבץ דפים‪,‬‬
‫עליהם מודפסים גרפים ממסופרים עם הכותרת "בחזרה‬
‫מטאוצ'י"‪ ,‬והתחלתי לספר את הסיפור‪ .‬ללא הכנה‬
‫מוקדמת סיפרתי להם שכשהייתי אני בכיתה ז לקחו‬
‫אותנו מבית הספר להרצאה של בחור ישראלי בשם יוסי‬
‫גינסברג‪ ,‬שהשתחרר מהצבא ויצא ל"טיול הגדול"‪ .‬היום‬
‫עושים את זה אלפי צעירים בשנה‪ ,‬אבל אז‪ ,‬בתחילת‬
‫שנות השמונים‪ ,‬בודדים עשו את זה‪ .‬לפני עידן הטלפונים‬
‫הניידים והאינטרנט‪ ,‬לטוס לחו"ל היה פרויקט גדול‬
‫מציע להם תמורת תשלום סמלי‪ ,‬להדריך אותם לעבר‬
‫כפר מבודד של אינדיאנים שנמצא באזור נהר הטואיצ'י‪,‬‬
‫אחד מיובליו הרבים של האמזונס‪ .‬ומה שבעיקר מלהיב‬
‫אותם זו העובדה שבאזור הכפר נכרו בעבר כמויות של‬
‫זהב‪ ,‬וכדי לשכנע אותם הוא אף מוריד במחיר שנקב‪,‬‬
‫בתמורה לזהב אותו יכ רו הם בעצמם במקום‪ .‬השלושה‬
‫מבקשים לחוות גם שיט על הנהר‪ ,‬ונענים בשמחה‬
‫ובהבטחה כי הוא‪ ,‬קארל‪ ,‬כבר שט על הטואיצ'י לכל‬
‫אורכו‪.‬‬
‫השלושה נסחפים ישר להרפתקה ומצטיידים ברובה‪,‬‬
‫ומורכב‪.‬‬
‫לאחר שביקר במדינות אחדות‪ ,‬פגש יוסי בפרו בחור‬
‫שוויצרי בשם מרקוס וביחד הגיעו לבירת בוליביה‪.‬‬
‫סכינים‪ ,‬כילות‪ ,‬שקי אורז‪ ,‬ואפילו במזכרות שיחלקו לבני‬
‫השבט המבודד‪ .‬ראשית עליהם להגיע לעיירה הנקראת‬
‫אפולו‪ ,‬שצפון מערבה ממנה נמצא נהר הטואיצ'י‪ .‬אני‬
‫שאלתי מי מכיר את בירת בוליביה ומה כל כך מיוחד‬
‫מציגה מפה מגוגל על הלוח (איור ‪ .)1‬המרחק לאפולו‬
‫בה‪ .‬סיפרתי שלה‪-‬פאס היא עיר הבירה הגבוהה בעולם‪,‬‬
‫מלה‪-‬פאס הוא ‪ 414‬ק"מ‪ .‬כאן אני מספרת להם כי בפני‬
‫ממוקמת כ‪ 3,600 -‬מטרים מעל לפני הים‪ .‬סיפרתי להם‬
‫החבורה‬
‫עומדות שתי אפשרויות‪ :‬לטוס ‪ 3‬שעות עד‬
‫על השפעת הגובה על מערכת הנשימה‪ ,‬דלילות החמצן‪,‬‬
‫לעיירה‪ ,‬או להיטלטל ‪ 18‬שעות באוטובוס‪ ,‬בדרך לא‬
‫ועל כך שנבחרות כדורגל מגיעות כמה ימים לפני משחק‬
‫דרך‪ .‬ב שלב הזה אני מפנה אותם אל אחד הגרפים בדף‬
‫כדי להתאקלם‪ ,‬ורובן מפסידות שם‪ .‬אפילו ליאו מסי‬
‫שבידם (איור ‪.)2‬‬
‫הקיא במחצית‪ ,‬ודי מריה נזקק להנשמה‪( .‬מה הקשר‬
‫איור ‪ :1‬מלה‪-‬פס לאפולו‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪21‬‬
‫הפרטים‬
‫לה‪-‬פס ‪ -‬אפולו‬
‫במקרא‪,‬‬
‫השוני‬
‫בשנתות‬
‫בין‬
‫שני‬
‫התרשימים והשפעתם על תלילות הגרף‪.‬‬
‫אני ממשיכה בסיפור‪ :‬החבורה מגיעה לאפולו‬
‫ומיד מחפשת מקומיים שייקחו אותם צפון‬
‫מערבה למפגש עם נהר הטואיצ'י‪ .‬בגלל כמה‬
‫ימים גשומים שהציפו את הג'ונגל (תוספת שלי‬
‫לעלילה)‪ ,‬אף אחד מהמקומיים אינו מוכן‬
‫זמן בשעות‬
‫להסתכן בביצות שמזמן להם הג'ונגל‪ .‬בעצת‬
‫איור ‪ :2‬מלה‪-‬פס לאפולו בטיסה‬
‫המקומיים הם ממתינים שלושה ימים באפולו עד‬
‫אני מציגה תחילה את כותרת האיור‪ ,‬כותרות הצירים‬
‫שיתייבשו הדרכים‪.‬‬
‫והשנתות‪ ,‬ושואלת – האם זהו הגרף המתאר את הדרך‬
‫בשלב הזה אני מבקשת מהתלמידים לזהות בין הגרפים‬
‫שעשו מלה‪-‬פאס לאפולו? האם בחרו בטיסה או בנסיעה‬
‫שבידם את הגרף המתאר המתנה‪ .‬עליהם לאתר את‬
‫באוטובוס? דרך הדיון אנו מגיעים גם למהירות הטיסה‬
‫התרשים שבאיור ‪:4‬‬
‫בקמ"ש‪ ,‬ולמסקנה שגרף הוא בעצם אוסף של נקודות‬
‫על מערכת צירים‪.‬‬
‫זמן בימים‬
‫לה‪-‬פס ‪ -‬אפולו‬
‫זמן בשעות‬
‫איור ‪ :4‬המתנה‬
‫משלימים כותרות לגרף ולציר ה‪ ,x -‬מגיעים למסקנה‬
‫שהוא מייצג מרחק שעשתה החבורה‪ ,‬כלומר ‪ 0‬ק"מ‬
‫איור ‪ :3‬טיסה מול נסיעה באוטובוס‬
‫כעת אני מפנה אותם לתרשים שבאיור ‪.3‬‬
‫התלמידים מתבקשים‬
‫לדון באיור ללא הסבר‬
‫מוקדם‪ .‬מה מוכר‪ ,‬מה חדש‪ ,‬מה חסר? דרך‬
‫בשלב הזה אני‬
‫מבקשת‬
‫מהתלמידים‬
‫לזהות בין‬
‫הגרפים שבידם‬
‫את הגרף‬
‫המתאר‬
‫המתנה‪.‬‬
‫המספרים המוכרים מהאיור הקודם‪ ,‬מגיעים‬
‫למסקנה שהגרף האדום מייצג את הנסיעה‬
‫באוטובוס‪ .‬המטרה היא להעלות לדיון נושאים‬
‫כמו‪ :‬תצוגה של שתי סדרות על מערכת צירים‬
‫אחת‪ ,‬היכרות עם מקרא התרשים‪ ,‬והשלמת‬
‫‪22‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫בשלושה ימים‪ ,‬מזהים שהגרף נמצא בעצם על ציר ה‪y -‬‬
‫ומייצג שינוי רק במשתנה אחד‪ ,‬כאשר המשתנה השני‬
‫נשאר קבוע‪.‬‬
‫אנו דנים גם בספקות ובשאלות העולות בנוגע למסע‪,‬‬
‫האם יצליח מבחינה חברתית? הרי השוני ביניהם כל כך‬
‫גדול‪ .‬האם יתמודדו עם הקשיים הפיסיים? מה יהיה אם‬
‫במהלך המסע ירדו גשמים ויציפו את הג'ונגל? האם‬
‫הצטיידו מספיק?‬
‫כשתנאי מזג האוויר מאפשרים הם מתחילים את המסע‪,‬‬
‫כאשר לפי דבריו של קארל‪ ,‬ההליכה עד לשבט‬
‫האינדיאני אמורה לקחת בין ‪ 6‬ל‪ 7 -‬ימים‪.‬‬
‫לקראת הגרף הבא אני מנסה לגבש מתוך העלילה את‬
‫סדר היום של החבורה ומספרת לתלמידים כי במהלך‬
‫הימים הראשונים למסע החבורה פועלת על‪-‬פי הדפוס‬
‫הבא‪:‬‬
‫(‪ )1‬שנת לילה של ‪ 8‬שעות‪.‬‬
‫ביום‪.‬‬
‫(‪ )2‬מנוחה של שעתיים‬
‫(‪ 4 )3‬שעות ביום מוקדשות לאכילה‪.‬‬
‫צועדים בג'ונגל‬
‫במשך‬
‫‪10‬‬
‫שעות‪.‬‬
‫(‪ )4‬הם‬
‫אני מבקשת‬
‫מהתלמידים לאתר גרף שמייצג את דפוס הפעילות של‬
‫החבורה‪ ,‬ואנו מגיעים לתרשים הבא (איור ‪:)5‬‬
‫איור ‪ :6‬פעילויות לאורך היום בדיאגרמת עמודות‬
‫פעילות‬
‫איור ‪ :5‬פעילויות לאורך היום –‬
‫האם יש משמעות לקטעים המחברים בין הנקודות?‬
‫איור ‪ :7‬פעילויות לאורך היום בדיאגרמת עוגה‬
‫אנחנו חוזרים לסיפור ולג'ונגל‪ :‬לאחר כעשרה ימים‬
‫אנחנו מזהים את הפעילות על הגרף‪ ,‬כך שציר ‪ x‬בעצם‬
‫החבורה מתחילה להטיל ספק בסיפוריו של קארל‪.‬‬
‫מייצג מספר סידורי ולא ערך משתנה‪ .‬אני שואלת אם יש‬
‫אין שום רמז לא לכפר אינדיאני ולא למכרה זהב‪,‬‬
‫משמעות לנקודות ביניים על הציר? מה אפשר להגיד על‬
‫הדרך אותה הם עושים נראית להם מוכרת‪ ,‬והם‬
‫דרך דיון מגיעים למסקנה‬
‫מתחילים לחשוד שהם הולכים במעגלים ללא‬
‫שבמקרים אלו אין משמעות לקטעים המחברים בין‬
‫מסלול ידוע‪ ,‬ומקבלים אישור לחששם בהגיעם‬
‫הנקודות‪ ,‬ועורכים היכרות עם המושגים – גרף רציף וגרף‬
‫בפעם השנייה אל אותה חווה מבודדת‪.‬‬
‫הנקודה ‪ 1.5‬בציר ה‪?x -‬‬
‫בדיד‪ .‬המקובל במקרים אלו‪ ,‬הוא להציג את הנתונים‬
‫בדיאגרמת טורים‪ ,‬או דרך דיאגרמת עוגה כמו באיורים ‪6‬‬
‫אני מבקשת מהתלמידים לאתר את הגרף המייצג הליכה‬
‫במעגלים‪ ,‬ואנו מגיעים לתרשים הבא (איור ‪:)8‬‬
‫ו ‪.7 -‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪23‬‬
‫מרחק מנקודת המוצא‬
‫מרחק מנקודת המוצא‬
‫‪150‬‬
‫‪100‬‬
‫ק"מ‬
‫‪50‬‬
‫‪0‬‬
‫‪14‬‬
‫‪10‬‬
‫‪12‬‬
‫‪6‬‬
‫‪8‬‬
‫זמן בימים‬
‫‪2‬‬
‫‪4‬‬
‫‪0‬‬
‫איור ‪ :8‬הליכה במסלול מעגלי – מרחק מנקודת המוצא‬
‫גובה מעל פני הים‬
‫גובה‬
‫‪1200‬‬
‫‪1000‬‬
‫‪800‬‬
‫‪_________ 600‬‬
‫‪400‬‬
‫‪200‬‬
‫‪0‬‬
‫‪15‬‬
‫‪10‬‬
‫____________‬
‫‪5‬‬
‫‪0‬‬
‫איור ‪ :9‬הליכה במסלול מעגלי – גובה מעל פני הים‬
‫הדרך אותה הם‬
‫עושים נראית‬
‫להם מוכרת‬
‫והם מתחילים‬
‫לחשוד שהם‬
‫הולכים‬
‫במעגלים ללא‬
‫מסלול ידוע‪,‬‬
‫ומקבלים אישור‬
‫לחששם‬
‫בהגיעם בפעם‬
‫השנייה אל‬
‫אותה חווה‬
‫מבודדת‪.‬‬
‫בגרף הזה אנו עוברים מנקודה לנקודה ומגלים בהדרגה‬
‫תהליך בדיוק כמו הגרף הקודם אך בעצם נראה הפוך כי‬
‫את הסיפור מאחוריו – מה קורה למרחק מנקודת המוצא‬
‫במקום מרחק מנקודת מוצא‪ ,‬אנו מודדים את הגובה מעל‬
‫ככל שהימים חולפים‪ .‬ההסבר יכול להיות שהחבורה‬
‫פני הים בו נמצאת החבורה בכל יום‪.‬‬
‫הולכת במעגלים או פשוט חוזרת על עקבותיה‪.‬‬
‫התסכול‪ ,‬האכזבה‪ ,‬הרעב והקשיים מתחילים להשפיע‬
‫אני מזכירה לתלמידים שהכיוון הכללי של המסלול הוא‬
‫על כולם‪ ,‬מרקוס הבחור השוויצרי נחלש‪ ,‬בגלל הלחות‬
‫במורד הזרם ומבקשת מהם לאתר גרף נוסף המתאר את‬
‫הוא מפתח מחלה בכף הרגל ומאט את כולם‪ .‬חברתית‬
‫אותה התרחשות של הליכה במעגלים‪ ,‬ואנו מגיעים אל‬
‫המצב מאוד קשה‪ ,‬קארל ומרקוס מתחילים לדבר‬
‫התרשים שבאיור ‪.9‬‬
‫ביניהם גרמנית ויוסי וקווין האמריקאי מתחילים גם הם‬
‫אנו משלימים את כותרות הצירים ולומדים כי מאחר‬
‫והכיוון הכללי הוא במורד הזרם‪ ,‬הגרף מתאר את אותו‬
‫‪24‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫ליצור חברות מחוץ לרביעייה‪ .‬הם מחליטים להפסיק את‬
‫המסע אך לא לפני שיממשו את התכנית לשוט על‬
‫הטואיצ'י‪ ,‬וכך גם יוכלו להגיע לעיירה רורנבאקה ומשם‬
‫ואכן ב‪ 12:00 -‬החבורה עוצרת‪ ,‬אם למנוחה‪ ,‬אם‬
‫לטוס חזרה ללה–פאס‪ .‬הם בונים רפסודה ומתחילים‬
‫לארוחה‪ ,‬אם לדיון מה הלאה‪ .‬התלמידים נעשים‬
‫לשוט במורד הנהר‪ .‬היום הראשון של השיט עובר באופן‬
‫מעורבים רגשית ומעלים השערות‪ :‬מה קורה בעצירה?‬
‫רגוע יחסית‪ ,‬אך כאן מתגלה העובדה שקארל אותו‬
‫על מה החבורה מדברת? מה הם היו בוחרים לעשות?‬
‫מאסטר של הג'ונגל אינו יודע לשחות‪ ,‬ובכל פעם שהנהר‬
‫ב‪ 14:00 -‬עולים השייטים בחזרה לרפסודה ומגלים שהם‬
‫מזעזע את הרפסודה הוא מאבד את עשתונותיו‪ .‬וזה קורה‬
‫משייטים בקצב לא שפוי של כ‪ 50 -‬קילומטר בשעה‪.‬‬
‫תכופות כי הנהר‪ ,‬כך מסתבר‪ ,‬אינו מגלה אדיבות‬
‫ה מסלול מטורף וקוצף‪ ,‬מלא סלעים‪ ,‬מעברים צרים‬
‫כלפיהם יותר מאשר היער‪ .‬יומו השני של השיט הוא היום‬
‫ומפלים‪ .‬ב‪ 17:00 -‬הם מפסיקים את השיט ויורדים לגדה‬
‫בו מתקבלת הכרעה אשר תשפיע על חייהם של כל בני‬
‫רטובים ומבוהלים‪.‬‬
‫החבורה‪ .‬אני מפנה את התלמידים אל תרשים נוסף‬
‫(איור ‪.)10‬‬
‫כאן אנו נפרדים מהגרף וחוזרים לעלילה‪ .‬אני מספרת‬
‫להם שהחוויה המסעירה על הנהר מטלטלת ומפצלת‬
‫השיט (ע"פ הגרף באיור ‪ )10‬מתחיל בשמונה בבוקר‬
‫את החבורה‪ .‬קארל מספר להם שהם שטים לעבר קניון‬
‫ומסתיים בחמש אחה"צ‪ .‬אנו שוב משלימים כותרות‬
‫הסן פדרו – מפל של ‪ 50‬מטרים ושהוא חושש שהם לא‬
‫לצירים ומספרים מה קורה בכל שעה‪ .‬משעה ‪ 08:00‬עד‬
‫יצליחו לעצור לפניו ויפלו אליו‪ .‬מרקוס וקארל מחליטים‬
‫‪ 11:00‬שטה החבורה במהירות קבועה ורגועה יחסית של‬
‫לחזור רגלית עד מיקומו המשוער של כפר מסוים‪ ,‬ומשם‬
‫כ‪ 10 -‬קמ"ש‪ .‬בין ‪ 11:00‬ל‪ 12:00 -‬חל שינוי בשיפוע של‬
‫לחזור על פרדות לאפולו‪ .‬יוסי וקווין מתייעצים ומחליטים‬
‫הגרף ואנו מזהים שבשעה זו הם עוברים מרחק של כ‪30 -‬‬
‫להמשיך ברפסודה‪ ,‬הם משערים שמעבר הסן פדרו הוא‬
‫ק"מ – מהירות השיט גבוהה פי ‪ 3‬מאשר בשעות‬
‫עוד המצאה של קארל בדיוק כמו השבט וכמו הזהב‪ .‬הם‬
‫הקודמות‪ .‬מה שמזמן הרבה נקודות לדיון‪ :‬מה הן‬
‫מעדיפים להמשיך לשוט ולהיפגש עם מרקוס שוב בלה‪-‬‬
‫ההשלכות הטופוגרפיות? הנהר הולך ונעשה תלול‪ .‬מה‬
‫פאס‪ .‬קארל ומרקוס מתחילים לצעוד במעלה הנהר‪ .‬מה‬
‫הן ההשלכות הפסיכולוגיות? האם הם מסוגלים‬
‫שקרה אחר כך לקארל ומרקוס נשאר בגדר תעלומה‪.‬‬
‫להתמודד עם שיט לא צפוי‪ ,‬מהיר‪ ,‬עם רפסודה מעשה‬
‫אף אחד מהשניים לא נראה שוב‪.‬‬
‫ידיהם‪ ,‬עם חבר אחד פצוע ועוד אחד שאינו יודע לשחות?‬
‫שיט ברפסודה ‪ -‬היום השני‬
‫שיט ברפסודה ‪ -‬היום השני‬
‫מרחק בק"מ‬
‫מרחק בק"מ‬
‫‪200‬‬
‫‪200‬‬
‫‪150‬‬
‫‪150‬‬
‫‪_____ 100‬‬
‫‪_____ 100‬‬
‫‪50‬‬
‫‪50‬‬
‫‪17‬‬
‫‪17‬‬
‫‪16‬‬
‫‪16‬‬
‫‪15‬‬
‫‪15‬‬
‫‪14‬‬
‫‪14‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫‪11‬‬
‫‪12‬‬
‫‪13‬‬
‫__________‬
‫__________‬
‫‪10‬‬
‫‪10‬‬
‫‪9‬‬
‫‪9‬‬
‫‪8‬‬
‫‪8‬‬
‫‪0‬‬
‫‪0 7‬‬
‫‪7‬‬
‫איור ‪ :10‬שיט ברפסודה – היום השני‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪25‬‬
‫____________‬
‫‪600‬‬
‫‪575‬‬
‫‪550‬‬
‫‪525‬‬
‫‪500‬‬
‫‪475‬‬
‫‪ 450‬גובה מעל‬
‫‪425‬‬
‫‪ 400‬פני הים‬
‫‪375‬‬
‫‪350‬‬
‫‪325‬‬
‫‪300‬‬
‫‪275‬‬
‫‪250‬‬
‫‪150‬‬
‫‪0‬‬
‫‪50‬‬
‫‪100‬‬
‫מרחק במטרים‬
‫איור ‪ :11‬נפילה במפל‬
‫אני מוצאת את עצמי הודפת שאלות ופניות נרגשות מצד‬
‫לעבר הקניון השואג שחייב להיות מעבר הסן פדרו‪ ,‬עליו‬
‫התלמידים ונאבקת לחזור למהלך השיעור‪ ,‬מבטיחה‬
‫דיבר קארל‪ .‬הרפסודה נתקעה על סלע וקווין קפץ ממנה‬
‫לסיים את הגרף האחרון ולענות על השאלות‪ .‬אנו פונים‬
‫והגיע לגדה‪ ,‬אבל רק כדי לראות את הרפסודה‬
‫לגרף האחרון ואני מבקשת מהם לשער מה הסיפור‬
‫משתחררת מהסלע וצוללת במורד המפל‪ .‬בנס הוא לא‬
‫שבין הצירים‪.‬‬
‫טבע‪ ,‬אלא נסחף במשך קילומטרים במורד הנהר עד‬
‫בעזרת הרמזים המטרימים שפיזרתי התלמידים משערים‬
‫נכון שזהו סיפור הנפילה במפל‪ ,‬ולפני שאנו פונים‬
‫לניתוח הגרף אני מאשרת שאכן‪ ,‬זוהי כותרת התרשים‬
‫ושדווקא כאן נמצא קארל דובר אמת‪ .‬ביקשתי מהם‬
‫לגייס דמיון ולהסביר כיצד מסתדרים ביניהם הצירים‪,‬‬
‫בתקווה שיצליחו להמחיש כיצד בהתקדמות על ציר ה‪-‬‬
‫‪ , x‬הנפילה במפל היא אנכית ומייצגת מרחק אפס‪.‬‬
‫ולאחר שעמדו במשימה בכבוד ואף הזכירו את גרף‬
‫ההמתנה מתחילת השיעור‪ ,‬עברנו על נקודות מרכזיות‬
‫בשיעור‪ :‬מושגים‪ ,‬כותרות‪ ,‬צירים‪,‬‬
‫שיפועים‪ ,‬רציפות‪,‬‬
‫נקודות ביניים‪ .‬התלמידים כבר נסחפו בעלילה המשנית‬
‫של יוסי‪ .‬התנתקנו מה מתמטיקה והמשכתי עבורם את‬
‫הסיפור‪:‬‬
‫שהוא מצא את עצמו על חוף‪ ,‬בחיים‪,‬‬
‫ולגמרי לבד‪.‬‬
‫במשך שלושה שבועות שוטט יוסי בג'ונגל לבדו מקפיד‬
‫להישאר על מסלול הנהר‪ ,‬בתקווה לחילוץ‪ .‬במהלך‬
‫שבועות אלו הוא הצליח לשרוד מדרונות בוציים‪ ,‬חולות‬
‫טובעניים‪ ,‬על וקות וטרמיטים‪ ,‬נמלי אש ואף מפגש עם‬
‫נמר‪ .‬ואז הגיע היום שהזמזום הטורדני במוחו לא היה‬
‫הזיה של רעב או תשישות אלא מנוע של סירת הצלה‪,‬‬
‫עליה הוא ראה את קווין חברו האמריקאי עם מחלץ‬
‫מקומי‪ .‬עם שובם ללה‪-‬פאז השניים שומעים כי קארל‬
‫הוא עבריין מסוכן ומבוקש וכל מי שמכיר אותו מעלה‬
‫חששות כבדים לגורלו של מרקוס‪ .‬ואומנם משלחות‬
‫חיפוש שנשלחו לאזור הטואיצ'י חזרו בידיים ריקות‪.‬‬
‫מחשבות לסיום‬
‫יוסי וקווין‪ ,‬האמריקאי‪ ,‬חזרו לרפסודה והשיקו אותה‬
‫השיעור המתואר תוכנן אינטואיטיבית‪ ,‬מתוך רצון לגוון‬
‫בחזרה לתוך הזרם‪ .‬העניינים הלכו והשתבשו‪ .‬הנהר‬
‫ולעורר עניין‪ .‬על מנת לגבש מה למדתי אני מהשיעור‪,‬‬
‫נעשה צר‪ ,‬ובמקום גדות חוליות ושטוחות החלו להופיע‬
‫אני נעזרת במאמר "תובנות מחדר הכיתה"‬
‫(גוטרמן‪,‬‬
‫קירות תלולים‪ .‬והשניים פתאום מצאו את עצמם שועטים‬
‫‪ .) 2011‬גוטרמן מציין שלושה תנאים המתקיימים בשיעור‬
‫‪26‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫וודאות לגבי יעד השיעור‪ ,‬לאן נרצה‬
‫תהליך הלמידה התרחש לצד תהליך נוסף בעל השלכות‬
‫אפקטיבי‪.1 :‬‬
‫להביא את התלמידים בתום השיעור‪ .2 .‬התנהגות‬
‫חברתיות‪ :‬חיזוק הקשר עם התלמידים‪ ,‬יצירת תחושת‬
‫ההוראה היא כזו שמעלה את תחושת הביטחון העצמי‬
‫מעורבות בקבוצה הטרוגנית‪ ,‬כך שכל תלמיד יכול היה‬
‫אצל התלמידים‪ ,‬תוך מתן יחס מכבד ורציני לשאלות‬
‫להתחבר אל השיעור בהיבט אחר‪ .‬ההיסחפות של‬
‫הנשאלות‪ ,‬ועידוד הלמידה‪ .3 .‬הפעלה של כלל‬
‫התלמידים אל תוך הה רפתקה סחפה גם אותי והרגשתי‬
‫התלמידים בתהליכי הלמידה והחשיבה‪ ,‬ארגון הלמידה‬
‫שאני חווה איתם יחד את אותן חוויות‪.‬‬
‫במשימות מורכבות‪.‬‬
‫כמורה שעדיין מגששת את דרכה‪ ,‬מקצוע ההוראה קסם‬
‫בשיעור זה התלמידים למדו שפה חדשה‪ ,‬שפת הגרפים‪,‬‬
‫לי לאחר השיעור הזה‪ .‬ועדיין אני מגששת ומחפשת אחר‬
‫ועשו בה שימוש כדי לפענח מידע שעניין אותם‪ .‬הם‬
‫הקסם הזה עבור התלמידים ועבורי‪ ,‬וכדרכו של קסם‪,‬‬
‫למדו לפענח מתוך הגרף מידע אודות הסיטואציה‪ ,‬וגם‬
‫הוא לא תמיד ברור‪ ,‬לא תמיד מצליח‪ ,‬לא תמיד ניתן‬
‫לזהות גרף שמתאים לסיטואציה מתוך אוסף גרפים‬
‫להסבר‪ .‬אבל כשהוא נמצא ונוכח אתנו בשיעור‪ ,‬הוא‬
‫שהוצגו להם‪ .‬הם למדו להבחין בין גרפים בדידים‬
‫משאיר בנו כמיהה לעוד‪.‬‬
‫ורציפים‪ ,‬הכירו מגוון ייצוגים גרפיים‪ ,‬ולמדו גם שאותה‬
‫תופעה ניתנת להצגה באמצעות משתנים שונים‪.‬‬
‫מ ק ו ר ות‬
‫גוטרמן‪ ,‬י' (‪ .)2011‬תובנות מחדר הכיתה‪ .‬החינוך וסביבו‪ ,‬שנתון מכללת סמינר הקיבוצים ל"ג‪.123 -107 ,‬‬
‫גינסברג‪ ,‬י' (‪ .)1985‬בחזרה מטואיצ'י‪ .‬הוצאת זמורה ביתן‪.‬‬
‫‪Hendrix, S. (1998). Lost and Found. The Washington Post.‬‬
‫‪http://highmath.haifa.ac.il/index.php?option=com_frontpage&Itemid=1‬‬
‫מכללת חיל האוויר‬
‫עדה שרר‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪27‬‬
‫תהליך הלמידה‬
‫התרחש לצד‬
‫תהליך נוסף‬
‫בעל השלכות‬
‫חברתיות‪ :‬חיזוק‬
‫הקשר עם‬
‫התלמידים‪,‬‬
‫יצירת תחושת‬
‫מעורבות‬
‫בקבוצה‬
‫הטרוגנית‪ ,‬כך‬
‫שכל תלמיד‬
‫יכול היה‬
‫להתחבר אל‬
‫השיעור בהיבט‬
‫אחר‪.‬‬
‫משולחנו של מורה‬
‫שילוב פרדוקסים בהוראת מתמטיקה‬
‫כאמצעי לפיתוח סקרנות‬
‫נתן ש טיינברג‬
‫פיטר סמובול‬
‫מבוא‬
‫הדרכים להטביע חותם חיובי על תלמידים היא‬
‫לא פעם נשאלנו‪ ,‬קבוצת מורים למתמטיקה מבית הספר‬
‫באמצעות שיעורים לא סטנדרטיים‪.‬‬
‫אשל הנשיא‪ ,‬כיצד אנו מושכים תלמידים רבים להשתתף‬
‫למרות שלא כל שיעור לא סטנדרטי הוא גם אפקטיבי‪,‬‬
‫לאורך שנים בחוגי העשרה במתמטיקה‪ ,‬וכיצד אנו‬
‫מורים רבים רואים את הצורך בעריכת שיעורים מסוג זה‪.‬‬
‫גמר‬
‫השיעור הלא סטנדרטי שובר את השגרה הבית‪-‬ספרית‪,‬‬
‫במתמטיקה‪ ,‬שרבות מהן זכו בפרסים בארץ ובחו"ל‪.‬‬
‫וטומן בחובו משהו חדש ובלתי צפוי עבור התלמיד‪ ,‬מעין‬
‫(סמובול‪ ,‬קיג'נר וקגלובסקי‪ ,2009 ,‬סמובול ושטיינברג‪,‬‬
‫אתגר לניסיון האינטלקטואלי שלו ‪.‬‬
‫מצליחים‬
‫להביא‬
‫תלמידים‬
‫לכתוב‬
‫עבודות‬
‫‪.)2010‬‬
‫ניתן‬
‫לצפות‪,‬‬
‫שהודות‬
‫להשפעה‬
‫האינטלקטואלית‬
‫התשובה היא כמובן מורכבת ורחבה‪.‬‬
‫והרגשית על התלמיד‪ ,‬השיעור הבלתי סטנדרטי‬
‫אחת התשובות קשורה לחוויות אשר מטביעות את‬
‫האפקטיבי יוכל לעזור למורה מכמה היבטים‪:‬‬
‫חותמן בתלמיד ומעוררות את סקרנותו ורצונו להתמסר‬
‫לחקר מתמטי‪.‬‬
‫אחת הדרכים ליצור רגעים כאלה היא באמצעות שילוב‬
‫פרדוקסים בהוראה‪ ,‬ובכך נתמקד במאמר זה‪.‬‬
‫פסיכולוגים‬
‫(למשל‪,‬‬
‫‪1998‬‬
‫‪)Efroimsan,‬‬
‫הוכיחו‬
‫שבהתפתחותו האישית של התלמיד ישנם רגעים‬
‫‪‬‬
‫לפתח את היכולת האינטלקטואלית של התלמידים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫להגביר את המוטיבציה בקרב התלמידים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לחדד את הסקרנות האינטלקטואלית של הלומד‪.‬‬
‫‪‬‬
‫לעזור לתלמיד להבין נושא ספציפי מתוך תכנית‬
‫הלימודים הכללית‪.‬‬
‫"קריטיים"‪ ,‬שבמהלכם הסביבה החיצונית משפיעה עליו‬
‫נדגים את דברינו באמצעות שיעור שקיים אחד ממחברי‬
‫השיעור הלא‬
‫מאוד‪ .‬סוג זה של התרשמויות נקרא הטבעה‪ .‬את‬
‫המאמר‪.‬‬
‫סטנדרטי שובר את‬
‫הרגעים הקריטיים הללו האדם יכול לחוות מספר‬
‫השגרה הבית‪-‬‬
‫פעמים‪ ,‬לרוב הם יופיעו במהלך הגיל הרך ‪ ,‬בילדות‬
‫ספרית‪ ,‬וטומן‬
‫ואפילו בשנות הנעורים ‪ .‬לפי מחקריו של ‪ Efroimsan‬ניתן‬
‫בחובו משהו חדש‬
‫לראות ‪ ,‬שהטבעה יכולה להביא לארגון מחדש של‬
‫ובלתי צפוי עבור‬
‫הניסיון המנטלי‪ ,‬ולהשפיע על רוב מניעיו של האדם‬
‫התלמיד‪ ,‬מעין‬
‫ומטרותיו בחיים‪.‬‬
‫אתגר לניסיון‬
‫האינטלקטואלי‬
‫שלו ‪.‬‬
‫היכולת לנהל את אותם תהליכי הטבעה‬
‫אצל הילד‬
‫הלומד היא אחד האתגרים המורכבים בהוראה‪ ,‬וכנראה‬
‫אחד‬
‫‪28‬‬
‫מתחומי המפתח של ההוראה העתידית‪.‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫אחת‬
‫פרדוקסים כמקור להפתעות‬
‫פרדוקס (מהמילה היוונית ‪ - Paradoxos‬בלתי צפוי ‪,‬‬
‫מוזר)‪ –,‬בלתי צפוי‪ ,‬בלתי רגיל‪ ,‬יוצא נגד חשיבה‬
‫מסורתית‪ .‬תופעה שנדמה שהיא בלתי מציאותית או‬
‫בלתי צפויה‪.‬‬
‫לפי המתמטקאי הידוע מ‪ .‬גרדנר "הפרדוקס הוא אמת‬
‫מסוימת שהועמדה על ראשה"‪ .‬בהתאם להגדרתו ישנם‬
‫לא פחות מארבעה סוגי פרדוקסים‪:‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫הנחה‪ ,‬שנראית מוטעית‪ ,‬אבל לאמיתו של דבר היא‬
‫תיאור מהלך השיעור‬
‫תמיד נכונה‪.‬‬
‫את השיעור המבוסס על פרדוקסים‪ ,‬שנתאר כעת‪ ,‬אני‬
‫הנחה‪ ,‬שנראית כנכונה תמיד‪ ,‬אבל לעתים מובילה‬
‫מקיים אחרי לימוד הנושא‪" :‬שברים"‪.‬‬
‫לאי‪-‬התאמה לוגית‪.‬‬
‫את נושא השיעור אני מנסח ורושם על הלוח באופן‬
‫הנחה‪ ,‬שנראית כנכונה‪ ,‬אבל לאמיתו של דבר היא‬
‫הבא‪ " :‬מי ילך לקנות את הלימונדה?"‬
‫תמיד מוטעית‪.‬‬
‫הניסוח הבלתי מדעי‪ ,‬הבלתי מתמטי והמפתיע של נושא‬
‫הנחה‪ ,‬שאי‪-‬אפשר להוכיח את אמיתותה או את אי‪-‬‬
‫השיעור הוא חשוב ביותר‪ .‬ראשית התלמיד חש‬
‫אמיתותה באמצעים מתמטיים ‪.‬‬
‫שהמתרחש בשיעור שונה מהמתכונת הרגילה של‬
‫השיעורים‪ .‬שנית‪ ,‬באופן זה המורה יכול באופן טבעי‬
‫מניסיוננו‪:‬‬
‫‪‬‬
‫ובלתי גלוי לעין‪ ,‬לתת לתלמידים אפשרות לקשר‬
‫ביכולתו של הפרדוקס לעורר רשמים חיוביים אצל‬
‫התלמיד‪ ,‬ולחדד את חוש סקרנותו הטבעית‪,‬‬
‫שבסופו של דבר ידרוש לבוא על סיפוקו‪.‬‬
‫פרדוקסים עוזרים ללמד את התלמיד לחשוב בצורה‬
‫ביקורתית‪ .‬הפרדוקס מהווה מעין אתגר לתפישה‬
‫הרגשית ולחשיבה של התלמיד‪ ,‬שהוא יתקשה לא‬
‫להיענות לו‪ .‬תפקידו של המורה הוא למצוא‬
‫"פרדוקסים מתאימים"‪ ,‬שיצליחו להוות אתגר זה‪,‬‬
‫ולהביאם לפני התלמידים‪.‬‬
‫‪‬‬
‫תחומים מסוימים מניסיונם האישי עם נושאים מתמטיים‪.‬‬
‫וכעת לאחר שכתבתי את נושא השיעור בנוסח כזה‪ ,‬איני‬
‫פרדוקסים עוזרים‬
‫רואה אף ראש מורד ואף מבט אדיש‪ .‬כל העיניים נשואות‬
‫ללמד את התלמיד‬
‫אליי‪ .‬במלוא הרצינות אני ממשיך‪ :‬ועכשיו אני אספר‬
‫לחשוב בצורה‬
‫לכם על מקרה‪ ,‬שהתרחש עמי ועם אחייני‪ ,‬יום אחד‬
‫ביקורתית‪.‬‬
‫במהלך הקיץ על גדות נהר‪ .‬באותה עת אחייני רק סיים‬
‫הפרדוקס מהווה‬
‫את שנת הלימ ודים והחליט ללמד אותי לדוג‪ .‬אותו יום‬
‫מעין אתגר‬
‫היה לוהט ומחניק וכמות המים המועטה‬
‫שהייתה‬
‫לתפישה הרגשית‬
‫ברשותנו אזלה‪ .‬ככל שחלף הזמן כך גבר הצמא‪ ,‬אולם‬
‫ולחשיבה של‬
‫שיעור העוסק בפרדוקסים רצוי שייערך בסיומו של‬
‫החנות‪ ,‬בה ניתן היה לקנות לימונדה‪ ,‬נמצאה במרחק רב‬
‫התלמיד‪ ,‬שהוא‬
‫פרק לימוד גדול‪ ,‬הן מבחינת כמות החומר הכלול‬
‫מאתנו‪ .‬כיוון שאף אחד מאתנו לא התנדב ללכת לחנות ‪-‬‬
‫יתקשה לא‬
‫בו והן מבחינת הזמן שהושקע בו‪ ,‬אחרי שכבר‬
‫נולדה ההתערבות שלנו‪" .‬שמע דימה – אמרתי לאחייני –‬
‫להיענות לו‪.‬‬
‫שיטות הפתרון של תרגילים ובעיות מסוג מסוים‬
‫בוא נשחק במשחק"‪ .‬לקחתי אבן קטנה ואחרי שבדקתי‬
‫הספיקו להתגבש‪ .‬גם לתוכן הדידקטי של השאלות‬
‫שאפשר לכתוב באמצעותה בחול‪ ,‬הצעתי‪" :‬אם אתה‬
‫הנלמדות יש חשיבות‪ .‬לדוגמה אם בבסיסו של‬
‫תגיד שלוש פעמים‪ :‬לא יכול להיות! (כלומר‪ ,‬אם אני‬
‫החומר הנלמד ישנו אלגוריתם קבוע‪ ,‬שמפתח‬
‫אצליח להפתיע אותך שלוש פעמים‪ ).‬אתה תלך לקנות‬
‫ומחזק אצל התלמיד רפלקס אינטלקטואלי מתאים‪,‬‬
‫לימונדה ואם לא – אלך אני‪ .‬מסכים?"‬
‫יש טעם לפתח אצל התלמיד את היכולת לבחון‬
‫עובדות‪ ,‬שנראות לכאורה כבלתי ניתנות להפרכה‪,‬‬
‫בצורה ביקורתית‪ ,‬וללמד אותו לייחד את היוצא מן‬
‫הכ לל‪ .‬במהלך תהליך לימוד זה התלמיד ילמד‬
‫למעשה להשתמש בחוקים מתמטיים באופן חופשי‬
‫ומדויק‬
‫יותר‪,‬‬
‫כשהוא‬
‫נמנע‬
‫מלבצע‬
‫טעויות‪,‬‬
‫האופייניות לשימוש אוטומטי בתיאוריות‪ ,‬שהבנתן‬
‫היא שטחית‪.‬‬
‫מסכים ! ענה דימה בהיסח דעת ‪.‬‬
‫ואז כתבתי על החול ‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪a c ac‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪b d bd‬‬
‫ושאלתי‪ :‬האם זה נכון?‬
‫כמובן שלא – פרץ דימה בצחוק – ועכשיו לך לחנות ‪...‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪29‬‬
‫אל תמהר כל כך‪ ,‬אמרתי לדימה‪ ,‬מיד נראה איך ה"לא"‬
‫‪ -‬מה כאן לא מובן לך‪ ,‬בוריס? בתרגיל שלך אף פעם לא‬
‫המלגלג שלך יתמודד עם זה‪:‬‬
‫התקיים מצב של שוויון‪ ,‬ואילו בתרגיל זה הוא מתקיים‬
‫‪8 9 89‬‬
‫‪2‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪2 3 23‬‬
‫לרגע דימה השתתק‪ .‬יכולתי להבין לפי המבט בעיניו‬
‫שהוא בודק בדייקנות את התרגיל‪.‬‬
‫בנקודה זו פניתי אל הכיתה‪" :‬האם בתרגיל ‪ 2‬הכל נכון?"‬
‫כנראה ששאלה זו הייתה מיותרת‪ ,‬מפני שרוב תלמידיי‬
‫כבר הספיקו לבדוק את השוויון השני‪ ,‬ונוכחו לראות‬
‫שהוא נכון! וכאן אני חוזר לסיפורי‪.‬‬
‫ זה יצא לך כך בטעות – ניסה להתרעם אחייני – עוד‬‫תרגילים כאלה אתה לא תוכל להמציא בגלל "שזה לא‬
‫נכון"‪ ,‬וחוץ מזה אני עוד יותר צמא מקודם‪...‬‬
‫‪ -‬אם כך‪ ,‬נראה איך תתמודד עכשיו? אמרתי‪..‬‬
‫‪3‬‬
‫‪5 9 59‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪3 9 39‬‬
‫כמה פעמים‪.‬‬
‫כאן התעורר וויכוח כיצד זה ייתכן שנוסחה "שגויה"‬
‫תיתן מצב של שוויון?‬
‫מבלי להיכנס לתיאור מפורט של השיעור‪ ,‬רק אומר‪,‬‬
‫שאת הוויכוח סיימתי אני‪ ,‬על‪-‬ידי פיתוח רעיונו של אחד‬
‫התלמידים‪:‬‬
‫‪a c‬‬
‫‪ac‬‬
‫‪ ‬‬
‫ שקר לא תמיד מוביל לשקר! השוויון‬‫‪b d bd‬‬
‫בניסוחו הכללי‪ ,‬אינו מתקיים לכל ערך שנציב‪ .‬לשם כך‬
‫צריך לבחור שברים עם תכונה מיוחדת‪:‬‬
‫‪7‬‬
‫‪a b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪ 2  ‬‬
‫‪c d ‬‬
‫‪d‬‬
‫רבים מהתלמידים הוכיחו את (‪ )7‬באופן עצמאי (ראו‬
‫דימה הרים את גבותיו בפליאה‪ ...‬שפתיו נעו אך לא‬
‫נשמעה מילה‪ ...‬לבסוף לחש‪ :‬זה בלתי אפשרי!‪.‬‬
‫מהם המספרים המקיימים‬
‫לפי הבעת פניהם של תלמידיי אפילו המצטיינים שבהם‪,‬‬
‫הבנתי שהם חווים ברגע זה הלם עמוק‪.‬‬
‫כאשר כתבתי עוד משוואה‪:‬‬
‫‪4‬‬
‫‪24 49 24  49‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪27‬‬
‫ולאחר מכן עוד שתיים ‪...‬‬
‫‪5‬‬
‫‪48 98 48  98‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪27‬‬
‫‪6‬‬
‫‪24 49 24  49‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 21 6  21‬‬
‫נשמע קול נעלב‪ :‬מדוע אתה‪ ,‬המורה‪ ,‬נתת לי ציון נכשל‬
‫כאשר אני חיסרתי באותה דרך?‬
‫לא הספקתי עוד לפתוח את פי כדי לענות על השאלה‬
‫והילה ענתה‪:‬‬
‫מסגרת ‪ :1‬מיהם המספרים עבורם החילוק השגוי מוביל‬
‫לתוצאה נכונה‬
‫‪30‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪b‬‬
‫מסגרת ‪ .)1‬לפי נוסחה זו‪ ,‬לכל מספר ‪ 1‬‬
‫‪d‬‬
‫‪a‬‬
‫נוכל להתאים בקלות מספר‬
‫‪c‬‬
‫שנבחר‬
‫ במקרה זה חשוב לבדוק עבור אילו ערכים של ‪a , b , c‬‬‫השוויון הבא יתקיים‪:‬‬
‫כך שיתקיים השוויון‬
‫‪a c‬‬
‫‪ac‬‬
‫‪ ‬‬
‫‪b d bd‬‬
‫‪aB‬‬
‫‪a‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪Bc‬‬
‫‪.‬‬
‫לדוגמה‪ :‬אם ‪ b  3‬וגם ‪ , d  4‬נקבל‪:‬‬
‫‪a 3‬‬
‫‪‬‬
‫‪c‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3  15‬‬
‫‪‬‬
‫‪  2   ‬‬
‫‪.‬‬
‫‪4  16‬‬
‫‪‬‬
‫‪a  15; c  16‬‬
‫כשהביטוי ‪ aB‬פירושו מספר שהספרה השמאלית שלו‬
‫‪ a‬ושאר הספרות יוצרות את המספר ‪ ,B‬והביטוי‬
‫‪Bc‬‬
‫פירושו מספר שהספרה הימנית שלו היא ‪ c‬ושאר‬
‫הספרות יוצרות את המספר ‪.B‬‬
‫מאיר ניגש אל הלוח והחל בחישובים ואני המשכתי את‬
‫וכו' ‪.‬‬
‫סיפורי ‪.‬‬
‫ועכשיו – אני אומר לתלמידים – אתם בעצמכם תוכלו‬
‫להמציא "תרגילי תרמית" מעין אלו‪.‬‬
‫‪ -‬הקלף המנצח שהיה בידי היה הצמצום‪:‬‬
‫‪1‬‬
‫‪7  5 ,...‬‬
‫‪1 7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪5‬‬
‫ולאחר דברים אלו חזרתי לספר את סיפורי‪.‬‬
‫‪5‬‬
‫עכשיו תראה – אמרתי לאחייני – כיצד ניתן בקלות‬
‫לצמצם שברים‪:‬‬
‫(‪) 8‬‬
‫‪19‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪9 5 5‬‬
‫(‪) 9‬‬
‫‪16‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪6 4 4‬‬
‫‪49‬‬
‫‪4 1‬‬
‫‪  ....‬‬
‫‪9 8 8 2‬‬
‫(‪)10‬‬
‫אולם‪ ,‬הפעם דימה לא התכוון להתייאש ובסופו של דבר‬
‫מי שהלך לחנות הייתי אני‪ .‬את ההסבר לצמצומים‬
‫הבלתי רגילים הללו הצעתי לתלמידים למצוא באופן‬
‫עצמאי‪.‬‬
‫אחרי הצלצול בכיתה נשאר רק אלכס‪ .‬ואחרי כמה דקות‬
‫הוא שם לפניי דף מחברת‪ ,‬עליו היה כתוב‪ :‬לכל‬
‫‪a‬‬
‫ו – ‪ , b‬אחרי צמצום נקבל את השבר‬
‫‪b‬‬
‫או‪:‬‬
‫(‪)11‬‬
‫‪19 9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫‪9 9 5 5‬‬
‫‪19 9 9 9‬‬
‫‪1‬‬
‫‪‬‬
‫(‪)12‬‬
‫‪9 9 9 9 5 5‬‬
‫ לא יכול להיות – אמר דימה שוב‪ .‬באותו רגע אחייני‬‫"הדייג המושבע"‬
‫‪1‬‬
‫‪4  3,‬‬
‫‪1 4‬‬
‫‪4‬‬
‫‪3‬‬
‫‪3‬‬
‫הפסיק להביט על המצוף ששכב‬
‫‪a‬‬
‫מפני ש‪:‬‬
‫‪1 a  b  1‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫‪b ‬‬
‫‪b‬‬
‫‪‬‬
‫‪1 a  b  1 b‬‬
‫‪b‬‬
‫‪a‬‬
‫‪a‬‬
‫שיעורי הבית שקיבלו התלמידים מופיעים בניספח ‪.1‬‬
‫במים מבלי לנוע‪ ,‬והתחיל לבחון את השוויונות בניסיון‬
‫לתפוס אותי במרמה‪.‬‬
‫‪ -‬ומה אתם חושבים? – פניתי אל הכיתה – האם יש‬
‫תרשים מתודי פסיכולוגי של השיעור‬
‫הסבר כלשהו "לצמצומים הברבריים" הללו?‬
‫ניבחן את היסודות העיקריים של שיעור הפרדוקס‬
‫בכיתה השתררה דממה‪ .‬הראשון שהפר אותה היה‬
‫מאיר‪ .‬את מה שאמר נוכל לנסח מתמטית באופן הבא‪:‬‬
‫בעזרת סיכום‪ ,‬המורכב מהשלבים הבאים‪.‬‬
‫השלבים העיקריים של שיעור הפרדוקס‪:‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪31‬‬
‫‪" .1‬הקפיצה הראשונה הצידה"‪ :‬נושא השיעור‬
‫להשאירה כאתגר‪ .‬במקרה זה התלמידים‬
‫והתחלת השיעור צריכים לעורר אצל‬
‫שינסו לפתור את הבעיה באופן עצמאי‬
‫התלמיד תחושת סקרנות‪.‬‬
‫יוכלו להיאבק עמה בכוחות עצמם ולזקוף‬
‫לדעתנו‪ ,‬שיעור‬
‫מתמטיקה טוב הוא‬
‫שיעור שבו המורה‬
‫מקיים ארבעה‬
‫‪" .2‬ניהול‬
‫דברים‪ :‬שיתוף‬
‫פעולה‪ ,‬רגש של‬
‫הבנה הדדית‪,‬‬
‫יכולת לשמוח‬
‫בהצלחת תלמידיו‪,‬‬
‫ורצון ליצור דברים‬
‫חדשים ‪ .‬את כל‬
‫האלמנטים האלה‬
‫ניתן להשיג בעזרת‬
‫השיעור‬
‫באופן‬
‫תיאטרלי"‪:‬‬
‫את פתרונה לזכותם‪.‬‬
‫התלמידים מוצאים את עצמם בתור גוף‬
‫‪" .7‬קרש קפיצה או הקלף המנצח" – בשלב‬
‫שלישי‪ ,‬צופים מן הצד ואף יועצים‪ .‬עובדה‬
‫זה המורה מציג בפני התלמידים בעיה‬
‫זו מסירה מהם חלק מהאחריות לגבי‬
‫קשה יותר‪ ,‬שדרך פתרונה מזכירה את מה‬
‫התוצאות ומעוררת את דמיונם‪ .‬בראש‬
‫שנלמד במהלך השיעור או שהיא מכילה‬
‫ובראשונה חשובים פרטי העלילה‪ ,‬אפילו‬
‫יסודות ממה שנלמד בשיעור‪ ,‬אך היא בכל‬
‫אם הם לא אמתיים אך נראים כאמתיים‬
‫זאת אינה זהה עמה באופן מוחלט‪ .‬מטרתו‬
‫לתלמידים‪ .‬רצוי לערב את התלמידים‬
‫של שלב זה – לאתגר תלמידים שכבר‬
‫רגשית במתרחש בעלילה‪.‬‬
‫עסקו קודם לכן בפתרון בעיות קשות‪.‬‬
‫‪" .3‬פרדוקס" – הצגת הפרדוקס צריכה לנבוע‬
‫שילובם של‬
‫באופן טבעי מהמצב המתואר‪ .‬בשלב זה‬
‫שיעורים לא‬
‫חשוב מאוד לאפשר לתלמיד ליצור תפיסה‬
‫סטנדרטיים‬
‫גרפית של הפרדוקס‪ .‬דבר זה יאפשר‬
‫בהוראה‪.‬‬
‫למורה למקד את תשומת ליבם של‬
‫תלמידיו על הבעיה הנלמדת‪ ,‬מבלי לנסח‬
‫אותה באופן ברור‪.‬‬
‫בשלב זה רצוי לתת לתלמידים שמות של‬
‫ספרים‪ ,‬אתרים באינטרנט‪ ,‬ומקורות מידע‬
‫אחרים‪,‬‬
‫שיוכלו‬
‫לעזור‬
‫להם‬
‫בפתרון‬
‫הבעיה‪.‬‬
‫סיכום‬
‫לסיכום נציין ששיעור בלתי סטנדרטי כדוגמת השיעור‬
‫שתואר‪ ,‬מסייע בידינו ליצור את התנאים הנחוצים ליצירת‬
‫‪" .4‬הקפיצה השנייה הצידה" – זריקת אתגר‬
‫לכיתה ‪...‬‬
‫רשמים חיוביים אצל האישיות המתפתחת‪ .‬אולם מידת‬
‫שביעות הרצון מהתהליך תלויה במספר גורמים‪.‬‬
‫‪" .5‬וויכוח‪ ,‬חילוקי דעות" – בשלב זה המורה‬
‫לדעתנו‪ ,‬ככל שמספר התלמידים בעלי נטייה מתמטית‬
‫ייטיב לעשות אם ייצור את הרושם של‬
‫גדול יותר‪ ,‬גדל הצורך בעריכת שיעורים בלתי‬
‫"אינני יודע‪ ,‬בואו ננסה יחד לפתור את‬
‫סטנדרטיים‪ ,‬וחשיבותם ויעילותם של שיעורים אלה‬
‫הפרדוקס" ‪...‬‬
‫גדלה‪ .‬ולהיפך‪ ,‬בכיתות חלשות יותר קשה יותר לנצל‬
‫‪" .6‬הבלטה‪ ,‬מיקוד תשומת הלב" – המורה‬
‫מבליט רעיונות שיכולים לקדם את פתרון‬
‫הדגם שתואר‪.‬‬
‫הפרדוקס‪ ,‬ובמידת הצורך עוזר לנסח‬
‫לדעתנו‪ ,‬שיעור מתמטיקה טוב הוא שיעור שבו המורה‬
‫אותם באופן ברור יותר‪ ,‬בהביאו בכך‬
‫מקיים ארבעה דברים‪ :‬שיתוף פעולה‪ ,‬רגש של הבנה‬
‫לנסח את‬
‫הדדית ‪ ,‬יכולת לשמוח בהצלחת תלמידיו‪ ,‬ורצון ליצור‬
‫המסקנות שהתקבלו באופן מילולי אלא‬
‫דברים חדשים ‪ .‬את כל האלמנטים האלה ניתן להשיג‬
‫להתיחס גם לדרך גילויין‪ ,‬ולנקודות מפתח‬
‫בעזרת שילובם של שיעורים לא סטנדרטיים בהוראה‪.‬‬
‫לסיום השיעור‪ .‬חשוב לא רק‬
‫שהביאו לפתרון המוצלח של הבעיה‪ .‬כמו‬
‫כן לעתים רצוי לא לפתור בעיה אלא‬
‫‪32‬‬
‫יתרונות של שיעורים בלתי סטנדרטיים הבנויים על‪-‬פי‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫בעייה לקינוח‬
‫דן החסכן השתתף לאורך שנה שלמה בקורס לניהול הוצאות המשפחה‪.‬‬
‫במהלך הקורס דן רשם כל חודש בקפדנות רבה את הכנסותיו והוצאותיו הכספיות‪.‬‬
‫במפגש הסיום דן סיפר שבכל חמישה חודשים עוקבים סך הוצאותיו עלה על סך הכנסותיו‪,‬‬
‫ובכל זאת‪ ,‬בסיכום השנתי עלה סך הכנסותיו על סך הוצאותיו‪.‬‬
‫הייתכן?‬
‫מ ק ו ר ות‬
‫סמובול‪ ,‬פ'‪ ,‬קיג'נר‪ ,‬י' וקגלובסקי‪ ,‬ט' (‪ .) 2009‬תלמידים חוקרים בבית הספר‪ :‬יש דבר כזה! על"ה (‪.34 – 28 )40‬‬
‫סמובול‪ ,‬פ' ושטיינברג‪ ,‬נ' (‪ .)2010‬עשייה מדעית במתמטיקה בבית הספר‪" :‬עיקרון ההשלמה"‪ .‬על"ה (‪.39 – 28 )40‬‬
‫)‪Efroimsan, V. (1998). PRECONDITIONS of GENIUS, Journal "Human", 1, Januar. (Russian‬‬
‫‪Festinger, L. A. (1957). A Theory of Cognitive Dissonance, Stanford University Press, California.‬‬
‫‪Gardner, M. (2002). Mathematics, Magic and Mystery . Dover Publication, INC, New York.‬‬
‫‪Kleiner, J., & Movshovitz-Hadar, N. (1994). The role of paradoxes in the evolution of mathematics, American‬‬
‫‪Mathematical Monthly, 101(10), 963-974.‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪33‬‬
‫ניספח ‪ :1‬בעיות שניתנו כשיעורי בית‬
‫מטלה מס' ‪ :1‬היכן הטעות?‬
‫לפניכם הוכחה ש‪ . 4  3 -‬מצאו את הטעות שהובילה לתוצאה כה מטופשת‪.‬‬
‫“הוכחה”‬
‫ניתן לבדוק (למשל בעזרת מחשבון) ש‪-‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪7‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3     4  ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫‪‬‬
‫נוציא שורש ריבועי משני אגפים של השוויון ונקבל‪:‬‬
‫‪7 ‬‬
‫‪7‬‬
‫‪‬‬
‫‪ 3     4  ‬‬
‫‪2 ‬‬
‫‪2‬‬
‫‪‬‬
‫או ‪4  3‬‬
‫האם ההוכחה נכונה? נמקו‬
‫מטלה מס' ‪ :2‬היכן הטעות הפעם?‬
‫לפניכם הוכחה שכל המספרים שווים זה לזה‪ .‬גלו את הטעות המסתתרת ב"הוכחה"‪.‬‬
‫“הוכחה”‪:‬‬
‫נניח שיש שני מספרים ‪a  b‬‬
‫נתבונן בזהות‪:‬‬
‫‪a2  2ab  b 2  b 2  2ab  a2‬‬
‫נפרק לגורמים את שני האגפים‪:‬‬
‫‪a  b2  b  a2‬‬
‫ונקבל‪:‬‬
‫‪a  b  b  a‬‬
‫או ‪:‬‬
‫‪2a  2b‬‬
‫מכאן כבר ברור שכל המספרים שווים זה לזה!‬
‫הייתכן? אם לא – היכן הטעות?‬
‫‪34‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫מטלה מס' ‪ :3‬עניינים כספיים‬
‫הפעם נוכיח כי שקל אחד לא שווה בערכו ל‪ 100 -‬אגורות!‬
‫"הוכחה"‪:‬‬
‫ידוע כי כאשר נתונים שני שוויונים מותר לכפול את אגפיהם בלי לפגוע בשוויון‪.‬‬
‫במילים אחרות‪ :‬אם ‪ a  b‬ו‪ c  d -‬אז ‪. ac  bd‬‬
‫נשתמש בכלל זה עבור שני שוויונים ברורים‪:‬‬
‫‪ 1‬שקל = ‪ 100‬אגורות‪.‬‬
‫‪ 10‬שקלים = ‪ 1000‬אגורות‪.‬‬
‫ונכפול את האגפים ונגלה‪:‬‬
‫‪ 10‬שקלים שווים ל‪ 100000 -‬אגורות‪,‬‬
‫או‪:‬‬
‫‪ 1‬שקל = ‪ 10000‬אגורות‪.‬‬
‫דרך טובה להתעשר? אם לא ‪ -‬היכן הטעות?‬
‫מטלה מס' ‪ :4‬סופיזם של הלימודים‬
‫‪The more you study, the more you know.‬‬
‫‪The more you know, the more you forget.‬‬
‫‪The more you forget , the less you know.‬‬
‫‪The less you know, the less you forget.‬‬
‫‪The less you forget , the more you know‬‬
‫?‪So why study‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫‪35‬‬
‫ניספח ‪ :2‬רמזים והסברים למטלות שבניספח ‪1‬‬
‫בעקבות מטלה ‪1‬‬
‫אנחנו יודעים ש‪ a  b  a2  b2 -‬אולם האם גם ההיפך נכון?‬
‫האם ‪? a2  b2  a  b‬‬
‫במקרה זה התשובה שלילית‪ (3)2  32 .‬למרות ש‪. (3)  3 -‬‬
‫אנחנו פעלנו כאילו ‪a 2  a‬‬
‫אולם השוויון הנכון הוא ‪a 2  a‬‬
‫‪.‬‬
‫השוויון הנכון מוביל לת וצאה נכונה בהחלט (למרות שהיא לא כל כך מעניינת כמו השוויון ‪.) 4  3‬‬
‫בעקבות מטלה ‪2‬‬
‫הסבר‪ :‬הטעות כאן זהה לזאת שעשינו במקרה הקודם‪:‬‬
‫‪2‬‬
‫‪2‬‬
‫מ‪ a  b  b  a -‬לא נוכל להסיק ‪ a  b  b  a‬אלא רק ‪. a  b  b  a‬‬
‫בעקבות מטלה ‪3‬‬
‫הטעות בסופיזם זה היא בביצוע פעולות חשבון נכונות על ערכים הנמדדים ביחידות שונות‪.‬‬
‫‪36‬‬
‫על"ה ‪ | 51‬מרץ ‪2015‬‬
‫יצא לאור ככתב עת אלקטרוני באתר מרכז המורים‪http://highmath.haifa.ac.il :‬‬
‫לפרטים נוספים‪ :‬המרכז הארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי‪ ,‬טלפון‪04-8288351 :‬‬
‫מייל‪hmathcntr@edu.haifa.ac.il :‬‬
‫יצא לאור במימון האגף לתכנון ופיתוח תכניות לימודים במשרד החינוך‬
‫ומנהלת המרכז להוראת המדעים ע"ש עמוס דה שליט‬
‫© כל הזכויות שמורות למשרד החינוך‬
‫"‬
‫"‬
‫מרכז ארצי למורים למתמטיקה בחינוך העל יסודי‬
‫المركز القطري لمعلمي الرياضيات في المرحلتين االعدادية والثانوية‬