Kompendium til lineær Algebra

Transcription

Kompendium til Lineær Algebra
Politstudiet, matematik, 1. årsprøve
Af Erik Bennike
Indholdsfortegnelse :
Elementær vektorregning...................................... 2
Matricer ................................................................. 5
Lineære ligningssystemer ..................................... 8
Operationsmatricer................................................ 10
Basis og dimension ............................................... 12
Lineære afbildninger ............................................. 16
Lineære afbildningers matrixligninger ................. 21
Determinanter........................................................ 26
Spektralteori .......................................................... 30
Kvadratiske former ............................................... 34
Oversigtsopgave.................................................... 38
Stikordsregister ..................................................... 52
Forord:
Dette kompendium er ment som en hjæ lp til at hurtigt at finde de relevante formler til brug ved
opgaveregning i lineæ r algebra. Kompendiet er udarbejdet primæ rt på baggrund af ”Lineæ r
Algebra” af Mogens Nørgaard Olesen og Frank Hansen, og kompendiet bør benyttes sammen med
denne læ rebog. Man kan evt. også søge hjæ lp i Jens Carstensens ”Lineæ r Algebra”, der også er
benyttet ved udarbejdelsen af dette kompendium. Der er ved de enkelte sæ tninger og definitioner
givet en henvisning til læ rebogen, som man som studerende kan benytte som reference.
Jeg håber, at mange vil finde fordele i anvendelsen af dette væ rk.
PS: Hvis du finder en fejl, så send mig en mail på: erik_bennike@hotmail.com.
Erik Bennike februar 2001
-1-
Kompendium til Lineæ r Algebra
Af Erik Bennike
(OHPHQW UYHNWRUUHJQLQJ/$NDS
Def.: ,QGUHSURGXNW
Et indre produkt er en afbildning
([, \) → ([ | \) ∈ 5, hvor ([, \) ∈ 5 × 5
som opfylder betingelserne
•
•
•
•
•
([ \ ) = (\ [ )
([ + \ ] ) = ([ ] )+ (\ ] )
(λ[ \ ) = λ ([ \ )
([ [ )≥ 0
&
([ [ ) = 0 ⇔ [ = 0
(LA def. 1.2.6)
hvor [, \, ] er vektorer tilhørende 5 og er en skalar.
Def.: 6NDODUSURGXNWHW
Et specielt indre produkt er skalarproduktet, der defineres ved
 [1 
 \1 
 
 
 [2 
\ 
, KYRU [ =   RJ \ =  2 
 
 
 \ 
 [ 
 
 
[ ⋅ \ = ∑ [ \
=1
(LA def. 1.2.1)
Def.: 1RUPHQDIHQYHNWRU
Normen af en vektor ||x|| defineres som
[ =
([ [ )
∀[∈5
(LA s. 19)
Specielt er normen af en vektor med skalarproduktet som indre produkt givet ved
1

2
[ = [ ⋅ [ =  ∑ [ 2 
 =1 
∀[∈5
-2-
(LA s. 18)
Af Erik Bennike
Sæ tn.: 5HJQHUHJOHUIRUQRUPHUDIYHNWRUHU
[ ≥0
•
&
[ = 0 <=> [ = 0
•
λ[ = λ ⋅ [
•
[+ \ = [ + \
•
[+ \ + [− \ =2 [ +2 \
2
•
2
2
2
∀ [, \ ∈ 5 og ∀ ∈ 5.
(LA Sæ tn. 1.2.10)
Def.: 9LQNHOPHOOHPYHNWRUHU
Vinklen mellem to vektorer [ og \ defineres ud fra
cosθ =
([ \ )
[⋅ \
 ([ \ ) 

=> θ = cos −1 

⋅
[
\


(LA s. 23)
Def.: +\SHUSODQ
En mæ ngde + kaldes en hyperplan hvis
+ = {\ ∈ 5 | D · (\ – [) = 0}
(LA s. 25)
D kaldes en normalvektor for hyperplanen og [ er et fast punkt i hyperplanen.
Def.: 8QGHUUXP
Lad 8 væ re en ikke-tom delmæ ngde af vektorrummet 5 . 8 kaldes et underrum hvis
•
•
[+\∈8
[∈8
∀ [, \ ∈ 8
∀ ∈ 5 ∧ ∀ [ ∈ 8
(LA def. 1.4.1)
De to betingelser kan samles til
•
[+ \∈8
∀ , ∈ 5 ∧ ∀ [, \ ∈ 8
(LA sæ tn. 1.4.4)
Def.: 8GVS QGLQJHQDIHQP QJGH
Lad 0 væ re en ikke-tom delmæ ngde af 5 . Ved udspæ ndingen af 0 forstås mæ ngden


VSDQ 0 = ∑ λ D λ ∈ 5, D ∈ 0 , S ∈ 1 
 =1

af linearkombinationer af vektorer fra 0.
-3-
(LA def. 1.4.7)
Af Erik Bennike
Hvis 0 er en endelig mæ ngde af vektorer dvs. 0 {D1D2«D }, så kaldes span M for
udspæ ndingen af vektorerne D1D2«D .
Sæ tn.: 8GVS QGLQJHQDIHQP QJGHHUHWXQGHUUXP
Udspæ ndingen af en ikke-tom mæ ngde 0, der er en delmæ ngde af 5 , er et underrum af 5 .
Hvis 8 er et underrum af 5 og 0 er en delmæ ngde af 8, så er span 0 en delmæ ngde af 8.
Udspæ ndingen af en mæ ngde er det mindste underrum der indeholder mæ ngden.
(LA sæ tn. 1.4.8 & s. 31ø)
Sæ tn.: ) OOHVP QJGHQPHOOHPXQGHUUXP
Fæ llesmæ ngden mellem vilkårlig mange underrum af 5 er selv et underrum af 5 .
(LA sæ tn. 1.4.11)
Sæ tn.: 6XPDIYHNWRUHUIUDIRUVNHOOLJHXQGHUUXP
Lad der væ re givet endelig mange underrum 8182«8 af 5 . Mæ ngden
8 = {[ = [1 + [2 + + [ [1 ∈8 1 , [2 ∈ 8 2 , ... , [ ∈ 8 }
(LA sæ tn. 1.4.12)
er et underrum af 5 .
Sæ tn.: 'LUHNWHVXPDIXQGHUUXP
Summen af Q underrum er direkte, hvis og kun hvis den eneste fremstilling af nulvektoren
fremkommer som den trivielle fremstilling, hvor alle led selv er nulvektoren. For at en sum
mellem Q underrum ikke skal væ re direkte skal der altså gæ lde, at nulvektoren kan
fremstilles som summen af to eller flere egentlige vektorer fra forskellige underrum.
Summen mellem to underrum 81 og 82er direkte, hvis og kun hvis fæ llesmæ ngden
81 82 kun indeholder nulvektoren.
(LA s. 33 mv.)
At en sum mellem underrum er direkte skrives som
8 = 8 1 ⊕ 8 2 ⊕ ... ⊕ 8 -4-
Af Erik Bennike
0DWULFHU/$NDS
VIGTIGT: Husk at når der skrives at en matrix $ ∈ 5 , så menes der en matrix med P
ræ kker og Q søjler. Benæ vnes også tit som en ” P × Q matrix” , og udtales ” P kryds Q
matrix” .
Sæ tn.: 5HJQHUHJOHUIRUPDWULFHU
•
•
•
•
$+ % = % + $
NRPPXWDWLY ORY
$ + (% + & ) = ($ + % )+ &
$ + 2
×
= 2
×
DVVRFLDWLY ORY
+$= $
'HU ILQGHV HQ HQW\GLJW EHVWHPW PDWUL[ − $ = (− 1)$ IRU KYLONHQ
(− $)+ $ = $ + (− $) = 2 ×
(LA s. 47)
IRU DOOH P × Q PDWULFHU $, % RJ &.
Desuden gæ lder der følgende regneregler for skalarer og matricer
•
•
•
•
λ ( $ + % ) = λ$ + λ%
(λ + µ )$ = λ$ + µ$
(λµ )$ = λ (µ$)
1$ = $
(LA s. 47)
for alle P × Q matricer $ og % og skalarer ,
∈ 5.
Addition og subtraktion af matricer foregår ved koordinatvis addition/subtraktion.
Tilsvarende foregår multiplikation med skalarer ved koordinatvis multiplikation.
Def.: 0DWUL[PXOWLSOLNDWLRQ
Først slår vi fast at matrixmultiplikation ikke er kommutativ (dvs. $Â%%Â$).
For at kunne definere matrixproduktet er det nødvendigt at indføre lidt yderligere notation
Vi kalder den L’te ræ kke i matrix $ for vektoren D og den M’te søjle i matrix % for vektoren
E . Matrixproduktet defineres ved
 D1 ⋅ E
 2 1
 D ⋅ E1
$ ⋅ % = $% = 
 D ⋅E
1

D1 ⋅ E2
D 2 ⋅ E2
D ⋅ E2
D1 ⋅ E 

D 2 ⋅ E 


D ⋅ E 
Vi bemæ rker at søljeantallet i den første matrix skal væ re lig ræ kkeantallet i den anden
matrix. Således kan den omvendte multiplikation altså kun lade sig gøre, hvis S P.
-5-
Af Erik Bennike
Ved multiplikationen er ræ kke- og søjleantallet i den fremkomne matrix altså bestemt af:
Den første matrix bestemmer ræ kkeantallet og den anden matrix bestemmer søjleantallet.
Sæ tn.: 5HJQHUHJOHUIRUPDWUL[PXOWLSOLNDWLRQ
•
•
•
•
$(% + & ) = $% + $&
($ + % )& = $& + %&
(λ$)% = $(λ% ) = λ ($% )
($% )& = $(%& )
$ ∈ 5 , % , & ∈ 5
$, % ∈ 5 , & ∈ 5
λ ∈ 5, $ ∈ 5
RJ % ∈ 5
$ ∈ 5 , % ∈ 5 , & ∈ 5 (LA sæ tn. 2.2.4/5)
Def.: 5HJXODULWHWLQYHUWLELOLWHWDINYDGUDWLVNHPDWULFHU
En kvadratisk matrix $ kaldes regulæ r (invertibel) hvis der findes en kvadratisk Q × Q matrix
%, således at $Â% %Â$ (
(LA def. 2.2.7)
hvor ( er enhedsmatricen. Matricen % kaldes $’ s inverse matrix (og omvendt), og den
benæ vnes $–1.
Sæ tn.: 5HJXODULWHWDILQYHUVHPDWULFHU
Lad $ væ re en regulæ r matrix. Så er den inverse matrix $–1 også regulæ r, og $ er dennes
inverse matrix, dvs. ($–1) –1 $
(LA sæ tn. 2.2.9)
Sæ tn.: ,QYHUVWPDWUL[SURGXNW
Lad $ og % væ re regulæ re matricer. Så er også matrixproduktet $% regulæ rt og den inverse
matrix til matrixproduktet er matricen ($%)–1 %–1Â$–1
(LA sæ tn. 2.2.10)
Bemæ rk ræ kkefølgen!
Def.: 7UDQVSRQHUHWPDWUL[
Den transponerede matrix til $ benæ vnes $ og fremkommer ved at ombytte ræ kker og søjler
i $.
Der gæ lder endvidere følgende
•
•
•
($ + % ) = $
(λ$) = λ$
($ )
+%
(LA def. 2.2.12)
=$
-6-
Af Erik Bennike
Def.: 7UDQVSRQHULQJDIPDWUL[SURGXNW
Lad $ væ re en P × Q matrix og % væ re en S × P matrix. Der gæ lder
(BA) = A B
(LA sæ tn. 2.2.14)
Sæ tn.: 5HJXODULWHWDIWUDQVSRQHUHWPDWUL[
En kvadratisk matrix $ er regulæ r, hvis og kun hvis den transponerede matrix $ er regulæ r.
Endvidere gæ lder det, at
($ )–1 (A–1)
for enhver regulæ r matrix A
(LA sæ tn. 2.2.15)
-7-
Af Erik Bennike
/LQH UHOLJQLQJVV\VWHPHU/$NDS
Def.: NYLYDOHQVDIWROLJQLQJVV\VWHPHU
To ligningssystemer kaldes æ kvivalente, hvis de har samme løsningsmæ ngde.
(LA def. 3.1.3)
Def.: 2PIRUPQLQJHUDIOLQH UHOLJQLQJVV\VWHPHU
Omformningerne (F), ¡ (F) og n af et lineæ rt ligningssystem bestående af P ligninger
med Q ubekendte defineres ved:
(F)For L M multipliceres den M’ te ligning med konstanten F og resultatet læ gges til
den L’ te ligning.
¡ (F) Den L’ te ligning multipliceres med konstanten F
n Den L’ te ligning ombyttes med den M’ te.
(LA def. 3.1.4)
Disse svarer til ræ kkeoperationerne i matricer, der leder til at echelonmatricen og det
oprindelige ligningssystem (matrix) er æ kvivalente.
(LA sæ tn. 3.1.5)
Def.: ,QLWLDOHWWDORJHFKHORQPDWUL[
Et initialettal i en matrix indføres således: Hvis det første fra 0 forskellige element i en ræ kke
er 1, så kaldes dette ettal for et initialettal.
En P × Q matrix ) kaldes en echelonmatrix hvis følgende er opfyldt:
(LA s. 68)
• Enhver ræ kke, bortset fra evt. nulræ kker har et initialettal.
• Over og under alle initialettaller står der lutter nuller.
• Hvis to ræ kker ikke er nulræ kker, står initialettallet i den øvre ræ kke i en søjle
læ ngere til venstre end initialettallet i den nedre.
• Evt. nulræ kker står nederst i matricen.
(LA def. 3.2.1)
Sæ tn.: (FKHORQV WQLQJHQ
En P × Q matrix kan ved ræ kkeomformninger omformes til en echelonmatrix
(LA sæ tn. 3.2.3)
-8-
Af Erik Bennike
Sæ tn.: ,QLWLDOHWWDORJNRQVLVWHQV
Hvis der i den udvidede koefficientmatrix til en givent lineæ rt ligningssystem står et
initialettal i søjlen læ ngst til højre, da er ligningssystemet inkonsistent.
Hvis dette ikke er tilfæ ldet, da er ligningssystemet konsistent.
-9-
(LA sæ tn. 3.2.5)
Af Erik Bennike
2SHUDWLRQVPDWULFHU/$NDS
Sæ tn.: 5 NNHRSHUDWLRQHURJRSHUDWLRQVPDWULFHU
Lad $ (D ) væ re en P × Q matrix.
• Resultatet af ræ kkeoperationen (F) udført på matricen $ er lig med
matrixproduktet af P × P operationsmatricen (F) og $.
• Resultatet af ræ kkeoperationen ¡ (F) udført på matricen $ er lig med
matrixproduktet af P × Poperationsmatricen (F) og $.
• Resultatet af ræ kkeoperationen n udført på matricen $ er lig med
matrixproduktet af P × P operationsmatricen c og $.
(LA sæ tn. 4.1.1)
Sæ tn.: ,QYHUVLRQDIRSHUDWLRQVPDWULFHU
Samtlige operationsmatricer er regulæ re.
• (F )
IRU L ≠ M , L, M = 1,, P. 'HQ LQYHUVH PDWUL[ HU
(F ) = (− F )
−1
• (F )
IRU F ≠ 0, L = 1,, P. 'HQ LQYHUVH PDWUL[ HU
(F ) = (1 )
−1
• c (LA kor. 4.1.2)
IRU L, M = 1,, P. 'HQ LQYHUVH PDWUL[ HU
c
−1
= c
Sæ tn.: 2SHUDWLRQVPDWULFHURJ(FKHORQPDWUL[
Lad $ væ re en P × Q matrix. Der findes en P × Q echelonmatrix )og en regulæ r P × P
matrix 5 således at $ 5Â). Matricen 5 kan skrives som et produkt 5 5 Â5 ÂÂÂ5! af
operationsmatricer.
(LA sæ tn. 4.1.3)
Sæ tn.: ,QYHUWHULQJDIPDWULFHU
En Q × Q matrix $ er regulæ r, hvis og kun hvis der findes Q × Q operationsmatricer
5152«5"
for hvilke
51 52 5$ ($ ( # ) = (( #
I givet fald er $–1 %.
%)
(LA sæ tn. 4.2.2)
- 10 -
Af Erik Bennike
Sæ tn.: ,QYHUWHULQJDIGLDJRQDOPDWUL[
Invertering af en regulæ r diagonalmatrix foregår ved på hver plads i diagonalen at tage den
reciprokke væ rdi til det pågæ ldende diagonalelement.
Sæ tn.: ,QYHUWHULQJDI×PDWUL[
Invertering af en 2 × 2 matrix foregår således:
D F 

$ = 
E G 
$ −1 =
1  G − F
1  G − F


 =

det $  − E D  DG − EF  − E D 
- 11 -
Af Erik Bennike
%DVLVRJGLPHQVLRQ/$NDS
Def.: /LQH UDIK QJLJKHGRJOLQH UUHODWLRQ
Lad (D1D2«D" ) væ re et sæ t af vektorer fra 5 . En fremstilling af nulvektoren som en
&
linearkombination 1D1 2D2ÂÂÂ " D" 0
!
af D1D2«D" kaldes en lineæ r relation mellem sæ ttets vektorer. Hvis alle koefficienterne
1 2« "
er nul, kaldes fremstillingen triviel eller uegentlig. Hvis dette ikke er tilfæ ldet
kaldes fremstillingen ikke-triviel eller egentlig.
Et sådant sæ t af vektorer kaldes lineæ rt afhæ ngigt, hvis der findes en egentlig lineæ r relation
mellem sæ ttets vektorer. Ellers kaldes sæ ttet for lineæ rt uafhæ ngigt.
(LA 5.1(.1))
Bemæ rk specielt, at et sæ t af vektorer aldrig kan væ re lineæ rt uafhæ ngigt, hvis to eller flere
af vektorerne i sæ ttet er proportionale.
(LA s. 94)
Et vektorsæ t, hvor mindst en af vektorerne er nulvektoren er altid lineæ r afhæ ngigt.
(LA s. 95ø)
Sæ tn.: /LQHDUDIK QJLJKHGRJOLQHDUNRPELQDWLRQ
Lad (D1D2«D" ) væ re et sæ t af vektorer i 5 . Sæ ttet er lineæ rt afhæ ngigt, hvis og kun hvis
!
(mindst) en af vektorerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige. Eller:
Et sæ t af vektorer er lineæ rt afhæ ngigt, hvis og kun hvis (mindst)
(LA sæ tn. 5.1.4)
en af vektorerne tilhører udspæ ndingen af de øvrige.
Sæ tn.: 6XSSOHULQJVV WRJGHOV WOLQH UXDIK QJLJKHG
Lad D1D2«D" væ re vektorer i 5 .
!
• Hvis sæ ttet (D1D2«D" ) er lineæ rt afhæ ngigt, så er ethvert sæ t af vektorer, som
fremkommer ved at supplere det givne sæ t også lineæ rt afhæ ngigt.
• Hvis sæ ttet (D1D2«D" ) er lineæ rt uafhæ ngigt, så er ethvert delsæ t også lineæ rt
uafhæ ngigt.
(LA sæ tn. 5.1.7)
- 12 -
Af Erik Bennike
Def.: %DVLVIRUHWXQGHUUXP
Lad 8 væ re et underrum af5 , og lad (D1D2«D" ) væ re et sæ t af vektorer i 8. Vi kalder
!
sæ ttet (D1D2«D" ) en basis for 8, hvis det er lineæ rt uafhæ ngigt og udspæ nder 8.
(LA def. 5.2.1)
Sæ tn.: *UDVVPDQQVXGVNLIWQLQJVV WQLQJ
Lad (D1D2«D" ) væ re et lineæ rt uafhæ ngigt sæ t af vektorer i 5 og lad
!
U = span {D1D2«D" } væ re underrummet frembragt af vektorerne i sæ ttet. Hvis (E1E2«E% )
er et lineæ rt uafhæ ngigt sæ t af vektorer fra 8, så gæ lder der at TS. Endvidere kan man
udskifte T af vektorerne i sæ ttet (D1D2«D" ) med vektorerne E1E2«E% , så det på denne
måde fremkomne sæ t er lineæ rt uafhæ ngigt og frembringer underrummet 8.
(LA sæ tn. 5.2.4)
Sæ tn.: %DVHUIRUXQGHUUXPRJDQWDODIYHNWRUHU
Lad 8 væ re et underrum af 5 . Hvis (D1D2«D" ) og (E1E2«E% ) begge er baser for 8,
!
gæ lder det at S T.
(LA kor. 5.2.5)
Endvidere: Hvis (D1D2«D" ) er et lineæ rt uafhæ ngigt sæ t af vektorer i 5 , gæ lder der at !
SQ.
(LA kor. 5.2.6)
Sæ tn.: (NVLVWHQVDIEDVLVWLOXQGHUUXP
Ethvert underrum af 5 har en basis.
!
Def.: 'LPHQVLRQDIHWXQGHUUXP
(LA sæ tn. 5.2.7)
Lad 8 væ re et underrum af 5 . Ved dimensionen af 8 forstås antallet af vektorer i en basis
!
for 8. Dimensionen af 8 betegnes med dim 8.
(LA def. 5.2.8)
Sæ tn.: 6XSSOHULQJVV WQLQJHQ
Lad 8 væ re et underrum af 5 af dimension S. Hvis TS, og (D1D2«D% ) er et lineæ rt
!
uafhæ ngigt sæ t af vektorer i 8, så findes der supplerende vektorer X%'& 1«X" , i 8 for hvilke
det supplerende sæ t (D1D2«D" X%'& 1«X" ) er en basis for 8.
- 13 -
(LA sæ tn. 5.2.10)
Af Erik Bennike
Sæ tn.: 'LPHQVLRQRJGLUHNWHVXPDIXQGHUUXP
Hvis 8182«8" er underrum af5 , som danner direkte sum 8 = 81 ⊕ 82 ⊕ ··· ⊕ 8" , så
!
gæ lder der, at
dim 8 = dim 81 + dim 82 + … + dim 8" Q
(LA sæ tn. 5.2.12)
Def.: 2UWRQRUPDOLWHWDIYHNWRUV W
Et sæ t af vektorer (D1D2«D" ) kaldes ortonormalt (et ortonormalt sæ t) hvis vektorerne i
sæ ttet er enhedsvektorer og indbyrdes ortogonale.
(LA s. 114)
Sæ tn.: 2UWRQRUPHULQJDIYHNWRUV W*UDP6FKLPGWVRUWRQRUPDOLVHULQJVPHWRGH
Lad 5 væ re udstyret med et indre produkt (·|·). Hvis (D1D2«D" ) er et lineæ rt uafhæ ngigt
!
sæ t af vektorer i 5 , så findes der et ortonormalt sæ t (E1E2«E" ) for hvilket
!
span {E1«E } = span {D1«D } for L 1, 2, …, S
(LA s. 115)
Måden hvorpå man finder disse ortonormale vektorer er som følger:
Først dannes vektorerne (F1F2«F" ), og derefter normeres de til sæ ttet (E1E2«E" ):
F1 = D1
(D F )
F
(F F )
(D F ) (D
−
F −
(F F ) (F
F2 = D2 −
F3 = D 3
2
1
1
1
3
1
1
1
F( = D( −
1
2
F2 )
F2 )
F2
(D( F ) (D( F )
F −
F
(F F ) (F F )
1
2
1
1
E1 =
3
1
1
2
2
2
−−
(D(
(F(
F(
−1
F(
−1
) F(
)
−1
−1
1
1
1
F1 , E2 =
F2 , , E) =
F)
F1
F2
F)
(LA s. 115-116)
Sæ tn.: (NVLVWHQVDIRUWRQRUPDOEDVLVIRUXQGHUUXP
Ethvert underrum af et euklidisk vektorrum, som er forskelligt fra det trivielle underrum kun
bestående af nulvektoren, har en ortonormalbasis.
- 14 -
(LA kor. 5.3.2)
Af Erik Bennike
Sæ tn.: 6XSSOHULQJWLORUWRQRUPDOWV WLHXNOLGLVNYHNWRUUXP
Lad 8 væ re et underrum af dimension T i et euklidisk vektorrum (5 , (·|·)), og lad
*
(D1D2«D+ ) væ re et ortonormalt sæ t af vektorer i 8. Hvis S<T, så findes der supplerende
vektorer X+-, 1«X. således at sæ ttet
(D1D2«D+ X.
, 1«X+
) udgør en ortonormalbasis for 8.
(LA sæ tn. 5.3.4)
Sæ tn.: 9HNWRUHURJRUWRQRUPDOEDVLV
Lad (5 , (·|·)) væ re et euklidisk vektorrum udstyret med en ortonormalbasis (D1D2«D+ ). Der
*
gæ lder
/
for enhver vektor [ ∈ 5 .
[ = ∑ ([ D 0 )D 0
0
*
=1
(LA sæ tn. 5.3.5)
Sæ tn.: 'HWRUWRJRQDOHNRPSOHPHQW
Lad 0 væ re en ikke-tom delmæ ngde af et euklidisk vektorrum (5 , (·|·)). Mæ ngden af
vektorer
*
0 ⊥ = { [ ∈ 5 | ([|\) = 0 ∀ \ ∈ 0}
*
(LA s. 118m)
*
som er ortogonale på samtlige vektorer er et underrum af 5 .
Lad 8 væ re et underrum af et euklidisk vektorrum (5 , (·|·)). Underrummet 8 ⊥ har
*
dimension Q±dim 8 og kaldes det ortogonale komplement til 8. Der gæ lder at
8 ⊥⊥ = 8 ⊥
( )
⊥
= 8 . Underrummene 8 og 8⊥ danner direkte sum med summen 5 .
*
(LA sæ tn. 5.3.6)
- 15 -
Af Erik Bennike
/LQH UHDIELOGQLQJHU/$NDS
Def.: /LQH UDIELOGQLQJ
En afbildning 7 : 5
*
5 , hvor Q og P er to naturlige tal, kaldes lineæ r, hvis
1
7( [ + \) = 7[ + 7\
∈ 5 ∀ [, \ ∈ 5
*
∀ ,
En vilkårlig lineæ r afbildning 7 : 5
*
Endvidere gæ lder det at 7–[ –7[.
1
(LA def. 6.1.1)
*
1
5 afbilder nulvektoren i 5 på nulvektoren i 5 .
Billedet ved en lineæ r afbildning 7 af en linearkombination af vektorerne D1D2«D+ er en
linearkombination af vektorerne 7D17D2«7D+ med de samme koefficienter
7 (span 0) = span 7(0)
Sæ tn.: /LQH UDIK QJLJKHGDIELOOHGHUQHDIYHNWRUV W
Lad 7 : 5
*
•
5 væ re en lineæ r afbildning og lad D1D2«D+ ∈ 5 . Der gæ lder følgende:
1
*
Hvis vektorsæ ttet (D1D2«D+ ) er lineæ rt afhæ ngigt, medfører det, at også sæ ttet
(7D17D2«7D+ ) er lineæ rt afhæ ngigt.
Hvis vektorsæ ttet (7D17D2«7D+ ) er lineæ rt uafhæ ngigt, medfører det, at også
•
sæ ttet (D1D2«D+ ) er lineæ rt uafhæ ngigt, og at 7 er en injektiv afbildning.
dim 7(8) GLP8 for ethvert underrum 8 af 5 .
*
•
(LA sæ tn. 6.1.2)
Def.: %LOOHGUXPRJQXOUXP
Lad 7 : 5
*
1
5 væ re en lineæ r afbildning. Billedmæ ngden
5(7) = {7[ | [ ∈ 5 }
*
kaldes billedrummet for 7 og mæ ngden
&
*
1(7) = { [ ∈ 5 | 7[ = 0 }
kaldes nulrummet (kernen) for 7. (De vektorer, der når de afbildes via 7 bliver nulvektoren)
En afbildning φ : 01
02 kaldes surjektiv, hvis φ (01) = 02.
(LA def. 6.1.3)
En afbildning er surjektiv hvis og kun hvis dim 5(7) = P, og dermed skal PQ for at en
afbildning skal have mulighed for at væ re surjektiv. En nødvendig, men ikke tilstræ kkelig
betingelse.
- 16 -
Af Erik Bennike
Sæ tn.: 6XUMHNWLYLWHWRJELOOHGUXP
Lad (D1D2«D* ) væ re en basis for 5 , og lad 7 : 5
*
*
1
5 væ re en lineæ r afbildning.
Billedrummet 5(7) frembringes af sæ ttet (7D17D2«7D* ).
•
7 er surjektiv, hvis og kun hvis sæ ttet (7D 2 7D3 «7D* ) frembringer hele 5 .
•
dim 5(7) Q
•
1
(LA sæ tn. 6.1.4)
Sæ tn.: 1XOUXPRJXQGHUUXP
Nulrummet 1(7) for en lineæ r afbildning 7 : 5
*
1
*
5 er et underrum af vektorrummet 5 .
(LA sæ tn. 6.1.5)
En afbildning mellem to mæ ngder kaldes injektiv, hvis forskellige punkter fra
” startmæ ngden” ikke kan afbildes i samme punkt i ” destinationsmæ ngden” .
Sæ tn.: ,QMHNWLYLWHWRJQXOUXP
En lineæ r afbildning 7 : 5
*
&
1
5 er injektiv, hvis og kun hvis 1(7) = { 0 }. dim 1(7) = 0
(LA sæ tn. 6.1.6)
Sæ tn.: /LQH UXDIK QJLJKHGRJLQMHNWLYLWHW
Lad (D1D2«D* ) væ re en basis for5 , og lad 7 : 5
*
*
1
5 væ re en lineæ r afbildning. Der
gæ lder, at 7 er injektiv, hvis og kun hvis sæ ttet (7D17D2«7D* ) er lineæ rt uafhæ ngigt.
(LA sæ tn. 6.1.7)
Sæ tn.: %LOOHGUXPRJVXUMHNWLYLWHWVDPWLQMHNWLYLWHW
Lad 7 : 5
*
•
•
1
5 væ re en lineæ r afbildning. Der gæ lder følgende:
7 er surjektiv, hvis og kun hvis dim 5(7) = P.
7 er injektiv, hvis og kun hvis dim 5(7) = Q.
(LA kor. 6.1.8)
En afbildning kaldes bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv.
For at en lineæ r afbildning skal væ re bijektiv skal således Q = P, altså en afbildning:
7:5
*
*
5 . En sådan afbildning kaldes en endomorfi.
- 17 -
Af Erik Bennike
Sæ tn.: (QGRPRUILRJLQMHNWLYLWHWVXUMHNWLYLWHWELMHNWLYLWHW
Lad 7 : 5
*
*
5 væ re en endomorfi. Så gæ lder det at hvis:
7 er surjektiv <=> 7 er injektiv <=> 7 er bijektiv
(LA kor. 6.1.9)
Ikke forstået sådan at alle endomorfier har de ovenstående egenskabet, blot forstået sådan, at
hvis den har én af egenskaberne, så har den automatisk dem alle tre.
Sæ tn.: *UDVVPDQQVGLPHQVLRQVV WQLQJ
Lad 7 : 5
*
1
5 væ re en lineæ r afbildning. Der gæ lder at
dim 5(7) + dim 1(7) = Q
(LA sæ tn. 6.1.11)
Sæ tn.: 5HJQLQJPHGOLQH UHDIELOGQLQJHU
Først definerer vi summen af to lineæ re afbildninger.
Lad 7, 6 : 5
*
1
5 væ re to lineæ re afbildninger. Vi definerer:
(7 + 6 )([) = 7[ + 6[
∀ [, \ ∈ 5
*
Denne er også en lineæ r afbildning (sæ tn.)
Vi definerer også produktet af 7 med en skalar :
( 7)([) = 7[
∀[∈5
(LA s. 135)
*
Denne afbildning er også en lineæ r afbildning (sæ tn.)
Ved differensen 7 – 6 mellem to lineæ re afbildninger forstås
(LA s. 135)
7±6 7(–1)6
Denne afbildning er også en lineæ r afbildning.
(LA s. 135)
Sæ tn.: 6DPPHQVDWRJLQYHUVOLQH UDIELOGQLQJ
Lad 6 : 5
5 og 7 : 5
*
7 6 : 5
1
*
5 væ re lineæ re afbildninger. Den sammensatte afbildning
+
5 er også lineæ r.
+
Lad 7 : 5
7–1 : 5
1
*
*
(LA sæ tn. 6.2.2)
*
*
5 væ re en bijektiv, lineæ r afbildning. Den inverse afbildning
5 er også lineæ r.
(LA sæ tn. 6.2.3)
Sæ tn.: $GMXQJHUHWDIELOGQLQJ
Lad 7 : 5
*
5 væ re en lineæ r afbildning mellem euklidiske vektorrum. Der findes en
1
entydigt bestemt lineæ r afbildning 7 : 5
4
1
*
5 for hvilken
- 18 -
Af Erik Bennike
(7[_\) = ([ | 7 \)
∀ [∈5 , ∀ \ ∈ 5
4
*
1
(LA sæ tn. 6.3.1)
Afbildningen 7 kaldes den til 7 adjungerede afbildning.
4
Sæ tn.: 1XOUXPELOOHGUXPRJDGMXQJHUHWDIELOGQLQJ
Lad 7 : 5
*
1
5 væ re en lineæ r afbildning mellem euklidiske vektorrum. Der gæ lder
1 (7 ) = 5 7 *
( )
⊥
(LA sæ tn. 6.3.3)
idet 7 er den til 7 adjungerede afbildning.
4
Sæ tn.: 6XPSURGXNWRJVNDODUPXOWLSOLNDWLRQDIDGMXQJHUHWDIELOGQLQJ
Lad 76 : 5
*
1
5 væ re lineæ re afbildninger mellem euklidiske vektorrum. Det gæ lder at
(76)* = 7 + 6
•
4
( 7)* = 7
•
Lad nu 7 : 5
*
4
4
, ∈5
5 og 6: 5
1
1
(LA øv. 6.3.5)
5 væ re lineæ re afbildninger mellem euklidiske
+
vektorrum. Det gæ lder at
(67)* = 7 6
4
•
4
(LA øv. 6.3.5)
Def.: 6\PPHWULVNVHOYDGMXQJHUHWHQGRPRUIL
En endomorfi af et euklidisk vektorrum kaldes symmetrisk eller selvadjungeret, hvis
7 =7
4
(LA def. 6.3.6)
Sæ tn.: Lad 76 væ re endomorfier af et euklidisk vektorrum (5 , (·|·)) for hvilke
*
(7[ | [) = (6[ | [)
∀[∈5
*
Hvis 7 og 6 er selvadjungerede, så gæ lder det at 7 = 6.
(LA sæ tn. 6.3.8)
Sæ tn.: 5HJQHUHJOHUIRUQRUPHQDIOLQH UHDIELOGQLQJHU
Lad 76 : 5
*
•
•
•
1
5 væ re lineæ re afbildninger mellem euklidiske vektorrum. Der gæ lder at
||7[|| __7|| · ||[||
||7 + 6|| __7|| + ||6||
|| 7|| = | | · ||7||
∀[∈5
*
∀ ∈5
(LA sæ tn. 6.3.10)
- 19 -
Af Erik Bennike
Lad 7 : 5
*
•
5 og 6 : 5
1
1
5 væ re lineæ re afbildninger mellem euklidiske vektorrum.
||67|| __6|| · ||7||
+
(LA øv. 6.3.11)
Sæ tn.: 1RUPHQDIDGMXQJHUHWDIELOGQLQJ
Lad 7 : 5
*
1
5 væ re en lineæ r afbildning mellem euklidiske vektorrum. Der gæ lder at
7 = 7 og ||7 || = ||7|| og ||7 7|| = ||7||2
454
Def.: ,VRPHWUL
4
En lineæ r afbildning7 : 5
4
*
|| 7[ || = || [ || ∀ [ ∈ 5
(LA sæ tn. 6.3.12)
*
1
5 kaldes en isometri, hvis
(LA def. 6.4.5)
- 20 -
Af Erik Bennike
/LQH UHDIELOGQLQJHUVPDWUL[OLJQLQJHU/$NDS
Sæ tn.: /LQH UHDIELOGQLQJHURJPDWULFHU
Til enhver lineæ r afbildning 7 : 5
7[ = \
gæ lder:
5 er der knyttet en P × Q matrix $, således at det
*
1
< = $;
<=>
∀[∈5
∀\∈5
*
1
(LA s. 155)
Her betegner ; og < koordinatsøjlerne for hhv. [ og \ – alt dette naturligvis for et givent valg
*
1
af baser i de to vektorrum5 og 5 .
Koordinatsøjlerne i $ er billederne af basisvektorerne i 5 .
*
Sæ tn.: 5HJQLQJPHGOLQH UHDIELOGQLQJHUVPDWULFHU
For lineæ re afbildninger 76 : 5
$6
•
•
Lad 7 : 5
*
•
= $ 6 + $7
+7
$ 6 = ·$ 6
$9
∈5
5 og 6: 5
1
1
1
5 gæ lder der, at
(LA sæ tn. 7.1.2)
5 væ re lineæ re afbildninger. Der gæ lder at
+
= $9 ⋅ $8
:8
*
(LA sæ tn. 7.1.3)
Sæ tn.: 0DWUL[K¡UHQGHWLOELMHNWLYDIELOGQLQJ
Lad 7 : 5
*
matrix:
5 væ re en bijektiv lineæ r afbildning. Matricen $ 6 er regulæ r og den inverse
1
($; )−1 = $;
(LA sæ tn. 7.1.4)
−1
Sæ tn.: $GMXQJHUHWDIELOGQLQJRJWUDQVSRQHUHWPDWUL[
Lad 7 : 5
*
1
5 væ re en lineæ r afbildning mellem euklidiske vektorrum udstyret med
ortonormale baser (J1J2«J* ) og (I1I2«I1 ), og lad $ væ re matricen hørende til 7 med
hensyn til de valgte baser. Den transponerede matrix $ er den til den adjungerede afbildning
<
7 hørende matrix med hensyn til det samme valg af baser.
4
(LA sæ tn. 7.1.5)
Def.: 5DQJHQDIHQPDWUL[
Ved rangen af en matrix forstås det største mulige antal søjler i noget lineæ rt uafhæ ngigt
delsæ t udtaget blandt søjlerne i matricen.
Rangen af matrix A skrives som rg $.
- 21 -
(LA def. 7.2.1)
Af Erik Bennike
Med hensyn til den kanoniske basis, så er søjlerne i matricen $ koordinatsæ t for vektorerne
7H = 7H> «7H? og frembringer derfor billedrummet 5(7). Dvs.
rg $ = dim 5(7)
Undertiden benyttes betegnelsen 5($) som 5(7) og tilsvarende for nulrummet 1($) = 1(7).
Def.: *UDVVPDQQVGLPHQVLRQVV WQLQJIRUPDWULFHU
Lad $ væ re en P × Q matrix. Der gæ lder
rg $ + dim 1($) = Q
(LA sæ tn. 7.2.2)
Antallet af exogene variable er lig med dim 1($). Således er antallet af endogene variable lig
med rg $, altså lig antallet af søjler i den til $ hørende echelonmatrix, der indeholder et
initialettal. Q er antallet af søjler i $.
Sæ tn.: 6¡MOHUDQJRJU NNHUDQJ
Lad $ væ re en P × Q matrix. Der gæ lder at ræ kkerang $ = søjlerang $
(LA sæ tn. 7.2.5)
Sæ tn.: .RQVLVWHQVDIOLQH UHOLJQLQJVV\VWHPHURJUDQJDIPDWUL[
Et lineæ rt ligningssystem er konsistent, hvis og kun hvis rangen af ligningssystemets
koefficientmatrix er lig med rangen af den udvidede koefficientmatrix. (LA sæ tn. 7.3.1)
Def.: +RPRJHQHOLJQLQJVV\VWHPHU
Et lineæ rt ligningssystem kaldes homogent, hvis konstantsøjlen
 E1   0 
   
 E  0
%= 2 = 
   
 E@   0 
   
(LA def. 7.3.2)
Ellers kaldes ligningssystemet for inhomogent.
Sæ tn.: (QW\GLJO¡VQLQJWLOOLQH UWOLJQLQJVV\VWHPRJUDQJDIPDWUL[
Antag af et lineæ rt ligningssystem 6 er konsistent. Løsningen til 6 er entydig, hvis og kun
hvis rg $ = Q
(LA sæ tn. 7.3.3)
- 22 -
Af Erik Bennike
Sæ tn.: /¡VQLQJVP QJGHWLOKRPRJHQWRJLQKRPRJHQWOLJQLQJVV\VWHP
~
Lad 6 væ re et konsistent inhomogent ligningssystem med løsningsmæ ngde / og lad ; ∈ /
væ re en vilkårlig løsning til 6. Der gæ lder at
~
/ = ; = ; 0 + ; ; 0 ∈ /0
{
}
(LA sæ tn. 7.3.5)
hvor /A betegner løsningsmæ ngden til det tilhørende homogene ligningssystem 6A .
.RRUGLQDWWUDQVIRUPDWLRQ
Lad (D1D2«D? ) og (E1E2«E? ) væ re to baser i 5 . En vilkårlig vektor [ ∈ 5 har en entydig
fremstilling af formen [ =
afbildning 6 : 5
?
?
1D1
+
2D2
5 ved at sæ tte
?
+… +
6[ = 6( 1D1 2D2« ? D? ) =
1E1
+
?
?
D? . Vi kan derfor konstruere en lineæ r
2E2« ?
E?
Afbildningen 6 transformerer en vektor med et givet koefficientsæ t med hensyn til basen
(D1D2«D? ) over i den vektor, der med hensyn til basen (E1E2«E? ) har samme
koefficientsæ t. Specielt gæ lder det, at 6DB EB , L = 1,2,… ,Q
Afbildningen 6 kaldes for koordinattransformationsafbildningen hørende til skiftet fra basen
(D1D2«D? ) til basen (E1E2«E? ). 6 er entydigt bestemt.
(LA s. 170)
Sæ tn.: .RRUGLQDWWUDQVIRUPDWLRQVDIELOGQLQJVOLQHDULWHW
Den ovennæ vnte koordinattransformationsafbildning er lineæ r og bijektiv.
(LA sæ tn. 7.4.1)
Omvendt gæ lder det også, at en hver bijektiv og lineæ r afbildning 6 : 5
koordinattransformationsafbildning.
?
5 er en
?
(LA s. 171ø)
Sæ tn.: 9HNWRUHUVRPOLQHDUNRPELQDWLRQDIEDVLVYHNWRUHU
Lad (D1D2«D? ) og (E1E2«E? ) væ re to baser i 5 , og lad 6 væ re koordinattrans?
formationsafbildningen bestemt ved 6DB EB , L 1,2,… ,n
Enhver af vektorerne EC kan på entydig måde skrives som linearkombination af vektorerne i
basen (D1D2«D? ). Der findes således koefficienter T1C ,T2C ,… ,T? C for hvilke
EC T1C D1T2C D2ÂÂÂT? C D? M 1,2,… ,n
Matricen 4 = (T E F )∈ 5D er regulæ r og hører til 6 med hensyn til begge baser (D1D2«D? ) og
D
(E1E2«E? ).
(LA sæ tn. 7.4.2)
- 23 -
Af Erik Bennike
Matricen 4 kaldes koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra basen
(D1D2«D? ) til basen (E1E2«E? ). Koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra
basen (E1E2«E? ) til basen (D1D2«D? ) er den inverse matrix 4 –1.
(LA s. 172)
Sæ tn.: 9HNWRUHUXQGHUIRUVNHOOLJHEDVHURJNRRUGLQDWWUDQVIRUPDWLRQVPDWULFHQ
Lad D = (D1D2«D? ) og E = (E1E2«E? ) væ re baser for vektorrummet 5 og lad [ ∈ 5 væ re
?
?
en vilkårlig vektor, der med hensyn til baserne D og E har koordinatsøjlerne ;G og ;H . Hvis
Q × Q matricen 4 = (TB C ) er koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra D til E,
gæ lder der at
;G 4;H
(LA sæ tn. 7.4.4)
Sæ tn.: .RRUGLQDWWUDQVIRUPDWLRQVPDWUL[
Vi tæ nker os en valgt basis (D1D2«D? ) i 5 . Lad 7 :5
?
?
5 væ re en lineæ r afbildning, og
?
lad $ ( B C ) ∈ 5I væ re den til 7 hørende matrix med hensyn til den valgte basis. Lad også
I
(E1E2«E? ) væ re en basis i 5 . Matricen
?
% 4–1$4
(LA sæ tn. 7.4.6)
er den til 7 hørende matrix med hensyn til basen (E1E2«E? ), idet 4 er
koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra (D1D2«D? ) til (E1E2«E? ).
Hvis der findes en regulæ r matrix 4 for hvilken ovenstående ligning gæ lder, så kaldes de to
kvadratiske matricer $ og % regulæ ræ kvivalente.
(LA s. 175)
Sæ tn.: 2UWRJRQDOPDWUL[RJNRRUGLQDWWUDQVIRUPDWLRQVPDWUL[
Lad (5 , (·|·) ) væ re et euklidisk vektorrum udstyret med ortonormalbaser (D1D2«D? ) og
?
(E1E2«E? ). Hvis 4 betegner koordinattransformationsmatricen hørende til skiftet fra
(D1D2«D? ) til (E1E2«E? ), gæ lder der at
4 = 4 –1
J
(LA sæ tn. 7.4.8)
En regulæ r matrix 4 for hvilken det ovenstående gæ lder kaldes en ortogonal matrix. Navnet
er lidt misvisende – egentlig ville en ortonormal matrix have væ ret mere rammende, da der
kræ ves for at en matrix 4 skal væ re ortogonal, at sæ ttet bestående af matricens søjlevektorer
skal væ re et ortonormalt sæ t.
- 24 -
Af Erik Bennike
Hvis en sådan matrix 4 eksisterer, og altså er ortogonal, så kaldes matricerne $ og % ikke
bare regulæ ræ kvivalente, men også ortogonalæ kvivalente.
(LA s. 176n)
- 25 -
Af Erik Bennike
'HWHUPLQDQWHU/$NDSRJ
Vi indfører en lidt speciel notation: Lad $ væ re en vilkårlig P × Q matrix og lad ; betegne en
1 × Q matrix. Hvis den U’ te ræ kke i $ erstattes med ; opfattet som ræ kke, fremkommer en ny
matrix, som betegnes med ,K ( $← ;).
(LA s. 186)
Sæ tn.: :HLHUVWUDVV¶GHWHUPLQDQWV WQLQJ
Determinantafbildningen $ → det $ er den eneste n-linearform defineret på mæ ngden af Q × Q matricer, som tilfredsstiller:
•
•
det ( = 1
For enhver matrix $ = (DB C ) ∈ 5L og ethvert Q > 1 gæ lder der
L
M
det $ = ∑ D N 1 ⋅ (− 1) det ('N
N
N
+1
=1
,1
($))
(LA sæ tn. 8.2.3)
Sæ tn.: 'HWHUPLQDQWDIHQKHGVPDWULFHQPY
Lad Q ∈ 1 og F ∈ 5, og væ lg et U = 1,2,… ,n. Der gæ lder at
•
•
•
det (O = 1
det ,P ( $← ;< ) = det ,P ( $ ← ; ) + det ,P ( $ ← < )
det ( P (F)·$) = F· det $
(LA sæ tn. 9.1.1)
Sæ tn.: 'LYHUVHUHJQHUHJOHUIRUGHWHUPLQDQWHU
For enhver Q × Q matrix $ gæ lder der:
•
•
•
•
•
det ( $ ) =
det $ = 0
det $ = 0
O
Âdet $
, ∈5
, hvis $ indeholder en nulræ kke
, hvis to af ræ kkerne i $ er ens
(LA kor. 9.1.2)
det ( Q R (F) · $ ) = det $ , for L M og F ∈ 5
det ( cQ R · $ ) = – det $ , for L M , idet L, M = 1,2,… ,Q
(LA sæ tn. 9.1.3)
Altså, hvis to ræ kker ombyttes, så skifter determinanten fortegn.
- 26 -
Af Erik Bennike
Sæ tn.: 'HWHUPLQDQWHUDIRSHUDWLRQVPDWULFHU
For ethvert Q ∈ 1 og L, M = 1,2,… ,Q gæ lder der
det (Q R (F)) = 1
, for L M og F ∈ 5
•
det c Q R = – 1
, L M
•
det (6$) = det 6 · det $
•
•
det Q (F) = F
,F∈5
(LA kor. 9.1.4)
Lad 6 og $ væ re Q × Q matricer. Hvis 6 er en operationsmatrix, gæ lder der
(LA kor. 9.1.5)
Sæ tn.: 'HWHUPLQDQWHQVEHW\GQLQJIRUUHJXODULWHWHQDIHQPDWUL[
En Q × Q matrix $ er regulæ r, hvis og kun hvis
•
det $
(LA teor. 9.1.6)
Sæ tn.: )OHUHUHJQHUHJOHUIRUGHWHUPLQDQWHU
For Q × Q matricer $ og % gæ lder der
det ( $Â% ) = det $ · det %
•
det $–1 = ( det $ )–1
(LA teor. 9.1.8)
•
Regulæ ræ kvivalente matricer har samme determinant
(LA kor. 9.1.9)
•
•
, hvor $ er regulæ r
det $ = det $
S
(LA sæ tn. 9.1.10)
Sæ tn.: 'HWHUPLQDQWDIGLDJRQDORJWUHNDQWVPDWUL[
Determinanten af en trekantsmatrix er lig med produktet af diagonalelementerne, følgelig er
determinanten af en diagonalmatrix også lig med produktet af diagonalelementerne:
T
•
det $ = ∏ D U U
U
=1
, hvor $ er en Q × Q diagonal- eller trekantsmatrix.
(LA sæ tn. 9.1.11)
Sæ tn.: 6¡MOHRSHUDWLRQHURJGHWHUPLQDQW
Lad $ væ re en Q × Q matrix. Der gæ lder
•
•
•
det $= 0
det $ = 0
, hvis $ indeholder en nulsøjle
, hvis to af søjlerne i $ er ens
Ombyttes to forskellige søjler i $, så skifter determinanten fortegn
- 27 -
Af Erik Bennike
•
Hvis man til en søjle i $ adderer en linearkombination af de øvrige søjler, så
forandres determinanten ikke.
(LA kor. 9.2.1)
Sæ tn.: /DSODFHVXGYLNOLQJVV WQLQJ
Først indfører vi komplementet af en Q × Q matrix $:
$ Q R = ( –1)
Q VWR
· det 'Q X R ($)
, idet L, M = 1, 2, … , Q
For en Q × Q matrix $ = (DQ R ) gæ lder der
•
•
det $ = DP 1$P 1 + DP 2$P 2 + … + DP O $P O
det $ = D1Y $1Y + D2Y $2Y + … + DO Y $O
(LA s. 206)
, U = 1, 2, … , Q
Y
, V = 1, 2, … , Q
Det øverste kalder vi for at udvikle efter U’ te ræ kke.
(LA sæ tn. 9.2.2)
Det nederste kalder vi for at udvikle efter V’ te søjle.
Sæ tn.: ,QYHUWHULQJDIUHJXO UHPDWULFHU
Først indfører vi matricen = ( $Q R ) hvis element i den L’ te ræ kke og den M’ te søjle er
komplementet, hvor $ er given Q × Q matrix:
$ Q R = ( –1)
Q VWR
· det 'Q X R ($)
, idet L, M = 1, 2, … , Q
For enhver Q × Q matrix $ gæ lder der
•
$ = ( det $ ) · (O
S
(LA s. 211m)
(LA sæ tn. 9.4.1)
hvor (O er Q × Q enhedsmatricen.
Lad $ væ re en regulæ r Q × Q matrix. Den inverse matrix er givet ved
•
$ −1 =
1 ~Z
⋅$
det $
(LA sæ tn. 9.4.2)
Sæ tn.: &UDPHUVIRUPOHU
Lad $; % væ re et Cramersk ligningssystem. At et ligningssystem er Cramersk vil sige et
ligningssystem bestående af Q ligninger med Q ubekendte, hvis dog koefficientmatricen er
regulæ r, dvs. har determinant forskellig fra nul.
De ubekendte [1, [2, … , [O er givet ved formlen:
- 28 -
(LA s. 213)
Af Erik Bennike
•
D11 D1(\ −1) E1 D1(\ +1) D1[
D2 (\ −1) E2 D2 (\ +1) D2 [
−1 D
[\ = (det $) 21
D [ 1 D [ (\ −1) E[ D [ (\ +1) D [W[
(LA sæ tn. 9.5.1)
for L = 1, 2, … , Q
Husk dog d’ herrer M. Nørgaard Olesen og Frank Hansens kommentar til Cramers formler:
” &UDPHUVIRUPOHU«XGJ¡UHQHNVWUDRUGLQ UX¡NRQRPLVNPHWRGHWLODWO¡VHOLQH UH
OLJQLQJVV\VWHPHU«EHQ\WWHVGHUIRUQ VWHQXGHOXNNHQGHLIRUELQGHOVHPHGWHRUHWLVNH
RYHUYHMHOVHU”
- 29 -
Af Erik Bennike
6SHNWUDOWHRUL±/$NDS
Def.: (JHQY UGL
Lad 7 : 5 O
5 væ re en lineæ r afbildning og lad ∈ 5. Hvis der findes en egentlig vektor
O
[ ∈ 5 for hvilken 7[ = [ , så siges [ at væ re en egenvektor for 7, og kaldes den
O
tilhørende egenvæ rdi.
(LA def. 10.1.1)
Def.: (JHQUXP
Til en given lineæ r afbildning 7 : 5 5 og et givet ∈ 5 indføres mæ ngden
O
O
•
9 ] ( ) = {[ ∈ 5 | 7[ = [}
•
Denne kaldes egenrummet for 7 hørende til skalaren .
O
(LA def. 10.1.2)
Denne er et underrum af 5 , idet 9 ] ( ) = 1 (7 – ,)
O
•
Dimensionen af 9 ] ( ) kaldes egenvæ rdimultipliciteten for og betegnes med
•
HP ] ( ).
er en egenvæ rdi for 7 hvis og kun hvis egenvæ rdimultipliciteten HP ] ( ) > 0.
•
Der gæ lder specielt, at 9 ] (0) = 1 (7). Derfor er nul en egenvæ rdi for 7, hvis og
•
kun hvis 7 ikke er injektiv.
Mæ ngden af egenvæ rdier for en endomorfi 7 kaldes spektret for 7 og betegnes
•
(7).
med
(LA s. 222ø)
Sæ tn.: 6XPDIHJHQUXPRJHJHQY UGLPXOWLSOLFLWHWHU
Lad 7 : 5 O
1,
2,
…,
^
5 væ re en lineæ r afbildning med indbyrdes forskellige egenvæ rdier
O
. Egenrummene 9 ] ( 1), 9 ] ( 2), … , 9 ] ( ^ ) danner direkte sum, og summen af
egenvæ rdimultipliciteterne:
HP ] ( 1) + HP ] ( 2) + ··· + HP ] ( ^ ) Q
(LA sæ tn. 10.1.4)
Def.: 'HWNDUDNWHULVWLVNHSRO\QRPLXP
Lad 7 væ re en endomorfi af 5 og lad $ væ re den til afbildningen 7 hørende matrix med
O
hensyn til en valgt basis. Polynomiet
S ] ( W ) = det ( $ – W( )
kaldes det karakteristiske polynomium for 7.
- 30 -
(LA def. 10.2.1)
Af Erik Bennike
Sæ tn.: (JHQY UGLRJGHWNDUDNWHULVWLVNHSRO\QRPLXP
er egenvæ rdi for en lineæ r afbildning 7 : 5 En skalar
det karakteristiske polynomium S ] .
O
5 , hvis og kun hvis
O
er rod i
(LA sæ tn. 10.2.2)
Da et polynomium af Q’ te grad højst har Q reelle rødder, ser vi umiddelbart, at en endomorfi
af 5 højst har Q egenvæ rdier.
O
(LA s. 224n)
Def.: 5RGPXOWLSOLFLWHW
Rodmultipliciteten for en rod i et polynomium S( W ) er det naturlige tal UP ( ) for hvilket
S( W ) kan skrives på formen
S (W ) = (W − λ )
_ ` (λ )
⋅ 4 (W )
hvor 4(W) er et polynomium, som ikke har som rod.
(LA s. 225)
Rodmultipliciteten angiver det antal gange er rod i det karakteristiske polynomium.
Sæ tn.: (JHQY UGLPXOWLSOLFLWHWRJURGPXOWLSOLFLWHW
Lad 7 : 5 O
•
•
5 væ re en lineæ r afbildning. Der gæ lder
O
HP ] ( ) UP ] ( )
HP ] ( ) = Q – dim 5(7 – , )
for ethvert ∈ 5.
(LA sæ tn. 10.2.3)
6\PPHWULVNDIELOGQLQJRJLQYDULDQWXQGHUUXP
Def.: Lad (·|·) væ re et indre produkt i 5 . Husk, at en lineæ r afbildning 7 : 5 5 kaldes
O
O
symmetrisk hvis (7[| \) = ([_7\) ∀ [,\ ∈ 5 .
O
O
(LA s. 228n)
Sæ tn.: Der gæ lder, at 7 er symmetrisk, hvis og kun hvis den tilhørende matrix med hensyn til en
given ortonormalbasis er symmetrisk.
(LA s. 229ø)
Def.: Et underrum 8 af 5 kaldes invariant under en endomorfi 7 af 5 hvis 78 ⊆ 8.
O
O
Egenrummet 9 ] ( ) hørende til en egenvæ rdi ∈ 5 er et simpelt eksempel på et invariant
underrum.
(LA s. 229ø)
Sæ tn.: ,QYDULDQWXQGHUUXPV\PPHWULVNHQGRPRUILRJRUWRJRQDOWNRPSOHPHQW
Lad 7 væ re en symmetrisk endomorfi af et euklidisk vektorrum (5 , (·|·)).
O
•
Hvis 8 er et invariant underrum, så er også det ortogonale komplement 8 ⊥
invariant under 7.
- 31 -
Af Erik Bennike
•
er forskellige egenvæ rdier for 7, så er egenrummene 9 ] ( ) og
Hvis og
9 ] ( ) ortogonale.
Sæ tn.: 6\PPHWULVNHQGRPRUILRJGHWNDUDNWHULVWLVNHSRO\QRPLXP
Lad 7 væ re en symmetrisk endomorfi af et euklidisk vektorrum (5 , (·|·)).
O
Det karakteristiske polynomium har en reel rod.
(LA sæ tn. 10.3.2)
Sæ tn.: 6SHNWUDOV WQLQJHQ
Lad 7 : 5 O
5 væ re en symmetrisk lineæ r afbildning og lad
O
indbyrdes forskellige egenvæ rdier for 7. Der gæ lder:
•
1,
2,
…,
^
væ re de
HP ] ( Q ) = UP ] ( Q ) for L = 1, 2, … , S
•
HP ] ( 1) + HP ] ( 2) + ··· + HP ] ( ^ ) = Q
•
Egenrummene danner direkte sum og
9 ] ( 1) ⊕ 9 ] ( 2) ⊕ ··· ⊕ 9 ] ( ^ ) = 5
O
•
Der findes en ortonormalbasis for 5 bestående af egenvektorer for 7. Med
O
hensyn til denne basis er den tilhørende matrix af formen
λ
 1
0
0

0
0
' =
0

0
0

0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
λ1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
λ2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
λ2
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0 λa
0
0
0
0
0 0

0 0
0 0

0 0
0 0 
0 0

0 0
0 0

0
0 λa 
Diagonalelementerne er egenvæ rdierne for 7 hver medtaget så mange gange som
egenvæ rdimultipliciteten angiver.
Sæ tn.: 6\PPHWULVNPDWUL[GLDJRQDOPDWUL[RJRUWRJRQDO NYLYDOHQV
(La sæ tn. 10.3.3)
En symmetrisk matrix $ ∈ 5 b er ortogonalæ kvivalent med en diagonalmatrix. Der findes
b
altså en matrix 4 ∈ 5 b for hvilken 4 = 4 d 1 og så matricen
b
c
- 32 -
Af Erik Bennike
' = 4 –1$4
er en diagonalmatrix. De Q diagonalelementer i ' er rødderne i det karakteristiske
polynomium
Se ( W ) = det ( $ – W(f )
,W∈5
hver medtaget så mange gange, som rodmultipliciteten angiver. Søjlerne i ortogonalmatricen
4 er koordinatsøjler for vektorerne i en ortonormalbasis af egenvektorerne for $ med hensyn
til den kanoniske basis.
(LA kor. 10.3.4)
Def.: 'HILQLWKHGVIRUKROG
•
•
•
•
•
En symmetrisk Q × Q matrix $ kaldes positiv definit, hvis
&
f
($[ | [) > 0 ∀ [ ∈ 5 , [ ≠ 0
Tilsvarende kaldes $ negativ definit, hvis –$ er positiv definit.
Matricen $ kaldes positiv semidefinit, hvis
($[ [ )≥ 0
∀ [∈ 5
f
og kaldes negativ semidefinit, hvis ±$ er positiv semidefinit.
Matricen $ kaldes indefinit, hvis der findes vektorer [, \ ∈ 5 for hvilke
f
($[ [ )> 0
RJ
($\ \ )< 0
(LA def. 10.3.5)
Sæ tn.: 'HILQLWKHGVIRUKROGRJHJHQY UGLHU
Lad $ væ re en symmetrisk Q × Q matrix. Der gæ lder
•
•
•
•
•
$ er positiv definit, hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er positive
$ er positiv semidefinit, hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er ikke-negative
$ er negativ definit, hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er negative
$ er negativ semidefinit, hvis og kun hvis samtlige egenvæ rdier er ikke-positive
$ er indefinit, hvis og kun hvis $ har både positive og negative egenvæ rdier
(LA sæ tn. 10.3.6)
- 33 -
Af Erik Bennike
.YDGUDWLVNHIRUPHU/$NDS
Def.: .YDGUDWLVNIRUP
Ved en kvadratisk form . : 5 → 5 defineret på det Q–dimensionale vektorrum 5 forstås
f
f
en reel funktion med en forskrift af formen
g
. ([ ) = . ([1 , [2 , , [ g ) = ∑ F i h [i [h
i ,h
(LA def. 11.1.1)
=1
hvor [ = ([1, [2, … , [f ) ∈ 5 . Tallene Fj k kaldes koefficienterne for kvadratiske form ..
f
Sæ tn.: 0DWUL[RJNYDGUDWLVNIRUP
En kvadratisk form . : 5 → 5 kan skrives på formen
f
. ([) = ; & ;
c
hvor & = (F j k ) er en Q × Q matrix, og
 [1 
 
[ 
; = 2
 
 [l 
 
(LA sæ tn. 11.1.3)
er koordinatsøjlen for vektoren [ med hensyn til den kanoniske basis for 5 .
f
Sæ tn.: .YDGUDWLVNIRUPRJHQW\GLJWEHVWHPWV\PPHWULVNPDWUL[
Lad . : 5 → 5 væ re en kvadratisk form. Der findes en entydigt bestemt symmetrisk Q × Q
f
matrix $ for hvilken
. ([) = ; $ ;
c
∀[∈5
f
idet ; betegner koordinatsøjlen for vektoren [.
(LA sæ tn. 11.1.5)
Sæ tn.: .YDGUDWLVNIRUPHQW\GLJWEHVWHPWV\PPHWULVNPDWUL[RJVNDODUSURGXNWHW
Lad . væ re en kvadratisk form på 5 , og lad $ væ re den ovennæ vnte tilhørende entydigt
f
bestemte symmetriske Q × Q matrix. Der gæ lder
. ([) = $[ · [
∀[∈5
f
(LA sæ tn. 11.1.7)
- 34 -
Af Erik Bennike
Def.: .YDGUDWLVNIRUPRJLVRWURSYHNWRU
Lad . : 5 → 5 væ re en kvadratisk form, og lad $ væ re den til . hørende symmetriske
f
Q × Q matrix. En vektor Y ∈ 5 siges at væ re selvadjungeret eller isotrop med hensyn til .
f
hvis
. (Y) = 0
(LA def. 11.1.8)
Def.: 'HILQLWKHGVIRUKROGIRUNYDGUDWLVNHIRUPHU
Lad . : 5 → 5 væ re en kvadratisk form. Vi siger, at . er
f
positiv definit, hvis . ([) > 0
•
negativ definit, hvis .([) < 0
•
positiv semidefinit, hvis . ([)
•
negativ semidefinit, hvis . ([)
&
for alle vektorer [ 0 .
•
(LA def. 11.2.1)
indefinit, hvis der findes vektorer \ og ] i 5 for hvilke . (\) > 0 og . (]) < 0.
•
f
Sæ tn.: 'HILQLWKHGVIRUKROGIRUNYDGUDWLVNIRUPRJV\PPHWULVNPDWUL[
En kvadratisk form har samme definithed som den tilhørende symmetriske matrix.
(LA sæ tn. 11.2.2)
Sæ tn.: 'HILQLWKHGVIRUKROGIRUNYDGUDWLVNIRUPRJHJHQY UGLHU
Lad . : 5 → 5 væ re en kvadratisk form, og lad $ væ re den til . hørende symmetriske
f
matrix. Egenvæ rdierne for $ regnet med multiplicitet betegnes
•
•
•
•
•
•
. er nulformen, hvis og kun hvis
1
= 0, … ,
. er positiv definit, hvis og kun hvis
. er negativ definit, hvis og kun hvis
1
1
f
< 0, … ,
. er negativ semidefinit, hvis og kun hvis
1
1
2,
…,
f
. Der gæ lder
=0
> 0, … ,
. er positiv semidefinit, hvis og kun hvis
1,
>0
f
f
<0
«
«

f
f

. er indefinit, hvis og kun hvis $ har mindst én positiv og mindst én negativ
egenvæ rdi.
(LA sæ tn. 11.2.5)
Def.: +RYHGXQGHUGHWHUPLQDQWOHGHQGHKRYHGXQGHUGHWHUPLQDQW
En hovedunderdeterminant kaldes også en principal underdeterminant, og denne
fremkommer ved at vi stryger et vist antal søjler og tilhørende ræ kker. Dvs. at hvis man vil
- 35 -
Af Erik Bennike
stryge 3. søjle, skal også 3. ræ kke stryges. Determinanten af den nu fremkomne matrix
kaldes en hovedunderdeterminant eller en principal underdeterminant.
Antallet af hovedunderdeterminanter til en Q × Q matrix er givet ved 2 – 1.
f
En ledende hovedunderdeterminant også kaldet en ledende principal underdeterminant til en
kvadratisk matrix $ fremkommer således:
'm =
D11
D21
D12
D 22
D1m
D2 m
Dm 1
D m 2 D mnm
, N = 1, 2, , Q
(MA2 s. 154-155)
Sæ tn.: 3RVLWLYGHILQLWRJOHGHQGHKRYHGXQGHUGHWHUPLQDQWHU
En symmetrisk Q × Q matrix $ er positiv definit, hvis og kun hvis de ledende
hovedunderdeterminanter alle er positive.
(LA teor. 11.3.4)
Sæ tn.: 3RVLWLYVHPLGHILQLWRJKRYHGXQGHUGHWHUPLQDQWHU
En symmetrisk Q × Q matrix $ er positiv semidefinit, hvis og kun hvis samtlige
hovedunderdeterminanter er ikke-negative.
(LA teor. 11.3.5)
Sæ tn.: 1HJDWLYGHILQLWRJVHPLGHILQLWRJOHGHQGHKRYHGXQGHUGHWHUPLQDQWHU
Lad $ væ re en symmetrisk Q × Q matrix. Der gæ lder
•
Matricen $ er negativ definit, hvis og kun hvis de ledende
hovedunderdeterminanter opfylder
D11
D
o
o
(− 1) ⋅ 'p (1 2 S ) = (− 1) ⋅ 21
Do 1
for S = 1, 2, … , Q
•
D12
D 22
Do 2
D1o
D2 o
>0
DoWo
Matricen $ er negative semidefinit, hvis og kun hvis samtlige
hovedunderdeterminanter opfylder
q
(− 1)
⋅ 'r (L1 L2 Lq )≥ 0
for S = 1, 2, … , Q
1 ≤ L1 < < Lq ≤ Q
(LA kor. 11.3.6)
- 36 -
Af Erik Bennike
Hvis man fx skal afgøre om en 5 × 5 matrix er negativ definit tager de tilhørende ledende
hovedunderdeterminanter. Så skal de ledende underdeterminanter have følgende fortegn:
1×1
2×2
3×3
4×4
5×5
(–1)1 = –1, dvs. ± (–1)2 = 1, dvs. (–1)3 = –1, dvs. ± (–1)4 = 1, dvs. (–1)5 = –1, dvs. ±
Sæ tn.: 'HWHUPLQDQWHQDIHQV\PPHWULVNPDWUL[
Determinanten af en symmetrisk matrix er lig med produktet af egenvæ rdierne.
- 37 -
Af Erik Bennike
Oversigtsopgave til Lineæ r Algebra v/ Arne Frøsig Rasmussen
 2 0 4


9LVWDUWHUPHGDWGHILQHUHHQPDWUL[$ $ =  0 6 0   4 0 2


%HUHJQGHWHUPLQDQWHQDI$
9L/DSODFHXGYLNOHUHIWHUV¡MOH
2 0 4
2 4
det $ = 0 6 0 = 6 ⋅
= 6 ⋅ (4 − 16 ) = − 72 4 2
4 0 2
%HVWHPUDQJHQDIPDWUL[$
'DGHW$HU$UHJXO U(UJRKDYHVUJ$ (UPDWUL[$UHJXO U"$QJLYLEHNU IWHQGHIDOG$s t
v
-D$HUUHJXO UMIVS¡UJVPnO9LXGUHJQHU$u  2 0 4 1 0 0  − 2 * 12


($ ( w )=  0 6 0 0 1 0 
* 16
 4 0 2 0 0 1


 1 0 0 − 16 0 13 


 0 1 0 0 16 0 
0 0 1 1 0 − 1 
3
6

6nOHGHVVHVGHWLJHQDWKDUHQLQYHUVPDWUL[$u GHUHUJLYHWYHG
 − 16

$ −1 =  0
 1
 3
9LNRQWUROOHUHUDW$Â$u (x  2 0 4   − 16

 
$ ⋅ $ −1 =  0 6 0  ⋅  0
 4 0 2  1

  3
NRQWUROHU2.$u HUNRUUHNWXGUHJQHW


0 
0 − 16 
0
 1 0 2 12 0 0 


 0 1 0 0 16 0 
0 0 − 6 − 2 0 1


v
1
3
1
6
v
v
 1 0 0
 

0  =  0 1 0 0 − 16   0 0 1 
0
1
3
1
6
- 38 -
1
3
* − 16
Af Erik Bennike
%HVWHPGLPHQVLRQHQDIELOOHGUXPPHWIRUPDWUL[$
'HWYLGHVJHQHUHOWDWGHOLQH UWXDIK QJLJHV¡MOHYHNWRUHUL$XGVS QGHU
ELOOHGUXPPHWIRU$'DUJ$ MIVS¡UJVPnOInVGHUIRUDWGLP5$ $OWHUQDWLYW
 2 0 4  − 2 * 12


* 16
$ = 0 6 0
 4 0 2


1 0 2 


0 1 0 
0 0 − 6


1
3
* (− 16 )
1 0 0


0 1 0
0 0 1


+HUDIVHVDWUJ$ DOWVnDQWDOOHWDIV¡MOHUL)GHULQGHKROGHUHWLQLWLDOHWWDORJLJHQ
InV
GLP5$ %HVWHPELOOHGUXPPHW5$
RJEHVNULYGHWVQDWXU
y
'DGLP5$ VnHUELOOHGUXPPHWIRU$OLJKHOHR )¡OJHOLJHU$VXUMHNWLY
'HWLOLQLWLDOHWWDOOHQHLVS¡UJVPnOK¡UHQGHHUYLVWOLQH UWXDIK QJLJHV¡MOHYHNWRUHU
LGHQRSULQGHOLJHPDWUL[$XGVS QGHUELOOHGUXPPHW5$
 2   0   4 
y
     
5 ($) = VSDQ 0 ,  6 ,  0  R  4   0   2 
     
%HVWHPHQEDVLVIRUELOOHGUXPPHWIRU$5$
 2  0  4
     
'HWOLQH UWXDIK QJLJHV¡MOHYHNWRUV W   0 ,  6 ,  0   XGJ¡UHQEDVLVIRU5$
 4  0  2
     
%HVWHPQXOUXPPHW1$IRU$RJGHWVGLPHQVLRQ
9LKDULIOJ*UDVVPDQQVGLPHQVLRQVV WQLQJDWGLP1$ Q±UJ$ ± &
'HUIRUHUQXOUXPPHWNXQOLJQXOYHNWRUHQDOWVn 1 ($) = 0 6nOHGHVHU$LQMHNWLY
{}
%HVWHP±RPPXOLJW±HQEDVLVIRUQXOUXPPHWIRU$
- 39 -
Af Erik Bennike
'DGLP1$ MIVS¡UJVPnOILQGHVGHULQJHQEDVLVIRU1$
/LJJHUKKYLQXOUXPPHWIRU$"
•
•
OLJJHUL1$MIVS¡UJVPnORJHUL¡YULJWGHWHQHVWHSXQNWGHUOLJJHUL
QXOUXPPHW1$
OLJJHULNNHL1$MIRYHQIRU
 [1 
 
%HJUXQGNRUWDWOLJQLQJHQ$[ E , [ =  [2  , KDUO¡VQLQJIRUHWKYHUWYDOJDIE
[ 
 3
'DUJ$ UJ$z KDU$[ EDOWLGHQO¡VQLQJMINRPSHQGLHWV
$OWHUQDWLYW
'HQ WLO$ K¡UHQGH OLQH UH DIELOGQLQJ 7 HU VXUMHNWLY MI VS¡UJVPnO RJ GHUIRU Pn
GHUY UHPLQGVWpQO¡VQLQJ
(UGHQLVS¡UJVPnORPWDOWHO¡VQLQJHQW\GLJWEHVWHPW"
-DGDDIELOGQLQJHQVRPLYLUNHOLJKHGHQHUHQHQGRPRUILVRPQ YQWLKKYVS¡UJVPnO
RJEnGHVXUMHNWLYRJELMHNWLYRJHUGHUIRURJVnELMHNWLYMINRPSHQGLHWV
y
0HQVnI¡OJHUGHWDWER [Vn7[ E
$OWHUQDWLYW
'DGHW$VnI¡OJHUHQW\GLJKHGHQVWUDNV
 E1 
 
%HWUDJWOLJQLQJVV\VWHPHW$[ E E =  E2  YLONnUOLJ%HVWHPDQWDOOHWDIH[RJHQHYDULDEOHRJ
E 
 3
DQJLY±RPPXOLJW±KYLONHDIYDULDEOHQH[ v [{ [y GHUNDQY OJHVVRPH[RJHQHYDULDEOH
'DGLP1$ Q±UJ$MRJHQHUHOWDQJLYHUDQWDOOHWDIH[RJHQHYDULDEOHRJGD
GLP1$ MIVS¡UJVPnOVnNDQLQJHQDIYDULDEOHQH[ v [{ [y Y OJHVVRPH[RJHQH
YDULDEOH
%HVWHPVDPWOLJHHJHQY UGLHUIRUPDWULFHQ$RJGHUHVURGPXOWLSOLFLWHW
- 40 -
Af Erik Bennike
2−W
0
4
6−W
0 = 0 <=> WHUHQHJHQY UGLIRU$ !S| W ! 0
4
0
2−W
(2 − W )⋅ (6 − W )⋅ (2 − W )+ 0 + 0 − (4 ⋅ 4 ⋅ (6 − W )+ 0 + 0) = 0 <=>
(2 − W )2 ⋅ (6 − W )− (16 ⋅ (6 − W )) = 0 <=> (6 − W )(( 2 − W )2 − 16)= 0
6−W = 0
∨
(2 − W )2 − 16 = 0 <=>
∨
(2 − W ) = ±4
<=>
W =6
W =6
∨
<=>
− 2
W=
6
'YVW^±` | PHGUP| ± RJUP| %HVWHPHJHQUXPPHWK¡UHQGHWLOVDPWOLJHHJHQY UGLHU
DGW ±
+HUV¡JHV[Vn$[ ±[9LO¡VHUGHUIRU
($ − (− 2)(
(UJRKDYHV
[1
3
 4 0 4 0  − 1 * 14


0) =  0 8 0 0 
* 18
 4 0 4 0


[1 = −W
+ [3 = 0 
 [1   − W 
 − 1




 

[2
= 0 V WWHVGHUIRU[y WInV [2 = 0 GYV. [ =  [2  =  0  = W ⋅  0 , W ∈ R
[   W 
1
0
[3 = W
= 0
 3  
 
 − 1
 
+HUDIVHVDW 9} (− 2 ) = VSDQ 0   1 
 
DGW 1 0 1 0


 0 1 0 0  0 0 0 0


+HUV¡JHV[Vn$[ [9LO¡VHUGHUIRU
 − 4 0 4 0  1 * − 14


0)=  0 0 0 0 
 4 0 − 4 0


($ − 6(
(UJRKDYHV
3
 1 0 −1 0


 0 0 0 0  0 0 0 0


- 41 -
Af Erik Bennike
[1 − [3 = 0

0 = 0 V WWHVGHUIRU[~ W RJ[ W~ InV
0 = 0
 [1   W 2 
 0
1
   
 
 
[ =  [2  =  W1  = W1 ⋅  1  + W 2 ⋅  0 , W1 , W 2 ∈ R
 [  W 
 0
1
 3  2
 
 
 0   1 
   
+HUDIVHVDW 9 (6 ) = VSDQ 1 ,  0   0   1 
   
%HVWHPVDPWOLJHHJHQY UGLHUVHJHQY UGLPXOWLSOLFLWHW
-IVS¡UJVPnOVHVVWUDNVDWHP ± RJHP $OWHUQDWLYW
'D$HUV\PPHWULVNHUHP UP RJGLVVHHUIXQGHWLVS¡UJVPnOWLODWY UHGH
RYHQVWnHQGHMIL¡YULJWNRPSHQGLHWV
%HVWHPIRUVDPWOLJHHJHQY UGLHUHQEDVLVIRUGHWLOK¡UHQGHHJHQUXP
  − 1 
 
(QEDVLVIRU9 ±HUnEHQEDUWV WWHW   0    1 
 
0 1
   
(QEDVLVIRU9 HUnEHQEDUWV WWHW   1 ,  0   0 1
   
%HVWHPGLPHQVLRQHQDIGHLVS¡UJVPnOIXQGQHXQGHUUXPRJXQGHUV¡J
L
LL
LLL
8QGHUV¡JRP9 ±A9 8QGHUV¡JRP9 ±9 R
8QGHUV¡JRP9 ±9 R
 − 1
 0   1  
 
    
'D 9 (− 2 ) = VSDQ  0  RJ 9 (6 ) = VSDQ  1 ,  0   VHVVWUDNVDW
 1 
 0   1  
 
    
- 42 -
Af Erik Bennike
GLP9 ± RJGLP9 $GL
9LVNDOEORWYLVHDWDOOHNRPELQDWLRQHUDIEDVLVYHNWRUHUIRUGHWRHJHQUXPHULQGE\UGHV
RUWRJRQDOH'HWWHJ¡UHVEORWYHGDWYLVHDWVNDODUSURGXNWHUQHJLYHU
 − 1  0   − 1  1   1   0 
           
 0  ⋅1 =  0  ⋅0 = 0⋅1 = 0  1  0  1  1 1 0
           
GYVVYDUHWHUMD
$OWHUQDWLYW
3nVWDQGHQI¡OJHUDIDW$HUV\PPHWULVNMINRPSHQGLHWV
$GLL
9LVNDOEORWYLVHDWYHNWRUV WWHWEHVWnHQGHDIGHWUHEDVLVYHNWRUHUIUDGHHJHQUXPHU
OLQH UWXDIK QJLJWIRUGHUPHGYLOGHWUHEDVLVYHNWRUHUMRGDQQHHQEDVLVIRUR LGHW

GLPR
2JGHWWHHUWLOI OGHWWKL
−1 0 1
−1 1
0 1 0 = 1⋅
= −2 ≠ 0 (UJRHUVYDUHWMD
1 1
1 0 1
$OWHUQDWLYW
3nVWDQGHQI¡OJHUVWUDNVDIDW$HUV\PPHWULVNMINRPSHQGLHWV
6SHNWUDOV WQLQJHQ
$GLLL
'DGHWXQGHULLHUYLVWDWHJHQUXPPHQHVXPPHUWLOR PDQJOHUYLEDUHDWYLVHDW
&
9 (− 2 ) 9 (6) = 0 %HYLV

{}
[9 ± 9 ![9 ±[9 !
 − 1
 0
1
 − 1
0
1
 
 
 
 
 
 
∃λ1 , λ2 , λ3 ∈ 5 : [ = λ1 ⋅  0  ∧ [ = λ2 ⋅  1  + λ3 ⋅  0  <=> λ1 ⋅  0  = λ2 ⋅  1  + λ3 ⋅  0  <=>
1
 0
1
1
0
1
 
 
 
 
 
 
 − 1
 0
1
 
 
  &
λ1 ⋅  0  − λ2 ⋅  1  − λ3 ⋅  0  = 0
1
 0
1
 
 
 
- 43 -
Af Erik Bennike
  − 1  0   1  
     
'DV WWHW   0 ,  1 ,  0   HUOLQH UWXDIK QJLJWVnKDURYHQVWnHQGHOLJQLQJNXQpQ
 1  0 1
     
&
O¡VQLQJQHPOLJ ~ RJGHUPHGInV [ = 0 6YDUHWHUGHUIRUMD
$OWHUQDWLYW
3nVWDQGHQI¡OJHUGLUHNWHDIVSHNWUDOV WQLQJHQMILL
*¡UUHGHIRUDWPDWULFHQ$HUGLDJRQDOLVHUEDU
0DWUL[$HUGLDJRQDOLVHUEDUMIVSHNWUDOV WQLQJHQNRPSHQGLHWV
%HVWHPHQRUWRJRQDOPDWUL[4Vn4 $4HUHQGLDJRQDOPDWUL[RJDQJLY4RJ4

  0   1   − 1 
     
%HWUDJWHJHQYHNWRUEDVHQ   1 ,  0 ,  0   %HP UNDWYHNWRUHUQHLGHQQHRSJDYH
 0 1  1 
     
WLOI OGLJYLVHULQGE\UGHVRUWRJRQDOHIUDVWDUWDI9DUGHWWHLNNHWLOI OGHWNDQPDQ
EUXJH*UDP6FKPLGWRUWRQRUPDOLVHULQJMINRPSHQGLHWV9LVNDOVnOHGHVL
 0  1   − 1 
   2   2 
GHQQHRSJDYHNXQQRUPHUHYHNWRUHUQHRJInU   1 ,  0 ,  0   VnLGHWV¡MOHUQHL4
    1   1  
 0 2

   2 

0

VRPEHNHQGWHUGHRUWRQRUPDOLVHUHGHHJHQYHNWRUHUInV 4 =  1

0
1
2
0
1
2
−


0  'HUYHGInV
1 

2 
1
2
6 0 0 


LI¡OJHVSHNWUDOV WQLQJHQDW 4 $4 =  0 6 0  'D4HURUWRJRQDOKDYHVDW
 0 0 − 2


−1
 0

4 = 4 =  12
 1
− 2
−1

0

1

2
1 

2
1
0
0
%HVWHPuPDWULFHQ4 $4

- 44 -
Af Erik Bennike
'D4 $4HUHQGLDJRQDOPDWUL[MIVS¡UJVPnOVnInVOHW

 16 0

−1
4 −1 $4 =  0 16
0 0

(
)
0

0  MINRPSHQGLHWV
−1 
2 
%HVWHPWDOOHQHGHW4 $4RJGHW4 $4

9LVWDUWHUPHGDWEHVWHPPHGHW4 $4

6 0 0
0 6 0 = 6 ⋅ 6 ⋅ (− 2 ) = − 72 MINRPSHQGLHWV
0 0 −2
'D4 $4HUHQNYDGUDWLVNPDWUL[HUGHW$ GHW$ MINRPSHQGLHWV

GYV det 4 −1 $4
(
) = (det(4
−1
−1
$4
))
−1

= − 721  5 1 4


9LGHILQHUHUQXHQQ\uPDWUL[%YHG % =  − 1 0 2  %HVWHPPDWULFHQ$$Â%
 2 3 1


 2 0 4   2 0 4   5 1 4   2 0 4   18 14 12 

 
 
 
 

$ + $ ⋅ % =  0 6 0  +  0 6 0  ⋅  − 1 0 2  =  0 6 0  +  − 6 0 12  =
 4 0 2   4 0 2   2 3 1   4 0 2   24 10 18 

 
 
 
 

 20 14 16 


 − 6 6 12 
 28 10 20 


%HWUDJWGHWRI¡UVWHV¡MOHYHNWRUHULPDWULFHQ$$Â%VRPYLNDOGHUF RJF *¡UUHGHIRUDW
V WWHWF F HUOLQH UWXDIK QJLJW
 20 
14 
 
 
9HNWRUHUQH  − 6  RJ  6  HURSODJWLNNHSURSRUWLRQDOHHUJRHUGHOLQH UWXDIK QJLJH
 28 
10 
 
 
*¡UUHGHIRUDW8 VSDQ^F F `HUHWXQGHUUXPDIR
L
%HVWHPP QJGHQDIWDOSDUDEVnDE8
- 45 -
Af Erik Bennike
 20  14 

   
8 = VSDQ − 6 ,  6  HUHWXQGHUUXPDIR MINRPSHQGLHWV
 28  10 
   
$GL
 20 14
 20 
14   1 

 
   
α ⋅  − 6  + β ⋅  6  =  D  'HUIRUEHWUDJWHV  − 6 6
 28 10
 28 
10   E 
 
   

1

0
0



3
D + 10  * 515
E − 75  * −485
7
10
1
20
51
5
− 48
5
1 0

0 1

0 0
15−35
510
 1 107

0 1
0 1



10 + 3

102

3840 + 4080 − 4560 
−(
)
39168
+HUDIInVDE8 !


20 + 6
 − 107 − 1
204

− 20192−28 
1
20
1

D
E 
1 0

0 1
0 0

6
20
− 28
20
* 201
−140 + 60
2040


=

20 − 28
20 + 6 
− 192 − 204 
20 + 6
204
3840D + 4080E − 4560
= 0 !
39168
4080
17
19
3840D = −4080E + 4560 <=> D = − 3840
E + 4560
3840 = − 16 E + 16 (UJRInV
{(D, E)D =
−17
16
E + 19
16 }
%HVWHPHQRUWRQRUPDOEDVLVIRU9 IUDVS¡UJVPnO
'DEDVLVYHNWRUHUQHL9 HU´I¡GW´RUWRJRQDOHEHK¡YHUYLLNNHDWEUXJH*UDP
6FKPLGWVRUWRJRQDOLVHULQJVPHWRGH9LVNDOEORWQRUPHUHRJInUI¡OJHQGHEDVLV
 0
 
  1 ,
 0
 
1
 
1
0 
2 
1
 
%HVWHPGHWRUWRJRQDOHNRPSOHPHQWWLO9 RJWLO9 ±IUDVS¡UJVPnO
$G9 - 46 -
Af Erik Bennike
 0
1
 
 
0 [1 + 1[2 + 0 [3 = 0
[9 ! [⊥ 1  ∧ [⊥ 0  <=>
 9LEHWUDJWHUGHUIRU
1[1 + 0 [2 + 1[3 = 0 
 0
1
 
 
 0 1 0 0


1 0 1 0



1 0 1 0


 0 1 0 0  6 WWHVGHUIRU[ WInV




 − 1
 [1   − W 
 − 1
   
 

 

⊥
[ =  [2  =  0  Vn 9 (6 ) =  [ [ = W ⋅  0 , W ∈ 5  = VSDQ 0  [   W 

1

 1 
 3  
 


 
$G9 ±  − 1
 
[9 ± ! [⊥ 0  <=> − [1 + [3 = 0 6 WWHVGHUIRU[ WRJ[ VInV
1
 


 0   1 
 [1   V 
 0
1
   
 
 


   
⊥
[ =  [2  =  W  Vn 9 (− 2 ) =  [ [ = W ⋅  1  + V ⋅  0 , W ∈ 5  = VSDQ  1 ,  0   [  V

 0
1

 0   1 
 3  
 
 


   

 − 3 
 
28) 9LVDWXQGHUUXPPHW8 VSDQ  6  ⊆ 9 IUDVS¡UJVPnO
 − 3 
 
 − 3
 
'D9 HUHWXQGHUUXPHUGHWQRNDWYLVHDW  6  ∈9 (6 )RJGHWWHHUNODUWLGHW
 − 3
 
 − 3
 0
1
 
 
 
 6  = 6 ⋅  1  + (− 3)⋅  0   − 3
 0
1
 
 
 
/DGPDWUL[$Y UHGHQWLOHQNYDGUDWLVNIRUP4K¡UHQGHPDWUL[%HVWHP$¶VGHILQLWKHGVIRUKROG
,I¡OJHVS¡UJVPnOHU$¶VHJHQY UGLHURJ±'HUIRUHU4HOOHU$LQGHILQLWMI
NRPSHQGLHWV
- 47 -
Af Erik Bennike
/DG$EHWHJQH+HVVHPDWULFHQ IRUHQIXQNWLRQIR oR.DQIY UHHQNRQYHNVHOOHUNRQNDY

IXQNWLRQ"
'D+HVVHPDWULFHQHULQGHILQLWHUGHQVnOHGHVKYHUNHQSRVLWLYVHPLGHILQLWHOOHUQHJDWLY
VHPLGHILQLWRJNDQGHUIRUKYHUNHQY UHNRQYHNVHOOHUNRQNDY-I0$VRJ
0$V
%HWUDJWHQOLQH UDIELOGQLQJ6R oRIRUKYLONHQGHWJ OGHUDW

6H H H 6H H EDVLVIRUR
6H H H KYRUH H H EHWHJQHUGHQNDQRQLVNH
L
%HJUXQGNRUWDWH LNNHHUHQHJHQYHNWRUIRU6
LLL
%HJUXQGDW6HUVXUMHNWLY
LL
%HVWHPGHQWLO6K¡UHQGHPDWUL[$PKWH H H $GL
'HWWHHUNODUWWKL6H H H NÂH NR(UJRHUH LNNHHQHJHQYHNWRUIRU6
$GLL
'DV¡MOHYHNWRUHUQHLGHQWLOK¡UHQGHPDWUL[$HUELOOHGHUQHDIGHNDQRQLVNH
 2 0 4


EDVLVYHNWRUHUInVOHW $ =  0 6 0   4 0 2


$GLLL
%LOOHGUXPPHWIRU$XGVS QGHVDIGHOLQH UWXDIK QJLJHV¡MOHYHNWRUHUL$'DUJ$ LIOJVS¡UJVPnOVnKDYHVDW5$ R (UJRHU6VXUMHNWLY

%HWUDJWHQOLQH UDIELOGQLQJ7R oR IRUKYLONHQGHWJ OGHUDW

1
1  2
   
7  1  =  6 ,
 0  4
   
1  6
   
7  0  =  0 ,
1  6
   

0 8
   
7 1 = 6  2  4
   
Se MA1, s. 395 for en definition af Hessematricen.
- 48 -
Af Erik Bennike
1
 
%HJUXQGNRUWDW  0  HUHQHJHQYHNWRUIRU7
1
 
L
LL
%HVWHP7H 7H RJ7H KYRUH H H EHWHJQHUGHQNDQRQLVNHEDVLVIRUR LY
%HJUXQGDW7HULQMHNWLY

LLL
Y
%HVWHPGHQWLO7K¡UHQGHPDWUL[$PKWH H H 8QGHUV¡JRP7 R oR HUHQOLQH UDIELOGQLQJRJRSVNULYLEHNU IWHQGHIDOG

PDWULFHQK¡UHQGHWLO7 PKWH H H
$GL
1 6 1
     
'HWHUNODUWWKL 7  0  =  0  = 6 0  RJGHQWLOK¡UHQGHHJHQY UGLHU
1 6 1
     
$GLLLLL
1  2
   
9LKDUDOWVnDW $ 1  =  6 ,
0  4
   
1 6
   
$ 0  =  0 ,
1 6
   
 0 8
   
$ 1  =  6  'LVVHRSO\VQLQJHUVDPOHVWLO
 2  4
   
1 1 0  2 6 8

 

HQPDWUL[OLJQLQJ  1 0 1  =  6 0 6  7UDQVSRQHUHVGHQQHOLJQLQJInV
 0 1 2  4 6 4

 

1 1 0
 2 6 4

 

 1 0 1  $ =  6 0 6  9LEHWUDJWHUGHUIRU
 0 1 2
8 6 4




 1 1 0 2 6 4  −1  1 1



1 0 1 6 0 6
 0 −1
0 1 2 8 6 4
0 1



1 0 1 6 0 6 


 0 1 −1 − 4 6 − 2
 0 0 3 12 0 6  * 1 1 − 1

 3
0 2 6 4

1 4 − 6 2 1
2 8 6 4 
1 0 0 2 0

0 1 0 0 6
0 0 1 4 0

- 49 -
1 * −1
4


0 = ( $
2 
(
)
Af Erik Bennike
 2 0 4
 2
0
 4


 
 
 
6n $ = $ =  0 6 0  KYRUDIYLNDQDIO VH 7 (H1 ) =  0 , 7 (H2 ) =  6 , 7 (H3 ) =  0   4 0 2
 4
0
 2


 
 
 

$GLY
{}
&
'DGLP17 Q±UJ$ ± MIVS¡UJVPnOKDYHVDW 1 (7 ) = 0 (UJRHU7
LQMHNWLY
-INRPSHQGLHWV
$GY

'D7R oR HULQMHNWLYHU7DXWRPDWLVNRJVnELMHNWLYGD7HUHQHQGRPRUILMI

NRPSHQGLHWV0HQGDHU7 RJVnOLQH UMINRPSHQGLHWVPHG
 −61 0

$ −1 =  0 16
1 0
3


0  MIVS¡UJVPnOVRPGHQWLOK¡UHQGHDIELOGQLQJVPDWUL[
−1 
6 
1
3
MINRPSHQGLHWV
%HWUDJWHQOLQH UDIELOGQLQJ8R oR IRUKYLONHQGHWJ OGHUDW

 2
 
8 (H1 + H2 ) =  6 ,
 4
 
EDVLVIRUR
L
LL
6
 
8 (H1 + H3 ) =  0 ,
6
 

8
 
8 (H2 + H3 ) =  6  KYRUH H H EHWHJQHUGHQNDQRQLVNH
 4
 
%HVWHPGHQWLO8K¡UHQGHPDWUL[PKWH H H LLL
*¡UUHGHIRUDW8HUHQV\PPHWULVNDIELOGQLQJ
%HJUXQGNRUWDWHJHQUXPPHW9 ±HULQYDULDQWXQGHU8
$GL
- 50 -
Af Erik Bennike
1
1
0
 
 
 
'D H1 + H2 =  1 , H1 + H3 =  0  RJ H2 + 2H3 =  1  NDQPDQYHGDWVDPPHQOLJQHPHG
0
1
 2
 
 
 
RSO\VQLQJHUQHLVS¡UJVPnOGLUHNWHVHDW7RJ8LYLUNHOLJKHGHQHUEHVNULYHUGHQ
 2 0 4


VDPPHOLQH UHDIELOGQLQJ,IOJVS¡UJVPnOLLLInVGDVWUDNV $ =  0 6 0   4 0 2


$GLL
3nVWDQGHQHUNODUWULJWLJLGHWGHQWLOK¡UHQGHPDWUL[$IXQGHWXQGHULNODUWHU
V\PPHWULVNMIL¡YULJW/$V WQ
$GLLL
 − 1 
  
6HVLGHW 9 (− 2 ) = VSDQ  0   -IVS¡UJVPnO6nKYLV[9 ±InVDW
 1  
  
 − 1
 − 1
 
 
8 ([ ) = −2 ⋅ [ = −2 ⋅ W ⋅  0  = N ⋅  0  ∈ 9 (− 2) KYLONHWMRYLVHUDW89 ±9 ±
1
1
 
 
(UJRHU9 ±LQYDULDQWXQGHU8
(ULN%HQQLNHIHEUXDU
- 51 -
Af Erik Bennike
Stikordsregister:
Adjungeret afbildning .................... 18, 19, 21
Laplaces udviklingssæ tning ........... 28
Basis for underrum......................... 13, 23, 24
Lineæ r afbildning........................... 16, 18, 21
Bijektivitet ..................................... 18, 21
Lineæ r (u)afhæ ngighed .................. 12, 16, 17
Billedet af et vektorsæ t .................. 16
Lineæ r relation ............................... 12
Billedrum ....................................... 16, 17, 19
Matrixmultiplikation ...................... 5, 6, 7
Cramers formler............................. 28
Norm af vektor ............................... 2, 3
Definithed ...................................... 33, 35, 36
Norm af lineæ r afbildning.............. 19, 20
Determinant ................................... 26, 27, 37
Nulrum ........................................... 16, 17, 19
Diagonalmatrix .............................. 27, 32
Operationsmatricer......................... 10, 27
Dimension af underrum ................. 13, 14
Ortogonal matrix ............................ 24
Direkte sum.................................... 4, 14
Ortogonalt komplement ................. 15, 31
Echelonmatrix................................ 8, 10
Ortonormalt vektorsæ t ................... 14, 15
Egenrum......................................... 30
Ortogonalæ kvivalens...................... 32
Egenvæ rdi ...................................... 30, 31, 33
Principal underdeterminant ............ 35,36
Egenvæ rdimultiplicitet................... 30, 31
Rangen af en matrix ....................... 21, 22
Gram-Schmidt ortonorm................ 14
Regneregler for matricer ................ 5, 6
Grassmanns dimensionssæ tn. ........ 18, 22
Regularitet af matricer.................... 6, 7, 27
Grassmanns udskiftningssæ tn........ 13
Rodmultiplicitet ............................. 31
Homogent ligningssystem.............. 23
Ræ kkeoperationer .......................... 8, 10
Hovedunderdeterminant................. 35, 36
Skalarprodukt ................................. 2, 34
Hyperplan....................................... 3
Selvadjungeret endomorfi .............. 19
Indre produkt.................................. 2
Suppleringssæ t ............................... 12, 13
Initialettal ....................................... 8, 9
Surjektivitet.................................... 17, 18
Injektiv afbildning.......................... 17, 18
Symmetrisk afbildning ................... 19, 31, 32
Invariant underrum ........................ 31
Symmetrisk matrix ......................... 32, 34, 37
Invers matrix .................................. 10, 11
Søjleoperationer ............................. 27
Isometri .......................................... 20
Transponeret matrix ....................... 6, 7, 21
Isotrop vektor................................. 35
Udspæ nding af mæ ngde................. 3, 4
Karakteristisk polynomium............ 30, 31, 32
Underrum ....................................... 3, 4, 17
Konsistens af ligningssystemer...... 22
Vinkel mellem vektorer.................. 3
Koordinattransformation................ 23, 24
Weierstrass’ determinansæ tn. ........ 26
Kvadratisk form ............................. 34, 35
Ækvivalens af ligningssystemer..... 8
- 52 -