Verden i Naturvidenskabeligt Perspektiv

Verden i Naturvidenskabeligt Perspektiv
Det Fysiske Grundlag:
Elektromagnetisme og relativitetsteori
13. april 2010
Jesper Mygind
Institut for Fysik
Danmarks Tekniske Universitet
E-mail: myg@fysik.dtu.dk
URL: http://dcwww.fys.dtu.dk/~myg/
Folkeuniversitetet 2010
Plan for i dag 13/4-2010
Kvantemetrologi
• superledning, flux kvantisering, Josephson effekt
• metrologi, fundamentale enheder, SET og QHE
• kvante Δ-en, SI-systemet vakler
Galilei transformationen (GT).
• Relativitet, i skib og på Jorden, 30 km/s, Newtons love, absolut rum og tid,
• GT, henførelsessystem og inertialsystem
• alle fysikkens love skal være invariante ved en GT
• Lorentz-kraften igen, Maxwells ligninger følger ikke GT
Lorentz transformationen (LT)
• LT på B- og E-feltet
• “æterteorien”, Michelson-Morleys forsøg
Einsteins Specielle Relativitetsteori
• de 2 postulater
• samtidighed og længdeforkortningen
• tidforlængelsen, ure kan synkroniseres
• firvektorer og rum-tid diagrammer, verdenslinier
• ækvivalens mellem masse og energi, hvileenergien E = mc2
Einsteins Generelle Relativitetsteori
• ækvivalens mellem gravitation og acceleration
• accelererede koordinatsystemer, lokale inertialsystemer
• “træg” og “tung” masse er ens
• krumme flader, Riemann-geometri
• forholdet G M / (R c2), undslippelseshastighed.
• sorte huller
Folkeuniversitetet 2010
Kvantemetrologi
Folkeuniversitetet 2010
Superconductivity
History:
• 1911 ρ = 0,
i.e. W = R I2 = 0
• 1933 Meissner effect
i.e. B = 0
• 1986 High-Tc superconductors (Y-Ba-Cu-O)
• 2006 Tc = 138 (164) K (Hg12Tl3Ba30Ca30Cu45O125)
• 2008 LaOFeAs with Bc2 > 64T
2009 USO: 164 K, high pressure
Folkeuniversitetet 2010
Flux quantization
Integration of the gradient of the phase of the Bose condensate
wavefunction in a multiply connected superconducting body
leads to quantization of the magnetic flux in units of the flux quantum
≈ Jordens magnetfelt (40μT)
i et areal på 7μm x 7μm
Folkeuniversitetet 2010
Three types of Josephson junctions
Josephson effect
and equations
SIS
I = IC sin φ
 φ / t = (2π/Φ0)V
SNS
ScS
DC I-V curve for SIS junction
(current biased, idealized)
Folkeuniversitetet 2010
Josephson effekt
•
•
•
•
Effekt forudsagt 1962 af Brian Josephson
Frekvenslåsning af tunnellering af Cooper-par
Konstant-spændingstrin ved U = n f ( h / 2 e )
Array af 18-20 000 serieforbundne dioder påtrykt
76 GHz giver spændinger ≈10 V
• I SI-systemet (BIPM) anvendes
i stedet for 2e / h,
KJ-90 = 483 597,9 GHz/V
Josephson-konstanten. CODATA 06,
konventionel værdi uden usikkerhed
Folkeuniversitetet 2010
DC-SQUID
Combines flux quantization
and Josephson effect
Magnetic
diffraction
pattern for
L=0 i.e. no
flux from
circulating
currents
Folkeuniversitetet 2010
Magnetoencephalography (MEG)
Magnetiske signaler:
Hjernen (MEG):
synkronisered neuroner: 10 fT
alfa-rytmen: 1000 fT
Hjertet (MCG): ≈ 105 fT
Magnetisk støj fra
omgivelserne: 10 μT (108 fT)
Opløsning med SQUID magnetometer:
(MEG)
Felt: ≈ 1 fT
Sted: < 10 mmØ
Tid: < 10 ms
Kombineres med: PET, MRI, EEG
Folkeuniversitetet 2010
Single Electron Tunnelling (SET)
Energiindhold i en
kondensator:
W = Q2 / (2 C)
Ændres ladningen med en
enkelt elektron bliver
energiændringen:
 W = e2 / (2 C) (“charging” energien)
 W > kB T (den termiske energi)
Folkeuniversitetet 2010
SET
enkelt elektron tunnelering
• Udnytter Coulomb-blokade i ultra-små
tunneldioder
• Kan pumpe elektroner én ad gangen
C ~ 1 fF
Ec ~ 80 µeV
Ug1
~ 1 K kB
Ug1
Ug2
Folkeuniversitetet 2010
Ug2
SET prøvestykke fremstillet med “shadow evaporation”
Folkeuniversitetet 2010
Kvante Hall Effekt
(heltallig, 2DEG)
gxy = (1/i) (e2/h)
i = 2, 4, …..
h/e2 → RK-90 = 25.812,807 Ω (konventionel værdi)
Folkeuniversitetet 2010
Den elektriske kvantetrekant
Hz
Frekvens
f
Josephson effekten
U=(n h/2e)·f
n ~ 65000
Enkelt elektron tunnellering
I = e·f
V
Spændingsforskel
U
A
Kvante Hall effekten
U = (h/e2 i)·I
i = 2,4,6
Folkeuniversitetet 2010
Strømstyrke
I
Realisering af kvantetrekanten
f2
N
f1
e·f1 ·N ·h/(i·e2) =? n·f2 h/2e
Folkeuniversitetet 2010
Newton og Galilei
Folkeuniversitetet 2010
Galileo Galilei
Født: 15. februar 1564, Pisa, Italien
Død: 8. januar 1642, Arcetri, Italien
Gengravsat: Santa Croce, Firenze
Italiensk fysiker, astronom,
astrolog og filosof
• Galileis relativitetprincip
• Galilei transformationen
• jævnt accelererede systemer
• forbedring af teleskopet
• astronomiske observationer
• “far” til moderne fysik og astronomi
• støttede Copernikus
• husarrest 1633 efter strid med paven
• rehabiliteret endeligt 1992
Portræt af Galileo Galilei
Maleri af Giusto Sustermans
Folkeuniversitetet 2010
Inertialsystemer
Henførelsessystem, hvori vi angiver position (x,y,z) og tiden t
Et inertialsystem er et henførelsessystem, hvori Newtons 1ste lov gælder
Newtons 1ste lov (Inertiens lov): Et legeme, som ikke er påvirket af
ydre kræfter, ligger stille eller bevæger sig retlinet med jævn hastighed
Vi vælger følgende to inertialsystemer S og S’:
Folkeuniversitetet 2010
Galilei-transformationen
Galilei-relativitet
“Galilei i kahytten”
Relativitet (det stærke krav!!):
Alle fysikkens love skal være invariante overfor en GT
Galilei-transformationen (GT):
x = x’ + u t
y = y’
z = z’
og deraf hastigheden:
vx = dx/dt = dx’/dt + u = v’x + u
dvs. vi adderer hastighederene!
Bemærk: vi bruger samme tid og tidsskala t og t’ i S og S’ systemerne!
Folkeuniversitetet 2010
Relativitet
Fysikkens love er de samme i ethvert inertialsystem
Der induceres samme EMK, når (a) magneten bevæges ind i spolen,
og når (b) spolen bevæges op omkring magneten.
Folkeuniversitetet 2010
James Clerk Maxwell
Født: 13. juni 1831, Edinburg, Scotland
Død: 5. november 1879, Cambridge, England
Skotsk matematiker og teoretisk fysiker
• Ligninger for det elektromagnetiske felt
• EM-bølgeudbredelse
• Maxwell-Boltzmann fordeling i kinetisk gasteori
• Grundlaget for relativitetsteorien
(The work of Maxwell) ... the most
• Grundlaget for kvantemekanikken
profound and the most fruitful that
physics has experienced since the
time of Newton.”—Albert Einstein,
The Sunday Post
Folkeuniversitetet 2010
Maxwells love (differentiel form)
Gauss' lov - elektrostatik
Gauss' lov - magnetostatik
Faradays lov
Ampère-Maxwells lov
Maxwells love er ikke invariante ved en GT
Folkeuniversitetet 2010
Hendrik Antoon Lorentz
Født: 18 juli 1853, Arnhem, Holland
Død: 4. februar 1928 , Haarlem
Hollandsk fysiker
Delte Nobelprisen 1902 med Peiter Zeeman
• Lorentz-kraften
• Lorentz transformationen
• Relativitet og samtidighed
• Relativistisk længdekontraktion
Maleri af
Menso Kamerlingh Onnes)
Noget galt??
 er Lorentz-faktoren (altid > 1) Kraft på en
testladning i tog
i Jordens magnetfelt
Folkeuniversitetet 2010
 - faktoren

Hastighed u i % af lyshastigheden c
Lorentz-faktoren  er altid > 1
Folkeuniversitetet 2010
Lorentz transformationen
(koordinat transformationen)
Sammenlign med
Galilei-transformationen
med Lorentz-faktoren
Hastigheder og accelerationer transformerer også
Folkeuniversitetet 2010
LT af EM felter
Ved Lorentz-transformation af E-feltet fås et led
,
(1)
som vi kalder B-feltet, v er ladningens hastighed.
B-feltet giver en kraft på den bevægede ladning
Kraften er forskellig i forskellige inertialsystemer, og B-feltet transformerer helt
eller delvis til et E-felt ved en LT. Dette svarer til Faradays induktionslov.
E-feltet fra en punktladning i hvile er:
Indsættes dette i (1) fås Biot-Sawarts lov:
LT-transformation af E- og B-felt:
Folkeuniversitetet 2010
Æter-teorien, Michelson-Morley eksperimentet 1887
Michelson interferometer
Æterteorien: lys bevæger sig i et absolut rum (æteren) og
Jorden bevæger sig også gennem æteren, men
90o drejning gav ingen forskel!! dvs. jorden må være i hvile i æteren!
Folkeuniversitetet 2010
Den specielle relativitesteori
Folkeuniversitetet 2010
Albert Einstein (1879-1955)
• Viste 1905 at kravet om, at
de elektromagnetisk love er
de samme i ethvert
inertialsystem leder til nye
transformationer, som
blander rummet og tiden relativitetsteorien.
• De to postulater:
1) Relativitet (Galilei)
2) Største fart er c (lys i
vakuum)
• Viste, at lys består af
partikler (fotoner)
Folkeuniversitetet 2010
Addition af hastigheder
GT:
v = v’ + u
Hvad, hvis
hastighederne
nærmer sig
lysets
hastighed??
Konflikt med dagligdagens erfaring = vor “sunde fornuft”!! ??
Folkeuniversitetet 2010
Relativitet af samtidighed
Folkeuniversitetet 2010
Vi kan synkronisere vore ure ved at sende lyssignaler!!
Folkeuniversitetet 2010
Relativitet af tidsintervaller
(tidsforlængelsen)
Pythagoras: ( ½ u t ) 2 + d 2 = l 2
målt i hvilesystemet
(egentiden)
 t0 = 2 d / c
hvoraf fås
I det bevægede system:
t=2l/c
 t =   t0 >  t0
Folkeuniversitetet 2010
tiden forlænges ie. uret
går langsommere i det
bevægede system
Længdeforkortelse
Længder, som er
parallelt med den
relative bevægelse:
I S’ er egentiden
 t0 = 2 l0 / c
I S bevæger
lyspulsen sig
d = l + u  t1 = c  t1
ie  t1 = 1/(c-u)
På tilbagevejen fås
tilsvarende
 t2 = 1/(c+u)
Den samlede flyvetid er:  t =  t1 +  t2 =  t0 / 
Ellimineres  t fås
l = l0 /  , altså den bevægede målestok forkortes
Folkeuniversitetet 2010
Vinkler og
længder vinkelret på den relative bevægelse
Målestokkene i S’ og S er
begge vinkelrette på
bevægelsen, og længden
forbliver uændret
Længden l0 i S’ kaldes egenlængden eller hvilelængden
Vinkler transformerer, idet vinkler kan angives som forholdet mellem
længder parallel og vinkelret på den relative bevægelse
Folkeuniversitetet 2010
Rum-Tid beskrivelse, 4-vektor og Verdenslinier
Rum-tid beskrivelsen, 4-dimensionalt rum (Minkovski rum) af en begivenhed
Koordinat 4-vektor: X: = (ct, x, y, z) = (ct, r)
Afstanden i rum-tid
(sfærisk udbredelse af lysglimt i S’ og S)
i S: r2 = c2 t2 eller s2 = c2 t2 – r2
i S’: r’2 = c2 t’2 eller s’2 = c2 t’2 – r’2
og da lyshastigheden er c i både S og S’,
er s2 = s’2, ie.
er invariant ved en LT. Dette gælder
også intervallet mellem to
begivenheder s2 = c2 t 2 - r 2 langs
en verdenslinie
Bemærk: s2 kan være både
positiv, nul og negativ.
Folkeuniversitetet 2010
Der findes andre 4-vektorer
4-dimensionalt rum-tid-diagram
Et lysglimt bevæger sig på
lyskeglen (grøn konus).
←
Koordinatakserne er ortogonale
i S, kun fordi vi har valgt
dem sådan! Derfor har
lyskonus en
åbningsvinkel på 450
Diskuter:
Nu
Fortid
Fremtid
Kausalitet
Folkeuniversitetet 2010
masseløse
partikler
(fotoner) med
hastighed c
Relativistisk impuls
Tre-vektor
impuls
p=mv,
hvor mv er den
sædvanlige
Newton impuls
Folkeuniversitetet 2010
Energi-impuls og masse
Relativistisk energi-impuls:
hvor E er partiklens totale energi, p er 3-vektor impulsen, og m er hvilemassen.
Separat energi– og impulsbevarelse kommer i problemer.
For fotoner med m = 0 gælder: E = p c
Noget misledende bruges ofte den relativistiske mass M =  m. Der er ingen
forskel på træg (Newton) og tung (gravitation) masse.
For partikler i hvile (p = 0) gælder: E = m c2 ( hvileenergien)
Ved små hastigheder rækkeudvikles:
altså hvileenergien + den sædvanlige kinetisk energi K
Folkeuniversitetet 2010
Relativistisk energi
E=K+mc2
Total energi = kinetisk
energi + hvileenergi
Sammenstød mellem
relativistiske partikler.
CERN, LHC.
En elektron accelereret
med 5 MV har  = 10.8
og v = 0.996 c. K = 5 MeV,
mens restenergien mc2 =
0.511 MeV.
Folkeuniversitetet 2010
Generel relativitetsteori
Folkeuniversitetet 2010
Generel relativitetsteori
Einsteins ækvivalensprincip
Astronauten, som taber sit ur (a), kan ikke skelne mellem (b)
acceleration (homogen) og (c) gravitation (homogen).
Vægtløshed
Folkeuniversitetet 2010
En genstand, som bevæger sig gennem rummet, vil følge rum-tidens
krumning, som om den var en fri genstand upåvirket af gravitationskræfter
fra omgivende masser. I Einsteins almene relativitetsteori forekommer der
således ikke gravitationskræfter i newtonsk forstand; de er erstattet af den
krumme rum-tid. Illustrationen indikerer, hvorledes rette linjer krummes
omkring tilstedeværende masser; jo større masse, des større bliver
krumningen omkring den.
Folkeuniversitetet 2010
Det sidste “langskud”
Accelererede koordinatsystemer,
lokale inertialsystemer
egentid
Gravitationen deformerer
rummets geometri
Krumme flader,
Riemann-geometri
Forholdet G M / (R c2),
undslippelseshastighed.
Sorte huller
Folkeuniversitetet 2010
Konsekvenser af generel relativitetsteori
Deflection of light (sent out from
the location shown in blue) near
a compact body (shown in gray)
Schematic representation of the
gravitational redshift of a light wave
escaping from the surface of a
massive body
Folkeuniversitetet 2010
Konsekvenser af generel relativitetsteori
Newtonian (red) vs. Einsteinian orbit (blue)
of a lone planet orbiting a star
(Merkur periheliet)
Folkeuniversitetet 2010
“Einstein cross” four
images of the same
astronomical object,
produced by a
gravitatonal lens.
(Hubble telescope)
FIN
Folkeuniversitetet 2010