P R I S L I S T E
Transcription
P R I S L I S T E
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN VIDEREGÅENDE STATISTIK (med TI 89 ,TI-Nspire og SAS - JMP) 6. udgave 2013 FORORD Denne lærebog kan læses på baggrund af en statistisk viden svarende til lærebogen “M. Oddershede Larsen : Statistiske grundbegreber”. Bogen er bygget op således, at de væsentligste begreber søges forklaret anskueligt og ved hjælp af et stort antal eksempler. I eksemplerne er beregningerne er i videst mulig omfang foretaget ved anvendelse af programmer i lommeregneren TI-89, PC-programmet TI-Nspire og statistikprogrammet “SAS-JMP”. I slutningen af nogle af kapitlerne er givet en oversigt over centrale formler eller fremgangsmåder. I et appendix sidst i bogen er givet en mere dybtgående statistisk forklaring på formlerne. Efter hvert kapitel er der nogle opgaver og en facitliste til opgaverne findes bagerst i bogen. Læsning: Bogen er opbygget således, at de tre hovedemner “Faktorer på 2 og flere niveauer”: kapitel 3 til 6 , Regressionsanalyse” kapitel 7 og “Kontrolteori”: kapitel 8 og 9 kan læses uafhængigt af hinanden. Kan man af tidsmæssige grunde ikke nå alt, så kan man derfor overspringe en eller flere af disse emner. Et andet forslag er at overspringe en eller flere af delemner som Screeningsforsøg: kapitel 6, Multipel regression: afsnit 7.7 og 7.8 Statistisk godkendelseskontrol:kapitel 9: Skulle man i undervisningen benytter et andet statistikprogram end SAS.JMP, kan de studerende uden vanskelighed på basis af SAS.JMP udskrifterne tolke egne udskrifter, da disse næppeafviger væsentligt fra hinanden. På nedenstående adresse kan man således se bøger, hvor SAS-JMP er udskiftet med statistikprogrammet STATGRAPHICS. Data foreligger ofte som en fil i et regneark som eksempelvis Excel. Disse regneark har indbygget en del statistik bl.a. de almindeligste testfunktioner. I notatet “Videregående statistik regnet med Excel” er en række af disse statistiske muligheder gennemgået. Alle de nævnte bøger (og mange flere) kan findes på adressen www.larsen-net.dk Januar 2013 Mogens Oddershede Larsen. -ii- Indhold INDHOLD 1 REPETITION AF HYPOTESETEST FOR 1 VARIABEL 1.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Normalfordelt variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.3 Binomialfordelt variabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 PLANLÆGNING AF FORSØG 2.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.2 Nomenklatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Krav til statistisk gyldigt forsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 3 1 FAKTOR PÅ 2 NIVEAUER 3.1 Normalfordelte variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.1.1 Test af differens mellem middelværdier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 3.5.2 Blokforsøg (parvise observationer) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 3.2 Binomialfordelte variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.3 Poissonfordelte variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.4 Fordeling ukendt (rangtest) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.5 Oversigt over centrale formler i kapitel 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5.1 Test og konfidensintervaller af differens mellem middelværdier for 2 normalfordelte variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.5.2 Test af differens mellem varians for 2 normalfordelte variable . . . . . . . . . . 25 3.5.3 Test og konfidensintervaller af p1 - p2 for 2 binomialfordelte variable . . . . . 26 3.5.4 Test og konfidensintervaller af 1 2 for 2 Poissonfordelte variable . . . . 26 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4 1 FAKTOR PÅ MERE END 2 NIVEAUER 4.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.2 Ensidet variansanalyse (normalfordelte variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2.2 Forklaring af metoder og formler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.2.3 Beregning af ensidet variansanalyse ved TI89 og SAS.JMP . . . . . . . . . . . . . 38 4.3 Fuldstændigt randomiseret blokforsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.4 Binomialfordelte variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 4.5 Poissonfordelte variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 4.6 Oversigt over centrale formler i kapitel 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 -iii- Indhold 4.6.1 Oversigt over fremgangsmåde ved ensidet variansanalyse . . . . . . . . . . . . . . 47 4.6.2 Test af parametre p1, p2, . .. , pk for binomialfordelte variable . . . . . . . . . . . 48 4.6.3 Test af parametre 1 , 2 ,..., k for Poissonfordelte variable . . . . . . . . . . . 48 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 5 2 FAKTORER PÅ 2 ELLER FLERE NIVEAUER. TOSIDET VARIANSANALYSE 5.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2 Planlægning af forsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.1 Een faktor ad gangen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.2.2 Fuldstændig faktorstruktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 5.3 Formler og metode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 5.5 Fuldstændigt randomiseret blokforsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.6 To binomialfordelte eller Poissonfordelte faktorer i et fuldstændigt faktorforsøg . 69 5.7 Oversigt over fremgangsmåde ved tosidet variansanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 6 FLERE END TO FAKTORER, SCREENINGSFORSØG 6.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 6.2 Nomenklatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 6.3 Definitionsrelationer og aliasrelationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 6.4 Planlægning af et partielt 2k faktorforsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.5 Beregning af et partielt 2k faktorforsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 6.6 Konfundering af blokke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.5 Sekventiel forsøgsstrategi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 6.8 Oversigt over fremgangsmåde ved partielt 2k faktorforsøg . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 6.9 TI89 og TI-Nspire - program til beregning af 2k -faktorforsøg . . . . . . . . . . . . . . 104 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 7 ENKELT REGRESSIONSANALYSE 7.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 7.2 Bestemmelse af regressionsligning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 7.3 Vurdering af om regressionsligning beskriver data godt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.4 Test og konfidensintervaller . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 7.5 Transformation af data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 7.6 Enkelt regressionsanalyse med flere y - observationer for hver x - værdi . . . . . . . 127 -iv- Indhold 7.7 Multipel regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.7.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.7.2 Analyse med én y - observation for hver x - værdi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 7.8 Polynomial regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.8.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 7.8.2 Beregning af polynomial regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 7.9 Oversigt over fremgangsmåde ved regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 8 STATISTISK PROCESKONTROL 8.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 8.2 Proces i statistisk kontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 8.3 Opbygning og alarmkriterier for kontrolkort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 8.4 Kontrolkortanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 8.5 Tolerancegrænser og kapabilitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 8.6 Procesvariablen er normalfordelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 8.7 Procesvariablen X er diskret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.7.1 X er binomialfordelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 8.7.2 X er Poissonfordelt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 9 STATISTISK GODKENDELSESKONTROL 9.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 9.2 Enkelt stikprøveplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 9.3 Rektificerende kontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 9.4 Dobbelt stikprøveplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 10 ANTALSTABELLER 10.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 10.2 En -vejs tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 10.3 To -vejs tabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 11 RANGTEST (FORDELING UKENDT) 11.1 Indledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 11.2 Wilcoxons rangtest for 1 stikprøve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195 -v- Indhold 11.3 Wilcoxons rangtest for 2 uafhængig stikprøver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 11.4 Kruskal Wallis test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Opgaver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 APPENDIX 4.1 Formler til beregning af ensidet variansanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 5.1 Formler til beregning af tosidet variansanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 5.2. Transformation af binomial-og Poissonfordelte variable til tosidet variansanalyse 210 7.1. Formler til beregning af enkelt regressionsanalyse uden gentagelser . . . . . . . . . 213 7.2 Formler til beregning af enkelt regressionsanalyse med lige mange gentagelser . 215 7.3 Transformation til lineær model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216 7.4 Formler til beregning af multipel regressionsanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 8.1 Begrundelse for grænserne for kontrolkort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 10.1. 2 - test af hypotese i 1-vejs antalstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 10.2. 2 - test af hypotese i 2 - vejs antalstabel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 4.4 Kruskal-Wallis rangtest for to eller flere variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 GRUNDLÆGGENDE OPERATIONER PÅ TI89, TI-Nspire og SAS.JMP . . . . . 224 FACITLISTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 STIKORD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 -vi- 1.2 Normalfordelt variabel 1 REPETITION AF HYPOTESETEST FOR 1 VARIABEL 1.1. INDLEDNING De grundlæggende begreber vedrørende hypotesetest, konfidensintervaller og dimensionering af forsøg blev i “Statistiske Grundbegreber” grundigt beskrevet når vi havde én stikprøve. Beregningerne blev der udført ved anvendelse af lommeregneren TI89 og regnearket Excel. Vi vil i dette afsnit vise hvorledes beregningerne også kan udføres med statistikprogrammet SASJMP, samt vise, hvorledes man ved hjælp af SAS.JMP grafisk kan undersøge om data virkelig er normalfordelt. I Afsnittet “Grundlæggende Operationer i SAS-JMP er beskrevet, hvorledes man indtaster data, import af data fra Excel og beregner de forskellige sandsynlighedsfunktioner. 1.2. NORMALFORDELT VARIABEL Eksempel 1.1 Hypotesetest. Normalfordelt variabel . En fabrik der fremstiller plastikprodukter ønsker at evaluere holdbarheden af rektangulære støbte plastik blokke som anvendes i møbelfabrikationen. Der udtages tilfældigt 50 blokke, og deres hårhed måles (i Brinell enheder) . Resultaterne var følgende 283.5 273.3 278.8 238.7 334.9 302.6 239.9 254.6 281.9 270.4 269.1 250.1 301.6 289.2 240.8 267.5 279.3 228.4 265.2 285.9 279.3 252.3 271.7 235.0 313.2 277.8 243.8 295.5 249.3 228.7 255.3 267.2 253.3 281.0 302.1 256.3 233.0 194.4 219.9 263.7 273.6 267.7 283.1 260.9 274.8 277.4 276.9 259.5 262.0 263.5 a) Undersøg om tallene er rimeligt normalfordelt ved i SAS-JMP at tegne et histogram, et boxplot og et normalfordelingsplot. Angiv endvidere gennemsnit og spredning. De følgende spørgsmål skal regnes såvel med SAS.JMP som med TI89. For at undgå indtastning af alle tal i TI89, forudsættes her, at man ved, at gennemsnit x = 266.2 og spredning s = 25.02. b) Hårheden bør være over 260 (brinell enheder). Test på et signifikansniveau på = 5% om dette er tilfældet. c) Forudsat hårheden er signifikant over 260 brinell, skal angives et estimat for hårheden, samt et 95% konfidensinterval for denne. Løsning: a) File , New, DATA Tables , dobbeltklik på øverste felt i første søjle og skriv “holdbarhed”, indtast data Histogram: På værktøjslinien vælg Analyze Distribution (eller Wiew, “JMP-Starter” vælg “Basic Distribution”) I den fremkomne menu dobbeltklikkes på “holdbarhed” (under “Selected Columns”) ok Der fremkommer et “histogram”, et “boxplot” og en række statistiske oplysninger. En almindelig fejl er her, at man i data har skrevet decimalpunktum frem for decimalkomma. Ret dette, og i data , vælg kolonneoverskrift”holdbarhed” højre musetast “Modelling type” “Continuous” 1 1. Repetition af centrale begreber For at kunne sammenligne med en normalfordeling tegnes en normalfordelingskurve: Placer cursor på “rød pil ved holdbarhed tryk på højre musetast og vælg “Continuous Fit normal Der tegnes nu en normalfordelingskurve med samme middelværdi og spredning som fra data. Endvidere tegnes et “normal kvartil plot” Cursor placeres på “holdbarhed og man trykker på højre musetast og vælger “Normal Quantile Plot” Der er nu bl.a. fremkommet følgende figur og tabel. Distributions holdbarhed 350 -2 ,33 -1,6-1 4 ,2 8 -0, 67 0 ,0 0 ,6 7 1, 281 ,6 4 2 ,3 3 300 250 200 0,02 0,1 0,2 0,5 Norm al Quantile Plot Normal(266,218,25,0931) Quantiles 100,0 % maximum 99,5% 97,5% 90,0% 75,0% 50,0% 25,0% 10,0% 2,5% 0,5% 0,0% Moments quartile median quartile minimum Mean Std Dev Std Err Mean Upper 95% Mean Lower 95% Mean N 334,90 334,90 328,93 300,99 279,73 267,60 251,75 233,20 201,41 194,40 194,40 266,218 25,09313 3,5487045 273,34939 259,08661 50 2 0,8 0,9 0,98 1.2 Normalfordelt variabel Forklaring af figur og udskrift Histogram og normalfordelingskurven passer godt sammen, så det viser, at data er rimelig normalfordelt. Boxplot: Den næste figur er et såkaldt “boxplot”, hvor den midterste streg angiver medianen og kassens grænser angiver henholdsvis 1. og 3. kvartil. Det betyder, at hvis man opstillede de 50 tal i rækkefølge efter størrelse, så er tal nr 50/2 =25 medianen 267.6 (aflæses i tabel under Quantiles 59% ) 1. kvartil 252.75 er tallet midt mellem tal nr 12 og tal nr 13, osv. Da boxplottet er nogenlunde symmetrisk om medianen, så kan man igen antage at data er rimelig normalfordelt. De isolerede prikker yderst viser, at der er et par værdier, som afviger kraftigt fra de øvrige, og muligvis er fejlmålinger (kaldes outliers). Rhomben inde i firkanten angiver et 95% konfidensinterval for middelværdien. Man ser, at den ligger lidt skævt i forhold til boxplottet, men dog ikke så meget, at det spiller nogen rolle, da median =267.6 er ca. = mean (gennemsnit) = 266.7 Normal Kvartil-plot. Her har man ud af x - aksen sørget for at skalaen er sådan, at punkterne burde ligge på den røde rette linie, hvis de fuldstændigt eksakt var normalfordelt. Den røde linie går gennem (0, mean) og har hældning = spredningen. De stiplede linier angiver 95% konfidensinterval for normalfordelingen. Som det ses, ligger punkterne indenfor konfidensintervallet og ligger tæt på linien for de midterste 75% af tallenene. De yderste punkter kan man ikke forvente ligger på linien Man må derfor igen antage, at data er tilnærmelsesvis normalfordelt. Det ses af udskriften, at gennemsnittet x = 266.22 og et estimat for spredningen er s = 25.09 b) X = holdbarheden af plastblokke X antages normalfordelt med ukendt middelværdi og . H0: =260 H: >260 Da spredningen ikke er kendt eksakt anvendes en t-test. TI 89: APPS, STAT/LIST F6 2: t-test den fremkomne menu : 0 = 260 , x TI-Nspire: Beregner Statistik vælg Stats (da de oprindelige data ikke er kendt) = 266.22 , s = 25.09 n = 50, Alternativ hypotese Statistiske test t-test for 1 middelværdi statistik 0 ENTER Udfyld Calculate, Enter menu udfyldes ENTER Vi får: P-værdi = 0.0429 P- værdien = sandsynligheden for at begå en "type 1 fejl", dvs. påstå at 0 =260 selv om det ikke er tilfældet. Da P-værdi = 4.29 % < 5%, forkastes H0 (svagt) . Konklusion: Vi har bevist, at holdbarheden i middel er over 260 brinell. 3 1. Repetition af centrale begreber SAS.JMP: Klik på rød pil ved "holdbarhed" og vælg "Test Mean". I den fremkomne menu skriv 260 Test Mean=value Hypothesized Value Actual Estimate DF Std Dev ok 260 266,218 49 25,0931 t Test 1,7522 0,0860 0,0430* 0,9570 Test Statistic Prob > |t| Prob > t Prob < t Da P-værdi = 0.0430 < 5%, dvs H0 forkastes (svagt) Konklusion: Vi har bevist, at holdbarheden i middel er over 260 brinell. Da vi har en ensidet test er tegningen lidt misvisende Ønskes en mere anskuelig figur m.m. Esti mate d Me an2 66,2 18 Hyp othe sized Mean260 T Ratio1,752 19 P Va lue0 ,043 0,1 0 0,0 8 Y Sæt cursor på “Test Mean” , tryk på højre musetast og vælg “Pvalue animation” og vælg på figuren “High Side” 0,1 2 0,0 6 0,0 4 Derved fremkommer en mere sigende figur 0,0 2 0,0 0 240 250 260 270 280 X Sampl e Si ze =5 0 c) TI 89: APPS, STAT/LIST F7 2: t-inteval Stats ENTER Enter TI-Nspire: Beregner Statistik konfidensintervaller t-interval udfyldes ENTER Udfyld den fremkomne menu for 1 middelværdi statistik Calculate, menu Et estimat for holdbarheden er 266.2 brinell Et 95% konfidensinterval [259.1 ; 273.3] SAS.JMP: Klik på rød pil ved "holdbarhed" Der fremkommer følgende udskrift. "Confidence interval" 0.95. Confidence Intervals Parameter Mean Std Dev Estimate 266,218 25,09313 Lower CI 259,0866 20,96115 Upper CI 273,3494 31,26939 1-Alpha 0,950 0,950 Et estimat for holdbarheden er 266.2 brinell Et 95% konfidensinterval [259.1 ; 273.3] 4 1.3 Binomialfordelt variabel 1.3. BINOMIALFORDELT VARIABEL Eksempel 1.2. Binomialtest En fabrikant af chip til computere reklamerer med, at højst 2% af en bestemt type chip, som fabrikken sender ud på markedet er defekte. Et stort computerfirma, vil købe et meget stort parti af disse chip, hvis påstanden er rigtigt. For at teste påstanden købes 1000 af dem. Det viser sig, at 33 ud af de 1000 er defekte. a) Kan fabrikantens påstand på denne baggrund forkastes på signifikansniveau 5% ? b) Forudsat påstanden forkastes, skal angives et estimat for % defekte, samt et 95% konfidensinterval for denne. Løsning: X = antal defekte chips af 1000 X er binomialfordelt b(1000, p). Nulhypotese: H: p 0.02 Alternativ hypotese H: p 0.02 TI89+ TI-Nspire a) P værdi P( X 33) = binomCdf(1000,0.02,33,1000)=0.00433 Da P-værdi < 0.05 forkastes H0 , dvs. fabrikantens påstand om færre end 2% defekte forkastes. b) Da x = 33 >5 og 33 < 1000-5 kan approksimeres med normalfordelingen TI89: APPS, STAT/LIST F7 5: 1-Prop-Z-interval udfyld menu TI-Nspire: Beregner Statistik konfidensintervaller z-interval for 1 andel Estimat for p: 3.3% menu udfyldes ENTER 95% konfidensinterval : {2.19% ; 4.41%] SAS.JMP a) P værdi P( X 33) 1 P( X 32) Kald en søjle for p, og indtast et tilfældigt tal i første række. Placer cursor i p's hoved højre musetast Formula skriv 1-(- vælges fra jmp tastatur) ty Binomial Distribution Udfyld pladserne p=0,02, n=1000, k = 33 Apply vælg Discrete Probabili- P-værdi = 0.00433 b) Estimat for p: 3.3% Af formlen for konfidensinterval p 0,00433168 radius 0,0110718 0.033 0.033 (1 0.033) 1000 Øvre grænse 0,0440718 5 og benyttelse af "Formula" fås nedre grænse 0,0219282 1. Repetition af centrale begreber OPGAVER Opgave 1.1 Færdselspolitiet overvejede, om der burde indføres en fartgrænse på 70 km/h på en bestemt landevejsstrækning, hvor der hidtil havde været fartgrænsen 80 km/h. Som et led i analysen af hensigtmæssigheden af den overvejede ændring observeredes inden for et bestemt tidsrum ved hjælp af radarkontrol de forbipasserende bilers fart. Resultatet af målingerne var: 50 observationer 64 50 59 75 98 72 63 49 74 55 82 35 55 64 85 52 60 99 74 80 95 41 76 70 53 60 77 65 62 78 86 47 76 85 96 70 88 68 73 71 63 62 51 93 84 48 66 80 65 103 Undersøg om tallene er rimeligt normalfordelt ved i SAS-JMP at tegne et histogram, et boxplot og et normalfordelingsplot. Angiv endvidere gennemsnit og spredning. Opgave 1.2 Under produktionen forekommer blandt en fabriks affaldsprodukter 1.5 mg/l af et stof A., som i større mængder kan være kræftfremkaldende. Man håber ved en ny og mere kostbar metode, at formindske indholdet af det pågældende stof. a) Ved en række kontrolmålinger efter tilsætning af additivet fandtes følgende resultater (i mg/l) 1.12 1.47 1.35 1.27 1.17 1.26 1.83 1.10 1.39 1.25 1.44 1.14 Test på 5% niveau, om målingerne beviser, at der er sket en formindskelse af middelindholdet af stoffet A. b) Forudsat middelindholdet er signifikant under 1.5 mg/l, skal angives et estimat for det nye middelindhold, samt et 95% konfidensinterval for denne. Opgave 1.3 Det forventes, at lovgivningen bliver strammet omkring mængden af skadelige partikler i bilers udstødningsgas. En person mener, at mere end 20% af forsvarets biler ikke vil opfylde de forventede nye krav. Ved en undersøgelse af 40 af forsvarets biler tilfældigt udvalgt, fandt man, at 13 af disse ikke kunne opfylde de nye krav. 1) Test om dette på et signifikansniveau på 5 % er et bevis for, at mere end 20% af forsvarets biler udsender flere skadelige partikler end ønskeligt. 2) Under forudsætning af at det er signifikant, at 20% af bilerne ikke opfylder kravet, skal man angive et estimat for hvor mange procent af bilerne, der ikke opfylder de nye krav, samt angive et 95% konfidensinterval herfor. 6 Opgaver til kapitel 1 Opgave 1.4 Indenfor en stor virksomhed, der producerer udstyr til forsvaret, er der i middel 20 driftsuheld pr. måned. Da antallet efter indførelsen af nye arbejdsrutiner synes at være vokset målte man i 5 på hinanden følgende måneder antallet af driftsuheld. Resultaterne var måned nr. 1 2 3 4 5 antal/måned 23 19 23 27 24 Test, om disse data giver et eksperimentelt bevis for, at middelværdien er større end 20 driftsuheld/måned? 7 2. Planlægning af forsøg 2 PLANLÆGNING AF FORSØG 2.1. INDLEDNING Forsøg er en naturlig del af ingeniørmæssig og anden videnskabelig metode til at træffe beslutninger. Antag eksempelvis, at en ingeniør skal studere virkningerne af 4 hærdningsmetoder på trykstyrken af et materiale. Forsøget ville bestå i, at man fremstillede en række testmaterialer baseret på de 4 hærdningsmetoder, og derefter målte trykstyrken. På basis af disse data kunne man så anvende en statistisk metode til at finde den af de 4 metoder der i middel gav den største trykstyrke. Alle forsøg er planlagte forsøg, men desværre er nogle forsøg særdeles dårlig planlagt, og resulterer i at kostbare ressourcer bliver benyttet ineffektivt. Statistisk planlagte forsøg giver effektivitet og økonomi i den eksperimentelle proces, og brug af statistiske metoder i undersøgelsen af data resulterer i en videnskabelig objektivitet når man skal drage konklusioner. Statistisk baserede forsøg er særlig nyttige til at forbedre en fremstillingsproces eller til at udvikle nye metoder. Ved at benytte statistisk planlagte forsøg, kan ingeniøren bestemme hvilke af de mange procesvariable, såsom temperatur, tryk, hærdningsmetoder osv. der har den største betydning for udfaldet af processen. Brugen af statistisk baserede forsøg kan derfor resultere i produkter, der er lettere at producere, produkter der har en bedre “performance” og stabilitet (mindre spredning) end konkurrenternes produkter, og kan blive udviklet og produceret på mindre tid, hvilket reducerer udviklingsomkostningerne. 2.2. NOMENKLATUR I de følgende kapitler benyttes ord, som faktor, niveauer, behandlinger osv. For at forstå hvad disse ord betyder, vil vi forklare dem ud fra følgende forsøg: Eksempel 2.1 I forbindelse med nogle brudstyrkebestemmelser for Portland-cement udføres et fuldstændigt randomiseret forsøg til undersøgelse af middelbrudstyrkens afhængighed af cementblandere og cementknusere. Med hver af 4 cementblandere udstøbtes efter blanding med vand 12 cementterninger, som efter en uges lagring underkastedes en brudstyrkeprøve ved hjælp af en af 3 cementknusere. Forsøgsresultaterne var: 8 2.3.Krav til statistisk gyldigt forsøg Cementknusere B1 Cementblandere B2 B3 B4 A1 147 175 130 99 85 75 67 23 35 215 97 180 A2 211 145 163 131 100 145 75 45 71 151 157 167 A3 123 85 153 137 143 82 67 25 83 135 129 91 Beskriv forsøget. Løsning: Forsøget har to faktorer: Cementblander og Cementknuser. Faktoren “Cementblander” har 3 niveauer A1 ,A2, A3. (niveau hedder på engelsk” level”) Faktoren “Cementknuser” har 4 niveauer B1 ,B2, B3., B4 Forsøget har 12 behandlinger (engelsk treatment) A1B1 , A1B2 , A1B3 , A1B4 , A2B1 , A2B2 , A2B3 , A2B4 ,A3B1 , A3B2 , A3B3 , A3B4 da der er 12 kombinationer af niveauerne (12 celler) Hver behandling har 3 gentagelser, eksempelvis har behandlingen A1B1 3 delforsøg, der resulterede i forsøgsresultaterne 147 175 130 Faktorer kan enten være kvalitative eller kvantitative. En faktor som temperatur er kvantitativ, da den jo er en talvariabel, der kan antage alle mulige talværdier (indenfor et givet talområde). En faktor som “Cementblander” i eksempel 2.1 er kvalitativ, da den kun har nogle fastlagte niveauer, og man ikke kan tale om eksempelvis cementblander 1.5. 2.3 KRAV TIL STATISTISK GYLDIGT FORSØG For at nogle forsøgsresultater skal være statistisk gyldige, skal målingerne være statistisk uafhængige og være repræsentative for det man skal undersøge. Ved statistisk uafhængighed forstås, at resultatet af et delforsøg ikke må afhænge af hvad der skete i de øvrige delforsøg. Det er således ikke korrekt, hvis det arbejdshold, der foretager forsøgene først laver forsøgene med den ene cementblander- derved bliver dygtigere- og så laver forsøgene med de øvrige cementblandere. Det er heller ikke korrekt, at man eksempelvis i eksempel 1.1 først havde målt holdbarheden af 10 blokke, - derefter foretager en test-opdager at man ikke kan vise signifikans. Så havde taget 10 blokke mere - testet på de 20 blokke osv., indtil man opnåede signifikans. Dette er ikke "statistisk gyldige" forsøg. 9 2. Planlægning af forsøg Til belysning af hvad der er et "statistisk" gyldigt forsøg tages udgangspunkt i følgende eksempel. Eksempel 2.2. Planlægning af forsøg. En fabrik der producerer maling, har udviklet to nye additiver A1 og A2, som bevirker en kortere tørretid. Additiv A1 er det dyreste, men man forventer også, at det giver den korteste tørretid. På grund af prisforskellen, skal tørretiden dog være mindst 10 minutter kortere for A1, før man vil gå over til den. For at undersøge disse forhold produceres nogle liter maling, som derefter deles op i mindre portioner. Til nogle af portionerne tilsættes additiv A1 og til andre additiv A2 . Tørretiden måles derefter. Generelt gælder, at hvert delforsøg i et forsøg udføres under en række forsøgsbetingelser. Alle andre delforsøgsbetingelser end behandlingerne sammenfattes i et begreb, der kaldes forsøgsenheden. I eksempel 2.2 er additiverne = behandlingerne og forsøgsenhederne er den enkelte portion maling, anvendt apparatur og personale, tidspunkt for delforsøget og de forhold med hensyn til temperatur, luftfugtighed osv., som gælder på forsøgstidspunktet. Bemærk, at forsøgsenhederne ofte indeholder faktorer, som ikke kan gøres ensartet fra delforsøg til delforsøg. Dette bevirker, at resultatet af de enkelte delforsøg varierer. Dette giver forsøgsvariablens variation” eller kort forsøgets “støj” . Randomisering For at sikre et statistisk gyldigt forsøg foretager man en såkaldt fuldstændig randomisering. Dette betyder at man ved lodtrækning fordeler “forsøgsenhederne” tilfældigt på behandlingerne. Dette sker, for at man ikke ubevidst kommer til at favorisere en af de to behandlinger. Hvis man eksempelvis helt systematisk i eksempel 1.1 først laver alle delforsøg med additiv A1, kunne dette bevirke en favorisering af A1 nemlig hvis forsøgsomstændighederne (apparater, personale, luftfugtighed ) er mest “gunstige” ved begyndelsen af forsøgsperioden. For at anskueliggøre denne randomiseringsproces antager vi, at vi i eksempel 2.2 skal lave 4 delforsøg med hver additiv. Endvidere antages, at delforsøgene skal indgå i den almindelige produktionsgang, dvs. at man af tidsmæssige, personalemæssige og på grund af en begrænset mængde apparatur må lade forsøgene forløbe over flere dage. Man tror ikke, at dage, apparatur og laborant har nogen væsentlig betydning for forsøgsresultaterne. Der er sandsynligvis også andre forhold udenfor vor kontrol, og som tilsammen bevirker, at selv om man udfører gentagne delforsøg med samme behandling, så får vi afvigende resultater. For en sikkerheds skyld vælger vi imidlertid at randomisere dage, apparatur og laboranter Lad os antage at der gælder følgende: Mandag er det kun muligt at lave 1 delforsøg, idet apparatur nr. 1 og laborant A er de eneste der er ledige. Tirsdag er der kapacitet ledig til 3 delforsøg: Ét delforsøg hvor apparatur nr 2 og laborant A benyttes Ét delforsøg hvor apparatur nr 1 og laborant B benyttes, og Ét delforsøg hvor apparatur nr 3 og laborant C benyttes. Onsdag kan der også laves 3 delforsøg osv. (se det følgende skema). 10 2.3.Krav til statistisk gyldigt forsøg Dag mandag tirsdag tirsdag tirsdag onsdag onsdag onsdag torsdag Forsøgsenheder Apparatur 1 2 1 3 3 4 1 3 Laborant A A B C B C A B Behandlinger (additiv) Vi foretager nu randomiseringen, som kort sagt er en form for lodtrækning. Sædvanligvis vil man benytte et program, der kan generere tilfældige tal (mange lommeregnere har et sådant program). For at anskueliggøre randomiseringen vil vi mere primitivt foretage lodtrækningen på følgende måde. På 4 sedler skrives A1, på andre 4 sedler skrives A2. Hver seddel krølles sammen til en kugle og placeres i en dåse. Sedlerne blandes ved at dåsen rystes (se figur). Hvis den første seddel der udtrækkes er A2 så betyder det, at det delforsøg der mandag udføres med apparatur 1 og laborant A skal anvende additiv A2 . Hvis den næste seddel der udtrækkes er A1 så betyder det , at det delforsøg der tirsdag udføres med apparatur 2 og råvareleverance 1 skal anvende additiv A1 osv. Resultaterne kunne eksempelvis være som angivet på følgende skema: Forsøgsenheder Dag mandag tirsdag tirsdag tirsdag onsdag onsdag onsdag torsdag Apparatur 1 2 1 3 3 4 1 3 Laborant A A B C B C A B Behandlinger (additiv) A2 A1 A1 A2 A2 A1 A2 A1 På denne måde sikrer man sig, at vi får et så vidt muligt "statistisk gyldigt" forsøg. Hvis vi derfor efter beregninger (som ses i de følgende kapitler ) konkluderer, at der er forskel på additiverne, så er det "korrekt", idet det ville være helt tilfældigt, hvis én af additiverne har været begunstiget med særlig gode forsøgsenheder. Herved har man også sikret sig, at de to stikprøver (variable) er statistisk uafhængige. 11 2. Planlægning af forsøg Forsøg bør udføres, så alle behandlinger får lige mange gentagelser. Ved planlægningen af forsøget er det ganske klart, at hvis man eksempelvis har ressourcer til at lave 20 delforsøg, så ville det være en meget dårlig plan, hvis man lavede 18 delforsøg med A1 og kun 2 delforsøg med A2 . Der bør i naturligvis tilstræbes at lave 10 delforsøg med hver behandling. Delforsøg kan mislykkes, så målet i praksis ikke bliver opfyldt. I sådanne tilfælde kan de i de følgende kapitler anførte statistiske analyser dog stadig gennemføres. Testene bliver dog mindre “robuste” (dvs. mere afhængige af, at forudsætningerne gælder) , og beregningerne mere komplicerede. Dimensionering Man kan fristes til at tro, at jo flere gentagelser jo bedre. s Da spredningen på et gennemsnit er , er det klart, at hvis antal forsøg n er stort bliver n spredningen lille, og så kan man finde, at der er en signifikant forskel selv om denne forskel er lille. Imidlertid risikerer man med mange gentagelser at opdage så små forskelle, at de ikke har praktisk betydning, og så er de mange delforsøg jo spild af arbejdskraft og penge. Endvidere gælder det jo, at hvis man laver 25 forsøg, så er spredningen formindsket med en faktor 5, mens hvis man laver 100 forsøg så er spredningen formindsket med en faktor 10. Der skal derfor særdeles mange forsøg til for alvor at formindske spredningen på gennemsnittet. Analogt med forklaringen i “Statistiske Grundbegreber” kan man under visse forudsætninger beregne hvor mange gentagelser (portioner) der skal anvendes for hver behandling, hvis P( fejl af type I) og P( fejl af type II) . Man skal naturligvis angive en bagatelgrænse , men desuden kræver beregningerne, at spredningerne ved de to behandlinger er (tilnærmelsesvis) ens, og at man kan give et nogenlunde realistisk skøn for denne fælles spredning . Det er naturligvis en svaghed ved dimensioneringen, at man inden forsøget er udført skal give et sådant skøn. En vurdering heraf kunne baseres på erfaringer fra tilsvarende forsøg. Findes sådanne erfaringer må man først lave nogle få delforsøg og derfra få et rimeligt gæt på spredningen σ. At spredningerne er nogenlunde ens vil i praksis ofte være tilfældet, da forsøgsenhederne jo er valgt ved randomisering. Når forsøget så er lavet, kan man (lidt sent) se, om man har skønnet rigtigt. Dimensioneringen har kun betydning hvis man får en accept, da man så ved, at en eventuel forskel ikke har praktisk betydning. Hvis man får en forkastelse, så ved man der er en signifikant forskel, men om den er af praktisk betydning må en nærmere undersøgelse vise. Formler for dimensionering af 2 variable findes i oversigten i kapitel 3, afsnit 3.5.1 12 3.1 Normalfordelte variable 3 . 1 Faktor på to niveauer 3.1. NORMALFORDELTE VARIABLE 3.1.1. Test af differens mellem middelværdier I dette afsnit benyttes et eksempel til at forklare metode, teststørrelse osv. Derefter vises hvorledes det samme eksempel regnes med først TI89 og derefter SAS.JMP. Eksempel 3.1. Sammenligning af 2 normalfordelte variable To produktionsmetoder M1 og M2 ønskes sammenlignet. Der udvælges tilfældigt 20 personer, hvoraf de 10 bliver sat til at arbejde med den ene metode, og de 10 andre med den anden. Efter 2 ugers forløb, beregnede man for hver person det gennemsnitlige tidsforbrug pr. enhed. Da metode 1 er mere kostbar end metode 2, ønsker man kun at gå over til den, hvis tidsforbruget pr. enhed ved metode 1 er mindst 2 minutter mindre end ved metode 2. Man fik følgende resultater. M1 87.8 91.9 89.8 89.0 92.6 89.4 91.4 88.7 90.1 92.4 M2 92.4 94.6 93.0 94.0 92.4 92.9 96.4 92.1 92.8 93.4 Undersøg på basis af disse resultater, om det på et signifikansniveau på 5% kan påvises at tidsforbruget ved metode M1 er mindst 2 minutter mindre end ved metode M2 . Løsning: a) Lad X1 = tidsforbrug ved anvendelse af metode M1 og X2 = tidsforbrug ved anvendelse af metode M2. X1 og X2 antages approksimativt normalfordelte med middelværdi og spredning henholdsvis 1 , 1 og 2 , 2 . H 0 : 2 1 2 H: 2 1 2 Begrundelse: Nulhypotesen udtrykker jo, at intet er ændret (nul virkning), så den angiver, at differensen i middeltidsforbruget er præcist 2. Begrundelse: Den alternative metode udtrykker jo det vi ønsker at bevise, så den angiver, at differensen i middeltidsforbruget er større end 2. Såvel TI89 som SAS.JMP anvender et færdigt program, der anvender en testmetode (Satterthwaites metode), som er robust overfor mindre afvigelser fra kravet om normalitet, når blot antallet af gentagelser er den samme. Er det ikke tilfældet kan man stadig foretage testen, men så stilles der større krav til, at de variable X1 og X2 virkelig er normalfordelte. Formlen for Satterthwaites metode kan findes i oversigten i kapitel 3.5.1. Er den beregnede P-værdi < signifikansniveauet forkastes H0 , dvs. vi har bevist den alternative hypotese H er sand. (sandsynligheden for vi dermed kommer med en forkert konklusion er mindre end ). Er P-værdien > signifikansniveauet accepters H0, dvs. vi kan ikke på dette grundlag bevise, at H er sand. Får man en accept og er P - værdien ikke meget større end signifikansniveauet , så er det muligt at en “stærkere” t - test kunne give en forkastelse. Denne stærkere t-test kræver imidlertid at de to spredninger kan antages at være ens. 13 3. 1 Faktor på 2 niveauer Dette er ofte tilfældet på grund af randomiseringen, men er man i tvivl herom kan man først foretage en test af om spredningerne er ens. Får man en accept heraf, har man naturligvis ikke hermed vist, at varianserne er ens, men da den følgende t - test af middelværdier er robust overfor mindre forskelle i varianserne, blot vi har samme antal gentagelser, er det tilladeligt i den følgende test af middelværdierne, at antage at varianserne er ens. Forklaring på formler For hver af de 2 metoder udføres en række delforsøg. Lad antallet af forsøg være henholdsvis n1 og n2. Vi antager, at X1 og X2 er statistisk uafhængige normalfordelte variable med henholdsvis middelværdierne 1 og 1 og 2 . H 0 : 1 2 d 2 og spredningerne Nulhypotese (d er i eksemplet -2). eller H 0 : 1 2 d 0 , Testproceduren baseres på fordelingen af differensen Y X 1 X 2 d . Ifølge additionssætningen (se eventuelt “Statistiske Grundbegreber) er Y normalfordelt og fra regnereglerne fås 2 2 E X 1 X 2 d E X 1 E X 2 d 1 2 d og V X X d V X V X 1 2 . 1 2 1 2 Heraf følger, at U X1 X 2 d 12 n1 Teststørrelsen U 22 n1 n2 er normeret normalfordelt. n2 X1 X 2 d 12 n1 22 gælder kun, hvis spredningerne 1 og 2 er kendt eksakt. n2 Kendes kun deres estimater s1 og s2 må der anvendes andre testprocedurer. Får man ved en F-test en accept af, at varianserne er ens, pooles varianserne sammen til en fælles gennemsnitlig 2 varians s0 ( se eventuelt oversigten i afsnit 3.5.1) og størrelsen t = X1 X 2 d s02 s02 n1 n2 X1 X 2 d s0 1 1 n1 n2 er nu t - fordelt. Hvis stikprøvestørrelserne er store (begge over 30) er det dog tilstrækkelig nøjagtigt at anvende X X2 d U 1 som teststørrelse. s12 s22 n1 n 2 I modsat fald kan anvendes en ret kompliceret procedure, der kaldes "Satterhwaite's metode". Denne er beskrevet i kapitel 3.5.1. Eksempel 3.1. fortsat- løst med TI89 og TI-Nspire Hypoteserne omskrives til H 0 : 1 2 2 H: 1 2 2 TI89: APPS, STAT/LIST , indtast data i list1 og list 2 vælg Data TI-Nspire: F6, 4: 2 - SampTtest ENTER ok I menu for “list 1" skrives list1+2, for “alternative Hyp” 1 2 I den fremkomne menu og pooled til “NO” OK Lister og regneark Udfyld lister med overskrift m1 og m2 Statistik t-interval for 2 variable menu:data ok menu: List1: benyt pil til at vælge “m1" og skriv +2 List 2: Vælg “m2" “alternative Hyp” 1 2 samlet: nej ok Man får P-værdi = 0.0609. Da P-værdi =6.09% > 0.05% accepteres H0, dvs. det er ikke muligt på dette grundlag at bevise, at tidsforbruget ved metode M1 er 2 minutter mindre end ved metode M2. 14 3.1 Normalfordelte variable Da P-værdien var så tæt ved 5%, vil vi nu forsøge med den stærkere t-test, hvor kravet er en fælles "poolet" spredning Vi gør som før, men retter nu poolet til YES Vi får som forventet en lidt mindre P-værdi = 0.0604, men det giver stadig en accept, så konklusionen er den samme. Da P-værdien er så tæt ved 5% er der en god mulighed for, at tidsforbruget ved metode 1 faktisk er 2 minutter mindre end ved metode 2 (begår en fejl af type 2). Det ville derfor være rimeligt at bede om at få foretaget flere forsøg. Havde vi fået en P-værdi < 0.05, så ville næste træk være at teste om spredningerne var ens (se eventuelt eksempel 3.2 hvordan), da vi ellers ikke måtte have anvendt den sidste metode. Eksempel 3.1. fortsat- løst med SAS.JMP Data indtastes i 2 søjler, idet vi lægger 2 til alle tal fra metode 1. metode m1 m1 m1 m1 m1 m1 m1 m1 m1 m1 m2 m2 m2 m2 m2 m2 m2 m2 m2 m2 Analyze tidsforbrug 89,8 93,9 91,8 91,0 94,6 91,4 93,4 90,7 92,1 94.4 92.4 94,6 93,0 94,0 92,4 92,9 99,4 92,1 92,8 93,4 Fit y by x Y-Response:Tidsforbrug ,x-Grouping: Metode OK rød pil, t-test t Test m2-m1 Assuming unequal variances Difference Std Err Dif Upper CL Dif Lower CL Dif Confidence 1,0900t Ratio 0,6694DF 2,5024Prob > |t| -0,3224Prob > t 0,95Prob < t 1,628317 16,99463 0,1219 0,0609 0,9391 Da P - værdi = 0.0609 > 0.05 accepteres nulhypotesen, dvs. det er ikke muligt på dette grundlag at bevise, at tidsforbruget ved metode M1 er 2 minutter mindre end ved metode M2. 15 3. 1 Faktor på 2 niveauer Test af Varians Som det ses af eksempel 3.1 kan det sjældent blive nødvendig at benytte den lidt stærkere metode, da P-værdien nok bliver mindre, kun sjældent så meget, at det har betydning for konklusionen. Imidlertid vil det i de næste kapitler være nødvendigt at teste om spredningen på 2 stikprøver er ens. s2 Dette sker ved en såkaldt F - test hvor teststørrelsen er F = 22 s2 F-fordelingen er beskrevet i afsnit 3.5.2, hvor også fremgangsmåden ved testningen er angive. Som det fremgår af eksempel 3.2 har såvel TI89, TI-Nspire som SAS.JMP færdige programmer til testningen, så det er ikke nødvendigt at anvende teststørrelsen direkte. Eksempel 3.2 . Test af varians Samme problem som i eksempel 3.1 Undersøg ved en test på signifikansniveau på 5% om de to metoders varians er ens. Løsning:TI89 og TI-Nspire H0 : 12 22 mod H: 12 22 TI89: F6 9:2 - SampFtest ENTER, Menuen udfyldes, og man vælger I menuen vælg Data Input Method= Data “alternative Hyp = 1 2 , ENTER TI-Nspire: Statistik Statistiske test F-test for 2 spredninger ENTER data menu udfyldes ENTER I udskrift findes P - værdi = 0.4711 Da P - værdi =0.471 > 0.05 accepteres H0, dvs. vi vil i den følgende test antage, at spredningerne er ens. Løsning: SAS.JMP Data indtastes i 2 søjler (se eksempel 3.1) H0 : 12 22 mod H: 12 22 Analyze Fit y by x Response:Tidsforbrug , Factor: Metode Cursor på rød pil Un-Equal Variance OK Blandt en række udskrifter forekommer nedenstående Tests that the Variances are Equal Level Count Std Dev MeanAbsDif to Mean m1 m2 Test O'Brien[.5] Brown-Forsythe Levene Bartlett F Test 2-sided 10 10 1,668965 1,302135 F Ratio 0,7193 1,2610 1,6453 0,5199 1,6428 1,412000 0,960000 DFNum 1 1 1 1 9 MeanAbsDif to Median 1,370000 0,880000 DFDen 18 18 18 . 9 p-Value 0,4075 0,2762 0,2159 0,4709 0,4711 I udskrift for F - test findes P - værdi = 0.4711 Da P - værdi =0.471 > 0.05 accepteres H0, dvs. vi vil i den følgende test antage, at spredningerne er ens. 16 3.1 Normalfordelte variable Dimensionering. Eksempel 3.3 (fortsættelse af eksempel 2.2) En fabrik der producerer maling, har udviklet to nye additiver A1 og A2, som bevirker en kortere tørretid. Additiv A1 er det dyreste, men man forventer også, at det giver den korteste tørretid. På grund af prisforskellen, skal tørretiden dog være mindst 10 minutter kortere for A1, før man vil gå over til den. For at undersøge disse forhold produceres nogle liter maling, som derefter deles op i mindre portioner. Til nogle af portionerne tilsættes additiv A1 og til andre additiv A2 . Tørretiden måles derefter. a) Hvor mange delforsøg skal anvendes ved forsøget, hvis man ønsker, at P( fejl af type I) 0.05 , P( fejl af type II) 010 . og bagatelgrænsen =10 minutter, idet man fra mange tilsvarende forsøg ved, at den fælles spredning er = 12 minutter. b) Samme spørgsmål og krav som i spørgsmål a), men nu antages, at man ikke kender spredningen, men ud fra nogle få delforsøg skønner, at den er ca. 12 minutter. a) Af formlerne i oversigten i kapitel 3.5.1 fås u1 u1 n 2 2 2 2 1645 u u . . 1282 0.90 2 0.95 24.67 2 10 10 12 12 dvs. der skal udføres i alt n = 25 delforsøg af hver behandling b) Idet første led er 24.67 fås t ( 2n 2) n 24.67 1 u1 2 TI89+TI-Nspire: solve(x=24.67*(inv- t(0.95,(2*x-2))/invNorm(0.95))^2,x) x 24 Der kan nu gå 1 minut før lommeregneren finder en løsning x = 25.6 svarende til n 26 Eksempel 3.4. Data ikke opgivet På basis af dimensioneringen i eksempel 3.3 udførte man 26 delforsøg af hver behandling. Efter at forsøgsrækken var afsluttet, opdagede man, at et af forsøgene var mislykket og måtte kasseres. Der var følgelig kun 25 delforsøg med additiv A1 . For de to stikprøver fandt man, at Forsøgsrækken med A1: n = 26, x1 118.6 og s1 12.13 Forsøgsrækken med A2: n = 25 x 2 129.2 og s2 14.2 a) Kan man ud fra disse data bevise på mindst signifikansniveau = 0.05 , at malingen med additivet A1 tilsat har en mindre middeltørretid end konkurrentens? b) Hvad vil du anbefale virksomheden at gøre, hvis man som nævnt i eksempel 3.3 kun vil gå over til A1 hvis middeltørretiden for A1 er mindst 10 minutter kortere end for A2 (bagatelgrænsen) . Løsning:TI89 og TI-Nspire X1 = tørringstiden for maling tilsat additiv A1. X2 = tørringstiden for maling tilsat additiv A2. X1 og X2 antages at være uafhængige normalfordelte variable med henholdsvis middelværdierne 1 og 2 og spredningerne 1 og 2 . a) Nulhypotese H 0 : 1 2 , Alternativ hypotese: H: 1 2 TI89: APPS STAT/LIST F6, 4 2 - SampTtest ENTER I den fremkomne menu vælg STATS OK (da forsøgsresultaterne resultater ikke er kendt) Menuen udfyldes bl.a. “alternative Hyp” 1 2 TI-Nspire: Beregner og pooled til “NO” OK Statistiske test t-test for 2 middelværdier Statistik Udfyld menu ENTER Da P-værdi = 0.0031 < 0.05 forkastes nulhypotesen Konklusion: Der er et stærkt statistisk bevis for at additiv A1 i middel har en kortere tørringstid end additiv A2. 17 3. 1 Faktor på 2 niveauer b) Metode 1: Et 95% konfidensinterval for differensen: TI89: APPS STAT/LIST F7, 4: 2 - SampTint ENTER I den fremkomne menu vælg STATS OK (da forsøgsresultaterne resultater ikke er kendt) Menuen udfyldes bl.a. sættes pooled til “NO” OK TI-Nspire: Statistik Konfidensintervaller t-interval for 2 middelværdier Statistik Menu udfyldes herunder “samlet” til nej Man får 95% konfidensinterval [ - 18.1 ; -3.15], dvs. tørretiden for A1 er mellem 3 og 18 minutter kortere end for A2. Konklusion: Da bagatelgrænsen er 10 minutter, og næsten 50% af konfidensintervallet ligger under 10, kan det ikke på baggrund af dette materiale anbefales at gå over til det mere kostbare additiv. Metode 2: Nulhypotese H 0 : 1 10 2 , Alternativ hypotese: H: 1 10 2 TI89 : APPS STAT/LIST F6, 4 2 - SampTtest ENTER I den fremkomne menu vælg STATS OK Menuen udfyldes bl.a. x1 = 118,6+10 “alternative Hyp” 1 TI-Nspire: 2 og pooled til “NO” OK Beregner Statistiske test med xbar1 = 118.6+10 t-test for 2 middelværdier Statistik Udfyld menu, bl. a Enter Man finder P-værdi = 43.6%, dvs., sandsynligheden for at begå en fejl, hvis man påstår, at additiv 1 har en 10 minutter kortere tørretid, er ca. 40%. Man vil derfor næppe gå over til additiv 1. Løsning:SAS.JMP SAS har ikke et særligt program for de tilfælde, hvor de oprindelige data ikke er kendt Man må benytte de formler der står i afsnit 3.5.1 til beregningerne. 3.1.2 Parvise observationer (blokforsøg) Hvis observationerne i stikprøven udviser meget stor spredning, kan en test sandsynligvis ikke vise signifikans. Imidlertid er det måske så muligt at nedsætte spredningen ved at sammenligne observationerne to og to ( i par). Man siger også, at man opdeler i blokke. Det følgende eksempel illustrerer fremgangsmåden Eksempel 3.5. Parvise observationer En producent af malervarer har laboratorieresultater, der tyder på, at en ny lak A, har en større slidstyrke end den sædvanlige lak B. Han ønsker en afprøvning i praksis og aftaler med ejerne af 6 bygninger med mange trapper, at han må lakere deres trapper. Da der er meget forskelligt hvor mange personer der går på trapperne i de forskellige bygninger (sammenlign blot sliddet på en skole og et plejehjem) vælger man at foretage et “blokforsøg” , med de 6 bygninger som 6 blokke. I hver bygning lakeres hverandet trin (valgt ved lodtrækning) med lak A og resten mad lak B. Efter 3 måneders forløb måles graden af slid (i %) i hver bygning. De målte værdier af slid efter valg af plan var Bygning nr 1 2 3 4 5 6 Ny lak 20.3 25.1 21.8 19.6 18.9 23.5 Sædvanlig lak 19.5 28.4 21.6 22.0 20.9 25.8 Undersøg om observationerne leverer et eksperimentelt bevis for, at den nye lak er mere slidstærk end den sædvanlige lak. 18 3.1 Normalfordelte variable Løsning Vi ser nu på differensen mellem sliddet i en bygning. (hvorved den store forskel mellem bygningerne elimineres) Lad D = Xgammel - Xny Bygning nr d = xgammel - xny 1 - 0.8 2 3.3 3 -0.2 4 2.4 5 2.0 6 2,3 D antages normalfordelt n( , ) , hvor såvel som er ukendte. Da vi ønsker at teste om ny lak er mere slidstærk end gammel lak, dvs. den mest slidstærke lak slides mindst , bliver testen en ensidet t - test. Nulhypotese H0 : = 0 TI89: Differensdata indtastes TI-Nspire: Alternativ hypotese H : > 0. APPS, STAT/LIST F6, 2: t-test vælg Data menu udfyldes Lister og regneark Udfyld liste med differensdata Statistik t-interval for 1 middelværdi menu:data ok udfyld menu bl.a med samlet: nej ok Man finder x 15 . og P - værdi = P(T 15 . ) 0.0363 Da P - værdi = 3.63% < 5% forkastes H0 (svagt), dvs. den ny lak er mere slidstærk end den gamle. SAS.JMP Data indtastes Ny lak Gammel lak 20,3 19,5 25,1 28,4 21,8 21,6 19,6 22 18,9 20,9 23,5 25,8 . . Vælg Analyze Matched Pairs Y: Paired response:Ny lak og Gammel lak ved "Plot Diff by Mean OK Rød pil Fjern markering Matched Pairs Difference: Gammel lak-Ny lak Gammel lak Ny lak Mean Difference Std Error Upper 95% Lower 95% N Correlation 23,0333 21,5333 1,5 0,66131 3,19996 -0,2 6 0,89502 t-Ratio DF Prob > |t| Prob > t Prob < t 2,268219 5 0,0726 0,0363* 0,9637 Heraf ses, at P-værdi = 0.0363. H0 forkastes, dvs. ny lak mere slidstærk end gammel lak 19 3. 1 Faktor på 2 niveauer 3.2 BINOMIALFORDELTE VARIABLE. Man kan ofte approksimere en binomialfordeling med en normalfordeling. Det er en sådan approksimation, som såvel formlerne i oversigten i afsnit 3.5.3 bygger på som TI89's program: 2-Prop-Z-test. Forudsætningen er: X1 og X2 er binomialfordelt henholdsvis b(n1 , p1 ) og b(n 2 , p2 ) Observerede stikprøveværdier x1 og x2. Lad p 1 x1 x x x2 . , p 2 2 , p 1 n1 n2 n1 n2 Forudsætning: n1 p 5 ; n1 5 , n2 p 5 ; n2 5 I praksis vil disse forudsætninger for approksimation sædvanligvis være opfyldt. Vi belyser beregningerne ved følgende eksempel. Eksempel 3.6. Binomialfordelingstest. Ved et forsøg der skulle afgøre om C - vitamin har en forebyggende virkning mod forkølelse, fik halvdelen af en gruppe på 280 franske skiløbere C - vitamin mens de øvrige fik kalktabletter (placebobehandling). Fordelingen skete randomiseret, og forsøgspersonerne var uvidende om gruppeinddeling og hvilket medikament de fik. Efter en passende tid optaltes hvor mange af forsøgspersonerne der var forkølede. Resultaterne kan ses af følgende skema: Forkølet Ikke forkølet Total C-vitamin 17 122 139 Kalktabletter 31 109 140 Bemærk, at en enkelt forsøgsperson gled ud af forsøget, så grupperne blev ikke helt lige store. 1) Kan det på et signifikansniveau på 5% vises, at C - vitamin har en forebyggende virkning? 2) I bekræftende fald angiv er 95% konfidensinterval for differensen mellem parametrene. Løsning TI89: X1 er binomialfordelt b(139, p1). X1 = antal forkølede personer der har fået C-vitamin. X2 = antal forkølede personer der har fået Kalktabletter. X2 er binomialfordelt b(140, p2). 1) H 0 : p1 p 2 mod H: p1 p2 (da vi ønsker at vise, at p1 p2 ). p 1 x x2 x1 17 31 48 x 17 31 , p 2 2 og p 1 . n1 n2 139 140 279 n2 140 n1 139 Da n1 p 139 48 48 23.9 [5;139 5] og n 2 p 140 24.1 [5;140 5] 279 279 er forudsætningerne for at approksimere med normalfordelingen opfyldt. TI89: F6, 6 2-Prop-ZTest Alt. hyp : p1 p 2 TI-Nspire: Statistik Udfylder menu: Succes x1=17, n1= 139, succes x2=31, n2 = 140, Statistiske test z test for 2 andele Udfyld menu Udskrift giver P- værdi=0.0141 Da P - værdi = 0.0141 < 0.05 forkastes nulhypotesen (svagt) Konklusion: På signifikansniveau 5% er vist, at C-vitamin har en vis forebyggende virkning mod forkølelse, 20 3.3 Poissonfordelte variable 2) 95% konfidensinterval; TI89: F7, 6 2-Prop-ZInt , menu udfyldes som under punkt 1. TI-Nspire:Statistik Konfidensintervaller z-interval for 2 andele Udskrift viser menu som under punkt 2 C_int=[-0.187 ; -0.0111] Løsning SAS.JMP: SAS.JMP benytter en såkaldt 2 -test som først omtales i kapitel 10. Data indtastes: vitamin syg c c kalk kalk antal forkølet 17 ikke forkølet 122 forkølet 31 ikke forkølet 109 Vælg fra hovedmenu Analyze Fit y by x Response:Syg , Factor: vitamin Resultat: Contingency Analysis of Syg By Vitamin Freq: Antal Tests Source DF -LogLike Model 1 2,43585 Error 277 125,65610 C. Total 278 128,09195 N 279 Test Likelihood Ratio Pearson Fisher's Exact Test Left Right 2-Tail ChiSquare 4,872 4,811 Prob 0,0205 0,9910 0,0385 Freq: Antal OK RSquare (U) 0,0190 Prob>ChiSq 0,0273 0,0283 Alternative Hypothesis Prob(Syg=ikke forkølet) is greater for Vitamin=c than kalk Prob(Syg=ikke forkølet) is greater for Vitamin=kalk than c Prob(Syg=ikke forkølet) is different across Vitamin P-værdi = 0.0283/2 = 0.0141 (ud for Pearson) (kun ved ensidet test divideres med 2) På signifikansniveau 5% er vist, at C-vitamin har en vis forebyggende virkning mod forKonklusion: kølelse, 3.3 POISSONFORDELTE VARIABLE. Man kan ofte approksimere en Poisonfordeling med en normalfordeling. Det er en sådan approksimation, som formlerne i oversigten i afsnit 3.5.4 bygger på. I praksis vil disse forudsætninger for approksimation sædvanligvis være opfyldt. Vi belyser anvendelsen af oversigten ved følgende eksempel (Hverken TI89 eller SAS.JMP har ikke et særligt program hertil). Eksempel 3.7. Poissonfordelingstest. En bestemt type TV-apparat produceres på 2 fabrikker A og B. Man har mistanke om, at der er forskel på antallet af loddefejl der findes i apparater fra de to fabrikker. For at teste dette, udtages af den løbende produktion stikprøver på 20 TV-apparater, og man optalte antallet af loddefejl i de 20 apparater. Resultaterne blev: Fabrik A: På 20 apparater fandtes i alt 12 loddefejl Fabrik B: På 19 apparater fandtes i alt 7 loddefejl (et apparat måtte udskydes) Test på dette grundlag, om der er forskel på fejlintensiteten på de to fabrikker. Løsning. X1 antages Poissonfordelt p( 1 ). X1 = antal loddefejl pr. apparat på fabrik A. X2 = antal loddefejl pr. apparat på fabrik B. X2 antages Poissonfordelt p( 2 ). H 0 : 1 2 mod H: 1 2 (da vi ønsker at vise, at 1 2 ) 21 3. 1 Faktor på 2 niveauer Oversigten i kapitel 3.5.4 anvendes : 7 12 20 19 12 , 7 , og x1 x2 20 19 12 7 19 . x 20 19 20 19 20 19 39 Da n1 x 20 19 19 9.74 5 og n2 x 19 9.26 5 39 39 er forudsætningerne for at approksimere med normalfordelingen opfyldt. 12 7 0.2316 Vi finder : s x 1 1 19 1 1 0.2236 og x1 x 2 20 19 39 20 19 n1 n 2 Da P-værdi = P(Y > 0.2316) = normCdf(0.2316, ,0,0.2236) = 0.1501 > 0.025 accepteres nulhypotesen. Konklusion: Man kan ikke på det grundlag vise, at der er forskel på fejlintensiteten på de to fabrikker, SAS.JMP kan kun foretage denne test ved at foretage beregningerne i FORMULA . 3.4. FORDELING UKENDT (Rangtest) De testprocedurer vi har benyttet i de forrige kapitler har alle været baseret på, at i det mindste approksimativt kendte fordelingen (normal-, binomial- eller Poisson-fordelt) og testen vedrørte parametre i fordelingen såsom , eller p . Denne form for statistik kunne kaldes “parametrisk statistik”. Kendes fordelingen ikke, og kan man heller ikke approksimere den til en kendt fordeling, så må man benytte de såkaldte “ikke- parametriske test”. Disse forudsætter ikke, at fordelingen er kendt, og kunne derfor også kaldes “fordelingsfri test”. Da det ligger udenfor denne bogs centrale emner, men der findes en beskrivelse heraf i kapitel 11. 22 3.5 Oversigt over centrale formler i kapitel 3 3.5. OVERSIGT OVER CENTRALE FORMLER I KAPITEL 3 Test og konfidensinterval af differens 1 2 mellem middelværdier 1 og 2 for 2 normalfordelte variable . X1 og X2 er normalfordelte henholdsvis n( 1 , 1 ) og n( 2 , 2 ) . 3.5.1. Givet 2 stikprøver af X1 og X2. Størrelse, gennemsnit og spredning henholdsvis n1, Signifikansniveau er . Lad d være en given konstant. x1 , s1 og n2, x 2 , s2. Satterthwaites test: Forudsætning 1 og 2 ukendte s12 Forkortelser: a = n1 , b= s22 , c = a + b, n2 g c2 a2 b2 n1 1 n 2 1 T er t - fordelt med frihedsgradstallet f. Forudsætninger Alternativ hypotese H P - værdi x1 x 2 d c 1 2 d f er det nærmeste hele tal, som er større end g 1 2 d H0 forkastes P(T t ) 1 , 2 ukendte 1 2 d t Beregning TI89: tCdf (t , , f ) eller F6: 2-sampTtest,pooled, No P - værdi< P(T t ) TI89: tCdf ( , t , f ) eller F6: 2-sampTtest,pooled, No P - værdi 21 P(T t ) for x1 x 2 d som række 1 som række 2 dog hvis Ttest P(T t ) for x1 x 2 d P - værdi< 100 (1 )% konfidensinterval for differens 1 2 : x1 x 2 t 1 2 ( f ) c 1 2 x 1 x 2 t TI89: F7, 2-SampTint 1 2 ( f ) c ,pooled, No U-test (eller Z-test):Forudsætning: 1 og 2 kendt eksakt Forkortelser: x x1 x 2 d Forudsætninger Alternativ hypotese H 12 n1 22 n2 P - værdi Beregning TI89: normCdf ( x , , , ) eller F6: 2-sampZtest P(Y x ) 1 , 2 kendte 1 2 d Y er normalfordelt n( , ) P - værdi< P(Y x ) TI89: normCdf ( , x , , ) eller F6: 2-sampZtest P(Y x ) for x1 x 2 d som række 1 som række 2 P(Y x ) for x1 x 2 d 1 2 d 1 2 d 100 (1 )% konfidensinterval for differens 1 2 : x1 x 2 u 1 2 x1 x 2 u 1 H0 forkastes 2 1 2 TI89: F7, 2-SampZint Parvise observationer (blokforsøg) 23 P - værdi 21 dog hvis Ztest P - værdi< 3. 1 Faktor på 2 niveauer t-Test: Forudsætning: Forsøgene udføres “parvist” (jævnfør eksempel 3.5). Man danner differensen mellem tallene i hvert par (blok) Lad D være denne differens, og lad D have middelværdi og spredning T er en stokastisk variabel der er t - fordelt med f = n - 1. Forudsætninger Alternativ hypotese H P - værdi H: 0 P(T t ) ukendt. H: 0 P(T t ) t ( x 0 ) n . s H: 0 P(T t ) for x 0 P(T t ) for x 0 t-Test: Forudsætning: x1 x 2 d s0 Forudsætninger 1 1 n1 n 2 Alternativ hypotese H hvor s02 P - værdi P - værdi < 1 2 dog hvis t-test P - værdi F - test (n1 1) s12 (n 2 1) s22 , f n1 n 2 2 n1 n 2 2 P - værdi Beregning P(T t ) TI89: tCdf (t , , f ) eller F6: 2-sampTtest,pooled, Yes 1 2 d P(T t ) TI89: tCdf ( , t , f ) eller F6: 2-sampTtest,pooled, Yes 1 2 d P(T t ) for x1 x 2 d som række 1 som række 2 1 , 2 ukendte 1 2 d H0 : 1 2 accepteres ved F - test TI89: tCdf (t , , n 1) eller F6: t-test TI89: tCdf ( , t , n 1) eller F6: t-test som række 1 som række 2 1 og 2 ukendte H 0 : 1 2 accepteres ved Forkortelser: t H0 forkastes Beregning P(T t ) for x1 x 2 d H0 forkastes P - værdi< P - værdi 21 dog hvis Ttest P - værdi< 100 (1 )% konfidensinterval for differens 1 2 : x1 x 2 t 1 2 ( f 0 ) s0 1 1 1 1 1 2 x1 x 2 t ( f 0 ) s 0 n1 n 2 n n 1 1 2 2 TI89: F7, 2-SampTtint Dimensionering: 1 2 er den mindste ændring der har praktisk interesse. =P(type I fejl), = P(type II fejl) Spredninger ukendt, men antages at være nogenlunde ens og højst af størelsen 2 Ensidet test: u1 u1 t (2n 2) 2 1 n 2 . u1 Tosidet test: I ovenstående formel erstattes med 2 Spredninger kendt : Samme formel, idet man blot stryger sidste faktor med t- leddet. 24 3.5 Oversigt over centrale formler i kapitel 3 Test af differens mellem varianser 12 og 22 X1 og X2 er normalfordelte henholdsvis n( 1 , 1 ) og n( 2 , 2 ) . 3.5.2. Givet 2 stikprøver af X1 og X2. Størrelse, gennemsnit og spredning henholdsvis n1, Signifikansniveau er . Forkortelser: F Forudsætninger Alternativ hypotese H s12 , Q er F - fordelt F (n1 1, n2 1) s22 P - værdi P(Q F ) 1 , 2 ukendte H: 12 22 Beregning H0 forkastes FCdf ( F , , n1 1, n 2 1) eller F6: 2Sampl F test H: 12 22 P(Q F ) H: 12 eller F6: 2Sampl F test P(Q F ) for F > 1 som række 1 P(Q F ) for F < 1 som række 2 22 x1 , s1 og n2, x2 , s2. P - værdi< FCdf ( , F , n1 1, n 2 1) 100 (1 )% Konfidensinterval for forhold 12 22 P - værdi 21 dog hvis Ftest P - værdi< : F 2 12 F F (n2 1, n1 1) 1 F (n1 1, n2 1) 2 2 1 1 og 2 kendte: 2 F 1 kendt og 2 ukendt: F (n 1) s (n 1) s 1 2 1 n1 ( x1 1 ) 2 n2 2 2 2 n2 ( x2 2 ) 2 n1 (n1 1) s12 n1 ( x1 1 ) 2 s22 n1 , Q er F - fordelt F (n1 , n2 ) . , Q er F - fordelt F (n1 , n2 1) F - fordelingen Til enhver F - fordeling er knyttet to hele positive tal fT og fN kaldet henholdsvis tællerfrihedsgradstallet og nævnerfrihedsgradstallet. En sådan fordeling benævnes F ( f T , f N ) . s12 Det kan vises (se evt “afsnit til statistiske grundbegreber” 3C ), at den variable F 12 s22 22 hvor f1 og f2 er de til s12 og s22 hørende frihedsgradstal. Dette benyttes til testning af hypoteser vedrørende forholdet mellem to varianser. På figuren er afbildet tæthedsfunktionen for F - fordelingerne F(10,4), F(10,10) og F(10,50). Det ses, at F fordelinger kun er defineret for tal større end eller lig nul, og at F-fordelinger ikke er symmetriske. 25 er F - fordelt F ( f1, f2 ), 3. 1 Faktor på 2 niveauer 3.5.3. Test og konfidensinterval af p1 - p2 for 2 binomialfordelte variable. X1 og X2 er binomialfordelt henholdsvis b(n1 , p1 ) og b(n 2 , p 2 ) , hvor n1 og n2 er kendte og p1 og p2 ukendte. Observerede stikprøveværdier x1 og x2. Signifikansniveau er . Forkortelser: p 1 x x2 x1 x , s , p 2 2 , p 1 n1 n2 n1 n2 1 1 p (1 p ) n1 n 2 Y er normalfordelt variabel n(0,s) Forudsætninger n1 p 5 ; n1 5 n 2 p 5 ; n 2 5 Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H0 forkastes H: p1 p2 P(Y p 1 p 2 ) H: p1 p 2 NormCdf ( , p 1 p 2 ,0, s) eller F6: 2-Prop Z test P(Y p 1 p 2 ) for p 1 p 2 som række 1 P(Y p 1 p 2 ) for p 1 p 2 som række 2 NormCdf ( p 1 p 2 , ,0, s) eller F6: 2-Prop Z test P - værdi< P(Y p 1 p 2 ) H: p1 p2 P - værdi 21 dog hvis 2PropZtest, så P - værdi< 100 (1 )% konfidensinterval for differens p1 p 2 p 1 p 2 u 1 2 p 1 (1 p 1 ) p 2 (1 p 2 ) p1 p2 p 1 p 2 u 1 n1 n2 2 p 1 (1 p 1 ) p 2 (1 p 2 ) n1 n2 eller TI89: 2 prop- z- Interval 3.5.4 Test og konfidensinterval af 1 - 2 for 2 Poissonfordelt variable X1 og X2 er Poissonfordelte variable fordelt p( 1 ) og p( 2 ) hvor 1 og 2 er ukendte. Der foreligger to stikprøver af størrelsen n1 med gennemsnit x1 og n2 med gennemsnit x 2 . Signifikansniveau er . Forkortelser: x n1 x1 n2 x2 1 1 og s x n1 n 2 n1 n2 Y er normalfordelt variabel n(0,s) Forudsætninger n1 x 5 n2 x 5 Alternativ hypotese H P - værdi Beregning H: 1 2 P(Y x1 x2 ) NormCdf ( x1 x2 , ,0, s) H: 1 2 P(Y x1 x 2 ) NormCdf ( , x1 x2 ,0, s) H: 1 2 P(Y x1 x2 ) for x1 x2 P(Y x1 x 2 ) for x1 x 2 som række 1 som række 2 100 (1 )% konfidensinterval for differens 1 2 . x1 x2 u 1 2 x1 x2 x x 1 2 x1 x2 u 1 2 1 n1 n2 n n2 1 2 26 H0 forkastes P - værdi< P - værdi 21 Opgaver til kapitel 3 OPGAVER Opgave 3.1 Det påstås at modstanden i en tråd af type A er større end modstanden i en tråd af type B. Til afklaring af denne påstand udtages tilfældigt 6 tråde af hver type og deres modstande måles. Følgende resultater fandtes: Modstand i tråd A (i ohm) 0.140 0.138 0.143 0.142 0.144 0.137 Modstand i tråd B (i ohm) 0.135 0.140 0.142 0.136 0.138 0.140 Hvilke konklusioner kan drages med hensyn til påstanden? Opgave 3.2 Et levnedsmiddelfirma havde udviklet en diæt, som har lavt indhold af fedt, kulhydrater og kolesterol. Diæten er udviklet med henblik på patienter med hjerteproblemer, men firmaet ønsker nu at undersøge diætens virkning på folk med vægtproblemer. To stikprøver på hver 100 personer med vægtproblemer blev udtaget tilfældigt. Gruppe A fik den nye diæt, mens gruppe B fik den diæt, man normalt gav. For hver person blev registreret størrelsen af vægttabet i en 3 ugers periode. Man fandt følgende værdier for gennemsnit og spredning: Gruppe A: x A 9.31 kg , s A 4.67 Gruppe B: x B 7.40 kg , sB 4.04 . 1) Undersøg om vægttabet for gruppe A er signifikant større end for gruppe B. Signifikansniveau 5% . 2) I tilfælde af signifikans beregn da et 95% konfidensinterval for differensen mellem de to gruppers middelværdier. Opgave 3.3 I et laboratorium foretoges 15 uafhængige bestemmelser af furfurols kogepunkt, idet 8 af bestemmelserne foretoges af én kemiingeniør, de resterende bestemmelser af en anden kemiingeniør. Resultaterne var ( 0C ) : 1. ingeniør 162.2 161.3 161.9 161.2 163.4 162.4 162.5 162.0 2. ingeniør 163.3 162.6 161.8 163.8 163.0 163.2 164.1 Undersøg, om de to ingeniørers resultater i middel er ens. Opgave 3.4 Med henblik på at sammenligne de farmakologiske virkninger af stofferne morphin og nalbuphin foretoges et fuldstændigt randomiseret forsøg, hvorved man på 10 forsøgspersoner målte ændringen i pupildiameter (millimeter) efter indsprøjtning af en standarddosis af en opløsning af morphin (M) eller nalbuphin (N) . Forsøgsplan og forsøgsresultater var: M: 1.0 N: 0.0 M: 1.9 M: 2.0 N: 0.8 M: 0.8 M:0.1 N: - 0.3 N : 0.4 N: 0.2 a) Analyser forsøgsresultaterne. b) Hvis der er en signifikant forskel skal der opstilles et 95%-konfidensinterval for differensen ( M ) ( N ) mellem de to middelværdier. 27 3. 1 Faktor på 2 niveauer Opgave 3.5 På et laboratorium undersøgtes filtreringstiden for en opløsning af et bestemt gødningsstof ved benyttelsen af to forskellige filtertyper (F1) og (F2). Følgende stikprøveværdier observeredes: (F1) 8 10 12 13 13 (F2) 9 10 10 7 9 9 14 4 Det antages, at filtrerinqstiderne X1 og X2 er normalfordelte n( 1 , 1 ) og n( 2 , 2 ) l) Test, om det kan antages, at 1 2 . 2) Test under hensyntagen til det i l) fundne, om det kan antages, at 1 2 . Opgave 3.6 En produktion af plastikvarer må omlægges på grund af bestemmelser i en ny miljølov. Ved den fremtidige produktion kan inden for miljølovens rammer vælges mellem 2 produktionsmetoder I og II. Metode I er den dyreste, og fabrikanten har regnet ud, at det (kun) kan betale sig at benytte metode I, såfremt den giver et middeludbytte, som er mindst 10 måleenheder (udbytteprocenter) større end udbyttet ved benyttelse af metode II. 1) Find det mindste antal n, hvis man ønsker at P(fejl af type I) = 0.05 , P(fejl af type II) = 0.05 og bagatelgrænsen er 10 enheder. Man kender ikke , men har en forhåndsformodning om, at spredningen er højst 6 enheder. 2)Ved et fuldstændigt randomiseret forsøg fandtes følgende måleresultater: Metode I 35.2 Metode II 26.2 38.1 22.2 37.6 37.6 34.9 37.9 36.5 40.0 36.2 37.4 24.3 24.5 22.0 27.6 23.8 22.8 23.4 20.8 37.2 37.9 Fabrikanten valgte herefter at benytte metode I. a) Foretag en undersøgelse af, om valget var statistisk velmotiveret. b) Hvis forslaget er velmotiveret skal der opstilles et 95% - konfidensinterval for differensen mellem middeludbytterne ved benyttelse af metoderne l og II. Opgave 3.7 Det påstås at modstanden i en tråd af type A er større end modstanden i en tråd af type B. Til afklaring af denne påstand udtages ved et fuldstændigt randomiseret forsøg tilfældigt n tråde af hver type og deres modstande måles. Find det mindste antal n hvis man ønsker at P( fejl af type I) 0.05 , P( fejl af type II) 0.05 og bagatelgrænsen er = 0.1 ohm 1) og man ved, at spredningen = 0.1 ohm. 2) og man har en forhåndsformodning om, at spredningen er ca. =0.1 ohm. 3) Hvilke konklusioner vedrørende behandlingernes virkning kan gøres, såfremt man ved testning af forsøgsresultaterne finder a) signifikans b) ingen signifikans 4) Hvilke yderligere analyser af forsøgsresultaterne bør foretages, såfremt testningen a) viser signifikans b) ikke viser signifikans. 28 Opgaver til kapitel 3 Opgave 3.8 I et forsøg ønsker man at sammenligne udbyttet ved benyttelse af 2 reaktortyper. Man ønsker at kunne påvise eventuelle forskelle i middeludbytte ned til ca. = 6.0. Find den mindste værdi af n = “antal delforsøg med hver reaktortype”, for hvilken P( fejl af type I) 0.05 , P( fejl af type II) 010 . . Man kender ikke spredningen eksakt, men mener, den højst er ca. 7 enheder. Opgave 3.9 To sjællandske fabrikker producerer begge en bestemt type kvægfoder, for hvilken det ønskes, at proteinindholdet i færdigvaren skal være 26%. På de 2 fabrikkers driftslaboratorier foretoges følgende målinger af proteinindholdet i en uges produktion: Fabrik 1 Fabrik 2 27.3 26.0 26.1 26.7 26.9 25.6 26.1 24.8 26.2 26.2 25.5 26.0 25.7 26.1 26.5 26.2 25.9 Foretag en statistisk vurdering af, om de to produktioner kan antages i middel at give kvægfoder med samme proteinindhold. Opgave 3.10 Måling af intelligenskvotient på 16 tilfældigt udvalgte studerende ved en diplom-retning (med mere end 200 studerende) viste et gennemsnit på x1 = 107 og en empirisk varians på s12 =100, medens en tilsvarende måling på 14 tilfældigt udvalgte studerende fra en anden diplomretning viste et gennemsnit på x2 =112 og en empirisk varians på s22 = 64. Tyder disse tal på en forskel på studentermaterialet på de to retninger? Opgave 3.11 I forbindelse med måling af luftforurening benyttes to apparater A og B til måling af mængden svovlmonooxid. Følgende målinger er foretaget daglig i en periode på 2 uger. dag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A 0.96 0.82 0.75 0.61 0.89 0.64 0.81 0.68 0.65 0.84 0.59 0.94 0.91 0.77 B 0.91 0.78 0.67 0.59 0.80 0.74 0.73 0.61 0.57 0.92 0.55 0.83 0.88 0.67 Man ønsker at undersøge om de to apparater i middel giver forskellige resultater på et signifikansniveau på 5%.. Angiv forudsætningerne for at foretage en relevant test og udfør denne. 29 3. 1 Faktor på 2 niveauer Opgave 3.12 l) 100 studerende, 52 piger og 48 drenge, indstillede sig til en prøve, ved hvilken 39 piger og 27 drenge bestod. Undersøg. om det anførte tyder på, at resultatet ved den pågældende prøve afhænger af deltagerens køn. 2) Det oplyses supplerende, at pigerne ved ovennævnte prøve opnåede et gennemsnit på 64% med en empirisk spredning på 10%, medens drengenes gennemsnit var 59% med en empirisk spredning på 8%. Undersøg, om det anførte kan tages som vidnesbyrd om, at piger i almindelighed klarer sig bedre end drenge ved den omhandlede prøve. Opgave 3.13 To sjællandske fabrikker producerer begge en bestemt type kvægfoder, for hvilken det ønskes, at proteinindholdet i færdigvaren skal være 26%. For den omhandlede produktion er der fastsat en øvre og en nedre tolerancegrænse for proteinindholdet. Partier med et proteinindhold uden for toleranceintervallet klassificeres som "dumpere". I en 3-måneders periode havde fabrik 1 af en produktion på 60 foderstofpartier 5 dumpere, medens fabrik 2 af en produktion på 100 foderstofpartier havde 12 dumpere. Kan det heraf statistisk konkluderes, at dumpeprocenten i middel har været størst for fabrik 2? Opgave 3.14 1) Mange forbrugere tror, at såkaldte "mandagsbiler", dvs. biler produceret om mandagen, har flere alvorlige fejl (alvorlig fejl kan der kun være en af pr. bil) end biler produceret på ugens øvrige arbejdsdage. For at undersøge, om der er noget grundlag for denne tro, udtog man på en bilfabrik tilfældigt 100 "mandagsbiler" og undersøgte dem for fejl. Man fandt at 8 biler havde alvorlige fejl. Tilsvarende udtog man tilfældigt 200 biler, der var produceret på ugens øvrige arbejdsdage, og man fandt 12 biler, der havde alvorlige fejl. Giver denne undersøgelse støtte til formodningen om, at "mandagsbiler" er af dårligere kvalitet end andre biler. 2) De 100 ovennævnte "mandagsbiler" havde i alt 1030 konstaterede større eller mindre enkeltfejl (enkeltfejl kan der godt være mange af på en bil), medens de 200 ovennævnte andre biler i alt havde 1899 konstaterede fejl. Tyder dette på, at der er forskel i fejlintensiteten på bilerne i de to grupper? 30 Opgaver til kapitel 3 Opgave 3.15 To virksomheder A og B fremstiller dåser med nominelt 100 g rejeost. 10 tilfældigt udtagne dåser fra A's produktion og 20 tilfældigt udtagne dåser fra B's produktion viste fø1gende resultater: Virksomhed A B Totalt antal rejer 81 216 101.2 g 98.3 g Gennemsnittet x af nettoindhold Empirisk spredning s af nettoindhold 1.0 g 2.7 g 1) Test, om det gennemsnitlige antal rejer pr. dåse kan antages at være det samme for virksomhedernes produktion. 2) Test, om det gennemsnitlige nettoindhold i en dåse kan antages at være det samme for virksomhedernes produktion. Opgave 3.16 Ved en undersøgelse af en eventuel sammenhæng mellem luftforurening og forekomsten af lungecancer sammenlignedes bl.a. sygdommens forekomst i byen X - købing inden for den gamle bygrænse (i nærheden af byens industrivirksomheder) med dens forekomst i samme bys forstadsområde (villakvarter): Antal tilfælde af lungecancer Samlet indbyggerantal Indre by 30 9000 Forstadsområde 40 27000 1) Det ses. at den relative hyppighed af cancertilfælde i den indre by afviger fra den relative hyppighed i forstadsområdet. Kan dette forklares som et tilfældigt udsving? Den opstillede nulhypotese. som testes, ønskes specificeret med angivelse af den alternative hypotese. 2) Diskuter muligheden for at drage årsagsmæssige konklusioner ud fra det fundne testresultat. 31 4. En faktor på mere end 2 niveauer 4 1 FAKTOR PÅ MERE END 2 NIVEAUER 4.1 INDLEDNING I kapitel 3 sammenlignede vi 2 middelværdier. I dette kapitel sammenlignes flere end to middelværdier. Det karakteristiske er, at de forekommende faktorer er kvalitative, dvs. har niveauer, som ikke er karakteriseret ved en målelig egenskab. Dette illustreres i det følgende eksempel. Eksempel 4.1 (én faktor på 4 niveauer). Virkningerne af 4 tilsætningsstoffer T1, T2, T3, T4 på mængden af urenheder ved en kemisk proces ønskes sammenlignet. For hvert tilsætningsstof måles mængden af “uønsket stof” 3 gange. Forsøgsresultaterne blev følgende: Tilsætningsstof T1 T2 T3 T4 Mængde urenhed 108 110 112 105 110 109 116 111 113 117 119 112 Der ønskes fundet det tilsætningsstof der i middel giver den mindste urenhed. Faktoren “tilsætningsstof” siges at være en kvalitativ faktor på 4 niveauer. Havde man eksempelvis i stedet på 4 tidspunkter målt mængden af uønsket stof’ Tid [ i minutter fra starttidspunkt] 0 10 20 30 Mængde urenhed 108 110 112 105 110 109 116 111 113 117 119 112 siges faktoren “tid” at være en kvantitativ faktor. En kvantitativ faktor er altså en “talfaktor”, hvor det også har mening at spørge om mængde urenhed for mellemliggende værdier. Kvalitative faktorer er derimod ikke talbestemmende, og hvor det naturligvis ikke har mening at se på mellemliggende værdier (såsom tilsætningsstof nr. T1.53). Problemer, hvor faktorerne er kvalitative analyseres ved en “variansanalyse. Er faktorerne alle kvantitative, vil en metode kaldet “regressionsanalyse” være at foretrække. Hvis nogle faktorer er kvantitative og nogle er kvalitative, kan man dog godt analysere problemet med variansanalyseteknikken, men da findes der mere effektive metoder, som dog ikke behandles i denne bog. 32 4.2. Ensidet variansanalyse 4.2 ENSIDET VARIANSANALYSE (normalfordelte variable) 4.2.1. Indledning Vi vil i dette afsnit behandle problemer, af den type, som er vist i eksempel 4.1, dvs. med én faktor på mere end 2 niveauer. Det vil i sådanne tilfælde være af interesse at teste om de til niveauerne svarende middelværdier afviger fra hinanden og i bekræftende fald hvilket niveau der giver den største/mindste værdi. I eksempel 4.1 ønskes det således at finde det stof, der giver den mindste “middelurenhed”. Umiddelbart kunne man synes, at så foretager vi blot de samme parvise sammenligninger som i kapitel 3, hvor vi så på differenser mellem 2 middelværdier. Problemet er imidlertid, at selv om de forskellige tilsætningsstofferne giver samme udbytte, så ville støjen i forsøget bevirke, at de mange gennemsnit fordeler sig “klokkeformet” (normalfordelt), og det vil sige, at den største og den mindste værdi let vil ligge så langt fra hinanden, at man ved at teste på deres differens fejlagtigt slutter, at der er forskel, selv om det faktisk ikke er tilfældet (fejl af type 1). For at undgå dette, skal man derfor altid starte med at foretage den i det følgende beskrevne variansanlyse. Giver den, at der ikke er signifikant forskel på middelværdierne, så skal man rette sig efter det, og ikke derefter begynde at se på konfidensintervaller. Giver analysen, at der er en signifikant forskel, så ved man, at der i hvert fald er en signifikant forskel mellem det største og mindste middelværdi. Man kan så ved hjælp af passende konfidensintervaller forsøge at finde ud af om der også er en signifikant forskel mellem den største og næststørste værdi osv. Som altid tilstræber man, at antallet af gentagelser af hvert niveau er det samme. I appendix 4.1 er angivet de generelle formler, som gælder, selv om eksempelvis et forsøg er mislykket, så man ikke har samme antal gentagelser. Programmerne i TI-89 og SAS.JMP anvender naturligvis disse generelle formler til beregningerne. I afsnit 4.2.2 gives en forståelse for den teoretiske baggrund for variansanalyser. Forklaringen understøttes af eksempel 4.1, hvor der vises, hvorledes man kan foretage beregningerne med en lommeregner eller PC, der kun har de sædvanlige sandsynlighedsfunktioner som normal- t- og F-fordeling, men ikke et egentligt statistikprogram. Vi nøjes dog her med at se på hovedtilfældet, hvor antallet af gentagelser på hvert niveau er den samme. 33 4. En faktor på mere end 2 niveauer 4.2.2.Forklaring af metode og formler Eksempel 4.1 “håndregning” Virkningerne af 4 tilsætningsstoffer T1, T2, T3, T4 på mængden af urenheder ved en kemisk proces ønskes sammenlignet. For hvert tilsætningsstof måles mængden af “uønsket stof” 3 gange. Forsøgsresultaterne blev følgende: T1 T2 T3 T4 Tilsætningsstof Mængde af 108 105 116 117 urenhed 110 110 111 119 112 109 113 112 Det forudsættes, at betingelserne om uafhængighed og normalitet er opfyldt. a) Vis, at betingelsen om varianshomogenitet er opfyldt. b) Find om muligt det tilsætningsstof der i middel giver den mindste urenhed og angiv i bekræftende fald et 95% konfidensinterval for middelværdien. Opstilling af nulhypotese. Lad Xi = mængden af uønsket stof ved tilsætning af stof Ti. hvor i {1,2,3,4} Idet de 4 variables middelværdier kaldes 1 , 2 , 3 og 4 ønsker vi at teste nulhypotesen H0: 1 2 3 4 , mod H: “mindst én middelværdierne er forskellig fra en af de øvrige”. Forsøgets udførelse. Forsøget skal udføres som et fuldstændigt randomiseret forsøg. (jævnfør kapitel 2 hvor et sådant forsøg er beskrevet). Derved sikrer vi, at der udføres et "statistisk gyldigt" forsøg. Hvis vi derfor, efter at have foretaget en ensidet variansanalyse, konkluderer, at der er forskel på tilsætningsstofferne, så er det "korrekt", idet det ville være helt tilfældigt, hvis én af tilsætningsstofferne har været begunstiget med særlig gode forsøgsenheder. Beregning af gennemsnit og spredning. For at få et skøn for mængden af urenheder, udregnes gennemsnittene for hvert tilsætningsstof. Disse er angivet i nedenstående skema. Umiddelbart ud fra gennemsnit synes T4 at adskille sig fra de tre øvrige, men hvis der er stor spredning, kan det måske blot være et tilfælde. Det er derfor naturligt at udregne spredningerne, hvilket derfor også er anført i skemaet. T2 T3 T4 T1 Gennemsnit 110.0 108.0 113.33 116.0 Spredning 2.000 2.6458 2.5166 3.6056 Forudsætninger. 1) De 4 variable T1, T2, T3 og T4 skal være statistisk uafhængige. En måling af mængden af urenhed eksempelvis med tilsætningsstoffet T3 må ikke afhænge af hvilke målinger der inden da er sket. 2) De 4 variable T1, T2, T3 og T4 skal være tilnærmelsesvis normalfordelte. Mindre afvigelser er tilladeligt. Man siger, at analysen er robust overfor afvigelser fra normalitet. Mest robust er den, hvis hvert niveau har samme antal gentagelser ( som i eksempel 4.1, hvor alle har 3 gentagelser). 34 4.2 Ensidet variansanalyse 3) Der skal være varianshomogenitet. Det betyder i eksempel 4.1, at målingerne af urenheder med tilsætningsstof T1, skal have tilnærmelsesvis samme varians som målingerne af urenheder med T2, T3 og T4. Også her gælder det, at analysen er robust overfor mindre afvigelser, og mest robust, hvis antallet af gentagelser er det samme. Sædvanligvis er forudsætningerne rimeligt opfyldt, hvis man har i forsøgsplanen har foretaget en randomisering. Kun hvis man er i alvorlig tvivl vil man foretage en kontrol. Kontrol af normalitet. I appendix 4.1 er vist hvorledes man kan lave et normalfordelingsplot af residualerne. Hvis disse ligger nogenlunde på en ret linie, er betingelsen opfyldt. Kontrol af varianshomogenitet Kan man få en accept af nulhypotesen H0: 12 22 32 42 H: Mindst en varians er forskellig fra de øvrige på et signifikansniveau på 5% (nogle mener 1% er ok hvis der er samme antal gentagelser) så er kravet rimeligt opfyldt. Bartletts test Denne er en ofte anvendt test, som er beskrevet i appendix 4.1. Den er imidlertid så beregningsmæssigt kompliceret, at man nok altid vil benytte et egentlig statistikprogram som SAS.JMP til beregningerne. I eksempel 4.2 kan man bl.a. se at SAS.JMP beregner Bartletts test, sammen med et par andre test. Giver alle disse test en forkastelse, kan man eksempelvis prøve at tage logaritmen til alle tal i et forsøg på at nedsætte spredningen (vil ikke blive gennemgået her). “Simplificerede F-test” En simpel test,, som er mulig at anvende med en lommeregner. 2 2 2 I den danner man forholdet mellem den største varians max 3.6056 2 og den mindste varians min 2 2 2 H0 : max min F= 2 2 H: max min 3.6056 2 3.2501 22 P-værdi = P( F > 3.2501) =FCdf( 3.2501, ,2,2) = 0.235 Da testen er en tosidet test, sammenlignes P-værdien med 2 =0.025 Da P-værdi = 0.235 > 0.025 accepteres H0 , dvs., vi kan ikke afvise der er varianshomogenitet. Vil vi derfor i det følgende gå ud fra, at der er en rimelig varianshomogenitet. Får man en forkastelse betyder det ikke, at der ikke er varianshomogenitet. Metoden tager nemlig ikke hensyn til de mellemliggende varianser. Er forudsætningerne ikke opfyldt kan man i stedet udføre en såkaldt “Kruskal Wallis”“rangtest”(se evt. appendix 11.1) . Når man ikke altid gør det, skyldes det at rangtest er svagere test, dvs. man vil ofte ikke opdage en signifikant forskel. 35 4. En faktor på mere end 2 niveauer Pooling. Da de 4 varianser antages at være nogenlunde ens, beregnes et vægtet gennemsnit, i forhold til frihedsgraderne (man foretager en “pooling” ). s 2 s 2 s 2 s 2 2.0002 2.64582 2.51662 3.60562 2 serror 1 2 3 4 7.583 4 4 2 serror er variansen for “forsøgsfejlen” eller på engelsk “error”. 2 serror har N - r =12 -4 = 8 frihedsgrader. Det kan også ses af, at da hver af varianserne si2 er baseret på n = 3 målinger har de hver 2 2 frihedsgrader (f = n - 1 = 3 - 1). serror har derfor 2 4 8 frihedsgrader. Beregning af F - test. Antages nulhypotesen H0 : 1 2 3 4 at være sand, dvs. udbyttet fra de 4 tilsætningsstoffer har samme middelværdi, er den eneste grund til, at vi ikke får samme gennemsnit i de 4 tilfælde, den ukontrollable “støj” (forsøgsvariablens variation) som forekommer ved forsøgets udførelse. Indtastes de fire gennemsnit i en lommeregner findes s x2 11667 . . Et gennemsnit af n tal har en varians, der er n gange mindre end variansen på den enkelte måling. I dette tilfælde er n = 3. Et estimat for støjens varians forudsat nulhypotesen er sand er derfor sR2 3 sx2 3 11667 . 35.00 . Frihedsgradstallet er fR =antal niveauer - 1 = 4 - 1 = 3. Hvis nulhypotesen er sand burde s s 2 R 2 error eller sR2 2 serror 1 , mens hvis nulhypotesen er falsk (middel- 2 2 værdierne er forskellige) er sR serror dvs. forholdet F = Da F = sR2 2 error s sR2 2 serror være signifikant større end 1. 35 4.62 er spørgsmålet derfor, om dette tal er signifikant større end 1. 7.583 Da forholdet mellem de to varianser (som sædvanlig) er F - fordelt med fR = 3 frihedsgrader i tælleren og ferror = 8 i nævneren kan vi afgøre dette ved at regne P - værdien ud. P-værdi= P (F>4.62) =FCdf(4.62, ,3,8)= 0.0371 = 3.71% Da P - værdi = 0.037 < 0.05 forkastes nulhypotesen (svagt). Konklusion: De fire tilsætningsstoffer har ikke samme virkning. Mindst 2 af middelurenhederne er forskellige. Konfidensintervaller. Disse beregnes kun hvis vi får en forkastelse af nulhypotesen, og dermed ved, at den største og den mindste middelværdi er signifikant forskellige. Om nogle af de øvrige middelværdier er “lige så gode” som den optimale vil ofte være af interesse. 36 4.2 Ensidet variansanalyse Konfidensintervaller for middelværdi. De “sædvanlige” konfidensintervaller for hvert niveau bestemmes ved (jævnfør eventuelt appendix 4.1): 2 serror , hvor n er det antal gentagelser der blev anvendt til ( f error ) 1 n 2 beregning af gennemsnittet. x i . rkon hvor rkon t I vort tilfælde er rkon t 0.975 (8) 7.583 2.31 1589 . 3.673 . 3 xi . 3.673 og konfidensintervallet xi . rkon Konfidensintervallerne for 2 middelværdier overlapper derfor ikke, hvis afstanden er større end 2rkon. Imidlertid vil disse intervaller være lidt for “brede”, dvs. selv om der faktisk er en forskel på 2 middelværdier, så overlapper intervallerne måske hinanden en smule, så man ikke opdager det. Idet 2 rkon 2 2.673 7.346 ses ikke overraskende, at der er forskel på T2 og T4 dvs. mellem største og mindste værdi. Da vi ønske at finde det stof der giver mindst forurening sammenligne nu T2 med T1 og T3. Da afstandene er henholdsvis 2 og 5.3 kan de ikke adskilles. LSD-intervaller (Least Significance Intervals) Man kunne så foretage parvise sammenligninger svarende til de konfidensintervaller vi fandt i kapitel 3. Problemet er imidlertid her, at hvis vi har n middelværdier, så vil der være n(n 1) parvise 2 sammenligninger. For hver af disse sammenligninger er der jo en vis sandsynlighed for at begå en fejl af type 1, dvs. påstå der er en forskel som reelt ikke er der. Sådanne fejl vil jo hobe sig op, hvis man foretager mange sammenligninger, så sandsynligheden for at begå en fejl af type 1 kunne blive betragtelig. LSD - konfidensintervaller, der beror på parvise sammenligninger er bestemt ved, at deres radius er rlsd rkon 2 rkon 2 2 Bevis: Lad Y X 1 X 2 Vi har da (af kvadratsætning) at variansen V (Y ) V ( X 1 ) V ( X 2 ) Heraf følger, at Y har konfidensintervallet x1 x2 r1 hvor r1 t 0.975 ( f 0 ) Et LSD-interval omkring et enkelt punkt er følgelig rLSD Heraf fås rLSD t 0.975 ( f 0 ) 2 s02 s02 2 s02 n n n r1 2 s2 t 2 s02 t 0.975 ( f 0 ) (f ) 2 0 0.975 0 n n 2 2 37 s02 rkon n 2 2 s02 n 4. En faktor på mere end 2 niveauer Her vil man kunne opdage en forskel, hvis middelværdiernes afstand er større end r 2 rlsd 2 kon 2 rkon . 2 Da 2 3.673 519 . ses nu, at T2 giver mindre forurening end T3 mens T1 og T2 stadig ikke kan adskilles. De fleste statistikprogrammer har en række andre metoder til beregning af konfidensintervaller, som søger at formindske sandsynligheden for at begå fejl af type 1 og type 2. Vi vil i dette notat kun se på ovennævnte to typer, og hvis vi har få middelværdier stole mest på LSD-intervallerne. Konklusion: LSD-intervallerne viser, at man får den mindste urenhed, hvis man vælger enten T1 eller T2 (de kan ikke adskilles). Et 95% konfidensinterval for T2 er [108- 3.673; 108+3.673] =[104.3 ; 111.7] 4.2.3. Beregning af ensidet variansanlyse ved TI89, TI-Inspire og SAS.JMP Eksempel 4.2 (eksempel 4.1 regnet med TI89, TI-Nspire og SAS.JMP). Virkningerne af 4 tilsætningsstoffer T1, T2, T3, T4 på mængden af urenheder ved en kemisk proces ønskes sammenlignet. For hvert tilsætningsstof måles mængden af “uønsket stof” 3 gange. Forsøgsresultaterne blev følgende: Tilsætningsstof T1 T2 T3 T4 Mængde urenhed 108 110 112 105 110 109 116 111 113 117 119 112 a) TI89+TI-Nspire: Det forudsættes, at betingelserne om uafhængighed, normalitet og varianshomogenitet er opfyldt. SAS.JMP: Kontroller om betingelserne om normalitet og varianshomogenitet er rimelig opfyldt. b) Test på signifikansniveau på 5% om der er forskel på middelværdierne for de 4 tilsætningsstoffer c) Find om muligt det tilsætningsstof der i middel giver den mindste urenhed og angiv i bekræftende fald et 95% konfidensinterval for middelværdien. Løsning: b) H0 : 1 2 3 4 mod H: “mindst én middelværdierne er forskellig fra en af de øvrige”. TI89: F6, C:ANOVA Data Input : Data Antal grupper = 4,ENTER, Udfyld listnavne (VAR-Link osv.) ENTER, ENTER. TI-Inspire: Lister og regneark Lav 4 lister (husk overskrift) Statistik statistiske test Ensidet variansanalyse Data 4 indsæt navne i menu Variabelreference ok Der fremkommer nu en række resultater, hvor den vigtigste naturligvis er P - Value = 0.031 Da P - værdi = 0.031 < 0.05 forkastes nulhypotesen H0 : 1 2 3 4 ( svagt) Konklusion: De fire tilsætningsstoffer har ikke samme virkning. Mindst 2 af middelurenhederne er forskellige. 38 4.2 Ensidet variansanalyse c) TI89: De sædvanlige konfidensintervaller findes som ekstra søjler efter list6 TI-Inspire: Trykkes på xbar vises de 4 gennemsnit, tilsvarende for Lower- og Upper list xbar 110 108 lowlist 106.33 104.33 uplist 113.67 111.67 113.33 109.67 117.00 116 112.33 119.67 Ønskes beregnet LSD-intervaller må man udnytte, at 2 rkon 113.67 106.33 7.34 Heraf fås, at 2 rlsd 7.34 2 519 . Da afstanden mellem mindste og trediemindste værdi er 113.33 - 108 = 5,.33 > 5.19 giver T3 en større forurening end T2 , mens det umiddelbart ses, at T1 og T2 ikke kan adskilles. Konklusion: Man får den mindste urenhed, hvis man vælger enten T1 eller T2 (de kan ikke adskilles). Et 95% konfidensinterval for T2 er [104.3 ; 111.7] Løsning: SAS.JMP Data indtastes, husk, at “tilsætningsstof skal være af typen “character”. tilsætningsstof urenhed t1 t1 t1 t2 t2 t2 t3 t3 t3 t4 t4 t4 108 110 112 105 110 109 116 111 113 117 119 112 a) Kontrol af forudsætninger: Selv om det er muligt i SAS.JMP at kontrollere forudsætningen om normalfordeling, behøver man ikke nødvendigvis at gøre det, da testen er robust overfor afvigelser. Normalfordelingsplot: Vælg Analyze Fit Y by X Factor OK X markér “Urenhed” og tryk på Y Response markér “Tilsætningsstof” og tryk på Der fremkommer et “scatterplot”, hvor man kan se afbildet de tre værdierne af hver af de 4 tilsætningsstoffer rød pil ved figur rullemenu Save Save Residual Under data kommer nu en ekstra søjle med residualerne(overskrift “urenhed centered by tilsætningsstof”). Vælg Analyze Distribution Indsæt Residual søjlen i Y OK Der fremkommer et histogram med indtegnet normalfordelingskurve rød pil “normal Quantile plot” Cursor på rød pil continuos fit normal 4 -1 ,28 -0 ,6 7 0 ,0 0 ,6 7 1,2 8 0,1 0,2 0,3 0,5 0,7 0,8 0,9 3 2 Da vi jo kun har 12 residualer kan vi ikke forvente et særligt klart billede, men i princippet burde de på normalfordelingsplottet ligge nogenlunde på en ret linie. De ligger i hvert fald alle indenfor konfidensgrænserne, så vi kan tillade os at antage fordelingen er approksimativt normalfordelt. 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 N orm al Quantile Plot 39 4. En faktor på mere end 2 niveauer Kontrol af varianshomogenitet: Xi = mængden af uønsket stof ved tilsætning af stof Ti. hvor i {1,2,3,4} Xi antages approksimativt normalfordelt med middelværdien i og spredning i . H0: 12 22 32 42 H: Mindst en varians er forskellig fra en af de øvrige Sæt cursor på rød pil ved tegningen for Scatterplot, og vælg fra rullemenuen “UnEqual Variances”. Tests that the Variances are Equal Test F Ratio DFNum O'Brien[.5] 0,3812 3 Brown-Forsythe 0,4211 3 Levene 0,5917 3 Bartlett 0,1991 3 Warning: Small sample sizes. Use Caution. DFDen 8 8 8 . Prob > F 0,7694 0,7430 0,6376 0,8971 Da P - værdierne alle er over 0.05 accepteres nulhypotesen H0: De 4 varianser er ens. b) H0: 1 2 3 4 mod H: “mindst én middelværdierne er forskellig fra en af de øvrige”. Sæt cursor på rød pil, og vælg fra rullemenuen “Mens/Anova”. Der fremkommer så følgende tegning og udskrift: Oneway Analysis of urenhed By tilsætninsstof 120 urenhed 115 110 105 t1 t2 t3 t4 tils ætninsstof Oneway Anova Summary of Fit Rsquare Adj Rsquare Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,650672 0,519674 2,753785 111,8333 12 Analysis of Variance Source tilsætninsstof Error C. Total DF 3 8 11 Sum of Squares 113,00000 60,66667 173,66667 Mean Square 37,6667 7,5833 F Ratio 4,9670 Prob > F 0,0311* Means for Oneway Anova Level t1 t2 t3 t4 Number 3 3 3 3 Mean 110,000 108,000 113,333 116,000 Std Error 1,5899 1,5899 1,5899 1,5899 40 Lower 95% 106,33 104,33 109,67 112,33 Upper 95% 113,67 111,67 117,00 119,67 4.2 Ensidet variansanalyse Af variansanalysetabellen fremgår, at P -værdi (Prob>F) = 0.0311 <0.05, dvs. nulhypotesen H0: 1 2 3 4 forkastes ( svagt) Konklusion: De fire tilsætningsstoffer har ikke samme virkning. Forklaring på de enkelte størrelser i variansanalysetabellen kan man finde i appendix 4.1. b) Konfidensintervaller. “Diamanterne” på figuren angiver 95% konfidensintervaller. Den midterste vandrette steg angiver gennemsnittet og de to andre vandrette streger angiver LSD -intervaller. Af figuren ses derfor straks, ved at se på LSD intervallerne, at t2 er signifikant mindre end t4, mens det er vanskeligere at se om t2 og t3 kan adskilles. LSD-intervaller fås ved at vælge “Compare Mens” fra rullemenuen students t-test Blandt en række udskrifter findes denne Level t4 t3 t1 t2 A A B B C C Mean 116,00000 113,33333 110,00000 108,00000 Konklusion: Man får den mindste urenhed, hvis man vælger enten T2 eller T1 (de kan ikke adskilles). 41 4. En faktor på mere end 2 niveauer 4.3 FULDSTÆNDIGT RANDOMISERET BLOKFORSØG. I forbindelse med planlægningen af et forsøg, kan man blive tvunget til at benytte forsøgsenheder, som er ret uensartede. For at “dæmpe støjen” kan man inddele forsøgsenhederne i grupper (blokke), hvor de forsøgsenheder der ligger i samme blok er væsentlig mere ensartede end forsøgsenhederne i forskellige blokke. Man siger, at man har et fuldstændigt randomiseret blokforsøg, hvis hver behandling forekommer det samme antal gange (sædvanligvis netop én gang) i hver blok. Eksempler på blokforsøg kan være 1) Af tidsmæssige grunde (forsøget skal udføres indenfor en given tidsramme) må man benytte 4 forskellige apparater. Påvirker apparaterne forsøgsresultaterne, kan det give en stor spredning ( (stor “støj”). Dette kan bevirke, at man skal op på et urealistisk stort antal gentagelser for at kunne opnå den ønskede information. I stedet indfører man de 4 apparater som blokke. 2) Man er nødt til at benytte 5 forskellige råvareleverancer . Dette kan måske også give for stor spredning. Man indfører så de 5 råvareleverancer som 5 blokke. 3) I et landbrugsforsøg samles tilstødende arealer i blokke. Begrundelsen herfor er naturligvis, at arealer der ligger tæt ved hinanden er mere ensartede end arealer der ligger længere væk. Ti 89, TI-Nspire og SAS.JMP har færdige programmer til beregningerne af randomiseret blokforsøg når man kun har 1 faktor. Eksempel 4.3 (randomiseret blokforsøg regnet med TI89, TI-Nspire og SAS.jmp) I nedenstående tabel er anført resultaterne af et fodringsforsøg med svin. Formålet med forsøget var at undersøge, hvorvidt en ændring af vitaminindholdet i foderet gav en forskel i svinenes vægtforøgelse. Vægtforøgelsen afhænger imidlertid også af det enkelte individs genetiske egenskaber. Et fuldstændigt randomiseret forsøg vil derfor sandsynligvis kunne bevirke, at forsøgsfejlens spredning bliver så stor, at intet kan påvises (forsøget drukner i støj). Da grise fra samme kuld må forventes at være mere ensartede, vælger man at lave et randomiseret blokforsøg med kuld som blokfaktor. Lad der findes tre fodertyper A, B og C med forskelligt vitaminindhold. Fra hvert af 4 forskellige kuld grise udtages nu 3 grise. Et kuld vælges, og ved lodtrækning bestemmes hvilke af de 3 grise, der bliver fodret med fodertype A, hvilken med fodertype B og den sidste får naturligvis type C. Et nyt kuld udtages, og man randomiserer igen foderet indenfor kuldet (blokken), osv. Forsøgsresultaterne (vægtforøgelse i kg) var Fodertype A B C 1 7.0 14.0 8.5 2 16.0 15.5 16.5 Kuld 3 10.5 15.0 9.5 4 13.5 21.0 13.5 a) Test, om der er nogen væsentlig virkning af ændringen i foderets vitaminindhold. b) Hvis der er en forskel, så skal man angive hvilken foderblanding, der giver den største vægtforøgelse. 42 4.3 Fuldstændigt randomiseret blokforsøg Løsning: a) H0: Foderblanding har ingen virkning på vægtforøgelsen H: Foderblanding har virkning på vægtforøgelsen Da vi jo har 2 faktorer, “kuld” og “fodertype”, er analysen en speciel “tosidet variansanalyse”. TI89: APPS, STAT/LIST hvorefter data indtastes med første søjle (A) i list1, 2 søjle (B) i list 2 osv. F6, ANOVA2-Way, ENTER DESIGN=Block, Levls of Col Factor =3, ENTER Næste skema udfyldes med List1 , List 2 og LIST3, ENTER TI-Inspire: Lister og regneark Lav 4 lister (husk overskrift) Statistik statistiske test Tosidet variansanalyse Blok, 3 4 indsæt navne i menu Enter Resultatet kan umiddelbart aflæses: Man får for faktor en P-værdi på 0.0402 H0: Foder = 0 (Foder har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = 0.0402 < 0.05 Konklusion: Der sker en væsentlig ændring i vægtforøgelsen ved at ændre foderblanding. b) De to programmer beregner ikke konfidensintervaller når der er to faktorer I stedet bruges formlen: Radius i 95% konfidensinterval er t 0.975 ( f error ) 2 serror n 2 Under error findes MS serror og df = ferror . n er antal gentagelser af faktoren. Her er MS = 4.701 df = 6 og n = 4 4.701 2.653 Radius i konfidensinterval er t 0.975 (6) 4 2.653 Radius i LSD-interval er . 1876 2 Gennemsnit af de 3 foderblandinger er A: 11.75 B: 16.375 C: 12.0 (brug mean(a) osv.) Da 16.375 - 12 = 4.375 > 2 1.875 giver foderblanding B den største vægtforøgelse. Da det er et blokforsøg , kangtforøgelsen afhænge af hvilket kuld der er det bedste, så konfidensintervaller kan kun bruges til relative sammenligninger Løsning:SAS.JMP Indtastning af data fodertype A A A A B B B B C C C C kuld k1 k2 k3 k4 k1 k2 k3 k4 k1 k2 k3 k4 vægt 7 16 10,5 13,5 14 15,5 15 21 8,5 16,5 9,5 13,5 Vælg Analyze Fit Y by X markér “Vægt” og tryk på Y Response Factor Marker “Kuld” og tryk på blok OK 43 markér “Fodertype” og tryk på X 4. En faktor på mere end 2 niveauer Der fremkommer et “scatterplot”, hvor man kan se afbildet de fire værdier for hver af de 3 fodertyper. Rød pil “Means/Anova”. Der fremkommer så følgende tegning og udskrift: Oneway Analysis of Vægt By Fodertype Oneway Anova Samarie of Fit Rsquare Adj Rsquare Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,83413 0,695904 2,168269 13,375 12 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Fodertype 2 54,12500 Kuld 3 87,72917 Error 6 28,20833 C. Total 11 170,06250 Means for Oneway Anova Level Number Mean Std Error A 4 11,7500 1,0841 B 4 16,3750 1,0841 C 4 12,0000 1,0841 Std Error uses a pooled estimate of error variance Block Means Kuld Mean Number k1 9,8333 3 k2 16,0000 3 k3 11,6667 3 k4 16,0000 3 Mean Square 27,0625 29,2431 4,7014 Lower 95% 9,097 13,722 9,347 F Ratio 5,7563 6,2201 Prob > F 0,0402 0,0285 Upper 95% 14,403 19,028 14,653 Da P - værdi for fodertype er 0.0402 < 0.05 forkastes nulhypotesen H0: Ingen forskel på fodertyper, dvs. , at der på et signifikansniveau på 5 % er signifikant forskel på fodertyperne (mindst én afviger fra de øvrige). Vi ser endvidere, at det var fornuftigt at dele op i kuld, da der også er signifikans for kuld. Vi er imidlertid ikke interesseret i at finde ud af hvilket kuld der er det bedste, da vi jo blot har taget nogle tilfældige kuld ud. Af figuren ses, at konfidensintervallerne viser ganske vist et svagt overlap, men det gør LSD-intervallerne ikke, og da variansanalysen har vist at der er en signifikant forskel, må der gælde, at fodertype B giver den største vægtforøgelse. Bemærk: Da der er en blokvirkning vil vægtforøgelsen jo afhænge af hvilket kuld man betragter. Konfidensintervaller kan derfor kun anvendes til relative sammenligninger. 44 4.4 Binomialfordelte variable Metode uden brug af færdigt “blokprogram” Først foretages en ensidet variansanalyse med de tre fodertyper Man noterer sig under faktor: SS = 54.125, df = 2 og MS= s 2 SS 27.0625 df samt under error : SSerror=115.9375 med df = 9 Derefter en ensidet variansanalyse med de 4 kuld. Man noterer sig SSblok = 87.7291 med df = 3. Det blokkene har forminsket støjen (error) findes ved ved SS = SSerror - SSblok = 115.9375 - 87.7291 = 28.2084 med df = 9 - 3 = 6 Resultaterne indtastes i en såkaldt variansanalysetabel SS 2 Variation SAK=SS df MS= s df F P-værdi Factor: foder 54.125 2 27.0625 27.06 =5.756 4.70 FCdf (5.756, ,2,6) =0.0402 Block: Kuld Error 87.7291 28.2084 3 6 29.2431 4.70139 6.22 0.0284 H0: Foder = 0 (Foder har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = 0.0402 < 0.05 Konklusion: Der sker en væsentlig ændring i vægtforøgelsen ved at ændre foderblanding. Da P-værdi for kuld er mindre end 5% har det haft betydning, at man har opdelt i blokke b) Radius i 95% konfidensinterval findes som under løsning for TI89 og TI-Nspire 4.4. Binomialfordelte variable Ved analysen anvendes formlerne i afsnit 4.5.2, da TI89, TI-Nspire og SAS ikke har noget program hertil. Eksempel 4.4 (binomialfordelt variabel). For hver af 6 leverancer af billige legetøjsbiler udtages en tilfældig prøve på 100 biler, og antallet af defekte biler taltes. Følgende resultater fandtes: Leverance 1 2 3 4 5 6 7 8 Antal defekte biler 6 14 8 4 7 3 13 7 Foretag en statistisk analyse af, om procenten af defekte biler i de 8 leverancer kan antages at være den samme. Løsning: Lad Xi være antallet af defekte biler i leverance i. Det antages, at Xi er binomialfordelt b (100, pi). H0: p1 = p2= . . . = p8 6 14 ...7 64 6 14 7 0.08 p 1 , p 2 , . . ., p 8 ; p 800 800 100 100 100 Da ni p 8 [5;95] er forudsætningen opfyldt (se evt. oversigten i afsnit 4.6.2) 108 . 1 14.67 2 . 0.08) 2 ... (0.07 0.08) 2 100(0.06 0.08) 2 (014 0.08 (1 0.08) 0.08 0.92 2 er 2 - fordelt med frihedsgradstallet f = n - 1 = 7 Da P - værdi = P( 2 14.67) =chi2Cdf(14.67, ,7) =0.0405 < 0.05 forkastes nulhypotesen (svagt), dvs. vi har et (svagt) statistisk bevis for, at procenten af defekte biler i leverancen ikke er den samme. 45 4. En faktor på mere end 2 niveauer 4.5. Poissonfordelt variable Ved analysen anvendes formlerne i oversigt 4.5.3, da TI89 og SAS.JMP ikke har noget program hertil. Eksempel 4.5 (Poissonfordelt variabel) Ved en optælling af hvide blodlegemer i en blodprøve med voluminet v fandtes for 6 personer antallene 14 , 28 ,18, 23,15 og 22. Viser disse resultater, at den gennemsnitlige antal blodlegemer pr. volumenenhed er forskelligt for de tre personer? Løsning: Lad X1 vare antallet af hvide blodlegemer i en blodprøve for person 1 Lad X2 vare antallet af hvide blodlegemer i en blodprøve for person 2 ... Lad X6 vare antallet af hvide blodlegemer i en blodprøve for person 6. Xi antages at være Poissonfordelt med middelværdi i . Begrundelse: Benyttes en kanyle til udtagning af blodprøven ankommer de hvide blodlegemer “tilfældigt” i tiden. Det mulige antal blodlegemer er næsten ubegrænset. H 0 : 1 2 3 4 5 6 Antal elementer i hver stikprøve er 1, dvs. i oversigten i afsnit 4.5.3 er n1 = n2 = . . . = n6 = 1 og x1 x1 14, x 2 x 2 28, . . . x 6 x 6 22 Vi får x 14 28 ... 22 20.0 . 6 Heraf ses, at ni x 5 , dvs. forudsætningen for at benytte oversigten i afsnit 4.6.3 er opfyldt. 2 1 (14 20) 2 1 (28 20) 2 ... 1 (22 20) 2 7.1 20 2 er 2 - fordelt med frihedsgradstallet f = n - 1 = 5 Da P - værdi = P( 2 7.1) =chi2Cdf(7.1, ,5) =0.2133 > 0.05 accepteres H0 , det vil sige, at det ikke er påvist, at det gennemsnitlige antal hvide blodlegemer pr. volumenenhed er forskelligt for de 6 personer. 46 4.6 Oversigt over centrale begreber i kapitel 4 4.6. OVERSIGT OVER CENTRALE FORMLER I KAPITEL 4 4.6.1 Oversigt over fremgangsmåde ved ensidet variansanalyse TI89 antages benyttet. Givet følgende skema: A2 Aq A1 x12 x1q x11 x22 x2q x21 Observationer ... ... ... xnq xn2 xn1 Idet de q variables middelværdier kaldes 1 , 2 ,..., q ønsker vi at teste nulhypotesen H 0 : 1 2 ... q , mod H: “mindst én middelværdierne er forskellig fra en af de øvrige”. Data indtastes i listerne F6:Anova Udfyld menu ENTER P-værdi aflæses. Hvis P-værdi < forkastes H0. Konfidensintervaller findes som ekstra søjler xbar lowlist uplist a b x1 x2 osv. Diameter i 95% konfidensinterval dkon= b - a Diameter i 95% LSD-interval dLSD = dkon 2 Er x1 x 2 d LSD antages niveauerne A1 og A2 at være signifikant forskellige (forudsat antallet af niveauer er lille (< ca 6). Blokforsøg Blokke b1 b2 ... bn Faktor A2 x12 x22 xn2 A1 x11 x21 xn1 ... Aq x1q x2q xnq APPS, STAT/LIST hvorefter data indtastes med første søjle (A1) i list1, 2 søjle (A2) i list 2 osv. F6, ANOVA2-Way, ENTER DESIGN=Block, Levls of Col Factor =q, ENTER Næste skema udfyldes med Listerne , ENTER P-værdi aflæses. Hvis P-værdi < forkastes H 0 : 1 2 ... n Konfidensintervaller Radius i 95% konfidensinterval er rkon = t 0.975 ( f error ) 2 Under error findes MS serror og df = ferror . 2 serror n n er antal gentagelser af faktoren. Diameter i 95% konfidensinterval dkon= 2@rkon Diameter i 95% LSD-interval dLSD = Er x1 x 2 d LSD antages faktorerne R1 og R2 at være signifikant forskellige. 47 dkon 2 4. En faktor på mere end 2 niveauer 4.6.2 Oversigt over test af parametre p1, p2,. . . pk for binomialfordelte variable. X1 , X2 . . . Xk er binomialfordelt henholdsvis b(n1 , p1 ), b(n2 , p2 ), . . . , b(n k , p k ) , hvor n1, n2 . . .nk er kendte og p1, p2 . . . , pk ukendte. Observerede stikprøveværdier x1, x2, . . . , xk. Signifikansniveau er . Y er en statistisk variabel, der er 2 - fordelt med k - 1 frihedsgrader. Forudsætning: Aproksimativ metode Nulhypotese Beregning H0: p1 p2 . . . pk n1 p 5 ; n1 5 , n2 p 5 ; n2 5 . . . n k p 5 ; n k 5 n ( p i 1 i i p ) 2 P(Y 2 ) hvor p 1 hvor p 1 p (1 p ) 2 P-værdi k x1 x x , p 2 2 , . . . , p k k n1 n2 nk x 1 x 2 . . . x k n1 n 2 . . . n k 1 , 2 , . . . , k for Poissonfordelt 4.6.3. Oversigt over test af parametre variable. X1 , X2 . . . Xk er Poissonfordelt henholdsvis p( 1 ), p( 2 ), . . . , p( k ) , hvor 1 , 2 , . . . , k er ukendte. Signifikansniveau er . Der foreligger for hver af de variable Xi en stikprøve af størrelsen ni med gennemsnit x i . Y er en statistisk variabel, der er 2 - fordelt med k - 1 frihedsgrader.. Forudsætning Nulhypotese Beregning Approksimativ metode. 2 H0: 1 2 . . . k ni x 5 H0 forkastes k n (x x) i 1 i 2 i x hvor n x n x . . . nk xk . x 1 1 2 2 n1 n2 . . . nk 48 P - værdi < hvor P værdi P(Y 2 ) Opgaver til kapitel 4 OPGAVER Opgave 4.1 Fire forskellige typer teknik til blanding af cement ønskes undersøgt med hensyn til resultatets trykstyrke. Følgende data blev opnået: Blandingsteknik Trykstyrke (psi) B1 3129 3000 2865 2890 B2 3200 3300 2975 3250 B3 2800 2900 2985 3050 B4 2600 2700 2600 2765 Undersøg om forskellen i blandingsteknik har betydning for trykstyrken , og angiv i bekræftende fald den (de) blandingsteknik(er) der har størst trykstyrke. Opgave 4.2 I følgende tabel er angivet resultaterne af gentagne bestemmelser af blodets alkoholkoncentration (i promille) hos 6 forskellige personer efter indtagelsen af 4 cl. alkohol. Person 1 0.76 0.82 0.79 0.86 2 0.84 0.79 0.82 0.79 3 0.83 0.78 0.97 0.88 4 1.00 0.90 0.92 0.88 5 0.88 0.90 1.03 0.87 6 0.86 0.89 0.87 0.84 Vurdér på grundlag af dette materiale en antagelse om, at alkoholkoncentrationen i blodet ikke afhænger af andre faktorer end den indtagne alkoho1mængde. Opgave 4.3 Modstanden af 5 spoler måltes for at kontrollere, om spolerne har samme elektriske modstand. For hver spole måltes 4 uafhængige observationer: Man fandt for hver spole følgende gennemsnit og spredning: Spole nr. Antal gentagelser Gennemsnit Spredning 1 4 15.2 0.1871 2 3 4 5 4 4 4 4 14.95 14.8 15,15 14.7 0.1225 0.1472 0.1826 0.2562 1) Undersøg om det kan antages, at de 5 spo1ers modstande er ens. 2) På alle 5 spoler er angivet, at modstanden er 15.0 Ohm. Undersøg under hensyntagen ti1 besvare1sen af spørgsmål 1) ved opstilling af et eller flere konfidensintervaller, om nog1e af spo1erne kan antages at have modstanden 15.0 Ohm og i bekræftende fald hvi1ke. 49 4. En faktor på mere end 2 niveauer Opgave 4.4. Følgende resultater blev opnået fra et eksperiment, hvor man ville undersøge om der var forskel på de resultater, som 5 analyseapparater gav, når man analyserede kvælstofindholdet i jordprøver. På hver af 3 dage blev en portion jord udvalgt og delt i 5 dele, som ved lodtrækning blev givet til analyse i hver sin maskine. Resultaterne var: Maskiner P Q R T U Tirsdag 376 379 399 373 376 Onsdag 372 374 409 387 386 Torsdag 332 339 365 350 342 Undersøg på dette grundlag om der er forskel mellem analyseapparaterne, og angiv i bekræftende fald hvilke der er forskellige. Mener du, at det i denne situation var en god ide at foretage forsøget som et blokforsøg? Opgave 4.5. Fire forskellige produktionsmetoder P, Q, R, og T ønskes sammenlignet med hensyn til det procentiske udbytte ved udvinding af et metal fra et bestemt mineral. Da man ved forsøget er nødt til at benytte forskellige råvarepartierer, og er bange for, at det vil give stor spredning, vælger man at lave et fuldstændigt randomiseret blokforsøg med råvarepartier som blokke. Nedenstående skema angiver resultatet af dette forsøg. Metode P Metode Q Metode R Metode T Råvareparti1 2.5 2.7 4.7 3.3 2.8 3.3 5.5 5.0 Råvareparti 2 4.6 4.3 7.9 5.9 5.1 6.9 7.2 6.8 Råvareparti 3 4.7 3.9 4.7 4.4 4.4 3.7 6.4 5.7 Undersøg på grundlag af disse oplysninger, om der er forskel på metoderne. Opgave 4.6 På en ingeniørskole ønsker man at sammenligne effektiviteten af undervisningen, når man underviser efter tre forskellige undervisningsmaterialer. En række studerende meldte sig frivilligt til forsøget. I det følgende er angivet 12 studerende ordnet efter studentereksamensgennemsnit. Navn JK AL Snit 6.3 6.8 TS 7.3 BS 7.3 DT 7.9 HN MO 8.2 8.4 FD 8.5 PJ KM SR RA 9.0 10.2 11.1 11.2 1) Hvordan ville du opdele disse studenter på tre hold med 4 på hver hold? 2) Hvordan ville du gøre det, hvis karaktererne gik fra 7.8 til 8.2 ? 50 Opgaver til kapitel 4 Opgave 4.7. I en virksomhed er på hvert af 3 skift arbejdsbetingelser og antal mennesker udsat for risiko tilsyneladende nogenlunde ens. Ikke desto mindre synes følgende optælling at vise, at risikoen på skift 2 og 3 er større end på skift 1. Skift Antal arbejdsulykker 1 10 2 22 3 22 På grundlag af denne statistik finder man, at der bør gøres noget for at nedsætte risikoen i skift 2 og 3. Er dette statistisk velbegrundet.? Opgave 4.8 5 typer vaccine mod en bestemt sygdom blev undersøgt ved, at 6 grupper på hver 200 forsøgsdyr (mus) blev udsat for smitte. De 5 af grupperne fik hver sin type vaccination, mens den sidste gruppe ikke blev vaccineret. Efter en passende tid undersøgte man hvor mange af de 200 dyr, der havde fået sygdommen. Følgende resultater fandtes: Gruppe nr 1 2 3 4 5 6 Antal syge dyr 12 13 18 10 16 27 Vi ønsker at foretage en statistisk ana1yse af, om procenten af smittede dyr i de 6 grupper kan antages at være den samme. 51 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer 5 2 FAKTORER PÅ 2 ELLER FLERE NIVEAUER TOSIDET VARIANSANALYSE 5.1 INDLEDNING. Har man 2 kvalitative faktorer vil det også være naturligt at udføre en variansanlyse, men da man her kan risikere, at de to faktorer “spiller sammen” på en uventet måde, bliver forholdene noget mere kompliceret. Til gengæld kan begreberne her så umiddelbart generaliseres til forsøg med mere end 2 faktorer. 5.2 PLANLÆGNING AF FORSØG. I dette afsnit benyttes følgende eksempel som illustration af begreberne. Eksempel 5.1. 2 faktorer . En bilfabrikant ønsker at finde ud af hvorledes 3 olieblandinger O1, O2, og O3, og 2 karburatortyper K1 og K2 påvirker benzinforbruget. Vi har et forsøg med 2 kvalitative faktorer: olieblanding og karburator. Faktoren "olieblanding" er på 3 niveauer O1, O2, og O3, mens faktoren "karburator" har 2 niveauer nemlig K1 og K2 . I alt er der altså 6 behandlinger. 5.2.1 Een faktor ad gangen I mange forsøgsvejledninger står, at man bør kun variere en faktor ad gangen. Alle andre faktorer end den udvalgte fastholdes på et bestemt niveau. En forsøgsplan efter disse retningslinier kunne eksempelvis være som skitseret nedenfor, hvor hvert delforsøg er markeret med et ×, hvor man har valgt, at hvert niveau skal gentages mindst 4 gange. Endvidere er det væsentligt, at hver af de indgående behandlinger har lige mange gentagelser. Karburator K1 Olieblanding O1 ×××× O2 ×××× O3 ×××× K2 ×××× I dette eksempel, hvor der kun er 2 faktorer, vælger vi først at variere olieblandingen, mens den anden faktor fastholdes. Idet vi har valgt først at fastholde karburatoren på niveauet K1, kan forsøget udføres således: 12 af de 16 biler, som skal anvendes, udstyres med karburator K1, og derefter (randomiseret) får 4 af disse biler olieblanding O1, 4 andre biler olieblanding O2, og de sidste 4 biler olieblanding O3. 52 5.2 Planlægning af forsøg Efter at have kørt en udvalgt strækning måles benzinforbruget. Derefter varieres den anden faktor ( her karburator), mens olieblandingen fastholdes på O2, dvs. de sidste 4 biler udstyres med karburator K2 og olieblanding O2. Igen gennemkøres den udvalgte strækning, og benzinforbruget måles. Indtegnes for hver karburator det gennemsnitlige benzinforbrug mod olie-blandingen kunne vi eksempelvis få tegningen på fig. 5.1. Fig 5.1 Skitse af benzinforbrug Umiddelbart ses, at K1 giver lavest benzinforbrug, og O1 (eller O3) skal foretrækkes. Hvad nu med benzinforbruget i karburator K2 , hvis vi anvender olieblanding O 1 eller O3? Kan man slutte, at benzinforbruget ved olieblanding O1 og O 3 er lavere, når man bruger karburator K1, end når man bruger karburator K2? Kun, hvis man ud fra tekniske eller andre grunde mener at vide, at "karburatorkurven" for K2 er parallel med kurven for K1, så er forsøgsplanen anvendelig, men ikke den bedste. En statistisk set bedre forsøgsplan som endda ofte er mindre ressourcekrævende, er følgende: 5.2.2 Fuldstændig faktorstruktur Denne plan består i, at hvert niveau af den ene faktor kombineres med ethvert niveau af den anden. Planen kan skitseres således: Karburator Olieblanding K1 K2 O1 ×× ×× O2 ×× ×× O3 ×× ×× Her er hver af de 6 behandlinger gentaget 2 gange, dvs. i alt er der udført 12 delforsøg. Hermed er kravet opfyldt om at hvert niveau skal gentages mindst 4 gange. Det er vigtigt, at hver behandling har lige mange gentagelser I " en faktor ad gangen" var vi tvunget til at udføre 16 delforsøg, mens vi kun skal lave 12 delforsøg i det "fuldstændige faktorforsøg". Vi kan altså nøjes med færre delforsøg, når vi laver et fuldstændigt faktorforsøg. 53 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer Indtegnes for hver karburator det gennemsnitlige benzinforbrug mod olie-blandingen, kan det eksempelvis vise sig, at man får figur 5.2. Fig 5.2. Vekselvirkning Vi ser, i modstrid med hvad vi antog ud fra "en faktor ad gangen forsøget", at kombinationen af katalysator K2 og olieblanding O1 giver det laveste benzinforbrug. Det ses, at de to kurver ikke er parallelle. Dette kunne være tilfældigt og blot skyldes forsøgets “støj”, men det kunne også være signifikant, og derfor være udtryk for en såkaldt "vekselvirkning". En model uden vekselvirkning (kurverne tilnærmelsesvis parallelle) siges at være additiv. 5.3. FORMLER OG METODE Vi vil i det følgende kun analysere forsøg med en fuldstændig faktorstruktur, og hvor hver behandling har lige mange gentagelser (samme antal delforsøg i hver “celle”). Et eksempel på et sådant forsøg er Eksempel 5.2. 2 faktorer (fortsat fra eksempel 5.1) . En bilfabrikant ønsker at finde ud af, hvorledes 3 olieblandinger O1, O2, og O3, og 2 karburatortyper K1 og K2 påvirker benzinforbruget. Forsøgsresultaterne er følgende: Karburator K1 K2 O1 830 860 810 840 Olieblanding 940 990 1050 1020 O2 O3 855 815 930 910 Angiv hvilke kombinationer af karburator og olieblanding der giver det laveste forbrug, og giv et estimat for dette forbrug. Symbolik: Lad os kalde rækkefaktoren for R , antal rækkeniveauer r , søjlefaktoren for C, antal søjleniveauer for q og antal gentagelser af hver behandling n. Det totale antal delforsøg er følgelig N r q n . I eksempel 5.4 er R = “olieblanding”, r = 3, C = “ karburator” , q = 2 , n = 2 og N = 12. 54 5.3 Formler og metode Forudsætninger Disse er de samme som ved den ensidede variansanalyse. Analysen er også her robust overfor afvigelser fra normalitet og varianshomogenitet, blot antallet af gentagelser i hver celle er den samme. Skitse af fremgangsmåde ved testning Først testes om modellen er additiv, dvs. om den er uden en signifikant vekselvirkning. Nulhypotesen skrives kort H 0 : R C 0 (faktorerne vekselvirker ikke) og den alternative hypotese H: R C 0 (faktorerne vekselvirker ) For at kunne beregne en P-værdi beregnes først et estimat for den fælles (poolede) varians s02 på samme måde som det skete i forrige kapitel. 2 Derefter beregnes et estimat for en varians s RC som vil være lig s02 hvis H0 er sand, men væsentlig større hvis H er sand 2 s RC P-værdien beregnes som en F-test ud fra brøken F 2 . s0 1) Er P-værdi < (signifikansniveau) forkastes H0 dvs. faktorerne vekselvirker. Ved hjælp af konfidensintervaller for alle r q celler søger man at finde den optimale kombination af faktorer. 2) Er P-værdi > accepteres H0 dvs. faktorerne vekselvirker ikke (model er additiv). Man tester nu nulhypoteserne H 0 : R 0 ( rækkefaktor har ikke en virkning) H 0 : C 0 (søjlefaktor har ikke en virkning) 2 Da man må antage, at de to varianser s RC og s02 er nogenlunde ens, pooles de sammen til et nyt (bedre) estimat sm2 for forsøgsfejlen (error). Variansen sm2 benyttes nu ved beregning af P-værdierne for de to hypoteser. a) Finder man at såvel H 0 : R 0 forkastes, som H 0 : C 0 forkastes vil man sædvanligvis opstille konfidensintervaller til bestemmelse af de to faktorers optimale niveau. Hertil benyttes igen sm2 . b) Finder man at eksempelvis H 0 : R 0 forkastes, mens H 0 : C 0 accepteres pooles variansen sc2 som blev brugt ved beregningen af P-værdien for C sammen med sm2 og denne benyttes ved opstillingen af konfidensintervaller for R. Beregninger: Hvorledes man foretager testen ved hjælp af en lommeregner der kun kan beregne gennemsnit og spredning er beskrevet i appendix 5.1. Da specielt beregningerne af SAK’erne er temmelig omfattende, og næppe giver en dybere forståelse ,vil vi dog sædvanligvis benytte TI-89 eller SAS.JMP hertil. Programmerne dækker dog ikke alle muligheder, så i enkelte tilfælde må man derfor benytte formlerne for eksempelvis konfidensintervaller. Anskuelig forklaring på hvorledes man kan beregne vekselvirkning: Her gives kun en kort forklaring, som kan tjene til at forstå baggrunden for beregningerne, der i øvrigt med fordel kan foretages af et statistikprogram . I nedenstående skema er skitseret et forsøg med 2 faktorer R og C. R er på 3 niveauer, og C er på 4 niveauer. Der er 2 gentagelser af hver "behandling"(treatment). 55 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer R1 R2 R3 C1 C2 C3 1 3 7 11 2 6 2 6 8 14 5 7 1 5 8 12 3 7 C4 6 8 13 15 8 10 For hver af de 12 celler kan man udregne et skøn for spredningen. Hvis man forudsætter at spredningen er nogenlunde den samme i alle 12 tilfælde, kan man poole de 12 s2 sammen til et fælles skøn s0 for spredningen på forsøgsfejlen (støjen). Den vil have 12 frihedsgrader, da hvert enkelt s har 1 frihedsgrad. I nedenstående skema er beregnet gennemsnit for hver celle, hver række, hver søjle og totalt. C1 C2 C3 C4 Gennemsnit 2 4 3 7 4 R1 9 11 10 14 11 R2 4 6 5 9 6 R3 Gennemsnit 5 7 6 10 7 Tallene er konstrueret således, at vi har en helt præcis model uden vekselvirkning (R2 = R1 + 7, R3 = R1 + 2). For en sådan model gælder helt præcist, at resultatet i celle (i, j) fås af formlen RCi,j=Ri + Cj - totale gennemsnit. Eksempel: RC2,3 = 10 og R2 + C3 - totale gennemsnit = 11 + 6 - 7 = 10. I praksis vil dette naturligvis aldrig være tilfældet på grund af den tilfældige variation (støj), men udregnes kvadratet på afvigelserne (SAK), og disse afvigelser ikke er større end hvad er rimeligt i forhold til støjen (s0), vil vi kunne konkludere at der ikke kan konstateres nogen vekselvirkning. 5.4 BEREGNING AF TOSIDET VARIANSANALYSE Som nævnt er der 2 hovedtilfælde, nemlig om der konstateres vekselvirkning eller ej. Er modellen additiv er der igen 2 tilfælde, nemlig om begge faktorer har en signifikant virkning eller kun den ene faktor har en signifikant virkning. Vi ser her bort fra den situation, at ingen faktorer har en signifikant virkning. Det kan naturligvis sagtens forekomme, men den situation kræver ingen nærmere forklaring. I afsnit 5.7 er givet en oversigt over hvorledes beregningerne skal udføres med TI89. I det følgende anvendes denne oversigt til at regne 3 eksempler svarende til hver af de tre situationer. Eksempel 5.2 (fortsat) Model med vekselvirkning. En bilfabrikant ønsker at finde ud af, hvorledes 3 olieblandinger O1, O2, og O3, og 2 karburatortyper K1 og K2 påvirker benzinforbruget. Forsøgsresultaterne er følgende: Karburator K1 K2 O1 830 860 810 840 Olieblanding O2 940 990 1050 1020 O3 855 815 930 910 Det forudsættes at betingelserne om uafhængighed, normalitet og varianshomogenitet er opfyldt. I SAS-løsningen kontrolleres dog om betingelserne for normalitet og varianshomogenitet er rimelig opfyldt Angiv hvilke kombinationer af karburator og olieblanding der giver det laveste forbrug, og giv et estimat for dette forbrug. 56 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse Løsning: TI89+TI-Nspire Først testes H 0 : R * C 0 mod H: R * C 0 APPS, STAT/LIST hvorefter data indtastes med første søjle (K1 søjlen) i list1, 2 søjle (K2) i list 2. List 1 List 2 830 810 860 840 940 1050 990 1020 855 930 815 910 TI89: F6, ANOVA2-Way, ENTER DESIGN=2 Factor,EqReps, Levls of Col Factor =2,Levls of Row Factor =3, ENTER Næste skema udfyldes med List1 og List 2, ENTER TI-Nspire: Vælg Statistik, Statistiske test, 2 sidet Anova, udfyld menuer herunder vælg “Variabelreferance” Under “interaction” findes P - værdi = 0.04596. Idet vi som sædvanlig antager at signifikansniveauet er 5 % fås, at da P - værdi = 0.0460 < 0.05 forkastes H 0 (svagt). Konklusion: Begge faktorer har en virkning i form af en vekselvirkning. For at finde den kombination af olieblanding og karburator, der giver det mindste benzinforbrug beregnes gennemsnittene i hver celle Vi finder Gennemsnit Karburator K2 K1 O1 845 825 Olieblanding O2 965 1035 835 920 O3 Det ses, at det mindste gennemsnit er 825. Beregning af 95% konfidensintervaller og LSD-intervaller (jævnfør afsnit 5.7) 2 Under “error” findes serror MS 600 og df = 6 Radius i 95% konfidensinterval er rkon t 0.975 ( 6) 600 2.446 300 42.38 2 Diameter i 95% konfidens- og LSD - intervaller er 84.76 d kon 2 rkon 84.76 og d kon 2 59.94 Det ses. at umiddelbart giver K2 O1 det laveste benzinforbrug, men da K1 O3 og K1 O1 begge har et benzinforbrug der afviger mindre end 59.9 herfra, er der ingen signifikant forskel er mellem K2 O1 ,K1 O3 og K1 O1 . Konklusion: Man får det laveste benzinforbrug ved at vælge en af kombinationerne K2 O1 ,K1 O3 og K1 O1 Et estimat for det laveste forbrug er 825 liter 57 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer Løsning: SAS.JMP Data indtastes på sædvanlig måde . Karburator k1 k1 k1 k1 k1 k1 k2 olieblanding o1 o1 o2 o2 o3 o3 o1 benzinforbrug 830 860 940 990 855 815 810 osv. a)Varianshomogenitet. Da varianserne i hver af de 6 celler skal være ens, karakteriserer man disse ved at gå ind i regnearket og danne en ekstra søjle “celler” (og vælg den som “character”). Da der er 6 celler med 2 tal i hver bliver søjlen: Karburator k1 k1 k1 k1 k1 k1 k2 olieblanding o1 o1 o2 o2 o3 o3 o1 benzinforbrug celler 830 1 860 1 940 2 990 2 855 3 815 3 810 4 osv. Gå derefter ind i ensidet variansanalyse og vælg celler som faktor og benzinforbrug som Y, ok cursor på rød pil på tegning og vælg “Unequal Variances” Oneway Analysis of Benzinforbrug By Celler Tests that the Variances are Equal Test O'Brien[.5] Brown-Forsythe Levene Bartlett F Ratio 0,0000 . . 0,1354 DFNum -1 5 5 5 DFDen 0 6 6 . Prob > F 0,0000* . . 0,9842 Warning: Small sample sizes. Use Caution. Da Bartletts test giver en P-værdi= 0.9642 > 0.05 fås en accept af en nulhypotese om at varianserne er ens, så kravet er rimeligt opfyldt. b) Først testes H 0 : R * C 0 (Ingen signifikant vekselvirkning) H H: R * C 0 Vælg Analyze Fit Model Indsæt for Y: Benzinforbrug ,Indsæt for ADD:Karburator og Olieblanding Indsæt for CROSS: Karburator,Olieblanding (marker begge) Emphasis’s rullemenu: vælg Minimal Report Run Model (Minimal report er kun valgt for at undgå nogle i denne forbindelse overflødige figurer) Man får (blandt andet) Summary of Fit RSquare 0,951898 RSquare Adj 0,911814 Root Mean Square Error 24,4949 Mean of Response 904,1667 Observations (or Sum Wgts) 12 Analysis of Variance Source DF Sum of Squares Model 5 71241,667 Error 6 3600,000 C. Total 11 74841,667 Mean Square 14248,3 600,0 58 F Ratio 23,7472 Prob > F 0,0007 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse Effect Tests Source karburator Olieblanding karburator*Olieblanding Nparm 1 2 2 DF 1 2 2 Sum of Squares 6075,000 58716,667 6450,000 F Ratio 10,1250 48,9306 5,3750 Prob > F 0,0190 0,0002 0,0460 Ud for “Karburator*olieblanding” findes P - værdi = 0.0460. Da P - værdi = 0.0460 < 0.05 forkastes H 0 (svagt). Konklusion: Begge faktorer har en virkning i form af en vekselvirkning. For at finde hvilke kombinationer der giver lavest benzinforbrug vælges Vælg “Effect Details” rød pil ved “karburator x olieblanding Vælg “LS means Plot” Vi får følgende Udskrift+tegning : Karburator*Olieblanding Least Squares Means Table Level Least Sq Mean k1,o1 845,0000 k1,o2 965,0000 k1,o3 835,0000 k2,o1 825,0000 k2,o2 1035,0000 k2,o3 920,0000 LS Means Plot Std Error 17,320508 17,320508 17,320508 17,320508 17,320508 17,320508 Umiddelbart ses af figuren, at man ikke bør vælge olieblanding O2. Derimod er det uklart hvilken af kombinationer (se tabellen) med de mindste “means”, der giver det laveste olieforbrug. Dette kan afklares ved på ovennævnte rullemenu at vælge “LSMeans students t” Det giver en stor tabel (som kan fjernes ved med cursor på overskrift, højre musetast at fjerne markeringen ved “Crostab Report). Under den findes følgende lille tabel Level k2,o2 k1,o2 k2,o3 k1,o1 k1,o3 k2,o1 A B B C C C Least Sq Mean 1035,0000 965,0000 920,0000 845,0000 835,0000 825,0000 Levels not connected by same letter are significantly different Heraf ses, at kombinationen K2 O1giver det laveste benzinforbrug (825), men, at der ingen signifikant forskel er mellem K2 O1 , K1 O3 og K1 O1. 59 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer Konfidensintervaller Ønskes fundet 95% konfidensintervaller rød pil i tabellen “Least Square Means Table” Karburator*Olieblanding Least Squares Means Table Level Least Sq Mean Std Error k1,o1 845,0000 17,320508 k1,o2 965,0000 17,320508 k1,o3 835,0000 17,320508 k2,o1 825,0000 17,320508 k2,o2 1035,0000 17,320508 k2,o3 920,0000 17,320508 Vælg “Columns” vælg “lower” og derefter “upper”. Lower95% 802,61824 922,61824 792,61824 782,61824 992,61824 877,61824 Upper95% 887,3818 1007,3818 877,3818 867,3818 1077,3818 962,3818 Heraf ses, at for kombinationen K2 O1 er konfidensintervallet = [782.6 ; 867.4] Ønskes gemt de estimerede middelværdier , “error”, konfidens- og prædiktionsgrænser gemt i den oprindelige datatabel, så rød pil ved “Response på rullemenu vælg “SaveColumns Vælg de ønskede størrelser. Eksempel 5.3 Additiv model: To signifikante hovedvirkninger I forbindelse med nogle brudstyrkebestemmelser for Portland-cement udføres et fuldstændigt randomiseret forsøg til undersøgelse af middelbrudstyrkens afhængighed af cementblandere og cementknusere. Med hver af 3 cementblandere udstøbtes efter blanding med vand 12 cementterninger, som efter en uges lagring underkastedes en brudstyrkeprøve ved hjælp af en af 4 cementknusere. Forsøgsresultaterne var: Cementknusere 1 2 3 4 1 147 175 130 99 85 75 67 23 35 215 97 180 Cementblandere 2 221 155 173 141 110 155 85 55 81 161 167 177 3 123 85 153 137 143 82 67 25 83 135 91 129 Forudsætningerne for en variansanalyse antages opfyldt. Angiv hvilke kombinationer af cementblander og cementknuser, der giver den største brudstyrke, og giv et estimat og et 95% konfidensinterval for denne største middelbrudstyrke. Løsning: TI89:APPS STAT/LIST hvorefter data indtastes med første søjle (cementknuser 1) i list1, 2 søjle (cementknuser 2) i list 2 osv. F6 ANOVA2-Way ENTER menu udfyldes DESIGN=2 Factor,EqReps, Levls of Col Factor =4,Levls of Row Factor =3 ENTER Næste skema udfyldes med List1, List 2,List3 og List 4, ENTER TI-Nspire Indtastes som i eksempel 5.2 Nedenfor er resultaterne angivet for de dele af den sædvanlige variansanalysetabel der kan få betydning 60 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse Variation Column:Cementknuser : C Row: Cementblander : R Interaction:R*C Error MS= s 2 F P - værdi 3 2 6 1187.1 1.33942 0.278669 21270.7 24 886.278 SAK=SS df 51995.2 8706.06 7122.61 a) H 0 : R * C 0 (Ingen signifikant vekselvirkning) For “interaction” findes P - værdi = 0.2787. Da P - værdi = 0.2787 > 0.05 accepteres H 0 . Konklusion: Vi antager i det følgende, at vekselvirkningen er forsvindende. b) Da vi lige har konkluderet, at der ingen vekselvirkning er, må et sikrere estimat for variansen være en pooling af de to varianser SAKpool = SAKerror + SAKvekselvirkning = 7122.61+21270.7 =28393.3. 28393.3 s 2pool 946.443 fpool = ferror + fvekselvirkning = 24+6 = 30 30 173317 . Fknuser 18.31 . P - værdi =P(F > 18.31) = FCdf(18.31, ,3,30) = 6.09 10 7 946.44 4253.03 Fblander 4.5994 . P - værdi =P(F >4.5994) = FCdf(4.5994, ,2,30) =0.0181 946.44 Det giver følgende tabel: 2 Variation SAK=SS df P - værdi F MS= s Column:Cementknuser : C 51995.2 3 17331.7 18.31 0.000000 Row: Cementblander : R 8706.06 2 4253.03 4.5994 0.0181 Error(pool): 28393.3 30 946.443 H0: C = 0 (Cementknuser har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = 0.000 < 0.05 H0: R = 0 (Cementblander har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = 0.01281 < 0.05 Konklusion: Cementknuserne har en (stærk) virkning Cementblandere har en virkning For at finde hvilken cementblander der giver den største middelbrudstyrke beregnes gennemsnit for blanderne: 1: mean({147,175,130,99,85,75,67,23,35,215,97,180})=110.67 2: mean({221,155,173,141,110,155,85,55,81,161,167,177}) = 140.08 3: mean({123, 85, 153,137, 143, 82, 67, 25, 83, 135, 91, 129}) = 104.42 Det ses, at cementblander 2 giver den største brudstyrke 61 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer Konfidensinterval for de 4 knusere findes ved at benytte de i afsnit 5.7 angivne formler. s 2pool rkon t 0.975 ( f pool ) 946.443 2.04 8.881 1814 . 3 4 t 0.975 (30) nq d kon 2 1814 . 36.3 d lsd 2 1814 . 25.7 Da 140.08 - 110.67 = 29.41 > 25.7 ses af LSD-intervallet, at cementblander 2 må foretrækkes Gennemsnit for knuserne findes til 1: 151.3 2: 114.11 3: 57.89 rkon t 0.975 ( f pool ) s 2pool nr t 0.975 (30) d kon 2 20.92 419 . Benyttes LSD , ses, at 4: 150.22 946.443 2.04 10.255 20.92 3 3 d lsd 2 20.92 29.6 Cementknuser 1 eller 4 må foretrækkes Konklusion: Størst middelbrudstyrke fås i kombinationen cementknuser 1 og cementblander 2 eller cementknuser 4 og cementblander 2 Et estimat ~12 for største middelbrudstyrke på basis af cementknuser 1 og cementblander 2: kapitel 5.7) x1 1513 . x 2 140.08 x (se oversigt i 110.67 140.08 104.42 118.4 3 ~12 x1 x 2 x 1513 . 1401 . 118.4 172.9 Radius i konfidensinterval : rkon t 0.975 ( f m ) 3 4 1 946.443 sm t 0.975 (30) 25.6 36 6 95% konfidensinterval : 172.9 25.6;172.9 25.6 146.6;197.8 Løsning:SAS.JMP Lad starten af indtastningen i regnearket være cementblandere cementknusere c1 k1 c1 k1 c1 k1 c1 k2 c1 k2 osv. brudstyrke 147 175 130 99 85 1) Variansanalysetabel opstilles. Vælg Analyze Fit Model Indsæt for Y: Brudstyrke ,Indsæt for AD:Cementblandere og Cementknusere Indsæt for CROSS: Cementblandere,Cementknusere (marker begge) Run Model Der fremkommer en række figurer og tabeller. 62 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse Blandt disse er følgende variansanalysetabel Summary of Fit RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,761257 0,651834 29,77042 118,3889 36 Analysis of Variance Source Model Error C. Total DF Sum of Squares Mean Square F Ratio 11 24 35 67823,889 21270,667 89094,556 6165,81 886,28 6,9570 Prob > F <,0001* Effect Tests Source Cementblander Cementknuser Cementblander*Cementknuser Nparm 2 3 6 DF 2 3 6 Sum of Squares 8706,056 51995,222 7122,611 F Ratio 4,9116 19,5557 1,3394 a) H 0 : R * C 0 (Ingen signifikant vekselvirkning) For “Cementblandere*cementknusere” findes P - værdi = 0.2787. Da P - værdi = 0.2787 > 0.05 accepteres H 0 . Konklusion: Vi antager i det følgende, at vekselvirkningen er forsvindende. b) Vekselsvirkningen "pooles" ned i “error”". Gå tilbage til starten, og slet vekselvirkningsleddet. Blandt mange tabeller findes Effect Tests Source Cementblander Cementknuser Nparm 2 3 DF 2 3 Sum of Squares 8706,056 51995,222 F Ratio 4,5994 18,3125 Prob > F 0,0181* <,0001* H0: C = 0 (Cementknuser har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = 0.000 < 0.05 H0: R = 0 (Cementblander har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = 0.0181 < 0.05 Konklusion: Cementknuserne har en stærk signifikant virkning, Cementblanderne har en signifikant virkning, Under “cementblandere” kan på samme måde som i forrige eksempel bl.a. findes følgende tabeller Level Least Sq Mean c2 A 140,08333 c1 B 110,66667 c3 B 104,41667 Levels not connected by same letter are significantly different. Heraf ses, at cementblander 2 må foretrækkes Under cementknusere fås Level Least Sq Mean k1 A 151,33333 k4 A 150,22222 k2 B 114,11111 k3 C 57,88889 Levels not connected by same letter are significantly different Cementknuser 1 og 4 må foretrækkes. Konklusion: Størst middelbrudstyrke fås i kombinationen cementknuser 1 og cementblander 2 eller cementknuser 4 og cementblander 2 63 Prob > F 0,0163* <,0001* 0,2787 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer ~ for største middelbrudstyrke på basis af cementknuser 1 og cementblander 2: Et estimat 12 Rød pil ved Response Profiler Factor profiling Profiler Ved de fremkomne figurer flyttes linier Rød pil ved Predicter Profiler Confidence Intervals 173,0278 ±25,64987 Bruds tyrke 200 150 100 50 c2 Cem entbl ander k4 k3 k2 k1 c3 c2 c1 0 k1 Ce m entknuser ~12 173.0 95% Konfidensinterval : 173.03 25.65;173.03 25.65 147.4;198.7 Eksempel 5.4 Additiv model: Een signifikant hovedvirkning Samme problem som i eksempel 5.3, blot er tallene for cementblander 2 formindsket med 10. Forsøgsresultaterne var: Cementknusere 1 2 3 4 1 147 175 130 99 85 75 67 23 35 215 97 180 2 211 145 163 131 100 145 75 45 71 151 157 167 3 123 85 153 137 143 82 Forudsætningerne for en variansanalyse antages opfyldt. 67 25 83 135 129 Cementblandere 91 Angiv hvilke kombinationer af cementblander og cementknuser, der giver den største brudstyrke, og giv et estimat og et 95% konfidensinterval for denne største middelbrudstyrke. Løsning:TI89+ TI-Nspire 1) H 0 : R * C 0 (Ingen signifikant vekselvirkning) Beregningerne er ganske analoge til eksempel 5.3. Nedenfor er resultaterne angivet i den sædvanlige variansanalysetabel Variation SAK=SS df MS= s 2 F Column:Cementknuser : C Row: Cementblander : R Interaction:R*C Error 51995.2 4299.39 7122.61 3 2 6 1187.1 21270.7 24 886.278 64 1.33942 P - værdi 0.278669 5.4 Beregning af tosidet variansanalyse For “interaction” findes P - værdi = 0.2787. Da P - værdi = 0.2787 > 0.05 accepteres H 0 . Konklusion: Vi antager i det følgende, at vekselvirkningen er forsvindende. Test H0: C = 0 H0: R = 0 Pooling: SAKpool = SAKerror + SAKvekselvirkning = 7122.61+21270.7 =28393.3. 28393.3 s 2p 00l 946.443 fp00l = ferror + fvekselvirkning = 24+6 = 30 30 173317 . Fknuser 18.31 . P - værdi =P(F > 18.31) = FCdf(18.31, ,3,30) = 6.09 10 7 946.44 2149.69 Fblander 2.271 . P - værdi =P(F > 2.271) = FCdf(2.271, ,2,30) =0.121 946.44 Det giver følgende tabel: 2 Variation SAK=SS df P - værdi F MS= s Column:Cementknuser : C 51995.2 3 17331.7 18.31 0.000000 Row: Cementblander : R 4299.39 2 2149.69 2.271 0.121 Error (pool) 28393.3 30 946.443 H0: C = 0 (Cementknuser har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = 0.000 < 0.05 H0: R = 0 (Cementblander har ingen virkning) accepteres, da P-værdi = 0.121 > 0.05 Konklusion: Cementknuserne har en (stærk) virkning Cementblandere har ingen virkning For at finde hvilken cementknuser der giver den største middelbrudstyrke kunne vi nu beregnes gennemsnit og konfidensinterval for de 4 knusere ved at benytte de i oversigt 5.7 angivne formler. Lettere er det at udnytte, at da vi nu kun har en faktor tilbage, så udnytte programmet for ensidet variansanalyse, med cementknusere som faktor på 4 niveauer. Konfidensintervaller findes som ekstra søjler efter list6 xbar lowlist uplist 148 126.3 169.7 110.78 89.08 132.48 54.56 32.85 76.26 146.89 125.19 168.59 Cementknuser 1 og 4 må foretrækkes, selv om man ikke helt kan afvise at cementknuser 2 kan være lige så god. For at afgøre dette beregnes diameter i LSDinterval 43.4 30.7 dkon= 169.7 - 126.3 = 43.4 d LSD 2 Konklusion: Cementknuser 1 og 4 må foretrækkes Et estimat for største middelbrudstyrke: 148 95% konfidensinterval [126.3 ; 169.7] 65 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer Løsning:SAS.JMP 1) H 0 : R * C 0 (Ingen signifikant vekselvirkning) Beregningerne er ganske analoge til eksempel 5.5. Blandt disse er følgende variansanalysetabel Analysis o Variance Source DF Sum of Squares Model 11 63417,222 Error 24 21270,667 C. Total 35 84687,889 Effect Tests Source Nparm Cementblander 2 Cementknuser 3 Cementblander*Cementknuser 6 Mean Square 5765,20 886,28 DF 2 3 6 F Ratio 6,5050 Prob > F <,0001 Sum of Squares 4299,389 51995,222 7122,611 F Ratio 2,4255 19,5557 1,3394 Prob > F 0,1098 <,0001 0,2787 a) H 0 : R * C 0 (Ingen signifikant vekselvirkning) For “Cementblandere*cementknusere” findes P - værdi = 0.2787. Da P - værdi = 0.2787 > 0.05 accepteres H 0 . Konklusion: Vi antager i det følgende, at vekselvirkningen er forsvindende. b) Vekselvirkningen "pooles" ned i “error”. Gå tilbage til starten, og slet vekselvirkningsleddet. Blandt mange tabeller findes Whole Model Effect Tests Source Cementblander Cementknuser Nparm 2 3 DF 2 3 Sum of Squares 4299,389 51995,222 F Ratio 2,2713 18,3125 Prob > F 0,1206 <,0001 H0: C = 0 (Cementknuser har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = 0.000 < 0.05 H0: R = 0 (Cementblander har ingen virkning) accepteres, da P-værdi = 0.121 > 0.05 Konklusion: Cementknuserne har en stærk signifikant virkning, Cementblanderne ikke har en signifikant virkning, Under “cementknusere” kan på samme måde som i forrige eksempel bl.a. findes følgende tabeller og figurer Response Brudstyrke Cementknuser Least Squares Means Table Level Least Sq Mean k1 148,00000 k2 110,77778 k3 54,55556 k4 146,88889 Std Error 10,654398 10,654398 10,654398 10,654398 Lower95% 126,29770 89,07548 32,85326 125,18659 LSMeans Differences Student's t Level Least Sq Mean k1 A 148,00000 k4 A 146,88889 k2 B 110,77778 k3 C 54,55556 Levels not connected by same letter are significantly different 66 Upper95% 169,70230 132,48008 76,25785 168,59119 5.5 Fuldstændigt randomiseret blokforsøg LS Means Plot Konklusion: Cementknuser 1 og 4 må foretrækkes. Et estimat for største middelbrudstyrke: 148 95% konfidensinterval [126.3 ; 169.7] Grafisk kontrol af kravet om normalitet rød pil Save columns residuals derefter som under ensidet variansanalyse 5.5 FULDSTÆNDIGT RANDOMISERET BLOKFORSØG. Som beskrevet i kapitel 4.3, kan man blive tvunget til at benytte forsøgsenheder, som er ret uensartede. Derved får den tilfældige forsøgsfejl en relativ stor spredning (stor “støj”). For at “dæmpe støjen” kan man inddele forsøgsenhederne i grupper (blokke), hvor de forsøgsenheder der ligger i samme blok er væsentlig mere ensartede end forsøgsenhederne i forskellige blokke. Til illustration heraf, så betragter vi igen forsøget beskrevet i eksempel 5.1. Eksempel 5.5 (randomiseret blokforsøg). En bilfabrikant ønsker at finde ud af, hvorledes 3 olieblandinger O1, O2, og O3, og 2 karburatortyper K1 og K2 påvirker benzinforbruget. Forsøget planlægges som et fuldstændigt faktorforsøg idet hvert niveau skal gentages mindst 4 gange. Dette betyder at der skal udføres 12 delforsøg. Et delforsøg med én bil tager 1 dag.(1 tank = 40 liter: Kører ca. 15 km/l så 40 liter = 600 km, hvilket giver ca. 7 timer med 80 km/time). Af tidsmæssige grunde kan man ikke benytte 12 dage til forsøget. Der benyttes 2 biler med tilhørende chauffør, hvilket forkorter forsøgstiden til 6 dage. Da de to biler (med tilhørende chauffør) kan frygtes at give systematisk forskellige resultater, ønskes foretaget et randomiseret blokforsøg med biler som blokke. 1) Beskriv hvorledes en randomisering kunne tænkes at foregå. 67 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer 2) Opdelingen i 2 blokke resulterede i følgende plan med tilhørende benzinforbrug bil 1 dag 1 O1K2 810 dag 2 O3K2 910 dag 3 O2K2 1020 dag 4 O1K1 830 dag 5 dag 6 O2K1 O3K1 940 815 bil 2 dag 1 O1K1 860 dag 2 O3K2 930 dag 3 O1K2 840 dag 4 O2K1 990 dag 5 O3K1 855 dag 6 O2K2 1050 Skitser udseendet af en variansanalysetabel og beregn om man på dette grundlag kan vise, at der er vekselvirkning mellem olieblanding og karburator. Løsning: 1) Randomisering: To dåser mærkes henholdsvis bil1 og bil2. Behandlingen O1K1 skrives på 2 sedler som anbringes i hver sin dåse, behandlingen O1K2 skrives på 2 sedler som anbringes i hver sin dåse osv. (se figuren). Man trækker nu først de 6 sedler fra dåse med mærket bil 1. Lad den første seddel der trækkes være O1K2. Det betyder nu, at bil 1 skal forsynes med karburator 2 og olieblanding 1 og køre dag 1. Lad den næste seddel der trækkes være O3K2 . Det betyder tilsvarende at bil 1 skal forsynes med karburator 2 og olieblanding 3 og køre dag 2. Således fortsættes indtil alle 6 sedler er udtrukket Derefter fortsættes med at trække sedler fra dåsen med bil 2. 2) Analyse: Der udføres en tosidet variansanalyse med faktorerne “olieblanding” og “karburator” Da tallene er de samme som i eksempel5.2 fås samme resultater. Der udføres en ensidet varaiansanalyse med blokke (biler) som faktor. Resultat: SS = 3333.33 df = 1 MS = 3333.33 Bemærk: Vi antager altid, at blokke ikke vekselvirker med faktorerne, idet vi forudsætter, at den ene blok (eksempelvis bil 1) bidrager med en systematisk højere resultat end den anden blok (eksempelvis at bil 1 på alle dage giver et større benzinforbrug end bil 2). Der udføres en tosidet variansanalyse. Resultat: Serror = 3600, df = 6 Idet blokvirkningen trækkes fra fås SS = 3600 - 3333.33 = 266.67 med df = 6 - 1 = 5. Resultaterne indskrives i en variansanalysetabel Variansanalyse SAK f MS F P-værdi Blokke (biler) 3333.33 1 3333.33 Olieblanding 2 Karburator 1 Olie * karburator 6450 2 3225 60.469 FCdf (60.469, ,2,5) 0.0031 “Error” Total 266.67 5 11 53.333 Idet vi som sædvanlig antager at signifikansniveauet er 5 % fås, at da P - værdi = 0.31% <5% forkastes H0 Konklusion: Begge faktorer har en virkning i form af en vekselvirkning. Bemærk: Selv om analysen viser, at blokkene mod forventning ikke kan antages at have betydning, må man ikke poole blokkene ned, da det svarer til, at man analyserer forsøget som om det var et fuldstændigt randomiseret forsøg. SAS.JMP har ikke et program til dette tilfælde. 68 5.6.To binomialfordelte eller Poissonfordelte faktorer i et fuldstændigt faktorforsøg 5.6. To binomialfordelte eller Poissonfordelte faktorer i et fuldstændigt faktorforsøg. Har man 2 faktorer i en fuldstændig faktorstruktur, og de statistiske variable er enten binomialfordelte eller Poissonfordelte, kan man ikke bruge variansanlyseteknikken, da den kræver, at de variable er normalfordelte. I appendix 5.2 er vist, hvordan man kan transformere data så det er tilladeligt at bruge variansanlyseteknikken på de transformerede data 69 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer 5.7. OVERSIGT OVER FREMGANGSMÅDE VED TOSIDET VARIANSANALYSE TI89 antages benyttet. Giver følgende skema Søjlefaktor Q Rækkefaktor R Q1 Q2 ... Qq R1 x111 x112 .... x11n x121 x122 .... x12n x1q1 x1q2 .... x1qn R2 x211 x212 .... x21n x221 x222 .... x22n x2q1 x2q2 .... x2qn xr11 xr12 .... xr1n xr21 xr22 .... xr2n xrq1 xrq2 .... xrqn ... Rr H 0 : R * C 0 (Ingen signifikant vekselvirkning) H: R * C 0 Apps Stats Data indtastes: Q1 søjle i list1 Q2 søjle i list2 osv. Qq søjle i listq F6, ANOVA2-Way, ENTER DESIGN=2 Factor,EqReps, Levls of Col Factor =q,Levls of Row Factor =r, ENTER Næste skema udfyldes med List1, List 2,List3 og List 4, ENTER Resultat fremkommer som en lang række tal Under “interaction” findes “P-value” 1) P - værdi < : H0 forkastes, dvs. Faktorerne R og C vekselvirker Konfidens og LSD intervaller opstilles til afgørelse af hvilken kombination af faktorer, der eksempelvis giver mindst resultat. Man udregner de r q gennemsnit og finder den mindste x min Radius rkon= t 0.975 ( f error ) 2 serror n 2 , hvor man under “ERROR” finder serror og f error =df Beregner diameter dkon = 2 rkon og dlsd = 2 rkon De gennemsnit der ligger indenfor en afstand dlsd fra x min er ikke signifikant forskellige. 2) P - værdi > : H0 accepteres, dvs, der kan ikke påvises en signifikant vekselvirkning For overskuelighedens skyld opstilles en variansanalysetabel ud fra udskrifterne MS=s2 Variation SAK=SS f = df Rækkefaktor R : SAKR f R r 1 Søjlefaktor C : SAKC fC q 1 Vekselvirkning R*C SAKRC f RC (r 1)(q 1) Gentagelser (residual, error) f error r q (n 1) SAKerror 70 F 5.7. Oversigt over fremgangsmåde ved tosidet variansanalyse Der foretages en “pooling” af vekselvirkning ned i Error, og man udregner nye Pværdier. Variation SAK=SS MS=s2 f = df Rækkefaktor SAKR R f R r 12 Søjlefaktor C: f C q 12 sR SAKC sC Error(poolet) SAKpool= SAKRC+SAKerror 2a) fpool=fRC+ferror F P-værdi SAK R fR sR2 s 2pool FCdf(FR, ,fR,fpool) FR = SAKC fC sC2 s 2pool FCdf(FC, ,fC,fpool) FC = s 2pool SAK pool f pool Begge P-værdier < H 0 : R 0 (Ingen signifikant virkning af rækkefaktor) H0 forkastes, dvs. rækkefaktor har en signifikant virkning Konfidens- og LSD intervaller opstilles til afgørelse af, hvilket niveau af rækkefaktor der eksempelvis giver mindst resultat. Man udregner de r rækkegennemsnit og finder den mindste xr ,min Radius rkon= t 0.975 ( f pool ) s 2pool nq Beregner diameter dkon = 2 rkon og dlsd = 2 rkon De gennemsnit der ligger indenfor en afstand dlsd fra xr ,min er ikke signifikant forskellige H 0 : C 0 (Ingen signifikant virkning af søjlefaktor) H0 forkastes, dvs. søjlefaktor har en signifikant virkning Man udregner de q søjlegennemsnit og finder den mindste xq,min Radius rkon= t 0.975 ( f pool ) s 2pool nr Beregner diameter dkon = 2 rkon og dlsd = 2 rkon De gennemsnit der ligger indenfor en afstand dlsd fra xq,min er ikke signifikant forskellige For celle i i’te række og j’te søjle er den estimerede middelværdi ~ij xi . x . j x .. (jævnfør betragtningerne i afsnit 5.3) Konfidensintervaller for hver celle: (r q 1) (r q 1) sm ; ~ij t ( N r q 1) sm ~ij t ( N r q 1) 1 1 N N 2 2 71 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer 2b) Kun en P-værdi < . Lad os antage, det er den ud for rækkefaktoren H 0 : R 0 (Ingen signifikant virkning af rækkefaktor) H0 forkastes, dvs. rækkefaktor har en signifikant virkning H 0 : C 0 (Ingen signifikant virkning af søjlefaktor) H0 acceptere, dvs. søjlefaktor har ingen signifikant virkning Problemet svarer nu til, at man har en ensidet variansanalyse, og beregningerne fortsætter derfor som sådan 72 Opgaver til kapitel 5 OPGAVER Opgave 5.1 I et forsøg undersøgtes, om det kemiske udbytte af en proces afhænger af hvilken af 2 katalysatorer, der anvendes. Endvidere kan man benytte 3 forskellige apparater, og de kunne også tænkes at have indflydelse på resultatet. Der fandtes følgende udbytter: Katalysator K1 Katalysator K2 Apparat A1 69 72 65 66 Apparat A2 72 71 70 69 Apparat A3 70 71 72 73 1) Idet det antages at forudsætningerne for at udføre en variansanalyse er tilstede, skal der udføres en test til vurdering af, om middeludbyttets (eventuelle) afhængighed af de benyttede katalysatorer og apparater kan beskrives ved en additiv model. 2a) Hvis man af økonomiske grund vælger apparat A1 hvilken katalysator skal man så vælge? 2b) Hvis man af økonomiske grunde vælger katalysator 1 hvilket apparat skal man så vælge? 2c) Hvilken (hvilke) kombinationer af apparat og katalysator giver det største udbytte. Opgave 5.2 Man ønsker at undersøge den virkning som 2 faktorer (typen af glas og fosfor) har på skarpheden af billedet på en TV-skærm. Responsvariablen er den strøm (i microampere) som er nødvendig for at opnå et specifik skarpheds niveau. Data er vist i nedenstående tabel: Fosfortype 1 Glastype 2 1 280 290 285 230 235 240 2 300 310 295 255 240 235 3 290 285 290 220 225 230 Idet de sædvanlige variansanalyseforudsætninger antages opfyldt, ønskes følgende spørgsmål belyst: 1) Har glastype og fosfortype indflydelse på skarpheden? 2) Ud fra svaret i spørgsmål 2 skal angives, hvilken glastype og fosfortype der giver den største skarphed (giver den mindste respons) 73 5 To faktorer på 2 eller flere niveauer Opgave 5.3 På en fabrik for glasvarer ønsker man at undersøge hvilken blandt 3 typer lim, der er bedst ved sammenlimning af 3 forskel1ige glastyper. Forsøget foregik ved, at man limede to glasplader sammen, og efter en passende tid undersøgte, hvor stor en kraft der skulle til for at trække pladerne fra hinanden. Man valgte at lave et fuldstændigt faktorforsøg med 5 gentagelser af hver behandling. Resultatet af forsøget var: Glastype A Glastype B Glastype C LIM I 20 18 23 22 23 21 27 24 20 18 17 23 18 21 25 LIM II 30 25 28 27 28 28 24 16 25 21 28 25 29 27 28 LIM III 31 32 18 30 21 18 30 18 32 31 23 24 19 22 24 Idet de sædvanlige variansanalyseforudsætninger antages opfyldt, ønskes følgende spørgsmål belyst: 1) Angiv hvilke faktorer der har en virkning. 2) Angiv den eller de kombinationer af type lim og type glas, der har den største sammenhængskraft. Angiv et 95% konfidensinterval for de pågældende kombinationer. Opgave 5.4 Fabrikationen af et kemikalium baseres på en bestemt kemisk proces, som forudsætter tilsætning af katalysator og en PH - værdi på ca. 5. Som led i en laboratoriemæssig undersøgelse af mulighederne for at forøge procesudbyttet foretoges bl.a. et forsøg, hvor man dels sammenlignede virkningen af tilsætning af 3 forskellige katalysatorer, dels undersøgte, om udbyttet afhang af, om den nødvendige PH værdi opnåedes ved tilsætning af HCl i stedet for som hidtil H2S04. Forsøgsresultaterne var (udbytteprocenter): Tilsat syre HCl Katalysatorer H2S04 1 27.0 27.7 30.1 29.1 2 25.5 27.0 30.6 28.9 3 26.5 25.0 25.8 28.0 1) Foretag en statistisk analyse af forsøgsresultaterne og drag konklusioner. 2) Estimer under hensyn til resultatet af den under punkt 1) foretagne analyse procesudbyttet ved benyttelse af katalysator 2 under tilsætning af HCl og opstil et 95% - konfidensinterval for dette udbytte. 74 Opgaver til kapitel 5 Opgave 5.5 Hver af tre laboranter har bestemt hydroquinons smeltepunkt (0 Celcius) med (de samme) 4 termometre. Resultaterne var: Termometre Laboranter 1 2 3 4 1 174.0 173.0 171.5 173.5 2 173.0 172.0 171.0 171.0 3 173.5 173.0 173.0 172.5 Det antages, at de nødvendige variansanalyseforudsætninger er opfyldt, og at termometre og laboranter ikke vekselvirker. Følgende 2 spørgsmål ønskes belyst: 1. Aflæser laboranterne termometrene på samme måde? 2. Viser termometrene ens. Opgave 5.6. Ved en tekstilfabrikation måltes for to forskellige vævemetoder og 5 forskellige materialetyper antallet af garnbrud pr. 1000 m2 klæde. Resultaterne var følgende: Materialetyper Vævemetoder 1 2 3 4 5 1 4 12 23 6 9 2 4 3 7 2 3 Foretag efter en passende variabeltransformation en analyse af, om og i bekræftende fald hvorledes middelantallet af garnbrud afhænger af vævemetoder og/eller materialetyper. Opgave 5.7. Ved en undersøgelse af, hvorledes virkningen af forskellige giftstoffcr kunne bekæmpes, foretoges et fuldstændigt randomiseret forsøg, hvorved 2 giftstoffer og 4 vitaminbehandlinger inddroges i undersøgelsen, og overlevelsestiden (timer) af de benyttede forsøgsdyr måltes. Nedenfor er anført en skematisk oversigt over forsøgsresultaterne: Vitaminbehandlinger 1 2 3 4 1 3.1 4.5 8.2 11.0 4.3 4.5 4.5 7.1 2 2.2 2.1 3.0 3.7 2.3 2.5 3.0 3.6 Giftstoffer Teoretiske overveje1ser i forbinde1se med tidligere lignende forsøg har vist, at variabeltransformationen Y sikrer den for analysen nødvendige varianshomogenitet. 1) Ana1yser forsøgsresultaterne og drag konklusioner med hensyn ti1 faktorernes virkemåde. 2) Opstil et 95%-konfidensinterval for den gennemsnitlige middeloverlevelsestid for hver enkelt vitaminbehandling og bestem den vitaminbehandling. som må antages at have bedst virkning. 75 1 X 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg 6 FLERE END TO FAKTORER, SCREENINGS-FORSØG 6.1 INDLEDNING Vi har i variansanalysen analyseret forsøg med 1 eller 2 faktorer. Imidlertid vil man i praksis ofte have behov for forsøg, hvori der indgår mange faktorer. De følgende eksempler illustrerer dette. Eksempel 6.1. (5 faktorer) Mængden af et uønsket spildprodukt ved en proces kan muligvis afhænge af en eller flere af følgende 5 faktorer: A: Mængden af reaktant B: Syrekoncentrationen C: Katalysatoren D: Reaktionstid E: Reaktionstemperatur. Eksempel 6.2. (3 faktorer) Antallet af brud i en stålfjeder er rigelig stor. Følgende 3 faktorer har muligvis betydning: A: Stålets procentiske indhold af kul. B: Temperaturen af det oliebad, som fjederen dyppes ned i under hærdningen C: Fjederens temperatur lige før den nedsænkes i oliebadet. Eksempel 6.3 (over 20 faktorer) Skitsen viser et måleudstyr til måling af emissionen af NOx fra dieselmotorer Da der var for stor variation i målingerne søgte man at forbedre udstyret. Efter "brainstorm" blev foreslået en lang række faktorer, som på figuren er angivet med bogstaverne A, B, C, .... 76 6.1 Indledning Formål med screeningsforsøg Hvordan kan man med det mindst mulige antal forsøg dels finder hvilke faktorer der har en virkning, dels finder hvorledes disse faktorer påvirker resultatet (ændres middelværdien?, ændres spredningen?, øges robustheden overfor påvirkninger fra omgivelserne eller fra "dårlige" komponenter?). Her er det, at de i de følgende afsnit omtalte screeningsforsøg er centrale. Man kan ved denne metode med forholdsvis få delforsøg undersøge mange faktorers virkning på en produktions slutresultat. Ved forsøget får man så afklaret, hvilke af faktorerne der har en væsentlig virkning. De sædvanligvis få faktorer, som viser sig at have en virkning, kan man så studere nøjere ved supplerende forsøg. Der gælder altid den regel, at man bør højst bruge 25% af det planlagte budget på det første forsøg. Den statistiske metode blev i 30-erne udviklet af en berømt statistiker R. Ficher, (F- fordelingen er opkaldt efter ham) . Metoden fik imidlertid først sin helt store udbredelse, da en japaner “Taguchi” formåede at gøre metoden let forståelig og derved sikrede dens udbredelse. Endvidere udvidede han metoden til også at finde hvilke faktorer der bidrog med den største spredning. Dette var bl.a. medvirkende til at sikre japanske bilers overlegne kvalitet i forhold til eksempelvis de amerikanske biler. Hvilke faktorer kan have betydning Man starter med at søge at finde alle de faktorer, som på nogen mulig måde kan tænkes at have en indflydelse på resultatet. Her kan "brainstorm" være værdifuld, idet man "uden hæmninger" skal foreslå mulige faktorer. Ved at lade en gruppe af "sagkyndige" på denne måde inspirerer hinanden, vil mange utraditionelle forslag komme frem. Man må passe på ikke at affærdige foreslåede faktorer som værende helt hen i vejret. Det er trods alt bedre at tage mange faktorer med og så opdage, at de fleste ingen rolle spiller, end at risikere at udskyde en væsentlig faktor. Udførelse af forsøg Det har stor betydning for forsøgets succes, at man er meget omhyggelig med at sammensætte den gruppe af mennesker, som skal planlægge og udføre forsøget. Hvis det drejer sig om udvikling af et nyt produkt vil det ofte være udviklingsafdelingen der både planlægger og udfører forsøget. Hvis det drejer sig om et problem i en eksisterende produktion, som måske er koncentreret om en bestemt maskine (eller del af produktionen), er det vigtigt at gruppen har medlemmer (driftsingeniører, værkførere, opstillere), som arbejder tæt på maskinen (den del af produktionen) til daglig. Det sikrer også, at de forstår ideen i forsøget, og derved sikrer at forsøget bliver udført som planlagt. Man har eksempler på, at hvis man ikke har forklaret metoden, så har man “på gulvet” strøget nogle forsøg, fordi man fandt dem ganske overflødige, hvilket dermed ødelagde hele screeningen. 77 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Screeningsforsøg Har man mange faktorer der skal undersøges, må man for at begrænse antallet af delforsøg nøjes med at undersøge hver faktor på 2 niveauer “lavt” niveau og “højt” niveau. Disse niveauer forsøges valgt som “yderpunkter” med hensyn til faktorernes formodede virkning. Har man ingen formodning herom, vælges sædvanligvis to faktorniveauer, som “afviger” mest muligt. For at reducere antallet af forsøg mest muligt antages endvidere, at alle behandlinger kun udføres 1 gang. Har man k faktorer, vil antallet af forsøg være 2 k , deraf navnet “ 2 k faktorforsøg”. Har man 4 faktorer er antallet af delforsøg 24=16, hvilket jo ikke er mange, men hvis eksempelvis der er 7 faktorer, er antallet af delforsøg 27= 128, hvilket begynder at være uoverskueligt mange. For at reducere antallet af delforsøg forudsættes derfor yderligere, at der ikke forekommer vekselvirkninger mellem mere end 2 faktorer. Det er en erfaringssag, at der meget sjældent forekomme signifikante vekselvirkninger mellem 3 faktorer, og vekselvirkninger mellem mere end tre faktorer er aldrig forekommet. Man kan derfor poole disse “ledige” vekselvirkninger sammen til et estimat for spredningen. Har vi eksempelvis 4 faktorer A, B, C og D, og hver faktor er på 2 niveauer, har de alle 1 frihedsgrad. Vi har derfor følgende variansanalysetabel Faktor SAS=SS f s2 F P-værdi A 1 B 1 AB 1 C 1 AC 1 BC 1 D 1 AD 1 BD 1 CD 1 Error 5 Total 15 Der er følgelig 5 frihedsgrader til rådighed til bestemmelse af den fælles varians. Et forsøg som ovenstående kaldes et fuldstændigt 24 - faktorforsøg, da man er interesseret i at teste alle 2-faktor-vekselvirkninger. Hvis man har mange faktorer giver det dog stadig alt for mange delforsøg Man kan imidlertid reducere antal forsøg kraftigt ved såkaldte “partielle 2 k faktorforsøg. Sædvanligvis ved man (måske fra tidligere forsøg), at visse 2-faktorvekselvirkninger ikke er signifikante. Dette kan man som der vises i det følgende udnytte til at reducere antallet af delforsøg kraftigt. 78 6.2 Nomenklatur 6.2 NOMENKLATUR Faktorerne omdøbes til A, B, C osv. og de antages alle på 2 niveauer , et “højt niveau og et lavt niveau En særdeles bekvem notation er følgende: (1): Alle faktorer er på lavt niveau a: A på højt niveau, alle andre på lavt niveau. b: B på højt niveau, alle andre på lavt niveau. ab: A og B på højt niveau, alle andre på lavt niveau. c: C på højt niveau, alle andre på lavt niveau. ac: A og C på højt niveau, alle andre på lavt niveau osv. Nomenklaturen anvendes i en dobbelt betydning, idet eksempelvis a også betyder forsøgsresultaterne med denne behandling. Faktorerne A, B, C ... på lavt niveau benævnes A1, B1, C1. . . og på højt niveau A2, B2, C2 ... Nomenklatur og formler anskueliggøres i følgende eksempel. Eksempel 6.4 23 faktorforsøg. Ved et fuldstændigt randomiseret laboratorieforsøg undersøgtes, hvorledes udbyttet af en nitreringsproces, hvis resultat ( i udbytteprocenter) indgår i en fabrikation af farvestoffer, afhænger af 3 faktorer Lav Høj A: Den tilføjede salpetersyre kold varm B: Omrøringstiden kort lang C: Resteffekt Renset beholder før delforsøget urenset beholder Forsøgsresultaterne fremgår af følgende skema, hvor også nomenklatur og gennemsnit er anført. C1(renset beholder) C2 (urenset beholder) gennemsnit B1 (kort) B2 (lang) B1 (kort) B2 (lang) A1 (kold) (1) 87.2 b c 86.7 bc 83.4 84.825 A2 (varm) a 88.4 abc 83.7 86.075 82.0 ab 83.0 ac 89.2 a) Angiv faktor A’s hovedvirkning og tegn den b) Angiv vekselvirkningen BC og tegn den Løsning (håndregning) Hovedvirkning Ved A’s hovedvirkning forstås effekten af en ændring ud fra gennemsnitsniveauet til niveauet, når A er på højt niveau. Et estimat (skøn) for A’s hovedvirkning er i eksempel 6.4 ~ A =86 .075- 85.45 =0.625. (se figuren). ~ Bemærk: Et estimat for A skrives kort A osv. (der sættes en “tilde” over bogstavet). 79 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg B og C’s hovedvirkning defineres analogt (B’s virkning når B er på højt niveau og C’s virkning når C er på højt niveau). Vekselvirkning: Lad os betragte vekselvirkningen AB. Vi har A2 B2 83 83.7 166.7, A1 B2 82 83.4 165.4 A2 B1 88.4 89.2 177.6 A1 B1 87.2 86.7 173.9 Tegnes forbindelseslinierne (se figuren) ses, at linierne ikke er parallelle (da 10.9 8.5). “Hældning” på B2 linie = 166.7 - 165.4= 1.3 “Hældning” på B1 linie = 177.6 - 173.9 = 3.7 Vekselvirkningen AB = 13 . 3.7 0.3 23 SAS.jmp og andre statistikprogrammer tegner disse figurer, som gør det lettere at tolke eksempelvis vekselvirkninger Generelle formler for hoved- og vekselvirkninger Fortegnsmatrix: Et vigtigt hjælpemiddel er de såkaldte fortegnsmatricer: Disse er opbygget således, at 1) A , B og C søjlerne har +, hvis det til faktoren svarende lille bogstav indgår, ellers 2) AB, AC , BC og ABC søjlerne er produktet” af tilsvarende fortegn i hovedsøjlerne. I + + + + + + + + (1) a b ab c ac bc abc A + + + + B + + + + AB + + + + C + + + + AC + + + + BC + + + + ABC + + + + Resultat 87.2 88.4 82.0 83.0 86.7 89.2 83.4 83.7 For at beregne A’s virkning betragtes søjlen under A. Tælleren er så netop tallene i venstre kolonne med det dertil svarende fortegn. ~ Eksempel : A (1) a b ab c ac bc abc (nævner er det totale antal delforsøg). 23 ~ 87.2 88.4 82.0 83 86.7 89.2 83.4 83.7 5 A 0.625 8 23 87.2 88.4 82 83 86.7 89.2 83.4 83.7 2.4 0.3 3 8 2 Det ses, at vi får værdierne fra før. Resultaterne kan generaliseres til et vilkårligt antal faktorer. AB 80 6.3 Definitionsrelationer og aliasrelationer Programmet mol1() i afsnit 6.9 beregner såvel virkningerne som varianserne. Det samme gælder SAS.JMP. 6.3 Definitionsrelationer og aliasrelationer. Lad os indledningsvis som eksempel betragte et fuldstændigt 22 - faktorforsøg. Fortegnsmatricen for et sådant forsøg er I A B -1 a b ab AB Ved man, at vekselvirkningen AB er nul, kan man benytte fortegnssøjlen for AB til beregning af et estimat for en ny faktor C. Faktor C kan indføres i den fuldstændige 22 -faktorstruktur på en måde, som vi betegner C = AB. Ved denne lader vi faktor C indgå på sit høje niveau i en behandling, når der i fortegnsmatricen for den fuldstændige 22 - faktorstruktur er et + i AB-søjlen, og vi lader faktor C indgå i behandlingen på sit lave niveau, når der er et minus (se følgende skema). I -1 a b ab A B AB C=AB Mad 3 faktorer skulle vi normalt have udført 23 = 8 forsøg, I ovenstående skema kan vi se, at netop halvdelen af alle behandlingerne i en fuldstændig 23 faktorstruktur udføres. Den fremkomne “partielle 23 - faktorstruktur” kaldes derfor for en 1 3 2 -faktorstruktur. 2 Vi opskriver nu i en fortegnsmatrix samtlige virkninger Fortegnssøjlerne bestemmes analogt med tidligere: I A-, B- og C - søjlerne sættes + eller eftersom det tilsvarende lille bogstav indgår i behandlingsnotationen eller ikke gør det. De øvrige søjler udfyldes efter produktregelen, hvor eksempelvis fortegnene i ABC - søjlen fås ved produkt af fortegnene i A-, B- og C-søjlerne. Underliggende struktur Behandlinger -1 c a a b b ab abc I A B 81 AB C=AB AC BC ABC 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Af fortegnsmatricen ses, at der følger en række relationer mellem fortegnssøjlerne, som symbolsk kan skrives: A = BC B = AC C = AB I = ABC Det kan vises, at dette betyder, at vi ingen mulighed har for at estimere virkning ABC, og at de linearkombinationer, der benyttes til estimation af virkningerne A, B og C, i virkeligheden estimerer summer af virkninger: A+BC, B+AC og C+AB. Vi benytter den terminologi, at A og BC er hinandens aliaser, B og AC er hinandens aliaser, og at C og AB er hinandens aliaser. Vi siger også, at virkningerne er sammenblandede, og at aliasrelationerne er A = BC, B = AC og C = AB. Vi kalder endvidere I=ABC for den partielle faktorstrukturs definitionsrelation. Vi kunne i stedet have sat C = -AB, dvs. at vi lader C-søjlen være AB - søjlen med modsat fortegn. Det giver følgende fortegnsskema Underliggende struktur Behandlinger I A B AB (1) a b ab (1) ac bc ab C = - AB AC BC ABC Analogt med før ses, at der symbolsk gælder en række relationer: A = - BC B = - AC C = - AB I = -ABC I dette tilfælde er I=-ABC den partielle faktorstrukturs definitionsrelation. Vi kan af relationerne se, at hvis faktoren C vekselvirker med de oprindelige faktorer A og B, så kan vi ikke estimere A og B rent, da de er sammenblandede med disse vekselvirkninger. Da vi naturligvis ønsker at kunne estimere faktorerne, så er den ovenstående forsøgsplan kun acceptabel, hvis alle 2-faktorvekselvirkninger på forhånd kan antages at være 0. Produktregler Ved betragtning af fortegnssøjlerne i den tilsvarende fortegnsmatrix indses let, at der for “multiplikation” af fortegnssøjler gælder en række simple "produktregler", hvoraf vi eksempelvis med let forståelig symbolik anfører: AA = BB = CC = I , I A = A I = A, (dvs I svarer til tallet 1 ved normal multiplikation) AB = A B = B A ABC = A B C = B A C = C A B osv. Ved benyttelse af disse produktregler fås aliasrelationerne umiddelbart ud fra definitionsrelationen I=ABC: Ved multiplikation med A: A = BC. Ved multiplikation med B: B = AC Ved multiplikation med C: C = AB . Omvendt kan definitionsrelationen fås ud fra en vilkårlig aliasrelation ved en multiplikation, f.eks. fås ud fra C=AB ved multiplikation med C: I=ABC. 82 6.4 Planlægning af partielt forsøg Foranstående mønster kan generaliseres, og der kan udarbejdes en fortegnsmatrix for enhver 2k-faktorstruktur. 6.4 Planlægning af et partielt forsøg Et partielt 2k faktorforsøg kan opdeles i tre faser 1) Planlægning: Angivelse af hvilke forsøg der skal laves. 2) Udførelse: Forsøgene udføres randomiseret 3) Beregning: Beregne P-værdier, angive faktorer med signifikante virkninger, evt. hvilke niveauer faktorerne skal indstilles på for at give maksimal virkning. Vi vil i dette afsnit give et par eksempler på hvorledes man planlægger et partielt forsøg ud fra givne oplysninger, mens vi i afsnit 6.5 vil vise hvorledes man udfører beregningerne. Eksempel 6.5. Planlægning af et partielt 2k faktorforsøg Virkningerne af 4 faktorer A, B , C og D ønskes undersøgt ved anvendelse af færrest mulige delforsøg. Man kan ikke på forhånd udelukke, at faktoren A vekselvirker med faktorerne B og C, mens det anses for udelukket, at der kan forekomme andre vekselvirkninger. Opstil en forsøgsplan, og angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, og relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur b) Forsøgets behandlinger. c) Antal frihedsgrader til “error” (forsøgsfejlens varians) Løsning: a) Der skal undersøges virkningerne af A, B, C , D, AB og AC, dvs. i alt 6 virkninger 1 Man kan derfor muligvis nøjes med at lave 8 delforsøg, dvs. vi vil udføre et partielt 2 4 2 faktorforsøg, da et sådant forsøg jo har 7 frihedsgrader. Der er dermed 1 frihedsgrad til “error”. Vi opskriver samtlige hoved- og vekselvirkninger i den underliggende fuldstændige 23 struktur, og sætter x ved de virkninger man foreløbig skal undersøge A B AB C AC BC ABC Beslaglagt virkning x x x x x Derefter indsættes faktoren D i modellen. Sættes D = ABC ses, at AB = DC og AC = BD. Da DC og BD antages at være forsvindende, kan AB og AC estimeres rent. (En anden mulighed var at sætte D = BC, hvilket gav B = CD og C = BD, hvilket også er i orden.) 83 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Tabellen nedenfor angiver relationen hvormed D er indført. A B AB C AC BC ABC = D Beslaglagt virkning x x x x x x b) De behandlinger (forsøg der skal laves) bestemmes af følgende fortegnsskema: A (1) a b ab c ac bc abc B C + + + + + + + + + + + + D=ABC + + + + (1) ad bd ab cd ac bc abcd En kontrol er, at alle faktorer skal være 4 gange på højt og 4 gange på lavt niveau. Forsøgene udgøres nu ( randomiseret) efter denne plan. Har man ved lodtrækning fundet, at man først skal lave forsøget “ad”, så laves altså et forsøg med faktorerne A og D på højt niveau og B og C på lavt niveau. c) Antal frihedsgrader til error : 1 Eksempel 6.6 Konstruktion af forsøgsplan Virkningerne af 7 faktorer T1, T2, T3, T4, T5,T6 og T7 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Man kan ikke på forhånd udelukke, at faktoren T6 har 2-faktorvekselvirkninger med faktorerne T2, T3 og T4. Endvidere kan faktoren T2 også tænkes at have 2-faktorvekselvirkninger med faktorerne T3 og T4 . Endelig er det ikke utænkelig, at T5 vekselvirker med T7 . Alle andre vekselvirkninger kan derimod anses for udelukket. Opstil en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg, og angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, samt relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur b) Forsøgets behandlinger. c) Antal frihedsgrader til “error” (forsøgsfejlens varians) Løsning a) Den underliggende struktur skal altid indeholde de faktorer, som har flest mulige vekselvirkninger med andre. T6 og T2 indgår i 3 vekselvirkninger, T3 og T4 indgår i 2 vekselvirkninger mens T5 og T7 indgår i 1 vekselvirkning Den mest “aktive” faktor benævnes med A, den næstmest aktive med B osv. 84 6.4 Planlægning af partielt forsøg Vi foretager følgelig følgende omdøbning: A = T6 , B = T2, C = T3, D = T4 , E = T5, F =T7 og G = T1. Der skal i alt estimeres 7 hovedvirkninger og 6 vekselvirkninger AB, AC, AD, BC, BD, EF. Disse 13 virkninger kan muligvis estimeres ud fra en underliggende 24 faktorstruktur, da 13 < 15. Vi prøver derfor om det er muligt at konstruere en 1 7 2 - faktorstruktur. 23 Der opskrives samtlige hoved- og vekselvirkninger i den underliggende fuldstændige 2 4 faktorstruktur. Beslaglagt virkning A B AB C AC BC Beslaglagt virkning D AD BD ABD CD ACD BCD ABC ABCD I skemaet er med markeret de “beslaglagte” virkninger, dvs. virkninger som kan være forskellig fra 0. Vi skal nu indføre E og F så EF ikke er beslaglagt. Efter at have prøvet forskellige kombinationer fandtes, at sættes E = ABC og F = CD er EF = ABD, som ikke er beslaglagt (ses ved, at EF = ABCCD=ABD) Resultatet kan samles i tabellen Beslaglagt virkning A B AB C AC BC ABC=E Vi har dermed vist, at en Beslaglagt virkning D AD BD ABD=EF CD = F ACD BCD ABCD = G 1 7 2 - faktorstruktur med ovenstående struktur kan benyttes til 23 testning af de mulige hoved- og 2-faktorvekselvirkninger. 85 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg b) Strukturens behandlinger bliver Underliggende struktur (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd A B C D E=ABC + + F=CD + + G=ABCD Behandlinger + fg aef bef abfg ce acg bcg abce d adeg bdef abd cdefg acdf bcdf abcdefg + + + - c) Da der i alt skal estimeres 7 hovedvirkninger og 6 vekselvirkninger er der 15 - 13 = 2 frihedsgrader til error 6.5 Beregning af et partielt forsøg Planlægningen af et partielt forsøg må foretages manuelt, mens den talmæssige beregning af P-værdier osv. sædvanligvis er så omfattende, at man vil benytte et statistikprogram hertil. I afsnit 6.7 er anført et lille program til TI89, som kan beregne virkninger og SS = s2 . SAS.JMP kan ligeledes foretage beregningerne. Eksempel 6.7. Beregning af et partielt 2k faktorforsøg (fortsættelse af eksempel 6.5) Virkningerne af 4 faktorer A, B , C og D ønskes undersøgt ved anvendelse af færrest mulige delforsøg. Man kan ikke på forhånd udelukke, at faktoren A vekselvirker med faktorerne B og C, mens det anses for udelukket, at der kan forekomme andre vekselvirkninger. I eksempel 6.5 udarbejdede man en forsøgsplan. Denne blev anvendt, forsøgene blev udført (randomiseret) Forsøgsresultaterne opført i standardrækkefølge er indsat i nedenstående skema 86 6.5 Beregning af partielt forsøg (1) a b ab c ac bc abc A + + + + B + + + + C D=ABC + + + + + + + + (1) ad bd ab cd ac bc abcd 65.0 30.0 10.0 85.0 25.0 80.0 40.0 60.0 a) Foretag beregningerne, og angiv hvilke faktorer, der har en signifikant virkning. b) Angiv de niveauer faktorerne skal indstilles på, hvis man ønsker det største resultat. c) Beregn et estimat for største middelværdi og angiv et 95% konfidensinterval herfor. Løsning: a) TI89 +TI-Inspire Resultaterne indtastes i Stat/list i liste a i standardorden (for at undgå eksakte tal vælg i “mode” approximate) I HOME skrives mol1(3 ). Enter (da den grundlæggende struktur er 23) I Stat/list fås liste ss= SAK =s2 (liste b med virkninger benyttes senere) a ss=SAK=s2 (1) 65 a 30 A= 1653.1 b 10 B= 3.125 ab 85 AB= 703.13 c 25 C= 28.125 ac 80 AC= 153.13 bc 40 BC= 3.125 abc 60 D=ABC= 2628.1 Vi får nu følgende variansanalysetabel, hvor vi først kun interesserer os for vekselvirkningerne P-værdi Faktor SAK=SS f s SAK F= s f 2 2 2 serror A 1653.1 1 1653.1 529.0 B 3.125 1 3.125 1.0 C 28.125 1 28.125 9.0 D=ABC 2628.1 1 2628.1 841.0 AB 703.13 1 703.13 225.0 P(F>225)=FCdf(225, ,1,1)=0.0424 AC 153.13 1 153.13 49.0 P(F>49)=FCdf(49, ,1,1)=0.0903 BC=error 3.125 1 3.125 Af P-værdierne for vekselvirkningerne, ses, at med et signifikansniveau på 5% forkastes H0: AC = 0 (svagt), mens AC ikke har nogen signifikant virkning. Vi kan altså foreløbig konkludere, at A og B har en virkning i form af en vekselvirkning. 87 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Vi vil nu undersøge om C og D skulle have en hovedvirkning. AC pooles ned i Error, og man får t2 Faktor f s 2 SAK s 2 P-værdi SAK=SS= 3 F= f 2 2 serror A B C 28.125 1 28.125 0.36 må være over 0.5 da F < 1 AB P(F>33.65)=FCdf(0,33.64,1,2)=0.0285 D=AB 2628.125 1 2628.125 33.64 C 153.125+3.125 =156.25 2 78.125 Error Total 5171.875 7 Af P-værdierne ses, at H0: D = 0 forkastes (stærkt), men C ikke har nogen virkning. Samlet konklusion: D har en hovedvirkning , A og B har en virkning i form af en vekselvirkning, og C har ingen virkning c) Vi ser nu på de relevante virkningerne a b=virkning (1) 65 49.375 a 30 A= 14.375 b 10 B= -0.625 ab 85 AB= 9.375 c 25 C= ac 80 AC= bc 40 BC= abc 60 D=ABC= -18.13 Da D har en negativ virkning, må D sættes på lavt niveau for at få det største resultat. Da A har en stor positiv virkning, må A skulle sættes på højt niveau. Da AB også har stor positiv virkning, mens B er lille og negativ, må det give det største resultat, at sætte A på højt niveau og B på højt niveau.. d) Største middeludbytte: ab =(1)+A+B+AB-D=49.375+14.375-0.625+9.375-(-18.13)=90.63 For at finde radius r kon i 95% konfidensinterval skal først poole C ned SAKpool =156.25+28.125=185.38 s 2pool Radius rkon t 0.975) ( f pool ) m s 2pool n hvor m er antal virkninger der indgår i r kon = t 0.975 (3) 6145 . 5 8 185.38 . 6146 med 3 frihedsgrader 3 , ab , dvs 5, og n er det totale antal forsøg, dvs. 8. =19.72 95% konfidensinterval: [90.63-19.72 ; 90.63+19.72] = [70.91 ; 110.35] 88 6.5 Beregning af partielt forsøg SAS-JMP: a) Doe Screening Design Factors, Skriv 4 ved 2 level Catagorical ADD ændre navnene fra x1, x2 ... til A, B, ... Continue Vælg 8 Run, Fractional Factorial (uden blokke) Continue I “Changing Generating Rules” kunne man ændre planen, men da planen er meget simpel passer planen. Apply Vi får planen , og ser den opfylder kravene (ingen betydende virkninger er sammenblandet) Vi går til “Output Options” Make Tabel Der fremkommer en tabel som skal udfyldes . Den er randomiseret, således at man nu blot kan udføre forsøgene i den rækkefølge der står I vort tilfælde indsætter vi de opgivne tal Pattern A B C D ---L1 L1 L1 L1 ++ - L2 L2 L1 L1 +-+L2 L1 L2 L1 -++ - L1 L2 L2 L1 +- - + L2 L1 L1 L2 -+- - + L1 L2 L1 L2 - - ++ L1 L1 L2 L2 ++++ L2 L2 L2 L2 Rød pil i tabel ved “Model” Run Script Y 65 85 80 40 30 10 25 60 Run Under “Emphasis” vælg “Minimal report” (for at slippe for en masse udskrifter Under “Construct Model Effects” slettes vekselvirkningen AD Run Efter at have trykket på passende røde pile fås følgende: Response Y Analysis of Variance Source Model Error C. Total DF 6 1 7 Sum of Squares 5168,7500 3,1250 5171,8750 Mean Square 861,458 3,125 F Ratio 275,6667 Prob > F 0,0461* Parameter Estimates Term Intercept A[L1] B[L1] C[L1] D[L1] A[L1]*B[L1] A[L1]*C[L1] Estimate 49,375 -14,375 0,625 -1,875 18,125 9,375 4,375 Std Error 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 0,625 t Ratio 79,00 -23,00 1,00 -3,00 29,00 15,00 7,00 Prob>|t| 0,0081* 0,0277* 0,5000 0,2048 0,0219* 0,0424* 0,0903 Effect Tests Source A B C D A*B A*C Nparm 1 1 1 1 1 1 DF 1 1 1 1 1 1 Sum of Squares 1653,1250 3,1250 28,1250 2628,1250 703,1250 153,1250 F Ratio 529,0000 1,0000 9,0000 841,0000 225,0000 49,0000 Prob > F 0,0277* 0,5000 0,2048 0,0219* 0,0424* 0,0903 Af P-værdierne for vekselvirkningerne, ses, at med et signifikansniveau på 5% forkastes H0: AC = 0 (svagt), mens AC ikke har nogen signifikant virkning. Vi kan altså foreløbig konkludere, at A og B har en virkning i form af en vekselvirkning. AC pooles ned i “Error” : Rød pil ved “Response Y 89 Model Dialog slet AC Run 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Vi får nu følgende udskrift Response Y Analysis of Variance Source DF Model 5 Error 2 C. Total 7 Sum of Squares 5015,6250 156,2500 5171,8750 Parameter Estimates Term Estimate Intercept 49,375 A[L1] -14,375 B[L1] 0,625 C[L1] -1,875 D[L1] 18,125 A[L1]*B[L1] 9,375 Effect Tests Source A B C D A*B Mean Square 1003,13 78,13 Std Error 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 3,125 Nparm 1 1 1 1 1 DF 1 1 1 1 1 F Ratio 12,8400 Prob > F 0,0738 t Ratio 15,80 -4,60 0,20 -0,60 5,80 3,00 Sum of Squares 1653,1250 3,1250 28,1250 2628,1250 703,125 Prob>|t| 0,0040* 0,0442* 0,8600 0,6094 0,0285* 0,0955 F Ratio 21,1600 0,0400 0,3600 33,6400 9,0000 Prob > F 0,0442* 0,8600 0,6094 0,0285* 0,0955 Af P-værdierne ses, at H0: D = 0 forkastes (stærkt), men C ikke har nogen virkning. Samlet konklusion: D har en hovedvirkning , A og B har en virkning i form af en vekselvirkning, og C har ingen virkning b) Hovedvirkningen C pooles ned i “Error”:Rød pil ved “Response Y Model Dialog Under “Prediction Profiles” vælges “Interaction Profiler” (slet evt. markør ved “Desirability Functions”) Prediction Profiler ±19,72384 Y 63,125 80 60 40 20 L1 A Interaction Profiles L1 B 90 L2 L1 D L2 60 L1 A L2 L1 30 A Y L1 L2 L1 L2 L1 0 0 90 L2 L1 60 Y L1 L2 0 90 B B 30 L1 60 L1 Y D D L2 30 L2 0 L1 L2 L1 90 L2 L1 L2 6.5 Beregning af partielt forsøg Det største resultat fås ved at vælge faktoren D på lavt niveau (L1) ( ses under “Prediction Profiles” ). ved at vælge A på højt niveau og B på højt niveau (ses under interaction profiles, “ ses bl.a. på tegning ved siden af A og over B”) c) Indstilles “Prediction profiles” på disse niveauer (eksempelvis ved at rykke de røde stiplede linier) fås følgende figur ±19,72384 Y 90,625 80 60 40 20 L2 L1 L2 L1 L2 L1 0 L2 L2 L1 A B D Heraf aflæses, at den største værdi er 90.625 og 95% konfidensinterval: [90.63-19.72 ; 90.63+19.72] = [70.91 ; 110.35] Eksempel 6.8. Beregning af partiel faktorforsøg Virkningerne af 7 faktorer ønskedes undersøgt ved et partielt faktorforsøg. Om 3 af faktorerne kunne forudsættes, at kun hovedvirkninger kunne være forskellige fra nul, medens for de 4 øvrige også 2-faktorvekselvirkninger eventuelt kunne være forskellige fra nul. De 4 sidste faktorer identificeredes derfor med bogstaverne A,B,C og D og de 3 første med bogstaverne E,F og G. 1 8 Der udførtes et fuldstændigt randomiseret forsøg med en 2 7 - faktorstruktur, hvor denne sidste er fremkommet ved, at faktorerne E,F og G indførtes i en fuldstændig 2 4 - faktorstruktur med faktorerne A,B,C og D ved relationerne: E = ABC F = BCD G = ABCD Behandlingerne anføres i standardrækkefølge efter A,B, C og D, og uden gentagelser, var følgende: 15.3 18.4 26.1 26.3 13.5 15.7 18.8 17.3 21.0 22.3 18.9 15.5 9.6 10.5 23.1 25.0 a) Find, hvilke faktorer, der har virkning b) Find de niveauer de pågældende faktorer skal indstilles på, for at give det største resultat. c) Angiv et estimat for dette største middelresultat, og angiv et 95% Konfidensinterval herfor. Løsning Vi skal finde hovedvirkningerne + vekselvirkningerne AB, AC, AD, BC, BD, CD Ti89 a) Resultaterne indtastes i Stat/list i liste a i standardorden I HOME skrives mol1( ). Enter k = 4 Enter I Stat/list fås to lister b og ss. Vi anvender først ss-listen 91 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd a 15.3 18.4 26.1 26.3 13.5 15.7 18.8 17.3 21 22.3 18.9 15.5 9.6 10.5 23.1 25 ss=SAK=s2 A= B= AB= C= AC= BC= E=ABC D= AD BD ABD CD ACD F=BCD G=ABCD 1.3806 124.88 6.6306 57.381 0.33063 39.376 1.5006 1.8906 0.68063 2.6406 0.52563 7.9806 3.5156 148.23 2.6406 Vi tester først om der er vekselvirkning, dvs. vi danner følgende variansanalysetabel, hvor vi har poolet de to ledige ABD og ACD ned i Error Faktor SAK=SS f s SAK F= s P-værdi f 2 2 2 serror AB AC BC AD BD CD Error 6.6306 0.3306 39.376 0.68063 2.6406 7.9806 0.52563+3.5156=4.04123 1 1 1 1 1 1 2 6.6306 0.3306 39.376 0.68063 2.6406 7.9806 2.0206 3.2815 <1 19.4868 <1 1.30694 3.94963 >0.05 >0.05 P(F>19.49)=FCdf(19.49, ,1,2)=0.0477 >0.05 >0.05 P(F>3.9463)=FCdf(3.95, ,1,2)=0.185 Af P-værdierne for vekselvirkningerne, ses, at med et signifikansniveau på 5% forkastes H0: BC = 0 (svagt), mens de øvrige ikke har nogen signifikant virkning. Vi kan altså foreløbig konkludere, at B og C har en virkning i form af en vekselvirkning. Vi vil nu undersøge om A, D, E , F og G skulle have en hovedvirkning. AB, AC, AD , BD og CD pooles ned i Error, og man får Faktor A B C D E=ABC F=BCD G=ABCD BC Error s2 1.3806 124.88 57.381 1.8906 1.5006 148.23 2.6406 SAK=SS 1.3806 124.88 57.381 1.8906 1.5006 148.23 2.6406 f 1 1 1 1 1 1 1 22.3043 7 3.1863 F <1 P-værdi 39.19 <1 <1 46.52 <1 92 P(F>46.52)=FCdf(46.52, ,1,7)=0.00025 6.5 Beregning af partielt forsøg Af P-værdierne ses, at H0: F = 0 forkastes (stærkt), mens de øvrige faktorer ikke har nogen virkning. Samlet konklusion: F har en hovedvirkning , B og C har en virkning i form af en vekselvirkning, de øvrige faktorer har ingen signifikant virkning b) Vi ser nu på de signifikante virkninger.(kolonne b) (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd a 15.3 18.4 26.1 26.3 13.5 15.7 18.8 17.3 21 22.3 18.9 15.5 9.6 10.5 23.1 25 b 18.585 A= B= AB= C= AC= BC= E=ABC D= AD BD ABD CD ACD F=BCD G=ABCD 2.7938 -1.894 1.5688 3.0438 Da F har en positiv virkning, må F sættes på højt niveau for at få det største resultat. B har den største numeriske virkning, C den næststørste (numerisk) og BC den mindste. Da B er positiv og C er negativ, må vi have, at den største virkning er B-C-BC (da fortegnet for BC jo er bestemt af fortegnene for B og C.) Konklusionen er, at B må sættes på højt niveau og C på lavt niveau. c) Største middelværdi af resultat bf =(1)+B-C-BC +F=18.581+2.7938-(-1.894)- 1.5688+3.0438=24.74 For at finde radius r kon i 95% konfidensinterval skal først poole A, D, E,G ned 27.7167 2.5198 med 11 SAKpool =22.3045+1.3806+1.8906+1.5006+2.6406=27.7167 s 2pool 11 frihedsgrader Radius rkon t 0.975) ( f pool ) m s 2pool 2 k = t 0.975 (11) 5 2..52 195 . 16 95% konfidensinterval: [24.74-1.95 ; 24.74+1.95] =[22.79 ; 26.69] d) Hvilke kombinationer af faktorer giver højest middelværdi (hører ikke til opgaven) 3.9 2.76 Diameter i konfidensinterval er 2 1.95 = 3.9 og i LSD interval 2 Det er klart, at F skal på højt niveau, da en ændring til lavt niveau ændrer middelværdien med 2 3.03=6 > 3.9 bcf =(1)+B+C+BC +F=18.581+2.7938+(-1.894)+ 1.5688+3.0438=24.09 f =(1)-B-C+BC +F=18.581-2.7938-(-1.894)+ 1.5688+3.0438=22.30 cf =(1)-B+C-BC +F=18.581-2.7938+(-1.894)- 1.5688+3.0438=15.37 Konklusion: F på højt niveau, og alle andre kombinationer end B lavt og C højt. 93 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg SAS:JMP a) Doe Screening Design Factors, Skriv 7 ved 2 level Catagorical ADD ændre navnene fra x1, x2 ... til A, B, ... Continue Vælg 16 Run, Fractional Factorial (uden blokke) Continue Vi ser nu følgende forslag til struktur (efter at have valgt nedenfor nævnte boks) Display and Modify Design Change Generating Rules Factors A B C D E X X X F X X X G X X X Skemaet skal læses E = BCD, F = ACD, G = ABD I “Changing Generating Rules” ændres nu planen ved at sætte passende krydser. Apply Vi får planen Display and Modify Design Change Generating Rules Factors E F G A X X B X X X C X X X D X X Aliasing of Effects Effects Aliases A = F*G D = E*G E = D*G F = A*G G = A*F = D*E A*B = C*E A*C = B*E A*D = E*F A*E = B*C = D*F B*D = C*F B*F = C*D Det ses, at planen opfylder kravene, idet vi dog skal flytte BC og CD frem Vi går til “Output Options” Make Tabel Der fremkommer en tabel som skal udfyldes (se nedenfor) Under “Emphasis” vælg “Minimal report” (for at slippe for en masse udskrifter Rød pil i tabel ved Design Model Edit Vi flytter nu BC og CD frem ved at skrive B*C fremfor A*E og C*D fremfor B*F. samt sletter de to sidste vekselvirkninger BG og CG Run Vi er nu tilbage ved Model Specifikation, hvor vi ses, at den endelige model stemmer For at kunne udfylde tabellen er vi nødt til at finde ud af behandlingerne 94 6.5 Beregning af partielt forsøg Underliggende struktur (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd A B C D E=ABC F=BCD + + + + G=ABCD Behandlinger + g ae bef abfg cef acfg bcg abce df adefg bdeg abd cdeg acd bcdf abcdefg + + + Tabellen udfyldes Pattern ------+ +---+- - +++ - + - + - ++ - + +++++++ +- -++++ ++ - - -++ - ++ - - -+ - - + - ++ ++ - + - - +++ + - - - -+ - + + - +- -++ -+++ - + + - ++ - - - + - - ++ - A L1 L2 L1 L1 L2 L2 L2 L1 L1 L2 L2 L1 L2 L1 L2 L1 B L1 L1 L1 L2 L2 L1 L2 L2 L1 L2 L2 L1 L1 L2 L1 L2 Rød pil i tabel ved Design C L1 L1 L2 L1 L2 L1 L1 L2 L2 L1 L2 L1 L2 L2 L2 L1 D L1 L1 L2 L2 L2 L2 L1 L1 L1 L2 L1 L2 L1 L2 L2 L1 Model E L1 L2 L2 L2 L2 L2 L1 L1 L2 L1 L2 L1 L1 L1 L1 L2 F L1 L1 L1 L1 L2 L2 L2 L1 L2 L1 L1 L2 L2 L2 L1 L2 Run Script G L2 L1 L2 L2 L2 L2 L2 L2 L1 L1 L1 L1 L2 L1 L1 L1 Y 15,3 18,4 9,6 18,9 25 22,3 26,3 18,8 13,5 15,5 17,3 21 15,7 23,1 10,5 26,1 I Emphasis vælg minimal report Run Blandt mange andre udskrifter fås følgende tabeller: Analysis of Variance Source Model Error C. Total DF 13 2 15 Sum of Squares 395,54313 4,04125 399,58437 Mean Square 30,4264 2,0206 F Ratio 15,0579 Prob > F 0,0639 Effect Tests Source A B C D E F Nparm 1 1 1 1 1 1 DF 1 1 1 1 1 1 Sum of Squares 1,38062 124,88063 57,38063 1,89063 1,50062 148,23063 95 F Ratio 0,6833 61,8030 28,3975 0,9357 0,7427 73,3588 Prob > F 0,4954 0,0158* 0,0335* 0,4354 0,4796 0,0134* 15.3 18.4 26.1 26.3 13.5 15.7 18.8 17.3 21.0 22.3 18.9 15.5 9.6 10.5 23.1 25 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Source G A*B A*C A*D B*C B*D C*D Nparm 1 1 1 1 1 1 1 DF 1 1 1 1 1 1 1 Sum of Squares 2,64063 6,63062 0,33062 0,68062 39,37563 2,64063 7,98063 F Ratio 1,3068 3,2815 0,1636 0,3368 19,4869 1,3068 3,9496 Prob > F 0,3714 0,2118 0,7250 0,6203 0,0477* 0,3714 0,1852 Heraf ses, at BC er den eneste signifikante vekselvirkning. De øvrige vekselvirkninger pooles ned i “Error”, ved at slette dem i Design Run Vi får nu følgende udskrift Analysis of Variance Source Model Error C. Total Effect Tests Source Nparm A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 G 1 B*C 1 DF 8 7 15 Sum of Squares 377,28000 22,30437 399,58437 DF 1 1 1 1 1 1 1 1 Mean Square 47,1600 3,1863 Sum of Squares 1,38062 124,88063 57,38063 1,89063 1,50062 148,23063 2,64063 39,37563 F Ratio 0,4333 39,1925 18,0083 0,5934 0,4710 46,5207 0,8287 12,3576 Model Edit Run F Ratio 14,8007 Prob > F 0,0010* Prob > F 0,5314 0,0004* 0,0038* 0,4663 0,5146 0,0002* 0,3929 0,0098* Heraf ses, at også F har en signifikant virkning. Konklusion: B, C og F har en virkning B og C i form af en vekselvirkning b) De øvrige hovedvirkninger pooles ned i “Error” Vælg derefter minimal Report, Run Rød pil ved “Response Y” “Factor Profile “ vælg “Interaction Plots” og “Profiler” Under “Prediction Profiler” slet kryds ved “Desirability Functions” Interaction Profiles Af interaction Profiles ses, at man skal vælge C på højt niveau (vigtigt) og B på højt niveau 96 6.6 Konfundering af blokke Prediction Profiler Af Prediction profiles ses, at man skal vælge F på højt niveau. c) Rød pil ved “Prediction Profiler, Confidence Intervals Placer de røde streger på figuren ±2,022308 Y 24,74375 25 20 15 L2 L1 L2 L1 L2 L1 10 L2 L1 L2 B C F Det ses, at den største middelværdi er 24.74, og et 95% konfidensinterval er [24.74 - 2.02 ; 24.74 + 2.02] = [22.72 ; 26.76] 6.6 KONFUNDERING AF BLOKKE Blokke dannes som bekendt for at forminske “støjen”. Eksempelvis kan det være nødvendigt af tidsmæssige grunde at benytte to ovne ved forsøget, og den ene ovn er af ældre dato, tager længere tid at varme op, og man kan derfor risikere, at forsøgsresultaterne generelt er “lavere” end et tilsvarende forsøg i den anden ovn. Man kan så lave fuldstændige blokke, dvs. alle behandlinger skal være repræsenteret i begge blokke. Uden en sådan balance er det klart ikke muligt at give en “fair” vurdering af behandlingerne. Imidlertid koster det jo mange forsøg, idet eksempelvis 2 blokke jo så kræver, at alle behandlinger skal udføres 2 gange. Skal antal delforsøg reduceres, er det derfor væsentligt, at have en metode til at lave lave balancerede ufuldstændige blokke. Efter nogenlunde samme teknik som ved indførelsen af faktorer i partielle forsøg, kan dette lade sig gøre. Man siger så, at man har konfunderet blokkene i strukturen. Metoden vises i de følgende to eksempler Eksempel 6.9. Konstruktion af et konfunderet partielt forsøg. Virkningerne af 5 faktorer T1, T2, T3, T4 og T5 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Man ved at ingen af faktorerne T2 og T4 vekselvirker med andre faktorer. Man er nødt til at lave et blokforsøg, med 4 forsøgsenheder i hver blok. Opstil en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg Løsning: Den underliggende struktur skal altid indeholde de faktorer, som har flest mulige vekselvirkninger med andre. Dette er i dette tilfælde T1, T3 og T5 . 97 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Den mest “aktive” faktor med A, og de øvrige med B, C osv. Vi foretager følgelig følgende omdøbning: A = T1 , B = T3, C = T5, D = T2 og E = T4. Der skal i alt estimeres 5 hovedvirkninger og 3 vekselvirkninger AB , AC, BC. Da blokkene er på 4 delforsøg, må vi så også indlægge 4 blokke. Dette koster 3 frihedsgrader, dvs. i alt 5 +3 + 3 = 11 frihedsgrader. 1 Vi prøver derfor om det er muligt at konstruere en konfunderet 25 - faktorstruktur. 2 Vi indfører nu eksempelvis den “nye” faktor E ved aliasrelationen E = ABCD (som jo ikke er beslaglagt).Endvidere konfunderer vi ABD og CD (og dermed også ABC). Vi opskriver den beskrevne struktur i følgende skema: x = Beslaglagt virkning k = konfunderet virkning A B AB C AC BC ABC D AD BD ABD CD ACD BCD ABCD=E x x x x x x k x = Beslaglagt virkning k = konfunderet virkning x k k x Vi har dermed vist, at ovenstående model kan anvendes. Eksempel 6.10. Beregning af et konfunderet partielt 25-1 faktorforsøg Virkningen af 5 faktorer A, B, C, D og E ønskes undersøgt. Man ved, at ingen af faktorerne D og E vekselvirker med andre faktorer. Da man kun kan udføre 4 forsøg pr apparat, indføres blokke på 4 forsøgsenheder. I en fuldstændig 24 struktur med faktorerne A, B, C og D indføres E = ABCD. Endvidere indføres blokkene ved at konfundere ABD og CD. Her vælges (tilfældigt) fortegnene ++ til blok 1 + - til blok 2 osv. Forsøgsplanen (opskrevet på sædvanlig måde i standardorden ) og forsøgsresultaterne er: A (1) a b ab + + + + + + + + + + + + + + + + + + ac + D abc d ad bd abd cd acd bcd abcd C c bc B + + + + + + + + + + + + + E=ABCD + behandlinger e a b abe ABD + + c + ace + + bce + + + + + + abc d ade bde abd cde acd bcd abcde 98 + + + + CD + + + + + + + + Blokke 3 1 1 3 Resultat 9 16 11 13 4 10 2 14 2 6 4 2 4 4 2 1 3 3 1 17 11 14 7 14 9 16 8 5 6.6 Konfundering af blokke a) Find hvilke faktorer der har virkning b) Angiv de niveauer de pågældende faktorer skal indstilles på, for at give det største middelresultat. Løsning TI89 a) Resultaterne indtastes i Stat/list i liste a i standardorden I HOME skrives mol1( ). Enter k = 4 Enter I Stat/list fås to lister b og ss. Vi anvender først ss-listen (1) a b ab c ac bc abc d ad bd abd cd acd bcd abcd a 9 16 11 13 10 14 6 17 11 14 7 14 9 16 8 5 ss=SAK=s2 A= B= AB= C= AC= BC= ABC* D= AD BD ABD* CD* ACD BCD E=ABCD 90.25 20.25 1.00 6.25 0.0 4 0.25 9.0 6.25 12.25 4 2.25 9 4 42.25 Vi danner nu en variansanalysetabel, hvor vi pooler de tre SS for blokvirkning sammen og pooler de fire ledige AD, BD, ACD og BCD ned i Error Faktor blok AB AC BC Error SAK=SS 0.25+4+2.25=6.50 1.00 0.0 4 6.25+12.25+9+4=31.5 f 3 1 1 1 4 s2 SAK f 2.16 1 0 4 7.875 F= <1 <1 <1 <1 s2 P-værdi 2 error s >0.05 >0.05 >0.05 Af P-værdierne for vekselvirkningerne, ses, at der ikke er nogen signifikante vekselvirkninger 99 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Vi vil nu undersøge om A, B, C, D og E skulle have en hovedvirkning. AB, AC, BC pooles ned i Error, og man får Faktor Blok A B C D E=ABCD Error SAK=SS f s2 F P-værdi 90.25 20.25 6.25 9.0 42.25 31.5+1.0+0+4=36.5 1 1 1 1 1 7 17.308 3.88356 1.19863 1.726 8.10274 P(F>17.308)=FCdf(17.308, ,1,7)=0.0042 P(F>17.308)=FCdf(17.308, ,1,7)=0.0894 >0.05 >0.05 P(F>8.10274)=FCdf(8.10274, ,1,7)=0.0248 90.25 20.25 6.25 9.0 42.25 5.2143 Af P-værdierne ses, at H0: A = 0 forkastes (stærkt), og H0: E = 0 forkastes, mens de øvrige faktorer ikke har nogen virkning. Samlet konklusion: A og E har en hovedvirkning de øvrige faktorer har ingen signifikant virkning b) Vi ser nu på de signifikante virkninger.(kolonne b) A= E= b 11.25 2.375 -1.625 Da A har en positiv virkning og E en negativ virkning , må A sættes på højt niveau og E på lavt niveau for at få det største resultat. Løsning:SAS.JMP a) Doe Screening Design ... Continue Factors, Skriv 5 ved Catagorical ADD ændre navnene fra x1, x2 ... til A, B, Vælg 16 Run, Fractional Factorial (med 4 blokke) Continue Vi får en udskrift Vælg “Change Generating Rules” Vi ændrer nu planen ved at sætte og fjerne passende krydser i overensstemmelse med ovenstående plan. Apply Change Generating Rules Factors E Block Block A X X B X X C X X D X X X Aliasing of Effects Effects Aliases C*D C*E D*E Block Aliases = Block = Block = Block Vi ser planen stemmer “Output Options” Randomize within blocks. Make Tabel Der udskrives nu en tabel, efter hvilken rækkefølgen af forsøgene er bestemt (randomiseret) Vi indsætter nu forsøgsresultaterne: Bloknumrene svarer ikke til dem vi indførte, men da man jo ikke er interesseret i hvilke blokke der er “bedst”, er det ligegyldigt. Eksempelvis svarer SAS blok 1 til vor nr 4 100 6.6 Konfundering af blokke Pattern --+-- + -++ +++ - + - - ++ ---+- ++ - + +-+-+ ++ - + ----+ + - ++ ++ - -+ - +++ - - +++ +----+--+++++ Block 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 A L1 L1 L2 L2 L1 L1 L2 L2 L1 L2 L2 L1 L1 L2 L1 L2 B L1 L2 L2 L1 L1 L2 L1 L2 L1 L1 L2 L2 L1 L1 L2 L2 C L2 L1 L2 L1 L1 L2 L2 L1 L1 L2 L1 L2 L2 L1 L1 L2 D L1 L2 L1 L2 L2 L1 L1 L2 L1 L2 L1 L2 L2 L1 L1 L2 E L1 L2 L1 L2 L1 L2 L2 L1 L2 L1 L2 L1 L2 L1 L1 L2 Y 10 7 17 14 11 6 14 14 9 16 13 8 9 16 11 5 Analyse af data (variansanalyse) Rød pil i tabel ved Design,Model Edit I den fremkomne tabel fjernes nu alle de vekselvirkninger, man mener der er 0. Rød pil i tabel ved Design,Model Run Script Man ser nu den endelige model. Run model Vi får bl.a. følgende udskrift. Analysis of Variance Source DF Model 11 Error 4 C. Total 15 Parameter Estimates Term Intercept A B C D E Block[1] Block[2] Block[3] A*B A*C B*C Sum of Squares 179,50000 31,50000 211,00000 Estimate 11,25 2,375 -1,125 -0,625 -0,75 -1,625 0,75 0 0,25 -0,25 0 -0,5 Mean Square 16,3182 7,8750 Std Error 0,701561 0,701561 0,701561 0,701561 0,701561 0,701561 1,215139 1,215139 1,215139 0,701561 0,701561 0,701561 t Ratio 16,04 3,39 -1,60 -0,89 -1,07 -2,32 0,62 0,00 0,21 -0,36 0,00 -0,71 F Ratio 2,0722 Prob > F 0,2516 Prob>|t| <,0001* 0,0276* 0,1841 0,4233 0,3453 0,0815 0,5705 1,0000 0,8470 0,7396 1 0,5154 Det ses, at alle vekselvirkninger er 0. De pooles væk. Marker dem under “Model Specification” og vælg Remove Run Model Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Intercept 11,25 0,57087 19,71 A 2,375 0,57087 4,16 B -1,125 0,57087 -1,97 C -0,625 0,57087 -1,09 D -0,75 0,57087 -1,31 E -1,625 0,57087 -2,85 Block[1] 0,75 0,988776 0,76 Block[2] 0 0,988776 0,00 Block[3] 0,25 0,988776 0,25 Konklusion: A og E har en virkning 101 Prob>|t| <,0001* 0,0042* 0,0894 0,3098 0,2303 0,0248* 0,4729 1,0000 0,8077 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg b) Beregning af estimat for optimal værdi samt konfidensintervaller B, C og D pooles ned i “error” hvorved vi får den endelige model. Derefter Rød pil ved “Response Y” Factor Profiling Profiler Rød pil ved “Prediction Profiler” Der fremkommer en figur hvoraf man ser, at A skal på højt niveau, og E skal på lavt niveau for at give det største middelværdi L2 L1 1 A E Block 4 3 2 1 L2 L1 L2 18 16 14 12 10 8 6 4 L1 ±3,661206 Y 16 Sættes tallene under figurerne til ovennævnte niveauer fås følgende figur, hvoraf man kan se, at største middelværdi er 16.00 Det har imidlertid ikke så megen mening, da tallet jo afhænger af blokkene Man ser iøvrigt af udskrifterne at blokkene ikke har haft nogen betydning. 6.7. SEKVENTIEL FORSØGSSTRATEGI I en række situationer vil man selv med partielle 2k - faktorforsøg og med rimelige forhåndsforudsætninger om hvilke vekselvirkninger der er nul få mange behandlinger og dermed mange delforsøg. Er delforsøgene dyre og budgettet begrænset, kan man prøve at formindske antallet ved at udføre færre forsøg end nødvendigt til at estimere alle virkninger, og dog håbe at nå et fornuftigt resultat. Man sammenblander eksempelvis to vekselvirkninger AB=CD uden at vide om en af dem er 0. Hvis man så opdager at den sammenblandede faktor AB+CD ikke er signifikant, så vil den enkleste model være, at ingen af dem har en virkning. Det behøver naturligvis ikke at være tilfældet, men det er en erfaring, at man ofte kan få en korrekt fortolkning af forsøgsresultaterne ved at vælge den, som giver den enkleste model. (den simpleste models princip). 102 6.8 Oversigt over fremgangsmåde ved partiel 2k -faktorforsøg 6.8 OVERSIGT OVER FREMGANGSMÅDE VED PARTIELT 2k FAKTORFORSØG. 1) Faktorerne omdøbes, så den faktor der indgår i flest 2-faktorvekselvirninger kaldes A, næstflest kaldes B osv. 2) Antallet af faktorer og 2-faktorvekselvirkninger, der ønskes testet, optælles. Lad antallet være t. 3) t < 7 : Start med en 24-1 faktorstruktur (8 delforsøg) 7 t 15 : Start med en 25-1 faktorstruktur (16 delforsøg) osv. 4) Den grundlæggende struktur opskrives, og man markerer hvilke af disse der skal undersøges 5) De resterende faktorer indføres, idet man opskriver aliasstrukturerne, og dermed sikrer, at der ikke sker sammenblanding af virkninger. Er det ikke muligt at undgå, må man fordoble antallet af forsøg (eksempelvis gå fra 8 til 16 forsøg). 6) Behandlingerne bestemmes ved at lave et fortegnsskema (kontrol: Alle faktorer skal være lige mange gange på højt og lavt niveau) 7) Forsøgene udføres (randomiseret) I opgaver bliver de opgivet, ofte i standardorden 8) Beregningerne foretages via TI89, TI-Nspire eller SAS.JMP (se eksempel 6.6, 6.7, 6.8) 103 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg 6.9 TI89 og TI-Nspire-PROGRAM TIL BEREGNING AF 2k-FAKTORFORSØG. Programudførelse TI89: Første gang man anvender programmet skal man oprette 3 lister (muligvis er de der allerede) APPS Stat/List kald tre liste a, b og ss Indtast tallene fra opgaven i liste a i standardrækkefølge (Efter at have lavet forsøgsplan) I HOME skrives mol1(3) ENTER hvis et 23 faktorforsøg, skriv mol(4) hvis det er et 24 faktorforsøg Programmet svarer Done Nu ligger estimaterne i liste b og SAK=SS = s2 i liste ss TI-Nspire Hent fra dokumentværktøjslinien (nr 5 fra højre) programmet PRO1 fra det katalog, hvor du har placeret det. Vælges dokumentværktøjslinien (nr 2 fra højre) ses øverst 3 lister a , b, ss (oprettes hvis de ikke allerede er dannet). Indtast tallene fra opgaven i liste a i standardrækkefølge (Efter at have lavet forsøgsplan) I feltet til venstre under listerne skrives nu mol(3) ENTER hvis et 23 faktorforsøg, skriv mol(4) hvis det er et 24 faktorforsøg Programmet svarer “Udført” Nu ligger estimaterne i liste b og SAK=SS = s2 i liste ss Selve programmet i TI89 og TI-Nspire kan ses nedenfor TI 89 :Forberedelser: Var Link F1 Create Folder PRO1 Opret en folder (mappe) til program navn PRO1 Mode Current Folder Vælg PRO1 som mappe APPS Stat/List kald tre liste a, b og ss Opretter 3 lister med navnene a, b og ss Slet eventuelt de øvrige lister Var Link Pro1 F4 marker list 1- list6 og slet Program Ordrer Kommentarer APPS Program editor New Oprette et program .Navnet kan man selv vælge I menu vælges Type= Program Der fremkommer en skabelon, hvor ordrer indtastes mellem Prgm Variabel= mol(k) og END program 2^k STO m STO findes på tastatur F2: For i,1,m a[i] STO c[i] a[i] STO d[i] EndFOR 1 STO n LBL top LBL findes i Catalog F2: If n<k+1Then If ... Then... ENDIF Der skrives ordrer mellem delene For i,1,m-1,2 Udregner hjæpestørrelser og placerer dem i liste d c[i]+c[i+1] STO d[(i+1)/2] c[i+1]- c[i] STO d[(i+m+1)/2] ENDFOR For i,1,m d[i] STO c[i] EndFOR n+1 STO n Goto TOP Goto findes i Catalog EndIf For i,1,m c[i]/m STO b[i] c[i]^2/m STO ss[i] EndFOR EndPrgm 104 6.8 Oversigt over fremgangsmåde ved partiel 2k -faktorforsøg TI-Nspire Forberedelser: Vælg Lister og regneark kald tre liste a, b og ss Opretter 3 lister med navnene a, b og ss Program Ordrer Kommentarer Vælg "Beregner" Funktioner og program Opretter et program .Define LibPriv mol(k)= Program editor NY mol(k) Navnet kan man selv vælge Der fremkommer en skabelon, hvor ordrer indtastes mellem Prgm og END program Prgm ordrer skrives på ny linie som fremkommer ved at trykke på m:=2^(k) ENTER For i,1,m,1 c[i]:=a[i] d[i]:=a[i] EndFor n:=1 Lbl top If n<k+1 Then For i,1,m-1,2 d[((i+1)/(2))]:=c[i]+c[i+1] d[((i+m+1)/(2))]:=c[i+1]-c[i] EndFor For i,1,m,1 c[i]:=d[i] EndFor n:=n+1 Goto top EndIf For i,1,m,1 b[i]:=((c[i])/(m)) ss[i]:=((c[i]^(2))/(m)) EndFor EndPrgm Vælger "kontrol" For . . . EndFor Ordrer skrives mellem For og EndFor startværdi Vælger Overførsel LBL Skriver eksempelvis Top If ... Then... ENDIF Der skrives ordrer mellem delene Udregner hjæpestørrelser og placerer dem i liste d Goto findes i overførsler behandlinger placeres i liste b SS=SAK placeres i liste ss 105 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg OPGAVER Opgave 6.1 Virkningerne af 6 faktorer T1, T2, T3, T4, T5 og T6 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Man kan på forhånd udelukkes, at faktorerne T4 og T5 vekselvirker indbyrdes eller med de andre faktorer. Derimod skal det være muligt at teste alle øvrige 2-faktorvekselvirkninger, ligesom alle 6 hovedvirkninger skal kunne testes. Foretag en hensigtsmæssig omdøbning til A, B osv. og opstil derefter en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg. Angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, og relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur b) Forsøgets behandlinger. c) Angiv antal frihedsgrader for forsøgsfejlen (error) Opgave 6.2. Virkningen af 8 faktorer T1,T2, T3, T4, T5, T6, T7,T8 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Det vides på forhånd, at faktoren T2 muligvis vekselvirker med faktorerne T1, T3 og T7 samt at T4 muligvis vekselvirker mad T7 . Alle andre vekselvirkninger er 0. Foretag en hensigtsmæssig omdøbning til A, B osv. og opstil en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg. Angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, samt relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur. b) Forsøgets behandlinger c) Angiv frihedsgraden for forsøgsfejlen (error) Opgave 6.3 Som led i en serie forsøg med henblik på optimering af styrken af et plastprodukt ønskedes ved et fuldstændigt 24 faktorforsøg virkningen af følgende faktorer undersøgt: Lavt niveau Højt niveau A: Materialetype Type 1 Type 2 B: Fabrikationsmetode Metode 1 Metode 2 C: Kemisk farvestof Ikke tilsat Tilsat D:Opbevaring Kort tid Lang tid Ved forsøget måltes styrken af produktet Forsøgsplan og forsøgsresultater (kodede tal) var følgende (i randomiseret rækkefølge): a b ab bcd ac bc -1 ad abc acd bd c cd abd abcd d 30.9 39.8 50.2 26.9 26.0 30.4 29.2 23.5 28.4 21.0 40.0 23.9 20.4 50.5 24.7 24.3 Det forudsættes, at kun hovedvirkninger og 2-faktorvekselvirkninger kan være forskellig fra nul. a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning (indgår eventuelt i en vekselvirkning?) b) Bestem, idet man ønsker den størst mulige middelværdi, de(n) optimale kombination(er) af de 4 faktorers niveauer. 106 Opgaver til kapitel 6 Opgave 6.4 Virkningen af 5 faktorer A, B, C, D og E, som ikke vekselvirker, skal undersøges ved et fuldstændigt randomiseret forsøg. Faktorerne D og E indføres ved aliasrelationerne D = ABC og E = BC. Forsøgsresultaterne (opskrevet på sædvanlig måde i standardorden) er: 7 19 25 15 54 46 12 31 a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning (indgår eventuelt i en vekselvirkning?) b) Angiv de niveauer de pågældende faktorer skal indstilles på, for at give det største middeludbytte, og angiv et 95% konfidensinterval for dette middeludbytte. Opgave 6.5. Virkningen af 4 faktorer A, B, C og D påtænkes undersøgt ved et fuldstændigt randomiseret forsøg med en partikulær 2k faktorstruktur. Det antages, at bortset fra hovedvirkninger, kan der kun tænkes at forekomme 2-faktorvekselvirkning AC . Der udføres et 25-2 faktorforsøg med aliasrelationerne D = ABC . Opstillet i standardrækkefølge (efter den underliggende fuldstændige faktorstruktur i faktorerne A, B og C) er forsøgsresultaterne på responsvariablen Y: 77.2 84.4 80.9 70.3 75.2 75.0 62.1 86.7 a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning (indgår eventuelt i en vekselvirkning?), idet signifikansniveauet sættes til 10%. b) Bestem, idet man ønsker den størst mulige middelværdi, de(n) optimale kombination(er) af de 4 faktorers niveauer, samt et 95% konfidensinterval. Opgave 6.6 Virkningerne af 6 faktorer T1, T2, T3, T4, T5 og T6 ønskes undersøgt ved et screeningsforsøg. Man har kun råd til at lave 16 delforsøg, og det er af tidsmæssige grunde nødvendigt at arbejde med 4 blokke på 4 forsøgsenheder. Det vides at kun hovedvirkninger og 2 - faktorvekselvirkningerne T4T1, T4T2, T4T3 og T4T5 kan være forskellig fra nul. Foretag en hensigtsmæssig omdøbning til A, B osv. og opstil derefter en forsøgsplan med færrest mulige delforsøg. Angiv herunder a) Den underliggende fuldstændige faktorstruktur, samt relationerne hvormed nye faktorer er indført i den underliggende struktur b) Forsøgets behandlinger. c) Angiv antal frihedsgrader for forsøgsfejlen (error) 107 6. Flere end to forsøg, Screeningsforsøg Opgave 6.7 Virkningen af 6 faktorer A, B, C, D, E og F ønskes undersøgt. Man ved, at ingen af faktorerne vekselvirker med andre faktorer. Da man kun kan udføre 4 forsøg pr. apparat, indføres blokke på 4 forsøgsenheder. I en fuldstændig 24 struktur med faktorerne A, B, C og D indføres E = ABCD og F = ACD. Endvidere indføres blokkene ved at konfundere ABC og CD. Opstillet i standardrækkefølge (efter den underliggende fuldstændige faktorstruktur i faktorerne A, B, C og D) er forsøgsresultaterne på responsvariablen Y: 27.9 43.7 24.3 46.1 37.2 13.3 20.7 29.6 27.5 25.0 30.3 20.7 17.4 52.8 35.2 36.6 a) Hvilke faktorer har en signifikant virkning. b) Bestem, idet man ønsker den størst mulige middelværdi, de(n) optimale kombination(er) af de 4 faktorers niveauer. 108 7.1 Indledning 7. ENKELT REGRESSIONSANALYSE 7.1 INDLEDNING I dette kapitel betragtes forsøg, hvor man har målt sammenhørende værdier af to kvantitative variable. Det følgende eksempel demonstrerer et sådant tilfælde. Eksempel 7.1. I et spinderi udtrykkes garnets kvalitet bl.a. ved en norm for den forventede trækstyrke. Kvaliteten anses således for at være i orden, hvis middeltrækstyrken mindst er lig med 10 måleenheder (me). Ved uldgarn opfylder garnets naturlige trækstyrke ikke det nævnte kvalitetskrav, hvorfor der tilsættes en vis mængde kunstfibre, hvilket forøger trækstyrken. Herved sker der dog det, at andre kvalitetsegenskaber, såsom elasticitet og isoleringsevne, forringes. Man har eksperimenteret med forskellige tilsatte mængder kunstfibre x og registreret garnets trækstyrke y ved disse forskellige mængder. Herved fremkom følgende observationsmateriale: Mængde x (i gram) af 40 50 55 60 70 75 80 85 90 95 100 105 110 120 kunstfibre pr. kg uld 130 Trækstyrke (me): Y 4.5 6.5 5.4 7.0 8.2 8.0 7.1 8.9 8.2 10.3 9.6 10.8 10.5 11.2 12.0 Mængden af kunstfibre x er blevet bestemt på forhånd (har fået ganske bestemte værdier), så den er ikke en statistisk variabel. Trækstyrken Y synes derimod udover mængden af kunstfibre også at være påvirket af andre ukendte og ukontrollable “støjfaktorer”. Y må derfor opfattes som en statistisk variabel. I andre situationer er både X og Y statistiske variable. Dette gælder eksempelvis, hvis man ønsker at undersøge om der er en sammenhæng mellem personers højde Y og vægt X, og derfor for en række personer måler sammenhørende værdier af højde og vægt. Målet med en regressionsanalyse er at finde en funktionssammenhæng mellem den uafhængige variabel y og de afhængige variable. I eksempel 7.1 ville man umiddelbart sige, at da man har 15 punktpar, så vil et polynomium af fjortende grad y a14 x 14 a13 x 13 ... a1 x a 0 gå igennem alle punkter, og det må derfor være en god model. Dette er imidlertid ikke tilfældet, da y - værdierne jo er resultater af forsøg der er påvirket af ukontrollable støjkilder. Polynomiets koefficienter vil derfor afspejle disse tilfældige udsving, og det giver derfor en ganske meningsløs model. Endvidere er modellen alt for matematisk kompliceret til at kunne bruges i praksis. Vi søger derfor i regressionsanalysen en enklere model, som tager rimeligt hensyn til støjen ved målingerne. Er den ene variabel som i eksempel 7.1 en (kontrolleret) ikke statistisk variabel, så har man mulighed for hver x- værdi, at foretage gentagne målinger af den statistiske variabel Y (randomiseret). Dette giver mulighed for at beregne et estimat for den spredning der skyldes støjen, hvilket (som det vises i afsnit 7.2.3) kan udnyttes ved testning af den foreslåede model. 109 7. Regressionsanalyse Lineær model. Ved en lineær model forstås her en model, der er lineær med hensyn til parametrene. Eksempelvis er såvel funktionen y f ( x ) a bx cx som y g ( P, T ) a b P c T lineære i de 3 parametre a, b og c . Som et eksempel på en model der ikke er lineær i parametrene c kan nævnes y a bx . 2 Vi vil i dette kapitel betragte det ved anvendelserne meget ofte forekomne tilfælde, som kaldes enkelt regressionsanalyse, og hvor modellen er lineær i 2 parametre, eller kan gøres lineær ved en passende transformation.. Som eksempler herpå kan nævnes y a bx og ln y a b ln x . 7.2. BESTEMMELSE AF REGRESSIONSLIGNING Vi betragter igen eksempel 7.1 Regressionslinie og regressionskoefficienter. Afsættes de målte punktpar ( x1 , yi ) i et koordinatsystem for at få et overblik over forløbet, fås følgende tegning: Plot of styrke vs kunstfibre 12,5 styrke 10,5 8,5 6,5 4,5 40 60 80 100 120 140 kunstfibre Punkterne ligger ikke eksakt på en ret linie, men det synes rimeligt at antage, at afvigelserne fra en ret linie kan forklares ved den tilfældige variation (støjen). Derfor er det nærliggende at antage, at middelværdien af den statistiske variable Y er en lineær funktion af x af formen E (Y x ) 0 1 x . (1) E (Y x ) skal læses middelværdien af Y for fastholdt x. Vi vil i det følgende ofte i ligningen (1) kort skrive Y eller fremfor E (Y x ) . Ligning (1) kaldes regressionsligningen (eller den teoretiske regressionsligning), grafen kaldes for regressionslinien (eller den teoretiske regressionslinie) , og konstantledet 0 og hældningskoefficienten 1 kaldes regressionskoefficienterne. 110 7.2 Bestemmelse af regressionsligning Mens middelværdien af Y ligger på regressionslinien, kan den aktuelle observerede værdi af Y ikke forventes at ligge på den. For et punktpar ( x1 , yi ) gælder derfor, at yi 0 1 xi i , hvor i kaldes den i’te residual. Bestemmelse af regressionslinien ved mindste kvadraters metode. På basis af en række sammenhørende værdier af x og y bestemmes estimater 0 og 1 for regressionskoefficienterne og ved “ mindste kvadraters metode“. Værdierne og 0 0 1 1 kaldes de empiriske regressionskoefficienter. Kan det ikke misforstås, så kort blot regressionskoefficienterne. Det følgende eksempel viser metoden anvendt på et lille taleksempel. Man benytter hertil et matrixprogram. De angivne metoder kan umiddelbart generaliseres til mere komplicerede eksempler. Eksempel 7.2. Bestemmelse af regressionskoefficienter ved mindste kvadraters metode. I et medicinsk forsøg måles på en forsøgsperson sammenhørende værdier af en bestemt medicin i blodet (i %) og reaktionstiden. Resultaterne var: x 1 2 3 6 8 y 2 1 4 9 7 Bestem ved mindste kvadraters metode et estimat for regressionslinien. Residual. Ved et punkts residual til en linie forstås den “lodrette” afstand fra punktet til linien (se tegningen). På figur 7.1 er afsat de 5 punkter, og indtegnet en ret linie. Figur 7.1 Residualer Mindste Kvadraters metode. Regressionslinien y 0 1 x bestemmes som den af alle mulige rette linier, for hvilket summen af kvadratet af residualerne til linien er mindst. I eksempel 7.2 er kvadratsummen r12 r22 r32 r42 r52 . Løsningen af dette optimeringsproblem er angivet nedenfor (med petit). 111 7. Regressionsanalyse Bestemmelse af regressionsligningen ved mindste kvadraters metode LØSNING: I vort tilfælde hvor vi har 5 punkter, indsættes vi disse i ligningen y 0 1 x . Dette giver: 2 0 1 1, 1 0 1 2, 4 0 1 3, 9 0 1 6, 7 0 1 8 . De 5 ligninger med 2 ubekendte 0 og 1 kan i matrixnotation skrives: YX 2 1 1 1 1 2 B hvor Y 4 , X 1 3 og B 0 1 9 1 6 1 8 7 De søgte værdier af 0 og 1 findes som den løsning til dette overbestemte ligningssystem som giver den mindste RMS - fejl. Løsningen er (se evt. “Matematik for ingeniører” bind 3 eller Matricer og lineære ligninger afsnit 10) bestemt ved løsningen B ( X T X ) 1 X T Y . I vort taleksempel er 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0.6 B 4 1 3 1 2 3 6 8 1 2 3 6 8 10 . 1 6 9 7 1 8 . x Regressionsligningen bliver følgelig y 0.6 10 I praksis vil man benytte et færdigt program til bestemmelse af regressionskoefficienterne. Dataene indtastes enten i et statistikprogram som SAS-JMP, eller i en lommeregner med regressionsprogram som TI-89 eller TI-Nspire. 7.3 VURDERING AF OM REGRESSIONSLIGNING BESKRIVER DATA GODT. Vi vil i dette afsnit se på det tilfælde, hvor der for hver x - værdi kun er målt én y - værdi. Det er altid muligt ved mindste kvadraters metode at finde en sådan “mindste kvadraters linie”. Det betyder ikke nødvendigvis, at linien så også er en rimelig model, som kan anvendes til at beskrive sammenhængen. Til vurdering heraf vil man 1) se på en tegning. “Mindste kvadraters linie” tegnes i et koordinatsystem sammen med punkterne. Hvis den lineære model beskriver dataene godt, skal punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien I mere komplicerede tilfælde, er det nødvendigt i stedet at afsætte residualerne (i et såkaldt residualplot). Residualerne bør så fordele sig tilfældigt omkring den vandrette 0 - linie 112 7.3 Vurdering af om regressionsligning beskriver data godt 2) Se på størrelsen af forklaringsgraden r 2 (også kaldet determinationskoefficient). Den angiver et talmæssigt mål for hvor tæt punkterne ligger på linien. Sædvanligvis finder man, at den fundne model på tilfredsstillende måde beskriver data, hvis forklaringsgraden er på over 70% samtidig med, at tegningen viser, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring den fundne regressionskurve. Selv om forklaringsgraden er lav, kan der dog godt være en vis afhængighed mellem de to variable. Eksempelvis, hvis man måler sammenhørende værdier af højde og vægt for alle værnepligtige mænd, vil forklaringsgraden være lav (under 50%). Ser man på den såkaldte korrelationskoefficient vil den dog være positiv. Hvis det ved en test viser sig at være signifikant større end 0 (svarer til at man tester om liniens hældningskoefficient er større end 0) , har vi vist, at i middel vil der gælde, at jo højere man er jo mere vil man i middel veje. Målepunkterne ligger imidlertid så spredt, at dette blot afspejler en tendens. Man kan ikke benytte regressionslinien til at forudsige noget med blot en rimelig sikkerhed. 3) Undersøge om der er outliers. Outliers er en betegnelse for enkelte målinger som afviger så kraftigt fra den almindelige tendens, at det kan skyldes fejlmålinger. Sådanne punkter kan i uheldige tilfælde på grund af et stort bidrag til residualsummen få regressionslinien til at dreje. Det er dog klart, at man ikke blot kan stryge sådanne “ubehagelige” punkter. Det må kun ske, hvis man er sikker på, at punktet skyldes en fejl af en eller anden art ved målingen. Definition og beregning af forklaringsgrad. I praksis vil lade en lommeregner eller en PC med et statistikprogram beregne de enkelte statistiske størrelser. Ved tolkningen af de fremkomne størrelser vil en anskuelig forståelse af størrelserne dog være nyttig. I det følgende vil vi derfor definere nogle fundamentale definitioner, og søge at anskueliggøre dem dels på figur 7.3 dels ved at foretage beregningeren på tallene i eksempel 7.2. Figur 7.3. SAK - størrelser 113 7. Regressionsanalyse Definitioner: SAKtotal = sum af kvadrater af residualerne til den vandrette linie y = y 2 1 4 9 7 4.6 5 De 5 punkters “residualer” til den vandrette linie y = y . Data i eksempel 7.2 giver: y r1 2 4.6 2.6, r2 1 4.6 3.6, r3 4 4.6 0.6, r4 9 4.6 4.4, r5 7 4.6 2.4 . Vi får SAK total r12 r22 . . . r52 2.6 2 3.6 2 0.6 2 4.4 2 2.4 2 45.2 . SAKresidual = sum af kvadrater på de enkelte punkters afstand fra den fundne regressionslinie . Af eksempel 7.2 fås følgende residualer til den fundne regressionslinie y = 0.6 + 1.0 x: r1 2 (0.6 1 1) 0.4, r2 1 (0.6 1 2) 16 . , r3 4 (0.6 1 3) 0.4, r4 9 (0.6 1 6) 2.4, r5 7 (0.6 1 8) 0.4 . SAK residual r12 r22 . . . r52 0.4 2 ( 16 . ) 2 0.4 2 2.4 2 .( 16 . ) 2 112 . SAKmodel = sum af kvadrater af “regressionsliniens afstand” fra det totale gennemsnit y . Af eksempel 7.2 fås residualerne for regressionslinien y = 0.6 + 1.0 x ‘s “afstand” fra det totale gennemsnit y =4.6. r1 0.6 1 1 4.6 3.0, r2 0.6 1 2 4.6 2.0, r3 0.6 1 3 4.6 10 . , r4 0.6 1 6 4.6 2.0, r5 0.6 1 8 4.6 4.0 . SAK model r12 r22 . . . r52 ( 3.0) 2 ( 2.0) 2 ( 10 . ) 2 2.0 2 .4.0 2 34 Der gælder generelt, at SAKtotal = SAKresidual + SAKmodel (jævnfør, at 45.2 = 11.2 + 34) Forklaringsgraden r2 r 2 er bestemt ved SAK model SAK total SAK residual SAK residual 1 SAK total SAK total SAK total (r2 34 0.752 ) 45.2 Anskuelig forklaring: Ligger punkterne tæt ved linien, er residualerne små, og SAKresidual lille. Nu er lille jo et relativt begreb, så man sammenligner med SAKtotal, dvs. med residualerne til den vandrette linie y y . Hvis der ingen sammenhæng er mellem y- og x- værdierne (Y er uafhængig af x) vil regressionslinien stille sig næsten vandret, dvs. y y . Måler man eksempelvis sammenhørende værdier af personers højde, og deres IQ (intelligenskvotient) vil man uden tvivl få en ret linie der er praktisk taget vandret, og en forklaringsgrad der ligger tæt på 0. SAK residual 0 . Det betyder igen at SAK residual SAK total og dermed at r 2 1 SAK total Hvis derimod der er en sammenhæng (Y er lineært afhængig af x ) vil regressionslinien have en hældning forskellig fra nul. Det betyder igen at SAK residual SAK total . Heraf følger, at r 1 . Man siger også, at den fundne model “forklarer “ r 2 100% af den “totale variation” I eksempel 7.2 forklarer den fundne model således “ 75.2% af den totale variation. 2 Transformation. Hvis man ikke finder, at en ret linie beskriver data godt nok, så er det jo muligt, at en anden kurve bedre beskriver sammenhængen. Eksempelvis er det jo velkendt fra matematikken, at graferne for eksponentialfunktioner og potensfunktioner ved en passende logaritmisk transformation kan blive til rette linier. Det giver naturligvis lidt mere komplicerede regninger, men statistikprogrammer og også en del lommeregnere kan dog let foretage en regressionsanalyse også i sådanne tilfælde. I eksempel 7.5 er et sådant eksempel gennemgået. 114 7.3 Vurdering af om regressionsligning beskriver data godt At man ikke alene kan stole på forklaringsgraden illustreres ved følgende eksempel. Eksempel 7.3 .Grafisk vurdering af model. De følgende 4 figurer afspejler forskellige muligheder.+ Plot of Fitted Model 12,5 styrke 10,5 8,5 6,5 4,5 40 60 Figur 7.2a: 80 100 120 140 kunstfibre r = 0.959 r 2 = 91.9% Figur 7.2c: r = 0.278 Figur 7.2b: r = 0.962 r 2 =92.6% Figur 7.2d: r = 0.229 r 2 = 7.73% r 2 = 5.24% I figur 7.2a synes den lineære model at kunne beskrive dataene godt, idet punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien, og forklaringsgraden r 2 = 91.9% er høj. I figur 7.2b er forklaringsgraden også høj, og punkterne ligger da også tæt ved linien. Imidlertid ligger punkterne ikke tilfældigt omkring linien. Yderpunkterne ligger over og de midterste punkter under linien, så det er næppe rimeligt at anvende en ret linie som model. I stedet kunne man overveje en eksponentialfunktion eller et andengradspolynomium. I figur 7.2c er regressionslinien er næsten vandret, og forklaringsgraden ringe. En test må afgøre om hældningen er signifikant forskellig fra 0. Er dette ikke tilfældet, er der ingen relation mellem x og y (de er uafhængige)y. Er x og y uafhængige vil punkterne fordele sig tilfældigt omkring gennemsnitslinien y y , og forklaringsgraden være 0. I figur 7.2d er forklaringsgraden også lille, men alligevel må vi antage at der er en sammenhæng mellem x og y. Den er blot ikke lineær, men muligvis en parabel. 115 7. Regressionsanalyse Sammenhæng mellem korrelationskoefficient og forklaringsgrad. Hvis både X og Y er normalfordelte statistiske variable (som eksempelvis når man aflæser sammenhørende værdier af højde og vægt for en række personer) angiver korrelationskoefficienten en størrelse mellem -1 og 1 som kan anvendes til at angive, om der er en sammenhæng (korrelation) mellem X og Y. Er korrelationskoefficienten positiv har punkterne en voksende tendens, hvis den er negativ har de en aftagende tendens. Et estimat for er størrelsen r. Kvadreres den er r 2 den samme som forklaringsgraden. Ekstrapolation. Selv om modellen synes på tilfredsstillende måde at beskrive data, så er det jo faktisk kun sikkert indenfor måleområdet. Man skal være yderst forsigtig med at ekstrapolere, dvs. på basis af modellen for x - værdier udenfor måleområdet beregne hvad y er. Årsagssammenhæng. Selv om man finder, at der er en sammenhæng mellem x og y, er det ikke sikkert, at der er en årsagssammenhæng. Der findes en god korrelation mellem antallet af storke i Sønderjylland i 1930-erne og antallet af børnefødsler (de faldt begge i samme takt), men det ene er nok ikke årsagen til det andet. Man kender det også fra sammenhængen mellem kræft og tobaksrygning, hvor der i mange år var en diskussion om der ene bevirkede det andet, eller om det var en hel tredie faktor, der fik antallet af lungekræft til at stige. Eksempel 7.4 Vurdering af model Tilsætning af en vis mængde kunstfibre forøger et garns trækstyrke. Man har eksperimenteret med forskellige tilsatte mængder kunstfibre x og registreret garnets trækstyrke y ved disse forskellige mængder. Herved fremkom følgende observationsmateriale: Mængde x (i gram) af kunstfibre p. kg uld 40 50 55 60 70 75 80 85 90 95 100 105 110 120 130 Trækstyrke : Y 4.5 6.5 5.4 7.0 8.2 8.0 7.1 8.9 8.2 10.3 9.6 10.8 10.5 11.2 12.0 2 1) Find r og anvend denne samt en figur på lommeregnerens grafiske display eller residualernes fortegn til vurdering af modellen. 2) Opskriv regressionsligningen. Løsning 1) TI89 APPS STAT/LIST x-værdier indtastes i list1, og y-værdier indtastes i list 2 F4, 3:Regressions lin reg ax+b Udfyld lister Da vi ønsker at tegne regressionslinien så StoreReqn to: y1(x), ENTER, TI-Nspire Data indtastes i “lister og regneark” Dokomentværktøjer Statistik Lineær regression Udfyld menu ok 2 Der fremkommer konstanterne a = 0.0777, b = 1.808 og r =0.9193 Man kan nu tegne linien ved at vælge “GRAPH”. Vi ønsker imidlertid punkterne tegnet med, så vi vælger ESC, F2: Plots,,1: Plot Setup,F1: Define, Behold Scatter og Box, indsæt listerne , ENTER, ENTER, F5 Linien vises sammen med punkterne. 116 Statistiske beregninger 7.3 Vurdering af om regressionsligning beskriver data godt Tegningen på lommeregnerens display viser, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien. Da lommeregnerens display er lille kan man ofte ikke rigtig se om punkterne fordeler sig tilfældigt om linien. I stedet kan man tegne et residualplot F2: Plots, 1: Plot Setup F1: Define Behold Scatter og Box i “folderen STATVARS ) ENTER F5 indsæt list1 ,og RESID (findes under VAR-LInk Hvis man ikke har mulighed for at vise tegningen kan man (hvis x-værdierne står i stigende rækkefølge) betragte fortegnet for residualerne, som i TI89 står sidste kolonne og i TI-Nspire nederst i udskrift under navnet “resid”. Fortegnene er - + - + + + - + - + - + - - -, dvs. de fordeler sig rimelig tilfældigt på begge sider af linien. Outliers: Af tegningen ses, at ingen af punkterne afviger kraftigt fra linien. En mere sikker metode er de såkaldte “Studentized Residuals” TI 89: Vælg F6 MultRegTtest udfylder menu Enter Nu dukker en række nye lister op, og sresid er “Studentized Residuals” TI-Nspire: Vælg Statistiske tests Multibel lineær regressionstest udfyld menu ok Tryk på cellen sresid, hvorved man ser en række tal Hvis ingen af disse transformerede residualer numerisk er større end 3 (det er tilladt, at nogle få er større end 2) er der ingen outliers. Vi ser, at ingen er større end 2, så konklusionen er, at der ikke er nogen outliers. Da forklaringsgraden er tæt på 1, punkterne fordeler sig tilfældigt om linie, og der ikke er nogen outliers er den lineære model acceptabel. 2) Regressionskoefficienterne ses i den ovennævnte udskrift eller ved at vælge “Y=” hvoraf man finder y = 1.8087+0.0799x Løsning:SAS.JMP 1) Data indtastes kunstfibre 40 50 osv. styrke 4,5 6,5 Man kan ved analysen vælge 2 modeller, enten “fit Y by X” som giver en forholdsvis simpel og overskuelig analyse, eller “Fit model” som er nødvendig ved mere specielle analyser. 1) Vælg Analyze Factor OK Fit Y by X markér “Styrke” og tryk på Y Response markér “kunstfibre” og tryk på X Der fremkommer et “scatterplot”, hvor man i et koordinatsystem kan se punkterne afbildet. Rød pil vælg fra rullemenuen “Fit Line”. Der fremkommer så følgende tegning og udskrift: 117 7. Regressionsanalyse Bivariate Fit of Styrke By Kunstfibre Linear Fit Styrke = 1,8086555 + 0,0798974 Kunstfibre Summary of Fit RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,919301 0,913093 0,648068 8,546667 15 Af udskriften ses, at forklaringsgraden “RSquare” er 91,93 %. , hvilket er tilfredsstillende, da modellen altså “forklarer” 91,93% af variationen. Af figuren ses, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring linien. Outliers. Af ovenstående figur ses, at der næppe er nogen “outliers” (punkter der afviger så kraftigt fra det generelle billede, at man kunne frygte de var fejlmålinger). En undersøgelse af om der er outliers er vigtigt. En (lidt usikker) metode er, at få tegnet såkaldte 95% predikationskurver, og se om praktisk taget alle punkter ligger indenfor disse. Rød pil under tegningen ved “linear fit” vælg”Confid. Curves indv” Det resulterer i følgende figur Bivariate Fit of Styrke By Kunstfibre 13 12 11 Styrke 10 9 8 7 6 5 4 30 40 50 60 70 80 90 100110120130140 Kunstfibre Da alle punkter ligger indenfor grænserne, tyder det ikke på, at der er outliers. 118 7.4 Test og bestemmelse af konfidensintervaller En lidt sikrere metode er, at lade SAS-JMP beregne såkaldte “Studentized Residuals”, som tager i betragtning, at spredningen er mindre ved “midtpunktet” end langt fra det. Vælg Analyze Fit model markér “Styrke” og tryk på Y “Minimal Report” (for at begrænse udskrifterne) Run markér “kunstfibre” og tryk ADD I “Emphasis” vælg Vi får tegninger og udskrifter nogenlunde magen til før. Rød pil vælg Save Columns Studentized residuals Der bliver nu tilføjet en ekstra kolonne til data Kunsfibre Styrke Studentized resid styrke 40 4,5 -0,910214 50 6,5 1,19237827 55 5,4 -1,3479279 60 7 0,6566306 70 8,2 1,29007124 75 8 0,31944498 80 7,1 -1,7594549 85 8,9 0,47928292 90 8,2 -1,2790965 95 10,3 1,44832329 100 9,6 -0,3212379 105 10,8 0,98512428 110 10,5 -0,1614718 120 11,2 -0,3381357 130 12 -0,3553506 Heraf fremgår, at da ingen “Studentized Residuals”, numerisk er større end 3 (det er tilladt, at nogle få er større end 2) er der ingen outliers. Et residualplot ( tegning af de sædvanlige residualer) kan ses nederst, og af den kan man (måske lettere) se at residualerne, og dermed at punkterne, fordeler sig tilfældigt omkring linien. Konklusion: Modellen synes tilstrækkelig godt at beskrive data indenfor måleområdet. 7.4 TEST OG KONFIDENSINTERVALLER De foregående betragtninger kræver ingen statistiske forudsætninger, idet man jo altid ved mindste kvadraters metode kan beregne regressionskoefficienterne, beregne forklaringsgrad, tegne kurver og punkter ind i et koordinatsystem og så herfra vurdere om modellen er acceptabel. Forudsætninger for regressionsanalyse. Ønsker vi at foretage en nøjere statistisk analyse som eksempelvis at teste “om Y er uafhængig af x, dvs. af om 1 = 0", eller opstille konfidensintervaller for 1 må observationerne opfylde de samme krav som ved variansanalyser, dvs. 1) Uafhængige målinger: De enkelte observationer y i er indbyrdes uafhængige (eksempelvis hvis der udføres flere målinger for samme mængde medicin skal de være indbyrdes uafhængige, ligesom det også skal gælde målinger baseret på forskellige mængder medicin. Kravet kan opfyldes ved en hensigtsmæssig forsøgsplan. I eksempel 7.2 skal man således være sikker på at den foregående dosis medicin er ude af blodet inden man foretager en ny indsprøjtning, ligesom forsøgene skal være randomiseret. Man kan nok i dette tilfælde betvivle uafhængigheden, hvis man udfører forsøgene på samme person. 119 7. Regressionsanalyse 2) Residualerne skal være rimelig normalfordelt. Analysen er robust overfor afvigelser, men er man i tvivl kan man indtegne residualerne på et normalfordelingsplot. 3) Varianshomogenitet. Variansen af residualerne (eller af Y) Y skal være den samme uafhængig af x’s værdi. Igen er analysen robust overfor afvigelser, så man vil sædvanligvis nøjes med at se på et residualplot, og deraf se, ar residualerne fordeler sig jævnt uden store udsving. Test af om Y er uafhængig af x Lad os antage, at forudsætningerne er opfyldt, og at vi har fundet (ved at betragte tegning + forklaringsgrad og manglende outliers), at modellen E (Y x ) 0 1 x gælder. Hvis Y er uafhængig af x betyder det, at regressionslinien er vandret, eller at hældningskoefficienten 1 er 0. Vi får altså: H0 :Y er uafhængig af x H 0 : Regressionslinien er vandret H 0 : 1 0 . Metode 1: F - test. Ifølge definitionen af SAKmodel angiver denne kvadratsummen af punkter på regressionsliniens afstand til det totale gennemsnit y (se side 117) Det er derfor klart, at hvis regressionslinien er næsten vandret, vil SAKmodel SAKresidual 2 Man kan vise, at smodel Idet Fmodel = 2 s model 2 sresidual SAK model har frihedsgraden 1 og s 1 2 residual SAK residuall N 1 har frihedsgraden N -1 kan vises, at en test for om linien er vandret er en sædvanlig F-test. Metoden er forklaret mere udførligt i appendix 7.1. H0 forkastes, hvis P - værdi = P( F Fmodel ) , hvor Fmodel er F- fordelt med en tællerfrihedsgrad på 1 og en nævnerfrihedsgrad på N - 2. Metode 2. t - test. Metoden er forklaret mere udførligt i appendix 7.1. Lad t 1 s 1 , hvor s 1 1 s residual s model er et estimat for spredningen på 1 . Det kan vises, at t et t - fordelt med N - 2 frihedsgrader. H0 forkastes, hvis P - værdi = P(T t ) På tilsvarende måde kan man teste H 0 : 1 0 og H 0 : 1 0 ved ensidede test. Endvidere kan man analogt teste nulhypotesen H0: k hvor k er en konstant Konfidensintervaller og prædistinationsintervaller. Et led i analysen kan være, at udregne et 95% konfidensinterval for 1 . Endvidere vil man ofte være interesseret i en speciel værdi for x, for hvilken man ønsker beregnet såvel den tilsvarende “forventede” y - værdi (predicted value”) som et 95% -konfidensinterval for middelværdien ~ og et 95% prædistinationsinterval for én ny observation. 120 7.4 Test og bestemmelse af konfidensintervaller På figur 7.4 er her tegnet 95% konfidensintervaller for middelværdierne (de inderste buede kurver), og 95% prædistinationsintervaller (de yderste to kurver). Man ser tydeligt, at konfidensintervallerne er smallest omkring “centrum” ( x , y ) . y Plot of Fitted Model 16 14 12 10 8 6 4 2 0 0 2 4 6 8 x Figur 7.4. Konfidensintervaller og prædistinationsintervaller I appendix 7.1 er angivet formler for bl.a. disse konfidensintervaller. I eksempel 7.5 vises hvorledes man kan foretage beregningerne ved anvendelse af TI89, TINspire og SAS-JMP. Eksempel 7.5 (fortsættelse af eksempel 7.4) Test Tilsætning af en vis mængde kunstfibre forøger et garns trækstyrke. Man har eksperimenteret med forskellige tilsatte mængder kunstfibre x og registreret garnets trækstyrke y ved disse forskellige mængder. Herved fremkom følgende observationsmateriale: Mængde x (i gram) af kunstfibre p kg uld 40 50 55 60 70 75 80 85 90 95 100 105 110 120 130 Trækstyrke : Y 4.5 6.5 5.4 7.0 8.2 8.0 7.1 8.9 8.2 10.3 9.6 10.8 10.5 11.2 12.0 Det forudsættes, at forudsætningerne for regressionsanalyse er opfyldt. I eksempel 7.4 fandt man at ligningen y = 1.8087+0.0799x var en god model for data. 1) Test om y er uafhængig af x 2) Find 95% konfidensinterval for hældningen 3) Find den til x = 65 svarende værdi for y, samt et 95% konfidensinterval for y . 4) Find 95% prædistinationsinterval for 1 ny observation svarende til x - værdien 65. Løsning: 1) H0 :Y er uafhængig af x H0 : Regressionslinien er vandret H 0 : 1 0 . Da vi skal teste, vælges nu TI89: APPS STAT/LIST F6, A: Lin Reg T-Test menu udfyldes herunder Alternate Hyp= & 0 TI-Nspire: Vælg statistik Statistiske tests lineær regressionstest udfyld menu ok Vi får samme værdier af regressionskoefficienterne som i eksempel 7.4 121 7. Regressionsanalyse Endvidere ses, at P - værdi = 2 10 8 svarende til t = 12.1693. Da P - værdi < 0.05 forkastes H 0 : 0 (stærkt) Konklusion:. Y er ikke uafhængig af x. 2) 95% konfidensinterval for 1 : TI89:F7: LinRegTInt: Udfyld menu bl.a Interval = Slope: TI-Nspire Vælg statistik Konfidensintervaller Lin.Reg t-intervaller vælg Hældning Udfyld menu ok Resultat: [0.0657;0.09413] 3) Konfidensinterval for y svarende til x = 65: TI89:Som under punkt 2) men Interval=Response, x Value = 65 TI-Nspire: Som under punkt 2) men vælg svar y’s værdi for x = 65: y_hat = 7.002, 95% konfidensinterval: [6.548 ; 7.456] 4) 95% Prædistinationsinterval for 1 ny observation svarende til x - værdien 65. TI89+ TI-Nspire Som under punkt 3. Se længere nede i udskrift Resultat: [5.53 ; 8.474]. Løsning SAS.JMP Data er indtastet som i eksempel 7.4 1) H0 :Y er uafhængig af x H 0 : Regressionslinien er vandret H 0 : 1 0 . Vælg Analyze Fit model markér “Styrke” og tryk på Y markér “kunstfibre” og tryk på Add Run Der fremkommer så blandt andet følgende udskrift: Analysis of Variance Source DF Model 1 Error 13 C. Total 14 Sum of Squares 62,197436 5,459897 67,657333 Parameter Estimates Term Estimate Intercept 1,8086555 Kunstfibre 0,0798974 Mean Square 62,1974 0,4200 Std Error 0,578421 0,006565 t Ratio 3,13 12,17 F Ratio 148,0919 Prob > F <,0001 Prob>|t| 0,0080 <,0001 Det ses, ud for “Model”, at F - Ratio = 148.09 og at P-value = 0.0001 (kan også ses ud for “kunstfibre” Y er ikke uafhængig af x. Heraf fås, at H0 forkastes 2) Konfidensinterval for hældningskoefficienten 1 : Cursor placeres i tabel for “Parameter Estimates”, højre musetast Columns “Lower 95%” “Upper 95%” Man får bl.a. følgende tabel: Parameter Estimates Term Estimate Std Error t Ratio Prob>|t| Lower 95% Intercept 1,8086555 0,578421 3,13 0,0080 0,5590522 Kunstfibre 0.0798974 0,006565 12.17 <,0001* 0.0657135 Upper 95% 3,0582587 0.0940812 Heraf aflæses [0.0657 ; 0.0941] 3) 95% konfidensinterval for middeltrækstyrken svarende til x - værdien 65. rød pil ved “Response, styrke aflæs vælg “Factor Profiling” Profiler sæt cursor på tallet i bunden og skriv 65 og ±0,453736 Styrke 7,001984 12 10 8 6 130 90 110 70 50 30 4 65 Kunstfibre x = 65 Y = 7.002 95% konfidensinterval [7.002 - 0.4537 ; 7.002 + 0.4537]=[6.55;7.46] 122 7.5 Transformation af data 4) Indsæt 65 nederst i x-kolonne i tabel rød pil ved response save Columns Individ Confidence Interval I tabel fremkommer nu prædistinationsintervaller [5.50 ; 8.47] Ønsker man at vurdere om forudsætningerne om normalitet og varianshomogenitet er opfyldt, gøres det på samme måde som beskrevet under ensidet variansanalyse 7.5. TRANSFORMATION AF DATA. Da man altid vil foretrække den simplest mulige model, er modellen y ax b altid den, man starter med at anvende. Hvis man ser, at punkterne ikke ligger tilfældigt omkring linien, men dog synes at følge en krum kurve, så må man anvende en anden model. Blandt de oftest forekommende modeller er 1) Eksponentialmodellen y a b x Tages logaritmen på begge sider fås ln( y ) ln(a ) ln(b) x som er en normal retlinet model, hvis man erstatter ln(y) med z 2) Potensmodellen y a x b Tages logaritmen på begge sider fås ln( y ) ln(a ) b ln( x ) som er en normal retlinet model, hvis man erstatter ln(y) med z og ln(x) med v. 3) Logaritmemodellen y a b ln( x ) som er en normal retlinet model, hvis man erstatter ln(x) med v. Generelt gælder, at man så vidt mulig foretrækker modeller med kun 2 parametre a og b (som (1), (2) og (3) ), fremfor modeller som eksempelvis andengradsmodellen y ax 2 bx c der indeholder 3 parametre, da de mest stabile (set fra et statistisk synspunkt). I appendix 7.3 er angivet en liste med kommentarer over de mest almindelige transformationer. Har man på forhånd en viden om, at en bestemt transformation skal anvendes, kan man uden større besvær foretage den pågældende transformation på dataene og så udføre regressionsanalysen på de transformerede data, på samme måde som vist i eksempel 7.5. Dette illustreres ved følgende eksempel. Eksempel 7.6. Valg mellem lineær og eksponentiel model I et forsøg undersøgtes et ventilationsanlægs effektivitet. Målingerne foretoges ved at fylde et lokale med gas og vente til koncentrationen var stabil. Herefter startedes ventilationsanlægget og gaskoncentrationen Ct måltes til forskellige tidspunkter t. Følgende resultater fandtes: t (min. efter anlæggets start) C [ppm] 2.67 4.59 6.75 7.67 11.34 14.34 16.25 18.25 23.09 34 28 26 Følgende 2 modeller for funktioner overvejes: 123 22 16 14 12 10 8 7. Regressionsanalyse Model l (lineært henfald): C a bt Mode12 (eksponentielt henfald): C a e b t 1) Vurder hvilken model der er bedst. 2) Opskriv regressionsligningen for den model du finder bedst. 3) Beregn ud fra den valgte model den værdi af C, for hvilken t = 12 minutter, og opskriv et 95% konfidensinterval for C. Løsning: 1) TI89: APPS, STAT/LIST data indtastes i to tomme lister (kan eventuelt give dem navne som t og c) F4: Calc, 3. Regressions, 1:linReg(a+bx), Udfylder lister, TI-Nspire: Data indtastes i “lister og regneark” Dokumentværktøjer Lineær regression Udfyld menu ok Statistik Statistiske beregninger 2 Af udskriften fås umiddelbart r =0.9293 Endvidere tegner vi kurve og linie (sker som i eksempel 7.4) Forklaringsgraden er høj, men punkterne ligger ikke tilfældigt om linien, så modellen kan næppe anvendes udenfor måleområdet. Vi kunne i stedet betragte residualernes fortegn: + + + - - - - - + Vi gentager nu ovenstående, idet vi nu vælger ExpReg (eksponential regression) (PowerReg er potensmodellen) Bemærk, at det kan være klogt at slette Statsvar kataloget inden man begynder forfra, da gamle udskrifter kan forvirre. 2 Af udskriften fås umiddelbart r =0.9883 Af tegningen ses, at punkterne som forventet ligger tæt omkring kurven, og de ligger vist tilfældigt om kurven. Da det kan være svært at se tegnes nu et residualplot F2: Plots, 1: Plot Setup F1: Define i “folderen STATVARS ) F5 Behold Scatter og Box indsæt list1 ,og RESID (findes under VAR-LInk alternativt vælge Y = og slet alle andre markeringer end Plot1 GRAPH Gå ind i Windows og sæt fornuftige grænser Hvad man sætter grænserne til afhænger naturligvis af residualernes størrelse 124 7.5 Transformation af data Det ses, at punkterne ligger tilfældigt omkring den vandrette linie, og der næppe er nogen outliers . Alternativt kan man betragte residualernes fortegn: + - + - -+- - + Da forklaringsgraden er højere, og residualerne ligger tilfældigt omkring linien vælges model 2 t 2) Af udskriften ses, at modellen er C 39.57 0.93 3) Da vi nu skal til at beregne konfidensintervaller må vi transformere ligningen C a b t ln(C) ln(a ) ln(b) t Vi må nu danne en søjle for ln ( C) TI89: APPS, STAT/LIST en søjle navngives z F3:4:Attach list Formula udfyld “Formula” med ln( c) Formula Name = z ENTER F7: linRegTinteg(a+bx), Udfylder lister med t og z Interval: Vælg Response x-value =12 TI-Nspire: en søjle navngives z Placer cursor i rubrikken under z og marker cellen så et lighedstegn fremkommer skriv ln( c) ENTER Vi får y-hat = 2.80722, dvs. for t = 12 er c = e 2.80722 16.56 (Kontrol= Indsættes t = 12 i regressionsligningen fås det samme) . ;17.34 95% konfidensinterval e 2.762 ; e 2.853 1583 Løsning SAS.JMP: Data indtastes 1) t 2,67 4,59 6,75 osv. Analyze c 34 28 26 Fit Y by X markér “c” og tryk på Y Response markér “t” og tryk på X Factor OK Der fremkommer et “scatterplot”, hvor man i et koordinatsystem kan se punkterne afbildet. Rød pil Fit line ok Der fremkommer følgende figur og udskrift: Bivariate Fit of c By t Linear Fit c = 33,710679 - 1,2710444*t Summary of Fit RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,929312 0,919214 2,559818 18,88889 9 Forklaringsgraden 91.9% er høj, men punkterne fordeler sig ikke jævnt om linien. 125 7. Regressionsanalyse Vi gentager nu, idet vi nu vælger Fit special Marker “Natural logarithm” for y OK Bivariate Fit of c By t Transformed Fit Log Log(c) = 3,6780207 - 0,072567*t Summary of Fit RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,988291 0,986618 0,057679 2,831809 9 Vi ser, at punkterne fordeler sig tilfældigt omkring kurven, og at RSquare =0.988 er høj, så model2 (eksponentiel model) må være den bedste model. 2) Af Log(c) = 3,6780207 - 0,072567*t fås c e 3.6780 0.07257t 39.57 e 0.07257t 3) Danner en ny kolonne med navnet logc cursor på navn, højre musetast, Formula vælg c trancental log ok Skriv nederst i tabel under t tallet 12. Analyze Fit model Marker logc og vælg y marker t og vælg add Run Rød pil ved "Response logc" Save Columns predicted values mean Confidence interval Der fremkommer følgende tabel t c logc Upper 95% Mean logc 3,5623412 3,41245635 Predicted logc 3,52636052 3,33220451 Lower 95% Mean logc 3,40619261 3,27742032 2,67 4,59 osv. 18,25 23,09 12 34 28 10 8 . 2,30258509 2,07944154 . 2,28863203 1,90984064 2,76169153 2,41871516 2,09505833 2,85274272 2,3536736 2,00244949 2,80721712 Heraf ses, at for t = 12 er log(c) = 2.8072 c e 2.8072 16.56 2.76169 ; e 2.8527 1583 . ;17.33 95% konfidensinterval: e 126 3,48426691 3,34493833 7.6 Enkelt Regressionsanalyse med flere y-værdier for hver x-værdi 7.6. ENKELT REGRESSIONSANALYSE MED FLERE y -VÆRDIER FOR HVER x - VÆRDI. Hvis man selv fastlægger sine x - niveauer, er det ofte muligt for hver x -værdi, at foretage flere målinger af y - værdien. Vi siger kort at analysen er “med gentagelser”. Sædvanligvis er det bedre at nøjes med en y-værdi for hver x-værdi, og så til gengæld have flere forskellige punkter, men i tilfælde, hvor man er i alvorlig tvivl om forudsætningen om varianshomogenitet gælder, eller hvor man vil teste om en lineær model gælder, kan det være relevant med eksempelvis to gentagelse for hver x-værdi. Dette er således tilfældet i følgende eksempel: Eksempel 7.7 (regressionsanalyse med gentagelser) Metalpladers overflader oxideres i en ovn ved 2000 C. Med henblik på en undersøgelse af sammenhængen mellem det oxiderede lags tykkelse y (i ångstrøm) og tiden t ( i minutter) foretog man følgende målinger: Tiden t 20 30 40 60 70 90 100 120 150 180 Tykkelse y 4.2 4.9 7.4 6.9 8.8 8.2 13.6 12.0 13.1 12.4 14.9 16.8 20.0 21.2 23.1 25.2 27.5 25.1 32.9 32.4 Fordelen herved er, at man nu kan få et estimat for forsøgsfejlens spredning (“støjen”), som kan anvendes til at teste, om den lineære model kan accepteres, når man tager støjen i betragtning. Endvidere kan man, hvis man finder det nødvendigt, teste om der er varianshomogenitet. Alle andre test udføres på samme måde som beskrevet i forrige afsnit. Forklaring af metode og formler Test af model. For hver x - værdi beregnes gennemsnittet af de dertil hørende y - værdier. Disse “gennemsnitspunkter” bør ligge tæt på linien hvis modellen er god. Hvis modellen er den rigtige, så er den eneste grund til at “gennemsnitspunkterne ikke ligger eksakt på linien, at der er støj. Vi kan derfor beregne et estimat (kaldet 2 slack of fit ) for variansen af denne støj ud fra de afvigelser som gennemsnitspunkterne har. Hvorledes denne beregnes ses i appendix 7,2. 2 Da vi samtidig ud fra gentagelserne kan beregne et andet estimat for støjen (kaldet serror ), har vi mulighed for at teste de to varianser mod hinanden, ved en sædvanlig F - test 2 slack of fit Flack of fit 2 serror Får vi her en forkastelse, kan “gennemsnitspunkternes” afvigelser fra linien ikke forklares alene ved støjen, og vi må derfor forkaste modellen. 127 7. Regressionsanalyse Test af varianshomogenitet. Som tidligere nævnt, er analysen robust overfor afvigelser fra kravet om varianshomogenitet (konstant varians 2 ), hvis der er lige mange gentagelser (som i dette forsøg). Man vil derfor kun foretage en vurdering af dette krav, hvis man ud fra forsøgets natur mener, at varianserne kan tænkes at være voldsomt forskellige. Testen kan foretages præcist som beskrevet under ensidet variansanalyse (se appendix 4.1). Eksempel 7.7. Regressionsanalyse (med gentagelser) Givet følgende målinger Tiden t 20 30 40 60 70 90 100 120 150 180 Tykkelse y 4.2 4.9 7.4 6.9 8.8 8.2 13.6 12.0 13.1 12.4 14.9 16.8 20.0 21.2 23.1 25.2 27.5 25.1 32.9 32.4 1) Foretag (kun i SAS) en testning af forudsætningen om varianshomogenitet. 2) Det formodes på forhånd, at der er en lineær sammenhæng mellem x og y. Undersøg ved en “lack of fit” test, om formodningen kan accepteres. 3) Bestem i bekræftende fald ligningen for den fundne regressionslinie. 4) Det påstås i litteraturen, at hældningskoefficienten 1 er 0.15 Test om dette på et signifikansniveau på 5% kan være sandt. 5) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af tykkelsen y, når t = 110 minutter. Løsning TI89+ TI-Nspire: Data indtastes vandret, ved at man opretter 10 lister med navnene t1, t2 osv. Tiden t t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9 t10 Tykkelse y 4.2 4.9 7.4 6.9 8.8 8.2 13.6 12.0 13.1 12.4 14.9 16.8 20.0 21.2 23.1 25.2 27.5 25.1 32.9 32.4 2 1) Test af nulhypotesen H 0 : 12 22 ... 10 sker kun i SAS 2) H 0 : Lineær model gælder H 0 :( xi , i ) ligger på en ret linie TI89: F6, C:ANOVA, Data Input : Data Antal grupper = 10,ENTER, Udfyld listnavne t1, t2 osv. ENTER. TI-Nspire:Statistik Statistiske test Ensidet variansanalyse Udfyld menuer ENTER Man noterer sig til senere brug (under error) df =10, SAKerror= SS= 9.81 og 2 =MS = 0.981. serror Data indtastes “lodret” list1 20 20 30 30 osv. list2 4.2 4.9 7.4 6.9 osv. 128 7.6 Enkelt Regressionsanalyse med flere y-værdier for hver x-værdi Laver regressionstest på de to lister list 1 og list 2 TI89:APPS, STAT/LIST F6, A:LinRegTest Udfyld list1 = list 1 og list2 = list 2, Alternate Hyp= & 0 ENTER TI-Nspire:Statistik Statistiske test Lineær Regresions t-test udfyld menu ENTER . ) 2 18 32.5382 Heraf: s sresidual 13445 . , df f residual 18 og SAK residual (13445 SAK lack of fit SAK residual SAK error 32.538 9.81 22.728 Vi kan nu udfylde variansanalysetabellen SAK Variation SAK f 2 s Lack of fit Error Residual f 22.728 8 2.841 F 2 P-værdi slack 2.896 s02 P(F>2.896) = FCdf(2.896, ,8,10) = 0.0591 9.81 10 0.981 32.538 18 1.3445 Da P - værdi = 0.0591 > 0.05 accepteres H0, dvs. vi vil i det følgende antage, at den lineære model gælder. 3) I ovenstående udskrifter finder man konstanterne . 01730 . t . Den empiriske regressionslinie bliver: y 0 1 t 1654 . 4) H 0 : 1 015 TI89: F7: LinRegTInt Udfyld menu: Interval=Slope TI-Nspire:Statistik Konfidensintervaller Lineær Reg t-intervaller udfyld menu bl.a. hældning 95% konfidensinterval for : [0.160 ; 0.186] Da 0.15 ikke ligger i intervallet forkastes H0 , dvs. data giver ikke den i litteraturen angivne hældningskoefficient.. ENTER 5) 95% konfidensinterval for middelværdien af tykkelsen y, når t = 110 minutter. TI89: F7: LinRegTInt Udfyld menu: Interval=Response, x Value = 100 TI-Nspire:Statistik Konfidensintervaller Lineær Reg t-intervaller udfyld menu bl.a. svar y_hat = y’s værdi for x = 110 = 20.68. 95% konfidensinterval [19.98 ; 21.38] Det skal bemærkes, at hvis man vil beregne forklaringsgresen for modellen, skal det gøres ud fra gennemsnittene dvs. lave to lister med henholdsvis gennemsnit og y-værdier Løsning SAS.JMP:. Data indtastes på sædvanlig måde: t 20 20 30 30 40 ... ... 180 180 y 4,2 4,9 7,4 6,9 8,8 ... ... 32,9 32,4 129 7. Regressionsanalyse 1) Undersøgelse af varianshomogenitet. Test af nulhypotesen H 0 : 12 22 ... 102 Man gør som beskrevet under ensidet variansanalyse, dvs. vi vælger at gøre t til”character” Sæt cursor på t’s hoved, tryk på venstre musetast og vælg “column Info” Vælg Analyze Fit Y by X markér “y” og tryk på Y Response markér “t” og tryk på X Factor Sæt cursor på overskrift, højre musetast vælg fra rullemenuen “ “UnEqual Variances”. Tests that the Variances are Equal Test F Ratio DFNum O'Brien[.5] 0,0000 -1 Brown-Forsythe -1,896e16 9 Levene -1,896e16 9 Bartlett 0,4990 9 Warning: Small sample sizes. Use Caution. DFDen 0 10 10 . OK Prob > F 0,0000 . . 0,8763 Da vi kun har 2 gentagelser for hver t-værdi kan kun Bartletts test anvendes. Da P - værdien=0.8763 > 0.05 accepteres H0 , dvs. vi vil i det følgende antage, at kravet om varianshomogenitet er opfyldt. 2) H 0 : Lineær model gælder H 0 :( xi , i ) ligger på en ret linie Man sørger nu for, at t er “numeric”, og vælger nu forfra Analyze Fit Y by X markér “y” og tryk på Y Response markér “t” og tryk på X Factor OK Der fremkommer et “scatterplot”, hvor man i et koordinatsystem kan se punkterne afbildet. Sæt cursor på overskrift, højre musetast vælg fra rullemenuen “Fit Line”. Tryk på pil ud for “Lack of Fit” på den røde pil under tegningen ved “linear fit” vælg”Confid. Curves indv” Der fremkommer følgende udskrift: Bivariate Fit of y By t Linear Fit y = 1,6541465 + 0,172975 t Summary of Fit RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,978579 0,977389 1,344501 16,53 20 Lack Of Fit Source Lack Of Fit Pure Error Total Error DF 8 10 18 Sum of Squares 22,728289 9,810000 32,538289 Mean Square 2,84104 0,98100 130 F Ratio 2,8961 Prob > F 0,0591 Max RSq 0 7.6 Enkelt Regressionsanalyse med flere y-værdier for hver x-værdi Analysis of Variance Source Model Error C. Total DF 1 18 19 Sum of Squares 1486,4437 32,5383 1518,9820 Mean Square 1486,44 1,81 F Ratio 822,2924 Prob > F <,0001 Parameter Estimates Term Intercept t Estimate 1,6541465 0,172975 Std Error 0,599582 0,006032 t Ratio 2,76 28,68 Prob>|t| 0,0129 <,0001 Af figuren ses, at “gennemsnitspunkterne ligger tilfældigt omkring linien, og der næppe er outliers, da punkterne næsten alle falder indenfor “prediction linierne” Af udskriften for “Lack of fit” ses, at P - value er 0.0591. På et signifikansniveau på 5%, ses, at H0 må accepteres, dvs. vi kan antage, at indenfor måleområdet giver førstegradsmodellen en rimelig god beskrivelse af resultaterne, 3) Af udskriften ses, at regressionsligningen bliver y 16542 . 01730 . x . 4) H 0 : 1 015 Sæt cursor på et vilkårligt tal under " Parameter estimates" , højre musetast gentag men vælg "Upper" Columns vælg "lower" Parameter Estimates Term Intercept t Estimate Std Error t Ratio Prob>|t| Lower 95% Upper 95% 1,6541465 0,599582 2,76 0,0129* 0,3944709 2,9138221 0,172975 0,006032 28,68 <,0001* 0,160302 0,1856481 Heraf ses, at et 95% konfidensinterval for ikke indeholder 0.15. dvs. data giver ikke den i litteraturen angivne hældningskoefficient.. 5) Find det til t = 110 svarende 95% konfidensinterval for tykkelsen y. Skriv nederst i tabel under t tallet 110. Analyze Fit model Marker y og vælg y marker t og vælg add Run Rød pil ved "Response y Save Columns predicted values mean Confidence interval Der bliver nu tilføjet ekstra søjler . Vi får y’s værdi for x = 110 = 20.68. 95% konfidensinterval [19.98 ; 21.38] 131 7. Regressionsanalyse 7.7 MULTIPEL REGRESSIONSANALYSE. 7.7.1 Indledning Vi vil i dette afsnit behandle det tilfælde, hvor der indgår mere end 1 kvantitativ variabel. Vi vil begrænse os til at se på modeller, hvor de variable indgår lineært. Et eksempel herpå er modellen Y 0 1 x1 2 x2 , hvor parametrene er 0 , 1 og 2 . I appendix 7.4 findes de nødvendige matrixformler til beregningerne. Det er dog langt lettere at have et statistikprogram til rådighed, så eksemplerne er regnet med Ti - 89 og med SAS-JMP. 7.7.2 Multipel regressionsanalyse med én y - værdi for hver x - værdi. Man vurderer om modellen er acceptabel ved 1) at se på “forklaringsgraden” r 2 2) at se om der er outliers (se om "studentized residuals" alle numerisk er under 3, og kun få er over 2 ) Vi vil illustrere metoden ved følgende eksempel. Eksempel 7.8 (multipel regressionsanalyse uden gentagelser) Det månedlige elektriske forbrug Y på en fabrik formodes at være afhængig af den gennemsnitlige udendørs temperatur x1, antal arbejdsdage x2 i måneden , den gennemsnitlige renhed x3 af det fremstillede produkt og det antal tons x4, der produceres i den pågældende måned. Det formodes, at Y er en lineær funktion af x1, x2 , x3 og x4 , dvs. på formen Y 0 1 x1 2 x2 3 x3 4 x4 . Følgende observationer fra det forløbne år foreligger x1 x2 x3 x4 Y -4 22 91 100 836 -1 20 90 95 789 7 21 88 110 883 16 19 87 88 790 18 20 91 94 816 23 19 94 99 859 27 23 87 97 831 29 21 86 96 832 24 22 88 110 897 16 23 91 105 872 10 20 90 100 842 3 20 89 98 821 1) Vurder ud fra forklaringsgraden og "studentized residualer" om ovennævnte model er rimelig. Det antages i det følgende, at ovenstående model gælder. 2) Undersøg om modellen kan reduceres, dvs. kan nogle af koefficienterne antages at være 0. 3) Angiv regressionsligningen i den endelige model. 4) Angiv 95% konfidensintervaller for de regressionskoefficienter der indgår i ovenstående model 5) Angiv et 95% konfidensinterval for Y i punktet ( x1 , x 2 , x 3 , x 4 ) (0,20,90,100) 132 7.7 Multipel Regressionsanalyse Løsning : 1) TI89: APPS, STAT/LIST indtast data x1 i list 1 osv. , x4 i list 4 og y i list 5 F6:Test B:MultRegTests Udfyld menuen ENTER TI-Nspire:Data indtastes i “lister og regneark” Statistik Statistiske tests Multipel lineær regressionstest udfyld menuer ENTER Vi får bl.a r 0.9654 I listen sresid (i TI89 efter inddata), er “Studentized residuals”. Da kun en enkelt værdi numerisk er større end 2 og ingen er over 3, antages, at der ikke er outliers Da yderligere forklaringsgraden er tæt ved 1 vurderes modellen at være rimelig god. 2 2) H 0 : 1 2 3 4 0 , H: Mindst en af regressionskoefficienterne er forskellig fra 0. I Udskriften fra MultRegTests findes en P -værdi på 0.000034 Da P -værdi = 0.000034 < 0.05 forkastes H0 (stærkt), dvs. mindst en af regressionskoefficienterne er forskellig fra 0. I P-list findes P - værdierne for de enkelte regressionskoefficienter. Man ser, at nr. 3 giver den største P-.værdi på 0.7195.Da den første P - værdi svarer til konstantleddet svarer nr. 3 til x2. H0: 2 = 0 accepteres, da P -værdien = 0.7195> 0.05. x2 - leddet bortkastes. Bemærk, at man kun eliminerer én variabel ad gangen TI89+TI-Nspire:Vælg igen MultRegTests, og udfyld menuen med kun 3 variable. Man ser, at nu er den største P - værdi ud for x3 og P -værdien = 0.0849. H0: 3 = 0 accepters da, da P -værdien = 0.0849 > 0.05 x3 slettes nu af modellen. TI89+TI-Nspire:Vælg igen MultRegTests, og udfyld menuen med kun 3 variable. Nu ses, at alle P - værdier er mindre end 0.05, dvs. modellen kan ikke reduceres mere. 3) I listen blist findes koefficienterne, dvs. y = 335.65 + 0.9017 x1 + 4.94 x4. 4) 95% konfidensinterval for 1 : 1 t ( f residual ) s ; 1 t ( f residual ) s 1 1 1 1 2 2 fresidual= dferr= 9 s findes i “selist” =0.23495. 1 ;. ] 0.9017 t 0.975 (9) 0.23495;0.9017 t 0.975 (9) 0.23495 [0.3711432 Tilsvarende findes s i “selist” =0.40245 og dermed 4 95% konfidensinterval for 4 . ] 4.94 t 0.975 (9) 0.40245;4.94 t 0.975 (9) 0.40245 [4.03;585 5) TI89: F7:Ints, 8: MultRegInt, Udfyld menuer heraf x Value List={0,100}, ENTER TI-Nspire: Statistik Konfidensintervaller Multipl Reg Int Udfyld menuer Enter Man finder 95% konfidensintervallet : [820.34 ; 838.99] 133 7. Regressionsanalyse Løsning SAS.JMP: Data indtastes x1 -1 7 16 18 23 27 29 24 16 10 3 x2 20 21 19 20 19 23 21 22 23 20 20 x3 90 88 87 91 94 87 86 88 91 90 89 x4 95 110 88 94 99 97 96 110 105 100 98 y 789 883 790 816 859 831 832 897 872 842 821 1) Vælg Analyze Fit model markér “y” og tryk på Y Response markér “x1, x2, x3.x4” og tryk ADD Emphasis: Miniimal report Run Der fremkommer bl.a. følgende udskrift Summary of Fit RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Vælg rød pil Save Columns 0,965448 0,945705 7,90936 839 Studentized residuals I datatabel kan man nu yderligere finde følgende x1 -4 -1 7 16 18 23 27 29 24 16 10 3 x2 22 20 21 19 20 19 23 21 22 23 20 20 x3 91 90 88 87 91 94 87 86 88 91 90 89 x4 100 95 110 88 94 99 97 96 110 105 100 98 y 836 789 883 790 816 859 831 832 897 872 842 821 Studentized Resid y 1,79003969 -2,2547678 0,13625987 1,49780253 -0,6335664 0,52748444 -0,6533457 0,11469765 -0,3300421 0,20781137 0,25236158 -0,0125531 Da kun en enkelt værdi numerisk er større end 2 og ingen er over 3, antages, at der ikke er outliers Da yderligere forklaringsgraden= 0.965 er tæt ved 1 vurderes modellen at være rimelig god. 2) Mulig reduktion af modellen H 0 : 1 2 3 4 0 , H: Mindst en af regressionskoefficienterne er forskellig fra 0. I samme udskrift som under "Summery of Fit" fandtes Response y Summary of Fit Analysis of Variance Source Model Error C. Total DF 4 7 11 Sum of Squares 12236,094 437,906 12674,000 Mean Square 3059,02 62,56 F Ratio 48,8990 Prob > F <,0001* Parameter Estimates Term Intercept x1 x2 x3 x4 Estimate 175,49949 1,0266425 -0,793015 1,9113126 4,9822626 Std Error 113,8626 0,226819 2,120284 1,145911 0,44901 t Ratio 1,54 4,53 -0,37 1,67 11,10 134 Prob>|t| 0,1671 0,0027* 0,7195 0,1393 <,0001* 7.7 Multipel Regressionsanalyse Af ovenstående udskrift ses for model, at P - Value <0.0001 < 0.05. Heraf følger, at H0 forkastes (stærkt), dvs. mindst en af regressionskoefficienterne er forskellig fra 0. Vi ser nu regressionskoefficienterne Den størrelse, der har størst P-værdi er 2 . H0: 2 = 0 accepteres, da P -værdien = 0.7195> 0.05. x2-leddet bortkastes. Bemærk, at man kun eliminerer én variabel ad gangen. Vi eliminerer nu x2 : (slettes under “ADD”) Effect Tests Source x1 x3 x4 Nparm 1 1 1 DF 1 1 1 Sum of Squares 1274,177 215,715 10796,609 F Ratio 22,8216 3,8636 193,3764 Prob > F 0,0014 0,0849 <,0001 Da P-værdien for x3 er 0.0849 > 0.05 eliminerer vi nu x3. Effect Tests Source x1 x4 Nparm 1 1 DF 1 1 Sum of Squares 1083,972 11089,679 F Ratio 14,7285 150,6814 Prob > F 0,0040 <,0001 Det er nu ikke muligt at reducere modellen mere. 3) For at kunne angive regressionsligningen betragtes følgende udskrift. Parameter Estimates Term Intercept x1 x4 Estimate 335,65234 0,9016966 4,9401735 Std Error 40,26796 0,234953 0,40245 t Ratio 8,34 3,84 12,28 Prob>|t| <,0001 0,0040 <,0001 Ligningen bliver y 335.65 0.9017 x1 4.9402 x 4 4) Cursor i tabellen ovenfor, højre musetast Columns Upper 95% lower 95% Parameter Estimates Term Intercept x1 x4 Estimate 335,65234 0,9016966 4,9401735 Std Error 40,26796 0,234953 0,40245 t Ratio 8,34 3,84 12,28 Prob>|t| <,0001 0,0040 <,0001 . ] . ] , 4 : [4.030 ; 5851 Konfidensintervallerne bliver 1 : [0.3702 ; 14332 135 Lower 95% 244,55989 0,370196 4,0297676 Upper 95% 426,74479 1,4331972 5,8505795 7. Regressionsanalyse 5) Cursor på rød pil"Response Y" vælg “Factor Profiling” Profiler cursor på det røde tal forneden ved x1, skriv 0, Cursor på rødt tal ved x4, skriv 100 Prediction Profiler Vi har derfor, at y 829.67 og et 95% konfidensinterval er [820.35 ; 838.99] 7.8 POLYNOMIAL REGRESSIONSANALYSE 7.8.1 Indledning Ved en polynomial regressionsanalyse er den statistiske model Y 0 1 x 2 x 2 3 x 3 ... p x p . hvor den variable Y skal opfylde de sædvanlige regressionsforudsætninger. Som det ses, er den i afsnit 7.2 betragtede enkelte regression et specialtilfælde. Den statistiske analyse da også meget beslægtet hermed. Det man søger er altid den “enkleste” model der giver en tilstrækkelig god beskrivelse af Y indenfor det foreliggende variationsområde for x. Ud fra et statistisk synspunkt, vil man altid foretrække den model med de færreste parametre, da de på samme datamateriale giver en sikrere bestemmelse af parametrene. At andet lige vil man derfor foretrække de i afsnit 7.3 nævnte “transformerede” modeller som alle kun har 2 parametre fremfor eksempelvis et andengradspolynomium Y 0 1 x 2 x 2 hvor man skal bestemme tre parametre 0 , 1 og 2 . Blandt polynomierne vil man naturligvis foretrække et af lavest grad. Såvel TI89 som SAS.JMP tegner let polynomier af 2. grad , 3 grad og 4 grad og regner forklaringsgraden ud. Derved kan man få et indtryk af hvilket polynomium, af lavest grad, der giver en rimelig beskrivelse af data. Imidlertid er man altid nødt til at teste modellen, og derfor er fremgangsmåden den, at polynomiet omskrives og man går over til multipel regression. Eksempelvis omskrives polynomiet T a 0 b1 x b2 x 2 b3 x 3 til T a 0 b1 x1 b2 x 2 b3 x 3 ved at sætte x1 x , x 2 x 2 , x 3 x 3 Vi vil i dette kapitel kun betragte tilfældet hvor der til hver x-værdi svarer en y-værdi. 136 7.8 Polynomial Regressionsanalyse Modificeret forklaringsgrad (adjusted) Et 17-gradspolynomium vil gå eksakt gennem de 18 punkter, og r2 = 100% . Det er imidlertid klart, at en sådan model dels er alt for komplicerede til de fleste praktiske formål, dels følger kurven alle de tilfældige variationer, som vi netop ikke bør tage hensyn til. Betragter man nu eksempelvis polynomiet Y 0 1 x 2 x 2 , beregner forklaringsgraden r2 , derefter betragter et polynomium af tredie grad, og beregner igen forklaringsgraden , så er den steget, selv om trediegradsmodellen måske ikke er væsentlig bedre. Det er altid muligt at øge r2 ved at addere flere led til modellen. For hvert led der tilføjes mistes der en frihedsgrad i "error", og hvis SAK for det nye led ikke giver et væsentligt bidrag kan det betyde, at den nye model er ringere end den gamle model. For at tage hensyn til dette, betragtes ofte et modificeret r2 (R-squared (adjusted for d.f.1)) Når r2 ikke stiger væsentligt, og R-squared (adjusted for d.f.) næsten er konstant, eller begynder at falde, er man tæt ved den “bedste” model. Fremgangsmåde Man starter med at tegne punkterne , eventuelt sammen med en lineær model af første grad y 1 x (se eksempel 7.4) Er punkterne i et interval stigende og i et andet interval faldende så de eksempelvis kunne beskrive en parabel, så vil det være rimeligt at se på et polynomium af anden eller højere grad. Der er i princippet to fremgangsmåder: Forward: Man ser på en model af anden grad y 1 x 2 x 2 og sammenligner den med en af tredie grad y 1 x 2 x 2 3 x 3 Dette sker ved at man sammenligner de to "adjusted forklaringsgrader ", samt teste nulhypotesen H 0 : 3 0 Hvis man får en accept af H0 og endvidere at "adjusted r2 " for trediegradspolynomiet ikke er væsentlig højere end den af anden grad, så vil man vælge andengradspolynomiet. Man vil dog så for andengradspolynomiet også se om der er outliers (studenticed residuals). Hvis man omvendt får en forkastelse af H 0 : 3 0 vil man sammenligne trediegradspolynomiet med et polynomium af fjerdiegrad. Backward Her starter man med en model af fjerde grad y 1 x 2 x 2 3 x 3 4 x 4 Man tester nulhypotesen H 0 : 4 0 Får man en accept af nulhypotesen ser man nu på en model af trediegrad, og tester analogt H0 : 3 0 Endvidere sammenligner man de to "adjusted r2 " for at se om der er sket en væsentlig ændring Således fortsættes indtil man får en forkastelse af nulhypotesen, samt ser, at "adjusted r2 " ikke har ændret sig væsentlig. 1 r2 (adjusted) = 2 s02 (n 1) r 2 1 k stotal , hvor k er antal parametre i modellen(incl konstantled). nk s02 137 7. Regressionsanalyse De to metoder kan godt give forskelligt resultat, da der jo er et element af personlig vurdering i konklusionen. For det polynomium man ender med, ser man derfor på outliers, og residualplot for at være sikker på, at modellen er acceptabel.. 7.8.2. Beregning af polynomial regressionsanalyse Eksempel 7.9. Polynomial regressionsanalyse uden gentagelser. Et forsøg udføres, for at finde hvordan størkningstiden T (i minutter) afhænger af antal gram x af et additiv. Man fik følgende forsøgsresultater: x g/l 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 6.5 7 7.5 8 8.5 T min. 740 710 610 650 470 540 440 420 400 450 440 480 530 470 420 480 450 490 1) Vurder på basis af ovennævnte observationer, hvilket polynomium T 0 1 x 2 x 2 3 x 3 ... p x p af lavest mulig grad p, der indenfor måleområdet [ 0 ; 8.5 ] giver en tilfredsstillende beskrivelse af T’s variation. 2) Angiv regressionsligningen for den model, man i spørgsmål 1 har fundet frem til. 3) Beregn værdien af T for x = 6.2, og angiv et 95% konfidensinterval for T for x = 6.2. Løsning: 1) TI89:Først betragtes en tegning af punkterne samt en ret linie (jævnfør eksempel 7.4). APPS STAT/LIST x-værdier indtastes i list1, og y-værdier indtastes i list 2 F4, 3:Regressions lin reg ax+b Udfyld lister Da vi ønsker at tegne regressionslinien så StoreReqn to: y1(x), ENTER, 2 Der fremkommer r =0.435 ESC, F2: Plots,,1: Plot Setup,F1: Define, Behold Scatter og Box, indsæt listerne , ENTER, F5 Det ses tydeligt, at punkterne viser både en opadgående og nedadgående tendens, så et polynomium må være den rette model Vi vælger "Backward"-metoden, dvs. vi starter med et polynomium af fjerde grad y 1 x 2 x 2 3 x 3 4 x 4 For at teste må man omforme regressionslignngen til en lineær funktion i de variable . 2 3 4 T 1 x1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 ved at sætte x1 x , x 2 x , x 3 x , x 4 x TI89: APPS, STAT/LIST dan nye lister x2 = x^2, x3 = x^3, x4=x^4 F6:tests B: MultRegIn Udfyld menuer TI-Nspire: Lister og regneark dan lister x, y, , x2 = x^2, x3 = x^3, x4=x^4 Statistik statistiske tests Multipel lineær regresionstest Udfyld menuer Enter Vi får "adjusted" r2 = 0.799, H0 : 4 0 I P-list fås P-værdierne for koefficienterne. Vi ser, at P-værdien for 4 = 0.52 Da P-værdi > 5% accepteres H0, dvs vi bortkaster fjerdegradsleddet. 138 7.8 Polynomial Regressionsanalyse Vi ser nu på tilsvarende måde på et trediegradspolynomium y 1 x 2 x 2 3 x 3 Vi får "adjusted" r2 = 0.807, dvs lidt højere Vi tester nu nulhypotesen H 0 : 3 0 Vi finder, at P-værdi = 0.047 Da P-værdi < 5% forkastes H0, dvs vi kan ikke bortkaste trediegradsleddet. (vi er dog tæt på) Man må nu se på fortegn for residualer som findes under "resid" "{-30.701754385917,21.310629515004,-11.075851393155,83.408152734805,-53.968008255912, 48.065015479893,-29.223426212578,-34.563983488124,-46.687306501544,5.6759545923639, -6.2048503611996,28.939628482967,72.378740970064,5.3818369452936,-50.781733746144, 5.157378740953,-25.531475748214,18.421052631557}" Heraf ses, at residualerne har rimeligt skiftende fortegn evt. se på et residualplot F2,1:Plot Setup F1:Define Vælg VARLINK list1 varlist og resid F5:ZoomStat Heraf ses, at punkterne fordeler sig rimelig tilfældigt omkring den vandrette linie. For at sikre os, at der ikke er outliers, ses på listen sresid Den viser, at ingen numerisk er over 3, og kun en enkelt på 2.05 er numerisk over 2 Konklusion: Trediegradsmodellen er den bedste model 2) Af b-list fås koefficienterne T 1692 . x 3 313364 . x 2 179.266 x 770.702 3) Beregn værdien af T for x = 6.2, og angiv et 95% konfidensinterval for T for x = 6.2. TI89: F7:Ints 8: MultRegIn Udfyld menuer heraf x Value List={6.2, 6.2^2, 6.2^3}, ENTER TI-Nspire: Statistik Konfidensintervaller Multipl Reg Int Udfyld menuer Enter Man får T = 460.44 og 95% konfidensinterval [420.0;500.9] 139 7. Regressionsanalyse Løsning SAS.JMP: 1) Data indtastes a) Analyze Fit Y by X markér “T” og tryk på Y Response markér “x” og tryk på X Factor OK Der fremkommer et “scatterplot”, hvor man i et koordinatsystem kan se punkterne afbildet. Bivariate Fit of T By x 750 700 650 T 600 550 500 450 400 350 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x Cursor på overskrift, højre musetast Fit Polynomial Man kan nu vælge, hvilken grad polynomiet skal have. Ud fra scatterplottet synes en andengradsmodel ikke at være en god model Vi vælger en fjerdegradsmodel Der fremkommer blandt andet følgende udskrift: Summary of Fit RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,846337 0,799056 45,41548 510,5556 18 Vælges en trediegradsmodel fås tilsvarende Summary of Fit RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) 0,841256 0,807239 44,48109 510,5556 18 Vi ser, at R-squared (adjusted) nu er steget svagt fra 80,72% til 79,90%. Heraf må sluttes, at fjerdegradsmodellen ikke har givet et væsentligt forbedret bidrag til forklaring af data. For at lave tests, konfidensintervaller m.m. må man indføre 2 nye kolonner x2 = x2 og x3=x3 og gå over i multipel analyse. Hertil benyttes formula (Cursor på kolonneoverskrift højre musetast formula) Vælg Analyze Fit model markér “T” og tryk på Y Response markér “x, x2, x3” og tryk Man får bl.a. Parameter Estimates Term Intercept Estimate 770,70175 Std Error 34,52201 t Ratio 22,32 Prob>|t| <,0001* x -179,2699 36,21048 -4,95 0,0002* x2 31,336429 10,07039 3,11 0,0077* x3 -1,692466 0,777816 -2,18 0,0472* 140 ADD Run 7.8 Polynomial Regressionsanalyse Da vi ser, at P-værdien for 3 = 0.047 < 0.05 forkastes H0: 3 0 , dvs. Vi kan ikke bortkaste trediegradsleddet. Heraf sluttes, at en trediegradsmodel må være det foreløbig bedste bud Grafen for trediegradsmodellen blev følgende Bivariate Fit of T By x Da punkterne ligger tilfældigt omkring kurven finder vi, at trediegradsmodellen er en acceptabel model For at vurdere om der er outliers, vælges studentized residuals Vælg rød pil(ved response) Save Columns Studentized residuals Resultat blev følgende tabel x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 T 740 710 610 650 470 540 440 420 400 450 440 480 530 470 420 480 450 490 x2 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 12,25 16 20,25 25 30,25 36 42,25 49 56,25 64 72,25 x3 0 0,125 1 3,375 8 15,625 27 42,875 64 91,125 125 166,375 216 274,625 343 421,875 512 614,125 Studentized Resid T -1,0945392 0,56154621 -0,2737721 2,05315659 -1,3378076 1,19147889 -0,7178786 -0,8387979 -1,123754 0,13661908 -0,1505792 0,71090704 1,79418941 0,13340982 -1,2500319 0,12747972 -0,6727677 0,65672353 Den viser, at ingen numerisk er over 3, og kun en enkelt på 2.05 er numerisk over 2 Konklusion: Trediegradsmodellen er den bedste model 2) Regressionsligningen ses under punkt 2 Polynomial Fit Degree=3 T = 464,53399 - 4,620743 x + 9,7574819 (x-4,25)^2 - 1,6924665 (x-4,25)^3 2 3 . x 1629 . x .(udregnet på lommeregner) eller T 770.70 179.27 x 31336 141 7. Regressionsanalyse 3) Beregn værdien af T for x = 6.2, og angiv et 95% konfidensinterval for T for x = 6.2. Skriv 6.2 nederst i datatabel cursor på overskrift på x2, højre musetast Nu kommer automatisk i kolonnerne 6.2^2 osv. Rød pil ved Response T Save Columns Predicted value Mean Confidence Interval Nu dannes i tabellen tre nye kolonner op, hvoraf man aflæser det ønskede x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 6,2 T 740 710 610 650 470 540 440 420 400 450 440 480 530 470 420 480 450 490 . x2 0 0,25 1 2,25 4 6,25 9 12,25 16 20,25 25 30,25 36 42,25 49 56,25 64 72,25 38,44 x3 0 0,125 1 3,375 8 15,625 27 42,875 64 91,125 125 166,375 216 274,625 343 421,875 512 614,125 238,328 Lower 95% Mean T 696,659416 638,924223 581,420936 527,734498 483,773946 451,740922 430,771063 418,637279 412,60539 410,242129 410,278146 412,608008 417,427197 424,424101 431,924385 435,187706 425,766328 397,536609 420,015059 Upper 95% Mean T 844,744093 738,454518 660,730766 605,449196 564,162071 532,129047 507,675789 490,490688 480,769223 478,405962 482,131555 489,512735 497,815321 504,812225 509,639083 514,497536 525,296623 545,621286 500,862506 Man får T = 460.44 og 95% konfidensinterval [420.0;500.9] 142 Predicted T 770,701754 688,68937 621,075851 566,591847 523,968008 491,934985 469,223426 454,563983 446,687307 444,324045 446,20485 451,060372 457,621259 464,618163 470,781734 474,842621 475,531476 471,578947 460,438782 7.9 Oversigt over fremgangsmåde ved regressionsanalyse 7.9. OVERSIGT OVER FREMGANGSMÅDE VED REGRESSIONSANALYSE TI89 antages benyttet 7.9.1 Lineær model: Valg af model F4 regression linReg(a+bx) Punkter + ret linie tegnes 1) Punkter ligger tilfældigt om den rette linie a) Se på forklaringsgrad r2 a1) r2“høj”(over ca. 70%), så ok F6 LinRegTTest a2) r2 lav, så test om hældning er 0. Hvis ja, så er y uafhængig af x (ingen sammenhæng) Hvis nej, så viser data en stigende / faldende tendens. b) Se på Outliers. Se evt. på “Studized Residuals” F6 MultRegTests se på slist b1) Ingen outliers, så ok b2) Outliers : Forsøgsomstændighederne ved dette forsøg undersøges. 2) Punkter ligger ikke tilfældigt om linie a) Se på forklaringsgrad r2 a1) r2 meget høj (over 90%) :Model måske accepteres indenfor måleområdet. a2) r2 ikke så høj, eller en sikrere model ønskes undersøgt: I: Punkter ligger “krummer monotont op eller ned”: Se på modeller med 2 parametre (eksponentiel, potens, logaritme) Model skal opfylde krav om: Punkter ligger tilfældigt om kurve, r2 høj, Ingen outliers II: Punkter ligger ikke monotont Se på polynomier. Model vælges af lavest grad. Quadreg, CubicReg, beregne r2(adjusted), se på residualplot evt. teste om koefficient til højestegradsled 0 Test 1) Ret linie y 0 1 x a) H0: Y er uafhængig af x H0 : Regressionslinien er vandret H 0 : 1 0 . F6, A: Lin Reg T-Test b) Konfidensinterval for 1 : c) Konfidensinterval for y svarende til x =t: F7: LinRegTInt: Alternate Hyp= & 0 Interval = Slope: F7: LinRegTInt: Interval = Response, x Value = Slope: d) Prædistinationsinterval for 1 ny observation 2) Andre modeller i 2 parametre: Ligningen transformeres til et lineært udtryk (se side 126) Indsætter nye lister med de transformerede variable Derefter som under punkt 1) 143 Som under punkt c). Se nederst i udskrift 7. Regressionsanalyse 7.9.2 Multipel regression Model acceptabel Residualplot tegnes F4: Calc Punkter ligger tilfældigt om den vandrette linie Forklaringsgrad r2 høj (over ca. 70%) Outliers kun få (ingen) . Se på “Studentized Residuals” Test 1) Reduktion af model: Find det led hvis koefficient har den største P-værdi >5% Vælg F6:MultRegTests Fjerner leddet Gentag med næste P-værdi Der elimineres én variabel ad gangen 2) Regressionskoeficienter : Findes i blist 3) 95% konfidensinterval for 1 : 1 t I Statvar findes s i “selist” 1 1 2 ( f residual ) s ; 1 t 1 1 2 3. Regressions F6 MultRegTests D:MultReg se på slist se under P-list ( f residual ) s 1 fresidual= dferr 4) Man finder 95% konfidensintervallet for y for given x-værdi 144 F7:Ints, 8: MultRegInt Opgaver til kapitel 7 OPGAVER Opgave 7.1 Nedenstående tabel angiver sammenhørende værdier af den "radiale" afbøjning X (i milliradianer) og den totale energiflux Y ( i kilowatt) på et solvarmeanlæg. x 16.66 16.46 17.66 17.50 16.40 16.28 16.06 15.93 16.60 16.41 16.17 15.92 16.04 16.19 16.71 y 271.8 264.0 238.8 230.7 251.6 257.9 263.9 266.5 229.1 239.3 258.0 257.6 267.3 267.0 263.8 x 16.62 17.37 18.12 18.53 15.54 15.70 16.45 17.62 18.12 19.05 16.51 16.02 15.89 15.83 y 259.6 240.4 227.2 196.0 278.7 272.3 267.4 254.5 224.7 181.5 227.5 253.6 263.0 265.8 Det oplyses, at korrelationskoefficienten er -0.8488 Punkterne er afsat på nedenstående figur. Plot of y vs x 280 260 y 240 220 200 180 15 16 17 18 19 20 x 1) Begrund i ord på baggrund af figuren og forannævnte oplysninger, om du finder det sandsynligt, at der er uafhængighed mellem X og Y. 2 2) Find r og anvend denne, ovenstående figur samt residualernes fortegn og størrelse til vurdering af om en lineær model kan antages at gælde. I det følgende antages, at forudsætningerne for en regressionsanalyse er opfyldt, og at den lineære model gælder. 3) Opskriv regressionsligningen. 4) Angiv et 99% konfidensinterval for hældningen 1 . (Bemærk, der ønskes et 99% interval). 5) Beregn er 95% konfidensinterval for middelfluxen y i det tilfælde, hvor den radiale afbøjning x er 16.5 milliradianer. 145 7. Regressionsanalyse Opgave 7.2 Man ønskede på et universitet at undersøge om der var en sammenhæng mellem de point de studerende fik ved en indledende prøve i matematik, og de point de fik ved den afsluttende prøve i matematik. Resultaterne var Student 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Indledende prøve x 39 43 21 64 57 47 28 75 34 52 Afsluttende prøve y 65 78 52 82 92 89 73 98 56 75 1) Find en ligning for regressionslinien m, og tegn i et koordinatsystem såvel punkterne som linien m. 2) Man forventer en positiv korrelation mellem x og y. Finder du at dette er tilfældet? Det antages i det følgende at forudsætningerne for en regressionsanalyse er opfyldt. 3) Test om y er uafhængig af x (signifikansniveau =0.01) 4) Find er 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten 1 . 5) En student har opnået 50 point ved den indledende prøve. Forudsig indenfor hvilket interval denne student pointtal vil ligge ved den afsluttende prøve. (signifikansniveau =0.05) 6) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af det pointtal som studenter opnår ved den afsluttende prøve, når de alle ved den indledende prøve har opnået 50 point. Opgave 7.3 Ved en kemisk proces vides reaktionshastigheden v at afhænge af mængden x af et bestemt additiv, som virker som katalysator. Ved et fuldstændigt randomiseret forsøg fandtes følgende observationer: Tilsat mængde additiv x 0.001 0.2 0.5 1.0 1.5 2.0 Reaktionshastighed v 1 17 29 41 50 58 1) Foretag en vurdering, ud fra forklaringsgrad og graf, hvilken af de fire standardmodeller, der bedst bedst approksimerer data. 2) Angiv regressionsligningen for den valgte model 3) Find ved en additivtilsætning på 1.75, middelværdien af reaktionshastigheden og angiv et 95%~konfidensinterval herfor. Opgave 7.4 Man mener der er en sammenhæng mellem en bilists alder og antallet af alvorlige færdselsulykker, der skyldes for stor hastighed. Man har fra USA, hvor aldersgrænsen for erhvervelse af kørekort er 16 år, følgende data indsamlet gennem en periode: Alder x 16 17 18 19 20 22 24 27 32 42 52 57 62 72 Antal fart-relaterede ulykker y 37 32 33 34 33 31 28 26 23 16 13 10 9 7 Det fremgår klart, at antallet af ulykker falder med alderen. a) Giv en vurdering af, om modellen y = a + bx (antal ulykker aftager lineært med alderen) på rimelig måde kan beskrive denne sammenhæng. b) En trafikekspert mener, at modellen y e bx (antal ulykker aftager eksponentielt med alderen) giver en bedre beskrivelse af modellen. Har vedkommende ret? c) Bestem ligningen for den model du finder bedst. 146 Opgaver til kapitel 7 d) Angiv ud fra ovennævnte ligning det forventede antal fart-relaterede ulykker som 50 - årige i middel vil forårsage i den givne periode. e) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af ulykker for 50-årige. Opgave 7.5 I et organisk-kemisk laboratorium undersøgte man forskellige reaktionskinetiske processer. Ud fra teoretiske overvejelser har man fundet frem til, at "middeludbyttet" (angivet i %'-enheder) af en bestemt kemisk forbindelse for t > 5 er approksimativt bestemt ved et udtryk af formen y 100 0 e 1t , hvor t angiver reaktionstiden og y procesudbyttet. (1) For at efterprøve rigtigheden af de teoretiske overvejelser udførte man et forsøg med følgende resultater: t 6.5 8.2 11.1 13.6 16.4 18.5 20.7 23.0 25.8 28.5 33.3 y 39.5 64.7 65.6 72.9 88.0 92.7 92.5 95.9 96.3 98.3 99.2 1) Omskriv ovennævnte udtryk for modellen således, at regressionsmodellen kan gøres lineær i parametrene ved en logaritmisk transformation. 2) Foretag den logaritmiske transformation og vurder såvel grafisk som ud fra forklaringsgraden om den formodede model (1) kan accepteres. 3) Foretag, idet det forudsættes, at modellen (1) gælder, en estimation af parametrene 0 og 1 . 4) Opstil et 95% - konfidensinterval for middelværdien af udbyttet y svarende til t = 20. Opgave 7.6 Ved en standardisering af et bestemt hormonpræparat behandler man et mindre antal mus med doser af forskellig størrelse og registrerer i hvert tilfælde tiden t, indtil musen dør. Fra tidligere undersøgelser ved man, at t er normalfordelt med konstant varians og med en middelværdi, som er en lineær funktion af logaritmen til dosis, dvs. t = a+b ln(dosis). Til brug for standardiseringen af et produktionsparti af præparatet blev foretaget 5 delforsøg, som gav følgende resultater: dosis (antal enheder) 1585 2239 2884 5248 6918 t (timer) 8.70 6.20 8.22 2.94 3.88 1) Angiv et estimat for regressionslinien, hvor t er en funktion af 1ogaritmen ti1 dosis. 2) Opsti1 et 95% - konfidensinterval for koefficienten til logaritmen til dosis. 3) Opsti1 et 95% - konfidensinterval for midde1værdien af t for en dosis på 6300 enheder. 147 7. Regressionsanalyse Opgave 7.7 Man har erfaring for, at jerns viskositet Y under smeltning afhænger af jernets siliciumindhold x. Man besluttede sig ti1 at foretage et forsøg med henblik på at undersøge denne sammenhæng nærmere. Ved forsøget foretoges 3 viskositetsmålinger for hver af 5 forskel1ige værdier af siliciumindholdet. Forsøgsresu1taterne var: x Y 125 150 175 200 225 47.5 55.0 40 60.0 55.0 50.0 65.0 67.5 70.0 72.5 75.0 77.0 77.5 85.0 75.0 1) Angiv forudsætningerne for at kunne udføre en regressionsanalyse. Det antages i det følgende, at forudsætningerne er opfyldt. 2) Test om der er en lineær sammenhæng mellem jerns viskositet og siliciumindholdet, og angiv i bekræftende fald ligningen for den empiriske regressionslinie. Det antages i det følgende, at der er en lineær sammenhæng mellem x og y. 3) Foretag en testning af om regressionslinien er vandret. 4) Angiv et 95% konfidensinterval for hældningskoefficienten 5) Angiv et 95% konfidensinterval for middelværdien af middelviskositeten y, når x = 1.60. Opgave 7.8 Koncentrationsbestemmelse af stoffet aprindin kan foretages ved hjælp af en gaskromatograf. Ved denne metode indsprøjtes en del af prøven indeholdende aprindin i gaskromatografen, og den såkaldte tophøjde bestemmes. Såfremt de laboratorietekniske procedurer er korrekt udført, skal tophøjden, bortset fra tilfældige udsving, være proportional med koncentrationen i prøven. I et eksperiment fremstillede man 12 prøver med kendte koncentrationer af aprindin og målte tophøjderne. Resultaterne fremgår af nedenstående tabel. Koncentration x ( g / ml ) Tophøjde Y 0.5 1 2 3 4 5 46 55 120 90 232 241 310 318 440 435 550 539 1) Bestem den lineære regressionslinie for Y på x 2) Test, om en sådan lineær regression kan beskrive data. 3) Test, om tophøjden y kan antages at være proportional med koncentrationen x, dvs. y a x. 148 Opgaver til kapitel 7 Opgave 7.9 Den tid (y) det tager inden en bestemt maskinkomponent svigter kan tænkes at afhænge af den spænding (x1) , den temperatur (x2) som komponenten udsættes for under kørslen, samt motorens omdrejningshastighed pr. minut (x3) Det forløbne år har givet de data, som er vist i følgende tabel: (x1, x2, x3) (110,60,750) (110,82,850) (110,60,1000) (110,82,1100) (120,60,750) y 2145 2155 2220 2225 2360 (x1, x2, x3) y (120,82,850) (120,60,1000) (130,82,1100) 2266 2334 2340 (115,66,840) 2212 (115,66,880) 2180 Det forudsættes, at regressionsforudsætningerne er opfyldt. 1) Vurder ud fra forklaringsgraden , grafisk, og ud fra en vurdering af om der er outliers, om en lineær model i de tre variable ,dvs. af formen Y 0 1 x1 2 x 2 3 x 3 er rimelig. Det antages i det følgende, at ovenstående model gælder. 2) Undersøg om modellen kan reduceres, dvs. om nogle af koefficienterne kan antages at være 0. 3) Angiv regressionsligningen i den endelige model. 4) Bestem et estimat for Y i tilfældet x1 = 125, x2 = 70 og x3 = 900, og angiv et 95% konfidensinterval for denne værdi. Opgave 7.10 Ved en given produktion ønskes undersøgt, hvorledes mængden Y af et uønsket biprodukt afhang af mængderne x1, x2 og x3 af tre tilsætningsstoffer. Følgende forsøg blev foretaget (kodede tal): (x1, x2, x3) (1,1,1) (2,9,4) (3,3,9) (4,7,5) (5,5 7) (6,3,3) (7,6,2) (8,9,6) Y 30 85 55 75 76 56 85 106 Det forudsættes, at regressionsforudsætningerne er opfyldt. 1) Vurder ud fra forklaringsgraden , grafisk, og ud fra en vurdering af om der er outliers, om en lineær model i de tre variable ,dvs. af formen Y 0 1 x1 2 x 2 3 x 3 er rimelig. Det antages i det følgende, at ovenstående model gælder. 2) Undersøg om modellen kan reduceres, dvs. om nogle af koefficienterne kan antages at være 0. 3) Angiv regressionsligningen i den endelige model. 3) Bestem et estimat for Y i tilfældet x1 = 4, x2 = 5 og x3 = 6, og angiv et 95% konfidensinterval for denne værdi. 149 7. Regressionsanalyse Opgave 7.11 Det formodes, at den producerede mængde Y af et stof ved en given produktion er en lineær funktion af de anvendte mængder x1 , x2, og x3 af tre råvarer. Følgende ikke særligt systematiske observationer foreligger: x2 1 2 4 5 x3 1 1 3 3 3) 4) 3 5 1 3 5 1 3 5 670 802 754 870 908 5 1) 2) 1 637 2 x1 5 1030 1040 10 1534 1612 Vurder på basis af disse observationer, om en lineær model i x1 , x2 og x3 er rimelig. Foretag så vidt mulig en reduktion af modellen, og angiv tilsidst regressionsligningen for den endelige model. Beregn et 95% konfidensinterval for regressionskoefficienterne i den endelige model. Beregn et 95% konfidensinterval for middelværdien af Y hvis x1 = 0.3, x2 = 0.4 og x3 = 0.1. Opgave 7.12 En fabrik fremstiller salpetersyre ved oxidering af ammoniak med luft. I løbet af processen ledes kvælstofoxider under afkøling ind i en absorptionskolonne, idet absorptionen i gennemstrømmende salpetersyre afhænger af kølevandstemperaturen x1 (EC) , lufttemperaturen x2 (EC) og salpetersyrekoncentrationen x3 Man ønsker at teste, om sammenhængen mellem mængden Y af ikke-absorberede kvælstofoxider i et givet tidsrum og x1, x2 og x3 (aproksimativt) var lineær, og ønskede i bekræftende fald at estimere denne sammenhæng. Følgende observationer af Y (kodede tal) fandtes: x2 -5 x1 5 x1 x3 10 32 48 54 32 50 57 5 10 15 5 10 15 20 50 60 70 49 64 74 30 62 73 90 64 82 88 40 88 96 102 86 92 108 1) Vurder på basis af disse observationer, om en lineær model i x1 , x2 og x3 er rimelig. 2) Undersøg, om modellen kan reduceres, dvs. om nogle af regressionskoefficienterne kunne være 0. 3) Opskriv regresionsligningen. 4) Angiv et 95% konfidensinterval for 1 . 5 Angiv et estimat for Y i tilfældet x1 = 8, x2 = 20 og x3 = 4, og angiv et 95% konfidensinterval for denne værdi. 150 Opgaver til kapitel 7 Opgave 7.13 Følgende sammenhørende data er 25 målinger mellem den jævnstrøm (y) en vindmølle udvikler og vindhastigheden (x). x 500 600 340 270 100 970 955 305 815 620 290 635 460 y 1582 1822 1057 500 2236 2386 2294 588 2166 1866 653 1930 1562 x 580 740 360 785 880 700 545 910 1020 410 395 245 y 1737 2088 1137 2179 2112 1800 1501 2303 2310 1194 1144 123 1) Vurder på basis af ovennævnte observationer ud fra forklaringsgraden, hvilket polynomium y 0 1 x 2 x 2 3 x 3 ... p x p af lavest mulig grad p, der indenfor måleområdet [0 ; 10 ] giver en tilfredsstillende beskrivelse af Y’s variation. 2) Vurder ud fra residualerne , om det i 1) fundne polynomium indenfor måleområdet [0 ; 10 ] giver en tilfredsstillende beskrivelse af Y’s variation. 3) Angiv regressionsligningen for den model, man i spørgsmål 2 har fundet frem til. 4) Skitser grafen indenfor intervallet [0;10], og beregn værdien af y svarende til en vindhastighed på x = 7 Opgave 7.14 Ved et fuldstændigt randomiseret forsøg foretoges følgende observationer mellem den ikkestatistiske variabel x og den statistiske variabel Y: x 10 20 30 40 50 60 70 80 Y 72.5 78.3 79.6 78.9 76.9 76.6 68.9 66.4 1) Bestem ved en polynomial regressionsanalyse det polynomium i x af lavest mulig grad, der giver en tilfredsstillende beskrivelse af Y’s variation. Betragt såvel forklaringsgrader som residualer 2) Opskriv regressionsligningen for den i spørgsmål 1 fundne model 3) Find middelværdien af Y, når x = 45. 4) Find den værdi xm som giver den største y - værdi . Angiv endvidere den til xm svarende estimerede middelværdi Ym Opgave 7.15 Ved nogle forsøg med målinger af det tryk, som udgår fra jetmotorer, måltes for udvalgte værdier af ændringen i udstødningsdysens vinkel x værdier af ændringen i trykket Y. Resultaterne var: x Y(i%) 4 24.5 4.5 26.3 5 27.2 6.5 67.3 7 77.8 7.3 80.6 7.5 83.4 1. Bestem ved en polynomial regressionsanalyse det polynomium af lavest grad, der giver en tilfredsstillende beskrivelse af Y’s variation. 2. Benyt den fundne model til at bestem middelværdien af Y, når x = 6 og beregn det dertil svarende 95% konfidensinterval . 151 8.1.Indledning 8 STATISTISK PROCESKONTROL 8.1. INDLEDNING Formålet med det meget omfattende begreb kvalitetsstyring (også kaldet kvalitetskontrol1) er at kontrollere, styre og forbedre kvaliteten af et produkt. Endvidere at nedsætte virksomhedens samlede styrings- og fejlomkostninger. Forskellige undersøgelser antyder, at mange virksomheder ved overgang til kvalitetsstyring kan nedsætte deres samlede kvalitetsomkostninger fra størrelsesordenen 10-15% af omsætningen til 3-5% af denne. Der er på international basis opstillet krav, som skal opfyldes for opnåelse af en " kvalitetscertificering" af virksomheders kvalitetsstyring, bl.a. anført i serien af “ISO 9000-standarder”. Virksomheder, som opfylder de pågældende krav, kan opnå et såkaldt “ISO 9000 - certifikat”. Vi begrænser os i nærværende kapitel til omtale af statistisk proceskontrol ( SPC = Statistical Process Control) i egentligt materialeproducerende virksomheder. Formålet med denne er at styre produktionsprocesserne således, at fejlproduktion forebygges. En industriel produktionsproces kan formelt betragtes som en talfrembringende proces. Eksempler herpå er angivet i det følgende skema: nr Produktion af Frembragte tal 1 Kunstgødning Kvælstofindhold 2 Jernbjælker Trykstyrke , Siliciumindhold 3 TV-apparater Antal loddefejl pr. apparat 4 Patroner Antal defekte patroner i en stikprøve 5 Leverpostej 0:Dårlig smag ,1: Mindre god smag, 2: God smag ,3: Særdeles god smag 6 Vin Alkoholprocent 7 Flasker Rumindhold 8 Film 0: defekt, 1: ikke defekt 9 Tekstil Antal fejl pr. m2 10 Aksler Diameter 1 På engelsk kaldet “Quality Control” eller “Quality Management” . 151 8.Statistisk Proceskontrol 8.2 PROCES I STATISTISK KONTROL. Ved enhver proces vil de frembragte tal udvise en "naturlig" variation, uanset hvor godt processen er planlagt og hvor omhyggeligt den bringes til udførelse og vedligeholdes. Denne "naturlige" variation der i praksis ikke kan kontrolleres, er et resultat af talrige små påvirkninger/variationsårsager ("common causes"). Hvis en proces kun er påvirket af tilfældige variationsårsager, siges den at være i statistisk kontrol. Fig 8.1. Proces i statistisk kontrol De producerede tal er uafhængige observationer fra en population med en bestemt sandsynlighedsfordeling. Den dertil svarende statistiske variabel kaldes procesvariablen. Er en proces i statistisk kontrol kan man derfor på basis af en stikprøve estimere dens parametre, og kan eksempelvis beregne størrelsen af en kommende fejlproduktion. Proces ude af statistisk kontrol. Udover den tilfældige variation kan der forekomme en variation, som kan tilskrives bestemte årsager, f.eks. maskiner, operatører eller råvarer; maskiner kan være indstillet forkert, en operatør kan være træt eller uopmærksom, et råvareparti kan være af dårlig kvalitet. Man taler i disse situationer om væsentlige, specielle eller påviselige variationsårsager ("assignable causes") Hvis en proces i løbet af et givet tidsrum går fra at være i statistisk kontrol i en procestilstand til at være i statistisk kontrol i en anden procestilstand, har processen været ude af statistisk kontrol indenfor det pågældende tidsrum. Fig.8.2. Proces ude af statistisk kontrol 152 8.3.Opbygning og alarmkriterier for kontrolkort 8.3 OPBYGNING OG ALARMGRÆNSER FOR KONTROLKORT . Kontrolkort (også kaldet Shewhart kontrolkort efter opfinderen) er baseret på, at man af den løbende produktion med regelmæssige mellemrum udtager stikprøver af størrelsen n. Figur 8.3 viser en normalfordeling sammen med et enkelt kontrolkort. Fig 8.3. Kontrolkort med øvre og nedre kontrolgrænser Hvis en på basis af stikprøven beregnet parameter eksempelvis gennemsnittet x holder sig indenfor nogle kontrolgrænser, antager man at processen er i kontrol med hensyn til denne parameter. Hvis den beregnede størrelse ligger udenfor kontrolgrænserne vil man “slå alarm” fordi så kan det tænkes at processen er kommet ud af kontrol. Stikprøvernes størrelse n. Generelt gælder det, at det er bedre at tage små stikprøver på 4-5 emner ud med korte mellemrum end at tage store stikprøver på 20-25 emner ud med lange mellemrum. Formålet er jo, at man ønsker hurtigt at opdage, hvis processen er ved at komme ud af kontrol (fordi eksempelvis en maskine er ved at gå i stykker). Bruger man store stikprøver vil man kunne opdage selv forholdsvis små forskydninger i niveauet, men på grund af at der går temmelig lang tid mellem man tager stikprøverne, kan en stor katastrofal forskydning blive opdaget for sent. “Alarmkriterier”. Man finder der er grund til at tro at processen er ude af kontrol (at slå alarm), hvis der sker et af følgende (se også de følgende figurer). 1) 1 punkt (mindst) udenfor 3 - kontrolgrænserne 2) 9 på hinanden følgende punkter alle over /under centerlinien 3) 6 på hinanden følgende punkter stiger i værdi eller falder i værdi. 4) 2 af 3 på hinanden følgende punkter falder udenfor en 2 - grænse 5) 4 ud af 5 på hinanden følgende punkter falder udenfor en 1 - grænse. 153 8.Statistisk Proceskontrol 1) Fig 8.4. Mindst 1 punkt udenfor 3 - kontrolgrænser 2) Fig 8.5. 9 på hinanden følgende punkter over centerlinien eller 9 på hinanden følgende punkter under centerlinien 3) Figur 8.6 6 på hinanden følgende punkter stiger i værdi eller falder i værdi. 154 8.4.Kontrolkortsanalyse 4) Fig 8.7. Mindst 2 punkter ud af 3 på hinanden følgende punkter udenfor en 2 - grænse 5) Fig 8.8. Mindst 4 punkter ud af 5 på hinanden følgende punkter falder udenfor en 1 - grænse. 8.4. KONTROLKORTANALYSE. Anvendelsen af kontrolkort kræver, at processen fra starten er i statistisk kontrol. Indførelsen af proceskontrol i en “ny” produktion kræver derfor, at man ved en såkaldt kontrolkortanalyse får undersøgt og om nødvendigt justeret processen således, at den kommer i statistisk kontrol. Først når dette er tilfældet, kan man estimere de ukendte parametrene og konstruere kontrolkortet. Ved en kontrolkortanalyse foretages en række målinger af procesvariablen. Samtidig med en måling registreres en række oplysninger, f.eks. observationstidspunkt, temperatur, råmaterialeparti, arbejdshold m.v., samt hvilke personer der har foretaget målingerne. På grundlag heraf inddeles måltallene i “rationelle undergrupper”, inden for hvilke de formodes at være produceret under samme væsentlige betingelser. Endvidere tilstræber man, at antal målinger er det samme i hver undergruppe. Indsamling og opdeling af et observationsmateriale i rationelle undergrupper kræver ofte en betydelig teknisk indsigt i den betragtede produktionsproces. Alle de i praksis uundgåelige variationsårsager skal bidrage til den faktiske variation indenfor undergrupper, hvorimod alle de variationsårsager, som man mener kan være væsentlige variationsårsager, ikke må bidrage til variationen indenfor undergrupper. 155 8.Statistisk Proceskontrol De variationsårsager, som måske er væsentlige, må altså kun indvirke fra undergruppe til undergruppe. Mener man således, at tal produceret af forskellige maskiner kan være en væsentlig variationsårsag, så må disse tal ikke være placeret i samme undergruppe. På basis af undergrupperne konstrueres så kontrolkort som beskrevet i eksempel 8.1. Falder en undergruppe udenfor de beregnede kontrolgrænser, så må man undersøge nærmere hvad årsagen kan være. Er det eksempelvis en gruppe hvis tal er produceret af en bestemt maskine, så må man ofre en hovedreparation på maskinen eller kassere den. På den måde får man ikke alene processen i kontrol, men man øger også kvaliteten af den igangværende proces. Der udarbejdes forskellige typer kontrolkort afhængig af sandsynlighedsfordelingen for procesvariablen X. I afsnit 8.6 behandles tilfældet hvor X approksimativt er en kontinuert normalfordelt variabel (jævnfør tilfældene 1, 2,6, 7 og 10 i skemaet på side 2), mens afsnit 8.7 ser på de tilfælde, hvor X approksimativt er binomialfordelt (tilfældene 4 og 8) eller Poissonfordelt (tilfældene 3 og 9). Det er i alle tilfælde væsentligt, at observationerne er uafhængige, mens mindre afvigelser fra den forventede sandsynlighedsfordeling ikke vil give nogen væsentlig forøgelse i falske alarmer. 8.5 TOLERANCEGRÆNSER OG KAPABILITET I forbindelse med en fabrikation er der ofte fastsat “tolerancegrænser” eller “specifikationsgrænser (jævnfør eksempel 8.1). Det kan enten være en nedre tolerancegrænse NTGx og/eller en øvre tolerancegrænse ØTGx ,idet man ved fabrikationen ønsker/forlanger, for procesvariablen X , at X NTG x henholdsvis X ØTG x . Produktion, for hvilken X falder udenfor tolerancegrænsen/tolerancegrænserne, betragtes altså som fejlproduktion. Bemærk, at der her ikke er tale om stikprøvens gennemsnit, men om den enkelte værdi af procesvariablen. I det følgende forudsætter vi, at der er fastsat såvel en nedre som en øvre tolerancegrænse. Ved “kapabiliteten” af en proces (proceskababiliteten) forstås processens evne til at producere inden for et specificeret toleranceinterval. Som omtalt , er “det naturlige variationsområde” for en proces en variation på 6 , nemlig fra 3 til 3 . Når der ved en given fabrikation er fastsat et toleranceinterval [ NTG x ; ØTG x ] er det derfor nærliggende at sammenligne dette med intervallet for den naturlige variation [ 3 ;3 ] . ØTG x NTG x Hertil udregnes et kapbilitetsindeks C p 6 C p er et mål for processens evne til produktion indenfor toleranceintervallet. Der foreligger herved i en kontrolsituation en af flere muligheder: Hvis C p 1 dvs ØTG x NTG x 6 skulle man tro, at dette ville være en proces med lille fejlproduktion. 156 8.6.Procesvariablen er normalfordelt Imidlertid er det med en stor løbende produktion svært hele tiden at holde middelværdien midt mellem de to tolerancegrænse. Man vil derfor sædvanligvis først sige, at man har en produktion med en lille fejlproduktion, hvis C p 133 . . Det afhænger naturligvis af produktionen og hvilke krav man stiller. hvor man sætter grænsen, og i den såkaldte “6 sigma proces” kræves et C p 2 ØTG x NTG x 6 1) C p stor ( større end eksempelvis 1.33 eller 2) I dette tilfælde kan fejlproduktion (næsten) helt undgås; en processtyring er fortsat anbefalelsesværdig, men kontrollen kan foretages relativt afslappet 2) C p lille (under 1.33 eller 2) I dette tilfælde udøves sædvanlig processtyring, f.eks. med anvendelse af x - kort og R - kort. En (for stor) fejlproduktion kan ikke undgås, men den kan søges minimeret ved stram styring ØTG x NTG x af processen, hvorved procesniveauet søges fastholdt på midterværdien . 2 Eventuelt foretages en totalinspektion; eventuelt gennemføres en produktionsforbedring, hvorved processens spredning formindskes; eventuelt aftales nye tolerancegrænser og/eller en ny pris for det fremstillede produkt osv. Som et mål for den aktuelle kapabalitet indføres et centreringsindeks (performanceindeks) ØTG x x x NTG x C pk min , 3 3 Hvis C p C pk er processen meget godt centreret, mens C pk C p viser, at dette ikke er tilfældet. 8.6 PROCESVARIABLEN ER NORMALFORDELT Lad os antage at processen er i kontrol med en middelværdi på og en spredning på . Vi kender ikke de eksakte værdier, men ønsker at beregne estimater herfor. ~ For at kunne beregne kontrolgrænserne for x -kortet: x 3 må man kende et estimat for n spredningen . Man starter derfor altid med at lave et kontrolkort for spredningen. Man udtager i produktionen løbende (“af folk på gulvet”) stikprøver. Da det tidligere var besværligt at beregne estimatet s , foretrak man ofte, at benytte variationsbredderne Ri som et mål for spredningen. Derfor vil man stadig møde mange “ R -kontrolkort” selv om “s - kontrolkort” er blevet mere almindelige. Sædvanligvis vil man benytte et statistikprogram som SAS.JMP til beregning af kontrolgrænser m.m., men som eksempel 8.1 viser, kan man godt beregne dem ved”håndkraft” ved hjælp af de formler og konstanter, der findes i nedenstående 2 tabeller. En nærmere forklaring på formlerne findes i oversigt 8.1 157 8.Statistisk Proceskontrol Tabel 8.1: Kontrolkort. x - R - kontrolkort. Procesvariablen X er normalfordelt n( , ) . Procestilstand Centerlinie Nedre kontrolgræn- Øvre kontrolgrænse se Kendt: x -kort R - kort Ukendt: x -kort d2 A1 D1 A1 D2 x R x A2 R D3 R x A2 R D4 R R - kort Estimater R d2 s c4 x - s - kontrolkort. Procesvariablen X er normalfordelt n( , ) . s - kort c4 A1 B5 x -kort x s - kort s x A3 s x -kort Kendt Ukendt B3 s A1 B6 x A3 s B4 s Tabel 8.2. Konstanter til fastlæggelse af kontrolgrænser ved hjælp af x kort, R - kort og s-kort. n x - kort R - kort s - kort A1 A2 A3 d2 d3 D1 D2 D3 D4 c4 B3 B4 B5 B6 2 3 4 5 2.121 1,732 1.500 1.342 1.880 1.023 0.729 0.577 2.659 1.954 1.628 1.427 1.128 1.693 2.059 2.326 0.853 0.888 0.880 0.864 0 0 0 0 3.686 4.358 4.698 4.918 0 0 0 0 3.267 2.575 2.282 2.115 0.798 0.886 0.921 0.940 0 0 0 0 3.267 2.568 2.266 2.089 0 0 0 0 2.606 2.276 2.088 1.964 6 7 8 9 10 1.225 1.134 1.061 1.000 0.949 0.483 0.419 0.373 0.337 0.308 1.287 1.182 1.099 1.032 0.975 2.534 2.704 2.847 2.970 3.078 0.848 0.833 0.820 0.808 0.797 0 5.078 0.205 5.203 0.387 5.307 0.546 5.394 0.687 5.469 0 0.076 0.136 0.184 0.223 2.004 1.924 1.864 1.816 1.777 0.952 0.959 0.965 0.969 0.973 0.030 1.970 0.118 1.882 0.185 1.815 0.239 1.761 0.284 1.716 0.029 0.113 0.179 0.232 0.276 1.874 1.806 1.751 1.707 1.669 11 12 13 14 15 0.905 0.866 0.832 0.802 0.775 0.285 0.266 0.249 0.235 0.223 0.927 0.886 0.850 0.817 0.789 3.173 3.258 3.336 3.407 3.472 0.787 0.778 0.770 0.762 0.755 0.812 0.924 1.026 1.121 1.207 5.534 5.592 5.646 5.693 5.737 0.256 0.284 0.308 0.329 0.348 1.744 1.716 1.692 1.671 1.652 0.975 0.978 0.979 0.981 0.982 0.321 1.679 0.354 1.646 0.382 1.618 0.406 1.594 0.428 1.572 0.313 0.346 0.374 0.399 0.421 1.637 1.610 1.585 1.563 1.544 16 17 18 19 20 0.750 0.728 0.707 0.688 0.671 0.212 0.203 0.194 0.187 0.180 0.763 0.739 0.718 0.698 0.680 3.532 3.588 3.640 3.689 3.735 0.749 0.743 0.738 0.733 0.729 1.285 1.359 1.426 1.490 1.548 5.779 5.817 5.854 5.888 5.922 0.364 0.379 0.392 0.404 0.414 1.636 1.621 1.608 1.596 1.586 0.983 0.984 0.985 0.986 0.987 0.448 1.552 0.466 1.534 0.482 1.518 0.497 1.503 0.510 1.489 0.440 0.458 0.475 0.490 0.504 1.526 1.511 1.496 1.483 1.470 158 8.6.Procesvariablen er normalfordelt Eksempel 8.1. Kontrol af stof i levnedsmiddelprodukt. En levnedsmidddelvirksomhed har problemer med at holde koncentrationen af et skadeligt stof A i et konservesprodukt nede under en øvre tolerancegrænse på 12 enheder pr. gram . Man vælger derfor at få foretaget en kontrolkortanalyse. På basis af tidligere erfaringer inddeles målingerne i 30 undergrupper , som hver har deres karakteristika:(råvarecharge, apparatur, tidspunkt på dagen osv.). For hver undergruppe (som er på 5 målinger) er der af hensyn til de følgende beregninger også beregnet gennemsnit xi , variationsbredde Ri og spredning si . Gruppe Målinger xi Ri si Gruppe Målinger xi 1 13 8 2 5 8 7.2 11 4.0866 16 16 11 14 8 17 13.2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0 6 1 9 15 4 2 4 3 4 3 15 8 3 5 5 10 5 4 0 9 5 13 7 7 0 4 4 3 9 9 3 0 6 0 14 0 0 5 3 3 9 5 0 2 5 8 0 7 8 3 2 2 7 4 5 11 14 8 3 13 5 5 12 7 7 0 1 0 6 6.2 3.4 6.8 4.8 8.2 4.0 3.6 4.4 3.8 5.6 3.6 8.2 8.4 2.8 15 6.1400 2 8.944 12 5.0200 10 3.5637 8 3.0332 9 3.2404 9 3.9115 14 5.7706 9 3.4205 8 3.3616 5 2.0736 11 4.4385 8 3.8471 7 3.4205 SUM 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 9 4 4 6 1 1 7 0 5 10 0 10 3 7 5 3 0 10 3 3 0 0 2 3 2 3 5 3 1 4 2 4 5 0 22 7 3 5 9 9 7 10 8 3 7 12 10 5 6 6 4 2 13 2 8 13 9 13 2 7 12 4 9 7 10 4 4 11 6 0 6.8 4.8 4.2 7.8 7.4 4.4 4.2 3.6 4.8 2.8 5.6 8.4 6.2 7.8 173.0 Ri si 9 3.7014 5 12 7 12 9 10 9 7 8 3 11 22 6 13 281 2.5884 5.0200 3.1145 4.7117 3.6469 3.6469 3.4205 2.8810 3.1145 1.3038 4.2778 8.7350 2.3875 4.8683 113.64 1) Foretag ved hjælp af x og R - kort en kontrolkortanalyse og opstil kontrolkort, der kan benyttes til en løbende kontrol af indholdet af det skadelige stof. 2) Idet der er fastsat en øvre tolerancegrænse på 12, skal man finde sandsynligheden for at én måling falder udenfor, når processen antages i kontrol med de i punkt 1 fastsatte kontrolgrænser. Løsning (håndregning). 1) Først foretages en R - kort analyse. Idet R NKG R 281 9.366 er grænserne for R - kortet ifølge tabel 8.1 (og tabel 8.2): 30 D3 R 0 9.366 0 og ØKG R D4 R 2.115 9.366 19.809 . Det ses, at alle grupper pånær gruppe 28 falder indenfor grænserne. Man foretager nu en nærmere undersøgelse af hvilke forhold i gruppe 28 der kan tænkes at bevirke dette. Hvis det eksempelvis skyldes et bestemt apparat, kan man kassere dette eller reparere det. Vi vil i det følgende udskyde gruppen, revidere grænserne og se om de resterende grupper nu falder indenfor de nye grænser. 281 22 8.931 og dermed Vi får R * 29 NKG R D3 R * 0 8.931 0 og ØKG R D4 R * 2.115 8.931 18.889 . 159 8.Statistisk Proceskontrol Nu falder alle grupper indenfor kontrolgrænserne, og vi konkluderer derfor at processen er i R * 8.931 ~ 3840 . kontrol med hensyn til spredningen, og at denne estimeres ved d 2 2.326 Dernæst foretages en x - kort analyse. x* 173 8.4 5.676 , og dermed 29 NKG x x * A2 R * 5.676 0.577 8.931 0.5228 ØKG x x * A2 R * 5.676 0.577 8.931 10.829 Det ses, at alle grupper pånær gruppe 16 falder indenfor grænserne. Man foretager nu en nærmere undersøgelse af hvilke forhold i gruppe 16 der kan tænkes at bevirke dette. Vi vil i det følgende udskyde gruppen, revidere grænserne og se om de resterende grupper nu falder indenfor de nye grænser. 173 8.4 13.2 x ** 5.407 . 28 Strengt taget burde vi også revidere R - kortet, men da en udskydelse af punkt 16 kun vil give en ubetydelig ændring af R - grænserne beholdes disse. NKG x x ** A2 R * 5.407 0.577 8.931 0.2538 ØKG x x ** A2 R * 5.407 0.577 8.931 10.560 Vi antager herefter at processen også er i kontrol med hensyn til middelværdien. De to kort med de reviderede grænser kan nu benyttes til den løbende proceskontrol. 2) X = koncentrationen af stoffet A ved en enkelt måling. X antages normalfordelt n(5.407, 3.840). P( X 12.0) normCdf (12, ,5.407,384 . ) 0.043 Løsning SAS.JMP. Data indtastes på sædvanlig måde: gruppe 1 1 1 1 1 2 2 2 osv. 30 30 30 30 30 indhold af A 13 8 2 5 8 0 1 6 9 7 10 13 0 1) Vælg Graph Control Chart X Bar I menu vælg Process = Indhold af A “Xbar, R, kSigma OK Vi får følgende udskrift 160 Sample Label = gruppe Marker 8.6.Procesvariablen er normalfordelt Variables Control Chart XBar of Indhold af A U CL=11,17 10 Avg=5,77 5 LC L=0,36 30 27 24 21 18 15 12 9 6 0 3 Mean of Indhold af A 15 gruppe Note: The sigma was calculated using the range. R of Indhold af A 25 20 U CL=19,81 15 10 Avg=9,37 5 0 30 27 24 21 18 15 12 9 6 -5 LC L=0,00 3 Range of Indhold af A 30 gruppe Det ses, at gruppe 28 er udenfor kontrolgrænserne på R-kortet. Det kan somme tider være svært umiddelbart at se om et punkt falder indenfor eller udenfor kontrolgrænsen Det er ikke tilfældet her, men ellers kan man gøre følgende Rød pil ved R-kort Test beyond limits Nu bliver alle punkter udenfor markeret Synes man figuren er for lille og uoverskuelig, så Højre musetast på figur Size/Scale Y-axis Angiv Min , Max og Incrediment. Gruppe 28 udskydes. Cursor placeres på gruppe 28 på R-kort venstre musetast, I datatabel markeres nu gruppe 28 med blåt på gruppen Højre musetast Exclude Cursor Gentag med det nye datasæt Control Chart kSigma OK X Bar I menu vælg Process = Indhold af Vi får nye kontrolkort med nye grænser For R-kortet er UCL = 18.88. 161 Sample Label = gruppe Marker “Xbar, R, 8.Statistisk Proceskontrol Vi ser, at nu er der ingen udenfor R-kortet, men stadig en gruppe (gruppe 16) udenfor kontrolgrænserne på x - kortet. Vi udskyder nu dette punkt efter samme metode som før, Derefter er der ingen punkter på hverken x - kortet eller R- kortet, der er udenfor grænserne De to kort kan nu benyttes til den løbende proceskontrol. R of Indhold af A XBar of Indhold af A 30 Range of Indhold af A Mean of Indhold af A 15 UCL=10,56 10 Avg=5,41 5 LCL=0,26 0 25 20 UCL=18,88 15 10 Avg=8,93 5 LCL=0,00 0 gruppe gruppe Kontrolgrænserne kan aflæses på kortet. Spredningen kan findes på følgende måde: Vælg rød pil ved “Variable Control Chart” Save sigma ok Cursor på søjleoverskrift”“Indhold af A” højre musetast Column Info Man kan nu aflæse spredningen til 3.8387 2) Rød pil ved “Variable Control Chart” Capability Control Chart Sigma -3s Mean Upper Spec Limit = 12 +3s USL 0 10 20 Sigma = 3,83871 Capability CP CPK CPM CPL CPU Portion Below LSL Above USL Index . 0,572 . . 0,572 Lower CI . 0,485 . . 0,485 Percent . 4,2947 Upper CI . 0,659 . . 0,659 PPM Sigma Quality . . 42947,037 3,217 Heraf ses, at P(X>12) = 0 4.29% 162 OK 30 27 24 21 18 15 9 12 6 3 30 27 24 21 18 15 9 12 6 3 -5 8.6.Procesvariablen er normalfordelt Eksempel 8.2. Kontrol af stof i levnedsmiddelproduktion. Samme spørgsmål som i eksempel 8.1, men udarbejd i stedet for R - kortet et s- kort. Løsning: Først foretages en s - kort analyse. 113.64 3.7880 er grænserne for s - kortet: Idet s 30 NKGs B3 s 0 3.7880 0 og ØKGs B4 s 2.089 3.7880 7.9132 . Det ses, at alle grupper pånær gruppe 28 falder indenfor grænserne. Denne gruppe udskydes 113.64 8.735 3.6174 og dermed og grænserne revideres. Vi får s * 29 NKGs B3 s * 0 3.6174 0 og ØKGs B4 s * 2.089 3.6174 7.5568 . Nu falder alle grupper indenfor kontrolgrænserne, og vi konkluderer derfor at processen er i s * 3.6174 ~ . 38483 kontrol med hensyn til spredningen, og at denne estimeres ved . c4 0.940 173 8.4 5.676 , og dermed 29 NKG x x * A3 s * 5.676 1427 . 3.6174 0.5140 Dernæst foretages en x - kort analyse. x* ØKG x x * A3 s * 5.676 1427 . 3.6174 10.838 . Det ses, at alle grupper pånær gruppe 16 falder indenfor grænserne. 173 8.4 13.2 5.407 . Denne gruppe udskydes og grænserne revideres: x ** 28 Strengt taget burde vi også revidere R - kortet, men da en udskydelse af punkt 16 kun vil give en ubetydelig ændring af R - grænserne beholdes disse. NKGx x ** A3 s * 5.407 1427 . 3.674 0.2450 ØKG x x ** A3 s * 5.407 1427 . 3.674 10.569 Vi antager herefter at processen også er i kontrol med hensyn til middelværdien. De to kort med de reviderede grænser kan nu benyttes til den løbende proceskontrol. Eksempel 8.3. Løbende kontrol. De i eksempel 8.1 fundne kontrolkort er i de følgende dage blevet benyttet til løbende kontrol af processen. 1) I de første 30 dage gav det følgende resultat: Range Chart for indhold af A X-bar Chart for Indhold_af_A 20 UCL = 18,89 CTR = 8,93 16 LCL = 0,00 12 X-bar Range 12 8 4 UCL = 10,55 10 CTR = 5,40 8 LCL = 0,25 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 30 0 Subgroup 0 5 10 15 20 Subgroup Er processen stadig i kontrol? 163 25 30 8.Statistisk Proceskontrol 2 Man har nu en mistanke om, at koncentrationerne af A har ændret sig. Kan dette bekræftes af kontrolkortene for de følgende 30 dage? Range Chart for Indhold_af_A X-bar Chart for indhold af A 20 UCL = 18,89 12 CTR = 8,93 CTR = 5,40 8 LCL = 0,25 LCL = 0,00 12 8 UCL = 10,55 10 X-bar Range 16 4 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 0 30 0 Subgroup 5 10 15 20 25 30 Subgroup Løsning (håndregning) 1) Det ses, at processen er i kontrol med hensyn til R - kortet, da punkterne fordeler sig tilfældigt omkring centerlinien, og ingen af “alarmkriterierne” er overtrådt. For x - kortets vedkommende er alarmregel 2 (9 punkter i træk over centerlinie) tæt ved at være opfyldt, men da dag 17 lige er placeret på centerlinien, så anses processen også her at være i kontrol 2) Det ses, at for R - kortets vedkommende er alarmregel 3 opfyldt ( 6 på hinanden følgende punkter nemlig dagene 3,4,5,6,7,8 falder i værdi For x - kortets vedkommende er alarmregel 5 (mindst 4 punkter ud af 5 falder udenfor en 1 grænse nemlig dagene 12,13,14,15,16,17). Vi må derfor konkludere, at der er grund til at formode, at en nøjere undersøgelse er påkrævet. Løsning (SAS.JMP) Der oprettes på sædvanlig måde en ny datatabel. Lad første søjle få navnet målinger.Indsæt de første målinger.Vælg som før Control Chart X Bar I menu vælg Process = målinger Sample Size Constant Vælg stikprøvestørelse (eksempelvis 3) mean(range) = 8,4 og mean(stdv)= 9 OK Specify Stats indsæt eksempelvis Der fremkommer nu nogle kontrolkort for xBar og R (hvis det er valgt) og man kan nu løbende sætte sine måleresultater ind i datatabellen. Vælg “rød pil ved overskrift xBar tests alle test Man kan nu løbende se om der sker en overtrædelse af alarmkriterierne Nedenfor er givet et eksempel, hvor der også er indtastet de tre “Zoner” Mean of Column 1 20 1 15 10 U CL=16,11 A B C Avg=9,89 C B 5 A 1 LC L=3,67 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Sam ple 164 8.7 Procesvariablen er diskret 8.7 PROCESVARIABLEN X ER DISKRET. Vi vil her behandle den situation, hvor X enten er binomialfordelt eller Poissonfordelt. 8.7.1: X er binomialfordelt Procesvariablen X er bestemt ved : X = antal enheder med fejl ud af en stikprøve på n. X er binomialfordelt b(n,p). Sædvanligvis benyttes ved kontrol af fejlprocent ikke p, men middelværdien for binomialfordelingen n p som parameter, og man siger man laver et np - kontrolkort. Som beskrevet i forrige afsnit foretages en kontrolkortanalyse, ved at man opdeler i k undergrupper, som hver er karakteriseret ved en bestemt egenskab. For hver undergruppe i på n enheder findes antallet af fejlenheder yi . 1 k yi , fås hermed et estimat for n p . Beregnes nu gennemsnittet y k i 1 y Et estimat for p er derfor p og da spredningen for en binomialfordeling er n p (1 p) n forklarer dette formlerne i oversigt 8.3 Oversigt 8.3 np - kontrolkort. Procesvariablen X er binomialfordelt b(n,p) Forudsætning Centerlinie Der udtages k undergrupper hver på n enheder. For hver undergruppe i findes y antallet af fejlenheder yi . k y i 1 k i Nedre kontrolgrænse Øvre kontrolgrænse y y y 3 y 1 y 3 y 1 n n (dog altid mindst 0) Estimater p y n Eksempel 8.4 (np - kort) En fabrikant af nogle specielle typer keramikfliser som er beregnet til at kunne klare høje temperaturer ønsker udarbejdet et kontrolkort. Ved en løbende produktion af fliser udtoges 40 gange en stikprøve på 100 fliser. De blev undersøgt om de levede op til de forventede kvalitetsmål. Fliser der ikke opfyldte disse krav blev klassificeret som defekte Resultatet var følgende: Gruppe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Antal defekte 8 6 4 4 3 7 3 6 9 5 7 2 6 11 4 6 7 4 9 6 Gruppe 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Antal defekte 6 2 5 7 6 4 6 10 5 5 7 9 3 8 5 3 14 6 4 5 165 8.Statistisk Proceskontrol Løsning (håndregning): Procesvariablen X er bestemt ved : X = antal enheder uden fejl af en produktion på 100 fliser X er binomialfordelt b(100, p) Der er i alt 237 defekte fliser fordelt på 40 stikprøver, dvs. i gennemsnit y 237 5.925 pr. 100 40 fliser.. Af oversigt 8.3 fås derfor kontrolgrænserne y 5.925 ØKG y 3 y 1 5.925 3 5.925 1 5.925 7.0828 13.008 n 100 5.925 NKG 5.925 3 5.925 1 . dvs. NKG = 0 5.925 7.0828 11578 100 Da punkt 37, falder udenfor kontrolgrænserne, foretoges en nærmere undersøgelse af produktionsforholdene på det pågældende tidspunkt, men der blev herved ikke afsløret nogen tegn på væsentlige variationsårsager, jævnfør også, at punkt 37 ikke ligger meget over ØKG. Man sluttede nu, at processen indtil videre kunne betragtes som værende i kontrol med en procestilstand på p y 0.0593 . 100 Løsning SAS.JMP: Data indtastes i en kolonne “antal defekte” Vælg Control Chart NP I menu vælg Process = antal defektemålinger Vælg rød pil på øverste overskrift Tests = ALL tests Show Zones Constant Size = 100 OK Der fremkommer følgende kort Number for antal defekte Control Chart NP of antal defekte 15 1 U CL=13,01 10 Avg=5, 93 5 0 LC L=0,00 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 Sam ple Heraf ses, at der kun er et punkt, hvor alarmkriterierne overtrædes. Ved indførelse på kortet af 2 - grænser og l - grænser ses, at ingen af de alarmgrænser vi omtalte tidligere bliver overtrådt 166 8.7 Procesvariablen er diskret 8.7.2: X er Poissonfordelt Procesvariablen X er bestemt ved : X = antal fejl i en stikprøve på n enheder. X antages Poissonfordelt p( ) Middelværdien af Poissonfordelingen er c n Som beskrevet i forrige afsnit foretages en kontrolkortanalyse, ved at man opdeler i k undergrupper, som hver er karakteriseret ved en bestemt egenskab. For hver undergruppe i på n enheder findes antallet af fejlenheder ci . 1 k Beregnes nu gennemsnittet c k ci , fås hermed et estimat for middelværdien c n . i 1 c Vi har derfor, at et estimat for er ~ , og da spredningen for en Poissonfordeling er n forklarer dette formlerne i oversigt 8.4 Oversigt 8.4 c - kontrolkort. Procesvariablen X er Poissonfordelt P( ) Forudsætning Der udtages k undergrupper hver på n enheder. For hver undergruppe i findes samlet antal fejl ci . Centerlinie k c i 1 ci k Nedre kontrolgrænse Øvre kontrolgrænse c 3 c c 3 c Estimater c n (dog altid mindst 0) Eksempel 8.5.(c - kort) 2 Ved en tekstilproduktion taltes anta1 fejl pr. 100 m klæde. Følgende resultater fandtes (tidsmæssig rækkefølge for produktionen) : nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 antal fejl 3 3 6 3 0 1 3 5 8 7 4 10 5 5 5 4 2 4 5 1 2 0 1 1 4 Med henblik på en kontrolkortanalyse skal konstrueres et c-kort for processen Løsning (håndregning) k c c i 1 k i 92 3.68 25 NKG 3.68 3 3.68 0 , dvs. NKG = 0 ØKG 3.68 3 3.68 9.435 Punktet (12,10) falder uden for kontrolgrænserne, dvs. processen formodes at have været ude af statistisk kontrol på det pågældende tidspunkt. Fjernes den pågældende undergruppe, fås følgende reviderede kontrolgrænser ud fra den reviderede estimerede procestilstand: c1 92 10 3.42 . 24 NKG = 0 (som før), ØKG 3.42 3 3.42 8.96 . Ingen af de resterende punkter falder uden for de reviderede kontrolgrænser. 167 8.Statistisk Proceskontrol Løsning SAS.JMP Hvis den variable er Poissonfordelt dannes et c-kort på samme måde som np-kortet. Kortet med indførelse af 2 - grænser og l - grænser ses nedenfor. c Chart for Antal fejl 10 UCL = 8,96 8 CTR = 3,42 LCL = 0,00 c 6 4 2 0 0 5 10 15 20 25 Observation Da ingen af de alarmgrænser vi omtalte tidligere bliver overtrådt antages derfor, at det reviderede c-kort kan benyttes til løbende kontrol. 168 Opgaver til kapitel 8 OPGAVER Opgave 8.1 Ved en fabrikation af solbærsyltetøj tilstræbtes et gennemsnitligt nettoindhold af ca. 455 g solbærsyltetøj pr. glas. På glasetiketten anførtes: Nettoindhold 450 g. Man havde på fabrikken mistanke om, at en af de automatiske fyldemaskiner havde svært ved at fastholde den ønskede nettovægt, og overvejede at foretage et hovedeftersyn af maskinen. For at afgøre, om et sådant burde foretages, udtog man med 5 minutters mellemrum i alt 18 gange 4 successivt producerede glas fra den omhandlede maskines produktion, og nettoindholdet af solbærsyltetøj bestemtes. Følgende resultater fandtes: Stikprøve nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nettoindhold 452 455 454 453 452 457 458 456 458 455 458 455 456 458 456 456 460 456 454 457 457 457 452 456 452 450 454 453 455 456 456 457 454 459 456 459 x 453.5 455.75 456.5 456.5 456.8 455.5 452.3 456.0 457.0 Stikprøve nr 10 Nettoindhold x 454 456 457 456 11 12 13 14 15 16 17 18 453 457 457 457 453 452 455 453 453 453 458 455 455 449 455 455 448 453 456 455 450 455 450 453 452 448 454 453 454 453 454 450 455.8 456.0 553.3 454.8 453.5 453.0 452.0 452.0 452.8 1) Foretag ved hjælp af x R - kort en kontrolkortanalyse og drag konklusioner med hensyn til, om maskinen synes at trænge til et hovedeftersyn (indsæt punkterne i et kontrolkort med alarmgrænser) . 2) Estimér, hvor stor en del af produktionen der ville være fejlproduktion (underfyldte glas), såfremt maskinen i statistisk kontrol med den i 1) konstaterede variation producerede med et middelindhold på 455g . Opgave 8.2 Med henblik på indførelse af en proceskontrol for en løbende produktion er observeret følgende data: Maskine nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Data 12.9 11.6 13.0 l1.8 12.4 12.7 12.8 12.8 12.5 12.9 14.4 13.4 l1.9 12.3 12.5 12.1 12.7 12.0 13.6 12.0 12.4 13.8 l1.6 12.4 12.0 l1.4 l1.3 13.1 12.2 12.2 Foretag en kontrolkortanalyse med opstilling af x - kort og s - kort. Udarbejd på basis heraf kontrolkort med alarmgrænser. 169 8 Kvalitetskontrol Opgave 8.3 Ved en fabrikation af gips på basis af kalksten ønskedes indført en løbende proceskontrol med x s - kort. Produktets kvalitet vurderedes bl.a. ved måling af DOP - absorptionen (g DOP/100 g pulver). . Ved den indledende kontrolkortanalyse benyttedes successive råvareleverancer som undergrupper, idet der af hver råvareleverance udtoges en stikprøve af størrelsen 5. Herved opnåedes følgende resultater: Gruppe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Sum xi 22.31 19.89 21.56 22.05 21.80 22.45 22.02 21.66 21.56 22.85 22.80 21.99 20.77 21.44 21.90 327.05 si 1.52 5.24 1.33 2.09 0.27 2.45 0.20 4.15 2.75 2.65 1.39 4.04 1.88 1.49 3.67 35.12 1) Udfør en sædvanlig kontrolkortanalyse og vurdér, om processen kan antages at være i kontrol. I det næste spørgsmål forudsættes, at processen under indkørselen var i statistisk kontrol i den i henhold til 1) estimerede procestilstand, og at de udarbejdede kontrolkort derfor benyttes til den løbende kontrol. 2) Hvilket middelniveau bør processen ideelt søges indstillet og fastholdt på, hvis der er fastsat følgende tolerancegrænser for produktionen: NTG = 12.0 ØTG = 25.0 Hvilken fejlprocent vil fabrikationen have med dette middelniveau, når spredningen fortsat antages at være den i henhold til 1) estimerede? 3) Angiv kapabilitetindeks Opgave 8.4 På en papirfabrik fabrikeredes en bestemt papirtype ved en af virksomhedens maskiner. Under fabrikationen måltes løbende værdien af en bestemt egenskab G (vægt/arealenhed). Man tilstræbte et gennemsnitligt niveau på 86.0 og havde ved produktionens påbegyndelse fastsat nedre og øvre tolerancegrænser NTG = 85.5 og ØTG =86.5. Produktionsniveauet kunne reguleres op eller ned ved manuel betjening af maskinen. En betroet formand havde instruks om at søge at holde det anførte gennemsnitlige niveau og at regulere på maskinindstillingen, hvis han skulle finde tegn på at produktionsniveauet var faldet under NTG eller over ØTG. Virksomheden besluttede sig i forbindelse med en eksportaftale til at indføre statistisk kvalitetskontrol og foretog indledningsvis en kontrolkortanalyse af G-værdier fra den omtalte maskine. Da man ikke havde nogen tekniske gruppeinddelingskriterier, lod man tidsmæssig nærhed være kriterium og valgte rationelle undergrupper på to på hinanden følgende observationer. Herved fremkom følgende gruppeinddeling: 170 Opgaver til kapitel 8 Gruppe 1 2 3 4 5 6 7 G-værdi 87.2 85.8 85.8 85.7 86.6 86.1 85.6 86.4 85.6 85.8 86.4 86.1 86.0 86.0 Gruppe 14 15 16 17 18 19 20 G-værdi 84.7 85.8 85.6 85.5 85.3 85.3 85.8 85.4 87.7 85.6 85.2 85.0 85.6 86.1 8 86.0 85.9 21 86.3 86.3 9 10 11 12 86.2 85.3 85.4 85.6 86.8 85.1 85.0 85.5 22 23 24 25 87.0 87.0 87.3 87.0 86.8 87.6 87.2 86.8 13 86.7 85.3 26 86.9 87.3 1) Opstil som led i kontrolkortanalysen R - kort og vurder om processen efter eventuel fjernelse af enkelte punkter på kortet har været i statistisk kontrol med hensyn til spredning. 2) Estimer på grundlag af R - kortanalysen processens spredning . 3) Opstil som led i kontrolkortanalysen x - kort og vurder, om processen efter eventuel fjernelse af enkelte punkter på kortet har været i statistisk kontrol med hensyn til niveau. 4) Beregn. idet processen antages indstillet på et gennemsnitligt niveau på 86.0, og processen på det pågældende tidspunkt antages at være i statistisk kontrol med den under punkt 2 estimerede - værdi, sandsynligheden p for, at den undersøgte procesvariabel antager en værdi uden for det anførte toleranceinterval. Efter kontrolkortanalysen bestemte driftsledelsen sig til at fortsætte med at føre kontrol med produktionen ved hjælp af x - og R - kort. I forbindelse hermed fastsatte man nye tolerancegrænser for produktionen (de tidligere grænser var blevet fastsat ret tilfældigt af driftsledelsen). 5) Angiv med motivering, hvilke tolerancegrænser du på grundlag af den foretagne kontrolkortanalyse ville fastsætte, såfremt man fortsat ønskede et gennemsnitligt niveau på 86.0 og ikke ønskede at gøre toleranceintervallet bredere, end den pågældende produktion nødvendig- gjorde. Opgave 8.5 Fra en fyldeproces er udtaget 25 stikprøver af størrelsen 400. En enhed siges at være underfyldt, hvis enheden er påfyldt mindre end 95g. Antallet af underfyldte enheder i hver stikprøve er optalt. Følgende data fandtes: Stikprøve nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 Antal underf. 6 14 10 4 13 9 7 11 15 13 5 14 11 8 15 11 9 21 6 12 6 12 8 15 14 enh. Sum 269 Foretag en kontrolkortanalyse og opstil kontrolkort, der kan benyttes til løbende kontrol. 171 9.Statistisk godkendelseskontrol 9. STATISTISK GODKENDELSESKONTROL 9.1 INDLEDNING. Vi vil i dette kapitel betragte problemer af følgende type: Eksempel 9.1. Problemstilling Fra en leverandør til en aftager kommer varer i partier bestående af N emner. Hvert parti kan karakteriseres ved en ukendt procent af fejlemner , som kan variere fra parti til parti. Hvis denne fejlprocent er stor, vil aftageren ikke godkende partiet. Hvorledes afgøres, om et parti skal godkendes eller forkastes? I visse tilfælde er fejlene ved produktionen så uvæsentlige (måske kun skønhedsfejl) at aftagerne ud fra økonomiske overvejelser i en periode har foretrukket helt (eller næsten helt) at undlade en godkendelseskontrol, dvs. leverancerne accepteres uden inspektion. Omvendt kan der være situationer, hvor konsekvenserne af godkendelse af fejlproduktion er så alvorlige, f.eks. helbredsmæssige konsekvenser for forbrugere af medicin (kritiske fejl), at l00%kontrol principielt er nødvendig. Produktionen må tilrettelægges, så kritiske fejl ikke forekommer. Sædvanligvis vil det imidlertid hverken være økonomisk rentabelt ikke at have nogen godkendelseskontrol (mange fejl giver mange klager og store erstatningsomkostninger) eller have en 100% - inspektion af hvert parti (inspektionsomkostningerne bliver for store). Inspektion af alle emner i et parti stammende fra en massefabrikation af “ens” artikler vil erfaringsmæssigt alligevel sjældent giver 100% sikkerhed. Der hævdes at være erfaringer om, at en 100% inspektion af et meget stort antal emner kan være ned til kun 80% effektiv, dvs. at op til 20% af de defekte emner kan slippe igennem kontrollen ved en sådan 100% inspektion (på grund af kedsommeligt rutinearbejde). Hvis kontrollen er destruktiv (bevirker at emnet ødelægges), er en total inspektion naturligvis umulig. Det mest økonomiske er sædvanligvis at foretage en stikprøvekontrol, udtage nogle emner fra partiet og på grundlag af en vurdering af disse at afgøre, om partiet skal godkendes eller forkastes. Dette medfører naturligvis, at uanset at kontrollen i gennemsnit fungerer godt, løber aftageren en vis risiko for, at et parti af dårlig kvalitet bliver accepteret, og leverandøren tilsvarende en risiko for, at et parti af god kvalitet bliver forkastet. Indirekte kan godkendelseskontrollen i høj grad påvirke kvaliteten af en produktion gennem det pres, der lægges på producenten, om at forbedre kvaliteten af det fremstillede produkt, såfremt mange leverancer bliver forkastet ved kontrollen. Hvis vurderingen af de udtagne emner baseres på en bedømmelse af hvert emne som fejlfrit eller defekt, taler man om “partikontrol ved alternativ variation”. Hvis vurderingen baseres på en måling af en kvantitativ egenskab ved hvert emne såsom diameteren af en aksel, , taler man om “partikontrol ved kontinuert variation”. Vi vil i det følgende kun gennemgå “partikontrol ved alternativ variation”. Med hensyn til kontrol med andre egenskaber, f.eks. middelværdi og spredning, henvises til egentlige bøger om kvalitetskontrol. 172 9.2. Enkelt stikprøveplan 9.2. ENKELT-STIKPRØVEPLAN Denne stikprøveplan er den mest benyttede i praksis på grund af, at den er så let at administrere. Definition af enkelt stikprøveplan. Lad n være et positivt helt tal, og lad c være et ikke-negativt helt tal, hvor c n . Ved en enkelt - stikprøveplan (n,c) udtages tilfældigt en stikprøve af størrelsen n, og antallet x af defekte i stikprøven optælles. Partiet godkendes, såfremt x c ; partiet forkastes, såfremt x c . n kaldes stikprøvestørrelsen. c kaldes godkendelsestallet. Eksempel 9.2. Enkelt stikprøveplan Et legetøjsfirma modtager leverancer bestående af 10.000 billige dukker, og ønsker at kontrollere disses kvalitet ved stikprøveplanen (n, c) (100,3) . Angiv hvorledes kontrollen skal foregå. Løsning: Af hver leverance (på 10.000 dukker) udtages en stikprøve på 100. Hvis 3 eller færre af disse er defekte godkendes hele leverancen, ellers forkastes det. OC-kurve for en stikprøveplan For en given stikprøveplan kan man beregne sandsynligheden for at et parti bliver godkendt (acceptsandsynligheden pa ) som funktion af partiets fejlprocent. Grafen for denne funktion kaldes funktionens OC-kurve. Beregning af acceptsandsynlighed. Der udtages en stikprøve på n emner uden tilbagelægning ud af en leverance på N emner. Lad c være godkendelsestallet. X = antal fejlemner blandt n emner. Lad sandsynligheden for fejl i leverancen være p. Acceptsandsynligheden er pa ( p) P( X c) . Der er M N p fejlemner i partiet, dvs. X er hypergeometrisk fordelt h (N, M, n). Sædvanligvis vil det gælde, at n 1 , og derfor kan approksimeres med binomialfordelingen N 10 b(n, p). Eksempel 9.3. Beregning af OC - kurve. Et legetøjsfirma modtager leverancer bestående af N = 10.000 dukker, og ønsker at kontrollere disses kvalitet ved stikprøveplanen (n, c) (100,3) . Beregn acceptsandsynligheden pa for fejlprocenterne 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9 10, og tegn på grundlag heraf stikprøveplanens OC - kurve. Løsning: X = antal fejlemner blandt n = 100 emner. Er sandsynligheden for fejl p i leverancen er der M N p 10000 p fejlemner i partiet. X er derfor hypergeometrisk fordelt h(10000, 10000 p , n) 173 9.Statistisk godkendelseskontrol n 100 1 kan fordelingen for X approksimeres med binomialfordelingen b(100, p). N 10000 10 Vi finder da eksempelvis, at Pa (0.02) P( X 3) binomCdf(100, 0.02, 0, 3) = 0.859. På tilsvarende måde findes de øvrige værdier. 100p% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 7.4 3.6 1.7 0.8 100 Pa ( p) % 98.2 85.9 64.7 42.9 25.8 14.3 Da OC kurve Acceptsandsynlighed n=100, c=3 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 4 8 12 16 20 Fejlprocent 100 p Valg af parametre i enkelt-stikprøveplan. Til bestemmelse af stikprøvestørrelsen n og godkendelsestal c vælger de to parter, leverandør (producer) og aftager (consumer) to “risikopunkter” som på OC - kurven skal gå igennem. 1) den tilfredsstillende kvalitet AQL (Acceptable Quality Level), og den tilsvarende acceptsandsynlighed Pa ( AQL) 1 , hvor kaldes “leverandørens risiko”. (AQL,1 - ) kaldes leverandørens risikopunkt. 2) den utilfredsstillende kvalitet LQ (Limiting Quality), og den tilsvarende acceptsandsynlighed Pa ( LQ) , hvor kaldes “aftagerens risiko”. ( LQ, ) kaldes aftagerens risikopunkt. De to risikopunkter må altid vælges ud fra de konkret foreliggende forhold (tekniske, økonomiske m.v.), idet AQL sættes lig en “lille" fejlandel pG, og LQ sættes lig en noget større fejlandel pK. (jævnfør den følgende figur) Traditionelt vælges næsten altid = 5% og =10%. Undertiden vælges dog = 5%. . 174 9.2. Enkelt stikprøveplan En enkelt stikprøveplan er i princippet fastlagt ved disse specifikationer og kan approksimativt bestemmes ved hjælp af tabel 9.1. Eksempel 9.4. Bestemmelse af stikprøveplan. Ved levering af et partier på 10.000 dukker træffer en leverandør og en aftager aftale om at vælge en enkelt - stikprøveplan bestemt ved, at acceptsandsynligheden i tilfælde af 0.6% defekte dukker i partiet skal være 95%, og i tilfælde af 3,1% defekte skal være ca. 10%. Bestem stikprøvestørrelsen n og godkendelsestallet c. Løsning: pk LO 31 . 51667 . Idet AQL =0,6% og LQ = 3,1% er R = . AQL pG 0,6 I tabel 9.1 i kolonnen for = 5% og =10% fås, at det største tal mindre end 5.17 er 4.89. Dette svarer til, at godkendelsestallet c = 3. I kolonnen for n pG 137 n n p g og = 5% findes 137 228.33 229 0.6 Vi finder derfor c = 3 og n = 229 Beregning af stikprøveplan I stedet for at benytte tabellen kan man da p-værdierne er små (forhåbentlig højst 10%) approksimere binomialfordelingen b(n,p) med Poissonfordelingen P( ) hvor n p . Benyttes tallene fra eksempel 2.4 haves n pk p LO 31 . k 51667 . k 51667 . IdetAQL =0,6% og LQ = 3,1% er R , eller R . AQL p G 0,6 n pG g Vi har nu: P(Y c) 010 . PoisCdf ( y ,0, c) 010 . og P( X c) 0.95 PoisCdf ( x ,0, c) 0.95 Gæt på c: c = 5: solve(PoisCdf(x,0,5)=0.10,x) x>0 Resultat x = 9.27 solve(PoisCdf(y,0,5)=0.95,y) y>0 Resultat y = 2.61 c = 4: x =7.99 y = 1.97 R = 4.05 175 R 9.27 35 . 2.61 9.Statistisk godkendelseskontrol c=3: x = 6.68 y= 1.37 R = 4.87 c=2 x = 5.32 y= 0.82 R = 6.49 Vi vælger nu det nærmeste tal under den ønskede værdi for R = 0.5167, dvs c = 3 Vi har nu for c = 3: n p K x n 6.68 215 0031 n pG x n 137 . 229 0006 Konklusion: (n,c) = (229,3) 9.3. REKTIFICERENDE KONTROL. Undertiden aftales, at stikprøvekontrollen skal udføres på den måde, at leverandøren underkaster alle kasserede partier 100% - inspektion og “renser" disse partier, dvs. erstatter fejlemner med fejlfrie emner. En sådan kontrol kaldes for “rektificerende kontrol” (rensende kontrol). En sådan aftale kan eksempelvis ske ved leverancer inden for samme virksomhed (intern kontrol) eller hvis en (dominerende) storaftager ikke er sikker på, at en leverandør kan overholde aftagerens krav til AQL - værdi. I forbindelse med fastlæggelse af en enkelt stikprøveplan med rektificerende kontrol spiller følgende begreber en stor rolle. AOQ (Average Qutgoing Quality): Fejlandelen af de udgående partier når de indkommende partier produceres af en proces, der med en sandsynlighed på p frembringer fejlemner. AOQ p Pa ( p) . Der gælder formlen Bevis: Det modtagne parti har en “fejlsandsynlighed” på p , og sandsynligheden for at dette parti bliver godkendt er Pa ( p) . Det udgående parti (efter den rektificerende kontrol), vil derfor have en “fejlsandsynlighed” pu på enten p eller på 0 afhængig af om det blev godkendt eller ej. Vi får derfor: AOQ E ( pu ) p Pa ( p) 0 (1 Pa ( p) p Pa ( p) AOQL (Average Outgoing Quality Limit): Den maksimale værdi af AOQ. ATI (Average Total Inspection): Den gennemsnitlige totale inspektionsstørrelse når de indkomne partier produceres af en proces, der med en sandsynlighed på p frembringer fejlemner. Der gælder formlen ATI n ( N n) (1 Pa ( p)) Bevis: Lader vi nT betegne det totale antal inspicerede emner ved en rektificerende kontrol, må det gælde, n med sandsynligheden Pa ( p) N med sandsynligheden 1 Pa ( p) at nT Middelværdien bliver E (nT ) n Pa ( p) N (1 Pa ( p)) n ( N n) (1 Pa ( p)) Det følgende eksempel illustrerer beregningerne. Eksempel 9.5 Rektificerende kontrol. Vi betragter atter den i eksempel 9.4 omtalte situation, med kontrol af dukker, idet man har valgt enkeltstikprøveplanen (n,c) = (229, 3). Vi antager nu, at der yderligere er aftalt, at kontrollen udføres som rektificerende kontrol. Beregn acceptsandsynligheden AQL og ATI for p = 2%. Løsning: Da vi har et stort parti kan approksimeres med binomialfordelingen b(229, 0.02) Pa (0.02) P( X 3) = binomCdf(229, 0.02, 0, 3) = 0.326. og dermed og ATI 229 (10000 229) (1 0.326) 68112 . 176 9.4.Dobbelt stikprøveplan 9.4. DOBBELT STIKPRØVEPLAN Anvendelsen af dobbelt-stikprøveplaner er administrativt noget besværligere end benyttelsen af enkelt-stikprøveplaner. Er det imidlertid meget dyrt (besværligt) at kontrollere emnerne, er det væsentligt at stikprøvestørrelsen bliver så lille som muligt og man kan i sådanne situationer se en fordel i at gå over til en dobbelt-stikprøveplan. Den gennemsnitlige stikprøvestørrelse vil derved ofte kunne formindskes i forhold til stikprøvestørrelsen n for en enkelt stikprøveplan (n,c), som går igennem de samme risikopunkter. Definition af dobbelt stikprøveplan. Lad n1 og n2 være positive hele tal, og lad c1 , c2 og c3 være ikke- negative hele tal, hvor c1 c2 n1 og c2 c3 n1 n2 . Ved en dobbelt-stikprøveplan (n1 , n2 , c1 , c2 , c3 ) udtages tilfældigt en stikprøve af størrelsen n1 og antallet x1 af defekte i stikprøven optælles. Partiet godkendes, såfremt x1 c1 ; partiet forkastes, såfremt x1 c2 . Såfremt c1 x1 c2 udtages en ny stikprøve af størrelsen n2 og antallet x 2 af defekte i den anden stikprøve optælles. Partiet godkendes, såfremt x1 x 2 c3 ; partiet forkastes, såfremt x1 x 2 c3 Skematisk kan en dobbelt stikprøveplan fremstilles på følgende måde: Som det fremgår, forudsætter fastlæggelsen af en bestemt dobbelt-stikprøveplan valg af stikprøvestørrelserne n1 og n2 og de tre tal c1 , c2 og c3 . Hvorledes dette valg påvirker beslutningen om accept eller forkastelse af modtagne varepartier, som underkastes kontrol i henhold til en dobbelt-stikprøveplan, illustreres som ved enkelt- stikprøveplaner af den til planen hørende OC-kurve. 177 9.Statistisk godkendelseskontrol Bestemmelse af en dobbelt-stikprøveplan OC-kurven for den valgte plan skal på samme måde som ved enkelt-stikprøveplan så vidt muligt gå gennem de 2 risikopunkter ( pG ,1 ) og ( pk , ) . Dette er imidlertid ikke tilstrækkeligt til en entydig bestemmelse af en dobbelt-stikprøveplan. En sådan bliver derimod mulig ved valg af ekstra bånd mellem parametrene. Sædvanligvis forlanger man, at n2 n1 eller n2 2 n1 . Endvidere vælges ofte c3 c2 , hvilket har vist sig ikke at hindre, at man i praksis altid kan bestemme en velegnet dobbelt-stikprøveplan. På samme måde som for enkelte stikprøveplaner er der for dobbelte stikprøveplaner udarbejdet tabeller. Tabel 9.2 er en sådan tabel, hvor, n2 n1 eller n2 2 n1 , c3 c2 , 5% og 10% . ASN (Average Sample Number):Værdien af den gennemsnitlige stikprøvestørrelse for en given værdi af “produktionskvaliteten p. Der gælder formlen ASN n1 n2 P(c1 X 1 c2 ) Formlen fremgår af, at der altid udtages en stikprøve på n1 og der så yderligere udtages n2 med en sandsynlighed på P(c1 X 1 c2 ) . Ækvivalente stikprøveplaner er stikprøveplaner, der går gennem de samme risikopunkter. Som nævnt er fordelen ved de dobbelte stikprøveplaner i forhold til de enkelte stikprøveplaner, at for ækvivalente stikprøveplaner, vil den gennemsnitlige stikprøvestørrelse være mindre for de fleste (alle) værdier af p. Eksempel 9.6 Bestemmelse af en dobbelt-stikprøveplan. Ved levering af et partier på 10.000 dukker træffer en leverandør og en aftager aftale om at vælge en dobbelt - stikprøveplan (n1 , n2 , c1 , c2 , c3 ) som er ækvivalent med den i eksempel 9.9 angivne enkelte stikprøveplan, dvs. at acceptsandsynligheden i tilfælde af 0.6% defekte dukker i partiet skal være 95%, og i tilfælde af 3.1% defekte skal være ca. 10%. 1) Bestem stikprøveplanens parametre, idet vi ønsker, at n2 2 n1 , og c3 c2 . 2) Skitser OC-kurven på basis af de 4 støttepunkter man kan beregne ud fra tabellen 3) Find acceptsandsynligheden for p = 2% ved aflæsning på kurven. 4) Find acceptsandsynligheden for p = 2 % ved direkte beregning. 5) Find ASN for de to risikopunkter, samt for p = 4 %. LØSNING: pk LO 31 . 51667 . 1) Idet AQL =0,6% og LQ = 3,1% er . AQL pG 0,6 I tabel 9.2 ud for række 9 fås, at det største tal mindre end 5.17 er 5.09. Dette svarer til, at c1 1 og c2 4 . Endvidere fås n1 pG 77 n1 Vi finder derfor (n1 , n2 , c1 , c2 , c3 ) = (129 , 258 ,1 , 4 , 4). 178 77 128.33 . 0.6 9.4.Dobbelt stikprøveplan 2) Pa (0) 100% Pa (0.006) 95% :Leverandørens risiko må være ca. 5%, da vi her beregnede n1 ud fra pG 0.006 . 392 3.04% , dvs. Af række 9, fås, at pa ( p K ) 10% for n1 p K 392 p K 129 Pa (0.0304) 10% . Aftagerens risiko på 10% opnås for p = 3.0%, altså lidt mindre end den aftalte på 3.1%. Dette skyldes, at tabellen ikke indeholder forholdet 5.17. Af række 9, fås, at pa ( p) 50% for n1 p 197 p Pa (0.015) 50% . Vi har altså fundet følgende tabel: 197 153% . , dvs. 129 100 p % 0 0.6 1.5 3 100 Pa ( p) % 100 95 50 10 3)Af kurven fås, at Pa (0.02) 31% 4) X1 =antal fejlemner blandt n1 = 129 emner X2 = antal fejlemner blandt n2 = 258 emner X1 og X2 er hypergeometrisk fordelt, men da n 1 kan approksimeres med en N 10 binomialfordeling. Man får en accept på 2 måder: Ved 1. stikprøve på 129, at få højst 1 defekt. eller Ved 1. stikprøve på 129 at få over 1 og mindre end eller lig 4, og i alt på 1. og 2. stikprøve højst at have fået 4. Pa (0.02) P( X 1 1) P( X 1 2) P( X 2 2) P( X 1 3) P( X 2 1) P( X 1 4) P( X 2 0) P( X 1 1) = binomCdf(129, 0.02, 0 , 1) = 0.2682 179 9.Statistisk godkendelseskontrol P( X 1 2) P( X 2 2) P( X 1 3) P( X 2 1) P( X 1 4) P( X 2 0) = binomPdf(129, 0.02, 2) binomCdf(258, 0.02, 0, 2) +binomPdf(129, 0.02, 3) binomCdf(258, 0.02, 0, 1) +binomPdf(129, 0.02, 4) binomCdf(258, 0.02, 0,0) =0.03602 Pa (0.02) 0.2682 0.0360 0.3042 30,4% 5) ASN 129 258 P(1 X 1 4) 100 p % 0 P(1 X 1 4) 0 ASN 129 0.6 3.1 4 binomCdf(129, 0.006,2,4) = 0.181 binomCdf(129, 0.0304,2,4) = 0.550 binomCdf(129, 0.04,2,4) =0.3759 175.6 129+258 0.55 =270.6 129+258 0.376 =226.0 Det ses som forventet, at for meget gode partier og for meget dårlige partier, vil den gennemsnitlige stikprøvestørrelse blive mindre end de 229 vi fandt ved den ækvivalente enkelte-stikprøveplan. 180 Tabel 9.1.Bestemmelse af enkelt - stikprøveplaner Tabel 9.1. Bestemmelse af enkelt - stikprøveplaner R pk pg pG og pk regnes i procenter c 1% 5% 10 1% 5% 10% n pG 1% 5% 10% 1% 5% 10% 1% 5% 10% 0 458 298 229 89.8 58.4 45.1 43.2 28.1 21.8 1.0 5.1 10.5 1 44.7 31.9 26.2 18.7 13.3 11.0 12.7 8.97 7.40 14.9 35.5 52.8 2 19.3 14.4 12.2 10.3 7.70 6.50 7.65 5.72 4.84 43.6 81.8 110 3 12.2 9.42 8.12 7.35 5.68 4.89 5.77 4.46 3.83 82.3 137 174 4 9.07 7.16 6.25 5.89 4.65 4.06 4.77 3.77 3.29 128 197 243 5 7.34 5.89 5.20 5.02 4.02 3.55 4.16 3.33 2.95 179 261 315 6 6.25 5.08 4.52 4.44 3.60 3.21 3.74 3.03 2.71 233 329 389 7 5.51 4.52 4.05 4.02 3.30 2.96 3.44 2.81 2.53 291 398 465 8 4.96 4.12 3.71 3.71 3.07 2.77 3.20 2.65 2.39 351 470 544 9 4.55 3.80 3.44 3.46 2.90 2.62 3.02 2.52 2.28 413 543 623 10 4.22 3.56 3.23 3.27 2.75 2.50 2.87 2.42 2.20 477 617 701 11 3.96 3.35 3.06 3.10 2.63 2.40 2.75 2.32 2.12 543 692 784 12 3.74 3.19 2.92 2.97 2.53 2.31 2.64 2.25 2.06 610 769 865 13 3.56 3.05 2.80 2.85 2.44 2.24 2.55 2.19 2.00 678 846 950 14 3.40 2.93 2.69 2.75 2.37 2.18 2.51 2.16 1.96 748 925 1030 15 3.27 2.82 2.60 2.67 2.30 2.12 2.41 2.08 1.91 818 1000 1110 181 9.Statistisk godkendelseskontrol Tabel 9.2: Bestemmelse af dobbelt stikprøveplan. =5%, =10%; c3 c2 . p regnet i %. Pa ( p) Plan nr pK pG n2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 14.50 11.90 8.07 7.54 6.79 6.48 5.39 5.39 5.09 4.65 4.31 4.25 4.19 3.88 3.63 3.60 3.38 3.26 3.21 3.09 21 2.96 22 2.85 23 2.77 24 2.62 25 26 27 28 29 30 31 32 2.60 2.46 2.44 2.32 2.22 2.21 2.12 1.97 2 n1 n1 2 n1 n1 n1 2 n1 n1 2 n1 2 n1 n1 2 n1 n1 2 n1 n1 n1 2 n1 n1 2 n1 n1 n1 2 n1 n1 2 n1 2 n1 n1 2 n1 n1 n1 n1 2 n1 n1 2 n1 c1 c2 95% ( p G ) 50% n1 p 10% ( p K ) 0 0 0 1 0 1 1 0 1 2 0 1 1 2 3 1 2 2 3 4 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 8 7 8 16 21 30 52 43 60 76 49 77 116 68 104 96 143 187 116 172 168 215 262 84 100 107 182 142 180 211 135 197 290 164 250 218 320 398 244 356 328 427 502 232 250 242 392 296 389 411 264 392 539 293 442 402 555 678 417 582 547 691 810 3 10 227 413 672 4 9 290 533 826 3 11 246 436 682 4 13 307 521 805 5 4 5 5 5 3 5 4 11 14 12 13 14 15 16 20 368 329 400 435 470 341 539 475 640 540 673 706 752 540 840 702 956 811 977 1008 1045 755 1141 935 182 Opgaver til kapitel 9 Opgaver Opgave 9.1 En fabrik fremstiller billige disketter. Disketterne pakkes i kasser, som hver indeholder 100 disketter. Produktionen er i statistisk kontrol, og det vides, at der i gennemsnit er 1 defekt diskette ud af 125 disketter . 1) Angiv øvre og nedre kontrolgrænse for et kontrolkort, baseret på, at man hver time udtager en kasse på 100 disketter, og optæller antallet af defekte disketter. En forretningskæde med 5 forretninger køber hver måned et stort antal disketter fra fabrikken. Kæden træffer aftale med fabrikanten om at benytte en enke1t-stikprøveplan med følgende specifikationer: Ved den tilfredsstillende kvalitet: fejlprocent 0.8, skal leverandørens risiko være 10%. Ved den utilfredsstillende kvalitet: fejlprocent 3, skal aftagerens risiko være 10%. 2) Bestem stikprøvestørrelsen n (afrund til nærmeste med 100 delelige tal) og godkendelsestallet c. 3) Beregn aftagerens risiko ved en fejlprocent på 3. 4) Hver af de 5 forretninger foretager ovennævnte stikprøvekontrol. Hvis produktionen er i statistisk kontrol således, at der som nævnt i gennemsnit forekommer 1 defekt diskette ud af 125 disketter, beregn da sandsynligheden for, at fabrikanten får et parti godkendt, a) i 2 forretninger ud af de 5, b) i alle 5 forretninger . Opgave 9.2 Ved en statistisk partikontrol ved alternativ variation fastsættes en enkelt-stikprøveplan ved følgende specifikationer: Ved den tilfredsstillende kvalitet: fejlprocent 3, skal leverandørens risiko være 5%. Ved den utilfredsstillende kvalitet: fejlprocent 8, skal aftagerens risiko være 5%. 1) Bestem stikprøvestørrelsen n (afrund til nærmeste med 10 delelige tal) og godkendelsestallet c. 2) Beregn for den valgte stikprøveplan acceptsandsynlighederne Pa (0.04), Pa (0.05), Pa (0.06), Pa (0.07), Pa (010 . ). 3) Skitsér stikprøveplanens OC-kurve. Opgave 9.3 En kemisk fabrik bestemte sig for at indføre kontrol med kvaliteten af en produktion, som virksomhedens halvfabrikatafdeling leverede til færdigvareafdelingen. Kontrollen udførtes som partikontrol ved alternativ variation med en enkelt-stikprøveplan fastlagt ved følgende specifikationer: Ved den tilfredsstillende kvalitet, fejlprocent 2, skal leverandørens risiko være 1%. Ved den utilfredsstillende kvalitet, fejlprocent 10, skal aftagerens risiko være 1%'. 1) Bestem stikprøveplanens parametre. stikprøvestørrelsen n (der rundes op til et med 10 deleligt tal) og godkendelsestallet c. 183 9.Statistisk godkendelseskontrol Halvfabrikatafdelingen havde en dagsproduktion på 2500 emner. og stikprøvekontrollen foretoges én gang daglig på den samlede dagsproduktion. Efter nogen tids forløb bestemte man sig til med bibeholdelse af den valgte enkelt-stikprøveplan at udføre kontrollen som en rektificerende kontrol. 2) Idet l00p' angiver de til kontrollen indgående partiers fejlprocent og l00pu de fra kontrollen udgående partiers fejlprocent, ønskes E(pu ) bestemt for følgende værdier af p': p' 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.08 0.10 3) Angiv grafisk E(pu) som funktion af p'. 4) Bestem , idet nT betegner det totale antal emner, som inspiceres ved den rektificerende kontrol, E(nT ) for den værdi af p', for hvilken E(pu) er størst. Opgave 9.4 En enkelt -stikprøveplan ønskes fastlagt ved følgende specifikationer: Tilfredsstillende kvalitet AQL: pG 10% . . Leverandørens risiko: ca 5% . Utilfredsstillende kvalitet LQ: pk 7.0% . Aftagerens risiko: ca 10% . 1) Bestem stikprøveplanens parametre. 2) Bestem den ækvivalente dobbelte stikprøveplans parametre, idet der yderligere er givet, at stikprøvestørrelserne: n2 2 n1 , og godkendelsestallene: c3 c2 3) Skitsér OC - kurven på basis af de 4 støttepunkter man kan beregne på basis af tabellen, samt for p = 4%. 4) Beregn den gennemsnitlige stikprøvestørrelse ASn for de to risikopunkter, samt for p = 4% og for p = 10% og afbild resultatet grafisk. 5) Giv på basis heraf en vurdering af om det ville være en fordel at gå over til den dobbelte stikprøveplan. Opgave 9.5 Ved en kontrol af en bestemt type installerede husholdningsgasmålere udførtes en stikprøvekontrol af disse ved anvendelse af en dobbelt-stikprøveplan. Man valgte en procedure, hvorved målere fra samme årgang (partistørrelse ca. 2000) med 4 års mellemrum kontrolleredes ved stikprøveudtagning. En dobbelt-stikprøveplan ønskes fastlagt ved følgende specifikationer: Stikprøvestørrelserne: n2 n1 , Godkendelsestallene: c3 c2 Tilfredsstillende kva1itet AQL: pG 2.4% . Leverandørens risiko: ca 5% . Utilfredsstillende kvalitet LQ: pk 9.0% . Aftagerens risiko: ca 10% . 1) Bestem dobbelt-stikprøveplanens parametre. 2) Skitsér OC - kurven på basis af de 4 støttepunkter man kan beregne på basis af tabellen. 3) Bestem den gennemsnitlige stikprøvestørrelse for de ovenanførte p -værdier . 4) I praksis udførtes kontrollen som rektificerende kontrol, således at alle målere af den undersøgte årgang udskiftedes med nye målere, såfremt “partiet" kasseredes. 5) Beregn for hver af de oven anførte p -værdier den gennemsnitlige fejlprocent efter kontrollen og angiv approksimativt den maksimale gennemsnitlige fejlprocent AOQL. 184 10.1.Indledning 10 ANTALSTABELLER 10.1. INDLEDNING Vi vil i dette kapitel betragte observationer, som bliver katalogiseret i klasser (categorical data). Et eksempel herpå er følgende: Eksempel 10.1.(antalstabel) Et ministerium planlægger en oplysningskampagne om de fysiske og psykiske virkninger af at ryge hash. Før kampagnen viste en undersøgelse at 7% af indbyggerne ønskede at hash blev legaliseret, 65% at man beholde det nuværende forholdsvis liberale straffepolitik, 18 % ønskede strengere straffe og 10 % havde ingen mening. Efter kampagnen spurgte man 500 personer (repræsentativt udvalgt) , og svarene fremgik af følgende tabel. Legalisering Efter eksisterende lov Efter kampagnen 39 336 Strengere straf Ingen mening 99 26 Kan man på dette grundlag vise på et signifikansniveau på 0.01 ,at kampagnen har betydet en ændring af folks mening? Af central betydning for testning af sådanne spørgsmål er begrebet “multinomial eksperiment”. Definition af et multinomialt eksperiment. 1) Lad et eksperiment have k mulige udfald. Disse udfald kaldes “klasser”, “ kategorier” eller “celler” 2) Eksperimentet gentages n gange uafhængigt af hinanden. 3) Sandsynligheden for de k udfald er p1, p2, . . . , pk (hvor p1 + p2 + . . . + pk =1) er de samme ved de n gentagelser. 4) De statistiske variable der er af interesse er antallet n1, n2, . . . , nk i hver af de k klasser. Betragter vi eksempel 10.1 ses, at betingelserne er opfyldt: Eksperimentet består i tilfældigt at udtage n = 500 personer af en stor population og spørge dem om strafferammen for besiddelse af hash 1) Udfaldene er svar på spørgsmålet, og der er k = 4 (og kun 4) svarmuligheder (4 klasser). 2) Resultatet af hvad en person svarer vil være uafhængigt af hvad de øvrige svarer. 3) Sandsynligheden for udfaldene i de 4 klasser vil være p1, p2, p3 og p4 , hvor disse sandsynligheder er ukendte. 4) De statistiske variable Xi er antal personer blandt 500 som har en af de i meninger om straffen for hash. Den test der anvendes kaldes en 2 test. Kort beskrevet bygger testen på, at man under forudsætning om at nulhypotesen er sand for hver klasse beregner en forventet værdi Ei. Kaldes den tilsvarende observerede værdi for Oi så beregnes summen 2 k i 1 Oi E i 2 Ei Det er klart, at ligger de observerede værdier tæt ved de forventede værdier, så er summen lille, mens den bliver stor hvis de ligger langt fra hinanden. Man kan vise, at størrelsen 2 er 2 -fordelt, med et frihedsgradstal på f k 1 m , hvor k er antal klasser og m er det antal parametre der må benyttes til beregningen af de forventede værdier. 185 10 Antalstabeller En forudsætning for denne test er, ingen af klasserne har en forventet værdi under 1, og at mindst 80% af klasserne har en forventet værdi over 5. 2 testen er nøjere beskrevet i oversigt 10.1 og 10.2. Sædvanligvis vil man benytte et program til beregningerne Metoden belyses i de følgende eksempler. 10.2. EN-VEJS TABEL Eksempel 10.1.(fortsat) Kan man på det i eksempel 10.1 angivne grundlag vise på et signifikansniveau på 0.01 ,at kampagnen har betydet en ændring af folks mening? Løsning: Lad X1= antal personer blandt 500 , der går ind for legalisering. P(X1) = p1. X2= antal personer blandt 500 , der går ind for den nuværende straffepolitik. P(X2) = p2. X3= antal personer blandt 500 , der går ind for en strengere straf. P(X3) = p3. X4= antal personer blandt 500 , der ingen mening har. P(X4) = p4. Vi ønsker at teste nulhypotesen H 0 : p1 0.07, p2 0.65, p3 018 . , p4 010 . mod den alternative H: “Mindst én af sandsynlighederne afviger fra den angivne værdi i nulhypotesen.” Vi beregner nu de forventede værdier, forudsat nulhypotesen er sand. Resultatet opstilles i det følgende skema: nr 1 2 3 4 Før kampagnen 7% 65% 18% 10% Ei= Forventet antal 500 0.07 35 500 0.65 325 Oi= Observeret antal 39 336 500 018 . 90 500 01 . 50 99 26 Da alle de forventede værdier er større end 5 er forudsætningerne for at kunne foretage en test opfyldt. Da vi ikke har anvendt nogle parametre ved beregningerne af de forventede værdier, er 2 fordelt med frihedsgradstallet f = k - 1 = 4 - 1 = 3 2 TI 89: APPS, STAT/LIST F6:Test Indtast observeret antal i list1 og forventet antal i list2 7: Chi2 GOF ENTER Udfyld menuen ENTER TI-Nspire: Lister og regneark Indtast observeret antal i liste x og forventet antal y statistik statistiske test χ2 -Godness of fit test Udfyld menu Enter P - value = 0.0041 186 10.3 Todimensional tabel Beregning ved formel 2 O i Ei Ei 2 (39 35) 2 (336 325) 2 (99 90) 2 (26 50) 2 13.249 . 35 325 90 50 2 er 2 - fordelt med frihedsgradstallet f = k - 1 = 4 - 1 = 3 P - værdi = P( 2 13.249) chi2Cdf(13.249, ,3) = 0.0041 Da P - værdi = 0.0041 < 0.01 forkastes nulhypotesen, dvs. kampagnen har haft en betydning for meningen om legalisering af hash. SAS.JMP har intet egentlig program hertil, så her må man benytte formlerne til at beregne Pværdien Testning af fordelingstype. Er der data nok, er der ved ovennævnte metode muligt at teste om en statistisk variabel har en forventet fordeling (som eksempelvis normal- binomial- eller Poisson-fordeling). Det følgende eksempel hentet fra eksempel 1.1 i kapitel 1 viser fremgangsmåden. Eksempel 10.2. (Testning af om data er normalfordelt). En fabrik der fremstiller plastikprodukter ønsker at evaluere holdbarheden af rektangulære støbte plastik blokke som anvendes i møbelfabrikationen. Der udtages tilfældigt 50 blokke, og deres hårhed måles (i Brinell enheder) . Resultaterne var følgende 283.5 240.8 249.3 283.1 273.3 267.5 228.7 2609 278.8 279.3 255.3 274.8 238.7 228.4 267.2 277.4 334.9 265.2 253.3 276.9 302.6 285.9 281.0 259.5 239.9 279.3 302.1 262.0 254.6 281.9 270.4 269.1 250.1 301.6 289.2 252.3 271.7 235.0 313.2 277.8 243.8 295.5 256.3 233.0 194.4 219.9 263.7 273.6 267.7 263.5 Lad X = holdbarheden af plastblokke Vi antog dengang, at X var normalfordelt n( x , s) og sandsynliggjorde det grafisk ved bl.a. et normalfordelingsplot Foretag en - test af denne påstand. Løsning: Vi fandt i eksempel 1.1 , at gennemsnittet x = 266.22 og et estimat for spredningen er s = 25.09. Vi ønsker at teste nulhypotesen H0: X er normalfordelt med middelværdi 266.22 og spredning 25.09. 2 Vi deler nu intervallet fra den mindste værdi 194.4 til den største værdi 334.9 op i en passende mængde intervaller, og tæller op, hvor mange resultater der falder i hvert interval. Resultatet ses i nedenstående skema som de observerede værdier. Under forudsætning af, at nulhypotesen er sand, kan man nu beregne det forventede antal i hvert interval. Som et eksempel på beregnes den forventede værdi i intervallet ]240 ; 260]: E i 50 P(240 X 260 50 normCdf (240,260,266.22,25.09) 50 0.2541 12.71 Da ingen forventede værdier må være under 1 slås de yderste klasser sammen. Endvidere må højst 20% være under 5, men det ses nu at være opfyldt. 187 10 Antalstabeller Klasser ]- - 220] ]220 - 240] ]240 - 260] ]260 - 280] ]280 - 300] ]300 - 320] ]320 - [ Observerede værdier 2 6 10 20 7 4 1 Forventede værdier 1.64 5.76 12.71 15.32 10.12 3.65 0.08 Klasser sammenlægges 7.4 12.71 15.32 10.12 3.73 Da vi har brugt to værdier (gennemsnit og spredning) til at udregne de forventede værdier, er f = k - 1 - 2 = 5 - 3 = 2. TI 89: APPS, STAT/LIST Indtast observeret antal i list1 og observeret antal i list2 F6 Test, 7: Chi2 GOF ENTER Udfyld menuen ENTER TI-Nspire: Lister og regneark Indtast observeret antal i liste x og forventet antal y statistik statistiske test χ2 -Godness of fit test Udfyld menu Enter Vi får P - værdi = 0.178 Beregning ved formel: (8 7.4) 2 (10 12.71) 2 (5 3.73) 2 ... 3.45 7.4 12.71 3.73 P-værdi = P( 2 > 3.95) = chiCdf(3.45, , 2) = 0.178 2 Da P - værdi =17.8% > 5% accepteres nulhypotesen, dvs. vi kan ikke på det grundlag afvise, at X er normalfordelt. 10.3. To-vejs tabel I dette afsnit betragter vi eksperimenter, hvor data er karakteriseret ved to kriterier. Eksempel 10.3. Test af uafhængighed Ved et universitet indstillede et år 500 studerende sig til en årsprøve, matematik og fysik. De opnåede karakterer i de to fag inddeltes i 4 grupper: Fysikkarakterer Observerede værdier - 3, 0 2, 4 7, 10 -3, 0 18 46 13 2, 4 22 60 42 Matematik7, 10 7 123 42 karakterer 12 2 28 68 Total 49 257 165 der bl.a. omfattede 12 0 5 16 8 29 Total 77 129 188 106 500 Undersøg om der er en sammenhæng mellem de opnåede fysikkarakterer og de opnåede matematikkarakterer. 188 10.3 To-vejs tabel Løsning: X1 = antal studerende med opnået matematikkarakter X2 = antal studerende med opnået fysikkarakter H0: X1 og X2 er statistisk uafhængige. Håndregning: Beregning af forventet værdi. Et estimat for sandsynligheden for, at man i matematik får 0 eller 3 er 77 500 49 500 Hvis X1 og X2 er statistisk uafhængige er sandsynligheden får både en dårlig matematik- og fysik77 49 karakter 500 500 77 49 77 49 Den forventede værdi er derfor 500 500 500 500 Resultatet ses i følgende skema. Fysikkarakterer Forventede værdier - 3, 0 2, 4 7, 10 12 Et estimat for sandsynligheden for, at man i fysik får 0 eller 3 er -3, 0 Matematikkarakterer 2, 4 77 49 7.546 500 77 257 39.578 500 77 165 25.41 500 77 29 4.466 500 129 165 129 29 129 49 129 257 7.482 42.57 12.642 66.306 500 500 500 500 7, 10 188 49 18.424 500 188 257 96.632 500 188 165 62.04 500 188 29 10.904 500 12 106 49 10.388 500 106 257 54.484 500 106 165 34.98 500 106 29 . 6148 500 Da alle de forventede værdier er over 1, og kun 1 klasse af 16 ligger under 5 er betingelserne for en - test opfyldt. I en tosidet tabel er frihedsgradstallet f = (antal søjle - 1) (antal rækker - 1) = (4 - 1) (4-1)= 9. (8 6148 . )2 (18 7.546) 2 (46 39.578) 2 2 ... 108.917 . 7.546 39.578 6148 2 2 P - værdi = P( 108.9) chiCdf(108.92, ,9) = 2.4 10 19 TI 89: APPS DATA/MATRIX 3:New Data = Matrix, Variable = a,Row Dimension=4, Col dimension = 4 ENTER Indtast de observerede tal i matricen. APPS STAT/LIST Enter F6, 8:Chi2 2way ENTER Observed Mat = a. ENTER Vælg Varlink StatsVar expMat F6 TI.Nspire: Beregninger skriv a := matricer og vektorer opret matrix udfyld menu Indtast observerede data statistik Statistiske tests χ2 -uafhængighedstest i menu skriv a enter Cursor på næste “firkant” højre musetast vælg variabel stat-exp math enter Man kan nu se de forventede værdier, og konstatere, at kun 1 ligger under 5. Man kan derfor stole på den fremkomne P - værdi = 2.44 10 19 Da P - værdi = 2.4 10 19 < 0.05 forkastes nulhypotesen (stærkt ) dvs. der er ikke uafhængighed mellem fysikkaraktererne og matematikkaraktererne. 189 10 Antalstabeller Når vi ser på tallene er det tydeligt at gode karakterer i det ene fag også har en tendens til at bevirke gode karakterer i det andet fag. Løsning SAS.JMP: Data indtastes som vist nedenfor, idet man sørger for at kolonnerne Matamatik og Fysik ændres til typen “Nominal” Cursor på navn, højre musetast Matematik -3-0 -3-0 -3-0 -3-0 2-4 2-4 2-4 2-4 7-10 7-10 7-10 7-10 12 12 12 12 Fysik -3-0 2-4 7-10 12 -3-0 2-4 7-10 12 -3-0 2-4 7-10 12 -3-0 2-4 7-10 12 Vælg “Analyze “ Fit Y By x “Modelling Type” Nominal Antal 18 46 13 0 22 60 42 5 7 123 42 16 2 28 68 8 sæt Matematik som XY sæt Fysik som X I den fremkomne tabel sæt cursor på tabel, højre musetast markering ved “expected” ok sæt antal som Freq slet markeringer ved “Total”, “Col” og “Row”, og sæt Resultat: Contingency Analysis of Fysik By Matematik Freq: Antal Contingency Table Matematik By Fysik Count 12 2-4 -3-0 Expected 12 8 28 2 6,148 54,484 10,388 2-4 5 60 22 7,482 66,306 12,642 -3-0 0 46 18 4,466 39,578 7,546 7-10 16 123 7 10,904 96,632 18,424 29 257 49 7-10 68 34,98 42 42,57 13 25,41 42 62,04 165 106 129 77 188 500 Tests N 500 Test Likelihood Ratio Pearson DF 9 -LogLike 55,490394 ChiSquare 110,981 108,917 RSquare (U) 0,1008 Prob>ChiSq <,0001* <,0001* Man kan nu se de forventede værdier, og konstatere, at kun 1 ligger under 5. Man kan derfor stole på at “Pearson’s P - værdi Da P - værdi < 0.05 forkastes nulhypotesen (stærkt ) dvs. der er ikke uafhængighed mellem fysikkaraktererne og matematikkaraktererne. 190 ok Opgaver til kapitel 10 OPGAVER Opgave 10.1 For en støvfyldt gasart ønskede man at bestemme antallet af støvpartikler pr. volumenenhed. Til brug herfor sendte man 500 gange en lysstråle gennem et volumen. der var så lille (10-6 cm3), at det kun indeholdt få støvpartikler. Man iagttog hver gang volumenet gennem et ultramikroskop og optalte antallet af støvpartikler. Forsøgsresultaterne var: Antal partikler 0 1 2 3 4 5 6 7 8 I alt Antal gange 95 163 134 67 24 12 4 0 1 500 -6 1) Angiv hvilken fordelingstype du vil benytte for antallet X af støvpartikler pr. 10 cm3. 2) Estimer parameteren/parametrene i den formodede fordeling. 3) Foretag en testning af den opstillede model. 4) Estimer middelantallet af støvpartikler pr. cm3. Opgave 10.2 Ved måling af 100 akslers diametre fandtes følgende grupperede empiriske fordeling: Intervalinddeling Antal observationer Nedre grænse Øvre grænse 1.155 1.165 1.175 1.185 1.195 1.205 1.215 1.225 1.165 1.175 1.185 1.195 1.205 1.215 1.225 1.235 1 7 10 22 27 18 8 7 I alt 100 Udfør en - testning af, om akseldiameteren kan antages at være normalfordelt. (Vink: Ved beregningen af estimater for middelværdi og spredning tænkes alle observationer i et interval samlet i midtpunktet af intervallet) 2 Opgave 10.3 En terning kastedes 120 gange, hvorved følgende resu1tater fandtes: Antal Øjne Antal gange 1 2 3 4 5 6 25 17 15 23 24 16 Test nulhypotesen: Terningen er en ærlig" terning. 191 Antalstabeller Opgave 10.4 En kemika1iefabrik har påbegyndt en fabrikation af kunstgødning. Ved fabrikationen hældes gødningen i sække af 5 "ens" maskiner, idet det tilstræbes, at nettoindho1det i sækkene er 25 kg i hver . Ved indkørselen af produktionen fandt man, at der var mange overvægtige og undervægtige sække. Fø1gende antalstabel indeholder produktionsresultatet ved første prøvekørsel: Maskiner Nettovægt 1 2 3 4 5 Under 24 kg 5 3 7 3 12 Mellem 24 og 26 kg 14 17 16 15 13 Over 26 kg 11 10 7 12 5 Foretag en testning af, om det kan antages, at vægtfordelingen er den samme for de 5 maskiner. Opgave 10.5 Ved start af en stor amerikansk industrivirksomhed underkastedes alle 173 ansøgere til et bestemt job på fabrikken en psykoteknisk prøve. Idet ansøgerne grupperedes efter, om de var medlemmer af en fagforening eller ikke, er nedenstående anført resultaterne af den pågældende prøve. Resultat af prøven godt middel dårligt Medlem af en fagforening 37 42 23 Ikke medlem af en fagforening 17 26 28 Hvad kan der sluttes om sammenhæng mellem præstation ved prøven og medlemskab af en fagforening? Opgave 10.6 En fabrik, der arbejdede i 3 - holdskift, fremstillede b1.a. en bestemt maskindel i massefabrikation. For at undersøge, om kvaliteten af denne maskindel påvirkedes af omstændigheder, der afhang af, inden for hvi1ket tidsrum af døgnet fabrikationen fandt sted (træthed, belysningsforhold m.v.), lod man et bestemt arbejdshold arbejde på hvert af de 3 skift en uge ad gangen. Man regnede med, at produktionsbetingelserne fra uge ti1 uge var i det væsentlige uændrede. Arbejdsholdets ugentlige produktion var: Skift Antal ikke - defekte emner Antal defekte emner kl. 800 - 1600 kl. 1600 - 2400 kl. 000 - 800 1602 1590 1507 88 122 103 Foretag en statistisk ana1yse af, om produktionens kvalitet må antages at afhænge af produktionsperioden. 192 Opgaver til kapitel 10 Opgave 10.7 Et forsikringsselskab har i løbet af et kalenderår undersøgt bilkaskoskaderne og registreret antallet af skadesanmeldelser og forsikringstagerens (førerens) alder. Resultatet blev: Forsikringstagerens alder Antal skader 18 - 27 28 - 37 38 - 47 48 - 57 58 1 74 60 51 66 50 2 31 25 22 16 15 3 29 10 6 5 7 1) Man havde en forhåndsformodning om, at aldersgruppen 18-27 år skadesmæssigt adskiller sig fra de øvrige grupper. Bekræftes denne forhåndsformodning? 2) Tillader det ovennævnte materiale en antagelse om, at der er uafhængighed mellem antallet af skader og forsikringstagerens alder for de sidste 4 aldersgrupper? 193 11 Rangtest (fordeling ukendt) 11. RANGTEST (Fordeling ukendt) 11.1 INDLEDNING De testprocedurer vi har benyttet i kapitlerne 3,4 og 5 har alle været baseret på, at i det mindste approksimativt kendte fordelingen (normal-, binomial- eller Poisson-fordelt) og testen vedrørte parametre i fordelingen såsom , eller p . Denne form for statistik kunne kaldes “parametrisk statistik”. Kendes fordelingen ikke, og kan man heller ikke approksimere den til en kendt fordeling, så må man benytte de såkaldte “ikke- parametriske test”. Disse forudsætter ikke, at fordelingen er kendt, og kunne derfor også kaldes “fordelingsfri test”. Da det ligger udenfor denne bogs centrale emner, er beskrivelsen i det følgende kun oversigtsmæssigt og skrevet med petit. Rangtest Disse test har som forudsætning at observationerne afspejler mindst en ordning, samt at de foreliggende observationer er baseret på (eventuelt underliggende ) kontinuerte statistiske variable, jævnfør det følgende eksempel 3.6 Eksempel 11.1. Smagsprøveeksperiment. En levnedsmiddelproducent overvejede at introducere et nyt konservesprodukt i stedet for et hidtil produceret. I disse overvejelser indgik resultatet af en smagsprøvning foretaget af et panel bestående af 15 smagsdommere. De smagte hver på det nye produkt og gav dette en "karakter" ved afsættelse af et kryds på et standardliniestykke, hvis ene endepunkt svarer til værst mulig smag, det andet endepunkt til bedst mulig smag. Med henblik på den statistiske analyse af resultaterne transformeredes disse til tal, idet hvert af de 15 standardliniestykker inddeltes lineært efter en skala fra 0 (værst mulig smag) til 100 (bedst mulig smag) , og krydsenes placering aflæstes. De transformerede forsøgsresultater var: 75, 90, 66, 82, 75, 88, 55, 80, 83, 75, 70, 80, 68, 86, 84. Ved et stort antal tilsvarende smagsprøvninger af det hidtil producerede konservesprodukt var medianen 70. Producenten ønsker at få at vide, om forsøgsresultaterne giver et eksperimentelt bevis for, at det nye produkt smager bedre end det hidtidige. Tallene i eksempel 11.1 er ikke sædvanlige måletal. Betragtes eksempe1vis de 3 første observationer 75,90 og 66, så kan vi kun slutte, at smagsdommer 2 synes produktet smager bedre end nr. 1 som igen synes det smager bedre end nr. 3. Differensen mellem de to første er 15, mellem nr. 1 og 3 er 9. Vi kan derfor muligvis også slutte, at der vil være større smagsforskel i det første tilfælde end i det sidste. Derimod kan vi næppe slutte, at smagsforskellen i det første tilfælde er 15 9 100 40% større end i det sidste. Det har ingen fysisk realitet at foretage procentiske 15 sammenligninger mellem smagsforskelle. Sådanne sammenligninger ville derimod have mening, hvis der forelå sædvanlige måletal, jævnfør eksempel 1.1, hvor, hvor procentiske forskelle mellem hårheden umiddelbart kan fortolkes. En forsigtig fortolkning af de transformerede resultater af smagsprøvningen er derfor, at de kun afspejler en ordning med hensyn til smag. Da man afsatte punkter på en standardliniestykke hvorved i princippet ethvert tal mellem 0 og 100 kunne tænkes, er kravet om kontinuitet opfyldt. Forudsætningerne for at kunne udføre en rangtest er dermed opfyldt. En “diskret” skala må altså i princippet ikke anvendes. Man kunne dog godt have anvendt en skala fra 0 til 100 da den ville være tilstrækkelig “finmasket” i forhold til antallet af smagsdommere. En skala fra 0 til 3 ville derimod ikke kunne bruges (der ville blive alt for mange ens “målinger). Man ser undertiden nogle som “for en sikkerheds skyld” anvender en Rangtest, selv om de faktisk med rimelighed kunne have udført en parametrisk test. Hvis man derved får en forkastelse af nulhypotesen er konklusionen korrekt. Hvis derimod man får en accept, kunne det være at en parametrisk test ville give en forkastelse (da de parametriske test har størst styrke). Derfor skal parametriske test naturligvis foretrækkes, hvis man som tidligere beskrevet har en rimelig formodning om fordelingen. Har man således en stor stikprøve, så kan man i følge den centrale grænseværdisætning være sikker på, at gennemsnittet x er normalfordelt, selv om fordelingen ikke er det. De forskellige typer rangtest blive forklaret i forbindelse med passende eksempler. 194 11.2 Wilcoxons rangtest for 1 stikprøve I den forbindelse får vi brug for følgende oplysninger: Definition af rangtal: Lad os antage vi har givet n forskellige tal. Det mindste af disse tal gives rangtallet 1, det næstmindste tal gives rangtallet 2 osv. Eksempel: Observationer Tilhørende Rangtal 6 17 7 13 5 2 3 6 4 5 2 1 Sum af Rangtal: Sum af tal fra 1 til n kan vises at være S 1 2 3 . . . . n Bevis: S 1 2 3. . . . ...... (n 2) (n 1) n n (n 1) . 2 S n (n 1) (n 2) (n 3)...3 2 1 Heraf fås 2 S (n 1) (n 1) (n 1) ... (n 1) n (n 1) Eksempel S 1 2 3 . . . . 6 6 (6 1) 15 2 Median : Observationerne ordnes i rækkefølge: Ulige antal observationer: median = midterste tal, Lige antal observationer: median = gennemsnit af de to midterste tal Eksempel: Observationer 6, 17, 7, 13, 5, 2. Ordnet i rækkefølge: 2, 5, 6, 7 13, 17. Median 6,5 11.2. WILCOXONS RANGTEST FOR 1 STIKPRØVE Eksempel 11.2 (fortsættelse). Wilcoxons rangtest for 1 variabel Det hidtidige produkt havde en median på 70. Producenten ønsker at undersøge på et signifikansniveau på 5% om det nye produkt smager bedre end det gamle. Løsning: Lad m betegne fordelingens median. Nulhypotese: H0: m = 70 Alternativ hypotese H: m > 70 Differenserne i forhold til medianen på 70 beregnes. 75 90 66 82 75 88 55 x i xi 70 5 20 -4 12 5 18 -15 80 83 75 70 80 68 86 84 10 13 5 0 10 -2 16 14 Den numeriske værdi af differenserne tilordnes rangtal, således at den mindste værdi får rangtallet 1, den næstmindste rangtallet 2, osv. Hvis flere værdier er ens tilordnes de alle gennemsnittet af de rangtal de skulle have haft. Er en differens 0 tilordnes intet rangtal. Rangtallene forsynes derefter med fortegnet for de tilsvarende differenser. Dette giver følgende tabel 75 90 66 82 75 88 55 80 83 75 70 80 68 86 84 x i xi 70 5 20 -4 12 5 18 -15 10 13 5 0 10 -2 16 14 Rang af xi 70 4 14 2 8 4 13 11 6.5 9 4 - 6,5 1 12 10 Fortegn Lad -2 -11 -1 w være summen af rangtallene med positivt fortegn og w summen af rangtallene med negativt fortegn. Da vi udskød en værdi, her vi , at summen af rangtallene er S Da w- = 2+11+1=14 følger heraf, at w 105 14 91 . 195 14 15 105 . 2 11 Rangtest (fordeling ukendt) Hvis nulhypotesen er sand ville vi forvente at der lå nogenlunde lige mange tal over og under medianen på 70, og at summen af rangtallene for de med positivt fortegn ville være nogenlunde lig med summen af dem med negativt fortegn dvs. omkring 105 52,5 . 2 Man kan vise, at hvis antallet n af tal i stikprøven er større end 10, så vil fordelingen af summen af rangtallene med negativ fortegn W og dem med positivt fortegn W begge være approksimativt normalfordelt med middelværdi n (n 1) n (n 1) (2n 1) og spredning . 24 4 Metode 1: Da antallet i stikprøven er større end 10 kan man approksimere med en normalfordeling med n (n 1) 14 15 n (n 1) (2n 1) 14 15 29 52.5 og spredning 15.93 . middelværdi 24 24 4 4 Vi har P - værdi = P( w 14) normCdf ( ,14,52.5,15.93) 0.008 , ( eller P - værdi = P( w 91) normCdf (91, ,52.5,15.93) 0.008 ) Da P-værdi < 0.01 forkastes H0 (2 stjernet), dvs. vi har vist, at det nye produkt smager bedre end det gamle. Metode 2: Hvis n 10 er det nødvendigt at benytte nedenstående tabel. Benyttes denne i dette tilfælde findes, at for n = 14 er w0.05 25 og w0.01 15 (da testen er ensidet) Idet w min{w , w } min{14,91} 14 ses, at w w0.01 . H0 forkastes (2 stjernet), dvs. vi har igen vist, at det nye produkt smager bedre end det gamle. TABEL 11.1. Rang test vedrørende 1 statistisk variabel (Wilcoxons teststørrelse). Tabel over kritiske værdier af Wilcoxons teststørrelse n 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 w 0.10 0.05 0.02 0.01 to-sidet test 0.05 0.025 0.01 0.005 én-sidet test 0 2 3 5 8 10 13 17 21 25 30 35 41 47 53 60 67 75 83 91 100 0 2 0 3 1 0 5 3 1 8 5 3 10 7 5 13 9 7 17 12 9 21 15 12 25 19 15 29 23 19 34 27 23 40 32 27 46 37 32 52 43 37 58 49 42 65 55 48 73 62 54 81 69 61 89 76 68 Idet w min{w , w } forkastes nulhypotesen H0 hvis w w (jævnfør eksempel 15.2). 196 11.3 Wilcoxons rangtest for to uafhængige stikprøver 11.3 WILCOXONS RANGTEST FOR 2 UAFHÆNGIGE STIKPRØVER Hvis de i de første afsnit angivne metoder (t - test m.m.) ikke kan anvendes, fordi forudsætningerne ikke er opfyldte, så kan man sædvanligvis anvende denne metode. Nulhypotesen er, at de to stikprøver er taget fra den samme population med samme medianer. Hvis vi nu danner en rækkefølge for de samlede observationer under et, så burde rangtallene fra de to stikprøver fordele sig tilfældigt i forhold til hinanden. Summen for hver stikprøve burde derfor være nogenlunde den samme. Hvis de afviger meget fra hinanden må nulhypotesen kunne forkastes. n1 og summen af rangtallene være w1 . Lad tilsvarende antallet i den anden stikprøve være n 2 og summen af rangtallene være w2 . Lad antallet i den ene stikprøve være Er n1 5, n 2 5 og n1 n 2 gælder , at fordelingen af summerne W1 og W2 er approksimativt normalfordelt med middelværdi n1 (n1 n2 1) og spredning 2 n1 n2 (n1 n2 1) 12 Metoden demonstreres i følgende eksempel 11.3. Eksempel 11.3 . Wilcoxons rangtest for 2 uafhængige stikprøver Man ønsker at sammenligne reaktionstiden for mænd, som har taget én type medicin “A” , med reaktionstiden for de mænd, der har taget en anden type medicin “B”. Forsøg har imidlertid vist, at disse reaktionstider ikke er normalfordelte, men fordelingen er skæv mod højre. Man kan derfor ikke benytte en t-test, men måtte benytte en rangtest. Blandt 14 mænd udvalgte man tilfældigt 7 som indtog medicin A mens de øvrige 7 indtog medicin B. Efter en passende tid måltes reaktionstiden for de 14 personer. En person måtte desværre udgå på grund af specielle omstændigheder. Resultaterne var: Medicin A 1.96 2.24 1.71 2.41 1.62 1.93 Reaktionstid Medicin B 2.11 2.43 2.07 2.71 2.50 2.84 2.88 Undersøg om der er signifikant forskel på reaktionstiden. Løsning: Lad m A og mB betegne de to fordelingers medianer. Nulhypotese: H0: m A mB Alternativ hypotese H: m A mB Vi tildeler de samlede observationer rangtal. Medicin A 1.96 2.24 1.71 Reaktionstid Medicin B 2.11 2.43 2.07 Rangtal A 4 7 2 B 6 9 5 Vi beregner nu summen w A og w B af rangtallene. w A 4 7 2 8 1 3 25 2.41 2.71 8 11 1.62 2.50 1 10 1.93 2.84 3 12 2.88 13 (n A n B )(n A n B 1) (7 6)(7 6 1) 91 er w B 91 25 66 2 2 Da summen af w A og w B er et fast tal, vil en lille værdi af den ene delsum betyde en stor værdi af den anden, og dermed en stor forskel på de to summer. Der gælder derfor, at jo mindre en af delsummerne er, jo større er muligheden for at stikprøverne er udtaget af forskellige fordelinger. Tabelmetode I tabel 11.2 er for forskellige værdier af antal observationer n1 og n2 angivet et interval. I vort tilfælde er n A 6 n B 7 , og teststørrelsen altså w A = 25.Ved opslag i tabellen under den tosidet test for signifikansniveau 5% fås, at intervalgrænserne er 28 og 56. Da w A 28 forkastes nulhypotesen, dvs. der er signifikant forskel på reaktionstiderne. Idet w A w B 197 11 Rangtest (fordeling ukendt) Aproksimation med normalfordeling Da de to stikprøver er større end 5 er det tilladeligt at approksimere med en normalfordeling med middelværdi n1 (n1 n 2 1) 6 (6 7 1) n n (n n 1) 6 7 (6 7 1) 42 og spredning 1 2 1 2 7 12 12 2 2 Vi har P - værdi = P( w A 25) normCdf ( ,25,42.7) 0.0076 . Da P - værdi < 0.025 forkastes H0, dvs. vi har vist, at der er en signifikant forskel på reaktionstiderne. TABEL 11.2. Rang test vedrørende 2 uafhængige statistiske variable (Wilcoxons teststørrelse). I: Tosidet test: 0.05 Ensidet test: 0.025 n2 3 n1 4 5 6 7 8 9 10 wn wø wn wø wn wø wn wø wn wø wn wø wn wø wn wø 3 5 16 6 18 6 21 7 23 7 26 8 28 8 31 9 33 4 6 18 11 25 12 28 12 32 13 35 14 38 15 41 16 44 5 6 21 12 28 18 37 19 41 20 45 21 49 22 53 24 56 6 7 23 12 32 19 41 26 52 28 56 29 61 31 65 32 70 7 7 26 13 35 20 45 28 56 37 68 39 73 41 78 43 83 8 8 28 14 38 21 49 29 61 39 73 49 87 51 93 54 98 9 8 31 15 41 22 53 31 65 41 78 51 93 63 108 66 114 10 9 33 16 44 24 56 32 70 43 83 54 98 66 114 79 131 II: Tosidet test: 010 . n2 Ensidet test: 0.05 3 n1 4 5 6 7 8 9 10 wn wø wn wø wn wø wn wø wn wø wn wø wn wø wn wø 3 6 15 7 17 7 20 8 22 9 24 9 27 10 29 11 31 4 7 17 12 24 13 27 14 30 15 33 16 36 17 39 18 42 5 7 20 13 27 19 36 20 40 22 43 24 46 25 50 26 54 6 8 22 14 30 20 40 28 50 30 54 32 58 33 63 35 67 7 9 24 15 33 22 43 30 54 39 66 41 71 43 76 46 80 8 9 27 16 36 24 46 32 58 41 71 52 84 54 90 57 95 9 10 29 17 39 25 50 33 63 43 76 54 90 66 105 69 111 10 11 31 18 42 26 54 35 67 46 80 57 95 69 111 83 127 n1 n2 : H0 forkastes hvis wn1 wn eller wn1 wø (ligger udenfor intervallet [ wn ; wø ] Hvis n1 10 og n2 10 er teststørrelsen approksimativt normalfordelt med middelværdi spredning n1 n2 (n1 n2 1) 12 198 n1 (n1 n2 1) og 2 11.4 Kruskal Wallis test Da det kan være ret besværligt at rangordne tallene, kan man få TI 89 til at gøre det på følgende måde: APPS STAT/LIST , slet indholdet i alle gamle listet. Indtast i list 1 først de 6 tal fra medicin A og derefter de 7 tal fra medicin B Indtast i list 2 tallet 1 6 gange og tallet 2 7 gange (se skemaet nedenfor) list1 list2 1.96 1 2.24 1 1.71 1 2.41 1 1.62 1 1.93 1 2.11 2 2.43 2 2.07 2 2.71 2 2.50 2 2.84 2 2.88 2 Cursor i list 1 F3 2 -Ops 2: Sort list, Adjust all Enter ENTER Man ser nu at LIST 1 er sorteret i stigende rækkefølge, og man kan nu udfylde skemaet. 11.4. KRUSKAL WALLIS TEST . Erstatter ensidet variansanalyse Er forudsætningerne for en ensidet variansanalyse ikke opfyldte, så kan vi benytte nedenstående rangtest (kaldet Kruskal-Wallis test), der som tidligere nævnt kun kræver at observationerne mindst afspejler en ordning, og at den bagved liggende fordeling er kontinuert. Eksempel 11.5 . Kruskal-Wallis test for mere end 2 variable. Et levnedsmiddels smag kan tænkes at afhænge af hvilken af 3 produktionsmetoder der anvendes. For at undersøge om det er tilfældet planlægges følgende forsøg: Med hver af de 3 metoder fremstilles i en forsøgsproduktion 6 prøver. En ekspertsrnager vurderer de i alt 18 smagsprøver enkeltvis og i tilfældig rækkefølge uden kendskab til, hvilken metode der er anvendt i det enkelte tilfælde. Efter hver smagning markeres resultatet ved afsætning af et kryds på et standardliniestykke, hvis ene endepunkt svarer til værst mulig smag, det andet endepunkt til bedst mulig smag. Ved den statistiske analyse af resultaterne transformeres disse til tal, idet hvert af de 18 standardliniestykker inddeles lineært efter en skala fra 0 (værst mulig smag) til 100 (bedst mulig smag). De transformerede resultater er de tal, som angiver krydsernes placering, og kan betragtes som stikprøveværdier af q (=3) kontinuerte statistisk uafhængige variable med ukendte fordelingstyper. De transformerede forsøgsresultater blev: Metode M1 61 69 79 61 59 Metode M2 62 58 47 59 63 Metode M3 57 45 60 54 57 48 Det bemærkes, at der ved forsøget kun fremkom 5 observationer for metoderne Ml og M3 på grund af tekniske fejl ved fremstillingen af 2 prøver. Idet m1, m2 og m3 betegner de 3 fordelingers medianer, ønsker vi på grundlag af stikprøveværdierne at teste nulhypotesen H0: De 3 fordelinger er ens (hvilket indebærer, at ml = m2 = m3) imod den alternative hypotese H: De 3 fordelinger er ikke ens. 199 11 Rangtest (fordeling ukendt) Løsning:TI89 Observationerne tilordnes rangtal som om de kom fra samme population (som ved Wilcoxons test), Da det kan være ret besværligt at rangorden tallene, kan man få TI 89 til at gøre det på følgende måde: APPS STAT/LIST , slet indholdet i alle gamle lister. Indtast i list 1 først de 5 tal fra metode M1 og derefter de 6 tal fra metode M2 og tilsidst de 5 tal fra metode M3 Indtast i list 2 tallet 1 5 gange og tallet 2 6 gange og tallet 3 5 gamge(se skemaet nedenfor) list1 list2 61 1 69 1 79 1 61 1 59 1 62 2 58 2 osv. - 57 3 Cursor i list 1 F3 2 -Ops 2: Sort list, Adjust all Enter ENTER Man ser nu at LIST 1 er sorteret i stigende rækkefølge, og man kan nu udfylde skemaet. Metode M1 61 69 79 61 Rangtal 11.5 15 16 11.5 8.5 Metode M2 62 58 47 59 63 48 13 7 2 8.5 14 3 57 45 60 54 57 5.5 1 10 4 5.5 Metode M3 59 Sum af rangtal Ri 62.50 47.5 26.0 3 Da alle stikprøvestørrelser er større end eller lig 5 gælder det , at teststørrelsen 2 12 ni ( Ri R ) 2 1 n(n 1) er 2 - fordelt med frihedsgradstal f = 3 - 1 = 2 Som det ses af formlen vil være tæt ved nul hvis nulhypotesen er sand, mens den får en stor værdi hvis de gennemsnitlige rangtal afviger meget fra hinanden, så testen er ensidet. Beregningsteknisk er det lettere at anvende den i appendix 11.1 angivne omskrivning: k 62.52 47.52 26.0 2 Ri2 12 12 6 5 5 i 1 ni 2 3 (16 1) 6.02 3 (n 1) 16 (16 1) n (n 1) 2 2 Da P - værdi = P 6.02 chi 2cdf (6.02, ,2 0.0493 < 0.05 forkastes nulhypotesen (tæt ved accept), og vi må derfor konkludere, at de 3 fordelinger ikke er identiske. Ud fra de fundne summer må man kunne slutte, at metode 1 giver en bedre smag end metode 3. 200 11.4 Kruskal Wallis test Løsning: SAS.JMP Data indtastes som vist nedenfor metode m1 m1 m1 m1 m1 m2 m2 osv Smag 61 69 79 61 59 62 58 m3 m3 Vælg Analyze 54 57 Fit y by x Indsæt smag i Y og metode i X ok rød pil " Non-parametric Wilconson test ENTER Man får bl.a. følgende udskrift Wilcoxon / Kruskal-Wallis Tests (Rank Sums) Level Count Score Sum m1 5 62,500 m2 6 47,500 m3 5 26,000 Score Mean 12,5000 7,9167 5,2000 (Mean-Mean0)/Std0 2,214 -0,326 -1,817 1-way Test, ChiSquare Approximation ChiSquare DF Prob>ChiSq 6,0484 2 0,0486* Small sample sizes. Refer to statistical tables for tests, rather than large-sample approximations. Da P - værdi = 0.0486 < 0.05 forkastes nulhypotesen (tæt ved accept), og vi må derfor konkludere, at de 3 fordelinger ikke er identiske. Ud fra de fundne summer må man kunne slutte, at metode 1 giver en bedre smag end metode 3. 201 11 Rangtest (fordeling ukendt) OPGAVER Opgave11.1 Et mellemprodukt ved en kemisk proces bliver med mellemrum undersøgt for urenheder. Urenhedsniveauet (i ppm) blev ved sidste måling målt til 2.4 2.5 1.7 2.1 2.2 2.6 1.3 1.9 2.0 2.5 2.6 2.3 2.0 1.8 1.3 1.7 2.0 1.9 2.3 1.9 2.4 1.6 Kan du ved en rangtest vise, at urenhedsniveauet er mindre end 2.5 ppm ( 0.05 ). Opgave 11.2 Ved en psykologisk undersøgelse ønskede man at undersøge om den førstefødte af to tvillinger har en tendens til at blive mere aggressiv end den sidstfødte. Man gav 12 tvillingpar den samme psykologiske test. Resultaterne af testen ses nedenfor. Et større pointtal viser tegn på en større aggresivitet. Tvillingepar nr 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 førstfødte 86 71 77 68 91 72 77 91 70 71 88 87 sidstfødte 88 77 76 64 96 72 65 90 65 80 81 72 1) Hvorfor er en rangtest rimelig at anvende i dette tilfælde. 2) Foretag en testning af om man på grundlag heraf konkludere at den førstfødte er mere aggressiv end den sidstfødte. Opgave 11.3 Ved en udgravning på Cypern fandt man bl.a. Byzantinske mønter fra to perioder af Manuel I's regering (1143-1180). Der var 9 mønter fra den 1. udmøntning og 7 mønter fra den 4. udmøntning. Mønterne blev analyserede for indholdet af sølv, og man fandt følgende resultater (i %): 1. udmøntning 59 68 64 70 66 77 72 69 62 2. udmøntning 53 56 55 51 62 58 58 Test, om der er forskel på sølvindholdet for de to udmøntninger 1) ved en rangtest, idet man er usikker på om forudsætningerne for en parametrisk test er opfyldt. 2) ved et parametrisk test. Opgave 11.4 Et støberifirma har købt 2 nye maskiner som producerer stempler af en anden type end de hidtidige maskiner. Efter nogen tids produktion begyndte der at komme klager over, at de nye stempler ikke har samme holdbarhed som de hidtidige. For at teste dette udtager man tilfældigt stempler fra såvel den nye som den gamle type og måler på en testmaskine, hvor længe det varer inden de går i stykker. Man fandt (i timer): Gamle stempler 947 1358 821 1032 Nye stempler 765 834 699 957 1021 756 Undersøg ved en ikke-parametrisk test på et signifikansniveau på 5% om de gamle stempler holder længere end de nye stempler. Opgave 11.5 Ved 2 forskellige metoder til syntetisering af et stof fandtes følgende udbytter (%) Metode 1 578 562 619 544 536 564 532 Metode 2 642 587 631 625 598 592 571 Test, om middeludbyttet er forskelligt ved de 2 metoder. Da man ikke er sikker på, at forudsætningerne for en parametrisk test er opfyldt, så vælges at udføre en rangtest. 202 Opgaver til kapitel 11 Opgave 11.6 Med henblik på markedsføring af dansk Feta-ost i et mellemøstligt land gennemførtes en prøvesmagningsundersøgelse i det pågældende land. Som et led i undersøgelsen medvirkede 32 smagsdommere ved en bedømmelse af 4 ostetyper, hvoraf 2 var bestemte ostefabrikater fra det pågældende land (Feta-typerne l og 2), medens de 2 andre var danske, henholdsvis UF-Feta-ost og traditionel dansk Feta-ost. De 32 dommere inddeltes tilfældigt i 4 grupper a 8. Hver af dommerne i samme gruppe fik en prøve af samme ostetype, jfr. nedenstående skema, idet osteprøverne præsenteredes, så smagerne ikke havde mulighed for at identificere de enkelte fabrikater og heller ikke fik oplyst deres oprindelsesland. Ved hver prøvesmagning markeredes vurderingen af osteprøven ved afsætning af et kryds på et standardliniestykke hvorefter krydset på sædvanlig måde "oversattes" til en 0 - l00 - skala. Herved fremkom følgende forsøgsresultater: Udenlandsk Feta-type 1 (gruppe l) 45 68 33 61 48 22 60 48 Udenlandsk Feta-type 2 (gruppe 2) 86 95 59 75 69 80 86 59 Dansk UF-Feta (gruppe 3) 81 54 69 63 65 88 61 87 Traditionel dansk Feta (gruppe 4) 35 52 70 45 42 60 43 48 Foretag en statistisk analyse af forsøgsresultaterne. Opgave 11.7 En å er blevet kraftigt forurenet. For at få et indtryk af, om forureningen påvirker de tre vigtigste fiskearter i samme grad, fangedes nogle fisk, som anbragtes i passende bassiner. En ekspert iagttog fiskene og gav en vurdering af deres helbredstilstand ved for hver fisk at afsætte et kryds på et standardliniestykke, hvis ene endepunkt svarer til meget sygeligt udseende og unormal opførsel, og hvis andet endepunkt svarer til rask udseende og normal opførsel. Derefter opdeltes hvert standardliniestykke efter en skala fra 0 til 25. Idet de tre arter kaldes A, B og C fremkom følgende tabel: A 13 11 16 13 2 7 11 13 B 24 15 11 19 14 16 18 19 15 7 C 22 14 20 11 17 10 15 11 16 21 Test på grundlag af ovenstående, om det kan antages. at de tre fiskearter lider lige meget under forureningen. 203 Appendix APPENDIX APPENDIX 4.1. Formler til beregning af ensidet variansanalyse I denne oversigt vises hvorledes man kan beregne en ensidet variansanalyse, blot man har en lommeregner der kan beregne gennemsnit og spredning. For hvert observationssæt udregnes gennemsnit og spredning. Faktor Observationer Gennemsnit Spredning R1 x11, x12, x13, . . . , x1n1 x1 . s1 R2 x21, x22, x23, . . . , x 2 n2 x2 . s2 R3 x31, x32, x33, . . . , x 3n3 x3 . s3 Rr xr1, xr2, xr3, . . . , x rn3 xr . sr Forudsætning: xij - værdierne er uafhængige observationer af statistisk uafhængig normalfordelte variable Xi med 2 middelværdi i og samme varians . Beregninger: Lad N n1 n2 n3 .. nr Der beregnes et “vægtet” gennemsnit af varianserne (vægtet efter frihedsgraderne) se2 (n1 1) s12 (n2 1) s22 (n3 1) s32 ... (nr 1) sr2 SAK1 SAK2 ... SAKr N r (n1 1) (n2 1) (n3 1) ... (nr 1) Sidste omskrivning følger af, at s 2 SAK n 1 se2 er variansen for “forsøgsfejlen” eller på engelsk “error”. se2 har N - r frihedsgrader. Vi har nu SAK e ( N r ) se2 Man indtaster alle N målinger og beregner variansen Heraf fås 2 stotal 2 SAK total ( N 1) stotal Man kan vise, at SAKR + SAKe = SAKtotal og at det tilsvarende gælder for frihedsgraderne Tallene indsætes nu traditionelt i en såkaldt variansanalysetebel, og P-værdien beregnes. Variansanalysetabel: (ANOVA = ANalysis Of VAriance) Variation SAK f SAK s2 (Source) (SS) (df) f Behandlinger (Between groups) SAKR r-1 sR2 SAKR r 1 Gentagelser (Within groups) (error) Total SAKe N-r se2 SAK 0 N r SAKtotal N-1 204 P - værdi F FR sR2 s02 Appendix 4.1 Testprocedure. Nulhypotese: H0 : 1 2 . . . r H0 : R 0 Lad være signifikansniveau. H0 forkastes, hvis P - værdi = P( Z FR ) , hvor Z er F - fordelt ( f T , f N ) (r 1, N r ) . Konfidensintervaller: Lad rkon t 1 2 i : xi . rkon ; LSD Konfidensinterval for i : xi . rkon Konfidensinterval for se2 n ( N r) 2 xi . rkon ; xi . rkon 2 Varianshomogenitet. H0 : 12 22 ... k2 Test for, at de variable Yi har samme varians a) Simplificeret F-test. 2 2 Lad den største værdi af de k estimerede varianser være s max og den mindste være s min . Beregn teststørrelsen F 2 s max 2 s min 2 . Lad Y være F - fordelt med frihedsgraderne f tæller f nævner n 1 H0 forkastes, hvis P - værdi = P(Y F ) 2 . Hvis nulhypotesen accepteres, så antages kravet om varianshomogenitet at være opfyldt. Hvis nulhypotesen forkastes, må anvendes en test med større styrke såsom Bartletts test eller Levines test. b ) Bartletts test. Denne test er beregningsmæssigt vanskelig, og har den svaghed, at den er særdeles følsom overfor afvigelser fra normalitet. k (ni 1) si2 (n 1) ln( s2 ) ( N k ) ln i 1 i i Nk Beregn teststørrelsen 2 k 1 1 N k i 1 ni 1 1 3( k 1) Lad Y være 2 - fordelt med frihedsgrade k - 1. H0 forkastes, hvis P - værdi = P(Y 2 ) . c) Levines test. God test, som imidlertid kræver mere end 2 gentagelser. i 1,2,...., k Lad dij yij yi hvor , hvor y i er medianen af de ni gentagelser af i’te behandling. Man udfører j 1,2,..., ni en sædvanlig ensidet variansanlyse på tallene d ij Median af en række tal Tallene ordnes i voksende rækkefølge: Ulige antal tal: median = midtertal blandt de ordnede tal, Lige antal tal: median = genemsnit af de to midterste blandt de ordnede tal Eksempel: y i d ij T1 108, 110, 112 110 2, 0, 2 En ensidet variansanlyse på d ij giver T2 105, 110, 109 109 4, 1, 0 F = 0.15, og dermed P -værdi = 0.9285, dvs. en accept af nulhypotesen. T3 108, 111, 113 111 3, 0, 2 T4 117, 119, 112 117 0, 2, 5 205 Appendix Forklaring på konstruktion af normalfordelingsplot. Et koordinatsystemet har en lodret akse, hvor inddelingen er “normalfordelt”, dvs fordelingsfunktionen for en normeret normalfordeling vil i dette koordinatsystem blive en ret linie. I dette koordinatsystem placeres residualerne som vist: Lad residualerne (fra eksempel 4.1) -2, 0, 2, -3, 2, 1, 2.7,-2.3, -0.3,1, 3, -4 De ordnes i rækkefølge og man beregner deres komulative frekvens i 0.5 i Residualer x 100 % 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 -4 -3 -2.3 -2 0 -0.3 1 1 2 2 2.7 3 4.1 12.5 20.8 29.1 37.5 45.8 54.2 62.5 70.8 79.2 87.5 95.8 Hvis residualerne er aproksimativt normalfordelt burde punkterne (x,y) afsat i koordinatsystemet tilnærmelsesvis de ligge på en ret linie. percentage Normal Probability Plot for RESIDUALS 99,9 99 95 80 50 20 5 1 0,1 -4 -2 0 RESIDUALS 206 2 4 Appendix 5.1 APPENDIX 5.1. Formler til beregning af tosidet variansanalyse I denne oversigt vises hvorledes man kan beregne en tosidet variansanalyse, blot man har en lommeregner med gennemsnit og spredning. Som taleksempel benyttes eksempel 5.2. Forsøgsresultaterne er følgende: Karburator Olieblanding Karburator Beregning af gennemsnit. Olieblanding K2 810 840 1050 1020 930 910 K1 830 860 940 990 855 815 O1 O2 O3 O1 O2 O3 K1 845 965 835 K2 825 1035 920 Rækkegennemsnit 835 1000 877.5 Søjlesum 881.667 926.667 Antal rækker r = 3, Antal søjler q = 2, Antal delforsøg i celler n = 2 Antal delforsøg i række = n q 2 2 4 . Antal delforsøg i søjle n r 2 3 6 Antal celler r q 3 2 6 , Totalt antal forsøg N r q n 3 2 2 12 . Spredning på de r rækkegennemsnit: s xr 85.6714 . Spredning på de q søjlegennemsnit: s xq 318198 Spredning på de r q cellegennemsnit: sceller 84.4048 Beregninger: SAK rækker ( N n q ) sxr2 (12 4) 85.6714 2 58716.67, 2 2 SAKsøjler ( N n r ) s xq (12 6) 318198 . 6075.00, 2 SAKceller ( N n) sceller (12 2) 84.4048 2 7124166 . , SAKvekselvirkning SAKceller SAKrækker SAKsøjle 6450.00, fR r 1 2 fC q 1 1 f celler r q 1 5 f RC f celler f R f C 2 2 SAK total ( N 1) stotal (12 1) 82.4852 7484166 . , f total N 1 11 SAK e(=error=residual) SAK total SAK celler 600.00 f 0 f total f celler 6 (alternativt: SAK rækker n q SAK x rækker , hvor 2 SAK x rækker (r 1) s xr 2 SAKsøjler n r SAK x søjler , hvor SAK x søjler (q 1) sxq 2 SAKceller n SAK x celler , hvor SAK x celler (r q 1) sceller ) 207 Appendix Opstilling af variansanalysetabel: f s2 SAK f Variation SAK=SS Rækkefaktor R : Olieblanding SAKR =58716.67 fR r 1 2 s R2 29358.33 Søjlefaktor C : Karburator SAKC =6075.00 fC q 1 1 sC2 6075.00 Vekselvirkning SAKRC=6450.00 R*C f RC (r 1)(q 1) 2 2 s RC 3225.00 Gentagelser SAKe =3600.00 (residual, error) f e r q (n 1) 6 Total f total N 1 11 74841.67 F FRC 2 s RC se2 =5.38 se2 600.00 Test: Lad være signifikansniveau. 1) H 0 : R * C 0 (Ingen signifikant vekselvirkning) H0 forkastes, hvis P - værdi = P( Z FRC ) , hvor Z er F - fordelt ( f T , f N ) ( f RC , f e ) . 2a) Hvis H0 forkastes, så opstilles konfidensintervaller til nærmere vurdering af faktorernes virkning. 2b) Hvis H0 accepteres, antages, at der ikke er nogen signifikant vekselvirkning, og man pooler de to varianser sammen, til et nyt estimat for forsøgsfejlens variation (støjen). sm2 SAK RC SAK e med f m f RC f e f RC f e Dette estimat benyttes så til en samtidig vurdering af hovedvirkningerne. 2b.1) H 0 : R 0 (Ingen signifikant virkning af rækkefaktor) Lad FR s R2 sm2 H0 forkastes hvis P - værdi = P( Z FR ) , hvor Z er F - fordelt ( f T , f N ) ( f R , f m ) . Hvis H0 forkastes, så opstilles konfidensintervaller til vurdering af faktorerens virkning. 2b.2) H 0 : C 0 (Ingen signifikant virkning af søjlefaktor) Lad FR sC2 sm2 H0 forkastes, hvis P - værdi = P( Z FC ) , hvor Z er F - fordelt ( f T , f N ) ( f C , f m ) . Hvis H0 forkastes, så opstilles konfidensintervaller til vurdering af faktorerens virkning. Opstilling af konfidensintervaller og drage konklusion. Lad xij være gennemsnittet af værdierne i cellen i i’te række og j’te søjle. Lad xi . være gennemsnittet af værdierne i den i’te række. Lad x. j være gennemsnittet af værdierne i den j’te søjle. 208 Appendix 5.1 1) R *C 01 Konfidensintervaller for hver celle: xij t (r q (n 1)) 1 2 s0 s ; xij t (r q (n 1)) 0 , 1 n n 2 2) R * C 0 2 R 0 C 0: For celle i i’te række og j’te søjle er den estimerede middelværdi ~ij xi . x . j x .. (jævnfør betragtningerne i afsnit 2.3.2.2 side 59.) Konfidensintervaller for hver celle: (r q 1) (r q 1) sm ; ~ij t ( N r q 1) sm ~ij t ( N r q 1) 1 1 N N 2 2 Det giver et bedre overblik, hvis man udregner de marginale konfidensintervaller: sm ; x . t ( N r q 1) Konfidensintervaller for hver række: xi . t ( N r q 1) 1 n q i 1 2 2 sm ; x . j t ( N r q 1) Konfidensintervaller for hver søjle: x . j t ( N r q 1) 1 1 n r 2 2 3) R * C 0 , R 0 C 0: For hver række i beregnes et rækkegennemsnit sm2 1 SAK e SAK RC SAK C , f m1 f e f RC f C N r f 0 f RC f C Konfidensintervaller for hver række: xi . t 4) R * C 0 , R 0 C 0: 1 For hver søjle j beregnes et søjlegennemsnit sm2 2 xi . ( N r) 2 sm1 sm1 ; xi . t ( N r ) 1 n q n q 2 x. j SAK e SAK RC SAK R , f m2 f e f RC f R N q f 0 f RC f R Konfidensintervaller for hver søjle: x . j t 1 2 ( N q) 1 Kort skrivemåde for, at H 0 : R * C 0 forkastes. 2 Kort skrivemåde for, at H 0 : R * C 0 accepteres 209 sm2 sm2 ; x. j t ( N q) 1 nr n r 2 sm n q sm n r Appendix Appendix 5.2. Transformation af Binomialfordelte eller Poissonfordelt variable To binomialfordelte eller Poissonfordelte faktorer i et fuldstændigt faktorforsøg. Har man 2 faktorer i en fuldstændig faktorstruktur, og de statistiske variable er enten binomialfordelte eller Poissonfordelte, kan man ikke bruge variansanlyseteknikken, da den kræver, at de variable er normalfordelte. Transformeres data som angivet nedenfor er det imidlertid tilladeligt at bruge variansanlyseteknikken på de transformerede data Endvidere får man så den fordel, at man får en eksakt værdi for forsøgsfejlens varians (støjen), som bevirker, at selv om man ikke har gentagelser, så kan man dog teste om der er vekselvirkning. Det skal bemærkes, at testresultaterne er vanskelig at fortolke, så finder man der er vekselvirkning eller hovedvirkninger, så kan man sædvanligvis kun konkludere, at faktorerne har en virkning, men ikke komme nærmere ind på hvorledes denne virkning ytrer sig. Tabel 1 Variabel Transformation før tosidet variansanalyse Forsøgsfejlens varians s0 . Tilhørende frihedsgrad Relativ hyppighed H H binomialfordelt b(n, p) X X Poissonfordelt p( ) Y Arcsin H 1 4n Y 2 1 4 X Eksempel : Variabeltransformation. Fire forskellige metoder til anvendelse af et møldræbende middel på uldklæde ønskes sammenlignet ved et forsøg. For hvert af fire forskellige fabrikater uldklæde udtoges 4 “ens” stykker klæde (20×20 cm), som blev behandlet med hver sin af de fire metoder. På hvert af de 16 stykker uldklæde anbragtes 25 møllarver, hvorefter man observerede det møldræbende middels virkning på larverne i løbet af et givet tidsrum. Resultaterne var (målt i antal døde larver): Klædefabrikat 1 2 3 4 1 19 18 20 21 2 17 14 18 18 Metode 3 19 19 20 22 4 20 19 22 22 Det antages, at antallet af døde larver ved metode i anvendt på klædefabrikat j er binomialfordelt b(25,pij) Foretag en statistisk analyse af om det møldræbende middels virkning afhænger af metoderne, og af klædefabrikatet. Løsning TI89: Da antallet af dræbte larver anses for at være binomialfordelt, foretages den i ovennævnte tabel nævnte variabeltransformation. De relative hyppigheder beregnes ved at alle tal i skemaet divideres med 25. Derefter beregnes Y Arcsin hij . Eksempelvis for metode 1 klæde 1: 19 . h11 0.76 Y Arcsin h11 Arcsin 0.76 10588 25 Klædefabrikat 1 2 3 4 1 1.0588 1.0132 1.1071 1.1593 2 0.9695 0.8455 1.0132 1.0132 Metode 3 1.0588 1.0588 1.1071 1.2171 4 1.1071 1.0588 1.2171 1.2171 Vi kan nu foretage en sædvanlig tosidet variansanalyse. De transformerede tal for klædefabrikat 1 gemmes i list1, klædefabrikat 2 gemmes i list 2 osv. F6 ANOVA2-Way ENTER DESIGN=Block, Levls o Col Factor =4 Næste skema udfyldes med list1, list2, list3, list4 og list5 ENTER 210 ENTER Appendix 5.2 Resultatet kan umiddelbart aflæses: Nedenfor er de relevante resultater angivet i den sædvanlige variansanalysetabel F P-værdi Variation SAK=SS df MS= s 2 Factor: klædefabrikat Block: Metoder Error 0.057665 0.080445 0.008881 3 3 9 0.019222 0.026815 0.000987 Her svarer “Error” en sum af “støj”+”vekselvirkning”. Da vi fra ovennævnte tabel kender den eksakte støj til 1 1 0.01 kan tabellen udbygges 4n 4 25 Variation SAK=SS df MS= s 2 F Factor A: klædefabrikat Block B: Metoder Vekselvirkning AB Error 0.057665 0.080445 0.008881 3 3 9 0.019222 0.026815 0.000987 0.01 1.92 2.68 0.009 H0: AB = 0 (Model har ingen vekselvirkning) accepteres, da F - værdi er mindre end 1 I det følgende antages, at der ikke er vekselvirkning. Vi pooler ikke, da vi har et eksakt værdi for “støjens varians”. H0: A = 0 (Klædefabrikat har ingen virkning) accepteres, da P-værdi = P(F > 1.92) =FCdf(1.92, ,3, 1000)=0.12 Konklusion: Klædefabrikat har ingen virkning H0: B = 0 (Metoder har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = P(F > 2.68)=FCdf(2.68, ,3, 1000) = 0.0457 < 0.05 Konklusion: Metoder har en (svag) virknng Skal vi finde ud af hvilken virkning der er størst, kan vi udregne konfidensintervaller for de transponerede tal. 1 1.0688 0.9695 1.0588 1.1071 1 2 3 4 Metode Klædefabrikat 2 3 1.0132 1.1071 0.8455 1.0132 1.0588 1.1071 1.0588 1.2171 4 1.1593 1.0131 1.2171 1.2171 Gennemsnit 1.0846 0.9604 1.1105 1.1502 Radius i konfidensintervallet er rkon t 0.975 () s 196 . 0.01 0.098 nq 1 4 Konklusion: Metode 2 er ringere end metode 4, mens de øvrige ikke kan adskilles. Løsning SAS.JMP: Antallet af dræbte larver anses for at være binomialfordelt b (25,p) For hver tal x foretages transformationen Y Arcsin x . 25 Data indtastes på sædvanlig måde: klædefabrikat metode larver k1 m1 19 k1 m2 17 k1 m3 19 k1 m4 20 k2 m1 18 osv. Placer cursor på næste kolonne,og omdøb på sædvanlig måde navnet til “transform”. Placer cursor i “transform”s hoved og marker denne ved tryk på venstre musetast “Formula” Trigonomeric Arcsine Brug lommeregnertastatyret til resten ok Man ser nu, at søjlen “transform” er udfyldt med de transformerede tal. 211 tryk på højre musetast Vælg Appendix klædefabrikat k1 k1 k1 k1 k2 metode larver transform m2 17 0,96953211 m1 19 1,05882364 m3 19 1,05882364 m4 20 1,10714872 m1 18 1,0131975 osv. På de transformerede tal foretages så en tosidet variansanalyse. Vælg Analyze Fait Model Indsæt for Y: Benzinforbrug ,Indsæt for AD:Karburator og Olieblanding Karburator,Olieblanding (marker begge) Run Model Indsæt for CROSS: Det giver følgende resultat Response transform Whole Model Samarie o Fait RSquare RSquare Adj Root Mean Square Error Mean of Response Observations (or Sum Wgts) Analysis of Variance Source DF Model 15 Error 0 C. Total 15 Effect Tests Source klædefabrikat Metode klædefabrikat*Metode 1 . . 1,076366 16 Sum of Squares 0,14699173 0,00000000 0,14699173 Nparm 3 3 9 Da vi fra tabel 1 kender den eksakte støj til Mean Square 0,009799 . DF 3 3 9 F Ratio . Prob > F . Sum of Squares 0,05766545 0,08044481 0,00888146 F Ratio . . . Prob > F . . . 1 1 0.01 kan tabellen udbygges 4n 4 25 Variation SAK f s2 Metoder 0.08044448 3 0.0268149 Klæde 0.0576655 3 0.0192218 Vekselvirkning 0.00888146 9 0.000986829 0.01 Gentagelser H0: AB = 0 (Model har ingen vekselvirkning) accepteres, da F - værdi er mindre end 1 I det følgende antages, at der ikke er vekselvirkning. Vi pooler ikke, da vi har et eksakt værdi for “støjens varians”. H0: A = 0 (Klædefabrikat har ingen virkning) accepteres, da P-værdi = P(F > 1.92) =FCdf(1.92, ,3, 1000)=0.12 > 0.05 Konklusion: Klædefabrikat har ingen virkning H0: B = 0 (Metoder har ingen virkning) forkastes, da P-værdi = P(F > 2.68) =FCdf(2.68, ,3, 1000) = 0.0457 < 0.05 Konklusion: Metoder har en (svag) virkning F 2.68 1.92 0.009 < 1 For at få et overblik over hvilken metode, der kan anbefales, beregnes 95% konfidensintervaller ud fra en ensidet variansanalyse på metode og transform Oneway Analysis o transform By Metode Oneway Anova Means for Oneway Anova Level Number m1 4 m2 4 m3 4 m4 4 Mean 1,08461 0,96037 1,11046 1,15002 Std Error 0,03723 0,03723 0,03723 0,03723 Lower 95% 1,0035 0,8792 1,0293 1,0689 Upper 95% 1,1657 1,0415 1,1916 1,2311 Heraf kan sluttes, at metode 2 er dårligere end metode4. Konfidensintervallerne er ikke korrekte, da de ikke er baseret på den “eksakte” spredning. Mere præcist er radius i konfidensintervallet rkon t 0.975 () 212 s nq 196 . 0.01 1 4 0.098 Appendix 7.1 APPENDIX 7.1. Formler til beregning af enkelt regressionsanalyse uden gentagelser. I dette apendix vises hvorledes man kan beregne en enkelt regressionsanalyse uden gentagelser, blot man har en lommeregner med regressionsprogram. I eksempelet er formlerne anvendt på et konkret eksempel. Forudsætning: Data : x x1 x2 x3 .... xN y y1 y2 y3 ... yN De N-værdier er uafhængige observationer af stokastisk uafhængig normalfordelte variable Yi med samme varians 2. Det antages endvidere at man har fundet, at data kan beskrives ved en lineær model. Vi har derfor at middelværdien af den statistiske variable Y er en lineær funktion af x af formen E (Y x ) 0 1 x Beregninger: 1) De N punktpar indtastes i lommeregner. Regressionsprogram aktiveres, og blandt beregnede størrelser findes estimater for regressionskoefficienter: 0 og 1 , korrelationskoefficient r, gennemsnit x , spredning s y . 2) Udfylder variansanlysetabel: Udregner SAKtotal ( N 1) sy2 , SAKmodel r 2 SAKtotal Variation (Source) SAK (SS) f (df) Model SAKmodel 1 Residual SAKresidual N-2 Total SAKtotal N-1 s2 2 smod el 2 sresidual og SAKresidual SAKtotal SAKmodel . SAK f SAKmod el 1 F Fmodel 2 smodel 2 sresidual SAK residual N 2 Test: Lad være signifikansniveau. 1) H 0 : Regressionslinien er vandret H 0 : y er uafhængig af x H 0 : Model 0 H 0 : 1 0 Metode 1. Hvis modellen gælder så burde punkterne (uanset om H0 er sand eller ej) ligge eksakt på en ret linie (og dermed 2 sresidual = 0 ), hvis ikke forsøgsresultaterne havde været påvirket af Et estimat for forsøgsfejlens (støjens) varians ”støjen” . 2 . 2 er derfor sresidual Er H0 sand, så burde (jævnfør definitionen af SAKmodel ) 2 smodel være nul. Når det ikke er tilfældet skyldes det, at 2 forsøgsresultaterne har været påvirket af “støjen”. Af samme grund som før må derfor også smodel være et estimat for 2. Vi har følgelig, at hvis H0 er sand, så er Fmodel 2 smodel 1. 2 sresidual 213 Appendix Det kan vises, at hvis nulhypotesen ikke er sand, så vil Fmodel 1 , og at Fmodel er F- fordelt med en tællerfrihedsgrad på 1 og en nævnerfrihedsgrad på N - 2. Testen bliver følgelig en ensidet F - test, dvs. H0 forkastes, hvis P - værdi = P( Z Fmodel ) , hvor Z er F - fordelt ( f T , f N ) (1, N 2) . Metode 2. Lad t 1 s 1 , hvor s 1 1 s residual s model er et estimat for spredningen på 1 . Det kan vises, at t et t - fordelt med N - 2 frihedsgrader. Lad T være t - fordelt med N - 2 frihedsgrader H0 forkastes, hvis P - værdi = P(T t ) . 2 En fordel ved denne metode er, at man også kan teste H 0 : 1 0 og H 0 : 1 0 ved ensidede test. Hvis begge variable X og Y er statistiske variable kan man tilsvarende teste korrelationen ved ovennævnte t test. 2) H0 : 1 a , hvor a er en given konstant. Lad t 1 a s 1 1 s residual , hvor s 1 H0 forkastes, hvis t t Konfidensinterval for 1 : 1 s model 2 ( N 2) (for a = 0 svarer det til ovennævnte metode 2). t ( N 2) s ; 1 t ( N 2) s 1 1 1 1 1 2 2 Lad E (Y x x 0 ) være et estimat for middelværdien Konfidensinterval for 1 s residual hvor s . 1 s model for Y for en given værdi x x 0 ; t t ( N 2 ) V ( N 2 ) V 1 1 2 2 2 ( x 0 x ) 2 1 1 2 hvor 0 1 x 0 , V ( ) sresidual SAK model N Prædistinationsinterval: (Konfidensinterval) for 1 ny observation for en given x - værdi: 1 ( x x ) 2 ( 1 ) 2 t , hvor Q s 2 ( N 2 ) Q ; t ( N 2) Q residual 1 N SAK model 1 1 2 2 214 . Appendix 7.2 APPENDIX 7.2. Beregning af enkelt regressionsanalyse med lige mange gentagelser Forudsætning: Data : x2 x3 .... xk x x1 y y11 y21 y31 ... yk1 y12 y22 y32 yk2 ... ... ... ... y1n y2n y3n ykn yij - værdierne er uafhængige observationer af statistisk uafhængig normalfordelte variable Yi . For hver af de k x - værdier er der lige mange gentagelser n af y - værdier, dvs. i alt N=n k observationer. Der antages , at der er varianshomogenitet (ønskes dette testet se under punkt b) Lad være signifikansniveau. Beregninger: a) “Lack og fit test: H 0 : Lineær model gælder H 0 :( xi , i ) ligger på en ret linie H 0 :Residual for gennemsnitspunkter 0 . 1) For hver x - værdi x i indtastes de n y-værdier, og man beregner spredningen si . Der beregnes et estimat for den fælles varians se2 s12 s22 . . . s k2 . k se2 har k (n 1) N k frihedsgrader . 2) De N=n k punktpar ( xi , yij ) indtastes i lommeregner. Regressionsprogram aktiveres, og blandt beregnede størrelser findes estimater for: regressionskoefficienter: 0 og 1 , korrelationskoefficient r, gennemsnit 3) Man udregner x , spredning s y . SAKtotal ( N 1) sy2 , SAKmodel r 2 SAKtotal og SAK e ( N k ) se2 SAK lack of fit SAK total SAK model SAK e 4) Udfylder variansanlysetabel: Variation SAK f (Source) (SS) (df) Model SAKmodel 1 Lack of fit SAKlack of fit k-2 Gentagelser (error) SAKe N-k Total SAKtotal N-1 s2 2 smod el 2 slack of fit se2 SAK f F s2 Fmodel model 2 s residual SAK model 1 SAKlack of fit Flack of fit k2 2 slack of fit s02 SAK e N k 5) H0 forkastes, hvis P - værdi = P( Z Flack of fit ) , hvor Z er F - fordelt ( f T , f N ) ( k 2, N k ) . Såfremt H0 accepteres (og et residualplot også virker rimelig) fortsætter testningen: 2 2 Da såvel se2 som slack of fit nu er et udtryk for forsøgsfejlens varians , foretages en pooling: 2 s residual 2 ( N k ) se2 ( k 2) slack of fit N 2 SAK e SAK lack of N 2 fit , og Fmodel beregnes (se variansanalysetabel. 6) Formlerne for de forskellige test svarer nu fuldstændig til formlerne i afsnit 11.1. b) Varianshomogenitet (se appendix 4.1) 215 Appendix Appendix 7.3. Nr Transformation til lineær model . Model Kommentar 1 Linear model: Y = a + b*X 2 Exponential model: Y = exp(a + b*X) Y e a bX e a e bX ln(Y ) a bX Sættes Z =ln(Y) fås Z= a+b X 3 Reciprocal-Y model: Y = l/(a + b*X) 1 1 a b X a b X Y 1 Sættes Z fås Z= a+b X Y 4 Reciprocal-X model: Y = a + b/X Y a 1 b . Sættes W fås Y= a+b W X X 5 Double reciprocal model: Y = l/(a + b/X) Y 1 Y a b X Sættes Z 6 Logarithmic-X model: Y = a + b*ln(X) 1 1 ab Y X 1 1 og W fås Z= a+b W X Y Sættes W = ln(X) fås Y= a+b W 7 Multiplicative model: Y = a*X^b Y a X b ln(Y ) ln(a ) b ln( X ) Sættes Z = ln(Y) og W = ln(X) fås Z= a+b W 8 Square root-X model: Y = a + b*sqrt(X) Y a b X . Sættes W 9 Square root-Y model: Y = (a + b*X)^2 X fås Y= a+b W Y a b X Y a b X 2 Sættes Z Y fås Z= a+b X 10 S-curve model: Y = exp(a + b/X) Ye a b X ln(Y ) a b X Sættes Z = ln(Y) og W 11 Logistic model: Y = exp(a + b*X)/(l + exp(a + b*X)) Y 1 fås Z= a+b W X e a bX 1 ln 1 a bX a bX Y 1 e 1 1 fås Z= a+b X Y Sættes Z ln 12 Log probit model: Y = normal(a + b*ln(X)) Y (a b ln( X )) 1 (Y ) a b ln( X ) Sættes Z 1 (Y ) og W=ln(X) fås Z= a+b W 216 Appendix 7.4 APENDIX 7.4. Formler til beregning af multipel regressionsanalyse. I dette appendix vises hvorledes man kan beregne en multipel regressionsanalyse, blot man har en “matematiklommeregner” med et matrixprogram. Lad der være givet k uafhængige variable og N observationer ( xi1 , xi 2 ,..., xik , yi ) , i = 1,2, . . . , N og N > k. x1 x2 . . . xk y x11 x 21 x12 x22 . . . . . . y1 y2 xN2 . . . . . . x 1k x2 k x N1 . . . . . . x Nk yN . . . . . . . . . . . . Lad regressionsligningen være Y 0 1 x1 2 x 2 ... k x k , (1) hvor 0 , 1 , 2 ,..., k er regressionskoefficienterne Bestemmelse af estimater for regressionskoefficienterne Modellen kan i matrixnotation skrives y X hvor y1 1 x11 x12 y 1 x x22 21 2 . . . . y , X . . . . . . . . y N 1 x N 1 x N 2 . . . x1k 0 . . . x2 k 1 . . . . . , . . . . . . . . . . . . . . x Nk k Vi ønsker ved mindste kvadraters metode, at finde en vektor , der er et estimat for vektoren . Løsningen til et sådant overbestemt ligningssystem X y er (se eventuelt M. Oddershede Larsen: Matricer og lineære ligninger) bestemt ved ~ (3) X T X X T y (kaldet normalligningssystemet). Matricen X T X er en kvadratisk symmetrisk matrix, som sædvanligvis ved regressionsproblemer ikke er singulær. Der eksisterer derfor en invers matrix ( X T X ) 1 , hvorved løsningen til normalligningssystemet (3) bliver ( X T X ) 1 X T y (4) Herved er regressionskoefficienterne bestemt.. 217 Appendix Beregning af variansanalysetabel. Variation SAK (Source) (SS) f (df) s2 Model SAKmodel k Residual SAKresidual N-k-1 Total SAKtotal N-1 2 s model sr2esidual SAK f SAK model k F Fmodel 2 smodel 2 sresidual SAKresidual n k 1 Som ved den ensidede regressionsanalyse, er residualerne forskellen mellem en observeret værdi yi og den tilsvarende værdi y i beregnet ud fra modellen, dvs. ri y i y i . n SAKresidual = r 2 i . i 1 r1 r 2 . Sættes r kan vi foretage følgende omskrivning . . rN n SAKresidual = r i 1 2 i r T r ( y X ) T ( y X ). SAK total (n 1) s 2y hvor s 2y .er spredningen på y - værdierne SAKmodel.= SAKtotal - SAKresidual. Vurdering af model Har man ikke gentagelser kan man beregne forklaringsgraden r 2 SAK model SAK total (se vurdering i eksempel 7.4) Har man gentagelser kan man foretage en “lack of fit test” (se hvordan i eksempel 7.7) Undersøgelse af om modellen kan reduceres. 1) H0 : 1 2 ... k 0 mod H: Mindst en af koefficienterne er forskellig fra 0. Teststørrelse Fmodel er F - fordelt med tællerfrihedsgrad k og nævnerfrihedsgrad N - k - 1. Hvis P - værdi = P(F > Fmodel) < forkastes H0 , dvs. y er ikke uafhængig af x - værdierne. 2) Forkastes H0 vil man dernæst undersøge om nogle af koefficienterne kunne være 0, dvs. teste nulhypoteserne H0 : i 0 mod den alternative hypotese H: i 0 Teststørrelsen er t i i s( i ) , som kan vises at være t - fordelt med n - p frihedsgrader, hvor p er antal regressionskoefficienter H0 forkastes, hvis P - værdi = P(T t i ) 2 . Beregningen af s( i ) (kaldet “standard error” for i ) beregnes på følgende måde. For den såkaldte kvadratiske symmetriske p × p kovariansmatrix 2 ( X T X ) 1 (p er antal regressionskoefficienter) gælder, at a) diagonalelementerne er varianserne for regressionskoefficienterne og b) elementerne udenfor diagonalen Cij angiver kovariansen mellem i og j 218 Appendix 7.4 2 Vi beregner derfor residual ( X T X ) 1 , idet vi erstatter 2 med sit estimat 2 sresidual Af diagonalelementerne fås V ( 0 ), V ( 1 ), V ( 2 ), V ( 3 ) osv. Konfidensintervaller. 100(1 )% konfidensinterval for i . i t 1 ( N p) s( i ) i i t 1 ( N p) s( i ) . 2 2 Konfidensinterval for et til punktet x 0 svarende værdi y 0 . 1 x 01 x 02 Lad x 0 . . x 0k 1 1 T T T T 2 2 y t ( N p ) s x ( X X ) x ; y t ( N p ) s x ( X X ) x residual residual 0 0 0 0 0 0 1 1 2 2 Forklaring på formlen Forklaringen bygger for simpelheds skyld på det enkle regressionspolynomium Y 0 1 x1 2 x 2 . Er 0 , 1 , 2 de estimerede værdier, og indsættes punktet ( x01, x02 ) i ligningen, fås den dertil svarende estimerede y - værdi y x x . 0 0 1 01 2 02 Ifølge reglerne for varians af en linearkombination fås 2 2 V ( 0 1x01 2 x02 ) V ( 0 ) x01 V ( 1) x02 V ( 2 ) 2 x01 V ( 0 , 1) 2 x02 V ( 0 , 2 ) 2 x01 x02 V ( 1, 2 ) . V ( ) V ( 0 , 1) V ( 0 , 2 ) 1 0 2 T 1 V ( 1) V ( 1, 2 ) ses, at Sættes x0 x01 og idet kovariansmatricen er ( X X ) V ( 1, 0 ) V ( , ) V ( , ) V ( 2 ) 2 0 2 1 x02 V ( ) V ( 0 , 1) V ( 0 , 2 ) 1 0 V ( 0 1x01 2 x02 ) 2 1 x01 x02 V ( 1, 0 ) V ( 1) V ( 1, 2 ) x01 V ( , ) V ( , ) V ( 2 ) x02 2 0 2 1 T T 1 2 . V ( 0 1x01 2 x02 ) x0 ( X X ) x0 Konfidensintervallet bliver følgelig 2 2 T T T T 1 1 y t 0 (n p) s residual x 0 ( X X ) x 0 ; y 0 t ( n p) s residual x 0 ( X X ) x 0 1 1 2 2 219 Appendix Appendix 8.1. Begrundelse for grænserne for kontrolkort Vi danner k undergrupper hver med n observationer. Gruppe Observationer Gennemsnit Variationsbredde Spredning 1 x11 , x12 , , ..., x1n x1 R1 s1 2 x 21 , x 22 , , ..., x 2 n x2 R2 s2 . . k . . . . . . x k 1 , x k 2 , , ..., x kn xk Rk sk Total x R s Grænser for R - kort. Det kan bevises, at E ( R) d 2 og ( R) d 3 , hvor d 2 og d 3 kun afhænger af stikprøvestørrelsen n . Disse konstanter samt alle de i det følgende nævnte konstanter kan aflæses i tabel 4. Et R - kort med 3 - grænser er derfor bestemt ved : NKG R (d 2 3 d 3 ) og ØKG R (d 2 3 d 3 ) . R . d2 R R Indsættes dette, fås NKG R (d 2 3 d 3 ) d D3 R og ØKG R (d 2 3 d 3 ) d D4 R . 2 2 Idet et estimat for E ( R) R , fås Grænser for s - kort. Selv om der gælder, at E ( s 2 ) 2 , gælder det ikke, at E ( s) . Man kan imidlertid vise, at E ( s) c4 og ( s) Følgelig er et s - kort med 3 - grænser bestemt ved : 1 c42 . NKGs c4 3 1. c42 B5 og ØKGs c4 3 1. c42 B6 . Idet et estimat for E ( s) s , fås 3 Indsættes dette, fås NKGs 1 c 4 Grænser for x NKG x 3 - kort. Idet n E ( x ) og ( x ) n n , er et x - kort med 3 - grænser: A1 R , og dermed d2 R R A2 R og ØKG x x 3 A2 R d2 n d2 n Benyttes et s kort er NKG x x 3 3 1 c42 s B3 s og ØKGs 1 1 c42 s B5 s . c 4 A1 og ØKG x 3 Benyttes et R - kort er NKG x x 3 s . c4 s , og dermed c4 s s A3 s og ØKG x x 3 A3 R . c4 n c4 n 220 Appendix 10.1 APPENDIX 10.1. 2 - test af hypotese om multinominale sandsynligheder (1 variabel). H0 : p1 c1 , p2 c2 , ... . , pk ck mod den alternative H: Mindst én af sandsynlighederne afviger fra den angivne værdi i nulhypotesen. Lad Oi ni være den observerede værdi i den i’te klasse, n n1 n2 . . . nk den totale stikprøvestørrelse og Forudsat H 0 er sand beregnes de forventede værdier E i n ci (E =expected values) i den i’te klasse Resultatet opstilles i det følgende skema: Klasse nr 1 2 Observerede værdier Oi n1 n2 nk Forventede værdier E i E 1 n c1 E 2 n c2 E k n ck Teststørrelse: 2 k O i Ei .... k 2 Ei 2 Forudsætning: er approksimativt - fordelt med et frihedsgradstal på k - 1, hvis ingen af klasserne har en forventet værdi under 1, og mindst 80% af klasserne har en forventet værdi over 5. i 1 2 Lad Q være - fordelt med et frihedsgradstal på f = k - 1, H0 forkastes hvis P - værdi = P(Q 2 ) 2 Hvis man for at kunne beregne de forventede værdier først må benytte de observerede værdier til at beregne m parametre, så bliver f = k - 1 - m. jævnfør eksempel 10.2. 221 Appendix Appendix 10.2. 2 - test af hypotese i 2-vejs tabel. Som illustration af metoden benyttes en generalisation af det i eksempel 10.3 omtalte forsøg med at undersøge om der er uafhængighed mellem opnåede matematik- og fysik-karakterer. X1 = antal studerende med opnået matematikkarakter X2 = antal studerende med opnået fysikkarakterer Vi ønsker at teste nulhypotesen: H0: X1 og X2 er statistisk uafhængige. Lad nij angive antal studerende, der har opnået den til klassen kij svarende karakter. Observerede Søjlefaktor C (Fysikkarakterer) Marginalt værdier antal Opdeling 1 2 ... q n12 ... n1q d1 1 n11 Rækkefaktor R 2 n21 n22 ... n2q d2 (Matematik.... ... ... ... ... ... karakterer) nr2 ... nrq dr r nr1 Marginalt antal c1 c2 ... cq n Tilsvarende angiver pij den tilsvarende sandsynlighed for at få den til cellen kij svarende karakter. Observerede Søjlefaktor C (Fysikkarakterer) Marginal sandværdier synlighed Opdeling 1 2 ... q p12 ... p1q p1d 1 p11 Rækkefaktor R 2 p21 p22 ... p2q p2d (Matematik.... . . . . . . . . . . . . . .. karakterer) pr2 ... prq prd r pr1 Marginal sandsynlighed pc1 pc2 ... pcq 1 Vi ser således, at de marginale sandsynligheder er pid pi 1 pi 2 . . . piq og pcj p1 j p2 j . . . prj . Det antages, at udfaldene er uafhængige. At dette så er et multinomialt eksperiment ses af, at der er n udfald , r q klasser og sandsynligheden for hver klasse er vist i ovenstående tabel. Forudsat nulhypotesen er sand, vil der ifølge sandsynlighedsregningens produktsætning gælde, at pid pcj pij . Det forventede antal i klasse kij er derfor E ij n pid p cj Nu kendes de sande marginale sandsynligheder ikke, men vi kan estimere dem med p id d cj i derfor E ij n n n di c j n q Teststørrelse: 2 r j 1 i 1 (række i total) (søjle j total) . total antal i stikprøven O ij Eij cj di og p cj . Vi har n n 2 Eij Da antallet af klasser er r q og vi primært har estimeret q - 1 marginale rækkesandsynligheder og r - 1 marginale søjlesandsynligheder (da summen af rækkesandsynlighederne = summen af søjlesandsynlighederne = 1) er frihedsgradstallet f r q 1 (r 1) (q 1) r q r q 1 (r 1)(q 1) Forudsætning: 2 er approksimativt 2 - fordelt med et frihedsgradstal på f (r 1) (q 1) ,hvis ingen klasser har en forventet værdi under 1,og mindst 80% af klasserne har en forventet værdi over 5. Lad Q være med et frihedsgradstal på f = k - 1, H0 forkastes hvis P - værdi = P(Q 2 ) , hvor f (r 1) (q 1) 222 2 - fordelt Appendix 10.2 APPENDIX 11.1. Kruskal-Wallis rangtest for to eller flere statistiske variable Lad der være givet k stikprøver, og lad den samlede population være rangordnet (se eventuelt nedenstående skema hentet fra eksempel 11.3) Antal Metode M1 61 69 79 61 Rangtal 11.5 15 16 11.5 8.5 Metode M2 62 58 47 59 63 48 Rangtal 13 7 2 8.5 14 3 Metode M3 57 45 60 54 57 Rangtal 5.5 1 10 4 5.5 Gennemsnit Ri Sum af rangtal 59 n1 = 5 R1 =12.50 R1 = 62.5 n2 =6 R2 = 7.91666 R2 = 47.5 n3 =5 R3 =5.20 R3 = 26.0 ... ... ... ... Metode Mk Rangtal Total nk Rk n R Ri2 i 1 ni i 1 Teststørrelse: 2 3 (n 1) n (n 1) n(n 1) Hvis stikprøvestørrelserne alle er større eller lig med 5 gælder, at teststørrelsen er Hypotesen H0: De k fordelinger er ens. H0 forkastes, hvis 2 12 ( k 1) k 12 ni ( Ri R ) 2 eller P - værdi = P(Y Rk k 12 2 -fordelt med k - 1 frihedsgrader. 2 ) , hvor Y er 2 -fordelt med k - 1 frihedsgrader. 223 Grundlæggende operationer på TI - 89. SAMT PÅ PC-PROGRAMMERNE TI-Nspire og SAS.JMP TI 89 Oprette en “Folder”: VAR-Link\ F1\ 5: Create Folder\ Skriv navn på folder. Vælg en mappe som den aktuelle mappe: MODE\ Current Folder\navn Formål: Det kan være praktisk ikke at gemme alle sine resultater i MAIN. Beregning af sandsynlighedsfordelinger: Metode 1 Vælg HOME\ CATALOG,, F3\ vælg den ønskede fordeling\ENTER (tryk evt på “forbogstav” for hurtigt at komme til det ønskede navn). Fordel: Hurtig ved beregning af sandsynligheder, såsom P(X < 0.87) da resultatet straks indsættes på HOMElinien. Ulempe: Man skal huske parametrenes rækkefølge (de kan dog ses nederst på skærmen) Metode 2: Vælg APPS\ Stats/List\F5\vælg den ønskede fordeling\ENTER Fordel: Der fremkommer nu en menu, som er næsten selvforklarende. Ulempe:Skal resultatet ned på HOME-linien (man vil regne videre), bliver det lidt besværligt: HOME, Var-Link\I StatsVar mappen markeres den ønskede størrelse, ENTER Tal indlagt på liste Vælg APPS\ Stats/List\ indtast data i eksempelvis “list1" Fordele og ulemper som under metode 2 ovenfor Beregning af gennemsnit , spredning , middelværdi osv. 1) Hvis tal indlagt på liste 1 F4\ 1: 1-Var Stats , I menu sættes “List” til “List1" (Benyt evt. Var-Link til at finde List1) Udskriften består af en række statistiske størrelser. 2) Anvendes med få tal og kun ønsker beregning af en enkelt størrelse. HOME\ MATH\6.Statistics\ Gennemsnit: Mean ({liste}) , Varians: Variance({liste}), Spredning: stdDev({liste}) 1 faktor på 1 eller 2 niveauer Beregning af test a) normalfordelte variable 1) Hvis tal indlagt på liste(r) F6\i menu vælg relevant test\ENTER\Data\ENTER\udfyld menu\ENTER 2) Oprindelige data ikke kendt, men kun middelværdi osv. Som ovenfor, men nu vælges Stats fremfor Data b) Binomialfordeling. 1 variabel b(n,p): H0: p = p0 P-værdi = binomCdf(n, p0 ,low, up) 2 variable: F6: 2-Prop-ZTest (Kræver der kan approksimeres til normalfordeling, se oversigt 3.5.3) Poissonfordeling: 1 variabel P(μ): H0: μ = μ0 P-værdi = PoissonCdf(n@μ0, low, up) 2 variable: H0: μ1 = μ2 P-værdi = NormCdf(....) (Kræver approksimere normalfordeling, se oversigt 3.5.3) Beregning af konfidensintervaller Som under test, idet der nu skal vælges F7 i stedet for F6 (se evt. oversigt 3.5) 1 faktor på mere end 2 niveauer a) normalfordelte variable Data indlagt i Stats/List Test: F6\i menu vælg ANOVA\udfyld menu\ENTER Konfidensinterval: Findes som ekstra søjler efter de øvrige lister. b) Binomialfordeling og Poissonfordeling: se oversigt 4.6.2 224 2 faktorer på mere end 2 niveauer normalfordelte variable Data indlagt i Stats/List Test: F6\i menu vælg ANOVA2Way \udfyld menu\ENTER Finder P-værdi for vekselvirkning. Fortsættelse: Se oversigt 5.7 Konfidensinterval: Se oversigt 5.7 Mere end 2 faktorer på 2 niveauer Opret en folder og indtast programmet mol som findes i afsnit 6.9, , hvis det ikke allerede er indlagt Gå til folderen. Indtast data i statlist under navnet a skriv mol(3) hvis 23-forsøg osv. Nu fremkommer behandlinger i liste b og SAK (SS) i liste ss Fortsættelse som i eksempel 6.7 , 6.8 eller 6.9 Regressionsanalyse Model med 2 parametre uden gentagelser Vurdering af model: F4: Regressions, vælg model, udfyld menu,Enter Man kan nu aflæse koefficienter , forklaringsgrad og se liste med residualer Test og konfidensintervaller Hvis model ikke lineær, så skal den gøres lineær ved indføre nye liste (eksempelvis log(x)) Test af hældning: F6: LinReg T_test, udfyld menu Konfidensinterval for hældning: F7: LinReg T-int, udfyld menu bl.a Interval=Slope Konfidensinterval for y svarende til x = t, F7: LinReg T-int, udfyld menu bl.a Interval=Response,x-value =t Prædinistationsinterval ses nederst i udskrift Antalstabel GOF-test: (Godness of fit) Beregn forventede værdier (ingen må være under 1 og kun 20% under 5) APPS, Stat/List, indtast observerede værdier i liste 1 og forventede værdier i liste 2, F6,Chi2GOF, Enter udfyld menu, Enter Test af uafhængighed APPS DATA/MATRIX 3:New Data = Matrix, udfyld menu ENTER Indtast de observerede tal i matricen. APPS STAT/LIST Enter F6, 8:Chi2 2way ENTER Observed Mat = a. ENTER Vælg Varlink StatsVar expMat F6 Man kan nu se de forventede værdier. Hvis ingen er under 1 og højst 20% under 5, kan man stole på P-værdi 225 TI-Nspire Oprette et “Dokument”: Filer\ Nyt TI.Nspire dokument Formål: Hvis man eksempelvis vil aflevere en opgave til andre skal man gemme i et dokument Beregning af sandsynlighedsfordelinger: Vælg Beregninger\Statistik\Fordelinger\ vælg den ønskede fordeling\udfyld menu\ENTER Huskes fordelingens navn og parametrenes rækkefølge kan man skrive direkte Tal indlagt på liste Lister og regneark giv en liste et navn og indtal tal i listen Beregning af gennemsnit , spredning , middelværdi osv. 1) Hvis tal indlagt på liste Lister og regneark giv en liste et navn og indtal tal i listen med 1 variabel udfyld menuer Enter. vælg statistik statistiske beregninger statistik Blandt mange tal findes det ønskede 2) Anvendes med få tal og kun ønsker beregning af en enkelt størrelse. Beregninger\statistik\listematematik\vælg Middel: mean({liste}), Stikprøvevarians: varSamp({liste}), Standardafvigelse for stikprøve: stDevSamp({liste}) 1 faktor på 1 eller 2 niveauer Beregning af test a) normal, 1 variabel 1) Lister og regneark udfyld liste (husk overskrift) Statistik t-test for 1 variabel menu:data udfyld menu ENTER 2) Oprindelige data ikke kendt, men kun middelværdi osv. Som ovenfor, men nu vælges Statistik fremfor Data b) normal, 2 variable 1) Lister og regneark Udfyld lister med overskrift m1 og m2 ok menu: List1: skriv m1 ja vælg variabelreference List 2: Skriv m2 ok Statistik t-test for 2 variable menu:data “alternative Hyp” samlet: nej (hvis parvise observationer så 2) Oprindelige data ikke kendt, men kun middelværdi osv. Som ovenfor, men nu vælges Statistik fremfor Data c) Binomialfordeling. P-værdi = binomCdf(n, p0 ,low, up) 1 variabel b(n,p): H0: p = p0 2 variable: beregninger, statistik, statistiske test, z-test for 2 andele (Kræver approksimere normalfordeling, Poissonfordeling: 1 variabel P(μ): H0: μ = μ0 P-værdi = PoissonCdf(n@μ0, low, up) 2 variable: H0: μ1 = μ2 P-værdi = NormCdf(....) (Kræver approksimere normalfordeling, se oversigt 3.5.3) Beregning af konfidensintervaller Som under test blot vælges nu konfidensintervaller fremfor test 1 faktor på mere end 2 niveauer a) normalfordelte variable Data indlagt i Lister og regneark Test: Statistik\statistiske test\vælg ensidet variansanalyse ANOVA\udfyld menu\ENTER Konfidensinterval:Trykkes på xbar vises de 4 gennemsnit, tilsvarende for Lower- og Upper list b) Binomialfordeling og Poissonfordeling: se oversigt 4.6.2 226 2 faktorer på mere end 2 niveauer normalfordelte variable Data indlagt i Statistik og lister Test: Vælg Statistik, Statistiske test, 2 sidet Anova, udfyld menuer herunder vælg “Variabelreferance” Finder P-værdi for vekselvirkning. Fortsættelse: Se oversigt 5.7 Konfidensinterval: Se oversigt 5.7 Mere end 2 faktorer på 2 niveauer Opret et dokument og indtast programmet mol som findes i afsnit 6.9, , hvis det ikke allerede er indlagt Gå til Dokumentet Indtast data i listen under navnet a skriv mol(3) hvis 23-forsøg osv. Nu fremkommer behandlinger i liste b og SAK (SS) i liste ss Fortsættelse som i eksempel 6.7 , 6.8 eller 6.9 Regressionsanalyse Model med 2 parametre uden gentagelser Vurdering af model: Data indtastes i “lister og regneark” beregninger Lineær regression Dokomentværktøjer Udfyld menu ok Statistik Statistiske Man kan nu aflæse koefficienter , forklaringsgrad og nederst i “resid” er liste med residualer Test og konfidensintervaller Hvis model ikke lineær, så skal den gøres lineær ved indføre nye lister (eksempelvis log(x)) Test af hældning: Vælg statistik Statistiske tests lineær regressionstest udfyld menu ok Konfidensinterval for hældning:Vælg statistik Konfidensintervaller Lin.Reg t-intervaller vælg Hældning Udfyld menu ok Konfidensinterval for y svarende til x = t, Som under konfidensinterval for hældning, men vælg svar Prædinistationsinterval ses nederst i udskrift Antalstabel GOF-test: (Godness of fit) Beregn forventede værdier (ingen må være under 1 og kun 20% under 5) Lister og regneark Indtast observeret antal i liste x og forventet antal y statistik statistiske test χ2 -Godness of fit test Udfyld menu Enter Test af uafhængighed Beregninger skriv a := matricer og vektorer opret matrix udfyld menu Indtast observerede data statistik Statistiske tests χ2 -uafhængighedstest i menu skriv a enter Cursor på næste “firkant” højre musetast vælg variabel stat-exp math enter Man kan nu se de forventede værdier. Hvis ingen er under 1 og højst 20% under 5, kan man stole på P-værdi 227 Vejledning i SAS-JMP SAS.JMP 1. Generelle forhold ved opstart. Efter at have startet SAS-JMP, står man med en typisk Windows skærm med nogle menubjælker og ikoner. Øverst er en “hovedmenubjælke” med navnene File, Edit, Wiew, osv. Trykkes på en af disse fremkommer en rullemenu, som man skal vælge fra. Trykkes på Wiew “JMP-starter, fremkommer en menu hvori nogle af de oftest forekomne anvendelser er angivet. 2.Indtastning, redigering og udskrift af data. Man starter sædvanligvis med at analysere nogle data (tal). Disse indtaster man enten selv i et regneark eller man importerer dem fra eksempelvis et Excel- regneark. Eksempel 1. Indtastning af data Indtast følgende data x 1 2 3 6 8 y 2 1 4 9 7 Løsning: Dobbeltklik på øverste felt i første søjle (Column 1) og skriv x Indtast tallene søjlevis, dvs. placer cursor på cellen i første række og første søjle, og skriv 1. hvorved man kommer til næste række og skriv 2 osv. Gentag proceduren med søjle 2. Resultatet ser således ud: x y 1 1 2 2 2 1 3 3 4 4 6 9 5 8 7 Tryk “ENTER” Import af data Findes data i en Excel fil, så vælges fra hovedmenuen “File” “OPEN” Filtype: vælg Excel Files (*.xls) fra den fremkomne liste Find den ønskede excel-fil på din harddisk open. Gemme datatabeller Data tabeller kan på sædvanlig måde gemmes i en passende mappe. “File” “SAVE AS” osv. Datatabeller overføres pænest ved at vælge Edit Journal hvorefter denne kopieres over i “WORD” Oprette dele af given datatabel som ny tabel Rows Rows Selection Select Where marker navnet på kolonnen der ønskes over i ny tabel Tables Subset OK Vælg hjælp hvis du vil have sætte mere specifikke krav ok 3. Redigering af udskrifter. Udskrifterne er delt op i afsnit, og over hvert afsnit er der en “blå pil” . Trykker man på den, vil afsnittet forsvinde. Da udskrifterne sædvanligvis indeholder mange flere oplysninger end man har brug for, er det også nødvendigt at flytte udskriften over i WORD (benyt sædvanlig “copy” og redigere den her. 228 5. Sandsynlighedsfordelinger 4 Eksempel på beregning. Eksempel 2: Beregn gennemsnit, spredning og varians af x-søjlen i eksempel 1 Løsning: Vælg i hovedmenu Tables Summary Vælg x Statistics Fra listen vælg Mean, Standard diviation og Variance OK I reportvinduet fås følgende udskrift: N Rows Mean(x) 5 Std Dev(x) Variance(x) 4 2,915475947 8,5 Alle eksempler er jo også løst i SAS JMP, så der kan man se nogle af mulighederne 5. Sandsynlighedsfordelinger Fremgangsmåden for de forskellige fordelinger er stort set ens, så den beskrives kun udførligt for normalfordelingen Normalfordeling n( , ) a) Find p P(a X b) , hvor a ,b, , er givne konstanter. b a Normal Distribution Vi har p P( X b) P( X a ) Normal Distribution Eksempel: Find p P(112.0 X 1161 . ) hvis 113.3, 5.6 . Kald Column 1 for p Placer Cursor i p’s hoved og marker denne ved tryk på venstre musetast tryk på højre musetast Vælg “Formula” Den fremkomne menu for Formula indeholder 3 elementer: 1) Table Columns ( hvor søjlernes navne står), 2) Lommeregnertastatur (med operatorer for +, - / , potensopløftning, osv.) og 3) Function Groups (hvor forskellige funktioner står, bl.a. Probability) Probability Normal Distribution ( skriv 116.1 (bemærk decimalpunktum) vælg - fra “lommeregnertastaturet” skriv 113.3 cursor udenfor parantes og vælg/ fra lommeregnertastatur 5.6 . Bemærk: Benyt kun “lommeregnertastaturet” ved +, -,/ potensopløftning osv. Vi har nu skrevet “ Normal Distribution(116.1 - 113.3) / 5.6)” Sørg for at komme udenfor rammen og vælg igen - på lommeregnertastatur Normal Distribution(112.0 - 113.3) / 5.6) (kopier eventuelt fra før, og ret 116.1 til 112) ok Resultat: 0.2832489 Hvis man ønsker ar se formlen skrevet i tekst (Java) så dobbeltryk på formlen, så fremkommer følgende: Normal Distribution(((116.1 - 113.3) / 5.6)) - Normal Distribution((112 - 113.3) / 5.6) b) Find fraktilen x p : P( X x p ) p , hvor p, , er givne konstanter. x p Normal Quantile( p) Eksempel: Find x p af P( X x p ) 0.712 , hvis 112,4, 6.7 Kald søjle 1 for xp Placer Cursor i xp’s hoved Quantile(0.712) ok 2 tryk på højre musetast Formula Skriv 112.4 + 6.7 * Probability Normal Resultat: 116.1469 fordeling. Lad Q være 2 fordelt med frihedsgradstallet f. a) Find p P(a Q b) , hvor a og b er givne konstanter ChiSquare Distribution(b, f) - ChiSquare Distribution(a,f) Eksempel:Find p P(Q 27.36) , med f = 19 Kald søjle 1 for p.s Placer Cursor i p’s hoved tryk på højre musetast. Formula 1 - ChiSquare Distribution(27.36,19) ok Resultat: 0.09654312 229 Probability Vejledning i SAS-JMP b) Find fraktilen 2 ( f ) : P(Q 2 ( f )) ( given konstant). qchisq( ,f) 02.025 (8) . Eksempel:Find fraktilen Kald søjle 1 for xp. Placer Cursor i xp’s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability ChiSquare Quantile(0.025,8) Resultat: 2.179731 t - fordeling. Lad T være t - fordelt med frihedsgradstallet f. a) Find p P(a T b) , hvor a og b er givne konstanter. t-distribution(b,f) - t-distribution(a,f) Eksempel: Find p P(T 131 . ) , med f = 14 Kald søjle 1 for p Placer Cursor i p’s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability Vælg t-distribution(-1.31,14) b) Find fraktilen t ( f ): P(T t ( f )) ( given konstant). qt( ,f) Eksempel: Find fraktilen t 0.975 (12) Kald søjle 1 for xp. Placer Cursor i xp’s hoved tryk på højre musetast. t Quantile(0.975,8) Formula Resultat: 0.1056421 Probability Resultat: 2.178813 F-fordeling. Lad F være F - fordelt med tællerfrihedsgradstallet f T og nævnerfrihedsgradstallet fN . a) Find p P(a F b) , hvor a og b er givne konstanter. F distribution(b, f T , f N ) - F distribution(a, f T , f N ) Eksempel: Find p P( F 1811 . ) med fT = 7 og fN = 9 Kald søjle 1 for p. Placer Cursor i p’s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability Skriv 1-F distribution(1.811,7,9) Resultat: 0.1999305 b) Find fraktilen F ( f T , f N ): P( F F ( f T , f N )) F Quantile( , f T fN ) Eksempel: Find fraktilen F0.975 (7,8) Kald søjle 1 for xp. Placer Cursor i xp’s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability F Quantile(0.975,7,8) Resultat 4.528562 Binomialfordeling. Lad X være binomialfordelt b(n,p) Find P(l X m) , 0 l m m n , l og m hele tal. Binomial Distribution(p, n, m) - Binomial Distribution(p,n,l-1) Eksempel : P(32 X 35) hvor n = 100 og p = 0.3 Kald søjle 1 for m. Placer Cursor i m’s hoved tryk på højre musetast. Formula Probability Binomial Distribution(0.3,100,35) - Binomial Distribution(0.3,100, 31). Resultat: 0.2508134 Poissonfordeling. Lad X være Poissonfordelt p( ) Find P(l X m) , hvor 0 l m og l og m er hele tal. Poisson Distribution( , m) - Poisson Distribution( , l-1) Eksempel: Find P( X 119) hvor = 147.6 Placer Cursor i m’s hoved tryk på højre musetast. Formula Skriv Poisson Distribution(147.6,119) 230 Probability Resultat: 0.06578788 Facitliste FACITLISTE KAPITEL 1 1.1 69.94 15.91 1.2 (1) P-værdi = 0.48% (2) 1.315 [1.186; 1.445] 1.3 P - værdi = 0.022 1.4 (1) P - værdi = 0.043 (2) 32,5% [25% ; 40%] 1.5 P - værdi = 0,063179 KAPITEL 3 3.1 P - værdi = 0.1044 3.2 (1) P - værdi = 0.001 (2) [0.70 ; 3.12] 3.3 P - værdi = 0.0214 3.4 P - værdi =0.047 , [-0.031 ; 1.87] 3.5 (1) P - værdi = 0.0714 (2) P - værdi = 0.401 3.6 (1) 18 (2) P - værdi = 0.00017 , [11.9 ; 15.0] 3.7 (1) 22 (2) 24 (3) (4) 3.8 30 3.9 P - værdi = 0.589 3.10 P - værdi = 0.1398 3.11 P - værdi = 0.022 3.12 (1) P - værdi =0,0479 (2) P - værdi =0.00336 3.13 P - værdi =0.233 3.14 (1) P - værdi = 0.2563 (2) P - værdi =0.0177 3.15 (1) P - værdi = 0.00028 (2) 3.16 (1) P - værdi = 0.0135 (2) P - værdi = 0.00023 KAPITEL 4 4.1 P - værdi = 0.0004, B2 4.2 P - værdi = 0.0218 4.3 (1) P - værdi = 0.0064 (2) S2, S4 4.4 (1) P - værdi = 0.0006, R forskellig fra de øvrige, ja 4.5 (1) P - værdi = 0.0002 (2) T må foretrækkes. 4.6 (1) - (2) 4.7 4.8 2 5.33 , P - værdi = 0.0696 2 = 12.64, P - værdi =0.027 KAPITEL 5 5.1 (1) nej, P - værdi = 0.0108, (2a) K1 (2b) frit valg (2c) ikke A1 K2 5.2 (1) P - værdi = 0.071 (2) ja (3)glas 2 og enten fosfor 1 eller 3. 5.3 (1) limtyper (2) II: [23.76 ; 28.10], III: [22.69 ; 27.04] 5.4 (1) Kun syrer har virkning, Svovlsyre størst. (2) 26.45, [25.17 ; 27.73] 5.5 (1) Nej, P - værdi = 0.043 (2) ja, P - værdi = 0.078 5.6 Begge har signifikant virkning, vælge vævemetode 2, og ikke matrialtype 3. 5.7 Begge, Vitaminbehandling 1 eller 3. 231 Facitliste KAPITEL 6 6.1 6.2 6.3 (a) Fabrikationsmetode og farvestof vekselvirker (b ) Fabrikationsmetode 2 , Farvestof ikke tilsat 6.4 (a) B, C D E har virkning (b) B og E på lavt, C og D på højt, 56.125 , [47.61 ; 65.64] 6.5 (a) D har virkning, A og C vekselvirker (b) A, C, D på højt, 86.175, [76.48 ; 95.87] 6.6 6.7 (a) A, E og F har virkning (4) A højt, F højt, E lavt KAPITEL 7 7.1 (1) nej (2) 0.7201 (3) y= 607.1-21.4025 x (4) [-28.5 ; -14.3 ] (3) [249.1 ; 258.8 ] 7.2 (1) 70.5% (2) y = 40.78 + 0.766 x (3) P - værdi = 0.024 (4) [0.362 ; 1.170] (5) [57.91 ; 100.21] (6) [72.50 ; 85.62] 7.3 (1) r2 = 0.99 (2) y = 40.678 x0.53597 (3) 54.92 [53.36 ; 56.49 ] 2 7.4 (a) r = 0.9604 (b) r2 =0.994 , Punkter ligger mere tilfældigt om kurve, Ja (c ) y = 57.866 0.9707t (d) 13 ~ ~ 1718 (1) (2) r2 = 0.980 (3) . 1 01585 . (4) 92.786 [91.7 ; 93.7] 0 (1) t 35.435 3.6393 ln(dosis) (2) [-7.55 ;-0.2726] (3) [0.2656 ; 6.929] (1) - (2) P - værdi = 0.082 (3) P(lack of fit) = 0.753, y = 6.683 + 33.2667 x (4) P - værdi = 0.000 (5) [25.77 ; 40.76] (6) [56.9 ; 62.69] 7.8 (1) Y = -0.1438 + 108.959 x (2) P - værdi = 0.144 (3) ja . 0.7197 x 0.0379 x 2 , Y 2.036 , [1.959 ; 2.114 ] , 7.9 (1) - (2) - (3) Y 1144 2 7.11 (1) - (2) Y 68.720 0.5664 x 0.007625x , (3) y 78.77 (4) (37.14, 79.24) 7.12 (1) Y 61356 . 35511 . x 60.4679 x 2 3.3623x 3 , (2) y = 53,45 , [47.85;59.05] 7.5 7.6 7.7 . 3.4615x1 9.2881x2 (4) 66.91, [62.74 ; 71.09 ] 7.13 (1) ja (2) ja (3) Y 21625 7.14 (1) - (2) y = 5.199+9.964x1+1.689x3 (3)[ 9.64 ; 10.29 ], [ 1.07 ; 2.31 ] (4) 8.357, [8.202 ; 8.513] 7.15 (1) - (2) - (3) y =5.9167+2.251x1 + 1.648x2 (4) [1.93; 2.57] (5) 56.88, [55.33; 58.44] KAPITEL 8 8.1 (1) NKGR =0, ØKGR = 10.14, NKG x 451.4, ØKG x 437.8 , tvivlsomt , (2) 1.03 %. 8.2 NKGs =0, ØKGs = 1.482, NKG x 11.36, ØKG x 13.62 8.3 (1) NKGs =0, ØKGs = 4.45, NKG x 18.90, ØKG x 24.98 (3) 18.5, 0.42% (4) 5.73 8.4 (1) NKGR =0, ØKGR = 1.02, (2) 0.277 (3) NKG x 85.46, ØKG x 86.64 (4) 7.1% (5) NTG x 85.17, ØKG x 86.83, 8.5 NKG = 0.82, ØKG = 19.84 232 Facitliste KAPITEL 9 9.1 (1) NKG = 0, ØKG = 3.47 (2) c = 4, n = 300, (3) 5.24 (4a) 0.70% (4b) 61% 9.2 (1) n = 230, c = 11, (2) 78.7%, 51.8% , 27.0% , 11.3% , 0.3% (3) 9.3 (1) n = 180, c = 8, (2) - (3) - (4) ca 650.3 9.4 (1) (60, 120,1,3,3) (2) - (3) 9.5 (1) (78,78,3,6,6) (2) - (3) (4) AOQL= ca 2.6% KAPITEL 10 10.1 (1) Poisson (2) 1.64 10.2 P - værdi = 0.6638. 10.3 P - værdi = 0.4158 10.4 P - værdi = 0.087 10.5 P - værdi = 0.0426 10.6 P - værdi = 0.0656 10.7 (1) P - værdi = 0.00030 (3) P - værdi =0.7308 (4) (2) P - værdi = 0.561 KAPITEL 11 11.1 w 5 , forkastelse w 24.5 , accept 11.2 11.3 (1) w=29.5 , forkastelse (2) P-værdi = 0.00021 11.4 w = 28, accept 11.5 w = 33, forkastelse 11.6 11.7 2 =15.60, P - værdi = 0.0013 2 =5.61, P - værdi = 0.0604 233 1640000 Stikord STIKORDSREGISTER enkelt regressionsanalyse 109 med gentagelser 127 formler 215 uden gentagelser 112 formler 213 eksponentiel model 123 enkelt stikprøveplan 173 tabel 181 ensidet variansanalyse 33 beregninger-formler 34, 47, 204 en-vejs antalstabel 186, 221 A acceptsandsynlighed 173 Aceptable Quality Level AQL 174 additiv model 54, 60, 64 aftagerens risiko 174 alarmkriterier 153 aliasrelationer 81 antalstabel 185 en-vejs 186, 221 to.vejs 188, 222 Appendix 204 Average Outgoing Quality, AOQ 176 Average Outgoing Quality Limit, AOQL 176 Average Sample Number, ASN 178 Average Total Inspection, ATI 176 F facitliste 231 faktorer 9 1 faktor på 2 niveauer normalfordelte 13, 23 binomialfordelte 20, 26 Poissonfordelte 21, 26 1 faktor på mere end 2 niveauer 32 faktorforsøg 2k, fuldstændigt 78 2k, partielt 81 fejl af type I 12, 18 fejl af type II 13, 17 F - test 16 simplificeret 35, 205 fordeling, tabel over fraktiler for normalfordeling 230 forklaringsgrad 113 adjusted 138 formler til beregning af test af differens mellem 1 og 2 i normalfordelte prøver 23 p1 og p2 i binomialfordelte prøver 26 1 og 2 i Poissonfordelte prøver 26 ensidet variansanalyse 33 tosidet variansanalyse 52, 70, 207 enkelt regressionsanalyse 109 multipel regressionsanalyse 133, 217 fortegnsmatrix 80 forudsætninger for variansanlyse 34 regressionsanalyse 119 fraktiltabel for normalfordeling 230 B bagatelgrænse 12 Bartletts test 35, 205 behandlinger 9, 52 binomialfordeling kontrolkort 165 test een variabel 5 to variable 20, 26 mere end 2 variable 45, 48 faktorforsøg 69, 210 blokforsøg, randomiseret 42, 67 boxplot 3 C centreringsindex 157 chi-i anden test 185 c - kontrolkort 167 consumers risk 174 D definitionsrelation 81 delforsøg 9 dimensionering 12, 17 dobbelt stikprøveplan 177 tabel 182 E ekstrapolation 116 én faktor ad gangen 52 234 Stikord Facitliste kontrolkort 153, 220 kvalitetskontrol 151 kvalitetsstyring 151 kvalitet tilfredsstillende 174 utilfredsstillende 174 korrelationskoefficient 111 Kruskal- Wallis test 199, 223 kvalitativ faktor 52 kvantitativ faktor 109 kvartilplot 3 fuldstændig faktorstruktur 53 2k faktorstruktur 78 fuldstændig randomiseret blokforsøg 42, 67 G gentagelser 9 godkendelseskontrol 172 godkendelsestal c 173 grænser for kontrolkort 220 H histogram 1 hovedvirkning 36 hypotesetest middelværdi :1 normalfordelt stikprøve 1 middelværdi: 2 normalfordelte stikprøver 13 varians: 2 normalfordelte variable 20 L lack of fit test 128 leverandørens risiko 174 Levines test 205 Limiting Quality LQ 174 lineær model 110 logaritme model 123 LSD (Least Signifikant Difference) 38 I,J ikke-parametrisk test 22, 188 M median 3 mindste kvadraters metode 111 multipel regression 133, 217 K kapabilitet 156 kapabilitetsindeks 156 klasser 185 konfidensinterval 1 normalfordelt variabel 4 1 binomialfordelt variabel 5 differens, 2 normalfordelte variable 23 differens,2 binomialfordelte variable 20, 26 differens, 2 Poissonfordelte variable 21, 26 i ensidet variansanalyse 37, 205 i tosidet variansanalyse 58 LSD 38 regressionskoefficient 120, 214 formler 214 for den til x svarende værdi af Y 120 formler 214 konfunderet partielt 2k - faktorforsøg 97 kontrolkortanalyse 155 kontrol af binomialfordelt variabel 165 af fejlprocent 165 af normalfordelt variabel 157 af Poissonfordelt variabel 167 løbende 163 rektificerende 176 N nedre kontrolkortgrænse 153 niveau for faktor 52 NKG 156 normalfordeling boxplot 3 histogram 2 plot 2, 3, 206 test, 1 variabel 3 2 variable af middelværdi 13, 23 af varians 16, 25 np - kontrolkort 156 O OC-Kurve 173 opgaver kapitel 1 6 kapitel 3 27 kapitel 4 49 kapitel 5 73 kapitel 6 104 235 Stikord med gentagelser 127 formler 215 uden gentagelser 112 formler 213 transformation 117 forudsætninger 119 multipel 133, 217 polynomial 137 regressionskoefficienter 110 regressionsligning 110 regressionslinie 110 rektificerende kontrol 176 repræsentativ 9 risikopunkter 174 R - kontrolkort 157 residual 111 plot 126 studentized 119 rækkefaktor 54 kapitel 7 145 kapitel 8 169 kapitel 9 183 kapitel 10 191 kapitel 11 202 outliers 113, 118 oversigter over centrale formler i kapitel 3 23 centrale formler i kapitel 4 47 fremgangsmåde: tosidet variansanalyse 70 fremgangsmåde: partielt2kfaktorforsøg 103 fremgangsmåde: regressionsanalyse 143 P partiel 2k- faktorforsøg 83 parvise observationer 18 planlægning af forsøg 8, 10 Poissonfordeling kontrolkort 167 test 2 variable 21, 26 mere end 2 variable 46, 48 faktorforsøg 210 polynomial regressionsanalyse 137 poolet estimat for varians 36 potens model 123 proces i statistisk kontrol 152 proceskontrol 151 proces ude af statistisk kontrol 151 procesvariablen 151 producers risk 174 prædistinationsinterval 120 S SAK = SS 61 SAS.JMP : Grundlæggende operationer 228 Satterthwaites test 14, 23 screeningsforsøg 76 sekventiel forsøgsstrategi 102 Shewart kontrolkort 153 s - kontrolkort 157 specifikationsgrænser 156 SPC 151 SS = Sum of squares 61 statistisk gyldigt forsøg 10 statistisk uafhængige 9 stikprøveplan enkelt 173 dobbelt 177 ækvivalente 148 statistisk godkendelseskontrol 172 statistisk proceskontrol 151 stikord 234 stikprøvestørrelse n 173 studentized residualer 119 styrke af test 13 søjlefaktor 54 Q Quality Control 151 Quality management 151 R randomisering 10 randomiseret forsøg 10 randomiseret blokforsøg 42, 67 rangtal 195 rangtest 22, 194 1 variabel 195 2 variable 22, 197 mere end 2 variable 199, 223 regressionsanalyse enkelt T Tabeller Bestemmelse af enkelt stikprøveplan 181 236 Stikord Facitliste Bestemmelse af dobbelt stikprøveplan 182 kontrolkort 158 Wilcoxons rangtest for 1 variabel 196 Wilcoxons rangtest for 2 variable 198 tilfredsstillende kvalitet 174 TI89 : Grundlæggende operationer 224 TI-Nspire:Grundlæggende operationer 226 tolerancegrænser 156 tosidet variansanlyse 52, 70 to-vejs tabel 188, 222 transformation 123 , 216 U uafhængige statistiske variable 9 utilfredsstillende kvalitet 174 V variabeltransformation 210 variansanlyse ensidet 33 beregninger, formler 34 tabel 61 tosidet 52, 70 beregninger, formler 53 med vekselvirkning 64 additiv 54, 60 varianshomogenitet 35 vekselvirkning 54 W Wilcoxons rangtest for 1 variabel 195 Wilcoxons rangtest for 2 variable 197 X x - streg kontrolkort 157 Æ ækvivalente stikprøveplaner 178 Ø ØKG 156 øvre kontrolgrænse 153 237