labWisedental

Transcription

labWisedental

Grundelementer
Værdien af en betaling
Betalingsrækker
Notes
Rentesregning: Lektion A1
Forrentningsfaktor, Diskonteringsfaktor, og
Betalingsrækker
Peter Ove Christensen
˚ 2012
Forar
1 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
˚ i Rentesregning
Overordnede spørgsmal
• Hvorledes kan betalinger sammenlignes, nar
˚ betalingerne er
tidsmæssigt adskilte?
• Safremt
˚
der ønskes et bestemt forbrug i fremtiden, hvor meget
(hvor lang tid) skal der da spares op?
• Hvor meget skal der betales i fremtiden, hvis der ønskes et
bestemt forbrug i dag?
• Hvilke centrale parametre indgar
˚ i sadanne
˚
beregninger?
• Hvad er en annuitet, og hvorledes beregnes værdien af denne?
Herefter kan vi analysere problemstillinger som
• Vurdering af real investeringers fordelagtighed
• Beregning af afkast pa˚ finansielle investeringer
• Opgørelse af finansieringsomkostninger for lan
˚
• Kan vi f.eks. finde et “simpelt” mal
˚ for omkostningen ved et lan?
˚
2 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Oversigt
1 Grundelementer
2 Værdien af en betaling
3 Betalingsrækker
3 / 49
˚
Handtering
af betalingstidspunkter
Renten
Grundforudsætninger
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
˚
Handtering
• Betalinger hørende til økonomiske dispositioner forfalder ofte pa˚
forskellige tidspunkter
• Ønsker: Opgørelse af værdi til et givent tidspunkt af betalinger pa˚
forskellige tidspunkter
• Opdel tiden i ækvidistante tidsintervaller: terminer
• Opdel saledes
˚
at betalingerne forfalder pa˚ tidspunkter, der
˚ maneder,
˚
adskiller terminerne. F.eks. ar,
sekunder
Tidspunkt 0
1
2
3
4
n-1
n
Tid
Termins nr.
1
2
3
4
n
6 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
˚
Handtering
Renten
Notes
Renten
• Renten er en betaling for at kunne disponere over en kapitel i en
given periode
• Normeres ofte, saledes
˚
at den udtrykkes pr. krone i en termin:
rentesats, betegnes r .
• Rentesats: Betaling for at kunne disponere over en enhed i en
termin
• Omregnes ofte i procentstørrelse
• Altsa˚ er renten (rentebeløbet) det beløb, der betales pr. termin,
og den kan bestemmes som det forrentede beløb (kapitalen)
multipliceret med rentesatsen
˚ med en rentesats pa˚ r = 5% (p.a.
Test: Bestem renten pa˚ et lan
˚
opgjort med arlig
rentetilskrivning) og hovedstol H = 10.000 kr.
8 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
˚
Handtering
Renten
Notes
Man taler ofte om forskellige rentesatser
• Nominel rente: Rentesats udtrykt i nominelle termer (dvs. i
løbende priser)
• Realrente: Rentesats udtrykt i reale termer (dvs. i købekraft
enheder)
• Effektiv rente: Rentesats, hvor rentes-rente effekter er medregnet
• Nulkuponrente: Rentesats mellem nu og et fremtidigt tidspunkt
• Forwardrente: Rentesats mellem to fremtidige tidspunkter
˚
Faktorer, der pavirker
rentens størrelse
• Inflationstakten – Fisher relationen
• Reale økonomiske forhold – høj/lav konjunktur
• Internationale pavirkninger
˚
˚
– lille aben
økonomi med “fast”
valutakurs
• Skattemæssige forhold – efter-skat betalinger
• Risikomæssige forhold – kredit risiko og precautionary savings
9 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
˚
Handtering
Renten
Notes
Notation
notation
r
n
A0
An
beskrivelse
terminslig rentesats
antal terminer
nutidigt beløb
fremtidigt beløb
Antagelser
1
rentesatsen er konstant over tid
2
tidsintervallet er et helt antal terminer
3
renten tilskrives kapitalen ved slutningen af hver termin
(udbetales ikke løbende)
4
den oprindelige kapital samt tilskrevne renter forrentes med den
forudsatte rentesats r .
De første to antagelser vil blive slækket siden hen.
11 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Fremdiskonteret værdi
Tilbagediskonteret værdi
Notes
Introduktion: Centrale finansielle problemstillinger i
forbindelse med en betaling
Eksempel: Hvilket alternativ foretrækkes?
1
100 kr. i dag
2
˚
110 kr. om et ar
• Hvis jeg foretager en betaling i dag, hvad er sa˚ værdien af denne
betaling pa˚ et givet fremtidigt tidspunkt?
• Hvor meget skal jeg betale i dag, safremt
˚
jeg ønsker et givent
beløb pa˚ et givent tidspunkt i fremtiden?
• Renten hørende til betalingen er væsentlig
˚
Hvad er den korrekte rentesats i sadanne
udregninger?
14 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Notes
An
A0
Tid
Tidspunkt 0
1
2
3
···
4
n-1
n
˚ Bestem fremtidig værdi af nutidigt beløb
Formal:
• Nutidigt beløb og rentebetaling giver efter n terminer fremtidigt
beløb
A0 + R = An
• Rentetilskrivning
•
•
•
•
r : rentesats pr. termin
n: antal terminer
Hvorledes bestemmer vi rentebetalingen?
Afhænger af forrentningsfaktoren (1 + r )n
• An = An−1 + An−1 r = An−1 (1 + r ) = An−2 (1 + r )2 = . . . = A0 (1 + r )n
• Dermed R = An − A0 = (1 + r )n − 1 A0
• Tavleeksempel
16 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Notes
Forrentningsfaktor
Forrentningsfaktor
8,00
7,00
6,00
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Terminer
r = 1%
r = 5%
r = 10%
17 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Notes
Yderligere aspekter
˚ pa˚ tavlen:
Gennemgaes
• Varierende rentesatser: eksempel pa˚ tavlen
• Antal terminer
• Hvor mange terminer skal A0 forrentes (givet r ) for at blive til An ?
• Vi viser
n=
ln(An /A0 )
ln(1 + r )
• Vælg heltallet større end det netop beregnede.
• Rentesats
• Hvilken rentesats bevirker, at A0 forrentes til An i løbet af n
terminer?
• Vi viser
1
An n
−1
r=
A0
18 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Notes
Partielle effekter
˚ pa˚ tavlen:
Gennemgaes
• Effekt pa˚ An af marginal ændring i en af parametrene A0 , r , n
kaldes partielle effekter
• Generelt kan en marginal ændring for en funktion f (x) vurderes
˚
ved en sakaldt
1. ordens Taylorudvikling
∆f (x0 ) ≈ f 0 (x0 )∆x
• Vi har f (x) = An (A0 , r , n) = A0 (1 + r )n .
• Ændring i initialt beløb: ∆An = (1 + r )n ∆A0
• Ændring i rentesats: ∆An ≈ A0 n(1 + r )n−1 ∆r
• Ændring i antal terminer: ∆An ≈ A0 (1 + r )n ln(1 + r )∆n
• Er fortegnene pa˚ ændringerne fornuftige?
19 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Notes
• Ønsker at bestemme værdien i dag af et fremtidigt beløb
nutidsværdien
• Vi har at
An = (1 + r )n A0
sa˚
A0 = (1 + r )−n An
• (1 + r )−n benævnes diskonteringsfaktoren
• central byggesten
• ikke mindst ved investeringskalkuler og andre finansielle
beslutninger
• Giver værdien i dag af at modtage 1 kr. (enhed) om n terminer,
hvis renten er r
21 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Notes
Diskonteringsfaktor
Diskonteringsfaktor
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Terminer
r = 1%
r = 5%
r = 10%
22 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Notes
Effekt af parametre pa˚ diskonteringsfaktoren
Rentesatsens effekt pa˚ diskonterinsfaktoren
• Partiel ændring i r :
∂
(1 + r )−n = −n(1 + r )−(n+1) < 0
∂r
• For r → ∞ fas:
˚ (1 + r )−n → 0
• For r → 0 fas:
˚ (1 + r )−n → 1
Antal terminers effekt pa˚ diskonteringsfaktoren:
• Partial ændring i n
∂
(1 + r )−n = − ln(1 + r )(1 + r )−n < 0
∂n
• For n → ∞ fas:
˚ (1 + r )−n → 0
• For n → 0 fas:
˚ (1 + r )−n → 1
23 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Betalingsrækker generelt
Annuitet
˚
Ydelsesrækker og standardlan
Notes
˚
Centrale spørgsmal
• Hvorledes kan vi handtere
˚
en situation, hvor vi har en række af
sammenhørende betalinger → betalingsrække?
• Optræder ofte ved savel
˚
real- som finansielle investeringer
• Er visse betalingsrækker ofte forekommende?
• Hvordan bestemmer vi f.eks. nutidsværdien af en sadan
˚
betalingsrække?
26 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Nutidsværdi af en betalingsrække
bn (1 + r)-n
bt (1 + r)-t
b3 (1 + r)-3
b2 (1 + r)-2
bn
b1 (1 + r)-1
b1
bt
b2
b3
Tid
Tidspunkt 0
1
3
2
t
···
n
···
28 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Betalingsrækker
• Betalingsrække: Et sæt af sammenhørende enkeltbetalinger bt ,
der forfalder i tidspunkterne t ∈ {1, 2, . . . , n}.
• Akkumuleret værdi af betalingsrækken pa˚ tidspunkt n:
Sn =
n
X
bt (1 + r )n−t
t=1
• Nutidsværdien af betalingsrækken:
S0 =
n
X
bt (1 + r )−t
t=1
• Værdi af betalingsrækken pa˚ henførelsestidspunktet τ :
Sτ = S0 (1 + r )τ =
n
X
t=1
bt (1 + r )−t (1 + r )τ =
n
X
bt (1 + r )τ −t
t=1
• Eksempel i Excel
29 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Annuitet - særdeles vigtigt specialtilfælde!
Antagelser:
1
alle betalinger er lige store: b1 = b2 = . . . = bn = b
2
ækvidistante terminer
Akkumuleret værdi af annuitet (kvotientrække med kvotienten (1 + r )):
Sn =
n
X
b · (1 + r )
n−t
X
n
n−t
=b·
(1 + r )
t=1
t=1
= b · 1 + (1 + r ) + (1 + r )2 + . . . + (1 + r )n−1 = b · s
n |r
hvor
s
n |r
=
(1 + r )n − 1
r
Opsparingsfaktor
31 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Opsparingsfaktoren
Akkumuleret værdi af annuitet
Opsparingsfaktor
70,00
60,00
50,00
40,00
30,00
20,00
10,00
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Terminer
r = 1%
r = 5%
r = 10%
32 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Yderligere aspekter
Antal terminer:
• Hvor mange terminer skal der opspares for at fa˚ et bestemt Sn ?
• Vi ved
Sn = b · s
n |r
=b
(1 + r )n − 1
r
• Det følger, at
n=
ln(1 + r Sbn )
,
ln(1 + r )
hvor n oprundes til nærmeste heltal.
Rentesats
• Kan vi bestemme den rentesats, der for en givet fast betaling b
og antal terminer n giver et bestemt disponibelt beløb Sn ?
• En sadan
˚
rentesats kaldes for den interne rente (→ afsnit 6)
• Kan ofte ikke løses analytisk, men kun numerisk (Goal Seek i
Excel).
33 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Annuitet
˚
Notes
Nutidsværdi
En annuitets nutidsværdi kan bestemmes som:
• den tilbagediskonterede værdi af annuitetens enkeltbetalinger,
S0 =
n
X
b(1 + r )−t = b
t=1
n
X
(1 + r )−t
t=1
• den tilbagediskonterede akkumulerede værdi
S0 = (1 + r )−n Sn = b(1 + r )−n s
n |r
= b(1 + r )−n
(1 + r )n − 1
r
˚ at nutidsværdien er givet ved
I begge tilfælde fas
S0 = b
α
n |r
1 − (1 + r )−n
= bα
r
n |r
kaldes for annuitetsfaktoren
• nutidsværdien af en annuitet med en konstant betaling pa˚ 1 kr.
• summen af diskonteringsfaktorer med samme
(diskonterings-)rente
34 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Annuitetsfaktoren
Nutidsværdi af annuitet
Annuitetsfaktor
20,00
18,00
16,00
14,00
12,00
10,00
8,00
6,00
4,00
2,00
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Terminer
r = 1%
r = 5%
r = 10%
35 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Grænseværdier for annuitetsfaktoren
For r → 0 kan det vises at (brug l’Hospitals regel)
∀n > 0 : α
n |r
=
1 − (1 + r )−n
→n
r
=
1 − (1 + r )−n
→0
r
For r → ∞ kan det vises at
∀n > 0 : α
n |r
For n → ∞ kan det vises at
∀r > 0 : α
n |r
=
1 − (1 + r )−n
1
→
r
r
kapitaliseringsfaktoren
Eksempel: Simpel aktievurdering (Gordons formel)
• En aktie udbetaler fast 21 kr. i udbytte, r = 5%, n = ∞
• S0 =
b
r
=
21
0,05
= 420 kr.
36 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Yderligere aspekter
Antal terminer:
• Det nødvendige antal terminer for at opna˚ en nutidsværdi S0
med betaling b og rentesats r er givet ved
ln 1 − r Sb0
n=−
ln(1 + r )
Husk at oprund til nærmeste heltal!
Terminslig betaling
• For en given nutidsværdi S0 , antal terminer n og rentesats r kan
den konstante terminslige betaling b bestemmes som
b = S0 · α−1
n |r
α−1 =
n |r
r
1−(1+r )−n
kaldes kapitalindvindingsfaktoren.
37 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
Kapitalindvindingsfaktoren
Kapitalindvindingsfaktor
Terminslig betaling
1,20
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
Terminer
r = 1%
r = 5%
r = 10%
38 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Annuitet
˚
Notes
Illustration
En ydelsesrække kan beskrives vha. et diagram, der illustrerer
ydelsernes kendte størrelser og kendte tidsmæssige placering
(terminstidspunkter):
Yt1
Ytn−1
Yt2
Ytn
i dag/valør
0
t1
@
@
t2
tn−1 tn
- tid
Valørdato = den dag hvor handlen gennemføres (typisk 3 børsdage
efter handelsdagen)
Yt er ydelsen pa˚ et terminstidspunkt t ∈ {t1 , t2 , . . . , tn } og n er antal
resterende terminer.
40 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Annuitet
˚
Notes
˚
Hvad er et lan?
(se Virksomhedens finansiering, afsnit 4.1)
˚ ydelser bestar
˚ af afdrag og rentebetaling
Et lans
Yj = AFDj + Rj
| {z } |{z}
afdrag
j = 1, 2, . . . , n
rente
˚
hvor afdraget nedbringer det lante
beløb (hovedstolen), mens
˚
˚
rentebetalingen kompenserer langiver
for at have ydet lanet.
Restgælden til tid j betegnes med Gj , mens den terminslige
nominelle rente betegnes med r .
˚
Da lanet
optages til tid t = 0 er dets hovedstol givet ved restgælden til
tid 0, dvs. G0 . I vores eksempler sætter vi som regel G0 = 100.
41 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
˚
Annuitetslan
Kendetegn: Konstant ydelse, Yj = Y for alle j = 1, 2, . . . , n
Y
Y
t1
t2
Y
Y
i dag/valør
0
@
@
tn−1 tn
- tid
Ydelsen bestemmes sa˚ hovedstolen netop forrentes med r , dvs.
G0 =
n
X
Yj (1 + r )−j = Y
j=1
hvor αn|r =
j=1
1−(1+r )−n
.
r
Y =
n
X
(1 + r )−j = Y αn|r ,
˚ altsa˚
Med G0 = 100 fas
100
r
−1
= 100αn|r
= 100
αn|r
1 − (1 + r )−n
42 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Annuitet
˚
Notes
˚ - fortsat
Annuitetslan
Restgælden efter j terminer
n
X
Gj =
Yk (1 + r )−(k −j) = Y αn−j|r ,
k=j+1
˚
da lanet
netop er en annuitet med n − j resterende terminer.
Rentebetalingen i termin j + 1
Rj+1 = r · Gj = r · Y · αn−j|r
= r · 100 ·
r
1 − (1 + r )−(n−j)
1 − (1 + r )−(n−j)
= 100 · r ·
−n
1 − (1 + r )
r
1 − (1 + r )−n
Afdraget i termin j + 1
h
i
AFDj+1 = Y −Rj+1 = Y 1 − r · αn−j|r = Y (1+r )−(n−j) = (1+r )AFDj
43 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Annuitet
˚
Notes
˚
Eksempel pa˚ ydelsesrække for et annuitetslan
´ arlig
˚
En fiktiv 8% annuitetsobligation med udløb 15/5 2016 og en
termin vil have følgende ydelsesrække den 20/3 2012:
Termin
2012 05 15
2013 05 15
2014 05 15
2015 05 15
2016 05 15
Afdrag
17,05
18,41
19,88
21,47
23,19
Rentebetaling
8,00
6,64
5,16
3,57
1,86
Ydelse
25,05
25,05
25,05
25,05
25,05
Se Excelfilen LektionA1.xlsx
44 / 49
Grundelementer
Betalingsrækker
Introduktion
Annuitet
˚
Notes
˚
˚
Staende
lan
Kendetegn: ingen løbende afdrag, AFDj = 0 for alle
j = 1, 2, . . . , n − 1 og AFDn = G0 = 100.
Rentebetaling: Rj = R = r · G0 = 100r for alle j = 1, 2, . . . , n.
Ydelse: Yj = AFDj + Rj .
100(1 + r )
100r 100r
100r
i dag/valør
0
t1
t2
@
@
tn−1 tn
- tid
45 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
˚
˚
Eksempel pa˚ ydelsesrække for et staende
lan
Obligationen 4% Danske Stat STL 2017 (fondskode DK0009921942)
˚
˚ som er udstedt af den danske
er et 4% (inkonverterbart) staende
lan,
´ arlig
˚
stat, har en
termin og udløber 15/11 2017. Ydelsesrækken pr.
20/3 2012 (pr. 100 kr. nominel værdi) er derfor:
Termin
2012 11 15
2013 11 15
2014 11 15
2015 11 15
2016 11 15
2017 11 15
Afdrag
0
0
0
0
0
100
Rentebetaling
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
Ydelse
4,00
4,00
4,00
4,00
4,00
104,00
46 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
˚
Serielan
Kendetegn: konstante afdrag, AFDj = AFD =
j = 1, 2, . . . , n.
100
n
for alle
Restgælden efter j terminer
j
Gj = 100 − j · AFD = 100 1 −
n
Rentebetalingen i termin j + 1
Rj+1 = r · Gj = 100r
j
1−
n
Ydelsen pa˚ tidspunkt j
1
Yj = AFDj + Rj = 100
+r
n
j −1
1−
n
47 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
˚
Eksempel pa˚ ydelsesrække for et serie lan
´
En fiktiv 12% S 2015 obligation, der er en serie obligation, har en
˚
arlig
termin og udløber den 15/2 2015. Pr. 20/3 2012 er der tre
resterende terminer, sa˚ ydelsesrækken (pr. 100 kr. nominel værdi) er:
Termin
2013 02 15
2014 02 15
2015 02 15
Afdrag
33,33
33,33
33,33
Rentebetaling
12,00
8,00
4,00
Ydelse
45,33
41,33
37,33
48 / 49
Introduktion
Annuitet
˚
Grundelementer
Betalingsrækker
Notes
˚
Uamortisable lan/evigtløbende
annuitet
Vi sa˚ tidligere, at
∀r > 0 : α
n |r
→
1
r
˚ n→∞
nar
˚ bliver derfor
Ydelsen for et evigtløbende annuitet lan
Y = 100 α−1 = 100r
n |r
˚
Det vil sige, at der betales kun renter af restgælden – lanet
afdrages
aldrig, thi
Rj = 100r
AFDj = 0
Yj = AFDj + Rj = 100r
for alle j = 1, 2, . . . .
˚ som grænsetilfældet n → ∞ for alle 3 standardlan.
˚
opstar
49 / 49

labWisedental

Transcription

Similar documents

Afgørelse

Rentesregning - Sct. Knuds Gymnasium

Karriere - Smertefri Fødsel

Skærpede krav til rådgivning om boliglån.pdf

Styr på dine penge” (pdf)

Kemi arbejdsark 5.1

ny menu nov12 - il pane di mauro

Checklister - Hammerum IF