Opgaver til

københavns universitet
københavns universitet
Dominerende egenværdi. Positive matricer
1
Dominerende egenværdi
2
Positive matricer
3
Overgangsmatricer
4
Lesliematricer
Matematik og modeller 2012
Henrik L. Pedersen
Institut for Grundvidenskab og Miljø
Institut for Matematiske Fag
www.matdat.life.ku.dk/mat-model/
7.5.2012
Dias 1/28
7.5.2012
Dias 2/28
københavns universitet
københavns universitet
Sætning
Dominerende egenværdi
Definition
Lad λ1 , . . . , λn være egenværdierne for n × n matricen A (hver opskrevet
et antal gange som svarer til multipliciteten). Egenværdien λ1 kaldes
• dominerende, hvis |λ1 | > |λi |
(i = 2, . . . , n)
• svagt dominerende, hvis |λ1 | ≥ |λi |
Lad A være en diagonaliserbar matrix med en dominerende egenværdi λ1
og tilhørende egenvektor q1 . Lad v0 ∈ Rn og sæt vt = At v0 . Så findes et
tal c så
1
vt → c q1 , t → ∞
λt1
(Løst sagt siger sætningen, at vt ≈ c λt1 q1 for store værdier af t)
Bevis Vi har en basis bestående af egenvektorer q1 , . . . , qn så
(i = 2, . . . , n)
v0 = c1 q1 + . . . + cn qn
t
Opgave
Er en svagt dominerende egenværdi automatisk dominerende?
Er en dominerende egenværdi automatisk svagt dominerende?
7.5.2012
Dias 4/28
vt = A v0 = c1 λt1 q1 + . . . + cn λtn qn
Divider nu med λt1
1
λt
λt
vt = c1 1t q1 + . . . + cn nt qn
t
λ1
λ1
λ1
t
λn
= c1 q1 + . . . + cn
qn → c1 q1 + 0 + . . . + 0 = c1 q1
λ1
7.5.2012
Dias 5/28
københavns universitet
københavns universitet
Positive matricer
Perron-Frobenius sætning
Sætning: Perron-Frobenius
Definition
En n × n matrix A kaldes
• ikke-negativ (A > 0), hvis alle elementer er ≥ 0,
PF 1 Hvis A er positiv så har A en positiv og dominerende egenværdi
λ1 med en tilhørende positiv egenvektor q1 . Endvidere gælder: for
given v0 findes der et tal c så
• positiv (A 0), hvis alle elementer er > 0.
Opgave
Hvad er forskellen på positive og ikke-negative matricer?
Vigtige eksempler:
1
1
vt = t At v0 → c q1
λt1
λ1
t→∞
PF 2 Hvis A er ikke-negativ så har A en ikke-negativ og svagt
dominerende egenværdi λ1 med en tilhørende ikke-negativ
egenvektor q1
PF 3 Hvis A er ikke-negativ og der findes m så Am er positiv så gælder
konklusionerne i PF 1 om A.
• Overgangsmatricer
• Lesliematricer
Bemærk Perron Frobenius sætning er et ret dybtliggende resultat;
matricen A behøver ikke at være diagonaliserbar
7.5.2012
Dias 7/28
7.5.2012
Dias 8/28
københavns universitet
københavns universitet
Vigtige typer af ikke-negative matricer:
overgangsmatricer
• A er en overgangsmatrix.
• Første søjle i A indeholder sandsynlighederne for at en rask forbliver
Definition
En matrix
Eksempel: epidemimodellen
rask, bliver syg, dør eller bliver helbredt.

p11
 ..
P= .
pn1
···
..
.
···

p1n
.. 
. 
pnn
• A har egenværdierne 0.7, 0.8 og 1 (dobbeltrod).
• λ1 = 1 er en positiv og svagt dominerende egenværdi.
• Egenvektorer til egenværdien 1 er alle vektorer af formen
 
   
0
0
0
0
0 0

   
s
1 + t 0 = s  ,
0
1
t
er en overgangsmatrix hvis pij ≥ 0 og summen af alle elementer i hver
søjle er lig 1
Bemærk
s, t ∈ R
• Ofte fortolkes pij som sandsynligheden for overgang fra tilstand j til
tilstand i.
• At summen af alle tallene i søjle j er 1 betyder at overgangen fra
tilstand j skal ske til en af de mulige tilstande 1, . . . , n.
7.5.2012
Dias 10/28
Spørgsmål
Er 1 altid en (svagt) dominerende egenværdi for en overgangsmatrix?
7.5.2012
Dias 11/28
københavns universitet
københavns universitet
Overgangsmatrix
Vigtige typer af ikke-negative matricer:
Lesliematricer
Sætning
Lad P være en overgangsmatrix.
• λ = 1 er en svagt dominerende egenværdi for P
• Hvis der findes m så Pm 0, så findes for given v0 et c sådan at
t
vt = P v0 → c q,
hvor q er en egenvektor hørende til egenværdien 1
Definition: Lesliematrix
Matricen M er en Lesliematrix

b0
p0


M=0
 ..
.
0
Ligevægt for matrix
• En vektor v 6= 0 er en ligevægt for en matrix A hvis Av = v
• Sætningen ovenfor giver: Enhver overgangsmatrix P har en ligevægt
(Hvis q er en egenvektor hørende til egenværdien 1 så gælder
Pq = q.)
hvis
b1
0
p1
..
.
···
···
···
..
.
bn−1
0
0
..
.
0
···
pn−1

bn
0

0

.. 
.
pn
hvor b0 , . . . , bn , p0 , . . . , pn−1 er positive tal og pn ≥ 0
(Matricerne optræder i forbindelse med aldersopdelt populationsvækst.
Da kaldes tallene b0 , . . . , bn fødselsrater og p0 , . . . , pn overlevelsesrater.)
7.5.2012
Dias 14/28
7.5.2012
Dias 12/28
københavns universitet
københavns universitet
Aldersopdelt populationsvækst
Aldersopdelt populationsvækst
Ligninger
x0,t+1 = b0 x0,t + b1 x1,t + . . . + bn−1 xn−1,t + bn xn,t
I en dyrepopulation opdeles hunnerne efter alder i n + 1 klasser


x0,t
antal 0 årige i år t
 x1,t 
antal
1 årige i år t


vt =  . 
..
.
 . 
.
xn,t
x2,t+1 =
..
.
antal ≥ n årige i år t
Fødselsrater
0 årige får b0 hununger
1 årige får b1 hununger
..
.
Overlevelsesrater
0 årige har sandsynlighed p0 for at overleve
1 årige har sandsynlighed p1 for at overleve
..
.
n årige får bn hununger
n årige har sandsynlighed pn for at overleve
7.5.2012
Dias 15/28
x1,t+1 = p0 x0,t
p1 x1,t
xn,t+1 =
pn−1 xn−1,t + pn xn,t .
vt+1 = Mvt , hvor
Ligninger på matrixform

7.5.2012
Dias 16/28
b0
 p0


M=0
 ..
.
b1
0
p1
..
.
···
···
···
..
.
bn−1
0
0
..
.

bn
0

0

.. 
.
0
0
0
pn−1
pn
københavns universitet
københavns universitet
Lesliematrix
Eksempel 1: To aldersklasser
Sætning
Hunkaniner i to klasser: model
Lad M være en (n + 1) × (n + 1) Leslie-matrix. Da gælder
Mn+1 0.
Dermed har M en positiv dominerende egenværdi λ1 , en positiv
egenvektor q1 , og for given v0 findes der c så der gælder (med
vt = Mt v0 )
1
vt → c q1 t → ∞
λt1
• x0,t :
antal 0-årige hunkaniner i år t
• x1,t :
antal (mindst) 1-årige hunkaniner i år t
•
vt+1 =
x0,t+1
2.0
=
x1,t+1
0.7
1.5
x0,t
= Mvt
0.4
x1,t
Hunkaniner i to klasser: krystalkugle
Vi kan forudsige, at
• bestanden af unge såvel som gamle hunner vokser med en faktor
+ Vi vil illustrere denne sætning ved at gennemgå to konkrete
eksempler på modeller for aldersopdelt populationsvækst med brug
af R.
7.5.2012
Dias 17/28
(eller vækstrate) 2.5 med tiden
• fordelingen af bestanden af unge og gamle hunner med tiden nærmer
sig en bestand med 3 gange så mange unge som gamle hunner
7.5.2012
Dias 18/28
københavns universitet
københavns universitet
Hunkaniner i to klasser: egenværdier og -vektorer
Den dominerende egenværdi for matricen
2.0 1.5
M=
0.7 0.4
er λ = 2.5 og q =
Derfor gælder
3
1
er en tilhørende egenvektor.
1
2.5t
3
x0,t
→c
.
x1,t
1
Dette giver
x0,t+1
x0,t
x0,t
x1,t
7.5.2012
Dias 19/28
=
=
x0,t+1 /2.5t+1
c ·3
→ 2.5
= 2.5, t → ∞
t
x0,t /2.5
c ·3
x0,t /2.5t
c ·3
3
→
= = 3, t → ∞
x1,t /2.5t
c ·1
1
2.5
R-kode: fremskrivning i modellen
>
>
>
>
>
M <- matrix(c(2.0,0.7,1.5,0.4),2)
v0 <- c(100,0)
V <- matrix(v0,2)
v <- v0; for (k in (1:6)) {v <- M%*%v; V <- cbind(V,v)};
V
[,1] [,2] [,3]
[,4]
[,5]
[,6]
[,7]
[1,] 100 200 505 1262.0 3155.05 7887.620 19719.051
[2,]
0
70 168 420.7 1051.68 2629.207 6573.017
> V[1,3]/V[1,2]
[1] 2.525
> V[1,4]/V[1,3]
[1] 2.49901
7.5.2012
Dias 20/28
københavns universitet
københavns universitet
R-kode: Udvikling i bestanden
> # udregning af succesive kvotienter ved for-loekke
> for (k in 1:6) {print(V[1,k+1]/V[1,k])}
[1] 2
[1] 2.525
[1] 2.49901
[1] 2.500040
[1] 2.499998
[1] 2.5
> # alternativ udregning af succesive kvotienter, 1.koordinat
> V[1,(2:7)]/V[1,(1:6)]
[1] 2.000000 2.525000 2.499010 2.500040 2.499998 2.500000
> # udregning af succesive kvotienter, begge koordinater
> V[,(2:7)]/V[,(1:6)]
[,1] [,2]
[,3]
[,4]
[,5]
[,6]
[1,]
2 2.525 2.499010 2.500040 2.499998 2.500000
[2,] Inf 2.400 2.504167 2.499834 2.500007 2.500000
> eigen(M)$values
[1] 2.5 -0.1
københavns universitet
københavns universitet
Eksempel 1: Konklusioner
x0,t+1
→ 2.5
x0,t
for t → ∞ (vækstraten i det lange løb er 2.5)
• R: Det ser også ud til at
> # udregning af forholdene mellem 1. og 2. koordinater
> V[1,]/V[2,]
[1]
Inf 2.857143 3.005952 2.999762 3.000010 3.000000 3.000000
> Q <- eigen(M)$vectors
> Q
[,1]
[,2]
[1,] 0.9486833 -0.5812382
[2,] 0.3162278 0.8137335
> # normalisering af egenvektor, andenkoordinat lig med 1
> Q[1,1]/Q[2,1]
[1] 3
>
7.5.2012
Dias 22/28
7.5.2012
Dias 21/28
• R: Det ser ud til at
R-kode: Forhold mellem klasserne
x0,t
→3
x1,t
Dominerende egenværdi, egenvektor og
fremskrivninger
• Lad v0 = (x0,0 , x1,0 , . . . , xn,0 )>
• Beregn vt = (x0,t , x1,t , . . . , xn,t )> vha vt = Mt v0
• Hvad betyder resultatet λ1t vt → c q1 ?
1
Perron Frobenius: Konsekvens 1
Væksten i klasserne tilnærmer dominerende egenværdi for store t:
for t → ∞ (fordelingen mellem klasserne i det lange løb er tre gange
så mange unge som gamle)
x0,t+1
' λ1 ,
x0,t
x1,t+1
' λ1 ,
x1,t
...
,
xn,t+1
' λ1
xn,t
• Matematisk begrundelse: Den dominerende egenværdi for M er 2.5
og
3
1
er en tilhørende egenvektor
7.5.2012
Dias 23/28
Perron Frobenius: Konsekvens 2
Fordelingen mellem klasserne tilnærmer en tilhørende egenvektor q1 for
store t:
>
x0,t
xn−1,t
1
,...,
,1
=
vt ' q1
xn,t
xn,t
xn,t
7.5.2012
Dias 24/28
københavns universitet
københavns universitet
Eksempel 2: Tre aldersklasser
• x0,t :
antal 0-årige hunkaniner i år t
• x1,t :
antal 1-årige hunkaniner i år t
• x2,t :
antal 2-årige hunkaniner i år t
• ingen ældre kaniner
Aldersspecifikke fødselsrater b0 = 0.4, b1 = 1.1, b2 = 0.6
Aldersspecifikke overlevelsesrater p0 = 0.8, p1 = 0.5, p2 = 0
Fører til modellen vt+1 = Mvt med


 
0.4 1.1 0.6
x0,t
0  og vt = x1,t 
M = 0.8 0
0 0.5 0
x2,t
7.5.2012
Dias 25/28
københavns universitet
>
>
>
>
>
#
#
>
N <- 10
M<-matrix(c(0.4,0.8,0,1.1,0,0.5,0.6,0,0),3);
v0<-c(100,0,0)
V <- matrix(v0,3)
v <- v0; for (k in (1:N)) {v <- M%*%v; V <- cbind(V,v)};
bestemmelse af dominerende egenværdi
ved succesive kvotienter
V[,(2:(N+1))]/V[,(1:N)]
[,1] [,2]
[,3]
[,4]
[,5]
[,6]
[,7]
[,8]
[1,] 0.4 2.6 0.9692308 1.4031746 1.2036199 1.273233 1.247762 1.256330
[2,] Inf 0.4 2.6000000 0.9692308 1.4031746 1.203620 1.273233 1.247762
[3,] NaN Inf 0.4000000 2.6000000 0.9692308 1.403175 1.203620 1.273233
[,9]
[,10]
[1,] 1.253553 1.254398
[2,] 1.256330 1.253553
[3,] 1.247762 1.256330
7.5.2012
Dias 26/28
københavns universitet
Eksempel 2: Konklusioner
# bestemmelse af egenvektor
# ved forholdet mellem 1., 2. og 3. koordinater
> for (k in (1:N)) {print(V[,k]/V[3,k])};
[1] Inf NaN NaN
[1] Inf Inf NaN
[1] 2.6 0.8 1.0
[1] 6.3 5.2 1.0
[1] 3.400000 1.938462 1.000000
[1] 4.222222 2.806349 1.000000
[1] 3.831222 2.407240 1.000000
[1] 3.971729 2.546466 1.000000
[1] 3.919003 2.495524 1.000000
[1] 3.937191 2.512661 1.000000
>
7.5.2012
Dias 27/28
• Dominerende og positiv egenværdi λ1 ' 1.25
• Tilhørende positiv egenvektor


3.94
q1 ' 2.51
1.00
• Sammenligning λ1 og q1 bestemt direkte vha. R:
> eigen(M)$values
[1] 1.2542086+0.0000000i -0.4271043+0.0945392i -0.4271043-0.0945392i
> Q <- eigen(M)$vectors
> Q[,1]/Q[3,1]
[1] 3.932598+0i 2.508417+0i 1.000000+0i
>
7.5.2012
Dias 28/28