LED-lys_marts_2015

OPGAVER
1
Opgaver til
Uge 9 – Store Dag
Opgave 1
Lineær afbildning og basisskifte. Repetition
Givet vektorerne v1 = (1, 2, 0), v2 = (0, 1, 4) og v3 = (0, 0, 1) i R3 og w1 = (1, 0, 0, 0),
w2 = (1, 1, 0, 0), w3 = (1, 1, 1, 0) og w4 = (1, 1, 1, 1) i R4 .
a) Vis, at sættet (v = v1 , v2 , v3 ) udgør en basis for R3 og at sættet w(w1 , w2 , w3 , w4 )
udgør en basis for R4 .
Lad nu f : R3 → R4 være den lineære afbildnig, som er bestemt ved
f (v1 ) = w1 + w2 ,
f (v2 ) = w2 + w3 ,
(1)
f (v3 ) = w3 + w4 .
b) Angiv afbildningsmatricen for f med hensyn til basis v i R3 og basis w i R4 .
c) Bestem afbildningsmatricen for f med hensyn til de sædvanlige baser i hhv. R3 og
R4 .
Opgave 2
Lineær afbildning på komplekst vektorrum
Vi betragter mængden C2 af komplekse talpar. Addition og multiplikation med skalar
defineres i lighed med R2 ved pladsvis addition af koordinaterne henholdsvis multiplikation af hver af koordinaterne med skalaren. Vi tillader her at skalaren selv er et
komplekst tal. Dermed er C2 et vektorrum over de komplekse tal.
a) Gør rede for at standardbasen e = (1, 0), (0, 1) for R2 ogs˚a er en basis for vektorrummet C2 . NB: Denne basis kaldes standard for C2 .
OPGAVER
2
Lad f : C2 → C2 være den lineære afbildning, der med hensyn til standardbasis i C2
har afbildningsmatricen
1−i
i
.
(2)
e Fe =
−i 1 + i
Lad endvidere b1 = (i, i ) , b2 = (1, 1 + i ) og v = (2, 2 + 3i ) være givne vektorer i C2 .
b) Vis, at sættet b = (b1 , b2 ) er en basis for C2 og find koordinatmatricen for v med
hensyn til denne basis.
c) Find afbildningsmatricen b Fb for f med hensyn til basis (b1 , b2 ), og skriv f (v) som
en linearkombination af b1 og b2 .
Opgave 3
Lineær afbildning på funktionsrum
a) En afbildning f : C ∞ (R) → C ∞ (R) er givet ved
f ( x (t)) = x 0 (t) .
Vis, at f er lineær, bestem ker( f ) og løs ligningen f ( x (t)) = sin(t) .
b) En afbildning f : C ∞ (R) → C ∞ (R) er givet ved
f ( x (t)) = x 0 (t) − x (t) .
Vis, at f er lineær og bestem ker( f ) .
c) En afbildning f : C ∞ (R) → C ∞ (R) er givet
f ( x (t)) = x 0 (t) + 2x (t) .
Vis, at f er lineær, og bestem ker( f ).
Opgave 4
Lineær afbildning på komplekst funktionsrum
I eNote 29 om komplekse tal indføres de s˚akaldte komplekse funktioner af en reel variabel. Det er funktioner z(t) p˚a formen
z(t) = x (t) + i · y(t)
hvor x (t) og y(t) er reelle funktioner. I den nævnte eNote vises at
z0 (t) = x 0 (t) + i · y0 (t) .
De komplekse funktioner z(t) som er defineret for alle t ∈ R , og som kan differentieres
et vilk˚arligt antal gange, udgør et vektorrum som betegnes (C ∞ (R), C) .
OPGAVER
3
a) En afbildning f : (C ∞ (R), C) → (C ∞ (R), C) er givet ved
f (z(t)) = (1 + i ) · z(t) .
Løs ligningen f (z(t)) = t + (1 − i ) · t2 . Løsningen ønskes angivet p˚a rektangulær
form x (t) + i · y(t) .
b) En afbildning f : (C ∞ (R), C) → (C ∞ (R), C) er givet ved
f (z(t)) = z0 (t) − c · z(t) , c ∈ C .
Vis at f er lineær, og at k ect for ethvert k ∈ C tilhører ker( f ) . Antag nu c 6= 0 .
Vis at − 1c + k ect for ethvert k ∈ C er en løsning p˚a ligningen f (z(t)) = 1 .
c) En afbildning f : (C ∞ (R), C) → (C ∞ (R), C) er givet ved
f (z(t)) = z00 (t) + z(t) .
Vis at f er lineær,
at funktionerne
eit og e−it tilhører kernen for f . Gør rede
og
it
−
it
for at U = span e , e
er et underrum af ker( f ) .
Opgave 5
Lineær afbildning på polynomiumsrum
I vektorrummet P2 (R) er givet vektorerne
P1 ( x ) = 1 + x − x2 , P2 ( x ) = 2 + x − x2 og P3 ( x ) = 1 − x2 .
(3)
Lad endvidere f : P2 (R) → P2 (R) være den lineære afbildning, der med hensyn til
monomiebasis (1, x, x2 ) i P2 (R) har afbildningsmatricen


1
6
4
3
3 .
m Fm =  1
−1 −4 −3
(4)
a) Vis, at ( P1 ( x ), P2 ( x ), P3 ( x )) udgør en basis for P2 (R).
b) Skriv f (6 − x − 2x2 ) dels som en linearkombination af 1, x og x2 og dels som en
linearkombination af P1 ( x ), P2 ( x ) og P3 ( x ).
OPGAVER
Opgave 6
4
Lineær afbildning på funktionsrum. Advanced
Lad U være det underrum af C ∞ (R), som er udspændt af vektorerne cos t, sin t og et .
a) Vis, at cos t, sin t og et udgør en basis for U.
En lineær afbildning f : C ∞ (R) → C ∞ (R) er givet ved:
f ( x (t)) = x 0 (t) + 2x (t) .
b) Vis, at f afbilder U ind i sig selv.
c) Angiv afbildningsmatricen for f : U → U med hensyn til basis (cos t, sin t, et ).
Opgave 7
Træningsopgave
Givet matricerne



1
1
1
1
1
 −1

 −1
0
1
0
 og D = 
A =
 1


2
3
1
2
1 −1 −3
1 −1
0
0
1
0

0
0
.
0
1
(5)
Lad f : R3 → R4 betegne den lineære afbildning, der med hensyn til de sædvanlige
baser i R3 og R4 har A som afbildningsmatrix.
a) Vis, at v1 = (1, 0, 0), v2 = (0, 1, 0) og v3 = (1, −2, 1) udgør en basis for R3 .
b) Find koordinaterne for f (v1 ), f (v2 ) og f (v3 ) i forhold til den sædvanlige basis i
R4 .
c) Vis, at D er regulær, og udregn D−1 .
Vis, at d1 = (1, −1, 1, 1), d2 = (1, 0, 2, −1), d3 = (0, 0, 1, 0) og d4 = (0, 0, 0, 1)
udgør en basis for R4 .
d) Angiv koordinaterne for e b = (1, 1, 3, −3) i forhold til d-basis (d1 , d2 , d3 , d4 ).
e) Find koordinaterne for f (v1 ), f (v2 ) og f (v3 ) i forhold til d-basis, og find afbildningsmatricen for f med hensyn til v-basis (v1 , v2 , v3 ) i R3 og d-basis i R4 .
Opgave 8
Træningsopgave
Lad f : P1 (R) → P1 (R) være en lineær afbildning, som opfylder
f (1 + 4x ) = 1 − 2x
og
f (−2 − 9x ) = 2 + 4x.
a) Angiv afbildningsmatricen for f med hensyn til monomiebasis (1, x ).
b) Find polynomiet f (1 + 3x ).
(6)