Lineære Modeller

LINEÆR UAFHÆNGIGHED
Goutham Jørgen Surendran13. januar 2012
Indhold
Lineær uafhængighed
1
Lineær afbildninger
2
Spektralteori
3
Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler
4
Komplekse tal
4
(Hvad ethvert dannet menneske skal vide om) Uendelige rækker af funktioner
6
Indeks
8
Lineær uafhængighed
Lineær uafhængighed Et vektorsæt i
Rn siges at være lineær uafhængige, hvis og kun hvis ingen af
vektorerne kan skrives som en linearkombination af de øvrige vektorer.
Metoden; Reducer til Echelon-matrix, nd intialle 1-taller i søjlerne (Hver søjler repræsentere en vektor).
Vektorer uden et intialt 1-tal er en linearkombination af de øvrige vektorer.
Bemærk : Hvis man har et ortogonalt sæt af vektorer og ingen af dem er ¯0 ⇒ Sættet er lineært uafhængigt *
jf. Grassmanns udskifningssætning
Eksempel: Der givet følgende vektorer:
     
1
0
1
0 , 0 , 1 ∈ R3
1
1
2
(1)
Reducér

1
0
1
0
1
1


1
1
1 ,→ 0
0
2
0
1
1


1
1
1 ,→ 0
1
0
0
1
0

1
1
0
(2)
Linearkombination; Eksempel : Her tages ud i den reducerede matrix i ligning (2)
u3 = u1 + u2
(3)
Dermed er koordinatsættet til u3 :
Vu3
1
=
1
(4)
Basis; For en basis skal da gælder, at:
1. Basisvektorerne (¯u1 , u¯2 , . . . , u¯k ) er linæert uafhængige
2. Span {¯u1 , u¯2 , . . . , u¯k }
Eksempel: Betragt matricen i ligning (2). Udfra matricen ses, at de 2 første vektorer er lineært uafhængige, den 3. er en linearkombination af de to andre vektorer.
Grassmanns udskiftningssætning; Lad (a¯1 , a¯2 , a¯3 , . . . , a¯p ) være et lineært uafhængigt sæt af vektorer
i <n og lad U= span{¯a1 , a¯2 , a¯3 , . . . , a¯p )}
Hvis (a¯1 , ¯b2 , ¯b3 , . . . , ¯bq ) er et lineært uafhængigt sæt af vektorer fra U, gælder der at q ≤ p og det er muligt
at udskifte q vektorer i sættet (a¯1 , a¯2 , a¯3 , . . . , a¯p ) med vektorerne fra (¯b1 , ¯b2 , ¯b3 , . . . , ¯bp ), således at dette
nye sæt er lineært uafhængig og udspænder U.
1
LINEÆR AFBILDNINGER
Goutham Jørgen Surendran13. januar 2012
Gram-Schmidt's ortonormalisering For en vektorsættet (a1 , a2 , a3 ) som er en basis for R3 , bestemmes ortonormalebasis (b1 , b2 , b3 ) for (a1 , a2 , a3 ) således):
c1 = a1
(5)
a2 c1
c2 = a2 −
c1
c1 c1
a3 c2
c3 = a3 −
c2
c2 c2
(6)
(7)
(c1 , c2 , c3 ) er en ortogonalbasis for (a1 , a2 , a3 )
1
c1
||c1 ||
1
c2
b2 =
||c2 ||
1
b3 =
c3
||c3 ||
b1 =
(8)
(9)
(10)
Dermed er den ortonormale basis (b1 , b2 , b3 ) for (a1 , a2 , a3 ) bestemt.
Lineær afbildninger
Lineær afbildning T:
Rn ⇒ Rm Følgende betingelser skal gælde for en lineær afbildning T: Rn ⇒ Rm :
1. ∀¯x, y¯ ∈ Rn : T (¯x + y¯) = T x¯ + T y¯
2. ∀¯x ∈ Rn ∀λ ∈ R : T (λ¯x) = λT (¯x)
• T (¯
0) = ¯
0 (Nødvendig betingelse)
• ∀¯
x ∈ R : T (−¯
x) = −T (¯
x) (Nødvendig betingelse)
Bemærk Det gælder at, hvis T y¯ = λ¯
y , hvor λ er en skalaring (λ 6= 0) da er λ en egenværdi for T-matricen *
og y¯ den tilhørende egenvektor for λ.
Rang; Antallet dimensioner matricen spænder over. Dette kan bestemmes ud fra antallet af ledende
1-taller i Echelon-matricen. rg(A)
Fuldrang; For en matrix x¯ ∈ Rn , hvor antallet af ledende 1-taller er n (dermed lig antallet af rækker)
Den kan dermed omdannes til Echelon-matrice.
Underrums dimensioner; dim(U) er det maksimale antal lineært uafhængige vektorer i U
Bemærk : dim(U ) + dim(U ⊥ = dim(Rn ) = n
*
Eksempel : Hvis U = span{¯a1 , a¯2 } ∈ Rn ⇒ dim(U ) = 2
Nulrummet N (T ) = {x ∈ Rn |T x¯ = ¯0} Nulrummet for den lineære afbildning T, er de x¯, hvor lineære
afbildning er ¯0, ergo x ∈ N (T ) ⇔ T x¯ = ¯0:

a

d
Tx
¯=
g
b
e
h

 

c
x1
0
f   x2  =  0 
i
x2
0
(11)
Eksempel:


1 0 1
⇔ 0 1 1
1 1 2

1 0 1
T = 0 1 1 
1 1 2
 

0
1 0 1 0
x1 + x3 = 0 ⇒ x1 = −x3
0  = 0 1 1 0 
x2 + x3
⇒ x2 = −x3
0
0 0 0 0
x3 er fri
2
(12)
(13)
SPEKTRALTEORI
Goutham Jørgen Surendran13. januar 2012
Med dette ndes udspændet af nulrummet;

 



x1
−x3
−1
 x2  =  −x3  = x3  −1  x3 6= 0
x3
x3
1
(14)


 −1 
N (T ) = span  −1 


1
(15)
Derud fra gælder, at:
Billedrummet R(T ) = {T x|x ∈ Rn } = {y ∈ Rm |∃x ∈ Rn : T x = y}. Dimensionen af billedetrummet er
det samme som rangen af matricen, dvs. rg(T)=dim(R(T))
Injektiv; At en lineær afbildning rammer punkter maksimalt én gang.
For en injektiv lineær afbildning, T: Rn ⇒ Rm , gælder, at nulrummet kun består af nulvektoren,
N (T ) = {¯
0}.
Surjektiv; At en lineær afbildning, T : Rn ⇒ Rm , rammer alle punkter i Rm mindst én gang. Afbildningsmatricen skal derfor være af fuld rang.
Bemærk: T: Rn ⇒ Rm hvor n 6= m, da kan afbildningsmatrice aldrig være surjektiv.
Bijektiv; En lineær afbildning, T: Rn ⇒ Rm , der både er injektiv og surjektiv. Dermed rammer T alle
punkter i Rn én gang. Hvis og kun hvis afbildningsmatrice er en regulær matrice, hvormed den kan omdannes til en enhedsmatrix. Dermed vil T også have en invers matrice T −1 , hvor T T −1 = I
Isometri; Her gælder at ∀x ∈ Rn : kT x¯k = k¯xk
Spektralteori
Spektralsætningen; Hvis en kvadratisk matrice A nxn er diagonaliserbar (har dermed n forskelige
egenværdier og egenvektorer)da gælder;
A = V DV −1
(16)
hvor V har egenvektorer i søjlerne og D er diagonalmatricen med egenværdier i diagonalen.
Spektralteorien for symmetriske matricer For en symmetrisk matrice A ndes D og Q;
1. for D: skrive egenværdier i diagonalen
2. for Q: bruge de tilhørende normerede egenvektorer som søjler
Der gælder derfra, at:
D = Q−1 AQ = QT AQ
(17)
jf. spektralsætningen, hvor D er diagonalmatrice med egenværdierne og Q er en ortogonalmatrice med
egenvektorer som søjler.
Sporafbildningen; Er en linære afbildningen, der giver summen af diagonalen.
Bemærk : For kvardratiske matrice gælder følgende; T r(AB) = T r(BA), T r(A) = T r(At ), (A|B) = *
T r(At B) = T r(B t A) Eksempel: Ud fra matricen T i ligning (12) vil sporafbildning:

1
T r(T ) = T r 0
1
0
1
1

1
1 = 1 + 1 + 2 = 4
2
(18)
Egenværdimultiplikatoren; Antallet af dimensioner den tilhørende egenvektor(er) for egenværdien
spænder over, emA (λi ).
Bemærk 0 ≤ emA (λi ) ≤ rmA (λi ), og for symmetriske matricer rmA (λi ) = emA (λi )
*
Rodmultiplikatoren; Antallet af gange et tal er egenværdi for matricen, rmA (λi ).
3
KOMPLEKSE TAL
Goutham Jørgen Surendran13. januar 2012
Funktionskalkyle for symmetriske kalkyler
Spektret Er σ(A) (mængden af egenværdierne=spektret).
For en symmetrisk matrice (jf. spektralteorien) og f : R → R deneret på spektret gælder, at:
f (A) = f (QDQ−1 ) = Qf (D)Q−1
(19)
Bemærk sin(A), cos(A) og eA er deneret for alle symmetriske matricer. ln(A) er deneret for alle *
matricer, som er positiv denit. Positiv denit ⇒ egenværdierne≥ 0 (se Denit 5)
Specialtilfælde;
det(f (A)) = det(QDQ−1 ) = det(Q)det(f (D))det(Q−1 ) = det(QQ−1 )det(f (D)) = det(f (D))
(20)
Bemærk at man da kan udlede, at en matrice A ikke er regulær, hvis den har en egenværdi 0, da *
determinanten til diagonalmtricen, da vil være 0.
Komplekse tal
Komplekse tal; a +√bi ∈ C, hvor i er den imaginære tal
√
Imaginære tal; i = −1. Betragt det imaginære tal som et værktøj/denition, hvor man inddrager −1
til de realle tal. F.eks.:
f (z) = az 2 + bz + c = 2z 2 − 4z + 4 = 0; d = (−b)2 − 4ac = −16
(21)
For realle tal,R, er det ikke muligt at bestemme rødder for f(z). Men med de komplekse tal (og dermed
også i ), C, kan man arbejde videre:
√
√ √
√
√
4 ± −16
4 ± 16 −1
−b ± d
=
=
= 1 + −1 = 1 + i
x=
2a
4
4
(22)
Newtons binomialformel
n n−1
n n−2 2
n
(a + b) = a +
a
b+
a
b ...
abn−1 + bn
1
2
n−1
n
n
(23)
a
a!
= b!(a−b)!
b
Reale del; Re (cos(nx) + isin(nx)) = cos(nx)
Imaginære del; Im (cos(nx) + isin(nx)) = sin(nx)
hvor
*
*
Eulers lov
einx = cos(nx) + isin(nx); x, n ∈ R
−inx
+e
2
einx − e−inx
sin(nx) =
; x, n ∈ R
2i
R
Eksempel ; Vi får givet følgende cos3 (x)dx:
cos(nx) =
3
3
eix + e−ix
1 ix
=
e + e−ix
2
8
1
3 3ix
3 ix
3 −ix
3 −3ix
e +
e +
e
+
e
0
1
2
3
8
3ix
1 e + e−3ix
eix + e−ix
1
+3
= (cos(3x) + 3cos(x))
4
2
2
4
Z
1
1 1
cos(3x) + 3cos(x)dx =
sin(3x) + 3sin(x) + k
4
4 3
3
cos (x) =
=
=
Z
e
inx
cos3 (x)dx =
4
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
KOMPLEKSE TAL
Goutham Jørgen Surendran13. januar 2012
De Moivre's formel Formellen er således og benyttes til at omdanne cos og sin:
(31)
(cos(x) + isin(x))n = cos(nx) + isin(nx); x ∈ R
Eksempel ; Bestem cos(2x),sin(3x),os(3x) og sin(3x), udnyt real del, imaginær del og cos(x)2 + sin(x)2 =
1:
2
cos(2x) = Re (cos(x) + sin(x)) = Re cos2 (x) − sin2 (x) + 2cos(x)isin(x)
(32)
(33)
= cos2 (x) − sin2 (x) = cos2 (x) + (cos2 (x) − 1) = 2cos2 (x) − 1
2
sin(2x) = Im (cos(x) + sin(x)) = 2cos(x)sin(x)
(34)
3
cos(3x) = Re (cos(x) + sin(x)) = Re cos3 (x) + 3cos(x)2 isin(x) − 3cos(x)sin(x)2 − isin3 (x) (35)
(36)
= cos3 (x) − 3cos(x)sin(x)2 = cos2 (x) + 3cos(x)(sin2 (x) − 1) = 4cos3 (x) − 3cos(x)
3
sin(3x) = Im (cos(x) + sin(x)) = 3cos(x)2 sin(x) − sin3 (x) = 3sin(x) − 4sin(x)4
(37)
(38)
Egenværdier
For diagonal- og trekantsmatricer Egenværdierne aæses i diagonalen.
Generelt Bestem det karakteristiske polynomium for en 3x3 matrice. Dette kan gøres på to måder. Her
bruges den generelle metoder for matricer, hvor der udvikles om 1. søjle (kaldes strkla Places' udviklingsformel);
PA(t)
a−t
b
c e−t
f = det(A − tE3 = d
g
h
i−t e−t
f 2+1 b
+
(−1)
d
= (−1)1+1 (a − t) h
h
i−t
(39)
b
c 3+1 +
(−1)
g
e−t
i−t
c f (40)
Egenværdierne λ1 , λ2 og λ3 , er de (3) t'er, hvor det karakteristiske polynomium er 0.
Husk: Noter her rmA (λi ). Dette er antallet af gange tallet for λi er rod til det karakteriske polynomium. *
EgenvektorerBestem de tilhørende egenvektorer ved at reducere den karakteriske polynomium for hver
egenværdi. Eksempel for en given matrice og en egenværdi 3:
 
−2
1−3
2
0
1−3
0 = 2
= A − 3E3 =  2
0
0
0
4−3


1 −1 0
x1 − x2 = 0 ⇒ x1
=  0 0 1  x2 er fri
0 0 0
x3 = 0

PA(3)
2
−2
0
= x2

0
0 
1
(41)
(42)
Med dette kan man nde egenvektoren for egenværdien 3 således:

 

 
x1
x2
1
 x2  =  x2  = x2  1  x2 6= 0
x3
0
0
(43)
  
 1 
VA (3) = span  1 


0
(44)
Derud fra gælder, at:
Husk: Noter her
VA (i)).
emA (λi ). Dette er antallet af dimensioner egenvektoren spænder over (tæl vektorer i
Egenværdimultiplikatoren, emA (3) er 1.
Denit For en symmetrisk matricer gælder følgende:
1. A er positiv denit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er positive
5
*
(HVAD ETHVERT DANNET MENNESKE SKAL VIDE OM) UENDELIGE RÆKKER AF
FUNKTIONER
Goutham Jørgen Surendran13. januar 2012
2. A er positiv semidenit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er ikke-negativ
3. A er negativ denit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er negative
4. A er negativ semidenit, hvis og kun hvis samtlige egenværdier er ikke-positive
Polynomisk division Polynomisk division kan benyttes til at reducere et polynomium til f.eks. 2.gradsligning. F.eks. kan følgende 3.gradsligning reduceres:
(45)
f (t) = at3 + bt2 + ct + da 6= 0
1. Find alle q, således at
d
q
= p, hvor q, p ∈ Z (Z →Heltal)
2. Find et q, hvor f (qi ) = 0. Dette er 1 af 3 løsninger til f(t)(Èn er nok).
3. Divider f(t) med t − qi , hvor qi opfylder f (qi ) = 0.
4. Løs 2.gradsligningen fra den polynomiske division.
5. Løsningen for f(t) er da qi fra punkt 2 og løsningerne fra punkt 4. Fås kun 2 løsninger er den ene
en dobbeltrod. Dobbeltroden er den, der opopfylder f 0 (t) = 0
Eksempel : Der er givet følgende ligning:
(46)
g(t) = −t3 + 3t + 2
1. Her ses at; q1 = 1, q2 = −1, q3 = 2, q4 = −2
2. Ved at indsætte, indses at g(−1) = 0 og g(2) = 0
3. Her udnyttes q2 = −1 og g(t) divideres derfor med t − (−1):
t+1
3
−t + 3t + 2 −t2 + t + 2 = g˜(x)
−t3 − t2
2
t + 3t + 2
t2 + t
2t + 2
2t + 2
(47)
4. Rødderne til 2.gradsligningen g˜(x) er dermed t2 = −1,t3 = 2
5. Løsningen er for f (t) = 0 er da t1 = −1,t2 = −1 og t3 = 2 (-1 er dobbeltrod)
(Hvad ethvert dannet menneske skal vide om) Uendelige rækker
af funktioner
Sum for endelige rækker; Det gælder følgende for en sumfunktioen:
k
X
xn =
n=0
1 − xk+1
; |x| < 1
1−x
(48)
Sum for uendelige rækker; Det gælder følgende for en sumfunktioen:
∞
X
xn =
n=0
1
; |x| < 1
1−x
Summen for funktion; For en funktion g(x), der er
x∈ [a; b], da gælder, at:
g˜(x) =
∞
X
(g(x))n =
n=0
6
C ∞ og rækket
(49)
P∞
1
på x ∈ [a; b]
1 − g(x)
n=0 (g(x))
n
er konvergent for
(50)
(HVAD ETHVERT DANNET MENNESKE SKAL VIDE OM) UENDELIGE RÆKKER AF
FUNKTIONER
Goutham Jørgen Surendran13. januar 2012
Når der gives opgaver i sum af funktioner, giver oftest følgende spørgsmål:
1. For hvilke x er g˜(x) deneret/For x er rækken konvergent.
Løs da |g(x)| < 1 ⇔ x ∈ I .
2. Hvad er regneforskriften for g˜(x):
1
1−g(x) for x ∈ I
3. Monotoniforhold g˜ dierentiabel: 0
g (x)
Beregn g˜0 (x) Bemærk at g˜0 (x) = (1−g(x))
˜0 (x) har samme monotoniforhold
2 , hvormed g(x) og g
4. Værdimængden for g˜(x)
Udnyt monotoniforholdene og x ∈ I
Bemærk Der kan gives en gives en ekstra, der ofte er modiceret version af den første sumrække. Der er *
oftest funktionen g(x) dierentieret. En metode til at bevise dette ses forneden:
g˜(x) =
∞
X
a · f (x)n = a + af (x) + af (x)2 + af (x)3 + . . .
(51)
n=0
g˜0 (x) = 0 + af 0 (x) + 2af 0 (x)f (x) + 3af 0 (x)f (x)2 + . . .
0
2
= af (x)(1 + 2f (x) + 3f (x) + . . .)
∞
X
=
af 0 (x)(n + 1)f (x)n
(52)
(53)
(54)
n=0
Fra punkt 3 vides at regneforskriften for g˜0 (x) er:
g˜0 (x) =
∞
X
af 0 (x)(n + 1)f (x)n =
n=0
7
g 0 (x)
1 − g(x)
(55)
Indeks
Basis, 1
Bijektiv, 3
Billedrummet, 3
De Moivre's formel, 5
Denit, 5
diagonaliserbar, 3
Egenværdier, 5
Egenværdimultiplikatoren;, 3
Egenvektorer, 5
Eulers lov, 4
Fuldrang;, 2
Gram-Schmidt's ortonormalisering, 2
Grassmanns udskiftningssætning;, 1
Imaginære del, 4
Imaginære tal, 4
Injektiv, 3
Isometri, 3
Komplekse tal, 4
Lineær afbildning T: Rn ⇒ Rm , 2
Lineær uafhængighed, 1
Linearkombination, 1
Newtons binomialformel, 4
Nulrummet, 2
ortonormalebasis, 2
Polynomisk division, 6
Rang;, 2
Reale del, 4
Rodmultiplikatoren, 3
Spektralsætningen, 3
Spektralteorien for symmetriske matricer, 3
Spektret, 4
Sporafbildningen, 3
Sum for endelige rækker, 6
Sum for uendelige rækker, 6
Summen for funktion, 6
Surjektiv, 3
Underrums dimensioner, 2
8