Differentialligninger og parameterkurver

Transcription

Differentialligninger
Elementær Matematik
• Differentialligninger
• Parameterkurver
• Keglesnit
Ole Witt-Hansen
Køge Gymnasium 2008
0
1
Indhold
Indhold .................................................................................................................................................1
Kap 1. Differentialligninger.................................................................................................................2
1. Differentialligninger af første orden ............................................................................................2
1.1
Første ordens differentialligninger..................................................................................2
1.2
Eksempler på 1. ordens differentialligninger ..................................................................4
1.3 Fuldstændige løsning til den lineære differentialligning af første orden ..............................8
2. Differentialligninger af anden orden............................................................................................9
2.1 Wronski-determinanten........................................................................................................10
2.2 Entydighed af en løsning......................................................................................................12
3. Eksempler på problemer, der fører til differentialligninger .......................................................15
3.1 Trykkets afhængighed af højden over jordoverfladen..........................................................15
3.2 Kædelinien ...........................................................................................................................16
4. Numerisk integration af differentialligninger ............................................................................18
5. Differentialligningsmodeller......................................................................................................20
5.1 Forløbet af en influenza epidemi. ........................................................................................21
5.2 Differentialligning for vekselvirkning mellem to dyrearter.................................................24
5.3 Konkurrerende arter ............................................................................................................27
Kap 2. Parameterkurver .....................................................................................................................31
1. Indledende betragtninger.......................................................................................................31
2. Vektorfunktioner.....................................................................................................................31
3. Tangent til en parameterkurve...............................................................................................33
3.1 Lodrette, vandrette tangenter og spidser. ............................................................................36
4. Undersøgelse af parameterkurver .........................................................................................37
5. Kurvelængde og overstrøget areal .............................................................................................45
Kap 3. Keglesnit................................................................................................................................51
1. indledning...................................................................................................................................51
2. Ellipsen.......................................................................................................................................51
2.1 Ellipsens ligning...................................................................................................................52
2.2 Ellipsens parameterfremstilling...........................................................................................53
2.3 Ellipsetangent.......................................................................................................................53
2.4 Ellipsens ledelinier...............................................................................................................54
3. Hyperblen...................................................................................................................................54
3.1 Hyperblens asymptoter ........................................................................................................56
3.2 Hyperbolske funktioner. Hyperblens parameterfremstilling ...............................................56
4. Parablen......................................................................................................................................58
4.1 En sætning om brændstrålen og normalen ..........................................................................59
5. Keglesnit ....................................................................................................................................60
5.1 Ellipse...................................................................................................................................61
5.2 Parabel.................................................................................................................................61
5.3 Hyperbel...............................................................................................................................62
Kap 1. Differentialligninger
1. Differentialligninger af første orden
En differentialligning af første orden er en ligning, hvor der foruden en funktion y=f(x) indgår differentialkvotienten af denne funktion y' = f '(x). Hvis også den 2. afledede y'' = f ''(x) indgår, så siges differentialligningen at være af 2. orden. Vi minder om skrivemåden:
(1.1)
f ' ( x) =
dy
dx
samt definitionen af differentialet af en funktion
(1.2)
dy = f ' ( x)dx .
Formelt kan man sige, at differentialet dy fås ved at "gange over med" dx i (1.1).
Vi skal ikke beskæftige os med differentialligninger af højere orden end to.
En førsteordens differentialligning, kan skrives:
dy
= H ( y, x) ,
dx
hvor H er en vilkårlig (kontinuert) funktion af y og x.
At løse differentialligningen vil sige at bestemme alle de funktioner: y = f(x), der opfylder
f '(x) = H(f(x),x).
Vi illustrerer dette med et eksempel:
1.3 Eksempel.
dy y 2 + y
=
+ x . Differentialligningen kan ikke umiddelbart løses, men vi gætter på
dx
x
y2 y
løsningen: y = x·tan(x). Vi differentierer: y' = x·( 1 + tan 2 x)+ tan x =
+ +x
x x
Det er herefter nemt at indse, at alle funktionerne: y = x·tan(x+c). er løsninger til differentialligningen ovenfor.
Det er helt karakteristisk, at løsningerne til en 1. ordens differentialligning, kun er bestemt på nær én integrationskonstant.
Vi ser på differentialligningen:
Eksemplet ovenfor er ikke karakteristisk for de differentialligninger vi skal se på, men det viser
blot, hvorledes man kan undersøge om en funktion er løsning.
1.1 Første ordens differentialligninger
Vi har allerede set på differentialligninger, hvor y ikke optræder i ligningen, dvs. en ligning af formen:
2
3
dy
= f (x)
dx
Der som bekendt har løsningen:
(1.4)
(1.4)
eller
y = ∫ f ( x)dx
y = F ( x) + c; c ∈ R , hvor F'(x) = f(x)
En lineær differentialligning af 1.orden er en ligning, hvor y' og y kun optræder i 1. potens (lineært).
En sådan ligning kan skrives:
dy
+ g 2 ( x) y = h1 ( x)
dx
Hvis vi indskrænker os til intervaller, hvor g1(x)≠0, kan vi dividere med g1(x) og ligningen får da
udseendet:
dy
(1.5)
+ g ( x) y = h( x)
dx
g1 ( x )
hvis h(x) = 0 siges ligningen at være homogen:
dy
+ g ( x) y = 0
dx
Man kan angive den fuldstændige løsning til en 1. ordens differentialligning, men før vi viser dette,
skal vi se på differentialligninger, hvor man kan separere afhængigheden af y og x på hver side af
lighedstegnet. Vi skriver en sådan ligning:
(1.6)
g ( y)
dy
= h( x) , hvor g(y) og h(x) er kontinuerte funktioner.
dx
Lad G(y) være en stamfunktion til g(y) og H(x) være en stamfunktion til h(x). Der gælder altså:
G'(x)=g(x) og H'(x)=h(x). Vi vil da vise følgende:
1) Hvis y er bestemt ved ligningen G(y)=H(x) + c , så er y en løsning til differentialligningen (1.6).
2) Hvis y = f(x) er en løsning, så tilfredsstiller den ligningen: G(f(x))=H(x) + c.
Når vi har vist dette, har vi bevist at samtlige løsninger til differentialligningen er givet ved:
G(y) = H(x) + c.
Vi viser først 1), idet vi differentierer G(y)=H(x) + c efter reglerne for differentiation af sammensat
funktion:
dy
G'(y)y '= H'(x) g(y)y' = h(x) g ( y ) = h( x)
dx
Som viser at y , bestemt ved G(y) = H(x) + c er løsning til differentialligningen.
4
Vi viser dernæst 2, idet y =f(x), antages at være en løsning. Vil da vise at G(f(x)) = H(x) + c, hvor c
er en konstant, eller at G(f(x)) - H(x) = c. Vi differentierer venstresiden af ligningen
(G(f(x)) - H(x))’ = G'(f(x))f '(x) - H'(x) = g(f(x))f '(x) - h(x) =g(y)y’ – h(x) = 0
Vi har i det sidste udtryk anvendt, at y = f(x) er en løsning, så g(y)y' = h(x).
Differentialkvotienten (G(f(x))-H(x))’ er identisk nul, hvilket medfører at G(f(x)) - H(x)=c G(f(x)) = H(x) + c, hvormed sætningen bevist.
I praksis løses ligningen (1.6) ved separation af de variable og integration i følgende skridt:
(1.7)
g ( y)
dy
= h( x )
dx
g ( y )dy = h( x)dx ⇔ ∫ g ( y )dy = ∫ h( x)dx G(y) = H(x) +c
Hvor betydningen af G og H er den samme som før.
Vi kan herved se, at vi ved separation og integration, netop når frem til den fuldstændige løsning.
Når vi ikke fra starten gjorde dette er det fordi regning med differentialer er matematisk "uldent".
Bemærk tilstedeværelsen af integrationskonstanten c. c bestemmes ved at løsningen y = f(x) skal gå
gennem et punkt (x0, y0), altså så y0 = f(x0).
(1.8) Man kan vise følgende: Eksistens- og entydighedssætning for differentialligninger af første
orden.
Hvis h(x) er defineret og kontinuert i et interval I og g(y) er defineret og kontinuert i et interval J,
så findes der netop en løsning y= f(x), som går gennem punktet (x0, y0), hvor x0 ∈ I ∧ y0 ∈ J .
(1.7) repræsenterer den generelle metode til løsning af første ordens differentialligninger, der kan
separeres.
1.2 Eksempler på 1. ordens differentialligninger
1.8 Eksempel.
Vi vil bestemme løsningen til differentialligningen
(1.9)
dy
= ky
dx
hvor k er en reel konstant forskellig fra 0.
Fra differentialregningen ved vi, at eksponentielle funktioner har den egenskab, at differentialkvotienten er proportional
med funktionen selv. Vi gætter derfor på løsningen y = c· e kx.. Ved differentiation fås:
y' = c e kx·k = k·c e kx = ky
Som viser at y = c· e kx er løsning til ligningen.
Vi vil nu løse ligningen mere formelt og dermed godtgøre at y = c· e kx hvor. c ∈ R
Vi separerer derfor ligningen som det er vist i (1.7). Vi deler løsningen op i 2 tilfælde:
1) Man ser umiddelbart at y = 0 er løsning til differentialligningen. Denne løsning kaldes for nulløsningen.
2) y ≠ 0. Man udregner integralerne på begge side.
dy
1
1
= ky ⇔ dy = kdx ⇔ ∫ dy = ∫ kdx
dx
y
y
ln | y | = kx + c ⇔ | y | = e
1
(1.9)
y = ce
kx
kx + c1
,
c kx
c kx
c kx
⇔ | y | = e 1e
⇔ y = e 1e
∨ y = − e 1e
⇔
c ∈ R
c
Den sidste omskrivning er fremkommet, idet e 1 ∈ R
og c = 0 svarer til nulløsningen.
+
Denne opdeling er karakteristik for de fleste af denne type differentialligninger, og man vil i almindelighed ikke gentage detaljerne, når man opskriver løsningen. Dog er det vigtigt, at man husker nulløsningen.
1.10 Eksempel
Differentialligningen ovenfor er en af de mest hyppige i mange videnskaber. Fysik, økonomi og især biologi. I disse
videnskaber vil x ofte (men ikke altid) betegne tiden t. Når man differentierer med hensyn til tiden, bestemmer man
hastigheden, f.eks. væksthastigheden for en population.
Sammenlign f.eks. med definitionsligningerne for hastighed og acceleration:
v=
∆s
∆t
v=
ds
∆s
= lim
dt ∆t → 0 ∆t
og a =
∆v
∆t
, som i grænsen, hvor ∆t → 0 bliver til en differentialkvotient.
og a =
ds
∆v
= lim
dt ∆t → 0 ∆t
Når y’ er en hastighed skrives ligningen og dens løsning da:
(1.9)
dy
kt
= ky ⇔ y = ce , c ∈ R
dt
1.11 Eksempel. Eksponentiel vækst.
For en population (bakterier, en befolkning) med ubegrænset adgang til føde, kan man med god tilnærmelse antage, at
for små tidsrum ∆t antage at tilvæksten i populationen ∆y er proportional med populationens størrelse y og med ∆t .
Dette kan man udtrykke:
∆y = ky∆t ⇔
∆y
= ky
∆t
Ved at lade ∆t gå imod nul, genfinder man differentialligningen (1.9)
dy
kt
= ky ⇔ y = ce , c ∈ R
dt
Hvis en population har en vækst, der fører til differentialligningen (1.9) taler man om eksponentiel vækst.
Det viser sig at talrige biologiske organismer, herunder befolkningsvækst i en begrænset tidsperiode kan beskrives ved
eksponentiel vækst. Det er lige så klart, at sammenhængen vil bryde sammen på et eller andet tidspunkt, da en eksponentialfunktion går (hurtigt) mod uendelig.
5
6
ln 2
I afsnittet om eksponentialfunktioner, så vi, at man kan beregne fordoblingskonstanten T =
.
2
k
1.12 Eksempel.
Vi skal nu se på en type differentialligning, der minder meget om (1.9), og som løses på samme måde.
(1.13)
dy
= ay + b
dx
Indfører vi hjælpevariablen z = y +
dz dy
b
=
⇔ az = ay + b gælder:
og hermed:
dx dx
a
dy
dz
ax
= ay + b ⇔
= az ⇔ z = ce
dx
dx
⇔
y = ce
ax
−
b
a
Vi ser at løsningen svarer til eksponentiel vækst, blot parallelforskudt på y-aksen.
1.13a Eksempel
En sø, som har et volumen V, får tilført u liter forurenet vand pr. døgn, brøkdelen af forurening betegnes q. Fra søen
udledes den samme mængde vand u pr. døgn. Vi vil opstille en differentialligning, der angiver den brøkdel y, som søen
er forurenet med.
u
u
Den hastighed dy/dt , hvormed søen forurenes har to bidrag: Det tilførte, som er q , og det afledte, som er y .
V
V
dy
u
u
dy u
Differentialligningen bliver herefter:
=q −y
⇔
= (q − y )
dt
V
V
dt V
Det ses umiddelbart at differentialligningen er af typen (1.13), hvorfor vi direkte kan opskrive løsningen:
u
− t
V
y = ce
+q
Antager vi at søen er ren til tidspunktet t = 0, finder man, at 0 =c+q c = -q, hvorefter vi kan opskrive løsningen:
u
u
− t
− t
V
V
y = − qe
+ q ⇔ y = q (1 − e
)
u
− t
Da e V → 0 for t → ∞ , vil søen ende med at have den samme forureningsgrad som det tilførte spildevand.
Vi vil nu bestemme forureningsgraden, når der er tilført forurenet vand, svarende til halvdelen af søens volumen.
1
−
Hermed er ut = ½V, så vi finder y = q (1 − e 2 ) = 0,393q , svarende til 39,3%
1.14 Eksempel. Logistisk vækst.
Antagelsen om ubegrænset adgang til føde er kun realistisk i begrænsede tidsrum. En mere realistisk model får man,
hvis man antager at væksthastigheden er proportional med populationens størrelse (som ved eksponentiel vækst), men
også proportional med afstanden til øvre grænse M for populationens størrelse.
Hvorvidt denne model afspejler en populations udvikling, kan man kun afgøre ved at afprøve modellen på en virkelig
population. Da vi eksplicit taler om vækst, anvender vi t (tiden) som uafhængig variabel.
Vi kan nu opskrive differentialligningen:
(1.15)
dy
= ay ( M − y )
dt
Hvor M – y er afstanden til den øvre grænse for populationen.
7
Ligningen løses som før ved separation, idet man bemærker at y = 0 og y = M begge er trivielle løsninger til ligningen.
∫
dy
= ∫ adt
y( M − y)
Det første integral er ikke så ligetil at løse, men det udregnes ved en teknik, der kaldes for udvikling på partialbrøker.
Vi forsøger således at skrive integranden, som en sum af to brøker, hver kun med en faktor.
1
p
q
p ( M − y ) + qy pM + ( q − p ) y
= +
=
=
y(M − y) y M − y
y(M − y)
y(M − y)
Hvis denne identitet skal gælde for alle y følger det at q = p og pM = 1 p = q =
1
1
. Idet vi flytter faktoren
over på
M
M
den anden side af lighedstegnet får vi differentialligningen:
1
1
) dy = ∫ aMdt ⇔ ln y − ln( M − y ) = aMt + k
∫( +
y M −y
Vi har her antaget at y > 0 og y < M, som var forudsætningen for modellen. Ved reduktion ved hjælp af logaritmeregneregler får man:
ln y − ln( M − y ) = aMt + k ⇔ ln
y
y
aMt + k
= aMt + k ⇔
=e
M−y
M −y
Løser vi denne ligning med hensyn til y, og sætter e
(1.15)
y = cM
k
= c , hvor c er en positiv konstant får man løsningen:
e aMt
1
eller y = cM
−
aMt
aMt
1+ ce
e
+c
Ofte ser man i løsningen c erstattet med 1/c, hvorefter løsningen får den simple form:
(1.15)
y=
M
1+ ce − aMt
a og M er fastlagt ud fra modellen, mens c er fastlagt ved populationens størrelse på et givet tidspunkt.
1.15 Eksempel
I en sø er fosforkoncentrationen en funktion y = f (t) af tiden. I en model forudsættes det at der pr. døgn udledes en
konstant mængde fosfor, mens den mængde der afledes fra søen er proportional med koncentrationen.
Man kan opstille en differentialligning, der udtrykker, at den relative tilvækst i fosforkoncentration i tidsrummet ∆t er
en konstant gangen ∆t minus en konstant gange y gange ∆t .
∆y
∆y
∆y
a
= a∆t − by∆t ⇔
= y ( a − by ) ⇔
= by ( − y )
y
∆t
∆t
b
Ved at lade ∆t gå imod nul får man en differentialligning, som man genfinder som den logistiske ligning.
dy
a
= by ( − y )
dt
b
For den pågældende sø er b = 0,00001 og a/b =200. Endvidere opfylder f ligningen f(475) = 107.
Bestem en forskrift for f, og beregn f(1000), samt væksthastigheden for fosforkoncentrationen til t=1000.
8
Ved at indsætte f(475) = 107 i løsningsformlen (1.15) finder man:
107 =
200
−0 , 95
⇔ 107ce
−
0
,
002
⋅
475
1+ ce
= 200 − 107 ⇔ c =
93
= 2,20
107e − 0,95
Løsningen bliver da
y=
200
1+ 2,20e − 0,002t
med
f (1000) =
200
1+ 2,20e − 2
= 154
Væksthastigheden er dy/dt, og den bestemmes ved direkte indsættelse i differentialligningen.
dy
= 0, 00001 ⋅ y ( 200 − y ) = 0, 00001 ⋅ 154( 200 − 154) = 0, 0708
dt
1.3 Fuldstændige løsning til den lineære differentialligning af første orden
Vi vil løse ligningen:
(1.16)
dy
+ g ( x) y = h( x)
dx
Hvor vi antager at g(x) og h(x) er kontinuerte funktioner, så de har en stamfunktion.
Hvis G(x) betegner en stamfunktion til g(x), så G’(x) = g(x), ganger vi ligningen igennem med
e G ( x ) , herved får man
eG( x)
dy G ( x )
d G(x)
+ e g ( x ) y = e G ( x ) h( x) ⇔
(e y ) = e G ( x ) h( x )
dx
dx
Omskrivningen følger af at
d G(x)
dy G ( x )
dy
(e y ) = e G ( x )
+ e G ' ( x) y = e G ( x )
+ e G ( x ) g ( x) y
dx
dx
dx
Den sidste ligning kan umiddelbart integreres til
(1.17)
e G ( x ) y = ∫ e G ( x ) h( x)dx ⇔ y = e − G ( x ) ∫ e G ( x ) h( x)dx
Hvilket er den fuldstændige løsning, idet man husker på at det ubestemte integral altid kræver en
arbitrær konstant (integrationskonstant).
1.18 Eksempel.
Bestem den løsning til differentialligningen:
dy
y
2
+
= x ,
dx
x
hvor x > 0 og som går gennem (2,-3).
Vi finder direkte
1
G ( x ) = ∫ dx = ln x så
x
e G ( x ) = e ln x = x og e − G ( x ) = e − ln x =
Ved indsætning i løsningsformlen finder man da:
1
x
y=
1
1
1 1
c
x ⋅ x 2 dx = ( x 4 + c ) ⇔ y = x 3 +
4
x
x 4
x
∫
Løsningen gennem (2,-3) findes ved indsættelse af (x,y)= (2,-3) i løsningsformelen: − 3 = 2 +
y =
9
c
⇔ c = −10
2
1 3 10
x −
4
x
2. Differentialligninger af anden orden
En differentialligning af anden orden er en ligning, hvor den anden afledede af en funktion indgår.
Vi vil indskrænke os til at betragte ligninger af formen
d2y
= ±k 2 y ,
dx 2
(2.1)
hvor k ≠ 0
Tilfældet k = 0 ses umiddelbart at give løsningen y = c1x + c2
Denne type ligninger, kan ikke løses på samme måde som første ordens ligninger, men opgaven er
den samme, at undersøge om der findes løsninger og i givet fald finde dem alle sammen.
Vi viser først sætningen:
Hvis f1 og f2 er løsninger til differentialligningen (2.1), så er enhver linearkombination:
(2.2)
f(x)= c1 f1(x) + c2 f2(x)
også en løsning.
Vi skriver nu differentialligningen på formen
d2y
= my , hvor m = ± k 2
2
dx
(2.3)
Vi differentierer nu (2.2) to gange og får ifølge regnereglerne for differentiation.
f ’’(x)= c1 f1 ’’(x) + c2 f2’’ (x)
da såvel f1 og f2 er løsning til (2.3), gælder der:
f1’’ (x) = m f1(x) og f2’’ (x) = m f2(x),
hvoraf følger:
f ’’(x)= c1 f1 ’’(x) + c2 f2’’ (x) = c1 m f1(x) + c2 m f2(x) =m(c1 f1(x) + c2 f2(x)) =m f(x)
hvilket viser, at f(x) er en løsning til differentialligningen (2.3).
10
2.1 Wronski-determinanten
I det følgende får vi brug for løsningsformlen for to lineære ligninger med to ubekendte med determinantmetoden. Ligningssystemet
(2.4)
a1 x + b1 y = c1
a 2 x + b2 y = c2
har determinanten D =
a1
a2
b1
= a1b2 − a2b1
b2
Hvis D ≠ 0, har ligningssystemet (2,4) netop en løsning givet ved
(2.5)
x=
c1
b1
c2
a1
a2
b2 c1b2 −c2 b1
=
b1 a1b2 −a 2 b1
b2
og
y=
a1
c1
a2
a1
a2
c 2 a1c 2 −a 2 c1
=
b1 a1b2 −a 2 b1
b2
For at bestemme samtlige løsninger til differentialligningen:
d2y
= my ,
dx 2
indfører man den såkaldte Wronski-determinant af to differentiable funktioner:
(2.6)
W ( f , g) =
f
g
f ' g'
= fg '− f ' g
2.7 Eksempel
Wronski-determinanten kan udregnes for to vilkårlige differentiable funktioner. F.eks. f(x) = x2 og g(x) = sin x.
W ( f , g )=
x2
sin x
2x
cos x
= x 2 cos x − 2 x sin x
I almindelighed er Wronski-determinanten en funktion af x, men vi vil nu vise den lidt overraskende
sætning:
(2.8) Hvis f1 og f2 er løsninger til differentialligningen (2.3), så er Wronski-determinanten konstant.
W(f1, f2) = c
<=>
W’(f1, f2) = 0
Differentierer man W(f1, f2) = f1 f2’ - f1’ f2 efter produktreglen for differentiation for de to faktorer
fås:
W ' ( f1 , f 2 ) = ( f1 f 2 '− f1 ' f 2 )' = f1 ' f 2 '+ f1 f 2 ' '− f ' '1 f 2 − f1 ' f 2 ' = f1 f 2 ' '− f ' '1 f 2
Anvender man nu, at f1 og f2 er løsninger til differentialligningen (2.3), således at
f1’’ =m f1 og
f2’’ =m f2
11
finder man:
W ' ( f1 , f 2 ) = f1 f 2 ' '− f ' '1 f 2 = f1mf 2 − mf1 f 2 = m( f1 f 2 − f1 f 2 ) = 0
så Wronski-determinanten er konstant for to vilkårlige løsninger til (2.3).
Vi er da klar til at vise hovedsætningen om differentialligningen (2.3).
Hvis f1 og f2 er løsninger til differentialligningen
d2y
= my
dx 2
For hvilket det gælder at W(f1, f2) ≠0 (en konstant forskellig fra 0), så kan samtlige løsninger
y = f(x) skrives som en linearkombination af de to løsninger.
f(x)= c1 f1(x) + c2 f2(x)
Vi har allerede vist, at f(x)= c1 f1(x) + c2 f2(x) er løsning, hvis f1(x) og f2(x) er løsninger, så vi
mangler blot, at vise at alle løsninger kan skrives på denne form.
Hvis man ikke stiller krav om, at c1 og c2 er konstanter, så kan man altid bestemme funktioner c1(x)
og c2(x), der tilfredsstiller ligningssystemet:
c1 f1 ( x) + c2 f 2 ( x) = f ( x)
c1 f1 ' ( x) + c2 f 2 ' ( x) = f ' ( x)
f
f
2 , som vi har forudsat forskelDeterminanten for ligningssystemet er jo netop W ( f , f ) = 1
1 2
f ' f '
1
2
lig fra nul. Løsningerne c1 og c2 kan ifølge løsningsformlen for ligningssystemet skrives:
c1 =
f
f2
f'
f2 '
W ( f1 , f 2 )
=
W ( f , f2 )
W ( f1 , f 2 )
∧ c2 =
f1
f
f1 '
f'
W ( f1 , f 2 )
=
W ( f1 , f )
W ( f1 , f 2 )
Da f1 , f2 og f alle er antaget at være løsninger, er alle de indgåede determinanter konstante ifølge
den tidligere sætning og dermed er c1 og c2 konstanter, hvilket vi skulle bevise.
Vi vil nu løse differentialligningen
d2y
= my for m > 0 og m < 0.
dx 2
2. 8 Eksempel
m>0: Vi sætter m = k2. , hvorefter differentialligningen bliver:
d2y
= k2y .
2
dx
Funktioner, hvis anden afledede er proportional med funktionen selv er enten eksponentialfunktioner eller sin, cosfunktioner. Når konstanten er positiv er det eksponentialfunktioner.
Ved direkte indsætning ses at f ( x) = e
kx
1
og f ( x ) =
2
12
e − kx er løsninger, idet
(e − kx )' = − ke − kx og (e − kx )' ' = (− ke − kx )' = k 2 e − kx .
Vi udregner da Wronski-determinanten for de to løsninger.
f
W ( f1 , f 2 ) = 1
f1 '
e kx
f 2 ' ke kx
f2
=
e − kx
= − k − k = −2 k ≠ 0
− ke − kx
Da Wronski-determinanten er forskellig fra 0, kan vi opskrive den fuldstændige løsning:
(2.8)
f ( x) = c e
1
kx
+c e
2
− kx
2. 9 Eksempel
m < 0: Vi sætter m =- k2. , hvorefter differentialligningen bliver:
d2y
2
= −k y .
2
dx
Funktioner, hvis anden afledede er proportional med funktionen selv er enten eksponentialfunktioner eller sin, cosfunktioner. Når konstanten er negativ er det sin eller cos.funktioner.
Ved direkte indsætning ses at f1 ( x) =cos kx og f ( x ) = sin kx er løsninger. Vi nøjes med at vise det for cos kx
2
2
(cos kx)' = − k sin kx og (cos kx)' ' = ( − k sin kx )' = − k cos kx .
Vi udregner da Wronski-determinanten for de to løsninger.
f
W( f , f ) = 1
1 2
f1 '
f2
cos kx
sin kx
2
2
2
2
=
= k cos kx + k sin kx = k (cos kx + sin kx) = k ≠ 0
f 2 ' − k sin kx k cos kx
Da Wronski-determinanten er forskellig fra 0, kan vi opskrive den fuldstændige løsning:
(2.8)
f ( x ) = c cos kx + c sin kx
1
2
2.2 Entydighed af en løsning
Ved et linieelement, forstår man et punkt, som løsningen går gennem, samt kurvens differentialkvotient i dette punkt. Et linieelement kan f.eks. skrive (x0, y0, α). Hvis en løsning går gennemlinieelementet gælder således: f(x0) = y0 og f ’(x0) = α. Der gælder følgende
Sætning: Til ethvert linieelement (x0, y0, α) findes der en løsning til differentialligningen
d2y
= my , som går gennem dette linieelement.
dx 2
Vi skal altså vise, at der findes en løsning y = f(x), som opfylder f(x0) = y0 og f ’(x0) = α.
Samtlige løsninger til differentialligningen kan skrives
f(x)= c1 f1(x) + c2 f2(x)
13
hvor f1(x) og f2(x) er to løsninger, hvis Wronski-determinant er forskellig fra 0. Løsningsbetingelserne f(x0) = y0 og f ’(x0) = α kan derfor skrives:
c1 f1 ( x0 ) + c2 f 2 ( x0 ) = y0
c1 f1 ' ( x0 ) + c2 f 2 ' ( x0 ) = α
Dette kan betragtes som et ligningssystem med de ubekendte c1 og c2. Ligningssystemet determinant er imidlertid
f1 ( x0 )
f1 '( x0 )
f 2 ( x0 )
,
f 2 ' ( x0 )
som netop er Wronski-determinanten for de to løsninger, som vi har vist er konstant, og som vi har
forudsagt er forskellig fra nul. Da ligningssystemets determinant er forskellig fra nul, har ligningerne netop en løsning c1 og c2, hvilket vi skulle vise.
2.10 Eksempel
Bestem til differentialligningen y ' ' =
1
y den løsning, hvis graf går genne A(0,6) og i punktet A har en tangent med
4
hældning 1.
1
2
Ligningen er af formen y ' ' = k y med k = , så vi kan direkte opskrive løsningen.
2
1
1
1
1
x 1
− x
x
− x
1
f ( x ) = c e 2 + c e 2 med f ' ( x ) = c e 2 − c e 2
1
2
2 1
2 2
Løsningsbetingelserne :
1
0
0
0 1
0
f (0) = 6 og
f '(0) =1 ⇔ c e + c e = 6 ∧ c e − c e = 1 ⇔
1
2
2 1
2 2
1
1
c +c = 6 ∧ c − c =1 ⇔ c +c = 6 ∧ c −c = 2 c = 4 ∧ c = 2
1 2
1
1
2
1 2
1
2
2
2 2
Løsningen bliver herefter
1
1
x
− x
2
f ( x ) = 4e
+ 2e 2
2.11 Eksempel
π
Bestem til differentialligningen f ' ' ( x ) = −9 f ( x ) den løsning, hvis graf går genne P ( ,2 3 ) og i punktet P har en
9
tangent med hældning -6.
2
Ligningen er af formen y ' ' = − k y med k = 3 , så vi kan direkte opskrive løsningen.
f ( x ) = c cos 3 x + c sin 3 x med
1
2
Løsningsbetingelserne:
π
π
f ( ) = 2 3 og
f '( ) = −6
⇔
9
9
π
π
f ( x ) = −3c sin 3 x + 3c cos 3 x
1
2
π
π
π
π
c cos 3 + c sin 3 = 2 3 ∧ − 3c sin 3 + 3c cos 3 = −6
1
2
1
2
9
9
9
9
π
π
c cos + c sin = 2 3 ∧ − 3c sin + 3c cos = −6
1
2
1
2
3
3
3
3
1
3
3
1
c
+c
= 2 3 ∧ −c
+c
= −2
12
2 2
1 2
22
⇔
⇔
c + c 3 = 4 3 ∧ − c 3 + c = −4
1
2
1
2
14
⇔
Ligningerne løses lettest, ved at gange den sidste ligning med - 3 og lægge ligningerne sammen , herved får man:
4c = 8 3 ⇒ c = 2 3 ∧ c = 2
1
1
2
Løsningen bliver herefter
f ( x ) = 2 3 cos 3 x + 2 sin 3 x
Differentialligningen
d2y
= − k 2 y har den fuldstændige løsning:
2
dx
f ( x) = c cos kx + c sin kx
1
2
Vi ønsker at bestemme værdimængden for denne funktion. Dette opnås ved at bestemme tal A og
φ, således at c1 og c2 kan skrives på formen:
c1 =Acosφ
og
c2 =Asinφ
Af de to ligninger får man ved division tan φ =
A sin ϕ c2
=
A cos ϕ c1
2
2
Kvadreres de to ligninger og adderes får man A 2 (cos 2 ϕ + sin 2 ϕ ) = c1 + c2 ,
2
2
Hvoraf man finder : A = c1 + c2 .
Indsætter man de fundne udtryk for c1 og c2 i udtrykket for løsningen, får man dernæst:
f ( x) = A(cos ϕ cos kx + sin ϕ sin kx) = A cos(kx − ϕ )
Det sidste udtryk skyldes en omskrivning ved hjælp af den første af de additionsformler, der blev
udledt i vektorregningen.
Bemærkning: I fysikken, hvor løsningen til differentialligningen er løsningen til en harmonisk svingning, og hvor x er
erstattet med t (tiden), skriver man i almindelighed løsningen som:
f (t ) = A(cos ϕ cos kt + sin ϕ sin kt ) = A cos(kt + ϕ )
Dette svarer til at man har erstattet φ med –φ i den øverste ligning, (hvilket dog havde virket lidt
kunstigt på dette sted)
Hvad enten man anvender det ene eller det andet udtryk, så er det indlysende at værdimængden for
løsningen er [-A, A], da værdimængden for cosinus er [-1, 1].
A kaldes for amplituden (i svingningen) og φ kaldes for begyndelsesfasen. kx+φ kaldes for fasen.
φ kaldes for begyndelsesfasen.
Differentialligningsmodeller
15
3. Eksempler på problemer, der fører til differentialligninger
I alle naturvidenskaber, men også i biologi og økonomi, optræder differentialligninger, som svar på
problemer. Vi vil her give nogle eksempler, hentet fra fysikken.
3.1 Trykkets afhængighed af højden over jordoverfladen
Vi betragter et kasseformet udsnit af atmosfæren. Arealet
af endefladerne betegnes A. Kassen befinder sig i højden y
over jordoverfladen. Kassen har højden ∆y. Trykket på
overside og underside betegnes p(y+ ∆y) og p(y). Massefylden for luften i højden h betegnes ρ(y).
Vi minder om at kraften på en flade med areal A er F = pA,
hvor p er trykket på fladen.
Vi udtrykker nu, at forskellen i kraften på underside og
overside er lig med tyngden af den luft, der befinder sig i
kassen. Dette fordi luften i kassen er i hvile.
p(y)A - p(y+ ∆y)A = mluft· g= ρ(y)Vluf tg = ρ(y)A ∆yg
Divideres denne ligning med A∆y får man:
(3.1)
p ( y + ∆y ) − p ( y ) dp
≈
= − ρ ( y) g
∆y
dy
For at løse differentialligningen (3.1), må vi imidlertid kende endnu en sammenhæng mellem ρ(y)
og p(y). Den kan vi imidlertid få af :
1. tilstandsligningen for ideale gasser: PV = nRT,
m
2. definition af molmasse m = nM ⇔ n =
, samt
M
m
3. definition af massefylde: ρ = ⇔ m = ρV .
V
Indsættes nemlig de to sidste ligninger i tilstandsligningen finder man:
PV = nRT =
m
ρV
M
P
RT =
RT ⇒ ρ =
M
M
RT
Dette udtryk for massefylden indsættes så i (3.1), som herefter giver:
(3.2)
dp
Mg
=−
p
dy
RT
Som bekendt aftager temperaturen ca. med 1oC for hver 200 m, man kommer til vejrs, men vi antager først, at temperaturen er konstant op igennem atmosfæren. Løsningen til differentialligningen
(3.2) er kendt, så vi finder:
16
p ( y ) = p0 e
(3.3)
−
Mg
y
RT
Indsættes de kendte værdier for konstanterne: M =29 g/mol, g = 9.82 m/s2, R= 8.31 J/(molK) og T =
273 K, finder man:
p ( y ) = p0 e −1.2610
(3.4)
−4
y
hvor y skal måles i m.
Dette giver et trykfald på 1,3% pr. 100 m og 12% pr. 1000 m.
Vi ser dernæst på løsningen til differentialligningen, hvis temperaturen aftager lineært med 10C, pr.
200 m. Temperaturen ved jordoverflade sættes til 20 0C = 293 K. Temperaturen i højden y er derfor:
T = T(y) = 293 – y/200. Differentialligninger bliver herefter:
dp
Mg
=−
p
y
dy
R(293 − 200 )
(3.5)
Denne ligning løses på sædvanlig vis ved separation og integreres:
p
y
dp
Mg
1
∫p p = − R ∫0 293−
0
p
y
200
dy
y
dp
Mg
1
∫p p = − 293R ∫0 1−βy dy med β =
0
1
293⋅200
Ligningen integreres til at give:
(3.6)
p
ln( p )
0
=
Mg
293Rβ
ln(1 − βy ) ⇒ p = p0 (1 − β y )
Mg
293 Rβ
Udregnes trykket efter (3.6) giver det kun anledning til afvigelser fra (3.4) på 0,1 – 0,2 %.
3.2 Kædelinien
17
Kædelinien er betegnelsen for den kurve y = f(x), som en ”kæde” (tov, kabel) danner, når den er
ophængt i to punkter.
→
F (x) betegner den tangentielle kraft, som kæden er påvirket af ved x. Den vandrette komposant F0
er uafhængig af x, da kæden er i hvile i vandret retning. Den lodrette komposant af kraften Fy(x0)=0
→
i minimumspunktet x = x0, da kraften F (x) er vandret i dette punkt. Af dette følger, at Fy(x) er lig
med tyngdekraften, der virker på kæden fra x0 til x.
For længden af kurven, givet ved y = f(x), fra x0 til x, har vi i integralregningen udledt udtrykket
l ( x) = ∫
(3.7)
x
x0
1 + f ' ( x) 2 dx
Hvis kædens masse pr. længdeenhed er µ, er tyngden af stykket µ·l·g, hvor g som sædvanlig betegner tyngdeaccelerationen g = 9,82 m/s2.
Kraften Fy(x) = F0 tanθ , hvor θ betegner tangenthældningen, og dermed Fy(x)= F0 f ’(x). Vi sammenfatter dette.
l ( x) = ∫
x
x0
1 + f ' ( x) 2 dx og
F0 f ' ( x) = µg ∫
x
x0
(3.8)
f ' ( x) =
µg
F0
∫
x
x0
Fy ( x) = F0 f ' ( x) = µl ( x) g ⇒
1 + f ' ( x) 2 dx ⇔
1 + f ' ( x) 2 dx
Af denne differentialligning ses, at f ' ( x) er en stamfunktion til
µg
F0
1 + f ' ( x) 2 og der gælder der-
1 + f ' ( x) 2 , som er en differentialligning af typen:
for:
f ' ' ( x) =
(3.9)
y ' ' = k 1 + y ' 2 , hvor k =
F0
µg
µg
F0
er en positiv konstant.
For at løse den sætter vi z = y’ og dermed z’ = y’’. Hefter er ligningen reduceret til følgende
1.ordens differentialligning:
(3.10)
z' = k 1 + z 2
Ligningen (3.10) kan løses, men det kræver kendskab til de såkaldte hyperbolske funktioner.
3.11 Eksempel. Hyperbolske funktioner.
Man definerer hyperbolsk cosinus (skrives cosh) og hyperbolsk sinus (skrives sinh), ved ligningerne:
1 x
1 x
−x
−x
(e + e ) og sinh x = (e − e )
2
2
navnet for disse funktioner kommer af, at de har mange egenskaber, som ligner dem vi kender fra sin x og cos x.
For eksempel får man ved differentiation:
(3.12)
cosh x =
18
(cosh x )' = sinh x
(3.13)
og
(sinh x )' = cosh x
Endvidere gælder grundrelationen mellem cos x og sin x i en lidt modificeret form:
Der gælder altså
1
1
1
cosh 2 x − sinh 2 x = (e x + e − x ) 2 − (e x − e − x ) 2 = ( 4e x e − x ) =1
4
4
4
2
2
cosh x − sinh x = 1
(3.14)
Vi løser nu differentialligningen (3.10) ved separation.
z ' = k 1+ z 2 ⇔
∫
dz
1+ z 2
dz
= k 1+ z 2
dx
⇔
dz
1+ z 2
= kdx ⇔
= ∫ kdx
For at udregne integralet på venstre side, foretager vi substitutionen
z=sinht => dz=coshtdt og
t = sinh-1z.
Vi får derefter
∫
dz
cosh tdt
= ∫ kdx ⇔
1+ z 2
1+ sinh 2 t
cosh t
dt = kx + c1 ⇔ ∫ dt = kx + c1 ⇔ t = kx + c1
∫
cosh t
sinh
−1
= ∫ kdx ⇔ ∫
z = kx + c ⇔
1
z = sinh( kx + c )
1
1
Idet y’ = z integreres den sidste ligning til y = f ( x ) = cosh( kx + c1 ) + c 2
k
µg
Substituerer vi nu tilbage i den oprindelige ligning k =
finder man sluttelig:
F0
F
µg
(3.15)
y = f ( x ) = 0 cosh(
x+c )+c
1
2
F0
µg
Det sidste udtryk viser, at den kurve som en kæde indstiller sig efter er en hyperbolsk cosinus-funktion. Konstanterne
c1 og c2 bestemmes ved begyndelsesbetingelserne.
4. Numerisk integration af differentialligninger
Som omtalt i indledningen af afsnittet om differentialligninger, er det kun få typer af ligninger, der
har en analytisk løsning. Det sidste betyder, at man kan bestemme en forskrift y = f(x) udtrykt med
almindelige funktionstegn, som tilfredsstiller differentialligningen.
I andre tilfælde, er man henvist til at løse ligningen numerisk, hvilket betyder, at starter med en begyndelsesbetingelse og regner sig frem i små skridt h.
Der findes adskillige metoder til at løse en differentialligning numerisk. Disse metoder er en del af
den matematiske disciplin, der kaldes numerisk analyse.
19
Andre eksempler på numerisk analyse er f.eks. nulpunkter for en funktion ved Newton-Raphsons
metode eller numerisk udregning af integraler ved Simpsons formel.
Vi skal kun se på den meste simple metode, som også kaldes for Eulers metode. Eulers metode er
baseret på det approximerende 1. grads polynomium, som blev omtalt i differentialregningen.
En funktion y = f(x) er differentiabel i x0
(4.1)
f(x0+h) = f( x0 )+ f ’( x0 )h+ ε(h)h,
hvor ε(h) er en epsilonfunktion defineret ved: ε(h) ─> 0 for h ─> 0.
I det approximerende 1. grads polynomium er f(x0+h) approximeret ved 3 led. Det første er af nulte
orden i h (konstant), det næste er af første orden i h (h1) og det sidste er af anden orden i h (h2) på
grund af epsilon funktionen.
Hvis h er et lille tal, f.eks. h=0,01, så er h2 =10-4, af den grund får det sidste led mindre betydning,
og betydningen aftager med aftagende h.
Lad os antage, at vi har givet en differentialligning:
y' = g(y,x)
Eulers metode er derfor at approximere f(x1) = f(x0+h) med f( x0 )+ f ’( x0 )h. Dette vil give følgende værdier:
y0 = f( x0 )
(4.2)
y1 = f(x1) = f(x0+h) = f(x0)+ f ’( x0 )h = y0 + g( y0, x0)h
y2 = f(x2) = f(x1+h) = f( x1)+ f ’(x1)h = y1 + g( y1, x1)h
Fejlen i hvert skridt er proportional med h2, men hvis f ’(x) har samme fortegn, vil fejlene akkumulere., dvs. trække i den samme retning.
Numerisk løsning af differentialligninger sker nu om dage altid på en Computer.
20
En bedre metode, som tilskrives Aitken, kan angives, hvis man som begyndelsesværdier kender
h
2
h
2
f ( x0 − ) og f ( x0 ) . f ( x0 − ) kan f.eks. være fundet ved hjælp af Eulers metode ud fra f (x0 ).
h
2
Man bestemmer nu f ( x0 + ) på følgende måde:
h
2
h
2
h
2
f ( x1 ) = f ( x0 + ) = f ( x0 − ) + f ' ( x0 )h = f ( x0 − ) + g ( y0 , x0 )h
h
2
h
2
h
2
f ( x2 ) = f ( x1 + ) = f ( x1 − ) + f ' ( x1 )h = f ( x1 − ) + g ( y1 , x1 )h
Og sådan fremdeles. Man kan vise, at fejlen ved denne metode hvert skridt er proportional med h3.
Ovenfor er de to metoder forsøgt illustreret grafisk.
I praksis anvender man endnu mere avancerede metoder. De fleste programmer anvender nu den
såkaldte Runge-Kutta 4. ordens metode, hvor fejlen er proportional med h4.
Nedenfor er vist den analytiske og den numeriske løsning af differentialligningen
dy y 2 + y
=
+ x fra
dx
x
eksempel (1.3). Man ser kun en kurve, så den numeriske metode er meget god i dette tilfælde.
5. Differentialligningsmodeller
Når man taler om en model, mener man ofte et matematisk udtryk, der kan beskriver nogle data,
som i almindelighed også er behæftet med statistisk usikkerhed. Når man anvender ordet model, så
er det i almindelighed, fordi beskrivelsen ikke er ”den fuldstændige sandhed”, men blot er baseret
21
på nogle rimelige ofte simple antagelser. For det samme fænomen, kan man ofte opstille flere modeller, der hver for sig beskriver dele af data med rimelighed.
Herimod taler man om en teori, når det betragtes som den fuldstændige beskrivelse af et fænomen.
En beskrivelse, der ikke kan forbedres yderligere.
Som eksempel på en teori, kan man i matematikken f.eks. nævne plangeometrien, differential- og
integralregningen og i den klassiske fysik f.eks. Newtons gravitationslov og Einsteins relativitetsteori, hvorimod tilstandsligningen for ideale gasser er teori, hvis idealgasser eksisterede i naturen,
(hvilket de næsten gør), men af samme grund nogen gange betegnes som en model.
De eksempler vis skal se på her er imidlertid egentlige modeller, som langt fra rummer alle detaljerne fra det, som de repræsenterer.
5.1 Forløbet af en influenza epidemi.
Udbredelse af en epidemi er i almindelighed en meget kompliceret proces, der skyldes tilfældigheder. Den dødelige SARS, der blev udbredt i flere lande, værst i Kina og i den vestlige verden Canada, skyldes den omstændighed, at en fjerkræ-handler overnattede på et internationalt hotel, hvorefter sygdommen hurtigt blev spredt til flere lande gennem lufthavnsterminaler mv.
Det ligger i sagens natur, at man ikke kan opstille en matematisk model for en sådan udbredelse.
Et bedre eksempel er de influenza epidemier, der med jævne mellemrum rammer Europa og USA.
Her kan man godt opstille en simpel model for udbredelsen i en tæt population af med N individer.
Det kan være en storby. Da influenza smitte overføres ved dråbe infektion (udånding), er det væsentligt at hele populationen har mulighed direkte eller indirekte at være i fysisk kontakt med hinanden. Vi indfører først nogle betegnelser:
R(t) = ”Raske: Antallet af personer, der endnu ikke er smittede til tidspunktet t”
S(t) = ”Syge: Antallet af personer, der er smittede, og som kan overføre smitten til tidspunktet t.
I(t) = ”Immune: Antallet af personer, der har været syge, og som er blevet immune tidspunktet t.
Der vil til ethvert tidspunkt gælde: R(t)+ S(t) + I(t) = N
Da modellen er baseret på et sandsynlighedsargument, indfører vi også de tilsvarende brøkdele:
R (t )
Brøkdelen af ”raske” personer.
N
S (t )
s (t ) =
Brøkdelen af ”syge” personer.
N
I (t )
i (t ) =
Brøkdelen af ”immune” personer.
N
r (t ) =
Der vil til ethvert tidspunkt gælde: r(t)+ s(t) + i(t) = 1
Som altid angiver differentiation med hensyn til tiden hastigheden, hvormed en størrelse ændres.
Hvis, der er mindst en ”syg” vil r(t) være en aftagende funktion. Hastigheden, hvormed den aftager
vil (under den mest simple antagelse), være proportional med sandsynligheden for at en rask møder
22
en syg. Denne er igen proportional med antallet (brøkdelen) af syge gange (antallet) brøkdelen af
raske. Vi kan således skrive, (hvor a er en proportionalitetskonstant):
(5.1)
dr
= − a ⋅ r (t ) s (t )
dt
Da en syg person efter et tidsrum bliver rask (eller dør), må hastigheden, hvormed man bliver immun være proportional med s(t), med en proportionalitetskonstant b.
(5.2)
di
= bs (t )
dt
For at opstille en differentialligning for s(t), anvender vi ”normaliseringsbetingelsen”
r(t)+ s(t) + i(t) = 1, som vi differentierer:
dr ds di
ds
dr di
+ + =0 ⇔
=− −
dt dt dt
dt
dt dt
(5.3)
ds
= a ⋅ r (t ) s (t ) − bs (t )
dt
Man kan også direkte indse (5.3), idet en person, der ikke længere er rask, er blevet syg. Så brøkdelen af syge vokser med den samme faktor a ⋅ r (t ) s (t ) , men aftager samtidig proportionalt med s(t),
da en syg bliver rask (eller dør) efter en vis periode.
De 3 ”koblede differentialligninger 5.1 - 5.3 har ikke nogen kendt analytisk løsning. Differentialligningerne løses imidlertid let på en Computer og et passende matematikprogram. Programmet, som
viser løsningerne på nedenstående grafer, er mit eget, kaldet Mathemat, som er et ældre DOSbaseret program, skrevet i Turbo Pascal 7.0
Fastsættelsen af konstanterne a og b, kan f.eks. ske ved at sammenligne med aktuelle data, her har
vi ret vilkårligt valgt, at sætte a=0.5 og b=0.33. Den sidste konstant kan begrundes ved at en smittet
person kan overføre smitte i ”3 dage”, så en tredjedel=0.333 bliver immune over et døgn.
På den næste graf har vi igen sat a=0.5, men antaget at perioden, hvor man kan smitte er 7 dage, så
b=0.141 (=1/7). I begge tilfælde ser man at antallet af syge vokser op, for derefter at falde igen.
Bemærk, at man i modellen antager at sygdommen udvikler sig helt frit, og at man ikke vaccinerer
eller isolerer de syge, som det var tilfældet med SARS.
I det første tilfælde er det maximale antal syge 8%, mens det i det andet tilfælde er ca. 38% - en
meget væsentlig forskel.
I det første tilfælde bliver ca. 58% smittede, mens det i det andet tilfælde er helt oppe på 96%.
Hvis man justerer på a, får man naturligvis helt andre kurver.
23
24
Modellen kan anvendes, hvis man i starten af en epidemi har nok indsamlet data til at kunne skønne
over a og b, så kan man få et skøn over hvor længe epidemien vil vare og hvor mange sygdomstilfælde, man kan forvente.
5.2 Differentialligning for vekselvirkning mellem to dyrearter
En af de mere kendte matematiske modeller er den, som beskriver vekselvirkningen mellem to dyrearter. Vi vil her behandle to forskellige typer af vekselvirkning, nemlig rovdyr-bytte og to arter,
der konkurrerer om samme adgang til føde.
Som i det forrige tilfælde, bygger modellen på nogle helt simple antagelser, der slet ikke tager højde
for detaljer eller tilfældigheder, hvilket altid er tilfældet i naturen. Alligevel kan modellen given en
generel beskrivelse af nogle tilfælde i naturen.
Lad os antage, at der i en skov lever ræve og mus. Antallet af ræve til tidspunktet t, betegner vi r(t),
mens vi betegner antallet af mus til tidspunktet t med m(t).
Hvis der var tale om ubegrænset adgang til føde for begge parter, og hvis ingen af arterne var byttedyr for en andet art, så ville såvel r(t) og m(t) udvikle sig eksponentielt, og derfor tilfredsstille differentialligningerne:
(5.4)
dr
= k r r (t )
dt
og
dm
= k m m(t )
dt
Nu er adgangen til føde for rævene afhængig af antallet af mus, men dette vil vi på den mest simple
måde indbygge i modellen ved at gøre kr = kr(m) til en funktion af m= m(t), antallet af mus.
25
Hvordan kr(m) afhænger af m, kan vi ikke vide, andet end at kr(m) må være en voksende funktion af
m. Den mest simple antagelse er derfor, at kr(m) er en voksende lineær funktion af m, således, at
(5.5)
kr(m) = a·m - b,
hvor a og b er positive konstanter, der er bestemt af hvad modellen skal anvendes på.
På helt tilsvarende vis kan man argumentere for at km = km(r) er en aftagende funktion af r= r(t),
antallet af ræve. Vælger vi også her en lineær sammenhæng
(5.6)
km(r)= c - d·r
får man to nye differentialligninger:
(5.7)
dr
= ( a ⋅ m − b) r
dt
og
dm
= (c − d ⋅ r ) m
dt
Bemærk ligheden med den logistiske ligning. Begge ligninger ville nemlig være logistiske, hvis
man erstattede m med r i den første ligning og r med m i den anden ligning.
Ligningerne har heller ikke nogen analytisk løsning, men de kan løses numerisk på samme måde,
som vi gjorde det i det første eksempel. Nedenfor er vist en løsning, hvor vi har valgt begyndelsesværdierne (m0, r0) = (9000, 354), indsamlet fra en svensk skov. De indgående konstanter er fastlagt
ved a = 0,00001, b = 0.08, c = 1, d = 0.002.
Man ser tydeligt, at en periode med mange mus får bestanden af ræve til at vokse, som derefter får
bestanden af mus til at falde, som får bestanden af ræve til at falde, som får bestanden af mus til at
vokse. Der er et cyklisk forløb, og de to arter lever i en slags økologisk symbiose. Det bemærkelsesværdige er, at selv om det er rovdyr og byttedyr, så kan ingen af dem overleve uden den anden.
Hvis man udrydder alle rævene, vil musenes antal vokse ud over den grænse, hvor de kan finde
føde. Resultatet er eventuelt, at de alle dør.
Figuren nedenfor viser samtidig bestanden af ræve og bestanden af mus, som funktion af tiden
26
Dividerer vi den sidste af differentialligningerne (5.7) op i den første finder vi følgende ligning
(5.8)
dr (a ⋅ m − b)r
=
dm (c − d ⋅ r )m
Denne ligning kan imidlertid separeres til at give:
(5.9)
(c − d ⋅ r )
( a ⋅ m − b)
dr =
dm
r
m
Ligningen kan nu integreres.
(5.10)
c
b
∫ ( r − d )dr = ∫ (a − m )dm
⇔ c ln(r ) − r ⋅ d = a ⋅ m − b ln(m) + k
Hvor k er en integrationskonstant, der er bestemt af begyndelsesbetingelserne.
Ligningen (5.10) er transcendent og kan derfor hverken løses mht. til r eller m.
Man kan dog se nogle generelle egenskaber ud fra (5.9). For r =
c
er dm=0, og har fortegnsvariam
tionen +, 0, - , hvis dr er positiv og -, 0, + hvis dr er negativ. Dette viser at m har såvel et maximum
og et minimum og bevæger sig mellem disse to værdier. Noget helt tilsvarende kan siges om r.
I stedet for at anvende (5.10), for at fastlægge sammenhængen mellem r og m grafisk, vil vi igen
løse de to differentialligninger (5.7), men afbilde (r(t), m(t)) som en parameterkurve. Nedenstående
er først vist inddata til matematikprogrammet og dernæst (r,m) grafen.
27
Ovenstående graf er sådan set ikke overraskende, men den indeholder mange detaljer, som man
ikke kan slutte sig til uden anvendelsen af en matematisk model.
5.3 Konkurrerende arter
Vi skal nu se på et eksempel på en model, der beskriver to dyre arter, der konkurrerer om en begrænset mængde føde. Vi vil holde de to populationer anonyme, og betegne dem med x og y,
så x(t) betegner antallet af x individer til tidspunktet t og y(t) betegner antallet af y individer til tidspunktet t.
Den logistiske ligning er en model for en population, hvis størrelse har en øvre grænse. Dette er
f.eks. tilfældet, hvis der kun er en begrænset mængde føde til rådighed. Det er derfor rimeligt i første omgang, at opstille den logistiske ligning for de to populationer.
(5.11)
dx
dy
= a x x( M x − x) og
= a y y(M y − y)
dt
dt
Imidlertid hæmmer de to populationer hinanden vækst, så vi tilføjer et ”hæmmende” led for den
anden population i hver af de to ligninger.
(5.12)
dx
dy
= a x x( M x − x − bx y ) og
= a y y ( M y − y − b y x)
dt
dt
Før vi ser på eksempler på en numerisk løsning, vil vi lave nogle generelle betragtninger.
Bestanden af x er konstant, (der er ligevægt), hvis dx/dt = x’(t)=0. Tilsvarende for y bestanden. Dette føre til ligningerne.
(5.13)
a x x( M x − x − bx y ) = 0 og a y y ( M y − y − b y x) = 0
28
Ligninger har ud over de trivielle løsninger: x = 0 ∧ y = M y eller y = 0 ∧ x = M x
Løsningerne
(5.13)
eller
M x − x − bx y = 0 og M y − y − b y x = 0
x + bx y = M x og y + b y x = M y
De to ligninger fremstiler hver en ret linie i x-y planen. Hvis linierne har et skæringspunkt, har vi en
samtidig ligevægt for de to populationer. Ligningssystemets determinant er imidlertid
D = bx by - 1 , så D ≠ 0 bx by ≠1. Hvis bx by = 1 eller x<0 eller y <0 er der ingen fælles ligevægtstilstand (andet end den trivielle x=0 eller y=0) for de to populationer.
Selv om der findes en ligevægtstilstand, så er det ikke sikkert, at den er stabil. Stabilitet kræver, at
en forskydning fra ligevægtsstilstanden fører tilbage til ligevægtstilstanden og ikke længere bort fra
den. Som eksempel på en stabil ligevægt, kan man tænke på en bold, der ligger i bunden af en halvkugleformet skål. En forskydning fra ligevægtstilstanden vil føre kuglen tilbage mod bunden. Som
eksempel på en ustabil ligevægt, kan man tænke på et balancenummer. En forskydning fra balancetilstanden vil føre stangen længere bort fra ligevægtstilstanden.
Nedenfor er vist 4. grafer fig. 5.5 til fig. 5.8, hvor de to linier (5.13) er indtegnet for forskellige
værdier af de indgående parametre. Endvidere er fortegnene for dx/dt og dy/dt markeret med pile.
Som man ser, er der ingen ligevægt i de to første figurer. Enhver forskydning vil føre til udryddelse
af den ene art. På fig 5.7 er der et fælles punkt med ligevægt, men denne ligevægt er ikke stabil. I
fig. 5.8, derimod er der en stabil ligevægtstilstand, som kan fortolkes på følgende måde:
Hvis der for begge arter gælder, at den ene art hæmmer den anden art mindre end den hæmmer sig
selv, så er der en mulighed for stabil ligevægt.
29
Nedenfor er vist eksempler på en numerisk løsning på differentialligningerne.
Dette er med værdierne:
Mx = 10000; ax =0,2; bx =0,8; My = 6000; ay =0,5 ; by =0,5.
Bemærk, at disse værdier opfylder betingelserne på fig. 5.8.
Øverst er vist en løsning, hvor man har afsat (x(t), y(t)), men hvor man har startet med 5 forskellige
begyndelsesværdier. Som det fremgår, konvergerer løsningen i alle tilfælde mod den samme ligevægtstilstand (8400, 1500).
Nedenfor er vist to separate grafer for x(t) og y(t), svarende til en af graferne ovenfor.
30
Efter nogle ret hidsige ændringer i begyndelsen stabiliser de sig ved det samme konvergenspunkt,
som vist på den første graf.
Parameterkurver
31
Kap 2. Parameterkurver
1. Indledende betragtninger
Når vi hidtil har behandlet funktioner, så har det altid været funktioner, hvor definitionsmængde og
værdimængde er delmænger af de reelle tal. Funktionsbegrebet er imidlertid et specialtilfælde af det
mere generelle afbildningsbegreb.
Definition.
Lad der være givet to ikke tomme mængder A og B. Ved en afbildning f af A ind i B, som skrives:
f :A→ B
forstås en forskrift f, som til ethvert element i en delmængde af A, knytter et og kun et element i B.
De elementer i A, som har et billede i B, kaldes for definitionsmængden for afbildningen, og de elementer i B, som er billede af et element i A, kaldes for billedmængden.
Det element y i B, som er knyttet til et element x i A ved afbildningen f, kaldes for billedet af x og
skrives
y = f(x)
Hvis der for vilkårlig to elementer x1 og x2 i A, gælder:
x1 ≠ x2 ⇒ f ( x1 ) ≠ f ( x2 )
siges afbildningen at være injektiv, og hvis ethvert element i B er billede af et element i A, siges
afbildningen at være surjektiv.
Hvis en afbildning er både injektiv og surjektiv siges den at være en bijektion.
2. Vektorfunktioner
Lad V betegne mængden af vektorer i planen. En vektorfunktion er da en afbildning fra R ind i V.
32
Parameterkurver
Hvis t betegner tiden, og et punkt Pt bevæger sig rundt i planen, vil punktet beskrive en kurve. Da
der er netop en position af Pt til ethvert tidspunkt t, er dette en afbildning af R ind i mængden af
→
punkter i planen. Hvis OPt er stedvektoren til dette punkt, kan vi definere en vektorfunktion på
følgende måde:
(2.1)
→
→
→
 x(t ) 

f (t ) = r (t ) = OPt = 
 y (t ) 
Vi får dog brug for et afstandsbegreb mellem to vektorer.
Ved afstanden mellem to vektorer a og b, forstår man længen af deres differensvektor | a – b|.
Med denne definition, er vi nu i stand til at definere, at en vektorfunktion har en grænseværdi, at
den er kontinueret og differentiabel.
(2.2) Definition: f(t) går imod a for t gående mod t0 , som skrives f(t) → a for t → t0 ∀ε > 0 ∃δ > 0 : | t − t 0 |< δ
(2.3) Definition: f(t) er kontinuert i t0 f(t) → f(t0) for t → t0
→
→
⇒ | f (t ) − f (t 0 ) | < ε
Parameterkurver
33
→
→
f (t ) − f (t 0 )
(2.4) Definition: f(t) er differentiabel i t0 hvis og kun hvis brøken:
har en grænseværdi
t − t0
→
for t gående mod t0. Grænseværdien, (hvis den eksisterer) betegnes f ' (t 0 ) og kaldes for differentialkvotienten af f(t) i t0. Dette kan skrives mere kompakt:
→
→
→
f (t ) − f (t 0 )
lim
= f ' (t 0 )
t →t 0
t − t0
(2.5)
Behandlingen af vektorfunktioner ligner på mange måder behandlingen af reelle funktioner, idet en
vektor funktion kan opfattes som de to reelle koordinatfunktioner. Uden så meget omsvøb, vil vi
derfor fastslå:
(2.6)
at en vektorfunktion er kontinuert, hvis og kun hvis begge koordinatfunktionerne er
kontinuerte.
(2.7)
at en vektorfunktion er differentiabel, hvis og kun hvis begge koordinatfunktionerne er
differentiable.
Regnereglerne for kontinuitet og differentiabilitet følger regnereglerne for reelle funktioner.
3. Tangent til en parameterkurve
På figuren nedenfor er illustreret begrebet tangent for en parameterkurve f(t) = r(t).
Det to nabopunkter Pt og Pt + ∆t svarer til funktionsværdierne i t og t + ∆t . Vektoren
→
→
→
r (t + ∆t ) − r (t ) ∆r
∆r = r (t + ∆t )− r (t ) svaret til en sekant på kurven. For ∆t > 0 er vektoren
=
∆t
∆t
→
→
→
34
Parameterkurver
→
∆r
fremadrettet, dvs. ensrettet med vektoren ∆r . For ∆t < 0 er vektoren ∆r bagudrettet, mens
∆t
stadig vil være fremadrettet.
→
→
→
∆r →
Hvis f(t) = r(t) er differentiabel, vil grænseværdien lim
= r ' (t ) være lig med differentialkvotien∆t →0 ∆t
→
∆r
ten f’(t). Samtidig vil grænsestillingen af
(hvis den ikke er nul-vektoren) være en fremadrettet
∆t
tangentvektor til kurven.
(3.1)
Dette fører til følgende definition: Hvis f(t) = r(t) er differentiabel i t0, og f’(t0) ≠0
(nulvektoren), så siges grafen for f at have en fremadrettet halvtangent i t0.
3.2 Eksempel. Sammenhængen mellem kinematik (bevægelseslære) og parameterkurver.
Hvis t betegner tiden, så svarer f(t) = r(t) til en bevægelse i planen. Differentialkvotienten v(t) = r’(t) vil være hastigheden i bevægelsen og a(t) = r’’(t) vil være accelerationen. Fra fysikken har man overtaget den konvention at man betegner længden af en vektor med det samme bogstav uden vektorstreg over.
Farten i bevægelsen er længden af hastighedsvektoren v(t) = |v(t)|.
Størrelsen af accelerationen er givet ved længden af accelerationsvektoren: a(t) = |a(t)|
3.3 Eksempel. Jævn retlinet bevægelse.
→
 x (t )   3t − 3 
 = 

En jævn retlinet bevægelse er givet ved en parameterfremstilling: r (t ) = 
 y (t )   4t +1 
→
→
 x ' (t )   3 
 =  
Man finder hastigheden ved differentiation af koordinatfunktionerne: v (t ) = r ' (t ) = 
 y ' (t )   4 
Man ser at hastigheden er en konstant vektor. Farten er v =
32 + 4 2 = 5 .
I nogle tilfælde, kan man opnå en ligning for parameterkurven ved eliminination af t. I dette tilfælde er det meget simpelt, idet man finder: x = 3t – 3 t = 1/3x +1 indsat i y = 4t + 1 => y = 4/3x +5. Hvilket man genkender som ligningen for en ret linie.
3.4 Eksempel. Skråt kast. Bevægelse i tyngdefeltet.
→
 x (t )  

8t
 = 

Vi betragter en bevægelse er givet ved en parameterfremstilling: r (t ) = 
2
 y (t )   − 5t + 6t 
→
→
 x ' (t )   8 
 = 

Man finder hastigheden ved differentiation af koordinatfunktionerne: v (t ) = r ' (t ) = 
 y ' (t )   −10t + 6 
→
8
Begyndelseshastigheden (for t = 0) er v (0) =   og begyndelseshastigheden er v = 8 2 + 6 2 = 10
0
 6
→
→
 0 

Accelerationen er konstant rettet nedad (lig med tyngdeaccelerationen) a (t ) = v ' (t ) = 
 −10 
Bevægelsen starter fra (0, 0). Vi vil bestemme det tidspunkt, hvor partiklen igen rammer x-aksen.
2
y = 0 ⇔ − 5t + 6t = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 1,2 .
Parameterkurver
Vi indsætter det sidste tidspunkt i udtrykket for x = 9,6. Denne værdi kaldes for kastevidden.
2
Stighøjden findes ved at sætte vy = 0 −10t + 6 = 0 ⇔ t = 0,6 , som indsættes i y. y = −5 ⋅ 0.6 + 6 ⋅ 0,6 = 1,8
v y0 6
0
Endelig kan man beregne kastevinklen υ som tan υ =
=
⇒ υ = 36,9 .
v x0 8
Til slut vil vi bestemme ligningen for banekurven ved at eliminere t.
x = 8t ⇔ t =
1
5 2 3
2
x ∧ y = −5t + 6t ⇒ y = −
x + x
8
64
4
Vi genkender udtrykket som ligningen for en parabel. En såkaldt kasteparabel.
På grafen nedenfor er banekurven vist sammen med hastighedsvektorerne i nogle punkter.
3.5 Eksempel. Jævn cirkelbevægelse.
→
 x (t )   3 cos 2t 
 = 

Vi betragter en bevægelse er givet ved en parameterfremstilling: r (t ) = 
 y (t )   3 sin 2t 
2
2
2
2
2
2
At banekurven er en cirkel ses let ved at udregne x + y = 9 cos 2t + 9 sin 2t = 9(cos 2t + sin 2t ) = 9 .
2
2
Banekurven er en cirkel med ligningen x + y = 9.
Hastighedsvektoren findes ved differentiation:
→
→
 x '(t )   − 6 sin 2t 
 = 

v (t ) = r ' (t ) = 
 y '(t )   6 cos 2t 
→
∧
Det bemærkes, at r ' (t ) = 2 r (t ) , hastighedsvektoren er vinkelret på radius vektor, rettet langs tangenten.
35
36
Parameterkurver
Vi finder dernæst accelerationsvektoren:
→
→
→
 x ' '(t )   −12 cos 2t 
 = 

a (t ) = v ' (t ) = r ' ' (t ) = 
 y '' (t )   −12 sin 2t 
→
Hvoraf ses, at accelerationen til stadighed er rettet modsat r (t ) , altså mod centrum, hvorfor accelerationen betegnes
centripetalaccelerationen.
Dette var tidligere en del af fysikpensum på den matematiske linie.
3.1 Lodrette, vandrette tangenter og spidser.
→
→
→
Hvis en parameterkurve f (t ) = r (t ) er differentiabel i t0 og r ' (t ) ≠ 0 , så gælder der,
hvis x’(t0) = 0, så har kurven en lodret tangent i t0.
hvis y’(t0) = 0, så har kurven en vandret tangent i t0.
→
Hvis f (t ) = r (t ) ikke er differentiabel i t0 , men differentiabel far højre og venstre, altså, hvis både
→
→
∆r
r '(t 0 + ) = lim
og
t →t0 + ∆t
→
→
∆r
r '(t 0 −) = lim
t →t 0 − ∆t
→
→
eksisterer, men r ' (t 0 + ) ≠ r ' (t 0 −) , så siges parameterkurven at have en spids i t0.
Dette er f.eks. tilfældet på kurven vist nedenfor,
Når man vil beregne spidsens åbningsvinkel, angiver man det ikke som vinklen mellem
→
→
→
→
r '(t 0 + ) og r '(t 0 −) men som vinklen mellem r '(t 0 + ) og − r '(t 0 −) .
Vinklen beregnes ved almindelig vektor regning, som:
→
cos v = −
→
r '(t 0 + ) ⋅ r '(t 0 −)
→
→
| r '(t 0 +) | | r '(t 0 −) |
Parameterkurver
37
4. Undersøgelse af parameterkurver
En undersøgelse af en parameterkurve udføres i princippet på samme måde som en funktionsundersøgelse, forskellen ligger i, hvorledes man fortolker resultaterne.
1. Skæring med koordinatakserne.
For at bestemme skæringen med x-aksen skal man løse ligningen y(t) = 0.
Lad os antage, at man finder løsningerne t = t1 ∨ t = t 2
Tilsvarende for at bestemme skæringen med y-aksen skal man løse ligningen x(t) = 0.
Lad os antage, at man finder løsningerne t = t 3 ∨ t = t 4 ∨ t = t 5
Man laver da en fortegnsvariation som vist på nedenstående figur.
Det man kan læse af fortegnsvariationerne – ud over skæringer med akserne – er hvilket kvadrant
kurven forløber i. Dette er markeret på den øverste tallinie. Hvis x > 0 og y < 0, forløber kurven
f.eks. i 4. kvadrant.
Tilsvarende bestemmer man positionen af eventuelle lodrette og vandrette tangenter ved at løse
ligningerne x’(t) = 0 og y’(t) = 0. Lad os antage, at
x' (t ) = 0 ⇔ t = t 6 ∨ t = t 7
og
y ' (t ) = 0 ⇔ t = t8 ∨ t = t 9
Man laver da ligesom før en fortegnsvariation for x’(t) og y’(t). Vist nedenfor på figuren.
38
Parameterkurver
Ud over at kunne se, hvor der er lodrette og vandrette tangenter, så kan man aflæse i hvilken retning
kurven forløber i hvert af monotoniintervallerne.
Uden at kende til egentlige støttepunkter, kan man herefter få et overblik over kurvens forløb. Nedenfor er tegnet grafen for en parameterkurve, som opfylder kravene fra de to fortegnsvariationer:
4.1 Eksempel.
Nedenfor er vist en Computerlavet kurveundersøgelse, af en parameterkurve, som ligner kurven ovenfor. Blandt andet
er skæringen med akserne og de lodrette og vandrette tangenter bestemt, endelig er grafen tegnet.
Parameterkurver
4.2 Eksempel. Firkløver.
Hvorfor denne parameterkurve har fået dette navn, fremgår af figuren nedenfor. Parameterfremstillingen er:
→
 x (t )   3 sin 2t cos t 
 cos t 
 = 
 = 3 sin 2t 

r (t ) = 
 y (t )   3 sin 2t sin t 
 sin t 
Parameterkurven kan opfattes som en jævn cirkelbevægelse, men med en radius, som varierer mellem 0 og 3 med en
periode på π.
Nedenfor er vist en Computerlavet kurveundersøgelse, samt grafen for parameterkurven.
39
40
Parameterkurver
4.3 Eksempel. Cykloiden.
Cykloiden er en klassisk parameterkurven. Det er den kurve som et punkt af fælgen på et hjul beskriver, når hjulet trilles af sted. For at bestemme parameterfremstillingen, betragtes nedenstående figur.


3
→
→
→    r cos( π − t ) 
 x (t ) 
 rt − r sin t 
rt
2
=
 = OC + CP =  + 

Af figuren fremgår: OP = r (t ) = 

 y (t ) 
 r   r sin( 3 π − t )   r − r cos t 

2

→
 x (t )   rt − r sin t 
 = 

Parameterfremstillingen bliver da: r (t ) = 
 y (t )   r − r cos t 
→
Betragter vi cykloiden, som en funktion y = f(x), så ses det at den er periodisk med perioden 2π.
Differentialkvotienten bliver:
→
 x '(t )   r − r cos t 
 = 

r ' (t ) = 
 y ' (t )   r sin t 
Parameterkurver
41
→
→
Idet r ' (0) = 0 har cykloiden ingen tangent for t = 0. For alligevel at få et indblik i kurvens forløb omkring 0, kan vi
y ' (t )
for t gående mod 0 fra højre og fra venstre. Dette forhold er nemlig ”tangenthældningen” i
x ' (t )
t
t
t
2 sin cos
cos
y ' (t )
sin t
2
2 =
2.
=
=
t
t
x '(t ) 1− cos t
2
2 sin
sin
2
2
y '(t )
y ' (t )
Heraf ses, at lim
= ∞ og
lim
= −∞
t → 0 + x ' (t )
t → 0 − x ' (t )
betragte forholdet
punktet.
Vi slutter heraf, at cykloiden har en lodret spids i punkterne t = p2π, p = 0, ±1, ±2,…
Nedenfor er vist en computer undersøgelse af cykloiden efterfulgt af en graf. Der er også udregnet et overstrøget areal,
hvilket vi skal vende tilbage til.
42
Parameterkurver
4.4 Eksempel. Arkimedes spiral.
Arkimedes spiral, fremkommer ved at man udfører en jævn cirkelbevægelse, samtidig med at radius vokser proportio→  cos t 
→  − sin t  ∧
 så gælder der et ' = 
 = et
nal med drejningsvinklen. Lader vi et = 
 cos t 
 sin t 
I sin mest simple form er parameterfremstillingen derfor
→
→
r (t ) = t et
og mere generelt
→
 x (t )   t cos t 
 = 

r (t ) = 
 y (t )   t sin t 
→
 x (t )   rt cos αt 
 = 

r (t ) = 
 y (t )   rt sin αt 
For hastigheden finder vi:
→
→
 x ' (t )   cos t − t sin t  → ∧
 = 
 = et + r (t )
v (t ) = r ' (t ) = 
 y '(t )   sin t + t cos t 
Nedenfor er vist grafen for en Arkimedes spiral.
Parameterkurver
43
Også på denne figur er der tegnet et par tangenter, samt markeret et overstrøget areal.
4.5 Eksempel. Logaritmisk spiral.
Den logaritmiske spiral er en spiral, hvor radien vokser proportionalt med t, mens drejningsvinklen vokser proportionalt
med logaritmen til t. Den logaritmiske spiral er derfor næsten ”uendelig lang tid” om at foretage en omgang.
Nedenfor er vist en computerundersøgelse af en logaritmisk spiral med parameterfremstillingen.
→
 x (t )   0.1t cos ln t 
 = 

r (t ) = 
 y (t )   0.1t sin ln t 
44
Parameterkurver
4.6 Eksempel. Ubådsjagt.
Årsagen til at den logaritmiske spiral er medtaget er, at den kommer ud som løsning i en bestemt slags problemer.
Lad os antage at en destroyer og en ubåd får visuel kontakt, hvor de befinder sig i afstanden d fra hinanden. Ubåden
dykker straks ned og tager flugten uden at ændre kurs med en bestemt hastighed u. Destroyeren kan sejle med farten v.
Det antages, at v > u. Problemet er nu, om destroyeren kan sejle på en sådan måde, at den vil møde ubåden ligegyldig,
hvilken kurs ubåden har taget. Situationen er illustreret nedenfor, hvor der også er indlagt et passende koordinatsystem.
Ubåden vil befinde sig på en cirkelperiferi med radius r = ut. Løsningen for destroyeren er, at den skal sejle på den
samme periferi indtil den har nået en omgang. Da hastigheden v > u , skulle dette principielt være muligt.
Først skal destroyerne sejle direkte mod ubåden til et punkt, på den cirkelperiferi, hvor ubåden befinder sig. Dette er
nemt at finde, idet der må gælde: ut + vt = d, så t =d/(u+v). Vi begynder analysen ud fra dette punkt, som vi sætter til t =
0.
Parameterkurver
45
Opgaven simplificeres, hvis vi skriver destroyerens position (x,y) i polære koordinater. Det er kendt fra trigonometrien,
at ethvert punkts koordinater kan skrives som: ( x, y ) = ( r cos ϕ , r sin ϕ ) Vi skriver da destroyerens parameterfremstilling som
→
 x (t )   r (t ) cos ϕ (t ) 
 = 

f (t ) = 
 y (t )   r (t ) sin ϕ (t ) 
Det er klart, at radialhastigheden er r’(t). Den bue ds, der overstryges, når vinklen forøges med dϕ er ds = r(t) dϕ
.
ds
dϕ
Heraf følger det, at tangentialhastigheden er
= r (t )
= r (t )ϕ ' (t )
dt
dt
Da destroyeren til stadighed skal befinde sig på samme cirkelperiferi, skal den sejle med samme radialhastighed u.
Heraf følger, at r’(t) = u eller r(t) = ut.
Destroyerens fart er kvadratroden af kvadratsummen af radial og tangentialhastighed. Vi får således:
v = u 2 + (utϕ '(t )) 2
som kan løses mht. ϕ ' (t ) til at give.
ϕ ' (t ) =
1
t
v 2 −u 2 1
= α ⇒ ϕ (t ) = α ln
t
t0
u2 t
hvor vi har sat
v 2 −u 2
=α
u2
t0 er det tidspunkt, hvor jagten langs periferien begynder. t0=d/(u+v). For simpelheds skyld sætter vi t0 = 1 og finder:
ϕ (t ) = α ln t . Vi indsætter nu dette i parameterfremstillingen og ser, at destroyerens bane netop vil være en logaritmisk
spiral.
→
 x (t )   ut cos(α ln t ) 
 = 

f (t ) = 
 y (t )   ut sin(α ln t ) 
Vi kan forsigtigt forsøge at vurdere, hvor lang tid det vil tage destroyeren for at sejle en hel omgang, og hvor lang væk
ubåden så er kommet. Vi antager derfor at u = 12 knob og v = 25 knob. Vi finder da α = 1,83.
Vi skal da løse ligningen: αln(t) = 2π 1,83ln(t) = 2π. => t = 30,98, på hvilket tidspunkt ubåden har sejlet
12·30,98 sm = 371,8 sømil = 689 km.
5. Kurvelængde og overstrøget areal
→
Figuren nedenfor antyder, hvorledes vi vil finde længden af en kurve og det areal som r (t ) overstryger mellem to tidspunkter. Formlerne udledes ved infinitesimalregning.
Ved beregningen af kurvelængden betragter vi buen ds, svarende til den (infinitesimale) tilvækst dt.
For infinitesimale tilvækster, vil der gælde:
2
2
ds = (dx) + (dy )
2
 dx   dy 
⇒ ds =   +  
 dt   dt 
2
dt = x' (t ) 2 + y ' (t ) 2 dt
Vi finder således formlen
(5.1)
2
ds = x' (t ) + y ' (t )
2
t2
dt ⇔ s = ∫ x' (t ) 2 + y ' (t ) 2 dt
t1
46
Parameterkurver
Hvis man skal bestemme arealet mellem kurven og x-aksen, så kan det gøres på to forskellige måder.
1. Hvis man kan finde en ligning for kurven: y =y(x) ved at eliminer parameteren t, så kan arealet
mellem kurven og x-aksen udregnes som et almindeligt integral.
x2
(5.2)
A = ∫ y ( x)dx
x1
2. Selv om man ikke kan eliminere parameteren t, kan man i nogle tilfælde alligevel bestemme arealet mellem kurven og x-aksen, idet man opskriver
(5.3)
A=
x2
t2
x1
t1
∫ ydx = ∫ y (t ) x' (t )dt
Hvis man derimod ønsker at bestemme det overstrøgne areal mellem parameterværdierne t1 og t2,
→
ser vi af figuren ovenfor, at det infinitesimale areal dA, som r (t ) overstryger i tidsrummet dt, så er
→
→
→
→
det halvdelen af det parallelogram, som udspændes af r (t ) dr = r (t + dt ) − r (t ) . Dette areal, kan
igen udtrykkes på flere måder:
→
→→
→ dr
∧
→
1
1
1
dA = | det( r , dr ) |= | det( r , ) | dt = | r (t ) ⋅ r ' (t ) | dt
2
2
2
dt
Parameterkurver
47
Skal man udregne arealet med denne formel, så må man dele op i intervaller, hvor determinanten
har det samme fortegn, og så tilføje et minustegn, der hvor den er negativ.
Man finder da følgende formel:
(5.4)
dA =
1
|
2
t2 ∧
∧
→
→
1
r (t ) ⋅ r ' (t ) | dt ⇔ A = ∫ | r (t ) ⋅ r ' (t ) | dt
2
t1
5.5 Eksempel.
Vi vil undersøge parameterkurven givet ved parameterfremstillingen:
→
 x (t )   t 3 −12t 
 =
r (t ) = 
t ∈ R.
 y (t )   t 2 + 2t 
Skæring med x-aksen: y(t) = 0 t
2
+ 2t = 0 ⇔ t ( t + 2 ) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = −2
3
2
Skæring med y-aksen: x(t) = 0 t − 12t = 0 ⇔ t (t − 12) = 0 ⇔ t = 0 ∨ t = 2 3 ∨ t = −2 3
Fortegnsvariation:
→
 x ' (t )   3t 2 −12 
 =
Differentialkvotient: r ' (t ) = 
t ∈ R.
 y '(t )   2t + 2 
Lodret tangent: x’(t) = 0 3t2 - 12 = 0 t = ±2
Vandret tangent: y’(t) = 0 2t + 2 = 0 t = -1
Fortegnsvariation:
Til højre er tegnet en kurve, som er i overensstemmelse med de to fortegnsvariationer.
Som det ses, har kurven et dobbeltpunkt, altså to forskellige t-værdier, der giver det samme (x,y). Et dobbeltpunkt kan
principielt bestemmes ved at løse de to ligninger med de to ubekendte t1 og t2 .
48
Parameterkurver
x(t1) = x(t2) og y(t1) = y(t2).
Da ligninger aldrig er lineære (så har kurven nemlig ikke et dobbeltpunkt), er man henvist til at gætte sig frem.
Hvis vi gætter den ene t-værdi, kan man ofte finde den anden. Vi gætter (se grafen nedenfor) på t = 2, som giver (x,y) =
2
(-16,8). Dernæst løser vi ligningen: y(t) = 8 t + 2t = 8 ⇔ t = −4 ∨ t = 2 , som indsat giver (x,y) = (-16,8).
Vi ønsker at beregne vinklen mellem tangenterne i dobbeltpunktet.
→
→
 3t 2 −12 
 ⇒ r ' ( 2) =  0 
r ' (t ) = 
6
 2t + 2 
 


Heraf finder man
→
 36 
og r ' ( −4) =  
 −6 
→
→
r '( −4)⋅ r ' ( 2)
− 36
cos v =
=
⇒ v = 99,46
→
→
2
2 02 + 62
36
+
(
−
6
)
| r '( −4)|| r ' ( 2)|
Nedenfor er vist kurveundersøgelsen med et matematikprogram, samt den rigtige graf.
Kurven begrænser et område af planen. Vi ønsker at bestemme arealet af dette område. Det er ud fra det foregående
klart, at randen af området gennemløbes fra t = -4 til t = 2. Vi anvender derfor blot formlen (5.4).
A=
1
2
∧ →
|
∫ r (t ) ⋅ r ' (t ) | dt
t2
t1
∧
→
 2
  2

r (t ) ⋅ r ' (t ) =  −3t − 2t  ⋅  3t −12  = −t 4 − 4t 3 − 12t 2
 t −12t   2t + 2 
Da udtrykket ses, at være negativt i intervallet [-4, 2] skal vi skifte fortegn. Vi får da.
Parameterkurver
A=
1
2
2
∫ (t
−4
4
1 1
 2
3
2
+ 4t + 12t ) dt =  t 5 + t 4 + 4t 3 
= 129,6
2 5
 −4
Hvilket er det samme resultat, som matematikprogrammet får. (De to minustegn er en mindre fejl i programmet)
49
50
Parameterkurver
Keglesnit
51
Kap 3. Keglesnit
1. indledning
Keglesnit er en betegnelse for tre forskellige geometriske figurer, nemlig ellipser, hyperbler og parabler. Grunden til fællesbetegnelsen keglesnit er naturligvis, at de alle tre kan frembringes som
snitkurve mellem en plan og en kegle. Før vi viser dette sidste, vil vi give en alternativ definition af
de tre kurver.
2. Ellipsen
En cirkel defineres som det geometriske sted for de punkter P som har den samme afstand fra et
givet punkt C. Punktet C betegnes centrum og afstanden for radius.
(2.1) Tilsvarende defineres en ellipse, som det geometriske sted for de punkter P, hvis afstande fra
to givne punkter F1 og F2 har en given som 2a, afstandene regnet positive. F1 og F2 betegnes
som ellipsens brændpunkter.
På figurerne ovenfor, har vi indlagt et koordinatsystem, med x-aksen gennem F1 og F2, mens yaksen deler liniestykket F1F2, således at |OF1 | = |OF2|.
I dette koordinatsystem må ellipsen, således være symmetrisk med hensyn til såvel x som y-aksen .
Punkterne A,B,C og D antages at være på ellipsens skæringspunkter med de to koordinatakser.
Der gælder således f.eks. |F1A| + |F2A | =2a og |F1B| + |F2B | =2a
Specielt må |F1A| = |F2B |, på grund af symmetrien, hvoraf følger
|F1A| + |F2A | =2a = |F2B |+|F2A| = |AB| =2a så A = (-a, 0) og B=(a, 0).
a kaldes for ellipsens halve storakse.
Betragter vi punktet C (ellipsens ene skæring med y-aksen), så må der på grund af symmetrien gælde: |F1C| = |F2C | = a, idet |F1C| + |F2C | = 2a, da C ligger på ellipsen.
Vi sætter b= |OC|=|OD| , hvormed C og D får koordinaterne: C=(0,b) og D=(0, -b,).
b kaldes for ellipsens halve lilleakse.
Vi giver endvidere F1 og F2 koordinaterne F1 = (-ea, 0) og F2 = (ea, 0),
52
Keglesnit
hvor 0 < e <1 er et tal, som kaldes for ellipsens eccentricitet. e er et mål for ”fladtrykningen” af
ellipsen i forhold til cirkelformen, som nås, når e = 0. (da er nemlig F1 = F2). Når e = 1, udarter
ellipsen til en ret linie.
Af den retvinklede trekant OCF2 får man umiddelbart:
e2a 2 + b2 = a 2 ⇔
b2
= 1− e2 ⇔ b = a 1− e2
2
a
2.1 Ellipsens ligning
Svarende til cirklens ligning, vil vi nu bestemme en ligning for ellipsen. Dette gøres lettest ved at
finde et udtryk for de to brændstråler til et punkt P(x,y) på ellipsen.
Ved anvendelsen af afstandsformlen finder man:
| F1 P | 2 = ( x + ea ) 2 + y 2 og
| F2 P |2 = ( x − ea ) 2 + y 2
Heraf fås:
| F1 P | 2 − | F2 P | 2 = 4eax , idet alle de øvrige led går ud mod hinanden.
Ved en omskrivning med en af kvadratsætningerne får man da
(| F1 P | − | F2 P |)(| F1 P | + | F2 P |) = 4eax
Samtidig gælder der, da P ligger på ellipsen: | F1P | + | F2 P |= 2a
Ved at dividere denne ligning op i ovenstående, får man de to ligninger:
| F1 P | − | F2 P |= 2ex
og
| F1 P | + | F2 P |= 2a
som nemt løses til at give: | F1 P |= a + ex og | F2 P |= a − ex
Indsætter man nu det første udtryk i ligningen: | F1 P |2 = ( x + ea ) 2 + y 2 får man:
(a + ex) 2 = ( x + ea ) 2 + y 2
som efter kvadrering og reduktion giver:
x 2 (1 − e 2 ) + y 2 = a 2 (1 − e 2 ) ⇔
x2
y2
+
=1
a 2 a 2 (1 − e 2 )
idet b = a 1 − e 2 fører dette til ellipsens ligning,
(2.2)
x2 y2
+
=1
a2 b2
Keglesnit
53
For at bestemme skæringspunkterne med akserne sætter man x = 0 eller y = 0, herved får man
umiddelbart x = 0 ⇔ x = ± a og y = 0 ⇔ y = ±b , som vi vidste i forvejen.
Helt på samme måde, som det gælder for en cirkel, kan man finde ligningen for en ellipse med centrum i (x0, y0).
(2.3)
( x − x0 ) 2 ( y − y 0 ) 2
+
=1
a2
b2
2.2 Ellipsens parameterfremstilling
Sætter vi x = a cos t og y = b sin t , t ∈ [0,2π ] , er dette en parameterfremstilling for en kurve.
Vi vil vise at kurven er en ellipse.
x
y
x2 y2
Man finder man nemlig: = cos t og
= sin t , hvoraf følger: 2 + 2 = cos 2 t + sin 2 t = 1 .
a
b
a
b
Punktet (x,y) ligger på ellipsen.
(2.4)
 x(t )   a cos t 
 = 

r (t ) = 
 y (t )   b sin t 
→
, t ∈ [0,2π ]
kaldes for ellipsens parameterfremstilling.
Betydningen af parameteren t er imidlertid ikke helt indlysende, som vist på figuren nedenfor
Foruden ellipsen, har vi tegnet en cirkel med centrum i
ellipsens centrum og radius lige med ellipsens halve storakse a. Hvis Q =(x,y)= (acost, bsint) er et punkt på ellipsen er P = (acost, asint) et punkt på cirklen, som vist på
figuren. t er således ikke retningsvinklen for punktet Q,
som man måske umiddelbart skulle tro.
t kaldes for ellipsens eccentriske anomali.
2.3 Ellipsetangent
Man kan godt bestemme en tangentligning for ellipsen ved at isolere y i ellipsens ligning, og differentiere de to udtryk, men det fører til lidt uoverskuelige regninger. Meget lettere er det, at bestemme tangentvektoren til parameterkurven. Vi vil bestemme tangentligningen i punktet (x0, y0)
 x' (t )   − a sin t 
 = 

r ' (t ) = 
 y ' (t )   b cos t 
→
x0
y
a
b
= cos t og 0 = sin t finder man: x' (t ) = − a sin t = − y0 og y ' (t ) = b cos t = x0 , og
a
b
b
a
2
y ' (t )
b x
hermed tangenthældningen:
=− 2 0
x' (t )
a y0
Idet
Tangentligningen findes herefter på sædvanlig vis af: y − y0 = α ( x − x0 ) , hvis man insætter hældningen α, får man således:
54
Keglesnit
y − y0 = −
b 2 x0
( x − x0 ) ⇔
a 2 y0
2
2
( y − y 0 ) y 0 x0 ( x − x0 )
+
=0
b2
a2
2
⇔
2
yy0 y0
x x x
x x yy
x
y
− 2 + 02 − 02 = 0 ⇔ 02 + 20 = 02 + 02 = 1
2
b
b
a
a
a
b
a
b
Det sidste lighedstegn fremkommer, fordi (x0, y0) ligger på ellipsen.
Ligningen for en tangent til ellipse, gennem punktet (x0, y0) er derfor
(2.5)
x0 x yy0
+ 2 =1
a2
b
2.4 Ellipsens ledelinier
Det viser sig, at man kan give en alternativ definition af en ellipse.
En ellipse er det geometriske sted for de punkter, hvor forholdet mellem afstandene fra et givet
punkt og en given linie er konstant lig med e < 1.
På figuren er tegnet en ellipse, samt en linie
med ligningen x = a/e. Det højre brændpunkt
F2 = (ae, 0). Vi vil bestemme de punkter,
hvor forholdet mellem afstanden til F2 og afstanden til en linie er lig med e < 1.
( x − ae) 2 + y 2
a
e
| x− |
=e
Hvis man kvadrerer og ordner ligningen finder man:
a
e
( x − ae) 2 + y 2 = e 2 ( x − ) 2 ⇔ x 2 (1 − e 2 ) + y 2 = a 2 (1 − e 2 ) ⇔
x2
y2
+
=1 ⇔
a 2 a 2 (1 − e 2 )
x2 y2
+
=1
a2 b2
Unødvendigt at sige, så har ellipsen to ledelinier, som svarer til hvert sit brændpunkt
3. Hyperblen
En hyperbel er det geometriske sted for de punkter, hvis afstande fra to givne punkter F1 og F2, har
en konstant numerisk differens 2a. Kaldes Hyperblen for H, gælder der således:
P ∈ H ⇔ | | F1 P | − | F2 P | |= 2a
Keglesnit
55
Hvis de to brændpunkter F1 og F2 er beliggende på x-aksen, symmetrisk om y-aksen, så må hyperblen ud fra definitionen være symmetrisk mht. x-aksen og y-aksen. Den må endvidere bestå af to
adskilte grene på grund af numerisk tegnet.
| | F1 P | − | F2 P | |= 2a ⇔ | F1 P | − | F2 P |= 2a ∨ | F1 P | − | F2 P |= −2a
Hyperbelen skærer x-aksen i to punkter A og B, fordi ligningen ovenfor har to løsninger på x-aksen.
På grund af symmetrien gælder endvidere: | F1 A |=| F2 B | . Heraf følger:
| F1 B | − | F2 B |= 2a =| F1 B | − | F1 A |=| AB | , så | AB |= 2a .
A og B har derfor koordinaterne (-a, 0) og (a, 0).
Vi giver F1 og F2 koordinaterne: F1 =(-ea, 0) og F2 = (ea,0), hvor e > 0. (Dette til forskel fra ellipsen hvor 0 < e <1.)
Udledningen af hyperblens ligning følger derfor fuldstændig udledningen af ellipsens ligning, og
udregningerne kan overtages direkte, indtil man når ligningen:
x 2 (1 − e 2 ) + y 2 = a 2 (1 − e 2 )
Her husker man at e > 1, så den omskrives, så alle led er positive.
x2
y2
x (e − 1) − y = a (e − 1) ⇔ 2 − 2 2
=1
a
a (e − 1)
2
2
2
2
2
For hyperblen definerer man: b 2 = a 2 (e 2 − 1) , hvorefter vi kan skrive hyperblens ligning.
(3.2)
x2 y2
−
=1
a2 b2
Bemærk den formelle lighed med ellipsens ligning. Den eneste (men væsentligste) forskel er minustegnet mellem de to led på venstre side.
56
Keglesnit
På samme måde, som for ellipsen, findes en alternativ definition af hyperblen.
(3.3)
En hyperpel er det geometriske sted for de punkter, hvor forholdet mellem afstandene fra et
givet punkt og en given linie er konstant lig med e > 1.
Udledningen af dette sker helt på den same måde som for ellipsen, ved at opstille forholdet.
( x − ae) 2 + y 2
a
e
| x− |
= e med e > 1.
3.1 Hyperblens asymptoter
b
a
På figuren med parablen ovenfor er indtegnet to linier med ligningerne y = ± x . Vi vil vise at disse to linier er asymptoter til hyperbelen. Vi minder om:
Linien y = ax + b er en skrå asymptote til grafen for y = f(x), hvis og kun hvis:
f(x) – (ax + b) → 0
for x → ∞
(eller x →- ∞)
Hvis man løser hyperblens ligning mht. y finder man: y = ±
b
a
x2 − a2 .
For x > 0 og y > 0, ser vi da på forskellen:
b
a
y− x=
b
a(
b
a
b
a
b
a
x 2 − a 2 − x = ( x 2 − a 2 − x) =
x2 − a2 − x2
x2 − a2 + x2 )
=
b
a(
− a2
x 2 − a 2 + x)
x 2 − a 2 + x 2 )( x 2 − a 2 − x 2 )
b(
a
(
x2 − a2 + x2 )
=
→ 0 for x → ∞
b
a
Hvilket viser at y = x er skrå asymptote til y =
b
a
x 2 − a 2 for x → ∞.
De øvrige tilfælde vises på helt samme måde.
Med indførelsen af asymptoterne, kan vi også beskrive, hvor man kan aflæse b. Linien x = a, skærer
b
a
b
a
nemlig asymptoten y = x i b, idet: y = a = b .
3.2 Hyperbolske funktioner. Hyperblens parameterfremstilling
I matematikken definere man hyperbolsk cosinus og hyperbolsk sinus ved udtrykkene:
1
2
cosh x = (e x + e − x )
og
1
2
sinh x = (e x − e − x )
Selv om graferne for coshx og sinhx er meget forskellige fra graferne for cosx og sinx, så har de en
række egenskaber, som minder stærkt om hinanden. (coshx og sinhx er dog ikke periodiske).
Grundrelationen for cosx og sinx
cos 2 x + sin 2 x = 1
bliver f.eks. til
cosh 2 x − sinh 2 x = 1
Keglesnit
57
At det sidste er tilfældet ses ved en simpel udregning.
1
4
1
4
cosh 2 x − sinh 2 x = (e x + e − x ) 2 − (e x − e − x ) 2 =
1
2x
((e
4
1
4
+ e −2 x + 2e x e − x ) − (e 2 x + e −2 x − 2e x e − x )) = 4 = 1
Det er ligeså nemt at vise relationerne:
cosh 2 x = cosh 2 x + sinh 2 x
og
sinh 2 x = 2 sinh x cosh x
Nedenfor er graferne for sinhx og coshx vist.
Vi minder om, at en parameterfremstilling for ellipsen var ( x, y ) = (a cos t , b sin t ) .
Vi vil nu vise, at
( x, y ) = (a cosh t , b sinh t )
er en parameterfremstilling til hyperblen. Dette følger af omskrivningen
x y
a b
( , ) = (cosh t , sinh t ) . Af relationen cosh 2 x − sinh 2 x = 1 finder man:
(3.4)
cosh 2 x − sinh 2 x = 1 ⇔
x2 y2
−
=1
a2 b2
58
Keglesnit
4. Parablen
En parabel defineres om det geometriske sted for de punkter, som har samme afstand fra et givet
punkt F og en given linie l. F kaldes for parablens brændpunkt og l kaldes for parablens ledelinie.
Bemærk, at parablen med denne definition er et grænsetilfælde mellem ellipsen og hyperblen, hvor
forholdet mellem afstandene var henholdsvis 0 < e <1 og e > 1. Parablen svarer derfor til e = 1.
Vi indlægger parablen, som vist på tegningen, så koordinatsystemets begyndelsespunkt O ligger på
p
4
parablen. På figuren har vi givet brændpunktet koordinaterne F = ( ,0) . Da O ligger på parablen er
p
4
|OF| = dist(O, l), så ledelinien må have ligningen x = − , hvor p kaldes for parablens parameter.
For et vilkårligt punkt P=(x, y), udtrykker vi da blot, at |PF|2 = dist(P, l)2 ( x − ) 2 + y 2 =| x −
p
4
p
4
|2
Ved at kvadrere og samle leddene får man:
(4.1)
y 2 = px
Man ser umiddelbart, at dette er ligningen for parablen y =
1
p
x 2 spejlet i linien y = x.
Keglesnit
59
4.1 En sætning om brændstrålen og normalen
En omdrejningsparaboloide, (kaldet en parabol) dvs. en parabel der er roteret 1800 om x-aksen, har
mange teknologiske anvendelser, som forlygterne på en bil, i lommelygter, til at modtage TVsignaler fra satellitter, som radioteleskoper i astronomien osv. osv.
Alt dette bygger på følgen sætning som vi vil bevise.
Hvis man anbringer en lyskilde i brændpunktet af en parabol belagt med et indvendigt spejl, så vil
alle de reflekterede stråler være parallelle efter refleksionen. Omvendt hvis en parabol rammes af et
bundt af stråler parallelle med parabolens akse, så vil de alle samles i brændpunktet. Det sidste er
netop grunden til at parabolen anvendes som antenne, idet det indkommende signal i hele parabolens tværsnitsareal, vil samles i brændpunktet, (hvor man anbringer modtageren).
Selv om sætningen lyder simpel, er den alligevel lidt ”tricket” at bevise.
På figuren er tegnet brændstrålen FP. L er ledelinien og ifølge parablens definition er |FP| = |PT| .
Endvidere har vi tegnet tangenten t i P, og normalen i P.
Opgaven går da ud på at vise at indfaldsvinklen i og refleksionsvinklen r er lige store, r = i.
Parablens ligning er: y 2 = px . For de to parabelgrene gælder derfor: y = ± px . Vi nøjes med at se
på den øverste parabelgren, hvor y = px .
Vi bemærker først, at |FP|=|PT|, så ∆FPT er ligebenet. Vi vil da vise, at tangenten t står vinkelret
på FT, altså er højde på FT. Men hvis det er tilfældet, så er tangenten også midtnormal på FT og
vinkelhalveringslinie for vinkel FPT.
0− y
2y
Hældningen for linien FT er: α FT =
=−
p
p
p
− (− )
4
4
Hældningskoefficienten for tangenten findes som differentialkvotienten af y:
y' =
p
p
=
2 px 2 y
60
Keglesnit
Heraf føler det at:
α FT y ' = −
2y p
= −1 ,
p 2y
hvoraf vi slutter, at tangenten er vinkelret på FT, hvilket var hvad vi ønskede.
Det følger så: at v = u. D to vinkler u er lige store, da de er topvinkler for to skærende linier.
Når v = u er imidlertid i = r, (idet i + v = 90 og r + u = 90).
5. Keglesnit
En kegle kan frembringes ved at rotere en linie 3600 omkring en akse, som bliver keglens
symmetriakse. Vinklen mellem linien og aksen er keglens halve åbningsvinkel α.
Figuren til venstre viser 3 forskellige snit
med en plan og keglen. I det første tilfælde,
danner planen en vinkel med aksen, som er
større end α. Snitkurven bliver en ellipse.(En
cirkel hvis vinklen med aksen er 900).
I det andet tilfælde danner planen en vinkel
med aksen, som er lig med α. Snitkurven bliver en parabel. I det tredje tilfælde danner
planen en vinkel med aksen, som er mindre
end α. Snitkurven bliver både i keglens øvre
og nedre del. Snitkurven er en hyperbel.
(Hvis vinklen er 00, og aksen ligger i planen,
bliver snitkurven to linier, som skærer hinanden i keglens toppunkt. Kaldet to frembringere).
Dette er tre påstande, hvoraf vi vil søge at bevise to af dem. Til beviset får vi gentagne gange brug
for en sætning fra geometrien.
Hvis en vinkels to ben tangerer en kugle, så er afstanden fra vinklens toppunkt til tangenternes røringspunkter den samme.
Keglesnit
61
Det er velkendt (og meget let at vise), at afstanden fra en tangentvinkels toppunkt til de to røringspunkter er den samme. Dette er illustreret på figuren til venstre.
På figuren til højre er vinklen tangentvinkel til en kugle. Snitkurven mellem den plan som vinklen
udspænder og kuglen er en cirkel. (Snitkurven mellem en kugle og en plan er altid en cirkel). Vinklen er i denne plan imidlertid tangentvinkel til snitkurven, hvoraf sætninger følger af tilfældet fra
plangeometrien.
5.1 Ellipse
Figuren til højre viser det første tilfælde. Vi vil bevise,
at snitkurven er en ellipse.
Vi indlægger nu to kugler i keglen, som tangerer snitplanen i punkterne F1 og F2. Kuglerne tangerer keglen
i to cirkler, som det fremgår af figuren. Afstanden mellem cirklerne |KL|= 2a.
M er et punkt på planens snitkurve med keglen. Vinkel
KMF2 er tangentvinkel til den lille kugle. Derfor er
|MK| = |MF2|. Tilsvarende er Vinkel LMF1 tangentvinkel til den store kugle. Derfor er |ML| = |MF1|.
Vi får således:
|MF2|+ |MF1|=|ML|+ |MK| =|LK|=2a
Vi har således bevist, at for et vilkårligt punkt på snitkurven gælder, at summen af afstandene til
F1 og F2 er konstant lig med 2a, hvoraf følger at snitkurven er en ellipse
Idet | F1F2| = 2ea og |BC| = 2a, er det er relativt nemt ud fra geometrien at vise, at e =
v er den vinkel som aksen danner med snitplanen.
5.2 Parabel
cos v
cos α
, hvor
62
Keglesnit
Parablen er en del mere spidsfindig end ellipsen. Snitplanen er valgt så den er parallel med en frembringer. Som før indlægger man en kugle som tangerer såvel keglen som snitplanen. Den plan som
røringscirklen danner med keglen tegnes og dens skæringslinie med snitplanen betegnes l.
P er et punkt på snitkurven. Gennem dette punkt tegnes en plan parallel med røringscirklens plan
(begge vinkelret på keglens akse). Idet vi anvender figurens betegnelser, ses det at vinkel FPL er
tangentvinkel til kuglen, så |FP|=|PL|. Endvidere ses det, at MP || RN og NP || l og NQ || RS.
Vi finder derfor:
|FP| = |PL| = |SQ| = |RN| =|MP|
For et vilkårligt punkt P på snitkurven gælder det åbenbart, at det har samme afstand til F og l.
Snitkurven må derfor være en parabel.
5.3 Hyperbel
Hyperblen er den vanskeligste at vise.
(Figuren er hentet fra en (min) lærebog i matematik
fra 1958 ). Vi skitserer beviset nedenfor ud fra tegningen. Vi vil vise, at snitkurven mellem keglen og
snitplanen er en hyperbel
Som ved ellipsen og parablen, indlægger man, nu to
kugler som tangerer snitplanen og keglen.
På grund af rotationssymmetrien, må snitkurven have en symmetrilinie.
En frembringer er en linie, som er snitkurve mellem
keglen og en plan, som indeholder keglens akse. På
figuren er vist to frembringere
Symmetrilinien skærer frembringerne i punkterne B
og C. Disse ligger på hver sin side af keglens toppunkt A. De to kugler, tangerer snitplanet i F1 og F2.
M er et punkt på snitkurven. MF1 = MK, idet MK og
MF1 er tangenter til samme kugle.
Ligeledes MF2 =ML. Der gælder således:
MF1 – MF2 = MK - ML =KL
KL er den konstante afstand mellem de to parallelle
røringscirkler målt på en frembringer.
Specielt er afstanden KL =BC, idet B og C er punkter på hyperblen. |BC| = 2a er hyperblens storakse. Forskellen mellem afstandene fra et vilkårligt punkt M på snitkurven til F1 og F2 er konstant,
hvilket betyder, at snitkurven er en hyperbel.
Keglesnit
63

Differentialligninger og parameterkurver

Transcription

Similar documents

Quantum Mechanics

Lineære Modeller

Om brugen af matematiske tegn og objekter i en god

hjælp - Peter Sørensen

Varlogic N power factor controller 0

Strategiprocessen på AAU 2014-2015 - Ny AAU

De to trekanter

Egebjergvej 4, 6818 Årre.pdf

Danfoss 6kW Supplement til manualsæt DK (PDF

0% - Kreativitet & Kommunikation

Hvor ligger det danske produktivitetsproblem?

as PDF - Niels Bohr Institutet

teknisk manual

x - matx.dk

Appendices, opgavesamling og stikordsregister

Fuldmagtsblanket inkl. vejledning

Hf-bevis-eksempel - Herlev Gymnasium og HF

Bevægelse i to dimensioner

Tangent til cirkel.pdf

Det danske boligmarked på lang sigt

Sample Questions SCHOLARSHIP & TALENT SEARCH PROGRAMME- 2014 MKC Foundation

Årsplan for musik 0. klasse