as PDF - Niels Bohr Institutet

Transcription

KØBENHAVNS
UNIVERSITET
Afd. for FYSISK OCEANOGRAFI
Vandbevægelser i kystnære områder
(Systemet Østersøen - Nordsøen)
af
N.K. Højerslev
KØBENHAVNS UNIVERSITET
INSTITUT FOR FYSISK OCEANOGRAFI
Vandbevægelser i kystnære o m r å d e r
(Systemet Ø s t e r s ø e n - Nordsøen)
af
N. K. Højerslev
Vandbevægelser i kystnære o m r å d e r
(Systemet Ø s t e r s ø e n - Nordsøen)
af
N. K. Højerslev
FORORD
Den første udgave af kompendiet Vandbevægelser i kystnære områder (Systemet
Østersøen-Nordsøen) blev udgivet i 1978. Den foreliggende andenudgave er
forbedret på nogle enkelte punkter og er vel omtrentlig fri for fejl efter 10
års kritisk studenterlæsning.
Forfatteren vil mene, at kompendiet egner sig til et selvstudium, hvis man har
matematiske kundskaber på studenterniveau og almindeligt godt kendskab til
sædvanlige lineære differentialligninger såsom bølgeligningen, telegrafligningen og Laplace's ligning.
Kompendiet må formodes at have en vis aktualitet i dag på grund af den
igangværende ambitiøse Havplan-90, der foruden undersøgelser af iltsvind og
ukontrolleret planktonvækst i danske farvande også fokuserer stærkt på,
hvorledes systemet Østersøen-Nordsøen fungerer dynamisk.
Niels Kristian Højerslev.
DET GRÆSKE ALFABET
A
a
alfa
B
ß
beta
r
?
gamma
A
Ô
delta
E
c
epsiIon
Z
<
zêta
H
7Î
eta
9
G
I
i
Iota
K
K
kappa
A
A
lambda
M
M
my
N
i>
ny
(T3)
teta
ksi
O
o
omikron
n
n
Pi
P
p
ro
Z
c-
sigma
T
T
tau
T
v
ypsilon
fi
X
*
ki
psi
omega
Indholdsfo rtegnelse
Forord
Symboler
Kapitel 1. Introduktion
1.1. Systemet Østersøen-Nordsøens topografi, hydrografi og almene strømningsmønster
1.2. Ligningssystemer, standardapproximationer og
randb et ingelser
Kapitel 2. Østersøen
2 . 1 . Oxygen og fosfat
2.2. Vindstuvening
2.3. Inertibevægelse
2.4« Overfladebølger
Kapitel 3. Sundet og Bælthavet
3 . 1 . Knudsens hydrografiske teorem
3.2. Geostrofisk ligevægt
3.3. B e r n o u l l i ' s teorem
Kapitel 4. Kattegat
4 . 1 . Interne bølger
4*2. Interne bølgers i n s t a b i l i t e t
Kapitel 5« Skagerrak
5 . 1 . Skagerrak-hvi rvlen
5.2. P a r t i k e l - og fluorescensmålinger
Kapitel 6. Nordsøen
6.1. Tidevand
6.2. Tidevandsbølger
Kapitel 7» Optiske parametre
7 - 1 . Definitioner
7.2. St rålingsligningen
7.3» Måling af radians
7.4.
7.5«
7.6.
7.7«
7.8.
Måling af irradians
Immers ionseffekt
Bølgelængde-integre rende i r r a d i ans-mål ere
Absorptionsmåler
Spredningsmålere
Kapitel 8. Appendix
8 . 1 . Vektoranalytiske begreber
8.2. Massetransport
8 . 3 . Stoftransport
8.4» Knudsens hydrografiske teorem
8.5» Navier-Stokes ligning
8.6. Lagrange'sk og Buler'sk beskrivelse
8.7« Randbetingelser
8.8. Bølger
Kapitel 9» Afsluttende bemærkninger
Stikordsregister
7
Symboler
massefylde (masse pr. rumfangsenhed)
standard—oceanets konstante massefylde
salinitet, temperatur (masse pr. masseenhed »
C)
salinitet og temperatur for standard-oceanet (f.eks. 35
>, 0 C)
koordinater, positive mod øst, nord og radialt udad
hastighedskomponenter i i, y, z-retningen
fasehastigheden for en bølge
gruppehastigheden for en bølgegruppe
bølgelængde
tryk (kraft pr. fladeenhed)
turbulente blandingskoefficienter for bevægelsesmængde i henholdsvis horisontal og vertikal retning (fladeenhed pr, tidsenhed)
turbulente blandingskoefficienter for varme- eller stofmængde i
henholdsvis horisontal og vertikal retning (fladeenhed pr. tidsenhed)
kinematisk molekylær gnidningskoefficient for vand
en vilkårlig egenskab på et givet tidspunkt og sted (kan både
være en skal ar og en vektor)
middelværdien af størrelsen q (f.eks, salinitet eller hastighed)
fluktuationen af størrelsen q
Reynolds tal
Richardsons tal
von Karmans konstant = 0,4
tyngde accélérât ionen = 9S1 m/sek.
hastighedspotentialet, breddegraden
-5
-1
jordrotationen = 7»29 • 10
sek.
eller vinkelhastighed
Coriol is accélérât ionen = 2 u> sin (breddegraden)
dybden af Ekmanlaget ved havoverfladen
dybden af Ekmanlaget ved havbunden
vanddybden regnet fra middelvandstand til bund
9
Kapitel 1
Introduktion.
1.1.
Systemet Østersøen - Nordsøens topografi, hydrografi og almene
strømningsmønster.
På få undtagelser nær er havdybderne overalt i systemet Østersøen - Nordsøen mindre end 200 nu Den v i g t i g s t e undtagelse e r Norske Rende, som e r en gravsænkning i Skagerrak og Nordsøen med en maximal dybde på caJ^'O© m. Et område
med dybder mindre end 200 m benævnes enten fladsø, epikontinental hav, overskylningshav e l l e r transgressionshav.
Østersøen er et såkaldt intra-kontinentalt hav med et areal på ca 3^0.000
km og en gennemsnit s dybde på 60 m.Dét har forbindelse med Nordsøen gennem
Øresund og Bælthavet, hvor tærskel dybderne e r henholdsvis 7 - 8 m og 17 - 18 m.
Østersøen er opdelt i et antal bækkener, som e r adskilt ved tærskler e l l e r uds t r a k t e områder med grundt vand.
Nordsøen er et randhav t i l det nordlige Atlanterhav med et areal på ca.
2
58O.OOO km og en gennemsnit s dybde på 75 nu Den østlige og sydlige del af Nordsøen e r karakteriseret af dybder mindre end 50 ni, medens vi i nordvestlig r e t ning ud mod Atlanterhavet træffer på stigende dybder op t i l ca. 220 m. Bundtopografien er generelt jævn i den centrale Nordsø. Vigtigste undtagelse herfra
e r Dogger Banke. Det skal iøvrigt bemærkes, at v i her ikke har bækkener som i
Østersøen.
Bælthavet og Kattegat har generelt havdybder mindre end 50 m. Den vigtigste
undtagelse herfra e r Dybe Rende, som løber nordover fra Kullen langs Sveriges
vestkyst op t i l Norske Rendes ø s t l i g e d e l .
Østersøen er karakteriseret ved en s t o r netto ferskvandstilførsel samt en
stærk kontinental klimatisk påvirkning. Vandudvekslingen mellem Østersøen og
Kattegat er kendetegnet ved en stærk udadgående brak o verflade strøm samt en
svag og saltholdig mod Østersøen gående bundstrøm. Dette strømningsmønster, som
undertiden giver anledning t i l anoxide t i l s t a n d e på bunden af Østersøens bækken e r , e r foruden den store ferskvandstilførsel præget af tærsklernes t i l s t e d e værelse i Sundet og Bælthavet.
Hydrografien i Nordsøen præges derimod af den åbne og dybe forbindelse
samt den kraftige vandudveksling mellem Nordsøen og Atlanterhavet, Nordsøen er
iøvxigt ikke så stærkt klimatisk påvirket af kontinenterne som Østersøen. Dette
gælder mest udpræget for Nordsøens centrale og nordlige del.
Kattegat og Bælthavet e r et typisk overgangsområde mellem Østersøen og
Nordsøen. De hydrografiske forhold bestemmes her i høj grad af atmosfæriske
10
forhold -samt strøm både i og uden for overgangsområdet, fordi disse parametre
især er bestemmende for opblandingen mellem Østersø- og Nordsø vandmas s erne.
.,,
Fig... 1
Temperaturforskellen mellem
overfladen' og bunden i en
ä omme r situation. .
11
Fig. 1 og 2 v i s e r en sommers i t u at ion for systemet. Vi har præsenteret
differenserne mellem overflade- og bundværdierne for henholdsvis temperatur T
og s a l i n i t e t S. Pig. 1 v i s e r t y d e l i g t , hvorledes kontinent al påvirkningen foranlediger store temperatur-differenser. Dog bemærkes to undtagelser i Nordsøen
i ) ved Den engelske Kanal er differensen l i l l e , fordi vi har en stærk strøm og dermed opblanding - i området, samt i i ) ved Dogger Banke er differensen ca.
1 C, fordi dybden her e r ca. 20 m. I Fig. 2 bemærker vi især de store s a l i n i t e t s d i f f e r e n s e r i Bælthavet og Kattegat samt de små differenser i Den botniske
Bugt og Nordsøen. Særlig lave differenser observeres i Nordsøens nordlige og
vestlige d e l .
Fig. 3 og 4 v i s e r en variation af T og S i overfladen taget på å r s b a s i s .
Fig. 3 v i s e r tydeligt kontinenternes indvirkning på overfladetemperaturdifferenserne, idet disse øges mod ø s t . I Fig. 4 er a l l e s a l i n i t e t s d i f f e r e n s e r over
•^ promille at finde i Bælthavet, Kattegat, Skagerrak samt ud for Norges vestkyst. Dette hænger sammen med, at a l l e ovennævnte områder er blandingsområder,
12
iff
Y//
• <\ J li
• .'/ . ,'T
HO **•
KftørfivucA
_ 4«ii
Wffn
&- * p p ^
Fig. 4
Overflade sal initetens
årsvariation.
13
som rummer variable mængder af Østersø / Nordsø - vandmasser. I Kattegat skyldes
den årlige sal i n i t e t s v a r i â t ion skiftende meteorologiske forhold. I Skagerrak og
den østlige Nordsø skyldes variationen i overfladesaliniteten hydrografisk "betingede ændringer i Den norske Kyststrøna - en brak overflade strøm, som fra Østersøen løber ud i Kattegats østlige del, og dernæst p a r a l l e l t med Dybe Rende og
den norske k y s t .
Jsopteihm
5S^S3Ss
Timperaiur
Salzgehalt
EintriHszellen der Extreme
-•••-••
Temperatur
Salzgehelt
Fig. 5> Iten vertikale fordeling af temperatur og s a l i n i t e t i
løbet af et typisk å r i :
a)
b)
c)
d)
Centrale Nordsø
Engelske Kanal
Kattegat
Østersøen ved Bornholm
I Fig. 5 e r aet muligt at se hvorledes T og S varierer med dybden og å r s tiden i systemet Østersøen - Nordsøen. Vi bemærker især udviklingen af sommertermoklinen for Østersøen, Kattegat og Nordsøen. For Den engelske Kanal ser vi
derimod, at T og S kun v a r i e r e r l i d t med dybden å r e t igennem - d . v . s . ingen
sommertermoklin e l l e r haloklin kan i a g t t a g e s . Disse forhold skyldes som før nævnt
den stærke tidevands strøm i området.
14
Pig. 6. Klassifikation af hydrografiske regioner i systemet Østersøen - Nordsøen.
På "baggrund af de t i d l i g e r e omtalte hydrografiske forhold i systemet Østersøen - Nordsøen, kan vi inddele området i hydrografiske regioner. Dette e r foretaget i Fig. 6, hvor vi bemærker, at de 2 hovedklasser A og B sondrer mellem
fraværet e l l e r tilstedeværelsen af en haloklin. En sådan hydrografisk k l a s s i f i kation giver et i mange henseender godt overblik, men rummer n a t u r l i g v i s få
d e t a l j e r . F.eks, optræder klassen B i både Østersøen og Hordsøen (samt i det
ø s t l i g e Atlanterhav) selv om salinitetsforholdene i disse 2 områder e r vidt
forskellige.
Vandudvekslingen mellem Østersøen og Nordsøen e r foruden den store ferskvands t i l f ø r s e l t i l Østersøen domineret af atmosfæriske forhold såsom vind og
barometerstand, hvor det ikke alene er den lokale v e j r s i t u a t i o n , som foranlediger
bestemte strømforhold i Østersøen, Sundet og Bælthavet og Kattegat.
Den lokale vinds indflydelse på havstrømme mindskes i lukkede bassiner,
hvad Østersøen i mange t i l f æ l d e kan regnes for at være. Imidlertid øges vindens
indflydelse med det såkaldte fetch ( d . v . s . den længde regnet langs havoverfladen
over hvilken vinden kan blæse). Dette betyder i Østersøens t i l f æ l d e , at kun
15
lokale nordlige e l l e r sydlige vinde kan påvirke strømmønstret. I dette tilfælde
bør Østersøen ikke regnes for et lukket bassin. Når f . e k s , vinden er nordlig,
strømmer store mængder brakvand ind i Kattegat hvorved saltfronten ved havoverfladen rykker nordpå ud i Kattegat - se Fig. 7 og 8. For a l l e andre vindretninger end den nord- og sydlige opfører Østersøen s i g som et lukket bassin hvad
Fig. 7» Overflade s t r ø m unde r østenvind styrke 6. På grund af vin dstuveningen p r e s s e s vandmasserne fra 0 s t e r s ø e n nordpå gennem Øres-and,
Bælterne og Kattegat.
Fig1. 8. Overflade saltholdighed efter^længere tids nordgående s t r ø m .
F r o n t e n mellem Østersøens og Katte gats v a n d m a s s e r findes nu i det n o r d lige Storebælt og nord for Øresunds
udløb.
angår vindens påvirkning af cirkulationsmønstret, der generelt er cyklonisk.
Den lokale vejrsituation kan næppe influere kendeligt på havstrømmene i
Sundet og Bælthavet, fordi disse farvande er forholdsvis små og snævre, hvorved
vindens fetch b l i v e r l i l l e . Desuden kan strømpassager ikke overalt foregå uhindret.
Kattegat udgør på en måde et mellemliggende tilfælde t i l de 2 førnævnte
områder. Det er næsten lukket mod syd men forholdsvis åbent mod nord, hvor vandudveksling uhindret kan finde sted på grund af tilstedeværelsen af Norske Rende.
Vindens fetch er - uden at være s t o r - s t ø r s t i nord-sydgående retning. Den
lokale vinds påvirkning af strømforholdene overskygges derfor i høj grad af
vindforholdene over enten Østersøen som t i d l i g e r e set e l l e r over Nordsøen.
Det generelle cirkulationsmønster for Nordsøen er angivet i Fig. 10. I
dette komplicerede mønster bemærker v i , at Den jyske Kyststrøm i middel t r a n s porterer vand ind i Kattegat. Denne transport finder ikke sted, som vi har set
16
"SV, ,'
* ;
.
vz~
Fig, 9« Overflade st rømme i Østersøen, Pilenes længde angiver
strømhastigheden i knob, Puldt optrukne pile v i s e r strømme med
et sikkert beregningsgrundlag, medens de stiplede pile henviser
t i l vurderede strømme.
17
^ Y î ^ T * T l,"^NORGE
ENGLAND ))J '/
4//Ä
T\
)\J
Fig. 10. Den gennemsnitlige overflade strøm i Nordsøen. I den
sydlige Nordsø findes Kanal strømmen, der øst for Dover modtager
s t o r e ferskvandstil skud fra Themsen, Khinen og de store tyske f l o d e r . Strømmen ændres herved t i l en kyst strøm med en s a l i n i t e t under
34 °/oo. Kyststrømmen fortsætter mod nord langs Hollands, Tysklands
og Jyllands Nordsøkyster. En gren af indstrømningen t i l den nordlige
Nordsø løber mod syd ud for Storbritanniens østkyst, t i l den syd
f o r Dogger Banke s l u t t e r sig t i l Kanalstrømmen. En anden gren af den
nordlige indstrømning bøjer mod ø s t , nord for Dogger Banke, og f o r ener sig i det sydlige Skagerrak med den nordgående kyststrøm langs
Jyllands vestkyst. Afløbet f r a Nordsøen sker gennem den Norske Strøm,
der ud for Norges vestkyst fører vandmasserne f r a Nordsøen ud i Norskehavet .
18
det i Fig. J» ved nordlig vind. Ved vestenvind over Nordsøen, som e r hyppigst
forekommende, presses derimod store mængder vand ind i Kattegat som v i s t i
Fig. 11 uafhængig af det lokale vindfelt over Kattegat. Dette skyldes blandt
mange forhold, at vindens fetch over Nordsøen er s t o r t , tilstedeværelsen af
Norske Rende samt, at Nordsøen er et randhav med åbne forbindelser t i l oceanet.
Fig. 11. Overfladestrømmen i Kattegat og Bælthavet under vestenvind
styrke 6. Vinden presser Nordsøens
vandmasser ind i Skagerrak og.blæser overfladevandet bort f r a den vestl i g e Østersø. Derved opstår e t fald i
vandspejlet fra Skagerrak t i l Østersøen, og sydgående strøm b l i v e r
fremherskende gennem Kattegat og
Bælterne.
Fig. 12. Overfladesaliniteten
e f t e r længere t i d s sydgående strøm.
Fronten mellem det r e t s a l t e K a t t e gatvand (s a l i n i t et over 18}
og det ferskere Østersøvand ( s a l i n i t e t mindre end 10)
findes i
den sydligste del af Øresund og
øst for Gedser Rev.
Samtidig med at nordsøvandet presses ind i Kattegat og videre ind i Østersøens bækkener, hvorved vandet i disse fornyes, rykker saltfronten .mod syd helt frem t i l tærsklerne ved Drogden og Darsser. Men vi må omvendt konstatere
at overflades al i n i t e t e n for Kattegat samtidig er faldet - se Fig. 8 og Fig. 12.
Fig. 14 og 15 viser middelværdierne af overfladetemperaturen i Nordsøen
for henholdsvis en sommer- og v i n t e r s i t u a t i o n . Vi skal specielt notere t i l s t e d e værelsen af områder med temperaturfronter. Den permanente front i den ø s t l i g e /
sydlige Nordsø er kontinentalt betinget. En lignende front ved Englands ø s t kyst — beliggende mellem "Scottish coastal" og "North Atlantic", Fig. 13 iagttages derimod kun for sommersituationen. Der skal i den forbindelse erindres
om at indtrængende nordatlantisk vand er r e l a t i v t koldt om sommeren men varmt
19
Fig. 13. Nordsøens vandmasser i en sommersituation.
20
Fig. 14. Middelværdi af overfladetemperaturen i Nordsøen for august. De højeste temperaturer findes på denne årstid i den sydøstlige del af Nordsøen,
hvor der om vinteren findes de laveste
temperaturer.
Pig. 15. Middelværdi af overfladetemperaturen i Nordsøen for februar. De
højeste temperaturer findes i de områder, hvor indstrømningen af Atlanterhavsvand finder sted.
21
om vinteren. Tilstedeværelsen af indtrængende varmt nordatlantisk vand i Nordsøen om vinteren demonstreres klart af Fig. 15, hvor vi ser et tungelignende
forløb af f.eks. 6 -isotermen. I Fig. 16 observeres denne tunge af nordatlantisk vand igen tydeligt - se f.eks. 35
isohalinen.
Fig. 16. Overfladesaliniteten for
Nordsøen i juni måned. Atlanterhavsvand med høj salinitet trænger ind
i Nordsøen både gennem Den engelske
Kanal og gennem farvandet nord for
Skotland.
I Fig. 17 er givet et eksempel på et hydrografisk vertikal snit i en somme rsituat ion for Nordsøen. Her ses at være en sommertermoklin, helt i overensstemmelse med hvad tidligere er sagt herom. I et andet vertikal snit lagt parallelt med førstnævnte, observerer vi igen en sommertermoklin omkring 10°C. Partikelmålinger i dette snit viser, at den maximale koncentration, når undtages
bundværdierne ved Austern Grund, opnås i og omkring 10 -isotermen - se Fig. 18.
Dette skyldes at turbulent udveksling af stof hæmmes ved en stabil lagdeling.
Desuden vil den levende plankton, som udgør hovedparten af det suspenderede materiale, have vanskeligt ved at synke ned i de underliggende, tungere vandmasser.
22
100-
Fig. 17. Havtemperaturen for august i et vertikalsnit tvære
over Fordsøen fra England til Blåvands Huk.
fû^SK^s^yyyyiAfiAÆ^
RI
K | ^ 41111
'WËÊÊÊÊ
SO
W
^ w ^ b t F i i e h « Bank.
Aui'tirn Ground
•
<O0S
ESOJï-0.30
7Ling Bank
too
L
w
J V_ nf\
/s
i
>^.IRad«v. /Ground
ÊàOJO-flJS •
>'0J5
0. nautlmil«. 50
Pig. 18. Vertikal snit gennem Fordsøen, som viser fordelingen af partikulært materiale. Snittet er lagt mellem den norske og den skotske
kyst.
23
1.2. Ligningssystemer, standardapproximat ioner og randbetingelser.
Bevægelsesligninger har følgende formelle udseende :
~ +
dt
2u> x v =
grad p + ? + D - î c g
(1 •1 )
p
Kontinuitetsligningen for massens bevarelse kan udtrykkes som
| f + div(p v) - 0
'
(1.2)
og havvandets tilstandsligning lyder formelt
p = p(S,T,p)
(1.3)
| p = (lydhastigheden ~ 1500 m sek~ 1 )~ 2
(1.4)
hvor
Diffusionsligningeme for både s a l i n i t e t og varme (temperatur) kan angives på
formen
ff = V(KV q) + P
(1-5)
hvor q - S,T og P e r et k i l d e f e l t , (1.1) - (1.5) giver i a l t 7 ligninger med
7 ubekendte, som er : hastigheden v = i u + j v + k w
( d . v . s . her e r 3 ubekendte u, v, w), trykket p, massefylden p, temperaturen T og s a l i n i t e t e n S.
ÜJ er jordens rotations vektor, F a l l e på en væskedel udefra virkende kræfter(tyngdekraften, trykgradientkraf ten og Corioliskraften dog undtaget) 0 g Ï) a l l e de kræft e r , som udelukkende modvirker F. (1.1) - (1.5) e r behandlet mere detaljeret i
Appendix.
For at kunne behandle (1.1) - (1*5) beskriver vi hyppigt disse ligninger
i et t r e r e t v i n k l e t kartesisk koordinatsystem (x, y, 2), hvor x-aksen løber mod
øst, y-aksen mod nord og z-aksen radiært væk f r a centrum Î
24
I et sådant koordinatsystem kan (1.1) - (1.5) skrives :
bu
bt
p +
V | H + W ^ _ 2tü(v s i n e p - w cos ep) = - JL j £ + F + D ( 1 . 6 )
p bx
"" bx " * by ' " bz
T u
bt
bx
by
bz
Y
P by
t>t
bac
by
&z
Y
pöz
bo
bt
b(o u) i b(p v ) , b(p w) „
bx
• by
bz
bS
bS
bS
bT
bt
bT
bx
bT ,
by
bS
b /„
+
B
y
B
Z
V
'
(1#9)
0
bSv
b/_
bS\
bt + ubx- + v b7 + w b i = bx<Ks,x 5î) + b7(Ksl3T b ?
b x ^ , x bx J
y
+
b/«.
bS\ /., i n \
b^ K s,z bV <1-10>
bT
bz
by^T,y by;
bT,
bzvN\z bz;
+
r
(1.11)
25
Ønsker v i a t b e s k r i v e ( 1 . 6 ) - ( 1 . 1 1 ) i e t andet k o o r d i n a t s y s t e m gøres d e t t e ved
sædvanlig k o o r d i n a t t r a n s f o r m a t i o n som b e s k r e v e t i a f s n i t
8.5.
Vi v i l h e r e f t e r f o r e t a g e v i s s e s t a n d a r d a p p r o x i m a t i o n e r , som v i l være g e n e r e l t anvendelige i m e s o - s k a l a b e v æ g e l s e r på f o r h o l d s v i s e små vanddybder t
Da v s i n ep »
med
w cos ep på mellembredder s æ t t e s C o r i o l i s k r a f t e n
i (1.6) l i g
- 2«) s i n ep * v = - f v . For m e s o - s k a l a b e v æ g e l s e r v a r i e r e r l e d d e t s i n ep
i k k e meget d . v . s . b f / b y
= ß ~ °* Vi v i l med andre o r d antage a t C o r i o l i s p a r a -
meteren f e r k o n s t a n t . C o r i o l i s l e d d e t i ( 1 . 8 ) h a r samme s t ø r r e l s e s o r d e n som i
( 1 . 6 ) , men da f o r h o l d e t g/2co cos ep • u t y p i s k e r s t ø r r e end 10 , v i l v i i g n o r e re dette led.
Dybderne i kystnære farvande e r som r e g e l mindre end 200 m, d . v . s . h a v v a n d e t s massefylde v i l i k k e ændres s t o r t som f ø l g e af t r y k k e t , h v o r f o r t i l s t a n d s l i g n i n g e n f o r havvandets massefylde kan s k r i v e s
P = p(S,T)
(1.12)
F o r mange
p r a k t i s k e formål gælder a t rpmax f i n d e s ved t e m p e r a t u r e n Tmax g i v e t
0
ved sammenhængen
T
= 4 - 0.216 . S
max
.
C.*C3
»-
(1.13)
#-
og havvandets frysepunkt ved
T
frys. =-°*°54 - S
t °
6
l
C-H)
For meso-skala bevægelser er længdeskalaerne X, Y meget større end dybdeskalaen
Z. Desuden er de horisontale hastigheder u, v også meget større end vertikalhastigheden w.
Molekylær gnidning ignoreres fuldstændigt, når turbulent gnidning optræder. Vi ansætter, at de turbulente gnidningskoefficienter er uafhængige af
sted og tid, hvilket er en betænkelig men oftest en nødvendig antagelße at skulle foretage. Det skal bemærkes, at de turbulente gnidningskoefficienter meget
vel kan være forskellige, men at vi sætter de horisontale størrelser lige store.
Molekylær diffusion af varme og salt ignoreres tilsvarende, når vi har den
turbulente diffusion. De turbulente diffusionskoefficienter behandles analogt
til hvad ovenfor er anført angående de turbulente gnidningskoefficienter.
Endelig skal vi for en ordens skyld nævne at tyngdeaccelerationen g antages konstant uafhængig af stedet (x, y, 2).
Vi vil ofte løse vore ligninger (1.6) - (1.11) i 2 dimensioner og under
26
yderligere forenkl tage r end de ovenfor nævnte. Hvilke, det drejer sig om, v i l
a l t i d fremgå i hvert enkelt t i l f æ l d e .
T i l s i d s t skal v i se på nogle generelle randbetingelser gennemgået d e t a l j e r e t i afsnit 8.7s
For et f r i t vandspejl z = Tl(x, y, t ) gælder :
medens for en fast rand z = f(x, y)
w = u
| £ + v ^
bx
by-
(1.16)
der udtrykker, at normalhastigheden ved en fast rand a l t i d er l i g med 0. I en
væske hvori gnidning forekommer v i l tangentialhastigheden i grænselaget mellem
2 medier være den samme. Dette behøver ikke at være således i en gnidningsfri
(ideal) væske. Ovennævnte kaldes de kinematiske grænsebetingelser.
De dynamiske grænsebetingelser for en væske udsiger b l o t , at trykket på
hver side af en bevægelig flade skal være det samme, hvis kapillarkræfter kan
ignoreres - se afsnit 8.7»
Vindkraften p r . fladeenhed T (vind-spænding) ved havoverfladen kan s k r i ves på formen
Z 02
Z OZ
og sal t f luxen m (x, y, t ) ved havoverfladen som
m(xf y, t ) = S(E - P) - p K ^ | |
(1.18)
hvor E er fordampning og P nedbør i masseenheder pr. tids- og fladeenhed. Ved
en fast rand har vi derimod ingen saltflux eller flux af en lignende konservativ stofegenskab q (d.v.s. en egenskab, der ikke kan opstå eller forsvinde).
Vi har altså
m(x, y, t) =
P
KS)Z||=0
hvor n er rettet vinkelret væk fra randen.
(1.19)
27
Kapitel 2
Østersøen
2.1.
Oxygen og f o s f a t .
I det åbne hav v i l der næsten a l t i d findes opløst oxygen i hele vandsøjl e n . Dette er derimod ikke a l t i d t i l f æ l d e t i delvis lukkede havområder af t y pen intrakontinentale have, bugter og fjorde. I sådanne områder kan en stor
planktonproduktion ved havoverfladen senere på året falde t i l bunden, hvor
oxygenforbrugende forrådnelsesprocesser kan fjerne oxygen fra bundvandlaget.
Denne planktonproduktion kan blive yderligere stimuleret ved udi edel se af stærkt
næringsholdigt spildevand. Vi t a l e r da om, at havområdet (recipienten) er b l e vet e n t r o f i e r e t ; den form for efterfølgende forurening vi oplever ved havbunden kaldes sekundær, fordi den først optræder ved det andet led, forrådnelsen.
Delvis lukkede bassiner har desuden en træg vandudveksling, hvilket nat u r l i g v i s også influerer på oxygenforholdene. Det er en kendsgerning, at stagnant vand ofte er råddent. Endelig kan stabilitetsforholdene i vandsøjlen s p i l l e en s t o r r o l l e for den vertikale vandudveksling og dermed for oxygenforholdene ved bunden, idet der skal præsteres et v i s t arbejde for at løfte bundvandet
opad. Derved skal k i n e t i s k energi i form af havstrømme konverteres t i l potent i e l energi. Hvis bundtopografien virker hæmmende på havstrømmene, hvilket f . e k s ,
v i l være t i l f æ l d e t bag tærskler, i bunden af bækkener o . l . , kan å.erms n a t u r l i g vis også betinge anoxide forhold i bundvand!aget.
I Østersøen gør samtlige førnævnte faktorer for dannelsen af et anoxidt
miljø i bundvandlaget s i g gældende, d . v . s . den menneskeskabte forurening er
langtfra eneansvarlig for den manglende oxygen i bækkenerne. Bundsedimenter
v i s e r k l a r t , at vi i det såkaldte varvige 1er ( e f t e r svensk : varv = omgang),
kan finde mørke l a g s e r i e r , som f o r t æ l l e r om fortidige anoxide forhold. I disse
sedimenter t i l l a d e r komstørrelsesfordelingen nemlig en fastlæggelse af sedimentations-årstidspunktet og dermed en fastlæggelse af sedimentations-kronologien. Sedimentationen fandt sted f o r 5-6000 å r siden; d . v . s . længe før Østersøens kyster var nævneværdigt beboet (De indledende studier af disse forhold
fandt sted på den tyske Pommerania - ekspedition i 1871, men pågår stadigvæk
den dag i dag). Dette betyder n a t u r l i g v i s ikke, at den sekundære forurenings
betydning for de anoxide forhold kan ignoreres. Måske tværtimod, fordi Østersøen i forvejen er besværet med andre for oxygenkoncentrationen så hæmmende
n a t u r l i g e faktorer.
28
Østersøens område inddeling er v i s t i Fig. 19« Vi bemærker de mange bækkener og dyb som findes. Ydermere ser v i i Pig. 20 detaljerne i bundtopografien.
Det fremgår k l a r t , at vandudvekslingen i vort Østersø - Nordsøsystem er hæmmet
på grund af højtliggende tærsklers beliggenhed i Sundet og Bælthavet.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Bottenviken
N Bottenhavet
S Bottenhavet
Alandshav
Skargårdshavet
Finska viken
Rigabukten
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
N Centralbäckenet
Faröbäckenet
Gotland s jupet
Danaigbackenet
Landsorts djupet
V Gotland s bücke net
Bornholms bàckenet
15.
16.
17.
16.
19.
Arkonabäckenet
Öresund
BSlthavet
V Kattegat
Ö Kattegat
Fig. 19. Østersøens område inddeling
De hydrografiske forhold i Østersøen er givet i Fig. 21. Vi har både en
såkaldt primær og en sekundær haloklin ( e f t e r græsk : halo=salt, klin=hældning)
samt en sommertermoklin, der omtrentlig "falder sammen med den primære haloklin.
De øvre vandlag har følgelig en l i l l e turbulent udveksling med de nedre - især
om sommeren. Indenfor dette øvre vandlag haves planktonproduktionen.
Fotosyntesen (planktonproduktionen) er en fotokemisk proces, hvor C0_ og
E-O omdannes t i l organiske stoffer under udvikling af f r i t 0_.Bruttoreaktionen,
der f ø r e r t i l glucose, kan formuleres :
assimilation
6 G02 + 6 HpO + 674OOO cal
respiration
C H
+ 6
(2.1)
6
1 2 °6
°2
29
Fig. 20. Bundtopografien i Kattegat, Bælthavet og Østersøen, l e d e l i n i e r for 10m, 25m, 50m og siden for hver
50. m er indtegnet.
30
t°C
Vinter
Overflade
t°C
Sommer
Primær
haloklin
Dybvand
Sekundær
haloklin
SBundvand
11 - 13
/ / / / / ; /
SUMMER
Sea surface
Warm surface taver
Low salinity
Temp, up to above 20*C
Salinity 6-7
'
e m c ne
m
_ _7 £ 5 J.' _1~30
/ / / / / /
WINTER
Surface water
Cold
Low salinity
i
(Winterwater) ~
temperature 0-3*C
salinity 6
Primary halocline 6 0 - 7 0 m
Peep water
Warmer than the winlerwater
Higher salinity
Temperature 4-5 *C
Salinity 8-12
Secondary halocline
70-400 m
Bottom water;
The highest salinfty
Somewhat higher lemp. than the deep water
Température 4-5*C
Salinity tl-13
Sea bottom
/J/s/ / u n n n ) n ) n )?}j
Pig. 21. De forskellige termokliner og halokliner i den centrale
del af Østersøen.
'/
/ /
31
Ved f o r s ø g med isotopmærket CO« kan d e t v i s e s , a t a l t d e t u d v i k l e d e oxygen stammer f r a v a n d e t . Oxygen kan a l t s å t i l f ø r e s o v e r f l a d e l a g e t gennem f o t o s y n t e s e men
desuden også gennem d i f f u s i o n af g a s s e r f r a den o v e r l i g g e n d e atmosfære.
Tabel 1. Atmosfæriske g a s s e r i f e r s k v a n d ( S = 0 ^
ml/l
i/o
, målt ved 760 mm Hg
oxygen
nitrogen
argon
0°C
10.31
18,11
O.54
0.51
29.47
30°C
5.6O
10.74
0,30
0.20
16.84
0°C
35.00
61.50
1.80
1.70
100,00
30°C
35.20
63.8O
I.80
1.20
100,00
kuldioxyd
total
Tabel 1 v i s e r maximal mætningen af g a s s e r i v a n d e t n å r s t a t i o n æ r t i l s t a n d e r
i n d t r u f f e t f o r en n a t u r l i g s i t u a t i o n . Ved l a v e b e l y s n i n g e r , u n d e r c a . 1 fo af
d e t indkommende d a g s l y s , b a l a n c e r e r a s s i m i l a t i o n e n med r e s p i r a t i o n e n . Derved
b l i v e r oxygenproduktionen l i g med n u l i f ø l g e ( 2 , 1 ) . Dette i n d t r æ f f e r i Ø s t e r søen over 25 meters dybde, h v i l k e t fremgår af F i g . 22.
F i g . 22. Farveindeks og dybden af 10 $- og 1 ^ - n i v e a u e t f o r dagsbelysningen
den grønne del af s p e k t r e t . 100 ^ - n i v e a u e t e r i d e n t i s k med h a v o v e r f l a d e n .
i
32
I det samme vertikalsnit har vi undersøgt part ikel fordel ingen. Store koncentrationer forekommer igen over 25 meters dybde og indikerer tilstedeværelsen
af levende stofproducerende plankton. De store koncentrationer af partikulært
materiale ved bunden skyldes forekomsten af stagnant vand som følge af bundtopografien. Betingelsen for udvikling af anozide forhold er hér klart tilstede.
STATION
1
2
3
4
5
6
7
B
9
10
11
12
13
V.
15
16
17 »8
Fig. 23* Vertikalfordelingen af dæmpningskoefficienten cv-- m~
5<?
s n i t t e t S2 - S8 (se P i g . 22).
i
Pig. 24 viser de anoxåde forhold for et sådant bassin. Oxygenfornyelse kan som
t i d l i g e r e nævnt som følge af stabilitetsforholdene og dagslysbetiiagelserne ikke
effektivt finde s t e d . Derimod v i l en horisontal advektion af ude f r a Kattegat
kommende bundvandmasser med et s t o r t oxygenindhold være i stand t i l at bringe
de anoxide forhold t i l ophør - se Pig. 25« Vindfeltet ude over Nordsøen er i
høj grad bestemmende for, hvor store mængder oxygenholdigt vand der advekteres
ind i bækkenerne. Denne form for osygenfornyelse er ikke ubetinget fordelagtig
for øko-systemet, fordi det tunge indtrængende bundvand samtidig øger den vert i k a l e s t a b i l i t e t hvorved den vertikale diffusion af oxygen forringes. De oxygen-kritiske områder i Østersøen er v i s t i Pig. 26. Hér kan højere l i v hverken
33
January 1969
O, ml/l
Gotland Deep
Fig. 24. Længdesnit gennem Østersøen f r a Arkona Bassinet
t i l mundingen af Den finske Bugt, som v i s e r v e r t i k a l f o r delingen af oxygen og hydrogensulfid i januar 1969.
January
1970
Gotland Deep
Fig. 25. Samme snit som i Fig. 24 visende oxygenfordelingen i januar 1970. Bemærk at hydrogensulfiden er forsvundet fra området.
34
leve e l l e r have s i n e g y d e p l a d s e r .
P i g . 2 6 . De s v o v l b r i n t e - b e l ä s t e de d y b t l i g g e n d e områder i farvandene omkring
Gotland f o r oktober 1972. I de mørke områder e r k o n c e n t r a t i o n e n s t ø r r e end
2 ml p r . l i t e r og mellem d i s s e og de y d r e i s o l i n i e r e r den 0 - 2 ml p r . l i t e r .
F o r r å d n e l s e s p r o c e s s e r e r l e d s a g e t af e t s t o r t oxygenforbrug. Har v i s å l e d e s en s t o r p l a n k t o n p r o d u k t i o n , som ikke konsumeres f u l d s t æ n d i g t i h ø j e r e
t r o f i s k e n i v e a u e r , v i l overskudsproduktionen f a l d e t i l bunden. I n d h o l d e t i d e t t e m a t e r i a l e ( d e t r i t u s ) af f o s f o r , n i t r o g e n og carbon kan g e n n e m s n i t l i g angives
ved a t o m - f o r h o l d e t
:
C : N : P = 106 : 16 : 1
(2.2)
Den kemiske sammensætning af d e t r i t u s kan v i f o r m e l t s k r i v e som
(CH 2 O) 1 0 6
(BH3)16
H 3 P0 4
(2
.3)
Nedbrydningen t a g e r s i n begyndelse i en h y d r o l y t i s k f r i g ø r e l s e af ammoniumioner HH. og f o s f a t - i o n e r POT"" s a m t i d i g med en biokemisk o x i d a t i o n af
g l u c o s e . P r o c e s s e r n e kan e k s e m p l i f i c e r e s ved de kemiske r e a k t i o n s l i g n i x i g e r :
35
(CH 2 O) 1 0 6 ( l f f i 3 ) l 6 H 3 P 0 4
106 CH„0 + 16 HH, + H,P0„
2
3
3 4
(2.4)
106 CH20 + 106 0 2
(2.5)
16 HH' + 32 0 2
hvor
HH + H20
» 106 C0 2 + 106 HgO
•* 16 MO
(2.6)
+ 16 H 2 0
' HH* + OH"
(
Adderes ( 2 . 4 ) - ( 2 . 6 )
fås
(CH 2 O) 1 0 6 ( N H 3 ) 1 6 H 3 P 0 4 + 1 3 8 0 2
106 C0„ + 122 H„0 + 16 H¥0, + H^KK
2
2
3
3 4
(2.7)
Herved s e r v i , a t en f u l d s t æ n d i g o x i d a t i o n af o r g a n i s k s t o f indeholdende é t
gram-atom f o s f a t f o r d r e r 276 gram-atomer oxygen d . v . s . 4 , 4 kg l u f t f o r m i g oxygen,
c
Dette s v a r e r t i l den mængde o p l ø s t oxygen, d e r f i n d e s i mellem 10
g
og 10
liter
o x y g e n r i g t o v e r f l a d e v a n d , h v i l k e t i n d s e s ved a t b e n y t t e t a b e l 1 og Avogadro's
l o v . l e d d i s s e o p l y s n i n g e r i n mente e r det n a t u r l i g t a t b e t r a g t e den organiske
p a r t i k u l æ r e mængde f o s f a t
som en v i g t i g p a r a m e t e r f o r oxygenkoncentrationerne
i Østersøen.
Der e r k o r r e l a t i o n mellem det p a r t i k u l æ r e f o s f a t og den uorganiske o p l ø s te fosfat,
som f i n d e s i Ø s t e r s ø e n . K o n c e n t r a t i o n e n af det o p l ø s t e u o r g a n i s k e
ae
Centrala Ösiersjön
fosfat-fosfor 0 10 m
1950-1970
0.7
06
05 5
04
"O*
f
0.3 J-
Al
60
1
ii
fiili
65
70
Fig. lOS.Fosfathaltens variationer i Östersjöns ytvatten frân J9S0 till 1970.
Fig. 27. Fosfatindholdet i Østersøens overfladevand i tiden 1950 til 1970.
Bemærk de store variationer.
36
90t f
3o
V2-0
56 57 M 5ä S3
?rHr t
£3 63 6- 55 Ê5 67 6? b3
Fig- 28. Fosfatindholdet i Østersøens dybvand (middeltal af fosfatværdierne
fra Landsortdybet på 100, 200, 300 og 400 m dybde) fra perioden 1954 til
197O. En enkelt værdi fra 1938 er medtaget.
fosfat i Østersøen påvirkes af den mængde fosfat, som forekommer i husspildevandet - se Tabel 2. Vi ser, hvorledes der er en tendens til stigende fosfatkoncentrationer. Dette understøttes af undersøgelser over fosfattransporter i
Tabel 2. Beregnet udledning af fosfor i ton pr. år til Kattegat, Bælthavet o{
Østersøen.
Område
Bottenviken
Bottenhavet
Finska viken
Egent liga Os tersjön
Summa
Bält havet
Oresund
Katt egalt
Totalt
Område
Bottenviken
Bottenhavet
Finska viken
Egenlliga Östersjün
Totalt
Direkt
Indirekt
Totalt
290
780
5 050
3 880
10 000
1240
1960
890
14 090
220
600
870
2 370
4 060
2 800
350
400
7 610
510
! 380
5 920
6 25»
14 06O
4 040
2310
1290
21700
Finland
280
800
1470
2 550
Sovjet
Sverige
Üvriga
230
580
4 550
1 840
6 390
2 700
3 510
1700
1700
Kattegat i et s n i t mellem Frederikshavn og Göteborg. Ved "benyttelse af strømmålinger og fosfatbestemmelser,
e r det muligt at "beregne n e t t o - f o s f a t t r a n s -
37
porten ud i Skagerrak t i l 25575 "tons t o t a l fosfat (opløst + partikulært) pr, å r .
.Pig. 29. Målestationernes "beliggenhed t i l bestemmelse af vand - og materialetransporten gennem Kattegats nordlige d e l .
Current, c m / s , towards 162' degrees
7i 08 27
Pig, 30. Middelstrømforholdene for snittet angivet i Pig. 29-
38
O m
* — ( 1 — ^
^^^^rKr^fJ^^
I
^^v^/H^^Â^^^/KA-v^
"
20 m
-f-*—4
r^^^s^^^Hyw^y^M/W^
1 Feb
1 Mor
1975
Fig. 3 1 . Den t o t a l e fosfatmængdes variation med tiden og dybden på s n i t t e t
angivet i Fig. 29»
Gflttborg
Corrected transports of Tot.P Itons/yeor)
74 08 27
IN
87 8i0
OUT 113 415
DIFF -25 575
Fig. 32. Den totale fosfatmængde transporteret gennem snittet angivet i Fig.
29 i løbet af et år.
39
Oxygenkonsentrâtionen er taget som helhed for Østersøen faldet i løbet af
dette århundrede. Dét kan der være f l e r e årsager t i l , hvoraf den ene - den øgede
t i l f ø r s e l af spildevand t i l Østersøen - allerede er nævnt, nedgangen i oxygen
"hænger også intimt sammen med ændringen i de hydrografiske forhold. Således er
både gennemsnits-saliniteten - og temperaturen steget i løbet af det sidste å r hundrede. Øgningen i s a l i n i t e t leder t i l øgede s t a b i l i t e t s f o r h o l d , som f o r ringer mulighederne for udveksling af oxygen mellem overfladelag og dybere l i g gende vandmasser - se Fig. 33« Øgningen i temperatur forringer generelt taget
Fig« 33 • Vertikal fordel ingen af temperatur, s a l i n i t e t og i l t på en s t a t i o n ,
hvor dybden t i l bunden er s t o r . Stationen l i g g e r i den nordlige del af
Østersøen, og målingerne hér er foretaget i tiden :
(a) maj 1906, (b) J u l i 1939 °g (c) juni 1967.
stabilitetsforholdene - og trækker dermed i modsat retning af s a l i n i t e t e n . Imidl e r t i d skal det bemærkes, at overfladetemperaturen ikke er omfattet af den gener e l l e temperatur-stigning. S t a b i l i t e t e n omkring den primære haloklin er med
andre ord øget jævnt over de sidste 100 år, d . v . s . oxygentransporten gennem denne må være gået ned. I de nedre lag hvor både s a l i n i t e t og temperatur er gået
op, er det vanskeligt at sige, hvilken indflydelse stigningen har haft på s t a b i l i t e t e n . Vi kan derimod anføre, at den generelle temperaturstigning er l e d saget af en afdunstning af oxygen, fordi 0„-opløseligheden i vand falder med
stigende temperatur.
40
Landsortsdjupei F 76
0 m t/[
300 m
1890 -1970
Fig. 93. Syrenedgången i Landsortsdjupets d)up vatten från 1890
till 1970.
3.0
s:
v."
V.
j
1890
1900
i
'
10
20
30
»
J
L
40
50
60
70
Ar
Pig. 34. Iltkoncentrationens t i d s l i g e variation på 300 m dybde i Landsortdybet,
hvis maximal dybde er 475 m.
6.0
Landsortdjupet
F 78
T*C
200-«9 m
.s fi Ä
5.0 l -
Su
1*4 .
*
*
i
'
v
*• *
*
30
1
1870
80
90
1900
'
10
20
»• År
30
40
50
60
70
Pig. 35. Temperaturens tidslige variation i vandlaget 200 m - 459 m i Landsortdybet. Temperaturen er i gennemsnit øget med 1 grad i løbet af et sekel.
41
14,0
T)5
^
"
—
'•£
Gotlandsdjupet
S
under 200 m
1
** f" ;
".-.
'V
•
.*
v
il
- 1
- ,
,
1
—
1965
I960
Pig. 36. Sal ini tetens t i d s l i g e variation i Gotlandsdybet under 200 m. Pilen,
ud for hvilken der s t å r et e t t a l , v i s e r det store saltvandsindbrud t i l Østersøen i december 195^j som først nåede Gotlandsdybet medio 1952.
Ålands hav
F 64
S
1898-1966
250-300 m
• ..
:./.r
y
-./ •
.*/
• /
•
•
fl>.
••
6s
t
6o
...
' 1900
*
.
„
ii
10
1
i , —..I
30
-. År
i
L
40
Pig. 37- Salinitetens t i d s l i g e variation for Ålandshavet i vandlaget 250-300 m.
42
Vi har h i d t i l kun "behandlet den sekundære forurening, ikke alene fordi
den oceanografisk set e r mest interessant, men også for at demonstrere at p r e s se-anskrigene omkring de undertiden foruroligende lave oxygen-koncentrationer i
Østersøen kan være et udslag af naturens luner. For ikke at give indtryk af den
rene idyl er Fig. 38 imidlertid medtaget. De konsekvent høje DDT værdier skylder udelukkende deres oprindelse fra Østblok-staterne. Forurening af miljøet
er givetvis et generelt fænomen, der ikke "begrænser sig t i l en bestemt samfundsform. Således hævder f . e k s , også U-landene deres ret t i l at forurene miljøet i lighed med, hvad I-landene t i d l i g e r e har gjort - og f o r t s a t gør. Argumentet går på, at øget velstand kun opnås gennem øget produktion t i l lavere
p r i s e r . En måde t i l nedbringelse af produktionsprisen l i g g e r i at benytte udgangsprodukter, som først og fremmest udmærker s i g ved deres p r i s b i l l i g h e d
uden skelnen t i l deres indflydelse på miljøet; en anden måde kan gå ud på at
lade urenset industrispildevand direkte ud i recipienterne. Eksemplernes antal
er in-legio og deres løsning har vi desværre gjort t i l rene p o l i t i s k e anliggender. Afslutningsvis skal v i give teorien for udveksling af en stofegenskab f . e k s , oxygen - i et område som Østersøen. H e r t i l v i l det være nødvendigt at
Fig. 38. Koncentration af DDT substancer og PBC
i marine organismer udtrykt i mg pr. kg fedtvæv.
PCB
DDT
behandle grundlaget for den turbulente blandingsteori.
43
Turbulens kan betragtes som en tilfældig bevægelse, der er uregelmæssig
og præget af hvirvler af forskellig størrelse - ofte superponeret på en ordnet
bevægelse. I en turbulent strømning varierer således hastigheden,trykket etc.
stokastisk i tid og rum. Der findes ingen entydig definition på begrebet turbulens, fordi den optræder forskelligartet afhængig af de ydre forhold. Turbulens i nærheden af en fast rand har f.eks, således andre egenskaber end den
såkaldte frie turbulens, som forekommer fjernt fra faste rande. Det er ikke
muligt at give en deterministisk beskrivelse af den turbulente strøm - et forhold som heller ikke er ukendt i anden moderne fysik. Imidlertid kan turbulensen beskrives statistisk, idet middelværdi og statistiske fordelinger af de
for turbulensen bestemmende fysiske størrelser er veldefinerede.
Den -turbulente bevægelse kan matematisk udtrykkes som
v = < v > + v'
(2.8)
-»
hvor < v > e r d e f i n e r e t ved
< v>
=-
v dt
(2.9)
Jo
d e r e r h a s t i g h e d s f e l t e t s middelværdi t a g e t o v e r en t i l s t r æ k k e l i g s t o r t i d s s k a l a
T, s å l e d e s a t b i d r a g f r a de t u r b u l e n t e f l u k t u a t i o n e r kan i g n o r e r e s , v ' e r a l t s å
en s t o k a s t i s k f l u k t u e r e n d e h a s t i g h e d , d e r u d t r y k k e r t u r b u l e n s e n . For vægturbul e n s e r v ' « < v > , medens det modsatte f o r h o l d ofte g ø r s i g gældende f o r den
f r i t u r b u l e n s . I f ø l g e s i n n a t u r e r det i s æ r den f r i t u r b u l e n s , der e r af i n t e r e s s e inden f o r den f y s i s k e o c e a n o g r a f i . Det e r værd at e r i n d r e s i g , at n å r v i
b e s k æ f t i g e r os med s t a t i o n æ r e strømninger ( d . v . s , middelbevægelser) i h a v e t ,
b e h a n d l e s kun en l i l l e del af den samlede s t r ø m n i n g . F . e k s , kan verdenhavets
saralede k i n e t i s k e e n e r g i t i l e t v i s t t i d s p u n k t udtrykkes som
kin
= I
| p v . v dY ~ | p I
v • ? dV
(2.10)
J-w
1V
Antager vi, at denne totale Kinetiske energi er invariant i tiden fås
E
kin
=
?f
T
JQ
f
* P ^ * ^
^V
d V
(<v>2+
- * e [
( v t ) 2 ) dV
(2.11)
JV
-> 2
På d e t åbne ocean e r < v >
2
-* 9
t y p i s k 2 s t ø r r e l s e s o r d e n e r (10 ) mindre end ( v )
,
men denne s t ø r r e l s e s f o r s k e l mindskes n å r v i nærmer os lavvandede områder ( s h e l fen) og snævre f a r v a n d e , h v o r t u r b u l e n s e n kan komme t i l a t minde om vægturbulens,
Hvis b ø l g e r e r t i l s t e d e , kan v i ikke ved h j æ l p af ( 2 . 8 ) a d s k i l l e b ø l g e -
44
bevægelse f r a turbulens, men bølgebevægelsen kan derimod fjernes r e t effektivt
ved benyttelse af (2.9) over en lang tidsperiode. Ovennævnte er uheldigt i definitionen for turbulensen, fordi det hér blev sagt, at v' kun skulle rumme de
stokastiske bevægelser. Endelig skal det bemærkes, at v' er afhængig af s t ø r relsen af det område i hvilket den turbulente strømning undersøges. Vælger vi
at studere den store anticykloniske cirkulationscelle i Atlanterhavet hvis
v e s t l i g e del udgøres af Golfstrømmen, er længdeskalaerne dermed f a s t l a g t ud
f r a cellens dimensioner. Alle bevægelser på mindre skala behandles herefter
som turbulente - og så fremdeles ned t i l mikroskopisk skala. Sagt mere poetisk
af Richardson :
"Big whirls have l i t t l e whirls that feed upon t h e i r velocity and l i t t l e whirls have l e s s e r whirls and so on to v i s c o s i t y . "
Det er i oceanografien en velkendt erfaring, at a l l e molekylære dissipations - og dispersionsied kan ignoreres i forhold t i l de modsvarende turbulent e led, når længdeskalaen overstiger molekylære dimensioner, hvilket i praksis
a l t i d v i l være t i l f æ l d e t .
Vi v i l herefter betragte bevægelsesligningen for en turbulent strømmende
homogen væske, hvor de ydre kræfter F kan ignoreresj desuden k o n t i n u i t e t s l i g ningen for en inkompressibel væske samt den turbulente diffusionsligning for
en stofegenskab q ;
Kontinuitetsligningen :
V . v = 0
(2.12)
Benyttes (2.9) i (2.12) b l i v e r
V . < v> =0
(2.13)
v . v» = 0
(2.14)
fordi < V * v > = V * < v > = 0 .
Bevægelsesligningen :
^ L - ^ p - S æ i v - S g
dt
p
+S
(2.15)
45
Betragter vi middelværdier "bliver (2.15)
<Û>mk^>+<^>
Idet v* = i u ' + j v' + k w1
.v<v>
+
<v-t . v v » >
(2.16)
kan sidste led i (2.16) skrives
< v* * V v1 > = < v< • v i u ! > + < v1 • V j v' > +
+ < v' • V k w' >
(2.17)
Ved brug af (-2.12) - (2.14) kan (2.17) skrives
< v' . v v1 > = V - < v'(i) u» + v'CJ) v« + v'(ïc) w1 >
(2.18)
hvor f.eks, første led bliver
V - < v'(i) u» > = ( ^ < u'u' > + Ê- < v'u' > + jj- < w'u' >) t
For de øvrige led i (2.15) gælder
< 2 U 3 X V > = 2 U ) X < V >
<
" p
V p >
=
"p
V 
(2.19)
(2.20)
da p = er en konstant med vore antagelser. Bevægelsesligningen for den
turbulente væske kan skrives som den sædvanlige Navier - Stokes ligning gældende for middelbevægelsen plus det ekstra led som kaldes de Reynoldske spændinger angivet i (2.18)
d <; v >
dt
_
1 - -
p
^
« -> .. ^ -» ^ • r*
v 
- 2
u)X<v>-kg +
+ V-( ^ V < v > - < v'u' > t - < v ' v ' > "J - < v'w' > ît)
(2.21)
hvor T^/p og T| henholdsvis e r vandets kinematiske og molekylære gnidningskoef/
-2 2 - 1
ficient* Typ = v ~ 2*10
cm sek. . I a l l e praktiske sammenhænge ignoreres
leddet v - ( v v < v > ) .
Diffusionsligningen (uden kilder og dræn) :
3t
+
v
* ( i v) = V- k Vq
(2.22)
46
hvor q er en turbulent stofegenskab lig med < q > + q'. Benyttes inkompressibilitetsbetingeisen sammen med (2.22) fås
b
5, 3 > + ( < v > - v ) < q > = V . (k V < q > - < v'q' >)
(2.23)
hvor k e r den molekylære diffusionskonstant for det pågældende stof q. Analogt
t i l før kan leddet V • ( k v < q > ) ignoreres. For at kunne løse (2.21) og
(2.23) med t i l s t r æ k k e l i g e randbetingelser for de afhængige variable, er det
nødvendigt at konstruere en model for de Reynoldske spændinger samt for det
turbulente diffusionsied < v'q 1 >. Her skal ikke gås i d e t a l j e r med disse forskellige modeller men blot nævnes, at den velnok enkleste model for de Reynoldske spændinger beskriver proportionalitet mellem disse og < v >. Denne model er
benytte i afsnit 2 . 3 .
En hyppigt anvendt model antager analogi mellem kinetisk gasteori og t u r bulente bevægelser. Vi overtager således begreberne " f r i gennemsnits vejlængde
for et gasmolekyle" e t c . og overfører disse t i l turbulensteorien. Det har neml i g v i s t s i g , at vandet danner makroskopiske væskedele, der går på tværs af
strømlinierne. Om disse væskedele kan vi antage, at de beholder deres i d e n t i t e t
(fysiske k a r a k t e r i s t i k a ) over en vis længde 1 , førend denne i d e n t i t e t går
tabt gennem udveksling med omgivelserne.
Benyttes analogien fra den kinetiske gasteori på (2.23) gældende for
turbulent blanding indses det straks, at hvis vi definerer 3 funktioner K ,
K og K ved hjælp af ligningerne
y
2
<u'q. > = - K
< v
x
,q. > = - K
<w'q' > E - K
^SL>
(2.24)
^ L >
(2.25)
y
z
^ f ^
••••'••
(2.26)
da har vi den søgte analogi. Dette kan v i straks se ved at studere sidste led
i ( 2 . 2 3 ) . Det skal herved bemærkes, at de turbulente blandingskoefficienter
er såkaldte apparente egenskaber, fordi de afhænger af strømhastighedsfeltet,
der ændrer sig med t i d og sted.
For en væskedel der kommer fra z - 1 t i l z b l i v e r den gennemsnitlige
hastighedsændring udtrykt ved
|<ut>|
= | | ~ l j ^ f r ^ |
(2-27)
47
Det er en eksperimentel kendsgerning, at små turbulente "bevægelser nærmest er
isotrope, når der er l a b i l i t e t , d.v.s. öp/öz s 0 medfører u' ~ v' ~ w'. Derved
"bliver den turbulente horisontale og vertikale længdeskala også af samme størrelsesorden, hvilket indses ved at lave skala-analyse på kontinuitetsligningen.
Yi har altså
|< u» >| ~ | < v1 > | ~ |< w» >|
(2.28)
X ~
(2.29)
Hvis —-T
Y ~
Z
er positiv, giver den væskedel, der "bevæger sig opad med hastig-
1
heden w , et -u* "bidrag t i l de nye omgivelser - og vice versa. Vi siger, at
korrelationen for x-komponenten af de Reynoldske spændinger er negativ. Følgel i g bliver < u*w' > = k | < u» > j | < w' >J , hvor k er korrelationskoefficienten regnet med fortegn :
k _
d < v. > /
!k|~~
dz
/
1 d
J dz
.
. v
f
Kt-M)
-
I det følgende betragtes en horisont al strømning hvor
v = u i + v j + w k
og
u = < u(z) > + u'(x, z, t )
v =0
w = w'(x, z, t )
Tangential spændingen T kan i følge (2.18), (2.27), (2.28) og (2.30) herefter udtrykkes ved
X _
p
- ...... - _ i 2 d. | d 
dz
l dz
l
v
2
hvor k er medtaget i 1 , der herved bliver en funktion af turbulensens karakter
og derved også af stedet. Den turbulente gnidningskoefficient bliver herefter,
for nu at få analogien til den kinematiske gasteori frem
A = 1
2|a^Ji>|
(2.32)
- se endvidere s i d s t e l e d i ( 2 . 2 1 ) . Den t u r b u l e n t e g n i d n i n g s k o e f f i c i e n t
med andre o r d b e s t e m t af h a s t i g h e d s f e l t e t .
p
p i s k f r a 1 - 100 cm
A bliver
S t ø r r e l s e n A/p v a r i e r e r i h a v e t t y -
s e k . , h v i l k e t r e t f æ r d i g g ø r b o r t k a s t e i s e n af den k i n e m a t i s -
ke gnidningsko e f f i c i e n t v i ( 2 . 2 1 ) . Med ( 2 . 3 2 ) kan v i gøre a n t a g e l s e r om A ' s
v a r i a t i o n med dybden u d f r a kendskabet t i l middelstrømmen, d e r e n t e n kan b e r e g nes ud f r a h y d r o g r a f i s k e d a t a e l l e r kan bestemmes k o n v e n t i o n e l t ved d i r e k t e
strømmålinger. Det s k a l i n d s k æ r p e s , a t ovennævnte t e o r i e r u d l e d t f o r kun de
t i l f æ l d e , hvor strømmen v a r i e r e r med dybden.
For a t kunne beregne h a s t i g h e d s p r o f i l e n i e t g r æ n s e l a g med g n i d n i n g , kan v i f o r s ø g e a t a n t a g e 1 p r o p o r t i o n a l med højden z o v e r bunden,
1 = H 2
o
d.v.s,
•••• ( 2 . 3 3 )
samt a n t a g e , a t spændingen T e r k o n s t a n t i g r æ n s e l a g e t . Herved kan ( 2 . 3 1 )
skrives
2
o
T
o
2 |d d 
dz
\
dz
(2.34)
For p o s i t i v h a s t i g h e d s g r a d i e n t , h v i l k e t v i f . e k s , f i n d e r ved s t r ø m n i n g e r over
en p l a n bund, f å s f o r g r a d i e n t e n a t
d 
m
VTÔ_
dZ
(2#35)
H Z
o
Middelstrømmen kan h e r e f t e r l e t beregnes ved i n t e g r a t i o n af ( 2 . 3 5 )
 =- \ P - l n z
(2.36)
K0Vp
Den l o g a r i t m i s k e p r o f i l g i v e r = - °° f o r z = 0. I m i d l e r t i d f i n d e s
der
t æ t ved den f a s t e rand e t t y n d t l a g , hvor den molekylære g n i d n i n g e r dominer e n d e . Hér haves en l a m i n a r i k k e - t u r b u l e n t strømning, hvor spændingen T b e s k r i v e s ved
T = T ]
A
^
U >
2
(2.37)
"• S ff—. v o k s e r o m t r e n t l i g l i n e æ r t med z umiddelbart o v e r den plane bund og
dz
49
da T\ , den molekylære gnidningskoefficient,
er en fysisk konstant, bliver T
også konstant for dette lag og
< u(z) > - konstant * z
(2.38)
Da vi betragter tilfælde med gnidning skal < u(z) > være en kontinuert funktion
for alle z > 0. Det blev overfor sagt at grænselaget ved randen er tyndt og af
molekylære dimensionen d.v.s. vi kan antage, at < u(z) > = 0 ved lagets øverste grænse z - z
istedet for < u(z) > = 0 for z - 0. Derved bliver antagelsen
for 1 i (2.33)
1 «= K (z + z )
o v
o'
<u(a)>
=
l JÏ
(2.39)
m(^-£)
o * P
2
O
T = p
^
(2.40)
o
?
<u(z)>£i
Z
(2.41)
'
o
Dette udtryk viser bl.a., at vindspændingen kan gives ved luftens massefylde,
en empirisk konstant [ ] og middelvindhastighedens kvadrat i en vis højde over
det fri vandspejl. Dette vil blive benyttet i afsnit 2.2.
Vi skal se nærmere på H , som kaldes von Karmans konstant, fordi den næsten er en universal konstant ~ 0,4 for alle tilfælde, hvor turbulensen er lokalt produceret. Vi ønsker at beregne 1=1 (z) udtrykt i kendte turbulente egenskaber. For at kunne gøre dette antages, at de turbulente fluktuationer er
ligedannede for alle punkter i feltet. Fluktuationerne varierer kun i amplitude og periode på en sådan måde, at når tidsskala og længdeskala er kendte
størrelser, da er turbulensspektret fastlagt. Som længdeskala vælges 1 og
tidsskalaen, får vi ved at indføre den såkaldte friktionshastighed u givet
ved definitionsligningen
Ifølge (2.42) bliver tidsskalaen givet ved t = l/u .
s
-*
*
-»
-^
For et hastighedsfelt < u(z) > 1 og en turbulent hastighed vf= u* i +
w' k bliver bevægelsesligningen, nar eneste ydre virkende kræfter er trykket:
50
bv1 +, (
-^ +, UM
,( zH
\\ r—
bv 1 +, w'(
,/ z)\ (/ & <r u(z)
Qv' N=
TT
••*•'J-~> i-*+, T—)
- -v p
p
(2.43)
Ved sædvanlig rækkeudvikling af
< u(z) >
omkring et nabopunkt zn fås
< u(z) > = < u(zJ n ) > + v(z - z n )7 —-^-^
o' ' ' "
"o
dz
(z -
^
z )
o'
j2^,
z=z
+
o
^
d 
+ ...
dz
(2.44)
z=z
Det antages herefter at den turbulente bevægelse v> e r stationær i et koordinat system, som t r a n s l a t e r e s med hastigheden < u(z ) > . Dette betyder, at de
turbulente fluktuationer kan observeres i et fast punkt enten ved at lade et
t i l tiden t fastholdt turbul ens spektrum passere gennem punktet med hastigheden
< u(z ) > e l l e r ved langs x-akBen at tage funktionsværdieme f r a et ø j e b l i k s b i l l e d e af det turbulente spektrum. Matematisk kan hypotesen formuleres enten
som
v ' ( x , z, t ) = v»(x - < u(z Q ) > t , z, 0)
(2.45)
e l l e r analogt hermed som
Vore antagelser e r særdeles vel opfyldt, n å r forholdet v ' / < u(z ) > e r
l i l l e , hvilket netop er t i l f æ l d e t for turbulens ved f a s t e rande.
Medtages kun n u l ' t e og første ordens led i (2.44) og benyttes (2.46) på
(2.43) b l i v e r bevægelsesligningen for sekundærbevægelsen v 1 ;
bx
z=z
x
' ?>x
o
w
'< z ) ( - d i
-
1 +
bz* } - - 1
V p
Vi udfører nu en skala—analyse Î
v1 = u_ - v !
X = 1
( 2 ' 47 >
51
z =1
2 A
p = p\ p
Idet vi udvikler — ~ —
omkring z kan (2.47) udtrykkes som en funktion
dz
af de dimensionsløse v a r i a b l e ( ) ovenfor.
. 2
* £
A
d 
/A
Z=Z
S. A 5 v »
+ T— U 1 ~ -
1
,
+ U
*
ox
i fA
m
{z -
v
A
v bv
Z J
O'
o
!
,
+
.A
bx
A, • d 
W1 [ ' • - '
i +
dz
U
A
-*
_s by'
(2.4S)
i + * uv • \
l(z - z
^
dz
1 x*
bz
Hér e r V ~ — h ' • " ~ k o n s t a n t i g r æ n s e l a g e t , medens 7 p ' e r det t u r b u l e n * N d

t e t r y k , som også må opfylde l i g e d a n n e t h e d s k r a v e t i vor h y p o t e s e . Omordnes
(2.48) fås
A
A
fl <, u >
- V p - (* —
u
dz
A
ov
+, u i' —
A
X
+ /(* -u1
bx
2
/ 1
d 
—5
dz
2
d 
/A
A
.
dVf
) {z - z ; —
* x
o ' ,A
o
dx
z=z
3E
+ ( - —j
3E
\
z=z
,
+
}\' A,
w* -#
i +
O
\
/A
A v A , - ^
A
b V
1 V( z - z ) w ! i + w' —
O'
. A
bz
Z=Z
*
(2.49)
dZ
Sekundærbevægeiserne e r l i g e d a n n e d e i v e r t i k a l r e t n i n g , n å r de dimensionsløse
g r u p p e r { ) e r uafhængige af z. D e t t e f o r d r e r ,
_ —S
u_
dz
at
_ konstant
(2.50)
samt
1
2
Ûæ
d
2
 = konstant
^dz 2
Ved e l i m i n e r i n g af u
1 » R d 
o
dz
(2.51)
bliver
d 
dz2
Det s e s a t 1, v o r længdeskala, e r "bestemt f o r h e l e l a g e t med den s å k a l d t e
(2.52)
52
empiriske von Karman konstant H ~ 0,4. (2.52) kan herefter indsættes overalt i
stedet for det mere uhåndterlige 1. Indsættes (2.39) i (2.52) fører dette også
t i l en logaritmisk hastighedsprofil nær en fast rand. Den ubestemte konstant z
i løsningen tolkes herefter som en såkaldt ruhedsparameter så = 0 under
ujævnhederne med højden z .
T i l sidst skal vi se på visse forhold omkring turbulent energi. Energitæthed og energiflux udtrykkes ved den mekaniske energiligning, som fremkommer
ved at multiplicere bevægelsesligningen skal a r t med den v e k t o r i e l l e hastighed :
+Jjl = _ 1 3 . y p _ 2 "v - (t x v) - v . $ g + v(v - v V)v
Da v . v = 0, og p = + p'
(2.53)
e r uafhængig af dybden for de områder v i b e -
handler reduceres (2.53) "til
f- tø p 3 . v) = - v . V p - v . t p g + tl(v v 2 v)
(2.54)
Subtraheres energiligningen for den stationære bevægelse < v > f r a (2.54) får
vi den turbulente energiligning
^ - | < pX
v» - v*> = - < v ' p' > k* g - < v'V p ' > -
ot
- < v'(v . v) v > - < ( V + < v >) * v 
—> +
+ Tl< v« . V2 v' >
(2.55)
Venstre side af (2.55) er d-©11 lokale t i d s v a r i a t i o n af turbulent k i n e t i s k energi.
På højresiden s t å r leddene henholdsvis for i ) omsætning af tyngdens p o t e n t i e l energi i i ) indre arbejde i i i ) omsætning af såkaldt koblingsenergi med hovedstrømmen iv) advektion af -turbulent kinetisk energi og v) advektion af turbul e n t dissipation . Leddene < v> V p" > og < v ' V ( -§ v! • v ' ) > giver
tilsammen den turbulente flux af den t o t a l e turbulente energi. For et grænselag
med et stationært turbulensfelt og en middel strømning < u(z) > i b l i v e r den
lokale produktion af turbulens
< v' - (v • v) >• t = < o > < u'w 1 >
^2U—
den eneste omsætning af energi fra hovedstrømmen t i l turbulens. For l a b i l l a g deling er dissipationen af energi og turbulent advektion af turbulent energi
53
f r a det betragtede punkt i væsken i ligevægt med produktionen, fordi turbulensf e l t e t e r antaget s t a t i o n æ r t . Følgelig v i l uligheden
 < u'w' > ^ 5
&
— *
—
TI < V . v v« >
U
£
>
— > 1
(2.56)
a l t i d være opfyldt. Dette kriterium e r et nødvendigt krav for eksistensen af
turbulens, hvor overskuddet af den turbulente energi advekteres væk fra det b e tragtede sted gennem såkaldt selvdiffusion. Forholdet i (2.56) kan skrives parametrisk som et dimensionsløst t a l
Re
,SLEJpi
(2
.57)
hvor Re kaldes for Reynolds tal, er opfattet som middelhastigheden uden
for grænselaget og L er grænselagets karakteristiske tykkelse; v = T|/P
er som
tidligere i dette afsnit den kinematiske molekylære gnidningskoefficient. Når
Re er større end en vis kritisk værdi ~ 2000 bestemt fra forsøg overgår en laminar strømning til at blive turbulent.
For en meget stabil lagdeling, som vi finder den i indre danske farvande,
og en middelstrøm der varierer med dybden, er omsætningen af tyngdens potentialenergi og koblingsenergi de vigtigste led i (2.55). Forholdet mellem disse
2 størrelser kan udledes som følgende :
tyngdens potentialenergi øges i tidsrummet <5t med bidraget
- g p' w' 6t, for
w' < 0 medfører p' > 0 og viee versa. Den gennemsnitlige potentialenergi bliver
herefter
-if
g p1 w' dt = - g < pi w' >
Analogt med (2.26) indføres et K t der beskriver den v e r t i k a l e
z
f i c i e n t for masse, hvorved (2.58) kan skrives
- g w > = - g Kz
b

z
(2.58)
udvekslingskoef-
(2.59)
Den kinematiske energiflux dE/dt til et vandlag med tykkelsen ßz er lig med
effekten givet ved produktet af de på vandlaget virkende spændinger og hastigheden. Betragtes enhedsflader fås
f|--
T(Z)<U(Z)>
+ (T(Z) < u(z) > + ^
+
(T(Z) < u(z) >) Az + ... Az 2 )
(2.60)
54
Denne energiflux. t i l vandlaget e r koblingsenergien. Vi antager nu konstant T
og benytter (2.31)» der skrives på formen
l =
p
k
z
L^JL>
bz
(2.61)
v
'
Por at undgå accelerationer i den parallelle strømning < u(z) >, giver en ligevægt mellem tyngdens potent i al energi og koblings energien at
- g K & = A (
te
H
zbz
zv
&

f
(2.62)
Vi indfører e t andet dimensionsløst t a l
g
b< o >
Hi = " J *
v
(2.63)
bz
som benævnes Richardsons t a l i gradientform. Da v i ikke har medtaget dissipation
og selvdiffusion i (2.62) b l i v e r uligheden
Ri<^
z
(2.64)
en nødvendig betingelse f o r lokal produktion af turbulens. Den s t a b i l e lagdel i n g hæmmer en v e r t i k a l udveksling af masse, fordi en ændring i potentiel energi
kræver, at der dermed skal udføres e t større arbejde. Erfaringer tyder på, at
hvis Ri > 0,25 v i l turbulensen efterhånden ophøre,medens Ri < 0,25 giver en b e tingelse for at vandet blandes turbulent. I Østersøen e r Ri > 1 i springlaget
2 - 1
og K 0,1 - 0,01 cm sek. .
z
Vi er h e r e f t e r i stand t i l at redegøre for de specielle oxygenforhold,
der råder i Østersøen :
1) Stabil lagdeling, der medfører ringe v e r t i k a l turbulent diffusion af
oxygen f r a overfladen ned i dybere liggende l a g .
2) Oxygenproduktionen som følge af fotosyntesen finder sted over springlaget (primær h a l o k l i n ) .
3) Udledning af oxygenforbrugende næringssalte (sekundær forurening).
4) Øget gennemsnitstemperaturer i dyb vandet.
5) Hyppige s altvands indbrud, som øger s t a b i l i t e t e n . Denne øgede indstrømning af tungt oxygenrigt bundvand giver kun temporære økologiske f o r dele.
55
2.2.
Vinds tuvening.
Den sidste v i r k e l i g store stormflodsulykke, som indtraf i Danmark, fandt
sted 12 - 14 november 1872. Dette skete ikke ved den danske vestkyst, hvorfra
vi normalt modtager de f l e s t e stormflodsvarsler, men derimod ved Lollands kyst e r i den sydlige del af Østersøen. I f l e r e dage havde vinden blæst s t i v kuling
e l l e r mere f r a nordvest. Herved steg vandstanden i Kattegat og vandmasser trængt e sig ind gennem Sundet og Bælthavet frem t i l Østersøen. Da vinden herefter
slog orn i nordøst, blev vandet i Østersøen presset sydpå med stor k r a f t . De
snævre indre danske farvande og den store vandstand i Kattegat foranledigede,
at Østersø-vandet ikke f r i t kunne lade sig presse ud. Vi fik en vindstuveningseffekt på Lollands sydkyst med store oversvømmelser t i l følge. Ulykken rystede
det danske folk på mere end én måde. Vi skal nemlig tænke på, at krigen i 1864
havde medført visse areal indskrænkninger for Danmark. Man var derfor begyndt
at opdyrke heden samt inddæmme land for at reducere tabet af land. De danske
inddæmningsarbejder var næppe en ubetinget succes. Ofte afdækkedes sandede
områder således at flyvesand blev et problem ( f . e k s , vejlerne i Limfjorden);
i andre tilfælde kunne v i ikke håndtere den teknologiske side af sagen ( f . e k s .
Lammefjordsprojektet som i 1872 blev færdiggjort af - ironisk nok - et hamburgsk firma). Og så på toppen af det hele, stormfloden ved Lolland, som gik
over digekronerne og forårsagede store ødelæggelser. I en samtidig meddelelse
"Oversigt over Resultaterne af nogle Undersøgelser over de ved Vindens Kraft
fremkaldte Strømninger i Havet" t i l Videnskabernes Selskab skriver prof. A
Colding i 1876 :"
"Det nærværende Arbeide har nemlig sin Oprindelse derfra, at det danner
et Slags Forarbeide t i l en omfattende Undersøgelse over Stormen og
Stormfloden den 13de November 1872, som jeg har s t i l l e t mig t i l Opgave
at gjennemføre så vidt muligt, for ved Hjælp af de f r a mangfoldige Steder
indhentede Kjendsgjeminger om dette i Storartethed og stærk udpræget
Characteer næsten enestaaende Naturphænomen muligviis at kunne bringe
noget Lys ud over denne Art af Naturbegivenheder, hvorom man h i d i n d t i l
næsten ingen Kundskab har havt, og imod hvilke man derfor også kun hø i s t
uf uldkommende har kunnet værge sig; t h i i n d t i l nu kan man vel næppe siges
at være på det rene med, hvad der er slige Phænomeners Aarsag,og endnu mindre har man været istand t i l at danne sig en tydelig Forestilling om Størrelsen af de Kræfter, som Naturen formaaer at sætte i Bevægelse under en
Stormflod, som den af 13de November 1872, der hær jede en stor Deel af
Østersøens Kyster."
56
A. Coldings endelige resultater forelå publiceret i 1881, men ca. 50 år
skulle yderligere forløbe, førend vi fik den fulde fysiske forståelse af problemet. Vi gør følgende antagelser :
1) konstant blæsende vind
2) ingen accelerationer i havet
3) ingen tidevandskraft af betydning
4) indledningsvis ingen horisontal trykgradient
5) horisontal strømning d.v.s. w=0
6) uendeligt havområde i både horisontal og vertikal retning
7) ingen variationer i havvandets massefylde
Med disse antagelser bliver bevægelsesligningerne :
f « - 4 ( A S2)
p ÖZ
V
2 Q2
(2*65)
y
-f v-ifc-UJg)
p 02
(2.66)
Z 02
Antag desuden at den vertikale turbulente gnidningskoefficient A er konstant.
Vi eliminerer v ved at differentiere (2.66) 2 gange og indsætter i (2.65)
^=-(^f)2u
dz
(2.67)
z
Dette er en lineær differentialligning med konstante koefficienter, som kan løses efter velkendte metoder. Den har løsninger af formen :
u = em
z
cos(m 2 + ß)
(2.68)
hvor
m= + v / | j -
(2.69)
hvilket indses ved at indsætte (2.68) i (2.67). Vi har altså 2 uafhængige l ø s ninger em
Z
cos(m z + ß) og e~
cos(-m z + y) og følgelig bliver den almene
løsning t i l (2.67)
u = A em
z
cos(m z + ß) + B e""m
Z
cos(-m z + y)
(2.70)
hvor A, B, ß og y er integrationskonstanter. Vi forlanger endelig værdier for
u på store dybder, så vi må kræve at B = 0,
57
således at
u « A e
cos(m % + ß)
{2-71)
Vi d i f f e r e n t i e r e r (2..71) 2 gange og i n d s æ t t e r i ( 2 . 6 6 ) hvorved
v = A e
sin(m z + ß)
(2.72)
\/ 2 , 2
Strømhastigheden b l i v e r •\XL
Vu ++ vV
, m 2
= A e
. Integrationskonstanten A hl iver så-
l e d e s i d e n t i s k med o v e r f l a d e h a s t i g h e d e n V
d.v.s.
•a » Vo e m
z
cos(m z + ß)
(2.73)
em
z
sin(m z + ß)
(2.74)
v = V
H a s t i g h e d s v e k t o r e n 1 u + j v h a r a l t s å s k a l arværdien V e
kel 9 = m z + ß
og danner en v i n -
med x - a k s e n .
Randbetingelser :
T - A ~
x
z dz
for z = 0
T = A ~
y
z dz
for z = 0
(2.75)
\.<-•<-;/
(2.76)
' y
K
d.v.s.
T
x
= Å
T -
z
m V
0
(C0S ß -
siÄ
ß)
A2 m V o (cos ß + s i n ß)
(2.77)
(2.78)
y-aksen lægges f o r enkelheds s k y l d i vindens r e t n i n g d . v . s . T = 0 o g ß = 4 5 ° .
Vi kan h e r e f t e r f i n d e f r a ( 2 . 7 3 ) , ( 2 . 7 4 ) og (2.78)
T
£=r
em
z
cos(m z + $ )
(2.8o)
T
v - , ,• /y '
VP
f A
e
Bin(m z + ^ )
(2.81)
58
Vi s e r af (2,8o) og (2.81), at overfladehastigheden e r r e t t e t 45° t i l højre for
vinden på nordlige halvkugle (f > 0 ) . Desuden, at hastigheden aftager eksponent i e l t med dybden samt, at hastighedsvektorens vinkel med x-aksen aftager lineært
med dybden. Hastighedsvektorens endepunkt beskriver en s p i r a l - Ekmanspiralen som i horisontal projektion u d a r t e r t i l en logaritmisk s p i r a l . Hår m • z = 7t er
strømretningen modsat r e t t e t overfladestrømmens. Ved denne dybde - Ekmandybden
-rc „~ 00,04
Q4 yV og
D - b l i v e r hastighedens skalarværdi V_ = vV ee~
D o
' o
(2.82)
"V7T
På vore breddegrader vil D være af størrelsesordenen 50 meter, så vindens
direkte indflydelse på strømfeltet er begrænset til et forholdsvis tyndt overfladelag. De indirekte virkninge^ som kan skyldes opstuvening af vandet mod
land (vindstuvening) med horisontale frykgradienter til følge kan nå meget dybere ned.
De totale massetransporter M
og M
fås ved integration af højresiden i
x
y
(2.65) og (2.66) istedet f o r en direkte benyttelse af (2.8o) og (2.8l)
fO
j
u p dz =
M E
*
fO
„
•».
1 1 0 / - «
>.
ÖV>
T
—
M = j° v p d, - - f°£fcU, £ ) « • - - . £
•*
J —ta
(2.84)
J —00
I r e s u l t a t e t indgår A ikke og massefylden p må gerne variere med dybden. Tidligere satte vi for enkeltheds skyld T = 0 d . v . s .
T
Mx = -f
(2.85)
M = 0
(2.86)
Nettomassetransporten går med andre ord vinkelret og t i l højre på vindens r e t ning.
Vi lader herefter antagelsen om uendelig dybde falde, så randbetingelserne ved bunden b l i v e r i s t e d e t :
u, v = 0 for z = - d
(2.87)
De generelle løsninger for u, v findes af (2.70) og (2.66). Antages som før at
vinden blæser i y-aksens retning, f å r vi e f t e r omstændelige udregninger at
59
u = P sinh m Ç cos m %, - Q cosh m % sin m |
(2.88)
v - P cosh m £ sin m % + Q sinh m | cos m g
(2.89)
hvor den ny variabel f = s + d og
T D
, Q s
W-90;
P - y cosh m d oos m d + sinh m d sin m d
AK
cosh 2 m d + cos 2 m d
z
T 1>
Q
H =
y cosh m d cos m d - s m h m d s i n m d
A TU
cosh 2 m d + cos 2 m d
/•- Q 1 \
^-y1;
z
Overflade strømmens v i n k e l 6 med v i n d r e t n i n g e n kan b e r e g n e s ud f r a
sinh
e
^
=
2 ^ d - s i n 2 ^ d
—î
F "
sinh 2 * d + sin 2 | d
f o r de f l e s t e dybder undtagen de l a v e s t e :
0,5
0J5
1,0
1,25
2,5
<v>|=d
s
9 l i g g e r omkring 45
d/D
0,25
e
21Ï5
45°
45?5
45°
45°
45°
(2.92)
45°
Mas s e t r a n s p o r t erne M og
M b l i v e r henholdsvis
x ö y
o
M
u d£
6
9
~dA
p
2% A
T
•o
M =
y
D
-Y.-.
_ 2' .
T
=
D2
cosh 2md + cos 2md - 2 cosh md cos md
cosh 2md + cos 2md
z
jir
y
p v dg - p - ^ 7 -
-d
2ÏÎ
r~ n-i\
^ *^ }
sinh m d sin m d
2m d 4- cos 2m d
co5h
, nt.
(2-94)
A
Hvis d = D h l i v e r M = 0 og
y
x
2TC
ffl1
A
I
z
h v i l k e t omtrent e r samme r e s u l t a t som f o r d e t f ø r s t e i d e a l i s e r e d e Ekman-tilfælde.
Når d v o k s e r , k o n v e r g e r e r værdien i p a r a n t e sen i ( 2 . 9 5 ) mod 1»
Vi v i l nu l a d e a n t a g e l s e n om "ingen h o r i s o n t a l e t r y k g r a d i e n t e r " f a l d e .
Lad os antage a t v a n d s p e j l e t h a r en k o n s t a n t hældning a, h v i l k e n f . e k s , kan
være fremkommet ved en o p s t u v e n i n g af vand mod en l a n g l i g e k y s t . For e n k e l t h e d s
s k y l d lægges y - a k s e n i hældningens r e t n i n g og x - a k s e n v i n k e l r e t h e r p å . De h y drodynamiske l i g n i n g e r "bliver
60
fU„fsâ-S-!jj£
r
(2.96)
öz
Da p e r konstant b l i v e r öp/öy « - g p tg a, hvilket indses ved benyttelse af
den hydrostatiske ligevægtsbetingelse
§£ - - P ë
(2.98)
Vandspejlsfaid er altid små, så det er rimeligt at sætte tg a = a. Vore bevægelsesligninger kan herefter skrives på formen analogt til tidligere
2
d v _ 2
—-52 m u -KVo —a
dz
,
N
(2.99)
z
d u
_ 2
,
.
—? = - 2m v
(2.IOO)
dz
Vi bemærker, at hastighedsfeltet u, v kan afhænger af dybden d . v . s . kontinuitetsligningen er automatisk t i l f r e d s s t i l l e t fordi p = konstant samt w = 0. Vi
eliminerer u ved at differentiere (2.99) 2 gange og indsætte f r a (2.100). Herved indses ligesom t i d l i g e r e at v kan angives på formen
z
v = A1 e
cos(m z + ß) + B e""1
z
cos(-m z + y)
(2.101)
Indsættes (2.101) i (2.99) ses direkte, at i et udtryk for u skal leddet
(p g a)/2m A findes d . v . s .
u =u +
1
p
g
2m
a
A
(2.102)
z
hvor u v i l have et lignende udseende som v. Uden at gå nærmere i d e t a l j e r f i n der v i på h e l t sædvanlig måde
u = C1 e
v = C1 e~m
Z
cos(-m z + c ^ + C£ em
z
cos(-m z + o^) +
sin(-m z + c 1 ) - C2 em
2
sin(-m z + c 2 )
p
| g—
2m A
z
(2.103)
(2.104)
hvor randbetingelserne fastlægger integrationskonstanterne. I t i l f æ l d e af ingen
61
v i n d men h v o r e t v a n d s p e j l s f a i d h a v e s , d . v . s ,
T =
x
S£ = o
A
z Öz
for z = 0
(2,105)
= A |ï = 0
z öz
T
y
f i n d e s C1 - C 2 = §C
og c 1 = ? c 2 = c .
Ved bunden z = - d e r u , v = 0
hvorved
_
cosh m d cos m d
2 g a
C cos c = - cosh
• ' , 2 m d?—;
+ cos 2w m d,
fg"1
n
•
C s i n C = =
sinh m d sin m d
oosh 2 m d + oos 2 m d
fn*n£\
12.106)
2 g a
f
/ „ „ „„ \
t2'10^
( 2 . 1 0 6 ) og ( 2 . 1 0 7 ) i n d s æ t t e s i ( 2 . 1 0 3 ) og ( 2 . 1 0 4 ) hvorved h a s t i g h e d s f e l t e t kan
skrives
U
~
v -
g a f cosh p cos q + cosh q cos p
"1
f |_cosh 2 m d + cos 2 m d
~ J
/
ßl .
^2.100 J
g jx« [I ssiinn h p s i n q + s i n h q s i n p i
fC I[ ebsh
eosh 2 m d + cos 2 m d
.
.
K**™2)
h v o r p = m(d - z) og q = m(d + z ) . I ( 2 . 1 0 8 ) og (2.109) e r m - ~t
hvor
/2 A
h a r en l i g n e n d e b e t y d n i n g som Ekman-dybden D, D1 k a l d e s dybden af det n e d r e
Ekman-lag. D og D' h a r samme s t ø r r e l s e s o r d e n . Hvis vanddybden d = D' "bliver
o v e r f l a d e h a s t i g h e d e n i f ø l g e ( 2 . 1 0 8 ) og (2.109)
U o = ^ p ( 0 , 0 8 7 + 1)
(2.111)
V' = 0
o
Det bemærkes a t U næsten e r l i g h a s t i g h e d e n f o r en g e o s t r o f i s k "balanceret strøm
g a / f - se a f s n i t 3 . 2 , For andre f o r h o l d af d/D' v i l V f l u k t u e r e mellem p o s i t i v e og n e g a t i v e v æ r d i e r . De h é r nævnte f o r h o l d e r ganske analoge t i l , hvad t i d l i g e r e e r a n f ø r t om d e t øvre Ekman-lag og d/D,
Mas s e t r a n s p o r t erne M og M f å s ved i n t e g r a t i o n af (2.108) og (2.109) :
62
Pi g g , _
M - Hp
x
2 i ï f
t 2 7 t
d
siaih 2 K f,
D î
v, «
ÔL
«
4
cosh 2 TI =:, + cos 2 je ^ ,
sinh 2 « i
P1 g g /
l
2 n f
M = p
+ sin 2 * | ,
(2.113)
- sin 2 , Ä "•
DJ
v o d
„
pj_ x
d ;
(2.114)
cosh 2 it —, + cos 2 E — ,
D1 b l i v e r
(2.114) v i s e r , at for d »
J1 E g
y — f
M -
(2.115)
Z H I
PV
f
2 71 f
(2.116)
;
Hvis vi ignorerer gnidning bliver
M
x
hvor u
= p d u
g
= p E a d
/
(2.117)
f
e r den geotrofiske strømkomponent opstået ved, at vandspejlet hælder
o
vinklen a. Pet første led for M i (2.116) giver således den af en geotrofisk
balance forårsagede massetransport, medens det andet led repræsenterer M , der
er forholdsvis l i l l e .
Vi v i l nu gå over t i l at betragte et hav med konstant dybde d afgrænset
ved en uendelig, lang og l i g e k y s t . Vi v i l antage en konstant blæsende vind
langs kysten, hvilken-vil foranledige, at vandspejlet i n d s t i l l e r s i g med en
vis vinkel a. y-aksen lægges vinkelret ud fra kysten og x-aksen p a r a l l e l t med
denne. Vinden blæser i modsat retning af x-aksen, hvorved vindspændingen T =
- I T . Det antages videre at vanddybden er stor, d . v . s . d » P, P ' . Herved
bringes vi istand t i l at t a l e om 3 strømnings regioner i havet i ) øvre og nedre
Ekman-lag hvor gnidningskræfter e s s e n t i e l t balanceres af Co r i o l is-kraften samt
i i ) dybvandsområdet, hvor de horisontale trykgradientkræfter er i balance med
Co r i o l is—kraften. Pen geostrofiske massetransport forløber p a r a l l e l t med kysten
og bidrager således ikke t i l nogen vandopstuvening. Derimod haves på kysten
0'
U
vinkelrette mass et ransport er M og M for henholdsvis det øvre og nedre Ek<y
y
man-lag.
Vi har t i d l i g e r e fundet at
y ~
H
f
D! g q
- PITT"
(2.118)
(2.119)
63
O T
Om — o
;
—i
~2
—3
—*
Upper current
D —5
a)
D'
Deep c u r r e n t
^ ^
- * •
—6
— 7
Bottom c u r r e n t
—8
—9
r
77777777777777777777777777's
Pressure
gradient
fc
I
i
•
Pig, 39* Ekmans elementære strømsystem. Den tykt optrukne p i l parallel med
kysten repræsenterer den geostrofiske strøm. Overflade- og bund- Ekman spiralernes horisontale projektion er angivet ved de stiplede krumme l i n i e r .
64
0
Da v i h a r a n t a g e t s t a t i o n æ r t i l s t a n d e r M
y
T
a = 2 is
~rr
p g D'
d.v.s. kendes vindspændingen T
lignet med D, D' skal M
U
+ M = 0 . Heraf . f i n d e s
y
(2.120)
og D1 kan a beregnes. Hvis d er lille sammen-
og M
beregnes udfra de generelle udtryk (2.94) og
(2.114).
Vi har hidtil kun betragtet vindstuvening ved en lang lige kyst for det
stationære tilfælde. Vi skal nu betragte forholdene, når vandspejlsændringen
er under opbygning for iøvrigt ellers de samme betingelser som gældende for
ovennævnte stationære tilfælde :
Lad det endelige stationære vandspejls hældning være a. og vandspejlet
givet ved funktionen T| = f(y, t). Herved bliver sina = bv/'ày r" a. Lad M repræsentere nettovandtransporten pr. sek. mod kysten gennem en vertikal pi an med
bredden ûy = 1 og lad vandstanden stige med stykket 6 ^ = (bT/b"fc)ô" * i tiden
<5t. Mellem kysten og afstanden y fra kysten, bliver voluminet af det til strømmende vand pr. enhedskyststrækning Ax = 1 :
ST) dy =
j
6t
o
r T dy =
Jo at
.
- I 6 t
(2.121)
rved
M
MJ
. " öy
Öt
(2.122)
Når l i g e v æ g t mellem i n d - og udstrømmende vand e r n å e t e r o e = a
og M = M(t = »)=
0 . For a t komme v i d e r e a n t a g e r v i , a t M e r p r o p o r t i o n a l med a
- a ( t ) , hvilket
bør forekomme a t være p l a u s i b e l t . P r o p o r t i o n a l i t e t sf a k t o r e n s æ t t e s t i l M /oc
d.v.s.
a - a(t)
M ( t/ ) = M - 2
^
o
a
o
(2.123)
(2.122) og ( 2 . 1 2 3 ) g i v e r sammen med « = T~ &"*
o by
hvor
a = 0
a = a
for t ~ 0
o
fory=0
«j
*
^
« °
.
(2
*125>
65
(2.124) e r v e l k e n d t f r a v a r m e l e d n i n g s t e o r i e n . Den h a r følgende l ø s n i n g :
a
- a0
1
T
p
- up^7T
(2.126)
hvor f u n k t i o n e n P kan s k r i v e s
x
-oc
P(*)= pf
2
dx
(2.127)
e
lifo
Denne f u n k t i o n k a l d e s f e j l f u n k t i o n e n og s k r i v e s h y p p i g s t som f ø l g e af a n g e l s a k s i s dominans som e r f x .
Eftersom d » D, D' i f ø l g e vore a n t a g e l s e r haves f r a ( 2 . 1 1 5 )
D' g a
_°
M =
O
P(x) »v 1,1 i
a
(2.128)
2 71 f
f o r x < 0,4
—a
a
j.
/
o
s å l e d e s a t ( 2 . 1 2 6 ) approximative kan s k r i v e s som
1
'
1
V
*
2
2 ^ D' g t
-
\'*i<V)
(2.129) g i v e r , a t i l ø b e t af t i d e n
V, - °.°°°22 i $£% •*•
(2-1*»
v i l a have n å e t 70 $ af s l u t v æ r d i e n a . Det e r i ( 2 . 1 3 0 ) f o r u d s a t a t D! = D.
Hvis v i s æ t t e r , a t D ~ 75 m og bredden ep = 45
b l i v e r t „ Q for forskellige
af-
stande f r a k y s t e n i denne model :
y (m.)
t70
IQ 3
3 sek.
10 4
5 min.
10 5
8 timer
V a n d s p e j l e t s e n d e l i g e hældning a
5*10 5
10 6
8 dage
34 dage
bygges s å l e d e s f ø r s t op nær kystten,
h v o r e f t e r den v a n d r e r ud i h a v e t . Det s k a l n o t e r e s , a t v i h a r b e n y t t e t de Ekmanske h a s t i g h e d s f e l t e r b e r e g n e t f o r d e t s t a t i o n æ r e t i l f æ l d e , h v i l k e t n a t u r l i g v i s ikke kan f ø r e t i l k o r r e k t e r e s u l t a t e r . D e t t e b e t y d e r , a t t
r e e l t må b l i v e
v æ s e n t l i g s t ø r r e end s t i p u l e r e t o v e n f o r . Vi f å r o m t r e n t l i g
t ? 0 ( k o r r i g e r e t ) Z^Q+^^T
sek
*
(2.131)
T i l s i d s t b e t r a g t e s v i n d s t u v e n i n g i e t l u k k e t b a s s i n med samme dybde o v e r a l t . Det a n t a g e s a t s t a t i o n æ r t i l s t a n d e r i n d t r u f f e t .
For d e t t e t i l f æ l d e b l i v e r
66
n e t t o m a s s e t r a n s p o r t e n mellem d e t f r i v a n d s p e j l og bund l i g med n u l f o r enhver
r e t n i n g . Hvis d e t som f ø r a n t a g e s a t d »
D, D' b e t y d e r førnævnte
at
0
U
G
M + H + M - 0
X
X
\
(2.132)
f
\
X
0
ÏT
G
M + M + M = 0
y
y
-> 1
/
\
v( 2 . 1 3 3 )
y
'
hvor M e r m a s s e t r a n s p o r t e n hidhørende f r a den g e o s t r o f i s k e r e g i o n , og
M
N
X
+ M
G
X
- H
X
samt
M * + MG = M
7
y
7
er angivet i (2.116) og (2.115)- Vi antager, at vinden blæser i y—aksens retning d.v. s.
T
= 0
(2-1^4)
y
Vi ved endnu i k k e , på h v i l k e n måde v a n d s p e j l e t s hældning v i l b l i v e p å v i r k e t
af,
a t vinden b l æ s e r med k o n s t a n t s t y r k e hen o v e r området, d . v . s . v i ved end-
nu i k k e i h v i l k e n r e t n i n g t r y k g r a d i e n t e n g å r . Et t r e - r e t v i n k l e t k o o r d i n a t s y s t e m
x!, y ! ,
z ' i n d f ø r e s med samme o r i g o som v o r t sædvanlige x , y , 2 - k o o r d i n a t s y s -
tem, s å l e d e s a t y'—aksen og t r y k g r a d i e n t e n s r e t n i n g f a l d e r sammen. Dette t i l fælde e r b e r e g n e t f r a t i d l i g e r e med de samme f o r u d s æ t n i n g e r s å ( 2 . 1 1 5 ) og
( 2 . 1 1 6 ) kan d i r e k t e anvendes h é r :
For o v e r s k u e l i g h e d e n s s k y l d s æ t t e s
B 5 fif
ogh
^(JJLâ.^
(2#137)
Derved b l i v e r M , = b a m a s s e t r a n s p o r t e n i den g e o s t r o f i s k e s t r ø m s r e t n i n g og
M , = B a mas s e t r a n s p o r t e n i t r y k g r a d i e n t e n s r e t n i n g . M a s s e t r a n s p o r t e n M kan
o p f a t t e s som en v e k t o r , d e r f ø l g e l i g e r uafhængig af det v a l g t e k o o r d i n a t s y s t e m .
67
Sammenhængen mellem de 2 koordinatsystemer x, y, z og x 1 , y ' , z* kan udtrykkes
ved matrix-ligningen
{;!•(
- sin q "i f x t
cos q j \ y
cos q
sin q
(2.138)
hvor q er drejningsvinklen. Vi finder tilsvarende for M at
l.My)- V s i n «
^2-13^
c o s , ) l.My,J
og dermed ved udregning af (2.139)
M = b ex cos q - B a sin q
(2.140)
M = b a sin q + B a cos q
(2.141 )
Desuden haves at M = -r/f
(2.140) og (2.141) giver :
og M
= 0 , hvilket kombineret med (2.132), (2.133),
4 + b a cos q - B a sin q = 0
(2.142)
b a sûi q + B a cos q = 0
(2.143)
Herved b l i v e r
cos q =
1
T
(2.144)
a f (B* + tT)
B T
sm q =
-r
,
s
sa f (B* + IT)
tgq-f
Hvis d »
v
(2.145)
(2.146)
M,
.
D' b l i v e r rM.~ -, ~— *D ' a »
1 og dermed b »
B d . v . s . q ~ 0°.
y*
Dette betyder, at opstuveningen af vand stort set finder sted i vindens retning også i dybe lukkede bassiner. Fra (2.142) fås
68
Denne simple men højst brugbare ligning kan benyttes ved stormvarslinger i lukkede farvande, hvor det har stormet i længere t i d . Nævneren på højre side e r
en konstant s t ø r r e l s e for e t givet område og T kan beregnes ud f r a meteorologiske data.
Vi vender tilbage t i l vort lukkede bassin med horisontalt beliggende bund.
Uår det ikke blæser, er vandspejlshøjden over bunden z = d = konstant. Med
en konstant blæsende vind afhænger z af stedet; for enkeltheds skyld sættes
o
z = 2 ( y ) . Havoverfladens afvigelse f r a dybden d kan udtrykkes enkelt ved
T\ = z - d, hvorved den lokale dybde b l i v e r z - d + T]. Idet a =-t(dz )/<3y, giver
dette ved indsættelse i (2.147)
dz
rr*«
dy
—
(2.148)
g p z0
^'
der har løsningen
*%'•
j~J
+ C
(2.149)
hvor C er en integrationskonstant. Det ses at vandspejlet antager en parabolisk
form.
Den geostrofiske strømkomponent u kan udtrykkes som
Strømmens retning e r på dybt vand s t o r t set sammenfaldende med vindens retning.
aftage: med d, samt at u e r væsentlig mindre end
Det skal bemærkes, at u aftager
&
g
hvad vi finder i åbne farvande.
2.3. Inertibevægelse.
Vi vil give et efterhånden klassisk eksempel på en inertibevægelse som
observeredes i Østersøen i" 1933. Kurven i Pig. 40 repræsenterer den observerede bane for én vandpartikel. Ideelt set skulle vi for en ren inertibevægelse
have en cirkelbevægelse, dersom Corioliskraftens variation med breddegraden
kan negligeres. Imidlertid demonstrerer Fig. 40 en omtrentlig cirkelbevægelse
overlejret en middelstrøm, som går mod ÏÏBV. Desuden bemærkes at cirkelbevægelsen efterhånden dør ud, hvilket kan tilskrives gnidningseffekter. Forholdene
kan beskrives enkelt i et transiationskoordinat syst em, som transiateres mod
WV med den observerede vandpartikels middelhastighed i denne retning. Vi benytter (1.6) og (1.7) og gør først antagelserne :
69
2K.B.0*
S km
21.812'
Fig. 40. En vandpartikels hanehevægelse baseret på strømmålinger vest
for Gotland.
20.8-12*
20.80"
n.8.12"
1) strømfeltet er h o r i s o n t a l t , d . v . s . w = 0
2) F- og D-leddene kan a l l e ignoreres
Disse antagelser medfører
£
öt
+u
^
b*
+v
|Ü
.
5y
f v
. _ 1 te
(2.151)
p bx
eller
3£fv
dt
_ 1 ÈE
(2.152)
D ÖX
og
dt
p by
(2.153)
Trykgradienterne, som f.eks, kan være opstået som følge af en vindstuvening i
området , på højre side af ovenstående ligningssystem er nu eneste drivende
ydre kraft, fordi vi har hydrostatisk ligevægt, d.v.s.
70
ftp
bl = "
p ë
(2.154)
Vi gør ydreligere den antagelse, at vindstuveningen ophører, som følge
af at vinden lægger sig. Dette bevirker, at de horisontale trykgradienter kan
ignoreres. For et barotropt hav d.v.s.
p = D(p) = en konstant i kystnære om-
råder kan (2.152) og (2.153) skrives
§ -
f?
f v
= °
+ f u
(2.155)
= 0
(2.156)
(2.155) og (2.156) multipliceres med henholdsvis u og v, hvorefter disse adderes
1 d , 2
* dt ( u
2 ^ _ i d 2 „
) =?dt C = °
+ V
,
,
(2.157)
Denne ligning udtrykker, at vandpartiklen bevæger sig med konstant hastighed.
Ifølge (2.155) og (2.156) er du/dt og dv/dt forskellige fra nul d.v.s. vandpartiklens acceleration er forskellig fra nul. (2.155) og (2.156) multipliceres nu med henholdsvis v og u, hvorefter disse subtraheres
„„ du
v
d t ~
u
dv
d t 0
u/v = cot a ,
v
v
2-d /Uv
„ 2
dt ( v } = f c
0
= c
.
(2.158)
0
sin
a , hvor a er vinklen mellem x-aksen og c's retning.
Heraf følger :
sin a
eller
da
dt
„
=
-
f
(2.160)
(2.160) viser, at for inerti-strømme gælder, at den bevægede vandpartikel ændrer sin retning med konstant hastighed. Vi indser l e t , at vandpartikelbanen er
en cirkel. På nordlig halvkugle hvor ep > 0 haves følgelig dec/dt < 0 hvorfor
bevægelsen i den såkaldte inerti-cirkel går rundt med uret (cum sole eller negativt omløb)- se Fig. 40. På sydlig halvkugle hvor ep < 0 bliver bevægelsen
71
contra solem (positivt omløb). Kaldes inerti-cirklens radius for r, finder vi
for partiklens omløbstid
T
=
p
2 -B. T
c
som kaldes inerti-perioden. Coriolis-acceleration må balancere centriflftalacceleration, d . v . s .
c
/ r =f c
Heraf fås direkte
r = c/f
(2.161)
og
T
p
= 2%I f
'
(2.162)
.
Vi ønsker herefter at tage hensyn til gnidning, d.v.s. D , D ^ 0. For
x
y
enkeltheds skyld benytter vi den såkaldte Guldberg - Mohn»s antagelse :
Dx = - R u
(2.163)
D
(2.I64)
--R v
Herved b l i v e r bevægelsesligningerne
g - f v = - R u
(2.165)
g
(2.166)
+ fu = -Rv
Benytter vi samme regnemåde som før findes
c(t) = c(t = 0) e" R %
(2.167)
r(t) = c(t = o) \ e" E *
(2.168)
\=^
(2.169)
72
Vi ser a l t s å at partikelhastighed og baneradius dæmpes eksponentielt på samme
måde. Dette "betyder, at inerti-perioden T bliver upåvirket af indflydelsen fra
gnidning. Eksperimental-værdien for T i Fig. 40 andrager ca. 14 timer, medens
den teoretiske værdi for T ifølge (2.169) b l i v e r 14 timer 8 min. Vi ser a l t s å
at selv med vore stærkt simplificerede andragelser om strømningen, er vi a l l i gevel istand t i l at redegøre for dennes væsentligste træk.
2.4«
Ove rf 1 adebø Ige r .
Vi betragter indledningsvis et indelukket rektangulært bassin med en plan
horisontalt beliggende bund. Bassinets længdeakse antages meget større end dets
tværakse, som vi forudsætter infinitesimal. Lægger vi længdeaksen p a r a l l e l t med
1-aksen fås dermed
X»Y
(2.170)
hvor X, Y er karakteristiske horisontale dimensioner på en forstyrrelse i bassinet. Vi vil kun behandle forstyrrelser i homogene vandmasser, hvis perioder
har en karakteristisk tidsskala T, som er lille taget i forhold til inertiperioden T , d.v.s.
P
T
p
» T
(2.171)
Herved bliver de karakteristiske horisontale hastigheder U ~ x/T, V ~ Y/î og
dermed
u » v
(2.172)
Derved kan vi indskrænke os t i l at behandle f o r s t y r r e l s e r i den vertikale xz~
plan alene, d . v . s . v sættes overalt l i g med nul i vore ligninger. Benytter vi
herefter kontinuitetsligningen, giver en skala-analyse anvendt på denne
X ~
Z
(2'1?3)
betingelsen for en to-dimensional f o r s t y r r e l s e . Skal vi f.eks, behandle lange
stående bølger i vort bassin, b l i v e r den karakteristiske længde-skala X givet
ved bassinets længde L og den k a r a k t e r i s t i s k e dybde-skala Z givet ved bassinets
dybde h. Da L » h har v i følgelig ved benyttelse af (2.173) U » W. Den karakt e r i s t i s k e f o r s t y r r e l s e i vandmassen b l i v e r herved endimensional, hvilket også
vil fremgå i det efterfølgende.
73
Bevægelsesligningerne k a n i komponentform s k r i v e s som
bu
bu
bu
~r + u r— + w r—
bt
bz
bz
„ 1 $£
+
p
+ D
(2.174)
f u .-IjE +F
o by
y
bw
bw
bw
~ r + u ~ + w r—
bt
bx
bz
(2.175)
p bz
z
(2.176)
z
Hér h a r v i på sædvanlig v i s b o r t k a s t e t de ikke-domine rende Coriol i s - l e d . For
t o - d i m e n s i o n a l e f o r s t y r r e l s e r , h v o r den k a r a k t e r i s t i s k e t i d s s k a l a f o r h o r i s o n t a l e og v e r t i k a l e f o r s t y r r e l s e r h a r samme s t ø r r e l s o r d e n i f ø l g e (2.173) v i l v i
normalt have
X- Z
(2.177)
h v i l k e t e r en eksperimentel k e n d s g e r n i n g .
~ » Direction of wove travel
• Direction o*wove trovel
50m
100 m
room
(a)
(*)
F i g . 4 1 . ( a ) Vandpartikelbevægeisen u n d e r en bølge som hverken kan k a r a k t e r i s e r e s som værende " k o r t " e l l e r " l a n g " ( i d e t v i s t e eksempel e r bølgelængden
50 m, amplituden 2 . 5 m og vanddybden 10 m).
( b ) Vandpartikelbevægelsen u n d e r en bølge på dybt vand, h v i l k e n kan k a r a k t e r i s e r e s som værende " k o r t " .
( 2 . 1 7 7 ) og ( 2 . 1 7 3 ) g i v e r da
U~W
(2.178)
74
Heraf kan vi s l u t t e , at a l l e 4 ikke-lineære led i (2.174) og (2.176) er af
samme størrelsesorden samt at bu/bt ~ bw/bt. Vi vurderer nu ^ r / u — for
1
•
'
bt '
bx
bølgeforstyrrelser :
b t
/ u
^
/ u
~ i
~
c
f/
u > > 1
(2.179)
hvor den karakteristiske længde kan sættes t i l bølgelængden X og T t i l bølgens
l
svingningstid, c- e r bølgens fasehastighed, der som bekendt
e r langt større
end væskedelenes hastigheder under bølgen. Forholdet
§ / f
ot
u ~
T / T » 1
p
(2.180)
Da | f uj ~ JP | , hvor F kan være gnidningskræfter, tidevandsfremkaldende
kræfter e t c . (se afsnit 2.1 og 2.2 samt kapitel 6) kan bevægelsesligningerne
herefter skrives som
H
=
_1|!E+D
bt
p bx
(2.181)
K
x
f u =- - ^ + P
P by
y
S»
l £ E _
bt
p 02
J
(2.182)
g + D
(2.183)
+ F
Z
Z
Leddene i (2.182) er alle anden-ordens led ifølge (2.180) samt fordi
| P x | - | P y | ~ | f ix | , d . v . s .
§*-0
og
p = p(z, z, t )
(2.184)
| F j ~ | F x | - | f u| , d . v . s . g » F z i (2.183).
Dissipationsleddene D ~ D på grund af (2.177) og (2.178), og begge kan s k r i 2
2
ves på formen
D ~ A b u / b z . Forholdet
gi/D
~ e
f
x/A
(2.185)
hvor x e r forstyrrelsens k a r a k t e r i s t i s k e bølgelængde og A en k a r a k t e r i s t i s k
turbulent gnidningskoefficient. Vi ser, at dissipationsleddet i (2.181) og
(2.183) "bor medtages for små f o r s t y r r e l s e r som f . e k s , kapillarbølger på grund
af x-afk^gigkeä i (2.185), medens D-leddene kan ignoreres for større bølge-
75
længder, der iøvrigt også medfører større fasehastigheder. Vi er nu istand t i l
at opskrive de endelige "bevægelsesligninger for vort problem :
Kontinuitetsligningen :
ga + J ï - O
(2.188)
I (2.186) og (2.187) indgår trykket kun som en gradient. Det betyder, at vi
uden tab af generalitet
kan sætte atmosfæretrykket ved havoverfladen lig
med nul.
Grænsebetingelser ;
En nærmere gennemgang af disse er foretaget i afsnit 8.7 så vi v i l indskrænke
os t i l nogle få bemærkninger :
Det fysiske indhold i den kinematiske grænsebetingelse l i g g e r i antagelsen om, at en væskedel, som befinder sig på grænsefladen, v i l forblive dér.
For en flade
F(x, y, z, t ) = 0
(2.189)
giver den kinematiske randbetingelse generelt
df
Hvis
= 0
(2.19O)
z = Tl(x, y, t) er ligningen for det fri vandspejl bliver randbetingelsen
w = r? + u p + v r ^
bt
bx
for z = TI
'
by
(2.191)
\
j *
Vi vurderer forholdet
g /
n
M
~
0 f / u
»
1
(2.192)
i lighed med (2.179) og da v ~ 0 kan (2.191) skrives som
w=||
for z = TI
(2.193)
76
Ved bunden er z = konstant så
w = 0
(2.194)
for z = - D
z = Tl(x, t)
•
z = 0
x
p = konstant
z = - D
*//////////////j/////////////////;//
Den dynamiske grænsebetingelse for bevægelige flader siger, at trykket på hver
side af en sådan skal være det samme under den forudsætning, at k a p i l l ar-kræf t e r kan ignoreres. Vi antager hér, at dette ikke er t i l f æ l d e t , d . v . s .
(2.195)
for z = TI
p = - C
-1
hvor C e r overfladespændingen, som f o r vand ~ 75 dyn era
ÖT\A>X e r et mål på bølgens hældning t g ß idet
öi
tg ß
(2.196)
For store bølger e r t g ß l i l l e , og desuden har v i for sådanne t i l f æ l d e ingen
væsentlige k a p i l l ar-effekter så (2.195) b l i v e r blot
p = 0
f o r z = T]
(2.197)
Haves kapillarbølger kan t g ß b l i v e r ganske stor for små bølgelængder, menifølge (2.185) e r dissipationen også tilsvarende s t o r , d . v . s . de mindste bølger
har kort l e v e t i d og er dermed oceanografisk set u i n t e r e s s a n t e . Vi b e t r a g t e r
kapillarbølger, hvor \ e r af størrelsesordenen 1 - 10 cm og t g ß < 0 , 3 . Med
disse antagelser kan vi approximere (2.195) "til første orden
77
- - c C£ *- -3g
f o r z = I]
(2.198)
Ö3C
Den f o r s t y r r e l s e v i søger antages at være periodisk. Herved kan v i Fourier-opløse den i komponenter af formen
"H = a cos(k x - u) t )
(2.199)
fordi alle vore differentialligninger er lineære, hvorved superpositionsprincippet er gyldigt.
Fig. 42. En enkel fremadskridende
harmonisk bølge til forskellige
tidspunkter (svingningstid 10 sek.
og bølgelængde 100 m ) .
Vi differentierer (2.186) og (2.187) med hensyn til henholdsvis x og z, adderer disse ligninger og benytter (2.188). Herved bliver
Ve- p = 0
(2.200)
Vi ved, at for vor vandmasse i hvile er p = - p g z, så for dette tilfælde er
(2.200) automatisk opfyldt. For en pertuberet væskeoverflade er det følgelig
rimeligt at sætte
p = - p g z + f(x,
2, t)
(2.201)
Pertub at ions trykket f(x, z, t) må afhænge af forstyrrelsen uafhængig af dybden,
d.v.s.
78
f(x, z, t) = A(x, t) B(z)
(2.202)
Yi forudsætter, at A(x, t) "bliver en harmonisk funktion. Indsættes (2.202) og
(2.201) i (2.200) fås
1 b2A , 1 d ^
ox
dz
_
,„ 0rt,»
Vor antagelse om A(x, t ) l e d e r t i l at
2
k
2
=0
(2.204)
^ ^ § - k
dz
2
= 0
(2.205)
l£-|
öx
+
Disse ligninger løBes på sædvanlig måde og vi finder, at det generelle udtryk
for trykket kan skrives
P = - pg
2
H- (C1 e 1 ^ x - æ *> + C 2 e " 1 ^ * - » t) ) .
- (E e k z + F e _ k 2 )
(2.206)
hvor C , C-, E og F e r 4 integrationskonstanter,
öw/öt = 0 for z = -D, fordi w = 0 for z = - D.
Derved "bliver
§£" - P S
forz = - D
(2.207)
ifølge (2.187). Benyttes denne randbetingelse på (2.206) fås E e~ k ^ = F e k D =
konstant, som vi sætter lig med i, d.v.s.
u
1 kB
E = £e
, -M)
w
F = i e
/
«v
(2-2o8>
Med dette kan (2.206) skrives som
/„ e iv( k x - tu t )' +, C
_ e - i (^k x - u) t )' )\ .
p = - p g z + ,( C
1
2
* cosh k(z + D)
(2.209)
79
Ved overfladen antager v i , at D »
% hvorved e — ^ '
+
J~
e
—
. Vores
øvre randbetingelse (2.198) for trykket giver da
p = Ck
a cos(k x - œ t ) ™
„
/„
- p g TI + (C
i(k x — «) t )
e
v
J
„
- i ( k x - iß t ) \
+ C- e
^
, . _
/_ „._%
'jcosh k D
(2.210)
Løsning af (2.210) giver
C e^k
X
- "
t )
+ C2 e " i ( k * -
æ t }
- '
C k
t P g a cos(k x - o t )
v
cosh k B
'
(2.211)
Herved kan trykket skrives som
2
p =
* P
e Z+
ôshV/
COSh ( k ( z +
^
COs(k x
~ « "^
(2.212)
Ifølge (2.193) og (2.187) er bw/bt = b 2 î / b t 2 = - eu2 a cos(k x - tu t ) =
- l/p * bp/bz - g. Indsættes (2.212) heri får vi
2
tu2 = g k (1 + £ - | ) tgh k D
c
f = 4 Ä ( £ r +k )*ehk]D
p
k
Vi skal bet ragte 3 special-tilfælde :
1) X«
(2.213)
(2 214)
-
D men større end ca. 1 cm;
d.v.ß. kE »
C
f=~k
1 og tgh k E ~ 1
+
k
(2.215)
I dette område har vi kapillarbølger. Vi bemærker, at både små og store
2
k-vsrdier leder t i l store værdier for c-, som følgelig må have et minimum
for
kmin
. = \t*fmin
V ^
~ 3,65 cm"
eller
X . =
min
1,72 cm
'
80
Kin«*«**
2)
d.v.s. k B » 1 og tgh k D ~ 1
Desuden bliver g/k » (c/p) k for tilstrækkelige store X og dermed
t
(2.216)
k
I dette område har v i de såkaldte dybvands-tyngdebølger e l l e r korte bølger,
som de undertiden også kaldes. Det e r den type bølger, v i træffer som vindbølger ude på det åbne hav.
3) X »
D,
d.v.s. k D «
1 og tgh kB ~ kD
4 =g D
(2.217)
I dette område har vi de lange bølger. Eksempler på sådanne bølger er givet
i slutningen af dette afsnit samt i kapitel 6.
A'oo^^
12
^^^^^n^2bm
H 10
sS0*^
-i 8
o
i:
i«
^ —
s^^"^
j^^~~
' '
'
,
Fig. 43- Fasehastigheden som funktion af bølgelængden og vanddybden.
A*10m
A = 5m
/^~
A-lm
20
40
60
Wavelength L (meters)
80
100
Tabel 3. Oversigt over relationerne mellem bølgelængde, fasehastighed, svingningstid, vinkelhastighed, bølgetal og gruppehastighed for korte bølger.
Størrelserne i skemaets øverste vandrette kolonne kan udtrykkes ved størrelserne i skemaets venstre søjle.
L
L
C,
T
to
k
Cç
L
2«C\lg
g-r-iiz
2xgj<ùIxlk
S*C*lg
c.
(gm*)*"
c,
gT\l«
Sh
igikW
2C,
T
<U
1
k
Cç
HgLPxy-
tegn) -*-
2*!L
2*Cn!g
T
2x/ta
2*/(**)w
g!Cn
2* IT
a
g-cl
a/2
< * * ) ' • *
4z-igT"
«'Ig
k
gTlA*
g!2u
Ug!kV:
4*C,fe
gp-c.
gwcl
C,
QXLIKV-
81
De lange bølgers gruppehastighed er l i g med deres fasehastighed, d . v . s . energitransporten foregår med hastigheden c„ = y g D . Tænker vi os en oprindelig
ujævn kyst opbygget af det samme materiale, v i l vi ved de fremspringende kystkonturer få kraftige bølgeslagspåvirkninger, hvis havbunden skråner jævnt udad.
S l u t r e s u l t a t e t b l i v e r en udjævningskyst, som vi finder den mange steder i Danmark, hvor der er bølgepåvirkning på grundt vand ( f . e k s . Jyllands vestkyst
samt Nord- og Nordvestsjællands k y s t e r ) .
Fig. 44. Bølgefraktionsdiagram, der v i s e r hvorledes bølgeenergien koncentreres ved den fremspringende pynt medens den spredes i bunden af bugten. Dette
favoriserer dannelse af den såkaldte udligningskyst f . e k s . Den jyske Vestkyst.
82
På samme måde v i l det kunne bemærkes, at bølger, som løber skråt ind mod en
k y s t l i n i e , v i l have en tendens t i l at r e t t e sig op, så bølgekammene h e l t inde
under land forløber næsten p a r a l l e l t med k y s t l i n i e n . Bette kan l e t forklares
ved at benytte ( 2 . 2 1 J ) .
Vi v i l herefter betragte væskedelenes bevægelse under bølgerne givet i
specialtilfældene 2) og 3) :
Kombination af vore bevægelsesligninger (2.186) og (2.187) med det beregnede
tryk i (2.212) hvor C ^ 0 t i l l a d e r en beregning af u, w.
Vi finder
=
It
u =
cosh fk B) C0Sh
oosh^k^B)
cosh
s
W =
^W
S
»
a k Sin(k X
^(k(^
Z
-
+ D
+ D
(2.218)
)) a k cos(k 1 - « t )
»
ßill k
(
x - » t ) + F W <^^Ä>
w = 0 for 2 = - B medfører F f * 0 - & ( ï ? DJ ~
&en*r*lt
* W t}
( k ( z + D)) °°s(k x - » t ) + f ( x ) û U )
t ? • cosh fk B)
cosh k (k B)
(k(z + L
f *t#*P» « é "Jtøé
(2.219)
O,
fif « SQfjGXZt1* O-
Kvadrering af (2.218) og (2.219) giver ved en efterfølgende addition og
omordning af leddene
u (cosh k B)
( ^ ) ( c o s h ( k ( Z + B)))2
2
2
+
w (cosh k D)
= J]
( ^ k ) ( s i n h ( k ( Z + B)))2 "
,g
22Q,
2
2
idet cos (k x - u) t ) + sin ( k x - u ) t ) = 1.
d . v . s . de mulige værdier af u, w falder på en e l l i p s e i u, w-planen.
Bet kan l e t v i s e s at :
1) f o r korte bølger udarter strømellipsen t i l en c i r k e l , hvis radius aftager
eksponentielt med dybden samt
2) for lange bølger u d a r t e r ellipsen t i l en meget flad e l l i p s e (en r e t l i n i e )
i d e t lilleaksen/storaksen = tgh(k(z + B)) ~ k(z + B) ~ 0.
83
I Østersøen haves i n t e t tidevand af betydning, d . v . s . ingen astronomisk
"bestemte vandstandsforskydninger. Vandstandsændringerne hér har følgelig sin
årsag i meteorologiske forhold (ændringer i strømmønstret foranlediger også
vandstandsændringer, men vi har t i d l i g e r e s e t , hvorledes samme strømmønster er
stærkt meteorologisk b e t i n g e t ) . Vi betragter en vandstandsændring betinget af
enten en vis ændring i barometerstanden e l l e r af vindstuvening. Disse udgangsbetingelser kan under visse omstændigheder genere en såkaldt uni-nodal seiche
i Østersøen, hvilket v i l sige, at v i får en stående bølge med ét knudepunkt se Fig. 45 og 46. En sådan observeredes mellem 10. og 15» december 1932. F i gurerne v i s e r de ekstraordinære udsving i vandstanden, som blev målt af adskill i g e vandstandsmålere (mareografer) i perioden 11. - 12. december : En sænkning
af havoverfladen på 100 cm i Kronstadt Bugt og en stigning på mere end 50 cm i
den vestlige Østersø. Nodal-linien er beliggende mellem Litau og Stockholm.
92
%
"*i fl •
&
*t; f'1
'
-
x
J
A.
PJV
', . | J A f r . 5 q T p " , n n
.urt
~W
* -*-\
"
Fig. 45• I s o l i n i e r for samme bølgeamplitude t i l et givet tidspunkt (co-range
l i n i e r ) omkring 11. december 1932. De fuldt optrukne l i n i e r angiver en vandstand over middelniveau og de stiplede en vandstand under. Tallene giver
vandstandsændringen i cm.
84
Fig. 46. I s o l i n i e r for samme bølgeamplitude omkring
12. december 1932.
1 det følgende gives t e o r i e n for en stående lang bølge i et indelukket
rektangulært bassin med den konstante dybde h :
2 lange bølger med samme amplitude og frekvens men med modsat forplantningsretning i n t e r f e r e r e r på en sådan måde, at der opstår en stående bølge.
t-o
t- 3.75 sec
Fig. 47« Stående bølge t i l forskellige
tidspunkter (svingningstid 10 s e k . ) .
85
For bølgen, som forplanter sig i x-aksens positive retning, gælder
Uj = I cos(k x - m t ) = | cos k(x - cf t )
C
f
= — U,
^
(2.221)
(2.222)
hvor c» = ^g h.
For bølgen, som forplanter sig i modsat retning, får vi analoge udtryk t i l
(2.221) og (2.222) ved blot at erstatte c f i disse ligninger med - c_, d.v.s.
T]2 = •£ cos(k x + æ t ) = - | cos k(x + c f t )
" cf
-2B"1T"\
V
(2.223)
(2.224)
Ved bølgeinterferens gælder
H - U, + \
u = u^ + u 2
(2.225)
(2.226)
Herefter kan vi give analytiske udtryk for henholdsvis 1\ og u :
T] = a cos k x cos u> t
C
f
u = 7- a sin k x sin w t
(2.227)
(2.228)
For et lukket rektangulært bassin med lodrette v^gge kræver de kinematiske grænsebetingelser, at normalhastigheden hér skal være l i g med nul. (2.228)
viser, at dette er opfyldt for x = 0. Skal kravet også opfyldes for x = L, hvor
L er bassinets længde, får vi betingelsen
k L « n TI hvor n = 1, 2, 3 . . .
(2.229)
k
(2.230)
eller
- —
Da w = 2 TC/T = k o = k )}g h , bliver den stående bølges svingningstid T
86
2 g
T= 2 n m
k c ~ n % i—r
(2.231)
Ved en mindre omregning når vi frem til Merians formel
2 L
T. =
n
n \fg h
(2.232)
~n
Indsætter vi (2.230) i (2.227) findes
T| = a cos n — x cos u) t
(2.233)
Knudepunkterne x = 3^, hvor i) = o for alle t , er givet ved
cos n
Î *k = °
(2.234)
hvorved fås
*k
=
Fn"
( 2 q
~ 1)
h v o r
? = % 2, 3 . . .
2
(2.235)
l )
L ^ * - / ^ % ^
Eftersom ^ < LT må j ^ - •• ,, d.v.s. q < n + £ . Et heltalligt q kan derfor kun
løbe fra 1 op t i l n. Antallet af knudepunkter bliver følgelig n. Hvis n = 1 har
vi den førnævnte uni-nodal seiche.
/-o
»,
- .„ -
-
I <*•>
^^///,y/////////^^/^y.^w//MM//^y////M
Pig. 48. Eksempler på vandstandsændringer som følge af en stående bølge med
et knudepunkt i et lukket bassin (en s.k. seiche).
87
Vi kan na vende tilbage t i l vort seiche-eksempel. Hvis vi ansætter, at
Østersøen er et rektangulært bassin, at middel dybden = 55 ni og at længden af
bassinet = 1450 km, kan svingningstiden T for seichen beregnes. Vi har nemlig
T = - ^ - , hvor c„ - «/g I) m/sek
og X « 2-1450 - 10 m
Af disse tal finder vi T. = 34)5 time. Den observerede svingningstid blev fundet at være 27,3 time. Forskellen i svingningstid ligger bl.a. i , at vi har
antaget konstant dybde t i l bund, hvilket langt fra er tilfældet. Topografien
spiller en stor rolle, fordi c« = cf(D) fremstiller en parabel, men andre forhold gør sig også gældende Ï
Vi har i udledelsen af Merians formel antaget, at de ikke-lineære led i bevægelsesligningen samt gnidning kan ignoreres. Vi skal undersøge disse forhold nærmere hver for sig. Kår de ikke-lineære led medtages i bevægelsesligningen for
en ideal væske, kan denne skrives på formen (se afsnit 3.3 og Appendix) :
r r + v ( | v . v) + (v x v) x v =
v p - v(g z)
(2.236)
p
ot
Antages en rotationsfri bevægelse, d.v.s. V x v = 0, kan vi sætte v E V ep. Herefter kan (2.236) skrives som
fcu2 + fcw2 + * + g
Z
(2.237)
= f(t)
fordi v = i u + k w. Se også afsnit 3.3.
2 = 0
z »- h
n u//n
/Uffnnuntrf/n
Vi skal anvende denne Bernoulli's ligning på overfladen, når vi studerer bølgen
i et henføringssystem, der bevæger sig med hastigheden 1 c-. Bølgen bliver stationær i dette koordinatsystem. (2.237) anvendes for et bestemt tidspunkt t=t
88
i t v æ r s n i t t e t A samt i et tværsnit B som endnu ikke e r påvirket af bølgen, der
iøvrigt kaldes en sol i t ær-bølge e l l e r en kanalbølge. Ti f å r da
K u - c f ) 2 + i w2 + £ + g TI = £ ( - c f ) 2 + £
(2.238)
Bølgeoverfladen e r s t i l l e s t å e n d e i vort henførings syst em, så der sker ingen
transport gennem fladen, hvilket kan skrives
v • n = ((u - c f ) i + w k) - n = 0
(2.239)
hvor n er fladens normal. Retningen for normalen t i l en flade F(x, z) = 0 e r
givet ved v F. Bølgefladen kan i henførings systemet skrives som z - T|(x) = 0,
saledes at n ' s retning b l i v e r
v ( z - T[(x)) « - . g ? + 2
^
*
. ' :' (2.240)
Benyttes (2.240) sammen med (2.-239) fås
w = (u - c f ) | |
- og v i har i forvejen
for z = TI
(2.241)
w = 0 for z = - h.
Hvis bølgehældningen er l i l l e b l i v e r forholdet
lader s i g approximere t i l
i ( u - c f ) 2 + g TI = | c 2
u - cf
l i l l e , hvorved (2.238)
(2.242)
Kontinuitetsligningen kræver samme volumentransport gennem tværsnittene A og
B for vor homogene vandmasse, d . v . s .
(u - c f ) (h + T[) = (- c f ) h
. (2.243)
hvorved
u =
ïrfricf
(2.244)
Benyttes (2.244) på (2.242) finder vi
c
2
. (1 + Ti/h)2
=gh->
V-U
1 + V2 h
2.245
89
Da f|/h «
c
f
1 kan vi med h e l t sædvanlige approximationer finde
=
+
<'
f £)Sê*
(2.24ß)
Scott-Russel fandt i 1845 gennem 60 eksperimenter i en 6,10 meter lang og 30,5
cm bred rektangulær tank fasehastigheder for en solitærbølge t i l at være
° f - i/g{h + n) * 0 + i £ ) / s E
(2.247)
Vi undersøger herefter gnidningens indvirkning på de lange bølger, under
hvilke væskedelenes hastighed e s s e n t i e l t e r horisontalt forløbende. Vi benytter
Gfuldberg-Mohn's turbulensmodel, så gnidningskraften l a d e r sig beskrive ved leddet - ß u, der t i l f ø j e s (2.186) :
Kontinuitetsligningen kan ifølge Appendix skrives på formen
S-""g
(2-249)
Elimineres T) f å r vi
i!|+pte_gh^.O
bt
(2.250)
bx
Vi kan desuden opskrive en analog ligning for den horisontale flytning § ved
at indsætte u = bÇ/bt i (2.250). Vi antager, at væskedelene udfører en periodisk bevægelse, der kan udtrykkes ved
v t + ik Ï
u = A e
/
.
(2.251)
y
(2.251) indsættes i (2.250) hvorved
= - I + i k Ug h - *-£
(2.252)
og
- I t
u = Ae
2
e
e
i k(x
+ | gB h - ß 2 /4k 2 * t)
v
- ¥
^ /
'
(2.253)
90
For ß = O er vi tilbage til de kendte løsninger for lange bølger. Vi ser fra
(2.253)i at væskedelenes resulterende bevægelse er rettet fremad i vandet samtidig med at deres bevægelse dæmpes på grund af faktoren e~p'
De progressive lange bølger har en fasehastighed, der kan findes på en
tilsvarende måde som tidligere
<2-254)
°f = ^ \ r - - - f —
Ï
4k gh
Ved interferens mellem 2 modgående lange bølger med en fasehastighed som givet
i (2.254) finder vi som i (2.231) og (2.232) !
f
n | | g h \/l - ß /4k
g h
eller
2
T = T (i n
1
)"*
(2.256)
4 & g h
hvor T e r givet ved (2.232).
Til sidst skal det nævnes, at bi-nodale svingninger (n=2) og højere h a r moniske n > 2 kun med vanskelighed kan observeres i Østersøen. Derfor kan det
a l l i g e v e l være interessant at angive en korrektion for multi-nodale stående
bølger (n stor ) i et rektangulært bassin. Af (2.230) følger \ = 2L/n, som v i ser, at bølgelængden b l i v e r mindre, når n vokser. Begrebet lange bølger v i l efterhånden så ikke gælde for tilstrækkelige store n-værdier. Vi må da e r s t a t t e
c- - y g h med det mere generelle udtryk
c
f
= J g tgh k h
(2.257)
som fås fra (2.214) ved at sætte C = 0 og D = h. Benyttes (2.257) sammen med
(2.231) og (2.232) bliver
T:
p = —
» V^k
, ***
Vk tgh k
(2.258)
h
eller
T = T n ^k h coth k h
(2.259)
Vi antager nu, at k h er så lille, at vi i rækkeudviklingen af coth k h kan
ignorere led af fjerde og højere orden. Efter en del besvær finder vi omsider
91
* - Tn (1 + s <n % z ) )
(2.260)
hvor v i har benyttet (2.230). Korrektionsleddet vokser med n . For vor uni-nodale
seiche i Østersøen, hvor n *= 1, < h > = 55 ni og L = 1450 km b l i v e r
T
-9,y)
- T1 (1 + 2,4 • 10~
Afslutningsvis vil vi behandle det tilfælde, hvor en lang fremadskridende
bølge påvirkes af, at vanddybden pludselig ændre sig som skitseret nedenfor
^=F
-»c.
O)
(2)
P 1 u,
lTTTTrnTrrrrrT77Tn77777T7777777777777r
i
S////////')//////////////////»/
P, u 2
• - h„
i
x=0
For enkeltheds skyld antager v i , at havbunden overalt l i g g e r h o r i s o n t a l t , samt
at vanddybden på ét bestemt sted ændrer sig diskontinuert. Endelig forudsættes
massefylden at være den samme overalt. Herved har vi defineret 2 havområder kar a k t e r i s e r e t gennem deres dybder alene.
For en lang progressiv bølge gående i x-aksens retning er w = 0 og de sædvanlige ligninger kan skrives
ÊA-- f f S3
(2.261)
S_(h
bx v
(2.262)
bt
ox
u)
J
„ _ MJ
at
hvor h er vanddybden under det horisontale vandspejl og T] afvigel sen fra samme*
Yi har 2 variable u og T| og 2 ligninger. Der v i l være visse fordele forbundet
med a t beskrive problemet ved hjælp af % b l . a . fordi T] e r direkte observerbar
gennem vandstandsmålinger. Vi søger a l t s å at eliminere u i (2.261) og (2.262)
ved sædvanlig krydsdifferentiation :
92
Addition af (2.263) og (2.264) samt omordning af leddene giver
î-Xî
bx
= 0
(2.265)
bt
hvor X = (gh)
er en konstant for hver af de 2 havområder. (2,265) er en hyber-
bolsk differentialligning, der har oscillerende funktioner såsom cos og sin til
løsninger, forudsat \ er positiv og reel. Begge dele ses at være opfyldt.
Vi antager, at en løsning til (2.265) kan skrives på formen
•O = I(x) T(t)
(2.266)
Separationsvilkåret giver, hvis vi indsætter (2.266) i (2.265):
I
\f-
= 0
(2.267)
Skal dette være opfyldt for a l l e x, t v i l
!^---p
x f
2
= -p
(2.268)
2
(2.269)
hvor p er en reel konstant.
Vi lader nu en lang bølge på dybden h nærme sig området med dybden h .
Da bølgelignijtigen (2.265) er t i l f r e d s s t i l l e t i begge havområder (1) og (2),
må der ved diskontinuiteten x = 0 gælde
U, ( 0 , t ) = Tl2 ( 0 , t )
eller
(2.270)
•n± ( o , t ) + Tir ( o , t ) = <nt ( o , t )
hvor indexerne i , r, t s t å r for henholdsvis den indkommende, reflekterede og
transmitterede bølges amplitude.
Kravet om massens e l l e r impulsens bevarelse i området omkring x = 0 giver
i begge tilfælde (når 2. ordens led ignoreres)
lyi^
- h 2 -u 2
eller
h 1 -u.1 = h.*u
1 r + h 2-u,t
idet u . = u. - u ogB u- = u,
1
1
r
2
t
(2.271)
93
(2.27 1 ) kan også skrives som
\
( 0 , t ) . C l = Tlr ( 0 , t ) . C l + ^
hvor c1 = lfgh1
og c 2 =~^gh2
Udtrykket F ( x ,
.
) e~
w
(0,t)*c 2
beskriver en harmonisk "bølge i tiden med
amplitude F og vinkelhastighed u> Tid- og ramkoordinaten er hér adskilt som i
(2.266). En mulig løsning t i l f| kunne være
10 =
T 2 T f-*> F ^
X
' "^ e_X(i)t
du)
(2.272)
Bet eneste som er indeholdt i (2.272) er en summation af harmoniske funktioner
af formen F ( x , u> ) e
over alle u>. Denne summation vil også være løsning
t i l (2.265), fordi denne er en lineær 2. ordens differentialligning. Ti har
som tidligere ignoreret Co riol is-kraftens indvirkning, d.v.s. vi kan konkludere CD > f .
Dette krav vil med vore antagelser medføre at F( x , u>)"*0 for OD-* f.
Ifølge sædvanlig Fourier teori kan enhver analytisk funktion skrives som
et Fourier integral, således at den løsning vi har valgt for j\ er helt generel.
Vi indfører nu nogle størrelser:
h=7T~=~
1
°e
F = F
og
F = F2
i
f o r x
<°
(2.273)
c„
\2=Y^-=—J
forx>0
(2.274)
Benyttes (2.273) og (2.274) sammen med (2.268) og (2.269) fås:
FJji + kJ F1 = 0 for x < 0
(2.275)
F?'
(2.276)
+ kj F 2 = 0 for x > 0
hvor k1 = » / c 1 og k 2 = UJ/C 2 . Løsningen t i l (2.275) og (2.276) bliver
F1 = A e l k 1 X + B e
F = C eik2X
2
+
_ i
V
(2.277)
D e~ik2X
(2.278)
hvorved
*1
\
=
m
" ?fe
/C
f
A e i k l ±
(C elk
2X
+ B e
+ D
" i k l X ) « ^ " * * « » - % + TW
e " i k 2 X ) e " i u ) t du, = ^
(2-279)
(2.280)
94
Vi har således en forstyrrelse langt fra diskontinuiteten i x - aksens
positive retning, som bevæger sig mod diskontinuiteten. Dette er en fysisk umulighed, fordi der i dette område ikke findes hindringer af nogen art, som som kan foranledige forstyrrelsen, D*e 2
»e
.
Disse overvejelser leder os til at sætte D lig med nul så
\==Wif
° eik2Xe-iü,l!
do>
(2.281)
Randbetingelserne (2.270) og (2.Zfl)gxvev
2 ligninger t i l bestemmelse af
de 3 konstanter A, B og C. Vi vælger derfor at udtrykke B og C ved At der vil
fremstå som en parameter givet ved den indkommende lange bølges^ amplitude. Eftersom randbetingelserne gælder for alle værdier af t , må dette også være opfyldt for funktionen
F ( x , » ) -Js2n
r
7l(x,t)eiu3t
dt
fordi T) er differentiabel for x = 0 og analytisk for x * 0. Herigennem kan randbetingelserne omformuleres t i l
Pn ( 0 , CD)= F 2 ( O.cu) = ^ ( 0 ,
^(0,
U ))c 1
æ
)+Pr(0,u))
= F r ( 0 , H))CI + Pt( 0,o,)c2
(2.232)
(2.283)
Vi indsætter betingelsen x = 0 i henholdsvis (2.277) og (2.278) hvorved
A+ B= C
(2.284)
(A - B) = c 2 C
Cj|
(2.285)
d.v.s.
—
C
B
=
C
c
1
1
C
4- O 2
+ C
A
^ )
(
2
'
2 8 6
)
2
hvor B er den reflekterede bølges amplitude og
2c
c =
T7r
C
A
W
(2.287)
+
1
°2
hvor G er den transmitterede bølges amplitude. A, den indkommende bølges amplitude, er sædvanligvis en funktion af tuk 2 også
- k skrive (2.286; og ^2.287) som henholdsvis
Vi kan
B = k 7 k - AU)
+
2
(2.288)
95
2k
C=r-TV
AU)
(2.289)
Amplituden F b l i v e r således
K =AU) (
1
^ ' K
2
i(lD/c
e
i)x + - ^ - i
c
2 + °1
- A ( « ) ( ~7~ei{,1}/C2)X)
e
-i(aj/C1)z
)
; forx<0
ïforx>0
(2.290)
(£.291)
-2
Herved b l i v e r ^ for henholdsvis den indkommende (index i ) , den reflekterede
(index r) og den transmitterede (index t ) bølge med brug af (2.279) og (2.28''):
Tt. = ^
/ AU). e ^ i N
1
-
C
i t } du,
(2.292)
hvilket beskriver en progressiv bølge, som udbreder sig i x-aksens positive
retning.
•n = - 1 . / A(O>) ^ - 1 ^ 2
l
r
Tai
y
v
ei(u)/Cl)Ux-Clt)
(
}
' c + c.,
hvilket beskriver en progressiv bølge, som udbreder sig i x-aksens negative
retning med samme fasehastighed og form som ovenfor. Det bemærkes dog, at 1) ' s
amplitude a l t i d må være mindre end f]. 1 s amplitude.
hvilket e r en progressiv bølge, som udbreder sig i x-aksens positive retning
inde på havområde (2) med fasehastigheden c . Denne transmitterede bølge har
en anden form end TI-1 og TI'r
Hvis h. < h s k i f t e r den reflekterede bølge fortegn sammenlignet med den
indfaldne bølge, hvilket betyder at bølgen reflekteres med en faseændring på
180°. Omvendt, hvis & 1 > kp optræder i n t e t f a s e s k i f t . Dette er h e l t analogt t i l ,
hvad der gør s i g gældende for tilsvarende optiske og akustiske hændelser, der
går gennem medier med forskellige "tætheder".
Antag herefter at h -» 0. Herved v i l c ? -> 0 og dermed xi+ "* 0* Resultatet
b l i v e r en t o t a l reflektion, hvor
nr=
ni
(2.295)
Dette svarer n a t u r l i g v i s t i l en bølges reflektion ved en fast lodret rand. Betingelsen i (2.295)
er
også gyldig for korte harmoniske bølger.
96
Forholdet mellem den indfaldne og reflekterede bølges amplitude samt
forholdet mellem den indfaldende og transmitterede bølges ampiltude kan herefter
angives ved benyttelse af (2.292) - (2.294). Den reflekterede og transmitterede
bølge modificeres i forhold til den indfaldende bølge med henholdsvis størrelserne (c - c )/(c
+ c ) og (20^/(0
+ c 1 ) . For en tidevandsbølge der kommer ude
fra det åbne ocean ind mod shelfen er
c„ ~ Ifg * 4000
m sek.
c ~Yg~* 200
m sekT
1
Shelfen virker med andre ord som en bølgeforstærker, idet den transmitterede
bølges amplitude bliver forholdsvis stor. Dette forhold forklarer ikke det
ringe tidevand i Østersøen, og i indre danske farvande, der i stedet-"skyldes
flere fra Atlanterhavet indkommende tidevandsbølgers interferensforhold, i
Skagerrak.
97
Kapitel 3
Sundet og Bælthavet
3.1.
Knudsens hydrografiske teorem.
Knudsens hydrografiske teorem omhandler en anvendelse af 2 kontinuitets-
sætninger for henholdsvis vandvolumen og salinitet. Der antages stationær
tilstand samt at
masseflux * l(Vvolumenflux, hvilket er en rimelig approxima-
tion inden for 2 %% '
Salinitetsfluxen til det betragtede område
tænkes alene at foregå i havet. Dette er næppe helt tilfældet, fordi vi kan have,
at små koncentrationer af salt kan forlade et vandvolumen gennem fordampning
ved havoverfladen. Således udviser luftens indhold og fordeling af hygroskopiske saltpartikler over hav og land forskelligheder. Saltfluxen gennem havoverfladen er imidlertid lille sammenlignet med fluxen gennem vandet. Den sidste
vigtige, men hyppigt oversete antagelse, som Knudsen foretog, omtaler, at netto
-salinitetsfluxen over ethvert tværsnit i det betragtede område er lig nul,
dvs.
v - p • S dA = 0
(3.1)
JA
Idet p«*£*w*ßcan denne antagelse skærpes, således at
i vr,o™»i • S • dA = 0
j, normal
(3.2)
De yderligere detaljer, som gemmer sig i Knudsens hydrografiske teorem er at
finde i afsnit 8.3 og
S.k,
Vi vil benytte Knudsens hydrografiske teorem på en såkaldt to-lags model,
der skematisk er vist i Pig. U<?.
a
1
V
F
2
Fig. ij-9. Kontinuitetsbetingelser for en to-lags model.
98
F i g . 50. Temperatur, s a l i n i t e t , sigma-t som funktion af dybden i Øresund.
Vi s e r i F i g . 50 e t eksempel på en måling i Øresund af t e m p e r a t u r e n T og
s a l i n i t e t e n S, h v o r f r a s i g m a - t , ö
G, =
er beregnet
Wg m-3
p - 100©
13.3)
Vi bemærker den stærke l a g d e l i n g , som r e t f æ r d i g g ø r a n t a g e l s e n om en t o - l a g s
model; desuden a t a t v a r i e r e r mellem 8 og 25 kg
m
, hvorfor
p**{9Nft\-vajiåsctjlen,
De h y d r o g r a f i s k e f o r h o l d i Bælthavet e r analoge t i l forholdene i Øresund.
Vi s e r h e r e f t e r på volumenfluxen væk f r a området angivet i F i g . J+9, som
andrager:
hni
+
W
-
Q
•F
(3.10
hvor f . e k s .
A„u, =
11
j
u. dA = A±
Q er den samlede effekt af nedbørsmængden, fordampningsmængden og ferskvandstilførslen regnet med fortegn pr. flade- og tidsenhed. F er lig arealet af den
samlede havoverflade, som vi betragter.
99
Volumenfluxen ind i området bliver tilsvarende
+ A U
W
(3-5)
22
Da vi har antaget stationær t i l s t a n d , haves
A u
l l
+
W
"
Q
"F
=
W
+ A U
(3-6)
2 2
Vi må på tilsvarende måde forlange, at salinitetsfluxen ind i området
skal balancere salinitetsfluxen ud, dvs.
LL«1B1 +
W
S
Y
=
VVSi
+
A
(3.T)
2U2S2
Det er denne ligning, vi forenkler ved hjælp af (3.2), hvorved vi opnår to
ligninger i stedet for (3.7):
WV
(3.8)
S2A2u2 = S 2 » A 2 ' u 2 '
(3.9)
s
iVi =
Kombinationen af (3.6), (3.8) og (3.9) leder os frem til Knudsens hydrografiske
teorem:
i-( Sl /s') A i u 1 — Q F =
1 - (B2/S2')
(3-10)
V2
Knudsen benyttede resultatet på middelforholdene i danske farvande. Snit 2 blev
lagt i den vestlige Østersø, hvor Sp = 8.7
i den
Sydlige del af Kattegat, hvor S- = 20, O
og Sp'= IT.1*»
og S.' = 33.0 #.
Snit 1 lagdes
Det område,
som betragtes, har omtrentlig samme nedbør som fordampning, og ferskvandstilførsien fra land er ringe, dvs. Q F kan ignoreres. Vi finder da fra (3.10)
ApU
= 0.8 A_u , dvs. middelvolumenf luxen fra Kattegat til Skagerak er 25 %
større end volumenfluxen fra Østersøen. Dette kan forklares gennem at antage,
at vand ført fra Skagerak til Kattegat af understrømmen forlader Kattegat igen
med overfladestrømmen. Betragter vi forholdene i Østersøen, som er et bassin
med kun en åbning, har vi følgelig kun snit 2, dvs. (3.10) reduceres til
Q F = — A 2 u 2 (1 - ( S ^ 1 ) )
(3.11)
100
Vi finder nu A p u p = 2 A ' u 2 l s dvs. den totale udadgående volumenflux fra
Østersøen er dobbelt så stor som den indadgående volumenflux ved bunden.
Eftersom sApUp numerisk er lig Q F, ser vi , at ferskvandstilførslen (nedbør +
flodtilførsel *• fordampning) er positiv.
Knudsens hydrografiske teorem er på mange måder problematisk i praktisk
anvendelse på grund af kravet om stationaritet. Knudsen siger selv, at det ikke
er tilladeligt at betragte saltmsengden i Østersøen som konstant i et så kort
tidsrum som 3 måneder. Andre undersøgelser viser, at saliniteten i gennemsnit
for hele Østersøen i f.eks. 1951 blev forøget med 0.1
/oo. Ser vi omvendt på
de store tidsskalaer 1900 - 1950, synes saliniteten i gennemsnit at være øget
med ca. 0.5
/oo* Knudsens hydrografiske teorem kan med andre ord ikke benyttes
til et nøjere studium af volumen- og salinitetsfluxer i de indre danske farvande.
En anden begrænsning i anvendelsen af (3.10) eller (3-11) ligger i bestemmelsen af nettoferskvandstilførslen Q
Q = P + L - E •
(3.12)
hvor F, H, L henholdsvis står for nedbør, fordampning og flodtilløb i f.eks,
mm pr. år. Vi har forholdsvis kun få vanskeligheder med at bestemme P, fordi de
talrige meteorologiske stationer rutinemæssigt måler nedbør 2 gange dagligt.
Det skal bemærkes, at den årlige nedbør er næsten konstant
hele Østersøen - se Fig. 51.
nemlig 600 mm for
101
Fig. 51. Årlig nedbør (mm/år) for perioden I931-I960.
Flodtilførslen L er lidt dårligere bestemt end nedbøren. Målestationernes antal er ikke sammenligneligt med de meteorologiske . Alligevel er der en
rimelig god s tat ions dækning, som det fremgår af Fig. 52 og Tabel 4. Vi kan altså
konkludere, at L f.eks, på
årsbasis er tilfredsstillende godt bestemt, men
at de nødvendige målinger involverer meget arbejde. Det er derfor nærliggende
at stille sig spørgsmålet, om det er muligt at finde L på en anden måde. Vi
kender afvandingsområdet for Østersøen samt nedbøren over samme område - se
Figs. 51 og 53.
102
Fig. 52. Målestationernes "beliggenhed t i l bestemmelse af vandafløbet t i l
Østersøen.
103
Tabel k. Antal floder og deres totale afvandingsomrade omkring Østersøen.
Delbassin
Flodområder
Totalt
Undersøgte
Afvandet areal
2
km
Undersøgt {%)
1. Botniske Bugt
Finland
26
11
1U2000
Sverige
27
7
125000
Finland
18
UlOOO
Sverige
33
7
10
89
85
2. Bottenhavet
180000
71*
88
1+7000
89
3. Finske Bugt
Finland
13
5. Centrale Østersø
Sverige
Totalt 1, 2, 3, 5
29
lU6
9
50
79000
70
1
61U000 '
8U
1) Det totale afvandingsomrade = 37 % af Østersøens totale afvandingsomrade.
104
Fig. 53. Afvandingsområdet for Østersøen.
Kan fordampningen over afvandingsområdet "bestemmess vil flodtilførslen kunne
beregnes udfra nedbøren, hvis stationær tilstand haves som f.eks, ved årlige
middelværdier. Desværre, som det også vil fremgå senere, ligger vanskeligheden
i en bestemmelse af fordampningen E, så den foreslåede metode'må skrinlægges.
Den eksperimentelt bestemte flodtilførsel L er angivet i îlg. 5^.
105
Fig. ^k.
Årligt vandafljzfo (mm/år) for perioden 1931-19Ö0.
Det er vanskeligere at bestemme fordampningsleddet. Måler vi P, L, A~s
Ug, S 2 og Sg 1 , kan E beregnes udfra (3.11) og (3.12). Denne metode er klart
utilfredsstillende, fordi kravet om stationaritet i Knudsens hydrografiske
teorem var problematisk. Alligevel har metoden været benyttet.
En direkte bestemmelse af fordampningen er eksperimentelt vanskelig. Vi
kan måle den potentielle fordampning, der er fordampningen fra en vandmasse,
der befinder sig i et kar. Disse målinger, som undertiden også ses foretaget
ved små sjzJer, giver urealistiske resultater.
I en anden mere raffineret fordampningsmåling placeres et vandkar fyldt
med isotop-mærket vand i en vindtunnel. Den overliggende lufts hastighed kan
sammen med dens temperatur varieres inden for de i naturen forekommende
106
grænser. Fordampningen er ledsaget af en isotopfraktionering, således at den
overliggende lufts isotopsammensætning giver et mål på E. Metoden er en forbedring, men stadig dårlig, fordi den ikke er brugbar ved de vindhastigheder, hvor skumsprøjt giver store bidrag til E.
Fordampningen til et bestemt sted og tidspunktet afhænger af de meteorologiske parametre: Tryk p, temperatur T, vindhastighed u og leddet e - e, hvor
e er den mættede vanddamps tryk ved T, og e luftens vanddamptryk. Formelt kan
s
dette skrives som
E = fx(p) * f2(T) • f3(u) • (es - e)
(3.13)
Ifølge Eaoults lov er E strengt taget afhængig af saliniteten S, men da S i
Østersøen er lidet variabel og lille, ignoreres
damptryksformindskelsen.
(3-13) er trods det generelle udseende en approximation, fordi vi er gået ud
fra, at en separation i de variable er tilladelig. Vi vil yderligere gøre den
antagelse, at f. (p) = const, samt f^fF)52 const. Herved bliver E stadig en
funktion af T på grund af leddet e
- e. Det skal erindres om, at kold tør
luft mættes hurtigt, mens varm fugtig luft kan tilføres meget vand , før mætning
indtræffer. Vi har altså
E = f(u) (es - e)
(3.1*0
Herefter benyttes den grænselagsteori, som er beskrevet i afsnit 2.1. Vanddamps transport en ud i luftens grænselag bliver
E =- A §
(3.15)
hvor q e r den s p e c i f i k k e l u f t f u g t i g h e d ,
diffusionskoefficient.
q
=
0.623 .
p - e •
e
som a f t a g e r opad, og A den t u r b u l e n t e
Det e r v e l k e n d t , a t
n 0.623
^ — -p— • e
,, .,,/
(3.16)
dvs.
E
0.623 „ d e
p- A Tdz -
A * p,«
(z - O
.
,
(3.17)
/ £
(3.18)
1
hvor p er luftens massefylde. (3.18) kan også skrives som
107
A « pH zu
(3.19)
Dette resultat nåede vi frem t i l i afsnit 2 . 1 .
Indføres (3.19) i (3-17), fås
Idet
z — s — ôe
dz
6z
E
-
= rr
, kan (3.20) skrives som
oln z
0.623 .
_— p H
P
te
1 O
6 " ez0^ .
y—u_ u
_
,0 ,
\
f 3 2 l l
(3.21)
*
*
For u > 6.5 m sek
ln( /z ø )
bliver z 'v 0.6 cm. Indsætter vi talværdier for udtrykkene
o
i (3.21), og benytter vi, at
u = H U . lu (6/z )
*
oo
o
(3.22)
E = - 8.7 • 10~ U u 6 (e6 - ez )
(3.23)
bliver
E er angivet i cm vand pr. time, n^ er middelvindhastigheden i m pr. sek. i
6 m's højde, og e er i mb. For lavere vindhastigheder falder E med ca. 30 %•
e^ og e
fladen.
er luftens damptryk i henholdsvis højderne 6 m og Z Q over havover-
108
70 N
^-
60 N
30E
Fig. 55. Målestationernes beliggenhed til bestemmelse af
fordampningen over Østersøen.
109
Fig. 56 Årlig fordampning (mm/år) for perioden 1931
I960.
110
Pig. 55 viser beliggenheden af de målestationer, som skal udføre intensive vandfordampnings-undersøgelser. Vi bemærker, at nettet især udgøres af
kyststationer, samt at det er relativt åbent. Fig. 56 viser, at E ^ 1+50 mm/år i
gennemsnit for Østersøen - altså en anelse under den gennemsnitlige årlige nedbør P.
Hidtil har vi kun beskæftiget os med årlige middelværdier for Q, P, L og
E. I Fig. 57 er deres månedlige variation indtegnet. Vi ser her den store
vandføring i floderne i april - maj, som skyldes snesmeltning i flodernes afvandingsområder. Nedbøren udviser kun ringe variation året igennem, og fordampningen har maximum i vintermånederne. Dette maximum skylder sin oprindelse fra
et kontinentalt præget klima med kolde og kraftige vinde over en forholdsvis
varm Østersø.
T
i
i
i
i
i
1
1
1
1 — r
so
so
Fig. 57' FerskvandstilfØrslen til Østersøen (efter Brogmus).
Fig. 58 viser vandomsætningen i Østersøen i detaljer. Det skal erindres
om, at Knudsens hydrografiske teorem ikke alene kan anvendes i Sundet og Bælthavet, men naturligvis også ved f.eks, mundingen af Finske Bugt.
111
Fig. 58.
Som et kuriosum skal det nævnes, at de store mængder flodvand, der løber
ud i Østersøen, transporterer meget organisk opløst materiale. Dette har fællesbetegnelsen gulstof og "består især af humussyrer. Ved saliniteter på over 6 /oo
fælder en del af disse ud. Dette sker i den centrale del af Østersøen - se også
Pig. 59- Den resterende mængde gulstof er imidlertid stabil og kan i mange
tilfælde benyttes som et naturligt sporstof. Et eksempel herpå er givet i
Pig. 59» som visers hvorledes Østersøvandets blandingsgrad med Nordsøvandet kan
angives ved en gulstof-kone entr at i on. Et andet eksempel på anvendelsen af gulstof som naturligt sporstof finder vi i kapitel 5-
112
20
25
30%. 35
Fig. 59- Relationen mellem salinitet og koncentrationen af gulstof (gulligtfarvede opløste organiske stoffer) i Østersøen.
3.2.
Geostrofisk ligevægt.
Hvis en bevægelse opretholdes uden acceleration, gnidningskraft og
tidevandskraft, men gennem en balance mellem tyngdekraft, trykkraft og Corioliskraft, kaldes denne en geostrofisk strøm. Balancen, den såkaldte geostrofiske
ligevægt, skal bruges med en vis forsigtighed og kun på middelbevægelser.
Bevægelser med hurtige tidslige variationer har nemlig en betydelig acceleration i modstrid med én af de ovennævnte antagelser. Da vi har negligeret gnidning helt, kan en geostrofisk balance karakteriseres ved et lille Rossby-tal
defineret som
U/fL.
U og L er henholdsvis en karakteristisk horisontal
hastighed og længdeskala.
Bevægelsesligningerne får herefter følgende udseende
f v=
f u=
i iE
(3-2*0
p 8x
(3.25)
P 9y
_1 3p_
p 3z
g
(3.26)
Dette medfører, at vi for en for bevægelsen karakteristisk tidsskala har, at
Tf »
!3.27)
1
Vi antager nu, at p er konstant. Fra (3-2U) - (3-26) findes
3u
Sz
3v
3z = 0
hvilket betyder, at de horisontale
(3.28)
hastigheder u, v er uafhængige af dybden.
Denne bevægelsestype kaldes barotrop bevægelse, fordi vi blandt andet antog
P - p(p)
=
konstant. For vore meso-skala bevægelser har vi allerede valgt at
113
behandle f som en konstant. Herved "bliver
|ü
3x
+
|Z = o
3y
(3.29)
efter differentiation og summation af (3.2*0 og (3.25). Benyttes dette sammen
med kontinuitetsligningen
|^ + £*!*=0
3x 9y 9z
(3.30)
|^=0
3z
(3.31)
haves
dvs. vertikalhastigheden v er uafhængig af dybden. Som følge af vore antagelser
om stationaritet er w - 0 ved overfladen z = 0, og derved er v = 0 inden for
hele vandsøjlen. Bruger vi dette resultat på vertikalhastigheden w, ved en fast
bund z = h(x, y ) , får vi fra (1.16)
W
b^f + T t = °
(3 32)
-
dvs.
v.grad h = 0
(3.33)
Denne ligning fortæller, at væsken bevæger sig parallelt med bundkonturerne.
Hvis P varierer med stedet, hvorved trykflader og massefyldeflader ikke
er sammenfaldende under påvirkning af forstyrrelser, kalder vi bevægelsen for
baroklin. Herved får vi variationer i de horisontale hastigheder med dybden
foruden interne tyngdebølgebevægelse.
Den hydrostatiske antagelse (3.26) ser bort fra de vertikale accelerationer i forbindelse med tyngdekraften og den vertikale trykgradientkraft. Vi
har tidligere i afsnit 1.2 vist, at tyngdekraften fuldstændig dominerer den
vertikale Coriolis-acceleration.
Vi forsøger nu at lave en skala-analyse på den vertikale bevægelsesligning
dt
p 3z
g
U-J4J
Det fri vandspejls højde over bunden z = ri(x, y, t) kan omtrentlig sættes lig
114
med ri , som er en konstant. (3.3*0 vertikalintegreres , hvorved
p = - pg(z - n) + J
M
(3.35)
dz
dt
* IT
Benyttes (3-35) på (3.24), fås
^sf + !-"of]
(3.36)
Leddene ti i (3.35) og (3.36) betegner afvigelserne fra den rene geostrofiske
antagelse. Ved at benytte sædvanlig skala-analyse på kontinuitetsligningen
finder vi
ijïÊUâ
Ut
L
0.37)
y C
Her e r ¥ en k a r a k t e r i s t i s k v e r t i k a l h a s t i g h e d , og n
den g e n n e m s n i t l i g e vand-
dybde d e t pågældende s t e d . Vi b e t r a g t e r nu f o r h o l d e t
2
i • \ f]/t -1V)'
-6
Dette forhold har størrelsesordenen 10 i systemet Østersøen-Nordsøen.Vi kan
med andre ord ignorere leddet [ ] i (3-36), fordi Coriolis-accelerationen
fv » -TT-. Vi har hermed også vist, at den hydrostatiske ligevægtsbetingelse
Cl w
er en god approximation.
Cori o l i s - p a r arne t e r en f - 2o) sincp s a t t e v i k o n s t a n t . Rækkeudvikles denne
omkring en bestemt b r e d d e g r a d ep , f å r v i :
f = 2w sincp o + 2u c o s ( c p 0 ) ( <p-<po) . . .
Sammenligner v i d e t b o r t k a s t e d e l e d 2tu cosfep^) (<P—" <P©7
(3.38)
med
détkonstante
l e d 2w sincp , fås
t p - cpQ * |
(3.39)
hvor E er jordens radius. For meso-skala bevægelser på mi ddelbredde grader, hvor
L ^ l - 100 km, og ep ^ 1 målt i rent tal, er antagelsen om konstant Coriolis
-parameter god.
Vi vil endelig betragte det tilfælde, hvor massefylden varierer med
stedet. For enkelheds skyld sætter vi u = 0, hvorved (3.24) - (3.27) kan skrives
115
fvp = | ^
(3.1*0)
0
(3.1.1)
= J*
Vi har alment, at p = p(x, y, z, t ) , hvilket imidlertid på grund af stationariteten medfører p = p(x, y, a). (3.^1) leder til at p = p(x, z). Differentierer
vi (3.1+0) og (3.**2) partielt med hensyn til henholdsvis z og x og elimineres
herefter leddet
s2
_3_JL
9x3z
får vi:
3z
g ^ 10 '
pf 3x
m sek
p 8z
, f ^ 10
^-^J
sek
, p ^|.0fcfc:m, v ^0,1 - 1.© .m sek
. Volumen-
fluxen gennem et rumfangselement beliggende helt under vand bliver for stationær tilstand
Heraf følger, at " I E / f ^ * W/U.
Vi fandt tidligere, at
W^üo^10-3
U
L
dvs.
f£-103f
(3.45)
Heraf findes, at første led i (3.^3) er 10 - 100 gange større end andet l e d ,
hvorfor vi sætter
3z
pf 3x
(3
^6)
Hvis v aftager med dybden, er -jp > 0, dvs. -jp- < 0. Dette betyder, at
tungere vand findes på strømmens venstre side, når vi ser i dennes retning. Det
omvendte er tilfældet, hvis -r— < 0.
dz
116
Vi vil nu behandle vandstandsmålinger foretaget på begge sider af Store
Bælt kombineret med simultane strømmålinger i området. En vandstandsmåler
består i princippet af et næsten lukket rør» der kan sættes ned i havet.
mmmmttPig. 60. Princippet i en vandstandsmåler (mareograf)
En l i l l e åbning ved rørets nedre del sikrer mod, at voldsomme bevægelser i det
fri. ydre vandspejl forplanter sig t i l det indre. En flyder på det indre vandspejl overfører via et t r i s s e - og lodsystem information om vandstanden t i l en
lodretstående 9 langsomt drejende papirtromle.
I t a b e l 1 v i s e s f o r m e l e n t i l bestemmelse af normalvande ved 10 udv a l g t e s t a t i o n e r f o r e t g i v e t år i f o r h o l d t i l DNN. Videre v i s e s
s t i g n i n g s k o n s t a n t og i s i d s t e kolonne normalvandstand f o r 1988C^wrO
København
1890 - 1988
HA = 3 , 1 6 + 0,0233 (A - 1939)
4,30
Hornbæk
1890 - 1988
HA = 1,32 - 0,0014 (A - 1939)
1,24
Korsør
1890 - 1988
HA = 5 , 1 9 + 0,0566 (A - 1939)
7,96
Slipshavn
1890 - 1988
HA = 2 , 9 5 + 0,0777 (A - 1939)
6,76
Fredericia
1890 - 1988
HA = 3 , 1 4 + 0,0946 (A - 1939)
7,77
Århus
1890 - 1988
HA = 0 , 1 9 + 0,0446 (A - 1939)
2,37
Fr.havn
1894 - 1988
HA = - 3 , 0 9 + 0,0100 (A - 1941)
-2,58
Hirtshals
1892 - 1988
HA = - 5 , 2 0 - 0,0312 (A - 1940)
-6,70
117
• • tJ-Current
-•WO
——Average relotion
cm/sec.
Åh
JA
<£*?
-Ä?c/w
* x >
*J
^'^;
*iOcm
• • . - • » •
•so
->>••
•wo .
S-Current
11°f
_
8m-Depttr contour
Kattegat
Sprogô
Shpshsvn
SalftcSee
0
\
T! E
Fig. 6l. Relationen mellem strøm observeret ved Halvskov Rev fyrskib og havoverfladens hældning målt mellem Korsør og Slipshavn i Store Bælt.
Fig. 61 demonstrerer en lineær sammenhæng mellem strøm og vandstand, der
kan forklares ved hjælp af den geostrofiske approximation. Vi antager, at
(3.24) og (3.26) alene kan benyttes for Store Bælt, fordi strømmene her
primært er nord- eller sydgående:
^
1 IP
fv = — TT
p Sx
g
(3.H7)
(3.48)
"-pif
z = 0
*
x
118
Vi antager, at trykket i A er l i g trykket i B, dvs. sanmie barometerstand i de
t o punkter. Derefter "beregner v i trykket i C ved hjælp af
(3.Vf) og (3.U8).
p(c) = p o + - ^ Ax = pfv A x + p o
(3.^9)
p(C) = p„ + -sJ (- Az) = pg A z + p
(3.50)
Heraf findes
(3.51)
I eksemplet i Fig. 6l målte vi Az og v. Vi omformer (3-51) til Az = f/g Ax • v
og ser direkte, at vandstandsdifferencen er proportional med hastigheden, idet
f/g regnes for konstant i området. Ax er naturligvis afstanden mellem de to
vandstandsmålere.
Bælthavet
udviser tilsvarende hydrografiske forhold som Øresund - se
Fig. 58. Vi kan altså he tragte vandmasserne i Store Bælt som he ståen de af et
homogent overfladelag med massefylde p., hvorunder en anden homogen vandmasse
med massefylde p_ "befinder sig. Følgelig haves en veldefineret flade, som adskiller de to områder.
Fig. 62. I s oharfladernes hældning samt en front mellem to homogene vandmasser,
som bevæger sig på nordlige halvkugle som vist på figuren.
Vi betragter kun strømme i nord/syd retning som før, d.v.s. de ligninger,
vi benytter, bliver analoge til (3.^7) og (3.U8)
tg ß 1 - (f/g) v1
(3.52)
tg ß 2 = (f/g) v 2
(3.53)
119
Til sidst vil vi søge at finde vinklen y mellem grænseflade og horisontplan. Hertil benyttes den dynamiske grænsebetingelse, idet vi bemærker, at
p ~ p(x, z). Trykket i A og B kaldes henholdsvis p(A) og p{B). Vi beregner nu
trykændingen ved at gå fra A til B gennem henholdsvis vandmasse (1) og (2).
Fig. 63
For (1) gælder:
p(B) - p(A) «-(|*>
Ax + (|E)
C- Az)
:3.5M
og tilsvarende for (2} gælder:
p(B) - P(A) = (ff)
(- Az) + (|£)
Ax
(3.55)
Vi eliminerer nu p(B) - p(A) i (3.5*0 og (3-55) og får
^
_ _ Az -
Ax "
** 1
9X
2
(iE) - (iE)
3z
1
(3.56)
3z'
2
B e n y t t e s (3.Vf) og (3-W3) på ( 3 . 5 6 ) , f å r v i den s å k a l d t e Margules l i g n i n g
t
SY =
f plTl "
g
P V
2 2
P, - Pr
(3-57)
Hvis v i s æ t t e r v p = 0, b l i v e r
tgY=-
ÏT^X
t86
i
(3.58)
120
—
— —3
3
p - p > 0 og er ofte meget lille i havet ~ 10
g cm , dvs.p- ^ p ' v p ^ l .
2
1
2
1
Herved bliver en karakteristisk relation for y og ß
tgy * 1000 tg8 1 ^ 1000 f^
Benyttes (3.57) og (3.58) på de infinitesimale
(3.59)
størrelser p - p
og v
- v ,
kan det generelle udtryk for (3.58) skrives som
tgy = - |^ (p tg&)
(3.60)
Til sidst skal vi på en enkel måde udlede Heiland-Hansens ligning, som
giver strømfeltet relativt (eller hvad der er det samme: udtrykker strømmens
ændring med dybden absolut), når de hydrografiske parametre S, T er kendte,
og geostrofisk ligevægt forudsat. Vi benytter (3.^6) og erindrer om, at u af
bekvemmelighedsgrunde er sat lig nul. Vi betragter en tæthedsflade (isopykn),
som danner vinklen a med horisont al pi anen. på grund af vore antagelser om
strømfeltet, har vort arbitrært valgte flade formen p = p(x, z) - const. Vi
anvender samme fremgangsmåde, som da vi behandlede trykvariationen i henholdsvis x- og 2-retning i (3.^7) — (3-51) og finder
(3.61) indsættes i (3.^6)
9Z = _ £_ _9p_ t
Vertikalintegration af (3-62) over et dybdeinterval = z
Heiland-Hansens ligning
Z
, g j
- z
leder til
l
i
| ? d z = v(z ) - v(z ) *
dz
1
o
o
(3.63)
p(z })
f ~è»
l ' <tga>
:p> ^ ^ "
hvor er middelmassefylden inden for dybdeintervallet, og <tga> er middelhældningen af isopyknen. (3.63) og (3.6l) viser, at kender vi S, T og breddegraden, er højre side bestemt. Dette giver os hastighedsdifferensen i dybdeintervallet . Måler vi med en strømmåler v( z.), bliver strømfeltet fastlagt.
121
Kan vi finde en dybde i oceanet3 hvor v(z ) = 0 , kan strømfeltet også angives
absolut.
3.3.
Bernoulli's teorem.
Vi skal udlede Bernoulli's teorem for ideale væsker, hvori ingen varme-
ledning forekommer, og hvor Cori oli s-kraft en kan ignoreres. Bevægelsesligningen
for dette tilfælde kaldes Eulers ligning og har udseendet
—
= - - grad p + g
(3.6*0
Indføres et tyngdepotentiale, har vi, at
g = - grad x
(3-65)
Endelig betragtes funktionen P givet ved
F =J ^
(3.66)
fE = jiI? d n ' g æ l d e r at
•fa = pta= n ' grad P = i n ^ a d P
hvor n er en enhedsvektor. (3.66) implicerer
grad P = - grad p
(3-6?)
Ved benyttelse af (3.65) og (3.67) kan Eulers ligning skrives som
dv
+ grad (x + P + 5 V ' v ) = v x
3t
rot v
(3.68)
gennem b e n y t t e l s e af (8.12) i Appendix.
- » • - » - _
2
.
.
I ået følgende sættes v * v = c .Vi indfører nu feltlimer for de 2
vektorfelter v (strømlinier) og rot v (hvirvellinier) og antager stationær
tilstand. Herved fås
grad ( x + P + i c ) - v x rot v
(3.69)
Multipliceres (3.69) på begge sider skalart med v, bliver
v - grad (x + P + l c 2 ) = 0
(3.70)
122
2
dvs. x + p + § c er konstant langs enhver strømlinie, samtidig med at størrelsen, kaldet Bernoulli-funkt ionen, kan variere fra én strømlinie til en anden.
For stationære strømninger er strømlinierne og væskedelenes banekurver sammenfaldende .
->Multipliceres (3.69) på begge sider skalart med rot T , finder vi som
o
før, at x + P + i c e r konstant langs en hvirvellinie, samtidig med at Bernoulli-funktionen kan variere fra én hvirvellinie til en anden.
Er væsken- usammentlykkelig, bliver (3.69)
gz + ^ + § c - konstant langs en strømlinie
(3.71)
Hvis hastighedsfeltet kan beskrives ved et p o t e n t i a l f e l t v = gradcp , v i l
rot v være identisk l i g n u l , og (3.68) kunne skrives
| f + X + P + 5 C 2 = f(t)
(3.72)
(3-72)gælder over hele væsken til ethvert tidspunkt. Hvis vi ønsker det, kan
f(t) inkluderes i første led på venstre side af (3.72) fordi subtraktionen af
f(t) dt fra m ikke vil ændre pa v = gradcp •
Antages endelig en stationær potentialstrømning i en usammentrykkelig
væske, får vi
gz + -^ + i c = konstant
(3.73)
Dette gælder overalt i væsken til alle tidspunkter.
Til sidst skal vi se nærmere på (3-72), hvor p antages konstant. Benyttes v - grad tp, og g = - grad x» fås
f
•?•-•»
<t>2 * ^ * ' t >2
- f(t)
(3-7M
Kontinuitetsligningen bliver
4+4+4^ =0
(3.75)
3x
3y
3z
for - h < z < n(x s y> "t)s hvor bunden antages plan og horisontalt beliggende.
Randbetingelserne bliver
2
3t + g "n
+
i
for z = n(x, y, t ) .
2
2
y
(#)
(IE*) + v 3z
(1^)
3x' + ^3y'
= f(t)
(3-76)
123
Den kinematiske grænsebetingelse giver
Sep _ 3n
dz ~ 3 t
9cp 3TI
3x 3x
3CP 3T)
3y 3y
(3.77)
for z = n(x, y, t) og
(3.78)
3z
for z = -h
(3.75)er Laplace's ligning, som kan løses efter velkendte principper. Randbetingelserne i (3.76) og (3.77) giver derimod problemer, fordi vi skal angive
ep ved den ukendte overflade z = n(x, y, t). Vi søger i stedet at angive ep ved
z = 0 S som er overfladen i det uforstyrrede tilfælde. Uden at gå i detaljer
omkring dette spørgsmål gøres det med en sædvanlig pertubationsteknik.
Vi ser nu på strømforholdene ved f.eks. Øresund. Vi har tidligere set,
at saltholdigt vand strømmer ind (sydpå) ved bunden og brakvand ud (nordpå)
for en middelsituation. På skitsen er strømsituationen vist. CD og AB er horisontalflader; EB er springlaget, og CF den fri havoverflade. Vi antager, at
FD = h^
EA = K
DB = h
FB b e f i n d e r s i g ved Drogden, hvor kun en r i n g e mængde af det s a l t h o l d i g e bundvand p a s s e r e r . S k a l
v i have p r e s s e t bundvand o v e r ved Drogden, må v i for det
s t a t i o n æ r e t i l f æ l d e have e t s t ø r r e t r y k ved A end ved B, d v s .
gp 1 (h - h 2 ) + gp 2 h g = p(A) > p(B) = g p 1 ( h + h )
Heraf f i n d e s u l i g h e d e n
124
h„ >
2
P2 - Px
P x ^ i©
(3.79)
1
i P 2 " P x ^ ' 10' » dvs. h 2 > h x • 10*
Vi benytter nu (3.T3) til at undersøge forholdene omkring en to-lagsstrømning, som vi f.eks, finder i Sundet, Bælthavet eller ved flodudløb. Vi
går ud fra, at området består af to homogene vandmasser med henholdsvis et
a, S, og p , S„ adskilt af et springlag, som angivet i Fig. 64. Vi regner med,
at bunden er plan, samt at overgangs området er lille.
z =D
7//////^////////y////y/y;///;///?w//;//y;/W/yy///y/y/')
Fig. 64. Skematiserede oceanografiske forhold ved strømning i snævre farvande.
Trykdifferensen på hver side af skillefladen i overgangsområdet beregnet ved
B og C i dybden z andrager
gpx^D - y) + sp 2 (y - z) - ÊP-JD - z) « g(p 2 - P-I_) (y - z )
(3.80)
Massetransporten ud er l i g
L(zl D
Q
= j
l =
o
| P ^ dy dz
(3.81)
y
hvor b a s s i n e t s bredde almindeligvis afhænger af dybden. Antager v i , at tværs n i t t e t er rektangulært med bredden 1, får v i
D
Qx =
p - j ^ dz
(3.82)
125
T i l s v a r e n d e f å r v i for m a s s e t r a n s p o r t e n i n d
X
P 2 u 2 dz
Q2 =
(3.83)
o
som i øvrigt også kaldes reaktionstransporten.
Knudsens hydrografiske teorem giver
Q1 - Q2 = Q 0
(3.8U)
S ^ - S2Q2 = 0
(3.85)
hvor Q er ferskvandstilførslen til området (l) regnet med fortegn. Hvis
ferskvandstilførslen Q bliver tilstrækkelig stor, får vi ingen reaktionstransport Q p i overgangs området. Den kritiske værdi Q fås ved at sætte y = 0
og Q = Q. Ved benyttelsen af Knudsens hydrografiske teorem fås
Q2 = 0
D
samt
Q0 = ^
p u dz
"o o
= Q =
(3.86)
Vi anvender nu Bernoulli's ligning i punkterne B og C
Ap 2 = l u 2 p 2
(3.87)
B e h y t t e s (3.80) og approximationen p_ 'v C«*»$^ .
u 2 = / 2 g ( p 2 - p 1 ) ( y - z)
z < y
(3.88)
Det bemærkes, at trykgradientcraften er lig med nul i skillefladen, der ligger
uforandret på samme sted, fordi vi har stationær tilstand.
Vi benytter trykdifferenserne på samme enkle måde i det øvrige strømningsområde, dvs.
AP-L - l P±\
Ap
hvorved
o
=
2
= l nx
* poUo2 *
l u 2
o
2
(3.89)
(3.90)
126
\'ps(pz
- p^D-f)
u0=^2g(p2-
(3.91)
z >Y
po) ( D - z)
(3.92)
Vi kan nu heregne Q , Q og Q. s som bliver
Q 0 =f\/2g(P 2 -P 0 )
Q 1 = | ^ 2 g ( p 2 - Pl)
f?
(3.93)
^(D - Y)'
(3.9U)
Q 2 =f(/2g(p 2 - Pl ) f ?
(3.95)
Følgende relationer mellem Q , Q, og Q_ kan herefter opnås ved benyttelse af
(3.8U) og (3.85)
Q,
1 = S^ — S- Q.
o
(3-96)
Q
(3.97)
2
=
S2 : Sx Q0
Resultatet er angivet i Fig. 65, som viser, hvorledes fladetransporten Q^ og
re aktionstransporten Q p afhænger af ferskvandstilførsien Q . Q, og Q
normaliserede i forhold til den kritiske værdi for Q
Q„ = Q, = 1
O
X
medfører Q„ = 0,
= Q.
er alle
Vi ser straks, at
samt at Q n * 0 medfører Q, = Q„. Disse resul-
d.
O
J.
d.
tater følger naturligvis direkte af Knudsens hydrografiske teorem. Vi ser endvidere, at Q„ har et maximum, men ville snarere forvente, at Q p og Q
negativt korrelerede for alle 0 < Q <
1.
Q
og Q
var
er positivt korrelerede,
hvilket vi også på forhånd ville forvente. Ovenstående praktiske anvendelse af
Bernoulli's ligning kan med fordel anvendes i Kattegat-Østersø-systemet.
0.5*
+ 0.5
Fig. 65
127
Kapitel 4
Kattegat
4.1
Interne bølger.
Kattegat er et udpræget blandingsområde, idet Østersøvand mødes og blandes delvist med Nordsø - Skagerrakvand. Denne blanding er imidlertid ikke fuldstændig, hvorfor området udviser en meget s t a b i l lagdeling, som det fremgår af
Pig. 66 og 67.
Isotermer og isohaliner løber p a r a l l e l t med hinanden, hvorved gradienten
i massefylden b l i v e r s t o r . Den maximale gradient finder vi om sommeren, fordi
på denne å r s t i d er forskellen mellem overfladetemperaturen og bundtemperaturen
s t ø r s t - se Pig. 68. De 2 maxima i temperaturgangen for henholdsvis overfladen
og bunden indtræffer med en faseforskydning på godt 1 måned, hvilket kan forklares ud fra en eendimensional tidsafhængig varme diffus ionsligning.
! , i g \ 6 6 ; j . T e m P v r a t u r e n S v e r * i k a l f o r d e l i n g i et snit f r a Øresund op gennem Kat
tegat efter observationer f r a havundersøgelsesskibet « W ^ m k r L g X l 9 ? 77*
Størst variation med dybden findes i Sundet og det sydlige Kattegat.
*
128
Fig. 67. Salinitetens v e r t i k a l fordeling i et s n i t op gennem det ø s t l i g e Katteg a t . I Øresund og det sydlige Kattegat findes ofte en meget brat overgang
mellem det forholdsvis ferske overfladelag og bundlaget med høj s a l i n i t e t .
I det nordlige Kattegat e r overgangen mere gradvis.
11 m "iv""'*'"xi vu viii iv
x
xi xii
Fig. 68. Vandtemperaturens å r s t i d s v a r i a t i o n ved Anholt Uord Fyrskib.
Den optrukne l i n i e viser variationen i overfladen, og den stiplede
l i n i e variationen ved bunden (28 m).
På grund af den s t a b i l e lagdeling kan interne bølger optræde. De kan observeres
ved at fremskaffe t i d s s e r i e r på strøm , s a l i n i t e t o g / e l l e r temperatur,
neutralt balancerede undervandskuglers vertikalbevægelse e l l e r ved at måle den
maximale partikel-koncentrations vertikalbevægelse. De interne bølger kan ud-
129
v i k l e s ved e t s k i b s p a s s a g e , f o r u d s a t a t pyknoklinen l i g g e r h ø j t (dødvande),
ved v e k s l e n d e b a r o m e t e r s t a n d , ved a t 2 e l l e r f l e r e o v e r f l a d e b ø l g e r med f o r s k e l l i g e b ø l g e t a l s v e k t o r e r mødes e l l e r e n d e l i g som f ø l g e af t o p o g r a f i s k e å r s a g e r
(ujævn bund e t c . ) .
Sea surface
s urface
Trajectories
F i g . 63» Fremadskridende i n t e r n b a l g e samt en i l l u s t r a t i o n af fænomenet "dødvande" .
I det følgende v i l i n d l e d n i n g s v i s n o g l e enkle u d l e d n i n g e r f o r i n t e r n e b ø l g e r s
f a s e h a s t i g h e d e r b l i v e g i v e t . Senere v i l d i s s e eksempler b l i v e b e h a n d l e t mere
generaliseret.
F ø r s t tænker v i o s , a t d e t t u n g e Nordsø - Skagerrakvand og d e t b a l t i s k e
vand h a r de k o n s t a n t e m a s s e f y l d e r p
og p_ a d s k i l t af en i d e a l f l a d e . Vi f o r -
u d s æ t t e r , a t de sædvanlige bølge a p p r o x i m a t i o n e r e r o p f y l d t , d . v . s . gnidning,
i k k e - l i n e æ r e l e d , t i d e v a n d s k r æ f t e r e t c . kan i g n o r e r e s . I n t e r n e b ø l g e r s s v i n g n i n g s t i d T e r s t o r sammenlignet med k o r t e o v e r f l a d e b ø l g e r s s v i n g n i n g s t i d se a f s n i t 2.4»
e t døgn.
De i n t e r n e b ø l g e r s T l i g g e r t y p i s k mellem 15 min. op t i l
ca.
Hvis T ~ e t døgn, s k a l v i medtage C o r i o l i s - a c c e l e r a t i o n e n i vore
b e r e g n i n g e r . Da T i m i d l e r t i d b l i v e r mindre med s t ø r r e s t a b i l i t e t e r det r i m e l i g t for Kattegat at sætte
/
£Z
bt
2 ID X V
/
»
(4.1)
1
I det følgende undersøges b l o t b ø l g e b e v æ g e l s e r i xz - v e r t i k a l p i anen.
B
A ATI » 0
h-,
(0
—
Ah = Ti
C
h2
(2)
h„ + Ah
d
— v
130
Vi antager overfladen i h v i l e f o r a l l e t d . v . s . AT| = 0,
p(C) - p(D) = g Ah(p 2 -
P1)
(4.2)
Bevægelsesl igningen udtrykker
bu
bt
1 bp
p_ bx
(4.3)
(4.2) og (4-3) giver
bu
bt
. bh
bx
(4.4)
P2 " Pi
hvor g 1 = g — — — — kaldes den reducerede tyngdekraft. Kontinuitetsligningen
p
2
giver
bt
(4.5)
^bx
Vi gætter på løsningen
ûh = 11= a cos(k x - tu t)
(4.6)
Fasehastigheden f o r denne interne tyngdebølge b l i v e r da
= y g' h
(4.7)
Vi tillader herefter, at det fri vandspejl må udføre svingninger. Situationen
bliver som antydet i nedenstående hjælpefigur.
—
n-,
A
•
(i)
^
= Ah 1
+
Ah 2
pn
h
_
—
—
—
—
"
+ Ah
A h 2 = Tig
'
C
h2
(2)
p2
k p + Ah
fix
k
*
1
y
131
Trykforskellen mellem IB og CD ;
P(A) - P(B) = g Pl V
g p ^ A ^ + Ah2)
(4.8)
P(C) - P(D) = g Pl ^
+ g p2 Ah2
(4-9)
Vi b e n y t t e r nu b e v æ g e l s e s l i g n i n g e r n e a n a l o g t t i l f ø r
öu^
1
Öp 1
s
öh 1
=
öT" ~71öx" '"
g
^öäT
bh2
+
bx")
oli,
=
"
g
bu2
^ bp2
p^ bh^ bhg ^
bt~ = ~ 7 2 bx" " " g (p2 bx + 5x ) = ""
ööT
s
5
fl ^ÜX
^
gf
p2 bx "
bx
(4.10)
(4.11)
Da vi endvidere skal benytte en kontinuitetsligning, tager vi
^ +^ - = 0
bx bz
(4.12)
som udgangspunkt.
( 4 . 1 2 ) m u l t i p l i c e r e s med dz og v e r t i k a l i n t e g r e r e s f r a bund t i l o v e r f l a d e
| | dz + w(ll) - w(-D) = 0
(4.13)
Antager v i en p l a n h o r i s o n t a l bund haves w(-D) - 0 samt
fordi ~
/ u r—' ~ c„/U »
1 , h v i l k e t kommer t i l a t fremgå af de senere u d r e g -
n i n g e r . I d e t v i vælger D »
T| , b l i v e r ( 4 . 1 3 ) med god t i l n æ r m e l s e
D g~g
(4.15)
Vi b e n y t t e r nu (4*15) og h u s k e r , a t v i nu h a r en l a g d e l t væske. Det b e t y d e r , a t
v i s k a l a r b e j d e med t o k o n t i n u i t e t s l i g n i n g e r - én f o r h v e r vandmasse :
bu.
bh
A
bu„
bh
h
132
Fra (4.10) og (4.16) fås
bt
bt
bx
ved at d i f f e r e n t i e r e (4-10) og (4.16) med henholdsvis x og t og derefter eliminere
b u1
btbx
Tilsvarende fås f r a (4-11) og (4.17)
— ^ = g h - 1 — 1 + g ' h —f
p
M
2 bx
^ bx
(4.19)
Vi sætter nu
T| = a cos(k x - ü) t )
(4.20).
T|2 = "b cos(k x - tu t ) - h 1
(4.21)
fordi (4.18) og (4.19) angiver, at vi skal finde samme k, m i de 2 l a g . Fra
(4.18) finder v i herefter
- m2 a + ID2 b = - g h 1 k 2 a
(4-22)
og f r a (4.19)
- u)2 b —g h - 1 k 2 a - g' h k 2 b
*- Po
Benyttes (4.22) og (4-23) finder vi
2
ti)2 - g' h
k2
2 p2
2
(4.24) fører t i l en andengradsligning for u) af formen
å
2
Aæ+Bu) + C= 0
(4.23)
133
Vi gjorde t i d l i g e r e den bemærkning, at interne bølgers svingningstid e r s t o r
d . v . s . (B ~ 0. Følgelig haves for (4.24)
CD2 g h 2 ~ k 2 = g g» ^ h 2 k 4 - «)2(g h 1 + g« h 2 ) k 2
(4.25)
Heraf findes fasehastigheden
_ +\/ . h 1 h
c,
J - 5 -J.V ë«• T - ' T « f ~ k "—V
(4-2«)
K +h
som er gyldig for lange interne bølger.
Hvis derimod h« » h haves korte interne bølger med fasehastighed
c.
= tfg» ^
(4.27)
Omvendt, hvis h . ?5> h - d . v . s . springlaget l i g g e r dybt - fås igen den interne
tyngdebølge med fasehastighed
c . = \/g» h
analogt t i l (4-7) og (4.27)
Dette betyder, at intern bølge a k t i v i t e t på store dybder er ikke ledsaget af
f o r s t y r r e l s e r ved det f r i vandspejl.
Forholdet mellem det f r i vandspejls amplitude og den indre skilleflades
findes af (4.24) :
1)
h. s t o r (-» eo) medfører at a ^ 0 uafhængig af h p .
P? " Pi
2)
h0 stor (-» ») medfører at a ~
er a l t for s t o r .
3)
Hvis h ~ h
b uafhængig af h , når blot h
P2 -
og begge store fås at a ^
ikke
P-i
'
b
Det foregående kan udledes mere elegant ved at benytte den lineariserede
Bernoulli ligning givet på formen
-|t
+ez +
?=0
(4,28)
hvor v = - grad ep samt kontinuitetsligningen
^f +^ = 0
öz^
bz
(4.29)
134
Nedenstående hjælpefigur viser situationen. Vi bemærker i særdeleshed, hvorledes de 2 koordinatsystemer (x, z) og ( x ' , z') = ( Z j 2 , ) e r ±nälagi
.
Z 4v 2 '
(4«28) giver for område ( i )
P
ê
1 * "Pi
e l l e r idet
P1
~ = _
z
'
+
Pi
~
(4.30)
öcp
+ _
(4.31)
z1 + h,, =
g
2
+
g
h
i
Tilsvarende bliver
= P-, g *-, - p 2 g s + p 2
bcpo
_
(4.32)
eller
2
P1 S ^
- « _ g z +
P2
Pn
+
öcp2
__£
Ot
(4.33)
Vi benytter herefter resultaterne fra afsnit 2.4 og afsnit 8.8 i Appendix. Overfladebølgen og den interne bølge kan enten være i fase e l l e r i modfase
med hinanden. Vi vælger t i l at begynde med den første mulighed og sætter
135
TL = a cos(k x - ID t ) + h .
(4-34)
Tl2 = b cos(k x - © t )
(4.35)
Løsningerne f o r ep og ep- s k a l n a t u r l i g v i s t i l f r e d s s t i l l e
( 4 . 2 9 ) . Vi g æ t t e r
på l ø s n i n g e r af følgende g e n e r e l l e form
 t )
(4-36)
s i n ( k x - tu t )
(4-37)
Vi s k a l nu finde de 6 ubekendte a, b , A, B, D og E ved hjælp af de 6 l i g n i n g e r
( 4 . 3 1 ) t ( 4 . 3 3 ) og ( 4 . 3 4 ) - ( 4 - 3 7 ) . B e t i n g e l s e n , a t t r y k k e t s k a l være k o n s t a n t
ved h a v o v e r f l a d e n , g i v e r ;
Au>e
k h
1+Btue"
k h
1+ga=0
(4-38)
ved passende v a l g af t r y k k e t ved z = 0.
Den k i n e m a t i s k e g r æ n s e b e t i n g e l s e ved o v e r f l a d e n l e d e r t i l
A k ek h1 - B k e "
k h
1 + to a = 0
(4.39)
Den k i n e m a t i s k e g r æ n s e b e t i n g e l s e ved s k i l l e f l a d e n g i v e r 2 l i g n i n g e r
A k - B k
+ ü)b = 0
(4.40)
D k - E k
+ tub = 0
(4.41)
Den dynamiske grænsebetingelse ved skillefladen, der indeholder betingelsen
om kontinuerte trykovergange, giver
p2(D (B + E m) + p 2 g b -
Pl (A
CD + B UD) - p1 g b = 0
(4.42)
Normalhastigheden ved den plane bund 2 = - h_ e r l i g med n u l d . v . s .
D k e"
k
h
^ r E k e k h*<= 0
(4.43)
Vi løser nu ligningssystemet (4.38) - (4.43) som er lineært og homogent i de
6 ubekendte a, b, A, B, D og E. Betingelsen for løsning fås ved at sætte
136
l i g n i n g s s y s t e m e t s determinant l i g med n u l d . v . s .
(D)
(B)
1
1
(B)
"
- e"k
-
h
2
ek
h
2
1
(A)
(b)
(a)
P1
p1
P-i"P2
P
p
P2*
2
"
0
0
0
0
2
u
0
0
0
k
= o
-
-
1
U)
1
0
k
- k h.
e
1
k h„
e
1
0
- k h„
e
1
k h„
e
1
0
CD
k
E f t e r f l e r e mulige f e j l b e r e g n i n g e r f i n d e r v i omsider den såJcaldte S t o k e ' s
ligning :
m ( p 2 coth k h 2 coth k h
+ (p2 -
P-j) S
*
+
p
) - œ g k(p2(coth k h
+ coth k h )) +
(4.44)
=0
2
9
( 4 . 4 4 ) e r k v a d r a t i s k i ID , h v o r f o r d e r e k s i s t e r e r ' 2 l ø s n i n g e r f o r w .
Vi h a r nu e f t e r nogle u d r e g n i n g e r
(4.45)
TL = a cos(k x - m i ) + h .
(4.46)
TL = b cos(k x - ti) t )
tp1 = - a( ^ cosh k ( z - h^) + jj- s i n h k ( z - h ) ) s i n ( k x - ui t )
*2
b o)
k
b = afcosh k h
(4.47)
cosh k ( z - h„)
s i n h k h„
- %—T
s i n ( k x - eu t )
sinh k h )
(4.48)
(4.49)
Kender v i o v e r f l a d e f o r s t y r r e l s e n d . v . s . a, k og CD, e r h e l e 2 - l a g s modellens b e vægelsesmønster f a s t l a g t f o r e t g i v e t pararaetersæt p , p , h . , h „ .
Hvis h^ og h_ begge e r s t o r e b l i v e r ( 4 . 4 4 ) approximative
4
2
tu (p^j + p 2 ) - 2 CD g k p 2 + (p
2
-
p ) g
2
k
= 0
(4.5O)
137
fordi coth k h , ~ coth k h_ ~ 1, Løsningen til (4.50) bliver
2
æ
=
g k ^2±Pj)
(A
_
(4.51)
P 2 + P1
vælges plus-tegnet b l i v e r
æ2 = g k
(4.52)
hvorved (4.49) medfører
b = e~ k h 1 a ~ 0
(4-53)
Overfladebølgen og den interne bølge er i fase, mens den interne bølgeamplitude dæmpes exponentielt med skillefladens dybde. De 2 potent i al funkt ioner
tp og ep kan i dette tilfælde skrives som
ek(2 " V
tp1 = -^f
cp2 = - ^ e
k
t
2
-
h
l )
süi(k x - w t )
(4.54)
s i n ( k x - ü ) t)
(4.55)
(4.54) og (4.55) v i s e r , at for en dybt beliggende skilleflade v i l t i l s t e d e værelsen af en diskontinuitet i massefylden ikke påvirke bølgeforstyrrelserne
i nærheden af s k i l l e f l a d e n .
Vælges derimod minus-tegnet i (4.51) fås
Po -
2
P
Svingningstiden b l i v e r for dette t i l f æ l d e meget større end for (4.52). Vi f i n der på samme måde som t i d l i g e r e at
b =
e k h1 - a
^
P2 -
(4.57)
P-i
hvorved b 5€> a. Desuden v i s e r (4.57) at a og b har modsat fortegn d . v . s . overfladebølgen er faseforskudt 180 fra den interne bølge. De 2 potent i al funkt i o ner tp og ep« kan vises at blive
», = —
- £-£ e" k
2
sin(k x - u> t )
(4.58)
138
'2 " - T^T; V e k
z Bi (k x
*
(4 59)
-• *>
-
P o t e n t i a l f u n k t i o n e n ep a f t a g e r , n å r a f s t a n d e n t i l d e t f r i v a n d s p e j l
af-
t a g e r , s å l e d e s a t i nærheden af d e t t e e r f o r s t y r r e l s e n f r a den i n t e r n e b ø l g e
n e g l i g i b e l . På t i l s v a r e n d e måde a f t a g e r ep med dybden u n d e r s k i l l e f l a d e n
for
a t b l i v e l i g med n u l på s t o r e dybder. Ydermere h a r ep og tpp modsat f o r t e g n .
Derved b l i v e r v e r t i k a l h a s t i g h e d e r n e på h v e r s i d e af s k i l l e f l a d e n l i g e s t o r e ,
hvorimod h o r i s o n t a l h a s t i g h e d e r n e b l i v e r modsat r e t t e d e . Det g i v e r a n l e d n i n g
t i l s t o r e h a s t i g h e d s g r a d i e n t e r hen o v e r s k i l l e f l a d e n , h v i l k e t e r t e o r e t i s k
m u l i g t , f o r d i v i h a r f o r u d s a t en i d e a l væske, I r e a l e væsker kan v i ikke have
modsat r e t t e d e strømme ved s k i l l e f l a d e n ,
s e l v om v i dog også h e r f i n d e r s t o r e
h a s t i g h e d s æ n d r i n g e r omkring s k i l l e f l a d e n .
T i l s i d s t a n t a g e s k h £ s t o r og k h
l i l l e . Med d i s s e b e t i n g e l s e r b l i v e r
Stoke's ligning :
oo ( p 2 coth k h . + p . ) - i u
+ ( p 2 - Pi) S*
fc2
g k p«(l + coth k h ) +
- °
(4.60)
Som f ø r kan v i angive 2 l ø s n i n g e r t i l ( 4 . 6 0 ) . Den f ø r s t e af d i s s e g i v e r
2
u> = g k
(4.61)
b = (oosh k h
*1
=
*2
=
- sinh k h ) a « e
e
- "
*(Z "
h l )
Bin(k
X
—k h
2 * a
- » *)
(4.62)
<4*63)
Her e r o v e r f l a d e b ø l g e n og den i n t e r n e bølge i f a s e og p o t e n t i a l e t e r en k o n t i n u e r t f u n k t i o n ved s k i l l e f l a d e n , da ep. = ep,,. '
Vælger v i den anden l ø s n i n g t i l ( 4 . 6 0 ) haves :
k
«
•g
9i
= b(P2
+
qtoothkh
1
p
Î (p g ooth2k
ep0 = - b
T
2
p
e~ k
1
hl
1
h
+
+
(4.64)
Pl
l ) ( * cosh k ( Z - h n ) +
P1)
sirül k ( z
( p 2 ~.-Pi) S
"""Tu" i—v , '
coth k h . + p
c
- V>
°sh k(z + h2)
. ',—r
s i n f k x - LU t )
x
s i n h k h_
'
(4.65)
(4.66)
\i-wj
139
b =-LÜ-ekhi . a
(4.6?)
P 2 - Pi
Her e r overfladebølgen og den interne bølge i modfase, potentialet e r en
diskontinuert funktion nærved skillefladen og endelig e r b » a.
Til sidst v i l vi søge at beskrive interne bølger under mere generaliserede
forhold. Vi v i l antage, at massefylden p v a r i e r e r med dybden samt at den interne
bølges svingningstid b l i v e r sammenlignelig med inerti-perioden, hvorved betingelsen i (4.1) bortfalder. Vi v i l som t i d l i g e r e kun betragte de lineariserede
bevægelsesligninger f o r en ideal væske.
En vandmasse med konstant s a l i n i t e t og entropi antages at være i hvile i
forhold t i l jorden. Derved b l i v e r vandmassens temperatur og dermed den potent i e l l e massefylde konstant. For dette tilfælde f å r vi
bp
< 4 - 68)
a r + pr * - °
hvor index r henviser til den i ro værende, ideale og isentropiske vandmasse.
For en sådan gælder
dp r = h 2 dp r
'
(4.69)
—1
hvor h ~ 1500 m sek er lydens hastighed i havvand. Integreres (4.69) får vi
ved at benytte (4-68)
p„(*) « P0 « P ( - g
o
I
o
J
^f)
h
(4.70)
Virkelige vandmasser er ikke isentropiske, idet entropien af en væskedel
varierer som følge af molekylær diffusion og strålingsprocesser ved havoverfladen. Ser vi imidlertid bort fra disse effekter, bliver kontinuitetsligningen
.%..„
v ^ . - i j g -£g«,
dt
h * or
(4.71)
h*
fordi den hydrostatiske approximation
d p ~ - p g dz
gælder med god nøjagtighed i havet.
Leddet
£~f w «
li
1 d . v . s . (4.71) b l i v e r
(4.72)
140
§E + | Z
bx
+
by
^
o
=
bz
(4.73)
Heraf følger
dt
bt
(4.74)
bz
Heri l i g g e r n a t u r l i g v i s at p = p(z, t ) .
Sidste led i henholdsvis (4-71 ) og (4.73) varderes mod hinanden :
P S, w
h2
/
— *
/ £H ~ Ci In.. 2, hvor Z e r en k a r a k t e r i s t i s k dybdeskala i meter.
/
bZ
ÖW
n
For kystnære farvande b l i v e r r ~ »
o»
w
-tL-|— .
P -
Det e r en erfaring at overalt i havet er
dette på (4«70) sammen med Z ~ 100 m fås
p
K
~ p
'^p'N/
r—
o— r —
P,
«
1 d . v . s . p ~ p . Benyttes
(4.75)
= p„,
m
- se nedenstående hjælpefigur :
z=T|
^
z=0
~
k±
p(z)
z = -h_
wiïrmmïïïmmïïfïïiïïïïïïmmm/
Vor lineariserede bevægelsesligning lyder
bv
„ ->
r r +
2 ( M X V
bt
-»
- V p w - 7 p
P
" Pm
1 „
= - - V
p
-»
p +
g
på grund af (4.75).
Heraf kan v i opnå de 2 horisontale bevægelsesligninger
(4.76)
141
bt
p bx
m
\4"((J
hvor Co r i o l i s - a c c e l e r a t ionen e r approximeret på sædvanlig v i s og i ø v r i g t a n t a g e t k o n s t a n t . Vi b e t r a g t e r nu den v e r t i k a l e b e v æ g e l s e s l i g n i n g : Den r e s u l t e r e n d e
k r a f t på en væskedel e r o m t r e n t l i g l i g med
dw
dt
bw
A V p
hw
A Y p
* m - bt
A Y p
" m '
* m bt
=
/
0
Pdrift
minus
tyngdekraft
(4-79)
hvor opdriften ' - ' - T - t û z A A = - v A V
bz
bz
og t y n g d e k r a f t e n = g AV*p. ( 4 . 7 9 ) kan h e r e f t e r s k r i v e s som
bt
pm bz
r
m
pm
m
g
t 4
*00'
r
De ligninger, vi skal benytte i det følgende, er (4.73), (4.74), (4.77), (4.78)
og (4.80) d.v.s. 5 ligninger med de 5 ubekendte u, v, w, p og p. Vi bemærker,
at ved fra starten at antage en inkompreBsibel væske kunne (4.73) og (4.74)
nedskrives direkte.
Kombination af (4-77) og (4.78) giver
(SL. + f 2 ) u = _ 1_ öliL _ £ ö£
\
+2
o t
+
;U
bt2
,
8
pm b x b t
r
m
pm by
r
m
t4 01
Pmöyöt
Pinbx
^
( 4 . 8 1 ) og ( 4 . 8 2 ) d i f f e r e n t i e r e s h e n h o l d s v i s med hensyn t i l x og y ,
'
,
^
'
hvorefter
de adderes
(ÊL
\ . 2
bt
+ f 2 )J (ÖE + Ê2)
^bx
by'
=
_ 1 v 2 &•
pr
H bt
m
83)
U.03;
(A
Da r— + r— = - r— kan (4*83) r e d u c e r e s t i l
bx
by
bz
( ö L + f2) &
;
^öt2
bz
=
I?2b£.
tø H b t
hvor V H = t *^ + j r- . Benytter vi (4.8O). og (4-74) bliver
,
g,
(.4.Ö4J
142
<êl + *** - - i
fe
(4.85)
H
ot
m
hvor
F
2
s
bz
= -
(4.86)
e r k v a d r a t e t på den s å k a l d t e Brunt - Vais "ål ä f r e k v e n s , d e r u d t r y k k e r , hvor s t a b i l lagdelingen e r .
Fra ( 4 . 8 4 ) og ( 4 . 8 5 )
2
(
™2
ot
2
+
f
}
?
+
72
öz
+
(-2
Ot
* )
V
HW * °
(4.8?)
Vore g r æ n s e b e t i n g e l s e r e r følgende :
p = 0 f o r z = Ti(x, y , t )
(4>88)
Ti a n g i v e r amplituden på f o r s t y r r e l s e n ved det f r i v a n d s p e j l , som a n t a g e s a t have
sådanne dimensioner, a t k a p i l l a r - e f f e k t e r kan i g n o r e r e s .
w = 0 for z = ~ h
(4.89)
(4*88) kan også s k r i v e s som
,
(
,
.
0
g
P
)
^
,
.
.
(4
.90)
eller
V
Hbt"
V
m
|
W =
°
(4.91)
fordi w ^ H + u g + v ^ ^ l l . Benytter vi (4.84) på (4-91) bliver vor endelige grænsebetingelse i overfladen
2
(
rr2
ot
+
f2)
o 7 -
g v
l
w s 0 f o r
z
= °
(4.92)
Vi søger efter bølgeløsninger, d.v.s. funktioner med en periodisk tidsafhængighed af formen F(k • r - æ t) hvor
2
b F
—£+<*>
2
F- O
(4 . 93)
143
således at
v2
~~2
bt
2
" "
(4-94)
(4.94) indsættes i (4.87)
^-|-4^4^w=0
C4.95)
bz
u) - f
Vore tidligere grænsebetingelser bliver samlet :
|f + - £ * - £ v | w• - 0 for * = 0
w = 0 for 2 = - h
(4.96)
(4.97)
Vi antager, at w kan separeres
w = W(x, y, tH(z)
(4-98)
(4.98) giver 'inasat i (4-95) t i l (4.97) at
2
2
* " + K "J" * = 0
(4-99)
v
^ = 0
for 2 - - h
(4.IOO)
ft - £ - f « o f o r z « 0
v
(4.101)
Funktionen W(x, y, t ) i (4*98) angiver variationen i horisontale r e t n i n g e r .
Den må være løsning t i l
2
vi: w + w ~ f
h
2
w» o
(4.102)
v^
Antager v i nu en plan harmonisk bølge som løsning t i l (4« 102), har v i
O
O
V„ = - k
O
analogt t i l b / b t
k2=i£zjf
O
O
= - tu
og dermed
(4<103)
v
Vi skal bestemme parameteren v, hvilket kan gøres ved at benytte grænsebetingelserne. For enkelheds skyld sættes H" lig med en konstant og vi løser (4*99)
hvorved
144
ty = A s i n H ( Z + h )
(4.104)
2
2
2
IT — u>
hvor K = •
— . Grænse"betingeisen w = 0 f o r z ~ - h e r o p f y l d t i ( 4 . 1 0 4 ) ,
v
( 4 . 1 0 1 ) g i v e r anvendt på ( 4 . 1 0 4 )
H cos K h - £ *2 s i n n h = 0
v
(4.105)
h v i l k e t medfører
2
tg K h .
n
2
S_=_g_
(4 . 106)
2
-5
-2
I havet e r gennemsnitsværdien f o r E" omkring 10
sek . Hvis v i kræver,
2
2
at N - u> > 0, s k a l v i indskrænke os t i l at b e h a n d l e b ø l g e r med p e r i o d e r over
ca. -g t i m e . Vindfrembragte b ø l g e r e r deraied u d e l u k k e t i denne sammenhæng. For
d i s s e b ø l g e r g æ l d e r i ø v r i g t , a t C o r i o l i s - a c c e l e r a t i o n e n kan i g n o r e r e s - . se- afsnit
2.4.
( 4 . I O 6 ) l ø s e s g r a f i s k . F o r r e a l i s t i s k e v æ r d i e r af h , N, w v i l
højreleddet
i ( 4 . 1 0 6 ) l i g g e meget t æ t på n h - a k s e n . Det f ø r s t e skæringspunkt i n d t r æ f f e r
K h «
for
1, så b e n y t t e r v i en f ø r s t e - o r d e n s approximation f o r t g H h f å s
2
K
h -
y h
(4.IO7)
S
De e f t e r f ø l g e n d e
skæringspunkter l i g g e r a l l e meget t æ t på K h - a k s e n s å -
l e d e s a t (4.106) approximative kan s k r i v e s
tg H h « 0
(4.IO8)
hvorved
n h = nit i
n = 1, 2, 3 r . . .
(4.109)
Vi h a r i det foregående kun b e t r a g t e t én l ø s n i n g t i l (4«99)j roen v i kan angive
u e n d e l i g mange l ø s n i n g e r , d e r både t i l f r e d s s t i l l e r ( 4 - 9 9 ) samt de t i l h ø r e n d e
g r æ n s e b e t i n g e l s e r . Disse l ø s n i n g e r k a l d e s e g e n f u n k t i o n e r og t i l h v e r e g e n funktion e r en p a r a m e t e r v n t i l k n y t t e t . Den fuldstændige l ø s n i n g t i l
skal d e r f o r indeholde en sum af de ovennævnte e g e n f u n k t i o n e r ,
(4.95)
d.v.s.
æ
w = S W (x, y, t ) + (a)
n=o
(4.110)
145
= A
%
o(z
+
h
(4-111)
>
vo = g h
\|r ' s s t ø r s t e v æ r d i f i n d e s f ø l g e l i g i
i|Tf
= A sin n %
n
n
(4.112)
overfladen.
( z + h)
(4.113)
2
*T
2
Is - tu 2
V —
/ n TC\2
(4.114)
iji • s s t ø r s t e v æ r d i optræder i
h < z < 0
intervallet
f o r a l l e n > 1.
Fedenfor e r de 3 f ø r s t e egenfunktioner i|i , ty og i|i
skitseret,
2=0*
z= -il* 777777
iinunininuiuiiiMniiiiiimnniiiiiNtiwmiwwminmiw}}
Vi a n t a g e r h e r e f t e r en p l a n b ø l g e l ø s n i n g f o r (4.102) s å (4.110) b l i v e r
00
w
S
"
A
n ^ 1 ^
n=o
cos
(k1
x
n
+ k
2
ny "
w
"^
(4.115)
hvor de 2 h o r i s o n t a l e b ø l g e t a l
1
2
1,n
,
!
2
2,n
2
_2
ü) - f
(4.116)
146
Vi kan vælge a t b e s k r i v e (4-115) ved hjælp af det v e k t o r i e l l e b ø l g e t a l k e l l e r ,
hvad der ppr:
r i n c i p i e l t e r det samme, s æ t t e k~
= 0 . Herved r e d u c e r e s ( 4 . 1 1 5 ) ° g
(4.116) t i l
w = S A
n *n^ z ^
cos
( k n * - o> t )
(4.117)
n=o
v
n
Den h o r i s o n t a l e plane b ø l g e s f a s e h a s t i g h e d e r b l i v e r
tu
c
=
f,n
'
\ / 2
k "V^
n V
^2
+
—
k
(4.119)
n
De t i l h ø r e n d e l ø s n i n g e r f o r p , u og v kan f i n d e s af ( 4 . 8 4 ) , (4.B1) og
(4.82)
æ
1
^
V
. P = 2 A
4 ' ( z ) (- - 2 - ) sin(k
<»
u
= -
2
1 - B, t )
(4.120)
sin(k^ x - æ t )
(4-121)
v
z
Kn ^T n( x2 )' ,f—r—•
n=o
v/ 2
f2
f •v
v « S An ^ ( z )
*
cosfk^ x - ti) t )
(4.122)
\pTT7.
Hvis v i k v a d r e r e r ( 4 . 1 2 1 ) og (4.122) a d d e r e r og omordner d i s s e l i g n i n g e r haves
2
i i 2 + ( £ - ) v 2 = A2 ( V ) 2
x
n
f ' n
n wny
Vn
0
0
2
_2
ID - f
som v i s e r a t h a s t i g h e d s v e k t o r e r n e v.-
(4.123)
'
v
alle beskriver e l l i p s e r i horisontal-
ii,n
p l a n e n . Hvis u) > f v i l s t o r - a k s e n gå i den h o r i s o n t a l e b ø l g e s f o r p l a n t n i n g s retning.
H7
4.2
Interne bølgers i n s t a b i l i t e t .
Yi v i l for enkeltheds skyld kun undersøge betingelsen for i n s t a b i l i t e t for
en intern tyngdebølge i den vertikale xz-plan. Vi antager en to-lags model, hvor
de 2 vandmasser strømmer med de horisontale konstante grundhastigheder U. og U~.
Denne grundtilstand superponeres med en infinitesimal harmonisk bølge på s k i l lefladen, der forplanter sig i x-aksens retning. Idet vi antager tilstedeværelsen af et hastighedspotential, b l i v e r pertubationshastigheden v = - Vto. hvor
k = 1 e l l e r k = 2 givet udfra, om vi b e t r a g t e r henholdsvis øvre e l l e r nedre l a g .
Den t o t a l e hastighed v. b l i v e r følgelig
t-tu. -
T
\
(4.124)
k = 1, 2
Det er i følge afsnit 4.1 n a t u r l i g t at sætte
s
V z)
i(k x - U3 t )
e^
(4.125)
Denne skrivemåde giver store udledningsmæssige fordele fremfor en benyttelse af
den r e e l l e form ca = A, cos(k x - u) t ) . Vores koordinatsystems x-akse lægges
i den uforstyrrede skilleflade - se nedenstående hjælpefigur :
z /fc
z = h.
'*
»
(1)
z=0
(2)
z = — h.
Bevægelsesligningen for det pertuberede tilfælde b l i v e r med sædvanlige
bø1ge approximat ioner
A
dt
- - Pk
vpj^ - Vg z
(4.126)
14ß
hvor
är-
+
—
fordi U k »
^ \
+
\ ^ \
-tr-\tr
(4.127)
| vk|. (4.126) kan ved benyttelse af (4.124) og (4.12?) skrives som
% - pk - Pk e
Pk % t + U k &
z =
^ ^ t ^
(4.128)
Pra kontinuitetsligningen V • 1?, = 0 får vi V • v, = 0 og dermed
2
Ö ^
2
*> \
—2- + — g - - o
öx
Öz
(4.129)
Indsættes (4*125) i (4.129) fås
d
\
—T" k
2
\
=
°
(4.130)
dz
der har den generelle løsning
\ - \ ° * *
+ \°~k*
-
» k - - £ r - * C \ ** ' - Ofc ^
(4.131)
*> ° i ( k " - " *>
(4.132)
Ved de faste rande er w. = 0 d . v . s . w, = 0 f o r z = H. , hvor IL = h. og
H2 = - hg. Anvendes disse b e t i n g e l s e r for w, på (4.132) fås
^
ek \
= Ck e" k
H
k =
j£
hvorved
Aj. = HL, cosh k(z - ILj
(4.133)
På skillefladen 2 = T| anvendes den dynamiske betingelse p. = p . Herved b l i v e r
(4.128) for z = TI :
P
2 ( !t
+ U
2 bx> ^ - P2.S TI - P^St
+
^ {L)
9 1 - P1
g T,
(4.134)
Yi indfører nu q> og tp f r a (4-125) og (4.133) i (4.134). Desuden indsættes
ifk x' — tu t )
•11 - \ e
og fasehastigheden c f = u>/k i (4.134). Efter en del udregninger kan (4.134) skrives som
149
( p 2 - p.,) § \
- i P 1 M 1 ( c f - 1^) cosh k h 1 +
+ i p 2 M 2 ( c f - U 2 ) cosh k h 2 - 0
(4.135)
Vi h a r h e r b e n y t t e t a t cosh k(l] - H.) ~ c ° s h k IL .
Den kinematiske g r æ n s e b e t i n g e l s e
w
k"tt
+U
k S ! f o r 2 = T]~0
(4.136)
giver 2 ligninger
i ( c f - U ^ T ^ + M., s i n h k h 1 = 0
(4-137)
i ( c f - U 2 )T^ - M2 s i n h k h
(4-138)
2
=0
( 4 . 1 3 5 ) , (4-137) og (4-138) udgør e t homogent l i g n i n g s s y s t e m med de 3 ubekendte
TI » M og M„. Systemets determinant l i g med n u l g i v e r b e t i n g e l s e n f o r l ø s n i n g .
E f t e r en rum t i d f i n d e r v i
cf
PlßlU1 + P2ß2U2± V Ê W l
+
PS^XPZ-PIW^VV2
fA
^
(4.139)
p1 P 1 + p 2 ß 2
hvor ß
S coth £ k h . ) og ß 2 = c o t h {
k h„J ,
Hvis radikanden i (4-139) e r p o s i t i v b l i v e r f a s e h a s t i g h e d e n c_ r e e l - og
r e a l d e l e n af de søgte l ø s n i n g e r b l i v e r f . e k s .
T| = TI cos(k x - u> t ) ;
skille-
f l a d e n v i l da svinge med k o n s t a n t a m p l i t u d e . E r radikanden derimod n e g a t i v ,
b l i v e r c - komplex d . v . s . c_ = c + i c . Herved f i n d e s
TI = T^ e k C i ^ cos k ( x - c r t )
(4-140)
Svingningens amplitude givet i (4«14o) vil altså vokse eksponentielt med tiden,
hvorved vi får instabilitet. Betingelsen for instabilitet bliver følgelig :
9
(°2-°l)2>
p1 ß- + pP ß ?
P l p 2 ß l p ' f ( ^ - ^ 1 )
(4.141)
Instabilitet kan vi opnå ved store hastighedsforskelle og/eller ved små forskelle i massefylden. Store bølgetal k eller små bølgelængder favoriserer instabiliteten.
150
(4.141) kan også skrives som
„
h
tghlçh
h
tgh k h
Funktionen -*--— er monotont aftagende når x > 0 og den har sin største værdi
lig med 1 for x = 0. Hvis derfor den statiske stabilitet er så lille at
(U
- U ) 2 > ( — + -p ) g ( p 2 - p j
^
•
P1
^2
(4.143)
vil uligheden (4.142) være opfyldt for a l l e værdier af k, hvorfor a l l e bølger
vil vokse. Hvis k e r s t o r (-» ») v i l uligheden (4.142) a l t i d være opfyldt uafhængig af forskellen i massefylder, når blot U / U ? . D.v.s. for en klasse af
bølger hvor k > k , har vi a l t i d i n s t a b i l i t e t ; k er et k r i t i s k bølgetal, som
a d s k i l l e r de bølger, der l e d e r t i l i n s t a b i l i t e t , fra de, som ikke gør det. Antager vi at k » l/H, d . v . s . tgh H, k ~ 1 giver (4".142)
(U2"V2
P-,/p2
i-ip/pg)
hvor k
= 2rcA
Uår det blæser over ét hav, har v i netop et system af to væsker med f o r skellige massefylder og hastigheder. Bet er derfor nærliggende at antage, at
havbølger opstår som følge af i n s t a b i l i t e t . I så fald skulle \ være den længste
bølgelængde, der kan dannes. Yi indsætter U_ = 0, p ? = 1 g/cm , p ~ 1,2*10
g /cm"
og f å r følgende sammenhæng mellem \ og U (vindhastigheden) ;
U1
1
5
10
15
20
m sek.-1
Xc
0,08
2
8
18
32
cm
Efter dette skulle selv en s t i v kuling ikke kunne fremkalde længere bølger
end 32 cm, medens de i vore farvande forekommende er 2 størrelsesordener s t ø r r e .
Vi må derfor konkludere, at vinddrevne bølger ikke skyldes i n s t a b i l i t e t men
andre og mere komplekse mekanismer, hvor luftbevægelsens turbulente natur s p i l l e r en væsentlig r o l l e . Mekanismerne kan endnu ikke siges at være klarlagt i
detaljer.
151
Kapitel 5
Skagerrak
5.1
Skage rrakhvi rvl en.
I Skagerrak kan vi gennem strømmålinger observere en cyklonisk bevægelse,
der har et strømmønster som angivet i Fig. 70.
Fig* 70. Strømkort over Kattegat og Skagerrak.
Undersøger vi isotermernes vertikale fordeling i tværsnittet mellem Jylland og
Sydnorge som vist i Fig. 71* ser vi at disse hvælver sig op i midten af vertikalsnittet. Det bemærkes i tilgift at det dybere liggende vand er koldt og
næsten isotermt. Her haves det oceaniske vand fra Atlanterhavet. Overgangen
mellem dette vand og de øvre kystvandmasser er forholdsvis brat. Vi vil i praksis kunne regne med at have en to-lags model, fordi det i høj grad er temperaturen, der bestemmer massefylden p. Fig. 73 viser koncentrationen af det sus-
152
pende rede materiale. De Btørste partikelkoncentrat ioner haves midtvejs mellem
Jylland og Sydnorge, Partikelkoncentrationen udviser med andre ord analoge træk
til temperaturfordelingen. Man kan herefter stille spørgsmålet, om hvilke kræfter der kan være ansvarlige for den ret permanente Skagerrakhvirvel.
Jutland
Norway
79
•Pig. 71- Den
i det område
placering er
demonstrerer
71
77
76
7$
71
73
72
77
v e r t i k a l e temperaturfordeling i Skagerrak
hvor cyklonisk bevægelse træffes. Snittes
v i s t på den l i l l e underfigur, som desuden
strømfeltet i området.
Vi v i l i det følgende o p s t i l l e teorien for en rotationBsymmetrisk s t a tionær hvirvel i et hav med 2 homogene vandmasser. Disse har de konstante
massefylder p og p ? og tænkes adskilt af en flade, hvorved springlaget b l i v e r
uendelig tyndt. Vi antager hydrostatisk ligevægt,' ignorerer tidevandskræfter,
fordi tidevandet s p i l l e r en ringe r o l l e hér og ser bort f r a gnidning. Bevægelsesligningerne f o r hver af de 2 homogene vandmasser lyder med disse antagelser
i kartesiske koordinater :
tu
bx
bu
ty
-
bv
bv
j>
u ^ - + v^— + f u
bx
by
*
p bz
1 Ö£
p bx
(5.1)
P öy
(5.2)
(5.3)
Hvirvelfænomener l a d e r sig fordelagtig beskrive i cylinder-koordinater ( r , 8 , z ) ,
hvor z-aksen sammenfalder med z—aksen i det kartesiske koordinatsystem. Herved
bliver
153
x = r cos 8, y = r s i n 6 og z = z
K o o r d i n a t t r a n s f o r m a t i o n e r e r b e s k r e v e t i Appendix, a f s n i t 8.5 og v i l af samme
grund b l i v e f o r b i g å e t h é r . ( 5 . 1 ) og (5*2) b l i v e r i
cylinderkoordinater
2
oc
C
oc
+
r br
C
bc Q
cD
e r 06
r
bc
c
.
X
°6
c
x
p br
°'
.
4 ;
x
c _ e +c .<L + _L^-+fc --1SL
r br
6 r bQ
r
r
p r b6
hvor c « dr/dt og c = r d©/dt.
Da vi har antaget en rotations symmetrisk hvirvel haves
(5.5)
v
^ë-o.^.ooe^-o
'
(5.6)
Kontinuitetsligningen for konstant massefylde lyder i cylinderkoordinater når
(5.6) benyttes
-~£ + l c = 0
br
r r
(5.7)
w •/
Løsningerne t i l (5*7) e r
(5.8)
LøBningen c
= l/r forekommer urealistisk, så vi vælger istedet c^ = 0. Derved
bliver (5'5) automatisk opfyldt. Udelader vi herefter index d.v.s. c
bliver (5»4)
f c +
°
- o
9
2
=
r
l | £
p br
(5.Q)
w
yj
F ø r s t e l e d e r som sædvanlig c o r i o l i s — a c c e l e r a t i o n e n medens andet l e d e r c e n t r i f u g a l - a c c e l e r a t i o n e n . En s k a l a - a n a l y s e mellem d i s s e 2 l e d v i s e r
f e /
(o2/r ) ~
10~4 r / c
(5.10)
Den k a r a k t e r i s t i s k e længde f o r r ~ 50 km i f ø l g e F i g . 71 j medens den k a r a k t e r i s t i s k e h a s t i g h e d f o r c l i g g e r omkring 50 cm s e k .
, Forholdet mellem C o r i o -
1 i s - a c c e l e r a t i o n og c e n t r i f u g a l - a c c e l e r a t i o n h a r s t ø r r e l s e s o r d e n e n 10 e l l e r
154
noget derunder. Det er altså helt "berettiget at tage hensyn til centrifugalkraften i dette tilfælde.
Vi vil nu løse (5.9) sammen med (5>3). Hertil benyttes samme teknik som
ved udi edelsen af Margules ligning - se afsnit 3*2.
dp = 0 på skillefladen mellem de 2 vandmasser (5-11). Dette er den dynamiske grænsebetingelse. (5.11) kan skrives ud på en mere anvendelig måde :
2
dp = -g dr + gg d9 + |£ dz - p(f c + | )dr - p g dz = 0
(5.12)
gennem benyttelse af (5*3) og (5*9)•
Den fri vandoverflades hældning gives ved udtrykket
f— j
s tg ß = — c +
x
& K
dr'p=o
g
r g
r -» æ medfører tg ß = — c , hvilket netop er (3.50
Tilsvarende finder vi for skillefladens hældning
t g Y
=
- :
; —
(5.13)
(SE) _ (AE)
Indsætter vi (5-12) eller (5.3) og (5.9) i (5.13) fås
t g y
f
~ g
(
{
P2 °2 - P1 °1 ,
p
2
-
J +
P l
1
r g <
f
°2 C2 - P1 A ,
o2_
P l
)
(5.14)
Vinklerne ß og y er vist på Fig. 72.
Hvis r -»• c» fås
ts Y
• 5
(
P2-P1
hvilket netop er (3.57)
5
(5-15)
155
cib ®
Pig. 72. Isobarfladernes forløb for
to homogene vandmasser på nordlig
halvkugle, for hvilke det gælder, at
den øverste r o t e r e r hurtigere end
den nederste. a)Anti-cyklonisk r o t a t i o n , b)Cyklonisk rotation. Den punkterede l i n i e viser s k i l l e l i n i e n mellem de to vandmasser ( springlag/front),
5.2.
P a r t i k e l - og fluorésoensmâlinger.
De optiske målinger præsenteret i Fig. 73 - 75 blev udført under stærk
østenvind, d . v . s . de omtrentlige overfladestrømforhold var som v i s t i Fig. 10.
Vi s e r da også på Fig. 74, hvorledes p a r t i k e l r i g t kystvand presses norden om
Skagen ind i Skagerrak. Desuden bemærker vi den tunge af p a r t i k e l f a t t i g t Nordsøvand ("continental coastal" - se Fig. 13) som trænger nordøst - og nordover. På Fig. 7 3 - 7 5 bemærker vi i samtlige tilfælde p a r t i k e l r i g t og stærkt
fluorescerende vand nær den norske kyst. Dette er en god indikation på Den
norske Kyststrøm, der er karakteriseret ved et forholdsvis lavt s a l i n i t e t s indhold ~ 30 /oo samt et s t o r t indhold af gulstof og suspenderet materiale.
Dette skyldes, at vandet i kyststrømmen oprindelig kommer fra Østersøen, som
siden e r blevet opblandet med Kattegat- og Skagerrakvand. Kyst strømmen kan spores h e l t op t i l Lofoten ved hjælp af TS-diagrammer og muligvis også med optiske
metoder, der minder om de førstnævnte.
Fig. 75 v i s e r i s o l i n i e r for vandets fluorésceringsevne efter belysning
med u l t r a v i o l e t l y s . Da målingerne er foretaget på 100 m dybde, er den jyske
k y s t l i n i e rykket b e t r a g t e l i g t mod nord. Figuren v i s e r tydeligt en tunge af
fluorescensfattigt vand, som trænger dybt ind i Skagerrak gennem Den norske
Rende. Dette vand er af atlantisk (oceanisk) oprindelse.
P a r t i k e l - og fluorescensmålingerne blev udført med en såkaldt Tyndalimåler. Denne b e s t å r af et lampehus og et linsesystem, som sikrer en kollimeret
156
N
^
J*V\
0
\.
7
\v\
1
X
i
/ \ få
K'//J7 /
' -
1 \
) ilrÆ
/ /
fif
/fa
<50
1
tWl«T*
/
^Zu?
4>
X
\s
\m
\
c
wåW\
\A'
?/ y / /"/
/ZrK s\
r
-V '• ^-'"J^ff///
rt^m/m
V^
Ql-ÎS.ISO
^7Jl».ÎOO
Fig. 73. Partikelkoncentrationens fordeling på
50 m dybde.
^3
//
v
^
/^V
%
^
^
v
^
'<A
/H
VA
'/:
7'%
a
'//>
//>
'h
V72è
/ / A
/_ZLÜ.
^
'//y
••I.M-1-ÏS
•
I >ÎO0
Fig, 74. Partikelkoncentrationens fordeling på
10 m dybde.
I
I m-i.M)
iso-i.is F771 'w -Î00
157
Fig. 75. Koncentrationen af n a t u r l i g t fluorescerende opløste s t o f f e r på 100 m dybde.
s t r å l e , der sendes ind i et kammer, hvor vandprøven befinder sig.-Vi måler l y s spredningen i 45 væk fra den indkommende s t r å l e . Dette kan gøres i flere f a r ver. Fluorescensen måles tilsvarende, dog således at vi ved lampehuset har et
u l t r a v i o l e t f a r v e f i l t e r , medens modtagersiden har et grønt f a r v e f i l t e r . Det må
således konkluderes, at optiske målinger er særdeles nyttige for studium af
forskellige vandmassers udbredelsesmønster.
158
Kapitel 6
Nordsøen
6.1.
Tidevand.
Det vil være rimeligt at omtale tidevand i forbindelse med Nordsøen, thi
kun hér finder vi tidevand af betydning i vort system Østersøen - Nordsøen.
Tidevandsamplituden er størst ved Englands østkyst samt i den sydlige del af
Nordsøen ved Belgiens kyst. Springflod indtræffer, hvis de tidevandsproducerende kræfter virker optimalt, d.v.s. når sol, jord og måne befinder sig på linie.
Pig. 76. Forskellen mellem højvande og
lavvande under springflod. De største
tidevandsvariationer findes langs Englands sydøstkyst.
Dette indebærer, at månen og solen kan være på s amme side af jorden såvel som
på hver sin side af denne.
Høj- og lavvande i Nordsøen forekommer 2 gange daglig. Det er det halvdaglige månetidevand M„, som er dominerende. Vi bemærker, hvorledes f.eks,
højvande indtræffer på forskellige tidspunkter afhængig af stedet. Tidspunktet
fra månens meridian-passage ved Greenwich til tidspunktet for højvande kan ikke
redegøre for tidsforskellene i højvande fra sted til sted. Faseforskydningen
for højvandes indtræffen er med andre ord ikke alene astronomisk bestemt. Vi
vil i det følgende søge at forklare ovennævnte observationer. Hertil udledes
159
først tidevandspotentialet for to-legeme problemet jord - måne. Dette potentiale
kan uden videre generaliseres t i l også at gælde for jord - sol systemet.
Pig. 77« Kortet v i s e r , hvor mange t i mer der forløber f r a månens kulmination
i Greenwich (London) t i l højvandes indtræden i forskellige områder af Nordsøen.
Tidevandspotentialet som følge af månen og solen b l i v e r
ep - cp(måne) + cp(sol)
(6.1)
og de resulterende tidevandskræfter kan på sædvanlig måde findes fra
k = v ep
(6.2)
Forholdet mellem de tidevandsproducerende kræfter hidhørende f r à henholdsvis
måne og sol er 9:4 i tilfælde af springflod.
Vi v i l indledningsvis betragte jord - måne systemet s k i t s e r e t på e f t e r følgende hjslpefigur.
160
f
W 2'
P
V
f
f
f i f *
"r W i»
Ü"
2"
t'
i"
8° E
HS"
Fig. 78. Tidevand og tidevands strømme i Nordsøen hidrørende f r a det halvdaglige
måne-tidevand. A og B v i s e r i s o l i n i e r for vandstanden regnet i m for henholdsvis det t i l f æ l d e , hvor månen passerer Greenwich meridianen samt 3 timer 6 min.
senere (måne-højvande og måne-lawande). Pilene v i s e r tidevandsstrømmene. C
viser i s o l i n i e r for den t o t a l e variation i tidevand regnet i m (stiplede l i n i e r )
samt fuldt optrukne i s o l i n i e r , som angiver det tidspunkt i timer, f r a månen passerer ved Greenwich meridianen, t i l højvande indtræffer. D viser de såkaldte t i devandsellipser, hvis s t o r - og l i l l e a k s e giver henholdsvis den maximale og minimale tidevandsstrømvektor.
161
OA = r = afstanden mellem de to himmellegemers tyngde punkter.
OP = R = jordens radiusj FA = r = afstanden mellem det betragtede punkt på
jordoverfladen og månens tyngdepunkt; månens masse = M, jordens masse = J.
Gravitationskonstanten benævnes y.
Vi betragter en massedel ved P. Fra vore bevægelsesligninger ved vi fra
tidligere, at naturkræfter virkende på partiklen var af typen Ï
Jordens tiltrækning, trykkræfter, gnidningskræfter o.s.v. Som følge af jordens
rotation måtte vi for en beskrivelse af partiklens bevægelse i vort jordkoordinatsystem endvidere indføre fiktive kræfter som centrifugalkraft og Corioliskraft. De tidevandsfremkaidende kræfter bliver nu desuden medtaget :
Månen påvirker jorden med tiltrækningskraften
y-M/r
, d.v.s. jordens tyngde-
punkt samt dermed alle punkter på jordens accelereres mod månen med accelerationen y M/r
. En fysisk beskrivelse i dette jordkoordinatsystem kan let gen-
nemføres ved at betragte jorden som en Einsteinkasse, d.v.s. at vi for alle
punkter på jorden må regne med, at de har en acceleration E = y M /r parallelt
med OA og rettet væk fra månen. Accelerationen = kraften på vor enhedsmasse
ved P bliver som følge af månens tiltrækning F « y M /rn rettet mod månen.
Ved P har vi følgelig en ukompenseret tidevandsf remkai dende kraft. I jordens
162
tyngdepunkt har v i fuldstændig kraftkompensation, d . v . s . kraftsummen af de t i de vandsf remkai dende kræfter l i g n u l . Vi har a l t s å
E-*-§
r
(6.3)
F =4
(6.4)
1
Den t i d e vandsf remkai dende krafts vertikale komponent b l i v e r nu
V = F cos 9 - E cos 6 = F ? - BL.
(6-5)
og den horisontale komponent
H = E sin 6 - P sin 6. = ÏU - Ffî
(6,6)
hvor 6, 6. og E, F findes af den ovenstående f i g u r .
Cosinusrelationen for en plan trekant giver
r 2 = R2 + r 2 - 2r R cos 6
(6.7)
Figuren giver direkte
r, sin 0. = r sin
1
1
(6.8)
r. cos 8„ = r cos 0 - R
1
1
(6.8) indsættes i (6.4) og vi finder
F Y = Y M(r cos 6 - R)(^ ) 3
F = Y M r sin 6 ( - ) 3
il
(6.9)
(6.10)
^
Vi approximerer r~
og benytter udtrykket for r . i (6.7)
( £ ) 3 ~ ( £ ) 3 0 + f cos e)
(6.11)
(6.11) indsættes i (6.9) og (6.10) og v i ignorerer faktoren indeholdende (R/r) ,
F
v
= ^
r
(cos 0 + | £ c o s 2 0 - f )
(6.12)
163
PH = :L«2 (i + i£
cos e) sin e
r
(6.13)
r
Vi finder nu Y, H i (6.5) og (6.6)
v. ixi!
(ooB2 e
i)
r3
H =
direkte ved at indsætte IL, F„ :
(6#14)
3
. i l l l
2 rJ
s
i „ 2 9
(6.15)
Disse ligninger kan gøres mere- anvendelige. En enhedsmasse på jordens overflade
er påvirket af tyngdekraften 1-g ~ y —'-= , d . v . s . Y = gfà/j.
Dette r e s u l t a t
"benyttes i de foregående ligninger
V - 3 g (§)
H= - | g
- 3 < R > 2 (cos 2 6 - i )
r
(§)
(6.16)
R > 2 sin 29
\'<
r
(6.17)
Følgende skal bemærkes :
„
1
cos 6 - -r see 8B
(6.18)
sin 6
,0
d . v . s . på mellembredder e r V ~ H. For 9 = 54,7
gælder specielt at V = 0 og
H / 0.
V/g ~ 10*" d . v . s . V kan ignoreres i den v e r t i k a l e bevægelsesligning. Coriolisae'celerationen f u ~ f v d . v . s .
f u / H ~ 1 0 u /
10""^ g ^ u o m sek. - 1
Heraf s e r vi ved at benytte Fig. 78D at Coriolis-accelerationen og den h o r i sontale tidevandskraft har samme e l l e r en mindre størelsesorden. Vi indfører
nu måne-potentialet cp(måne) ved at gå ud f r a ( 6 . 2 ) , (6.16) og (6.17) og f o r udsætter, at dette er l i g med nul i jordens centrum :
cptmåne) = | g ( | ) £ (cos 2 6 - 1) . < R > 2 + . . .
r
„
ocp(måne)
„
ocp(måne)
hvor V = -ÄJJ
i og H - P b e
•
(6.19)
Solens potentiale cp(sol) b l i v e r h e l t analog t i l (6.19) blot med den forskel at leddet (M/j) udskiftes med ( s / j ) . Vi skal så b l o t huske, at r herefter
164
står for jordens middel afstand fra solen.
Lad os nu antage en fuldstændig vanddækket jord, hvis vandmasse er i
hvile og hvis massefylde er konstant. Vandmassen er i ligevægt under påvirkning af de ydre kræfter tyngdekraft og tidevandskraft. Bevægelsesligningen
bliver da
0 = - i v p - VX + V ep
(6.20)
hvor tyngdepotentialet X sættes l i g et konstant g multipliceret med z. (6.20)
udtrykker at
+ t
- — p-x
P
P = konstant
(6.21)
overalt i havet. Antager vi nu, at p er konstant ved havoverfladen z = T] fås
-X + tp = konstant for z = T|
(6.22)
X er approximative l i g - ^ — + konstant.
a
Sætter vi R = < E > + T|, hvor T] som sædvanlig er det f r i vandspejls afvigelse
fra middel vandstand, bliver
x
- " <R > ^ 1 " < R > )
+
konstant = - ^
R >
+ g T[ + konstant
(6.23)
(6.22) og (6.23) giver
1
T] = — ep + konstant
(6.24)
Middel vandstanden for hele den vanddækkede jord
<
T\>
="lf
TliA = 0
(6.25)
Denne betingelse medfører at
71 =
\åne
+
\ol
=
i *
=
g^" 1 ^ 0 )
+
<p(wl))
(6.26)
Benyttes (6.19) på (6.26) får vi
T U e - 53,5 (cos 2
6måne
- I) -
(6.27)
165
TI-«! = 24»6 ( c o s 2 e g o l - ^ ) cm
'sol
(6.28)
Her e r følgende t a l v æ r d i e r anvendt
y - 0,0123 î
§ - 3,33 - 1 0 5
4
< *****
mane > = 60 R ; < r s o .l > = 2,35 * 1 0 R
h v o r R = 6,37 • 10
m-
F o r h o l d e t mellem s o l e n s og månens t i d e v a n d b l i v e r 0,46 i f ø l g e l i g e v æ g t s t e o r i e n uafhængig af s t e d e t . D e t t e gælder ikke i v i r k e l i g h e d e n - se F i g . 79 og
Tahel 5 .
Imminghom; sfmi diu mol tyet
pwwwpilltøw
Son Franctst>:mi«d,domrnont « m i diurnal typ«
ft
Mani lo : mite d, dominant full diurnal type
yjøt'-'Vøm^tM
Do San: f u l l diurnal type
2
4
«
• _' K> ' e
M 16
i«
» ! ! ! • « » »
Fig. 79. Tidevand ved Immingham (Østengland), San Fransisco, Manila (Phillipine rhe) og Do San (Vietnam). Tiden i dage for marts 1936 er givet på nederste
akse sammen med månens forskellige faser. N viser den maximale nordlige deklination for månen, S den maximale sydlige deklination og Q tidspunktet, hvor
månen krydser ækvatorplanen.
166
Tabel 5« Tidevandsampl ituder hidhørende fra måne og sol på fire lokaliteter.
Immingham,
England
53"38'N
O'il'W
Phase Amplitude,
cm
Location
Latitude
Longitude
Component
A/a
S,
A'..
A'o
tf,
o,
î
San Francisco,
California
37J48'N
122°27'W
Phase
Amplitude,
cm
Manila,
Philippines
I4'36'N
I20J57'E
Phase
Amplitude,
cm
Do San,
Vietnam
2043'N
106 48'E
Phase
Amplitude,
cm
255.55
273.55
245.65
275.55
161"
210''
14I 1
212'
223.2
78.8
44.9
18.3
330"
334*
303*
328°
54.2
12.3
11.5
3.7
305"
338"
291"
325"
20.3
6.8
3.8
2.1
113°
140''
99140=
4.4
3.0
0.8
1.0
165.55
145.55
163,55
279°
120*
257"
14.6
16.4
6.4
106°
89°
104*
37.0
23.0
11.5
320"
279°
3171
29.7
28.3
9.3
9r
35°
91°
72.0
70.0
24.0
Den bredde afhængighed som l i g e v æ g t s m o d e l l e n g i v e r , f i n d e r v i h e l l e r ikke og
e n d e l i g g i v e r modellen f o r små a m p l i t u d e v æ r d i e r f o r f . e k s , s p r i n g f l o d
eller
M2 t i d e v a n d e t i Nordsøen - s e f . e k s . F i g . 76 og 7 8 . Disse a f v i g e l s e r må i d e t
v æ s e n t l i g e s k y l d e s i ) at d e r i k k e e r l i g e v æ g t , men f o r s t y r r e l s e r
(tidevands-
b ø l g e r ) og i i ) a t j o r d e n i k k e e r h e l t vanddækket så vandopstuvening som f ø l g e
af t o p o g r a f i s k e e f f e k t e r i g n o r e r e s i modellen.
Vinklen 9 i p o t e n t i a l e t ( 6 . 1 9 ) e r ikke v e l e g n e t som argument.
Indfører
v i i s t e d e t p u n k t e t P ' s t e r r e s ^ L s k e k o o r d i n a t e r (længde X, bredde ep) samt månens
astronomiske k o o r d i n a t e r ( t i m e v i n k e l X , d e k l i n a t i o n cp1) kan 9 udtrykkeB g e n nem d i s s e ved a t b e n y t t e c o s i n u s - r e l a t i o n e n f o r en s f æ r i s k t r e k a n t :
cos 9 = s i n ep s i n ep + cos ep cos ep cos(X - \ )
Dette kan v i s e s ved a t b e t r a g t e de 2 e n h e d s v e k t o r e r s
R(X, ep)
t{\v
(6.30)
B e n y t t e s ( 6 . 2 9 ) på ( 6 . 1 9 ) f å s
2
1
9--r = A + B+C
formelt
hvor
A
3 / . 2
1 W . 2
A=-(sm
ep - - j ) ( s i n ^
B = -T s i n 2ep s i n 2ep1 cos(X 1 2
C = -T cos
skalarprodukt
ep,,)
IÎI
cos
(6.29)
1»
- -p
(6.31)
\ )
(6.32)
2
ep cos
*P. cos 2(X - X )
(6.33)
167
De astronomiske k o o r d i n a t e r \ , ep. samt l e d d e t R / r
e r a l l e afhængige af
t i d e n d . v . s . a t f o r e t bestemt s t e d på j o r d e n v a r i e r e r både A, B og C med t i den. I d e t følgende s k a l v i se h v o r l e d e s :
Vi tænker o s , a t j o r d a k s e n l i g g e r f a s t i f o r h o l d t i l f i k s s t j e r n e r n e
og
b e t r a g t e r månens og s o l e n s t i l s y n e l a d e n d e bane mellem d i s s e . Solen bevæger s i g
da i l ø b e t af e t å r i en bane som k a l d e s e k l i p t i k a . I p r a k s i s l i g g e r banen f a s t
i f o r h o l d t i l ækvatorplanen ( v r i d e r s i g én omgang i l ø b e t af 20940 å r ) og dann e r en v i n k e l pa 23 -g med denne. Solens d e k l i n a t i o n h a r f ø l g e l i g en p e r i o d e
på 1 å r . Solens omløbstid mellem f i k s s t j e r n e r n e b l i v e r 0,041 g r a d e r p r . time
( / h ) . J o r d e n d r e j e r s i g i f o r h o l d t i l f i k s s t j e r n e r n e med den a b s o l u t t e v i n k e l h a s t i g h e d ÜÜ / h . Vort k l o k k e s l e t e r d e f i n e r e t s å l e d e s at n å r (X - V«)
h a r ændret s i g 360
i
e r d e r g å e t 24 t i m e r . På én time h a r v i n k e l b e n e t BC d r e j e t
v i n k l e n tu g r a d e r mens CA h a r d r e j e t 0,041 g r a d e r , (X - \ . )
, h a r ændret s i g
med (tu - 0,041) g r a d e r . I l ø b e t af 24 t i m e r h a r v i nu (o) - 0,041) 24° = 360
hvorved
u) = 15,041 %
fordi vinkelhastigheden for ( \ - \ )
(6.34)
. p r . d e f i n i t i o n e r 15 / h .
°A.
j o rdo ve r f 1 aden
0,041
sol"
°/h
s o l e n s bane
For s o l e n s t i d e v a n d s p o t e n t i a l e f i n d e r v i i f ø l g e ( 6 . 1 9 ) , ( 6 . 3 2 ) og ( 6 . 3 3 ) , at
C h a r en h a l v d a g l i g p e r i o d e på 12 t i m e r og B en h e l d a g l i g på 24 t i m e r .
Månebanen danner en p l a n v i n k e l med e k l i p t i k a på 5 • Dens bane e r noget
k o m p l i c e r e t , så v i indskrænker os t i l at b e t r a g t e dens v i g t i g s t e t r æ k . Månen
h a r en a b s o l u t v i n k e l h a s t i g h e d på 0,549 A i d . v . s . den b r a g e r 27,32 dage ( e n
t r o p i s k måned) t i l s i t omløb. Vi b e t r a g t e r a n a l o g t t i l f ø r v i n k l e n (X - X.)
mane
168
I f ø l g e det f o r e g å e n d e d r e j e r v i n k e l b e n e t CA 15,04*1
s i g med 0,549
/ b , medens månen bevæger
/ h i samme r e t n i n g . På én time b l i v e r (X - \ . )
e
- 0,549 g r a d e r . 1 månedag l i g med t i d e n mellem 2 e f t e r f ø l g e n d e
= 15,041 kulminationer
"bliver på
360"
t i m e r = 24,84 t i m e r
14,492
For månens t i d e v a n d s p o t e n t i a l e f i n d e r v i i følge ( 6 . 1 9 ) , ( 6 . 3 2 ) og ( 6 . 3 3 ) , at
C h a r en h a l v d a g l i g p e r i o d e på 12,42 t i m e r og B en d a g l i g på 24,84 t i m e r .
Både månens og s o l e n s d e k l i n a t i o n e r og a f s t a n d t i l j o r d e n r v a r i e r e r omend langsomt med t i d e n sammenlignet med t i d s s k a l a e r på omkring 1 dag. ep (måne)
og 9 . ( s o l )
' s p e r i o d e r f o r v a r i a t i o n e n i r e r h e n h o l d s v i s en t r o p i s k måned og
e t k a l e n d e r å r . Derimod h a r leddene A, B og C en p e r i o d i s k l a n g t i d s v a r i a t i o n
på h e n h o l d s v i s en h a l v t r o p i s k måned og e t h a l v t å r på grund af a t leddene
sin
ep. - 1/3 - •§ - -|cos 2cp - 1/3, s i n 29 og cos
9
= \ + -|cos 2cp , i h e n -
h o l d s v i s ( 6 . 3 1 ) , ( 6 . 3 2 ) og ( 6 . 3 3 ) .
6.2.
Tidevandsbølger.
I n d l e d n i n g s v i s v i l v i b e t r a g t e det h a l v d a g l i g e M ? - t i d e v a n d s f o r l ø b i en
b u g t . Højvande i n d t r æ f f e r 2 gange d a g l i g f o r s k u d t 12,42 t i m e r og i n d imellem
optræder lavvande med den samme p e r i o d e uu. Vi a n t a g e r , at t i d e v a n d e t uden
f o r b u g t e n kan b e s k r i v e s v e d en enkel harmonisk f u n k t i o n
TI «= Bg cos u^ t
f o r x = L.
fe—Lfj
W^r^HT
- ~ - Å
y////////////////////////////////////,
_
\
Deep water j
(6.35)
f-Q
Deep water
^
t - —
Ib)
(a)
fZZ?.
Mean wotef level
6
lir
Deep water
^
uj-2
p
Deep water y/y
t •-
_6*_
(Dr4
(c)
F i g . 8 0 . Tidevand i en bugt e l l e r f j o r d , hvor der e r t i d e v a n d s r e s o n a n s .
P i l e n e a n g i v e r v a n d p a r t i k e l h a s t i g h e d e n skematisk.
169
I "bunden af "bugten x = O har vi som grænsebetingeise, at den horisontale hastighedskomponent rettet vinkelret på kysten er lig med nul. En stående "bølge
af formen
TI = A cos k*x cos (U_, t
(6.36)
opfylder denne "betingelse, hvorved det implicit er forudsat, at tidevandsamplituden på tværs af fjorden er den samme. Tidevandsbølgens bølgelængde er
s t o r i forhold t i l vanddybden, så der gælder
k . - ^ - . S
VFT cf
(6.37)
hvor h er middelvanddybden i bugten. (6.35) og (6.36) giver
a™ = A cos k LB
(6.38)
Herved kan (6.36) skrives som
8
oos(
• x)
•n- *—^tf—
e08u t
*
*
(6 39)
-
c o s ( - — • . LB)
Da nævneren i (6.39) a l t i d må være mindre end e l l e r l i g med 1, v i l højvande
i bunden af bugten normalt overstige højvande uden for denne - og tilsvarende
med lavvande. Hvis k L»
is ^—n —
£ får vi resonans, hvorved amplituden i p r i n c i p pet skulle blive uendelig s t o r . Dette hænder n a t u r l i g v i s ikke, fordi gnidning,
som er ignoreret ved udledelsen af (6.39) j v i l l e hindre, at situationen kunne
opstå.
Væskedelenes hastighed i bugten b l i v e r
U =
frycos k LB sin k x sin c^ t
^ Cf
k(z + h) cos k x sin ID™ t
h cos k L- v
T
(6.40)
(6.41)
(6.40) og (6.41) fås direkte ved at benytte resultaterne f r a afsnit 2.4 samt
følgende faktum : 2 enkle progressive harmoniske bølger, der bevæger s i g mod
hinanden med samme bølgelængde og fasehastighed, giver anledning t i l en
170
stående bølge
Tîf t ) » •£ cos(k x - m t ) + ^ cos(k x + CD t ) = A cos k x cos <ø t
(6.42)
Fig. 80 v i s e r 4 stadier i en tidevands cyklus for en mindre "bugt i ) h ø j vande uden for såvel som inde i bugten, u, w = 0 og stigende vandstand indad
i i ) en kvart periode senere haves middel vandstand overalt og et maximalt uda d r e t t e t strømfelt, i hvilket hastigheden øges væk fra bugten i i i ) en kvart
periode senere haves lavvande uden for såvel som inde i bugten, u, w = 0 og
faldende vandstand indad og endelig iv) en kvart periode senere igen middelvandstand overalt og et maximalt indadrettet strømfelt, i hvilket hastigheden
falder ind mod bugten. Ovennævnte kaldes et nedsvingende (co-oscillerende) t i devand, der optræder for mindre bugter hvis længde er så l i l l e at k L_ < K / 2 .
For større havområder kan vi ikke benytte denne simple tidevandsmodel,
fordi den ikke t a g e r isensyn t i l effekter hidhørende f r a jordrotationen. Vi v i l
i det følgende søge at beskrive tidevandsforholdene i et større havområde, der
har følgende idealiserede egenskaber :
i ) konstant dybde og tværsnit - se hjælpefiguren i i ) homogen, inkompressibel
og ideal væske. Vi antager hydrostatisk ligevægt, hvilket indebærer at u » w
og dermed at tidevandsbølgelængden X^ » h i følge (6.40) og ( 6 . 4 1 ) . Bevægelsesligningerne b l i v e r herefter
fy
©•
y = —a
du
dt
_
= f v
an
-SbÊ
Kontinuitetsligningen skrives på formen
(6.43)
171
h(^
bx
+
^ )
=
by
„ B
(6.45)
s
bt
'
Med vore antagelser er u, v uafhængige af vanddybden, fordi tidevandsbølgen
er en lang bølge #
De ikke-lineære led, som implicit optræder i (6,43)
er af samme størrelsesorden fordi
1~|
(6.tf)
som følge af (6,45)» hvor U, V og X, Y henholdsvis er karakteristiske h a s t i g heder og længder. Vi kan indskrænke os t i l at vurdere forholdet
bu ^ u ^ c / ü ^ p / u » !
bt
(6.47)
d . v . s . at a l l e ikke-lineære led i (6.43) kan ignoreres. Tilsvarende kan vises
at gælde for (6.44) hvorved begge ligninger kan skrives på l i n e a r i s e r e t form
Vi har i afsnit 2.4 v i s t at størrelsesordenen for bu/bt kan udtrykkes ved
~ ~ g T ] k ~ 2 7 t g T l / . T c f c ? 2 T C g T ] / T ^ g - j „ 2 ft.10-8 /6-3600 V10-100 ~
~ 10 m sek."" . T er her tiden mellem h ø j - og lavvande (ca. 6 timer),
hvis variation er sat t i l de maximale 8 meter, som kan indtræffe i Nordsøen.
Endelig er h for Wordsøen sat t i l 100 m,
Coriolis-leddet f*u kan på tilsvarende måde vurderes
fu~fgTlk/(D«fgT]/cf~
10" 4 -10-8 / 30 ~ 3-10 - 4 m s e k . - 2
Trykgradient-leddet g-T-' b l i v e r
g P ~ 1 0 . 8 / 100 * 10 3 ~ 8-10" 4 m sek."" 2
0
bx
'
For Nordsøen e r U ~ V og ™ ~ r*^ så vi kan samlet konkludere, at alle 3 led i
172
henholdsvis (6.48) og (6.49) liar omtrentlig samme størrelsesorden.
De løsninger vi søger t i l vort idealiserede t i l f æ l d e , skal være progressive bølger i kanalens længderetning, d . v . s . løsninger af formen :
u = U(y) cos(ti) t - k x)
(6.50)
v = V(y) Bin(o> t - k x)
(6.51)
TI = Z(y) COS(Ü) t - k x)
(6.52)
Problemet er nu at bestemme formen på amplitudefunktionerne U, V, Z således
at differentialligningerne og grænsebetingelserne
v = 0 for y = + a samt alle x, t
(6.53)
er opfyldt.
Vi indsætter (6.50) - (6.52) i (6.45), (6.48) og (6.49) og får
-0)U = f V - k g Z
(«v = - f
ü - g z
1
khU + hV'=u>Z
(6.54)
(6.55)
(6.56)
som g i v e r
( k 2 g h - tu2) U - m f V - g h k V
(6.57)
( k 2 g h - tu 2 ) Z = k h f V - a> h V»
(6.58)
(6.57) og (6.58) indsættes i (6.55)
2
2
V.. - ( k 2 + i - ^ S - ) T
(6.59)
Er parentesen i sidste ligning positiv bliver løsningen en såkaldt Kelvinbølge. Har vi derimod en negativ parentes fås en Poincaré-bølge. Hvis parentesen endelig er lig nul haves V " = 0 , d.v.s. ? = i y + B, hvor A, B er arbitrære konstanter. Grænsebetingelsen V(+a) = V(-a) = 0 giver aA + B = 0 d.v.s.
A = B = 0 d.v.s. V = 0.
173
Kelvin-bølger :
(6.59) skrives på formen
V " = a2 V
(6.60)
som har den generelle løsning V = A e
V(+ a) m, 0 medfører A ett
a
+ B e~a
a
y
+ B e~"
= 0 = A e~a
y
a
+ B ea
a
, d.v.s. A > B - 0
d . v . s . V(y) = 0 i hele kanalen.
Vi ser nu på (6.57) og (6.58) hvor V = 0 medfører, at enten er U, Z = 0 e l l e r
2
2
også e r k g h - u j = 0 . For at undgå en t r i v i e l nulløsning vælger vi
2
2
k g h - u> = 0
eller
c2=(£)2=gh
hvor c
(6.61)
er Kelvin-bølgens fasehastighed, som vi
ser er l i g fasehastigheden
for sædvanlige lange bølger.
(6.54) - (6.56) forenkles t i l
tu U = k g Z
(6.62)
f U « - g Z»
(6.63)
k h U = u)Z
(6.64)
(6.62) er identisk med (6.64) på grund af (6.61). Vi eliminerer nu U fra (6.62)
og (6.63)
Z» = - -
c
Z
altså
f
Z = Zo e-<f/°f>
y
(6.65)
Vi har altså
Tl(x, y, t ) = Z e"^ f /°f)
y
u(x, y, t ) = Ä Z e " ( f / V
o f "o
cos(u) t - k x)
y
cos(to t - k x)
'
(6.66)
(6-6î)
174
v(x, y, t ) = O
(6.68)
Direction of propagation
Pig. 8 1 . Havoverfladens topografi
når en Kelvin-bølge udbreder sig
mod højre på figuren i en bred k-anal med konstant dybde'på den nordlige halvkugle.
Vi ser direkte, at for 1, 't = 1 , t b l i v e r |T|| og |u| s t ø r s t på kanalens højre
side set i strømretningen. For Nordsøen gælder omtrentligt :
f ~ 10~ 4 sek." 1 , g ~ 10 m / sek. 2
3-10"" m~1
h ~ 10 m d . v . s . faktoren f/c =
f
yTh
3
f
a ~ 300-10 m d . v . s . — y kan variere mellem + 1.
Vi har t i d l i g e r e nævnt at tidevandsamplituden' var størst'
østkyst. Dette kan forklares ved at antage, at tidevandsbølgen
bølge, der nordfra breder s i g ind i Nordsøen. Derved b l i v e r en
en lang bølge,hvis fasehastighed afhænger af vanddybden alene
delenes o r b i t a l e r er r e t t e l i n i e r , som løber p a r a l l e l t med det
vandspejl.
ved Englands
er en Kelvintidevandsbølge
og hvor væskeuforstyrrede
I F i g . 82 gives et eksempel på tidevand fra Nordsøen, som k l a r t viser,
at man gennem optiske partikelmålinger kan observere tidevandsfænomener. Den
l i l l e nedre figur v i s e r r e s u l t a t e t af simultane strømmålinger. Skalaen fra
0 - 60 udtrykker hastigheden i om/sek. og pilene s t å r for den retning strøm-
175
men løber imod - f . e k s , betyder f at strømmen løber mod nord.
Partiel*
eonctntratiort
D-11-2 2-3 3-t i-S
LU tud S mm E 3
E B E23 E383 ES3 M É
06"
1S.15Ï
t2
00"
16,3
06"
Pig. 82. Periodisk løftning og
sænkning af p a r t i k l e r i Nordsøen forårsaget af tidevandsstrømme*
Poincaré-bølger :
(6.59) skrives på formen
v"--ß
2
2
ti)
— f*
hvor ß = — ™
v
2
(6#69)
?
k > 0.
Den generelle løsning t i l (6.69) er
V = V cos(ß y + y)
(6.70)
hvor Vo, Y e r integrationskonstanter. V(+ a) = 0 medfører, at v i kan sætte
Y = TI og ß = •=- n, hvor n er et u l i g e t a l . Derved b l i v e r
2a
V » - Vo cos _TI2an
(6.71)
(6.71) indsættes i (6.58) Ï
2
(k
2
gh-ti))Z = k h f V o c o s ß y - u ) h ß V
sin ß y
(6.72)
176
Benyttes
eu2 - k 2 g h . f 2 + ß 2 g h
(6.73)
på (6.72) fås
Z=
k h
|
V (cos ß y + g l
K x
f* + ß^ g h °
sin ß y)
(6.74)
Hvis v i for overskuelighedens skyld e r s t a t t e r første led i (6.74) med A d . v . s .
Z = A (cos ß y + £ - | sin ß y)
(6.75)
finder v i
2
v =
-
A
FE
U = A (jSL
(1 +
cos
^-f-^)
cos
ßy
ß y + £-Ê sin ß y )
(6.76)
(6.77)
Fasehastigheden findes af (6.73)
og-(g)Z.«h +f 2 + g 2 " h > « h
(6.78)
k
Poincaré-bølger har a l t s å en s t ø r r e forplantningshastighed end Kelvin-bølger.
(6.73) kan skrives som
u)2 = f2 + g h ß 2 + g h k 2
(6.79)
Heraf fås 2 uligheder w > f og u> > ß \Jg -h som udtrykker, at der ikke kan
eksistere Poincaré-bølger med en frekvens mindre end inerti-frekvensen og
h e l l e r ikke med en frekvens mindre end ß \/g h = (n TC/ 2a) \jg h. Der er for
r e a l i s t i s k e værdier af a, h kun en ringe sandsynlighed for, at der kan e k s i stere Poincaré-bølger med tidevandsperiode. Følgelig konkluderer v i , at det
resulterende tidevand for det idealiserede kanal-tilfælde fås ved at superponere samtlige Kelvin-bølger med hver deres astronomisk bestemte frekvens.
En Kelvin-bølge, som bevæger s i g ind i Nordsøen, v i l . på et e l l e r andet
tidspunkt ramme kysten hvorfra en del af bølgen v i l reflekteres t i l b a g e . Derved f å r vi en overlejring af to Kelvin-bølger. Vi kan tænke os en lukket kanal,
som en mulig model for Nordsøen, fordi den eneste sydlige passage som findes
177
e r Den engelske Kanal, der e r snæver på Nordsø-siden. Resultatet er for denne
model gengivet i Pig. 83. Det skal bemærkes, at beregningerne, som danner grundlaget for Pig. 83, e r baseret på numeriske metoder. Dette kan være u t i l f r e d s s t i l l e n d e , så derfor v i l vi i s t e d e t o p s t i l l e en tidevandsmodel for Nordsøen,
hvor vi har den åbne kanal f r a t i d l i g e r e i hvilken 2 Kelvin-bølger med samme
amplitude og frekvens løber mod hinanden.
I I It l
/
\ i
8 es
.0 0 Ô
ØOO
000
ÖGGGQ
Pig. 83. Kelvin-bølgers reflektion i en kanal med konstant dybde, som e r åben i
den ene ende. Bølgeperioden er 12 timer, og kanalen befinder s i g på nordlige
halvkugle. Til venstre, co-tidal l i n e s ( i s o l i n i e r , for hvilke ekstreme t i d e vands amplituder forekommer t i l samme tidspunkt) samt i s o l i n i e r for tidevandsamplituder (punkterede l i n i e r ) . Til højre, vandpartiklernes baner.
For Kelvin-bølgen som går i x-aksens retning gælder :
U, = \
e~( f / c f )
7
cos(m t - k x)
(6.80)
178
u,, - TI e~^f/cf^
y
cos(u) t - k x)
(6.81)
og for Kelvin-bølgen som går modsat x-aksens retning gælder analogt :
f
^
u n = u e^ f /°f ^
2
o
y
\
=
~ \
e
^
y
c o s
^* +k
x
)
(6.82)
cos(æ t + k x)
(6.83)
Superposition af de 2 bølger giver
TI = U, + \
(6.84)
u =• ^
(6.85)
+ u2
Uår x = 0 og y - 0 "bliver "Q = 0 for alle t . Dette gælder også, når x = n n og
y = 0. For ethvert punkt på y-aksen er
T| = - 2TL sinh (f/c„) y cos u) t , d.v.s.
for alle punkter på den negative y-akse får vi højvande for tu t = 0, medens
dette indtræffer på den positive y-akse, når tu t = 71. Følgelig er den negative
y-akse "co-tidal line" for tu t = 0 og den positive y—akse "co-tidal line" for
ID
t = Tt.
For alle punkter på x-aksen er T| = 2TI sin k x*sin œ t . Ser vi alene på
intervallet
- n/2 < k x < K/2 , får vi højvande for ethvert punkt på den po-
sitive x-akse, når u) t = n/2 og for ethvert punkt på den negative x-akse, når
UD t = 3ît/2. Disse liniestykker hl iver da "co-tidal lines" for henholdsvis
uj t = TI/2 og tu t = 3K/2. Linien k x = %/2 bliver også en "co-tidal line" for
m t = Ti/2. Vi har nu fundet "co-tidal lines" t i l tiderne u> t = 0, 7t/2, % og
3Tt/2. Yi ønsker herefter at kunne finde "co-tidal lines" t i l andre tidspunkter
og skriver t i l dette formål T] på formen :
f
T| = 2T| cosh — y sin k x-sin ti) t o
C—
- 2T| sinh — y cos k x*cos m t
f
(6,86)
Yi indfører nu 2 funktioner
H cos ep = 2T| cosh — y sin k x
(6.87)
H sin ep = 2TL sinh — y cos k x
(6.88)
179
Derved b l i v e r
I] = H sin(t» t - cp(x, y))
(6.89)
H2 = 4T^(cosh 2 | - y - eos 2 k x)
(6.90)
.p
t g ep = tgh — y' cot k z
C
f
(6.91)
Det ses at H ^ 0, når y ^ 0. H kan kun "blive l i g med nul, når y = 0 og x = 0
e l l e r x = k %. Højvande indtræffer, når IU t - ep = n/2. Dette tidspunkt kalder
vi t o', hvorved
cpCx, y) - » t o - f
(6.92)
b l i v e r ligningen for den kurve ("co-tidal l i n e " ) , som forbinder punkter med
højvande. Vi har
t g uj t m tg(cp + | ) = - cot tp
(6.93)
t g kx coth — y + t g CD t = 0
cf
(6.94)
eller
ved benyttelse af (6.91) og ( 6 . 9 3 ) . Vore "co-tidal l i n e s " kan herefter tegnes
op. t i l forskellige tidspunkter.
Vi v i l betragte forløbet af disse "co-tidal l i n e s " i nærheden af det amfidromiske punkt (O, O) defineret ved T| = 0 for a l l e t . Vore "co-tidal l i n e s "
må alle gå gennem sådanne, punkter, fordi de ikke må skære hinanden. Vi betragt e r a l t s å små værdier af x, y og kan derfor approximere udtrykket i (6.94) s
f
°f 1
t g kx ~ k x, coth (— y) ~ y — d . v . s .
Vore "co-tidal lines" kan altså inde ved det amfidromiske punkt tilnærmes ved
rette linier med hældningskoefficienten
180
Liniernes drejning med tiden fås ved at differentiere (6.96) med hensyn t i l
tiden
Fig. 84. Roterende bølge (amphidromisk bølge) i et kvadratisk bassin med konstant dybde. Bølgen er fremkommet ved superposition af to stående bølger, begge
med en periode på 12 timer men med f o r s k e l l i g fase, der løber vinkelret ind mod
bassinets endevægge ( d . v . s . de to bølgers bølgevektorer er ortogonale).
Havoverfladens topografi e r givet i de f i r e blokdiagrammer t . v . De tilhørende
strømme er v i s t i de f i r e midterfigurer og en vandpartikels banebevægelse (sporl i n i e ) er givet i (f) under forudsætning af ( e ) , der viser en strømellipse for
et enkelt punkt.
(g) Fordelingen af strømellipser i bassinets nordøstlige kvadrant,
(h) Tidevands amplituder i cm for en svingningsperiode (fuldt optrukne l i n i e r )
samt co-tidal l i n i e r (stiplede l i n i e r ) .
181
Kapitel 7
O p t i s k e parametre
7.1.
Definitioner.
En l y s k i l d e h a r e t emissionsspektrum e ( x , t ) , som afhænger af t i d e n t
og "bølgelængden X.
Watt/m
p r .nm
p, X nm
P i g . 85
I v o r e s t i l f æ l d e , h v o r s o l e n e r den a k t u e l l e l y s k i l d e , a n t a g e r v i f o r de f l e s t e p r a k t i s k e t i l f æ l d e , a t s t r å l i n g s f e l t e t e r k o n s t a n t i t i d e n i n d e n f o r en "bestemt m å l e p e r i o d e . Et sådant t i l f æ l d e v i l v i have, n å r solen s t å r h ø j t på
himlen ( s t o r s o l h ø j d e ) , e l l e r n å r måleperioden e r k o r t v a r i g .
Vi i n d f ø r e r nu en v i g t i g d e f i n i t i o n :
Mængden af l y s e n e r g i ( r a d i a n t e n e r g i målt i J o u l e ) i b ø l g e l æ n g d e i n t e r v a l l e t
(X, X + dX) ~ H(X + îjfdx)dX ~ H(x) dX som t r a n s p o r t e r e s over e t a r e a l e l e m e n t då
gennem en v i s t i d dt samt "befinder s i g i n d e n f o r e t v i s t nimvinkel element dua
o r i e n t e r e t i en "bestemt r e t n i n g - se F i g . 86 - kan u d t r y k k e s s å l e d e s :
d H ( \ ) dX - L(x)
COS
9 dX dA dæ d t
(7.1)
n_ldA
F i g . 86
182
Størrelsen L kaldes radiansen (lystætheden) for det udgående f e l t ( r e t t e t e f t e r
nj ved bølgelængden \ , elementet dA og tiden t . I det almene t i l f æ l d e haves
for radiansen :
L = L(x, y , z, e f qj, \ , t )
hvor (x, y, z) e r de 3 kartesiske rumkoordinater - 6, ep polarvinkel og azimuth.
I havet v a r i e r e r L kun langsomt i horisontal retning - d . v . s . (x, y ^ a f hængigheden er ubetydelig. I a l l e praktiske målesituationer kan v i endvidere
se bort f r a den t i d s l i g e afhængighed. Dette bevirker, at L = L(z, 6, ep, x) r e l a t i v t l e t kan måles. L's afhængighed af bølgelængden finder v i n a t u r l i g v i s
ved at benytte os af f a r v e f i l t r e - f . e k s , dobbelte interferensfiltre«.
I det følgende v i l v i ikke betragte ^-afhængigheden, da denne i .sammenhængen er i n t e r e s s e l ø s . Af samme grund omskrives (7.1)
d^H = L cos 6 då åm dt
(7.2)
Vi indfører nu begrebet radiant energiflux F (Watt), som undertiden blot benævnes "flux" !
| ^ = d2? = L cos 6 dA ik
(7.3)
samt begrebet irradiance E (Watt/m ) - også kaldet belysning
d2
r j j - 5 dE » L cos 6 dd)
(7.4)
samt endelig begrebet i n t e n s i t e t I (Watt/steradian)
f i
= dl - L cos 9 dA
(7.5)
Det e r nødvendigt at indføre yderligere nogle parametre, som s p i l l e r en s t o r
r o l l e i den optiske oceanografi :
K / 2 |*2TT
E
d =
L cos e sin 6 dø dep
(7-6)
o
hvilket e r den nedadrettede belysning (downwelling irradiance) på den horisont a l e plan.
183
r 2lT
u
L | cos 8 J s i n 6 d9 dtp
h/2
(7.8)
h v i l k e t t i l s v a r e n d e e r den o p a d r e t t e d e b e l y s n i n g ( u p w e l l i n g i r r a d i a n c e ) på
den h o r i s o n t a l e p l a n .
rit
E = E^ - E =
d
u
f2ir
L cos 6 du)
(7.9)
som benævnes den v e k t o r i e l l e b e l y s n i n g ( v e c t o r i r r a d i a n c e ) .
E
o
=
(7.10)
L du)
denne s t ø r r e l s e benævnes med den s k a l a r e b e l y s n i n g ( s c a l a r i r r a d i a n c e ) .
E
= ( s a m l e t f l u x på en kugle)/4it r , hvor r e r k u g l e n s r a d i u s , k a l d e r v i
sfærisk belysning (spherical
t-n/2
irradiance).
f2ir
Eod
(7.11)
L dm
benævnes den n e d a d r e t t e d e s k a l a r e b e l y s n i n g (downwelling s c a l a r i r r a d i a n c e ) .
2TT
rir
E
ou
=
(7.12)
L du)
TT/2
benævnes den o p a d r e t t e d e s k a l a r e b e l y s n i n g ( u p w e l l i n g s c a l a r i r r a d i a n c e ) .
Parametrene (7*6) - (7«10) e r af s t ø r s t i n t e r e s s e . Desværre f i n d e s kun få m å l i n g e r af E , f o r d i sådanne målinger e r v a n s k e l i g e a t udføre i p r a k s i s .
Vi h a r b r u g f o r a t indføre p a r a m e t r e , som u d t r y k k e r l y s f e l t e t s
svækkelse
med dybden z - a l t s å d e t s ændring i v e r t i k a l r e t n i n g . Antag a t l y s f e l t e t
b e s k r e v e t ved parameteren E . . Vi d e f i n e r e r da den v e r t i k a l e
er
dæmpningskoeffi~
c i e n t ( v e r t i c a l a t t e n u a t i o n c o e f f i c i e n t ) f o r E. ved :
öE
1
i
K. = - c - ~ - i - K. v( z ,
l
E. bz
i
'
tJ)
(7.13)
i
hvor index "i" f.eks, kan være "od". Dette ville da betyde at
1_ od
Kod
Eod dE
dz
(7.14)
T i l s v a r e n d e f i n d e r v i f o r L og b e s l æ g t e d e parametre uden index
\"Z^'\^
6
' * *>
(7.15)
184
7.2.
S t r å l ingsl igningen.
havoverflade
z=0
Pig. 87
Vi b e t r a g t e r upolariseret monokromatisk lys kommende f r a en bestemt retning
(9, ep).
Pluxen på dA = d F(r) « L(ø, ep, r) då diu.
Vi undersøger først ly s spredningen væk fra volumenelementet då 6r
Definition :
( r ) dA gr = ß(e) a P(r) gr
a i(e) - p(e) SE av = p(e) A dA
(7.16)
Total spredt flux væk fra volumenelementet fås ved at integrere over a l l e r e t ninger — se (7.5)
d 2 ! ^ ) diu =
ß(9) d 2 F(r) 6r duo . d 2 F 6r f
d T <$r*t> = L(e, ep, r) âA 6r diu-b
ß(e) du> =
(7.17)
-1hvor s t ø r r e l s e n b benævnes spredningskoefficienten (m~
).
Volumenelementet absorberer også radiant energi givet ved Lambert-Beers lov :
6(d 2 P(r)) « - a d 2 F(r) o r .
—1
Størrelsen abenævnes absorptionsko efficient en (m"~ ) .
I n d t i l videre er det samlede tab af radiant energi fra volumenelementet dV
( a + b) L(e, ep, r ) dA ôr du>
185
hvor a + b =s c , som benævnes dæmpningskoefficienten ( a t t e n u a t i o n
coefficient).
I m i d l e r t i d f i n d e r en t r e d i e p r o c e s s t e d , da omgivelserne b i d r a g e r med en f l u x
ind mod volumenelementet dV (kommende f r a a l l e r e t n i n g e r ) , hvoraf en del af
denne s p r e d e s i r e t n i n g e n ( 8 , ep). D e t t e mindsker t a b e t af r a d i a n t e n e r g i , som
f o r å r s a g e d e s af s p r e d n i n g s - og a b s o r p t i o n s p r o c e s s e r a e . Yi b e t r a g t e r i n t e n s i t e t e n kommende f r a r e t n i n g e n ( 6 1 , ep1) som s p r e d e s i r e t n i n g e n ( 6 , ep) :
6,9
d ^ l ( 9 , ep) - p(a) dE dV ß(a)
P ( B )
^
e>'
dV =
ds
P i g . 88
L(9'T
q>t
'
de
r ) du)' ds
T
ds
normalen t i l ds g å r i r e t n i n g e n ( 6 ' , cpT) :
Det samlede b i d r a g i r e t n i n g e n ( 8 , ep) f å s ved i n t e g r a t i o n o v e r a l l e rumvinkler:
d l ( e , ep) - f
p(a)
L
(e't ?S
r
) *»'
Æs
dY -
J
ktt
L ( 6 S ep', r ) ß(o) du)'
dV
(7.18)
UTT
C o s i n u s - r e l a t i o n e n f o r en s f æ r i s k t r e k a n t g i v e r
cos a = cos 6 cos 8' + sin 8 sin 9' cos (ep - ep')
(7.19)
d ^ = d l ( 8 , ep) dtu = da) dV
(7.20)
L ( e ' , ep'* *0 ß(°0 âu)!
kit
Jlux-^ændringen h i d r ø r e n d e f r a volumenelementet dY kan nu u d t r y k k e s :
d ^ r
+ fir) - d 2 F ( r ) ~ ^ d
— {
fiL e
^ .grtp'
F
rt
r
))
6
r =
I )
'' d l 6r du> - - c L ( 6 , ep, r ) dA Ôr drc +
+ dtu dV
L ( 6 ' , ep', r ) ß(cc) dto'.
E f t e r d i v i s i o n med du) dY f å r v i u d t r y k k e t f o r den k l a s s i s k e s t r å l i n g s l i g n i n g :
^ V *
r )
- - o L + f
L ( e ' , ep-, r ) ß(«) *•>'
(7.21)
186
Antager vi horisontal s t r a t i f i k a t i o n d . v . s .
Sil = Êk . o samt z = r cos 6
ox oy
(7.22)
får ligningen følgende udseende :
cos
g oL(6 T ep, z)
m
_
c L ^ Qj
^ ^
+
J
L(Q,^
^
r)ß(a)
d(B t
(7-23)
hvor sidste led for nemheds skyld ofte skrives som L (9, ep, z). Denne funktion
kalder man vej-funktionen (path, function).
Strål ingsligningen er vanskelig at behandle i det generelle t i l f æ l d e , fordi den er på integro-differential form. Hedenfor v i l nogle enkelte eksempler
på dens anvendelighed blive g i v e t . Strål ingsligningen giver umiddelbart at for
6 = n/2 :
L ( n / 2 , ep, z)
c
,
*
•
L (TI/2,
-.
tp,
z)
(7.24)
.
f o r a l l e ( z , - <P).
Kan vi bestemme L og L
i ovennævnte tilfælde, har vi dermed bestemt dæmpnings .
3E
koefficienten c. L måles ved i stor afstand fra radiansrøret (se afsnit 7*3)
at anbringe en s o r t mat plade ( l ' é c r a n n o i r ) . Herved opnår vi at måle den radians, som er spredt ind i horisont al retningen, hvilket netop er L . Ved at
fjerne denne plade og måle .igen, findes L.
Dæmpningskoefficienten kan også måles på anden v i s , ved at måle L i r e t ning mod solen, når radiansrøret befinder sig i vand. Denne retning findes fra
Snell's lov :
cos h
n
s
-
a
n og n er henholdsvis brydnings index i vand og luft (n afhænger kun l i d t af
temperatur og s a l i n i t e t ) , h - solhøjden i l u f t og S » sol vinklen i vand.
(7.4) og (7.15) giver
K C0S
L
V °-- L V I O! I) ' K L (6 s' °' z> C0S 9 s
cp er pr. definition = 0 i retning mod solen.
I praksis haves L » L* for 6 = 9 s, således at vi får
C7-26)
187
c-K
cos 9 B
L
(7.27)
Ovennævnte t y p e c - m å l i n g e r e r ikke a l m i n d e l i g e . Sædvanligvis anvender v i e t
c-meter ( t r a n s m i s s i o n s m e t e r ) t i l a t mâle dæmpningsko e f f i c i e n t e n . Dette i n s t r u ment m å l e r en tynd l y s s t r å l e s svækkelse, e f t e r a t denne h a r g å e t over en f a s t
a f s t a n d . Ved hjælp af indskudte b l ænderanordninger i s t r å l e g a n g e n og ved f o r t r i n s v i s a t måle om n a t t e n haves
l ^ c L
L ( r ) = L(0) e" C
+ L ^ - o L - »
r
(7.28)
I n t e g r e r e r v i s t r å l i n g s l i g n i n g e n over a l l e r e t n i n g e r f å s :
|-
I
cos 9 L dci) • - c
'kil
JUTT
L du) +
J kir
]
Jkir
L ( 9 ' , q>', z) d»' ß(cc) åsa =
Jkir
$E « - c E + b E = - a E
bz
o
o
o
(7.29)
•/
M
i f ø l g e ( 7 . 9 ) og ( 7 . I O ) .
Denne v i g t i g e l i g n i n g k a l d e s Gershuns l i g n i n g . Den t i l l a d e r beregning af a b s o r p tionskoefficienten,
h v i s man k e n d e r E ( z ) og b E / b z , h v i l k e t i p r a k s i s v i l
sige
E ( z ) . Hvis v i kender L ( 8 , ep, z ) , kan a. n a t u r l i g v i s også beregnes ved b e n y t t e l se af ( 7 . 9 ) , (7.IO) og ( 7 . 2 9 ) .
Differentierer vi (7.29) m.h.t. z fås
d ln(K_,/a)
dz
-ht-*o
(7.30)
ved at benytte (7.13).
Måles K_ og K
£j
(hvor E(z) og E (z) kan være angivet i enten relative eller abO
O
s o l u t t e enheder) kan a b s o r p t i o n e n s r e l a t i v e v a r i a t i o n med dybden b e r e g n e s . Desuden f i n d e r v i f r a ( 7 . 2 9 )
/ L cos 6 du>
E
a = Kg g = Kg =£
:
= Kg < cos 6 >
o
fA% L du>
Da L ( 8 , 0
(7-31)
z) y> L ( e , «>» 2) f o r a l l e ( 9 , ep) og små dybder v i l < cos 8 > ~ cos 8
således at
a - Kg cos 8 s
(7.32)
188
Vi kender nu a ' s absolutværdi for z = 0 foruden a(z)*s r e l a t i v e variation,
hvilket medfører, at a(z) kan beregnes. Metoden har aldrig været anvendt, men
er fuldt brugbar. Den har den fordel, at ukalibrerede instrumenter e r tilstrækkelige for måling af absorptionen (se endvidere afsnit 7-7)»
7.3
Måling af radians.
Fig. 89
Radiansrøret er som v i s t på figuren konstrueret således, at a l l e s t r å l e r , hvis
retning ligger indenfor ( 8 - •§ d6 | 9 + § de) og (ep - | \ sin 6 dep | ep + \ sin Ö
brydes af linsen således, at de kan fortsætte videre gennem blændehullet - der
l i g g e r i en brændvidde s afstand fra linsen - t i l sensoren. For s t r å l e r udenfor disse retninger v i l gælde, at disse p . g . a . blænde systemet ikke modtages
af sensoren. Vi benævner d6 som instrumentets åbningsvinkel. Er denne l i l l e ,
siger v i , at L e r den samme over hele du). Benyttes Fig. 89 og (7*3) ses, at
189
den af radianB-fcuben modtagne flux = L(ø, ep, z) dA dm. Siden dA og dtu er i n s t r u mentkonstanter uafhængige af (6, ep), v i l det såkaldte radiansrør måle en s t ø r relse = konstant - L(6, ep, z), hvor denne konstant kan findes ved k a l i b r e r i n g .
Radiansen måles i praksis på følgende måde : Radians røret udstyres med et b e stemt f a r v e f i l t e r , orienteres i polarvinkel retningen 6 og sænkes ned t i l dybden z. Derefter r o t e r e s radiansrøret - f . e k s , v . h . a . en propel - omkring vert i k a l e n . Kender vi azimut al vinkelhastigheden, har vi bestemt L(z, ep) for f a s t holdt Ö. Radiansrøret r e t t e s herefter mod en anden polarvinkel retning - og man
gentager rotation omkring v e r t i k a l e n . Som det direkte fremgår, er denne type
målinger sene. Dette er da også grunden t i l , at vi i høj grad benytter os af
andre former for dagslys-målinger, hvor dette e r muligt.
Måletidens varighed gør det tvivlsomt, om s t r å l i n g s f e l t e t kan anses for
værende tidsuafhængigt. Korrektioner f o r disse variationer kan udføres ved at
vi måler dagslyset på skibsdækket (dæk—fotometer målinger).
Orienteringen af radiansrøret i havet kan volde praktiske problemer. Især
azimuthvinkl en er vanskelig at bestemme, når det gælder den mest almindelige
type L-metre. Disse problemer er l ø s t i mere specielle L-meter udgaver, men
omtale af disse fører for vidt og e r desuden ikke af principiel i n t e r e s s e .
7.4.
Måling af i r r a d i a n s .
Kender vi L(9, ep, z) kan vi ved numerisk integration finde E , idet der
ifølge (7*6) gælder
r rc/2 r 2ît
E
d-
L cos 6 diu
Jo
(7.33)
Jo
Denne integration kan imidlertid også udføres instrumentalt v . h . a . en plan,
ideel opal - en såkaldt cosinus-collector e l l e r n-collector - anbragt foran
en lysfølsom sensor.
farvefilter
E,-meter
a
sensor
Fig. 90
190
En i d e e l c o l l e c t o r h a r den egenskab, a t i n t e n s i t e t e n d l kommende f r a
retnin-
gen 6 r e g i s t r e r e s af sensoren med en værdi p r o p o r t i o n a l med cos 0. Det af o p a len t r a n s m i t t e r e d e l y s f ø l g e r Lamberts l o v , d . v . s . : d l ( 6 ) = d l ( 0 ) cos 0.
opal
F i g . 91
Fluxen ûrF f r a dA med r a d i a n s e n L(0, ep, z) på o p a l e n med a r e a l e t = ds e r
iføl-
ge ( 7 . 3 )
,2„
T ,
«-,
T
n -,
, n ds cos 0
d P = L ds cos 0 dti) = L r s i n 6 dtp r dø
=
?
L s i n 0 d6 dep cos 0 ds (îTBJ L e r den f r a dA u d s e n d t e r a d i a n s f r a
retnin-
gen ( 0 , ep)).
Belysningen på ds hidhørende f r a f l u x e n kommende f r a då b l i v e r i f ø l g e
ih
(7.4)
= L cos 6 dtu.
ds
Summerer v i nu b i d r a g e n e f r a a l l e då-e m e f å s :
[%/2 r2x
Samlet b e l y s n i n g på opalen =
L cos 6 dtu = E.
o
Jo
(7.34)
Dette r e s u l t a t kan også f å s på en anden aåde ved a t b e t r a g t e F i g . 9 2 , hvor f l u x en på o p a l e n f r a r e t n i n g e n . ( 0 , ep) = d J? = L(6, ep, z) dm ds cos 0. (ITB I L e r
den af o p a l e n modtagne r a d i a n s f r a r e t n i n g e n ( 9 , ep)). Den samlede f l u x b l i v e r
følgelig =
dF = ds L
dF
CUT
_
r
d s ~ 2TI
L cos 0 dtu og b e l y s n i n g e n b l i v e r f ø l g e l i g =
L cos 0 du) r E.
(7.35)
191
Er opalen ikke ideel, v i l der r e g i s t r e r e s et E givet ved
f-n/2 r2ir
L f(e) dtu
hvor cos 8 > f(6) for a l l e 9.
f ( e ) v i l desuden være afhængig af bølgelængden, hvilket må vises eksperimentelt.
Fifr ?3
f ( 9 , X) findes eksperimentelt på følgende måde :
E.,-meteren anbringes i vand og en kollimeret l y s s t r å l e med intensiteten I og
d
bølgelængden \ r e t t e s vinkelret mod opalen, hvorved man f å r et v i s t signal
S(e = 0) ud. Derefter drejes E -meteren vinkelen 8 på en sådan måde, at opalens l o d r e t t e diameter er drejningsaksen. Herved fås et signal 3(8). Dette
gøres for diskrete 6-værdier og v i finder da
« e '*>=!W
(7.36)
Undertiden ønsker vi at måle den skalare belysning, hvilket gøres med et såkaldt E -meter. Et E -meter består af en opaliseret sfære. I bunden af denne
o
o
e r anbragt en l i l l e flad modtager-opal, som transmitterer lyset videre gennem et f a r v e f i l t e r t i l en lysfølsom sensor. Kuglens radius bør ikke være for
s t o r , fordi radiansens dybdeafhængighed da v i l få betydning - se (7*37) nedenfor. Desuden kan kuglen, hvis den e r for s t o r , skygge for sig selv.
192
F i g . 94
Fluxen på opalkuglen med r a d i u s = r kommende f r a r e t n i n g e n ( 6 , ep) e r g i v e t ved:
dF « L ( e , ¥, z) du % xc
(7.37)
Den t o t a l e f l u x f å s ved i n t e g r a t i o n o v e r a l l e v i n k l e r
2
dF = F =
k-n
UTT
L(G, ep, z) dui
TI
r
2
= E
% v
(7.38)
Heraf f å s d i r e k t e Ï
E
(7.39)
s =
2 - 4 o
4u r
^
Den på kuglen indfaldende totale flux F forårsager en vis radiansfordeling på
samme. Antag, at vi ved fladeelementet ds - se Fig. 94 - har radiansen L(9',<?*)•
(NB Ï Dette er ikke radiansen i havet på det pågældende sted).
Fluxen fra ds til ds kan ifølge (7.3) udtrykkes ved :
,,2-,
d F =
L' ds cos v ds cos v
L 1 ds ds
2
o
r
2
d^
4 r
(7.40)
da d/2 = r cos v .
Ti s e r , a t f l u x e n t i l ds
e r den samme f o r samme L 1 , u a n s e t h v o r på kuglen ds
p l a c e r e s , da u d t r y k k e t i (7*40) e r v i n k e l u a f h æ n g i g t .
Vi h a r t i d l i g e r e i n d s e t , a t k u g l e n modtager en f l u x p r o p o r t i o n a l t med E .
Dette g i v e r kuglen en m i d d e l r a d i u s , som også e r p r o p o r t i o n a l med E . Rent
193
faktisk varierer L' henover kuglen, men det ses v . h . a . (7-40), at vi ligeså
godt kan regne med en middel radians, hvorom det gælder :
< L > 411 r
-
L« ds.
UTT
Følgelig "bliver "belysningen ved ds
E ds
dF
r—
r « konst. • n E
ds o = konst.
JUir 4 r 2
(7.41)
- a l t s å en belysning proportional med E .
Ved tilsvarende regnemetoder kan det v i s e s , at E måles med et opal-arrangement
som v i s t på Fig. 95' De^ skraverede område er i princippet en horisontal uendel i g opak plan.
rnnmmuititïi
nui/nu
sensor
Fig. 95
E
ou
måles ved at vende E ..-meteren 180 .
od
Yderligere "beregninger vil godtgøre, at arrangementet som vist nedenfor
i Fig. 96 måler en størrelse proportional med (E
+ E) samt at samme vendt 180
nedad (E - E). Disse forhold bevirker, at de to meget vigtige parametre E, E
kan beregnes direkte. Se iøvrigt en mere detaljeret behandling i afsnit 7«6.
(E
+ E)
x
7 - meter
o
Fig. 96
Nedre halvkugle er sort, undtagen, n a t u r l i g v i s , d e n l i l l e flade modtage-opal.
Andre lignende collector-typer kan udvikles, hvilket dog for sammenhængen her
194
vil være i n t e r e s s e l ø s t .
7.5«
Immersionseffekt.
Uår lys falder på en opal, v i l det inde i denne spredes i a l l e retninger.
Af den del, som spredes t i l b a g e , vil en v i s del t o t a l r e f l e k t e r e s frem mod sensoren igen, medens en anden del v i l forlade opalen. Den k r i t i s k e vinkel, for
hvilken t o t al refleks ion indtræffer, er afhængig af mediets "brydnings index umiddelbart udenfor opalen. Totalrefleksion indtræffer for større vinkler, når opalen befinder sig i vand (ca. 63 ) end i l u f t (ca. 41 ) - d . v . s . opalen t r a n s mitterer mindre lys i vand end i l u f t . Fænomenet kaldes immersions effekt. Det
skal nævnes, at hvis pågældende opal er stærkt absorberende i et v i s t bølgelængdeinterval, v i l immersionseffekten her være l i l l e , fordi den del af det
transmitterede l y s , som hidrører f r a t o t al refleks ion, har gået så lang en middelvejlængde, at det næsten er helt absorberet.
Immersionseffekten for en given opal e r ofte bølgelængdeafhængig, h v i l ket kan vises eksperimentelt. Da de f l e s t e dagslys-målere calibreres i l u f t ,
er det nødvendigt, at bestemme deres immersionseffekt.
Måling af E udføres som ved måling af E, - blot med den forskel at
E-meteren vendes nedad. Det skal nævnes, at opalens mangelfuldheder ofte er
mærkbare her, fordi det opadrettede lys ikke er udpræget retningsbestemt. Coll e c t o r - f e j l på ca. 20 fo er almindelige.
Måling af E udføres som to separate målinger af E, og E , hvorefter værdierne subtraheres.
"J.6.
Bølgelængde-integrerende irradians-målere.
Den bølgelængde-integrerende lysmålers detektor antages at have en energiføl somhedskurve S(x). Dets transmis s ionskurve i luft - for transmissionen
gennem opal, vindue o . l . - kaldes T(x) og instrumentets immersionseffekt angives ved l ( x ) . Det resulterende signal i bølgelængdeintervallet ( \ l \ ) b l i ver da i vand :
R = '( 2 T(x) S(\) l(x) E ( \ ) d\
(7.42)
hvor E(x) er irradiansen ved instrumentets opal. Sædvanligvis undersøger vi
ved calibreringen i luft den samlede effekt fra T(\) og S(x) - altså funktionen T(x) S(x) = S (\). Herved fås
195
R =
f 2
A
So(x) I(X) E(\) dX
(7.43)
l
Vi udvælger - hvor dette er muligt - opal-materiale som forårsager en bølgelængdeuafhængig immersionseffekt. Dette bevirker, at instrumentets virkemåde
i vand er som i luft - sagt anderledes : At instrumentets spektrale egenskaber
bibeholdes i henholdsvis vand og luft. Immersionseffekten er sjældent helt uafhængig af bølgelsengden, hvilket der bør tages hensyn til.
Hvis vi nu tænker os, at funktionen S (\) l(\) er gjort uafhængig af bølgelængden i intervallet (x- I \„), hvilket kan gøres ved instrumentelle tilpasninger, bliver signalet ifølge (7.43)
R = S o I J 2 E(x) di
X
(7.44)
l
d.v.s. instrumentet integrerer irradiansen fra X1 til X„. Denne instrumenttype
kaldes et integrerende E -meter, og det måler energien pr. tids- og fladeenhed.
Vil vi istedet for energien måle antallet af lyskvanter, som erfaringsmæssigt er bestemmende for fotosyntesen i havet, kan dette også gøres instrumentalt med et såkaldt q-meter. Vi har nemlig :
E(x) = antal lyskvanter • kvanteenergien ved pågældende X medfører at
E(x) =*r(x) h v-irU) h (c/x)
da \ v = c, h er Plancks konstant, v er frekvensen og c er lyshastigheden i
vacuum. Instrument signal et bliver ved benyttelse af (7.43)
E . h o f2 S (X) I(x) N(x) x 1 iX
(7.45)
Vores valgte opal antages at have en bølgelængde-uafhængig
immersionseffekt.
Vælger v i desuden S (x) = konst. * X, hvilket kan opnås ved at "prøve sig frem",
fås direkte :
R = h c*konst..
/* 2
[ 3J(x) dx
(7.46)
J1 xX ,
l
som netop giver a n t a l l e t af lyskvanter mellem x1 °g ô*
Der
ân ikke gives no-
gen f a s t e regler f o r på hvilken måde, v i opnår egenskaberne angivet ved (7.44)
og ( 7 . 4 6 ) . Her er i høj grad t a l e om erfaringssager.
196
7.7«
Absorptionsmåler.
Gershuns l i g n i n g udsiger :
S j g S l - - a(z)E o ( z )
(7.47)
U.V.s. kender vi E(z) og E (z) kan a(z) "beregnes. Måling af E(z) og E (z) kan
udføres på forskellige måder. Den mest direkte er at måle E,, E og E med t r e
d' u ° o
forskellige E-metre. Man kan også benytte en opaliseret halvkugle, som er o r i enteret opad, idet denne v i l måle |r(E + E) - vendt nedad -|(E - E ) . Vi fores t i l l e r os nu, at målinger er udført t r i n v i s på de ækvidistante dybder z., z ? ,
z-, . . . . z „, z , hvor z - z , sædvanligvis
= 5 meter. Vi har :
ö
3'
n-1' n'
n
n-1
—/ n
KL,(z) dz
eller
E(z n ) = E ( z n _ 2 ) e
- < Kp > (z, - z _)
n 2
*
»
"
(7.49)
hvor < Kp > er middelværdien i det pågældende dybde i n t e r v a l .
E z
1
<K
E>
=
Z- ,
n
( n-2>
.**sèr
n-2
(7.47) og (7.48) medfører
v
(7 50)
-
n'
heraf fås
0^ n—v
Calibre ring af absorpt ionsmåle ren (a-meter) udføres på følgende måde :
E - , E , - og E -metrene udstyres med deres respektive f i l t r e og sensorer. Dernæst placeres de t r e instrumenter i hver s i t rør (Gershun rør) hvori der er
indskudt blændere, således at deres åbningsvinkel er den samme. Rørene r e t t e s
nu mod samme punkt på himlen (bedst mod solen), og signalerne i luft fra de
t r e instrumenter aflæses.
197
Hg (X0) = Sg (x 0 ) \ (X ) /
d
d
d
&
L cos 6
to
(7.53)
Da l y s e t falder vinkelret ind mod opalen, haves
Hg. (X0) - Sfe (Xo) TE (x ) L Au)
-.ad.
d
( 7 .54)
d
Tilsvarende findes for E -signalet
(X
^
o> - ^
(X
o> Ê ( V
u
u
samt f o r E - s i g n a l e t
L Aü)
» ^ < V *E (\>>
*E (\)
O
0
(7.55)
u
L Aa)
(7.56)
0
Funktionerne S og T har samme betydning som i afsnit 7 . 7 . Udtrykkene (7.54) (7.56) gælder som sagt for målinger i l u f t , men eftersom a-meteret skal måle
i havet, skal vi tage hensyn t i l de t r e E-metres immersionseffekter, som f ø l gelig skal bestemmes ved forskellige bølgelængder.
Rp, = 1 p . g . a . normalisering
o
s
Ed<V X^
\C\.)
X"W W Y ^
= k1
(7,57)
og tilsvarende for
u
Konstanterne k og k afhænger af bølgelængden og angiver den indbyrdes følsomhed mellem de t r e E-metre i vand. Der gælder altså :
E0
E
d
(D
1
1 ^d
(7.59)
X.
(7.60)
= k
Eu -
(7.58)
*E
*2 "u
hvorfra a(z) ifølge (7*52) kan beregnes.
198
7.8.
Spredningsmåle r e .
Der findes i princippet to typer. Den ene måler det integrerede spredningsbidrag b = 2JI / ß(8) sin 6 d6, medens den anden måler ß(6). Princippet i et
såkaldt ß-meter er blot en s t a b i l lyskilde kombineret med et linsesystem, som
s i k r e r en p a r a l l e l strålegang. Desuden en modtager med l i l l e åbningsvinkel ( r a dianstube). Begge l i g g e r i samme plan. De kan drejes i bestemte vinkler i f o r hold t i l hinanden. Der gælder :
(7.61)
dl(e) - ß(G) B dV
dV = det rumfang,som fremkommer hvor modtagerens åbningsvinkel skærer l y s s t r å l e n .
Udfra apparatdimensionerne bestemmes dV's s t ø r r e l s e geometrisk som en funktion
af 0. Da E e r den samme for a l l e 6, og dl(6) bestemmes gennem måling, kan vi
finde ß(6).
Målinger ved små (< 1 ) og store (> 1/0 ) vinkler e r vanskelige e l l e r
endog umulige, fordi instrumentet har begrænsninger sat af optikken samt i n strumentets egen udstrækning. Dertil kommer, at dV er usikkert bestemt ved
disse vinkler.
Den integrerende spredningsmåler (b-meter) består af et lampehus, foran
hvilket en flad opal (cos-collector) er anbragt. Vinkelret på dette beliggende
i samme plan sidder et radiansrør således anbragt og konstrueret, at l y s , kommende direkte f r a opalen, ikke v i l nå frem t i l radiansrørets photomultiplikator.
sensor
—
Pig. 91
199
Yi regner med at h, opalen og åbnings vinkl en er lille, samt fluxen fra lampehuset er konstant. Desuden at opalen er en ideel Lambert diffuser d.v.s. :
i(e) = 1(0) cos e
(7.62)
En opal kan aldrig eksakt opfylde (7*62). På den anden side kan man via tekniske anordninger komme nær idealet angivet ved (7.62).
Intensiteten, som udgår fra opalens overflade i retningen 6 (se Pig. 97),
er givet ved I - l(0) sin 9. Intensiteten ved dV bliver da *=
1(0) sin e e-(h/sin- e ) c
(7.63)
hvor c er vandets dæmpningskoeff icient ved den pågældende bølgelængde. Fluxen
på dV = I(x) dti) = E(x) dA.
da) - T I T - 2
(7.64)
^sin 6'
dA er et are alelement beliggende indenfor dV, hvis normal danner vinklen 6 med
radianstubens "synsretning". Vi finder nu :
B(x) =
1(0) f*h
h
e-
« Wsin
6
(?>65)
Intensiteten spredt af dV ind i detektoren er :
dl = E(x) p(6) dV <= E(x) ß(9) x2 dx di»
(7.66)
Radiansen målt af detektoren bliver da :
,T
^
=
dl
dÂ
o
e
- c x
=
dl
- c x
e
~2
x dæ
o
t„ e-\
(7'6?)
Era Fig. 97 fås :
y,
x = r - h cot 9 og dx = ~~~ö d ^ .
sin 8
(7.65) - (7-67) giver
-—cc( r\T++hn (-rrfl -- cot
i—r—_
coxe)i
ÖJJ
T/A\
dL = -£-*• ß(9) BIS 0 e
dB
(7.68)
200
b-meteret er konstrueret således, at r »
h, d.v.s. vi kan i praksis integrere
fra 8 = O t i l 8 = TI. Vi undersøger nu størrelsen
-i
- c h (—:—T
- cot 8)
L
sin 6
- se Fig. 98.
/1
t
."
c h
1
c h
(*^Tft " cot 9)
'
( - ^ T f i - cot 8) /
Pig. 98
- c h( . 1 . - cot 8)
Vi ser, at e
~ î f ° r de 6-værdier, hvor spredningen er afgørende. Derfor sættes uden videre denne funktion = 1, og vi får da :
L -_ 1102 e- c r
T
ß(8)
K / sin 6 d6 - # £ ) £ e - °
2% h
r
(7-69)
— C X1
Vi kender h, r. Leddet e
kender vi under alle omstændigheder omtrentligt,
men i mange tilfælde også helt nøje udfra simultane o-målinger. L findes ved
måling og kendes l(0) fra callbrering - kan h "beregnes. Er lampen, photomultiplikator, opal o.s.v. uforanderlige i tiden er l(o) en apparatkonstant, som
kun vil være afhængig af "bølgelængden. Desværre er dette ikke tilfældet,
hvorfor
gentagne calibreringer er nødvendige.
Instrumenterne nævnt under spredning benyttes bedst om natten, da de er
meget følsomme over for endog små mængder lysenergi. For at mindske en evt.
dagslyseffekt bruger man ofte røde farvefiltre foran photomultiplikatoren.
Dette kan gøres med fordel, fordi partikel spredningen ofte viser sig at være
bølgelængdeuafhængig og fordi vandets egenspredning er meget l i l l e i rødt.
201
Kapitel 8
Appendix
8.1.
Vektoranalytiske begreber.
Et vektor felt er et rum, i hvilket der til ethvert punkt svarer en vek-
tor. Et eksempel herpå er hastighedsfeltet af en væske i bevægelse, hvor der i
ethvert punkt er en vis hastighed v - v(x, y, z, tj.
Et skalarfelt er et rum, i hvilket der til ethvert punkt svarer en
skalar. Trykket p = p ( x , y, z, t) i en væske danner et skalarfelt, og tyngdepotentialet, tidevandspotentiålet, hastighedspotentialet etc. gør det også.
Gradienten af ep (gradcp el, Vcp}, hvor ep er en skalar, er en vektor, som
går i den retning, hvor ep vokser stærkest, og hvis størrelse er lig med m's
tilvækst pr. længdeenhed i denne retning, ep forudsættes at være en funktion af
ruinkoordinaterne og kan være en funktion af tiden, tp = c, hvor c er en konstant,
er derfor ligningen for en flade {en ækvipotentialflade, hvis ep e r en potentialfunktion) .
Gradienten i et punkt P i denne flade går i normalens retning, forudsat
grad cp ^ 0 i P, og kun én flade går gennem P. I kartesiske koordinater kan
grad ep skrives
grad cp
=tf= î | L + ^ | ) L
+
ir|£.
(8.D
hvor V skal opfattes som en differentialoperator, der kan skrives
(8 2)
'-*£•*!?•*&
-
Divergensen af A ( d i v A e l . V * A ) , hvor A e r en v e k t o r , e r en s k a l a r , som
som i k a r t e s i s k e k o o r d i n a t e r d e f i n e r e s ved
3A
SA
3A
hvor
A « i A +ÎA + k A
x
y
z
(8.it)
202
- * •
Divergensen af en vektor A kan opfattes som det antal feltlimer
(A-linier), der udgår fra en rumfangsenhed.
Rotationen af A (rot A, curl A el. 7 x A)» er en vektor
, som i kar-
te si ske koordinater defineres ved
rot A = curl A = V x A =
9A
x (
3A
_
^ T 3z } + ° {H
SA
3A
aA
dx } + k ( 3x
^ 8 " 5)
3A
3y }
_>.
(*) Bemærkning: En vektor A har den egenskab at være uafhængig af det
valgte
koordinatsystem. Dette er ikke tilfældet for rotationen af en vektor. Her er
orienteringen af akserne af betydning, fordi vi betragter krydsproduktet mellem to vektorer V og A. Dette forhold far kun betydning, nar vi foretager transformationer fra venstre- (højre-)drejede koordinatsystemer til højre- (venstre-)
drejede.
Af definitionerne på grad, div og rot følger identiteterne
div rot A
= 0
'
(8.6)
rot grad ep = 0
(8.7)
Den første viser, at hvirvellinier ikke kan ende i strømfeltet. De må løbe
tilbage i
sig selv eller begynde og ende i strømfeltets grænser. Den anden
viser, at et gradientfelt (potentialfelt) er hvirvelfrit.
Idet ep og ip er vilkårlige skalarer, og A og B vilkårlige vektorer, gælder
grad ( W )
« <P grad lp + ty grad <P
div (tpA)
- ep div A + (grad9 ) * A
(8.9)
rot (cpA)
= tp rot A + (grad ep) x A
(8.10)
div (A * 3)
= B • rot A - A rot B
(8.11)
grad (A * B) = (A • V)B + (B ' V)A + A x rot B + B x rot A
(8.8)
(8.12)
203
(A
• V ) B er en vektor, der kan opfattes som den vektortilvækst S* får, når vi
flytter os et stykke lig vektoren A fra det betragtede punkt i B*-felt et. Udskrevet i komponentform fås :
(i
dB
3B
3B
A —— + A —— + A ——
x 3x
y 3y
z 3z
3B
3B
V)B = t
3B
• Î
j^
— i - 4. j^
x 3x
ti.
-1-tf.4. A
y 3y
(8.13)
z 3z
1
3B
3B
+ k W —5. + ^ — 2
] x 3x
y 3y
+ A
3B
—z
z 3z
rot (A x B) = (B • V)A - (A • V)B + A div B - B div A
2
2
2
= A = — r + —p + —p
3x
3y
3z*
div grad = V
(8.1U)
(8.15)
hvor A er Laplace-opérâtoren udskrevet her i kartesiske koordinater
A(cfty) =
(8.16)
+ 2 grad ep • grad ty
VW+
Vi betragter herefter en vilkårlig funktion f(x, y» z, t) og bemærker,
at er rumkoordinaterne fastlagt som en funktion af tiden t, e r — defineret og
givet ved
dt
3t
dt 3x
dt 3y
(8.16)
dt 3 z
Er tidsafhængigheden fastlagt i ethvert punkt til ethvert tidspunkt ved et
hastighedsfelt v = v{x, y, z, t ) , er —
dermed bestemt som en funktion af sted
og tid. Er v specielt hastighedsfeltet for en væskedels bevægelse, kaldes
differentiationen substantiel, fordi —
da er ændringen af f pr. tidsenhed
bedømt af en iagttager, som følger med væskedelen. For dette tilfælde bliver
(8.16)
df
3*
3f
3f A
3f
(8.17)
eller
df
3f ^ ,-•
dt - at + ( v
•*••*•
•+
V)f
:*•
(8.17)
1
, dx
, dy
hvor v = 1 u + j v + k w, og (u, v, w) = {'dt
—
\
^f
dt
,
dz-,
~ J)
dt
204
Analogt med udviklingen ovenfor vil vi for en vilkårlig vektor størrelse
A, der er knyttet til den "bevægelige væskedel, have
| =f
<;•?)*
+
(8.18)
Hvis A sættes lig v, fas væskedelens acceleration
|
- |
* I' • V>*
(B.W)
Endelig skal følgende 2 vigtige integralteoremer nævnes:
Gauss1 sætning: Volumenintegralet af en skalar div A er lig flademtegralet af
skalaren A • n, hvor n er randfladens udadrettede enhedsnormal i ethvert punkt
af denne, dvs.
A - n dF
div A dV =
(8.20)
F
v
Stokes' sætning: Fladeintegralet af skalaren (rot A) * n er lig linieintegralet
af skalaren Â • s, hvor s er en enhedsvektor rettet langs randkurvens tangent
i ethvert punkt. Da vi betragter skalaren (rot A) • n, skal vi fastlægge en
integrationsretning for linieintegralet.
•
*
•
-
•
'
.
.
.
Vi sætter, at s x n > 0 i et højredreoet koordinatsystem, dvs. i vort
sædvanlige kartesiske
I
(rot 1)
koordinatsystem fås
- n dF = [ 1 • s" ds
(8.21)
integreret mod uret. Højresiden kaldes cirkulationen af en væskekurve, der udgøres af små sammenstødende væskedele.
Fremstilling af hastighedsfeltet:
Ved en potentialbevægelse forstås en bevægelse, hvis hastighed v kan
udtrykkes som en gradient af en skalar funktion ep , dvs.
v » grad ep
f
(8.22)
betegnes hastighedspotentialet. En potentialbevægelse er altid hvirvelfri,
fordi rot v = rot (gradcp ) er identisk lig nul.
For på en overskuelig måde at fremstille den øjeblikkelige bevægelse
kan vi indføre strømlinier, som overalt i væsken går i hastighedens retning.
Udtrykt matematisk i kartesiske koordinater fås
205
te = &
U
V
=
te
(6.23)
W
Gennem hver fladeenhed lagt vinkelret på hastigheden trækkes et antal strømlinier, som er proportionale med hastighedens størrelse. Strømlinier kan ikke
skære hinanden, thi derved vil hastighedsfeltet ikke være entydigt givet. Ved
et strømrør forstås en lukket cylinderflade ud igennem hvilken ingen væske
strømmer i infinitesimale tidsrum - for stationære tilfælde kan vi udelade
"bemærkningen om tidsrum.
Vi antager først en divergensfri horisontal bevægelse, dvs.
£•£-0
(8.*)
Da u og v ikke er uafhængige af hinanden, indfører vi den såkaldte strømfunktion ifj , givet ved
u = |^
.
v = -||
(8.25)
Med denne definition b l i v e r (8.2U) opfyldt. I s o l i n i e r for tø = constant i planen
kaldes for strømlinier. Vi har nemlig, a t tø = constant medfører at
atø=^dx + |^dy=0
y
3x
(8.26)
3y *
som ved benyttelse af (8.25) giver
dx _ dy
som er et specialtilfælde af (8.23). Hældningen på isoliniernetø- constant er
lig tga, hvor a er vinklen mellem x-aksen og disse, mentga er også lig v/u,
altså
tga=^
(8.27)
Antager vi nu yderligere potentialbevægelse, fås endnu et bånd på hastighedsfeltet, der bliver hvirvelfrit
|2-fi=0
3x 3y
Analogt med tidligere kan (8.28) udtrykkes
(8.28)
206
«••£
T
•
(8 29)
- &
-
hvorved (8.28) Oliver opfyldt, ep er naturligvis hastighedspotentialet beskrevet tidligere. De to funktioner ty og ep har visse fordelagtige egenskaber:
J5L= 9i
3x
3y
I Ê . - i* '
*
3y
(8.30)
9x
som kaldes Cauehy-Riemanns differentialligninger. Vi ser, at en bestemmelse af
den ene af de to funktioner ty, tp, giver den anden. Multiplicerer vi ligningerne i (8.30) med hinanden, bliver
&£. 3!k + % BU
o
(8 31)
Om nu ß betegner hældningen for isolinien, der har samme hastighedspotentiale,
dvs. dep = 0 (på tilsvarende måde som a gør det for hældningen for isolinien
dty = 0 ) ,
*---$|-i
< 8 - 33 >
dvs. a = 9 0 + ß. Dette betyder, at isolinier for henholdsvis ty og ep overalt i
væsken står vinkelret på hinanden. Benyttes (8.2U), (8.28) samt definitionerne,
finder vi, at
Aip = 0
(8.3*0
Atp= 0
(8.35)
Desværre kan de fleste oceaniske bevægelser ikke blive behandlet som divergensfri og/eller hvirvelfri.
8.2.
Massetransport.
Massetransporten mellem bund z = -h og overflade z = TI er defineret som
pv„dz
M =
J-h
H
Kontinuitetsligningen
|f + v • (pS) = o
(8.36)
207
integrerer vi mellem z = -h og z = Ti:
m
at
-h
v
dz +
« * (POdz +
d(pw) = 0
(8.37)
-h
For differentation af et integral med variable grænser gælder
b
b
Df dz + f(b)Db - f(a)Da
f dz =
(8.38)
hvor D er en differentialoperator. Beviset herfor gennemfører vi kun for tilfældet
Ix • f = f^X' y' Zt
D=
tJ
• ' a = a(x) °S b =
Definitionen for integralet lyder;
b
f dz * (x - a) f. + (x- - x-)f 0 +
±
±
d
±
h
^
(b - x ):
ei
n
n+1
hvor
lim (xm - xm-..1 ) = 0 for a i l e m
m
•+•
»
hvorved
f
m
s f ( x ) * f{x . )
m »•
m-1
Differentieres ovennævnte integrals højreside med hensyn t i l x, b l i v e r denne
3f
Z(x - x J - s - S - f . $ â + f . 5b
m
m-1 3x
löx
n+1 öx
dvs.
M
f dz =
8x I
3f
Öb
oa
£9x * + r < b öx
) « a - - f ( a )bxg
Af (8.36) og (8.38) følger direkte
v H (p^ H )dz + [pv H ] 2 = Ti V H -n
(8.39)
u
- 1 z = -h
V-
h)
208
I n d s æ t t e r v i (8.39) i ( 8 . 3 ? )
-h
If
dz + V_M
ot
ti
fås
-Kl V
(Q.kO)
z =n
- Kl, = .„ v - » > - [«-1..11 - [ p-U- h - °
Den kinematiske grænsebetingelse for overfladen giver
(8.Ul)
tt < » - * > - °
_ la
VH 11= 0
Vi m u l t i p l i c e r e r med p
pw
i. i zz =
= n
(8.U2)
_
og omordner l i g n i n g e n , hvorved
z - D
P V Hi
-»Z
=
^
"H
ä=
z - n
PZ = TI
fe
<8.U3)
hvor venstresiden udgjzfr 2 af leddene i (8.Uo). Den kinematiske grænsebetingelse
for bunden z - -h bliver analogt til (8.U3)
[pw 1
L Jz = -h
+ jpv n 1
• Vh = 0
(S.hk)
L J z = -h
hvor venstresiden igen udgør 2 af leddene i (8.U0). Kombinationen af (8.U0),
(8.U3) og (B.hh)
giver
(8.1*5)
-h
z = X)
(8.38) giver
* Lh p d z ' U *
dz +
p
at
z =n
som, indsat i (8.U5), giver den søgte ligning
V
H *M + 3t L hpdZ * °
(8.U6)
der udtrykker, at masseudstrømningen vL * M og masseøgningen tilsammen er lig
nul.
209
Specialtilfælde:
a) Homogent hava p = konstant = p
V„
- M +p op 3t|J « 0
H
(8.1*7)
Hvis overfladen er i hvile, reduceres (Q.kj)
til
VH • S = 0
( 8
^8)
h ) Massefylden k o n s t a n t i t i d e n medfører
V
H
-Ä+p
|Ç - 0
(8.^9)
z =n
Hvis overfladen i tilgift er i hvile, får vi som før
VH - M = 0
(8.50)
Kontinuitetsligningen kan skrives som
|û = -
p
div v
(8.51)
Væskedelen ændrer i k k e s i n masse m = pV under s i n bevægelse, d v s .
dm
dV , - r do
d£ = e d T + Y ^ t
_
.
°
(8*52)
Antages en inkompressibel væske9 bliver
£-°
eller
l d h
h dt
=
l d å
A dt
(8.53)
hvor A og h henholdsvis er et volumenelements horisontale grundflade og vertikale højde. Vi betragter herefter et horisontalt hastighedsfelt. Herved fås
IL dA _ _3u + jhr
"^"
A dt = 3x + 9y
(8.5*0
ved benyttelse af (8.1*7) og (8.53)- (8.5*0 udsiger, at den horisontale diver-
210
gens i et l i l l e fladeelement A er l i g fladeelementets r e l a t i v e ændring p r . t i d s enhed. (8.5U) kan gives på en form, hvori strømlinierne for bevægelsen indgår.
Vi b e t r a g t e r nedenstående hjælpefigur:
An' = An + ^
dl
(8.55)
c = c + |£ di
(8.56)
Ol
Idet C og C betegner to nabo-strømlinier, og A = An dl bliver
1 dA _ 1
A dt An dl
An' - C • An
eller
3u . 3v _ .
£« liii + M Så*
31
An 31
(8.57)
gennem benyttelse af (8.5*0, (8.55) og (8.56). Hvis hastigheden er konstant
langs en strømlinie, vil den horisontale divergens udelukkende bestemmes af
den variable bredde mellem
to nabo-strømlinier. For parallelstrømning vil det
derimod være ]v]'s variation langs en strømlinie, som vil forårsage en horisontal divergens.
8.3.
Stoftransport.
Koncentrationen af opløst stof q. angives som massen af stof pr. masse af
havvand. En vandpartikel med volumen dV og massefylde p har massen 6m = pdV.
211
Indhold af stof i partiklen bliver
ôm
= qôm = pqdV
Uden diffusion gælder, at
dvs.
j
Ja
q — (Om) + 6 m — (q) = 0
(8.59)
for en konservativ stofegenskab. Kontinuitetsligningen
medfører —
(<5m) = 0,
således at
U =0
(8.60)
- se også bemærkningerne i forbindelse med udledelsen af Knudsens teorem.
Vi kan i stedet benytte, at
dt ( 6 V = It CpqdV) = ° * pq tt (dV)
+ dV
It cp*>
hvorved
p
* * tvfe (dv) + f e (p(^ - °
I m i d l e r t i d er ~
(8.61)
— (dV) = V • v , dvs.
PI? ' v + — (pq) = o
(8.62)
•jj£ (p • CL) + V - (pejy) = 0
(8.63)
hvorved
Stoftransporten kan defineres analogt med massetransporten
Q= I
pqvHdz
Går vi frem som ved udledelsen af (8.46), dvs. integrerer (8.63) mellem
overflade og bund, fås
(8.64)
212
V
H *Q
+
3t
pqdz - O
(8.65)
-h
o.k.
Knudsens hydrografiske teorem.
Knudsens hydrografiske teorem hygger på udsagnet om, at saltholdigheden
er en konservativ parameter, hvilket betyder, at saltmængden i et givet volumen
er uforanderlig. Dette er næppe helt korrekt, fordi man kan tænke sig, at små
koncentrationer af salt vil forsvinde på grund af fordampning fra havoverfladen.
Det er velkendt, at atmosfærens indhold af hygroskopiske saltpartikler er større
over hav end over land, resulterende i forskelligartede nedbørsdannelser. Fordampnings effekt en er dog under alle omstændigheder lille og kan ignoreres.
Diffusionsligningen for en vilkårlig stofegenskab har følgende udseende
|^ + v-grad q. + ^ d W V
= f- (K I*) + |- (K ik) .+ |- CK I2-) + P
3x x 9x
3y y 9y
9z z 3z
(8.66)
hvor q. er stofkoncentrationen i masse pr. volumenenhed. Por en konservativ
egenskab er produktionsleddet P = 0.
Stofudvekslingen tænkes at foregå ved advektion alene til og fra det
betragtede rumfang, der antages konstant, dvs.
|£=0
at
(8.67)
Princippet om massens bevarelse kan formuleres som
| g = - p div v
dt
(8.68)
Saltholdigheden S er defineret som antal gram indeholdte salte pr. kg. havvand,
—3
3 o
dvs. q. = p • S • 10
gram salt/cm , saledes at
10 3 § = 4JBSI = o
(8.69)
(8.62) og (8.63) giver
hvor
^ £ i = p | | - pS div v = 0
P
dS
dt
= Kps- —
div' ;*
+•
(8.T0)
âifiSl . - % å l
d t
3 t
+ div (ps
-)
(8.T1)
213
Antagelsen om ingen diffusion medfører, at
g -o
(8.72)
Antages yderligerer stationær tilstand, reduceres (8.71) til
div (pS v) = 0
(8.73)
som udtrykker, at nettosaltfluxen ind i det betragtede volumen e r l i g nul,
hvilket i matematisk formulering bliver
[ pS v - d l = 0
A
(8.7*0
J
hvor
er fladeintegralet over voluminets begrænsningsflade. Antages til sidst
inkompressibilitet , haves
• * •
div v = 0
dvs. nettovolumenfluxen ind i det betragtede volumen er lig nul. Antagelsen om inkompressibilitet medfører for alle vedkommende problemer ikke nogen
begrænsning. Som før kan (8.73) også formuleres som
v * dA = 0
(8,75)
A
Kontinuitetsligningerne (8.7U) og (8.63) udgør grundlaget for Knudsens hydrografiske teorem.
8.5.
Eavier-Stokes ligning.
Navier-Stokes ligning beskriver en væskedels acceleration under påvirk-
ning af naturkræfter alene. Væskedelens bevægelsesmønster fastlægges ud fra et
initial-koordinatsystem. Vi ser heraf, at Navier-Stokes ligning blot er et anvendt eksempel på Newtons 2. lov, der siger: Kraftsummen af alle ydre på en
massedel {væskedel) virkende naturkræfter er lig med massedelens acceleration
multipliceret med dens masse i
et initial-koordinatsystem. Navier-Stokes
fortjeneste ligger med andre ord i påvisningen af de på en væskedel ydre virkende naturkræfter. Disse kan
inddeles i 2 hovedklasser:
fladekræfter (vindspænding, gnidningskræfter etc.)
volumenkræfter (tryk, tyngdekraft etc).
214
Et i n i t i a l - k o o r d i n a t s y s t e m er u p r a k t i s k for de f l e s t e
oceanografiske
formål. Derfor i n d f ø r e r v i en t y p e af k o o r d i n a t s y s t e m e r , som l i g g e r f a s t
i
forhold t i l j o r d e n . Herved t v i n g e s v i t i l a t medtage f i k t i v e k r æ f t e r i Ke-wtons
2. l o v . F i k t i v e k r æ f t e r e r a l t i d volumenkræfter.
Følgende r e l a t i o n gælder mellem den a b s o l u t t e og den r e l a t i v e a c c e l e r a tion i et jord-koordinatsystem:
(~)
- (|r)
dt
dt
abs
+ t . + 2w x t
J
rel
+ « x ( ^ E )
(8.76)
r e l
Her e r 0) j o r d e n s v i n k e l f r e k v e n s , E r a d i u s v e k t o r f r a j o r d e n s centrum ( t y n g d e punkt i f ø r s t e t i l n æ r m e l s e ) og a . e r den a b s o l u t t e a c c e l e r a t i o n af j o r d e n s
o
centrum. Denne acceleration skyldes tiltrækningen fra himmellegemerne, af
hvilke kun solen og månen har nævneværdig indflydelse.
Det er naturligvis v
. , som vi er interesserede i at "bestemme. Vore
bevægelsesligninger bliver følgelig skrevet på formen:
4v-+2æxv = Z K +
- k g - a .
dt
natur
j
(8.TT)
hvor v
, = v, tyngdekraften - kg er opnået gennem sammensmeltning af centrirel
^
_
^
#
fugalkraften o> X (OJ X R ) og den almindelige massetiltrækningskraft. Leddet a.
J
har i s æ r b e t y d n i n g i t i d e v a n d s s t u d i e r .
Det k o o r d i n a t s y s t e m , v i o f t e s t b e n y t t e r , e r t r e v i n k l e t k a r t e s i s k k o o r d i n a t s y s t e m , hvor x-aksen e r o r i e n t e r e t mod ø s t , y-aksen mod nord og z-aksen
opad.xy-planen e r t a n g e n t p l a n t i l e t b e t r a g t e t punkt på j o r d e n . Bevægelsesl i g n i n g e n (8.TT) b l i v e r på komponentform i ovennævnte system:
f
+
+ V
-t
#
+ W
f
- 2a>(v sincp - v cos<p) =
• (8.78)
=
_i|E
rp
+ I K
8x
+ a
natur, x
x
(8.T9)
=
-iÜ£+
p 3y
iE
+ a
natur, y
y
(8.80)
~ _ 1 | E
p 3z
+ I K
+
natur, z
a
z
_ g
215
Undertiden er det ikke hensigtsmæssigt at give (8.77) i kartesiske
koordinater. Vi skal derfor vise, hvorledes bevægelsesligningerne {8.78) (8.80) transformeres til andre koordinatsystemer, som alle antages for hjzfjredrejede. Dette betyder, at pseudovektoren 2w * v transformeres som en sædvanlig
vektor.For at forenkle udregningerne skrives (8.78) - (8.80) på formen
U+^|2
dt
.1
(8.81)
=ï
(8.82)
-Z
(8.83)
p 9x
U
+
dt
i|£
p 3y
4£ + ^ | E
dt
p dz
Vi indfører de nye variable på Lagrange1sk fo rm
(8.8*0
y = y ( q l S q.2» q.3> * )
2 = z(<iv
q.2» q 3 » t )
Hastighederne i ( 8 . 8 l ) - ( 8 . 8 3 ) e r d e f i n e r e t ved
dx
u =
d £
= x
= fr = y
v =
dz
d t
=
(8.85)
z
Heraf f å s
u
'
x
9x
. _, 3x
"-ä^Vä^
.
q
. 9x
og t i l s v a r e n d e u d t r y k for v og w.
Vi s e r a a t
dX
_ dX
34-
Sq.-
T.
T.
. 3x
2 + aq43+ät
og t i l s v a r e n d e f o r y og 2 ( i - 1 , 2 , 3 ) .
/o Q/Ti
(8 86)
'
216
Den samlede k i n e t i s k e e n e r g i "bliver
i/.2
.2
.2.
T = IU
+ y + z )p
(8.87)
D i f f e r e n t i e r e r v i T med hensyn t i l h e n h o l d s v i s x , y og z , fås
< 8 - 88 >
§ - *P. If - yp. § = *P
Vi antager herefter, at kræfterne X, Y, Z på højresiden af (8.8l) - (8.83) kan
udledes af et potentiale V» hvorved
Y
X
_
M
T
-"b^'
Y
_
bV
_
--bJ'
Z
ÖV
,fi . ,
(8
-"b^
" 89)
Bevægelsesligningerne ( 8 . 8 l ) - (8.83) kan nu s k r i v e s som
I < L (v â T ) + 1 3 P _
p d t d£
p 3x
+
i V
3x
s 0
(8.90)
(8.91)
p d t v dy y
p 3y
3y
I A (Él)
pdt W
+ 1 J*E
p 8z
JV
3z
(8.92)
=
3x
3y
3z
(8.90) - (8.92) m u l t i p l i c e r e s h e n h o l d s v i s med -7^- , T * ~ ogs •—~ T » 3q. ° 3 i :
oQ.,-1
oq.,.1
oq..1
adderes a l l e 3 . D e t t e g i v e r :
Pldt
V
3n J 3q i
p
n = x,y,z
2
3n 3 ^
n = x,y»z
Z
3n 3 ^
U
som d e r e f t e r
{ö 93)
*
n = x,y,z
eller
^
f
e
#
%
+
! t r
+
3 H - = 0
C8.9,,
n = x,y,z
F ø r s t e l e d kan s k r i v e s pænere, i d e t
3T 3n _ v 3T 3n _ _ 3T
h TT- -^
i TTT- -r-:— - 3 "^—
3n 3 ^
3n 3 ^
3^
n = x,y,z
v
,ft
.
IÖ.95J
217
dt
vo
3q.•i;
dt
£ dt V
» 9£ 3qil
L
3^
J an dt l gq i ;
(8.96)
3n dt ^ q ^
J
£ 9 n 9 q. W
3qi
(8.97)
Resultaterne fra (8.95) - (8.97) "bevirker, at det første led i (8.9*0 kan skrives som
dt ^ 3 ^
3%
der, indsat i (8.9^)a giver
p at
3q £
p 3qi
p gqi
(8.98)
9qi
hvor i = 1 , 2 , 3Ønsker v i a t b e s k r i v e "bevægelsesligningen (8.77) i s f æ r i s k e k o o r d i n a t e r ,
i n d s æ t t e s (q , q ^
q ) = ( r , q j , e) i (8.98), hvor
x = r coscp sinQ
(8.99)
y = r sinq> sinø
z - T cosø
v
r
v
dr
dt
= -TT = r
(8.100)
= r -r? = r 9
Q¥t,. = r costp 6
v = r cosi_
e
* dt
Den k i n e t i s k e e n e r g i "bliver
T = I 
I 2
2
v
+ v
+ ( vHa + cur costp)'
I r
ep
'6
dT
2 .
—
dep = r ep = r v^p
dv
d
dt
l
p
3$'
^dt
ep dt
dv
s<
(
P^ dt
}
*r
+
Vr h
;
218
3T
- -jr- = (v
= (v
'
+ 0)r coscp) r (8 + Ü>) sincp =
+ « r coscp)
2
= tv«
tgcp =
2 2
tgcp + 2mr sincp v fl + tu r sincp coscp)
Coriolis-led
centrifugal-led
Bevægelsesligningens ep-komponent kan h e r e f t e r s k r i v e s som:
r
dv
_JE
+ T T^ + T^ t g t p +
2uir sincp v Q +
^ 2 2 .
1 ftp bV
+ u r sincp coscp + —
:p> ^3<P + "3cp
- = 0
Bevægelsesligningens r- og 6-komponenter kan udledes på tilsvarende måde.
Vil vi beskrive bevægelsen i
* {r,cp , 2 ) i (8.98), hvor
cylinderkoordinater, indsættes (q, , cu, q_)
x = r cos^
y = r sincp
{8.101)
2 = z
Og herefter følger'vi proceduren, som den er angivet i det foregående.
Kontinuitetsligningen for massens bevarelse lyder i kartesiske koordinater :
8 a + 3(pu)
3t
3x
3(pv)
a(pir)
3y + 3z
D
(8.102)
Denne ligning kan på tilsvarende måde som ovenfor skrives i generaliserede
koordinater.
8.6.
Lagrange'sk og Euler'sk beskrivelse.
I studiet af en væskes bevægelse kan vi benytte 2 beskrivelser:
l) den Lagrange'ske:
Vi studerer her hver enkelt makroskopiske væskedel, som væsken består af,
samt dennes hastighed og massefylde som en funktion af tiden. Disse parametre
bliver herved også afhængige af størrelser, der karakteriserer hver enkelt
væskedel, f.eks, stedvektoren r" til et bestemt tidspunkt t. En væskedels position til ethvert tidspunkt t kan skrives som
219
r - f(ïo, t)
•*•
hvor r
(8.103)
•
•*•
o
= f ( r , t ) . Væskedelens hastighed "bliver
o
o
-»•
3r
(8.1010
Fra (8.103) og (8.10U) ses
t
r - r
s
0
dt
(8.105)
O
Og væskedelens acceleration
3v
_ g r
2 " 3t
(8.106)
3ir
2) den Euler'ske:
Her studerer vi ikke væskedelens "bevægelse, men rummet, som hele væsken
udfylder. I samtlige punkter af rummet undersøger vi, hvorledes de forskellige
parametre ændrer sig med tiden. Desuden "betragter vi ændringen i førnævnte
parametre fra et punkt i rummet til et andet. Vi foretager med andre ord en
feltanalyse, hvorved hastigheden "bliver en funktion af sted og tid:
v = ?(r, t)
(8.107)
Hastighedsændringen ôv kan sammenstykkes af tq led. Det ene af disse hidhører
fra, at væskedelen flyttes et infinitesimalt stykke 6r fra et punkt, hvor hastighedsfeltet har værdien v til et nabopunkt med værdien v' = v + ôr * Vv. Hvis vi
har stationær strømning (dvs. hvis v ikke varierer eksplicit med tiden), vil
yi - v - <5r • Vv være den eneste hast i ghedsæn dring, der forekommer. Hvis derimod
hastighedsfeltet varierer med tiden t, vil væskedelen udsættes for en hastighedsændring ~ " dt, som skyldes en ændring af feltet på stedet. Dette andet led
ot
giver kombineret med det første led den samlede hastighedsændring
6v = (~ + v - Vv) dt
dt
(8.108)
fordi ôr = v d t , Ved division med dt i (8.108) og grænseovergangen dt •+• 0 fås
væskedelen samlede hastighedsændring p r . tidsenhed (dens a c c e l e r a t i o n ) :
t=|j1|ï
dt
ot
+ v-
. Vv"
(8.100)
220
Den samlede acceleration er altså summen af ændringen i hastigheds feltet med
tiden samt dettes rumlige ændring.
Bevægelsesligningen i en Lagrange'sk beskrivelse bliver på formen
l_£
3td
=
_i
V p
+
£
(8.110)
P
Her er x, y, z, t afhængige variable på ligningens venstre side, medens de
variable på højresiden er uafhængige.
Bevægelsesligningen i en Euler'sk beskrivelse har som tidligere vist
formen
|| + v-Vv = -^Vp + F
dt
P
(8.111)
hvor x, y,- z, t er de uafhængige variable.
8.7. Randbetingelser.
Vi har to typer af randbetingelser:
1) Den kinematiske randbetingelse:
En fast rand såvel som en væskegrænseflade antager vi sammensat af
materielle partikler, for hvilke det gælder, at befinder de sig in gang i grænsefladen, vil de forblive dér. Desuden antager vi, at normalhastigheden skal
være en kontinuert funktion over grænsefladen. Et tilsvarende kontinuitetskrav
for tangentialhast i gneden skal kun være opfyldt for viskøse medier.
En grænseflade tænkes alment givet ved funktionen
F(x, y, z, t) = 0
(8.112)
En vandpartikel, som til tiden t befinder sig i punktet (x, y, z ) , vil öt sek.
senere omtrentlig have stedkoordinaterne (x + dx, y + dy, z + dz) =(x + u3t,
v + v3t, z + zdt).
Siden vi kræver, at partiklen stadig skal være i grænsefladen, gælder
F(x + u3t, y + v3t, z + w3t, t + 3t) • 0
Rækkeudvikling af (8.113) med efterfølgende subtraktion af (8.112) giver
Uot 3t + |£
u3t + dy
|f v3t + dz
|£ v3t
dx
eller
(8.113)
221
H
+ U
3ÏÏ+V1F
+ W
3l
^ " °
(8 11U)
'
(8.11U) anvendes nu på et f r i t vandspejl, hvis analytiske udtryk er:
z = n(x, y, t)
F = O = z - n(x, y, t)
dF
dz
dn
TT = O = -TT- - -r— medfører, at vertikalhastigheden bliver
dt
dt
at
(8.11U) anvendt på en fast rand z = f(x, y) ( f . e k s , en havbund) giver t i l s v a rende
v - u g
+r g
(8.116)
I specialtilfældet, hvor bunden er plan og horisontalt beliggende, dvs.
z = D = konst. s, får vi
•w = normalhastigheden = 0
(8.117)
(8.II7) kan generaliseres, således at normalhastigheden til en vilkårligt orienteret materiel flade er lig nul.
2) Den dynamiske randbetingelse:
Her antages, at trykket skal være en kontinuert funktion over en bevægelig materiel flade. Det skal imidlertid tilføjes,, at den dynamiske grænsebetingelse, som den er formuleret hér, kun er gyldig, hvis vi kan ignorere
kapillar- kræfter som følge af overfladekrumninger. Vi vil i det følgende se
nærmere på indvirkningen fra kapillar-kræfterne for at finde trykket under små
krumme overflader:
Til dette formål benyttes nedenstående hjælpefigur, der forestiller en
omdrejningscylinder med højden s, knyttet til vinklen a gennem a = •§— .
E1
222
Overfladespændingen G (dyn/cm) "bidrager t i l a t de 2 v i s t e frembringe r e s, d e r
l ø b e r p a r a l l e l t med c y l i n d e r a k s e n , p å v i r k e s af en k r a f t l i g med C«s. Den r e s u l t e r e n d e k r a f t e r r e t t e t i n d mod centrum og andrager 2-C*s cos(90 - a / 2 ) ~ o s /R
Trykket p på f l a d e n b l i v e r f ø l g e l i g l i g med C/R . Vælger v i den anden hovedkrumn i n g l a n g s med c y l i n d e r a k s e n f å r v i t i l s v a r e n d e , a t t r y k k e t på f l a d e n b l i v e r l i g
med C/R , Samlet f å s f o r k a p i l l a r t r y k k e t
P - crå
Ä
1
+ 1 )
2
(8.118)
Konkave krumninger i n v o l v e r e r n e g a t i v e v æ r d i e r f o r de 2 hovedkrumningsradier R
og R„, medens konvekse krumninger medfører p o s i t i v e v æ r d i e r . I e t t y n d t
stigrør
f . e k s , h a r v i R , R_ < 0 d . v . s . t r y k k e t v o k s e r d i s k o n t i n u e r t » n å r v i g å r ud g e n nem væsken t i l
luften.
Krumningen H e r d e f i n e r e t som
H = l i m ^
•
.
.(8.119)
As-KD
Her gælder a t - — = —
ÛS
7 - = r r / T T i hvor t e r en v i l k å r l i g p a r a m e t e r . Vi b e AS
ZJC
Û"C
At
t r a g t e r nu en 2 gange d i f f e r e n t i a b e l kurve g i v e t ved r = r ( t ) . Herved b l i v e r
d|tl
£(*+ At) A j ( t )
x
x
$(t
+ ùt)
„ 1 ^ ) 1 1 ^ + A t )|
sina =
9 - r ( t + At) = [ r ( t ) r ( t + At)]
(8.120)
h v o r [ ] e r det s å k a l d t e p l a n p r o d u k t , d e r h a r følgende egenskaber :
[ î f ] - l ï x f l -A-
ï-
A
B J
(8.121)
A
B
y
y
Højresiden af ( 8 . 1 2 0 ) kan rækkeudvikles t i l
[ t ( t ) r ( t ) ] At + [ r ( t ) t]
At
(8.122)
(8.122) og ( 8 . 1 2 0 ) g i v e r
...
lim
At"»0
sin q
..
oc
Lr(t) r(t)J
— — = lim - T T = , I '—~s*^
At-*0
A±
I n d f ø r e r v i a s / a t - | *(*) |
B . K(t)
= tlüiJüi
l r(t)
| r(t)
|
^„v
(8.123)
/0
2
og (8,119) i ( 8 . 1 2 3 ) f å s
(8.124)
223
Yi s æ t t e r h e r e f t e r r ( t ) = i x ( t ) + j y ( t )
±
•
H
=
*
(i 2
y
*
*
+
*
(8.125)
y2)3/2
Om x ( t ) = x ( x ) og y ( t ) = F ( t ) b l i v e r ( 8 . 1 2 5 )
(1 + ( F ' ( x ) ) 2 ) 3 / 2
Har v i en krum m a t e r i e l f l a d e z = T|(x, y , t ) b l i v e r k a p i l l a r - t r y k k e t p t i l e t
givet
tidspunkt
P •
° ' ? 2 \ ,/2
(1 + (v 1 1 ) 2 ) 3 / 2
(8.127)
8.8. Bølger.
En enkel p r o g r e s s i v harmonisk b ø l g e , som g å r i x - a k s e n s r e t n i n g , kan a n g i v e s på en af formerne
T) = A
cos(k x - tu t )
(8.128)
T) = B
s i n ( k x - u) t )
(8.129)
T| = C e i t
k X
-
t ü
'
t )
(8.130)
o
Her e r TI højdeændringen i f o r h o l d t i l d e t u f o r s t y r r e d e t i l f æ l d e , k b ø l g e t a l l e t
og CD v i n k e l f r e k v e n s e n .
F a s e h a s t i g h e d e n f o r en sådan b ø l g e e r den h a s t i g h e d hvormed e t punkt med
en given f a s e ( f . e k s , b ø l g e t o p p e n ) u d b r e d e r s i g . Denne h a s t i g h e d o- h a r nødvend i g v i s ingen f o r b i n d e l s e med væskedelenes bevægelse under b ø l g e n . F a s e h a s t i g h e den f i n d e s ved følgende b e t r a g t n i n g . I e t g i v e t t i d s r u m
6t h a r e t h v e r t punkt
på b ø l g e n i ( 8 . 1 2 8 ) bevæget s i g s t y k k e t c • fit i x - a k s e n s p o s i t i v e r e t n i n g .
Dette b e t y d e r a t
An c o s ( k x - 0) t ) = An c o s ( k ( x + c f ô t ) - tu(t + <5t))
d.v.s.
(8.131)
224
w
(8.132)
hvor X og v henholdsvis e r bølgelængde og frekvens.
Gruppehastigheden, der kun kan defineres for mindst 2 bølger, er den h a s tighed, hvormed en gruppe bølger bevæger s i g . Vi betragter for enkelheds skyld
2 harmoniske bølger på formen (8.128) med nærtliggende bølgetal k og k . Den
resulterende bølge b l i v e r ifølge superpositionsprincippet
T) = | A c o s ^ x - c^t) + £ AQ cos(k 2 * - u^t)
(8.133)
som ved sædvanlig trigonometrisk omordning også kan skrives
k
Ti = Ao cos(
- k.
2
1
g
x -
u)„ - tu,
k + k„
2
1
t ) cos( 1 2 2 x g
CD,
1
g
+ u>„
2
t)
(8.134)
Da k 0 - k, og u)„ — cu, begge e r små led henholdsvis l i g med <5k og 6u), b l i v e r det
første cos-led kun langsomt varierende i forhold t i l det andet cos-led. Dette
sidste kan omtrentlig skrives som cos(k x - tu t ) , fordi k ~ k, ^ k„ og to ~ tu, "ti)„. Indhyl dningskurven for cos(k x - tu t ) b l i v e r cos(-§ <5 k x - -|Ôtu t ) . Dennes
vandringshastighed, som er gruppehastigheden, findes tilsvarende som før
C
g = 6k
=
d(ko )
— d T » cf
+ k
dc f
dk~ =
C
f"
X
dc f
dT
(8 135)
'
Udtrykket gælder generelt for en gruppe af bølger, som propagerer i samme retning.
Superposition af bølger, der udbreder s i g i forskellige retninger, .er også muligt. Vi definerer først en bølgetalsvektor k for en enkel harmonisk bølge.
k går i bølgens udbredelsesretning. Antager v i igen en plan bølge, v i l det for
punkter med samme fase ( f . e k s , en bølgetop) gælde at stedvektoren r t i l disse
punkter multipliceret skalart med k er konstant. Denne bølge kan a l t s å skrives
på formen
T| = A cos(k . r - to t )
(8.136)
Fordelen ved denne fremstilling l i g g e r i , at v i kan summere en række bølger med
f o r s k e l l i g udbredelsesretninger som angivet nedenfor
Ti = 2 A cos(k * r - tu t )
^ n n
^ TO.
n '
(8.137)
\
->• /
Vi v i l a t t e r se på bølgen med formen angivet i (8.128). For a l l e tyngdebølger
uden påvirkning af kapillar-kræfter, der udbreder sig i en væske med f r i t vand-
225
spejl, gælder :
Ti « — A sinh k h cosfk x - u> t )
1
x
o)
'
(8.138)
hvor h er vanddybden, når vandspejl og væske er i hvile. Vi bemærker- at A =
k
°
— A sinh k h. Væskedelenes hastigheder bliver :
u - k A cosh k(z + h) cos(k x - CD t )
(8.139)
w = k A sinh k(z + h) sin(k i -
(8.140)
mt)
•*• + g z = ID A cosh k( 2 + h) cos(k x - w t )
(8.141)
c . = ( f tgh k h }2
(8.142)
Vi vil herefter undersøge en tyngdebølges potentielle energi E . I et
volumenelement dV er den potentielle energi l i g med dE = p g z dV. Den samlede
potentielle energi indenfor voluminet V bliver følgelig :
E =
P
p g a dV =
ItT]
p g z dx dy dz
oJ-h
For en homogen væske får vi da :
E = | p g f f di - ^ p g h 2 X
Leddet - | p g h
(8.143)
X er væskens potentielle energi, når den er i hvile (T] = 0).
Leddet er negativt, fordi E
er regnet relativt t i l niveauet 2 = 0, der falder
sammen med den hvilende væskeoverflade. Da vi kun er interesserede i den del af
den potentielle energi, som hidhører fra bølgen (forstyrrelsen), ignorerer vi
o
leddet - |
pg h
\ . Benytter vi (8.143) og (8.138) fås t i l tiden t « t
E p = § p g ( | ) 2 (A sinh k h ) 2
cos (k x - u) t ) dx
:
(8.144)
Da k/ü) « l/c_ kan vi benytte (8.142) på (8.144)
E = - P A2 sinh 2 k h
P
4
ved anvendelse af den l i l l e integraloversigt bagest i dette afsnit.
(8.145)
226
Vi v i l herefter på lignende måde undersøge en tyngdebølges kinetiske ener2 2
gi ÏL . I et volumenelement dV e r den kinetiske energi l i g med dE. = -gp(u +w )&V.
Den samlede kinetiske energi indenfor voluminet V b l i v e r følgelig :
\
=
i p (u 2 + w2)dV « f j f | p (u 2 + w2) dx dy åz
V
o o -h
For en homogen væske f å r vi da :
E, = | p
u
dx dz + | p • J w dx dz
•U-h
(8.146)
-U-h
-h
Benytter vi (8.139) og (8.140) fås t i l tiden t = t o :
.2 sinh 2 k h
E^. = jn p A^
(8.147)
ved anvendelse af den l i l l e integral overs i g t bagest i dette a f s n i t . Yi bemærker,
at den p o t e n t i e l l e energi som følge af bølgen alene har samme s t ø r r e l s e som den
kinetiske energi. Den samlede energi Indenfor voluminet V b l i v e r derfor E = E +
+ E, » 2 E . d . v . s .
E = I p A2 sinh 2 k h
(8.148)
Heri l i g g e r , som følge af ligningen E = E + E j . at vi implicit har ignoreret
gnidning.
V e r l i g X h 1 = X h. Den gennemsnitlige samlede energi pr. volumenenhed
kan skrives
<E> =Ê
(8.149)
Indsætter vi fra t i d l i g e r e fås
< E> = - ^
p A2 sinh 2 k h
(8.150)
Energitransporten i én periode T som følge af en tyngdebølge, der udbreder s i g i x-aksens positive retning, er l i g med det arbejde, som væsken t i l venstre f o r en plan x = x udfører på væsken t i l højre for denne plan. På et f l a d e element dE = dy dz virker kraften p dP, som udfører arbejdet dW = p dP dx =
p u dy dz dt. Det samlede udførte arbejde i tidsforløbet T b l i v e r
227
r l r l l rT
W =
J
oJ-hJo
p u dy dz dt
(8,151)
Benytter vi (8.139)» (8.141 ) samt den l i l l e integraloversigt, f å r vi for x = x
W = \ p A2 T k sinh 2 k h • & c f ( 1 + ^
h
g
k h
)
(8.152)
Den gennemsnitlige energitransport pr. f l a d e - og tidsenhed < W > kan herefter
beregnes. Arealet af en plan vinkelret på x-aksen er l i g F = 1-(h + Tj) ~ ^ d . v . s .
<W> = ^~W
(8.153)
Indsætter vi (8.152) og (8.150) i (8,153) fås
<W>-i<E>c
f
(1
2
+ B
^
h
2 k h
)
(8.154)
Benytter vi (8,135), (8.142) og (8.150) fås
c - £ c- ( 1 + 2 \ h 0 . . )
g 2 f v
sinh 2 k h J
Herved kan vi udtrykke (8.154) som
<W> = < E > c
(8.155)
s
(8.156)
S
der i ord beskriver, at energien i en bølge forplanter sig med gruppehastigheden.
For korte bølger har vi at
C
-P
=\/f
c
f
„ = Ï <V °S < W > « i c .
f
medens for lange bølger
c» - | | g b
,
c = cf
og < W > = < E > c .
228
De gennemgående "benyttede i n t e g r a l e r i d e t t e a f s n i t er angivet nedenfor:
2
f
2
s i n (kx - tot)dx cos (kx - tøt) = i A
o
'o
(8.157)
T
ri
sin(kx - urt)dt =
cos(kx - u t ) d t = 0
(8.158)
J 1*1
f1
2
r
sin (kx - wt)dt -
2
(8.159)
cos (kx - æt)at = sT
sinh2 k(z + h)dz = -g(n + h) + ^- sinh 2k(n + h)
« - ih + -rt- sinh 2kh
(8.160)
cosh k(z + h)dz = i(n + h) + pr sinh 2k(n + h)
-h
(8.161)
- sh + Tj- sinh 2kh
z cosh k(z + h)åz ~ -r * H sinh k(Tj + h) -h
- ^
k
cosh (I] + h)k - 1 =
L
= — •n
J
sinh kh + k T| cosh kh +
- -^P cosh kh + k
n sinh kh +
-
+ —$ * -77 (l - cosh kh)
k
k
hvorved vi har ignoreret led af orden H og højere.
229
Kapitel 9
Afsluttende bemærkninger.
Livet er for kort og forstanden for begrænset til, at ét menneske kan nå
alting. Man må lære at tage fra andre og at bruge hinanden. Sådanne evner
udvikles bl.a. gennem noteskrivning.
Uden det gamle instituts tre gratier, som udgjordes af fr. E. Halldén, A.
Sibbesen og J. Møller, var de geofysikstuderende aldrig blevet udsat for
forfatterens noter. Fr. A. Guldager har i årene herefter med både ildhu og
omhu forberedt udgivelsen af dette andet oplag i et fortrinligt samarbejde med
HCØ-tryk. Kommende årgange af geofysikstuderende bør sammen med forfatteren
glæde sig over resultatet af samarbejdet. Endelig skal der også rettes en tak
til nedenstående forfattere af oceanografisk litteratur, fordi de har været
leverandører til notesættets tekst og figurer.
Dietrich, G., 1950. Die natürlichen Regionen von Nord- und Ostsee auf
hydrografi scher Grundlage. Kiel er Meeresforschungen, Band VII, Heft 2, pp
35-69.
Dietrich, G., 1963. General Oceanography. John Wiley and Sons. 588 pp.
Fonselius, S.H., 1970. On the stagnation and recent turnover of the water in
the Baltic. Tellus 22, 3, pp. 533-543.
Fonselius, S.H., 1974. Oceanografi.
Förlag: 248 pp.
Generalstabens
litografiska
anstalts
Hermann, F., 1968. Hydrografiske forhold i danske farvande. Danmarks Natur,
bd. 3, Havet, pp. 30-47. Politikens Forlag.
Neumann, G., W.J. Pierson Jr., 1966. Principles of physical
Prentice-Hall, Inc., 545 pp.
oceanography.
Tak til mine skandinaviske kolleger L. Djuurfelt, A. Foldvik, M. Mork samt
0. Sælen som vederlagsfrit og uden at vide det har leveret både ideer og stof
til notesættet, hvorved jeg har sparet både hjernevindinger og tid.
En særlig tak vil jeg rette til li c,scient. Erik Buch, der med stort tålmod
og sans for detaljen har luget manuskriptet for både de værste fejl og de
mindre slemme.
N.K. Højerslev
230
Stikordsregister
til
Vandbevægelser i k y s t n æ r e områder
af
U.K. H ø j e r s l e v
Absorptionskoefficient
184,188
Absorptionsmåler
196,197
i t r a n s p o r t af
Amfidromisk punkt
179,180
D ø l g e r , s u p e r p o s i t i o n af
Amplitudefunktion
172
Bølge r e f l e k s i o n
91-96
27,32,33
Bølgerefraktion
81
166,167
Bølgetalsvektor
224
c-meter
1°7
Anoxide forhold
Astronomiske k o o r d i n a t e r
Atmosfæriske g a s s e r
Bølgeenergi
81,225-227
226-227
224
31
b-meter
198
Colding,A
B a r o k l i n bevægelse
113
Co-oscillerende tidevand
B a r o t r o p t hav
70
Corioliskraft
55
170
23,24,112,153
B a r o t r o p bevægelse
112
Cosinuskollektor
189
Belysning(irradians)
182
»Co-tidal" l i n i e
177,178,179
122
C i r k u l a t i o n s c e l l e , anticyklonal
Bernoulli-funktion
Bernoullis
ligning
Bernoullis
teorem
Bevægelsesligning
87,125
121
151-152
Cylinderkoordinater
152,153
Damptryk
106-107
Deklination
166,177
23,24,44,56,214
, cylinder-koordinater
153
, s f æ r i s k e k o o r d i n a t e r 217-218
Brunt-Väisälä frekvens
Brydningsindex
Bælthavet
142
186,194
Detritus
34
Diffusionskoefficient,molekylær
46
, turbulent
9»97-100
Bølge, i n t e r n
, instabilitet
Bølge, kanal
127-146
Diffus i o n s l i g n i n g
147-150
Divergens
88
Dogger Banke
, kapillar
76,79
Dybe Rende
, kort
81,82
Dæmpningsko eff i c i e n t
, lang
, overflade
44
Cykloniske b e v æ g e l s e r
81,82,89
Dødvande
106
23,45 » 212
201
9»11
9
18 5,187
129
72
, solitær
88-89
Egenfunktion
144
, stående
84-87
Einsteinkasse
161
, tidevand
168-180
Ekman-dybde
58,61
231
Ekman-lag
61,62
-spiral
Gnidningskoefficient,
58
Ekmans elementarsystem
63
Ekliptika
Emissionsspektrum
Energiflux
Energi, turbulent
181
Gruppehastighed
52
Energitransport ( i bølger)
226,227
Engelske Kanal
11,13,177
Eulers ligning
121
E u l e r s k "beskrivelse
219
Eutrofiere
27
45,49
201
81,224
Grænsebetingelse
26,75
, dynamisk
52
, turbulent
, molekylær
44
Gradient
52,53
E n e r g i l i g n i n g , mekanisk
56,74
Golfstrøm
167
52,53,182
turbulent
, kinematisk
Grænselag
31
Fasehastighed
74,79,80,89,
130,133,223
Fejlfunktion
65
Ferskvandstilførsel
100,110
Flodtilførsel
100-105
26,75,85
48,51,52,53
Guldberg-Mohns a n t a g e l s e
Gulstof
71,89
111,112,155
Haloklin
13,28,30
Hastighedspotentiale
Hav b a r o t r o p t
Farve index
26,76
Hav, e p i k o n t i n e n t a l t
206
70
9
, intra-kontinentalt
9
Heiland-Hansens l i g n i n g
120
Hvirvellinie
121
Hydrogensulfid
33
Fluorescerende s t o f f e r
157
Immersionseffekt
194,195
Fluo r e s censraål inge r
155
Inerti-bevægelse
68-72
Flux ( r a d i a n t )
182
Fo rdampning
104-110
Forrådnelsesprocesser
Fosfat
34
27,35,36
-cirkel
-periode
-strøm
71
71,72
70
I n s t a b i l i t e t ( af i n t e r n e b ø l g e r ) 147-150
Fotosyntese
28
Intensitet
182,199
Fri turbulens
43
I n t e r n bølge
127-146
F r i k t i o n s h a s t ighed
49
I n t r a k o n t i n e n t a l t hav
Frysepunkt
25
Irradians,
Gauss' sætning
Geostrofisk ligevægt
mas s e t r a n s p o r t
204
112-120
62
9
182
,nedadrettet
182
,opadrettet
183
, sfærisk
183
,skalar
183
strømkomponent 6 1 , 6 2 , 6 3 , 6 8
,vektoriel
183
strøm
,måling af
189-193
Gershuns l i g n i n g
Gnidningskoefficient, kinematisk
112
187,196
45
Isolinier
Isopykn
205,206
120
2 32
88
Kanalbølge
Kapillarbølger
76,79
Kapill areff ekter
76
Kapillarkræft e r
76,221
Kapill artryk
Lolland
55
Lysspredning
184
Margules l i g n i n g
119
Massefylde
Karmans k o n s t a n t
49,52
Kattegat
127-129
, fosfatkoncentration
25
Masseflux
97
Massetransport
,geostrofisk
38
62
11,12,15) Mekanisk e n e r g i l i g n i n g
, salinitetsforhold
18,128
,strøraforhold
15,18,37
, t empe r a t u r f o r h o l d
52
Merians formel
86
Månetidevand
158
Navier-Stokes l i g n i n g
213
10,12,
127,128
Kelvinbølger
23
, maximal
222
172,173-175)17^-180 Hedbør
Kinematisk g n i d n i n g s k o e f f i c i e n t
Kinematisk g r æ n s e b e t i n g e l s e
208
Kinetisk energi
Kinetisk gasteori
Knudsens h y d r o g r a f i s k e teorem
9,158-180
, p a r t i k e l k o n c e n t r a t ion
, salinitetsforhold
43»216,217
, turbulent
52
,strømforhold
46
, temperaturforhold
97-100
,vandmasser
52,53)54 Norske Kyststrøm
KoblingBenergi
189
Norske
material
157
Opal
,af opløst stof
210
Oxygen
Kollektor
152,156
Rende
materiale
K o n s e r v a t i v parameter
Kontinuitetsiigning
Koordinattransformation
Korrelationskoefficient
Overfladebølger
Ove rf1ade spænding
,af suspenderet
152,156
212
23,44,218
17
10,12
19
13,155
9
Overf 1 ade s a l i n i t e t
0verf1adestrøm
Overf1adetemperatur
47
150
Krumning
222
Partikelfordeling
Partikelkoncentration
27,33,39,40,42,54
72
76,222
11-13,15,18,21
..15-18,21
11-13,21
218,220
184
I64-I65
32
152,156
,måling af 155,175
Perturbationstryk
Lagrange'sk b e s k r i v e l s e
189,190
215-218
Kritisk bølgetal
Ligevægtsteori
11,12,13,21
fluorescerende
,af p a r t i k l e r
Lambert-Beers l o v
22
13,20,22
125,212-213
Koncentration,af
100,101
45,48 Nordsøen
Poincaré-bølger
Polarvinkel
Potentialbevægelse
77
173,175-176
188
204-206
233
P o t e n t i a l e t rømning
122
Primær h a l o k l i n
28,30
Pyknoklin
129
Skalar irradians(belysning)
S k a l a - analyse
47,50,113,114,153
S n e l l ' s lov
186
S o l i t æ r bølge
q-meter
195
Radians
181,182
Radiansrør
186,188,189
Radians, måling af
Randbetingelser,
188,194
23,26,220,221
106
Spredningskoefficient
184
Spredningsmålere
Springflod
Standardapproximat i o n e r
Stationær hvirvel
106
Stoftransport
Re a k t i o n s t r a n s p o r t
125
Stokes sætning
Reduceret t y n g d e k r a f t
129
S t o r e Bælt
81
Reynoldsk spænding
45»46
158
123,124,152
221-223
Refraktion (af bølger)
198-200
Springlag
220-221
91-96
13,30
Specifik luftfugtighed
»dynamiske
Refleksion (af bølger)
88
Sommertermoklin
,kinematiske
Raoults lov
23,25
152
210-211
204
116,117,118
Stormflod
55
Strømfunktion
205
Strømlinier
Reynolds t a l
53 Strøm, g e o s t r o f i s k
Richardsons t a l
54 Strømning, s t a t i o n æ r
Rossbyt s t a l
112
.Rotation
202 St r å l i n g s l i g n i n g
121,205
61,63,112
43
, turbulent
43
184-187
52 Stående b ø l g e r
Ruhedsparameter
183
84 f f
Sundet, se Øresund
Sal t f l u x
26,97,213 S u p e r p o s i t i o n ( a f b ø l g e r )
Saltfront
15,18
S a l t v a n d s indb rud
41,5 4 T a n g e n t i a l spænding
Sekundær h a l o k l i n
28,30 Temperaturfront
Selvdiffusion
47
18
53 Termoklin
Seiche
83,87 Tidevand
Seiche, uninodal
83-84
Sfærisk i r r a d i a n s ( b e l y s n i n g )
Skagerrak
224
13,28,30
158*168
, co-oscillerende
170
183 Tidevandsamplitude
158,160,166
151-157 Tidevandsbølger
168~180
, fluorescerende stoffer
157 T i d e v a n d s e l l i p s e
160,180
, partikelkoncentration
156 Tidevandsfremkaldende k r a f t
159,162
, salinitetsforhold
, strømforhold
, temperaturforhold
Skagerrakhvirvlen
11,12,21 T i d e v a n d s p o t e n t i a l e
151 Tidevandsresonans
10,12,152 Tidevandsstrøm
151-154 T i l s t a n d s l i g n i n g
159,163
169
11,13,160,180
23
Z34
Østersøen,
27,35,36
fosfat
Time v i n k e l
166
Transmissionsmåler
I87
, halokliner
Tropisk måned
167
, hydrogensulfid
28,30
33
Turbulens
43-54
, nedbør
100,101
Turbulent b e v a r e l s e
43,46
, oxygen
27,33,39 4 0 , 4 2 , 5 4
28
blanding
46
, områdeinddeling
blandingskoefficient
46
,
partikelfordeling
106
,
salinitetsforhold
energi
52
t
fluktuation
43
,
strømforhold
41,54
16
47,48,
T
temperaturforhold
39,40
56,74
, termoklin
d i f f u s ionskoeff i c i e n t
gnidningskoefficient
Tærskler
Tyngdepotent i a l e
9
121
Tyndallmåler
155
Udvekslingskoefficient for masse
53
Vandmasse
19
V and s t andsmål e r
116
Vandstandsmålinger, S t o r e b æ l t
116-117
Vejfunktion
186
V ind-spænding
26,49
Vind-stuvening
55 f f , 7 2
, langs kyst
62
, i lukket bassin
65
Vektoriel irradians (belysning)
183
V e r t i k a l dæmpningskoefficient
Volumenflux
183
97,213
Vægturbulens
43
Øresund
9,97-100
, strømforhold
Østersøen
123
27-42,54,68,83,84,87,99
,bundtopografi
29
,farveindex
31
,ferskvandstilførsel
100
,flodtilførsel
100-105
,fordampning
104-110
s a l t v a n d s indbrud
Abningsvinkel
32
39,41
28,30
188
HCØ TRYK • KØBENHAVN

as PDF - Niels Bohr Institutet

Transcription

Similar documents

Quantum Mechanics

Lineære Modeller

Differentialligninger og parameterkurver

Branddøre

hjælp - Peter Sørensen

Varlogic N power factor controller 0

Sådan lægges BAGUAKORTET over din bolig

Tips til brug

De to trekanter

• • PROTECTOR S RØGDETEKTOR

MOLT WENGEL SØGER STUD. JUR.

Egebjergvej 4, 6818 Årre.pdf

1 RAPPORT Karakteristik af tangtag

A/S ScanNet - DNS Manager - mit-domaene.dk (mit

teknisk manual

Modul 1 – Bølger, lys og lyd

Midthimmerlands folkeblad