Gummibelægning - gummiasfalt for Multibane

Teknisk Matematik – Formler
Teknisk Matematik
Formler
Preben Madsen
8. udgave
Teknisk matematik – Formler
er et praktisk opslagsværk, der giver et hurtigt
overblik over alle formler fra lærebogens
enkelte kapitler. Ud over formlerne er der også
en oversigt over matematiske tegn og symboler
med tilhørende forklaring.
ISBN 978-87-7082-278-7
9 788770 822787
ef.dk
varenr. 31259-1
Erhvervsskolernes Forlag
Teknisk Matematik - Formler
8. udgave, 2011
© Erhvervsskolernes Forlag 2011
Forlagsredaktør: Karen Agerbæk, ka@ef.dk
Omslag: Henrik Stig Møller, EF/Strunge Grafik
Grafisk tilrettelæggelse: Stig Bing, EF
Dtp: Strunge Grafik
Tegninger: Ebbe Lastein
Forsidefoto: Bygningen ”Bølgen” i Vejle
ISBN: 978-87-7082-308-1 (e-bog)
ISBN: 978-87-7082-307-4 (e-bog, særudgave)
Bogen er sat med Palatino
Alle rettigheder ifølge gældende lov om ophavsret forbeholdes.
Kopiering fra denne e-bog må ikke finde sted.
Erhvervsskolernes Forlag
Munkehatten 28
5220 Odense SØ
ef@ef.dk
www.ef.dk
Tlf. +45 63 15 17 00
Fax +45 63 15 17 28
31259-9_TekMat_Formler_Ebog_kolofon.indd 1
16-11-2011 13:02:33
Teknisk matematik Formler
Forord
Arbejder du med en matematisk opgave og mangler en formel, så kan
”Teknisk matematik – Formler” hjælpe dig.
”Teknisk matematik – Formler” indeholder et uddrag af de vigtigste
definitioner, regneregler og formler fra Teknisk matematik, 4. udgave
(varenr. 91057-1 på ef.dk). Den udgør herved et praktisk opslagsværk,
der hurtigt giver et overblik over indholdet af formler fra lærebogens
enkelte kapitler.
Teknisk matematik er ikke udarbejdet til en bestemt uddannelse, men
sigter mod en bred anvendelse inden for uddannelser efter folkeskolen.
Juni 2011
Preben Madsen
3
4
Teknisk matematik · Formler
INDHOLD
Tal og algebra . . . . . . . . . . . . . . .
Addition
Subtraktion
Multiplikation
Division – Brøkregning
Potens
Rod
Ligninger og uligheder . . . . . . . . .
Regneregler for løsning af ligninger
2 ligninger med 2 ubekendte:
determinant-metoden
2.gradsligningen
Numerisk værdi
Intervaller
Regneregler for uligheder
Geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Retvinklet trekant
Ensvinklede trekanter
Højder i en trekant
Medianer i en trekant
Vinkelhalveringslinjer i en trekant
Trekantens indskrevne cirkel
Trekantens omskrevne cirkel
Firkanter
Polygoner
Trigonometri . . . . . . . . . . . . . . . .
Den retvinklede trekant
Den vilkårlige trekant
Cirklen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Omkreds – buelængder
Arealer mv.
Overflader – udfoldninger . . . . . . . .
Overflader mv.
Rumfang . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Retvinklet prisme
Kasse
Cylinder
Cylinderrør
Pyramide
Pyramidestub
Kegle
Keglestub
Guldins 1. regel
Guldins 2. regel
Kugle
Kugleudsnit
Kugleafsnit
Analytisk plangeometri . . . . . . . . .
Plangeometri
Funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . .
Definition på en funktion
Lineær funktion
Funktioner af 2. grad (parabler)
Sammensatte funktioner
Omvendte funktioner
Proportionalitet
. . . .5
. . . .8
. . . 10
. . . 13
. . . 15
. . . 17
. . . 19
. . . 23
. . . 24
Eksponentielle funktioner . . . . . . . . . . 26
Logaritmefunktioner
Eksponentialfunktioner
Trigonometriske funktioner . . . . . . . . . . 28
Trigonometriske definitioner og grundformler
Additionsformlerne
Formler for den dobbelte vinkel
Svingninger
Differentialregning . . . . . . . . . . . . . . . 30
Symboler for differentialkvotient
Regneregler for bestemmelse af
differentialkvotienter
Bestemmelse af lokale maksimumsog minimumspunkter
Implicit differentiation
Integralregning . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Integral – stamfunktion – integrationsprøven
Bestemmelse af stamfunktioner
Logaritmiske funktioner
Regneregler for integration
Bestemt integral
Partiel integration eller delvis integration
Arealberegning
Rumfangsberegning
Vektorer i planet. . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Vektorkoordinater
Vektorkoordinater i et koordinatsystem
Multiplikation af skalar med vektor
Addition af to vektorer
Vektorer i ligevægt
Subtraktion af vektorer
Enhedsvektor
Skalarprodukt eller prikprodukt
Tværvektor
Trekantens tyngdepunkt
Trekantens areal
Projektion
Afstand fra punkt til ret linje
Vektorer i rummet . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Vektorkoordinater og vektorlængder
Enhedsvektor
Skalarprodukt eller prikprodukt
Projektion
Parameterfremstilling af ret linje
Vektorprodukt
Parameterfremstilling af plan
Planets ligning på normalform
Afstand e mellem punkt P0 og plan
Afstand e mellem punkt P0 og ret linje
Kugle med radius r og centrum i (a,b,c)
Vektorfunktioner . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Vektorfunktioner
Bevægelser
Differentialligninger . . . . . . . . . . . . . . 45
Ligningstype/Løsning
Matematiske tegn og symboler . . . . . . . . 46
1
Tal og algebra
Addition
a+b=c
Sum
Addender
a+b=b+a
a + (b + c) = a + b + c
Addendernes orden er ligegyldig.
En parentes med fortegn + kan hæves og
sættes, uden at leddenes fortegn ændres.
Subtraktion
a–b=c
Differens
a – (b + c) = a – b – c
En parentes med fortegn – kan hæves, når
leddene i parentesen ændrer fortegn.
Multiplikation
a·b=c
Produkt
Faktorer
a·b=b·a
Faktorernes orden er ligegyldig
a · a · a · a = a4
a(b + c) = ab + ac
Regneregler
a(b – c) = ab – ac
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(a + b)2 = a2 + b2 + 2ab
(a – b)2 = a2 + b2 – 2ab
(a + b)(a – b) = a2 – b2
“Tre vigtige formler”
5
Teknisk matematik · Formler
6
Division – Brøkregning
a:b=c
Kvotient
Divisor
Dividend
a
=c
b
Kvotient
Nævner
Tæller
Regneregler
a a·c
=
b b·c
a a:c
=
b b:c
a b c a+ b+c
+ + =
n n n
n
a
a⋅c
⋅c =
b
b
a
a
:c=
b
b⋅c
a.c
a⋅c
=
b d b⋅d
a c a d
: = ⋅
b d b c
Potens
a · a · a · a = a4
0n = 0
a0 = 1
a1 = a
1
an
ap · aq = ap+q
a− n =
P
a p ⎛⎜ a ⎞⎟
=⎜ ⎟
bp ⎜⎝ b ⎟⎠
(a · b)p = ap · bp
ap
= a p−q
bq
(ap)q = ap · q
Regneregler
Tal og algebra
Rod
n
a = b , når bn = a
n
ap = a n
n
a⋅ b = n a ⋅ n b
n
a
n
b
p
=n
a
b
Regneregler
7
Teknisk matematik · Formler
8
Ligninger og uligheder
2
Regneregler for løsning af ligninger
Du må flytte et led fra den ene side af
lighedstegnet til den anden ved at skifte
fortegn på leddet.
Du må gange med samme tal på begge
sider af lighedstegnet – dog ikke med 0.
Du må dividere på begge sider af lighedstegnet med samme tal – dog ikke med 0.
a⋅b=0
a = 0 eller
Nul-reglen: Et produkt er 0, hvis
mindst en af faktorerne er 0.
b=0
a c
=
b d
Består ligningen af en brøk på
hver side af lighedstegnet, kaldes
ligningen en proportion. I en
proportion må du gange over kors.
ad = bc
2 ligninger med 2 ubekendte: determinant-metoden
a1x − b1y = c1
a2x − b2y = c2
a1 b1
= a1 b2 − a 2 b1
a 2 b2
D=
Dy =
a1 c 1
= a1 c 2 − a 2 c 1
a2 c2
Dx =
c1 b1
= c1 b2 − c 2 b1
c 2 b2
x=
Dx
D
og
y=
Dy
D
Ligninger og uligheder
2. gradsligningen
ax2 + bx + c = 0
x=
−b ± b2 − 4ac
2a
d = b2 − 4ac
Numerisk værdi
a=
{−aa,,nnåårr aa≥<00
Intervaller
a }; a=[ ] b ; a [
{ x ∈ R {bx<∈x R< ab} < =x <] b
a}; a=] ] b ; a ]
{ x ∈ R {bx<∈x R≤ ab} < =x ≤] b
= [ a ; ∞[
{ x ∈ R {ax≤∈x }R =a ≤[ ax }; ∞[
{ x ∈ R {xx<∈a }R =x <] a–}∞ =
; a ][ – ∞ ; a [
Regneregler for uligheder
Du må flytte et led fra den ene side af
ulighedstegnet til den anden side ved at
skifte fortegn.
Du må gange med samme positive tal på
begge sider af ulighedstegnet.
Du må dividere med samme positive tal
på begge sider af ulighedstegnet.
Du må gange med samme negative tal
på begge sider af ulighedstegnet, når du
vender ulighedstegnet.
Du må dividere med samme negative tal
på begge sider af ulighedstegnet, når du
vender ulighedstegnet.
2. gradsligningens løsningsformel
Diskriminanten d:
Hvis d = 0, har 2. gradsligningen
en rod.
Hvis d > 0, har 2. gradsligningen to
rødder.
Hvis d < 0, har 2. gradsligningen
ingen rødder.
9
Teknisk matematik · Formler
10
3
Geometri
Retvinklet trekant
I en retvinklet trekant er kvadratet
på hypotenusen lig med summen af
kateternes kvadrater.
a
c2 = a2 + b2
C
B
c
A
b
Ensvinklede trekanter
For ensvinklede trekanter gælder:
c1
a1
b
c
= 1 = 1
a2
b2 c 2
a1
c2
a2
b1
b2
Højder i en trekant
B
En højde i en trekant er en linje, der
udgår fra en vinkelspids og står
vinkelret på den modstående side eller
dennes forlængelse.
c
ha
a
hc
hb
A
b
C
Geometri
11
Medianer i en trekant
En median i en trekant er en linje, der
forbinder en vinkelspids med den
modstående sides midtpunkt.
Medianerne går gennem samme punkt
og deler hinanden i forholdet 1:2.
B
c
A
mb
O
D
ma
a
mc
b
C
Vinkelhalveringslinjer i en trekant
En vinkelhalveringslinje i en trekant er
en linje, der halverer en af trekantens
vinkler.
B
VC
VA
VB
A
C
Trekantens indskrevne cirkel
Vinkelhalveringslinjernes
skæringspunkt er centrum for
trekantens indskrevne cirkel.
r
Trekantens omskrevne cirkel
Midtnormalernes skæringspunkt er
centrum for trekantens omskrevne
cirkel.
R
Firkanter
Kvadrat: En firkant, hvor alle vinkler er
rette, og alle sider lige lange.
a
Areal = a2
a
Rektangel: En firkant, hvor alle vinkler
er rette. Diagonalerne er lige lange og
halverer hinanden.
a
Areal = a ⋅ b
b
Teknisk matematik · Formler
12
Rombe: En firkant, hvor alle sider er lige
lange. De modstående vinkler er lige
store. Diagonalerne halverer hinanden,
står vinkelret på hinanden og halverer
rombens vinkler.
Areal =
1
2
B
A
d2
D
B
A
Trapez: En firkant, hvor to sider er
parallelle.
2
Vinkelsummen = (n − 2) · 180°
Regulære polygoner: En regulær
polygon er en n-kant med lige store
sider og lige store vinkler.Alle regulære
polygoner har en indskreven og en
omskreven cirkel. Forbindes centrum
med polygonens vinkelspidser,
fremkommer n ligebenede trekanter.
v = 360°
n
C
h
A
Vilkårlige polygoner: En vilkårlig n-kant
kan inddeles i n − 2 trekanter.
D
g
B
⋅ h ⋅ (BC + AD)
Polygoner
C
h
Areal = g ⋅ h
1
C
⋅ d1 ⋅ d2
Parallellogram: En firkant, hvor de
modstående sider er parallelle og
lige lange. De modstående vinkler er
lige store, og diagonalerne halverer
hinanden.
Areal =
d1
D
4
Trigonometri
Den retvinklede trekant
sin v =
modstående katete
hypotenusen
cos v =
hosliggende katete
hypotenusen
B
c
a
modstående katete
tan v =
hosliggende katete
c2 = a2 + b2
Areal =
1
1
⋅h⋅c= ⋅a⋅ b
2
2
h
A
b
A
C
13
Teknisk matematik · Formler
14
Den vilkårlige trekant
a
b
c
=2⋅R
=
=
sin A sin B sin C
B
a 2 = b2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
a
c
2
2
2
cos A =
b + c −a
2⋅b⋅c
Areal =
1
⋅ a ⋅ b ⋅ sin C
2
Areal =
a⋅b⋅c
4⋅R
A
C
b
A
R
Areal = r ⋅ s
Areal = s ⋅ (s − a) ⋅ (s − b) ⋅ (s − c )
s=
C
B
a+ b+c
2
R: Radius i trekantens omskrevne cirkel.
r: Radius i trekantens indskrevne cirkel.
a
b
r
r
r
c
5
Cirklen
Omkreds – buelængder
O=p⋅d=2⋅p⋅r
b=
2⋅π⋅r
⋅v
360°
d=
2
.r
r
b
Arealer mv.
Cirkel:
Areal = π ⋅ r 2 =
π
⋅ d2
4
v
15
Teknisk matematik · Formler
16
Cirkelring:
Areal =
π
π
⋅ D2 − ⋅ d2
4
4
Areal = π ⋅ R 2 − π ⋅ r 2
d=2.r
D=2.R
Cirkeludsnit:
Areal =
π ⋅ r2 ⋅ v
360°
r
Cirkelafsnit:
Areal =
⎞
r 2 ⎛⎜ π ⋅ v
− sin v⎟⎟⎟
⎜⎜
⎠
2 ⎝ 180°
Korde:
k = 2 ⋅ r ⋅ sin
v
2
Pilhøjde:
⎛
v⎞
h = r ⋅ ⎜⎜1 − cos ⎟⎟⎟
⎜⎝
2⎠
v
v
Overflader · Udfoldninger
6
Overflader mv.
Den krumme overflade af en cylinder:
d
C
A
C
A = π ⋅ d ⋅ h= 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ h
h
D
D
B
π.d=2.π.r
A
Den krumme overflade af en kegle:
A=π ⋅r ⋅s
Vinklen v:
s
360° ⋅ r
v=
s
Korden k:
k = 2 ⋅ s ⋅ sin
r
B
C
v
2
s
v
k
17
Teknisk matematik · Formler
18
Den krumme overflade af en
keglestub:
A = π ⋅ s ⋅ (R + r )
r
s
h
R
Vinklen v:
s2
360° ⋅ R
v=
s2
s1
v
Korden k:
k = 2 ⋅ s 2 ⋅ sin
v
2
k
Den krumme overflade af en kugle:
A = 4 ⋅ π ⋅ r 2 = π ⋅ d2
d=
2r
Den krumme overflade af en
kuglekalot:
A=π ⋅d⋅h
Kuglekalot
A = π ⋅ (a 2 + h 2 )
Den krumme overflade af en
kugleskive:
A=π ⋅d⋅h
a
h
d = 2r
h
Kugleskive
7
Rumfang
Retvinklet prisme
V=G · h
G = grundarealet
h
G
Kasse
V=a · b · h
h
b
a
Cylinder
V = π ⋅ r2 ⋅ h =
π
⋅ d2 ⋅ h
4
h
d=2.r
19
Teknisk matematik · Formler
20
Cylinderrør
V = (π ⋅ R 2 − π ⋅ r 2 ) ⋅ h
d=2.r
⎛π
⎞
π
V = ⎜⎜ ⋅ D 2 − ⋅ d 2 ⎟⎟⎟ ⋅ h
⎜⎝ 4
⎠
4
D = ydre diameter
d = indre diameter
R = ydre radius
r = indre radius
h
D=2.R
Pyramide
V=
1
⋅ G ⋅h
3
h
G = grundarealet
G
Pyramidestub
V=
g
1
⋅ h (G + g + G ⋅ g )
3
h
g = areal af topflade
G = areal af bundflade
G
Kegle
A
V=
π
⋅ d2 ⋅ h
12
V=
π 2
⋅r ⋅h
3
h
d=2·r
Rumfang
21
Keglestub
r
π
V = ⋅ h (R 2 + r 2 + R ⋅ r )
3
h
R
Guldins 1. regel
A=2⋅p ⋅a⋅L ⋅
v
360°
a
L
v
Guldins 2. regel
V=2⋅p⋅a⋅A⋅
v
360°
a
v
Kugle
V=
4
π
⋅ d3 = ⋅ π ⋅ r 3
6
3
d=2
r
A
Teknisk matematik · Formler
22
Kugleudsnit
V=
π
⋅ d2 ⋅ h
6
h
d
Kugleafsnit
V=
π
⋅ h 2 ⋅ (3d − 2h )
6
V=
π
⋅ h ⋅ (3 ⋅ a 2 + h 2 )
6
a
h
d
Analytisk plangeometri
8
Plangeometri
AB = (x 2 − x1 )2 + (y 2 − y 1 )2
Afstandsformlen
⎛ x + x1 y 2 + y1 ⎞⎟
M (x , y) = ⎜⎜ 2
,
⎟
⎜⎝ 2
2 ⎟⎠
Midtpunkt på et linjestykke
x1 y1
1 x2 y2
A= ⋅
2 x3 y3
x1 y1
Determinant-formlen for
areal af trekant
1
= ⋅ x1 ⋅ y 2 + x 2 ⋅ y 3 + x 3 ⋅ y1 − x 2 ⋅ y1 − x 3 ⋅ y 2 − x1 ⋅ y 3
2
y=a
Vandret linje gennem
punktet (0,a)
x=b
Lodret linje gennem punktet
(b,0)
y = ax
Ret linje med stigningstal
a, som går gennem (0,0) og
(1,a)
y = ax + b
Ret linje, som går gennem
(0,b) og (1,a+b)
y − y1 = a(x − x1)
Ret linje med stigningstal a
som går gennem (x1, y1)
a = tan v =
y 2 − y1
x 2 − x1
Forhold mellem stigningstal,
vinkel mellem vandret og
linjen og to punkter.
a1 = a2
Når to linjer har samme
stigningstal, er de parallelle.
a1 ⋅ a2 = −1
Når produktet af to linjers
stigningstal er −1, står de
vinkelret på hinanden.
r2 = (x − a)2 + (y − b)2
Cirklens centrumsligning
Centrum er (a,b)
og radius er r.
23
Teknisk matematik · Formler
24
9
Funktioner
Definition på en funktion
En funktion er en forskrift f, hvor
der til ethvert element x i en
mængde A kan knyttes et og kun
et tal y.
A: Definitionsmængde
B: Værdimængde
f
x
A
y
B
Lineær funktion
f(x) = a ⋅ x + b
a: stigningstal/hældningskoefficient
b: konstantled
Funktioner af 2. grad (parabler)
f(x) = ax2
Toppunkt: (0,0)
f(x) = a(x − x0)2
Toppunkt: (x0,0)
f(x) = ax2+ y0
Toppunkt: (0,y0)
f(x) = a(x − x0)2+ y0
Toppunkt: (x0,y0)
f(x) = ax2 + bx + c
Toppunkt: ⎛⎜⎜ −b , − d ⎞⎟⎟
⎜⎝ 2a
4a ⎟⎠
f(x) = ax2 + bx + c
d = b2 − 4ac
Kan omskrives til a(x – α)(x – β)
hvis α og β er rødder i ligningen
ax2 + bx + c = 0
Funktioner
Sammensatte funktioner
f(x) = 3x − 1 og g(x) = −2x + 5
Eksempel
(f o g)(x) = 3(−2x + 5) −1
Den sammensatte funktion
Omvendte funktioner
f(x) = 2x
x = 2y
Eksempel
eller
1
f −1 ( x ) = x
2
Proportionalitet
Ligefrem proportionale størrelser
y=α·x
Omvendt proportionale størrelser
y=
k
x
Den omvendte funktion
25
26
Teknisk matematik · Formler
Eksponentielle funktioner
Logaritmefunktioner
10-tals logaritmen
f(x) = log x , x > 0
Regneregler:
log 10 = 1
log a ⋅ b = log a + log b
a
log
= log a − log b
b
log an = n ⋅ log a
log n a =
1
⋅ log a
n
Den naturlige logaritme
Regneregler:
f(x) = ln x , x > 0
ln e = 1
ln a ⋅ b = ln a + ln b
a
= ln a − ln b
ln
b
ln an = n ⋅ ln a
ln n a =
1
⋅ ln a
n
10
Eksponentielle funktioner
Eksponentialfunktioner
Eksponentialfunktionen
f(x) = ax , a > 0 og x ∈ R
Eksponentielle vækstfunktioner
f(x) = b ⋅ ax , b > 0 , a > 0 og x ∈ R
Fordoblingskonstant for eksponentielt
voksende funktion:
T2 =
log 2
log a
Halveringskonstant for eksponentielt
aftagende funktion:
T1 = −
2
log 2
log a
Renteformlen
Kn = K(1 + r)n
Kapitalen, når grundbeløbet K har stået i
n terminer ved rentefoden r.
27
Teknisk matematik · Formler
28
11
Trigonometriske funktioner
Trigonometriske definitioner og grundformler
y
sin v
sin v
v
x
y
cos v
v
cos v
x
y
tan v
(cos v)2 + (sin v)2 = 1
sin v
tan v =
cos v
v
tan v
x
Trigonometriske funktioner
Additionsformlerne
sin(a + b) = sin a ⋅ cos b + cos a ⋅ sin b
sin(a − b) = sin a ⋅ cos b − cos a ⋅ sin b
cos(a + b) = cos a ⋅ cos b − sin a ⋅ sin b
cos(a − b) = cos a ⋅ cos b + sin a ⋅ sin b
Formler for den dobbelte vinkel
sin (2a) = 2 ⋅ sin a ⋅ cos a
2
2
cos (2a) = (cos a) − (sin a)
2
= 1 − 2 (sin a)
2
= 2 (cos a) − 1
tan (2a ) =
2 tan a
2
1 − (tan a)
Svingninger
f(t) = a ⋅ sin(ω ⋅ t)
a: amplitude
ω: vinkelhastighed i rad/sekund
t: tid i sekunder
2π
ω
ω
1
f=
=
2π
T
T=
f(t) = a sin(ωt + φ),
hvor φ kaldes faseforskydningen.
(Vektoren danner til tiden t = 0
vinklen φ med vandret).
f(t) = a sin ωt + k,
som er en svingning, der er forskudt
konstanten k i y-aksens retning.
Periodetid
Frekvens
29
Teknisk matematik · Formler
30
12
Differentialregning
Symboler for differentialkvotient
lim
∆x→0
∆y dy df(x )
=
=
= f ′ (x ) = y ′
dx
∆x dx
Regneregler for bestemmelse af differentialkvotienter
Funktion f(x)
Differentialkvotient
f’ (x)
Konstant
k
0
Potensfunktion
a · xn
n · a · xn-1
Sum
u+v
u’ + v’
Differens
u–v
u’ – v’
Produkt
u·v
u’v + v’u
Brøk
u
v
u’ ⋅ v−u ⋅ v’
v2
Trigonometriske funktioner
sin x
cos x
cos x
−sin x
tan x
1 + (tan x )2 =
Eksponentialfunktioner
ax
ex
Logoritmefunktioner
ln x
ax · ln&a&
ex
1
x
log x
Sammensat funktion
dy dy du dz
=
⋅
⋅
dx du dz dx
1
x · ln10
1
2
(cos x)
Differentialregning
Bestemmelse af lokale maksimums- og minimumspunkter
1. Løs ligningen f’(x) = 0
2. Fortegnsbestemmelse for f’(x)
a) Lokalt maksimum forekommer, når
fortegnet for f’(x) går fra + til –
b) Lokalt minimum forekommer når
fortegnet for f’(x) går fra – til +
c) Vandret vendetangent forekommer
når fortegnet for f’(x) er: “+0+”
eller “–0–”
3. Beregning af ymax og ymin sker
ved indsættelse af de fundne
x-værdier i f(x)
Implicit differentiation
x2 + y2 = 1
Eksempel
dx 2 dy 2 dy d1
+
⋅
=
dx
dy dx dx
2x + 2y ⋅
dy
=0
dx
dy
x
=−
dx
y
31
Teknisk matematik · Formler
32
13
Integralregning
Integral – stamfunktion – integrationsprøven
∫ f(x )dx = F(x ) + k når F’(x) = f(x)
Bestemmelse af stamfunktioner
Konstant
Potensfunktioner
Funktion
f(x)
Stamfunktion
F(x ) = ∫ f(x )dx
k
k⋅x
xn
x n+1
n +1
1
= x −1
x
Trigonometriske
funktioner
ln x
sin x
−cos x
cos x
sin x
tan x
−ln |cos x|
sin2x = (sin x)2
1
(x − sin x ⋅ cos x )
2
cos2x = (cos x)2
1
(x + sin x ⋅ cos x )
2
1 + tan 2 x =
1
cos 2 x
tan x
Integralregning
Logaritmitiske funktioner
ex
ex + k
ax
ax ⋅
ln x
x ⋅ ln x − x + k
log x
x ⋅ log x −
1
+k
ln a
x
+k
ln10
Regneregler for integration
Sum:
∫ u(x) + v(x)dx
= ∫ u(x )dx + ∫ v(x )dx
Differens:
∫ u(x) − v(x)dx
=
∫ u(x)dx − ∫ v(x)dx
Bestemt integral
∫
b
a
b
f(x )dx = [F(x )] = F( b) − F(a)
a
Partiel integration eller delvis integration
∫ u(x) ⋅ v(x) dx = U(x) ⋅ v(x) − ∫ U(x) ⋅ v ′(x) dx
33
Teknisk matematik · Formler
34
Arealberegning
f(x)
y
b
A=
∫
a
A=
∫
a
f(x )dx
A
a
x
b
f(x)
y
A
b
a
b
f(x ) − g(x )dx
x
g(x)
c
A1 = ∫ f(x ) − g(x )dx
a
y
g(x)
A2
A1
A3
a
∫
A3 =
∫
A4 =
∫
c
f(x)
A4
c
b
A2 =
b
c
a
g(x ) − f(x )dx
g(x ) dx
x
b
c
f(x ) dx
Rumfangsberegning
Rumfanget af et omdrejningslegeme fremkommet ved drejning 360° om x-aksen af det
farvede areal på figuren.
f(x)
y
b
Vx = π ∫ f(x )2 dx
a
a
b
x
Integralregning
35
y
Rumfanget af et omdrejningslegeme
fremkommet ved drejning 360° om yaksen af det farvede areal på figuren.
f(x)
b
Vy = 2 ⋅ π ∫ x ⋅ f(x ) dx
a
a
y
Rumfanget af et omdrejningslegeme
fremkommet ved drejning 360° om yaksen af det farvede areal på figuren.
Vy = π ∫
f(b)
f(a)
f(b)
x 2 dy
f(a)
x
0
Længde af en kurve
L=∫
b
a
x
b
y
y=f(x)
L
2
b
⎛ dy ⎞
1 + ⎜⎜ ⎟⎟⎟ dx =∫ 1 + f ′(x )2 dx
⎜⎝ dx ⎠
a
x
a
b
Teknisk matematik · Formler
36
14
Vektorer i planet
Vektorkoordinater
⎛x ⎞
a = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝y⎠
a
y
x
Vektorkoordinater i et koordinatsystem
⎛x − x1 ⎞⎟
AB = ⎜⎜⎜ 2
⎟
⎝y 2 − y 1 ⎟⎠
y
B(x2,y2)
y2 − y1
A(x1,y1)
x2 − x1
x
Multiplikation af skalar med vektor
⎛n ⋅ x ⎞⎟
n ⋅ a = ⎜⎜⎜
⎟
⎝n ⋅ y⎟⎠
n.a
n.y
a
x
y
n.x
Vektorer i planet
37
Addition af to vektorer
r = a+b
b
Hvis
r
⎛x ⎞
⎛x ⎞
a = ⎜⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ og b = ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ er
⎝y 2 ⎠
⎝y 1 ⎠
P
a
b
a
a
b
⎛x + x 2 ⎞⎟
a + b = ⎜⎜⎜ 1
⎟
⎝y 1 + y 2 ⎟⎠
r
P
Vektorer i ligevægt
b
⎛ 0⎞
a + b + c + d = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ 0⎠
a
c
d
Subtraktion af vektorer
a − b = a + (−b)
a
Hvis
b
⎛x ⎞
⎛x ⎞
a = ⎜⎜⎜ 1 ⎟⎟⎟ og b = ⎜⎜⎜ 2 ⎟⎟⎟ er
y
⎝y 2 ⎠
⎝ 1⎠
−b
⎛x − x 2 ⎞⎟
a − b = ⎜⎜⎜ 1
⎟
⎝y 1 − y 2 ⎟⎠
b
a
a−b
Enhedsvektor
⎛x ⎞
e = ⎜⎜⎜ e ⎟⎟⎟
⎝y e ⎠
xe =
x
v
v
e
og y e =
y
v
ye
xe
x
y
Teknisk matematik · Formler
38
Skalarprodukt
a • b = a ⋅ b ⋅ cos v
a • b = x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2
a
v
cos v =
x1 ⋅ x 2 + y1 ⋅ y 2
b
a ⋅ b
cos v = ea e b
a
Skalarproduktet a b = 0, når vektorerne står vinkelret på hinanden.
b
Tværvektor
y
⎛x ⎞
Hvis a = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ er
⎝y⎠
−y
⎛−y⎞
a = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟
⎝ x⎠
a
x
a
y
x
x
Trekantens tyngdepunkt
y
B(x2,y2)
⎛ x + x 2 + x 3 y1 + y 2 + y 3 ⎞⎟
T (x , y) = ⎜⎜ 1
,
⎟⎟
⎜⎝
⎠
3
3
A(x1,y1)
T(x,y)
C(x3,y3)
x
Vektorer i planet
39
Trekantens areal
→
Hvis AB =
Areal =
=
⎛ x1⎞
⎝ y1⎠
→
og AC =
⎛ x2⎞
⎝ y2⎠
y
er
1 x1 y 1
⋅
2 x2 y2
1
⋅ x1 ⋅ y 2 − x 2 ⋅ y 1
2
B
x
C
A
Projektion
b
ba = b ⋅ cos v
ba =
ab
ba
a
a
b
ba = ba ⋅ e a
v
a
ba
Afstand fra punkt til ret linje
y
z=
ad + be + c
a 2 + b2
P(d,e)
z
ax + by + c = 0
x
Teknisk matematik · Formler
40
15
Vektorer i rummet
Vektorkoordinater og vektorlængde
⎛x ⎞⎟
⎜
v = ⎜⎜y⎟⎟⎟
⎜⎜⎝z ⎟⎠
v = x 2 + y 2 + z2
Givet punkterne A(x1,y1,z1) og B(x2,y2,z2)
⎛x 2 − x1 ⎞⎟
⎜
AB = ⎜⎜y 2 − y 1 ⎟⎟⎟
⎜⎜⎝z − z ⎟⎠
2
1
2
2
Enhedsvektor
⎛x ⎞⎟
⎜
a = ⎜⎜y⎟⎟⎟
⎜⎜⎝z ⎟⎠
⎞⎟
⎛
x
⎜
⎟⎟
⎜⎜⎜ 2
⎟
⎜⎜ x + y 2 + z 2 ⎟⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
y
⎟⎟
ea = ⎜⎜
⎜⎜ x 2 + y 2 + z 2 ⎟⎟
⎟⎟
⎜⎜
⎟⎟
z
⎜⎜
⎟⎟
⎜⎜ 2
2
2 ⎟
⎜⎝ x + y + z ⎟⎠
Skalarprodukt eller prik-produkt
a b
2
AB = (x 2 − x1 ) + (y 2 − y 1 ) + (z 2 − z1 )
a · b · cos v = x1x 2 + y 1 y 2 + z1 z 2
v = cos−1 ⎛
⎝
x 1 x 2 + y 1 y 2 + z1 z 2 ⎛
⎝
a·b
Vektorer i rummet
Projektion
b
ba =
a b
v
a
a
v
ba
Parameterfremstilling af ret linje
⎛x ⎞⎟ ⎛⎜x 0 + rx t ⎞⎟
⎜⎜ ⎟ ⎜
⎟
⎜⎜y⎟⎟ = ⎜⎜y 0 + ry t⎟⎟⎟
⎟
⎜⎝z ⎠ ⎜⎝z 0 + rz t ⎟⎠
Vektorprodukt
a1
a2
x=
a3
a× b : y =
a1
z=
a2
a3
a × b = a · b · sin v
⎛x ⎞⎟
⎜
a × b = ⎜⎜y⎟⎟⎟
⎜⎜⎝z ⎟⎠
b1
b2
b3
b1
b2
b3
= a 2 b3 − a 3 b2
= a 3 b1 − a1 b3
= a1 b2 − a 2 b1
Parameterfremstilling af plan
⎛x 2 − x 0 ⎞⎟
⎛x1 − x 0 ⎞⎟
⎛x ⎞⎟ ⎛x 0 ⎞⎟
⎜
⎜
⎜⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟
⎟
⎟
⎜⎜y⎟⎟ = ⎜⎜y 0 ⎟⎟ + s·⎜⎜⎜y 1 − y 0 ⎟⎟ + t·⎜⎜⎜y 2 − y 0 ⎟⎟
⎜⎝z 2 − z 0 ⎟⎠
⎜⎝z1 − z0 ⎟⎠
⎜⎝z ⎟⎠ ⎜⎝z 0 ⎟⎠
Planets ligning på normalform
a (x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) + z ( z − z 0 ) + d = 0
eller
ax + by + cz + d = 0
med
⎛a ⎞⎟
⎜
n = ⎜⎜ b⎟⎟⎟
⎜⎜⎝c ⎟⎠
Afstand e mellem punkt P0(x0,y0,z0) og plan ax + by + cz + d = 0
e=
ax 0 + by 0 + cz 0 + d
a 2 + b2 + c 2
41
Teknisk matematik · Formler
42
Afstand mellem punkt P0(x0,y0,z0) og ret linje
P0(x0,y0,z0 )
e=
e
r × PP0
k
r
v
P
Kugle med radius r og centrum i (a,b,c)
(x − a)2 + (y − b)2 + (z − c)2 = r2
r
Vektorfunktioner
16
Vektorfunktioner
Vektorfunktioner
Ret linje
y
(x,y)
⎛x ⎞ ⎛x + a ⋅ t ⎞⎟
r (t ) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 0
⎟
⎝y⎠ ⎝⎜y 0 + b ⋅ t⎟⎠
(x0,y0)
⎛x ⎞ ⎛x + t ⋅ cos v⎞⎟
r (t ) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜ 0
⎟
⎝y⎠ ⎜⎝y 0 + t ⋅ sin v ⎟⎠
b⋅t
v
a⋅t
y
x
(x,y)
t
v
(x0,y0)
x
Cirklen
⎛x ⎞ ⎛a + r ⋅ cos t⎞⎟
r (t ) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
⎝y⎠ ⎜⎝ b + r ⋅ sin t ⎟⎠
y
(x,y)
r
t
(a,b)
x
Ellipsen
⎛x ⎞ ⎛a ⋅ cos t⎞⎟
r (t ) = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟ = ⎜⎜
⎟
⎝y⎠ ⎜⎝ b ⋅ sin t ⎟⎠
(0,b)
y
(x,y)
t
x
(a,0)
43
Teknisk matematik · Formler
44
Bevægelser
⎛x (t )⎞⎟
⎟⎟
r (t ) = ⎜⎜⎜
⎝y (t )⎟⎠
Banekurven
⎛x ′ (t )⎞⎟
⎜
⎟⎟
v (t ) = r′ (t ) = ⎜⎜
⎜⎝y ′ (t )⎟⎟⎠
Hastighedsvektor
v (t ) =
2
(x ′ (t ))
2
+ (y ′ (t ))
⎛x ′′ (t )⎞⎟
⎜
⎟⎟
a (t ) = v ′ (t ) = r ′′ (t ) = ⎜⎜
⎜⎝y ′′ (t )⎟⎟⎠
Længde af kurve givet ved
vektorfunktion
L=∫
b
a
Farten
Accelerationsvektor
y
L
(x ′(t))2 + (y ′(t ))2 dt
b
a
x
Differentialligninger
Differentialligninger
Ligningstype
y’ = g(x)
Løsning
y =
∫ g ( x ) dx
1
y’ = h(x ) · g(y)
dy
∫ g----------(y)
y’ = a · y
y = c · eax
y’ = g(y)
dy
∫ ----------g(y)
y’ = y(b – ay)
b
--a
y = --------------------------– bx
1+k e
y’’ = g(x)
y =
1
=
∫ h ( x ) dx
= x+k
∫ g ( x ) dx
– herefter som den første type
17
45
Teknisk matematik · Formler
46
Matematiske tegn og symboler
Tegn, anvendelse
Betydning, læsning
∈
x∈A
x tilhører mængden af A, x er element i mængden A
∉
y∉A
y tilhører ikke mængden A, y er ikke element i
mængden A
{|}
{x ∈ A|p(x)}
Mængden af elementer x tilhørende A,
for hvilke udsagnet p(x) er sandt
Ø
Den tomme mængde
N
Mængden af naturlige tal og nul
Z
Mængden af hele tal
Q
Mængden af rationale tal
R
Mængden af reelle tal
(,)
(a,b)
Ordnet par
=
a=b
a er lig med b
≠
a≠b
a er forskellig fra b
≈
a≈b
a er tilnærmet lig med b
<
a<b
a er mindre end b
>
a>b
a er større end b
≤
a≤b
a er mindre end eller lig med b
≥
a≥b
a er større end eller lig med b
∞
Uendelig
+
a+b
Summen af a og b, a plus b
−
a−b
Differensen mellem a og b, a minus b
a·b
a
b
ap
a×b
a:b
ab
ab-1
a multipliceret med b, a ganget med b
a divideret med b, a delt med b
a opløftet til potensen p, a i p’ne
a½
1
a2
a1/n
an
1
√a
Kvadratroden af a
n
Den n’te rod af a
√a
|a|
Absolut værdi af a, numerisk værdi af a
f
Funktion f. Kan angives ved x → f(x) eller også ved
f(x)
gof
Den af f og g sammensatte funktion (g o f) = g(f(x))
x→a
x går mod a
Matematiske tegn og symboler
Tegn, anvendelse
Betydning, læsning
lim f(x)
Grænseværdi for f(x), når x går mod a
I stedet for lim f(x) = b kan skrives f(x) → b for x → a
x→a
x→a
Grænseværdier “fra højre” og “fra venstre” kan
betegnes ved henholdsvis xlim
f(x) = b og
→ a+
lim f(x) = b
x → a–
Δx
Tilvækst i x
df
dx
f’
df/dx
Afledede funktion af én variabel x
Df
Også df(x)
dx
d(f(x))/dx
f’(x)
Df(x)
dnf
dxn
Den n-te afledede af funktionen f af én variabel x
For n = 2 eller 3 bruges også f’’ henholdsvis f’’’ i
stedet for f(n)
òf(x)dx
Et ubestemt integral (en stamfunktion) eller
mængden af stamfunktioner til funktionen f
b
òf(x)dx
Det bestemte integral af funktionen f fra a til b
e
Grundtallet for den naturlige logaritme
a
ex
exp x
Eksponentialfunktionen (med grundtallet e) af x
ln x
loge x
Naturlig logaritme af x
lg x
log10 x
Titalslogaritme af x
π
Forholdet mellem en cirkels perimeter (omkreds)
og diameter
sin x
Sinus til x
cos x
Cosinus til x
tan x
→
a
a
Tangens til x
→
|a|
Vektor a
a
a
|a|
â
→
ea
ea
→
→
ex , ey
ex, ey
→ →
i , j
→ →
>ÊUÊLÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊa · b
→ →
a×b
a×b
Længden af vektor a
Tværvektor a
Enhedsvektor i retning af vektor a
Enhedsvektorer i koordinataksernes retning
Skalarproduktet af vektor a og vektor b
Krydsproduktet af vektor a og vektor b
47
Teknisk Matematik – Formler
Teknisk Matematik
Formler
Preben Madsen
8. udgave
Teknisk matematik – Formler
er et praktisk opslagsværk, der giver et hurtigt
overblik over alle formler fra lærebogens
enkelte kapitler. Ud over formlerne er der også
en oversigt over matematiske tegn og symboler
med tilhørende forklaring.
Erhvervsskolernes Forlag