Pitkä matematiikka - MAFY

pit
o
n
e
t
Mi haiten?
par
Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan
kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki
yo-kokeessa tarvittavat asiat.
n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja
ratkaisujen avulla.
n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita.
n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen!
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
1
YLIOPPILASTUTKINTOLAUTAKUNTA
23.3.2012
MATEMATIIKAN KOE
PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien
maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.
KEVÄT PITKÄ
1. Ratkaise yhtälöt
a) x 2 − x − 6 = 0
x x −3 7
− =0
b) −
6
2
9
x 2
c) − = 0.
2 x
2
15  6 
−   arvo.
2. a) Laske lausekkeen
4 3
b) Laske lausekkeen 6 ⋅ (3!) − 6 arvo.
x
c) Sievennä lauseke ln + ln 2.
2
d) Sievennä lauseke sin 2 x + cos 2 ( x + 2π ).
1
e) Laske integraali ∫ ( x + 1) dx.
0
f) Laske funktion f ( x) = 4e 2 x derivaatta kohdassa x = 0.
3. Näytä, että pisteet A = (2,1),, B = (4,0) ja C = (5,7) ovat suorakulmaisen kolmion kärjissä.
4. Määritä kaikki vektorit a = xi + yj + zk , joiden pituus on
22 ja joiden kohtisuora projektio
xy-tasolle on vektori 2 i + 3 j .
5. Määritä funktion f ( x) =
ln x
suurin arvo, kun x > 0.
x
6. Ringettejoukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella
ovat 65 %, 75 % ja 54 %. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen.
a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee maalin?
b) Laske rangaistuslaukausmaalien lukumäärän odotusarvo.
2
 11 
7. Olkoon
Olkoon tt >
Paraabeli yy =
kulkee pisteen
pisteen  0,
ja sivuaa x-akselia
x-akselia pis0, 1  kautta ja
= ax
ax 222 +
+ bx
bx +
+ cc kulkee
> 0.
0. Paraabeli
7.

7. Olkoon t > 0. Paraabeli y = ax + bx + c kulkee pisteen  0, tt  kautta
kautta ja sivuaa
sivuaa x-akselia pispis t
,0).
teessä ((tt ,0).
teessä
teessä (t ,0).
a) Määritä kertoimet
kertoimet a, bb ja
ja c parametrin tt avulla
avulla lausuttuna.
a)
lausuttuna.
a) Määritä
Määritä kertoimet a,
a, b ja cc parametrin
parametrin t avulla lausuttuna.
b) Näytä,
Näytä, että
että paraabelin
paraabelin ja
ja koordinaattiakselien
koordinaattiakselien rajoittaman
rajoittaman alueen
alueen pinta-ala ei
ei riipu parametparametb)
b) Näytä, että paraabelin ja koordinaattiakselien rajoittaman alueen pinta-ala
pinta-ala ei riipu
riipu parametrin tt arvosta.
arvosta.
rin
rin t arvosta.
opiskelijaa, joista yksi
yksi sairastuu hiihtolomalta
hiihtolomalta palattuaan
8. Eräässä
Eräässä huippuyliopistossa on
on 5 000 opiskelijaa,
8.
joista yksi sairastuu
sairastuu hiihtolomalta palattuaan
palattuaan
8. Eräässä huippuyliopistossa
huippuyliopistossa on 55 000
000 opiskelijaa, joista
influenssaan. Virus
Virus alkaa
alkaa levitä
levitä kampuksella,
kampuksella, ja
ja siihen
siihen sairastuneiden
sairastuneiden opiskelijoiden
opiskelijoiden lukumäärää
lukumäärää
influenssaan.
influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää
kuvaa funktio
funktio
kuvaa
kuvaa funktio
5000
5000
=
5000 0,8tt ,,
ff ((tt )) =
,
f (t ) = 1
1+
4999ee−−−0,8
+ 4999
1 + 4999e 0,8t
jossa aika
aika t ≥ 00 lasketaan
lasketaan vuorokausina ensimmäisestä
ensimmäisestä sairastumisesta alkaen.
alkaen.
jossa
jossa aika tt ≥
vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta
sairastumisesta alkaen.
≥ 0 lasketaan vuorokausina
opiskelijoista on sairaana.
sairaana. Kuinka monen
monen vuorokauden
a) Luennot
Luennot peruutetaan, jos
jos yli 50
50 % opiskelijoista
a)
a) Luennot peruutetaan,
peruutetaan, jos yli
yli 50 %
% opiskelijoista on
on sairaana. Kuinka
Kuinka monen vuorokauden
vuorokauden
kuluttua ensimmäisestä
ensimmäisestä sairastumisesta
sairastumisesta näin
näin tapahtuu?
tapahtuu?
kuluttua
kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta näin tapahtuu?
b) Näytä,
Näytä, että ff ((tt )) on
on kasvava funktio,
funktio, kun tt >
> 0.
b)
kasvava funktio, kun
kun t > 0.
b) Näytä, että
että f (t ) on kasvava
0.
c) Laske
Laske lim
lim ff ((tt ).
).
c)
→∞ f (t ).
c) Laske tlim
t →∞
t →∞
cm, ja
ja sen
sen pohjan
pohjan säde
säde on
on 2,
cm. Kartio
Kartio katkaistaan
katkaistaan
9. Suoran
Suoran ympyräkartion korkeus
korkeus on 5,
5, 0 cm,
2, 0
0 cm.
9.
9. Suoran ympyräkartion
ympyräkartion korkeus on
on 5, 0
0 cm, ja sen pohjan säde on 2, 0 cm. Kartio katkaistaan
Tämän jälkeen katkaistun
katkaistun kartion vaippa
vaippa maalataan sinisininiin, että
että yläreunan säde
säde on 1,0
1,0 cm. Tämän
niin,
niin, että yläreunan
yläreunan säde on
on 1,0 cm.
cm. Tämän jälkeen
jälkeen katkaistun kartion
kartion vaippa maalataan
maalataan siniseksi ja
ja sitä pyöritetään
pyöritetään kyljellään paperilla.
paperilla. Määritä näin
näin saadun sinisen
sinisen rengasalueen pintapintaseksi
seksi ja sitä
sitä pyöritetään kyljellään
kyljellään paperilla. Määritä
Määritä näin saadun
saadun sinisen rengasalueen
rengasalueen pintaala yhden
yhden neliösenttimetrin tarkkuudella.
tarkkuudella.
ala
ala yhden neliösenttimetrin
neliösenttimetrin tarkkuudella.
10. Ratkaise
Ratkaise yhtälöt
10.
10.
10. Ratkaise yhtälöt
yhtälöt
x
x
a) 3tan
3tan x + 33 =
=0
a)
a) 3tan 22 +
+ 3 = 00
2
2sin 222 xx +
+ 3cos
3cos xx −
− 33 =
= 0.
0.
b) 2sin
b)
b) 2sin x + 3cos x − 3 = 0.
3
11.
11. Tasasivuisen kolmion K1 sivun pituus on a. Sen sisään asetetaan ympyrä Y1, joka sivuaa kolK1 sivunYpituus
11. mion
Tasasivuisen
kolmionympyrän
on a. Sen sisään asetetaan ympyrä Y1, joka sivuaa kolkylkiä. Tämän
1 sisään asetetaan tasasivuinen kolmio K 2 , jonka kärjet ovat
K 2 , jonka
asetetaan
tasasivuinen
ovat
mion
kylkiä.Y .Tämän
ympyrän
1 sisään oheisen
Jatkamalla
näinYsaadaan
kuvan
mukainenkolmio
päättymätön
jonokärjet
ympyröitä
ympyrällä
1
Y1. Jatkamalla
näin
saadaan oheisen
ympyrällä
Y1, Y2 , Laske
ympyröiden
pinta-alojen
summa.kuvan mukainen päättymätön jono ympyröitä
Y1, Y2 , Laske ympyröiden pinta-alojen summa.
12. Tuotteen hinta- ja muut tiedot voidaan tallentaa viivakoodiin (UPC = Universal Product Code).
12.
12. Tuotteen
hinta-muodossa
ja muut tiedot
voidaan
tallentaa (viivakoodiin
= Universal
Product
d , d ,, d (UPC
),, jossa
kukin d ∈
Numeerisessa
viivakoodi
on lukujono
 ,9}.
{0,1, 2,Code).
1
2
12
i
Numeerisessa muodossa viivakoodi on lukujono (d1, d 2 ,, d12 ), jossa kukin di ∈ {0,1, 2, ,9}.
Viimeinen luku d12 on tarkistusmerkki, joka määräytyy ehdosta
Viimeinen luku d12 on tarkistusmerkki, joka määräytyy ehdosta
3(d1 + d3 + d5 + d 7 + d9 + d11 ) + d 2 + d 4 + d 6 + d8 + d10 + d12 ≡ 0 (mod 10).
3(d1 + d3 + d5 + d 7 + d9 + d11 ) + d 2 + d 4 + d 6 + d8 + d10 + d12 ≡ 0 (mod 10).
a) Tuotteen viivakoodi on (1, 4, 2,6,8, 2,5,9,0,3, 2, d12 ). Mikä on tarkistusmerkki d12 ?
4, 2,6,8,
2,5,9,0,3,2,3)
2, d12
Mikä on tarkistusmerkki d12 ?
a) Tuotteen
viivakoodi
on(1,(1,2,3,
on).virheellinen.
b)
Näytä, että
viivakoodi
4,5,6,7,8,9,1,
on virheellinen.
b)
viivakoodi
(1,koodi,
2,3, 4,5,6,7,8,9,1,
2,3)että
c) Näytä,
Määritäettä
b-kohdan
oikea
kun tiedetään,
virhe on kolmannessa merkissä.
c) Määritä b-kohdan oikea koodi, kun tiedetään, että virhe on kolmannessa merkissä.
Esimerkki
viivakoodista
<http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>.
Luettu
29.3.2011.
<http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>.
Luettu 29.3.2011.
<http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>.
Luettu 29.3.2011.
13. Funktioiden f ( x) = 1 − x ja g ( x) = 3cos x kuvaajilla on kolme leikkauspistettä. Laske niiden
13.
kuvaajilla onnumeerisella
kolme leikkauspistettä.
Laske niiden
13. Funktioiden
f (kaksidesimaaliset
x) = 1 − x ja g ( x) likiarvot
= 3cos x valitsemallasi
koordinaateille
menetelmällä.
koordinaateille kaksidesimaaliset likiarvot valitsemallasi numeerisella menetelmällä.
4
*14.
14. Hyperbolinen kosini cosh x ja hyperbolinen sini sinh x määritellään kaavoilla
cosh x =
1
1 x −x
e + e ) ja sinh x = ( e x − e − x ) ,
(
2
2
kun x ∈ R.
a) Näytä, että (cosh x) 2 − (sinh x) 2 = 1 kaikilla x ∈ R. (2 p.)
d
(sinh x) = cosh x. (2 p.)
dx
c) Näytä, että funktiolla sinh x on käänteisfunktio, ja määritä sen lauseke logaritmin avulla lausuttuna. (3 p.)
d) Mikä on c-kohdan käänteisfunktion määrittelyjoukko? (2 p.)
b) Näytä, että
*15.
15. a) Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 1 mukaisesti. Määritä ympyröiden keskipisteiden vaakasuora etäisyys d niiden säteiden avulla lausuttuna. (3 p.)
Kuva
Kuva 11
r
2
r
1
d
b) Kolme ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 2 mukaisesti. Määritä keskimmäisen ympyrän säde r3 kahden reunimmaisen ympyrän säteiden avulla lausuttuna. (3 p.)
Kuva
Kuva 22
r
1
r
2
c) Todista René Descartesin (1596−1650) keksimä b-kohdan ympyröihin liittyvä kaava
(k1 + k2 + k3 ) 2 = 2( k12 + k2 2 + k32 ),,
jossa ki =
1
, i = 1, 2,3. (3 p.)
ri
www.mafyvalmennus.fi
Arviomme tehtävien pisteytyksestä
on merkitty sinisellä tekstillä.
Pitkä matematiikka, kevät 2012
Mallivastaukset, 23.3.2012
Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu
Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Antti on toiminut neljä vuotta tuntiopettajana Teknillisessä korkeakoulussa ja sen jälkeen lukiossa. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFYvalmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta.
MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat
• TKK-pääsykoekurssit
• arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit
• yo-kokeisiin valmentavat kurssit
• yksityisopetus
Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla
ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä
voi odottaa.
Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta
www.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla.
MAFY-valmennuksen yhteystiedot:
internet: www.mafyvalmennus.fi
s-posti:
info@mafyvalmennus.fi
puhelin: (09) 3540 1373
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
www.mafyvalmennus.fi
1. a)
x2 − x − 6 = 0
x=
x=
1±
1±
q
√
(−1)2 − 4 · 1 · (−6)
2·1
1p
25
2
1±5
x=
2
1+5
1−5
x=
tai x =
2
2
x=3
tai x = −2
1 p (2 p)
b)
x x−3 7
−
− = 0 k · 18
6
2
9
3
9
x
18
6
1
−
2
− 3)
18(x
2
1
−
·7
18
9
=0
1 p (3 p)
1
3x − 9(x − 3) − 14 = 0
3x − 9x + 27 = 14
−6x = 14 − 27
−6x = −13 k : (−6)
13
x=
6
1
x=2
6
1 p (4 p)
c)
x 2
− = 0 k · x, määrittelyehto: x 6= 0
2 x
x2
−2=0
2
x2
=2 k·2
2
x2 = 4
√
x=± 4
x = ±2
TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri
1 p (5 p)
1 p (6 p)
1