Pitkä matematiikka - MAFY
Transcription
Pitkä matematiikka - MAFY
pit o n e t Mi haiten? par Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti 1 YLIOPPILASTUTKINTOLAUTAKUNTA 23.3.2012 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6. KEVÄT PITKÄ 1. Ratkaise yhtälöt a) x 2 − x − 6 = 0 x x −3 7 − =0 b) − 6 2 9 x 2 c) − = 0. 2 x 2 15 6 − arvo. 2. a) Laske lausekkeen 4 3 b) Laske lausekkeen 6 ⋅ (3!) − 6 arvo. x c) Sievennä lauseke ln + ln 2. 2 d) Sievennä lauseke sin 2 x + cos 2 ( x + 2π ). 1 e) Laske integraali ∫ ( x + 1) dx. 0 f) Laske funktion f ( x) = 4e 2 x derivaatta kohdassa x = 0. 3. Näytä, että pisteet A = (2,1),, B = (4,0) ja C = (5,7) ovat suorakulmaisen kolmion kärjissä. 4. Määritä kaikki vektorit a = xi + yj + zk , joiden pituus on 22 ja joiden kohtisuora projektio xy-tasolle on vektori 2 i + 3 j . 5. Määritä funktion f ( x) = ln x suurin arvo, kun x > 0. x 6. Ringettejoukkueen kolmen hyökkääjän todennäköisyydet tehdä maali rangaistuslaukauksella ovat 65 %, 75 % ja 54 %. Kukin kolmesta hyökkääjästä saa yhden yrityksen. a) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi hyökkääjä tekee maalin? b) Laske rangaistuslaukausmaalien lukumäärän odotusarvo. 2 11 7. Olkoon Olkoon tt > Paraabeli yy = kulkee pisteen pisteen 0, ja sivuaa x-akselia x-akselia pis0, 1 kautta ja = ax ax 222 + + bx bx + + cc kulkee > 0. 0. Paraabeli 7. 7. Olkoon t > 0. Paraabeli y = ax + bx + c kulkee pisteen 0, tt kautta kautta ja sivuaa sivuaa x-akselia pispis t ,0). teessä ((tt ,0). teessä teessä (t ,0). a) Määritä kertoimet kertoimet a, bb ja ja c parametrin tt avulla avulla lausuttuna. a) lausuttuna. a) Määritä Määritä kertoimet a, a, b ja cc parametrin parametrin t avulla lausuttuna. b) Näytä, Näytä, että että paraabelin paraabelin ja ja koordinaattiakselien koordinaattiakselien rajoittaman rajoittaman alueen alueen pinta-ala ei ei riipu parametparametb) b) Näytä, että paraabelin ja koordinaattiakselien rajoittaman alueen pinta-ala pinta-ala ei riipu riipu parametrin tt arvosta. arvosta. rin rin t arvosta. opiskelijaa, joista yksi yksi sairastuu hiihtolomalta hiihtolomalta palattuaan 8. Eräässä Eräässä huippuyliopistossa on on 5 000 opiskelijaa, 8. joista yksi sairastuu sairastuu hiihtolomalta palattuaan palattuaan 8. Eräässä huippuyliopistossa huippuyliopistossa on 55 000 000 opiskelijaa, joista influenssaan. Virus Virus alkaa alkaa levitä levitä kampuksella, kampuksella, ja ja siihen siihen sairastuneiden sairastuneiden opiskelijoiden opiskelijoiden lukumäärää lukumäärää influenssaan. influenssaan. Virus alkaa levitä kampuksella, ja siihen sairastuneiden opiskelijoiden lukumäärää kuvaa funktio funktio kuvaa kuvaa funktio 5000 5000 = 5000 0,8tt ,, ff ((tt )) = , f (t ) = 1 1+ 4999ee−−−0,8 + 4999 1 + 4999e 0,8t jossa aika aika t ≥ 00 lasketaan lasketaan vuorokausina ensimmäisestä ensimmäisestä sairastumisesta alkaen. alkaen. jossa jossa aika tt ≥ vuorokausina ensimmäisestä sairastumisesta sairastumisesta alkaen. ≥ 0 lasketaan vuorokausina opiskelijoista on sairaana. sairaana. Kuinka monen monen vuorokauden a) Luennot Luennot peruutetaan, jos jos yli 50 50 % opiskelijoista a) a) Luennot peruutetaan, peruutetaan, jos yli yli 50 % % opiskelijoista on on sairaana. Kuinka Kuinka monen vuorokauden vuorokauden kuluttua ensimmäisestä ensimmäisestä sairastumisesta sairastumisesta näin näin tapahtuu? tapahtuu? kuluttua kuluttua ensimmäisestä sairastumisesta näin tapahtuu? b) Näytä, Näytä, että ff ((tt )) on on kasvava funktio, funktio, kun tt > > 0. b) kasvava funktio, kun kun t > 0. b) Näytä, että että f (t ) on kasvava 0. c) Laske Laske lim lim ff ((tt ). ). c) →∞ f (t ). c) Laske tlim t →∞ t →∞ cm, ja ja sen sen pohjan pohjan säde säde on on 2, cm. Kartio Kartio katkaistaan katkaistaan 9. Suoran Suoran ympyräkartion korkeus korkeus on 5, 5, 0 cm, 2, 0 0 cm. 9. 9. Suoran ympyräkartion ympyräkartion korkeus on on 5, 0 0 cm, ja sen pohjan säde on 2, 0 cm. Kartio katkaistaan Tämän jälkeen katkaistun katkaistun kartion vaippa vaippa maalataan sinisininiin, että että yläreunan säde säde on 1,0 1,0 cm. Tämän niin, niin, että yläreunan yläreunan säde on on 1,0 cm. cm. Tämän jälkeen jälkeen katkaistun kartion kartion vaippa maalataan maalataan siniseksi ja ja sitä pyöritetään pyöritetään kyljellään paperilla. paperilla. Määritä näin näin saadun sinisen sinisen rengasalueen pintapintaseksi seksi ja sitä sitä pyöritetään kyljellään kyljellään paperilla. Määritä Määritä näin saadun saadun sinisen rengasalueen rengasalueen pintaala yhden yhden neliösenttimetrin tarkkuudella. tarkkuudella. ala ala yhden neliösenttimetrin neliösenttimetrin tarkkuudella. 10. Ratkaise Ratkaise yhtälöt 10. 10. 10. Ratkaise yhtälöt yhtälöt x x a) 3tan 3tan x + 33 = =0 a) a) 3tan 22 + + 3 = 00 2 2sin 222 xx + + 3cos 3cos xx − − 33 = = 0. 0. b) 2sin b) b) 2sin x + 3cos x − 3 = 0. 3 11. 11. Tasasivuisen kolmion K1 sivun pituus on a. Sen sisään asetetaan ympyrä Y1, joka sivuaa kolK1 sivunYpituus 11. mion Tasasivuisen kolmionympyrän on a. Sen sisään asetetaan ympyrä Y1, joka sivuaa kolkylkiä. Tämän 1 sisään asetetaan tasasivuinen kolmio K 2 , jonka kärjet ovat K 2 , jonka asetetaan tasasivuinen ovat mion kylkiä.Y .Tämän ympyrän 1 sisään oheisen Jatkamalla näinYsaadaan kuvan mukainenkolmio päättymätön jonokärjet ympyröitä ympyrällä 1 Y1. Jatkamalla näin saadaan oheisen ympyrällä Y1, Y2 , Laske ympyröiden pinta-alojen summa.kuvan mukainen päättymätön jono ympyröitä Y1, Y2 , Laske ympyröiden pinta-alojen summa. 12. Tuotteen hinta- ja muut tiedot voidaan tallentaa viivakoodiin (UPC = Universal Product Code). 12. 12. Tuotteen hinta-muodossa ja muut tiedot voidaan tallentaa (viivakoodiin = Universal Product d , d ,, d (UPC ),, jossa kukin d ∈ Numeerisessa viivakoodi on lukujono ,9}. {0,1, 2,Code). 1 2 12 i Numeerisessa muodossa viivakoodi on lukujono (d1, d 2 ,, d12 ), jossa kukin di ∈ {0,1, 2, ,9}. Viimeinen luku d12 on tarkistusmerkki, joka määräytyy ehdosta Viimeinen luku d12 on tarkistusmerkki, joka määräytyy ehdosta 3(d1 + d3 + d5 + d 7 + d9 + d11 ) + d 2 + d 4 + d 6 + d8 + d10 + d12 ≡ 0 (mod 10). 3(d1 + d3 + d5 + d 7 + d9 + d11 ) + d 2 + d 4 + d 6 + d8 + d10 + d12 ≡ 0 (mod 10). a) Tuotteen viivakoodi on (1, 4, 2,6,8, 2,5,9,0,3, 2, d12 ). Mikä on tarkistusmerkki d12 ? 4, 2,6,8, 2,5,9,0,3,2,3) 2, d12 Mikä on tarkistusmerkki d12 ? a) Tuotteen viivakoodi on(1,(1,2,3, on).virheellinen. b) Näytä, että viivakoodi 4,5,6,7,8,9,1, on virheellinen. b) viivakoodi (1,koodi, 2,3, 4,5,6,7,8,9,1, 2,3)että c) Näytä, Määritäettä b-kohdan oikea kun tiedetään, virhe on kolmannessa merkissä. c) Määritä b-kohdan oikea koodi, kun tiedetään, että virhe on kolmannessa merkissä. Esimerkki viivakoodista <http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>. Luettu 29.3.2011. <http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>. Luettu 29.3.2011. <http://en.wikipedia.org/wiki/Barcode>. Luettu 29.3.2011. 13. Funktioiden f ( x) = 1 − x ja g ( x) = 3cos x kuvaajilla on kolme leikkauspistettä. Laske niiden 13. kuvaajilla onnumeerisella kolme leikkauspistettä. Laske niiden 13. Funktioiden f (kaksidesimaaliset x) = 1 − x ja g ( x) likiarvot = 3cos x valitsemallasi koordinaateille menetelmällä. koordinaateille kaksidesimaaliset likiarvot valitsemallasi numeerisella menetelmällä. 4 *14. 14. Hyperbolinen kosini cosh x ja hyperbolinen sini sinh x määritellään kaavoilla cosh x = 1 1 x −x e + e ) ja sinh x = ( e x − e − x ) , ( 2 2 kun x ∈ R. a) Näytä, että (cosh x) 2 − (sinh x) 2 = 1 kaikilla x ∈ R. (2 p.) d (sinh x) = cosh x. (2 p.) dx c) Näytä, että funktiolla sinh x on käänteisfunktio, ja määritä sen lauseke logaritmin avulla lausuttuna. (3 p.) d) Mikä on c-kohdan käänteisfunktion määrittelyjoukko? (2 p.) b) Näytä, että *15. 15. a) Kaksi ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 1 mukaisesti. Määritä ympyröiden keskipisteiden vaakasuora etäisyys d niiden säteiden avulla lausuttuna. (3 p.) Kuva Kuva 11 r 2 r 1 d b) Kolme ympyrää sivuaa toisiaan ja x-akselia kuvan 2 mukaisesti. Määritä keskimmäisen ympyrän säde r3 kahden reunimmaisen ympyrän säteiden avulla lausuttuna. (3 p.) Kuva Kuva 22 r 1 r 2 c) Todista René Descartesin (1596−1650) keksimä b-kohdan ympyröihin liittyvä kaava (k1 + k2 + k3 ) 2 = 2( k12 + k2 2 + k32 ),, jossa ki = 1 , i = 1, 2,3. (3 p.) ri www.mafyvalmennus.fi Arviomme tehtävien pisteytyksestä on merkitty sinisellä tekstillä. Pitkä matematiikka, kevät 2012 Mallivastaukset, 23.3.2012 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Antti on toiminut neljä vuotta tuntiopettajana Teknillisessä korkeakoulussa ja sen jälkeen lukiossa. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFYvalmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat • TKK-pääsykoekurssit • arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit • yo-kokeisiin valmentavat kurssit • yksityisopetus Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta www.mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: www.mafyvalmennus.fi s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: (09) 3540 1373 TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri www.mafyvalmennus.fi 1. a) x2 − x − 6 = 0 x= x= 1± 1± q √ (−1)2 − 4 · 1 · (−6) 2·1 1p 25 2 1±5 x= 2 1+5 1−5 x= tai x = 2 2 x=3 tai x = −2 1 p (2 p) b) x x−3 7 − − = 0 k · 18 6 2 9 3 9 x 18 6 1 − 2 − 3) 18(x 2 1 − ·7 18 9 =0 1 p (3 p) 1 3x − 9(x − 3) − 14 = 0 3x − 9x + 27 = 14 −6x = 14 − 27 −6x = −13 k : (−6) 13 x= 6 1 x=2 6 1 p (4 p) c) x 2 − = 0 k · x, määrittelyehto: x 6= 0 2 x x2 −2=0 2 x2 =2 k·2 2 x2 = 4 √ x=± 4 x = ±2 TKK-pääsykoekurssit — yo-valmennuskurssit — arkkitehtuuri 1 p (5 p) 1 p (6 p) 1