Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä

Preliminäärikoe
Tehtävät
Pitkä matematiikka 4.2.2014
1/3
Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien
maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6. Jos tehtävässä on
useampia kohtia [merkittynä a), b) jne.], niin on vastattava niihin jokaiseen.
x x2
−
=0.
3 4
b) Ratkaise yhtälö 125 − 27 x 3 = 0 .
m 7
⎧
⎪
=
c) Ratkaise yhtälöpari ⎨
n 13
⎪⎩49n − 80m = 77
1. a) Ratkaise yhtälö
π
2
2. a) Määritä ∫ sin 2 x dx
π
4
fm1m2
.
r2
c) Millä vakion a arvoilla käyrä ax 2 − 5 x + 2 y 2 − a 2 y − 29 = 0 kulkee pisteen (-2, 3) kautta?
b) Derivoi muuttujan r suhteen funktio G (r ) =
3 a) Kolmion sivut ovat 10, 11 ja 20. Laske kolmion suurin kulma.
b) Suorakulmion pituus kasvaa 15 % ja pinta- ala kasvaa 7,0 %. Miten muuttuu suorakulmion
leveys?
4. Virtuaalihenkilöillä Romeo ja Julia on salainen kohtaamispaikka. Romeo lähtee paikasta (15, 23)
vektorin − 2i + 3 j suuntaan nopeudella 5 yksikköä minuutissa ja Julia paikasta (-13, 2) vektorin
i + 9 j suuntaan samalla nopeudella.
Määritä kohtaamispaikan P koordinaatit.
5. Kolmion kaksi sivua ovat 111 ja 113. Näiden sivujen välisen kulman α puolittaja jakaa
kolmion kahteen osaan. Laske pinta- alojen suhteen tarkka arvo.
6. a) Laske luvut ((((2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ja 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 .
b) Ratkaise yhtälö log 2 x = 300 .
a
c) Määritelmä: a tetra 2= 2 a = a a , a tetra 3= 3 a = a a jne. Laske 2 .
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa a ⋅ 10 n ,
missä 1 ≤ a < 10 .
5
Preliminäärikoe
Tehtävät
Pitkä matematiikka 4.2.2014
2/3
7. Alla olevassa kuvaajassa on funktion y = f (x) derivaattafunktion y = f ′(x ) kuvaaja.
a) Määritä funktion y = f (x ) ääriarvokohdat ja ääriarvon laatu.
b) Millä muuttujan x arvolla funktion kasvu on voimakkainta?
c) Määritä derivaattafunktion kuvaajan avulla f ′′(2) .
7.8
y
.
7.5
7.2
6.9
6.6
6.3
y=Df(x)
6
5.7
5.4
5.1
4.8
4.5
4.2
3.9
3.6
3.3
3
2.7
2.4
2.1
1.8
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2
-2
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
-0.3
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
-0.6
-0.9
-1.2
-1.5
-1.8
8. a) Ilmoita ympyrän x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 keskipiste ja säde parametrien a, b ja c avulla.
b) Määritä parametrin c arvot, kun ympyrän x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 keskipiste on (3, 4).
9. Funktio f ( x) = 7 − 2 x , koordinaattiakselit ja suora x = 3 rajoittavat alueen. Suora x = a jakaa
alueen kahteen yhtäsuureen osaan ja samoin tekee suora y = b. Tällöin piste P = (a, b) on
painopiste. Määritä P.
10. Terässäiliön tilavuus on 1, 000 m3 . Säiliö on muodostunut ympyrälieriöstä (korkeus h ja pohjan
säde r), jonka molemmissa päissä on puolipallo (säde r). Määritä säde r siten että säiliön
rakentamiseen kuluu mahdollisimman vähän terästä?
1
1 − 2 x2
11. Funktio ϕ ( x) =
e
on normitetun normaalijakautuman tiheysfunktio N (0, 1).
2π
1, 2
a) Määritä Simpsonin säännöllä integraalin arvo
∫ ϕ ( x) dx . Käytä jakoväliä 0, 2.
0
b) Vertaa saamaasi integraalin arvoa arvoon, jonka saat käyttämällä apuna taulukkokirjan
lukuarvoja.
12. Lukujono sin x, sin 2 x, ... on geometrinen.
a) Määritä jonon viiden ensimmäisen jäsenen summa.
b) Millä muuttujan x arvoilla sarja sin x + sin 2 x + ... suppenee ja mikä on sarjan summa?
Preliminäärikoe
Tehtävät
Pitkä matematiikka 4.2.2014
3/3
13. Origenes (185…254) oli yksi merkittävimmistä varhaisen kristillisen
kirkon kirkkoisistä. Muuta hänen kuuluisa päättelyketjunsa ” Jos
minä tiedän olevani kuollut, olen kuollut ja jos minä tiedän olevani
kuollut, olen elossa, jotenka minä en tiedä olevani kuollut.” logiikan
kielelle. Onko hänen päättelyketjunsa loogisesti pätevä (tautologia)?
(Viereisessä kuvassa Origenes varhaiskeskiaikaisessa kuvassa.)
14.(*) Todista, että välillä [0, 84] määritellyllä funktiolla f ( x) = log 2 (3 x + 4) on käänteisfunktio
y = f −1 ( x) .
1p
b) Millä muuttujan x arvoilla käänteisfunktio y = f −1 ( x) on määritelty? Mitä arvoja saa
2p
funktio f ( x) = log 2 (3 x + 4) ja mitä arvoja saa käänteisfunktio?
−1
c) Määritä käänteisfunktio y = f ( x) .
2p
d) Todista, että funktion f ( x) = log 2 (3 x + 4) ja sen käänteisfunktion yhdistetty funktio on
identiteettifunktio I ( x) = x ja todista, että käänteisfunktion ja funktion yhdistetty funktio on
2p
myös identiteettifunktio I ( x) = x .
−1
−1
e) Määritä ( f )′(6) ratkaisematta käänteisfunktiota y = f ( x) .
2p
15.(*) Kuutio, jonka kärjet ovat (0,0,0), (5,0,0), (5,5,0), (0,5,0), (0,0,5), (5,0,5), (5,5,5) ja (0,5,5) on x,
y, z- koordinaatistossa. Kuutio on muodostunut 125:stä pikku kuutiosta, joiden särmä on 1
yksikkö. Valitaan satunnaisesti 2 pikku kuutiota alkuperäisestä kuutiosta.
a) Millä todennäköisyydellä molemmat palat ovat nurkkapaloja?
2p
b) Millä todennäköisyydellä kumpikaan paloista ei ole kuution sivutahkoilla?
2p
c) Millä todennäköisyydellä nämä 2 kuutiota koskettavat toisiaan?
5p
Preliminäärikoe
1. a)
b)
c)
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
1 / 11
x x2
−
= 0.
3 4
3
Ratkaise yhtälö 125 − 27 x = 0 .
m 7
⎧
⎪
=
Ratkaise yhtälöpari ⎨
n 13
⎪⎩49n − 80m = 77
Ratkaise yhtälö
Ratkaisu:
a) Kerrottu luvulla − 4 ja saatu x 2 −
4
4
x = 0 ⇔ x( x − ) = 0 ,
3
3
1
josta saatu x = 0 tai x = 1 .
3
125
b) Saatu x 3 =
,
27
2
125 5
josta x = 3
= =1 .
3
27 3
c)
1p
+1p
+1p
+1p
13m
⎧
13m
m 7
n=
⎧
⎧
⎪
⎪
⎪ n=
=
7
⇔⎨
⇔⎨
⎨
7
n 13
13m
⎪⎩49n − 80m = 77
⎪49 ⋅
⎪⎩49n − 80m = 77
− 80m = 77
7
⎩
+1p
13m
13 ⋅ 7
⎧
⎧
⎧n = 13
⎪ n=
⎪n =
.
⇔⎨
⇔
⎨
7
7 ⇔⎨
⎩m = 7
⎪⎩91m − 80m = 77
⎪⎩ m = 7
+1p
Vastaus: a) x = 0 tai x = 1
2
1
b) x = 1 c) m = 7 ja n = 13
3
3
π
2
2. a)
Määritä
∫ sin 2 x dx .
π
4
b)
c)
fm1m2
.
r2
2
2
2
Millä vakion a arvoilla käyrä ax − 5 x + 2 y − a y − 29 = 0 kulkee pisteen (−2,3) kautta?
Derivoi muuttujan r suhteen funktio
G (r ) =
Ratkaisu:
π
π
a)
π
12
12
sin
2
xdx
=
sin 2 x ⋅ 2dx = / (− cos 2 x)
∫π
∫
2π
2π
2
4
4
<1p
4
1
1
1
π
π
= (− cos(2 ⋅ ) − (− cos(2 ⋅ ))) = (−(−1) − (−0)) = .
2
2
4
2
2
+1p
Preliminäärikoe
b)
f (r ) =
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
fm1m2
= fm1m2 ⋅ r −2 ,
2
r
2 fm1m2
.
r3
c) Piste (−2,3) sijoitettu käyrän yhtälöön ja saatu yhtälö − 3a 2 + 4a − 1 = 0 ,
1
josta a = 1 tai a = .
3
josta f ′(r ) = fm1m2 ⋅ (−2)r −3 = −2 fm1m2 r −3 = −
Vastaus: a)
3 a)
b)
2 / 11
+1p
+1p
+1p
+1p
2 fm1m2
1
1
b) f ′(r ) = −
. c) a = 1 tai a = .
3
2
3
r
Kolmion sivut ovat 10, 11 ja 20. Laske kolmion suurin kulma.
Suorakulmion pituus kasvaa 15 % ja pinta- ala kasvaa 7,0 %. Miten muuttuu suorakulmion leveys?
Ratkaisu:
a) Pisintä sivua vastaa suurin kulma. Käytetty kosinilausetta ja saatu
20 2 = 10 2 + 112 − 2 ⋅10 ⋅11 ⋅ cos α ,
100 + 121 − 400
josta cos α =
,
220
josta suurin kulma α = 144,45275...° ≈ 144,45° .
b) Suorakulmion pituus on a ja leveys b. Pituudesta tulee 1,15a ja pinta-alasta
ab tulee 1,07ab,
1,07ab
joten saamme yhtälön 1,15a ⋅ x = 1,07ab , josta x =
= 0,9304...b ,
1,15a
joten leveys tulee 0,9304…- kertaiseksi eli leveys pienenee 7,0 %.
1p
+1p
+1p
+1p
+1p
+1p
Vastaus: a) suurin kulma 144,45° . b) 7,0 %
4. Virtuaalihenkilöillä Romeo ja Julia on salainen kohtaamispaikka. Romeo lähtee paikasta (15, 23) vektorin
− 2i + 3 j suuntaan nopeudella 5 yksikköä minuutissa ja Julia paikasta (-13, 2) vektorin i + 9 j suuntaan
samalla nopeudella. Määritä kohtaamispaikan P koordinaatit.
Ratkaisu:
Saatu paikkavektorit OP = 15i + 23 j + r (−2i + 3 j ) ja OP = −13i + 2 j + s (i + 9 j ) ,
josta 15i + 23 j + r (−2i + 3 j ) = − 13i + 2 j + s(i + 9 j ) ⇔ (28 − 2r − s )i + (21 + 3r − 9s) j = 0 ,
⎧ 28 − 2r − s = 0
⎧r = 11
josta saatu yhtälöpari ⎨
, josta ⎨
.
⎩21 + 3r − 9s = 0
⎩s=6
Saatu paikkavektoriksi OP = −13i + 2 j + 6(i + 9 j ) = −7i + 56 j , joten P = (−7,56) .
Hyväksytään myös analyyttisen geometrian mukainen tarkastelu.
Vastaus: P = (−7,56) .
2p
+2p
+2p
Preliminäärikoe
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
5. Kolmion kaksi sivua ovat 111 ja 113. Näiden sivujen välisen kulman
Laske pinta- alojen suhteen tarkka arvo.
α
3 / 11
puolittaja jakaa kolmion kahteen osaan.
Ratkaisu:
Olkoon puolittajan pituus a ja saatu esimerkiksi isomman kolmion alaksi
ja pienemmän kolmion alaksi
1
α
⋅ a ⋅111⋅ sin .
2
2
1
α
⋅ a ⋅113 ⋅ sin
2
2
+2p
1
1
α
α
Saatu kysytyksi suhteeksi ( ⋅ a ⋅111⋅ sin ) : ( ⋅ a ⋅113 ⋅ sin α ) = 111 : 113.
2
2
2
2
Vastaus:
+2p
111
.
113
b)
((((2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ja 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 .
Ratkaise yhtälö log 2 x = 300 .
c)
Määritelmä: a tetra 2= a = a , a tetra
6. a)
2p
Laske luvut
2
a
a
5
3= 3 a = a a jne. Laske 2 .
Anna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa a ⋅ 10 , missä 1 ≤ a < 10 .
n
Ratkaisu:
((((2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 = 2 2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 2 32 = 4294967296 ≈ 4,29 ⋅10 9 .
2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 = 2 2+ 2+ 2+ 2+ 2 = 210 = 1024 ≈ 1,02 ⋅10 3 .
b) log 2 x = 300 ⇔ x = 2 300 ,
josta x = 2,037... ⋅10 90 ≈ 2,04 ⋅10 90
a)
c)
22
24
16
= 22 = 22 = 265536.
Olkoon x = 265536, jolloin lg x = lg 2 65536 = 65536 ⋅ lg 2 = 19728,30179... , josta
+1p
x = 1019728,30179... = 10 0,30179... ⋅1019728 = 2,003... ⋅1019728 ≈ 2,00 ⋅1019728 .
+1p
5
2=2
22
1p
+1p
+1p
+1p
Vastaus: a)
b)
((((2 2 ) 2 ) 2 ) 2 ) 2 ≈ 4,29 ⋅ 109 ja 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ⋅ 2 2 ≈ 1,02 ⋅10 3 .
x ≈ 2,04 ⋅10 90 . c) 5 2 ≈ 2,00 ⋅1019728 .
Preliminäärikoe
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
4 / 11
7. Alla olevassa kuvaajassa on funktion y = f (x ) derivaattafunktion y = f ′(x ) kuvaaja.
a)
b)
c)
Määritä funktion y = f (x ) ääriarvokohdat ja ääriarvon laatu.
Millä muuttujan x arvolla funktion kasvu on voimakkainta?
Määritä derivaattafunktion kuvaajan avulla f ′′( 2) .
7.8
y
.
7.5
7.2
6.9
6.6
6.3
y=Df(x)
6
5.7
5.4
5.1
4.8
4.5
4.2
3.9
3.6
3.3
3
2.7
2.4
2.1
1.8
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2
-2
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
-0.3
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
3.6
3.8
-0.6
-0.9
-1.2
-1.5
-1.8
Ratkaisu:
a) Koska y = f ′(x ) muuttuu negatiivisesta positiiviseksi kohdassa x ≈ −2,65 , niin funktiolla
1p
y = f (x ) on tässä kohdin minimi.
Koska y = f ′(x ) muuttuu positiivisesta negatiiviseksi kohdassa x ≈ 2,65 , niin funktiolla
+1p
y = f (x ) on tässä kohdin maksimi.
b) Kohdassa x = 0 derivaattafunktio on positiivinen ja suurimmillaan, joten funktio
+2p
y = f (x ) tässä kohdassa kasvaa voimakkaimmin.
c) Alla olevan kuvion kolmiosta ABC
+1p
0 − 7,0
saamme kohdassa x = 2 tangentin kulmakertoimeksi
= −4 ,
2,75 − 1,0
+1p
joten f ′′( 2) ≈ −4,0 .
7.8
7.5
7.2
6.9
6.6
6.3
y
.
y=-4x+11
C
.
y=Df(x)
x=1; 0<y<7
6
5.7
5.4
5.1
4.8
4.5
4.2
3.9
3.6
3.3
.
3
2.7
2.4
2.1
1.8
1.5
1.2
0.9
0.6
0.3
-2.8 -2.6 -2.4 -2.2
-2
-1.8 -1.6 -1.4 -1.2
-1
-0.8 -0.6 -0.4 -0.2
-0.3
0.2
0.4
0.6
0.8
A.
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
.B
2.8
x
3
3.2
3.4
3.6
3.8
-0.6
-0.9
-1.2
-1.5
-1.8
Vastaus: a) Maksimikohta: x ≈ 2,65 ja minimikohta: x ≈ −2,65 . b) x = 0. c) f ′′( 2) ≈ −4,0 .
Preliminäärikoe
8. a)
b)
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
5 / 11
x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 keskipiste ja säde parametrien a, b ja c avulla.
2
2
Määritä parametrin c arvot, kun ympyrän x + y + ax + by + c = 0 keskipiste on (3,4).
Ilmoita ympyrän
Ratkaisu:
a
b
a
b
a) Saatu neliöimällä ( x − (− )) 2 + ( y − (− )) 2 = (− ) 2 + (− ) 2 − c ,
2
2
2
2
1p
a b
a2 b2
+ −c ,
josta saatu keskipisteeksi (− ,− ) ja säteeksi
2 2
4
4
2
2
a
b
missä
+ − c > 0.
4
4
a
b
b) Yhtälöstä − = 3 saatu a = −6 a ja yhtälöstä − = 4 saatu b = −8 ,
2
2
2
2
(−6)
(−8)
joten
+
−c > 0,
4
4
36 64
joten c <
+
⇔ c < 25.
4
4
+1p
+1p
+1p
+1p
+1p
a b
a2 b2
a2 b2
Vastaus: a) Keskipiste (− ,− ) ja säde
+ − c missä
+ − c > 0. b) c < 25.
4
4
4
4
2 2
9. Funktio f ( x) = 7 − 2 x , koordinaattiakselit ja suora x = 3 rajoittavat alueen. Suora x = a jakaa alueen kahteen yhtä
suureen osaan ja samoin tekee suora y = b. Tällöin piste P = (a, b) on painopiste. Määritä P.
Ratkaisu:
Funktion f ( x) = 7 − 2 x , koordinaattiakselien ja suoran x = 3 rajoittaman alueen pinta- alaksi
saatu
3
3
2
∫ (7 − 2 x) dx = / (7 x − x ) = 12
1p
0
0
a
Suora x = a rajaa pinta -alan 12 kahtia, joten ∫ (7 − 2 x) dx =6 ,
+1p
0
a
josta / (7 x − x 2 ) = 6 ⇔ −a 2 + 7 a − 6 = 0 ⇔ a = 1 tai a = 6 , josta a = 1 kelpaa.
+1p
0
Vakion b laskemiseksi on integroitava muuttujan y suhteen.
7 1
Yhtälöstä y = 7 − 2 x saatu x = − y .
2 2
Koska suora y = b rajaa pinta-alan 12
kahtia, niin oheisen kuvion
7
7 1
perusteella ∫ ( − y ) dy =6 ,
2 2
b
y
.
.
7
.
6.5
6
5.5
5
+1p
4.5
x=(7/2)-(1/2)y
4
Ala = 6
3.5
3
2.5
y=b
2
1.5
Ala = 6
1
0.5
x
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
2.4
2.6
2.8
3
3.2
3.4
Preliminäärikoe
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
6 / 11
7
7
1
/( y − y 2 ) = 6
2
4
7
1
7
1
josta saatu ⇔ ( ⋅ 7 − ⋅ 7 2 ) − ( b − b 2 ) = 6 ,
2
4
2
4
1
7
25
⇔ b2 − b +
=0
4
2
4
josta saatu b = 7 − 2 6 ∨ b = 7 + 2 6 ,
b
joista b = 7 − 2 6 hyväksytty.
+1p
Painopisteeksi P saatu (1,7 − 2 6 )
Tehtävä hyväksytään myös geometrisena tarkasteluna.
+1p
Vastaus: P = (1,7 − 2 6 ) .
10. Terässäiliön tilavuus on 1. Säiliö on muodostunut ympyrälieriöstä (korkeus h ja pohjan säde r), jonka molemmissa
päissä on puolipallo (säde r). Määritä säde r siten että säiliön rakentamiseen kuluu mahdollisimman vähän terästä?
Ratkaisu:
4
1 − πr 3
4
3
Saatu yhtälö πr 3 +πr 2 h = 1 , josta h =
.
πr 2
3
1p
4
1 − πr 3
3
Pinta- alafunktioksi saatu A(r ) = 4πr 2 + 2πrh = 4πr 2 + 2πr ⋅
, missä r > 0 ,
πr 2
4π 2 2
joka sievenee muotoon A(r ) =
r + ,
3
r
8π
2 8πr 3 − 6
josta saatu derivaataksi A′(r ) =
r− 2 =
,
3
r
3r 2
3
josta saatu derivaatan nollakohdaksi r = 3
= 0, 62035...» 0, 620
4p
Perusteltu esimerkiksi kulkukaaviolla, että r = 3
Vastaus: r = 3
3
on minimikohta.
4π
3
.
4π
1
11. Funktio
ϕ ( x) =
1 − 2 x2
e
on normitetun normaalijakautuman tiheysfunktio N (0,1).
2π
1, 2
∫ ϕ ( x)dx . Käytä jakoväliä 0,2.
a)
Määritä Simpsonin säännöllä integraalin arvo
b)
Vertaa saamaasi integraalin arvoa arvoon, jonka saat käyttämällä apuna taulukkokirjan lukuarvoja.
0
+1p
+1p
+1p
+2p
Preliminäärikoe
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
7 / 11
Ratkaisu:
a) Osavälin pituus h = 0,2 ja osavälejä on 6 kpl.
1, 2
Simpsonin säännöllä saadaan integraalin
∫ ϕ ( x)dx
likiarvoksi
0
0,2
(ϕ (0) + 4 ⋅ ϕ (0,2) + 2 ⋅ ϕ (0,4) + 4 ⋅ ϕ (0,6) + 2 ⋅ ϕ (0,8) + 4 ⋅ ϕ (1,0) + ϕ (1,2))
3
1
1
1
2p
1
0,2 1 − 2 ⋅02
1 − 2 ⋅0, 22
1 − 2 ⋅0, 42
1 − 2 ⋅0, 62
(
=
e
+ 4⋅
e
+ 2⋅
e
+ 4⋅
e
3
2π
2π
2π
2π
1
1
1 − 2 ⋅0,82
1 − 2 ⋅1, 02
e
e
+ 2⋅
+ 4⋅
+
2π
2π
= 0,38493... ≈ 0,3849.
1
1 − 2 ⋅1, 22
e
)
2π
+1p
+1p
1, 2
b) Taulukkokirjan avulla saatu
∫ ϕ ( x)dx = Φ(1,2) − Φ(0) ≈ 0,8849 − 0,5000 = 0,3849 .
0
Arvot ovat neljän merkitsevän numeron tarkkuudella samat.
+2p
Vastaus: a) 0,3849. b) 0,3849. Arvot ovat neljän merkitsevän numeron tarkkuudella samat.
12. Lukujono sin x, sin 2 x, ... on geometrinen.
a) Määritä jonon viiden ensimmäisen jäsenen summa.
b) Millä muuttujan x arvoilla sarja sin x + sin 2 x + ... suppenee ja mikä on sarjan summa?
Ratkaisu:
a) Koska jono on geometrinen, niin peräkkäisten jäsenten osamäärä
sin 2 x
2 sin x cos x
q=
=
= 2 cos x ,
2p
sin x
sin x
a (1 − q 5 ) sin x(1 − (2 cos x) 5 )
joten s5 = 1
+1p
=
.
1− q
1 − 2 cos x
1
1
b) Koska q = 2 cos x , niin vaadittu ehto on 2 cos x < 1 , joten − < cos x < .
+1p
2
2
2π
π
Epäyhtälön ratkaisuksi saatu + nπ < x <
+ nπ , missä n ∈ Z .
+1p
3
3
sin x
Sarjan summaksi saatu
.
+1p
1 − 2 cos x
sin x
2π
sin x(1 − (2 cos x) 5 )
π
Vastaus: a) s5 =
. b) + nπ < x <
.
+ nπ , missä n ∈ Z . Summa
1 − 2 cos x
1 − 2 cos x
3
3
Preliminäärikoe
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
8 / 11
13. Origenes (185…254) oli yksi merkittävimmistä varhaisen
kristillisen kirkon kirkkoisistä. Muuta hänen kuuluisa
päättelyketjunsa ” Jos minä tiedän olevani kuollut, olen kuollut ja
jos minä tiedän olevani kuollut, olen elossa, jotenka minä en
tiedä olevani kuollut.” logiikan kielelle. Onko hänen
päättelyketjunsa loogisesti pätevä (tautologia)?
(Viereisessä kuvassa Origenes varhaiskeskiaikaisessa kuvassa.)
Ratkaisu:
Merkitty A: ”Tiedän olevani kuollut.” ja B: ”Olen kuollut.”
ja ¬A : ”En tiedä olevani kuollut.” sekä ¬B : ”En ole kuollut.”
En ole kuollut tarkoittaa, että olen elossa.
Formalisoitu Origeneksen päättelyketjuksi ( A ⇒ B) ∧ ( A ⇒ ¬B) ⇒ ¬A
Saatu alla oleva totuusarvotaulukko
A
1
1
0
B ¬ A ¬B
1 0
0
0 0
1
1 1
0
A⇒ B
1
0
1
1p
+1p
+2p
A ⇒ ¬B ( A ⇒ B ) ∧ ( A ⇒ ¬B )
0
0
,
1
0
1
1
+1p
0 0 1
1
1
1
1
joten lause ( A ⇒ B) ∧ ( A ⇒ ¬B) ⇒ ¬A saa vain ykkösiä,
joten lause ( A ⇒ B) ∧ ( A ⇒ ¬B) ⇒ ¬A on tautologia.
+1p
Vastaus: ( A ⇒ B) ∧ ( A ⇒ ¬B) ⇒ ¬A , missä A: ”Tiedän olevani kuollut.” ja B: ”Olen kuollut.”
Origeneksen päättelyketju on loogisesti pätevä (tautologia).
14.(*)
a)
b)
[
]
Todista, että välillä 0,84 määritellyllä funktiolla f ( x ) = log 2 (3 x + 4) on käänteisfunktio y = f
Millä muuttujan x arvoilla käänteisfunktio y = f
−1
−1
( x) on määritelty? Mitä arvoja saa
funktio f ( x ) = log 2 (3 x + 4) ja mitä arvoja saa käänteisfunktio?
c)
d)
e)
Määritä käänteisfunktio y = f
( x) . 1p
2p
−1
( x) . 2p
Todista, että funktion f ( x ) = log 2 (3 x + 4) ja sen käänteisfunktion yhdistetty funktio on
identiteettifunktio I ( x ) = x ja todista, että käänteisfunktion ja funktion yhdistetty funktio on myös
identiteettifunktio I ( x) = x .
−1
−1
Määritä ( f )′(6) ratkaisematta käänteisfunktiota y = f ( x ) .
2p
2p
Ratkaisu:
3
> 0 määrittelyjoukossaan,
(3x + 4) ⋅ ln 2
1p
joten f(x) on aidosti kasvava, joten y = f −1 ( x ) on olemassa.
b) Koska f ( x) = log 2 (3 x + 4) on aidosti kasvava ja jatkuva, niin funktion pienin arvo on
f (0) = log 2 (3 ⋅ 0 + 4) = 2 ja suurin arvo f (84) = log 2 (3 ⋅ 84 + 4) = log 2 256 = log 2 28 = 8 ,
joten jatkuva funktio saa kaikki arvot väliltä [2,8].
+1p
a) Saatu f ′( x) =
Preliminäärikoe
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
9 / 11
Koska y = f ( x) ⇔ x = f −1 ( y ) , niin käänteisfunktio on määritelty välillä [2,8]
ja käänteisfunktio saa kaikki arvot väliltä [0,84] .
1
4
c) f ( x) = y = log 2 (3x + 4) ⇔ 2 y = 2 log 2 ( 3 x + 4) ⇔ 3x + 4 = 2 y ⇔ x = ⋅ 2 y − ,
3
3
1
4
joten y = f −1 ( x) = ⋅ 2 x − .
3
3
d) Funktion f ( x) = log 2 (3 x + 4) ja sen käänteisfunktion yhdistetty funktio on
1
4
1
4
f ( f −1 ( x)) = f ( ⋅ 2 x − ) = log 2 (3 ⋅ ( ⋅ 2 x − ) + 4) = log 2 2 x = x ja
3
3
3
3
käänteisfunktion ja funktion yhdistetty funktio on
1
4 1
4
f −1 ( f ( x)) = f −1 (log 2 (3x + 4)) = ⋅ 2 log 2 (3 x + 4 ) − = ⋅ (3x + 4) − = x .
3
3 3
3
−1
e) Koska y = f ( x) ⇔ x = f ( y ) , niin y = 6 , joten 6 = log 2 (3 x + 4) , joten 64ln2/3
2 6 = 2 log 2 ( 3 x + 4) ⇔ 3x + 4 = 64 ⇔ x = 20 .
1
1
64
64
1
, niin ( f −1 )′(6)) =
=
=
.
=
Koska ( f −1 )′( y )) =
3
1
3
f ′( x)
f ′(20)
ln
2
3
ln
2
⋅
ln 2 3 ⋅ 20 + 4
+1p
+1p
+1p
+1p
+1p
+1p
+1p
Vastaus:
a) Koska funktio f ( x) = log 2 (3 x + 4) on aidosti kasvava, niin y = f −1 ( x) on olemassa.
b) Funktio saa kaikki arvot väliltä [2,8]. Käänteisfunktio on määritelty välillä [2,8] ja
1
4
käänteisfunktio saa kaikki arvot väliltä [0,84] . c) f −1 ( x) = ⋅ 2 x − .
3
3
64
64
tai vaihtoehtoisesti ( f −1 )′(6) =
d) f ( f −1 ( x)) = x ja f −1 ( f ( x)) = x. e) ( f −1 )′(6) =
.
ln 8
3 ln 2
15.(*)
Kuutio, jonka kärjet ovat (0,0,0), (5,0,0), (5,5,0), (0,5,0), (0,0,5), (5,0,5), (5,5,5) ja (0,5,5) on x, y, zkoordinaatistossa. Kuutio on muodostunut 125:stä pikku kuutiosta, joiden särmä on 1 yksikkö. Valitaan
satunnaisesti 2 pikku kuutiota alkuperäisestä kuutiosta.
a) Millä todennäköisyydellä molemmat palat ovat nurkkapaloja?
b) Millä todennäköisyydellä kumpikaan paloista ei ole kuution sivutahkoilla?
c) Millä todennäköisyydellä nämä 2 kuutiota koskettavat toisiaan?
2p
2p
5p
Ratkaisu:
a) Ensimmäinen pala on nurkassa todennäköisyydellä
8
125
1p
7
, joten molemmat palat ovat nurkkapaloja
124
2 7
14
8
7
⋅ =
.
todennäköisyydellä
⋅
=
+1p
125 124 125 31 3875
b) Paloja, jotka eivät ole kuution sivutahoilla on 33 = 27 ja kaikkia paloja on 125,
27
joten ensimmäinen pala ei ole sivutaholla todennäköisyydellä
+1p
125
26
,
ja toinen pala ei ole sivutaholla todennäköisyydellä
124
ja toinen on nurkassa todennäköisyydellä
Preliminäärikoe
11
Ratkaisut
Pitkä matematiikka 4.2.2014
10 /
27 13 351
27 26
⋅ =
. +1p
⋅
=
125 124 125 62 7750
8
c) Tapaus 1: Ensimmäinen pikku kuutio on nurkassa ( P1 =
).
125
3+ 4
7
).
Toisen kuution on oltava ensimmäisen vieressä ( P2 =
=
125 − 1 124
8
7
.
+1p
Molempien ehtojen on oltava voimassa, joten P(Tapaus 1) =
⋅
125 124
Tapaus 2: Ensimmäinen pikku kuutio on ison kuution reunasärmällä,
12 ⋅ 3 36
mutta ei nurkassa ( P1 =
).
=
125 125
joten kumpikin pala ei ole sivutahoilla todennäköisyydellä
5+6
11
).
=
125 − 1 124
36 11
.
Molempien ehtojen on oltava voimassa, joten P(Tapaus 2) =
⋅
125 124
Toisen kuution on oltava ensimmäisen vieressä ( P2 =
Ensimmäinen pikku kuutio on jollakin kuudesta sivutahosta,
6 ⋅ 9 54
mutta ei ison kuution reunasärmällä eikä nurkassa ( P1 =
).
=
125 125
8+9
17
).
Toisen kuution on oltava ensimmäisen vieressä ( P2 =
=
125 − 1 124
54 17
.
Molempien ehtojen on oltava voimassa, joten P(Tapaus 3) =
⋅
125 124
+1p
Tapaus 3:
Tapaus 4: Ensimmäinen pikku kuutio ei ole ison kuution sivutaholla
125 − 8 − 36 − 54 27
( P1 =
).
=
125
125
8 + 9 + 9 26
).
Toisen kuution on oltava ensimmäisen vieressä ( P2 =
=
125 − 1 124
27 26
.
Molempien ehtojen on oltava voimassa, joten P(Tapaus 4) =
⋅
125 124
Tai- säännöllä saamme yhdistettyä kaikki 4 tapausta:
2072
518
518
8
7
36 11
54 17
27 26
P=
.
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
=
125 124 125 124 125 124 125 124 125 ⋅ 124 125 ⋅ 31 3875
Vastaus: a)
351
14
518
b)
c)
3875
3875
7750
+1p
+1p
+1p