F - Koppa

15
VEKTORIANALYYSI
Luento 2
Vektorikentän käyräintegraali
A 15.4
Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio
liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W  Fd . Jos liike
tapahtuu käyrää C pitkin ja voima riippuu paikasta,
F (r )  F ( x, y, z ) , täytyy integroida:
W   dW   F  dr   ( Fxiˆ  Fy ˆj  Fz kˆ)  (dxiˆ  dyjˆ  dzkˆ)
C
=

C
C
C
( Fx dx  Fy dy  Fz dz ).
Tämä on esimerkki vektorikentän viivaintegraalista. Tässä
integroinnissa parametrina on matka s ja käyränä r , käyrän C
pisteiden paikkavektori.
Olkoon F (r ) yleisemmin jokin vektorikenttä ja r jonkin käyrän
C pisteiden paikkavektori. Integraalia

C
F  dr
kutsutaan vektorin F käyräintegraaliksi yli käyrän C. [Ei ole
paras mahdollinen nimitys, sillä oikeastaan tässä lasketaan
vektorin F käyrän C tangentin suuntaisen komponentin
FT  F cos käyräintegraali,

C
F  dr   FT dr . Perimmältään
C
siis tässäkin on kyse skalaarikentän käyräintegraalista.]
16
Kun käyrä C esitetään parametrimuodossa eli r  r (t ) , on
integraali saatettava sellaiseen muotoon, jossa integroiminen
tapahtuu parametrin t suhteen jonkin välin a  t  b yli.
Käytetään ketjusääntöä, esim.
dx 
dx
dt ,
dt
jolloin saadaan
dr
dt
C
a
dt
b
dx
dy
   Fx ( x(t ), y (t ), z (t ))  Fy ( x(t ), y (t ), z (t ))
a
dt
dt

b
F (r )  dr   F (r ) 
+Fz ( x(t ), y(t ), z (t ))
dz 
dt.
dt 
Lyhyemmin kirjoitettuna:
b
dx
dy
dz 
F
(
r
)

dr

F

F
+
F
dt.
x
y
z
C
a  dt
dt
dt 
***
Esimerkki: Lasketaan vektorikentän
F ( x, y, z )  xiˆ  yjˆ  zkˆ
käyräintegraali yli käyrän
r (t )  ( x(t ), y (t ), z (t ))  (sin t ,cos t , t ), 0  t  2 .
Sovelletaan äskeistä kaavaa. Koska x '(t )  cos t , y '(t )   sin t ja
z (t )  1, saadaan
17

C
dr
dt
a
dt
2
=  sin t iˆ  cos t ˆj  t kˆ   cos t iˆ  sin t ˆj  kˆ 
0
2
2
1
=   sin t cos t  sin t cos t  t  dt   tdt  t 2
0
0
2
= 2 2 .
b
F (r )  dr   F 
2
0
***
3.3 Käyräintegraali ja vektorikentän konservatiivisuus
Tarkastellaan vektorikentän käyräintegraalia pitkin
suljettua käyrää C eli integroinnin alku- ja loppupiste ovat
samat, r (a )  r (b) . Merkitään tätä integraalia
A 15.2&15.4
∮ C F (r )  dr .
On helppo uskoa, että integraali voi olla nolla, jos vaan käyrä
sattuu olemaan sopivanlainen. On kuitenkin olemassa sellaisia
vektorikenttiä, joille tämä integraali on nolla kaikille suljetuille
käyrille,
∮ C F (r )  dr  0 kaikille suljetuille C
Niitä sanotaan konservatiivisiksi kentiksi. Mekaniikasta ovat
tuttuja konservatiiviset voimat; ne ovat konservatiivisia
vektorikenttiä.
On helppo nähdä, että konservatiivisen kentän
käyräintegraali kahden pisteen välillä on reitistä
riippumaton. Olkoon C1 ja C2 kaksi eri käyrää
pisteestä P0 pisteeseen P. Ne voidaan yhdistää
suljetuksi käyräksi C, jossa ensin mennään P0
pisteeseen P käyrää C1 pitkin ja palataan takaisin
käyrää C2 väärään suuntaan eli käyrää –C2. Silloin
(huomaa, että reiteillä C2 ja -C2 käyrädifferentiaalilla
18
dr on vastakkainen merkki, koska ne osoittavat vastakkaiseen
suuntaan)
0 ∮ C F  dr   F  dr 
C1

 C2
F  dr ,
   F  dr
C2
joten

C1
F  dr   F  dr .
C2
Konservatiivinen vektorikenttä F (r ) voidaan aina esittää jonkin
skalaarikentän  (r ) avulla seuraavasti:
F (r ) 
 (r ) ˆ  (r ) ˆ  (r ) ˆ
i
j
k.
x
y
z
F
F
F
x
z
y
Tämä on konservatiivisen kentän määritelmä. Kaava voidaan
kirjoittaa lyhyemmin määrittelemällä derivointioperaattori  eli
nabla:



  iˆ  ˆj  kˆ .
x
y
z
Silloin F  . Nabla hyvin tulee tutuksi jatkossa. [Huom.
Fysiikassa usein valitaan potentiaalin etumerkki niin, että
F   , mutta se on ihan sama.]
Integrandi saadaan skalaarikentän avulla muotoon
19
 
 ˆ  ˆ 
F  dr   iˆ 
j
k   dxiˆ  dyjˆ  dzkˆ
y
z 
 x




dx 
dy 
dz  d .
x
y
z


Jos reitillä C on parametriesitys r (t ) (a  t  b), on
käyräintegraali

C
b
b
a
a
F  dr   d (r (t ))  
d (r (t ))
dt   (r (b))   (r (a)),
dt
eli käyräintegraalin arvon määräävät potentiaalifunktion arvot
käyrän päätepisteissä. Kun käyrä on suljettu, r (a )  r (b) ja
käyräintegraali häviää.
Seuraavat kolme ehtoa ovat yhtäpitäviä eli seuraavat toinen
toisistaan (ks. Adams puutuvien todistusten osalta):
F on konservatiivinen eli on muotoa F  .
(i)
(ii)
(iii)
∮ C F (r )  dr  0 kaikille suljetuille käyrille C.
Käyräintegraali pisteestä P0 pisteeseen P ei riipu
käyrästä, jota pitkin integrointi suoritetaan eli
r ( P)
1
F

dr
ei riipu käyrästä C.
r ( P0 )
2
***
Esimerkki: Tarkastellaan vektorikenttää
F  ( Fx , Fy , Fz )  ( x  y, x  z, y).
Onko kenttä konservatiivinen? Mikä on kentän käyräintegraali

C
F  dr origosta (0,0,0) pisteeseen (0,1,1)?
Yksi tapa osoittaa kenttä konservatiiviseksi on etsiä sellainen
skalaarifunktio  , josta se saadaan nablaamalla eli F  .
Hetken pohtimisella näkee, että sellainen on
20
 ( x, y, z )  12 x 2  xy  yz.
Esimerkiksi  x  x  y  Fx . Kenttä on siis konservatiivinen.
Käyräintegraalin arvoksi saadaan

F  dr   (0,1,1)   (0,0,0)
C
  12 (0) 2  0 1  1 1 12 (0) 2  0  0  0  0   1.
***
Esimerkki: Laske integraali∮ C F  dr , kun C on ympyrä
x2  y 2  1 kierrettynä vastapäivään alku- ja loppupisteenä (1,0)
ja F on vektorikenttä
F  ( Fx , Fy )  (
y
x
,
).
x2  y 2 x2  y 2
Onko kenttä konservatiivinen?
Laskua yksinkertaistava huomio: koska
integroimiskäyrällä x2  y 2  1, on kenttä
sillä F  ( y, x). Parametrisoidaan käyrä
kiertokulman avulla:
r ( )  (cos ,sin  ), 0    2 . Silloin
F  ( sin  ,cos ) ja käyräintegraaliksi
saadaan
2
∮ C F  dr  0
2
F  r '( )d   ( sin  ,cos )  (  sin  ,cos )d 
0
2
2
0
0
  (sin 2   cos 2  ) d   d
 2 .
Koska tämä integraali yli suljetun käyrän ei häviä, kenttä ei ole
konservatiivinen.
***
21
Pyörteettömyysehto. Riittävä ja välttämätön ehto vektorikentän
F  F ( x, y, z ) konservatiivisuudelle ja siten skalaaripotentiaalin
olemassaololle on myös seuraava:
Fx Fy Fy Fz Fz Fx

,

,

.
y
x
z
y
x
z
Tämä ehto voidaan kirjoittaa edellä annetun  -operaattorin
avulla yksinkertaisesti
 F ( x, y, z)  0,
sillä  F ( x, y, z ) tarkoittaa vektoria
 F Fy  ˆ  Fx Fz  ˆ  Fy Fx  ˆ
  F ( x, y , z )   z 


i  
 k.
 j 

y

z

z

x

x

y


 


Vektorikenttää F , jolle  F ( x, y, z )  0 , sanotaan
pyörteettömäksi (asiaan palataan myöhemmin).
Kaksiulotteisessa tapauksessa pyörteettömyysehto on
Fx Fy

.
y
x
***
Esimerkki: Edellä olleessa tehtävässä kysyttiin, onko kenttä
F  ( Fx , Fy , Fz )  ( x  y, x  z, y) konservatiivinen.
Yllä annetut ehdot toteutuvat,
Fy Fz
Fx Fy
Fz Fx

 1,

 1,

 0,
y
x
z
y
x
z
joten kenttä on konservatiivinen.
***
22
Esimerkki: Fysiikassa potentiaalia merkitään usein kirjaimella U
ja konservatiivinen voima F esitetään muodossa
F  U  
U ˆ U ˆ U ˆ
i
j
k.
x
y
z
Yhdessä ulottuvuudessa jousivoiman potentiaali(energia) on
U ˆ
U ( x)  12 kx 2 , josta jousivoimaksi saadaan F  
i  kxiˆ.
x
***