AV 2: rešitve

EMP: Vztrajnostni moment (z rešitvami
Klemen Drobnič
10. marec 2015
Dinamika prehodnih pojavov v pogonskem sistemu je odvisna od
vztrajnostnega momenta J posameznih elementov (motorja, bremena,
prenosa). Najprej si bomo ogledali izračun J za nekaj osnovnih geometrijskih teles ter podali napotek za določevanje kompleksnejših
(sestavljenih) teles. V drugem delu pa bomo določili pravilo za določitev reduciranega vztrajnostnega momenta J 0 , ki ga čuti motor.
Vztrajnostni moment različnih teles
Splošen izraz za izračun vztrajnostnega momenta je
J=
Z
m
r2 · dm
(1)
y
Najpogosteje uporabljeno telo v pogonski tehniki je valj (disk) z
rotacijsko osjo, ki poteka vzdolžno skozi njegovo težišče. Njegov J
lahko izračunamo, če imamo podano njegovo maso m in dimenzije
oz. gostoto ρ in dimenzije. Edini način za določitev J je integracija.
Valj razdelimo v več koncentričnih prstanov z maso dm in polmerom
r ter debelino dr. Ker dA predstavlja ploščino tega prstana, lahko
sklepamo, da je delež dm napram celotni masi m enak kot je delež dA
nasproti celotni ploščini A.
dm
dA
m
=
⇒ dm = dA
m
A
A
m
2m
(2πr · dr ) = 2 r · dr
πR2
R
Zdaj imamo masni element dm izražen z diferencialom koordinate r,
ki ga vnesemo v enačbo 1
JV =
Z
2
m
r · dm =
ZR
0
2m
2m
r · 2 r · dr = 2
R
R
2
ZR
0
r3 dr =
m 2
R .
2
Če imamo cilinder ter sta Rn in Rz njegov notranji oz. zunanji polmer
JC =
Z
2
m
r · dm =
ZRz
Rn
m
= ( R2z + R2n ).
2
m
2m
r ·
(2πr · dr ) = 2
2
2
π ( Rz − Rn )
Rz − R2n
2
r
R
z
ploščina osnovne plošče (diska) je A = πR2 , medtem ko je ploščina
prstana1 enaka dA = 2πr · dr
dm =
dr
ZRz
Rn
r3 dr =
Slika 1: izračun vztrajnostnega momenta za disk (os vrtenja je z-os)
Lahko si zamislimo, da prstan "odvijemo"ter dobimo dolg, tanek pravokotnik s stranicama 2πr in dr
1
dA
x
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
2
Za tanek cilinder pa lahko zapišemo
JC,t =
Z
2
m
r · dm =
R+
Z δ/2
r2 ·
R−δ/2
m
m
(2πr · dr ) = R3 = mR2 .
2πRz · dr
R
disk s tanko steno
disk z debelo steno
poln disk
Rn ' Rz
R = ( Rn + Rz )/2
Rn < Rz
R = Rz
J = f (m)
mR2
J = f (ρ)
2π ( Rz − Rn )hρ · R3
m 2
( R + R2n )
2
πhρ 4
( R − R4n )
2
Rn = 0
Rz = R
m 2
R
2
πhρ 4
R
2
Tabela 1: Vztrajnostni moment različnih
diskov. Za vsak tip sta podani dve
enačbi, in sicer: v zgornji nastopa masa
m, v spodnji pa gostota ρ.
Primer 1. Določimo J za disk s tanko steno, s srednjim premerom
2R=0, 5 m, debelino stene δ = 0, 02 m, višino h = 0, 5 m ter gostoto
ρ = 7850 kg/m3 .
Uporabimo ustrezno enačbo iz tabele 1
J = 2π ( Rz − Rn )hρ · R3 = 2π · 0, 02 · 0, 5 · 7850 ·
0, 5
2
3
= 7, 71 kgm2 .
Če lahko sestavljeni element razdelimo v več enostavnih teles
(slika 2), ki se vrtijo okoli iste osi in katerih J poznamo, je vztrajnostni moment celotnega elementa Jsk
Jsk = J1 + J2 + · · ·
Jsk
vztrajnostni moment sestavljenega
telesa
(2)
J1
=
J2
+
Slika 2: vztrajnostni momenti sestavljenega telesa
Primer 2. Določi vztrajnostni moment Jsk telesa na sliki 2 levo, če sta
vztrajnostna momenta J1 = 0, 5 kgm2 in J1 = 2 kgm2 .
Ker imata valj in cilinder isto os vrtenja lahko zapišemo
Jsk = J1 + J2 = 0, 5 + 2 = 2, 5 kgm2 .
Iznos vztrajnostnega momenta telesa je močno odvisen od
izbire osi vrtenja. Vztrajnostna momenta Jv1 in Jv2 diskov na sliki 3 v
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
splošnem nista ne enaka, niti matematično odvisna (da bi lahko npr.
z vedenjem Jv1 določili Jv2 ).
Izjema je primer, ko sta osi vrtenja med seboj vzporedni. Če poznamo vztrajnostni moment Jtez telesa, katerega os vrtenja poteka
skozi njegovo težišče, lahko določimo vztrajnostni moment J za vse
primere, kjer je os vrtenja vzporedna omenjeni osi. Takrat lahko zapišemo (slika 4)
J = Jtez + md2 .
(3)
Jv1
≠
3
Jv2
Slika 3: vpliv osi vrtenja na J
d
Vztrajnostni moment telesa je minimalen takrat, ko os vrtenja
poteka skozi njegovo težišče.
Primer 3. Vztrajnostni moment železne pravokotne plošče skozi
njeno težišče znaša Jtez = 2, 557 kgm2 . Dimezije plošče so a = 0, 5 m
in b = 0, 25 m ter masa m = 98, 25 kg. Določi J, če ploščo vrtimo okoli
njenega roba (slika 5).
Najprej določimo razdaljo med težiščem in robom
s
s
a 2 b 2
0, 5 2
0, 25 2
d=
+
=
+
= 0, 28 m
2
2
2
2
Jtez
J
Slika 4: Teorem vzporednih osi (Steinerjev teorem)
Vztrajnostni moment plošče okoli njenega roba
J = Jtez + md2 = 0, 557 + 98, 25 · 0, 282 = 10, 26 kgm2
a
d
Naloga 1.
Izračunajte vztrajnostni moment homogenega valja in homogenega
cilindra (za vzdolžno os). Kakšno je razmerje njunih mas in njunih
vztrajnostnih momentov?
gostota ρ
višina h
polmer
valj
cilinder
10000 kg/m3
1m
R=1 m
10000 kg/m3
1m
Rn =0,5 m, Rz = 1 m
b
Slika 5: vrtenje pravokotne plošče okoli
njega roba
300
3
2
50
50
200
Slika 6: jekleni vztrajnik v tlorisu (levo)
in narisu (desno)
200
1
700
Določite vztrajnostni moment jeklenega (ρ = 7870 kg/m3 ) vztrajnika
oblike in dimenzij, kot jih podaja slika 6:
800
Naloga 2.
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
4
Reducirani vztrajnostni moment
Elektromotorski pogon sestavljata motor in breme, ki sta povezana preko mehanskega sklopa z izkoristkom η. Če je smer pretoka
moči od motorja k bremenu velja
MM · ωM =
d
1
MB · ω B + Wk ,
η
dt
(4)
če pa je smer pretoka moči od bremena k motorju
M M · ω M = η · MB · ω B +
d
W.
dt k
(5)
Kinetična energija Wk je lastnost vseh gibajočih teles. V pogonih je
prisotna v tako v rotirajočih (rotor, ventilator, zobnik,...) kot tudi
premogibajočih masah (dvigalo, tekoči trak). Zanima nas, kako se
spremeni Wk , če v pogon vključimo mehanski prenos (reduktor, multiplikator, polž, zobata letev). Ta novi vpliv bremenskih mas na motorsko gred bomo opisali z reduciranim vztrajnostnim momentom2
J 0 . Za pogon z mehanskim krožnim prenosom (slika 7) zapišemo
!
2
ω
1
1
1
J M + JB 2B ω 2M
Wk (t) = J M ω 2M + JB ω B2 =
2
2
2
ωM
reducirani vztrajnostni moment J 0 preračunan na gred motorja
!
ω B2
0
.
(6)
J = JB
ω 2M
skupni vztrajnostni moment sistema je
seveda vsota Jsk = J M + J 0 .
2
Slika 7: mehanski krožni prenos
Za pogon z mehanskim linearnim prenosom (slika 8) lahko zapišemo
!
2
v
1
1
1
Wk (t) = J M ω 2M + m B v2B =
J M + m B 2B ω 2M
2
2
2
ωM
reducirani vztrajnostni moment J 0 preračunan na gred motorja
!
v2B
0
J = mB
.
(7)
ω 2M
Slika 8: mehanski linearni prenos
Reduciran vztrajnostni moment pri zaporednem mehanskem krožnem prenosu (slika 9) je
JB1 +
J0 =
i12
JB2
i22
JB2
(ω B1 /ω B2 )2
.
(ω M /ω B1 )2
JB1 +
=
(8)
Slika 9: zaporedni mehanski krožni
prenos
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
Reduciran vztrajnostni moment pri vijačnem prenosu (slika 10) je
P
.
(9)
J 0 = (m B + m P )
2π
Reduciran vztrajnostni moment pri dviganju (slika 11) je
0
J = mB
vb
ωM
2
.
(10)
Slika 10: vijačni prenos
Naloga 3.
Določite skupni vztrajnostni moment, ki ga čuti motor, za dvigalo na
sliki (slika 12).
Slika 11: dviganje
vrtilna hitrost motorja n M
masa bremena m B
premer bobna D
prenosno razmerje prvega para zobnikov i1
prenosno razmerje drugega para zobnikov i2
vztr. moment vrtečih se delov na gredi motorja J0
vztr. moment vrtečih se delov na gredi 1 J1
vztr. moment vrtečih se delov na gredi 2 J2
motor
motorska
gred
1000 obr/min
230 kg
0,4 m
5
5
0,2 kgm2
0,15 kgm2
1,75 kgm2
Slika 12: dvigalo z dvojnim krožnim
prenosom
prenos
nM
i1
i2
gred 1
boben
ωB
gred 2
vB
breme
mB
5
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
Naloga 4.
Simbolično določite reduciran vztrajnostni moment za vrtilno mizo z
ekscentričnim bremenom (slika 13). Zanemarite vztrajnost povezovalnih gredi in prenosnega mehanizma.
mB2
breme(na)
mB1
rB1
Slika 13: vrtilna miza z ekscentričnim
bremenom
mB3
miza
mMiza
rmiza
ωB
prenos
i
ωM
motor
JM
Naloga 5.
Določite vztrajnostni moment tanke plošče (gostota na površinsko
enoto: α=20 kg/m2 ), ki se vrti okoli točke O (slika 14).
Namig: Najprej določite vztrajnostni moment plošče, če bi se le-ta
vrtela okoli svojega težišča:
Jp =
1
m p ( a2 + b2 )
12
kjer sta a in b dolžina in širina plošče. Nato uporabite Steinerjev
izrek. (Rešitev: J = 0, 276 kgm2 )
Slika 14: plošča z izrezanimi krogi
6
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
7
Naloga 6.
Določite vztrajnostni moment jeklenega bobna, na katerega se navija
papir debeline d s hitrostjo v.
zunanji polmer jeklenega valja Rz
notranji polmer jeklenega valja Rn
višina valja h
končni polmer valja z navitim papirjem R
hitrost navijanja v
debelina papirja b
specifična gostota papirja ρ p
specifična gostota jekla ρ j
10 cm
9 cm
1m
1m
0,5 m/s
0,1 mm
800 kg/m3
7800 kg/m3
R0
R(t)
l
dR
Naloga 7.
Na koncu steze za hladno valjano pločevino navijalni stroj navija
pločevino. Material (jeklena pločevina) s širino b in debelino d se
s hitrostjo v navija na vreteno, in sicer z začetnega polmera R0 na
končni polmer R1 . Izračunajte oz. določite:
1. čas navijanja enega kosa tnav ,
2. časovno funkcijo polmera R(t),
3. zahtevan časovni potek vrtilne hitrosti motorja ω M ,
4. začetno in končno vrtilno hitrost motorja ω M0 in ω M1 ,
5. časovni potek skupnega vztrajnostnega momenta Jsk preračunanega na motorsko gred.
hitrost navijanja v
debelina pločevine d
širina pločevine b
polmer navijalnega bobna R0
končni polmer navite pločevine R1
vztrajnostni moment motorja in navijalnega bobna J M
prestavno razmerje motor-boben i
specifična gostota jekla ρ j
5 m/s
0,4 mm
1m
0,2 m
1m
18 kgm2
4
7850 kg/m3
Slika 15: boben za navijanje papirja
b
v
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
Naloga 8.
Določite vztrajnostni moment vztrajnika na sliki 16.
bv
Slika 16: vztrajnik s štirimi palicami
venec
bp
dp
palica
glava
zunanji premer venca dv
širina venca bv
zunanji premer glave d g
notranji premer glave d0
širina glave bg
dolžina palice d p
premer palice b p
specifična gostota jekla ρ j
dv dg
d0
bg
90 cm
12,4 cm
16 cm
8 cm
8 cm
30 m
4 cm
7850 kg/m3
Namig: Vztrajnostni moment palice dolžine d in mase m, ki jo
vrtimo okoli osi, ki poteka skozi njeno težišče, je
Jp =
m
1
md2 .
12
Pri reševanju naloge uporabite Steinerjev izrek.
d
Slika 17: vztrajnostni moment palice
8
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
Rešitev 1. Razmerje mas
mC
3
=
mV
4
Razmerje vztrajnostnih momentov
15
JC
=
JV
16
Rešitev 2.
Jsk = 48,75 kgm2
Rešitev 5. Izračunamo vztrajnostni moment celotne plošče, nato od
njega odštejemo vztrajnostne momente "negativnih delov", tj. lukenj.
Masa polne plošče
m p = αab = 3,2 kg
masa navidezne luknje (tanek disk)
ml = απr2 = 0,157 kg
Vztrajnostni moment plošče izračunamo tako, da s pomočjo Steinerjevega izreka odštejemo vpliv lukenj.
1
1
2
2
2
2
Jsk =
m p (a + b ) − 4
m r + ml d = 0,0704 kgm2
12
2 l
Vztrajnostni moment okoli oglišča "O"pa znaša
Jsk,O = Jsk + (m p − 4ml ) ( a sin(45 deg))2 = 0,276 kg2
Rešitev 6. Skupni vztrajnostni moment Jsk sestavljata vztrajnostni
moment bobna JjB (konstanten) in vztrajnostni moment papirja J p
Jsk = JjB + J p
Jekleni boben ima obliko cilindra, zato lahko zapišemo
1
1
1
m B ( R2z + R2n ) = πρh( R4z − R4n ) = π · 7800 · 1 · (0, 14 − 0, 094 )
2
2
2
= 0, 421 kgm2 .
JjB =
Vztrajnostni moment papirja ima prav tako obliko cilindra, pri katerem pa se s časom spreminja zunanji polmer (J p = f (t))
Jp = m p
R2 (t) + R20
ρπh 4
=
R (t) − R40 = K R4 (t) − R40
2
2
(11)
9
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
Z navijanjem papirja se povečuje polmer R. Če pogledamo boben v
tlorisu (slika 18), lahko na dva načina določimo prirastek ploščine dS
v času dt. Prirastek ploščine je enak produktu trenutnega obsega in
prirastka polmera
10
b
ds
dS = 2πR(t) · dR
dR
R0
Ta ploščina pa mora biti enaka ploščini, ki se je v času dt navila na
boben, tj. produktu debeline papirja b in krožnega loka ds
R
R(t)
dS = b · ds = bv · dt
sledi
2πR(t) · dR = bv · dt
bv
· dt.
2π
Dobljeno diferencialno enačbo integriramo
R(t) · dR =
Slika 18: priprava za integracijo
bv
dt
2π
R2 ( t )
bv
=
·t+C
2
2π
ter določimo konstanto C iz začetnega pogoja
Z
R(t) · dR =
Z
t = 0 −→ R(0) = R0
R20
.
2
Končni izraz za polmer R(t) ima obliko
r
bv
R(t) =
t + R20
π
vstavimo v enačbo 11
#
"
" #
2
bvR20
ρπh
ρπh
bv
bv 2 2
4
2
J p (t) =
t + R0 − R0 =
t +2
t
2
π
2
π
π
"
#
2
−3 · 0, 5 · 0, 12
800 · π · 1
0, 1 · 10−3 · 0, 5
0,
1
·
10
t
=
t2 + 2
2
π
π
= 1256, 6 2, 53 · 10−10 t2 + 1, 59 · 10−5 t
C=
= 0, 317 · 10−6 t2 + 19, 98 · 10−3 t
Skupni vztrajnostni moment je vsota
Jsk (t) = JjB + J p = 0, 421 + 0, 317 · 10−6 t2 + 19, 98 · 10−3 t
Pri navijanju želimo največkrat držati
konstantno obodno hitrost v, kar pomeni, da se mora vrtilna hitrost motorja
v
ustrezno prilagajati ω M (t) = i
R(t)
emp: vztrajnostni moment (z rešitvami
Rešitev 7. tnav = 25, 13 min; ω M0 = 955 min−1 ; ω M1 = 191 min−1 ;
Jsk (tnav ) = 787, 4 kgm2
11