Luvun 2 esimerkit

Luvun 2 laskuesimerkit
Esimerkki 2.1
Gepardi lähtee juoksemaan 20 metrin päässä olevasta havaitsijasta
poispäin kohti havaitsijasta 50 metrin päässä olevaa antilooppia
hetkellä t = 0. Ensimmäisen kahden sekunnin aikana gepardin
paikan saa kaavasta x = 20
+ (5.0 / 2 )t 2 .
m
ms
s
a) mikä on gepardin siirtymä aikavälillä t = 1.0 − 2.0 ?
b) mikä on sen keskimääräinen nopeus tällä aikavälillä?
c) mikä on sen hetkellinen nopeus hetkillä t = 1.0 ja t = 2.0 ?
s
m
s
ms
s
m
s
m
ms
s
m
Siirtymä ∆x = x2 − x1 = 40 m − 25 m = 15 m.
a) t1 = 1.0 , x1 = 20
+ (5.0 /
= 25
2
2
2
t2 = 2.0 , x2 = 20 + (5.0 / )(2.0 ) = 40 .
2
b) Keskimääräinen nopeus:
Vav
=
x2 − x1
t2 − t1
=
)(1.02
)2
m = 15 m/s.
s
15
1.0
s
Hetkellinen nopeus, derivoidaan nopeuden yhtälö:
d
(20 m + 5.0 m/s2 t 2 )
dt
d 2
= 5.0 m/s2 ·
(t ) = 5.0 m/s2 · 2t
dt
Eli vx = 10.0m/s2 · t .
Ajanhetkellä t1 = 1.0s : vx 1 = 10.0m/s2 · 1.0 s = 10 m/s.
Ajanhetkellä t2 = 2.0s : vx 2 = 10.0m/s2 · 2.0 s = 20 m/s.
vx =
dx
dt
=
Huom: nopeuden keskiarvo:
vx + vx2
2
=
(10 + 20)
2
s
m = 15 m/s = vav .
Esimerkki 2.2
ms
Huru-ukko ajaa vakionopeudella va = 15 / tiellä, jossa
nopeusrajoitus on koululaisten vuoksi 30km /h . Huru-ukon perään
lähtee poliisi, joka kiihdyttää tasaisesti ap = 3 / 2 . Milloin ja
missä poliisi tavoittaa huru-ukon auton? Mikä on tällöin poliisin
nopeus?
ms
Tarvittavat kaavat ovat nyt
v = v0 + at
ja
1
2
x = x0 + v0 t + at 2
ms
Huru-ukon auto liikkuu vakionopeudella, joten v = va = 15 /
sekä xa = 0 + va t + 0 = va t .
Poliisille puolestaan vp = 0 + ap t ja xp = 0 + 0 + (1/2)ap t 2 .
Poliisi tavoittaa huru-ukon kun xp = xa , eli
1 2
ap t = va t
2
eli hetkellä
t=2
va
ap
=2·
25
3.0
m s2 = 10 s.
sm
ms
s
Kuljettu matka: xp = xa = 15 / · 10 = 150
Poliisin nopeus: vp = 3.0 / 2 · 10 = 30 / .
ms
s
ms
m.
Esimerkki 2.3
Pallo heitetään suoraan ylöspäin katon reunalta. Pallon alkuvauhti
on 15.0 / , se nousee lakikorkeuteen ja tippuu vapaasti alas
ohittaen katon reunan juuri ja juuri
a) Mikä on pallon paikka ja nopeus 1.0 ja 4.0 s heiton alusta?
b) Mikä on pallon nopeus on kun se on 5.00 m katon yläpuolella?
c) Mikä on pallon lakikorkeus?
d) Mikä on pallon kiihtyvyys lakipisteessä?
Nyt siis v0y = 15.0 / ja ay = −g = 9.80 / 2 . y = 0
vastaa heittokohtaa, positiivinen suunta ylöspäin.
a) y = y0 + v0y t + (1/2)ay t 2 = 0 + v0y t − (1/2)gt 2 .
ms
ms
ms
vy = v0y + ay t = v0y − gt .
t = 1.0 s :
y = 15.0 m/s · 1.0 s − (1/2) · 9.80 m/s2 · 1.02 s2 = 10.1 m
vy = 15.0 m/s − 9.80 m/s2 · 1.0 s = 5.2 m/s (ylöspäin)
s
s
Vastaavasti t = 4.0 :
y = 15.0 / · 4.0 − (1/2) · 9.80 / 2 · 4.02 2 = −18.4
vy = 15.0 / − 9.80 / 2 · 4.0 = −24.2 / (alaspäin)
ms
ms
ms
s
ms
s
ms
m
b) Kaavasta ?? saadaan:
vy2 = v02y + 2ay (y − y0 ) = v0y − 2gy (y0 = 0).
= (15.0)2 2 / 2 − 2 · 9.80 / 2 · 5.0
= 127 2 / 2
vy = ±11.3 / .
Huom: kaksi ratkaisua: ensin ylös mennessä vy > 0, alas palatessa
vy < 0.
m s
ms
ms
m
m s
c) laella
vy
= 0, → 0 = v0y − gtmax
tmax =
v0y
g
=
ms
ms
s
15.0 /
= 1.531 .
9.80 / 2
Sijoittamalla tämä saadaan maksimikorkeus:
1
2
2
ymax = v0y tmax − gtmax
m/s · 1.531 s − 12 · 9.80 m/s2 · 1.5312 s2
ymax = 11.5 m.
= 15.0
d) Kyseessä on kompakysymys kiihtyvyys on koko ajan
ay
= −g .
Esimerkki 2.4 kaavat määritelmistä
a)
dv
a= x
dt
→ dvx = ax dt
Integroidaan tämä puolittain
Z vx
v0x
vx − v0x =
Jos
ax
Z
0
t
dvx =
Z
0
t
ax dt
ax dt → vx = v0x +
Z
t
0
on vakio,
v = v0x + ax
Z
0
t
dt = v0x + ax t .
ax dt .
b)
vx =
Z
x
x0
x − x0 =
Jos
ax
on vakio,
→
Z
0
t
dvx =
Z
0
t
Z
0
t
vx dt
vx dt → x = x0 +
vx = v0x + ax t .
x = x0 +
dx
dt
Z
0
t
vx dt .
(v0x + ax t )dt = x0 + v0x +
1 2
ax t .
2