Tehtävät osa1

Laskuharjoitukset , 5-6.9.2014
Tilastomatematiikka TUDI
1.
Olkoot A, B ja C tapahtumia otosavaruudessa S. Määritä joukko-opilliset
lausekkeet tapahtumille
a) tarkalleen yksi tapahtumista A, B tai C tapahtuu
b) ainakin kaksi tapahtuu
c) yksikään ei tapahdu
d) A tai B tapahtuu, C ei tapahdu.
2.
Erään suurfirman työntekijöistä 90%:lla on auto, 97%:lla kännykkä ja 2% ei
omista kumpaakaan. Valitaan haastateltavaksi satunnainen työntekijä.
a) Millä todennäköisyydellä tämä omistaa sekä auton että kännykän?
b) Millä todennäköisyydellä tämä omistaa auton, mutta ei kännykkää?
Vastaus:
a) 0,89
b) 0,01
3.
Olkoot A ja B saman otosavaruuden tapahtumia. Laske P(A), P(B) ja P(A-B)
= P (A ∩ B), kun tiedetään todennäköisyydet P (A ∪ B) = 7/8, P (A ∩ B) = 1/4
ja P (A) = 5/8.
Vastaus:
P (A) = 3/8
P (B) = 3/4
P (A − B) = 1/8
4.
Generoitaessa satunnaisesti 4-bittinen binääriluku (esim. heitetään kolikkoa 4
kertaa ja asetetaan vastaava bitti 0:ksi, jos saadaan kruuna ja 1:ksi, jos saadaan
klaava). Kaikki näin saadut binääriluvut ovat silloin yhtä todennäköisiä. Olkoot
tapahtumat:
A = ”luvussa parillinen määrä ykkösiä”.
B = ”luvun kaksi viimeistä bittiä ykkösiä”.
Laske todennäköisyydet P(A), P(B), P (A ∪ B), P (A ∩ B) ja P(A-B).
Vastaus:
P (A) = 1/2
P (B) = 1/4
P (A ∩ B) = 1/8
P (A ∪ B) = 5/8
P (A − B) = 3/8
5.
Arvotaan kaksi reaalilukua x ja y väliltä [0,1] esim. laskimen satunnaislukugeneraattorilla. Oletetaan, että jokaisella joukon S = {(x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}
alkiolla on sama mahdollisuus tulla valituksi (ei huomioida laskimen äärellistä
tarkkuutta). Millä todennäköisyydellä pisteen (x,y) etäisyys origosta on pienempi kuin 0,5?
Vastaus:
P (A) ≈ 0, 20
6.
Kumpi on todennäköisempää: saada vähintään yksi kuutonen neljässä nopan
heitossa vai saada vähintään yksi kuutospari heitettäessä kahta noppaa 24 kertaa?
Vastaus:
P(A) = 0,518
P(B) = 0,491
7.
Generoitaessa satunnaisesti 4-bittinen binääriluku (esim. heitetään kolikkoa 4
kertaa ja asetetaan vastaava bitti 0:ksi, jos saadaan kruuna ja 1:ksi, jos saadaan
klaava). Kaikki näin saadut binääriluvut ovat silloin yhtä todennäköisiä. Olkoot
tapahtumat:
A = ”luvussa parillinen määrä ykkösiä”.
B = ”luvun kaksi viimeistä bittiä ykkösiä”.
a) Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomat?
b) Laske P(A | B).
Vastaus:
a) tapahtumat ovat riippumattomat
b) P (A | B) = 1/2
8.
Erään suurfirman työntekijöistä 90%:lla on auto, 97%:lla kännykkä ja 2% ei
omista kumpaakaan. Valitaan haastateltavaksi satunnainen työntekijä.
a) Osoita, että auton ja kännykän omistaminen eivät ole riippumattomia tapahtumia.
b) Jos haastateltavaksi valitulla satunnaisella henkilöllä on auto, millä todennäköisyydellä hänellä on myös kännykkä?
c) Jos henkilöllä ei ole autoa, millä todennäköisyydellä hänellä on kännykkä?
Vastaus:
a) Koska P (A ∩ K) = 0, 89 6= P (A)P (K), eivät ole riippumattomia
b) Kännykkä on n. 99%:n todennäköisyydellä
c) Kännykkä on 80%:n todennäköisyydellä
9.
Valimo toimittaa eräitä moottorin osia 20 kappaleen erissä. Erä tarkastetaan
testaamalla kolme satunnaisesti valittua osaa. Tarkastellaan sellaista 20 kappaleen erää, jossa 4 viallista ja 16 kunnollista osaa. Olkoon satunnaismuuttuja X
viallisten osien määrä testattavien kolmen osan joukossa.
Millä todennäköisyydellä testaukseen valittujen joukossa on korkeintaan yksi
viallinen?
Vastaus:
P (X ≤ 1) ≈ 0, 91
10.
Automaattisessa laaduntarkastuksessa robotti hyväksyy 99% tuotteista ja hylkää loput. Robotin hyväksymistä tuotteista on todellisuudessa viallisia 0,1%:a ja
vastaavasti robotin hylkäämistä tuotteista on todellisuudessa ehjiä 0,5%. Millä
todennäköisyydellä viallinen tuote läpäisee tarkastuksen?
Vastaus:
n. 9% todennäköisyydellä
11.
Ikiteekkari Brian Kottarainen on jälleen kerran ilmoittautunut tilastomatematiikan kurssille. Brian ei kuitenkaan aio osallistua opetukseen, vaan aikoo
tenttiä kurssin vanhasta muistista. Voidaan olettaa Brianin tentinläpäisytodennäköisyyden säilyvän vakiona tenttikerrasta toiseen, olkoon se 15 %. Laske
todennäköisyys sille, että Brian pääsee läpi vasta joko neljännellä tai viidennellä
yrittämällä. Mikä on Brianin odotettavissa oleva läpäisykerta?
Vastaus:
todennäköisyys 0,1704
odotusarvo: ≈ 6, 7
12.
Lehdenjakajalla on kolme epäluotettavaa herätyskelloa. Paras kello toimii keskimäärin 9 kertaa 10:stä, seuraava kello 2 kertaa 3:sta ja huonoin kello vain joka
toinen kerta. Henkilö yrittää parantaa tilannetta virittämällä kaikki kolme.
a) Kuvaa tämän satunnaiskokeen otosavaruus.
b) Laske alkeistapahtumien todennäköisyydet.
c) Millä todennäköisyydellä ainakin yksi kelloista soi?
d) Millä todennäköisyydellä täsmälleen kaksi kelloa soi?
Vastaus:
a) Otosavaruus S = {SSS, SSE, SES, ESS, SEE, ESE, EES, EEE}
b) P (SSS) = P{ensimmäinen soi} · P{toinen soi} · P{kolmas soi} =
3
P (SSE) = 10
3
P (SES) = 20
1
P (ESS) = 30
3
P (SEE) = 20
1
P (ESE) = 30
1
P (EES) = 60
1
P (EEE) = 60
c) P{”ainakin yksi soi”} =
59
60
≈ 0.98
d) P {SSE, SES, ESS} =
29
60
≈ 0.48
3
10
13.
Kuvan mukaisen systeemin kytkimet K1 , K2 , K3 ja K4 ovat tietyllä hetkellä toisistaan riippumatta suljettuina vastaavasti todennäköisyydellä 0.60, 0.25, 0.50
ja 0.75. Millä todennäköisyydellä kyseisellä hetkellä systeemin läpi kulkee virta?
Vastaus:
P(”virta kulkee”) = 0.46875
14.
Rahanväärentäjä sekoittaa 16 väärennettyä seteliä 35 oikean samanarvoisen
setelin kanssa ja lähtee vaihtamaan rahaa katukaupassa. Ensimmäinen asiakas
vaihtaa 6 seteliä. Millä todennäköisyydellä hän saa kolme väärää seteliä?
Vastaus:
P(3 väärennettyä) = 0.2035
15.
Vuoristoalueella on eräänä päivänä annettu lumimyrskyn todennäköisyydeksi
30%. Eräästä vuoristokylästä lähtee kaksi tietä. Tie 1 suljetaan lumimyrskyn
sattuessa 60%:n varmuudella, tie 2 suljetaan 45%:n varmuudella. Millä todennäköisyydellä ainakin toinen kylästä lähtevistä teistä on auki? Oletetaan, että
kummankin tien auki pitäminen riippuu vain lumimyrskystä, ei siitä onko toinen
tie auki vai ei.
Vastaus:
0.919
eli 92%:n varmuudella ainakin toinen tie on auki (kun lumimyrskyennusteen
toteutumisesta ei vielä tietoa).
16.
Mainontafirman suorittamassa tutkimuksessa selvitettiin erään pikkukaupungin maksullisen paikallislehden ja ilmaisjakelulehden lukijakuntaa. Havaittiin,
että väestöstä 60% luki molempia, 10% ainoastaan maksullista lehteä ja 25%
ainoastaan ilmaislehteä.
Valitaan satunnainen kaupunkilainen. Olkoon tapahtumat
A = "henkilö lukee maksullista lehteä"
B = "henkilö lukee ilmaislehteä"
a) Ovatko tapahtumat A ja B riippumattomat?
b) Jos poimitaan satunnainen henkilö maksullisen lehden tilaajista, millä todennaköisyydellä hän lukee myos ilmaislehteä?
Vastaus:
a) 0.595 ≈ P (A ∩ B)
Tapahtumat käytännössä riippumattomat (Todennäköisyyksien arvioinnin tarkkuus!?)
b) 6/7
17.
Tarkastettaessa elintarvikkeita sallitaan erään tuotteen kohdalla tietty lyijy- ja
kadmiumpitoisuus erikseen, mutta tuote hylätään, jos elintarvikkeessa on sekä lyijyä että kadmiumia. Tiedetään, että satunnaisesti valitussa tuotteessa on
kadmiumin esiintymistodennäköisyys 0,1% ja lyijyn 0,07%, sekä molempien yhtäaikainen esiintymistodennäköisyys 0,002%.
a) Ovatko kadmiumin ja lyijyn esiintyminen toisistaan riippumattomia tapahtumia?
b) Oletetaan, että tarkastukseen valitussa tuotteessa havaitaan lyijyä. Millä todennäköisyydellä tuote hyväksytään?
Vastaus:
a) 0, 0000007 6= P (Cd ∩ P b). Tapahtumat eivät riippumattomia.
b) = 0, 971 = 97, 1%
18.
Joku heittää noppaa ja peittää sen ja kertoo sinulle, että näkyvissä oleva luku
on pienempi kuin neljä. Kuinka todennäköisyyttä muuttaa se, että luku on
parillinen?
Vastaus:
Todennäköisyys on
1
3
19.
Todennäköisyys sille, että säännöllisesti liikennöivä lento lähtee ajallaan on
P (D) = 0.83, todennäköisyys sille, että se saapuu ajallaan on P (A) = 0.92, ja
todennäköisyys sille, että se sekä lähtee, että saapuu ajallaan on P (A ∩ D) =
0,78 Millä todennäköisyydellä kone
a.) saapuu ajallaan, kun se on lähtenyt ajallaan
b.) ei lähtenyt ajallaan kun se ei saapunut ajallaan
Vastaus:
a.) 0.94
b.) 0.375
20.
Jos heitetään kahta noppaa, mikä on todennäköisyys sille, että saadaan ainakin
yksi kuutonen?
Vastaus:
Todennäköisyys on
11
36
21.
Mikrotietokoneiden maahantuoja on ilmoittanut, että erään suositun merkin
viimeisessä valmistuserässä n. 20%:ssa koneista on tietty valmistusvika ja
vialliset koneet ovat jakautuneet ostajille täysin sattumanvaraisesti. TITE:n
mikroluokkaan on tulossa 12 kpl kyseisiä koneita.
a) Olkoon satunnaismuuttuja X viallisten koneiden lukumäärä tilattujen
12:n joukossa. Mikä on X:n jakauma?
b) Mikä on viallisten määrän odotusarvo ja hajonta?
c) Millä todennäköisyydellä viallisia koneita on korkeintaan puolet?
Vastaus:
a) Viallisten määrä X ∼ Bin(12, 0.2)
b) Odotusarvo EX = 2.4, Hajonta DX = 1.4
c) P (X ≤ 6) = 0.9961
22.
Ensiapuasemalla on havaittu, että tiettyä kipulääkettä tarvitaan keskimäärin
1.6 annosta päivässä.
a) Kuinka suuri varasto lääkettä tulisi olla, jotta se riittäisi 99%:n varmuudella
yhdeksi päiväksi?
b) Kuinka suuri varasto lääkettä tulisi olla, jotta se riittäisi 99%:n varmuudella
kolmeksi päiväksi?
c) Millä todennäköisyydellä 5 päivässä kuluu yli 6 annosta?
Vastaus:
a) v ≥ 5 annosta riittää.
b) v ≥ 11 annosta riittää.
c) P (X5 > 6) = 0.687
23.
Valokuvausliike lupaa kuvat ilmaiseksi, elleivät ne ole valmiit 24 tunissa. Keskimääräinen valmistusaika (eli valmistusajan odotusarvo) on 15 h ja sen hajonta
3 h 20 min. Kuinka monta prosenttia tilauksista liike joutuu antamaan ilmaiseksi, kun valmistusajan jakauma on normaali?
Vastaus:
0.35%
24.
Automaattivaa’an mittausvirheen odotusarvo on −1.8 g ja keskihajonta 2.6 g.
Mittausvirhe noudattaa normaalijakaumaa. Millä todennäköisyydellä mittaustulos poikkeaa todellisesta arvosta yli 5 g?
Vastaus:
0.11
25.
Arvioidaan, että altaassa kasvatettujen kirjolohien paino X noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ = 1.4 kg ja σ = 0.3 kg. Myyntiin viedään kirjolohet,
joiden paino on vähintään m kg. Mikä on painoraja m jos tiedetään, että 9%
kirjolohista ei kelpaa myyntiin?
Vastaus:
1.0 kg
26.
Tehdas valmistaa sähkövastuksia kytkemällä sarjaan kaksi osavastusta. Toinen
otetaan valmiste-erästä, jonka jakauma on N (150, 32 ) ja toinen erästä, jonka
jakauma on N (200, 42 ), yksikkönä Ω. Tuote katsotaan kelvolliseksi, jos sen
kokonaisvastus on välillä [340, 360] Ω, muulloin vialliseksi. Montako viallista
tuotetta on odotettavissa 200 kappaleen näyte-erässä?
Vastaus:
9 kpl
27.
Eräs yritysjohtaja on lähdössä lomailemaan saareen mukanaan matkapuhelin
ja 30 akkua. Akun keskimääräinen toiminta-aika on 6 tuntia ja keskihajonta 4
tuntia. LAske normaalijakauma-approksimaation avulla todennäköisyys, että
akut riittävät vähintään 160 tunniksi.
Vastaus:
0.82
28.
Oletetaan, että USA:n erään presidenttiehdokkaan kannattajia olisi todellisuudessa 45%.
a) Jos valitaan satunnaisesti 100 haastateltavaa, niin millä todennäköisyydellä vähintään puolet heistä on kyseisen ehdokkaan kannattajia? Laske vastaus
käyttäen normaalijakauma-approksimaatiota ja jatkuvuuskorjausta. (Tarkalla
binomi-jakaumalla tulokseksi saadaan noin 0.1827.)
b) Jos valitaan satunnaisesti 1000 haastateltavaa, niin millä todennäköisyydellä vähintään puolet heistä on kyseisen ehdokkaan kannattajia? Laske vastaus
käyttäen normaalijakauma-approksimaatiota ja jatkuvuuskorjausta.
Vastaus:
a) 0.1841
b) 0.00082
29.
Erään sähkölampun kestoaika noudattaa normaalijakaumaa. Keskimääräinen
kestoaika on 1000 tuntia ja keskihajonta 200 tuntia. Olohuoneen uuteen kattovalaisimeen asennetaan neljä tälläistä lamppua. Jos lamput palavat keskimäärin
5 tuntia vuorokaudessa, millä todennäköisyydellä puoleen vuoteen (=180 vrk)
ei tarvitse vaihtaa yhtään lamppua?
Vastaus:
≈ 0.23
30.
Pakkauskone pakkaa karamelleja rasioihin. Rasian paino on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, jonka odotusarvo on 25,5 g ja hajonta 0,4 g. Rasian
(=kuoren) paino on myös normaalijakautunut, odotusarvona 4,0 g ja 0,2 g.
Rasiat pakataan lisäksi 10 kpl laatikoihin, joiden paino on normaalijakautunut
odotusarvona 30 g ja hajontana 0,5 g. Kuinka suuri osa täytetyistä laatikoista
painaa enemmän kuin 327 g?
Vastaus:
9,2% painaa yli 327 g
31.
Hehkulamppujen kestoikä noudattaa normaalijakaumaa, odotusarvona µ =
2500h.Keskihajonnan σ suuruuteen (=lamppujen tasalaatuisuuteen) voidaan
vaikuttaa valmistusprosessia säätämällä. Koska σ : n pienentäminen aiheuttaa kustannuksia, valitaan σ siten, että sillä on suurin mahdollinen asetetut
vaatimukset täyttävä arvo. Mikä on suurin arvo, kun laatuvaatimus on että
vähintään 90% lampuista kestää yli 2200 tuntia?
Vastaus:
234 h
32.
Kopiokoneiden huoltomiehen kirjanpidon mukaan 10 prosentissa laitteista joudutaan uusimaan yksi laakeri, 4 prosentissa tapauksia 2 laakeria ja 1 prosentissa
3 laakeria. Ennustettu huolto-ohjelma ensi vuodelle on 500 konetta.
a)Millä todennäköisyydellä laakereita kuluu vähintään 80 kappaletta?
b)Minkä rajan alle tarve jää todennäköisyydellä 0,99?
Vastaus:
134 kpl
33.
Tehdas valmistaa elektronisi lämpömittareita, joiden pariston kestoikä on normaalijakautunut siten, että odotusarvo on 700 vuorokautta ja hajonta 160
vuorokautta. Tehdas vaihtaa paristot, jotka kestävät alle vuoden (365 vrk).
Kuinka monta prosenttia paristoista joudutaan vaihtamaan?
Vastaus:
Paristoista joudutaan vaihtamaan 1.83%
34.
Oletetaan, että mittausvirhe X on normaalijakautunut, X ∼ N (0, 22 ).
Kuinka suurella todennäköisyydellä mittausvirhe on itseisarvoltaan yli 2,5?
Vastaus:
0, 2112
35.
Valmistaja ilmoittaa, että loistelampun palamisaika on 1500h. Oletetaan, että
palamisaika on exponentiaalijakautunut.
a) Kuinka suuri osa lampuista palaa vähintään 2000 h?
b) Jos lamppu on palanut jo 2000 h, millä todennäköisyydellä se palaa
vielä 1000h?
Vastaus:
0, 513
36.
Eräällä alueella sattuu tietyn suuruusluokan maanjäristys keskimäärin kerran
vuodessa. Vuodenajalla ei ole vaikutusta. Alueen turistikausi kestää neljä kuukautta, kesäkuusta syyskuuhun. Laske todennäköisyys, että turistikaudella sattuu vähintään yksi tällainen maanjäristys. Kuinka todennäköistä on, että kyseisellä kaudella sattuisi vähintään kolme maanjäristystä?
Vastaus:
0, 0048
37.
Jalokivikauppiaalla on neljä samanlaista arvokasta timanttia. Hänellä on 7 asiakasta, joista kunkin arvellaan haluavan ostaa timantin 30% todennäköisyydellä.
Kaupaksi menneestä timantista kauppias saa 1000 euron myyntivoiton.
a)Millä todennäköisyydellä korkeintaan kaksi asiakkaista haluaa ostaa timantin?
b)Millä todennäköisyydellä kaikki timantit menevät kaupaksi?
c)Laske kauppiaan saaman myyntivoiton odotusarvo. Huom. myytyjen timanttien jakauma ei ole sama kuin ostohalukkaiden jakauma.
Vastaus:
A. 0,6471
B. 0,126
C. 2067,2 euroa
38.
Kuljetettaessa erästä tavaraa keskimäärin 2% tavaroista rikkoutuu. Laske, millä
todennäköisyydellä 80 kappaleesta korkeintaan kaksi rikkoutuu kuljetuksessa,
käyttäen
A. binomijakaumaa. Ilmoita tulos neljän desimaalin tarkkuudella.
B. Poisson-jakauma-approksimaatiota.
Vastaus:
0, 7844
39.
Puutaloelementtejä valmistavassa verstaassa syntyvien laudanpätkien eli hukkapalojen pituus noudattaa likimain jakaumaa, jonka tiheysfunktio on
f (x) = 38 (x − 2)2 , kun 0 ≤ x ≤ 2 (metriä).
a) Laske pituuden odotusarvo.
b) Määrää jakauman kertymäfunktio. Kuinka suuri osuus paloista on yli metrin
mittaisia?
Vastaus:
a) Odotusarvo on 0,5 m
b) Paloista on yli metrin mittiaisia 12,5 %.
40.
Suuren yrityksen puhelinkeskukseen saapuu keskimäärin 0,4 puhelua minuutissa.
a) Millä todennäköisyydellä 3 minuutissa saapuu korkeintaan 5 puhelua.
b) Puhelinkeskusta hoitaa yksi henkilö. Kuinka pitkäksi aikaa hän voi poistua,
jotta todennäköisyys sille, että hänen poissaollessaan ei tule puheluita, olisi vähintään 0,5?
Ohje: käytä satunnaismuuttujaa Xt = saapuvien puheluiden lukumäärä t minuutissa.
Vastaus:
a) 3 minuutissa saapuu korkeintaan 5 puhelua todennäköisyydellä 0,9985
b) keskuksen hoitaja voi poistua 1 minuutiksi ja 44 sekunniksi.
41.
Oletetaan, että asiakkaan palveluaika pankin tiskillä on eksponentiaalijakautunut, keskimääräisenä kestona 6 minuuttia.
a) Kuinka suuri osa asiakkaista selviytyy palvelusta alle 2 minuutissa?
b) Odotat vuoroasi ja olet havainnut edelläsi olevan asiakkaan viettäneen tiskillä jo 8 minuuttia.
Kuinka suurella todennäköisyydellä tämän asiakkaan palvelu päättyy kahden
minuutin kuluessa?
Vastaus:
a) palvelusta selviää alle 2 minuutissa 28,3 % asiakkaista.
b) 28,3 % todennäköisyydellä.
42.
Valmistetaan astioita, joiden tilavuuden tulisi olla 5, 0 ± 8, 0 dl eli välillä
[4.92, 5.08] dl. Jos eräässä tehtaassa valmsitettujen astioiden tilavuus noudattaa normaalijakaumaa parametrein µ = 5, 01 ja σ = 0, 03, kuinka suuri osuus
astioista täyttää tilavuudelle asetetun vaatimuksen?
Vastaus:
98,9 %
43.
Tehdas valmistaa sähkövastuksia kytkemällä sarjaan kaksi osavastusta. Toinen
otetaan valmiste-erästä, jonka jakauma on N (150, 32 ) ja toinen erästä, jonka jakauma on N (200, 42 ), yksikkönä Ω.
a) Millä todennäköisyydellä kokonaisvastus ylittää 360Ω ?
b) Edellämainittuja sarjaan kytkettyjä vastuksia otetaan 50 kpl. Mikä on odotusarvo 360Ω :n ylittävien vastusten määrälle?
Vastaus:
a) Kokonaisvastus ylittää 360 Ω 2,28 %:n todennäköisyydellä
b) Odotusarvo 1,14 kpl
44.
Lomaosakkeita välittävä firma on lähettänyt 1000 talouteen kutsun esittelyyn,
jossa on tarjolla 30 lomaosaketta. Vanhan kokemuksen perusteella tiedetään,
että keskimäärin 2% kutsun saaneista tulee ostamaan lomaosakkeen. Millä todennäköisyydellä kaikki osakkeet menevät kaupaksi?
Vastaus:
P = 0.0119
45.
Tehdas tuottaa elektroniputkia, joiden kestoaika on eksponentiaalijakautunut
odostusarvolla 1500 tuntia. Kuinka suurella todennäköisyydellä 50 putken yhteenlaskettu kestoaika on yli 90 000 tuntia?
Vastaus:
P = 0.0793
46.
Erään tuottajan kurpitsojen paino on normaalijakautunut, keskiarvona µ =
1.5kg ja hajontana σ = 0.4kg. Kurpitsat luokitellaan painon mukaan kahteen
luokkaan I(suuret) ja II(pienet). Mikä on I-luokan painoraja, jos I-luokkaan
kuuluu a)20% kurpitsoista b)puolet?
Vastaus:
a) Painoraja on 1.836kg
b) Painoraja on 1.5kg
47.
Oletetaan, että juoksijan 1500 metrin matkaan käyttämä aika X on normaalijakautunut parametrein µ = 3min40s ja σ = 4s. Mikä on todennäköisyys,
että hän juoksee kyseisen matkan ajassa 3 min 30 s tai vähemmän?
Vastaus:
P = 0.0062
48.
Kuormauspisteeseen saapuu autoja sattumanvaraisesti keskimäärin 20 minuutin välein. Millä todennäköisyydellä kahden peräkkäisen auton välinen aika
on
a) alle 10 minuuttia?
b) yli 15 minuuttia?
c)15-35 minuuttia?
Vastaus:
a) P = 0.393
b) P = 0.472
c) P = 0.299
49.
Tiedetään, että keskimäärin 0.003 % vakuutetuista miehistä kuolee joka vuosi
tietynlaisessa onnettomuudessa. Mikä on todennäköisyys, että vakuutusyhtiö
joutuu suorittamaan korvauksen kolmesta tai useammasta ko. onnettomuudessa
vuoden aikana kuolleesta miehestä, jos vakuutettuja on 20 000?
Vastaus:
P = 0.023
50.
Kolme asiakasta on tulossa konsultti A:n vastaanotolle tunnin mittaisen vastaanottoajan kuluessa. Kukin valitsee saapumisajan täysin umpimähkäisesti, ts.
tasajakauman välillä [0,1] mukaan ja toisistaan riippumatta. Olkoon X konsultin odotusaika vastaanoton alusta ensimmäisen asiakkaan saapumiseen. Johda
X:n jakauman tiheysfuntio.
Vastaus:
f (t) = F 0 (t) = 3(1 − t)2 , 0 < t < 1
51.
Ennen siirtymistä kartonkikoneen tietokoneohjaukseen täytyi valmistaa neliömetripainoltaan keskimäärin 125g/m2 painavaa kartonkia, jotta asiakkaan vaatimus „vähintään 95% neliömetripainosta yli 120g/m2 ” tulisi täytetyksi. Kuinka
paljon keskiarvoa voitiin tietokoneohjaukseen siirtymiseen alentaa, kun tietokoneen avulla saatiin neliömetripainon hajontaa pienennettyä 60%?(Neliömetripaino normaalijakautunut)
Vastaus:
Keskiarvoa voitiin alentaa 3g/m2
52.
1. Tiedonsiirtolinjalla on havaittu lähetetyn merkin vaihtuvan matkalla todennäköisyydellä 0.005.
a) Millä todennäköisyydellä 50 merkkiä sisältävä jono siirtyy virheettömästi?
b) Millä todennäköisyydellä 1000 merkin siirrossa on 5-10 virhettä?
Vastaus:
a) 50 merkkiä sisältävä jono siirtyy virheettömästi todennäköisyydellä 0.778
b) 1000 merkin siirrossa on 5-10 virhettä todennäköisyydellä 0,546
53.
Nauloja valmistava stanssauslaite tuottaa 2% viallisia. Naulat pakataan 400
kappaleen laatikoihin. Mikä on todennäköisyys, että laatikossa on
a)
korkeintaan 1 viallinen?
b)
ainakin 5 viallista?
c)
10-20 viallista?
Vastaus:
a) 0, 003
b) 0, 900
c) 0, 283