Luentokalvot

Modus Ponens
Modus Ponens
Ketjusääntö
Jos A ja A → B ovat tosia, niin välttämättä myös B on tosi
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
1 / 15
Modus Ponens
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Jos A ja A → B ovat tosia, niin välttämättä myös B on tosi
(A ∧ (A → B)) → B on tautologia eli
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
(A ∧ (A → B)) ⇒ B.
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
1 / 15
Modus Ponens
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Jos A ja A → B ovat tosia, niin välttämättä myös B on tosi
(A ∧ (A → B)) → B on tautologia eli
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
(A ∧ (A → B)) ⇒ B.
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Päättelysääntö Modus ponens:
"Jos A on tosi ja A → B on tosi, niin B on tosi"
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
1 / 15
Ketjusääntö
Modus Ponens
Ketjusääntö
Tautologia ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C) antaa päättelysäännön:
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
2 / 15
Ketjusääntö
Modus Ponens
Ketjusääntö
Tautologia ((A → B) ∧ (B → C)) → (A → C) antaa päättelysäännön:
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Ketjusääntö (=KS):
“Jos A → B on tosi ja B → C on tosi, niin A → C on tosi.“
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
2 / 15
Päättelyketju
Modus Ponens
Päättelyketju:
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Lähdetään annetuista oletuksista A1 , A2 , . . . , An .
Päätellään uusia tosia lauseita käyttäen päättelysääntöjä.
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Lauseita joita voidaan olettaa tosiksi tulee näin koko ajan lisää.
Jatketaan kunnes haluttu johtopäätös B on saatu osoitettua
todeksi/epätodeksi.
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
3 / 15
Päättelymerkintä
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
{A1 , A2 . . . , An } B
Olettamalla lauseet Ai tosiksi voidaan päätellä että lause B on tosi.
Merkinnän {A} B sijasta merkitään A B .
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
4 / 15
Päättelymerkintä
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
{A1 , A2 . . . , An } B
Olettamalla lauseet Ai tosiksi voidaan päätellä että lause B on tosi.
Merkinnän {A} B sijasta merkitään A B .
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Modus Ponens:
{A, A → B} B
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Ketjusääntö:
((A → B) ∧ (B → C)) A → C.
4 / 15
Päättelymerkintä
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
{A1 , A2 . . . , An } B
Olettamalla lauseet Ai tosiksi voidaan päätellä että lause B on tosi.
Merkinnän {A} B sijasta merkitään A B .
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Modus Ponens:
{A, A → B} B
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
Ketjusääntö:
((A → B) ∧ (B → C)) A → C.
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Esimerkki 2.12 Osoita, että {A → (B → C), (B → C) → B, A} B .
Ratk. ...
4 / 15
Tautologia päättelyssä
Modus Ponens
Jos lause A on tautologia, niin
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
se on aina tosi
se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista.
Merkitään:
A.
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
5 / 15
Tautologia päättelyssä
Modus Ponens
Jos lause A on tautologia, niin
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
se on aina tosi
se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista.
Merkitään:
A.
Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa
käyttöönsä tautologian.
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
5 / 15
Tautologia päättelyssä
Modus Ponens
Jos lause A on tautologia, niin
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
se on aina tosi
se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista.
Merkitään:
A.
Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa
käyttöönsä tautologian.
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Tautologian jokin alkeislause korvataan kaikkialla samalla lauseella.
Tulos on edelleen tautologia.
5 / 15
Tautologia päättelyssä
Modus Ponens
Jos lause A on tautologia, niin
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
se on aina tosi
se on pääteltävissä mistä tahansa oletuksista.
Merkitään:
A.
Minkä tahansa päättelyketjun missä tahansa vaiheessa voi siis ottaa
käyttöönsä tautologian.
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Tautologian jokin alkeislause korvataan kaikkialla samalla lauseella.
Tulos on edelleen tautologia.
Esimerkki. Lause (A → B) ↔ (A′ ∨ B) on tautologia.
[(C ∨ D)′ → B] ↔ [((C ∨ D)′ )′ ∨ B] on tautologia.
5 / 15
A nuoli B
Modus Ponens
Lause 2.1.
Ketjusääntö
AB
Päättelyketju
täsmälleen silloin kun
A → B on tautologia.
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
6 / 15
A nuoli B
Modus Ponens
Lause 2.1.
Ketjusääntö
AB
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
täsmälleen silloin kun
A → B on tautologia.
Toisin:
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
6 / 15
A nuoli B
Modus Ponens
Lause 2.1.
Ketjusääntö
AB
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
täsmälleen silloin kun
A → B on tautologia.
täsmälleen silloin kun
A → B.
Toisin:
AB
Tod. ...
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
6 / 15
A nuoli B
Modus Ponens
Lause 2.1.
Ketjusääntö
AB
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
täsmälleen silloin kun
A → B on tautologia.
täsmälleen silloin kun
A → B.
Toisin:
AB
Tod. ...
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Seuraus.
{A1 , A2 , . . . , An } B täsmälleen silloin kun (A1 ∧ A2 ∧ · · · ∧ An ) → B .
Tod. ...
6 / 15
Sijoitus
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
Sijoitus: Lauseessa A1 esiintyy osana lause B .
Lause A2 saadaan lauseesta A1 sijoittamalla lauseen B paikalle lause C (ei
välttämättä joka paikkaan)
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
7 / 15
Sijoitus
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Sijoitus: Lauseessa A1 esiintyy osana lause B .
Lause A2 saadaan lauseesta A1 sijoittamalla lauseen B paikalle lause C (ei
välttämättä joka paikkaan)
Silloin
{A1 , B ↔ C} A2 .
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
7 / 15
Sijoitus
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Sijoitus: Lauseessa A1 esiintyy osana lause B .
Lause A2 saadaan lauseesta A1 sijoittamalla lauseen B paikalle lause C (ei
välttämättä joka paikkaan)
Silloin
{A1 , B ↔ C} A2 .
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
Loogisesti yhtäpitäviä lauseita voidaan päättelyn aikana mielivaltaisesti korvata
toisillaan.
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Erityisesti, jos lause B ↔ C on tautologia, niin silloin A1 A2 .
Sijoituksen oikeellisuus seuraa silloin suoraan totuustaulujen perusteella, sillä
jos B ↔ C on aina tosi, niin B :n ja C :n totuusarvot ovat aina samat.
7 / 15
Sijoitus
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Sijoitus: Lauseessa A1 esiintyy osana lause B .
Lause A2 saadaan lauseesta A1 sijoittamalla lauseen B paikalle lause C (ei
välttämättä joka paikkaan)
Silloin
{A1 , B ↔ C} A2 .
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
Loogisesti yhtäpitäviä lauseita voidaan päättelyn aikana mielivaltaisesti korvata
toisillaan.
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Erityisesti, jos lause B ↔ C on tautologia, niin silloin A1 A2 .
Sijoituksen oikeellisuus seuraa silloin suoraan totuustaulujen perusteella, sillä
jos B ↔ C on aina tosi, niin B :n ja C :n totuusarvot ovat aina samat.
Esimerkki 2.13. Osoita, että {A, B → C, (A ∧ B) → (D ∨ C ′ ), B} D .
Ratk. ...
7 / 15
Modus Ponens ketjusäännöllä
Modus Ponens
Luonnolliset päättelysäännöt: Modus Ponens ja Ketjusääntö
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
Kumpikin riittää yksinäänkin.
Modus Ponensin korvaaminen Ketjusäännöllä:
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
{A, A → B} B
voidaan muuntaa tautologioilla
A ↔ [(A ∨ A′ ) → A] ja [(A ∨ A′ ) → B] ↔ B
Ketjusääntöä käyttäväksi päättelyksi
2.6. Päättelyn apuneuvoja
{(A ∨ A′ ) → A, A → B} (A ∨ A′ ) → B.
8 / 15
Ketjusääntö Modus Ponensilla
Modus Ponens
Ketjusääntö Modus Ponensilla:
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Ketjusääntö otetaan käyttöön tautologiana
[(A → B) ∧ (B → C)] → (A → C).
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Tällöin päättely {A → B, B → C} A → C voidaan muuntaa Modus
Ponens päättelyksi:
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
{(A → B) ∧ (B → C), [(A → B) ∧ (B → C)] → (A → C)} A → C.
2.6. Päättelyn apuneuvoja
9 / 15
Esimerkki
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Esimerkki 2.14. Osoita, että {A → B, A′ → C, C → D} B ′ → D
käyttäen päättelysääntönä Ketjusääntöä.
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
Ratk. ...
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
10 / 15
Muita päättelysääntöjä
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Nimi
Sääntö
Vastaava tautologia
Modus Tollens
Konjunktio
Yksinkertaistus
Additio
Disjunktiivinen
syllogismi
{P → Q, Q′ } P ′
{P, Q} P ∧ Q
P ∧ Q P, Q
P P ∨Q
{P ∨ Q, P ′ } Q
[(P → Q) ∧ Q′ ] → P ′
(P ∧ Q) → (P ∧ Q)
[(P ∧ Q) → P ] ∧ [(P ∧ Q) → Q]
P → (P ∨ Q)
[(P ∨ Q) ∧ P ′ ] → Q
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
11 / 15
Muita päättelysääntöjä
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Nimi
Sääntö
Vastaava tautologia
Modus Tollens
Konjunktio
Yksinkertaistus
Additio
Disjunktiivinen
syllogismi
{P → Q, Q′ } P ′
{P, Q} P ∧ Q
P ∧ Q P, Q
P P ∨Q
{P ∨ Q, P ′ } Q
[(P → Q) ∧ Q′ ] → P ′
(P ∧ Q) → (P ∧ Q)
[(P ∧ Q) → P ] ∧ [(P ∧ Q) → Q]
P → (P ∨ Q)
[(P ∨ Q) ∧ P ′ ] → Q
Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin:
P : ”Tein jotain väärää.”
Q: “ Minua rangaistaan. ”
11 / 15
Muita päättelysääntöjä
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Nimi
Sääntö
Vastaava tautologia
Modus Tollens
Konjunktio
Yksinkertaistus
Additio
Disjunktiivinen
syllogismi
{P → Q, Q′ } P ′
{P, Q} P ∧ Q
P ∧ Q P, Q
P P ∨Q
{P ∨ Q, P ′ } Q
[(P → Q) ∧ Q′ ] → P ′
(P ∧ Q) → (P ∧ Q)
[(P ∧ Q) → P ] ∧ [(P ∧ Q) → Q]
P → (P ∨ Q)
[(P ∨ Q) ∧ P ′ ] → Q
Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin:
P : ”Tein jotain väärää.”
Q: “ Minua rangaistaan. ”
P → Q: “Jos tein jotain väärää, niin minua rangaistaan”
Q′ : “Minua ei rangaista”
Tosi
Tosi
11 / 15
Muita päättelysääntöjä
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Nimi
Sääntö
Vastaava tautologia
Modus Tollens
Konjunktio
Yksinkertaistus
Additio
Disjunktiivinen
syllogismi
{P → Q, Q′ } P ′
{P, Q} P ∧ Q
P ∧ Q P, Q
P P ∨Q
{P ∨ Q, P ′ } Q
[(P → Q) ∧ Q′ ] → P ′
(P ∧ Q) → (P ∧ Q)
[(P ∧ Q) → P ] ∧ [(P ∧ Q) → Q]
P → (P ∨ Q)
[(P ∨ Q) ∧ P ′ ] → Q
Modus Tollens opitaan jo lapsena tyyliin:
P : ”Tein jotain väärää.”
Q: “ Minua rangaistaan. ”
P → Q: “Jos tein jotain väärää, niin minua rangaistaan”
Q′ : “Minua ei rangaista”
Tosi
Tosi
Siis P ′ :“En tehnyt mitään väärää” on tosi.
11 / 15
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Johdanto
Oletukseksi siirto
Epäsuoran todistuksen
sääntö
12 / 15
Johdanto
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Usein päättelyn {A1 , A2 , . . . , An } B oikeeellisuuden sijasta mielenkiinnon
kohteena on päättelyn tehokkuus ja nopeus.
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Tekoälypohjaisset asiantuntijajärjestelmät: Päättelyn tehokkuus on
ratkaiseva tekijä järjestelmän käytettävyydelle.
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Johdanto
Oletukseksi siirto
Epäsuoran todistuksen
sääntö
13 / 15
Oletukseksi siirto
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Lause 2.2.{A1 , A2 , . . . , An } B → C täsmälleen silloin kun
{A1 , A2 , . . . , An , B} C
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
Tod. ...
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Johdanto
Oletukseksi siirto
Epäsuoran todistuksen
sääntö
14 / 15
Oletukseksi siirto
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Lause 2.2.{A1 , A2 , . . . , An } B → C täsmälleen silloin kun
{A1 , A2 , . . . , An , B} C
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
Tod. ...
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
Esimerkki 2.16. Osoita, että {A ∨ B, A ∨ C} A′ → (B ∧ C).
Ratk. ...
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Johdanto
Oletukseksi siirto
Epäsuoran todistuksen
sääntö
14 / 15
Epäsuoran todistuksen sääntö
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseista B ja C ′ voidaan päätellä looginen
ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätellä B → C ."
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Johdanto
Oletukseksi siirto
Epäsuoran todistuksen
sääntö
15 / 15
Epäsuoran todistuksen sääntö
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseista B ja C ′ voidaan päätellä looginen
ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätellä B → C ."
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
Tarvitaan seuraava tulos:
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Lause 2.3.{A1 , A2 , . . . , An } B → C jos ja vain jos
{A1 , A2 , . . . , An , C ′ } B ′ .
Tod. ...
Muita päättelysääntöjä
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Johdanto
Oletukseksi siirto
Epäsuoran todistuksen
sääntö
15 / 15
Epäsuoran todistuksen sääntö
Modus Ponens
Ketjusääntö
Päättelyketju
Todistetaan: "Jos oletuksista ja lauseista B ja C ′ voidaan päätellä looginen
ristiriita (aina epätosi lause), niin oletuksista voidaan päätellä B → C ."
Päättelymerkintä
Tautologia päättelyssä
Tarvitaan seuraava tulos:
A nuoli B
Sijoitus
Modus Ponens
ketjusäännöllä
Ketjusääntö Modus
Ponensilla
Esimerkki
Muita päättelysääntöjä
Lause 2.3.{A1 , A2 , . . . , An } B → C jos ja vain jos
{A1 , A2 , . . . , An , C ′ } B ′ .
Tod. ...
Seurauksena saadaan edellä kuvattu sääntö:
2.6. Päättelyn apuneuvoja
Johdanto
Oletukseksi siirto
Epäsuoran todistuksen
sääntö
Lause 2.4. {A1 , A2 , . . . , An } B → C täsmälleen silloin kun
{A1 , A2 , . . . , An , B, C ′ } 0, (0 on aina epätosi lause eli looginen ristiriita).
Tod. ...
15 / 15