JOHTUMINEN I Epästationäärinen lämmönsiirto

Transcription

JOHTUMINEN I
Epästationäärinen lämmönsiirto
LÄMMÖNSIIRTO
BH20A0450
Kevät 2015
1
Sisällys
JOHTUMINEN I: Epästationäärinen tila
• Yhteenveto: Tasalämpötilamalli
• 1-ulotteinen johtuminen (Incropera 5.1 – 5.8)
•
•
•
•
•
Tasoseinämä, lieriö, pallo, puoliääretön kappale
Täsmällinen ratkaisu, yhden termin approksimaatio
Heislerin käyrästöt, Besselin funktiot
Vakio pintalämpötila & lämpövuo
2- ja 3-ulotteinen johtuminen
•
Superpositiomenetelmä
JOHTUMINEN II: Numeeriset menetelmät
• Ääreellisen differenssin menetelmä
‒
Stationääri- & epästationääri tila
2
Epästationääri johtuminen* transient conduction
•
Lämpötila vaihtelee kappaleessa ajan ja paikan mukaan.
•
Epästationäärinen johtuminen alkaa, kun systeemi kokee muutoksen toimintaolosuhteissa, ja etenee, kunnes
uusi stationääritila (terminen tasapaino) saavutetaan.
 Esimerkki:
Tasalämpötilaenergiatase
kuvassa esitetylle
seinämälle
•
Sisäenergian
muutos
Lämpövuo
Konvektio
Epästationäärinen johtuminen voidaan saada aikaan muutoksilla:
a)
Reunaehdoissa
b)
•


.
dT
"
4
4
Vc
 qs As ,h  hc As ( c ,r ) T  T   As ( c ,r ) T  Tsur  Eg
dt
–
pinnan konvektio-olosuhteet ( h,T ),
–
pinnan säteilyolosuhteet ( hr ,Tsur ),
–
pintalämpötila tai -lämpövuo
Säteily
Energian
tuotto
Ympäristö
Sisäisessä energiantuotossa.
Ratkaisutekniikoita
–
–
–
–
Tasalämpötilamalli
Täsmälliset/analyyttiset ratkaisut
Graafiset menetelmät: Heislerin käyrästöt
Numeeriset menetelmät: Differenssi- ja kontrollitilavuusmenetelmät
3
Tasalämpötilamalli*
Lumped Capacitance Method
Energiayhtälö kontrollitilavuuden yli

Konvektiiviset olosuhteet
E st  qconv
d  mh 
 hAs (T  T )
dt
dT
Vc p
 hAs (T  T )
dt
Lämpötilaero
 = (T-T)
Lämpötilagradientti
dT d

dt
dt
Energiayhtälön differentiaalimuoto
Vc p d
hAs dt
Integraaliratkaisu
Aika:
t
 Vc p
h As
ln
i

Lämpötila:
 T  T

e
i Ti  T

hAs
t
Vc p
Alkuehdolla
Lämpötila T(t=0) =Ti
olematon lämpötilagradientti 
lämmönjohtumisen Fourierin lakia ei tarvita
 
4
Tasalämpötilamalli*
Lumped Capacitance Method
Validiteettikriteerit
Ts,1
Ts,2
T∞
Pinnan energiatase, johtuminen – konvektio
stationäärinen
kA
(T  Ts,2 )  hA(Ts,2  T )
L s,1
 Biotin luku:
Bi 
hL Ts,1  Ts,2 ( L / kA) Rcond



k
Ts,2  T
(1 / hA) Rconv
Biotin luku Bi << 1 on kriteeri tasaiselle
lämpötilaprofiilille kappaleessa
epästationäärisen lämmönsiirron aikana.
5
Tasoseinämä: Johtuminen – Säteily*

Konvektio ja lähdetermit lähdetermi merkityksettömiä
•
h
r

 h , E g  0 , q's'  0 :
Oletetaan säteily laajan ympäristön kanssa
Vcp
Ympäristö
dT
4
  As ,r T 4  Tsur

dt
 A s ,r t
T
dT
dt

T i T 4  T
Vc p o
sur
Vcp
t
3
4 As ,r Tsur
4


 T
Tsur  Ti
 Tsur  T
1
1
n

1n

2
tan



T

T
T

T

sur
sur
i
 Tsur



 Ti
1

tan



 Tsur

 
 
 

Lämpötilan määritys yhtälöstä edellyttää T(t):n implisiittistä määritystä (iterointia).
6
Tasoseinämä: ei säteilyä
 Energiatase
Vc

 Merkityksetön säteily, otetaan käyttöön
d
 a  b  0
dt
Otetaan käyttöön muunnos

dT
4
 qs'' As ,h  hAs ,c T  T    As ,r T 4  Tsur
 Eg
dt
  T  T  :
a  hAs ,c / Vc


b  qs'' As ,h  Eg / Vc
   b / a
epähomogeeninen differentiaaliyhtälö muunnetaan homogeeniseksi
yhtälöksi, jonka muoto on:
d 
 a 
dt
Integroidaan arvosta t=0 mihin tahansa t:n arvoon
ja järjestellään uudelleen,
T  T
b/a
1  exp  at 
 exp  at  
Ti  T
Ti  T
7
Tasoseinämä: Johtuminen – konvektio*
Biotin luvun merkitys lämpötilaprofiiliin
Bi 
Tasoseinämä
•
•
hL Rcond

k
Rconv
Bi 
Symmetrinen
Konvektiojäähdytys
hL
k
Suuremmilla Biotin luvun arvoilla ei lämpötilaprofiilia voida olettaa tasaiseksi
=> otettava huomioon johtumisen eteneminen kappaleen sisällä muuttuvien
lämpötilagradienttien vaikutuksesta.
8
Epästationääri johtuminen
Lämmön diffuusioyhtälö
•
Lämmön diffuusioyhtälön yleinen muoto
Karteesiset koordinaatit
c p
T   T    T    T 
 k
  k
  k
  q
t x  x  y  y  z  z 
 Vakio lämmönjohtavuus
c p T
 2T  2T  2T q
 2  2  2 
k t x
k
y
z
1 T  2T  2T  2T q
 2  2  2 
 t x
k
y
z
 Yksiulotteinen ilman lämmöntuottoa
2T 1 T

2
x
 t
 Analyyttiset ratkaisut mahdollisia yksinkertaisille geometrioille
9
Epästationäärisen johtumisen tarkastelu
1.
Määritetään lämmön diffuusioyhtälön sopiva muoto
ja reuna- ja alkuehdot
T   T 
Esim. 1-ulotteinen: c p
 k
  q
t x  x 
Reunaehdot 
Vakio
pintalämpötila
T  0, t   Ts
Vakio lämpövuo:
• Lämpötila, lämpövuo, konvektio, eristys
Alkuehto
• Lämpötilajakauma T(x, y, z, t) aikaan tk (tavallisesti tk =0)
2.
3.
k
T
|x  0  qs
x
Ratkaistaan lämpötilajakauma.
Eristetyn pinnan
lämpövuo = 0
Määritetään lämpövuo ja siirretty lämpö
T
|x  0  0
x
dT
q  k
dx
,,
Paikallinen arvo
lämpötilagradientista
Konvektio
(ja/tai säteily)
Q  Vc pTi    c pT  x, t  dV
v
Ero varastoituneessa energiassa
alkutilanteessa ja hetkellä t.
k
T
|x  0  h T  T  0, t  
x
10
Dimensiottomat luvut
•
Muodostamalla lukujen ja muuttujien dimensiottomat muodot voidaan muuttujien
kokonaislukumäärää vähentää yhtälöissä (3 riippumatonta muuttujaa)
   f  x  , Fo, Bi 
T  x, t ,Ti ,T , L, k , , h
hL
k
t
Fo  2
LC
Bi 
Biotin luku:
Fourierin luku:
V
AS
Karakteristinen pituus:
LC 
Terminen diffusiviteetti:
  k c p
dimensioton lämmönsiirtokerroin
dimensioton aika
kappaleen tilavuuden suhde pinta-alaan
materiaalin läpi johtuneen lämmön suhde
yksikkötilavuuteen varastoituneeseen lämpöön
Esim: Epästationäärisen tasalämpötilamallin energiayhtälön ratkaisu riippuu
ainoastaan kahdesta parametrista
hAs

t
 T  T
Vc p

e
 e  Bi Fo
 i Ti  T
hLC t hAS t
Bi  Fo 

2
k LC
Vc
11
Epästationäärinen johtuminen
Lämmön diffuusioyhtälön dimensioton muoto
•
 
•
 T  T

 i Ti  T
Epästationäärinen lämpötilaprofiili
T ( x, t )
Alun lämpötilaprofiili
Ti (x,0)
 1  x  1
Dimensioton tilakoordinaatti
x
x 
L

•
0  1
Dimensioton lämpötilaero
Seinämän paksuuden puolikas L
Dimensioton aika (Fourierin luku)
t *  Fo 
t
L2C
 Dimensioton (yksiulotteinen) lämmön diffuusioyhtälö
2T 1 T

2
x
 t
Ti  T   2   1
Lx
2
*2

Ti  T 
 
L2

 Fo
 2   

2
x
 Fo
12
Analyyttinen ratkaisu
 2   

2
x
Fo
Tasoseinämä
•
Alkuehdot
 
Alun tasainen lämpötilaprofiili
  x  , Fo  0  1
T x, t  0  Ti
•
 T  T

 i Ti  T
Reunaehdot
Lämpöteho symmetrisen seinämän keskiviivalla on nolla
T
x
 
x 
0
x 0
0
x  0
Johtumisen lämpöteho on yhtä suuri kuin konvektio seinämällä
T
k
x
 
x 
 h[T L, t   T ]
xL
 Täsmällinen ratkaisu

   Cn e

n 1
 n2 Fo

cos  n x


  Bi   x   1, Fo


Bi 
x 1
Kerroin:
Coefficien
t : Cn 
hL
k
4 sin  n
2 n  sin 2 n 
Eigenvalue,  :  n tan  n  Bi
Ominaisarvo
13
•
Yhtälön  n tan  n  Bi
ensimmäiset neljä
juurta (ominaisarvoa)
1
2
3
4
Ratkaisumenetelmä:
Bi 
hL
k
n
Cn 
x
x 
L

4sin  n
2 n  sin  2 n 
Fo 

L2C
   Cn e

n 1
t *  Fo 
t
2
n Fo

cos  n x

t
L2C
 T  T
  
 i Ti  T
   f  x  , Fo, Bi 
14
Likimääräinen analyyttinen ratkaisu
•
Äärettömän sarjan ratkaisua voidaan approksimoida ensimmäisellä
termillä, jos Fourierin luku> 0.2:
  C1e

 12 Fo
Coefficien
t : C1 
Kerroin:

cos  1 x

4 sin  1
2 1  sin 2 1 
Eigenvalue, 0     :  1 tan  1  Bi
Ominaisarvo,
•
Epästationäärinen lämpötilaprofiili
Ratkaisu lämpötilalle seinämän keskiviivalla (x*=0) 
 0 
cos0  1
2
T0  T
 C1e  1 Fo
Ti  T
Tällöin ratkaisu lämpötilaprofiilille voidaan
kirjoittaa keskiviivan lämpötilan avulla
   0 cos 1 x 
15
Yhden termin approksimaatio
  C1e

 12 Fo

cos  1 x

Bi=hL/k tasoseinämälle ja hr0/k äärettömälle sylinterille ja pallolle.
16
Yhden termin approksimaatio
Tasoseinämä
•
Lämpöteho seinämästä
Q  Est  E t   E 0     Vc p T ( x, t )  T dV  Vc p Ti  T 
V

Sovellettu T  T  Ti  T 


 Vc p Ti  T 1    0 cos  1 x  dV 
 V



 C
IntegroiQ  Vc p Ti  T 1  1 e 
malla
 L
  Vc p T  T dV  Vc p Ti  T    dV
V
2
1 Fo
V

  0 sin  1 
sin  1   Vc p Ti  T 1 
1
 1 


L
Maksimilämpöenergia, joka voidaan siirtää
Q0  Vc p Ti  T 
Siirretyn kokonaislämpöenergian suhde
sin  1 
Q
 1
0
Q0
1
 0 
2
T0  T
 C1e  1 Fo
Ti  T
Ratkaisut pätevät myös tapauksille:
1) Tasoseinämä, jonka paksuus on L. Eristetty yhdeltä
puolelta (x=0) ja toisella puolella (x=L) tapahtuu
konvektiivista lämmönsiirtoa
2) Vakio pintalämpötila TS


 Biotin luku asetetaan äärettömäksi. Bi = ∞  Bi  hL
k 

 Asetetaan fluidin lämpötila T ∞ =TS
17
Ääretön lieriö
•
Alkuehdot
•
•
Konvektiiviset reunaehdot
T(r, t=0)=Ti
r  r0 ,
r  0,
•
Täsmällinen ratkaisu
Dimensioton lämpötila
  f r , Fo, Bi 

•
1   T  1 T
r  
r r  r   t
 

Cn 
k
k
T
r
T
r
 hT r  r0 , t   T 
r  r0
0
r 
r 0
2
T  T
  Cn e  n Fo J o  n r 
Ti  T n1


2
n

J1  n 
J o2  n   J12  n 
Likimääräinen ratkaisu (yhden termin)

r
,
ro
Bi 
hro
t
, Fo  2
k
ro
•
J0 ja J1: Besselin funktioita
•
n ovat positiivisia juuria yhtälölle
n
•
J1  n 
 Bi
J o  n 
1 ja C1  Taulukko 5.1
Fo > 0.2:
   0 J 0 ( 1r  )
Siirretty energia
Akselin lämpötila
 0  C1e 1 Fo
20
Q
 1
J  
Q0
1 1 1
2
18
Ääretön lieriö
•
1   T  1 T
r  
r r  r   t
Likimääräinen ratkaisu (yhden termin) Fo > 0.2:
• Ratkaisumenetelmä
Bi 
hro
k
Taulukko 5.1
r*
C1 ja 1
Fo 
 

J o  1r 
L2C
2
T  T
 C1e1 Fo J o  1r 
Ti  T
Akselin lämpötila
t


Taulukko
Besselin
funktioille

   0 J 0 ( 1r  )
Siirretty energia
 0  C1e 1 Fo
20
Q
 1
J  
Q0
1 1 1
2
19
Aputaulukoita
Besselin funktiot
20
1   2 T  1 T
r

r 2 r  r   t
Pallo
•
Alkuehdot
•
•
Konvektiiviset reunaehdot
t = 0,T(r, t=0)=Ti
r  r0 ,
r  0,
•
Täsmällinen ratkaisu
•
k
k
T
r
T
r
 hT r  r0 , t   T 
r  r0
0
r 
r 0
r
,
ro
Bi 
hro
t
, Fo  2
k
ro

2
T  T
1
 
  C n e  n Fo 
sin  n r  •

Ti  T n1
 nr
n ovat positiivisia juuria
yhtälölle 1   n cot  n  Bi
Cn 
1 ja C1  Taulukko 5.1


4sin  n   n cos  n 
2 n  sin 2 n 

•
Likimääräinen ratkaisu (yhden termin)
Keskustan lämpötila
    0
1
sin( 1r  )

 1r
 0  C1e 1 Fo
2
Siirretty energia
3 0
Q
 1  3 sin  1   1 cos  1 
Q0
1
21
Puoliääretön kappale
•
2T 1 T

2
x
 t
•
Alkuehdot
Hyödyllinen idealisointi, esimerkiksi
1) Maan pinta lämmönsiirto lähellä pintaa
2) Ääreellinen kappale johtumisen alkuvaiheessa, kun
pinnan olosuhteiden muutokset eivät vaikuta
lämpötiloihin sisäpuolella
Tapaus (1)
Tapaus (2)
Tapaus (3)
T x, t  0  Ti
•
Reunaehdot
Sisäpuoli
T x  , t   Ti
RATKAISUT
1. Vakiolle pintalämpötilalle
2. Vakiolle pinnan lämpövuolle
3. Pintakonvektiolle
22
•
Kappale, joka on alussa tasaisessa lämpötilassa Ti ja jonka oletetaan
ulottuvan äärettömyyteen pinnasta, jolla olosuhteet muuttuvat.
Tapaus 1: Vakio pintalämpötila
2T 1 T

x2  t
Tapaus (1)
T  0, t   T s  T  x,0   T i
Ratkaisu
T ( x, t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 
q s(t ) 
k (Ts  Ti )
t
Gaussin virhefunktio erf(w) voidaan saada
matemaattisista taulukoista.
23
Tapaus (2)
k
Tapaus 2: Vakio pinnan lämpövuo
T
x
 q0
x 0
2q 0 t 
 x 2  q 0x
 x 

T ( x , t )  Ti 
 exp 
 erfc

 2 t 
k
k
 4t 
Virhefunktion komplementti:
Tapaus 3: Pintakonvektio
erfc  w  1  erf  w
k
T
x
x 0
Tapaus (3)
 h T  x  0   T 
 x
 hx h 2 t 
T ( x, t )  Ti
 x 
h t 

 erfc

  exp  2   erfc
 2 t 
T  Ti
k 
 k
k 
 2 t
24
Gaussin virhefunktio määritellään
Virhefunktion komplemetti määritellään
25
Tapaus 1: Vakio pintalämpötila
Tapaus 3: Pintakonvektio
h t
k
Similaarisuusparametri  
x
2 t
KUVA 5.8
Lämpötilahistoriat
puoliäärettömässä kappaleessa
pintakonvektiolla.
26
Esimerkki: Maaperän jäätyminen (5.6)
TUNNETAAN: Alun perin lämpötilassa 20 °C olevan maaperän pinnassa vallitseva lämpötila.
SELVITETTÄVÄ: Syvyys xm, johon asti maaperä on jäätynyt 60 päivän kuluttua.
OLETUKSET:
1. Yksiulotteinen johtuminen x-suunnassa
2. Maaperä on puoliääretön väliaine
3. Vakiot aineominaisuudet
AINEOMINAISUUDET: Taulukko A.3, maaperä
Ilmakehä
Maaperä
Päävesiputki
300 K  :
  2050 kg / m 3
k  0 ,52W / mK
c  1840 J / kgK
k

 0 ,138  10  6 m 2 / s
c
27
Esimerkki: Maaperän jäätyminen
(5.6)
TARKASTELU: Reunaehtona on vakiolämpötila, jonka mukaisesti maaperän epästationäärinen
lämpötilavaste kuvataan.
T ( x, t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 
Tapaus 1:
Tasainen pintalämpötila
Pinnan (-15 °C) ja maaperän lämpötila (20 °C) sijoittamalla
Liite B.2
Tarkastellaan aikaa t = 60 päivää pinnan lämpötilan muutoksen jälkeen
28
Esimerkki: Maaperän jäätyminen (5.6)
päivää
päivä
Ilmakehä
Maaperä
Päävesiputki
Terminen diffusiviteetti

k
c p
T ( x, t )  Ts
 x 
 erf 

Ti  Ts
 2 t 
t (päivää)
29
Dimensioton ratkaisu lämmönsiirrolle pinnassa
Vakiot pintalämpötilat tai lämpövuot
•
Erilaisten kappaleiden pinnan arvojen epästationäärinen aikavaste äkkinäisiin muutoksiin
pinnoissa voidaan yhtenäistää määrittämällä dimensioton johtumisen lämpöteho:
q* 
qs L c
k T s  T i 
Lc on karakteristinen pituus, joka riippuu kappaleen geometriasta.
q s(t ) 
k (Ts  Ti )
t
Vakiopintalämpötila
q* 
qs L c
1

k T s  T i 
 Fo
Fo 
(Pinnan lämpövuo
vakiolämpötilalle)
t
L2C
qs(t ) on riippumaton pituudesta Lc. Näin ollen mikä tahansa valittu Lc antaa oikean tuloksen
puoliäärettömälle kappaleelle. (LC supistuu pois)
Vakiolämpövuo pinnassa
q* 
qs L c
1 

k T s  T i  2 Fo
Lämpötilaero on tuntematon ja
voidaan ratkaista käyttämällä
tunnettua lämpövuota.
30
Dimensioton ratkaisu lämmönsiirrolle pinnassa
Vakiot pintalämpötilat tai lämpövuot
•
Tarkastellaan q*:n tai Fo:n (pinnan arvojen ja ajan) keskinäisiä suhteita:
–
Sisäpuolinen lämmönsiirto: Pinnan arvot, kun lämmönsiirto tapahtuu kappaleiden kuten
tasoseinämien, lieriöiden, tai pallojen sisällä
–
Ulkopuolinen lämmönsiirto: Pinnan arvot, kun lämmönsiirto tapahtuu kappaleita
ympäröivässä äärettömässä väliaineessa.
Useita geometrioita voidaan käsitellä käyttämällä karakteristista pituutta
muodossa
1
A
 2
Lc   s

 4 
Ulkopuoli
Sisäpuoli
31
Epästationäärinen dimensioton johtuminen
•
Kun q* on piirretty Fo:ta vasten (kuvissa) voidaan huomata että:
– Kaikki kappaleet käyttäytyvät puoliäärettömän kappaleen tavoin lyhyen aikaa.
– q* lähestyy stationääritilaa ulkopuolisessa lämmönsiirrossa.
– q* ei saavuta stationääritilaa sisäpuolisessa lämmönsiirrossa, mutta pienenee
jatkuvasti ajan (Fo) myötä.
Ulkopuoliset kappaleet
Vakiopintalämpövuo
Ulkopuoliset kappaleet
Sisäpuoli, Lc=L tai ro
Sisäpuoli, Lc=L tai ro
pallo
ääretön lieriö
pallo
ääretön lieriö
tasoseinämä
tasoseinämä
32
Epästationäärisen johtumisen tulokset
33
Epästationäärisen johtumisen tulokset
Vakiolämpövuo pinnalla
•34
Epästationäärinen johtuminen
Esimerkki: Ääretön lieriö
•
Esimerkkinä edellisen taulukon käytöstä tarkastellaan:
− Ääretöntä lieriötä, joka on alussa lämpötilassa Ti
ja jolla on vakiolämpövuo (pinta).
− Määritetään sen pintalämpötila ajan funktiona.
•
Katsotaan taulukosta vakiolle pinnan lämpövuolle kohtaa Interior Cases, Infinite cylinder.
− Pituusmitta on Lc = ro, lieriön säde.
− Täsmällinen ratkaisu dimensiottomalle lämpöteholle q*(Fo) on monimutkainen ääretön sarja.
− Likimääräinen ratkaisu saadaan yhtälöillä:
Taulukko 5.2b, lieriö
1  
Likimääräiset ratkaisut
q* 
 kun
for Fo  0.2
2 Fo 8
1
1

q*   2 Fo   kun
for Fo  0.2
4

•
Tällöin on yksinkertaista selvittää Ts määritelmästä
q* 
qs L c
k T s  T i 
35
Esimerkki
Pyöreän jäätyneen jauhelihapalan mikroaaltolämmitys käyttämällä mikroaaltoja absorboivaa
pakkausmateriaalia.
TUNNETAAN: Jäisen jauhelihan massa ja alkulämpötila. Pakkausmateriaaliin absorboitunut
mikroaaltoteho, 500 W.
SELVITETTÄVÄ: Aika, jossa naudanliha pakkauksen vieressä saavuttaa lämpötilan 0°C.
OLETUKSET:
1. Naudanlihalla on jään aineominaisuudet
2. Säteily ja konvektio ympäristöön jätetään huomiotta q*  Fo  t
3. Vakiot aineominaisuudet
4. Pakkausmateriaalin lämpökapasiteetti on merkityksetön.
AINEOMINAISUUDET: Taulukko A.3, Jää
270 K  :
Beef, 1kg
Naudanliha,
Ti = -20°C
  920 kg / m 3
c  2040 J / kgK
k  1,88W / mK
Pakkausmateriaali,
Packaging
material, q
36
Esimerkki
TARKASTELU: Pinnan lämpövuo on
qs =
q
P
=
As
4πR 2
Jättämällä huomiotta säteily- ja konvektiohäviöt,
kaikki pakkausmateriaaliin absorboitunut teho
johtuu naudanlihaan.
Säde massan ja tiheyden avulla:
4
m = ρV = ρ π ro3
3
1/3
 3 m
ro = 

 4π ρ 
q* 
1/3
 3
1 kg 
=
3
 4π 920 kg/m 
= 0.0638 m
qs =
500 W
4π×(0.0638 m)
2
= 9780 W/m2
Fo  0.2
q*  Fo  t
q* 
Näin ollen,
1 π
π
2 Fo 4
qs L c
k T s  T i 
Aloitetaan laskemalla q*, kun lämpötila Ts = 0°C.
qs ro
9780 W/m2 × 0.0638 m
q* =
=
= 16.6
k(Ts - Ti ) 1.88 W/m  K(0°C - ( - 20°C))
37
Esimerkki
Naudanliha voidaan nähdä pallon sisäpuolena, jolla on pinnassa vakio lämpövuo, näin ollen
voidaan käyttää suhdetta taulukon 5.2b kohdassa Interior Cases, Sphere.
Edetään Fo:n ratkaisuun. Oletetaan, että Fo < 0.2, jolloin taulukon mukaisesti
q* 
1 π
π
2 Fo 4
-2
π 

 Fo = π  2(q* + )  = 0.0026
4 

Koska arvo on pienempi kuin 0.2, oletuksemme on
oikea. Lopuksi voidaan ratkaista aika:
t = Fo ro2 /α = Fo ro2ρc/k
= (0.0026 × (0.0638 m)2 × 920 kg/m3× 2040 J/kg  K)/(1.88 W/m  K) = 10.6 s
Beef, 1kg
Naudanliha,
Ti = -20°C
Pakkausmateriaali,
Packaging
material, q
38
Moniulotteiset geometriat/superpositio
Analyyttinen ratkaisu, esimerkki: lieriö
•
2-ulotteinen yhtälö

•
Vakiot aineominaisuudet ja ei lämmöntuottoa
2-ulotteinen ratkaisu/superpositio


Muuttujien erottelun menetelmä
Yksiulotteisten ratkaisujen tulo
 * ( x, r , t )   P* ( x, t )  C* (r , t )
Keskitaso
KUVA 5S.10 Kaksiulotteinen, epästationäärinen johtuminen lyhyessä lieriössä. (a) Geometria.
(b) Tuloratkaisun muoto.
39
Moniulotteiset geometriat
•
1-ulotteiset ratkaisut:
 S* ( x, t ) 
 P* ( x, t ) 
 C* (r , t ) 
•
(a) Puoliääretön
kappale
(b) Tasoseinämä
(d) Puoliääretön
levy
(e) Ääretön
suorakaidepylväs
(c) Ääretön lieriö
(e) Puoliääretön
lieriö
40
Moniulotteiset geometriat
•
 S* ( x, t ) 
 P* ( x, t ) 
C* (r , t ) 
•
(a) Puoliääretön
kappale
(b) Tasoseinämä
(c) Ääretön lieriö
 Lämpötilan ratkaisu
esim: (h) Suorakulmainen suuntaissärmiö
 * ( x, y, z , t )   P* ( x, t )  P* ( y, t )  P* ( z , t )
(g) Puoliääretön
suorakaidepylväs
(h) Suorakulmainen
suuntaissärmiö
(i) Lyhyt lieriö
41
Esimerkki: Teräksen karkaisu
Lieriö ruostumattomasta teräksestä (AISI 304) alussa 600 K lämpötilassa.
Karkaistaan upottamalla öljykylpyyn, joka pidetään lämpötilassa 300 K,
jolloin lämmönsiirtokerroin h = 500 W/m2K.
Lieriön pituus on 2L = 60 mm, halkaisija D = 80 mm.
Selvitettävä: Kun jäähtymisprosessissa on kulunut aikaa 3 minuuttia, määritetään lämpötilat
lieriön keskellä, ympyräpinnan keskellä ja vaipan keskikorkeudella.
Oletukset:
1. Kaksiulotteinen johtuminen r- ja x-suunnassa.
2. Vakiot aineominaisuudet.
Lieriön
AISI 304
Öljykylpy
Selvitettävä: Lämpötilat T(r, x, t) 3 minuutin jälkeen lieriön keskustassa, T(0, 0, 3 min)
ympyräpinnan keskustassa, T(0, L, 3 min) ja vaipan keskikorkeudella, T(ro, 0, 3 min).
42
Aineominaisuudet: Taulukko A.1, ruostumaton teräs, AISI 304 [T = (600+300)K/2 = 450 K]:
Tarkastelu: Kiinteän teräslieriön lämpötila missä tahansa lieriön pisteessä voidaan ilmaista
seuraavalla yksiulotteisten ratkaisujen tulolla.
   f  x , r * , Fo, Bi 
 * ( x, r , t )   P* ( x, t ) C* (r , t )
Vastaavasti lieriön keskustalle
 * (0,0,3 min)   P* (0,3 min)  C* (0,3 min)
Tasoseinämän osuus  P ( x  0, t  3)
*
yhtälöstä 5.41
*
 P* ( x  0, t  3 min)
Lieriö
AISI 304
Öljykylpy
43
Arvolla Bi = 0.862 saadaan taulukosta 5.1 C1 = 1.109 ja ζ1 = 0.814 rad. Nyt voidaan
määrittää tasokappaleen keskipisteen dimensioton lämpötila.
 P* ( x  0, t  3 min)  1.109 exp[0.814 rad 2  0.84]  0.636
Samalla tavoin äärettömälle lieriölle, kun
Lieriö
AISI 304
yhtälöstä 5.49c
Öljykylpy
 (r  0, t  3min)

C0
missä arvolla
ja
taulukosta 5.1. Arvolla
 C* (0,3) 
44
Lieriö
AISI 304
Öljykylpy
Bi = 1.15
C1 = 1.227
ζ = 1.307
45
Näin ollen lieriön keskustalle
 * (0,0,3)   P* (0,3)  C* (0,3)  0.636  0.550  0.350
  (0, 0, t )
Lämpötila ympyräpinnan keskustassa
 * ( x*  1,0,3)   P* (1,3)  C* (0,3)
Tasoseinämän osuus  P ( x  1,3)
*
   cos 1 x


0


*
Tasoseinämän ratkaisun yhteydessä havaittiin tämä
tulos, että paikallinen arvo saadaan keskilinjan arvon
avulla. Siten voidaan käyttää apuna edellisen kohdan
tasoseinämän tulosta.
Lieriö
AISI 304
Öljykylpy
Tällöin arvolla x*=1 saadaan
 P* ( x* ,3)   P* (0,3) cos( 1 x* )  0.636  cos(0.814 1)  0.437
= 0.437 x 0.550 = 0.240 => T(0, L, 3 min) = 300 K + 0.24(600 - 300) K = 372 K
46
Lämpötila vaipan keskikorkeudella
 * ( x*  0, r *  1, t  3 min)   P* (0,3)  C* (1,3)
Myös sylinterille voidaan paikallinen arvo määrittää
keskilinjan arvon avulla.


*
   0 J 0 ( 1r )
Arvolla r*=1 ja taulukosta B.4 määritetyllä Besselin funktion arvolla
J 0 (1.307 rad 1)  0.616
Lieriö
AISI 304
Sijoittamalla J0 saadaan sylinterin vaipan dimensioton lämpötila
Öljykylpy
 C* (1,3)   C (0,3) J 0 ( 1r * )  0.550  0.616  0.339
47
Näin ollen
 * ( x*  0, r *  1, t  3 min)   P* (0,3)  C* (1,3)  0.636  0.339  0.216
T (0, r0 ,3 min)  300K  0.216 (600  300)K  365K
372 K
365 K
405 K
Lieriö
AISI 304
Öljykylpy
48
Sisällys
JOHTUMINEN I: Epästationäärinen tila
• Yhteenveto: Tasolämpötilamallli
• 1-ulotteinen johtuminen tilavaikutusten kanssa, (Incropera 5.1 – 5.8)
•
•
•
•
•
Tasoseinämä, lieriö, pallo, puoliääretön kappale
Täsmällinen ratkaisu, yhden termin approksimaatio
Heislerin käyrästöt, Besselin funktiot
Vakio pintalämpötila & -lämpövuo
2- ja 3-ulotteinen johtuminen
•
Superpositiomenetelmä
JOHTUMINEN II: Numeeriset menetelmät
• Ääreellisen differenssin menetelmä
−
stationääri- & epästationääritila
49
   f  x  , Fo, Bi 
Yhden termin approksimaation graafinen esitys
Heislerin käyrästöt
•
Keskiviivan lämpötila: Fo > 0.2
1. Keskiviivan lämpötila
2. Paikallinen arvo yhtälöstä
   0 cos 1 x 
 0*
(tai käyrästöstä)
  C1e

0
 12 Fo
50
Tasoseinämä
 0*
Lämpötilajakauma tasoseinämässä,
jonka paksuus 2L
 ( x, t )
Jos keskitason lämpötila To tunnetaan tietyillä Fo- ja Bi-lukujen
arvoilla (esim. ed. sivun käyrästö), voidaan viereistä käyrästöä
käyttää vastaavan hetken lämpötilan määrittämiseen missä
tahansa sijainnissa keskitason ulkopuolella. Näin ollen käyrästöä
täytyy käyttää yhdessä keskitason lämpötilan käyrästön kanssa.
   cos 1 x


0


 T (t , x)  T

 cos 1 x 
 0 T (t ,0)  T
 

 0 
    0 cos 1 x     0 
 
T  T
Ti  T
Tilakäyrästöstä
tai -yhtälöstä
Keskitason käyrästöstä
tai yhtälöstä
51
Tasoseinämä
•
Kappaleeseen varastoituneen energian muutos
sin  1 
Q
 1

Q0
1 0
52
Ääretön lieriö
Keskiviivan lämpötila
1-ulotteinen, ei lämmöntuottoa
1   T  1 T
r  
r r  r   t
53
Ääretön lieriö
•
Lämpötilaprofiili
 

 0 
    0 
Tilakäyrästöstä
tai -yhtälöstä
Keskiakselin
käyrästöstä tai
yhtälöstä
54
Ääretön lieriö
•
55
Pallo
Keskustan lämpötila
56
Pallo
•
Lämpötilaprofiili
 

 0 
    0 
Tilakäyrästöstä
tai -yhtälöstä
Keskitason käyrästöstä
tai yhtälöstä
57
Pallo
•
58

JOHTUMINEN I Epästationäärinen lämmönsiirto

Transcription

Similar documents

JOHTUMINEN II Numeerinen ratkaisu

204 Teknologia - IS-VET