JOHTUMINEN II Numeerinen ratkaisu
Transcription
JOHTUMINEN II Numeerinen ratkaisu
JOHTUMINEN II Numeerinen ratkaisu LÄMMÖNSIIRTO BH20A0450 Kevät 2015 •1 Sisällys JOHTUMINEN II: Numeeriset menetelmät • Yleistä • Differenssimenetelmä • Tase-(kontrolli-)tilavuusmenetelmä • Stationääritila 1-D, 2-D • Epästationäärinen tila 1-D Esim.: Lämpötilaprofiili höyrystinputkessa Korkea lämpötila Matala lämpötila Adiabaattinen symmetria 1 (0) 2 3 4 5 (6) Vesi Alumiininen jäähdytyslevy Adiabaattinen symmetria t + Δt t Δt A 1 i-1 i 2 3 i+1 4 5 B 2 Virtaussimulointi - CFD Muutos Säilymisyhtälöiden ratkaisu numeerisesti Lähde CFD = Computational Fluid Dynamics • CFD-tarkasteluissa käytetyt keskeiset yhtälöt Massa Liikemäärä (x-suunta) Energia Yhdisteet • Advektio Johtuminen d dV v n dA dt V A d p u dV v u u n dA A V x dV V Su dV dt V d h dV v h kT n dA q dV dt V A V d Yi dV v Yi i Yi n dA S y ,i dV dt V A V p, u, v, w T Yi Esim. lämmön diffuusioyhtälö saadaan energiayhtälöstä (konvektio = 0). c p T T T T k k k q tai t x x y y z z d c pT dV kT n dA q dV dt V A V Johtuminen Muutos Lähde 3 Lämmön diffuusioyhtälö* • Lämmön diffuusioyhtälön yleinen muoto Karteesiset koordinaatit c p T T T T k k k q t x x y y z z Vakio lämmönjohtavuus c p T 2T 2T 2T q 2 2 2 k t x k y z 1 T 2T 2T 2T q 2 2 2 t x k y z Yksiulotteinen ilman lämmöntuotantoa 2T 1 T 2 x t Analyyttiset ratkaisut yksinkertaisille geometrioille 4 Virtaussimulointimenetelmien päävaiheet Periaatteet • Jatkuva kenttä diskretoidaan − • • Konstruoidaan solujen ”hila” ja diskreetit pisteet − Muuttujien diskreetteihin arvoihin perustuvat yhtälöt jokaiselle solulle Differentiaaliyhtälöt -> algebrallisten yhtälöiden ryhmä Ratkaistaan algebralliset yhtälöt − − Yhtälöiden lukumäärä = tuntemattomien diskreettien arvojen lukumäärä Ratkaistava matriisiyhtälöt Esikäsittely − − − Säilymisyhtälöt kirjoitetaan käyttämällä likimääräisiä yhtälöitä − • Ohjelmat • Ratkaisija − • Geometrian kuvaus Hilan luominen Reunaehdot, alkuarvot, valitut yhtälöt Numeerinen menetelmä yhtälöiden ratkaisuun - iteroinnit Jälkikäsittely − − Tulokset graafisessa muodossa Tarkastelu a1,1 . a i ,1 . . a1, 2 . . . . a i ,i . . . . . 1 b1 . . . . a i , N i b i . . . . . a N , N N b N . . 5 CFD-menetelmät • • Useita menetelmiä käytetään virtaussimulointilaskuihin Yleisimmät menetelmät: – Tasetilavuus- (kontrollitilavuus-) menetelmä (~80%), (Finite Volume M.) – Yleisin virtausmekaniikassa – Elementtimenetelmä (~15%) – • Yleisin rakennesuunnittelussa Muut menetelmät (5%): – Differenssimenetelmä – – Incropera & al.: Tasetilavuus- ja differenssimenetelmien sekoitus Yleinen aikaisemmin – Spektriset menetelmät (Spectral Methods) – Reunaelementtimenetelmä (Boundary Element Method) – Hila–Boltzmann 6 Työkaluja numeeriseen ratkaisuun • Taulukkolaskentaohjelmat − Ohjelmointi jossain määrin mahdollista, esim. EXCEL/Visual Basic • Matemaattiset ohjelmat − MATLAB, Mathematica, MATHCAD, .. • Ohjelmointikielet − FORTRAN, C/C++, Pascal, Basic, (MATLAB),… • Ohjelmistopaketit (kaupalliset, avoin lähdekoodi) – CFD-paketit (ANSYS/FLUENT, CFX, OpenFOAM, …) 7 Differenssimenetelmä Derivaattojen approksimointi Taylorin sarjasta Tarkka derivaatta 1. kertaluku 2. kertaluku d 1 2 d 2 1 3 d 3 ( x x ) ( x ) x x x ... dx 2 dx 2 6 dx 3 <=> d ( x x ) ( x ) 1 d 2 1 2 d 3 x 2 x ... dx x 2 dx 6 dx 3 Φ Ensimmäinen kertaluvun approksimaatio d ( x x ) ( x ) O(x ) dx x d dx x Ensimmäisen kertaluvun katkaisuvirhe x-Δx x x+Δx Kahden sarjan erotus d 1 2 d 2 1 3 d 3 ( x x ) ( x ) x x x ... dx 2 dx 2 6 dx 3 d 1 2 d 2 1 3 d 3 ( x x ) ( x ) x x x ... dx 2 dx 2 6 dx 3 Toisen kertaluvun approksimaatio d ( x x ) ( x x ) O(x 2 ) dx 2x 8 Differenssimenetelmä Derivaattojen approksimointi x-Δx x Summataan kaksi sarjaa d 1 2 d 1 3 d x x ... dx 2 dx 2 6 dx 3 d 1 2 d 2 1 3 d 3 ( x x ) ( x ) x x x ... dx 2 dx 2 6 dx 3 ( x x ) ( x ) x Φ 2 x+Δx 3 d 2 ( x x ) 2( x ) ( x x ) O(x 3 ) 2 2 dx x d 2 ( x x) 2 ( x) ( x x) dx 2 x 2 Differenssimenetelmän päävaiheet: 1. Ilmiö kuvataan asianmukaisella differentiaaliyhtälöllä. 2. Kaikki derivaatat yhtälössä korvataan niiden differenssiapproksimaatioilla jokaisessa diskreetissä pisteessä. Viereisiä pisteitä tarvitaan approksimaatioissa. 3. Yhtälöryhmä ratkaistaan matriisin kääntämisellä tai iteraatiotekniikoilla. 9 Differenssimenetelmä Φ 2T Esimerkki: 1-ulotteinen lämmönjohtuminen 2 q x Piste 3 d 2T ( x3 ) T ( x4 ) 2T ( x3 ) T ( x2 ) k k q dx 2 x 2 Mille tahansa pisteelle i d 2T ( xi ) T ( xi 1 ) 2T ( xi ) T ( xi 1 ) k k q dx 2 x 2 k k 2 T ( x ) T ( xi 1 ) T ( xi 1 ) q <=> i 2 2 x x x-Δx x x+Δx d 2 ( x x) 2 ( x) ( x x) dx 2 x 2 T ( x 0) T0 1 T ( x L) T6 2 3 4 5 (6) (0) <=> ai 1T ( xi 1 ) aiT ( xi ) ai 1T ( xi 1 ) q L Kirjoitetaan yhtälöt kaikille pisteille a1,1 . 0 0 0 a1, 2 0 . . . a3,3 0 . 0 0 0 T1 b1 0 0 . . . 0 T3 q3 . . . . . a5,5 T5 b5 0 <=> A T B => T A1B 10 Differenssimenetelmä 2-ulotteinen stationääritilan johtuminen 2 N 2P S 2 y y 2 T T q x 2 y 2 2 2 1) 2) TE 2TP TW TN 2TP TS q x 2 y 2 y N y <=> W P y S 2 1 1 2 1 1 q T 2 TW 2 2 TP 2 TN 2 TS 2 E x x y y y x 3) x Matriisimuodossa 5 nollasta poikkeavaa elementtiä jokaisessa rivissä (yhtälössä) <=> a1,1 . a i ,1 . . AT B a1, 2 . . . . a i ,i . . . . => E x x . T1 b1 . . . . a i , N Ti b i . . . . . a N , N TN b N . . T A1B 11 Tasetilavuusmenetelmä Pääperiaate • Koko tila jaetaan pieniin tasesoluihin = tase-(kontrolli-)tilavuudet. • Jokaiselle kontrollitilavuudelle säilymisyhtälö kirjoitetaan integraalimuodossa. Esim. lämmön johtuminen d c pT dV kT n dA q dV dt V A V • Derivaatat ja funktiot yhtälöissä korvataan diskreettien pisteiden likimääräisillä arvoilla. • Ratkaistaan yhtälöryhmä (yhtälöiden lukumäärä = tuntemattomien lukumäärä) 12 Tasetilavuusmenetelmä: 1-ulotteinen johtuminen (Stationääritila) d c pT dV kT n dA q dV dt V A V w Integraalimuoto 1) q' 'n dA qdV A V Nettovuo = Lämmön pintojen läpi lähde '' q i ni Ai qPVP n e i n w i i 1 3) 1 2 3 W P E x 2 2) e q''e Ae q''w Aw qPVP dT dT A k A qPV w d x e d x w 4) ke (A, V oletetaan vakioiksi) x dT q ''w kw d x w Derivaattojen approksimaatiot d T TE TP x d x e dT TP TW d x x w saadaan muoto 5) ke T T TE TP A kw P W A qPV x x 13 Tasetilavuusmenetelmä 1-ulotteinen lämmön diffuusio 6) w ke A kA k A k A TP e TE w TP w TW qPV x x x x 1 W kA k A k A k A <=> e w TP e TE w TW qPV x x x x aP 7) => aE ke A k w A x x aE 2 P 3 E x x aW aPTP aETE aW TW qPV aP e 1 k A ke A aW w x x 8) Yhtälöryhmä luodaan kirjoittamalla likimääräiset taseyhtälöt kaikille kontrollitilavuuksille. Tällöin voidaan ratkaista tuntemattomat lämpötilat. a1,1 a 2,1 0 0 0 2 x b x a1, 2 a 2, 2 0 a 2,3 0 0 a 3, 2 a 3, 3 a 3, 4 0 a 4,3 a 4, 4 0 0 a 5, 4 3 4 5 0 T1 b1 0 T2 b 2 0 T3 b 3 a 4,5 T4 b 4 a 5,5 T5 b 5 14 Tasetilavuusmenetelmä Reunaehdot Vakiolämpötila – (Dirichlet-ehto) dT TP TB qb'' Ab kb A k Ab b b d x x b b B Vuo tunnetaan – (Neumann-ehto) • e b P x b Ei tarvetta approksimaatioille E x qb'' Ab qb'' Ab Erikoistapaus: vuo = 0 qb'' Ab 0 Esimerkki: Taseyhtälö tilavuudelle P, jolle reuna-arvo ja poikkileikkaus ovat vakiot xb x 2 T T TE TP ke A k w P B A qVP x x 2 15 1-ulotteinen johtuminen Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa A 25 m TB = 100 ºC Esimerkki: Pyöreä tanko, joka on eristetty oikeasta ja vasen reuna on lämpötilassa 100 °C. Lasketaan lämpötilaprofiili. Konvektiolämmönsiirtoa tangosta ympäristöön, joka on 1 lämpötilassa 20 °C. L = 1 m ja hP T∞ = 20 ºC Eristetty reuna qV hA(T T ) Ratkaisu: Tanko jaetaan viiteen osaan, Δx = 0,2 m. Taseyhtälö solulle P on q''e Ae q''w Aw qPVP w W Lämpövuot Fourierin laista Lineaarisesta differenssiapproksimaatiosta lämpövuolle saadaan T T T T E P A P W A h(TP T ) Px x x P x dT dT e A A qPV w d x d x e w 1 x b e 2 E x 3 4 5 x Eristetty reuna 16 1-ulotteinen johtuminen Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa • Muotoillaan uudelleen ja jaetaan λA:lla w 1 2TP TW TE hP (TP T )x x A • P x E x Lähdetermin lämpötila on tuntematon => siirretään vasemmalle 1 1 hP 2 hP x TP TW TE T x x x A x A • W e 1 TB x b 2 3 4 5 x Taseyhtälöt tilavuuksille 2, 3 ja 4: Tilavuus 2 1 1 hP 2 hP x T2 T1 T3 T x x x A x A Tilavuus 3 1 1 hP 2 hP x T3 T2 T4 T x x x A x A Tilavuus 4 1 1 hP 2 hP x T4 T3 T5 T x x x A x A 17 1-ulotteinen johtuminen Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa Tilavuus 1: Vakiolämpötila reunalla T2 T1 T T A 1 B A h (T1 T )Px x x 2 Diskretoitu taseyhtälö (jaetaan λA:lla) Tilavuus 1 TB 2 1 x x 2 1 hP 2 3 hP x T1 T2 T x TB x A x A x Tilavuus 5: Reuna on eristetty, vuo reunakohdassa on nolla 0 T5 T4 A h (T5 T )Px x Diskretoitu taseyhtälö Tilavuus 5 1 hP 1 hP x T5 T4 T x x A x A Eristetty reuna 5 4 x x 2 18 1-ulotteinen johtuminen Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa Kaikki viisi taseyhtälöä kerätään yhteen. Tilavuus 1 1 hP 2 3 hP x T1 T2 T x TB x A x x A Tilavuus 2 1 1 hP 2 hP x T2 T1 T3 T x x A x x A Tilavuus 3 1 1 hP 2 hP x T3 T2 T4 T x x A x x A Tilavuus 4 1 1 hP 2 hP x T4 T3 T5 T x x x A x A Tilavuus 5 hP 1 hP 1 x T5 T4 T x x A x A TB 1 x b 2 3 4 5 Sijoittamalla parametriarvot saadaan seuraava matriisiyhtälö. hP 1 25 A m Δx = 0,2 m [A] 0 0 20 5 0 5 15 5 0 0 0 5 15 5 0 0 5 15 5 0 0 0 0 5 10 [T] [B] T1 T 2 T3 T4 T5 1100 100 100 100 100 = Yhtälö voidaan ratkaista käänteismatriisin avulla. T A1B x 19 1-ulotteinen johtuminen Esimerkki: Lämmön diffuusio tangossa T∞ = 20 ºC Ratkaisu EXCEL–laskentataulukkoa käyttämällä Matriisi Matrix BB 20 -5 0 0 0 -5 15 -5 0 0 0 -5 15 -5 0 0 0 -5 15 -5 0 0 0 -5 10 Käänteismatriisi Inverted matrix 0,055285 0,021138 0,008130 0,003252 0,001626 0,021138 0,084553 0,032520 0,013008 0,006504 0,008130 0,032520 0,089431 0,035772 0,017886 0,003252 0,013008 0,035772 0,094309 0,047154 0,001626 0,006504 0,017886 0,047154 0,123577 TB = 100 ºC Matriisi Matrix A X 1100 100 100 100 100 -1 -1 Result=A xBxB Tulos=A 64,2 36,9 26,5 22,6 21,3 S h(T T ) Lämpötilaprofiili Temperature profile 120 100 C] Temperature [°C] Lämpötila[deg Eristetty reuna 80 FV (5 elementtiä) 60 Tarkka 40 x 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,9 FV/5 100 64,23 36,91 26,50 22,60 21,30 Tarkka 100 68,53 37,87 26,61 22,54 21,22 20 0 0 0,2 Distance, [m] [m] Etäisyys 0,4 0,6 0,8 1 20 Tasetilavuusmenetelmä 2-ulotteinen johtuminen Valitaan ja ilmaistaan solmukohtien sijainti Kontrollitilavuudet Vaihtoehto 1 4 8 Kontrollitilavuudet Vaihtoehto 2 (Incropera & al.) 12 3 3 2 1 7 6 5 6 2-ulotteista indeksointia käytetään yleisesti 2ulotteisissa tapauksissa, kun menetelmää ohjelmoidaan tietokoneelle. i,j+1 j+1 j 11 i-1,j 5 1 4 i+1,j i,j-1 j-1 2 i,j i-1 i i+1 10 9 Solmukohdan sijainnin valinta vaikuttaa ainoastaan yhtälöihin tilan reunakohdassa Kompassisuuntia käytetään indeksoinnissa yleisesti menetelmän periaatteiden esittämisessä. N W P E S y x 21 Tasetilavuusmenetelmä Stationäärinen 2-ulotteinen johtuminen Taseyhtälö alueen sisäpuoliselle solulle Nettojohtuminen = Lähde 1) q' 'n dA qdV A 2) V 4 q n A q V '' i i 1 i i Vuon positiivinen suunta ulospäin n e i nn j n w i ns j •W 5) •E •S y dT dT dT dT Ae k w Aw kn An k s As qV p dx dx dy dy ke •P P P 3) q''e Ae q''w Aw q''n An qs'' As qPVP 4) ke •N dT q ''w kw d x w x T T T TP T T TE TP Ae k w P W Aw k n N An k s P S As qV p x x x x qV p 6) aE aP aW aN aS 22 Tasetilavuusmenetelmä Stationäärinen 2-ulotteinen johtuminen Taseyhtälö alueen sisäpuoliselle solulle qV p qV p •N kA k A k A kA a P e e w w n n s s x y y x aE k e Ae x aW k w Aw x aN •W k n An y aS •E k s As y •S y Jos k on vakio ja Δx = Δy x qV p ke Ae •P N kn TN TP An x T T k w P W Aw x ks W x P E ke TP TS As x qV p S TE TP Ae x 23 Tasetilavuusmenetelmä Reunaehdot, esimerkki • • Tarkastellaan ulkopuolen kulmaa, jossa tapahtuu konvektiolämmönsiirtoa. Kontrollitilavuudet kuvan mukaan (Incropera & al.) q m 1, n m, n q m, n 1 m, n q m, n 0 y Tm 1, n Tm, n x Tm, n 1 Tm, n k k x y 2 2 x y h T Tm, n h T Tm, n 0 2 2 tai kun x y , Tm 1, n Tm, n 1 2 hx hx T 2 1 Tm, n 0 k k 24 Taseyhtälöiden differenssimuodot Yhteenveto differenssiyhtälöistä tavallisille solmupisteille esitetään taulukossa 4.2. 25 Taseyhtälöiden differenssimuodot 26 Ratkaisumenetelmiä • Matriisin kääntäminen: N tuntematonta solmukohdan lämpötilaa ilmaistaan N:n yhtälön ryhmällä muodossa: AT C Kerroinmatriisi (NxN) Ratkaisuvektori (T1,T2, …TN) Ratkaisu Oikean puolen vakiovektori (C1,C2…CN) T A1 C a1,1 . a i,1 . . Kerroinmatriisin käänteismatriisi a1,2 . . . . . a i,i . . . . T1 c1 . . . . a i, N Ti ci . . . . . a N, N TN c N . . • Gauss-Seidelin -iterointi: Jokainen yhtälö kirjoitetaan eksplisiittisessä muodossa, siten että jokaisen yhtälön tuntematon solmukohdan lämpötila esiintyy yksinään vasemmalla puolella: Esim. 1-ulotteinen johtuminen, piste P w e a T a T C TP W W E E P aW TW aPTP aETE CP W P E aP aP aP x x • Iteraatio etenee kuvan tapauksessa vasemmalta oikealle. Tarkasteltavan pisteen arvo lasketaan käyttäen vieruspisteiden viimeisimpiä iterointiarvoja: aW TW( k ) aETE( k 1) C P missä k vastaa iterointikierroksen (k ) TP aP aP aP vaihetta, k-1 kuvaa edellisen iterointikierroksen arvoa. • Iteraatio etenee pisteestä toiseen, iteraatiokierros kerrallaan, kunnes tyydyttävä konvergenssi saavutetaan kaikille solmukohdille, esim.: T k T k 1 i i 1 x b 2 3 4 5 x 27 Ratkaisumenetelmiä Gauss-Seidelin yleinen muoto kahdessa dimensiossa. Ti k N aij Ci i 1 aij k Tj Tj( k 1) aii j 1 aii j i 1 aii a1,1 . a i,1 . . a1,2 . . . . . a i,i . . . . T1 c1 . . . . a i, N Ti ci . . . . . a N, N TN c N . . Iteraatiokierros k kierros k-1 Esim. yhtälö (kaksiulotteinen johtuminen) aW TW aS TS aPTP aETE a N TN C P kierros k laskettava piste josta iteraatiomuoto lämpötilalle TP TP( k 1) N aW ( k 1) aS ( k 1) aE ( k ) a N ( k ) C P TW TS TE TN aP aP aP aP aP W Gauss-Seidel -menetelmä käyttää aina viimeisimpiä saatavissa olevia arvoja jokaiselle viereiselle pisteelle. Eri iteraatiokierrosten arvojen ei tarvitse olla omilla riveillään muistissa. Tarvitaan ainoastaan yksi rivi => säästetään muistia. P E S 28 Esimerkki: Mikrosirun jäähdytin Tarkastelu jäähdytyslevylle, jolla jäähdytetään mikrosirua Jäähdytyslevy Vesi Ominaisuudet: • • Mikrosirusta leviävä lämpö siirretään johtumisella jousikuormitteisten alumiinimäntien avulla alumiiniseen jäähdytyslevyyn. Jousi Moduulin kotelo Mäntä Helium Siru Vesijäähdyttäinen jäähdytyslevy Nimellisten toimintaolosuhteiden voidaan olettaa saavan aikaan tasaisesti jakautuneen lämpövuon Monikerroksinen keraaminen substraatti qo 105 W/m2 jäähdytyslevyn pohjassa. • Lämpö siirretään jäähdytyslevyltä levyssä olevien kanavien läpi virtaavan veden avulla. Lämmönjohtumismoduuli Keraaminen substraatti Siru Adiabaattinen symmetria SELVITETTÄVÄ: 1. Jäähdytyslevyn lämpötilajakauma määrätyille olosuhteille. 2. Suurin sallittu lämpötehotaso, kun jäähdytyslevyn maksimilämpötila saa olla 40C . Vesi Alumiininen jäähdytyslevy Adiabaattinen symmetria 29 Esimerkki: Prosessorijäähdytin ASSUMPTIONS: (1) Steady-state conditions, (2) Two-dimensional (3) Constant properties. OLETUKSET: (1) Stationääritila, (2) Kaksiulotteinen johtuminen, (3) Vakiotconduction, aineominaisuudet. Energiatasemenetelmää sovelletaan jokaiseen alueeseen => taseyhtälöt kaikkien lämpötilojen ratkaisemiseksi n q''e Ae q''w Aw q''n An qs'' As 0 w Esim. sisäpuolen pisteet Ae Aw y l q ''e k q ''n k k Tm1,n Tm,n y x T T yl k m,n m1,n x Tm1,n Tm,n x Tm,n 1 Tm,n y s e An As xl q ''w k qs'' k Tm,n Tm1,n x Tm,n Tm,n 1 y Tm,n 1 Tm,n Tm,n Tm,n 1 yl k xl k xl 0 y y x Tm 1, n y x Tm 1, n x y Tm, n 1 x y Tm, n 1 2 x y y x Tm, n 0 30 Esimerkki: Prosessorijäähdytin n w e s Esim. piste 1 q''e Ae q''w Aw q''n An qs'' As 0 Ae Aw qe" k y l 2 T2 T1 x An As qs" k x l 2 T1 T6 y qw" qn" 0 Sijoittamalla pinta-alat ja lämpövuot saadaan k T T x T2 T1 y l k 1 6 l 0 x 2 y 2 ja tästä sieventämällä T2 y y x x T1 T1 T6 0 2x 2x 2y 2y T2 y x y x T6 T1 0 x x y y 31 Esimerkki: Prosessorijäähdytin TARKASTELU: Differenssiyhtälöt täytyy equations määrittää jokaiselle 28:sta solmukohdasta. ANALYSIS: Finite-difference must be obtained for each of theKun 28 sovelletaan nodes. Applying the energiatasemenetelmää alueisiin 1 ja 5, jotka keskenään samanlaisia, seuraa, että energy balance method to regions 1 andovat 5, which are similar, it follows that x T2 x y T6 y x x y T1 0 Node 5: Solmukohta 5: y x T4 x y T10 y x x y T5 0 Solmukohta 1: Node 1: y Nodal regions 2, 3 2, and 4 are similar, and thesamanlaisia, energy balance method yields a finite-difference Solmukohta-alueet 3 ja 4 ovat keskenään ja energiatasemenetelmällä saadaan equation of the form differenssiyhtälö, joka on muotoa Nodes 2,3,4: 2, 3, 4: Solmukohdat y x Tm 1, n Tm 1, n 2 x y Tm, n 1 2 y x x y Tm, n 0 Energiataseita sovelletaan oleviin yhdistelmiin, millä saadaan seuraavat Energy balances applied tosamanlaisten the remainingsolmukohtien combinations jäljellä of similar nodes yield the following finite-difference differenssiyhtälöt. equations. Nodes 6,6, 14: Solmukohdat 14: x x y T1 y x T7 x y y x hx k T6 hx k T y T19 y x T15 x y y x hx k T14 hx k T Solmukohdat 15: y x T6 T8 2 x y T2 2 y x x y hx k T7 2hx k T Nodes 7,7,15: y x T14 T16 2 x y T20 2 y x x y hx k T15 2hx k T 32 Esimerkki: Prosessorijäähdytin Nodes 8, 16: Solmukohdat 8, 16: Solmukohta Node 11: 11: y x T7 2 y x T9 x y T11 2 x y T3 3 y x 3 x y y x T15 2 y x T17 x y T11 2 x y T21 3 y x 3 x y h k x y T8 h k x y T h k x y T16 h k x y T y T8 x y T16 2 y x T12 2 x y y x hy k T11 2hy k T x Nodes 9,9,12, Solmukohdat 12,17, 17,20, 20, 21, 21, 22: 22: y x Tm 1, n y x Tm 1, n x y Tm, n 1 x y Tm, n 1 2 x y y x Tm, n 0 Nodes 10, Solmukohdat 10,13, 13,18, 18, 23: 23: x y Tn 1, m x y Tn 1, m 2 y x Tm 1, n 2 x y y x Tm, n 0 Solmukohta 19: x y T14 x y T24 2 y x T20 2 x y y x T19 0 Node 19: Nodes 24, Solmukohdat 24, 28: x x y T19 y x T25 x y y x T24 qo x k y T23 y x T27 x y y x T28 qo x k Nodes 25, Solmukohdat 25,26, 26,27: 27: y x Tm 1, n y x Tm 1, n 2 x y Tm, n 1 2 x y y x Tm, n 2qo x k 33 Esimerkki: Prosessorijäähdytin T A1B Kun kertoimet ja yhtälöt ratkaistaan samanaikaisesti, stationäärinen lämpötilajakauma Evaluating thelasketaan coefficients and solving the equations simultaneously, the steady-state temperature (°C) solmupisteiden sijaintien mukaan taulukoituna onlocations, is: distribution (C), tabulated according to the node q ''0 Tmax T R* 23.77 23.41 23.91 23.62 28.90 30.72 32.77 28.76 30.67 32.74 24.27 24.31 25.70 28.26 30.57 32.69 24.61 24.89 26.18 28.32 30.53 32.66 24.74 25.07 26.33 28.35 30.52 32.65 Lämpötilaeron ja lämpövuon välillä on lineaarinen riippuvuus, joten R* on vakio b) Sallittu maksimilämpötila (T24the =40°C)? (b) For the prescribed conditions, maximum allowable temperature (T 24 = 40C) is reached when R* Tmax T q ''0 Case1 Tmax T q ''0 <=> Case 2 32.77 15 40 15 K K 5 2 '' 1 x 10 W / m q0 qo = 1.407 105 W/m2 34 Johdanto epästationääritilan laskentaan Tasalämpötilamalli Analyyttinen ratkaisu T T e i Ti T dT Vc p hAs (T T ) dt hAs t Vc p Alkuehdolla T(t=0) =Ti Numeerinen ratkaisu aikaderivaatalle perustuu derivaatan approksimointiin (yläindeksi viittaa lämpötilan tiettyyn ajanhetkeen) dT T T t t T t Vc p Vc p Vc p hAs (T t Tt ) dt t t T t t Oheista kehitelmää käyttäen voidaan lähteä liikkeelle hAs t t T t (T T ) alkutilanteesta t=0 ja laskea seuraavan hetken lämpötila. Vc p Näin edetään Δt:n suuruisin askelin ja lasketaan lämpötilat t halutun pituiselle aikajaksolle. Vastaavalla tavalla voidaan laskea numeerisesti yleisemmän tapauksen tasalämpötilatehtävä, esim.: Vc dT 4 qs'' As ,h hAs ,c T T As ,r T 4 Tsur Eg dt 35 Epästationääritilan johtuminen Aikaderivaatta d F dt new old old d t old F t dt Kuinka lasketaan derivaatta F? F old 1 F new F old 2 F new new old F old t Eksplisiittinen menetelmä – Eulerin menetelmä 1 F F t 2 new old F new t new old new old Täysin implisiittinen menetelmä Crank-Nicolson -menetelmä 36 Epästationääritilan johtuminen Yhtälöiden johtaminen epästationäärisen 1-ulotteisen johtumisen numeerista ratkaisua varten • Energian säilymisyhtälö w d c pT dV kT n dA q dV dt V A V Muutos aikayksikössä • = Johtuminen + W e P x Lähde E x d J w w d x w 1-ulotteinen johtuminen ilman konvektiota VP c pT t T T * dV A A qdV f t x e x w VP Diskretoidaan cT cT t t t t t* T T * V A qVP f t P A x e x w VP = A x 37 Epästationäärisen tilan johtuminen • • Kuinka valitaan ajanhetki johtumis- ja lähdetermien määrittämiseksi Yhden aika-askeleen kuluessa aika muuttuu arvosta t arvoon t +∆t cT cT t t t t t* T T * A qVP f t VP A x e x w f f ( t*) f t t (1 )f t 0 : f ( t*) f t 1 : f ( t*) f t t Eksplisiittinen menetelmä ft f t + t Implisiittinen menetelmä t 12 : • f ( t*) 12 f t t 12 f t t+Δt Crank-Nicolson -menetelmä Yhtälömuoto sisältää kaikki kolme vaihtoehtoa T T cT t t cT t V A A P t x x w e t t t T T t t t 1 A A q VP 1 q VP x e x w 38 1-ulotteinen epästationääritilan johtuminen Periaate: • Kontrollitilavuus varastoi energiaa johtumisen nettolämpövuon ja energianlähteen mukaan t + Δt • Johtumista ja energialähdettä voidaan approksimoida aikaisemman (t) ja uuden (t +∆t) ajanhetken arvoilla • Jos käytetään ainoastaan edellisen ajanhetken arvoja, jokainen uusi arvo voidaan saada itsenäisesti. t Δt i-1 A i W w P e 3 2 1 i+1 E 4 x =L 5 B cT t t cT t VP t f t t 1 f t t x 39 Epästationääritilan johtuminen Eksplisiittinen menetelmä – Eulerin menetelmä • Aikaintegrointi: arvo edellisellä aika-askeleella Θ = 0. t t cT t t cT t T T A qVP VP A t x x e w • VP = A x it + t Vakiolle lämmönjohtavuudelle, ominaislämpökapasiteetille, t + Δt poikkileikkauspinta-alalle ja hilavälille Δx. c t t P T c T T T T T x qx t x x t P t E t P t P t W t x t t x TP c TPt TEt TPt TPt TWt qx t t x x x x c Δt it - 1 it it +1 W P E x t t x TP c 2 TPt TEt TWt qx t t x x x • Aikaderivaatta: ensimmäisen asteen differenssiapproksimaatio. • Oikean puolen termi: arvot ainoastaan edellisellä aika-askeleella Vasemman puolen termi tuntematon: suoraviivainen laskenta tunnetuista arvoista 40 Epästationäärinen johtuminen Eksplisiittinen menetelmä • Stabiilisuuskriteeri: Stabiilisuus saavutetaan, jos kerroin tarkasteltavalle solmupisteelle aikaisemmalla ajanhetkellä on suurempi tai yhtä suuri kuin nolla. c • x t t x TP c 2 TPt TEt TWt qx t t x x x c x 2 t x Ehto stabiilille aika-askeleen pituudelle eksplisiittiselle menetelmälle t < c ( x )2 • 2 • Fo Fo t x 2 cp 1 2 Ensisijainen rajoite • Aika-askeleen pituus verrattuna laskentaan: • Joskus laskenta-ajat ovat epäkäytännöllisiä vaadituilla lyhyillä aika-askeleilla. Menetelmä on suoraviivainen toteuttaa ja ohjelmoida • Lämmönjohtumissovellukset ovat usein “tarpeeksi yksinkertaisia” eksplisiittisellä menetelmällä ja lyhyellä aika-askeleella toteutettaviksi • Lyhyt aika-askel ratkaisun suurempi tarkkuus Fourierin luvun differenssimuoto finite-difference form of Fourier number 41 Epästationäärinen johtuminen Implisiittinen menetelmä • Aikaintegrointi: arvot uudella aika-askeleella (t +∆t) parametri Θ = 1. • 1-ulotteinen lämmönjohtuminen • Vakio lämmönjohtavuus, ominaislämpökapasiteetti, poikkileikkauspinta-ala ja hilaväli Δx TPt t TWt t TPt t TPt TEt t TPt t c x q t t x t x x it -+1t it + t it ++1t t + Δt t i it x x 2 TPt t c TPt TEt t TWt t q t t x c t x t x x • • Oikean puolen termi: approksimaatio naapurisolun arvoilla uudella aika-askeleella. muodostettava ratkaisu lineaariselle yhtälöryhmälle jokaisella aika-askeleella (vertaa stationääritilan ratkaisuun) Ei rajoituksia aika-askeleen koolle stabiilisuuden vuoksi. (Tarkkuus vähenee, kun aika kasvaa.) 42 Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen, eksplisiittinen menetelmä Tapaus: Epästationääri lämmön johtuminen levyssä • Alkulämpötila 200 °C a • Vasen seinämä on eristetty 1 • Oikean seinämän reunaehto: T = 0 °C, kun t > 0 • Paksuus = 2 cm • Lämmönjohtavuus= 10 W/m/K Eristetty • ρc = 10 x 106 J/m3/K e 2 3 c ( ) Sisäpuolen elementeille (2, 3, 4) diskretoidut yhtälöt Elementti 2 c B T=0 °C t>0 W x t + t x t t TP = c - 2 TPt + TE + T t t x x x W 5 x w Ratkaisu: Eksplisiittinen ratkaisumenetelmä 4 b e P x E x x t + t x t t T2 = c - 2 T2t + T3 + T t t x x x 1 x t + t T t 3 x t + t c T Elementti 4 t 4 Elementti 3 c ( ) x = ( c - 2 T + T + T t x ) x x x = ( c - 2 T + T + T t x ) x x t 3 t 4 t 2 t 4 t 5 t 3 43 Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen, eksplisiittinen menetelmä • Vasen puoli: eristetty diskretoitu yhtälö e T t + t - T t TEt - TPt c x = t x c x t + t x t TP = c TPt + T t t x x E ( Elementti 1: c • A Muotoillaan uudelleen 1 P x ) x t + t x t T1 = c T1t + T t t x x 2 ( ) x A Oikea puoli: lämpötila = 0 diskretoitu yhtälö Muotoillaan uudelleen elementti 5 c x 2 x t T t + t - T t 0 - TPt TPt - TW c x = - x t x 2 2 E W P x t + t x t T5 = c - 3 T5t + T t t x x 4 ( ) 44 Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen, eksplisiittinen menetelmä Diskretoitujen yhtälöiden ryhmä Elementti 1 Elementti 2 Elementti 3 Elementti 4 Elementti 5 • c x t + t x t T1 = c T1t + T t t x x 2 x t + t T t 2 x t + t c T t 3 c x t + t c T t 4 x t + t c T t 5 Numeerisilla arvoilla ( ) x = ( c - 2 T + T + T t x ) x x x = ( c - 2 T + T + T t x ) x x x = ( c - 2 T + T + T t x ) x x x = ( c - 3 T + T t x ) x t 2 t 3 t 1 t 3 t 4 t 2 t 4 t 5 t 5 t 4 t 3 • Kriteeri aika-askeleen pituudelle (eksplisiittinen menetelmä) t < c • ( x )2 2 = 8s Valinta: aika-askeleen pituus 2 s c x = 20000 t = 2500 x 200 T1t + t = 175 T1t + 25 T2t 200 T2t + t = 25 T1t + 25 T3t + 150 T2t 200 T3t + t = 25 T2t + 25 T4t + 150 T3t 200 T4t + t = 25 T3t + 25 T5t + 150 T4t 200 T5t + t = 25 T4t + 125 T5t 45 Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen, eksplisiittinen menetelmä Aika-askeleen pituus 2s 0 200 200 200 200 200 2 200,00 200,00 200,00 200,00 150,00 4 200,00 200,00 200,00 193,75 118,75 • Iterointia ei tarvita • Excel-ratkaisu aika-askeleen pituudella 2s • • • Ajanhetkellä 2 s soluilla on diskretoidut yhtälöt, joiden arvot saadaan, kun t = 0 s. Seuraavat aika-askeleet kopioimalla edellisen aikaaskeleen kaava. Levyn lämpötila lähestyy reunaehtoa T = 0 C. 6 200,00 200,00 199,22 185,16 98,44 8 200,00 199,90 197,56 176,07 84,67 Aika [s] 10 199,99 199,62 195,17 167,33 74,93 12 199,94 199,11 192,24 159,26 67,75 14 199,84 198,36 188,98 151,95 62,25 16 199,65 197,37 185,52 145,36 57,90 18 199,37 196,17 181,98 139,45 54,36 20 198,97 194,80 178,44 134,13 51,40 Lämpötilajakauma 250 Lämpötila [grad C] Etäisyys [mm] 2 6 10 14 18 t=0s 200 150 t=6s t = 20 s 100 t = 14 s 50 t = 120 s 0 0 5 10 [mm] Etäisyys [cm] 15 20 46 Esimerkki: 1-ulotteinen johtuminen Eksplisiittinen verrattuna implisiittiseen menetelmään Eksplisiittinen, Δt = 2 s Implisiittinen, Δt = 2 s Lämpötilajakauma Lämpötilajakauma 250 t=0s 200 150 t=6s t = 20 s 100 t = 14 s 50 Lämpötila [grad C] Lämpötila [grad C] 250 t=0s 200 150 t=6s t = 20 s 100 t = 14 s 50 t = 120 s 0 0 0 5 10 15 20 0 5 10 [mm] Etäisyys [cm] 20 Etäisyys [mm] [cm] Eksplisiittinen, Δt = 8 s Implisiittinen, Δt = 8 s Lämpötilajakauma Lämpötilajakauma 250 250 Lämpötila [grad C] Lämpötila [grad C] 15 t=0s 200 150 t = 24 s 100 t = 80 s t = 48 s 50 t = 480 s 0 t= 0s 200 150 t = 24 s t = 80 s 100 t = 120 s 50 t = 48 s 0 0 5 10 [mm] Etäisyys [cm] 15 20 0 5 10 15 20 Etäisyys [mm] [cm] 47 Yhteenveto d c pT dV kT n dA q dV dt V A V Lämmön johtumisen numeerinen ratkaisu Diffuusioyhtälö • • Dimensiot: 1-ulotteinen, 2-ulotteinen Menetelmät: Tase-(kontrolli-)tilavuus, differenssi a1,1 . ai ,1 . . d dx x new old F * t c a1,2 . . . . . . ai ,i . . . . . . . . T1 b1 . . . ai , N Ti bi . . . aN , N TN bN Matriisin kääntäminen tai Gauss-Seidel ratkaisua varten Yhtälöt: sisäpuoli/reunat Epästationäärinen tila T 2T 2T c p k 2 k 2 q t x y x t t x TP c 2 TPt TEt TWt qx t t x x x Eksplisiittinen • etenee vaivattomasti • konvergenssikriteerit Implisiittinen • vaatii yhtälöryhmän ratkaisuja • stabiili 1-ulotteiset yhtälöt 1 Fo 2 it + t t + Δt t Δt it - 1 it i it +1 48