Stationääri 2D johtumisongelma – numeerinen ratkaisu

DEE-54000
Sähkömagneettisten
järjestelmien lämmönsiirto
2D stationääri johtumisongelma, numeerinen ratkaisu
1
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Stationääri 2D johtumisongelma –
numeerinen ratkaisu
Lämmönjohtumistehtävän tarkka ratkaiseminen on mahdollista, mikäli kappaleen geometria on säännöllinen ja
reunaehdot yksinkertaisia.
Numeeriset menetelmät




2
Elementtimenetelmä
Differenssimenetelmä
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Differenssimenetelmä
Numeerista ratkaisua haetaan alueen diskreeteistä
pisteistä.
Muodostetaan verkko ja
esitetään derivaatat erotusosamäärinä.


T
x
2
T
x2
m,n
3
m,n
m 1/ 2, n
T
y
m ,n 1/ 2
x
T
y
2
T
y2
m 1/ 2,n
T
x
m , n 1/ 2
y
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Differenssimenetelmä
T
x
T
y
T
y
T
y
4
Tm
Tm,n
1, n
m 1/ 2, n
x
m.n 1 / 2
Tm ,n
m , n 1/ 2
1, n
x
Tm ,n
Tm ,n
1
y
Tm ,n
y
T
x2
Tm
T
y2
Tm
1, n
2
2 Tm.n
x
Tm ,n
1
Tm ,n
m,n
y
1
2
2 Tm.n
Muodostetaan verkko siten,
että x = y
Tm,n
1
1, n
m,n
2
Tm ,n Tm
m 1/ 2,n
2
Tm
1
1, n
Tm,n
1
4 Tm,n
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Tm
0
1, n
’Molekyylimuoto’
Tm,n
1
Tm,n 1 Tm
Tm 1,n 4 Tm,n
1
1, n
0
1
4 1 T
0
1
Edellinen yhtälö on voimassa jokaiselle
alueen sisällä olevalle solmulle (lähteetön tapaus).
5
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Energiatasapaino
Ein
E g
0
4
q(i )
( m,n )
q ( x
y 1) 0
i 1
Kiinniteään lämpövirran
suunta solmuun päin.
q(i) → (m,n) edustaa lämmönjohtumista solmujen välillä,
syvyys kiinnitetty yhden yksikön suuruiseksi.
6
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Lämpötase
q( m
1, n )
( y 1)
q( m
1, n )
Tm
Tm ,n
1, n
Tm
1)
( m,n )
( x 1)
Tm ,n
q( m , n
Tm ,n
1, n
x
1)
Tm.n
1
y
x
( m,n )
( y 1)
7
q( m , n
( m,n )
( m ,n )
( x 1)
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Tm ,n
Tm ,n
1
y
Lämpötase
Sijoitetaan edelliset yhtälöt lämpötasapainoyhtälöön
Kun x = y


Tm,n
1
Tm,n
q ( x
8
1
y)
Tm
1, n
Tm
4 Tm,n
0
1, n
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Alueen reunalla olevat solmut

Kun alueen reunalla olevan
solmupisteen lämpötila on
tuntematon (eristetty pinta, konvektio jne.)

Energiatasapainoyhtälön
käyttö on välttämätöntä.
9
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Esimerkki
q( m
1, n )
q( m , n
q( m
1)
1, n )
q( m , n
1)
( m,n )
( m,n )
( y 1)
( x 1)
Tm
Tm ,n
1, n
Tm ,n
x
Tm ,n
1
y
Tm 1,n
y
1
2
Tm ,n 1
x
1
2
( m,n )
( m,n )
Tm ,n
x
Tm ,n
y
Konvektio
q(
10
)
( m,n )
h
x
1 T
2
Tm,n
h
y
1 T
2
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Tm,n
Esimerkki (Cont,)

Mikäli lämmönkehitystä ei
ole täytyy edellisten yhtälöiden summan olla nolla.
Kun x = y
(Tm
Tm
Tm,n )
1, n
(Tm,n
Tm,n
1, n
2
h xT
11
1
2
Tm ,n
0
:
Tm,n
1, n
Tm,n
1
h x
3Tm,n
T
1, n
Tm,n
Tm,n
1
0
Siis
Tm,n )
1
Tm,n
Tm
1
Tm
2
Tm
Tm,n
1, n
h x
T
1
3
1
Tm
2
h x
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
1, n
Tm,n
Tm,n
0
1
Harjoitus

Johda kuvan mukaisissa
tapauksissa alueen reunalla
olevan solmun lämpötilaa
kuvaava differenssiyhtälö.
12
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Esimerkki

1 m x 1m suuruista uunia
käytetään suprajohdemagneettien lämpökäsittelyn yhteydessä. Steady-state tilanteessa uunin kolme seinämää
pidetään 500 K:n lämpötilassa, yksi seinämä on ilmavirtauksessa, T∞ = 300 K ja h = 10
W/m2K. Määritä 2D lämpötilajakautuma ja pituusyksikköä kohti määritetty lämpövirta ilmavirtaukseen.
13
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen
Esimerkki

Puikkorivan, halkaisija d = 1 cm, pituus l = 5 cm, tyvi on
lämpötilassa 100 0C ja pää oletetaan eristetyksi. Laske
differenssimenetelmällä rivan siirtämä lämpövirta käyttämällä kuvaan merkittyjä solmuja.Vertaa tulosta ripateorian
antamaan tulokseen.
14
Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Risto Mikkonen