Fysiikka - MAFY

Transcription

Fysiikka - MAFY

www.mafyvalmennus.fi
Lääkisvalmennuskurssit — DI-valmennuskurssit — yo-valmennuskurssit
Fysiikka, syksy 2015
Mallivastaukset, 14.9.2015
Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu
Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFY-valmennuksen, jota ennen Teemu opetti 5 vuotta lukiossa ja Antti toimi tuntiopettajana TKK:lla. Nykyään he opettavat MAFY:n kursseilla
ympäri vuoden ja Antti vastaa Mafynetti-ohjelman kehityksestä. Muut mallivastaustiimin jäsenet ovat Sakke Suomalainen, Matti Virolainen ja Viljami
Suominen. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta.
MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, valmennuskursseihin sekä matematiikan ja luonnontieteiden opetukseen erikoistunut yritys. Palveluitamme
ovat
• lääketieteellisen valmennuskurssit
• DI-valmennuskurssit
• yo-kokeisiin valmentavat kurssit
• Mafynetti - sähköinen oppimateriaali.
Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla
ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä
voi odottaa.
Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta www.
mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty.
Lukion fysiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina
lukiokursseilla.
MAFY-valmennuksen yhteystiedot:
internet: www.mafyvalmennus.fi
s-posti:
info@mafyvalmennus.fi
puhelin: (09) 3540 1373
1. Tarkastellaan energian muuntamista muodosta toiseen tapahtumissa A, B ja
C. Tarkastellaan vain tapahtuman ilmenemisen kannalta oleellisia energianmuutoksia.
A. Kirja putoaa hyllyltä.
B. Paristoon kytketty hehkulamppu valaisee ja paristo tyhjenee.
C. Kuumailmapallon sisällä olevaa ilmaa lämmitetään nestekaasua polttamalla, jolloin pallo lähtee nousemaan.
Taulukossa on listattu nämä tapahtumat sekä energialajeja.
Kappaleen
liike-energia
Kappaleen
potentiaalienergia
Kemiallinen
energia (sisäenergia)
Säteilyenergia
A
B
C
Kopioi taulukko vastauspaperiisi ja merkitse jokaiseen taulukon ruutuun:
+, jos tapahtumassa syntyy kyseistä energialajia.
−, jos tapahtumassa häviää kyseistä energialajia.
0, jos tapahtumassa ei synny eikä häviä kyseistä energialajia.
Ratkaisu.
Kappaleen
liike-energia
A
B
C
+
0
+
Kappaleen
potentiaalienergia
−
0
+
Kemiallinen
energia (sisäenergia)
0
−
−
Säteilyenergia
0
+
+
0.5p /
ruutu
Lisäselitys: Tapahtumassa C nestekaasun kemiallinen energia vähenee sitä poltettaessa ja kaasun palaessa syntyy lämpösäteilyä.
1
2. Saturn V -rakettia käytettiin Apollo-ohjelmassa kantorakettina. Heinäkuun
16. päivänä vuonna 1969 Saturn V lähetti ensimmäisen ihmisen Kuuhun Apollo 11 -lennolla. Taulukko esittää Saturn V -raketin lentokorkeuden ja nopeuden
juuri laukaisun jälkeen.
h (m)
v (m/s)
0
0
4
4
13
7
32 55 83
12 16 20
103
23
a) Piirrä raketin nopeuden kuvaaja lentokorkeuden funktiona. (3 p.)
b) Määritä raketin nopeus, kun sen lentokorkeus on 76 m. (1 p.)
c) Määritä raketin keskikiihtyvyys aikavälillä 4,0 s . . . 6,0 s, jolloin raketti nousee korkeudelta 25 m korkeuteen 48 m. (2 p.)
Ratkaisu.
a)
3p
2
b) Kuvaajan perusteella raketin nopeus korkeudella 76 m on 19,2 m/s ≈ 19 m/s.
c) Kuvaajasta saadaan luettua, että raketin nopeus korkeudella 48 m on
15,0 m/s ja korkeudella 25 m nopeus on 10,2 m/s.
Keskikiihtyvyys oli siis
∆v
∆t
15,0 m/s − 10,2 m/s
=
6,0 s − 4,0 s
= 2,4 m/s2 .
1p
(4p)
1p
(5p)
ak =
1p
(6p)
3
3. Matti valmistaa mökkiolosuhteissa tiskivettä. Aluksi hän hakee sangolla 6,0
litraa järvivettä, jonka lämpötila on 19 ℃. Hän ottaa sangosta 1,2 litraa vettä
ja lämmittää sen vedenkeittimellä lämpötilaan 95 ℃. Keittimessä veden lämmitysaika on 230 s. Vedenkeittimen arvokilvessä ilmoitetaan vedenkeittimen
tehoksi 2,0 kW.
a) Laske vedenkeittimen hyötysuhde. Lämmönvaihtoa ympäristön kanssa ei
oteta huomioon.
b) Matti kaataa kuuman veden takaisin sankoon ja sekoittaa. Kuinka suuri
on tiskiveden loppulämpötila?
Ratkaisu.
m0 = 6,0 l · 0,99841 kg/l = 5,99046 kg
t0 = 19 ℃
m1 = 1,2 l · 0,99841 kg/l = 1,198092 kg
t1 = 95 ℃
t = 230 s
Potto = 2 000 W
a)
Panto
Potto
Q/t
η=
Potto
cvesi · m1 · (t1 − t0 )
η=
t · Potto
4,19 · 103 kgJ℃ · 1,198092 kg · (95 ℃ − 19 ℃)
η=
230 s · 2 000 W
η = 0,82939 . . . ≈ 83 %
η=
1p
1p
(2p)
1p
(3p)
4
b) Lämmin vesi luovuttaa yhtä suuren lämpömäärän kuin kylmä vesi vastaanottaa. Kylmän veden massa on
m2 = m0 − m1 = 5,99046 kg − 1,198092 kg = 4,792368 kg
Qluovutetut = Qvastaanotetut
1p
(4p)
Merkitään loppulämpötilaa t` :llä.
m2 (t` − t0 ) k : cvesi
− t` ) = cvesi
m1 t1 − m1 t` = m2 t` − m2 t0
(m
+ m )t = m1 t1 + m2 t0 k : m0
| 1 {z 2} `
m1 (t1
cvesi
1p
(5p)
=m0
m1 t1 + m2 t0
m0
1,198092 kg · 95 ℃ + 4,792368 kg · 19 ℃
t` =
5,99046 kg
t` = 34,2 ℃
t` ≈ 34 ℃
t` =
1p
(6p)
Pisteytyshuomio: Tehtävästä saa luultavasti myös täydet pisteet käyttämällä
veden tiheydelle arvoa 1,0 kg/l. Laskussa käytettiin tarkempaa arvoa, koska
taulukkokirjasta löytyy veden tiheydelle arvo juuri lämpötilassa 19 ℃.
5
4. Selitä lyhyesti värien synty seuraavissa tilanteissa.
a) Kun valkoinen valo osuu prismaan, ulos tulee suuntaa muuttanut viuhkamainen, monivärinen valo (kuva 1).
b) Vesilätäkön pinnalla kelluvassa öljyläikässä näkyy värejä (kuva 2).
Ratkaisu.
a) Valkoinen valo sisältää useita eri valon aallonpituuksia. Valkoisen luonnonvalon spektri on jatkuva sisältäen kaikkia näkyvän valon aallonpituuksia.
Kun valo osuu prisman ulkopintaan, se taittuu prisman sisään niin, että
taitekulma on pienempi kuin tulokulma. Prismasta ulos tullessaan valo
taittuu lisää, taittuen pinnan normaalista poispäin. Prisman muodosta
johtuen taittumiset tapahtuvat niin, että valo muuttaa suuntaansa prisman läpi kuljettuaan.
Valon taitekerroin tietyssä materiaalissa riippuu valon aallonpituudesta.
Aallonpituudeltaan pienimmän violetin valon taitekerroin on suurin ja se
myös taittuu voimakkaimmin, kun taas aallonpituudeltaan suurin punainen valo taittuu vähiten. Tästä seuraa, että prisman läpäistyään eri värinen valo taittuu eri verran ja siksi prisma hajottaa valkoisen valon kuvan
osoittamalla tavalla siten, että violetti valo taittuu eniten ja punainen
vähiten ja siksi nämä värit erottuvat viuhkan äärilaitoihin.
b) Veden pinnalla kelluva öljy muodostaa ohuen kalvon veden pinnalle. Kun
valo osuu kahden aineen rajapintaan, osa valosta taittuu ja osa heijastuu. Näin ollen kalvolle osuva valo heijastuu osin ylemmältä, ilman ja
öljyn väliseltä rajapinnalta ja osin alemmalta öljyn ja veden rajapinnalta. Ylemmältä ja alemmalta rajapinnalta heijastuneet valonsäteet voivat
interferoida vahvistavasti tai heikentävästi.
Näistä kahdesta pinnasta peräisin oleva heijastunut valo on hieman eri vaiheessa kahdesta syystä: Ensinnäkin alemmasta pinnasta heijastunut valo
6
1p
1p
(2p)
1p
(3p)
1p
(4p)
on kulkenut pidemmän matkan kuin ylemmästä heijastunut ja toisaalta
ylemmästä pinnasta heijastunut valo on kokenut puolen aallonpituuden
vaihesiirron, koska heijastuminen on tapahtunut aalto-opillisesti tiheämmästä aineesta, kun ilmasta tuleva valo kohtaa öljyn. Näin ollen, mikäli matkaero on puoli aallonpituutta, on vaihe-ero yhteensä kokonainen
aallonpituus ja heijastuneet valot interferoivat vahvistavasti. Vastaavasti
voidaan päätellä, että vahvistava interferenssi syntyy myös, kun matkaero rajapinnalta toiselle ja takaisin on 1½, 2½ tai yleisesti (k + ½) kertaa
aallonpituus, jossa k on kokonaisluku. Ylhäältä katsottaessa valo heijastuu pinnasta likimain kohtisuorasti, jolloin matkaero on on kaksi kertaa
öljykalvon paksuus.
Pisteytyshuomio: Tästä kohdasta saa luultavasti täydet pisteet hieman
epätarkemmallakin selityksellä.
Se, täyttyykö edellä mainittu ehto vahvistavalle interferenssille riippuu siis
öljykalvon paksuudesta ja valon aallonpituudesta. Koska öljykalvon paksuus vaihtelee eri kohdissa läiskää, syntyy vahvistava interferenssi tietyssä
kohdassa aina tietylle aallonpituudelle ja pinta näyttää eri kohdista eri
väriseltä.
7
1p
(5p)
1p
(6p)
5. Huvipuistossa liikkuva minijuna koostuu veturiautosta sekä kahdesta ihmisiä
kuljettavasta vaunusta. Juna lähtee liikkeelle kiihtyvyydellä 0,32 m/s2 kuvassa
esitettyyn suuntaan. Veturiauton massa kuljettajineen on 650 kg, ja yhden
vaunun massa matkustajineen on 750 kg.
a) Piirrä kolme kuviota, joista ilmenevät veturiautoon sekä molempiin vaunuihin vaikuttavat voimat liikkeelle lähdettäessä. Ilmanvastusvoimaa ja
vierimiskitkaa ei huomioida.
b) Kuinka suuret vaakasuuntaiset voimat vaikuttavat vaunuun A, kun juna
lähtee liikkeelle?
Ratkaisu.
a)
Veturiin vaikuttaa pystysuunnassa sen oma painovoima GV ,
sekä pyöriin kohdistuvat tukivoimat N V1 ja N V2 , joiden
summa on painovoiman suuruinen. Vaakasuunnassa veturiin
vaikuttaa kiihdyttävä kitkavoima F µ sekä veturin ja vaunun
A välinen vetävä voima TVA .
Veturi:
1p
8
Vaunu A:
Vaunuun A vaikuttaa pystysuunnassa sen painovoima GA
sekä pyöriin kohdistuvat tukivoimat N A1 ja N A2 , joiden
summa on vaunun painovoiman suuruinen. Vaakasuunnassa vaunuun A vaikuttaa veturin siihen kohdistama vetävä
voima T AV (TAV = TVA ) sekä vaunun B siihen kohdistama
vetävä voima T AB .
1p
(2p)
Vaunu B:
Vaunuun B vaikuttaa pystysuunnassa sen painovoima GB
sekä pyöriin kohdistuvat tukivoimat N B1 ja N B2 , joiden
summa on vaunun painovoiman suuruinen. Vaakasuunnassa vaunuun B vaikuttaa ainoastaan vaunun A siihen kohdistama vetävä voima T BA . (TBA =
TAB )
Pisteytyshuomio: Aivan näin tarkkoja selityksiä tuskin vaaditaan täysiin
pisteisiin. Kuvasta voi saada osapisteitä, jos virhe on vähäinen.
b) Vaunun B vaunuun A kohdistama vetävä voima TAB on Newtonin III lain
nojalla yhtä suuri kuin vaunun A vaunuun B kohdistama vetävä voima
TBA .
Vaunun B massa on mB = 750 kg ja kiihtyvyys a = 0,32 m/s2 , joten
Newtonin II lain mukaisesta liikeyhtälöstä vaunulle B saadaan
TBA = mB a
= 750 kg · 0,32 m/s2
= 240 N.
1p
(3p)
0.5p
(3.5p)
1p
(4.5p)
9
Myös vaunun A massa on mA = 750 kg ja kiihtyvyys a = 0,32 m/s2 , joten
Newtonin II lain mukaisesta liikeyhtälöstä vaunulle A saadaan
T AV + T AB = mA a
TAV − TAB = mA a
TAV = TAB + mA a
= 240 N + 750 kg · 0,32 m/s2
= 480 N.
1.5p
(6p)
Vastaus: Vaunuun A vaikuttaa veturin siihen kohdistama vetävä 480 N
suuruinen voima kiihtyvyyden suuntaan ja vaunun B siihen
kohdistama vetävä 240 N suuruinen voima kiihtyvyyden kanssa
vastakkaiseen suuntaan.
10
6. Lapsen keinuessa keinun heilahduksen suurin poikkeama tasapainoasemasta
on 45°. Keinun köydet ovat 2,5 m pitkät. Määritä lapsen nopeuden ja kiihtyvyyden suuruudet hetkellä, jolloin keinu on
a) ääriasemassa
b) tasapainoaseman kohdalla.
Keinua ja lasta voidaan mallintaa köysien pituisella matemaattisella heilurilla.
Ratkaisu. Mallinnetaan tehtävänannon mukaisesti keinua ja lasta matemaattisella heilurilla, jonka pituus on ` = 2,5 m.
a) Ääriasemassa heilurin nopeus on hetkellisesti nolla. Piirretään keinuvan
lapsen voimakuvio ja jaetaan voimat langan suuntaisiin ja lankaa vastaan
kohtisuoriin komponentteihin.
1p
Tehtävänannon mukaan ääriasemassa α = 45°. Painovoiman komponentit
ovat
Gy = cos(α)G
Gx = sin(α)G.
Lanka ei veny ja keinuvan lapsen nopeus on hetkellisesti nolla, joten keskeiskiihtyvyys an = v 2 /` on nolla, eli langan suuntaista kiihtyvyyttä ei
ole.
11
1p
(2p)
Lankaa vastaan kohtisuorassa suunnassa keinuvaan lapseen vaikuttaa ainoastaan painovoiman komponentti Gx , joten Newtonin II lain nojalla:
Gx = ma
Gx = ma k Sij. Gx = sin(α)G
sin(α)G = ma k Sij. G = mg
=
sin(α)
mg
ma
a = sin(α)g
= sin(45°) · 9,81 m/s2
= 6,9367 . . . m/s2
≈ 6,9 m/s2
1p
(3p)
Vastaus: Ääriasemassa keinuvan lapsen nopeus on nolla ja kiihtyvyys
on 6,9 m/s2 .
b) Tasapainoaseman kohdalla lanka on pystysuorassa.
Kuvan geometriasta saadaan:
`−h
k·`
`
` cos(α) = ` − h
h = ` − ` cos(α)
h = `(1 − cos(α)).
cos(α) =
1p
(4p)
12
Mekaaninen energia säilyy heilahduksessa:
Ep1 + Ek1 = Ep2 +Ek2
|{z}
|{z}
0
0
1 2
2
= mv
k·
2
m
v 2 = 2gh k Sij. h = `(1 − cos(α))
v 2 = 2g`(1 − cos(α))
mgh
+)
v = = (−
q
=
q
2g`(1 − cos(α))
2 · 9,81 m/s2 · 2,5 m · (1 − cos(45°))
= 3,790305 . . . m/s
≈ 3,8 m/s.
1p
(5p)
Piirretään voimakuvio tasapainoasemassa:
Keinuvaan lapseen ei vaikuta vaakasuuntaisia voimia, joten vaakasuuntaista kiihtyvyyttä ei ole. Koska lapsi on ympyräliikkeessä, sillä on langan suuntaan
keskeiskiihtyvyys an .
v2
`
(3,790305 . . . m/s)2
=
2,5 m
= 5,746564 . . . m/s2
≈ 5,7 m/s2 .
an =
Vastaus: Tasapainoaseman kohdalla keinuvan lapsen nopeus on 3,8 m/s ja
kiihtyvyys on 5,7 m/s2 .
13
1p
(6p)
7. Kuva 1 esittää tasavirtapiirin (kuva 2) potentiaalin kuvaajan. Vastuksien resistanssit ovat R1 = 2,0 Ω ja R2 = 14 Ω. Vastaa perustellen seuraaviin kysymyksiin. Kuinka suuri on
a) jännitelähteen napajännite
b) jännitelähteen sisäinen resistanssi
c) piirin virta?
Ratkaisu.
R1 = 2,0 Ω
R2 = 14 Ω
a) Jännitelähteen napajännite on
UBA = VB − VA .
1p
Potentiaalin kuvaajasta luetaan
VA = 0 V,
VB = 8,0 V.
Siten
UBA = 8,0 V − 0 V = 8,0 V.
1p
(2p)
b) Edellisen kohdan perusteella
UBA = 8,0 V.
Siten vastusten R1 ja R2 sarjaankytkentä on jännitteessä UBA ja Ohmin
laista saadaan virtapiirissä kulkeva virta I seuraavasti:
14
1p
(3p)
UBA = (R1 + R2 )I
UBA
I=
R1 + R2
8,0 V
I=
2,0 Ω + 14 Ω
I = 0,50 A
1p
(4p)
Potentiaalin kuvaajasta luetaan lähdejännitteen E arvo. Jännitelähde on
ainoa komponentti, jossa potentiaali kasvaa tarkastelusuunnassa, joten
potentiaalikuvaajassa tämä tapahtuu heti kuvaajan alussa. Siten
E = 9,0 V.
1p
(5p)
Napajännite on
UBA = E − RS I
RS I = E − UBA
E − UBA
RS =
I
9,0 V − 8,0 V
RS =
0,50 A
RS = 2,0 Ω
1p
(6p)
c) Piirin virta on b-kohdan perusteella
I = 0,50 A
Pisteytyshuomio: Kohdan c kahteen pisteeseen oikeuttavat laskut tehtiin
jo kohdassa b.
15
8. Tyhjässä käämissä kulkee tasavirta. Magneettivuon tiheys mitataan käämin
pään läheltä anturilla A.
a) Käämin sisälle laitetaan rautatanko. Magneettivuon tiheys mitataan samasta kohdasta. Millä tavoin mittaustulos eroaa tyhjän käämin tuloksesta? Perustele. (3 p.)
b) Käämin sisälle vaihdetaan alumiinitanko. Magneettivuon tiheys mitataan
samasta kohdasta. Millä tavoin mittaustulos eroaa tyhjän käämin ja akohdan tuloksista? Perustele. (2 p.)
c) Miten a-kohdan tulos muuttuisi, jos rautatanko olisi 850 ℃:n lämpötilassa? (1 p.)
Ratkaisu.
a) Kun käämin sisälle laitetaan rautatanko, mitattu magneettikenttä vahvistuu merkittävästi.
Rauta on ferromagneettinen aine, jonka suhteellinen permeabiliteetti on
puhtaudesta ja olosuhteista riippuen monisatakertainen tai jopa monituhatkertainen verrattuna ilmaan. Ilman suhteellinen permeabiliteetti on
hyvällä tarkkuudella 1, eli sama kuin tyhjiössä.
Permeabiliteetti kuvaa sitä, kuinka paljon ferromagneettinen aine magnetoituu ulkoisen kentän vaikutuksesta, eli toisin sanoen kuinka paljon se
vahvistaa ulkoista kenttää.
b) Alumiini ei ole ferromagneettinen aine, mutta se on paramagneettinen ja
vahvistaa siten hieman ulkoista magneettikenttää. Sen magneettinen suskeptiivisuus κ on 2,08 · 10−5 (taulukkokirjasta), joten sen suhteellinen perLääkisvalmennuskurssit — DI-valmennuskurssit — yo-valmennuskurssit
16
1p
1p
(2p)
1p
(3p)
mabiliteetti µr = 1 + κ = 1, 0000208 (taulukkokirjan kaava), eli likimain
sama kuin tyhjiöllä.
Myös ilma on paramagneettista ainetta johtuen siinä olevasta hapesta,
tosin ilman permeabiliteetti on vielä lähempänä arvoa 1 kuin alumiinilla. Alumiinilla saadaan siis periaatteessa suurempi magneettikenttä kuin
ilmalla, mutta ero ilmaan nähden on niin pieni, että mittaustarkkuuden
vuoksi saadaan luultavasti sama mittaustulos. A-kohdan tapaukseen verrattuna mittaustulos on huomattavasti pienempi (a-kohdassa saatu tulos
on satoja tai tuhansia kertoja suurempi kuin alumiinitangolla tai ilmalla).
c) Raudan Curie-lämpötila on 770 ℃ (taulukkokirjasta), joten 850 ℃ lämpötilassa rauta ei ole enää ferromagneettista, vaan muuttuu paramagneettiseksi. Tämä tarkoittaa sitä, että raudan rakenneosasten magneettisten
momenttien suunnat sekoittuvat ja raudan magnetoituma katoaa lähes
täysin. Näin ollen 850 ℃ lämpötilassa mitattu magneettikenttä on likimain samansuuruinen kuin siinä tapauksessa, että käämin sisällä olisi vain
ilmaa.
17
1p
(4p)
1p
(5p)
1p
(6p)
9. a) Selitä radiohiiliajoituksen (C–14-menetelmä) periaate.
b) Janakkalassa sijaisevasta muinaisesta ruumishaudasta löytyi vuonna 2013
vainajan lisäksi kaksi miekkaa. Toinen miekka ajoitettiin viikinkiajalle
vuosille 950–1050, ja toinen miekka oli ristiretkiaikainen vuosilta 1050–
1200. Haudan ikä määritettiin radiohiiliajoituksella. Vainajan olkavarresta otetun luunäytteen 14C- ja 12C-ytimien lukumääräsuhde (isotooppisuhde) oli 1,12 · 10−12 . Miltä vuosisadalta hauta oli peräisin, kun tiedetään,
että vastaava isotooppisuhde elävässä kudoksessa on 1,22 · 10−12 ? Olisiko
tapahtunut virhe, jos hauta ja vainaja olisi ajoitettu pelkästään esinelöytöjen perusteella?
Ratkaisu.
a) Hiili-14-isotooppi syntyy kosmisen säteilyn osuessa ilman typpi-14-isotooppiin. Radiohiiliajoitus perustuu oletukseen, että kosmisen säteilyn ja
typen määrä ovat pysyneet vakioina ja näin ollen eri aikakausina ilmassa
on ollut vakiomäärä C-14-isotooppia. Ilmasta C-14 on kertynyt kasveihin ja edelleen eläimiin, joissa sitä on ollut eliöiden elinaikana samassa
suhteessa C-12-isotooppiin nähden kuin ilmakehässäkin.
Kun eliö kuolee, sen hiiliaineenvaihdunta lakkaa ja C-14-isotoopin osuus
kääntyy laskuun, koska C-14 on radioaktiivinen ja hajoaa hitaasti ajan
kuluessa.
Näytteen ikä voidaan laskea näytteen C-14-isotoopin ja C-12-isotoopin
määrien suhteen perusteella tai näytteen C-14-aktiivisuuden perusteella.
Lisäselitys: Kosmisen säteilyn määrä ei tosiasiassa ole pysynyt vakiona eri
aikakausina ja sen vuoksi radiohiilimenetelmään on laadittu korjaustaulukoita, joiden avulla saadaan tarkempi arvio näytteen iästä.
b) Merkitään
N12 on 12C:n määrä näytteessä,
N14a on 14C:n määrä näytteessä kuolinhetkellä,
N14` on 14C:n määrä näytteessä mittaushetkellä.
18
1p
1p
(2p)
1p
(3p)
Hajoamislaista saadaan
N14` = N14a e−λt
λt
e
· N
14`
Hajoamislaista:
N14a
k ln()
N14`
N14a
λt = ln
k:λ
N14`
1 N14a
·
Sijoitetaan λ =
t = ln
N14`
λ T1/2
N14a
t = ln
·
N14`
ln 2
0.5p
(3.5p)
eλt =
ln 2
T1/2
(1)
0.5p
(4p)
(2)
0.5p
(4.5p)
Toisaalta
N14a /
N
12
=
N12
N14` /
N14a
=
N14`
−12
1,22 · 10
−12
1,12 · 10
1,22
1,12
Sijoitetaan (2) ja T1/2 = 5730 a yhtälöön (1).
!
5730 a
1,22
·
t = ln
1,12
ln 2
t = 706,98 . . . a
0.5p
(5p)
Kuolinvuosi on 2013 − 706,98 . . . = 1306,01 . . . ≈ 1310.
0.5p
(5.5p)
Vastaus: Hauta on peräisin 1300-luvulta. Vainajan mukana haudatut esineet
ovat annettujen tietojen perusteella yli sata vuotta vanhempia kuin vainaja,
joten esineiden iän perusteella olisi tehty todellista vanhempi ikäarvio
haudalle.
0.5p
(6p)
19
10. Suorakulmainen, L-kirjaimen muotoinen kappale on valmistettu ohuesta, lujasta teräslevystä. Kappale on kuvan mukaisesti vaakasuoralla alustalla. Alustassa on matala koroke, joka estää kappaletta liukumasta. Kappaleen massa
on 5,5 kg, pystysuoran osan korkeus on 62 cm ja vaakasuoran osan pituus
on 31 cm. Levyn hitausmomentti akselin A suhteen on 0,529 kgm2 . Sylinterin muotoinen luoti (massa 10,2 g, pituus 16,7 mm ja nopeus 235 m/s) osuu
kuvan esittämällä tavalla kappaleen pystyosan keskipisteeseen. Törmäys on
kimmoton. Luoti hidastuu tasaisesti ja litistyy ohueksi kiekoksi, joka ei tartu
kappaleeseen.
a) Oletetaan, että kappaleen mahdollinen liike törmäyksen aikana on hyvin
vähäinen. Kuinka suuren voiman luoti kohdistaa kappaleeseen?
b) Osoita, että kappale kallistuu osuman vaikutuksesta.
Ratkaisu.
a) Kuva luodin törmäyksestä teräslevyyn:
20
s = 0,0167 m
v0 = 235 m/s
m` = 0,0102 kg
Tehtävänannon mukaan teräslevyn voidaan katsoa pysyvän (likimain) paikallaan ja törmäyksen lopuksi luoti on litistynyt ohueksi, jolloin luodin hidastuminen pysähdyksiin tapahtuu likimain matkalla s kuvan mukaisesti. Edelleen, koska hidastuminen on tehtävänannon mukaan tasaista, on
keskinopeus
v0
v0 + 0
= .
vk =
2
2
Hidastumiseen kulunut aika ∆t on
∆t =
s
2s
=
vk
v0
(1)
Hidastumisen aikana teräslevy vaikuttaa luotiin vakiovoimalla F .
21
1p
Tällöin impulssiperiaatteella
F ∆t = m` ∆v k : ∆t
m` ∆v
F =
k Sijoitetaan (1)
∆t
m` [0 − (−v0 )]
F =
2s/v0
2
m` v0
F =
2s
0,0102 kg · (235 (m/s))2
F =
2 · 0,0167 m
F = 16 865,119 . . . N
F ≈ 16,9 kN
1p
(2p)
1p
(3p)
b) Oheinen kuva esittää L-kappaleeseen vaikuttavia voimia, kun luoti osuu
pystyosan keskipisteeseen. Voima F on luodin teräslevyyn kohdistama voima ja G1 L-kappaleen vaakaosan gravitaatiovoima.
0,31 m
= 0,155 m
2
0,62 m
r2 =
= 0,31 m
2
F = 16 865,119 . . . N (a-kohta)
mL = 5,5 kg
r1 =
Oletetaan levy tasapaksuksi ja homogeeniseksi. Tällöin levyn vaakaosan
massa m1 on verrannollinen vaakaosan pituuteen. Kun mL on koko L-
22
1p
(4p)
kappaleen massa, saadaan:
m1
`1
=
mL
`L
m1
2r1
=
k · mL
mL
2r1 + 2r2
2r1
m1 =
· mL
2r1 + 2r2
r1 mL
m1 =
r1 + r2
0,155 m · 5,5 kg
m1 =
0,155 m + 0,31 m
m1 = 1,8333 . . . kg
1p
(5p)
Kappale kallistuu, jos momenttien summa akselin A suhteen on suurempi
kuin nolla. Siis
X
MA = F r2 − G1 r1
= F r2 − m1 gr1
= 16 865,119 . . . N · 0,31 m − 1,8333 . . . kg · 9,81 m/s2 · 0,155 m
= 5 225,399 . . . Nm
>0
Siten kappale kallistuu osuman vaikutuksesta.
1p
(6p)
23
11. Ilmatäytteiset levykondensaattorit A ja B sekä 9,0 V:n paristo on kytketty
kuvan mukaisesti. Kondensaattorit ovat muuten samanlaiset, mutta A:n ilmaraon leveys on 1,2 mm ja B:n ilmaraon leveys on 2,4 mm. Kondensaattorin
A kapasitanssi on 15 pF. Alkutilanteessa kondensaattorit ovat varaamattomia.
a) Vaihtokytkin käännetään vasemmalle, jolloin kondensaattori A kytkeytyy
paristoon. Odotetaan, kunnes sähkövirta piirissä lakkaa. Kuinka suuria
ovat tällöin kondensaattorin A varaus ja energia?
b) Piirrä kenttäviivaesitys sähkökentästä, joka vallitsee kondensaattorin A
levyjen välissä. Kuinka suuri on tämän sähkökentän voimakkuus?
c) Vaihtokytkin käännetään oikealle (katkoviiva), jolloin kondensaattori A
ensin kytkeytyy irti paristosta ja sitten kytkeytyy kondensaattoriin B.
Odotetaan, kunnes sähkövirta piirissä lakkaa. Kuinka suuri on kondensaattorin A jännite, kondensaattorin B jännite ja kondensaattorien energioiden summa?
Ratkaisu.
U
dA
dB
CA
QA,alku
= 9,0 V
= 1,2 · 10−3 m
= 2,4 · 10−3 m
= 15 · 10−12 F
= QB,alku = 0 C
a) Kondensaattorilaista saadaan
Q
U
Q = CA U
Q = 15 · 10−12 F · 9,0 V
Q = 1,35 · 10−10 C
Q ≈ 0,14 nC
CA =
1p
24
Energia
1
E = CA U 2
2
1
E = · 15 · 10−12 F · (9,0 V)2
2
E = 6,075 · 10−10 J
E ≈ 0,61 nJ
1p
(2p)
b)
1p
(3p)
Sähkökenttä levyjen välissä on likimain homogeeninen, joten
U = EA dA k : dA
U
EA =
dA
9,0 V
EA =
1,2 · 10−3 m
V
EA = 7 500
m
1p
(4p)
c) Selvitetään B:n kapasitanssi CB . A ja B olivat ilmaraon leveyttä lukuu-
25
nottamatta identtiset, joten
A
ε0
εr d
CB
B
=
A
CA
ε0
εr d A
dA
CB
=
k · CA
CA
dB
dA C A
CB =
dB
1,2 · 10−3 m · 15 · 10−12 F
CB =
2,4 · 10−3 m
CB = 7,5 · 10−12 F
Nyt CA ja CB muodostavat virtapiirin:
kondensaattorit A ja B on siis kytketty rinnan, jolloin
UA = UB .
(1)
Ennen vaihtokytkimen kääntämistä CA :lla oli a-kohdan perusteella varaus
Q = 1,35 · 10−10 C ja CB oli varaukseton. Kokonaisvaraus säilyy, joten
26
0.5p
(4.5p)
Qalku = Qloppu
Q + 0 = QA + QB
Q = CA UA + CB UB k sijoitetaan (1)
Q = (CA + CB )UA k : (CA + CB )
Q
UA =
CA + CB
1,35 · 10−10 C
UA =
15 · 10−12 F + 7,5 · 10−12 F
UA = 6,0 V
UB = 6,0 V
1p
(5.5p)
Energioiden summa
1
1
EA + EB = CA UA2 + CB UB2
2
2
1 2
= UA (CA + CB )
2
1
= (6,0 V)2 (15 · 10−12 F + 7,5 · 10−12 F)
2
= 4,05 · 10−10 J
≈ 0,41 nJ
0.5p
(6p)
27
+12. Tähdet syntyvät kaasusta ja pölystä. Millainen on tähtien elinkaari? Käsittele vastauksessasi erikseen suuren ja pienen tähden elinkaarta. Millainen on
Auringon elinkaari?
Ratkaisu.
Gravitaatio kerää pölyä ja kaasua yhteen. Mitä suurempi kasautuma on syntynyt, sitä voimakkaammin se vetää lisää ainetta puoleensa. Kun ainetta on
kasaantunut tarpeeksi paljon ja tarpeeksi tiheäksi, gravitaatio aiheuttaa sisimmissä osissa suuren paineen ja lämpötilan nousun.
1p
Tässä on kaksi vaihtoehtoa, mitä voi tapahtua:
• Jos aineessa ei ole tarpeeksi vetyä, on mahdollista, ettei vedyn fuusioituminen pääse alkamaan ja tällöin tähti jää kehityksen esivaiheeseen.
• Jos aineessa on riittävästi vetyä, se alkaa fuusioitua ja tähti alkaa säteillä
fuusiosta vapautunutta energiaa. Tätä kutsutaan tähden syttymiseksi.
Tähden syttyessä vedyn fuusiosta vapautuva säteily aiheuttaa tähden aineeseen ulospäin työntävän paineen (säteilypaine), joka vastustaa gravitaation
aiheuttamaa kokoonpuristumista. Tähti asettuu tasapainotilaan, jossa säteilypaineen ja gravitaation vaikutus on yhtä suuri. Tätä vaihetta kutsutaan
pääsarjan tähdeksi. Jos tähti on suuri, vedyn fuusiota tapahtuu kiivaammin
ja tähden elinaika on näin ollen lyhyempi kuin pienemmän tähden. Aurinko
on keskikokoinen, noin viisi miljardia vuotta vanha pääsarjan tähti, joka on
nyt noin elinkaarensa puolivälissä.
Kun pääsarjan tähti on kuluttanut suuren osan vedystään, vedyn fuusion aiheuttama säteilypaine ei riitä vastustamaan gravitaatiota ja tähden ainetta
romahtaa syvemmälle tähden sisään. Tämä johtaa siihen, että suuri määrä
vetyä siirtyy nopeasti alueelle, jossa lämpötila on riittävä vedyn fuusioon ja
fuusioitumistahti kiihtyy valtavasti. Tästä seuraavan verrattain äkillisen, suuren säteilypaineen nousun ansiosta tähti laajenee punaiseksi jättiläiseksi.
Kun punaisen jättiläisen säteilypaine heikkenee vedyn määrän vähetessä, se
romahtaa kasaan. Tämä voi johtaa tähden massasta riippuen erilaisiin vaihtoehtoihin:
• Jos tähden massa on riittävän pieni, romahduksessa sen uloimmat osat
leviävät avaruuteen ja sen sisäosa muodostaa valkoisen kääpiön. Lisäselitys: Valkoisessa kääpiössä elektronit, protonit ja neutronit ovat plasmamuodossa. Kun elektronit puristuvat tarpeeksi tiheästi lähekkäin, ne
aiheuttavat puristumista vastustavan paineen, jonka ansiosta valkoinen
28
2p
(3p)
1p
(4p)
kääpiö ei luhistu enempää. Valkoisessa kääpiössä ei tapahdu enää fuusioreaktioita, mutta sen aines on kuumaa ja säteilee.
• Jos tähden massa on riittävän suuri, sen romahtaessa se räjähtää lämpötilan äkillisen kasvun takia voimakkaana supernovaräjähdyksenä.
Supernovaräjähdyksen seurauksena jäljelle jäänyt aines voi romahtaa niin tiiviiksi, ettei valkoisen kääpiön tapauksessa vaikuttava elektronien aiheuttama
paine riitä pitämään tähteä kasassa. Tällöin elektronit ja protonit muodostavat neutroneja ja syntyy neutronitähti, joka on äärimmäisen tiheä, suurelta
osin neutroneista koostuva taivaankappale.
Jos supernovana räjähtävän tähden massa on erittäin suuri, se voi romahtaa
mustaksi aukoksi. Musta aukko on vielä neutronitähteäkin tiheämpi taivaankappale, josta edes valo ei pääse karkuun.
29
2p
(6p)
2p
(8p)
1p
(9p)
+13. Atomien rakenteen selvittämisen kannalta eräs keskeinen koe on Franckin ja
Hertzin koe. Koelaitteena toimii kuvan 1 mukainen elohopeahöyryllä täytetty
kaasupurkausputki. Kokeessa putken katodilta K irrotettuja elektroneja kiihdytetään kohti metalliverkkoa G kiihdytysjännitteellä U. Elektronit kulkevat
elohopeahöyryn lävitse, jolloin ne törmäävät elohopea-atomeihin. Elektronit
kerätään koelaitteen anodille A. Piirin virtamittarilla havaitaan sähkövirta.
Kokeessa elektronien kiihdytysjännitettä kasvatetaan asteittain, jolloin sähkövirta muuttuu kuvan 2 mukaisesti.
Kun saavutetaan ensimmäinen sähkövirran huippuarvo, elohopeahöyryn havaitaan lähettävän ultraviolettisäteilyä. Ultaviolettisäteilyllä on tietty aallonpituus. Kiihdytysjännitettä kasvatettaessa ultraviolettisäteilyn aallonpituus
pysyy samana.
a) Mitä kokeessa tapahtuu elohopea-atomeille ja miten mitatun virran vaihtelut selittyvät? Mitä koe kertoo elohopea-atomin rakenteesta? (6 p.)
b) Laske kuvan 2 avulla ultraviolettisäteilyn aallonpituus. (3 p.)
Ratkaisu.
Huom! Tämän tehtävän ratkaisu on lukijan ymmärtämisen helpottamiseksi kirjoitettu varsin yksityiskohtaisesti ja runsassanaisesti. Täysien pisteiden
saamiseen riittäisi reilusti tiiviimpi vastaus, kunhan siitä käyvät ilmi oleelliset
kohdat.
a)
Virran kasvu ennen ensimmäistä pudotusta.
Vastajännite Ug aiheuttaa välille G-A saapuviin elektroneihin voiman, jonka suunta on A:sta G:hen päin ja kyseinen voima siis jarruttaa elektroneja
30
ja pyrkii palauttamaan ne takaisin verkolle G. Jos elektronin liike-energia
kohdassa G on pienempi kuin vastajännitteen Ug siihen tekemä jarrutustyö välillä G-A, elektronin ei ole mahdollista päästä anodille A. Jos taas
liike-energia on suurempi kuin em. jarrutustyö, on elektronien mahdollista
saavuttaa anodi A.
Nopeuden suunta voi poiketa akselin suunnasta jo verkolle saapuessa tai
muuttua elektronin törmätessä elohopea-atomeihin. Mitä suurempi liikeenergia on, sitä todennäköisemmin elektroni saavuttaa A:n siitä huolimatta, että sen liikesuunta ei ole putken akselin suuntainen. Näin ollen kiihdytysjännitteen U kasvaessa, virta välillä G-A kasvaa, mikä näkyy myös
kuvan 2 kuvaajassa.
Toinen tekijä elektronien nopeuden lisäksi, joka vaikuttaa virran suuruuteen, on katodilta irtoavien elektronien määrä aikayksikössä. Katodilla
olevilla elektroneilla on lämpöliikkeestä johtuen erilaisia nopeuksia ja irtoaminen tapahtuu, kun elektroni saa sellaisen nopeuden, että sen liikeenergia riittää karkaamiseen pinnan vuorovaikutuksen piiristä. Suuremmalla kiihdytysjännitteellä elektroniin vaikuttaa voimakkaampi kiihdyttävä sähkökenttä, joten useampi elektroni pääsee irtoamaan, sillä sähkökentän ansiosta irtoamiseen tarvittavan, lämpöliikkeestä johtuvan nopeuden ei tarvitse olla niin suuri.
Viimeksi selitetty ilmiö määrää sen, kuinka paljon elektroneja aikayksikössä lähtee pisteestä K pisteeseen G. Elektronien liike-energia taas määrää
sen, mikä osuus näistä elektroneista pääsee verkolta G edelleen anodille
A. Näiden yhteisvaikutus määrää, kuinka suuri virta pisteeseen A tulee.
1p
Mitä elohopea-atomeille tapahtuu?
Niin kauan kun elektronien liike-energiat ovat riittävän pieniä, ovat törmäykset elohopea-atomeihin likimain kimmoisia. Elohopea-atomilla on
erilaisia viritystiloja, joita vastaavat tietyn suuruiset energiat. Kun elektronin liike-energia saavuttaa matalimman viritystilan energiaa vastaavan
arvon, elektroni kykenee virittämään elohopea-atomin. Kun elektroni virittää elohopea-atomin, se luovuttaa osan energiastaan atomille, jolloin
törmäys on kimmoton. Viritystilan purkautuessa törmäyksessä menetetty määrä energiaa vapautuu emittoituvana fotonina, eikä siten palaudu elektronien liike-energiaksi. Näin ollen elektronisuihku menettää liikeenergiaansa ultraviolettisäteilyn muodossa, kun yksittäisten elektronien
liike-energiat saavuttavat elohopea-atomin matalinta viritystilaa vastaavan arvon.
31
1p
(2p)
Virran yhtäkkinen putoaminen
Virran kuljettajina toimivat elektronit törmäävät hyvin epätodennäköisesti toisiinsa ja törmäykset tapahtuvat lähinnä elektronien ja elohopeaatomien välillä. Niin kauan kun törmäykset pysyvät kimmoisina, elektronien nopeudet eivät juurikaan muutu niiden törmätessä massaltaan paljon suurempiin atomeihin. Sen vuoksi tietyssä kohtaa välillä K-G olevat
elektronit liikkuvat likimain yhtä suurilla nopeuksilla, koska ainoa vauhtia
oleellisesti muuttava tekijä on kiihdyttävä sähkökenttä.
Riittävän suurella kiihdytysjännitteellä elektronien liike-energiat kasvavat
jossakin kohtaa välillä K-G yhtä suuriksi kuin elohopea-atomin alimman
viritystilan energia. Tästä kohdasta eteenpäin alkaa vyöhyke, jolla tapahtuu suuri määrä kimmottomia törmäyksiä ja elektronien keskimääräinen
liike-energia romahtaa niiden virittäessä elohopea-atomeja. Tämä näkyy
kuvassa 2 ensimmäisen kerran kohdassa 4,8 V virran romahduksena.
Kiihdytysjännitteen arvolla 4,8 V em. kimmottomien törmäysten vyöhyke on lähellä verkkoa G ja siellä tapahtuu nopeuksien romahdus. Kun
kiihdytysjännitettä kasvatetaan, siirtyy vyöhyke kohti katodia K ja elektronit ehtivät siis kerätä romahduksen jälkeen uudestaan nopeutta, kun ne
liikkuvat mainitulta vyöhykkeeltä edelleen verkolle G.
32
Suurempi liike-energia verkolla G näkyy virran kasvuna, joka voidaan havaita kuvassa 2 kohdan 4,8 V jälkeen. Kun kiihdytysjännitettä kasvatetaan
edelleen, siirtyy kimmottomien törmäysten vyöhyke välin K-G puoliväliin
ja elektronit ehtivät kiihtyä verkolle G tultaessa uudestaan sellaiseen nopeuteen, jolla niiden liike-energia on matalinta viritystilaa vastaavan energian suuruinen. Tällöin verkon G eteen syntyy uusi vyöhyke, jossa tapahtuu kimmottomia törmäyksiä ja elektronien nopeudet romahtavat toisen
kerran välillä K-G.
33
Tämä näkyy kuvassa 2 virran laskuna kohdassa 9,8 V. Vastaava ilmiö toistuu taas kohdassa 14,8 V. Jokainen virran huippu ja pohja on edellistä suurempi, koska kuten aiemmin todettiin, suuremmalla kiihdytysjännitteen
arvolla katodilta K matkaan lähtevien elektronien määrä on suurempi.
2p
(4p)
Miksi virtamaksimit ovat toinen toistaan suurempia?
Vertaillaan esimerkiksi kiihdytysjännitteitä, joiden kohdalla saavutetaan
ensimmäinen ja toinen virran maksimi. Elektroneilla, jotka saapuvat kohtaan G on molemmissa tapauksissa keskimäärin yhtä suuri liike-energia,
joten likimain yhtä suuri osuus niistä pääsee anodille asti. Virta on kuitenkin toisen huipun kohdalla suurempi, sillä katodilta irtoaa enemmän
elektroneja, koska kiihdytysjännite ja sähkökentän voimakkuus ovat suuremmat.
1p
(5p)
Mitä koe kertoo?
Koe kertoo elohopeatomin rakenteesta, että sillä on ainakin yksi viritystila. Viritystilan energia on tietyn suuruinen (b-kohdan mukaan 5,0 eV) ja
elohopea-atomi ei kykene ottamaan energiaa vastaan tätä pienempinä annoksina. Koe siis tukee väittämää, että elohopea-atomin energiatilat ovat
kvantittuneet.
b) Kuvassa 2 nähdään kolme virran maksimia. Merkitään n:llä huipun järjestysnumeroa ja U :lla virtahuippua vastaavaa kiihdytysjännitteen arvoa.
Kuvasta voidaan lukea mittaustulokset:
n
1
2
3
U
4,8 V
9,8 V
14,8 V
Mittaustulokset voitaisiin esittää (n, U )-kuvaajana. Kuvaajan tarkastelu
on kuitenkin epätarkoituksenmukaista, kun havaintopisteitä on vain kolme ja ne ovat samalla suoralla. Mittaustuloksista saadaan suoran kulmakerroin
Uv =
∆U
9,8 V − 4,8 V
14,8 V − 9,8 V
=
=
= 5,0 V
∆n
2−1
3−2
Kulmakertoimesta saatava jännite Uv kertoo, kuinka suuri kiihdytysjännite tarvitaan, jotta elektronit saavat levosta lähtiessään saman suuruisen
34
1p
(6p)
liike-energian kuin elohopea-atomin alimman viritystilan energia. Alinta
viritystilaa vastaava energia on siis Emin = eUv . Viritystilan purkautuessa
vapautuvan fotonin energia on yhtä suuri kuin viritystilan energia.
Planckin lain mukaan:
Emin = hf
eUv = hc/λ
2p
(8p)
k Sijoitetaan f = c/λ ja Emin = eUv
λ
|| ·
eUv
hc
eUv
4, 1357 · 10−15 eVs · 2, 998 · 108 m/s
λ=
e · 5, 0 V
λ = 247,97 . . . nm
≈ 250 nm
λ=
1p
(9p)
Vastaus: UV-säteilyn aallonpituus on 250 nm.
35

Fysiikka - MAFY

Transcription

Similar documents

Pitkä matematiikka - MAFY

Fysiikka - MAFY

Pitkän matematiikan kertaustehtävät - MAFY

Pitkä matematiikka - MAFY

Röntgendiffraktio, kaksoisrakokoe yms.

Lyhyt matematiikka - MAFY