MAA9_03022015

MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
MAA9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot
• arvostelu: koe 75 %, välikoe 25 %. Välikoe on torstaina 19.12.
• Koeviikon kokeesta on saatava vähintään 5­.
• poissaolot: Jokaisella poissaololla on oltava hyväksyttävä syy. Jos poissaoloja on yli kuusi, kurssi hylätään. • Kotitehtävistä voi saada lisäpisteitä kurssikokeeseen. Lisäpisteet eivät kuitenkaan nosta arvosanaa 5­:een. • Uusintakokeessa lisäpisteet ja välikokeen tulos eivät vaikuta.
1
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
kotitehtävistä tehty
vaikutus
0­­60 %
+0 kokeen pisteisiin
61­­70 %
+1 kokeen pisteisiin
71­­80 %
+2 kokeen pisteisiin
81­­90 %
+3 kokeen pisteisiin
91­­100 %
+4 kokeen pisteisiin
February 03, 2015
2
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Kertausta: Suorakulmaisen kolmion trigonometriset funktiot
sin α =
a
c
b
cos α =
c
c
a
α
a
tan α = b
b
??
?
3
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
Esimerkki: Ratkaise x ja β.
February 03, 2015
40o 5
10
x
β
6
4
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Tehtäviä:
1. Ratkaise kolmion puuttuvat sivut ja kulmat.
35o 17
2. Suorakulmaisen kolmion sivut ovat 3, 4 ja 5. Selvitä kulmat.
3. Olkoon f(x) = sin x. Ilmoita lukujen f(30o), f(45o) ja f(60o) ja tarkat arvot ja kolmidesimaaliset likiarvot.
4. Pystysuoran pylvään varjo on aamulla 3 m pidempi kuin keskipäivällä. Aurinko paistaa aamulla 40 asteen ja keskipäivällä 60 asteen korkeuskulmassa. Laske pylvään pituus.
5. Osoita, että tan α = sin α .
cos α 5
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Kotitehtävät: 1. (a) Suorakulmaisen kolmion kateetit ovat 5 cm ja 8 cm pitkät. Selvitä kolmion kulmat. (b) Yksi suorakulmaisen kolmion kulmista on 70o. Ratkaise kateettien pituudet, kun hypotenuusa on 15 cm.
2. Ympyrän säde on 6,4 cm. Kuinka suuri on 8,0 cm:n jännettä vastaava keskuskulma?
3. Tasaiselle alueelle pystytetty torni näkyy eräästä kohdasta 15 asteen korkeuskulmassa ja 200 m lähempää 30 asteen korkeuskulmassa. Selvitä tornin korkeus. (Vastaus: n. 173 m.)
6
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Radiaani kulmayksikkönä
Määritelmä: Kulma on positiivinen, jos se aukeaa vastapäivään, ja negatiivinen, jos se aukeaa myötäpäivään. o
α > 0 o
α < 0 7
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
Määritelmä: Kulman suuruus on 1 radiaani (eli 1 rad eli 1), jos se ympyrän keskuskulmaksi tulkittuna leikkaa ympyrästä säteen mittaisen kaaren.
February 03, 2015
1 rad
b = r
r
Seuraus: Kulman α suuruus radiaaneina on kaaren b ja säteen r suhde: 8
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Esimerkki: Muunnetaan radiaaneiksi 360o ja 180o. 9
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
Seuraus: February 03, 2015
ja
10
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Esimerkki: Muunnetaan 35o radiaaneiksi ja 2,5 asteiksi.
11
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Usein toistuvia kulmia:
0o
30o
45o
60o
90o
180o
360o 0
Tee tunnilla 11, 14.
12
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Lause: Kaarta b vastaavan sektorin pinta­ala r­säteisessä ympyrässä on 1
A = br.
2
b
Kaavan muistaa, kun ajattelee sektoria "kolmiona ympyrässä".
α
r
(Todistus on helppo, kun valitsee keskuskulman yksiköksi radiaanit.)
13
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Trigonometriset funktiot
Määritelmä: Yksikköympyrä on origokeskinen, 1­säteinen ympyrä. Kulman kehäpiste on kulman loppukyljen ja yksikköympyrän kehän leikkauspiste, kun kulman kärki on origossa ja alkukylki positiivisella x­
akselilla.
kulman α kehäpiste
yksikköympyrä
α
14
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Trigonometrisen funktioiden määritelmät: Kulman α sini on kehäpisteen y­koordinaatti, kosini on kehäpisteen x­koordinaatti ja tangentti on sinin ja kosinin suhde.
(x, y)
sin α
sin α = y
cos α = x
y
tan α = x
α
cos α
(Geogebra!)
15
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Esimerkki: Määritetään likiarvo luvulle sin 160o kuvasta mittaamalla.
Tehdään tunnilla 22, 24.
16
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
Peruskaavat: February 03, 2015
sin2 x + cos2 x = 1
tan x = sin x
cos x
Huomaa: sin2 x = (sin x)2.
Tehdään tunnilla 35.
17
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Esimerkki: Määritetään sin 150o yksikköympyrän symmetrioita hyödyntämällä.
18
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
Sinin ja kosinin palautuskaavat:
sin (π ­ x) = sin x
cos (π ­ x) = ­ cos x
sin(π + x) = ­ sin x
cos (π + x) = ­ cos x
sin (­x) = ­ sin x
cos (­ x) = cos x
19
MAA9 Kurssin aloitus, radiaani, trigonometriset funktiot.notebook
February 03, 2015
20