MAA9_24032015

MAA9 Kertaus­1.notebook
• derivaatat:
March 24, 2015
D sin x = cos x
D cos x = ­sin x
D tan x = 1 + tan2 x = Esimerkki: D sin 10x =
D cos2 x =
D sin x cos x =
1
MAA9 Kertaus­1.notebook
March 24, 2015
Tärkeitä kaavoja
• sin2 x + cos2 x = 1
• suplementtikulman sini: sin (π ­ x) = sin x • kosinin parillisuus: cos (­x) = cos x
• sin ( ­ x) = cos x,
cos ( ­ x) = sin x
Nämä ovat tärkeitä trigonometristen yhtälöiden ratkaisemisessa, mutta muista muutkin palautuskaavat.
Monia muita käyttökelpoisia kaavoja löytyy taulukkokirjasta.
2
MAA9 Kertaus­1.notebook
March 24, 2015
Tehtävä: Selvitä lausekkeen 2 ­ 2cos x ­ sin2 x pienin ja suurin arvo.
Ratkaisu: 2 ­ 2cos x ­ sin2 x = 2 ­ 2cos x ­ 1 + cos2 x
= 1 ­ 2cos x + cos2 x
= (1 ­ cos x)2 Koska 0 ≤ 1 ­ cos x ≤ 2, niin 0 ≤ (1 ­ cos x)2 ≤ 4.
Vastaus: Lausekkeen pienin arvo on 0 ja suurin 4.
3
MAA9 Kertaus­1.notebook
March 24, 2015
Trigonometriset yhtälöt
Tehtävä: 4cos 3x = ­2
4
MAA9 Kertaus­1.notebook
Tehtävä: March 24, 2015
sin (x ­ ) = sin 2x
5
MAA9 Kertaus­1.notebook
Tehtävä: March 24, 2015
cos x + cos 4x = 0
6
MAA9 Kertaus­1.notebook
March 24, 2015
Tehtävä 3, s. 90: Määritettävä lausekkeelle f(x) = sin x + sin y suurin arvo, kun x ja y ovat suorakulmaisen kolmion terävät kulmat.
Hyviä kertaustehtäviä kirjan lisätehtävistä sivuilta 83­­85:
Yksikköympyrä, kuvaajia ja lausekkeita ­otsikon alta 6 ja 7,
Trigonometristen funktioiden derivaatat ­otsikon alta 2, 3, 5, 8, 11.
Hyviä kertaustehtäviä kirjan lisätehtävistä sivulta 84:
Trigonometriset yhtälöt ­otsikon alta 2, 5, 6, 9. 7
MAA9 Kertaus­1.notebook
March 24, 2015
Jonot
• jonon esittämistavat: alkupään jäsenten esittäminen (epämääräistä!),
yleinen jäsen,
rekursiokaava
•
•
•
•
•
•
jonon monotonisuus
jonon raja­arvo
aritmeettinen jono: peräkkäisten jäsenten erotus on vakio
aritmeettisen jonon yleinen jäsen: an = a1 + (n­1) d
geometrinen jono: peräkkäisten jäsenten suhde on vakio geometrisen jonon yleinen jäsen: an = a1 qn­1 8