Elasticiteter, semielasticiteter og logaritmisk diff

Elasticiteter, semielasticiteter og logaritmisk diff

Elasticiteter, semielasticiteter logaritmisk differentiation i
Makro A
Goutham Jørgen Surendran
6. august 2015
Resumé
Formålet med noten er, at give en kort introduktion til alternativ udledning af elasticitet, denere semielasticitet og udnytte semielasticitet til at bestemme førsteordensbetingelse. Sidst nævnte viser sig at
være praktisk, når en funktion f.eks. består af mange produktled. Noten er ikke pensum, men metoderne vil
hyppigt blive brugt i Makro A.
1 Elasticiteter og logaritmisk dierentiation
Denition af elasticitet1
Når x og y begge antager positive værdier, og y er en dierentiabel funktion mht. x, da gælder, at
Elasticitet =
x dy
d ln y
=
y dx
d ln x
(1)
hvor det sidste lighedstegn kun holde, hvis ln y er dierentiabel mht. y , og x = elnx er en dierentiabel
funktion af ln x.
x dy
y dx
:
Det 1. lighedstegn følger af den matematiske denition af elasticitet, man har stiftet bekendtskab
med i Matematik A & B.
:
Det 2. lighedstegn er (muligvis) nyt, og er det vi ønsker at bevise.
d ln y
d ln x
For at bevise dette, ganger vi det 2. ligehedstegn. led i (1) med dy/dy × dx/dx = 1:
d ln y
d ln y
dy dx
d ln y dy dx
=
×
=
d ln x
d ln x dy dx
dy dx d ln x
ln y
Bemærk ledene d dy
og
dx
d ln x
(2)
, for hvilket gælder:
d ln y 1
=
dy
y
dx
deln x
=
= eln x = x
d ln x d ln x
(3)
(4)
Lign. (3) & (4) indsættes i (2), hvorefter (1) er bevist:
d ln y
1 dy
x dy
=
x=
= Elasticitet d ln x
y dx
y dx
2 Semielasticitet
udtrykker den procentvise ændring i y når x én procentdel. Semi-elasticitet udtrykker den
procentvise ændring i y når x ændres med én enhed. (F.eks. den relative ændring i BNP, når renten øges med
Elasticitet
ét %-point.
Når x og y begge antages at være positive værdier, og y er en dierentiabel funktion mht. x, gælder det, at:
Semi − elasticitet =
1 Se
1 dy
y dx
desuden en grask illustration af substitutionselasticitet i Sydsæter bind 1, 7.udgave, side 459
1
(5)
6. august 2015
Goutham Jørgen Surendran
Som for elasticitet, kan vi udtrykker semi-elasticitet som:
Semi − elasticitet =
1 dy
d ln y
=
y dx
dx
(6)
For at bevise dette, ganger vi det 2. ligehedstegn. led i (6) med dy/dy = 1:
d ln y dy
d ln y dy
d ln y
=
∗
=
dx
dx
dy
dy dx
(7)
(3) indsættes i (7), hvorefter (5) er bevist:
dlny
1 dy
=
= Semi-elasticitet
dx
y dx
Udnyt semielasticitet til at bestemme FOC
FOC (Første ordensbetingelse) er den betingelse, der bruges til at bestemme for hvilke(t) x funktionen y er i
minimum:
F OC :
dy
=0
dx
(8)
I ligninger med mange produktled vil det være en fordel at bruge semielasticitet til at bestemme hvilke x, der
opfylder FOC. Så længe y 6= 0 vil udtrykket for semielasticitet have samme nulpunkter mht. x som dierentering
(Overbevis jer selv, ved at sammenligne ligning (8) med (5).)
2