Tentamen i SG1140 Mekanik II

SG1140-20150410
Tentamen i SG1140 Mekanik II
Varje uppgift ger högst 3 poäng. För godkänt fordras minst 4 poäng på vardera problem- och teorihälften.
Skrivtid: 4h
OBS! Inga hjälpmedel. Uppgifterna 1- 8 skall inlämnas på separata papper.
Lycka till!
Problem
1)
B
Z
z
r
l
y
A
0
O
1
x
X
Y
2)
ez
O
ex
l
o
45
ey
A
b
B
En cirkelskiva med radien r drivs av en elektrisk
motor som ger den en konstant vinkelhastighet 0
kring symmetriaxeln OA med längden l. Motorn
och axeln roterar i sin tur med en konstant vinkelhastighet 1 kring den fixa X-axeln enligt figuren.
Det rörliga systemets y-axel sammanfaller med
symmetriaxeln OA men är frikopplat från skivans
snabba rotation, så att z-axeln alltid ligger i det
fixa YZ-planet. Betrakta punkten B på skivans periferi i ett ögonblick då AB är parallell med zaxeln och bestäm dess hastighet och acceleration
relativt det fixa rummet.
Den homogena stången AB med längden b och
massan m är upphängd i ett lätt rep med längden l i
ändpunkten A, enligt figuren. Både repet och
stången bildar vinkeln 45 med vertikalen i begynnelseögonblicket då stången släpps från vila. För
detta ögonblick, bestäm repets resp. stångens vinkelaccelerationer, α1 resp. α 2 .
3)
En homogen stång med massan m och längden l är
upphängd i en glatt led i O. Stången befinner sig i
vila i sitt stabila jämviktsläge då den plötsligt påverkas av kraften P vinkelrät mot stången i punkten A
på avståndet b från upphängningspunkten. Bestäm
avståndet b så att den horisontella reaktionskraften i
O elimineras.
O
b
l
P
4)
A
l

l
C
v
En kvadratisk ram tillverkad av fyra homogena
stänger vardera med längden l glider på ett glatt
horisontellt underlag. Ramen roterar med vinkelhastigheten  . Bestäm hastigheten v av ramens
mittpunkt C så att ramens translationsenergi blir
lika med dess rotationsenergi.
V.g.vänd!
Teori
5) a. Härled sambandet mellan partikelns acceleration relativt ett fixt och ett rörligt system.
Sambandet mellan den absoluta och relativa tidsderivatan av en vektor behöver ej härledas.
(1p)
b.
x´ Betrakta karusellen ”Close to Extreme” i figuren. Stången OA
med längden l roterar i horisontalplanet kring en vertikal z' axel genom ändpunkten O med en konstant vinkelhastighet

A 1
0 . Cirkelskivan med radien b roterar kring en vertikal axel
b
y´
genom skivans centrum A med konstant vinkelhastighet 1
P
relativt stången OA enligt figuren. För det betraktade ögonl
blicket då radien AP är vinkelrät mot OA bestäm corioliskraf0 O
ten Fcor på partikeln P med massan m som uppkommer i det
primade systemet.
(2p)
6) a. Visa att momentancentrum C existerar vid en stel kropps plan rörelse med ω  0 genom att
härleda uttrycket som definierar momentancentrums läge.
(1p)
b. Betrakta ett partikelsystem, visa att de inre krafternas moment är noll och härled momentekvat M .
ionen för partikelsystemet H
(1p)
O
O
c. Definiera vad som menas med ett masscentrumsystem och härled uttrycket för kinetiska ener1
(1p)
gins två delar T  1 / 2 mvG2  T ' för ett partikelsystem, där T '   mk v '2k .
2 k
7) a. Härled parallellförflyttningssatsen (Steiners sats) för tröghets moment I Q  I G  md 2 (1p)
b.
y
Betrakta en kvadratisk skiva med massan m och sidan a och bestäm dess tröghetsmoment med avseende på i figuren angivna
a
a
koordinataxlarna, d.v.s. I x , I y , I z . Ledning: Kvadratiska skivans
z
tröghetsmoment med avseende på en axel, vinkelrät mot skivan
G
x
1
genom dess masscentrum är I G  ma 2 .
(2p)
6
8) a. Betrakta en stel kropp som roterar kring en fix z-axel, rita en tydlig figur med en masspartikel i kroppen samt kraften som verkar på den och dess elementära förflyttning och härled uttrycket
1
för arbetet U 01   M z d
(1p)
0
b. Betrakta en stel kropp som utför plan rörelse i xy-planet och härled uttrycket för de två delarna
av kroppens rörelsemängdsmoment HO  rOG  mv G  I G e z
(1p)
c.
B
Armen OG med längden b roterar i horisontalplanet
kring en vertikalaxel genom O med vinkelhastigheten
0 enligt figuren. Stången AB med massan m och
G w
1
längden l är fäst i mitten till änden G och roterar
b
också i horisontalplanet med vinkelhastigheten 1
A
relativt stången OG. Bestäm kinetiska energin T hos
stången AB.
(1p)
w
0
O