SF1625 Envariabelanalys - Integraler forts

SF1625 Envariabelanalys
Integraler forts
Lars Filipsson
Institutionen för matematik
KTH
4 december
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Integraler
Vårt program för Integraler:
En definition av vad begreppet betyder
En intuitiv idé om vad begreppet betyder
Huvudsatsen: integral är ”motsatsen” till derivata
Beräkna integraler med primitiv funktion
Integrationstekniker: subst, part int mm
Tillämpningar (inte bara area!)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Integraler
Vårt program för Integraler:
En definition av vad begreppet betyder
En intuitiv idé om vad begreppet betyder
Huvudsatsen: integral är ”motsatsen” till derivata
Beräkna integraler med primitiv funktion
Integrationstekniker: subst, part int mm
Tillämpningar (inte bara area!)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Men först en liten påminnelse
Integrerbarhet och primitiv funktion.
2
1. Är funktionen f (x) = ex integrerbar på [1, 2]?
2. Kan du ange en primitiv funktion?
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Variabelsubstitution
Variabelsubstitution.
Z
b
0
Z
g(b)
f (g(x))g (x) dx =
a
f (u) du.
g(a)
Villkor: g är deriverbar på [a, b] och f är kontinuerlig på g:s
värdemängd (när x varierar i [a, b])
Bevis: Kedjeregeln för derivator ger att
VL = HL = F (g(b)) − F (g(a))
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på variabelsubstitution
Beräkna integralerna med variabelsubstitution:
Z
π/2
0
Z
e
e2
cos x
dx (sätt (t ex) u = 1 + sin x)
1 + sin x
1
dx
x ln x
Z
tan x dx
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Partiell integration
Partiell integration.
Z
b
f (x)g(x) dx =
a
[F (x)g(x)]ba
Z
−
b
F (x)g 0 (x) dx.
a
Villkor: F och g har kontinuerliga derivator på [a, b] och F 0 = f
Bevis: Produktregeln för derivator ger att
d
F (x)g(x) = F 0 (x)g(x) + F (x)g 0 (x).
dx
Integration från a till b ger formeln för part.int.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på partiell integration
Beräkna integralerna med partiell integration:
Z
2
x ln x dx
1
Z
ln 3
xe−x dx
0
Z
ln x dx
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Partialbråksuppdelning
Partialbråksuppdelning. Görs vid rationella integrander:
Z
3x + 2
dx =
2
x − 4x + 12
Z
1
2
1
dx =
x2 − 9
Z
Z 2
1
2
1
+
x −2 x +6
1/6
1/6
−
x −3 x +3
dx = . . .
dx = . . .
(Att tänka på: 1. Nämnaren ska ha högre grad än täljaren,
annars gör man polynomdivision först. 2. Särskild ansättning
krävs vid dubbelrot och komplexa rötter i nämnaren)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på partialbråksuppdelning
Beräkna integralerna med partialbråksuppdelning:
Z
1
0
Z
1
5
dx
x 2 − 5x + 6
R
x2
1
dx
+x
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Tema högre betyg
Uppgift 7 på tentan är en teoriuppgift, exempel
1. Formulera och bevisa huvudsatsen.
2. Formulera differentialkalkylens medelvärdessats och använd
den för att bevisa att en funktion vars derivata är noll i ett öppet
intervall måste vara konstant i intervallet.
3. Formulera derivatans definition och använd den för att
avgöra om funktionen f som ges av
(
2
e−1/x
om x 6= 0
f (x) =
0
om x = 0
är deriverbar i origo. Om f är deriverbar, ange f 0 (0).
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Tema högre betyg
Uppgift 8-9, exempel
Visa att funktionen f (x) = x
π
2
Lars Filipsson
− arctan x är strängt växande.
SF1625 Envariabelanalys
Tema högre betyg
Uppgift 8-9 varierar och kräver kombinerade metoder
Z
8. Betrakta funktionen F (x) =
x
2
e−t cos t dt med
0
definitionsmängd D = [0, π].
A. Ange de intervall där F är växande respektive avtagande.
B. Bestäm punkter a och b i D sådana att
F (a) ≤ F (x) för alla x ∈ D,
F (b) ≥ F (x) för alla x ∈ D.
n
X
k
k
arctan
2
n→∞
n
n
9. Beräkna gränsvärdet lim
k =1
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Tema högre betyg
Uppgift 8-9 varierar och kräver kombinerade metoder
8. Låt f vara en tre gånger deriverbar funktion på intervallet
−1 < x < 2, sådan att f (0) = f 0 (0) = 0, f 00 (0) = 6 och
|f 000 (x)| ≤ 1 för alla x i intervallet. Visa att
1
1−
≤
24
Z
1
f (x) dx ≤ 1 +
0
1
.
24
9. Avgör om det finns någon lösning y (t) till diffekvationen
y 00 (t) + y (t) = et
sådan att kvoten y (t)/t 2 är begränsad när t → 0. Bestäm en
sådan lösning, om en sådan lösning finns. Kan det finnas flera?
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys