Några exempel på användning av Taylors formel

SF1625 Envariabelanalys
Taylors formel
Lars Filipsson
Institutionen för matematik
KTH
24 september 2015
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Taylors formel
Taylors formel. Om f är n + 1 gånger deriverbar så kan man
bilda polynomet
pn (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (a)
f (n) (a)
(x − a)2 + · · · +
(x − a)n .
2!
n!
Detta polynom kallas Taylorpolynomet av grad n till f kring a
och kan användas för att approximera f , dvs
f (x) ≈ pn (x),
för x nära a.
Felet i approximationen är
f (n+1) (c)
(x − a)n+1
n!
för något c mellan a och x. (Krävs att f är n + 1 gånger
deriverbar i ett intervall som innehåller x och a.)
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Taylors formel
Ni kan själva lätt kontrollera att Taylorpolynomet av grad n till f
kring punkten a har samma funktionsvärde och samma
derivator upp till ordning n som f i punkten a, dvs
(k )
pn (a) = f (k ) (a)
Lars Filipsson
för k = 0, 1, 2, . . . , n.
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på användning av Taylors formel
Taylorpolynomet av grad 4 till f (x) = ex kring x = 0 är
x2 x3 x4
+
+ .
2!
3!
4!
Om vi använder detta polynom för att approximera talet e får vi
p4 (x) = 1 + x +
e = e1 ≈ p4 (1) = 1 + 1 +
12 13 14
65
+
+
=
≈ 2.71.
2!
3!
4!
24
Felet i approximationen ges av
1
ec 5
·1 ≤
5!
40
c
om vi använder att e garanterat är mindre än 3 när c ligger
mellan 0 och 1.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på användning av Taylors formel
Taylorpolynomet av grad 2 till f (x) = ln x kring x = 1 är
(x − 1)2
.
2
Om vi använder detta polynom för att approximera ln 1.2 får vi
p2 (x) = x − 1 −
ln 1.2 ≈ p2 (1.2) = 1.2 − 1 −
(1.2 − 1)2
= 0.18.
2!
Felet i approximationen ges av
2/c 3
0.008
3
· (1.2 − 1)3 ≤
≤
3!
3
1000
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på användning av Taylors formel
Om vi Taylorutvecklar sin x och cos x kring origo så blir det lite
speciellt eftersom varannan derivata i origo är noll (kolla själva).
Så när vi tar fram Taylorpolynomet av grad 2 till cos x kring
x = 0 så får vi
x2
2!
Men detta polynom är i själva verket ett korrekt Taylorpolynom
av grad 3 eftersom tredjederivatan för cos x i origo är noll. Så
tredjegradstermen är korrekt. Det betyder att felet alltså är en
fjärdegradsterm, närmare bestämt
p2 (x) = 1 −
cos c 4
x
4!
På liknande sätt blir det för sinus.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på användning av Taylors formel
Taylorpolynomet av grad 2 till cos x kring x = 0 är
x2
2!
Om vi använder detta polynom för att hitta ett närmevärde till
1
får vi
cos
10
1
1 1 2
cos
≈1−
= 0.995.
10
2 10
p2 (x) = 1 −
Felet i approximationen är
cos c
4!
1
10
4
Lars Filipsson
≤
1
· 10−5 .
2
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på Taylors formel
Några standardutvecklingar. För x nära 0 gäller att
ex ≈ 1 +
x
x2 x3
+
+
+ ...
1!
2!
3!
ln(1 + x) ≈ x −
x2 x3 x4
+
−
+ ...
2
3
4
sin x ≈ x −
x3 x5 x7
+
−
+ ...
3!
5!
7!
cos x ≈ 1 −
x2 x4 x6
+
−
+ ...
2!
4!
6!
(1 + x)α ≈ 1 + αx +
α(α − 1) 2 α(α − 1)(α − 2) 3
x +
x + ...
2!
3!
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Exempel på användning av Taylors formel
En användning av Taylors formel är gränsvärden. När man
räknar ut sådana behöver man inte vara så noga med
resttermen. Det viktiga är potensen av x − a. Så istället för
f (n+1) (c)
(x − a)n+1 skriver man ofta bara B(x)(x − a)n+1 där B
(n + 1)!
är någon begränsad funktion. Eller ännu mera kortfattat
O((x − a)n+1 ) (se boken). Exempel:
2
2
1 − x2 + B(x)x 4 − 1
− x2 + B(x)x 4
cos x − 1
=
lim
=
lim
lim
x→0
x→0
x→0
x2
x2
x2
1
2
− + B(x)x
1
= lim 2
=− .
1
2
x→0
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Nu kommer ett par slajds med bevis. Först bevisas
medelvärdessatsen och sedan bevisas feltermen i linjär
approximation. Med samma metod kan man bevisa Taylors
formel, se boken.
Lite terminologi: Taylorpolynom kring x = 0 kallas ofta
Maclaurinpolynom.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Medelvärdessatsen
Medelvärdessatsen. Om f är kontinuerlig på [a, b] och
deriverbar på (a, b) så finns en punkt c mellan a och b sådan
f (b) − f (a)
.
att f 0 (c) =
b−a
Bevis. Låt oss hitta på en ny funktion g som ges av
g(x) = f (x) −
f (b) − f (a)
(x − a).
b−a
Då gäller att g(a) = g(b) och g är deriverbar på (a, b). Av detta
följer (hur?) att g måste anta ett största eller ett minsta värde i
någon punkt mellan a och b. I en sådan punkt, kalla den c,
måste g:s derivata vara noll. Med andra ord gäller att
0 = g 0 (c) = f 0 (c) −
f (b) − f (a)
.
b−a
Detta är precis slutsatsen i satsen.
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Feltermen i linjär approximation
Sats. Om f är 2 gånger deriverbar i ett intervall som innehåller
a och x så gäller för något c mellan a och x att
f 00 (c)
(x − a)2 .
2!
Alltså: Felet i den linjära approximationen, dvs skillnaden
mellan f (x) och f (a) + f 0 (a)(x − a), är precis
f (x) = f (a) + f 0 (a)(x − a) +
f 00 (c)
(x − a)2 .
2!
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys
Upp till Bevis!
Bevis av feltermen i linjär approximation. Vi söker felet i
approximationen f (x) ≈ f (a) + f 0 (a)(x − a). Nu är alltså x
fixerat. Vi hittar på en ny funktion g som beror på t och ges av
g(t) = f (t)−f (a)−f 0 (a)(t −a)−
f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)
(t −a)2 .
(x − a)2
Man kollar lätt att g(a) = 0 och g(x) = 0. Då finns enligt
medelvärdessatsen en punkt b mellan a och x sådan g 0 (b) = 0.
Nu kan vi upprepa samma resonemang för funktionen g 0 , dvs
g 0 (a) = 0 och g 0 (b) = 0, så det måste finnas en punkt c mellan
a och b sådan att g 00 (c) = 0. Men om vi deriverar g två gånger
ser vi att
f (x) − f (a) − f 0 (a)(x − a)
.
(x − a)2
Att detta är noll ger oss precis vad vi skulle bevisa. Taylors
formel bevisas med samma ide, se boken.
g 00 (c) = f 00 (c) − 2
Lars Filipsson
SF1625 Envariabelanalys