Något om Derivator och Mathematica

HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
Något om Derivator och Mathematica
Bertil Nilsson
2015-08-15
1
2
Derivator och Mathematica
HH/ITE/BN
ť Förord
På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till derivata med flitig användning av Mathematica. Framställningen är
fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi, beteckningar
och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare klarläggs och
typiska exempel ges.
ť Begreppet gränsvärde
Gränsvärdesbegreppet är grundläggande inom den del av matematiken som brukar kallas analys. Definitionen av övriga begrepp
som kontinuitet, derivata och integral vilar tungt på begreppet gränsvärde. Den första definitionen av gränsvärde gjordes omkring
1760 av den franske matematikern d´Alembert och den nuvarande definitionen infördes på 1820-talet av hans landsman Cauchy.
Abstrakt materia och det har sedan dess presenterats konkurrerande definitioner, minst lika svårsmälta.
Frågeställningen som ligger på bordet är "Hur uppför sig funktionen f x när x ligger nära ett visst tal a alternativt antar mycket
stora positiva eller negativa värden?". Här handlar det inte om fall då f a kan beräknas helt odramatiskt, utan gränsvärdesbegreppet
0
är ämnat att ta hand om de bekymmer som kan uppkomma då vi försöker beräkna f a , exempelvis " 0 ", " " och "
". Med
oändlighetssymbolen menas "ett tal som är stort bortom alla gränser". Att förtydliga med
är aldrig fel. På motsvarande sätt
lägger vi innebörd i
. Notera att är en symbol för ett stoooort tal och denna kan man inte räkna med på samma sätt som med tal
i . I Mathematica hämtas ur palette eller med inf på tangentbordet. Vi ska göra två definitioner men vädja till den intuitiva
bilden som åskådliggörs. Först har vi fallet då x antar ett stort positivt tal, följt av ett exempel, sedan fallet då x går mot ett tal a.
Definition. Antag att definitionsmängden till f inte är uppåt begränsad, det vill säga
att det i varje öppet intervall Ω,
finns minst en punkt i D f . Man säger att f x har
gränsvärdet A då x går mot oändligheten om det till varje Ε
f x A
Ε då x Ω och x D f .
0 finns ett Ω så att
f x
A Ε
A
A Ε
f x
A eller f x
A då x
och säger ''Limes f x
Vi skriver då limx
då x går mot oändligheten är lika med A '' eller ''Att f x går mot A då x går mot
oändligheten''. Ordet limes är grekiska och betyder gräns. Innebörden är att vi kan
Ω
göra Ε godtyckligt litet bara vi väljer Ω tillräckligt stort. Oftast blir Ω en funktion
av Ε. Vi ser i figuren att innebörden är att Ω måste väljas så att för alla x Ω är f x innestängd i korridoren A
Exempel : Visa att f x
x 1
x
1 då x
. Låt Ε
0 vara en godtycklig önskad
noggrannhet. Vår uppgift blir nu att söka ett Ω så att för alla x
f x
1
Ε
x 1
x
1
Ε
1
varav tillräckligt stort x Ε . Så varje tal Ω
1
till att Ω inte behöver väljas skarpt Ε alla Ω
1
x
Ε
x 0 1
x
x
Ε, A
Ε.
f x
Ω gäller
Ε
1
är tillräckligt. Lägg speciellt märke
Ε
1
duger ''onödigt'' bra. Vi ritar väl
Ε
1 Ε
1
1 Ε
x
Ω
en liten bild som vanligt.
Definition. Antag att det i varje omgivning till punkten a, det vill säga ett intervall
a Δ, a Δ , finns minst ett x D f . Man säger att f x har gränsvärdet A då
x går mot a om det till varje Ε 0 finns ett Δ 0 så att
f x A
Ε då x a
Δ och x D f .
Vi skriver då limx a f x
A eller f x
A då x a och säger ''Limes f x
då x går mot a är lika med A '' eller ''Att f x går mot A då x går mot a ''. Innebörden
är att vi kan göra Ε godtyckligt litet bara vi väljer Δ tillräckligt litet. Oftast blir Δ en
funktion av Ε. Vi åskådliggör med en figur, där innebörden är att Δ måste väljas så
litet att för alla x a Δ, a Δ är f x innestängd i korridoren A Ε, A Ε .
f x
A Ε
A
A Ε
a Δ
a
a Δ
x
På motsvarande sätt kan man fylla på med en bunta definitioner med alla kombinationer mellan f x går mot
eller A då x går
mot
, a, a eller a där de två sista kallas för vänstergränsvärde respektive högergränsvärde med tecknet visande från vilken
sida man närmar sig a. Man kallar dem ensidiga gränsvärden. Ett krav för att limx a f x ska existera är att vänster- limx a f x
och högergränsvärdet limx a f x existerar och är lika. Vänstergränsvärdet skrivs ibland limx a f x "går upp mot" och högergränsvärdet limx a f x "går ner mot". Gränsvärde som existerar ändligt i kallas för egentligt gränsvärde medan de som går mot
kallas oegentligt gränsvärde. Synonymt används existera respektive ej existera.
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
3
Till sist en liten invändning mot definitionerna ovan. Dessa kan bara användas då man redan känner gränsvärdet. I enkla fall kan
man gissa och prova några kandidater och se om det går bra, men i det allmänna fallet är detta ingen framkomlig väg. I bland har
man dessutom bara behov av att veta att man har ett egentligt gränsvärde utan att faktiskt behöva veta vad det är! Modern teori har
metoder för att angripa dessa frågeställningar.
När man beräknar ett gränsvärde undviker man att arbeta direkt med definitionerna. I stället har man från dessa härlett ett antal
räkneregler och standardgränsvärden som man använder sig av. De presenteras här utan bevis, flera av dem är rätt självklara.
Räkneregler
Om f x
0 och g x begränsad, så gäller att f x g x
Om f x
A och g x
B då x a, a , a ,
eller
f x
Om g x
Om f x
Om f x
gx
A
B,
f x gx
0 då n
an
så gäller
f x
AB,
A
B
gx
ifall B
0.
a och f t
A då t a så gäller f g x
A. (sammansättning)
A och g x
A och f x h x g x så gäller h x
A. (instängning)
g x och f x
A, g x
B så gäller A B. (gränsövergång i olikhet)
Standardgränsvärden
1
0 då x
x
an
0.
om a
då n
1
om a
an existerar ej då n
xΑ
ax
ln x
xΑ
0 då x
0 då x
xΑln x
1
om a
1
1 x

x
1
om Α
0 då x
1 x

x
1
Lägg speciellt märke till gränsvärdet 1
om a
0
0 om Α
0
n
då x
då x
ln 1 x
x
x 1
x
sin x
x
n
1 då x
1 då x
0
0
1 då x
0
n
n
an
n
n
då n
0 då n
a
1 då n
om a
0
1 då n
som är definition på den naturliga basen . Till slut återstår bara att
höra vad Mathematica har att säga i ärendet. Funktionen heter naturligtvis Limit med optionen Direction för att indikera att ett
ensidigt gränsvärde önskas. Naturligtvis är den bestyckad med utökade listor av regler och standardgränsvärden samt ytterligare
mycket avancerad teori för att hantera verkligt komplicerade uttryck.
Exempel: Bestäm gränsvärdet av 1
1 x

x
då x
.
Lösningsförslag: Alldeles för komplicerat för hand!!
x
1
Limit 1
,x

x
Exempel: Bestäm gränsvärdet av 1
2 x

x
då x
.
Lösningsförslag: Luktar !
1
1
2 x

x
Skriv om med potenslagar
1 y 2
 
y
2
2
då y
1
1 x2 2
 
x2
Låt y
x
2
så har vi att y
då x

enligt sammansättningsregeln ovan.
x
Limit 1
,x

x
2
Exempel: Bestäm gränsvärdet av
Lösningsförslag: Vi får
x2 1
x 1
x2 1
x 1
då x
1.
0
Av typen " 0 ". Konjugatregeln i täljaren 
Vi ser att det gäller att "bädda upp" innan det är dax att "gå i gräns".
x2
1
x
1
,x
Limit
2
1
x 1 x 1
x 1
x
1
2 då x
1.
4
Derivator och Mathematica
2
Exempel: Bestäm gränsvärdet av
x 3
x 1
då x
HH/ITE/BN
1.
Lösningsförslag: Vi får
2
x 3
x 1
2
0
Av typen " 0 ". Förläng med täljarens konjugatkvantitet 
4
x 3
x 1
x 3 
x 1 2
1
x 3 
x 1 2
2
1
4
x 3
då x
x 3  2
x 3 
Konjugatregeln Hyfsa
x 3 
x 1 2
1.
0
Att meka om med "vanlig" algebra innan det är dax att "gå i gräns" är standard. Se här att " 0 " kan bli "vad som helst!" Beware!!
2
x
3
,x
Limit
x
1
1
1
4
x2
Exempel: Bestäm gränsvärdet av
x
x då x
.
Lösningsförslag: Vi får
x2 x
x2
x
x
Av typen "
x2 x x2
x2 x
1
x2
x
1
x2 x
1
1
Frestas aldrig att ge "
x2
Limit
x2 x
x
x
x
Konjugatregeln Hyfsa
1
1
x
1
1
x2 x
" ", Dividera med nämnarens dominerande term Här x
x2 x
x
x
". Förläng med konjugatkvantiteten
x
Standardgränsvärde
1
1 0
1
1
2
då x
x2 x
Potenslag
1
.
1
" värdet 0! Kan bli "vad som helst"! Beware!!
x
x, x

1
2
Exempel: Bestäm gränsvärdet av
x cos x sin x
x x2
då x
0.
Lösningsförslag: Vi får
x cos x sin x
x x2
0
Av typen " 0 ". Dividera med nämnarens dominerande term Här x
sin x
cos x
x
Standardgränsvärde
1 x
Eftersom
sin x
x
aldrig att ge
1 1
1 0
2 då x
0.
är "det enda" vi kan i trigonometriska branschen är det bara att sikta på detta och skriva om! Dé måste gå Frestas
0
"0"
värdet 1! Kan bli "vad som helst!" Beware!!
x Cos x
Sin x
Limit
,x
x
0
x2
2
Exempel: Bestäm vänster- och högergränsvärdet av Heavisides stegfunktion Θ x
1 x
0 x
0
då x
0
Lösningsförslag: Vanlig strömbrytare när man räknar på elektriska kretsar, ej definierad för x
vänster- följt av högergränsvärdet.
Limit
0, 1
1 x
0 x
0
,x
0
0, Direction
1, Limit
1 x
0 x
0
,x
0
0.
0. Vi tar hjälp av Mathematica för
0, Direction
1
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
Exempel: Visa standardgränsvärdet
sin t
t
1 då t
5
0.
Lösningsförslag: En titt i tabellen över standardgränsvärden indikerar att detta är det enda som avhandlar trigonometriska funktioner, och är därmed en slags prototyp som man alltid ska ha som mål för sina omskrivningar i sådana situationer. Notera att t är en
vinkel som naturligtvis mäts i radianer. Vi inser att det inte spelar någon roll från vilken sida vi närmar oss 0 i denna gränsövergång
0
av typen " 0 ", ty
sin t
t
sin t
t
sin t
t
. Så vi tar hjälp av enhetscirkelns första kvadrant där areamåtten för två rätvinkliga trianglar
och en tårtbit är lätta att rangordna.
y
1
cos
2
1
cos
2
1
tan t
t
2Π
t
2Π
t sin t
t sin t
Π 12
Π 12
1
2
1
2
1 tan t
1
sin t
cos t
sin t
1
Arean för två trianglar 2 bas höjd samt tårtbit
där emellan. Men tan t
def sin t
cos t
. Dividera
1
nu de tre leden med 2 sin t
t
sin t
t
lim sin t
t 0
1
cos t
cos t
1
t
cos t
1
x
Nu är det ok att gå i gräns, t
1
Färdig
t
lim sin t
t 0
0
cos t
1
1 med instängning
Höger- och vänstergränsvärdena är alltså lika, och därmed är saken klar. Detta vet naturligtvis Mathematica
Sin t
,t
Limit
0
t
1
ť Kontinuerliga funktioner
En funktion f säges vara kontinuerlig i punkten a om a
D f och funktionen har ett gränsvärde då x
a. Då är limx
a
f x
f a.
Om f är kontinuerlig i alla punkter i D f säges den vara en kontinuerlig funktion. En funktion kallas diskontinuerlig i punkten a
om a
D f och funktionen saknar gränsvärde då x
a. Kontinuerliga funktioner är "trevliga" att ha att göra med. Av räknereglerna
för gränsvärden följer nämligen att
f x gx
f xgx
f och g kontinuerliga
f x
gx
kontinuerliga.
f gx
f x
Lite populärt kan man säga att en kontinuerlig funktion, precis som namnet antyder, kan ritas utan att lyfta på pennan, det vill säga
dess graf hänger ihop. Det finns gott om teori för kontinuerliga funktioner, speciellt kokar nästan all tillämpad matematik ned till två
grundläggande problem, nämligen sökning av rötter eller nollställen till en kontinuerlig funktion
Satsen om mellanliggande värden. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så antar funktionen
i detta intervall varje värde mellan f a och f b .
och maximering eller minimering av en kontinuerlig funktion
Satsen om största och minsta värde. Om funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så är f uppåt och nedåt
begränsad i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall.
Dessa satser är trots sin intuitivt nästan enkla innebörd svårare att besvisa än vad som kan förmodas. Vi nöjer oss med att konstatera
att vi har makterna med oss!
6
Derivator och Mathematica
HH/ITE/BN
ť Begreppet derivata
Antag att en funktion f är definierad i en omgivning till punkten a. Om gränsvärdet
lim
f a h
f a
h
h 0
existerar, säges f vara deriverbar i punkten a och gränsvärdet kallas f:s derivata i punkten a och skriver f ' a och pratar om "f
prim". Analogt pratar man om höger- respektive vänsterderivata i punkten a beroende på från vilket håll man närmar sig a. För att
f ska få kallas deriverbar måste dessa vara lika och alltså oberoende av om h är positiv eller negativ. Man kan illustrera gränsövergången som en bukett sekanter, det vill säga en rät linje som går genom två punkter på kurvan, som tvingas ned till att bli en tangent och
därmed beröra kurvan i endast en punkt a, f a .
y
y
y f x
y f x
f' a
y
lim
x 0
y
kT
tan Θ
lim
x
f a h
f a
h
h 0
f' a
Θ
x
a
x
a h
a
a h
x
Derivatans geometriska betydelse är välkänd. Om f är deriverbar i punkten a så är kT f ' a tan Θ riktningskoefficienten för
tangenten till kurvan y f x i punkten a, f a . Ibland är man också intresserad av normalen i samma punkt, vilket är en linje
som är vinkelrät mot tangenten. Om kN är normalens riktningskoefficient kan man visa att kT kN
1. Vi sammanfattar situationen
kT
f ' a , kT kN
1 så med enpunktsformeln har vi
y
y
f a
f a
kT x a tangentens ekvation i punkten a, f a .
kN x a normalens ekvation i punkten a, f a .
Om f är deriverbar överallt i sin definitionsmängd säges f vara en deriverbar funktion. Då är f:s derivata f ' x en funktion av x
med samma definitionsmängd som f. Inte sällan skrivs
f
x
och ibland kortare f ' eller D f . Även beteckningen y ' eller
mer, varvid y är att uppfatta som en förkortning av f x . När man ska derivera hela uttryck skrivs ofta
y
x
förekom-
, vilket ska tolkas som
x
att en deriveringsoperator verkar på uttrycket inom parentes.
Om f är en deriverbar funktion så är den också kontinuerlig. Omvändningen gäller ej! Det typiska exemplet är absolutbeloppet x
som är kontinuerlig men inte deriverbar för x 0. Så funktioner vars grafer innehåller "skarpa hörn" är inte deriverbara där.
Eftersom derivatan är en ny funktion är det naturligt att definera andraderivatan till f som derivatan av f '. Denna skrivs f '' och vi
n
säger "f biss". Analogt definieras derivator av högre ordning. Den n-te derivatan till f skrivs f
y f x.
n
, Dn f ,
f
xn
, Dn y, y n eller
n
y
xn
där
Inom fysik är tidsderivator mycket vanliga, till exempel har vi hastighet som är tidsderivatan av läget med avseende på tiden och
accelerationen som är andraderivatan av läget med avseende på tiden. Tidsderivator har därför givits ett förkortat skrivsätt med
prickar, förstaderivatan
x
t
2
x utläses "x prick" och andraderivatan
x
t2
x "x prick prick".
Strategin som man alltid ska följa vid derivering för hand är att systematiskt med hjälp av deriveringsregler bryta ned det givna
uttrycket till en mängd derivator av elementära funktioner, ofta kallade standardderivator (SD). Vi sammanfattar.
Deriveringsregler, k konstant, f och g deriverbara
kf ' kf '
f g ' f ' g'
f g ' f 'g f g '
f
 g '
x
f 'g f g'
g2
f gx
,g
0
y
y
x
u
u
x
i gruvan
f x
f' x
k
xΑ
0
ΑxΑ
x
x
Kvotregeln
f ' g x g' x
g ' x kallas inre derivata
Vanlig form
Konstantregeln
Summaregeln
Produktregeln
Standardderivator, SD
Kedjeregeln
1
ln x
1
x
sin x
cos x
cos x
sin x
tan x
1
cos2 x
1
tan2 x
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
7
Naturligtvis är Mathematica bestyckad med en mycket villig arbetshäst, D[f,x]. Vill man derivera n 2 gånger skriver man
D[f,{x,n}]. I palette finns dessutom den något "opålitliga"
. Ta alltid för vana att i rutan sätta parenteser runt det som skall
2
deriveras! Exempelvis x x Sin 2x . Sedan gäller det i stort sett bara att skriva av rätt! Nu är det bara att sätta igång!
x2 med hjälp av definition.
Exempel: Bestäm derivatan av f x
Lösningsförslag: Vi mäter våra krafter mot något vi har facit till.
f' x
lim
f x h
f x
lim
h
h 0
h 0
x h 2 x2
h
lim
h 0
x2 2 xh h2 x2
h
lim 2x
2x. Ok med SD ovan, x2 '
h
2x2
1
2x.
h 0
Dx2 , x
2x
Exempel: Bestäm derivatan av f x
x x.
Lösningsförslag: Vi har med potenslagar och SD. Vänj dig vid skrivsättet
f' x
x
Dx
3
x x 
x1 x1 2 
x
x
x1
12

x
x3 2 
.
x
3 32 1
x
2
SD, derivera
3 12
x
2
3
x
.
2
x , x
x
2
x2
Exempel: Bestäm derivatan av f x
5cos 2x .
Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet
x
x
x
x
x2
5cos 2x 
x2 
x2 
5
x2 
5
2
x
x 
2x2
Dx2
2x
5
1
Summaregeln.
5cos 2x
x
x
u
u
5
Konstantregeln.
cos 2x
cos u
och träna så här omständigt!!!
x
Kedjeregeln u
x
cos u 2
2x
sin u 2 1
2x.
Konstantregeln.
x
x
gx
Endast SD kvar, derivera
2x
ty, x1  '
10sin 2x
1 x1
1
1 x0
1 1
1. Byt tillbaka u
2x. Hyfsa
5 Cos 2 x , x
10 sin 2 x
3x4
x2
Exempel: Bestäm derivatan av f x
.
Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin! Vänj dig vid skrivsättet
u
u
u
u
3x4
x2
x
 u
 u 
 u 
u1 2  
x
x
x
x
x2
2x
12
2
x2
3 x4
3 x4
x3
3 x4
, x
Kedjeregeln u
3x4
x2
x2 
x
x2 



v
x
v
v
v
gx
x2
3x4
Summaregeln.
3x4
v
x2 
1 12 1
u
2x2 1
2
D
och träna så här omständigt!!!
x
Kedjeregeln v
 3x4 
3
x
3x4 .
Potenslagar och konstantregeln.
x4 
Endast SD kvar, derivera
1
3 4x4 1 
2
hx
x2
2x
3x4
12x3
3x4
 Byt tillbaka u och v. Hyfsa
8
Derivator och Mathematica
Exempel: Bestäm tangenten och normalen till kurvan y
ln 2x3 i punkten a
HH/ITE/BN
3.
Lösningsförslag: Funktionen och dess derivata. Kontrollera för hand att Mathematica deriverar och räknar rätt !
: Log2 x3 
f x
f' x
3
x
Enpunktsformeln y
tangent
y
x
f a
kT x
Solve y
3
a där kT
f 3
f' 3
f ' a och a
x
3 ger nu tangenten. Sedan normalen på samma sätt med kT kN
3 ,y
log 54
1
normal
Solvey
x
f 3
3 , y
f' 3
y
x
3
log 54
En bild piggar alltid upp
Plot Evaluate
PlotStyle
f x , y . tangent, y . normal , x, 2, 4 , AspectRatio
Red, Blue, Orange , AxesLabel
"x", "y,yT ,yN "
Automatic,
y,yT ,yN
5.0
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
3.0
3.5
4.0
x
Att derivera en funktion på parameterform innebär helt naturligt att derivera varje koordinatfunktion var för sig.
pu
p
u
xu,yu,

x
,
u
y
u
,
Exempel: En partikel rör sig i en cirkulär bana i xy-planet, p t

Parameterform.
Derivera
1
1
cos 2 t, sin 2 t. Sök dess hastighet som funktion av tiden.
Lösningsförslag: Partikeln rör sig moturs på en cirkel med radien lika med 1.
Hastigheten får vi genom att derivera läget med avseende på tiden.
1
1
Parameterform.
p t cos t, sin t
p' t
1.0
pt
2
p
t
p
t
2
1
1
 t cos 2 t, t sin 2 t
1
1
1
p' t
 sin 2 t, cos 2 t
2
y
Derivera Glöm inte kedjeregeln
0.5
Hastigheten
Hastigheten är en så kallad vektor. En sådan har både riktning och storlek.
När det gäller hastighet så kallas dess storlek för fart. Så i bilen har vi strängt
taget en fartmätare och inte en hastighetsmätare eftersom vi inte får någon
information åt vilket håll vi kör Återkommer till detta senare i kursen
Här nöjer vi oss med att rita ut läget med en blå vektorpil och hastigheten
med en röd. Som väntat pekar hastighetspilen i färdriktningen längs banan
t2
1.0
0.5
0.5
0.5
1.0
1.0
x
1.
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
9
ť Partiell derivata
Vi har tidigare stiftat bekanskap med funktioner som har flera oberoende variabler och en beroende variabel. På samma sätt som vid
analys i en variabel är man även i dessa fall intresserad av hur funktionen beter sig i närheten av en punkt, det vill säga derivata.
så definierar vi analogt med det endimensionella fallet de partiella derivatorna
Antag att vi har en funktion z f x, y : 2
med avseende på x respektive y i punkten x, y
f
fx
x
f x h,y
lim
f x
f
h
h 0
fy
y
f x,y h
lim
f
om gränsvärdena existerar. Utvidgning till n oberoende variabler är odramatisk
f y
h
h 0
f xi
xi
f x1 ,
lim
,xi h,
,xn
f x1 ,
,xn
. Inget
h
h 0
märkvärdigt, räknetekniskt gör man som vanligt, det vill säga deriverar med avseende på den variabel som önskas och låter de
andra oberoende variablerna vara konstanter vilka som helst. För att markera att det handlar om partiell derivata skriver vi i
stället för och vid '-beteckning måste vi ange i ett subindex vilken variabel vi avser att behandla. Eftersom vi vilar på samma
gränsvärdesfundament som i envariabelfallet kommer hela arsenalen av exempelvis deriveringsregler och standardderivator att ärvas
över.
De partiella derivatorna i en given punkt x0 , y0 kan tolkas geometriskt,
se den informationstäta figuren och låt färgpennan hänga med . Skär
ytan z f x, y med ett plan x x0 parallellt med yz–koordinatplanet
och ett plan y y0 parallellt med xz–koordinatplanet. Skärningspunkten
mellan dessa tre geometriska objekt blir i rymdpunkten x0 , y0 , f x0 , y0
markerad med en . Skärningen mellan ytan och planet x x0 blir en
funktion z f x0 , y och den partiella derivatan f y x0 , y0 är nu riktnings–
koefficienten för tangenten till kurvan z f x0 , y i punkten x0 , y0 . På
motsvarande sätt inses att den partiella derivatan fx x0 , y0 är riktnings–
koefficienten för tangenten till kurvan z f x, y0 i punkten x0 , y0 .
Dessa tangenter ligger naturligtvis i respektive skärningsplan.
x3
Exempel: Låt funktionen f x, y
f
Lösningsförslag: Vi får direkt
3x2
x
4xy2
5y
4y2
xsin 2 y
7 vara given. Bestäm de partiella derivatornna
f
sin 2 y och
y
5
8xy
f
x
och
f
y
.
2xcos 2 y . I Mathematica är det samma gamla funktion
D som gör jobbet.
x3
f
5y
4 x y2
x Sin 2 y
pd
D f, x , D f, y
3 x2
4 y2
sin 2 y , 8 x y
7;
2 x cos 2 y
Π
5
Π
Π
Exempelvis i punkten 1, 4  har vi då fx 1, 4  och f y 1, 4 
Π
pd . x
1, y

4
Π2
,5
4
2 Π
4
Eftersom derivatan av en funktion är en ny funktion kan vi fortsätta derivera. Utvidgning av de partiella derivatorna av andra
ordningen går till som i det endimensionella fallet och är fyra till antalet då vi har två oberoende variabler f x, y .
2
f
x2
2
x
f
y2
y


f
x
f
y


2
f
x
fx
fxx''
y x
y
 fy 
''
f yy
x y
2

y
f
x
f
x

f
y


y
fx
''
fxy
x
 fy 
''
f yx
Lägg märke till att för varje derivata så fyller man på subindexlistan "i slutet".
Exempel: Bestäm de partiella derivatorna av andra ordningen till f x, y i föregående exempel.
Lösningsförslag: Eftersom vi redan bestämt de partiella derivatorna av första ordningen,
f
y
5
8xy
2xcos 2 y får vi direkt
2f
x2
6x,
2f
y x
8y
2cos 2 y ,
2f
x y
8y
2cos 2 y och
f
3x2
x
2f
y2
4y2
sin 2 y och
8x 4xsin 2 y .
10
Derivator och Mathematica
2
Vi ser att
2
f
y x
f
x y
HH/ITE/BN
. Detta är ingen tillfällighet utan en regel. Det spelar alltså inte någon roll i vilken ordning vi deriverar, först x
sedan y eller tvärtom. I D är det bara att lägga till ett argument.
D f, x, x , D f, x, y
6 x, 8 y
2 cos 2 y
Alla derivator av andra ordning (samlade i en matris som kallas Hessianen).
Outer D f, 1, 2 &, x, y , x, y

6x
8y
2 cos 2 y
8y
8x
2 cos 2 y

4 x sin 2 y
Det bör nu inte förvåna någon att tredje, fjärde och högre ordningens partiella derivator definieras på liknande sätt, exempelvis
x
'' 
 f yx
3 och
f yxx
y
3 
 f yyx
4 . I Mathematica är det bara att fortsätta hänga på argument, så om vi fortsätter med exemplet ovan
f yyxy
3
4
och f yyxy
.
har vi f yxx
D f, y, x, x , D f, y, y, x, y
0, 8 cos 2 y
4
''
3
4
Så här ser exempelvis resan fram till f yyxy
ut. Det börjar med f själv, följt av f y , f yy
, f yyx
och slutligen f yyxy
.
FoldList D, f, y, y, x, y
x3
4 y2 x
sin 2 y x
5y
7, 8 x y
2 x cos 2 y
5, 8 x
4 x sin 2 y , 8
Exempel: Antag att vi är ute och orienterar med höjdkartan h x, y
punkten x, y
3, 4 och vill veta hur det lutar i olika riktningar.
sin x
4 sin 2 y , 8 cos 2 y 
cos y , x
0, 2Π , y
0, 2Π och befinner oss i
Lösningsförslag: Vi börjar med att rita en bild över terrängen med vår position markerad med en .
Vi får de partiella derivatorna hx
cos x , h y
sin y , som i vår position har värdena hx
cos 3
0 och h y
sin 4
0. Så det
är nerförsbacke i positiv x-riktning (österut) och uppförsbacke i positiv y-riktning (norrut). Eftersom vi har en "snäll" funktion
innebär det även att vi har uppförsbacke västerut och nerförsbacke söderut. Verkar stämma bra med det visuella intrycket man får av
bilden.
D Sin x
Cos y ,
. x 3., y 4.
cos x , sin y
0.989992, 0.756802
&
x, y
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
11
ť Implicita funktioner
Med en implicit funktion menas samband på formen f x, y 0, där det är svårt, onödigt eller rent av omöjligt att skriva om på
explicit form y f x . Att derivera en implicit funktion är inte värre än att derivera en explicit. Man deriverar helt enkelt båda sidor
med avseende på den variabel som önskas. Det är alltså som vanligt med "ekvationer", ska något göras ska det göras på båda sidor!
Om vi tänker efter så är ju derivatan av en explicit funktion ett specialfall av den implicita, till exempel bestäm derivatan av
y
x2
x
y
x
y
x2 
x
2x. I Mathematica används Dt[ekv,x] och Dt[ekv,{x,n}] för implcit derivering, (eng. total
derivative). Vi tar några exempel. Tänk på att vara petnoga!!
Exempel: Bestäm derivatan av y
arccos x .
Lösningsförslag: Detta är det första av tre urexempel på implicit derivering. Vänj dig vid skrivsättet
och träna så här
x
omständigt!!!
y
arccos x
x
x
x
1
Definition
Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln.
y
cos y
y
Endast SD kvar
x
y
sin y
y
cos y
cos y
x
x
x
Trig. ettan
x
1
x
sin y
1
Plugga sedan in cos y
1 x
cos2 y . Här gäller
y
x och lös ut
x
2
eftersom y
Varccos
0, Π
sin y
0.
.
D ArcCos x , x
1
x2
1
Exempel: Bestäm derivatan av y
arcsin x .
Lösningsförslag: Detta är det andra...
y
arcsin x
x
x
1
x
x
x
y
cos y
y
x
sin y
sin y
sin y
Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln.
y
Endast SD kvar
x
y
Trig. ettan
x
1
x
Definition
cos y
1
Plugga sedan in sin y
sin2 y . Här gäller
x och lös ut
1 x2
y
x
eftersom y
Varcsin

.
D ArcSin x , x
1
x2
1
Exempel: Bestäm derivatan av y
arctan x .
Lösningsförslag: Detta är det tredje...
arctan x
y
x
x
1
D ArcTan x , x
1
x2
1
x
x
1
x
y
x
tan y
Definition
tan y
Derivera implicit med avseende på x Kedjeregeln.
y
tan y
tan2 y 
Endast SD kvar
x
y
y
1
x
x
1 x2
Plugga in tan y
x och lös ut
y
x
.
Π Π
, 
2 2
cos y
0.
12
Derivator och Mathematica
y
Exempel: Bestäm
x
i punkten 2, 1 då 4x y3
HH/ITE/BN
6x2 .
16
Lösningsförslag: Vi söker alltså tangentens riktningskoefficient i punkten 2, 1 . Typisk implicit derivering. Vi använder oss av
strategin på båda sidor om likhetstecknet! Vänj dig vid skrivsättet
x
4x y3 16
4
x
x y3 
4
4
x y3
x
4 1 y3
4 y3
Dt4 x y3
ekv
y
4 y3
12 x
y2
16
x
x y3
x
x
x
x
x
y
x 3y3
3xy2
y
6
16
6 x2 , x
6x2 
6
x
Summaregeln och konstantregeln.
x2 
y3 
y3 
1 y
x

4 1
x

y
x
24
och träna så här omständigt!!!
x
x
y
x

Produktregeln.
16
x
6
16
6 2x2
0
x
x2 
6
x
Kedjeregeln.
x2  Endast SD kvar
1
Hyfsa
12x
y
x
Sätt in x
5
6
Lös ut
2, y
y
x
1.
.
12 x
x
dydx
y
Solve ekv, Dt y, x
3x

y3
3 x y2
x

Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att x och y byts ut i
dydx . Rule a , b
y
5
x
6

Rule a, b . x
2, y
y
x
. Enklare för hand
1

Samma resultat får man med den vanliga deriveringsfunktionen D[ekv,x]om man talar om vad som är funktioner av x, här y x .
Dt[ekv,x]däremot deriverar allt som kommer i dess väg som om det vore en funktion av x, det vill säga den lever upp till sitt
namn (eng. total derivative). Vilken man använder är en smaksak och vad man tänkt göra med uttrycket efter derivering och
naturligtvis hur den implicita funktionen är representerad i Mathematica. Utan tröttande kommentarer kör vi snabbt igenom exemplet igen med D istället. Jämför noga alla steg med Dt ovan!
ekv
4yx
D4 x y x
3
dydx
3
12 x y x y x
6 x2 , x
16
2
12 x
Solve ekv, y ' x
3x
yx
y x
3xy x
dydx . x
2
3

2, y x
1
5
y 2

6
Om vi jämför de två funktionerna D och Dt ser vi att de har sina för- och nackdelar. D deriverar bara det som är funktioner, typ y x ,
och betraktar allt annat som konstanter. Dt däremot deriverar allt, och ger dessutom lite snyggare utskrifter på formen
y
x
. Priset
man får betala vid Dt är att man måste ange vilka variabler som är konstanter och ett (mycket) komplicerat ReplaceAll (/.) i
vissa situationer när man ska sätta in numeriska värden. Kolla noga i exemplet ovan igen. Även i kommande exempel kommer vi att
använda båda metoderna så det blir gott om tillfällen att väga dem mot varann. Generellt kan man kanske säga att när man löser
problem med Mathematica så är nog D den mest bekymmersfria varianten, dessutom är det ju ingen nackdel att hålla lite ordning på
vad som varierar! Å andra sidan kommer det man gör för hand med naturlig användning av kedjeregeln mest likna det som Dt
levererar.
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
5sinxy2 
Exempel: Givet kurvan x y
y
x. Sök
x
13
.
Lösningsförslag: Vi använder oss av strategin på båda sidor om likhetstecknet! Var noggrann!
x
x
x
x
x
x
5sinxy2 
x y
x y 
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
x
y
x
y
1
1
y
x
x
Summaregeln.
x
y
y
y
 y
5
 y
y1 2 
y1 2 
x
1 12 1 y
y
2
x
y
5y2 cosxy2 
x
x
sinxy2 
x
y
5
x
y
5
x
y
u
x
sin u
u
u
5
x
Produktregeln och konstantregeln.
x
sin u 
x
5 cos u 1 y2
Kedjeregeln, vid
xy2 
x
sin u 
x
x y2
x
x y2
x
x 2y2
x
x
x
y
1 y

x
y2 
y2 
x
y
x

x
x
1
Kedjeregeln.
x
Endast SD kvar
Byt tillbaka u. Hyfsa
Lös ut
10x y cosxy2 
Dtx
y
5 Sinx y2 
x, x
y
x
x
2
y
5 cosx y2  y2
2x
y
y
1
x
y
Solve ekv, Dt y, x
2
y

x
y 5 cos x y2 y2
y
x 20 cos x y2 y3 2
1
1

Samma resultat får man naturligtvis med den vanliga deriveringsfunktionen D.
ekv
Dx
xy x
2
y x
2
5 Sinx y x
5 cosx y x 2  y x
2

x, x
2xy x y x 
yx
1
yx
Solve ekv, y ' x
2
y x 5 cos x y x
2
y x
x 20 cos x y x
yx
2
2
yx
yx
32
mellan tryck och volym. Bestäm p då p
2, V
1

1
Exempel: För en viss typ av gas gäller sambandet pV 2
3 och V
18
6.
Lösningsförslag: Först en liten bild över situationen.
18
Plot
, V, 2, 4 , PlotStyle
V2
p
4.5
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
1.5
2.5
3.0
3.5
4.0
V
y och u
gx
Potenslagar och produktregeln.
y
2
ekv
x
x
5sinxy2 
Orange, AxesLabel
"V", "p" 
y
x
xy2 .
14
Derivator och Mathematica
HH/ITE/BN
Sedan implicit derivering av uttrycket med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Typisk tillämpning, inget t i uttrycket så
långt ögat når, men här inser vi att t ligger dolt i både V t och p t . Så
Dtp V2
ekv
18, t
p
V2
V
2 pV
0
t
t
Lös ut derivatan av trycket med avseende på tiden, det vill säga p
dpdt
p
t
.
Solve ekv, Dt p, t
V
2p
p
t


V
t
Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att p och V byts ut i
dpdt . Rule a , b
Rule a, b . Dt V, t
p
t
och
6 . p
V
t
. Enklare för hand
2, V
3
p
8

t
Å en gång till med D.
ekv
V t
Lös ut
p
Dp t V t
2
p t
2
18, t
2pt V t V t
0
och sätt in numeriska värden.
t
dpdt
Solve ekv, p ' t
2pt V t
 p t

V t
dpdt . V ' t
p t
6, p t
2, V t
3
8
Om man vill så kan man naturligtvis sätta in numeriska data först och sedan lösa ut p ' t . Vi provar i senaste varianten med D. Gör
själv detta i fallet med Dt!
numekv
9p t
ekv . V ' t
72
6, p t
2, V t
3
0
Solve numekv, p ' t
p t
8
Exempel: En surströmmingsburk sväller med 2 mm3 dygn
under det att den behåller sin cylindriska form. Vid en tidpunkt
var radien r
50, höjden h
40 och
r
t
1
. Sök
2
h
t
vid
denna tidpunkt.
Lösningsförslag: Implicit derivering av cylinderns volym med avseende på tiden t vid godtycklig tidpunkt t. Detta är en typisk
tillämpning på hastighetsproblem att derivera ett rent geometriskt uttryck med avseende på tiden. Lös sedan ut
ekv
Π r2 h, t
DtV
V
h
Π r2
r
2Πhr
t
t
dhdt
h

t
t
Solve ekv, Dt h, t
V
t
2Πhr
Π r2
r
t

Simplify
h
.
t
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
15
Slutligen är det dax för numeriska data. Lite teknisk ReplaceAll(/.) för att undvika att r och h byts ut i
r
t
och
h
.
t
Enklare för
hand att sätta in värden direkt efter implicit derivering ovan
1
dhdt . Rule a , b
Rulea, b . Dt V, t
2, Dt r, t
 . r
50, h
40 
2
h
2
2000 Π


t
2500 Π
Kör på med D också.
ekv
DV t
V t
Πr t 2h t
dhdt
Πr t
2
h t , t
2Πh t r t r t
Solve ekv, h ' t
V t
Simplify
2Πh t r t r t
h t

2
Πr t
1
dhdt . V ' t
,r t
2, r ' t
50, h t
40
2
2
2000 Π
h t

2500 Π
Exempel: Målarens mardröm. En målare befinner sig på en L m lång stege då
dess kontaktpunkt med marken plötsligt släpper och glider ut med konstant fart
längs marken. För vår vän på stegen väntar en obehaglig nedfärd. Sök hastigheten
för stegens kontaktpunkt mot huset.
Lösningsförslag: Lägg in stegen i ett koordinatsystem. Geometrin bestäms av Pytagoras sats. Vi söker hastigheter, vilket är derivata
med avseende på tiden, så derivera implicit map t.
Dtx2
der
x
y2
y
2y
2x
L2 , t
L
2L
t
t
t
Stegens längd L ändras inte under den vådliga resan, detta måste vi ange eftersom Dt deriverar allt som om det vore funktioner av t.
ekv
der . Dt L, t
x
y
2y
2x
0
t
t
y
Lös ut den sökta hastigheten
dydt
y
t
y längs väggen.
Solve ekv, Dt y, t
x
x
t

t
0

y
Stämmer ju bra att resan går i negativ riktning då x ökar. Lite teknisk ReplaceAll (/.) för att undvika att x och y byts ut i
y
t
. Av samma skäl måste
x
t
bytas innan x. Som numeriskt exempel väljer vi en stege med längden 5 m och söker y då x
x
t
och
3 m och
x 2 m/s. Mata in med rätt tecken så kommer svaret ut med rätt tecken i förhållande till de koordinatriktingar vi valt. Så blir det
alltid! Smidigt i matematiken!
dydt . Rule a , b
Rulea, b . Dt x, t
2 . x
3, y
52
32 
16
Derivator och Mathematica
y
3
t
2

HH/ITE/BN

Vi provar naturligtvis även med D. Notera speciellt behandlingen av L jämfört med ovan!
der
2
Dx t
2x t x t
dydt
y t
2yt y t
2
L2 , t
0
Solve der, y ' t
xt x t
y t

yt
dydt . x ' t
2, x t
52
3, y t
32 
3
y t

2
Exempel: Lille Kalle under lampans sken. Sök hur längden
av Kalles skugga ändras då han promenerar mot lampan med
konstant fart.
Lösningsförslag: Figuren ovan åskådliggör modellen med intressanta geometriska storheter. Det räcker med likformiga trianglar för
att koppla det som ändras med tiden, nämligen skuggans längd s och Kalles läge a i förhållande till lampan. Vi söker hastigheter,
vilket är derivata med avseende på tiden, så derivera implicit map t.
a
der
s
s
Dt
, t
H
a
s
t
t
a
L
s
H
s
t
t
H2
H
L
L
s
t
L2
Varken Kalle eller lyktstolpen växer under studien antar vi...
ekv
der . Dt L, t
a
s
s
t
t
t
H
0, Dt H, t
0
L
Lös ut skuggans ändringshastighet
dsdt
Solve ekv, Dt s, t
s
L
t
H

a
t

L
Här duger en "vanlig" ReplaceAll (/.). Exempelvis H 10 m, L 2 m och a
lampan, ger slutligen s. ALLA indata med rätt tecken ger utdata med rätt tecken!
dsdt . H
s
1
t
2

10, L
2, Dt a, t
2 m/s, negativ eftersom han rör sig mot
2

Visst, skuggans längd minskar som sig bör! Slutligen en repris med D. Notera speciellt behandlingen av H och L jämfört med ovan!
a t
der
s t
s t
, t
D
H
a t
s t
H
s t
L
L
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
dsdt
17
Solve der, s ' t
La t
s t

H
L
dsdt . H
10, L
2, a ' t
2
1
s t

2
Exempel: I en ladugård finns en traktordriven höbalslyft enligt
figur. Sök höbalens fart upp mot taket då traktorn kör iväg med
konstant fart.
Lösningsförslag: Med beteckningar enligt figur har vi dels Pytagoras sats och ett samband för repets längd L. Sådant samband
brukar kallas kopplingsvillkor, eftersom det kopplar samman variabler till varann, här l och y som inte är oberoende av varann. Låt
S vara den okända del av linans längd som är upplindad i taljans skivor.
x2
ekv
h2
x2
h2
l2 , L
l2 , L
2 h
2 h
y
l
y
l
S
S
Lös ut y och l.
yÅl
Solve ekv, y, l
1
h2
y
x2
2h
L
h2
S ,l
1
x2 , y
2
h2
x2
2h
L
S ,l
h2
x2 
2
Här duger bara den sista lösningen eftersom l 0. Den andra lösningen är modellens spegelbild under markplanet! Även denna
gruvvariant ryms i formuleringen. Derivera nu med avseende på tiden och anta att taket, repet och taljan håller under resan!
DtyÅl 2 , t
. Dt h, t
y
h
1 2h
2
h2
2
t

t
2
S
l
0
h
2h
t
l
x
t
h2
t
t
t
2x
t
,
x2
x2
L
2
,
h2
0, Dt S, t
h
t
x
x
y
x
2x
t

t
0, Dt L, t
h2
2
x
t

x2
x
t

x2
Detta är balens hastighet, i koordinatriktningen, som funktion av traktorns läge x och hastighet x. Var noga med tecken på t.ex. x om
du vill exemplifiera med numeriska data. Gör det! Men först en koll på vad D har att säga, men håll själv först koll på vad som
varierar med t!!
ekv
h2
yÅl
x t
xt
2
2
h2
l t
l t 2, L
2 h
2
,L
yt
2 h
lt
y t
l t
S
S
Solve ekv, y t , l t
1
h2
y t
xt
2
2h
L
h2
S ,l t
2
2
1
, y t
2
DyÅl 2 , t
xt x t
xt x t
y t
,l t
2
xt
h2
xt
2

h2
xt
2
h2
xt
2
2h
L
S ,l t
h2
xt
2

18
Derivator och Mathematica
HH/ITE/BN
Om man har att derivera ett omfattande uttryck som bara innehåller produkter och kvoter eller när den oberoende variabeln ingår i
exponenter kan det vara lämpligt att tillgripa logaritmisk derivering. Egentligen inget nytt. Slå först sönder uttrycket med hjälp av
logaritmlagarna och derivera sedan implicit. Vi sammanfattar
f
f1 f2
fm
g1 g2
gn
ln f
Logaritmlagar
ln f2
ln f1
ln fi
f
1
f
xxx
.
2x
Exempel: Låt y
f1
f1
1
f f
y
Sök
x
ln fi
fi
1
f1
f
ln fm
fi
1
ln g1
ln g2
ln gn
Derivera implicit ...
osv ...
1
fm
fm
1
fm
fm
1
g1
1
g1
... med kedjeregeln
g1
1
gn
gn
1
gn
gn
g1
Lös ut

f
Färdig
.
Lösningsförslag: Vi använder oss av logaritmisk derivering (vad annars?) Var noggrann!
xxx
2x
y
ln y
ln y
x
y
y
1
y
ln x
ln y
x
y
ln y
y
x
x
1
x
x
ln x
x
x
xxx

2x
ln x
y
ln y
x
ln
1 ln x
ln 2
xln x
ln x
x
ln x
x
ln xxx
ln y
x
1
x
x
a
ln 2x
ln y
ln x
Logaritmera båda sidor Utnyttja att ln b 
xln x
xln 2
ln ab
xln 2
ln 2 1
ln b , lna 
ln a
ln b ,
bln a .
Derivera implicit map x Kedjeregeln och summaregeln.
xln x
x ln x
ln a
b
xln 2
x
x
y
x
x
Produktregeln och konstantregeln.
ln x
ln 2
xxx 1

2x x
ln x
x
x
1
Endast SD kvar
y
ln 2  Lös ut
x
och sätt in y
xxx
.
2x
x xx
D
, x
Simplify
2x
2
x
xx log x x
log 2 x
x
1
ť Optimering
Mycken sysselsättning i tillämpad matematik går ut på att optimera saker och ting, "Så lätt som möjligt...!", "Så billigt som
möjligt...!", "Så snabbt som möjligt...!", "Så högt som möjligt...!". Detta innebär att vi vill söka maximum eller minimum till en
given funktion i ett givet intervall. Sådana punkter brukar kallas extrempunkter och klassas som lokala eller globala beroende på
deras innebördes rangordning. Motsvarande funktionsvärde brukar kallas extremvärden. Men det finns även begreppen
terasspunkt och inflextionspunkt. En bild förtydligar.
y
y f x
f ' x5
f' x
x1
0
f' x
0
f' x
f ' x4
a
0, f '' x5
x2
x3
0, f '' x4
x4
0
0
0
x5
x6
b
x
I intervallet a, b har vi 6 extrempunkter, x1 , x3 och x5 är lokala maximum medan x2 , x4 och x6 är lokala minimum. Funktionen har
globalt minimum i x2 och globalt maximum i b. Om vi däremot mekar om till halvöppet intervall a, b så saknar funktionen ett
globalt maximum. Om vi å andra sidan inskränker intervallet till a, x6 så har funktionen globalt maximum i x1 . Vid sunda modelleringar brukar man ha globala min/max inne i det intervall som man studerar. Vi sammanfattar
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
19
Lite diagnostisering med hjälp av derivator.
Om f ' x 0 så är f strängt växande i x. Brukar anges med . Exempelvis är f växande i intervallet x2 , x3 i figuren ovan.
Om f ' x 0 så är f strängt avtagande i x. Brukar anges med . Exempelvis är f avtagande i intervallet x1 , x2 i figuren ovan.
Om f ' x0 0 och f ' har teckenväxlingen 0 i x0 så har f ett lokalt minimum i x0 .
Om f ' x0 0 och f ' har teckenväxlingen 0 i x0 så har f ett lokalt maximum i x0 .
f '' x0 0 vid lokalt maximum.
Om f har extremvärde i punkten x0 så är f ' x0 0 och
f '' x0 0 vid lokalt minimum.
Om f ' x0 0 och f ' har teckenväxlingen 0 eller 0 i x0 så har f en terasspunkt i x0 .
Om f '' växlar tecken i x0 så har f en inflexionspunkt i x0 . Detta innebär att f '' x0 0.
Att optimera någonting, det vill säga att söka maximum eller minimum av en funktion, vilar tungt på derivering och ekvationslösning eftersom vi ställs inför problemet att lösa f ' x 0. Mathematica har förutom de ovan nämnda funktionerna för att derivera en
samling funktioner som är ämnade för direkt optimering; Maximize, NMaximize, FindMaximum, Minimize, NMinimize och FindMinimum. Se vidare i Help.
1
2
Exempel: Sök minsta avståndet från punkten 1, 0 till linjen y
x.
Lösningsförslag: Drag en rät linje från 1, 0 till en godtycklig punkt x, y på linjen. Vi ska bestämma x så att linjestyckets längd L
blir så kort som möjligt, och har situationen
1
x, x, 0, 1 , AspectRatio
2
AxesLabel
"x", "y" , Epilog
Automatic,
Plot
Red, Line
Text "L", 0.8, 0.15 , Background
1, 0 , 0.6, 0.3
,
White , Text " x,y ?", 0.6, 0.3 , Background
White

y
0.5
0.4
x,y ?
0.3
0.2
L
0.1
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
x
Vi låter Mathematica göra hela jobbet att lösa ut L ur Pythagoras sats och samtidigt eliminera y ur det så kallade kopplingsvillkoret
1
2
mellan x och y, det vill säga funktionssambandet y
x, så att vi får L x . Typisk modellering att formulera samband på ekvations-
form och låta Mathematica göra grovjobbet. Frestas inte att göra det för hand, eftersom det är ett utmärkt sätt att introducera fel!
LÅy
SolveL2
1
2
x
0
y
2
1
,y
x, L, y 
2
1
L
5 x2
x
8x
4,y
1
5 x2
, L
2
2
x
8x
4,y

2
2
Här duger bara sista lösningen eftersom vi har kravet L 0. En liten plot ska man göra så ofta man hinner. Ger en direkt indikation
på om vi har modellerat sunt och att titta tillbaka på när man väl har bestämt en extrempunkt!
PlotL . LÅy 2 , x,
1, 3 , PlotStyle
Red, AxesLabel
"x", "L x " 
Lx
2.5
2.0
1.5
1.0
1
1
2
3
x
Ett tydligt minimum som sig bör, eftersom vi inser att L
optimalt x, ur
L
x
0.
både då x
och x
Bestäm nu extrempunkt, det vill säga
20
Derivator och Mathematica
dLdx
HH/ITE/BN
DL . LÅy 2 , x
10 x
8
4
5 x2
x
Solve dLdx
8x
4
0
4
x

5
Stämmer bra med figuren ovan. Slutligen kortaste avståndet med y-värdet på köpet.
LÅy 2
.x
1
L
2
,y

5
5
En snabb och direkt (ingenjörs ;-)version levereras i Mathematica av de lättanvända FindMinimum och FindMaximum. Dessa
kommer speciellt till användning då vi efter deriveringen hamnar i en icke-linjär ekvation som är för svår för Solve så FindRoot
måste tillgripas. Sådana funktioner har ofta flera extrempunkter och man måste liksom vid FindRoot hjälpa till med ett startvärde i
närheten av den extrempunkt man söker. Detta hämtas naturligtvis från grafen L x och är enkelt i detta speciella fall. Notera att vi
får både extrempunkten, på regelform naturligtvis, och extremvärdet.
FindMinimumL . LÅy 2 , x, 0 
0.447214, x
0.8
Exempel: Ett exempel på då Solve går bet på att lösa f ' x
f x
0.
: x Cos x
Denna funktion har oändligt med extrempunkter och nollställen. Viktigt att rita grafen!
Plot f x , x, 0, 25 , PlotStyle
Orange, AxesLabel
"x", "f x "
f x
20
10
5
10
15
20
25
x
10
20
Vi får olika extrempunkter beroende på var vi låter FindMinimum och FindMaximum börja "nosa". Vi måste alltså veta vilken vi
söker, vilket i sin tur beror på frågeställningen! Exempelvis
FindMaximum f x , x, 5
6.361, x
6.4373
FindMinimum f x , x, 5
3.28837, x
3.42562
FindMaximum f x , x, 20
18.876, x
18.9024
FindRoot f x , x, 20
x
20.4204
HH/ITE/BN
Derivator och Mathematica
21
Exempel: Man vill av tunn plåt tillverka en cylindrisk konservburk
med given volym V . Bestäm radie och höjd i den burk som kräver
minst materialåtgång, det vill säga har minst total area.
Lösningsförslag: Antag att konservburken har höjden h och radien r. Dessa kan nu inte variera fritt oberoende av varandra, de binds
samman av att volymen på burken är given V Πr2h. Sådana här kopplingar brukar kallas för just kopplingsvillkor. Totala arean av
burken byggs upp av två lock, 2Al 2 Πr2 , samt mantelarean Am omkrets höjd 2Πr h. Gör nu inte för mycket för hand, varje
sådan insats är en potentiell risk för att introducera fel. Låt Mathematica göra jobbet! Skriv bara ned alla grundsamband.
ekv
Π r2 h, Atot
V
Π h r2 , Atot
V
2 Al
2 Al
Π r2 , Am
Am , Al
Π r2 , A m
A m , Al
2 Π r h
2 Π h r
Utnyttja att V är given för att lösa ut Atot som funktion av r. Ta för vana att lösa ut lika många variabler som vi har ekvationer. Även
de variabler som inte primärt används vid optimeringen är oftast intressanta att veta värdena på till slut. Så alla som funktioner av r!
Amm
Solve ekv, Atot , h, Al , Am
2 Π r3
Atot
V
V
,h
r
Πr
PlotAtot  V2
3
2

r
x V1 3 , x, 0.1, 1 , PlotStyle
. Amm . r
PlotRange
2V
Π r2 , Am
, Al
Red,
"r V1 3 ", "Atot V2 3 "
5, 10 , AxesLabel
Atot V 2 3
10
9
8
7
6
0.0
0.2
0.4
0.6
Ser sunt ut, eftersom Atot
Atot
r
0.8
1.0
både då r
r V1 3
0 och r
Bestäm nu det r som minimerar Atot genom att söka nollställe till derivatan,
0.
dAdr
D Atot
2 Π r3
6 Π r
r
. Amm, r
V

r2
Solve dAdr
1
r
0, r
3
3
3
r
1
V , r
23
3
V
, r
2Π
r
V
3

3
2Π
2Π
N
0.270963
3
0.469322
V , r
0.541926
3
V , r
0.270963
0.469322
3
V 
Här är det bara den mittersta lösningen som är reell, de andra två komplexa har inte med saken att göra. Slutligen alla variabler vid
detta välsignade tillstånd.
Amm . r 2
N
Atot
Atot
3
3
2Π V
23
22 3
3
,h
3
5.53581 V 2 3 , h
3
V
, Al
Π
1.08385
3
V , Al
Π V2 3
22 3
, Am
2
3
2 Π V 2 3 
0.922635 V 2 3 , Am
3.69054 V 2 3 
22
Derivator och Mathematica
HH/ITE/BN
Alla symboliska resultat måste underkastas dimensionsanalys!! Här har vi
arean Atot
höjden h
3
3

22 3
3
3
2 Π V 2 3
Al
Am
1  V 2 3
m3 
23
m2 , Ok!
3
V
Π

1 V 
1
m3 
13
m , Ok!
Med symboliska svar kan man lätt få en kvalitativ bild av hur modellen påverkas av olika storheter.
Vi ser att burken får en "kvadratisk" profil, eftersom
2r
. Amm . r 2
h
1
Om volymen varit specificerad till ett numeriskt värde, säg V
FindMinimum Atot
5.53581, r
. Amm . V
1, kunde vi exempelvis direkt använt oss av FindMinimum.
1, r, 2
0.541926
ť Några viktiga satser
Vi sammanfattar några viktiga satser, utan bevis, som väsentligen motiverar det som angetts ovan. Det kan nämnas att bevisen av
vissa av dem är svårare än vad som kan förmodas, med tanke på deras enkla innebörd. Vi börjar med Bolzano-Weierstrass sats
(Bernard Bolzano (1781-1848) och Karl Weierstrass (1815-1897))
Satsen om mellanliggande värden. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så antar f i detta intervall varje
värde mellan f a och f b .
Sedan har vi
Satsen om största och minsta värde. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , så är f uppåt och nedåt begränsad
i detta intervall. Vidare har f ett största och ett minsta värde i detta intervall.
Satsen om lokalt maximum och minimum. Antag att funktionen f har ett lokalt maximum eller minimum i en punkt Ξ, som är
inre punkt i ett intervall där f är definierad. Om då f ' Ξ existerar, så är f ' Ξ 0.
Uppkallad efter den franske matematikern Michel Rolle (1652-1719) har vi den viktiga
Rolles sats. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b , deriverbar i a, b och f a
en punkt Ξ a, b sådan att f ' Ξ 0.
f b
0. Då finns det minst
Uppkallad efter en av 1700-talets främste matematiker, (italienskfödde) fransmannen Joseph Louis Lagrange (1652-1719) har vi den
viktiga generaliseringen av Rolles sats
Lagrange medelvärdessats. Antag att funktionen f är kontinuerlig i intervallet a, b och deriverbar i a, b . Då finns det minst
en punkt Ξ a, b sådan att f b
f a
f' Ξ b a.
Lagrange medelvärdessats har en rad viktiga konsekvenser. Här redovisas några.
Antag att funktionen f är deriverbar i intervallet I, som kan vara begränsat, obegränsat, öppet, slutet eller halvöppet. Då gäller
Om f ' x 0 för alla x I, så är f x en strängt växande funktion i I.
Om f ' x 0 för alla x I, så är f x en strängt avtagande funktion i I.
Om f ' x 0 för alla x I, så är f x konstant i I.