Något om SI-systemet och Mathematica

HH/ITE/BN
SI-systemet och Mathematica
Något om SI-systemet och Mathematica
Bertil Nilsson
2015-08-15
1
2
SI-systemet och Mathematica
HH/ITE/BN
ť Förord
På följande sidor presenteras en elementär "streetwise guide" till SI-systemet med något lite användning av Mathematica. Framställningen är fåordig, fri från pedanteri men i någon mening fullständig. Det man väsentligen behöver veta om begrepp, terminologi,
beteckningar och teori för att modellera och lösa problem i framtida kurser och yrkesliv som ingenjör, naturvetare eller lärare
klarläggs och typiska exempel ges.
ť Mått och enheter
Sedan tidernas begynnelse har vi människor haft ett behov av att kunna förmedla information till varandra om olika storheter. Hur
lång är...? Vad väger...? När kommer bussen...?
Då vi mäter något får vi ett mätvärde eller mätetal, t.ex. 4, som tillsammans med den använda enheten ger svar på frågan om en
storhet, t.ex. längden av en bil L 4 m. Vi har de tre viktiga begreppen storhet, mätvärde eller mätetal och (mått)enhet (eng.
dimension, reading and unit).
L
storhet
4
m

mätetal enhet
Måttenhet, är en enhet som man mäter något i. En måttenhet är oftast en del av ett enhetssystem, en uppsättning standardiserade
måttenheter som används och fungerar tillsammans, så kallade konsistenta enheter. Storhet är ett begrepp inom fysiken som används
för en egenskap hos ett föremål eller fenomen som går att mäta. Exempel på storheter är längd, tid, hastighet och temperatur.
Storheter kan som vi sett ovan skrivas som en produkt av ett mätetal och en enhet. Ekvationer inom fysik skrivs oftast mellan
storheter, så kallade storhetsekvationer, där man använder storhetssymboler som beteckning för storheterna.
För att kunna kommunicera på ett rationellt sätt kring dessa grundbegrepp är det av yttersta vikt att vi har en gemensam förståelse
och ett gemensamt språk kring dessa. Över tid har olika sådana så kallade måttsystem existerat. Numera är det i de flesta länder SIsystemet som gäller som standard.
Ƅ SI-systemet
SI betyder Système International d Unités, det vill säga franska för "det internationella måttenhetssystemet". Bokstäverna SI
används på alla språk för att beteckna detta system. SI-systemet blev en standard på en internationell kongress 1960 och används i
stora delar av världen och är alltså en standard för måttenheter att användas vid mätning av storheter.
SI-enheterna är de grundläggande enheterna i SI-systemet och indelas i två olika klasser. Det är sju grundenheter, som är noggrant definierade fysikaliskt och ett antal härledda enheter, som bildas genom att kombinera grundenheterna enligt enkla
geometriska och fysikaliska lagar. Ytterligare information om SI-systemet lämnas (på engelska eller franska) av Bureau International des Poids et Mesures, BIPM, varifrån broschyren "Le Système International d Unités" kan hämtas i PDF-format,
http://www1.bipm.org/en/si/si_brochure
Ƅ Grundenheter
Här följer definitionen av de sju grundenheterna i SI-systemet:
Storhet
Grundenhet Symbol
Längd
meter
m
Massa
kilogram
kg
Tid
sekund
s
Elektrisk ström
ampere
A
Temperatur
kelvin
K
Substansmängd mol
mol
Ljusstyrka
cd
candela
meter (m)
Meter är grundenheten för längd. 1 m definieras som det avstånd ljus färdas i tomrum under 1/299792458 sekund.
kilogram (kg)
Kilogram är grundenheten för massa. 1 kg är massan av en prototyp i form av en platinum-iridium cylinder som finns i Sevres,
Frankrike. Det är numera den enda grundenheten som definieras baserat på ett fysiskt objekt och dessutom den enda grundenheten
med ett prefix, se nedan.
HH/ITE/BN
SI-systemet och Mathematica
3
sekund (s)
Sekund är grundenheten för tid. 1 s definieras som varaktigheten av 9192631770 perioder av den strålning som motsvarar övergången mellan de två hyperfinnivåerna i grundtillståndet hos atomen Cesium 133.
ampere (A)
Ampere är grundenheten för ström. 1 A är storleken av den konstanta elektriska ström som, då den genomflyter två raka, parallella
ledare med oändlig längd och försumbart cirkulärt tvärsnitt, placerade på ett avstånd av en meter från varandra i tomrum, åstadkommer mellan dessa ledare en kraft lika med 2 107 newton, se härledda enheter, för varje meter ledare.
kelvin (K)
Kelvin är grundenheten för temperatur. 1 K definieras som 1/273.16 av den termodynamiska temperaturen för vattnets trippelpunkt.
Grundenheten för temperatur har namngetts av den skottske matematikern och fysikern William Thomson 1st Lord Kelvin
(1824-1907).
mol (mol)
Mol är grundenheten för substansmängd. 1 mol definieras som den mängd som innehåller lika många sinsemellan likadana systemelement som det finns atomer i 0.012 kilogram kol-12. Systemelementen kan vara atomer, joner, elektroner, molekyler, andra partiklar
eller definierade partikelgrupper.
candela (cd)
Candela är grundenheten för ljusstyrka. 1 cd är ljusstyrkan i en given riktning från en källa som utsänder monokromatisk strålning
med frekvensen 540 1012 hertz och vars strålningsstyrka i denna riktning är 1/683 watt per steradian, se nedan.
De tre första är grundläggande i de flesta enhetssystem, de kallas därför fundamentala (eng. fundamental units) och också sådana
som själva eller via härledningar (exempel hastighet, energi, tryck) används mycket i vardagligt liv. Tidigt fanns därför definitioner
av dessa. Exempelvis är arkivmetern och arkivkilogrammet välkända.
Med dessa tre kan energi och effekt härledas, och då räcker det att tillföra en elektrisk enhet, ampere, för att alla andra elektriska
enheter ska kunna härledas. Detta sker via effektformeln som säger att elektrisk effekt = spänning ström. Motsvarande gäller för
ljusstyrka; övriga begrepp inom optiken kan härledas ur de vi nu definierat. Temperatur behöver vi också mäta; och kelvinskalan har
den stora fördelen att den utgår från absoluta nollpunkten. Tack vare att temperaturskillnader i Kelvin respektive i grad Celsius, C,
är exakt lika stora, är det enkelt att för vardagligt bruk använda grad Celsius istället. Celsiusskalan föreslogs av den svenske
astronomen Anders Celsius (1701-1744).
Ƅ Kompletterande enheter
De kompletterande SI-enheterna är så kallade dimensionslösa enheter.
Storhet
Enhet
Symbol
Uttryckt i
grundenheter
Vinkel
radian
rad
m m
Rymdvinkel steradian sr
m2 m
1
1
2
1
radian (rad)
Radian är SI-enheten för plan vinkel. En plan vinkel som är 1 rad skär på periferin ut en båge med radiens längd. Radian är en så
kallad dimensionslös enhet, 1 rad 1 m m 1.
steradian (sr)
Steradian är SI-enheten för rymdvinkel. En rymdvinkel som är 1 sr är toppvinkeln hos en kon som har sin spets i centrum av en sfär
och av sfärens yta skär ut ett stycke med en area lika med arean av en kvadrat vars sida har samma längd som sfärens radie. Steradian är en så kallad dimensionslös enhet, 1 sr 1 m2 m2 1.
Ƅ Tilläggsenheter
Följande tilläggsenheter, som definierats på basis av SI-enheterna, är tillåtna, fastän de inte är multipler enligt SI-enheternas
decimalsystem.
4
SI-systemet och Mathematica
Storhet
Tid
Enhet
Symbol
HH/ITE/BN
Uttryckt i
andra SI–enheter
minut
min
1 min
timme
h
1h
60 min
dygn
d
1d
24 h
varv
1 varv
Plan vinkel varv
grad
minut
'
sekund ''
gon
gon
60 s
2Π rad
2Π
rad
1
360
1
1' 60
1
1'' 60 '
Π
1 gon 200 rad
Av de enheter som nämns ovan kan endast gon användas med prefix, se nedan.
Ƅ Härledda enheter
Från SI-systemets sju grundenheter kan andra enheter härledas för olika ändamål. Här nedan följer några vanliga härledda enheter i
SI-systemet. Det finns många fler.
Storhet
Enhet
Symbol
Uttryckt i
Uttryckt i
andra SI–enheter grundenheter
Frekvens
hertz
Hz
s
Kraft
newton
N
m kg s
1
Tryck, mekanisk spänning pascal
Pa
N m2
m
Energi
J
N m
m2 kg s
2
m2
kg s
3
3
joule
1
2
kg s
Effekt
Laddning, elmängd
watt
W
coulomb C
J s
Spänning
volt
V
W A
m2 kg s
Kapacitans
farad
F
C V
m
Resistans
ohm
V A
m2 kg s
Konduktans
siemens
S
A V
m
Magnetiskt flöde
weber
Wb
V s
m2 kg s
Magnetisk flödestäthet
tesla
T
Wb m2
kg s
2
2
s A
2
2
1
kg
2
1
s4 A2
3
1
kg
A
A
2
s3 A2
2
A
1
A
2
1
A
Induktans
Ljusflöde
henry
lumen
H
lm
Wb A
m kg s
cd sr
2
Belysning Illuminans
lux
lx
lm m2
cd sr m
2
farad (F)
Farad är SI-enheten för kapacitans i ett elektriskt system, det vill säga dess kapacitet att lagra elektricitet. 1 F definieras som den
kapacitans en kondensator har med med lika och motsatt laddning av 1 coulomb på vardera platta och en spänningsdifferens på 1
volt mellan plattorna. Farad är en väldigt stor enhet och används oftast med prefixet mikro ( F). Farad har namngetts efter den
engelske kemisten och fysikern Michael Faraday (1791-1867).
hertz (Hz)
Hertz är SI-enheten för frekvens. 1 Hz definieras som en cykel som ett fenomen fullbordar på en ekund. I de flesta fall används
mycket högre frekvenser än 1 Hz. I ljudsammanhang används oftast kilohertz (kHz) och i radiosammanhang megahertz (MHz).
Hertz har namngetts efter den tyske fysikern Heinrich Rudolph Hertz (1857-1894).
joule (J)
Joule är SI-enheten för arbete eller energi. 1 J definieras som den mängd arbete som utförts när en kraft på 1 newton förflyttas en
sträcka på en meter i riktning mot kraften. Joule har namngetts efter den engelske fysikern James Prescott Joule (1818-1889).
newton (N)
Newton är SI-enheten för kraft. 1 N definieras som den kraft som krävs för att ge en massa på 1 kg en acceleration på 1 meter per
sekund per sekund. Newton har namngetts efter den engelske matematikern och fysikern Sir Isaac Newton (1642-1727).
HH/ITE/BN
SI-systemet och Mathematica
5
ohm ( )
Ohm är SI-enheten för motståndet i en elektrisk ledare. Dess symbol är den grekiska bokstaven omega ( ). 1 definieras som
motståndet mellan två punkter på en ledare när en potentialskillnad på en volt mellan dem genererar en ström på en ampere. Ohm
har namngetts efter den tyske fysikern Georg Simon Ohm (1789-1854).
pascal (Pa)
Pascal är SI-enheten för tryck. 1 Pa är det tryck som genereras när en kraft på 1 newton fördelas på en 1 kvadratmeter stor yta. 1Pa
är en ganska liten enhet, oftast används enheten tillsammans med prefixet k (kPa). Pascal har namngetts av den franske matematikern, fysikern och filosofen Blaise Pascal (1623-1662).
volt (V)
Volt är SI-enheten för elektrisk spänning. 1 V definieras som den skillnad i potential mellan två punkter på en elektrisk ledare när en
ström på 1 ampere mellan dessa punkter genererar en effekt på 1 watt. Volt har namngetts av den italienske fysikern Count Alessandro Giuseppe Anastasio Volta (1745-1827).
watt (W)
Watt är SI-enheten för effekt. 1 W definieras som den effekt som genereras av 1 joule under en sekund. Watt har namngetts efter den
skottske ingenjören James Watt (1736-1819).
Ƅ Måttenheternas multipler
Ett SI-prefix är ett prefix som kan användas till någon av enheterna i SI-systemet för att ange multipler eller delar av dessa enheter.
Prefixens symbol skrivs före och tillsammans med enheten. En enhet får bara ha ett prefix. De kan användas både till systemets
grundenheter och till de härledda enheterna.
SI-systemet tillåter alltså att storleken av enheterna görs större eller mindre genom användning av prefix. Exempelvis är det inte
praktiskt att använda enheten meter när man skall mäta stora avstånd som avståndet mellan två orter. I detta fall det kanske bättre att
mäta avståndet i tusentals meter. Prefixet för 1000 är kilo, så kilometer (km) är ett lämpligare avståndsmått. För små dimensioner
som t.ex. ett hårstrås diameter används lämpligast prefixet mikro ( ), som betyder 0.000001, framför meter och vi får ett hårstrås
diameter i mikrometer ( m). I ingenjörssammanhang är det praxis att begränsa sig till prefix där exponenten är en faktor av tre, det
vill säga 10
3k
,k
1, 2,
Här följer hela skalan med prefix, deras multiplikator och symbol.
Prefix Faktor Symbol Prefix Faktor Symbol
yotta
1024
zetta
21
exa
peta
tera
giga
mega
kilo
Y
10
Z
18
15
10
T
10
9
G
10
y
10
21
z
10
18
a
femto 10
15
f
piko
10
12
p
10
9
n
atto
P
12
24
zepto
E
10
10
yokto
nano
6
M
mikro 10
6
3
k
milli
10
3
m
c
d
10
10
2
hekto
10
h
centi
10
2
deka
101
da
deci
10
1
Exempel: Den från sida ett välkända bilen vars längd L
4 m kan vi nu med nyvunna kunskaper skoja till som
L
40
storhet
mätetal
dm
prefix
enhet
Exempel: Ibland hör man talas om en googol, som är 10100 , det vill säga en etta följd av hundra nollor om man använder decimalsystemet. Termen tillhör inte SI-prefixen utan introducerades av Milton Sirotta, nioårig brorson till matematikern Edward Kasner. För
att förnimma en känsla av detta enorma tal kan man jämföra med det väldigt mycket mindre talet 1080 som är det uppskattade antalet
elementarpartiklar i universum! Å andra sidan när matematiker talar om "oändligheten" så är en googol ett försvinnande litet tal!
Den välkända sökmotorn Google på internet skapades av Larry Page och Sergey Brin i september 1998 medan de fortfarande var
datastudenter på Stanford University. Valet av namn var en avsiktlig förvanskning av just ordet googol.
Exempel: Prefixet kilo multiplicerar med 1000, så kilometer (km) betyder tusen meter och kilowatt (kW) betyder tusen watt.
Prefixet milli dividerar med 1000, så millimeter (mm) betyder en tusendels meter och millisekund (ms) betyder en tusendels sekund.
6
SI-systemet och Mathematica
HH/ITE/BN
I äldre litteratur kan man se flera prefix kombinerade, där storleken ska antas vara produkten av de enskilda prefixen. Detta är
felaktig användning. Man får alltså inte skriva kMHz, utan det skall vara GHz (gigahertz). Ett annat vanligt felaktigt skrivsätt är F
(eller än värre MMF), när man menar pF (pikofarad).
Exempel: I vissa fall används prefixen även för enheter utanför SI-systemet. Man säger till exempel MSEK för miljoner svenska
kronor. Till och med i förkortningen Y2K används prefixet kilo – på ett något oegentligt sätt.
Prefixen har också kommit att användas i datasammanhang och då som binära prefix. Sålunda är prefixen kilo (k), mega (M), giga
(G), och tera (T) är vanliga tillsammans med enheter för informationslagring som bit och byte. Eftersom sådana storheter ofta har
värden som utgör potenser av två, binär, har prefixen i dessa sammanhang använts i en oegentlig betydelse.
Prefix
Namn Faktor
210
k eller K kilo
M
mega
1024
20
1 048 576
30
2
G
giga
2
1 073 741 824
T
tera
240
1 099 511 627 776
Vid beskrivning av kommunikationshastigheter har prefixen emellertid alltid använts i sin egentliga betydelse. Ett 10 Mbit/s ethernet
sänder med 10 000 000 bit/s och inte med 10 485 760 bit/s. Motsvarande gäller också för hårddiskar, som använder decimala prefix
(100 GB = 100 109 B), medan andra dataminnen har binära prefix. För en (gammal) 1.44 MB diskett gäller att den har 1440 kB,
cirka 1.406 220 bytes, varav 1.39 220 tillgänglig för filer.
Som följd av detta införde IEC (International Electrotechnical Commission) 1998 en ny uppsättning binära prefix utanför SI. De
bildas genom att byta ut sista stavelsen i SI-prefixen mot 'bi' och till motsvarande symboler lägga bokstaven 'i':
Prefix Symbol Faktor
Ki
210
mebi
Mi
20
2
1 048 576
gibi
Gi
230
1 073 741 824
tebi
Ti
240
1 099 511 627 776
Pi
50
2
1 125 899 906 842 624
Ei
260
1 152 921 504 606 846 976
kibi
pebi
exbi
1024
Detta betyder också att de ordinarie prefixen enligt IEC enbart har sin bas-10-betydelse och aldrig någon bas-2-betydelse. De binära
prefixen har dock ännu inte fått någon större allmän spridning, inte ens i datorvärlden.
Flera av de i dagligt tal förekommande SI-enheternas multipler har fått specialnamn och specialbeteckning.
Storhet Enhet Beteckning Förklaring
Volym liter
Massa ton
l eller L
t
1l
1t
Tryck
bar
1 bar
bar
10 3 m3
1000 kg
1 dm3
105 Pa
Ƅ Regler för användning av SI-enheterna
Det finns ett antal regler för hur SI-systemet och dess enheter skall användas.
En enhet får bara ha ett prefix. Det är t.ex. inte tillåtet att skriva "millimillimeter". I stället ska det skrivas som "mikrometer".
De flesta prefix som gör en enhet större skrivs med versaler (M, G, T, osv). Undantag från denna reglel är kilo (k) för att undvika
förväxling med kelvin (K), hekto (h) och deka (da). När ett prefix gör en enhet mindre används gemener (m, n, p, osv).
Det kan noteras att många enheter är eponyma, det vill säga att dom är namngivna efter personer. Denna person är alltid någon som
varit framstående i det tidiga arbetet inom det område som enheten används. En sådan enhet skrivs med gemener (newton, volt,
pascal, osv) när de nämns med enhetens fulla namn men startandes med en versal (N, V, Pa, osv) när förkortning används. Ett
undantag till denna regel är volymenheten liter som, om det skulle skrivas med gemener "l" lätt skulle kunna förväxlas med "1"
(siffran ett). Därför tillåts "L" som ett alternativ. Tanken är att en enkel bokstav för liter skall bestämmas i framtiden när det framkommer vilken bokstav som används flitigast.
Enheter skrivna i förkortad form skrivs aldrig i plural. Ett "s" kan antingen bli "sekund" eller "sekunder".
HH/ITE/BN
SI-systemet och Mathematica
7
En förkortning (J, N, g, Pa, osv) följs aldrig av en punkt såvida den inte står i slutet av en mening. För att göra tal lättare att läsa
kan siffrorna sättas i grupper om tre separerade med mellanrum men inte komma.
SI-systemets föreslagna sätt att visa ett decimaltal är att använda komma (3,14159) för att separera heltalsdelen från decimaldelen.
Att använda punkt, vilket är helt dominerande i engelsktalande länder och i datorsammanhang, är acceptabelt förutsatt att punkten är
placerad i höjd med siffrornas nedersta punkt (3.14159) och inte i mitten (3 14159). Den moderne ingenjören använder och drar en
lans för att endast decimalpunkt skall användas, och tycker milt sagt sådär om svenska Skolverket :-(!!
Ƅ Typografi
Var noga med hur storheter, mätetal och enheter skrivs!
Skalära storheter skrivs liksom matematiska skalärer som bokstäver ur latinska eller grekiska alfabetet i kursiv stil, t.ex. massan m.
Enheter skrivs i rak stil, t.ex. m, mm, km samt kg. "Bilens vikt är m kg."
Vektoriella storheter skrivs liksom matematiska vektorer med upprätt fet stil, t.ex. kraften
100, 0, 0 N. Ibland ser man också
de lite äldre beteckningarna för vektorer med namnet i kursiv stil och en pil ovanför F , ett streck ovanför F, eller ett streck under F.
För att få tillgång till fler tecken används ofta index som skrivs som en mindre nedsänkt bokstav eller siffra i direkt ansluting till
storhetssymbolen; även för dessa gäller att skalärer och storheter skrivs med kursiv stil medan annat skrivs med rak stil.
Ƅ Till sist
Det så kallade Metersystemet introducerades som måttsystem under Franska revolutionen. Bland annat grundade man sig på att 1
meter = 1/10 000 000 av avståndet från nordpolen till ekvatorn, 1 liter = 1/1000 av en kubikmeter och 1 gram = 1/1000 av vikten av
en liter vatten. Parallellt med detta försökte man även införa ett system för tid med tio månader per år, tio dagar per vecka, tio
timmar per dag, hundra minuter per timme. Men det slog aldrig igenom.
Metersystemet har med tiden utvecklats från det ursprungliga systemet och antagit flera olika standarder som plågat generationer av
ingenjörer samtidigt som enheterna har fått nya, precisare, definitioner. Arbetet med metersystemet bedrevs internationellt och
reglerades i meterkonventionen, som först undertecknades 1875. År 1960 fick metersystemet det nya namnet SI-systemet.
SI-systemet har inte helt slagit igenom i engelskspråkiga områden, där man fortfarande använder enheter som fot, tum, skålpund och
sten i vardagliga sammanhang. Innebörden av dessa enheter kan skilja sig mellan olika områden; det är till exempel skillnad på en
engelsk gallon och en amerikansk gallon. Speciellt litet genomslag har systemet haft i USA, där metriska enheter i stort sett bara
används av myndigheter (till exempel militären) och i vetenskapliga sammanhang.
Detta lär bland annat ha lett till en förvirring som gjorde att den amerikanska marssonden Mars Climate Orbiter missade sitt mål och
försvann ut i världsrymden då något delsystem räknade med amerikanska enheter och något med metriska enheter. Dock ökar sakta
användningen av metersystemet inom de engelskspråkiga områderna, just på grund av att man vill undvika denna typ av missförstånd vid internationell handel och samarbete/forskning.
Som grundregel gäller att man vid kontakter med sådana länder ska ha tillgång till ett ordentligt tabellverk för omvandling av
enheter! Gör alltid alla analyser på hemmaplan, det vill säga i SI-systemet!
Överrsätt (konvertera) alltid till SI-enheter innan du börjar räkna!
Uttrycker man alla storheter i SI-enheter vet man att svaret blir uttryckt i en SI-enhet.
När du är färdig, översätt dina svar till önskad icke SI-enhet! Om du blir tvingad!!
Exempel: Givet att 1 US Gallon = 231 cubic inches, 1 foot = 12 inches, 1 yard = 3 feet och 1 m = 1.093613 yards. Hur många liter
är då 1 US gallon?
Lösningsförslag: Eftersom 1 liter
1 US Gallon
1 dm3 får vi följande lilla kalkyl
231 inch3
231 
foot 3

12
yard 3
231  12 3 
m
3
231  12 3 1.093613 
10 dm
3
231  12 3 1.093613 
3.78541 dm3
Mathematica har inbyggda funktioner för att konvertera mellan en mängd olika enheter. Centralt är begrepper storhet (kvantitet),
Quantity. Se vidare i Help.
UnitConvertQuantity 1., "Gallons" , "Decimeters"3 
3.78541 dm3
8
SI-systemet och Mathematica
UnitConvert Quantity 1., "Gallons" , "Liters"
3.78541 L
Paketet är mycket kraftfullt eftersom det även kan användas för att göra beräkningar med enheter.
HH/ITE/BN