baser

Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
ORTOGONALA VEKTORER OCH ORTONORMERADE BASER I Rn
INLEDNING ( repetition om Rn )
Låt 𝑹𝑹𝒏𝒏 vara mängden av alla reella n-tipplar (ordnade listor med n reella tal) dvs
𝑹𝑹𝒏𝒏 = {(𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) 𝑑𝑑ä𝑟𝑟 𝑎𝑎1 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ∈ 𝑹𝑹}
Två vektorer 𝑢𝑢
�⃗ = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗ = (𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , … , 𝑏𝑏𝑛𝑛 ) är lika
�⃗ = 𝑣𝑣⃗ om och endast om
𝑎𝑎1 = 𝑏𝑏1 , 𝑎𝑎2 = 𝑏𝑏2 , …
𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑎𝑎𝑛𝑛 = 𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑢𝑢
Vi definierar addition av två vektorer och multiplikation med en reell skalär (tal) 𝝀𝝀 enligt nedan
(𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) + (𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , … . , 𝑏𝑏𝑛𝑛 ) = (𝑎𝑎1 + 𝑏𝑏1 , 𝑎𝑎2 + 𝑏𝑏2 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 + 𝑏𝑏𝑛𝑛 )
𝜆𝜆(𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … . , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) = (𝜆𝜆𝑎𝑎1 , 𝜆𝜆𝜆𝜆2 , … . , 𝜆𝜆𝑎𝑎𝑛𝑛 )
Nollvektorn i rummet 𝑹𝑹𝒏𝒏 är (0,0, … . ,0).
�⃗ = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) 𝑜𝑜𝑜𝑜ℎ 𝑣𝑣⃗ = (𝑏𝑏1 , 𝑏𝑏2 , … , 𝑏𝑏𝑛𝑛 )
𝑢𝑢

Längden av en vektor 𝑢𝑢
�⃗ = (𝑎𝑎1 , 𝑎𝑎2 , … , 𝑎𝑎𝑛𝑛 ) betecknas || u || eller |𝑢𝑢
�⃗| och definieras med
�⃗|| = �(𝑎𝑎1 )2 + (𝑎𝑎2 )2 + ⋯ + (𝑎𝑎𝑛𝑛 )2
||𝑢𝑢
Skalärprodukt ( dot product) definieras på följande sätt:
�⃗ ∙ 𝑣𝑣⃗ = 𝑎𝑎1 𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2 𝑏𝑏2 + ⋯ 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑏𝑏𝑛𝑛
𝑢𝑢

Därmed: || u || =
 
u ⋅u
Anmärkning 1: ( Standard) Vektorprodukt definieras endast för 3-dimensionella vektorer
Anmärkning 2: Rummet Rn där skalärprodukten och normen är definierade på ovanstående sätt kallas
även ett euklidiskt rum.
Definition 1. ( Ortogonala vektorer i Rn )
 
 
Vi säger att två vektorer u , v är ortogonala om deras skalärprodukt är 0 dvs om u ⋅ v = 0
Definition 2. (Ortogonal mängd)
�⃗𝟏𝟏 , … , �𝒗𝒗⃗𝒏𝒏 } är
Om vektorerna 𝑣𝑣⃗1 … 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 är parvis ortogonala då säger vi att mängden {𝒗𝒗
ortogonal.
Uppgift1. Vi betraktar rummet R3
  
Bestäm om mängden { u , v , w }är ortogonal då
 − 2
0 
1 
  
     
a) u = 2 , v =  1  , w = 0
 
 0 
5
0
 − 2
0 
1 
  
     
b) u = 2 , v =  1  , w = 1
 
5
0
 0 
Svar a) Ja
b) Nej

Några viktiga egenskaper för längden ( eller normen ) av en vektor u som vi här

betecknar || u || :
Sida 1 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser


|| u ||= 0 ⇔ u = 0


|| λu ||=| λ | ⋅ || u ||
 


|| u + v || ≤ || u || + || v || ( Triangelolikheten)
 


| u ⋅ v | ≤ || u || ⋅ || v || ( Cauchy-Schwarz olikhet)

 
|| u || = u ⋅ u
Definition 3. Ortonormerad (eller ortonormal) mängd)
Om vektorerna 𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 är parvis ortogonala och ||𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 || = 1 , för varje k=1,2,…n, då
�⃗𝟏𝟏 … 𝒗𝒗
�⃗𝒏𝒏 } är ortonormerad.
säger vi att mängden {𝒗𝒗
Alltså en ortonormerad mängd består av parvis ortogonala enhets vektorer.
Anmärkning: Från en ortogonal mängd { 𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 } får vi en ortonormerad mängd
genom att dela varje vektor 𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 med dess norm ( vi " normerar" vektorerna ).
Exempel . Vektorerna 𝑣𝑣⃗1 = (1,2,1) och 𝑣𝑣⃗2 = (−2,1,0) är ortogonala med avseende på
standard skalär produkt i 𝑅𝑅 3 eftersom (𝑣𝑣⃗1 , 𝑣𝑣⃗2 ) = 𝑣𝑣⃗1 ∙ 𝑣𝑣⃗2 = 0.
Vi får ortonormerade vektorer genom att dela varje vektor med dess norm:
1
1
𝑣𝑣⃗1 =
(1,2,1)
||𝑣𝑣⃗1 ||
√6
1
1
𝑓𝑓⃗2 =
𝑣𝑣⃗2 =
(−2,1,0)
||𝑣𝑣⃗2 ||
√5
𝑓𝑓⃗1 =
Uppgift2.
Nedanstående vektorer är parvis ortogonala.
 − 2
0 
1 
  
     
u =  2  , v =  1  , w = 0 
 0 
5
0
  
Bestäm en ortonormerad mäng genom att " normera " vektorerna u , v , w .
Lösning:
− 2 / 5 
1  1 / 5 

 


1 
1   
u1 =  u =
2 = 2 / 5  , på samma sätt v1 =  1 / 5  och

|| u ||
5
 0 
0  0 




0 
  
w1 = 0 .
1
Uppgift 3. Vi betraktar planet x + y − 2 z = 0 . Bestäm två vektorer som är parallella

med planet som tillsammans med planets normalvektor N = (1, 1, − 2) bildar en
a) ortogonal mängd
b) ortonormerad mängd
Sida 2 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
Lösning:
Vi tar två punkter i planet t ex O(0,0,0) och A(1,1,1).

 →
Vektor u = OA =(1, 1, 1)är då ortogonal mot N .
 → 
För tredje vektorn kan vi ta vektorprodukten v = OA× N = (−3, 3, 0)


Vektorn v är parallell med planet eftersom den är vinkelrät mot N .
Sats 1. (En viktig sats om ortogonala vektorer)
Om vektorerna 𝑣𝑣⃗1 … 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 är parvis ortogonala och skilda från nollvektorn då är de linjärt
oberoende.
Bevis.
Antag att
𝑐𝑐1 𝑣𝑣⃗1 + 𝑐𝑐2 𝑣𝑣⃗2 + ⋯ + 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 = �0⃗ (∗)
Vi ska visa att detta implicerar 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 0 för varje k=1,2,…n.
Om vi ”multiplicerar ” (*) med 𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 får vi
�⃗ (∗∗)
𝑐𝑐𝑘𝑘 (𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 ∙ 𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 ) = 0
Alla andra termer försvinner eftersom 𝑣𝑣⃗𝑖𝑖 ∙ 𝑣𝑣⃗𝑗𝑗 = 0 , 𝑓𝑓ö𝑟𝑟 𝑖𝑖 ≠ 𝑗𝑗 (ortogonala vektorer).
Från (∗∗), eftersom 𝑣𝑣⃗𝑘𝑘 ≠ �0⃗ , får vi 𝑐𝑐𝑘𝑘 = 0 .
Detta betyder att 𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 är linjärt oberoende V.S.B.
------------------------------------
Påföljden av föregående satsen är att n stycken ortogonala vektorer i Rn
bildar en bas i vektorrummet Rn .
n
Därmed gäller samma för n stycken ortonormerade vektorer i R :
n stycken enhetsvektorer i Rn som är parvis ortogonala bildar en bas i
vektorrummet Rn som kallas ortonormerad bas.
ORTONORMERAD BAS
Definition 4. Ortonormerad (eller ortonormal) bas
En bas (𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 ) i Rn som består av parvis ortogonala enhetsvektorer kallas för
ortonormerad bas.
KOORDINATER I EN ORTONORMERAD BAS
Uppgift 4. Låt (𝑣𝑣⃗1 , … , 𝑣𝑣⃗𝑛𝑛 ) vara en ortonormerad bas i Rn och




x = x1v1 + x2 v2 +  + xn vn
en vektorer i Rn då gäller
Sida 3 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
   
  
  
x = ( x ⋅ v1 )v1 + ( x ⋅ v2 )v2 +  + ( x ⋅ vn )vn
Med andra ord koordinater kan beräknas som skalärprodukter:
 
 
 
x1 = ( x ⋅ v1 ), x2 = ( x ⋅ v2 ),, xn = ( x ⋅ vn )
Bevis:
Vi startar med relationen




x = x1v1 + x2 v2 +  + xn vn
och multiplicerar båda leden med 𝑣𝑣⃗1:
Vi får
 
 
 
 
x ⋅ v1 = x1 (v1 ⋅ v1 ) + x2 (v2 ⋅ v1 ) +  + xn (vn ⋅ v1 )
För ortonormerade basvektorer gäller
 
 
 
v1 ⋅ v1 = 1 och v 2 ⋅ v1 = 0,  , v n ⋅ v1 = 0
och därför
 
x ⋅ v1 = x1 ⋅1
På samma sätt visar vi att
 
 
x2 = ( x ⋅ v2 ),, xn = ( x ⋅ vn )
.
Exempel
0 
− 3 / 5
4 / 5


 
Vektorerna v1 = 0  , v 2 = 1 , v 3 =  0 


0
 4 / 5 
3 / 5 
bildar en ortonormerad bas i R3. Bestäm koordinater för vektorn
 2
  
  
x = 1  i basen ( v1 , v2 , v3 ) .
0
Lösning:
 
x1 = ( x ⋅ v1 ) = 8 / 5,
 
x2 = ( x ⋅ v2 ) = 1,
 
x3 = ( x ⋅ v3 ) = −6 / 5

  

Uppgift 5. " Pytagoras sats" i Rn . Låt a och b vara två vektorer i Rn och c = a + b .
Bevisa att
Sida 4 av 5
Armin Halilovic: EXTRA ÖVNINGAR
ortogonala vektorer och ortonormerade baser
 2
 2  2
|| c || =|| a || + || b || om och endast om


a och b är ortogonala vektorer "
Pytagoras sats" .
Uppgift 6. Bevisa att || 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑊𝑊 (𝑣𝑣⃗ ) || ≤ ||𝑣𝑣⃗ ||


om och endast om a och b är ortogonala vektorer.
Tips. Använd "Pytagoras sats"
Uppgift 8. Bevisa Cauchy – Schwarz olikheten


Om a och b vara två vektorer i Rn då gäller

 

| a ⋅ b | ≤ || a || ⋅ || b ||
Tips. Använd föregående uppgift.
Uppgift 9. Använd Cauchy – Schwarz olikheten för att bevisa triangelolikheten
 


|| u + v || ≤ || u || + || v ||
Anmärkning: Bevis för upp 6,7, 8 och 9 finns i kursboken.
Definition 5. Vinkeln mellan två vektorer i Rn
 
 
Låt a ≠ 0 och b ≠ 0 vara två icke-nollvektorer i Rn .
Vinkeln θ mellan vektorerna definieras med
 
a ⋅b
θ = arccos 

|| a || ⋅ || b ||
 
a ⋅b
( ekvivalent med cos(θ ) = 
 , där 0 ≤ θ ≤ π
|| a || ⋅ || b ||
)
 
a ⋅b
Anmärkning: Enligt Cauchy-Schwarz olikheten är | 
 |≤ 1 och därför finns θ så
|| a || ⋅ || b ||
 
a ⋅b
att cos(θ ) = 
 , med andra ord; vinkeln är definierad på ett korrekt sått.
|| a || ⋅ || b ||
Sida 5 av 5