Fibonacci

Miniporträttet
ANDREJS DUNKELS
Fibonacci
I serien berömda matematiker har NÄMNAREN denna
gång valt Fibonacci. Frågan är hur våra siffror sett ut idag
om inte Fibonacci lagt ner så stor möda på att sprida de arabiska siffrorna i Europa. Andrejs Dunkels tecknar här ett
porträtt.
Bonaccios son
Den mest framstående och mest produktive matematikern under
medeltiden var Leonardo av Pisa. Han är bäst känd under namnet Fibonacci, som uttalas med en tydlig nysning på slutet. Med
Systembolagets utmärkta uttalsbeteckningar blir det "Fibånna'tji". Detta namn anses vara en hopdragning av "Filius Bonacci" som betyder "Bonaccis son" och som skulle svara mot
vårt sätt att bilda t ex "Johansson" av "Johans son". Fibonaccis far hette nämligen Guglielmo Bonacio. Fibonacci föddes i Pisa år 1175 (ca) men växte upp i Algeriet, där hans far, som var
köpman, tjänstgjorde vid handelshuset i Bougie.
Som vuxen företog Fibonacci många resor, men redan under
uppväxttiden fick han ofta följa med fadern till olika handelscentra kring Medelhavet. På detta sätt kom han i kontakt med
olika bokföringssystem och olika sätt att skriva tal. Av sina arabiska lärare hade han tidigt lärt sig det hindu-arabiska sättet att
skriva tal, dvs positionssystemet med basen tio, och han fann detta vara det överlägset bästa han sett. Då, på 1200-talet, var ju
fortfarande det romerska systemet det som allmänt användes i
såväl Fibonaccis hemland Italien som det övriga Europa. Fibonacci skrev en lärobok, "Liber Abaci" ("Abacusboken"), som
kom ut år 1202. Denna bok anses vara det verk som betytt mest
för de arabiska siffrornas spridning i Europa. Men att sprida
idéerna gick trögt i början. Dels var boktryckarkonsten inte uppfunnen ("Liber Abaci" var handskriven, och man hade inte tillgång till några snabba kopieringsapparater som vi tar som någonting självklart idag), dels tillhörde Fibonacci inte de akademiska kretsarna, han var inte utbildad vid något av de universitet
som började växa fram ur olika kyrk- och klosterskolor. Universitetsfolket ville till att börja med inte befatta sig med hans
idéer.
Abacusboken
"Liber Abaci" behandlar främst aritmetik och algebra. Boken
har 15 kapitel med följande innehåll: 1. Hur man läser och skriver tal i det hindu-arabiska systemet. ("Nouem figure indorum
he sunt 9 8 7 6 5 4 3 2 1. Cvm his itaque nouem figuris, et cum hoc
signo 0, quod arabice zephirum appellatur, scribitur numerus.")
2. Multiplikation av heltal. 3. Addition av heltal. 4. Subtraktion
av heltal. 5. Division av heltal. 6. Multiplikation av heltal med
bråk. 7. Ytterligare arbete med bråk. 8. Varors pris. 9. Byteshandel. 10. Kompanjonskap. 11. Regler för blandningar. 12. Problemlösning. 13. Regula Falsi. 14. Kvadratrötter och kubikrötter.
15. Geometri (i betydelsen mätningsproblem) och algebra.
Endast en senare upplaga (från 1228) av "Liber Abaci" finns
bevarad, så man vet inte exakt hur siffrorna såg ut i 1202 års upplaga. I figuren visas hur siffrorna förmodligen såg ut, de är hämtade från andra skrifter från ungefär samma tid. Emellertid varierade siffrornas utseende mycket fram till dess att böcker började tryckas.
Kapitel 13 behandlade alltså "Regula falsi", dvs lösning av ekvationer genom att man först gissar en rot. Det verkar för oss
märkligt att man skulle behöva några gissningsmetoder för de
ekvationer det här var frågan om, det gällde nämligen ekvationer
av typen ax + b = 0. Med vårt beteckningssätt är det en enkel sak
att lösa ekvationen, men på Fibonaccis tid gjorde man så här.
Först tog man två gissningar, g1 och g2, säg. Så räknade man ut
motsvarande fel (dvs värdet av vänsterledet med x = g1 och
x = g2). Vi kallar felen f1 resp f2. Så bildade man, med våra beteckningar, f1g2 — f2g1 och dividerade detta med f1f2. Resultatet
ger ekvationens rot. (Jag överlåter åt läsaren att bevisa att metoden ger rätt resultat).
Bråk med bråk
I "Liber Abaci" redovisar Fibonacci en metod att skriva om ett
bråk mellan 0 och 1 på "egyptisk form". Det var ju så att egyptierna inte skrev bråk med täljare och nämnare som vi gör idag, ut-
an man använde bara s k stambråk, dvs bråk med täljaren 1, och
alla stambråken skulle vara olika. Rhind-papyrusen (vars original är från ca 2000 f Kr) börjar med en tabell över förvandling
av 2/n till stambråk, t ex
duger inte, eftersom stambråken är lika. Fibonacci anger följande algoritm: "Dividera det större talet med det mindre och om
divisionen inte går jämnt ut så se efter mellan vilka två heltal
som kvoten hamnar. Ta så det störres del, drag ifrån den och behåll resten. Det vill säga, subtrahera från det givna bråket det
största stambråk som inte är större än bråket självt. Fortsätt att
göra detta till dess att man når 0." Med moderna beteckningar
betyder detta att om vi börjar med bråket a/b, där 0<a/b<1, så
skall vi först dividera b med a för att få talet n enligt figuren
ovan. Sedan skall vi bilda differensen.
som vi kan kalla a / b p och som uträknad blir
Om a1 = 0 (eller om a1 = 1) så är saken klar. I annat fall får vi
tillgripa samma behandling på al/b1 som vi tillämpat på a/b.
Och anledningen till att proceduren med säkerhet kommer att
sluta med att vi får 0 är att täljarna är heltal och successivt kommer att avta. Vi har ju (se figur ovan).
Låt oss tillämpa metoden på ett av Fibonaccis egna exempel i
"Liber Abaci", nämligen på bråket 19/53.
Först har vi
Vi skall sedan bilda differensen
Så får vi fortsätta med
varav alltså
På medeltiden gjordes många försök att lösa tredjegradsekvationen av europeiska lärde, framförallt i Italien. Fibonacci behandlade lösning av algebraiska ekvationer i sin bok "Flos", som
kom ut år 1225. Där tar han bl a upp ett problem som han fått av
den lärde munken Magister Johannes från Palermo: "... quidam
cubus numerus, qui cum suis duobus qudratis et decem radicibus
in unum collectis essent uiginti." ("... sök ett tal vars kub med
dess dubbla kvadrat och tio gånger talet självt tillsammans blir
tjugo.") Problemet leder till ekvationen
Fibonacci visade att ekvationen har en rot mellan 1 och 2, att
denna rot inte kan vara rationell och att den inte kan vara kvadratroten ur ett heltal. För det sistnämnda använder han omskrivningen
Resultatet är bara 1/31 104 000 000 för stort. Fibonacci redovisar
inte hur han fått värdet, så att vi vet idag inte om han räknat ut
det själv eller haft det med sig i bagaget från någon av sina
många resor. Det är känt att ekvationer av detta slag löstes i Kina
vid den här tiden. (Detta visar vikten av att redovisa tankegången
och inte bara skriva ut själva svaret!)
De underbara Fibonaccitalen
Fibonaccis namn är idag inte alls förknippat med hans epokgörande insatser för framförallt de arabiska siffrornas spridning i
Europa, utan med talföljden
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 2 1 , . . . ,
som börjar med två ettor och där varje tal är summan av de två
föregående. Det var den franske 1800-talsmatematikern Edouard
Lucas som började kalla denna följd för Fibonacciföljden och
dess element för Fibonaccital. Han fann att talen dök upp så
ofta att det var praktiskt med ett namn på dem. Anledningen till
hans namnval är att talen förekommer i en övningsuppgift om
kaninförökning i "Liber Abaci". Antalet kaniner i varje generationssteg i uppgiften blir ett tal i Fibonacciföljden, men Fibonacci själv såg inte talen som något speciellt, han använde bara
kaninerna som kamouflage för en övningsuppgift i att addera.
Och Fibonacci skulle nog bli väldigt förvånad om han såg alla
de sammanhang i vilka Fibonaccitalen dyker upp. De förekommer i tillämpningssammanhang vid bl a optimerings- och sorteringsproblem. Och de finns alltid med när det är frågan om s k
rekreativ matematik. Det finns mycket skrivet om Fibonaccitalen
och det är lätt för den som är lagd åt det digitalromantiska hållet
att gripas av "Fibonomani", vilket innebär att man ser Fibonaccital överallt, att man inte tycker det är speciellt märkvärdigt
med 50-årsdagar, men att man ser fram emot sin 34-årsdag, sin
55-årsdag, och att man blir lycklig över att få telefonnumret
196 418. På 1960-talet bildades i USA en förening, "The Fibonacci Association", som fortfarande är mycket aktiv och bl a ger
ut en tidskrift "The Fibonacci Quarterly", där man publicerar
uppsatser i talteori med speciell tonvikt på sådant som rör Fibonaccitalen med generaliseringar.
Här skall jag bara ta upp en av de många kuriositeterna förknippade med Fibonaccitalen och hänvisar i övrigt till den litteratur som finns. (Att lämna en fullständig litteraturförteckning
är omöjligt, och jag har nöjt mig med ett litet urval, som jag
själv funnit intressant.) I NÄMNARENS förra nummer presenterades Pascals triangel. Om man tittar på summorna av talen i
"diagonaler" dragna enligt figuren nedan, så får man först 1, så
får man 1 en gång till. Nästa gång blir det 2, så får man 3, och
därefter kommer 5. Det ser ut att bli Fibonaccital som dyker
upp. Hur blir det i fortsättningen? Kommer man att få bara Fibonaccital? Och vad beror det på i så fall?
Litteratur
A Primer for the Fibonacci Numbers, Fibonacci Association, 1973.
R E Bellman/ S E Dreyfus. Applied Dynamic Programming. Princeton University
Press, 1962.
A Dunkels, Fibonaccital — mums för digitalromantiker men också för praktiker.
Svenska Matematikersamfundet,
1980.
(Föredrag hållet vid Svenska Matematikersamfundets utbildningsdag lördagen
den 15 mars 1980 i Umeå.)
A Dunkels, Från kanin till max och min.
Elementa 59 (1976), s 173—178.
M Gardner, Mathematical Games. The Multiple Fascination of the Fibonacci Sequence. Scientific American, March 1969.
O Hanner, Kombinatorik och algebra. Gleerups, 1974, s 32.
P Häggmark, Fibonaccital NÄMNAREN
2/1976, s 11—25.
D E Knuth, Fundamental Algorithms. The
Art of Computer Programming Vol 1.
Addison-Wesley, 1973, s 78—85 (bl a).
D E Knuth, Sorting and Searching. The Art
of Computer Programming
Vol 3.
Addison-Wesley, 1975.
F Land, The Language of Mathematics.
John Murray, 1966.
D E Smith, History of Mathematics, Vol I
och II. Dover, 1951.
L Råde, Fibonacci. Specialarbete i matematik för programmerbar miniräknare.
L Råde, Äventyr med räknedosan. Biblioteksförlaget, 1976.
N N Vorobev, Fibonacci Numbers. Pergamon Press, 1961.