Aritmetikdopning räcker det?: En studie utförd i årskurserna 2 och 3

Självständigt arbete II, 15 hp
Aritmetikdopning räcker det?
En studie utförd i årskurserna 2 och 3
Författare: Marie Jansson
Handledare: Andreas Ebbelind
Examinator: Torsten Lindström
Termin: VT 2015
Ämne: Matematikdidaktik
Nivå: Avancerad nivå
Kurskod: 4GN04E
Aritmetikdopning räcker det?
En studie utförd i årskurserna 2 och 3
Arithmetic doping is that enough?
A study performed in grade 2 and 3
Abstrakt
Syftet med den här studien var att undersöka om och hur aritmetikdopning av
textuppgifter kan anpassas till elevernas kognitiva förmågor och förkunskaper samt om
det är andra faktorer som påverkar elevernas möjlighet att lösa dem. Metoderna som
användes var ett test med eget konstruerade aritmetikdopade textuppgifter samt
intervjuer. Enligt resultaten hade aritmetikdopning en påverkan på elevernas
lösningsfrekvens där de uppgifter som krävde lägst aritmetisk kunskap hade högst
lösningsfrekvens. Intervjuerna tydliggjorde att det fanns en förståelse för att elevernas
läsförmåga, aritmetiska kunskapsnivå, begreppsförståelse och kognitiva förmåga
påverkar elevernas möjligheter att lösa textuppgifter. Lärarnas uppfattning om att de
behöver modellera hållbara strategier och metoder för att eleverna ska ges de bästa
möjligheterna att lösa textuppgifter överensstämmer med forskningen. Det som
ytterligare skulle främja eleverna och utveckla deras möjligheter att lösa textuppgifter
skulle vara att stimulera deras kreativa förmåga.
Nyckelord
Aritmetikdopning, differentiering individualisering, kognitiva förutsättningar,
svårighetsgrad, textuppgifter, undervisning
Marie Jansson
Antal sidor 33
i
Innehåll
1 Inledning ____________________________________________________________ 1
1.1 Bakgrund _______________________________________________________ 2
2 Syfte och frågeställningar ______________________________________________ 3
3 Teoribakgrund _______________________________________________________ 4
3.1 Förkunskaper som krävs för att lösa textuppgifter ________________________ 4
3.1.1 Aritmetisk kunskap _____________________________________________ 4
3.2 Textuppgifter och aritmetikdopning ___________________________________
3.3 Kognitiva förutsättningar ___________________________________________
3.4 Språkkunskaper __________________________________________________
3.4.1 Begreppsförmåga _____________________________________________
5
6
7
8
3.5 Svårigheter vid lösning av textuppgifter _______________________________ 9
3.6 Lärarens roll _____________________________________________________ 9
3.7 Sammanfattning av betydelsefulla fakta_______________________________ 10
4 Metodologi _________________________________________________________ 11
4.1 Datainsamlingsmetoder ___________________________________________ 11
4.1.1 Formulär som metod __________________________________________ 11
4.1.2 Intervju som metod ___________________________________________ 12
4.2 Urval __________________________________________________________ 12
4.2.1 Urval till textuppgifterna och intervjuerna _________________________ 12
4.3 Forskningsetiska principer _________________________________________ 13
4.3.1 Forskningsetiska principer för intervjuer __________________________ 13
4.4 Proceduren _____________________________________________________ 13
4.4.1 Proceduren för genomförande av textuppgifterna ___________________ 13
4.4.2 Bortfall _____________________________________________________ 14
4.4.3 Proceduren för genomförande av intervjuerna ______________________ 14
4.5 Databearbetningsmetoder __________________________________________ 15
4.5.1 Databearbetning av textuppgifterna ______________________________ 15
4.5.2 Databearbetning av intervjuerna ________________________________ 16
4.6 Tillförlitlighet ___________________________________________________ 16
4.6.1 Textuppgifterna ______________________________________________ 17
4.6.2 Intervjuerna _________________________________________________ 17
5 Resultat och analys __________________________________________________ 18
5.1 Resultat av textuppgifterna _________________________________________ 18
5.1.1 Analys av textuppgifterna ______________________________________ 19
5.2 Konstruktion av textuppgifter som kan aritmetikdopas ___________________ 20
5.2.1 Resultat av textuppgifters konstruktioner __________________________ 20
5.2.2 Analys av textuppgifters konstruktioner ___________________________ 21
5.3 Hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper ________________ 22
5.3.1 Resultat av hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper __ 22
ii
5.3.2 Analys av hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper ___ 24
5.4 Elevernas tänkande, uppfattningsförmåga, minne och språk _______________ 25
5.4.1 Resultat av lärarnas syn på elevernas kognitiva förmågor _____________ 25
5.4.2 Resultat av elevernas syn på de kognitiva förmågorna ________________ 26
5.4.3 Analys av elevernas och lärarnas syn på de kognitiva förmågorna ______ 27
5.5 Elevernas och lärarnas uppfattning av textuppgifter _____________________ 28
5.5.1 Resultat av elevernas uppfattningar ______________________________ 28
5.5.2 Analys av elevernas uppfattningar textuppgifter _____________________ 29
5.5.3 Resultat av lärarnas uppfattningar av textuppgifter __________________ 29
5.5.4 Analys av lärarnas uppfattningar av textuppgifter ___________________ 30
6 Diskussion __________________________________________________________ 31
6.1 Metoddiskussion _________________________________________________ 31
6.1.1 Formulär som metod __________________________________________ 31
6.1.2 Intervju som metod ___________________________________________ 31
6.2 Resultatdiskussion _______________________________________________ 32
6.2.1 Aritmetikdopning behöver vidare förståelse ________________________ 32
6.2.2 Faktorer som har påverkat resultatet _____________________________ 32
6.2.3 Lärarens inkluderande förhållningssätt ___________________________ 33
6.3 Förslag på vidare forskning ________________________________________ 33
Referenser ___________________________________________________________ 34
Bilagor _______________________________________________________________ I
Bilaga A Brev till föräldrarna ____________________________________________ I
Bilaga B Missivbrev __________________________________________________ II
Bilaga C Textuppgifter _______________________________________________ III
Bilaga D Intervjufrågor till eleverna ____________________________________ IV
Bilaga E Intervjufrågor till lärarna _______________________________________ V
Bilaga F Redovisning av textuppgifterna _________________________________ VI
iii
1 Inledning
Den här studien handlar om textuppgifter och vad som krävs för att elever i årskurserna
2 och 3 ska lyckas lösa dem. Textuppgifter och hur de uppfattas av eleverna känns som
angeläget att resonera kring eftersom eleverna möter denna typ av uppgifter i
matematikundervisningen. Matematiken finns hela tiden runt omkring oss och
formuleras inte enbart som siffror. Samhället idag kräver ett mer varierat synsätt och
förhållningssätt till matematiken. Matematiken behöver vidgas från att ses som ett ämne
som endast fokuserat på symboler och siffror till att vara en del av vardagen och
synliggöras i olika situationer och sammanhang (Lindekvist, 2004).
Eftersom textuppgifter är en del av matematikundervisningen som kräver en del
förkunskaper är det viktigt att eleverna bygger upp en förförståelse och hållbara
strategier för att kunna lösa dem. Engström (2002) framhåller att de flesta fel som görs
i textuppgifter orsakas av att eleverna inte uppmärksammar vad som står, att de inte
plockar ut rätt fakta som behövs för att kunna lösa uppgiften, att de inte vet vilket
räknesätt de ska använda eller att de spegelvänder siffrorna och därmed får ett felaktigt
svar. För att kunna utföra räkneuppgifter behöver eleverna ha begreppsförståelse, kunna
generalisera olika räknemetoder och strategier samt ha abstraktionsförmåga.
Abstraktionsförmågan är elevernas förmåga att förstå sådant som inte kan visualiseras
(a.a).
Alla elever har olika förutsättningar både kunskapsmässigt och kognitivt. För att alla
elever ska känna att matematiken är utmanande kan det vara fördelaktigt om
undervisningen och uppgifterna differentieras och individualiseras. Eleverna gynnas av
att få uppgifter förklarade på olika sätt och ges många exempel på hur matematiken
används i sin vardag. Eftersom många ord skiljer sig åt i elevernas vardagliga liv och i
skolsammanhang är det viktigt att de uppmärksammas på hur orden ska användas i olika
situationer. För att underlätta för eleverna är det fördelaktigt om läraren modellerar
användbara strategier för hur eleverna ska lösa textuppgifter (Hill, Blunk,
Charalambous, Lewis, Phelps, Sleep & Loewenberg Ball, 2008). För att matematiken
ska kännas meningsfull för eleverna måste den vara på en lagom abstraktionsnivå, passa
eleverna utifrån deras förkunskaper, gärna kopplade till elevernas vardag, samt vara
utmanande för att eleverna ska ges möjligheter till progression, vilket är ett krav enligt
läroplanen (Skolverket, 2011).
Enligt Lgr 11 (Skolverket, 2011) ska varje elev utmanas utifrån sina individuella
förmågor. Därmed krävs det att läraren har kunskaper om elevernas förståelse och
kognitiva förutsättningar och hela tiden följer upp elevernas kunskapsnivå, lämpligen
genom diagnoser och formativ bedömning (a.a). I en artikel argumenterar Chapman
(2013) för varför det är viktigt att läraren har kunskap i och hur matematiska uppgifter
påverkar eleverna. Eleverna behöver utmanas utifrån sin egen förmåga för att känna sig
motiverade. Elevernas kunskapsbyggande underlättas om de kan relatera till befintlig
erfarenhet och kunskap. Redan erhållen kunskap kan byggas på för att nå progression.
Läraren kan med hjälp av sina ämneskunskaper och förmåga att välja för eleverna
engagerande uppgifter stimulera och väcka en nyfikenhet. Det eftersom det enligt
Chapman (2013) är lättare för eleverna att skapa mening i något som de själva kan
relatera till och är intresserade av.
Aritmetikdopning innebär att texten i uppgiften är den samma, men att det sätts in olika
tal i den allt utifrån elevernas aritmetiska kunskapsnivå. Undervisningsmaterialet som
kallas för Plan matematik bygger på tanken med aritmetikdopning. Det innebär att
1
samma grunduppgift kan användas till samtliga elever, men att svårighetsgraden
varieras utifrån elevernas unika förutsättningar. Materialet bygger på att eleverna först
får stärka sitt självförtroende för aritmetiska uppgifter och allt eftersom de utvecklar sin
förmåga ökar uppgifternas svårighetsgrad (Kilborn & Johanssons, 1985).
Textuppgifterna kan gärna aritmetiskdopas för att alla elever ska kunna utgå från samma
uppgift, men anpassas efter deras aritmetiska förkunskaper, det vill säga deras förståelse
för hur tal förhåller sig till varandra. De bör också ha automatiserat och befäst
tabellkunskaperna till exempel att 4+6=10 (Löwing & Kilborn, 2010). Forskningen som
redovisas i teoribakgrunden visar på att faktorer som påverkar svårighetsgraden är bland
annat läsförmågan, elevernas aritmetiska kunskap, där det i uppgifterna krävs en
differentiering och individualisering, elevernas kognitiva förutsättningar samt hur
undervisningen bedrivs. Utifrån egna erfarenheter och inhämtning av kunskap via
aktuell forskning funderar jag därmed på om det räcker med aritmetikdopning eller om
textuppgifterna i matematik måste anpassas på flera olika sätt för att möta alla elever
utifrån deras unika förutsättningar och behov.
1.1 Bakgrund
Den här studien bygger på eget intresse av att som blivande lärare kunna konstruera
egna textuppgifter som är anpassade efter elevernas unika förutsättningar och behov när
det gäller deras förkunskaper samt kognitiva förmågor. Att utgå från samma
grunduppgift känns som ett inkluderande förhållningssätt där alla elever kan känna att
de gör samma uppgift, men att den anpassas för att utmana alla. De uppgifter som
används i denna studie är självkonstruerade utifrån den kunskap jag erhållit efter att ha
tagit del av forskning och egna upplevelser genom VFU och vikariat. Tanken är att
uppgifterna ska kännas igen av eleverna som vardagsnära och något som de kan möta i
verkliga situationer. Eftersom eleverna tillbringar en stor del av sin undervisningstid i
matematik med sina matematikböcker undersöktes ett av de läromedlen som de
intervjuade eleverna använder. Det för att bilda mig en uppfattning av hur
textuppgifterna kan se ut. Det för att själv kunna konstruera egna textuppgifter till den
här studien som eleverna skulle lösa. En reflektion vid granskningen av Matte Direkt
Safari 1B (Falck, Picetti, Elofsdotter Meijer, 2011) var att boken i en övervägande del
av textuppgifterna med räknesättet subtraktionen efterfrågar hur mycket som finns kvar,
och i additionsuppgifterna tillsammans. Här ser jag en risk med att eleverna
generaliserar de här två begreppen och får en för snäv förståelse för vad de olika
räknesätten innefattar. Vid konstruktionen av textuppgifterna i den här studien har ordet
fler används, men leder i den uppgiften inte till addition, utan eleverna måste ha en
djupare förståelse för begreppet.
Mitt urval till studien har jag begränsat kraftig på grund av att tiden inte räckte till för
att analysera större mängder material. Jag anser dock att underlaget räckte för att bilda
sig en uppfattning om och hur textuppgifter kan anpassas.
2
2 Syfte och frågeställningar
Syftet med studien är att utforska om och i så fall hur aritmetikdopning av textuppgifter
kan anpassas till elevernas kognitiva förmåga och förkunskaper, samt om det är andra
faktorer som påverkar elevernas möjligheter att lösa uppgifterna.
För att besvara syftet kommer följande frågeställningar användas:

Hur kan en textuppgift konstrueras för att kunna aritmetikdopas?

Hur kan uppgifter anpassas utifrån elevernas förkunskaper?

Hur påverkar elevernas tänkande, uppfattningsförmåga, minne och språk deras
möjligheter att lösa textuppgifter?

Vilken upplevelse har elever och lärare av textuppgifter?
3
3 Teoribakgrund
Här presenteras bakgrundsfakta och forskning som har relevans för studiens syfte och
frågeställningar. Teoribakgrunden är indelad under följande rubriker: Aritmetisk
kunskap,
Textuppgifter
och
aritmetikdopning,
Kognitiva
förutsättningar,
Språkkunskaper, Begreppsförmåga och Lärarens roll.
3.1 Förkunskaper som krävs för att lösa textuppgifter
För att kunna lösa en textuppgift behöver eleverna ha taluppfattning, räknefärdigheter,
textförståelse, samt lämpliga strategier och metoder för att lösa uppgiften (Pettersson,
1990).
3.1.1 Aritmetisk kunskap
Ofta är det en bristande taluppfattning som ligger bakom elevernas svårigheter att lösa
matematiska textuppgifter. Eleverna fastnar ofta i ohållbara uppräkningsstrategier
såsom fingerräkning. Eleverna med uppräkningsstrategi har svårt att se samband mellan
olika räknesätt och automatisera additions- och multiplikationstabellerna. Eleverna
behöver därför utveckla andra mer hållbara strategier (Engström, 2007). Engström
skiljer på två olika sätt att formulera textuppgifter. Den konkreta där eleverna kan räkna
mängden och den mer abstrakta där eleverna måste se relationen mellan tal och göra
jämförelser mellan mängder som vid fler än eller färre än. Eleverna har ofta svårare med
de abstrakta uppgifterna (Engström, 2007). Flertalet fel vid uträkningar beror på
bristande förståelse för talens inbördes ordning, positionssystemet, tabellkunskaperna
och problem med minnessiffra. Syftet med Petterssons (1990) studie i vilken hon lät fler
än 8800 elever i årskurs 3 delta, samt 7900 elever i årskurs 6 var att undersöka hur
elevernas prestationer förändrades mellan årskurserna 3 och 6. Studien utgick från ett
test med 15 uppgifter i årskurs 3 och samma 15 uppgifter i årskurs 6, med ett tillägg på
fyra uppgifter. Räkneuppgifterna innehöll de viktigaste områdena som fanns beskrivna i
läroplanen. De vanligaste räknefelen berodde på slarvfel där bland annat minnessiffran
satts ut, men har glömts vid uträkningen, talen har inte skrivits av rätt eller att eleverna
inte har behärskat additionstabellerna. Vid subtraktions-, multiplikations- och
divisionsuppgifterna är de vanligaste felen blandade räknesätt och felräkning vid
växling. Elever hade också problem med att omvandla tal skrivna med bokstäver till
siffror och hade brister i begreppsförståelsen. De kunde inte heller läsa ut att räknesättet
addition skulle användas när det stod addera (Pettersson, 1990). Alla elever kan
automatisera tabellerna inom alla räknesätten om de ges tillräckligt med tid, rätt
metoder samt motivation. För att diagnostisera elevernas tabellkunskaper behöver detta
göras på tid för att se att eleverna verkligen har automatiserat kunskapen (Kilborn &
Johansson, 1985).
I sitt material Plan matematik framhåller Kilborn och Johansson (1985) att eleverna bör
lära sig aritmetik genom vardagsförankrade problem i vilka eleverna kan känna igen sig
i situationen. Författarna har i sitt material konstruerat ett antal remsor för de fyra olika
räknesätten addition, subtraktion, division och multiplikation. Remsornas konstruktion
möjliggör en utgångspunkt i samma textuppgift som sedan kan anpassas aritmetiskt
utifrån elevernas förkunskaper.
4
Figur 1. Additions- och subtraktionsremsor eget konstruerade utifrån Kilborns och
Johanssons (1985) förlaga.
Additionsremsorna ger 49 kombinationsmöjligheter där en förflyttning av den högra
remsan uppåt ger svårare tal, medan en nedflyttning av den högra remsan ger enklare
tal. När det gäller subtraktionsmatriserna är de mer begränsade eftersom den högra
remsan endast kan flyttas ned ett par steg, därefter går uppgifterna inte att lösa. En
uppflyttning av den högra remsan ger fler uppgiftsmöjligheter. Alla remsor sätts in i ett
sammanhang och uppgifter konstrueras utifrån dem. Remsorna möjliggör konstruktion
av uppgifter som är kopplade till elevernas vardag, samt en individualisering av
svårighetsgraden. Ett exempel på en uppgift kan vara: Du har 75 kronor. Du köper en
docka som kostar 60 kronor. Hur mycket pengar har du kvar? Den här uppgiften kräver
att eleverna behärskar ental och tiotal men den kräver ingen tiotalsövergång. En uppgift
med högre svårighetsgrad skulle vara att istället placera in 63 kronor och 36 kronor,
vilket leder till en tiotalsövergång (Kilborn & Johansson, 1985).
3.2 Textuppgifter och aritmetikdopning
Utifrån ovanstående resonemang bör eleverna få möta olika textuppgifter och utmanas
utifrån sin individuella kunskapsnivå. Ett sätt att möta elevernas unika förutsättningar är
att använda samma grunduppgift till eleverna och aritmetikdopa densamma för att
anpassa den utifrån elevernas aritmetikkunskaper. Med det menas att lärare utgår ifrån
en uppgift där talen uteblir och sedan sätter in lämpliga tal utifrån varje elevs förmåga.
Exempel på en uppgift kan vara: Kalle köper ____ glassar. Varje glass kostar_________
kronor. Hur mycket kostar glassarna tillsammans? Här ges läraren möjlighet att
konstruera uppgifter med olika svårighetsgrad genom att i det enklaste fallet skriva in
att Kalle köper 2 glassar och varje glass kostar 5 kronor styck. En svårare uppgift kan
formuleras genom att Kalle istället köper 14 glassar och att glassarna kostar 5 kronor
styck. Svårighetsgraden kan sedan försvåras ytterligare genom att Kalle köper 5 paket
som vardera innehåller 7 glassar, varje glass kostar 5 kronor. Genom att använda
liknande uppgifter kan alla elever få uppgifter med samma grundstruktur, men att den
matematiska svårighetsgraden justeras och anpassas utifrån elevernas förkunskaper och
kognitiva förmågor (Löwing & Kilborn, 2010).
5
3.3 Kognitiva förutsättningar
Elevernas kognitiva förmåga handlar om vilken kunskap de har förvärvat. Kunskapen
delas upp i två olika kategorier, dels den formella vilken skolan har till uppgift att lära
ut, och sedan den informella som eleverna tillägnar sig utanför skolan. Det förekommer
ofta konflikter mellan den formella och den informella kunskapen. Det är viktigt att det
talas inom matematiken för att skapa gemensamma referenspunkter. Det är i samtalet
som eleverna uppmärksammas på matematiska begrepp och lösningsstrategier. I sin
studie har Riesbeck (2008) genom video- och ljudupptagningar sett hur interaktionen
fungerar i klassrummet när det gäller språkets användning inom matematiken.
Resonemang sker mellan formella och informella ord. Förståelse för begrepp och deras
innebörd är en förutsättning för att eleverna ska förstå när läraren hänvisar till
användningen av ett visst begrepp i matematiskt sammanhang. Eleverna använder i sina
diskussioner sitt informella språk, vilket kan försvåra för eleverna när de ska förstå det
matematiska innehållet. Ett flertal elever löser uppgifter utan att ha någon egentlig
förståelse för vad de gör och utan att reflektera över att de kan ha en koppling till
vardagliga händelser. De löser dem ur ett skolperspektiv (Riesbeck, 2008).
Den mentala representationen utgörs av läsarens förståelse för den text som den läser.
Hur texten är uppbyggd beror på dess innehåll och hur delarna i texten hänger samman.
Texter kan ha olika svårighetsgrad beroende på deras läsbarhet. En matematisk text
innehåller ämnesspecifika ord och det krävs att läsaren har förförståelse för deras
innebörd. För att förstå textens innebörd krävs det att läsaren har lagrade kunskaper i sitt
långtidsminne för att korttidsminnet inte ska bli för belastat av ordavkodning eller söka
förståelse för vissa matematiska begrepp. Det är en åtskillnad på korttidsminnet och
arbetsminnet, där arbetsminnet är sammankopplat med långtidsminnet och därmed kan
underlätta belastningen på korttidsminnet. Olika texter behöver olika förkunskaper och
det är därför viktigt att läsaren av till exempelvis en matematisk text har mött denna typ
tidigare för att kunna associera till dess specifika stil (Österholm, 2004). En av de
viktigaste faktorerna för att kunna lagra kunskap i minnet är repetition. Det är
avgörande för att sedan kunna hämta upp den lagrade kunskapen och känna igen den,
assimilera. Ju fler gånger eleverna uppmärksammas på liknande uppgifter desto starkare
lagras det i långtidsminnet. Det som lagras behöver vidgas för att få en bredare
förståelse för exempelvis ett begrepp. Det behöver samtidigt kännas meningsfullt för
eleverna (Atkinson & Shiffrin, 1968).
En viktig ingrediens för att skapa bra kognitiva förutsättningar för eleverna är deras
metakognitiva förmåga. Det vill säga vilken tilltro och kunskap eleverna har om sin
egen förmåga. De elever som har en bra uppfattning om vad de kan och inte kan har
större möjligheter att beskriva sina egna brister och kan därmed få hjälp att utvecklas. I
en studie bytte Stendrup (2001) klassrum med en kollega för att kunna göra en
jämförelse mellan hur eleverna tänkte och resonerade inom matematikämnet. Studien
visade att kollegans elever räknade på i sina böcker och hade svårt att uttrycka det som
de inte förstod. Eleverna hade ett perceptivt minne av begreppens betydelse men
saknade en djupare förståelse av dess innebörd. Vidare visade studien att läraren i det
undersökande klassrummet behövde arbeta med elevernas uppfattning av matematiken
för att minska den kognitiva stress som en del elever känner. Eleverna behövde nå
förståelse för att den metakognitiva förmågan är sammankopplad med förståelsen för
ämneskunskaperna i matematik (Stendrup, 2001).
6
Uppgifter har olika påverkan på elevernas möjligheter att lösa dem. Elever har fått
prova olika resonemangstyper, där det ena är ett imitativt sätt där endast redan kända
strategier behöver användas och det andra där eleverna utmanas till mer kreativt
resonemang (Liljekvist, 2014). I sin studie utgår Liljekvist (2014) från 91 elever på
gymnasiets naturvetenskapliga program. Innan eleverna delades in i två olika grupper
mättes elevernas arbetsminnesförmåga, man tittade på deras betyg och
problemlösningsförmåga. Resultatet visade på att samma del av hjärnan används oavsett
svårighetsgraden på aritmetiken, men att andra delar av hjärnan kopplas in när eleverna
ska lösa uppgifter som kräver ett resonemang. De elever som fick ledning i hur de
skulle lösa uppgifter gjorde detta mekaniskt utan att reflektera, medan de som fick
vägledning i ett mer kreativt tänkande utvecklades mer. Det gällde generellt oavsett
kognitiva förutsättningar. (Liljekvist, 2014).
3.4 Språkkunskaper
Matematiken har ett eget språk som innehåller cirka hundra symboler, tio utav dem är
siffror medan den stora delen består av olika tecken. För att förstå matematiken måste
man ha ett språk till vilket matematiken kan översättas. Det behövs också förståelse för
innehållet. Matematiken innehåller bestämda regler som behöver befästas. I de
matematiska textuppgifterna möts två olika språk, det svenska och det matematiska. I
många sammanhang kan det vara svårt att märka skillnad på var problemet ligger, i
språket eller i bristen på matematisk förmåga, eftersom all kunskap förmedlas via
språket. Det matematiska språket behöver förklaras och översättas till svenska för att
eleverna ska få förståelse (Lennerstad, 2005). Fokus bör ligga på det som står i texten
och inte organisera upp texten utifrån till exempel signalord. Eleverna kan ofta läsa
texten, men saknar strategier för att omvandla det som de läst till en matematisk
innebörd. Eleverna har enklare för textuppgifter utan symboler. Symbolerna kan läsas
utifrån att de symboliserar exempelvis ett visst räknesätt istället för att läsa ordet utifrån
dess semantiska betydelse, det vill säga att ordet betyder någonting. Undervisning i
lässtrategier inom matematiken är viktigt för att modellera hur eleverna ska tänka kring
lösandet av textuppgifter (Österholm, 2009). En textuppgift i matematiken är ofta
faktaspäckad och abstrakt och kräver att läsaren kan plocka ut fakta under tiden som den
läser. Texten behöver oftast läsas flera gånger. Eleverna behöver känna till symbolernas
och begreppens betydelse och innebörd för att kunna använda dem på ett korrekt sätt i
uppgiften. Österholms (2004) studie, där ett hundratal gymnasieelever och studenter
deltog visar på att det fanns en uppfattning om att det var svårare att läsa en matematisk
text utan symboler än att läsa en text med. Däremot visar studiens resultat på att
förståelsen ökar i texterna utan symboler. En förklaring till det kan vara att texten då
läses mer noggrant och att fokus blir på innehållet istället för att plocka ut symbolerna
(a.a).
Utifrån ALP-test, Analys av Läsförståelse i Problemlösning, där 61 elever i årskurserna
3 och 5 deltog, samt genom litteraturstudier granskades varför annars högpresterande
elever hade problem med textuppgifter i matematiken. Det som framkom var att de
främsta orsakerna till problemen låg i läsförmågan och själva förståelsen av innehållet,
bristande begreppsförståelse samt elevernas egen kreativitet och förmåga att tänka ut
lösningar. För att förebygga svårigheter vid textuppgifter bör läraren tidigt förklara och
använda de matematiska begreppen, uppmuntra eleverna att komma på egna lösningar
samt uppmärksamma och synliggöra hur vanlig matematiken är i det vardagliga livet
(Lindekvist, 2004). En textuppgifts ordomfång och ordens svårighetsgrad kan påverka
elevernas förmåga att lösa uppgifterna. I en jämförelse mellan PISA resultaten för
matematiska uppgifter och läsförståelseuppgifter visade resultatet på att mängden ord i
7
uppgifterna har en betydelsefull roll i om eleverna lyckades lösa dem eller inte. Läraren
måste vara uppmärksam på om de uppgifter som eleverna gör verkligen mäter deras
matematiska kunskaper och inte blir ett test på elevernas läs- och ordförståelse.
Författarna framhåller att ordens längd och textuppgiftens längd påverkar läsbarheten
(Bergqvist, Dyrvold & Österholm, 2012). För att kunna lösa en textuppgift behöver
eleverna kunna läsa ut vad det frågas efter, välja en lämplig lösningsstrategi och
kontrollera rimligheten i svaret (Lindekvist, 2004; Sterner & Lundberg, 2002; Kilborn
& Johansson, 1985).
3.4.1 Begreppsförmåga
Förståelsen för begrepp kan delas in i tre stadier. Först behövs det en förståelse för vad
begreppet betyder, i nästa steg hur det förhåller sig till verkligheten samt skapa sig en
gemensam erfarenhet kring begreppet. Det är först i det tredje stadiet eleverna kan
använda sig av begreppet i matematiska uträkningar. Det som är viktigt för pedagogen
att tänka på är att förståelse för begreppen i sig inte kan synliggöras eftersom det är en
kognitiv process, vilket innebär hur någon uppfattar, bearbetar, lagrar och återger
information, som måste ske hos individen själv (Stendrup, 2001). Vissa begrepp är
förknippade med olika räknesätt. För addition är det bland annat summa, addera,
additionstecken och slanguttrycket plussa. Eleverna behöver veta att det vid en addition
ska lägga samman två eller flera tal. Vid subtraktion är det begreppen differens,
skillnad, subtraktionstecknet och att subtrahera, vilket innebär att något dras ifrån ett
annat tal. Inom multiplikationen används begrepp som faktor, faktorisera och dela upp i
faktorer, multiplicera, multiplikationstecken eller med slanguttrycket gångra.
Räknesättet multiplikation innebär att ett tal multipliceras med att annat och
mångfaldigas. Viktiga begrepp inom division är bråkstreck, delbart med, division,
dividera och divisionstecken. Räknesättet division innebär att ett tal delas med ett annat
(Kiselman & Mouwitz, 2008 ).
Det matematiska språket innehåller flera olika delar, dels det språk eleverna talar, men
också ett symbol- och bildspråk (Bergqvist & Österholm, 2014). Eleverna har stöd i sitt
lärande av den representionella kunskapen genom vilka eleverna via olika
representationsformer skapar sig inre bilder av det matematiska innehållet. De inre
bilderna hjälper sedan eleverna att generalisera den kunskap de har till nya situationer
och sammanhang (Stendrup, 2001). När det gäller det matematiska språket gäller det att
alla elever talar samma matematiska språk och lägger in samma innebörd i de enskilda
begreppen. Det gäller därmed att läraren förmedlar de korrekta begreppen till eleverna
så att de inte fastnar i de mer vardagliga betydelserna. Ett exempel på det är att vi i
vardagen säger plussa, medan vi inom matematikundervisningen förväntas benämna
detsamma som addera. Läraren behöver vara medveten om vilken förståelse eleverna
har för begreppen (Bergqvist & Österholm, 2014). Eleverna kan se begreppen endast
som en process, där tillexempel ett plustecken får eleverna att associera till en addition
mellan två tal. De kan ha en djupare förståelse och se begreppet som ett objekt där
eleven är medveten om att addition innebär mer än att bara kunna addera två tal, bland
annat den kommutativa lagen (a+b=b+a) och den associativa lagen (a+(b+c)=(a+b)+c)
(Bergqvist & Österholm, 2014; Atkinson & Shiffrin, 1968). En kunskap om begreppen
på objektsnivå är avgörande för om eleverna ska behärska textuppgifter som innehåller
signalord, vilka i sig kan vara vilseledande. Eleverna behöver förstå begreppen i sin
helhet, kunna sätta in dem i flera olika sammanhang och skapa mening i de uppgifter de
löser (Bergqvist & Österholm, 2014).
8
3.5 Svårigheter vid lösning av textuppgifter
Det är betydligt svårare att lösa en uppgift som innehåller flera olika räknesteg. Det
underlättar om uppgiften är skriven i aktiv form där eleverna känner sig delaktiga.
Svårigheter kan uppstå om eleverna förutom det som står i uppgiften måste hämta annan
information till exempel hur många dagar det är på två veckor (Unenge, 1992). Det kan
vara svårt för elever att se sambandet mellan textuppgifter och tidigare erfarenheter de
har av matematik i samband med uträkning av nakna tal. Med det menas att eleverna
tidigare har räknat tal som inte är insatta i något sammanhang utan det har mer skett en
mekanisk räkning av uppgifterna. För att eleverna ska ha hjälp av den här typen av
uppgifter behöver de erhållit en förståelse för vad det är de gör vid uträkningen. Det för
att de ska kunna generalisera kunskapen om räknemetoden och använda den i andra
situationer som till exempel vid lösningar av textuppgifter (Sterner & Lundberg, 2002).
Det är viktigt att eleverna lär sig nyckelord inom matematiken, men samtidigt är
uppmärksamma på vilken funktion de fyller i uppgiften. Eleverna behöver skapa sig en
helhetsbild av problemet. De elever som förlitar sig på regler och nyckelord får problem
när uppgifterna innehåller mer än ett steg. Ett exempel är när uttrycket färre än används
i en uppgift, vilket i vanliga fall leder in tankegången på subtraktion men kan vara ett
delmoment eller ha en annan innebörd i en uppgift som egentligen är en addition. Ett
exempel på detta är: Pelle har 15 kulor, vilket är 8 kulor färre än Kalle. Hur många
kulor har Kalle? Uppgiften innebär att eleverna ska utföra additionen 15+8 och få fram
summan 23. Det är därför angeläget att läraren undervisar eleverna i att förstå
nyckelorden i en situation och att det inte går att plocka ut enstaka tal eller ord för att
förstå vilken räkneoperation det är som ska utföras. Ytterligare problem kan uppstå när
det inte ges några ledtrådar alls i uppgiften som till exempel i: Hur många ben har 7
hundar? (Clement och Bernhard, 2005).
3.6 Lärarens roll
Undervisningen av innehållet kräver en variation för att kunna möta upp till alla elevers
förkunskaper och förmågor. Den egentliga individualiseringen av innehållet sker när
innehållet framhålls på olika sätt för att passa den enskilda eleven (Karlsson & Kilborn,
2015). I en studie har tio lärare fått besvara ett frågeformulär, intervjuats och filmats,
om vilka förmågor en bra lärare behöver behärska för att bedriva en bra undervisning.
Det som framkom var att det är betydelsefullt att läraren innehar goda kunskaper i
matematik och pedagogik, men även förståelse för elevernas kognitiva och
kunskapsmässiga förmågor. Lärarens förmågor hänger samman med hur de ger
instruktioner till eleverna. För att kunna välja ut lämpliga uppgifter till eleverna behöver
alla aspekter tas med och beaktas. Då läraren tänker in eleverna i valet av uppgifter och
anpassar dem utifrån elevernas förförståelse ökar elevernas möjligheter att förstå dem.
Det är betydelsefullt att läraren modellerar varierade metoder och strategier eftersom
eleverna är olika och lär sig på skiftande sätt (Hill m.fl.,2008). Det är viktigt för
eleverna att läraren förmedlar sina matematiska ämneskunskaper, vilka förväntningar de
har på eleverna samt hur mycket tid eleverna får på sig för att lära sig innebörden av nya
områden inom matematiken. Det för att eleverna tydligt ska veta vilka förutsättningar
som gäller (Charalambous, 2008). I Charalambous (2008) studie filmas ett antal lärare
under lektionerna för att se hur de anpassar uppgifterna efter elevernas kognitiva
förutsättningar och läroplanens mål. Eleverna behöver ha olika kognitiva kunskaper för
att lösa olika typer av uppgifter. En del uppgifter kräver att eleverna kan använda sig av
lagrad kunskap, sådant de kan, andra uppgifter kräver att eleverna kan använda sig av
inlärda räknemetoder utan att behöva förstå. Den tredje typen av uppgifter kräver att
9
eleverna kan utföra uppgifterna med förståelse och den fjärde typen av uppgifter
omfattas av att eleverna måste kunna se uppgifterna i ett sammanhang och använda sin
kreativa förmåga (Charalambous, 2008). Ett felaktigt sätt i undervisningssammanhang
är att lotsa eleverna förbi svårigheterna i uppgifterna. Lotsning betyder att läraren
plockar bort saker som eleverna tycker är svårt, eller talar om för dem hur de ska göra
istället för att ställa frågor till eleverna och låta dem komma fram till lösningen själva
(Löwing & Kilborn, 2010).
3.7 Sammanfattning av betydelsefulla fakta
Här följer en kort sammanfattning av teoribakgrunden samt meningsbärande fakta som
framkommit med stor relevans för studiens syfte och frågeställningar. För att kunna
aritmetikdopa textuppgifter krävs det att läraren har kännedom om elevernas aritmetiska
förkunskaper, kognitiva förmågor, begreppsförståelse samt språkets påverkan på
elevernas möjligheter att lösa textuppgifter (Pettersson, 1990). Det för att kunna
individanpassa och differentiera uppgifternas svårighetsgrad utifrån varje elevs
förutsättningar. Det krävs för att eleverna ska utmanas och känna att uppgifterna är
meningsfulla och motiverande (Kilborn & Johansson, 1985). Läraren behöver modellera
hållbara strategier för hur eleverna kan plocka ut relevant information samt lära dem hur
de ska hantera signalord och på ett mer generellt sätt läsa textuppgifter för att inte tappa
bort betydelsefull fakta (Österholm, 2004). Eleverna behöver möta en variation av
textuppgifter för att kunna lagra dess specifika lösningsstrategier (Hill m.fl., 2008). Det
för att eleverna ska kunna lägga sin minneskapacitet på kreativa lösningsalternativ
istället för att uppehålla sig vid grundläggande aritmetik som borde vara befäst och
automatiserad (Charalambous, 2008). Resterande delar av studien kopplar tillbaka till
ovan beskrivna viktiga fakta, då de utgör en viktig förutsättning för att kunna besvara
uppsatt syfte och frågeställningar. Vid transkriberingen av intervjuerna valdes därför
delar ut som innehöll ord som till exempel textuppgifter, begrepp, tänka i flera led och
saker som är kopplade till språket såsom läsning.
10
4 Metodologi
Den här studien grundar sig på intervjuer, då avsikten var att ta reda på det som Feijes
och Thornberg (2015) beskriver som den upplevelse elever och lärare har av
textuppgifter och aritmetikdopning. Till grund för intervjuerna har eleverna genomfört
ett frågeformulär med textuppgifter. Studien bygger på vad Feijes och Thornberg (2015)
påtalar är kvalitativt i den bemärkelsen att den bygger på intervjuer som är en kvalitativ
metod. Intervjufrågorna var semistrukturerade, det vill säga att de utgick från färdiga
grundfrågor, men det fanns ändå en flexibilitet och öppenhet för nya saker som kan
uppkomma. Data strukturerades upp efter uppkomna mönster. Studien har en
hermeneutisk inriktning där avsikten var att utveckla och tolka en förståelse samt ett
fenomenologiskt perspektiv där fenomenet aritmetikdopning i samband med
textuppgifter undersöktes.
4.1 Datainsamlingsmetoder
Under denna rubrik presenteras intervju och ett formulär med textuppgifter som metod
för att samla in empirin. Insamling av data till en fenomenologisk studie sker ofta med
hjälp av intervjuer (Feijes och Thornberg, 2015).
4.1.1 Formulär som metod
Syftet med att använda formuläret (se bilaga C) var att utforska, upptäcka och få en
djupare förståelse av hur eleverna löste de aritmetiskt dopade uppgifterna. Avsikten med
formuläret var att samla in fakta som sedan kunde analyseras. Formuläret valdes för att
ganska snabbt få in ett hanterbart antal svar. Under framställan av formuläret togs
hänsyn till hur frågeformuläret skulle presenteras, vilken bakgrundsinformation
deltagarna behövde, information om att fakta som framkom skulle behandlas
konfidentiellt samt att deltagandet var frivilligt. Uppräknade faktorer är grundprinciper
enligt de etiska aspekterna som föreligger vid användning av formulär (Denscombe,
2013). Vid konstruktionen av formuläret övervägdes aspekter såsom hur många
uppgifter som kunde vara rimligt att eleverna skulle ha tålamod att genomföra och att
uppgifterna innehållsmässigt skulle innehålla det som kunde generera svar på studiens
syfte och frågeställningar. Frågornas längd varierades för att de skulle ge möjlighet till
vidare analys om hur textuppgifternas längd påverkade lösningsfrekvensen. Samtidigt
beaktades det som Denscombe (2013) påtalar att det är viktigt att formulera sig
kortfattat, för eleverna på ett begripligt sätt samt att säkerställa sig om att formuläret
besvarar det som är avsikten att det ska besvara.
Tanken med uppgifterna var att de skulle ske en stegring av den aritmetiska
svårighetsgraden. Det var för att se om det blev någon skillnad på lösningsfrekvensen
av uppgifterna. Konstruktionen av uppgifterna utgick från tanken med Kilborns och
Johanssons (1985) remsor. Där den aritmetiska svårigheten stegrades från den första
uppgiften som var den lättaste till den tredje som skulle innebära större aritmetisk
utmaning för eleverna. Varför valet föll på tre uppgifter åt gången var att hänsyn togs
till att uppgifterna skulle kunna lösas på fem minuter. En uppsatt tid med tanke på
uppgifternas svårighetsgrad i förhållande till årskurserna. Tidsaspekten tog
utgångspunkt i Kilborns och Johanssons (1985) argumentation för att elevernas
kunskaper behöver ske på tid för att se om de är befästa. Uppgifterna varierades efter
vad som krävdes för att eleverna skulle kunna lösa dem. I de första tre uppgifterna
behövde eleverna läsa noggrant för att inte luras av signalordet fler. Nästkommande tre
uppgifter ville se om eleverna kunde hämta information utanför uppgifterna, det vill
säga hur många ben respektive djur hade och sedan kunna omsätta det i matematiskt
11
sammanhang. Valet av de här uppgifterna grundade sig på det som Clement och
Bernhard (2005) framhåller att det är svårt när information ska hämtas utanför
uppgiften. Uppgifterna 7, 8 och 9 konstruerades för att vara verklighetsnära, en situation
som eleverna kunde känna igen sig i. Uppgifterna innehöll ganska mycket text, vilket
krävde att eleverna skulle kunna plocka ut den relevanta informationen från en stor
textmassa samt vara förtrogen med begreppet dubbelt.
4.1.2 Intervju som metod
Intervjufrågorna hade en öppen struktur för att erbjuda informanten möjlighet att svara
utifrån sina egna tankar och funderingar och inte bli styrda av vad Feijes och Thornberg
(2015) skriver forskarens åsikter. Innan intervjun fick informanten information om vad
intervjun skulle handla om samt lämna sitt samtycke till att medverka. För att intervjun
skulle bli bra var intervjun noga förberedd och frågorna var formulerade så att svaren på
frågorna kunde hjälpa till att besvara studiens syfte och frågeställningar, något som är
viktigt enligt Denscombe (2013). De intervjuer som genomfördes i den här studien var
semistrukturerade, vilket innebär att det finns färdiga frågor. Intervjuaren var ändå
öppen och flexibel under intervjun och kunde anpassa ordningsföljden utefter hur
intervjun fortlöpte. Intervjuerna skedde vid ett möte mellan intervjuaren och
informanten, som en personlig intervju (Denscombe, 2013). För att intervjuerna skulle
kännas naturliga och trivsamma var intervjuaren noga med att passa tiden för intervjun
och visade ett genuint intresse för det som informanten förmedlade. Intervjuerna
spelades in med hjälp av en diktafon för att viktig information inte skulle missas.
4.2 Urval
Under denna rubrik presenteras hur urvalet för genomförandet av textuppgifterna och
intervjuerna gick till. Urvalet av elever att delta i studien har utgått ifrån det Feijes och
Thornberg (2015:271) kallar för icke- sannolikhetsurval, där urvalet har skett genom
bekvämlighetsprincipen. Elevernas lärare och en del av eleverna var redan kända.
4.2.1 Urval till textuppgifterna och intervjuerna
Urvalet byggde på sökning av klasser med elever i årskurserna 2 och 3. Det med tanke
på att eleverna ombads att genomföra textuppgifter och att de därmed skulle ha kommit
en bit i sin läsutveckling för att avkodningen inte skulle ställa till problem för eleverna.
Tre klasser valdes ut där eleverna fick genomföra textuppgifterna. Det var en årskurs 2,
en årskurs 3 och en åldersintegrerad årskurs 2-3. De som deltog var 15 elever i
årskurserna 2-3 (8 stycken i årskurs 2 och 7 stycken i årskurs 3), 17 elever i årskurs 3
och 16 elever i årskurs 2. Totalt var det 48 elever varav 24 elever i vardera årskurserna 2
och 3. Urvalet av elever till intervjuerna skedde utifrån de svar som framkom vid
genomförandet av formuläret med textuppgifterna. Den viktigaste faktorn till urvalet var
att föräldrarna hade gett sitt medgivande till att eleverna fick delta i studien. Den andra
avgörande faktorn var att urvalet grundade sig på intressanta svar som framkom och att
det genom en intervju fanns möjligheter till ytterligare förklaringar av uträkningarna av
uppgifterna. Eleverna till intervjuerna valdes ut utifrån det som Denscombe (2013)
beskriver som ett urval utifrån tanken om att de har något speciellt att förmedla och
bidra med.
Lärarnas valdes ut efter principen att de var klassföreståndare i de klasser där eleverna
deltagit och besvarat formuläret med textuppgifter, och därmed även hade goda
kunskaper om elevernas förutsättningar och förmågor. Det var också de som hade
bedrivit matematikundervisningen med eleverna som deltog i studien.
12
4.3 Forskningsetiska principer
Forskaren ska med fördel komma fram med nya infallsvinklar och perspektiv på redan
befintlig forskning. Det som ligger till grund för den här studien är det som Gustafsson,
Herméren och Petersson (2005) framhåller är viktigt nämligen att tydligt redovisa vem
som säger vad och att forskning inte förvanskas (a.a). I denna studie har
Vetenskapsrådets (2002) fyra huvudkrav för att skydda den enskilda individen följts. De
fyra kraven är informationskravet, samtyckeskravet, konfidentialitetskravet och
nyttjandekravet. Det är extra viktigt att beakta dessa grundprinciper då intervjuer kräver
ett aktivt deltagande av medverkande personer (a.a). Informationskravet har efterlevts
genom att samtliga deltagare i studien har informerats om vad studien handlar om och
vad deras inblandning kommer innebära. Samtyckeskravet innebär att den som deltar
ska lämna sitt medgivande till att delta och informeras om att den när som helst har rätt
att avsluta sin medverkan. Konfidentialitetskravet betyder att alla inblandade har rätt att
vara anonyma. Det gäller i första hand som Vetenskapsrådet (2002) framhåller där
känsliga uppgifter framkommer, vilket nu inte var fallet i denna studie. Nyttjandekravet
ska säkerställa att framkommen fakta endast ska användas i detta
forskningssammanhang och inte användas till andra ändamål (Vetenskapsrådet, 2002).
4.3.1 Forskningsetiska principer för intervjuer
Information skickades ut till berörda föräldrar i samband med att de fick ge sitt
samtycke till att deras minderåriga barn fick delta i studien, något som framhålls i
Vetenskapsrådets (2002) skrift. Andra viktiga etiska aspekter i samband med intervjuer
med barn är att skapa ett tillitsfullt klimat där eleverna känner att deras synpunkter tas
på allvar. Intervjuerna ägde därför rum i för eleverna kända miljöer. Intervjuerna
startades upp med frågor kring elevernas ålder och vilken klass de gick i. Det var för att
avdramatisera intervjun och få eleverna att känna sig lugna och trygga. De medverkande
lärarna fick information och undertecknade ett godkännande av sitt deltagande. I och
med allas underskrifter efterlevdes både informations- och samtyckeskravet.
Informationen om vad som gällde för deltagande i intervjun framkom i det missivbrev
som lärarna erhöll innan sin medverkan vid intervjun.
4.4 Proceduren
4.4.1 Proceduren för genomförande av textuppgifterna
Innan textuppgifterna formulerades fördjupades utförarens kunskaper kring
textuppgifter, deras uppbyggnad och vilka svårigheter som framkom i tidigare forskning
angående vad som kan ställa till problem för eleverna vid lösning av uppgifterna.
Uppgifterna skrevs utifrån framkommen data och avsikten var att kontrollera elevernas
och lärarnas uppfattning och upplevelsen av uppgifternas konstruktion samt hur de
upplevde själva genomförandet av uppgifterna. Innan klasserna besöktes skickades
information ut till föräldrarna där det tydligt framkom varför eleverna ombads att delta
och för att få föräldrarnas medgivande till att eleverna fick delta (se bilaga A för brev
till föräldrarna). Vid genomförandet av textuppgifterna var forskaren på plats för att
informera eleverna om varför de skulle utföra textuppgifterna samt hur svaren sedan
skulle användas (se bilaga C för formulär med textuppgifter). Eleverna informerades om
att alla svar skulle behandlas konfidentiellt, men att eleverna ändå ombads skriva namn
på formulären eftersom vissa av eleverna senare skulle ombeds att ställa upp på en
intervju för att beskriva hur de uppfattat textuppgifterna och att det fanns intresse av att
ta del av deras tankar kring själva lösningarna upplevdes. För att tidsaspekten inte skulle
skilja sig åt delades uppgifter in i grupper om tre, med tre olika aritmetiska
svårighetsgraderna på uppgifterna. De tre uppgifterna visades på Powerpoint och
13
eleverna gavs fem minuter att utföra de tre uppgifterna. Därefter visades tre nya
uppgifter. Det upprepades tills alla 12 uppgifterna hade visats i vardera fem minuter.
Tidsgränsen för genomförandet var därmed 20 minuter. Det kändes betydelsefullt att
kunna säga till eleverna och läraren hur lång tid det hela skulle ta. När de 20 minuterna
hade gått samlades svaren in. Svaren gicks igenom och granskade kritiskt för att kunna
plocka ut tre elever från varje klass som fick delta på intervju och förklara sina
lösningar och uppfattningar (se bilaga D för intervjufrågor till eleverna).
4.4.2 Bortfall
4 av eleverna i de tre klasserna deltog inte i testet. Två av eleverna fick inte medgivande
till att delta av sina föräldrar, en elev var sjuk och en föll bort på grund av att eleven inte
följer samma läroplan som de övriga eleverna.
4.4.3 Proceduren för genomförande av intervjuerna
Först skickades frågeformulär om elevernas och lärarnas deltagande ut (se bilaga A för
brev till föräldrarna och bilaga B för missivbrev). Inför intervjuerna formulerades frågor
som skulle hjälpa till att få svar på uppfattningen som eleverna och lärarna hade av
textuppgifter och vad som upplevdes som lätt och svårt. Intervjuerna skulle bidra med
att få en förklaring till de olika lösningar som eleverna hade använt sig av vid
genomförandet av formuläret med textuppgifter. Intervjuerna började med frågor kring
informanten som person för att mjuka upp situationen och avdramatisera deltagandet.
Informanten informerades om att intervjun skulle spelas in med hjälp av en diktafon för
att undvika att betydelsefull information försvann. Under intervjuerna var forskaren
aktiv och utnyttjade tystnaden för att ge informanten tid att tänka, ibland bad
intervjuaren om ytterligare förklaringar och sammanfattade det som informanten just
sagt för att visa att det skedde ett aktivt lyssnande och intresse av det som informanten
förmedlade.
För att eleverna skulle känna sig bekväma i intervjusituationen ägde intervjuerna rum i
ett för eleverna välbekant rum, något som Kvale och Brinkmann (2014) framhåller som
viktigt. Intervjufrågorna är formulerade utifrån Kvales och Brinkmanns (2014) olika
frågetyper. Författarna förordar olika frågeställningar beroende på vilka svar som
efterfrågas. Den första frågan var en inledande fråga där tanken var att informanten själv
skulle börja tänka på vilka viktiga aspekter denna lägger in i fenomenet textuppgifter.
När informanten avgav sitt svar lyssnade intervjuaren uppmärksamt för att utifrån
framkommen fakta kunna ställa relevanta uppföljningsfrågor. Uppföljningsfrågorna
skedde på varierade sätt, ibland genom att ett viktigt begrepp lyftes upp, med en nick
eller ett mumlande som bekräftelse och en uppmuntran till informanten om att
intervjuaren var intresserad och ville höra mer.
Tystnaden användes för att ge informanten möjlighet att tänka efter och vidareutveckla
sitt svar. Några frågor var sonderande frågor där intervjuaren var mer intresserad av ett
specifikt område. Där ställdes frågor där intervjuaren bad informanten att
vidareutveckla sina svar. Specificerande frågor ställdes för att få reda på mer konkret
och specificerat vad läraren gjorde för att ta reda på elevernas kunskapsnivå och
kognitiva förutsättningar. Direkta frågor användes i de fall då intervjuaren ville ha svar
på exempelvis när och hur textuppgifter introducerades för eleverna. Indirekta frågor
ställdes för att ta reda på hur läraren trodde att andra uppfattade textuppgifter, deras
innebörd och svårigheter. En fråga som behandlade detta var exempelvis: Vilka
svårigheter upplever du brukar nämnas av eleverna som kan orsaka problem för dem när
de ska lösa textuppgifter?
14
Frågorna var strukturerade på det sättet att avsikten var att utifrån svaren kunna besvara
syftet och frågeställningarna som låg till grund för studien. Eftersom tiden för
intervjuerna var tidsbegränsade var det viktigt att hela tiden fokusera på det som var
relevant i det här sammanhanget. Tolkande frågor användes för att intervjuaren skulle
bekräfta att den uppfattat svaret på ett korrekt sätt. Frågorna började då med: Om jag har
uppfattat dig rätt så….
För att få en helhetsbild av intervjun iakttog intervjuaren informantens kroppsspråk.
Efter intervjun tackades informanten för sitt deltagande och intervjuaren frågade om det
fanns möjlighet att höra av sig med uppföljande frågor om det skulle vara aktuellt. Efter
intervjuerna skrevs det fältanteckningar för att teckna ned sådant som kan få en
betydelse för intervjuerna i sitt sammanhang (Denscombe, 2013).
4.5 Databearbetningsmetoder
4.5.1 Databearbetning av textuppgifterna
När formulären gicks igenom tänktes faktorer som kan ha påverkat resultatet igenom.
Frågor som om formulären innehöll relevanta uppgifter för att kunna besvara syfte och
frågeställningar, om svaren överensstämde med det som kommit fram i teoridelen om
tidigare forskning och om det var ett tillräckligt stort underlag för att dra några riktiga
slutsatser. Det är viktigt att granska resultaten och ställa sig frågor kring den
information som framkommit (Denscombe, 2013). Testresultaten redovisades i ett
diagram utifrån fem huvudfrågor: antal rätt, rätt räknesätt, ritat lösningen, använt
matematiskt språk samt antal rätt på respektive uppgift. Tanken med den första
kategorin var att mäta hur eleverna hanterade stress, en faktor som Stendrup (2001)
framhåller ofta hänger samman med lösning av matematiska uppgifter. Vidare skulle
kategorin verifiera om eleverna kunde det som Bergqvist och Österholm (2014)
poängterar om de kunde läsa uppgiften som en helhet, om de kunde läsa bortom
signalorden samt om de vilket Kilborn och Johansson (1985) argumenterar för hade
automatiserade kunskaper. Kategori två hade för avsikt att se om eleverna kunde läsa ut
vilket räknesätt som var lämpligt att använda i uppgiften. Något som Österholm (2009)
är betydelsefullt att kunna läsa ut ordens semantiska betydelse för att kunna lista ut
vilket räknesätt som är lämpligt att använda. Den tredje kategorin var avsedd för att visa
elevernas tankeförmåga att använda sig av mer utvecklade metoder än att enbart rita sin
lösning. Här fick eleverna visa att det är viktigt att tillgodogöra sig olika
lösningsstrategier och metoder, något som Karlsson och Kilborn (2015) framhåller. Den
fjärde kategorin var tänkt att besvara om eleverna hade använt sig av ett matematiskt
språk och löst uppgifterna med hjälp av någon form att uppställning. Här var tanken att
det skulle visa sig om eleverna hade generaliserade kunskaper om uträkningar som de
kunde använda sig av för att lösa uppgifterna. En generalisering av uträkningsmetoder
är något som Sterner och Lundberg (2002) menar är avgörande när eleverna ska välja
lämpliga metoder. Den sista och femte frågeställningen hade för avsikt att
uppmärksamma om uppgifternas utifrån Löwings och Kilborns (2010) tanke om
aritmetikdopning hade visat sig i lösningsfrekvensen. Alla kategorierna hade studiens
syfte och frågeställningar som utgångspunkt med fokus på begreppen individualisering,
differentiering, svårighetsgrad, undervisning, aritmetikdopning och textuppgifter.
15
4.5.2 Databearbetning av intervjuerna
Vid den första bearbetningen av inspelningarna lyssnades intervjuerna igenom och fakta
som kan kopplas till syfte och frågeställningar lyftes ut och transkriberades. Utifrån
transkriberingen plockades sedan det mest betydelsefulla ut, vilket Feijes och Thornberg
(2015) framhåller som meningsbärande enheter. Innehållet strukturerades sedan upp
under respektive frågeställningar. Exempel på meningsinnehåll som plockades ut: Enkla
textuppgifter introduceras tidigt och man pratar om vad är det man tittar efter en
textuppgift, hur tar man sig an en textuppgift, vad har man för strategier? (Lärare A).
För ett fåtal är det läsningen som ställer till problem för eleverna men oftast är det är
det inte förstår hur de ska ta reda på vad de ska göra, vilka siffror är det jag behöver
plocka ut och använda och så. Det är det som jag uppfattar är det svåraste att välja
rätt strategi (Lärare B). Begreppen ställer till mycket, man förstår inte begreppens
betydelse och sedan vet jag att det är viktigt att använda rätt begrepp från början,
annars får man lära sig två språk. (Lärare C). Läraren tycker att vi ska välja något som
är en utmaning för oss, så vi inte tar för lätta. Jag brukar välja den svåraste. (Elev 1,
årskurs 3). En uppgift kan vara svår när jag måste tänka i flera steg och sedan räkna
ihop dem (Elev 8, årskurs 2).
4.6 Tillförlitlighet
Det har under hela processen funnits en öppenhet och ärlighet i de resultat som
framkommit samtidigt som forskaren haft ett kritiskt förhållningssätt där det som
Gustafsson m.fl. (2005) lyfter fram reflektioner kring felkällor till resultatet har
analyserats. Studien har bedrivits på ett noggrant sätt, där inkänning och kritiska ögon
har varvats med inläsning av forskning och förankring i empiri, något som förordas av
Feijes och Thornberg (2015) som nödvändiga inslag i en kvalitativ studie. Under
processens gång har forskaren beaktat det som Feijes och Thornberg (2015) framhåller
som viktiga aspekter att beakta nämligen hur väl forskaren kan argumentera för de
framkomna resultaten, att resultaten stämmer överens med det som framkommit i
empirin och att de inte är motsägelsefulla samt hur användbart det framkomna resultatet
är för verksamheten. Alla dessa kriterier visar på studiens validitet. Forskaren har under
processen försökt att vara tydlig och redovisa data för att fakta ska vara transparent och
ge andra möjlighet att återupprepa studien med ett likvärdigt resultat, något som enligt
Denscombe (2013) påtalar är viktigt för studiens tillförlitlighet.
Studiens validitet påverkas av valet av informanter och antalet deltagare i studien
(Kvale & Brinkmann, 2014). Forskarens avsikter i den här studien vara att noggrant
välja ut ett hanterbart antal deltagare för att hinna genomföra testet, och intervjuerna
samt bearbeta resultatet och genomföra en tillförlitlig analys av framkomna material på
den korta tid som studien haft till förfogande. Den främsta tanken var att ha ett
tillräckligt stort antal deltagare för att kunna få svar på studiens syfte och
frågeställningar. Studiens validitet beaktades i studien genom det som Kylèn (2004)
påtalar genom att frågorna formulerades för att ge svar på det som var relevant för
studiens syfte och frågeställningar samt att frågorna skulle förstås av informanten för att
misstolkningar av frågorna inte skulle leda till vilseledande data.
Reliabiliteten i studien beaktades hela tiden under processens gång då sanningshalten
och överensstämmelsen mellan olika fakta ifrågasattes. Eftersom studien upprepades i
tre olika klasser på tre olika skolor stärktes reliabiliteten då de olika svaren kunde
jämföras med varandra. Det gav forskaren en möjlighet att granska om frågorna gav
möjlighet att få svar som pekade i samma riktning, vilket skulle ge en antydan om att
datainsamlingen skulle ge samstämmiga svar vid upprepade testtillfällen. Naturligtvis
16
måste det finnas en öppenhet för att klasserna är olika, att de har olika lärare och ligger i
olika kommuner. Kylèn (2004) framhåller att testens reliabilitet kan stärkas genom att
test utförda på olika ställen visar på likvärdiga resultat. Reliabiliteten ökar enligt (Kylèn
(2004) om det inte blir ett för stort bortfall vid genomförandet av testen. Det försöktes
förhindras genom att frågorna som ställdes var korta, relevanta och svåra att misstolkas.
Utföraren av studien deltog själv vid testtillfällena för att omgående kunna besvara
tveksamheter kring hur frågorna skulle tolkas, ett sätt att stärka reliabiliteten.
4.6.1 Textuppgifterna
Vid konstruktionen av textuppgifterna har hänsyn tagits till vad tidigare forskning har
kommit fram till kan ställa till problem vid elevernas lösning av uppgifterna. Det är
enligt Feijes och Thornberg (2015) en förutsättning för att stärka validiteten, där rätt
saker ska undersökas. Formuleringarna av syftet och frågeställningarna har lett fram till
valet av metoderna där ett frågeformulär till eleverna och uppföljande intervjuer hjälpte
till att få reda på elevernas upplevelser av textuppgifterna samt vilka svårigheter de såg
med uppgifterna. Genom uppgifterna ville forskaren prova sig fram för att och använda
sig av vad Feijes och Thornberg (2015:260) kallar kreativt tänkande.
4.6.2 Intervjuerna
En intervjusituation påverkas hela tiden av forskarens jag. Varje intervjusituation är
unik och personkemin påverkas av forskarens ämneskunskaper, förberedelse,
färdigheter att utföra en intervju och förmåga att analysera framkomna fakta på ett
neutralt sätt (Feijes och Thornberg, 2015). Intervjusvaren jämfördes med annan fakta
som framkommit i tidigare forskning och övriga intervjuer för att se om informanternas
svar överensstämde med dem. Det är för att stärka validiteten i studien. Det som stärkte
validiteten var att de enligt vad Denscombe (2013) skriver att de utvalda personerna för
intervjuerna var erfarna på sitt område och trovärdigheten i deras utsagor var därmed
hög. En fördel för validiteten är att det vid en intervju hela tiden finns möjlighet att
bedöma informationens relevans. Något som vidare höjer trovärdigheten är att data har
samlats in empiriskt och att forskaren har varit på plats vid insamlingen.
Tillförlitligheten påverkades av forskarens förmåga att hålla sig objektiv.
17
5 Resultat och analys
Först redovisas resultatet av det genomförda testet med textuppgifter. Resultatet av
textuppgifterna ligger sedan till grund för alla resultat och tillsammans med redovisad
forskning i teoribakgrunden samt genomförda intervjuer till grund för analyserna som
följer under respektive frågeställning.
5.1 Resultat av textuppgifterna
Resultaten av de genomförda testen med textuppgifter redovisas utifrån nedan angivna
kategorier: antal rätt, rätt räknesätt, ritad lösning, mattespråk och antal rätt på respektive
uppgift. Det totala antalet deltagande elever var 48, varav det var 24 i respektive
årskurs. Inom parantes anges om det är en elev i årskurs 2 eller 3. Testet utgick från 12
uppgifter vilka var uppdelade i fyra grupper med tre frågor i varje grupp. Inom varje
grupp var textuppgifterna densamma, men dess aritmetiska innehåll stegrades från att
vara lätt till att bli svårare och svårare. (Testet återfinns i bilaga C). De fyra
grunduppgifterna var:
Anna samlar __stenar, vilket är __ fler än Stina samlar. Hur många stenar samlar Stina?
Hur många hönor har __ ben tillsammans?
Eva är på innebandymatch och är hungrig. Hon köper___ korv som kostar__ kronor och
en dricka för___ kronor. Hur mycket kostar korven och drickan tillsammans?
Sven cyklar____ varv runt fotbollsplanen på fem minuter. Lotta cyklar dubbelt så
snabbt. Hur långt hinner Lotta cykla på fem minuter?
Figur 2. Ett diagram över resultaten av textuppgifterna. Diagrammet finns i större
format i bilaga F. Den ljusblå stapeln visar hur många rätt eleverna hade totalt på testet.
Den röda stapeln visar om eleverna hade använt de räknesätt som var bäst anpassat till
uppgiften. Den grå stapeln visar hur många elever som ritade lösningen på respektive
uppgift. Den gula stapeln visar om eleverna har visat sin lösning med någon form av
uträkning. Den mörkblå stapeln visar hur många elever som har avgett ett korrekt svar
på uppgiften.
18
Resultatet visar på att uppgifterna 1,4 och 7 var de uppgifter som varit lättast att lösa.
Medan det i den sista gruppen med uppgifterna 10, 11 och 12 var ett ganska lika
resultat.
De var lätta, alla utom uppgift 9. Man skulle göra allting och sedan plussa ihop det.
Det var många uträkningar. Den lättaste av uppgifterna var den första. Den hade det
minsta talet.
(Elev 1, åk 3)
5.1.1 Analys av textuppgifterna
Uppgifterna 1, 2 och 3 innehöll ordet fler som skulle kunna leda in eleverna på att
använda sig av addition, vilket också flera elever gjorde. Det är vanligt enligt Clement
och Bernhard (2005) då eleverna inte läser textuppgiften som en helhet och inser att
begreppet fler i den här uppgiften endast var ett delmoment och behövdes läsas i ett
vidare perspektiv (a.a). Det var dock ingen av de intervjuade eleverna som framhöll fler
som ett ord som de kopplade ihop med addition.
Uppgifterna 4, 5 och 6 innehöll ordet tillsammans, vilket flera av de intervjuade
eleverna kopplade ihop med addition. Majoriteten av de elever som löste de här
uppgifterna använde sig av addition, medan en division kanske hade varit ett lämpligare
räknesätt. Här har eleverna bildat sig en uppfattning om att begreppet tillsammans
symboliseras med räknesättet addition, något som inte överensstämmer med Kiselmans
& Mouwitz (2008) förteckning över begrepp som bör kopplas ihop med addition. Här
behöver eleverna istället som Österholm (2004;2009) förordar läsa bortom signalorden
för att bilda sig en uppfattning av textuppgiften som helhet. En elev i årskurs 2
besvarade uppgifterna 4 och 5, =5, en annan elev i årskurs 2 visade sin lösning
1+1+1+1+1=5. Många elever ritade lösningarna på de här uppgifterna och räknade
sedan de ben de hade ritat, vilket överensstämmer med det Engström (2007) benämner
en konkret uppgift där eleven kan rita sin lösning och därigenom konkretisera den.
Många elever valde att lösa uppgifterna genom att addera antalet ben tills de kom fram
till rätt antal, i uppgift 4, 2+2+2+2+2=10. En elev i årskurs 3 ritade och redovisade sin
lösning på uppgift 6 genom att rita och addera ihop svaret:
Figur 3. En elevlösning på uppgift 6.
Det syntes i lösningarna att eleverna hade kunskap om att hönor har två ben och hundar
fyra, vilket krävdes för att de skulle kunna lösa uppgifterna. När det gällde uppgifterna
4, 5 och 6 där eleverna skulle räkna ut hur många djur det var som hade ett visst antal
ben var det många elever som såg svaret, men hade svårt att hitta ett sätt att visa det på.
Uppgift 6 krävde det som Unenge (1992) framhåller att information behöver hämtas
utanför själva uppgiften och som Clement och Bernhard (2005) poängterar klara att lösa
uppgiften utan några direkta ledtrådar. Uppgift 6 med sin öppna utsaga krävde även att
eleverna kunde sätta in innebörden i uppgiften i ett sammanhang och vid lösningen
använda sin kreativa förmåga.
Ett vanligt fel på uppgift 8 var att eleverna endast plockade ut de synliga talen och
adderade ihop dem, 15+7=22. Eleverna läser enligt Österholm (2009) matematiska
texter på ett annat sätt än när de läser texter på svenska. Det visas också i en del av de
lösningar på de genomförda testuppgifterna, där några elever endast plockade ut de tal
de såg i textmassan och formulerade sin lösning utifrån den informationen. Skillnaden
19
mellan nivån i den aritmetiska kunskapen var störst mellan uppgifterna 7 till 9. Där det i
uppgift 9 krävdes en uträkning i flera led och med tiotalsövergång. Att uppgifter i flera
led kan vara svåra att lösa visade sig i de här uppgifterna, vilket överensstämmer med
Unenge (1992) argumentation.
De som löst alla uppgifterna 10, 11 och 12 har förstått vad de ska göra och den
aritmetiska stegringen var inte så stor utan den högsta summan var i uppgift 12 där
eleverna skulle dubblera 7 varv. Det kan vara en förklaring till varför det inte fanns
någon tydlig skillnad mellan den lättaste och den svåraste uppgiften bland de här tre
uppgifterna. Flera elever räknade hälften av tiden istället för att dubblera antalet varv.
Vanliga fel i samtliga uppgifter var att eleverna plockade ut det tal som syntes i
uppgiften, att de inte läste ordentligt vad det var det frågades efter och använde fel
räknesätt. Många hade problem med begreppet dubbelt. Flera elever dubblerade tiden
istället för antalet varv och fick därmed samma svar, 5+5= 10, på uppgifterna 10, 11 och
12. Några tog antalet varv och dubblerade det och adderade sedan ihop båda talen,
exempel på lösning på uppgift 10: 2+4=6. Eleverna behöver ha förståelse för hur de ska
använda begreppet dubbelt i de här uppgifterna något som Bergqvist, Dyrvold och
Österholm (2012) framhåller kan ställa till svårigheter. Det som kan ha påverkat
lösningsfrekvensen på uppgifterna 10, 11 och 12 är att talen här stod med bokstäver.
Eleverna kunde inte endast plocka ut de tal de såg utan var tvungna att läsa texten för att
ta ut de relevanta talen för att kunna lösa uppgifterna. Det visade på att eleverna inte har
befäst hur de ska gå tillväga för att lösa en textuppgift och hur viktigt det är att det som
Österholm (2004) påtalar plockar ut korrekt fakta ur en text bestående av stor textmassa
samt kan relatera den här uppgiften till tidigare erfarenheter av liknande uppgifter.
5.2 Konstruktion av textuppgifter som kan aritmetikdopas
Under den här rubriken redovisas resultat och analys av hur lärare beskrev hur
textuppgifter kan konstrueras för att kunna aritmetikdopas.
5.2.1 Resultat av textuppgifters konstruktioner
Alla de tre intervjuade lärarna var överens om att det måste ske en differentiering av
uppgifterna utifrån elevernas unika förutsättningar. Lärarna hade olika tillvägagångssätt
för att tillgodose det. En av lärarna valde att ha öppna uppgifter där eleverna själva fick
välja vilka siffror som skulle placeras in. Det gjorde hen för att alla elever skulle få
möjlighet att utmana sig själva. Lärare B uttryckte det på följande sätt:
Textuppgifterna kan variera mellan eleverna. Jag använder öppna uppgifter ibland
och då blir det naturligt så att eleverna väljer tal utifrån sin förmåga. Om jag säger åt
eleverna att dubblera ett tal kanske några elever väljer ett svårare tal för att de tycker
att det är för lätt. De som har jobbigt för matte väljer något enklare. (…) Ibland
konstruerar jag egna uppgifter om det är något speciellt som jag vill arbeta med.,
och ibland tar jag exempel från läroboken eller ifrån andra läromedel som finns,
eller från nätet.
(Lärare B)
Lärarna startade alltid ett nytt område med en genomgång på tavlan, där de modellerade
hållbara strategier för att eleverna både nu och i framtiden skulle kunna lösa
textuppgifter. De ansåg att det var viktigt att textuppgifterna var kopplade till elevernas
vardag och att de såg en mening med att lära sig hur en textuppgift är uppbyggd
eftersom det ofta är liknande problem som eleverna sedan kommer stöta på i sin vardag.
Lärare C använde sig mycket av bland annat annonsblad för att konstruera egna
uppgifter.
20
Jag gör egna uppgifter till barnen i vardagsmatematik. Du ska gå till affären och
handla 2 julmust, sedan har jag klippt ut annons ur tidningen. Två stycken julmust
kostar 15 kronor. Hur mycket får du betala om du ska köpa en julmust? Det är svårt
att hitta sådana uppgifter. Jag brukar klippa ut ur leksaktidningar och klippa ut det
som intresserar barnen, det kan vara Minecraft och då försöker jag använda det. Jag
använder begreppen som är svåra fler än, färre än, större och mindre. Försöker
vända dem om, ordföljden har betydelse.
(Lärare C)
Lärare A använde sig av en metod där hen började gemensamt med eleverna och utgick
från samma uppgift. Eftersom hen var medveten om att eleverna befinner sig på olika
kunskapsnivåer gav hen ledtrådar och lät därmed eleverna själva avgöra när de hade
tillräcklig med ledtrådar för att självständigt lösa uppgiften. Det gav enligt lärare A
eleverna möjligheten att utmana sig själv och tidigt sitta själv och klura ut lösningen på
uppgiften.
Vi kan utgå från samma uppgift men att jag sedan lämnar ledtrådar efter vägen. Då
börjar de som kan tidigt på lösningen räkna ut det tidigare, medan andra behöver
flera ledtrådar för att komma igång. Ibland får de helt olika också.
( Lärare A)
Lärarnas svar visade på att de gärna startade upp gemensamma genomgångar av
textuppgifter med hela klassen och att de därefter individualiserar undervisningen
utifrån elevernas förutsättningar. Det är enligt informanterna fördelaktigt eftersom
eleverna lyssnar på varandra och deras resonemang för att komma fram till lösningen.
Det ger eleverna tillfällen att omvärdera felaktigt inlärda strategier och metoder.
Om man har elever som befinner sig på många olika nivåer är
grunduppgift och det underlättar väldigt mycket för man
uppgifterna tillsammans då så kan man bara sätta siffror sedan,
tiotalsövergång och så. De som inte klarar tiotalsövergång
övergång och så.
det fiffigt att ha en
kan ju prata om
för dem som klarar
kan man ha utan
(Lärare B)
Lärarna var överens om att de har ett ansvar att ge eleverna förutsättningar att
självständigt kunna lösa textuppgifter. Det krävs därför att de som lärare konstruerar
uppgifter som passar elevgruppen, vilket kan vara en utmaning i sig eftersom
elevkonstellationen varierar väldigt mycket.
Frågeställningen är viktig, hur man frågar i matten. Alla textuppgifter är ju
konstruerade uppgifter. Signaler gör ju att man tror att det är plus eller minus,
tecknet, vad menar man med subtraktion? Minus. Vad då minus. Tecknet visar ju
tydligt att det sker någonting i det här. Skillnader eller att det försvinner. Därifrån
till att koppla det till verkligheten. (….). Just begrepp som fler än, färre än det är
tydligt, du kan använda båda räknesätten bara du vet vad du har skrivit i svaret.
Eleverna ser svaren, men vet inte vägen dit.
(Lärare C)
Nio utav de tio intervjuade eleverna ansåg att det var enklare att läsa ut textuppgifterna
där de stod en siffra, exempelvis siffran 5, istället för att fem stod med bokstäver.
Det är enklast om man skriver med siffror. En del har svårt att forma bokstäverna.
Om det är ett, eller två skriver jag med bokstäver. Annars är det enklast med siffror.
(Elev 5, årskurs 2)
5.2.2 Analys av textuppgifters konstruktioner
Lärarnas sätt att individualisera uppgifterna stämmer med Kilborns och Johanssons
(1985) remsor där tanken är att remsorna ska möjliggöra en differentiering av
svårighetsnivån av uppgifterna. Lärarna varierade svårighetsgraden på uppgifterna med
hjälp av olika metoder. Bland annat använde lärare B öppna uppgifter och lärare A en
genomgång med utgångspunkt i en gemensam uppgift och att eleverna sedan själva fick
21
välja när de ville fortsätta att lösa uppgiften på egen hand. Lärarnas resonemang
överensstämmer med det Löwing och Kilborns (2010) framhåller att alla elever måste
utmanas utifrån deras unika förutsättningar och förmåga. Uppgifter som kan
aritmetikdopas är därmed bra eftersom de möjliggör stor variation av svårighetsgraden.
Det lärarna understryker som angeläget att undervisningen av textuppgifter sker på
varierade sätt och med olika metoder framhålls även av Karlsson och Kilborn (2015).
Läraren har vilket de i likhet med Hill m.fl. (2008) framhåller ett stort ansvar att vara
tydliga i sina instruktioner för att alla elever ska ges möjligheter att ta till sig
informationen. Lärarna framhöll att de behöver sätta in uppgifterna i ett betydelsefullt
sammanhang, och anpassa undervisningen efter alla elevernas olika förutsättningar.
Lärarna framhöll liksom Charalambous (2008) att läraren behöver ställa olika krav på
eleverna utifrån deras förkunskaper. Det är viktigt att alla elever känner att matematiken
är utmanande och att det är värt att kämpa för att lära sig. Lärare A argumenterar för att
elevernas olika kunskapsnivåer utmanar läraren att se deras progressionsmöjligheter för
att hela tiden utmana dem att nå längre och utveckla sitt matematiska resonemang mot
ett mer kreativt med en reell förståelse för matematikens innebörd.
Det som lärare C lyfter upp kring begreppsförvirring blev tydligt vid svaren på
uppgifterna 4, 5 och 6 i de test som eleverna genomförde. Där skulle eleverna utgå ifrån
ett antal ben som djuren hade och sedan berätta hur många det var av djuren.
Uppgifterna löstes med hjälp av alla fyra räknesätten, plus att eleverna visualiserade det
genom att rita.
5.3 Hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper
Här redovisas resultat och analys över hur textuppgifter kan anpassas utifrån elevernas
förkunskaper.
5.3.1 Resultat av hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper
Att eleverna byggde upp en stabil grund inom matematiken var något som framhölls av
de tre intervjuade lärarna. Eleverna behövde behärska de fyra räknesätten, begrepp och
lära sig tyda signalord, men samtidigt vara uppmärksamma på deras betydelse i just den
uppgift de löser. Lärarna framhöll att begreppen behövde användas redan vid
introduktionen av räknesätten för att eleverna skulle vara medvetna om att det var de
begrepp som borde användas. Lärarna påtalade att en gemensam begreppsförståelse var
viktig för att alla skulle lägga in samma innebörd i det matematiska språk som användes
i klassrummet
Man har en grund där man har ett gemensamt språk så att man kan ha gemensamma
diskussioner men att man ändå sen är så olika och kommit olika långt och kan
arbeta med det man själv behöver utveckla. Det behöver inte bli en motsättning.
Grunden behöver byggas på grundläggande matematik, begrepp, att man använder
de matematiska begreppen och inte är rädd för det.
(Lärare A)
Lärare C påtalade att ett senare införande av begreppen kunde innebära att eleverna fick
lära sig två språk och att det är svårare att lära om något som är felinlärt.
De har inte begreppen med sig, och en del har fel begrepp och då blir det krångligt.
Det är någonting som är jobbigt om man ska lära om. (..).De vet att jag som lärare
har förväntningar på att de ska använda de rätta begreppen, men ändå när man
lyssnar använder de sig av de invanda begreppen. Att det är skillnad på tecknet och
räknesättet.
(Lärare C)
22
Det var inte svårt att veta vilket räknesätt man skulle använda. Jag använde plus,
minus och gånger och så.
(Elev 3, åk 2)
Den gemensamma uppfattningen hos lärarna vara att det mest fördelaktiga sättet att ta
reda på elevernas förkunskaper var genom den kontinuerliga formativa bedömningen,
där läraren alltid var uppmärksam på hur de löste sin uppgifter under lektionernas gång.
Ett annat sätt som alla lärare också använde sig av vara att de samtalade med eleverna
om hur de hade kommit fram till svaret, för att på det sättet komma fram till vägen fram
till svaret och vilka strategier eleven använde sig av.
Jag tycker väl att helst vill jag ha en dialog med eleverna. Nu märker jag mycket när
jag pratar med barnen, man upptäcker mycket mer än om de ska lösa uppgifter
själva. Jag tror mycket på det att man måste ha de här avstämningstillfällena och
titta på vad eleverna kan och se om det har uppnått det som jag förväntar mig att de
ska kunna nu när vi har arbetat med det.
(Lärare A)
Lärarna framhöll att det var viktigt att eleverna skapade en förståelse för de uppgifter de
ombads att lösa eftersom det är en förutsättning för att de sedan ska kunna generalisera
sina kunskaper och använda dem även fortsättningsvis. Lärare C påtalade dock att det
ibland kan vara svårt att undvika att lotsa eleverna fram till svaret.
Man lotsar nog en del, men det sker ofta omedvetet. Det är inte hållbart att lotsa,
utan eleverna måste verkligen förstå vad de gör. En multiplikation är ju en upprepad
addition, och ibland skulle det nog vara bättre att fortsätta med additionen för att
befästa den. Det är viktigt att man förstår det man håller på med eftersom det ena
bygger på det andra.
( Lärare C)
Samtal och att lyssna uppmärksamt på elevernas diskussioner vid genomgångar kan
enligt de tre lärarna ge bra vägledning om hur de tänker när de löser olika uppgifter.
Även de elever som har kommit längre i sin matematikprogression har ett utbyte av att
diskutera det matematiska innehållet och utvecklas genom att få sätta ord på och
beskriva sina lösningsstrategier.
Där kan ju jag säga ibland att grunden gör vi gemensamt, vi gör den här
pratmatematiken tillsammans, även om vi är på så olika håll. För där kan det ju vara
någon som är ett halvår före, eller ett halvår efter, men vi kan ändå ha en gemensam
genomgång. Matematik är ju så mycket. Det tycker jag fungerar jätte bra. Där är
man ju noga med att kolla av så att man inte släpper en elev vidare som inte alls har
de kunskaperna som jag som lärare ansågs behövas.
( Lärare A)
Eleverna behöver uppmärksammas på skillnaderna mellan hur olika begrepp skiljer sig
från den vardagliga användningen till hur de används i matematiska sammanhang.
Vid introduktionen av till exempel addition i årskurs 1 används begreppen addition,
term och summa. Lär man sig det från början så kanske det inte är så märkvärdigt
egentligen. Ska de kunna mattespråket, så gäller det förstås att de får prata matte
också. De behöver få använda begreppen både muntligt och skriftligt. Det är viktigt
att få beskriva olika begrepp. Det visar på elevernas förståelse för innebörden av
dem. Det gäller också att de förstår skillnaden mellan den vardagliga förståelsen för
begreppen och den matematiska innebörden av begreppen. (….) Det är viktigt med
repetition och att eleverna får komma tillbaka till saker för att befästa dem.
(Lärare B)
Eleverna hade utifrån intervjusvaren lättast att komma på vilka ord som kunde
symbolisera addition och subtraktion, medan 4 av 10 inte kunde nämna något ord som
23
kunde uttrycka att de skulle använda räknesättet multiplikation. De signalord eleverna
nämnde i samband med de olika räknesätten var för: Addition: dubbelt, plus,
tillsammans, summa, har, får, lägga ihop, ökar. Subtraktion: kvar, tappar bort, skillnad,
minus, minskar, tar bort, backar. Division: hur många får alla var, delat, hälften, dela
upp i högar. Multiplikation: gånger.
5.3.2 Analys av hur uppgifter kan anpassas utifrån elevernas förkunskaper
Det som visade sig i textuppgifterna och som överensstämmer med det som Engström
(2007) påtalar var att flera elever hade bristande taluppfattning. Det visade sig bland
annat i ett svar från en elev i årskurs 3 på uppgift 9 där hen skriver 25+25=14. Här sker
inte heller en rimlighetsbedömning, vilken hade tydliggjort för eleven att svaret var
orimligt. Ett annat exempel är en elevlösning på uppgift 2 där eleven har skrivit
27/6=21. Det fanns också exempel på att eleverna hade skrivit av talen fel och därmed
fick ett felaktigt svar vilket Pettersson (1990) framhåller är ett vanligt fel. En elev i
årskurs 3 svarade på uppgift 1, 4-8=4. Flera elever missade när talen i uppgiften stod
skrivna med bokstäver och kunde inte omvandla dem och använda dem i uträkningen.
Eleverna hade svårigheter med att läsa ut och förstå ordet styck i uppgifterna 7, 8 och 9.
Flertalet elever räknade endast med en dricka och en korv oavsett vilket antal som
efterfrågades. Exempel på det är på uppgift 8, 15+7=22. Elevernas automatiserade
kunskaper mättes i textuppgifterna genom att uppgifterna genomfördes på tid, något
som Kilborn och Johansson (1985) framhåller är gångbart. Lärarnas resonemang kring
att motivera eleverna, ge dem rätt metoder och strategier stämmer med Hill m.fl. (2008)
resonemang.
Trots att alla tre intervjuade lärare framhöll vikten av att eleverna använder sig av de
rätta begreppen använde alla de tio intervjuade eleverna de informella begreppen minus,
plus, gånger och delat. Att det är viktigt att eleverna behöver förståelse för begreppens
betydelse och innebörd är både lärarna och forskningen överens om. Förståelsen för
begreppen utvecklas enligt Stendrup (2001) hos eleverna i tre steg. Det är först i det
sista steget eleverna har verklig förståelse för begreppet och kan använda sig av det i
matematiska sammanhang. Det som visades tydligt i elevintervjuerna var att eleverna
inte hade den fördjupade kunskapen om begreppen och dess innebörd. Kiselman och
Mouwitz (2008) påtalar att det finns en mängd begrepp som hänger samman med de
olika räknesätten och för att visa på en riktig förståelse behöver begreppen vara befästa.
Alla lärare framhöll det som Bergqvist och Österholm (2014) påtalar är betydelsefull
nämligen att eleverna behöver förståelse för matematiken och att den kan visa sig via
det svenska språket, bilder och symboler. Eleverna i klassen behöver bilda sig en
gemensam förståelse för begreppens innebörd. Det för att de sedan ska veta at de pratar
om samma sak när de använder sig av begreppen. Eleverna får heller inte fastna i den
informella förståelsen av begreppen utan måste utvidga förståelsen till den formella. Det
är därför viktigt att det talas inom matematiken, dels för att uppmärksamma eventuellt
felinlärda begrepp och strategier, men också för att förtydliga matematiken och hållbara
strategier. De intervjuade lärarna var övertygade om att det var viktigt att modellera och
prata matematik för att eleverna skulle ges möjlighet att uppmärksammas på det
matematiska innehållet och det formella matematiska språket. Det överensstämmer med
Riesbecks (2008) resonemang vilket tyder på att eleverna allt för ofta använder sig av
det informella språket även i skolan. Eleverna behöver påminnas om att de behöver
matematiken utanför skolan och därmed kunna koppla den till vardagliga situationer.
24
Liksom lärare C påtalar menar även Löwing och Kilborn (2010) att det inte är bra att
lotsa eleverna förbi saker som kan orsaka problem i textuppgifterna och förenkla
uppgifterna eftersom det i förlängningen kan orsaka större svårigheter för eleverna. Det
krävs istället att läraren förklarar textuppgifter och ställer frågor till eleven som leder
denna vidare i sitt eget resonemang för att komma fram till lösningen. och ger eleverna
strategier för att senare kunna lösa mer komplicerade (a.a).
5.4 Elevernas tänkande, uppfattningsförmåga, minne och språk
För att kunna lösa textuppgifter krävs det att eleverna har utvecklat sina kognitiva
förmågor, att tänka, att uppfatta, att minnas och den språkliga kompetensen. Under
denna rubrik redovisas resultat och analys för hur lärarna bedömer dessa förmågor samt
hur eleverna själva uttrycker sina förmågor i samband med textuppgifter.
5.4.1 Resultat av lärarnas syn på elevernas kognitiva förmågor
Alla tre lärare lyfte fram att det är avgörande att eleverna känner sig motiverade för att
lösa matematiska uppgifter samt känna att de har någon användning av det och därmed
känner att det är meningsfullt. Eleverna behöver lära sig för livet och inte för att klara
av att lösa uppgifter i skolan.
Vi pratar mycket om det här i alla ämnen, men hur gör man när man lär sig? Hur
kan jag tänka när jag vill lära mig någonting? Hur kan jag få upp min motivation?
Är det viktigt, varför är det viktigt, när har jag kunskap av detta? Om de inte känner
mening med det de ska lära sig kan man ju inte heller känna motivationen för det
man ska lära sig. De får ju inte tänka när jag frågar dem: Vad ska du ha det här till?
Jag ska ha det i skolan. Det är det värsta man kan höra som lärare tycker jag. Jag
måste kunna det. Vi pratade om vikt och jag frågade när man använder det. Det var
mycket om när man bakar, reser, i affären och någon sa när man är i skolan. Det är
ju helt riktigt, det är ju klart, men det är ju inte huvudsyftet utan de lär sig ju för
livet på något sätt.
(Lärare A)
De intervjuade lärarna var ense om att det är fördelaktigt att använda sig av konkret
material för att bygga upp en förståelse för eleverna. Genom materialet kan tänkandet
struktureras upp och eleverna får ett bildligt minne av det matematiska resonemanget.
Många elever har lättare att förstå om de får se och lagra en bild parallellt med den
matematiska lösningen. Lärarna påtalade vidare att det var viktigt att eleverna sedan inte
fastnade i det konkretiserande bilderna och materialet, utan att de succesivt utvecklade
sitt matematiska tänkande, där de inte behövde använda sig av annat än de matematiska
symbolerna.
Det grundläggande är att man bygger upp bilder, att man använder konkret material,
det är så lätt att man ger dem 5-2. En del tycker det är jättebra att bygga upp bilder
med fingrar och jag försöker att de inte ska använda fingrarna så länge, men
samtidigt är de dem du har med dig.(….) Jag gillar pengar eller tiobasstavar och
ser dem framför mig som en bild av det. (…). Lägger du upp en hög med stenar är
det svårt att se och strukturera upp det för att skapa en bild i sitt huvud. Jag vill att
de ska kunna blunda och kunna se staplarna med tiotalen, entalen och så.
(Lärare A)
Lärarna framhöll att det var bra att de hade en nära relation till eleverna och dagligen
kunde följa deras progression. Det gav många möjligheter till att fråga hur de tänkte
kring olika lösningar och sätta sig in i deras tankegångar för att antingen kunna bekräfta
att de tänker på ett långsiktigt hållbart sätt, eller ges möjlighet att resonera fram mer
användbara strategier.
25
När man är så här nära barnen och frågar dem hur de tänkte, och de får motivera och
de får berätta hur de tänker och man kan förstå vad de har menat på ett annat sätt om
man pratar om strategier och så, då har man ganska bra koll på hur de ligger till.
(Lärare A)
Lärarna B och C uttryckte att det är svårt att mäta elevernas kognitiva förmågor samt
förklara för eleverna att förståelsen hänger ihop med deras minnesförmåga, och vilka
kunskaper de har automatiserat och därmed kan hämta fram vid behov. Lärarna påtalade
att det var viktigt att förklara på olika sätt för eleverna för att öka chanserna till att de
skulle förstå. Eleverna behövde uppmärksammas på att det kan ta tid att lära sig och att
det krävdes tålamod och träning. Lärarna var överens om att repetition var nödvändig
för att alla elever skulle ges möjlighet att förstå och utvecklas inom matematiken.
Det är svårt att mäta det kognitiva. Men det är viktigt att förmedla till eleverna att de
kanske inte kan detta just nu, men gör vi på det här sättet istället så kanske du förstår
och sedan får vi prova olika sätt. Ibland kanske det bara släpper och eleverna förstår
att det var ju så här vi skulle göra. Repetition är viktigt och att återkomma till vad
det var vi gjorde?
( Lärare C)
Lärare B påtalade att det är viktigt att som lärare försöka förstå även de elever som har
svårt att förmedla sina tankar verbalt. Det lättaste sättet att uppmärksamma de kognitiva
förmågorna är när det finns brister.
Den språkliga förmågan testas ju dagligen. Hur de kommunicerar och så. Jag gör
inget speciellt för att kontrollera elevernas kognitiva förmågor. Det är mer om man
märker att det finns brister inom ett visst område.
(Lärare B)
Lärarna lyfter fram att eleverna även behöver en metakognitiv förmåga för att kunna
reflektera över sitt eget tänkande. Det är en förutsättning för att kunna uppmärksamma
egna felaktigt inlärda strategier och metoder.
Det är viktigt att man lär sig strategier, hur man kan tänka, strategier för hur jag kan
kontrollera mig själv att mina tankar stämmer, vilka samband finns det mellan olika
räknesätt? Lär eleverna lite knep, sedan måste läraren hjälpa eleverna att befästa
hållbara strategier. (…). Det är vardagsmatematiken jag ska klara av.
(Lärare C)
5.4.2 Resultat av elevernas syn på de kognitiva förmågorna
Samtliga intervjuade elever framhöll att de tyckte det var roligt med textuppgifter. De
påtalade att det som gör om en uppgift uppfattas som enkel eller svår att lösa beror på
om de ser lösningen eller inte och om de kan formulera ner det med matematiska
symboler. Eleverna var överens om att de matematiska uppgifterna behöver vara
utmanande för att kännas meningsfulla. Talens storlek var också betydelsefullt för om
eleverna skulle uppfatta uppgifterna som enkla eller svåra. De flesta eleverna uppfattade
att det var lättare när talen var representerade av siffror i textuppgifter.
Det som avgör om en uppgift är lätt eller svår är om man kan hitta på något. Om
man ser hur man ska göra. Hur man ska beskriva. Beskriva vad det är man frågar
efter. Det är lika enkelt att läsa om det står 5 som siffra eller fem med bokstäver.
(Elev 1, åk 3)
26
Flera av eleverna framhöll att det som kan försvåra en uppgift var när de behövde tänka
i flera olika led för att komma fram till svaret. Det fanns uppgifter där de behövde göra
flera olika uträkningar efter varandra och det krävdes då att de skrev ned sina lösningar
för att inte behöva hålla allting i huvudet samtidigt.
Det som gör en uppgift svår är när det är rätt mycket man måste tänka på. När
uppgiften är i många led. En lätt uppgift är när det bara är något enkelt att lista ut,
när man ser svaret på en gång.
(Elev 4, åk 2)
Ett antal elever beskrev att det var lättare med den typ av uppgifter de tidigare hade stött
på och arbetat med i skolan. De såg då hur de skulle lösa uppgiften i huvudet och
behövde inte tänka så mycket på hur de skulle gå tillväga, medan uppgifter som de inte
hade stött på tidigare uppfattades som svåra. Eleverna framhöll att de då ville kunna
ställa frågor till läraren för att få vägledning. De kände sig annars stressade över att inte
komma på någon strategi för att kunna lösa uppgiften. Elev 10 framhöll det på följande
sätt:
Jag fastnar vid uppgifter som jag inte har tränat så mycket på. Uppgifterna blir lätta
om jag har tränat mycket på den typen av uppgifter. Då vet jag precis vad jag ska
göra.
(Elev 10, åk 3)
5.4.3 Analys av elevernas och lärarnas syn på de kognitiva förmågorna
Alla de tio intervjuade eleverna använde sig av de informella orden av begrepp under
intervjutillfällena, såsom plussa, och gångra. Det är något som Stendrup (2001)
framhåller är mycket vanligt. Det är därför som lärarna säger viktigt att tidigt, redan vid
introduktionen av olika räknesätt att använda sig av de korrekta begreppen för att
eleverna ska känna sig bekväma med att använda sig av dem. Alla tre lärarnas
uppfattning om att det är viktigt att modellera olika lösningsmetoder och visualisera
dem för att eleverna ska kunna skapa sig inre bilder, och matematisk förståelse för det
matematiska innehållet överensstämmer med Spendrups (2001) syn. Eleverna behöver
också ha förståelse för sin egen kapacitet inom matematikämnet, den metakognitiva
förmågan. För att lösa en textuppgift krävs det att eleverna har den mest grundläggande
aritmetiken automatiserade eftersom de enkla uträkningarna annars tar för mycket
tankekraft från elevernas kreativa och problemlösande förmågor (Stendrup, 2001).
Lärarna framhöll, vilket överensstämmer med Atkinson och Shiffrins (1968) tankar att
de automatiserade kunskaperna och igenkänningsfaktorn fyllde en viktig funktion för att
elevernas tankekraft skulle kunna fokusera på en bredare förståelse av textuppgiftens
innebörd samt vad de behövde veta för att kunna lösa den.
Eleverna har lättare att lösa uppgifter där de endast behöver använda en imitativa
resonemangstyp. Eleverna behöver då endast ta en färdigkonstruerad lagrad lösning och
återanvända den i en ny uppgift (Liljekvist, 2014). Uppgifterna 10- 12 i testet var
sådana uppgifter. Det krävdes att eleverna hade förståelse för begreppet dubbelt, men
hade de det och tidigare mött uppgifter där de skulle dubblera tal så utgjorde de tre
uppgifterna ingen större utmaning. Resultatet av antalet rätt på uppgifterna 10-12 visade
på att eleverna hade löst alla uppgifterna korrekt när de hade förståelse för begreppet
dubbelt. De uppgifter som eleverna vid intervjuerna framhöll som svåra var uppgifterna
4-6 där de ombads att utifrån antal ben skulle tala om hur många djur dessa ben
tillhörde. Även uppgifterna 7-9 krävde att eleverna behövde tänka efter och föra ett
resonemang kring vilken information de behövde och sedan utföra lösningen i flera
steg. Det skulle visa på att uppgifterna 4-9 behövde en djupare resonemangsförmåga än
27
de övriga uppgifterna. I de här uppgifterna räckte det inte som Liljekvist (2014)
framhåller att använda sig av färdiga strategier, utan det behövdes mer
resonemangsförmåga av eleverna. Flera av uppgifterna i elevtestet, främst uppgifterna 8
och 9, visade på det som Österholm (2009) beskriver att många har svårare för att läsa
och lösa uppgifter med symboler. Det eftersom de då glömmer att läsa textens innebörd
och i ett sammanhang och istället endast plockar ut symbolerna. Det är därför viktigt att
som Österholm (2009) och lärarna framhöll modellera hållbara strategier för hur en
textuppgift bör läsas för att rätt information ska plockas ut och användas.
Lärarnas uppfattning om att eleverna behöver vara förtrogna med både det svenska och
matematiska språket överensstämmer med det Lennerstads (2005) beskriver om att det
annars kan vara svårt att förmedla sina matematiska tankar. Det eftersom all språklig
kommunikation sker via det svenska språket. Det som framhölls av lärarna om att
elevernas svårigheter vid lösning av textuppgifter hänger samman med deras förmåga
att läsa textuppgifterna på rätt sätt där de plockar ut relevant information samstämmer
med Lindekvist (2004) resonemang. Eleverna behöver ha förståelse för det matematiska
innehållet i texten i uppgifterna samtidigt som de har förståelse för begreppens
betydelse och kan använda sin kreativitet för att komma på ett lämpligt
lösningsalternativ. Något som flera elever enligt analys av testresultaten visade sig vara
svårt var när eleverna på de första tre uppgifterna behövde läsa den semantiska
betydelsen av begreppet fler. Det eftersom det normalt kopplas ihop med addition,
medan det i de här tre uppgifterna skulle lösas med subtraktion. Det samstämmer med
det Clement och Bernhard (2005) och Österholm (2004)framhåller att nyckelord kan
ställa till problem för eleverna eftersom de förlitar sig på dem och glömmer bort att
fokusera på sammanhanget i uppgiften.
Elevernas lösningsförmåga underlättas av de lagrade kunskaperna i långtidsminnet
eftersom de kunskaperna underlättar arbetsminnets kapacitet (Österholm, 2004). Även
eleverna läsförmåga påverkar lösningsprocessen eftersom det i textuppgifter krävs att
eleverna kan koncentrera sig på att komma på kreativa lösningar istället för att
koncentrera sig och uppehålla arbetsminnet med kunskaper som behöver vara
automatiserade. Alla textuppgifterna i testet krävde att eleverna hade automatiserade
kunskaper för att hinna lösa alla tre uppgifterna som visades samtidigt. Flera av eleverna
framhöll i intervjuerna att de tyckte att det som utmärkte en svårare textuppgift var om
det krävdes en lösning i flera steg, vilket krävdes i uppgifterna 8 och 9. Det är något
som också påtalas av Unenge (1992). Även uppgifter där eleverna behövde hämta
information utanför själva uppgiften, vilket testades i uppgifterna 4-6 kan vara
problematiskt, vilket stämmer med Sterner och Lundbergs (2002) resonemang. Alla
uppgifterna krävde det Liljekvist (2014) kallar för en djupare resonemangstyp som
krävde ett kreativt resonemang, eftersom eleverna i alla uppgifterna behövde läsa
bortom signalordens betydelse.
5.5 Elevernas och lärarnas uppfattning av textuppgifter
Genom intervjuerna framkom hur eleverna och lärarna tänker kring textuppgifter.
Nedan presenteras deras uppfattningar.
5.5.1 Resultat av elevernas uppfattningar
De tio intervjuade eleverna framhöll att de tyckte det var roligt med textuppgifter. Det
som de uttryckte som svårt var att de hade svårt att plocka ut det relevanta föra att lösa
uppgiften samt att veta vilket räknesätt de skulle använda. De flesta påtalade att de såg
svaret, men hade svårt att själva skriva ned det med matematiska symboler.
28
Jag kom inte på hur jag skulle göra med plus och minus och gånger och så där. Jag
såg svaret men visste inte hur jag skulle räkna ut det.
(Elev 9, åk 2)
Den största utmaningen med textuppgifter var enligt eleverna när de skulle göra flera
uträkningar efter varandra och speciellt om det krävdes flera olika räknesätt i samma
uppgift.
Det kan vara svårt med många uträkningar, jag är inte van vid den typen av
uppgifter. En uppgift kan vara svår när jag måste tänka i flera steg och sedan räkna
ihop dem. Jag känner vilket räknesätt som verkar enklast. Det ser jag på en gång. En
uppgift blir lätt om det är plus och minus och delat med och gånger också. Ibland
kan jag haka upp mig på de enkla talen.
(Elev 8, åk 2)
Det var endast en av de tio intervjuade eleverna som framhöll att det var enklare att läsa
en textuppgift när talet stod med bokstäver. De andra nio tyckte att det underlättade när
talen stod med siffror.
Det är enklast när det står med siffror, det tar minst plats. Det är lättare att se. En
bokstav kan vara svår att läsa ut, om a ser ut som ett u och så.
(Elev 3, åk 2)
En av eleverna påtalade att det var lättare att arbeta med textuppgifter som inte fanns i
matematikboken.
Jag får inga idéer i matteboken. Jag vill hellre arbeta med uppgifter utanför boken.
(Elev 5, åk 3)
5.5.2 Analys av elevernas uppfattningar textuppgifter
Det var ingen av eleverna som påtalade att texten i uppgifterna ställde till problem vid
lösningen. Dock var flertalet av eleverna överens om att det var lättare att se siffror i en
textuppgift än talen skrivna med bokstäver, vilket elev 3, åk 2 uttrycker. Elev 8 i årskurs
2 var den ena av de 2 elever som hade alla rätt på testet. Eleven valdes ut för intervju.
Det beroende på att hen tydligt hade redovisat sina lösningar, använt rätt räknesätt i alla
uppgifterna och dessutom vid intervjun klart och tydligt kunde redogöra för sina
lösningar. Det tyder på att eleven har befästa och automatiserade aritmetiska kunskaper
samt goda kunskaper i de fyra räknesätten. Den förförståelsen, begreppskunskapen och
förkunskaperna är viktiga moment att behärska eftersom de annars tar för mycket
tankekraft enligt Engström (2007); Pettersson (1990) och Kilborn och Johansson
(1985).
5.5.3 Resultat av lärarnas uppfattningar av textuppgifter
Lärarna framhöll att flertalet elever uppfattar att textuppgifter är ganska komplicerade
att lära sig. Det krävs att eleverna har förståelse för hur de ska gå tillväga för att på ett
strukturerat sätt kunna lösa uppgiften. Eleverna behöver börja med att läsa uppgiften
flera gånger för att bilda sig en uppfattning om vad det är som det är de ombeds att göra.
De behöver strategier för hur de kan plocka ut den relevanta informationen ur en
textmassa. Lärare B påtalade att de ibland stryker över all irrelevant information för att
synliggöra att det ofta bara är en liten del av textinnehållet som behövs för att kunna
lösa uppgiften. Alla lärare påtalade att de fick uppmuntra eleverna och beskriva
vardagliga sammanhang där eleverna faktiskt möter matematiken i textuppgift
sammanhang. Det för att visa eleverna att det är värt att anstränga sig för att lära sig hur
man på olika sätt kan ta sig an och lösa textuppgifter.
29
Mycket text kan ställa till det för eleverna. De kan inte plocka ut det som är relevant
för att kunna lösa uppgifter. (…). Det kan vara bättre att skriva siffrorna med
bokstäver eftersom eleverna då behöver läsa dem för att kunna plocka ut dem. (…..)
De uppgifter som eleverna möter är nästan uteslutande med siffror. Det känns
viktigt att ge dem liknande uppgifter och att de kan vara i flera steg också. Många
uppgifter är ganska lika, men i nationella proven kan det vara att eleverna ska tänka
i flera steg. Man vill ju att de ska känna att det är liknande uppgifter som de har
arbetat med. Det kan ställa till det för eleverna om de måste hämta kunskap som
bygger på egen förståelse och som inte står i texten.
(Lärare B)
Lärarna var överens om att textuppgifter behöver introduceras redan i årskurs 1 för att
eleverna ska lära sig strategier för hur dessa uppgifter fungerar och vad som krävs för
att man ska kunna lösa dem.
Hjälp eleverna att strukturera. Ge eleverna självförtroendet, strukturerna,
strategierna och modellerar för hur man gör, för när de kommer upp sedan i högre
årskurser. (..). Textuppgifter är ju ändå det som du behöver i livet. Matteboken med
de tillrättalagda uppgifterna är ju inte det som du kommer möta sedan i det verkliga
livet. Det är mängdträning. Men det är textuppgifter och problemlösning som du har
nytta av sedan.
(Lärare A)
5.5.4 Analys av lärarnas uppfattningar av textuppgifter
Lärarna påtalade att det som ofta ställer till det för eleverna är när de möter en stor
textmängd i vilken de ombeds att plocka ut användbar fakta för att kunna lösa
textuppgiften. Det är också något som Bergqvist, Dyrvold och Österholm (2012)
framhåller visar sig i PISA resultaten för matematiska textuppgifter. Här behöver
läraren vara observant på vilken förmåga textuppgiften egentligen fyller, den
matematiska eller läs- och ordförståelsen. Samtidigt lyfter de tre lärarna upp hur viktigt
det är att eleverna behärskar textuppgifter eftersom det är i denna form som eleverna
möter matematiken i sin vardag. Eleverna gör en åtskillnad på matematikböckerna
textuppgifter och övriga textuppgifter som de möter i andra sammanhang, vilket över
stämmer med Liljekvist (2014) tankar. Många textuppgifter i böckerna kräver endast
imitativt resonemang, medan eleverna i textuppgifterna i till exempel nationella proven
behöver behärska ett kreativt resonemang kopplat till tidigare erfarenheter.
30
6 Diskussion
I nedanstående avsnitt kommer valet av metoder att diskuteras samt ett resonemang
kring resultatet.
6.1 Metoddiskussion
Det är alltid en avvägning av vilka metoder och vilka frågor och uppgifter som ska
användas för att säkerställa att de faktiskt besvarar det som var avsikten, vilket påverkar
validiteten. Ett större antal test och intervjuer hade gjort resultatet mer generaliserbart
och ökat möjligheterna att ännu grundligare klargöra för vad fenomenet
aritmetikdopning i samband med textuppgifter har för betydelse för elevernas
förutsättningar att lösa textuppgifter. Något som stärker tillförlitligheten i studien är att
data bygger på fakta hämtad i empirin (Denscombe, 2013). Studiens dualistiska val av
metoder underbygger en trovärdighet när det gäller resultatet.
6.1.1 Formulär som metod
De utvalda textuppgifterna i det test som genomfördes och som utgör ett underlag i den
här studien har utgått från det Kylèns (2004) framhåller att frågorna måste ta sin
utgångspunkt i studiens syfte och frågeställningar. Att använda ett test visade sig
generera stressfaktorer hos eleverna. Den första påverkande faktorn var att eleverna inte
var vana vid att utföra test och att inte få fråga när de behövde vägledning när de inte
förstod vad de skulle göra. Många av eleverna kände av att testet var på tid. Ytterligare
stressfaktor var att tre uppgifter visades på en gång. Det var dock en avvägning att visa
tre uppgifter åt gången, och den främsta orsaken till det var att uppmärksamma om
eleverna såg mönstret i uppgifternas uppbyggnad utifrån Löwing och Kilborns (2010)
tanke med aritmetikdopning. De flesta elever uttryckte efter testet att de tyckte att det
hade varit roligt och alla de intervjuade eleverna bekräftade det. Flera elever uttryckte
att de gärna skulle vilja ha flera tillfällen med textuppgifter i matematikundervisningen
och att uppgifterna då skulle vara utmanande. Testet visade sig vara ett bra sätt att som
Denscombe (2013) framhåller verifiera uppkomna resultat eftersom testresultaten
samstämde med den jämförbara forskningen i teoribakgrunden. Formuläret gav en
möjlighet att få in en större mängd data som kunde jämföras med tidigare forskning och
fördjupas i intervjuerna.
6.1.2 Intervju som metod
Valet av lärare föll sig naturligt eftersom de var undervisande lärare till de elever som
genomförde testet och elevintervjuerna. Däremot var valet till elevintervjuerna en
process som krävde ett djupare resonemang. Det som var avgörande för urvalet i den
här studien bygger på Denscombes (2013) tanke att de ansågs kunna bidra med något
extra. De utvalda eleverna hade löst uppgifterna på ett intressant sätt som skilde sig från
övriga lösningsstrategier. Ett antal hade löst uppgifterna med fel räknesätt, vilket kunde
tyda på att de hade utgått från signalorden i texten och andra där det tydligt framgick att
de hade sett svaret men inte visste vägen fram till svaret. Det var därmed intressant att
höra elevernas syn på hur och varför de hade löst uppgiften på det sättet. Intervjuerna
bidrog till en djupare förståelse av hur textuppgifternas konstruktion påverkar den
enskilda elevens möjligheter att lösa dem. Intervjuerna kan ha påverkats av forskarens
jag, det vill säga vilken tillit de hade till forskaren vid intervjutillfället. Varje
intervjusituation var unik och blir därmed svår att genomföra på ett exakt likadant sätt
av någon annan, eftersom sammanhanget och personligheterna spelar in. Forskaren var
noga med att vara påläst inom ämnet, ha förberedda frågor samtidigt som det fanns ett
31
genuint intresse att ta del av annan för studien relevant fakta, vilket även framhålls av
Feijes och Thornberg (2015) som angeläget.
6.2 Resultatdiskussion
Under den här rubriken kommer resonemang föras kring de resultat som framkommit i
studien.
6.2.1 Aritmetikdopning behöver vidare förståelse
Utifrån det som har framkommit i den här studien genom litteraturen, det genomförda
testet och intervjuerna finns det en förståelse för att aritmetikdopning behöver djupare
reflektion än att ändra några siffror i en uppgift. Det finns så många andra parametrar
som inverkar på elevernas förutsättningar att lyckas med att lösa matematiska
textuppgifter. Det är främst elevernas begreppsförmåga, läsförmåga och kognitiva
förmåga som krävs. De matematiska kompetenserna ställer stora krav på att det
matematiska innehållet ska kunna användas och sättas in i olika sammanhang och
förstås. De matematiska frågorna och svaren behöver kännas igen för att utföraren ska
kunna plocka ut relevant information och omforma dem till olika lösningsstrategier
(Hill m.fl.,2008). Läraren har en betydelsefull uppgift att i större utsträckning
kommunicera matematik för att ge eleverna hållbara strategier och metoder för att
kunna läsa ut ur texten vad det är det frågas efter samt kunna reflektera över vilket
räknesätt som är lämpligt att använda. De tre lärarna liksom Hill m.fl. (2008) framhåller
att det är avgörande för elevernas progression i samband med lösning av textuppgifter
att de får kunskap i hur en textuppgift kan struktureras upp och vilka lösningsstrategier
som är hållbara. På sikt försvåras elevernas möjligheter till en djupare förståelse om
texterna förenklas istället för att läraren hjälper och vägleder eleverna till att utveckla
det Liljekvist (2014) argumenterar för ett mer kreativt resonemang. Det är annars lätt att
vilket lärare C, och Löwing och Kilborn (2010) framhåller lotsa eleverna förbi de
svårigheter som uppstår. Elevernas resultat och intervjusvar visar på att det behövs mer
undervisning i hur de ska förhålla sig till textuppgifter, vilken typ av fakta som är
relevant i textuppgifterna och vad som eleverna behöver vara observanta på. Det gäller
bland annat att de inte enbart kan plocka ut de siffror de uppmärksammar, eller som
Österholm (2009) och Bergqvist och Österholm (2014) påtalar förlitar sig på eventuella
signalord i texten. Signalordet kan behövas tolkas utifrån sin semantiska betydelse i en
specifik uppgift eftersom det annars kan leda in eleverna på felaktiga tankebanor.
6.2.2 Faktorer som har påverkat resultatet
En felaktig tanke i konstruktionen av uppgift 11 resulterade i att det inte med säkerhet
går att utläsa om eleverna har plockat ut antal varv eller tiden, eftersom båda var de
samma. I den här studien har uppgiften bedömts utifrån elevsvaren på uppgifterna 10
och 12. Forskarens avsikt med de tre frågorna var att se om eleverna behärskade
begreppet dubbelt, samt kunde läsa ut talen när de stod med bokstäver. Då eleverna
hade löst uppgifterna 10 och 12 samt 11 på ett korrekt sätt gjordes ett antagande att de
hade en förståelse för hur de skulle lösa uppgift 11.
Ett övervägande som bör beaktas inför nästa studie är hur forskarens medverkan under
testtillfället påverkade resultatet. Det som konstaterats är att det i den här studien
innebar att forskaren själv kunde observera att läsförståelsen ställde till problem för ett
flertal elever samt att flera elever visade tecken på stress. Stressen kan ha påverkat
elevernas möjligheter att prestera på en för dem normal kunskapsnivå. Resultatet kunde
ha blivit ett annat om eleverna hade haft mer tid på sig på varje uppgift. Grunden till att
det var en begränsad tid var med tanke på det Kilborn och Johansson (1985) framhåller
32
för att se om eleverna hade automatiserat sina kunskaper och därmed inte behövde så
mycket tid för att lösa varje uppgift. Vid genomförandet av textuppgifterna började
forskaren med att läsa upp en uppgift åt gången och uppmärksammade eleverna på att
det skulle komma upp tre uppgifter på PowerPoint vilka de sedan ombads att lösa.
Tanken med detta var att alla elever åtminstone en gång hade fått uppgifterna upplästa.
En del av eleverna bad om hjälp med att läsa uppgifterna, vilket de fick. Det gjordes
eftersom huvudsyftet med testet vara att utforska elevernas matematiska kunskaper och
inte läsförmågan. Trots att uppgift 7 innehöll mycket text var det den uppgift som flest
antal elever lyckades lösa. 44 utav 48 elever lyckades lösa den uppgiften. Det tolkar jag
som att eleverna känner igen sig i denna typ av uppgift och att de även känner igen sig i
situationen.
För att få ett helt rättvisande resultat behöver varje elevs test analyseras och eleven
behöver därefter tillfrågas hur den har tänkt när den har löst textuppgiften. Den här
studien har varit mycket tidsbegränsad och har därmed inte kunnat gå så på djupet som
forskaren hade önskat. Eleven och dess förutsättningar och förmågor måste alltid vägas
in valet av textuppgifter.
6.2.3 Lärarens inkluderande förhållningssätt
Som verksam lärare skulle det vara önskvärt med en bedömningsmatris som fokuserar
på de kognitiva förmågorna. Det finns ett flertal diagnosmaterial när de gäller de rent
kunskapsmässiga delarna, men eftersom de kognitiva förmågorna har så stor inverkan
på elevernas möjligheter att kunna lösa textuppgifter skulle det även behövas ett
lättanvänt material för detta. En annan avgörande faktor för att eleverna ska ges de bästa
möjligheterna att lyckas med sin utveckling i matematikämnet är lärarnas utbildning.
Det behövs mer fokus på elevernas skiftande behov av varierade svårighetsgraderade
uppgifter för att alla elever ska känna motivation och meningsfullhet inom ämnet
matematik.
Forskaren har varit noga med att under hela processen ha i åtanke det som Feijes och
Thornberg (2015) påtalar är nödvändigt för studiens validitet. Det är att resultatet
redovisas på ett sätt som överensstämmer med den faktiskt framkomna empirin samt att
beakta att de framkomna resultateten är betydelsefulla för verksamheten. Att resultatet
är betydelsefullt för verksamheten är jag övertygad om eftersom alla pedagoger ska
bedriva en undervisning som bygger på ett inkluderande förhållningssätt. Det kräver att
läraren använder sig av varierade material, metoder och strategier samt konstruerar
uppgifter som erbjuder alla elever utmanande, meningsfulla och motiverande uppgifter.
De erhållna resultateten i den här studien visar på att eleverna har olika förmåga att lösa
uppgifterna och det därför skulle vara angeläget att matematikböckerna erbjuder en
nivågruppering av uppgifterna i böckerna. Det med tanke på att eleverna arbetar i
böckerna en stor del av tiden under matematiklektionerna.
6.3 Förslag på vidare forskning
I en uppföljande studie skulle det vara intressant att titta på läromedel och deras
möjligheter till differentiering i förhållande till elevernas förkunskaper och kognitiva
förmågor. Inom ämnet svenska finns det flera serier där det finns böcker i tre olika
svårighetsgrader för att materialet ska passa alla elever och deras förutsättningar. Jag är
dock inte medveten om att det finns material inom matematiken som erbjuder samma
möjlighet. Det skulle vara intressant att titta på befintliga läromedel och hur de skulle
kunna nivåanpassas.
33
Referenser
Atkinson R.C. & Shiffrin R.M. (1968). The psychology of learning and motivation.
Advances in research and theory volume 2. Ed. Spence Kenneth W. and Spence Taylor
Janet. University of Texas, Austin, Texas. Academic press.
Bergqvist, Ewa, Dyrvold, Anneli och Österholm, Magnus (2012). Relating Vocabulary
in Mathematical Tasks to Aspects of Reading and Solving. Umeå universitet. Monash
University, Melbourne.
Bergqvist, Ewa. & Österholm, Magnus. (2014). Språkbrukets roll i
matematikundervisningen. Nämnaren tidskrift för matematikundervisning, 2014(1): 2731
Chapman, Olive (2013). Mathematical-task knowledge for teaching. Journal math
teacher education. Vol. 16. Pp. 1-6.
Charalambous, Charalambos Y. (2008).Mathematical knowledge for teaching and the
unfolding of tasks in mathematics lessons: integrating two lines of research. University
of Michigan. In International Group for the Psychology of Mathematics Education.
Proceedings of the Joint Meeting of PME 32 and PME-NA XXX.Morelia, México July
17-21, 2008
Clement, Lisa L, Bernhard, Jamal Z (2005). A problemsolving alternative to using key
words. Mathematics teaching in the middle school. Vol 10, no 7, pp 360-365. National
Council of mathematics.
Denscombe, Martyn (2013). Forskningshandboken- för småskaliga forskningsprojekt
inom samhällsvetenskaperna. Lund. Studentlitteratur AB.
Engström, Arne (2002). Rationalitet och intersubjektivitet- några preliminära utgångspunkter i ett försök att förstå matematikundervisningens kommunikativa karaktär.
Bergsten I C. Dahland G & Grevholm B. Eds. Research and action in the mathematics
classroom. Proceedings of MADIF 2. The second Swedish mathematics education
research seminar. Göteborg. Januari 26-27, s 88-106. Skrifter från Svensk förening för
matematikdidaktisk forskning 1.
Engström, Arne (2007). Varför är textuppgifter så svåra? Nationellt centrum för
matematik. NCM. Nummer 4, s 13-17.
Falck, Pernilla, Picetti, Margareta & Elofsdotter Meijer, Siw (2011). Matte Direkt
Safari 1B. Bonnier utbildning AB. Stockholm.
Feijes, Andreas & Thornberg, Robert (2015) red. Handbok i kvalitativ analys. Liber
AB. Malmö
Gustafsson, Bengt, Herméren, Göran & Petersson, Bo (2005). Vad är god forskningsed?
Synpunkter, riktlinjer och exempel. Vetenskapsrådet. Stockholm.
34
Hill, Heather C. ,Blunk Merrie, L., Charalambous, Charalambos Y., Lewis, Jennifer
M., Geoffrey C. Phelps Geoffrey C., Laurie, Sleep Laurie and Deborah Loewenberg
Deborah. (2008). Mathematical Knowledge for Teaching and the Mathematical Quality
of Instruction: An Exploratory Study Heather C. Hill Harvard Graduate School of
Education. Ball University of Michigan School of Education
Karlsson, Natalia & Kilborn, Wiggo (2015). Matematikdidaktik I praktiken. Att
undervisa i årskurs 1-6. Gleerups utbildning AB. Team Media Sweden AB. Falkenberg.
Kilborn, Wiggo och Johansson, Bengt (1985). Plan matematik mellanstadiet.
Författarna och W & B Utbildningsprodukter AB. Göteborg.
Kiselman, Christer & Mouwitz, Lars (2008) Matematiktermer för skolan. Nationellt
centrum för matematikutbildning, NCM Göteborgs universitet. Göteborg.
Kvale, Steinar & Brinkmann, Svend (2014). Den kvalitativa forskningsintervjun.
Studentlitteratur AB. Lund.
Kylèn, Jan- Axel (2004). Att få svar intervju, enkät och observation. Bonnier utbildning
AB, Stockholm.
Lennerstad, Håkan (2005). Matematikens dubbelnatur- undflyende, självtillräckligt
språk. I Utbildning och demokrati- 1102-6472; 14:2, s. 27-55. Blekinge tekniska
högskola. Sektionen för teknik- avd. för matematik och naturvetenskap. Blekinge.
Liljekvist, Yvonne (2014). Lärande i matematik Om resonemang och
matematikuppgifters egenskaper. Doktorsavhandling. Karlstads universitet Fakulteten
för humaniora och samhällsvetenskap Institutionen för pedagogiska studier. Karlstad
Lindekvist, Anna-Lena (2004). Att analysera, förebygga och åtgärda
matematiksvårigheter i förskolan och grundskolans tidigare år. Delrapport från ett
utvecklingsarbete. Tsunami 3 2004.
Löwing, Madeleine & Kilborn, Wiggo (2010). Baskunskaper I matematik för skola, hem
och samhälle. Studentlitteratur AB Lund.
Pettersson, Astrid (1990). Att utvecklas I matematik. En studie av elever med olika
prestationsutveckling. Almqvist & Wiksell International, Stockholm. Stockholm.
Riesbeck, Eva (2008). På tal om matematik. Matematiken, vardagen och den
matematikdidaktiska diskursen. Linköping Studies in Behavioural Science No. 129.
Institutionen för Beteendevetenskap och lärande Linköpings universitet. Linköping,
Sverige.
Skolverket (2011). Läroplan för grundskolan, förskoleklass och fritidshemmet 2011.
Stockholm. Fritzes
Stendrup, Conny (2001). Undervisning och tanke. En ämnesdidaktisk bok om språk och
begreppskunskap. Exemplet matematik. HLS Förlag. Göteborg.
35
Sterner, Görel & Lundberg, Ingvar (2002). Läs- och skrivsvårigheter och lärande i
matematik. NCM- rapport 2002:2. Göteborgs universitet. Göteborg.
Unenge, Jan (1992). Matematikdidaktik för grundskolan. Andra upplagan.
Studentlitteratur. Lund
Vetenskapsrådet (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk samhällsvetenskaplig forskning. Elanders Gotab
Österholm, Magnus. (2004). Läsa matematiska texter: Förståelse och lärande i
läsprocessen. Matematiska institutionen Linköpings universitet. Linköping.
Österholm, Magnus. (2009). Läsförståelsens roll inom matematikutbildning. I
Matematikdidaktiska frågor: Resultat från en forskarskola, Brandell, Gerd (ed.), p. 154165. Göteborg: Nationellt centrum för matematikutbildning (NCM), Göteborgs
universitet
36
Bilagor
Bilaga A Brev till föräldrarna
Hej!
Jag heter Marie Jansson och går fjärde och sista året på lärarutbildning med inriktning
F-3 på Linnéuniversitetet. Jag skriver nu mitt andra och avslutande självständiga arbete.
I arbetet skriver jag om hur textuppgifter i matematik kan anpassas för att alla elever ska
kunna lösa dem. Min fråga till dig/er är om din son/dotter får delta i studien? Alla
uppgifter kommer att behandlas konfidentiellt och alla svar kommer att förstöras efter
att studien är avslutad och godkänd. Vid studien kommer jag att utgå ifrån de
forskningsetiska principerna. Eleverna kommer att få utföra ett antal textuppgifter och
några elever kommer sedan att få ställa upp på en intervju för att vidare få förklara hur
de tänkte då de genomförde uppgifterna.
För att få använda ditt/ert barns svar behöver jag ditt/ert medgivande. Jag ber er därför
vänligen att fylla i nedanstående talong och snarast skicka med den tillbaka till
klassläraren.
Tack på förhand!
Student: Marie Jansson
mj222gt@student.lnu.se
Handledare: Andreas Ebbelind
andreas.ebbelind@lnu.se
Jag/vi samtycker till att material där mitt/vårt barn finns med får användas
enligt ovan
JA ( )
NEJ ( )
Barnets namn:_________________________________________________
Vårdnadshavarens underskrift:____________________________________
I
Bilaga B Missivbrev
Missivbrev
Hej!
Jag heter Marie Jansson och läser mitt sista och fjärde år på lärarutbildningen på
Linnéuniversitetet med inriktning mot F-3. Jag skriver nu mitt avslutande arbete. Syftet
med arbetet som skrivs i ämnet matematik är att utforska hur textuppgifter upplevs av
eleverna och lärare. Tanken är att eleverna ska få genomföra ett formulär med
textuppgifter och några elever kommer sedan att bli intervjuade för att jag ska få en
fördjupad kunskap i hur eleverna uppfattar textuppgifterna och det aritmetiska
innehållet.
Jag har satt mig in i ämnet, men vill genom en intervju med dig tillföra aktiva lärares
syn på textuppgifterna utformning och innehåll.
Studien utgår från de forskningsetiska principerna och all fakta kommer att behandlas
utifrån
de
fyra
grundprinciperna
informationskravet,
samtyckeskravet,
konfidentialitetskravet och nyttjandekravet.
För att underlätta analysarbetet kommer intervjun att spelas in. Det ger också en
möjlighet att gå tillbaka och kontrollera svaren. Efter att arbetet är godkänt av
examinatorn kommer inspelningarna att raderas.
Har du några funderingar kring min studie får du gärna kontakta mig eller min
handledare för ytterligare information.
Student: Marie Jansson
mj222gt@student.lnu.se
Handledare: Andreas Ebbelind
andreas.ebbelind@lnu.se
Jag har tagit del av ovanstående information och vet att jag när som helst har rätt att
avbryta intervjun.
Jag undertecknar och godkänner därmed att jag ställer upp på intervjun.
Namn:
Namnförtydligande:
Datum och ort
II
Bilaga C Textuppgifter
Förslag på uppgifter
Lös uppgifterna!
Du får gärna rita din lösning!
Gör en uträkning!
Lycka till!
1. Anna samlar 8 stenar, vilket är 4 fler än Stina samlar. Hur många stenar samlar
Stina?
2. Anna samlar 27 stenar, vilket är 6 fler än Stina samlar. Hur många stenar samlar
Stina?
3. Anna samlar 27 stenar, vilket är 9 fler än Stina samlar. Hur många stenar samlar
Stina?
4. Hur många hönor har 10 ben tillsammans?
5. Hur många hundar har 20 ben tillsammans?
6. Hur många hundar och hönor har 24 ben tillsammans?
7. Eva är på innebandymatch och är hungrig. Hon köper 1 korv som kostar 10
kronor och en dricka för 5 kronor. Hur mycket kostar korven och drickan
tillsammans?
8. Eva är på innebandymatch och är hungrig. Hon köper 2 korvar som kostar 15
kronor styck och 2 drickor som kostar 7 kronor styck. Hur mycket kostar
korvarna och drickorna tillsammans?
9. Eva är på innebandymatch och är hungrig. Hon köper 4 korvar som kostar 17
kronor styck och 2 drickor som kostar 25 kronor styck. Hur mycket kostar
korvarna och drickorna tillsammans?
10. Sven cyklar två varv runt fotbollsplanen på fem minuter. Lotta cyklar dubbelt så
snabbt. Hur långt hinner Lotta cykla på fem minuter?
11. Sven cyklar fem varv runt fotbollsplanen på fem minuter. Lotta cyklar dubbelt
så snabbt. Hur långt hinner Lotta cykla på fem minuter?
12. Sven cyklar sju varv runt fotbollsplanen på fem minuter. Lotta cyklar dubbelt så
snabbt. Hur långt hinner Lotta cykla på fem minuter?
III
Bilaga D Intervjufrågor till eleverna
Intervjufrågor till eleverna:
Hur gammal är du?
Vilken klass går du i?
Kan du berätta för mig vad ni vanligtvis gör under matematiklektionerna?
Vad tycker du är roligt med matematik?
Är det något som du tycker är svårt inom matematiken? (Varför?)
Vad tyckte du om uppgifterna?
Var det någon uppgift som var svår? (Varför?)
Var det någon uppgift som var lätt? (Varför?)
Vad tycker du gör att en uppgift är lätt eller svår? (språket, aritmetiken, räknesätt,
koppla utanför uppgiften, vardagsnära)
Om du skulle skriva en textuppgift hur skulle den då se ut?
Hur ser du vilket räknesätt du ska använda i en textuppgift?
Finns det några speciella ord som du kopplar ihop med addition? (Vilka, varför?)
Finns det några speciella ord som du kopplar ihop med subtraktion? (Vilka, varför?)
Finns det några speciella ord som du kopplar ihop med division? (Vilka, varför?)
Finns det några speciella ord som du kopplar ihop med multiplikation? (Vilka, varför?)
IV
Bilaga E Intervjufrågor till lärarna
Intervjufrågor till lärarna:
Hur många år har du varit lärare?
Hur många år har du undervisat i matematik?
Har du förändrat ditt sätt att undervisa i matematiken under dina yrkesår?
Kan du berätta för mig om en lektion när du arbetat med textuppgifter i klassen?
Vilken undervisning behövs för att eleverna ska kunna lösa textuppgifter självständigt?
Vilka aspekter är viktigast att ta hänsyn till för att eleverna ska lyckas lösa
textuppgifterna?
När introducerar du textuppgifter för eleverna?
Hur introducerar du textuppgifter för eleverna?
Använder du samma textuppgifter till alla elever?
Om inte:
Vad är det som skiljer?
Konstruerar du egna textuppgifter?
Hur kan en textuppgift konstrueras för att passa alla elever?
Använder du någon gång uppgifter med samma grundstruktur, men ändrar talen för att
anpassa dem utifrån elevernas förmågor? (Här förklarar jag vad jag menar, och ger
exempel genom att visa det formulär som eleverna genomfört)
Hur gör du för att ta reda på elevernas förkunskaper?
Vilka svårigheter upplever du brukar nämnas av eleverna som kan orsaka problem för
dem när de ska lösa textuppgifter?
Hur gör du för att ta reda på elevernas kognitiva förmåga? (tänkande,
uppfattningsförmåga, minne, språk)
Behöver du tänka på något speciellt när du lär ut de matematiska begreppen?
Undervisar du eleverna specifikt i matematiska begrepp? (eller integreras de i den
ordinarie undervisningen?, Vilka begrepp behöver eleverna lära sig? Varför just dessa?)
Är det något som du vill tillägga som du har kommit på under intervjuns gång?
Tack så mycket för din medverkan! Du har bidragit med värdefull information. Om det
är något jag undrar över i efterhand, är det då okej att jag återkommer?
V
Bilaga F Redovisning av textuppgifterna
VI
Fakulteten för teknik
391 82 Kalmar | 351 95 Växjö
Tel 0772-28 80 00
teknik@lnu.se
Lnu.se/fakulteten-for-teknik