Løsningsforslag ekstraprøve

Prøve i kapittel 1,2 og 6
Henrik Vikøren
April 28, 2015
Kun en del - 90 minutter
Tillatte hjelpemidler: skrivesaker og kalkulator
Oppgave 1
En spesiell terning har 20 sider som er merket med tallene fra 1 til 20. Du kaster terningen én
gang.
a) Hva er sannsynligheten for at terningen viser 13?
Sannsynligheten regner vi ut ved å dele antall gunstige på antall mulige. Det er kun et
gunstig utfall, nemlig at vi får akkurat 13. Det er tilsammen 20 mulige utfall.
P (”få 13 på terningen”) =
1
.
20
b) Hva er sannsynligheten for at du får et partall?
Her er det 10 gunstige og 20 mulige. Vi regner ut på samme måte som i a).
P (”få et partall”) =
10
1
= .
20
2
c) Hva er sannsynligheten for at terningen viser 13 eller mer?
De gunstige er 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 og 20. Tilsammen åtte gunstige. Vi får:
P (”Få 13 eller høyere”) =
1
8
2
= .
20
5
Oppgave 2
I en klasse er det 20 elever. Fire av elevene spiller i band og seks av elevene er med på
skolerevyen. Tolv av elevene spiller ikke i band og er ikke med på skolerevyen.
a) Systematiser opplysinigene ovenfor i en krysstabell eller et venn-diagram.
Vi systematiserer i en krysstabell. Tallene skrevet i fet skrift er opplysninger vi kan lese
rett av oppgaveteksten, resten har vi regnet ut.
Revy
Ikke revy
Totalt
Band
Ikke band
Total
2
2
4
4
12
16
6
14
20
Vi velger tilfeldig én elev i klassen.
b) Bestem sannsynligheten for at eleven både spiller i band og er med på skolerevyen.
Vi definerer hendelsene:
• S = ”eleven spiller i skolerevyen.”
• B = ”eleven spiller i band”.
Det er 2 elever av 20 som både spiller i band og er med på skolerevyen. Sannsnyligheten
blir:
P (S ∩ B) =
2
.
20
Vi velger tilfeldig én elev som ikke spiller i band
c) Bestem sannsynligheten for at eleven er med på skolerevyen.
Det er 16 elever som ikke spiller i band, av disse er det 4 som er med på skolerevyen.
Sannsynligheten blir:
P (S|B) =
4
1
=
16
4
Vi velger tilfeldig to elever som er med på skolerevyen.
d) Bestem sannsynligeten for at minst én av dem spiller i band.
2
Her er det lettere å gå om den komplementære hendelsen. Det motsatte av at minst
én av to elever spiller i band er at ingen av dem spiller i band. Det er 6 elever som er
med på skolerevyen. Sannsynligheten for å trekke en av de 4 elevene som ikke spiller
i band er 46 . Hvis vi allerede har trukket en elev som ikke spiller band er det 5 elever
igjen og 3 som ikke spiller i band. Sannsynligheten for å trekke en til elev som ikke
spiller i band, hvis den første vi trakk heller ikke spilte i band, er altså 35 . Ved å bruke
produktsetningen får vi:
P (”ingen av de to spiller i band”)
=P (”den første spiller ikke i band”) · P (”den andre spiller ikke i band”)
4 3
12
2
= · =
= .
6 5
30
5
Vi skulle finne sannsynligheten for at minst én spiller i band. Denne kan vi nå regne
ut:
P (”minst én spiller i band”) =1 − P (”ingen av de to spiller i band”)
2
3
=1 − = .
5
5
Oppgave 3
a) 1 Skriv tallet 125 000 på standardform.
125 000 = 1, 25 · 105 .
2 Skriv tallet 4, 75 · 10−4 på vanlig måte.
4, 75 · 10−4 = 0, 000475.
b) Oljefondet er i dag verdt syv tusen milliarder kroner. Hvor mye blir det på hver nordmann
hvis vi antar at det bor fem millioner mennesker i norge? Regn ut for hånd og skriv svaret
på standardform.
Syv tusen milliarder er 7, 0·1012 på standardform. 5 millioner er 5, 0·106 på standardform.
Regnestykket vårt blir da:
7, 0 · 1012
7
= · 1012−6 = 1, 4 · 106 .
6
5 · 10
5
c) Regn ut og skriv ut så enkelt som mulig.
3
1
(a2 )−3 · a4
(a2 )−3 · a4 = a2·−3 · a4 = a−6 · a4 = a−6+4 = a−2 =
1
a2
2
5x−1 · (2x)3
15x3
5x−1 · (2x)3
8x
5x−1 · 23 x3
23 x−1+3−3
=
.
=
=
15x3
5 · 3x3
3
3
Oppgave 4
Løs likningene:
a)
4x3 = 32
4x3
32
=
4
4
√
√
3
3
3
x = 8
x = 2.
Vi deler begge sider av likningen på 4.
Så tar vi tredjeroten på begge sider.
b)
125 000 = 100 000 · V 5
125 000
100 000 · V 5
=
Vi deler begge sider på 100 000.
100
000 √ 100 000
p
5
5
1, 25 = V 5
Så tar vi femteroten på begge sider.
V = 1, 046.
4
Oppgave 5
På stortinget sitter det 169 folkevalgte representanter. De er fordelt på følgende partier:
Parti
Antall representanter
Arbeiderpartiet
55
Høyre
48
Fremskrittspartiet
29
KrF
10
Senterparetiet
10
Ventre
9
Sosialistisk Venstreparti
7
Miljøpartiet De Grønne
1
a) Hvor mange prosent stemte på Arbeiderpartiet ved forrige valg?
Partiene får representanter på Stortinget utifra hvor mange som stemte på dem. Hvor
mange prosent en del av noe helt utgjør finner vi ved å bruke følgende formel:
Prosenten =
delen
· 100.
det hele
I vårt tilfelle er delen de 55 representantene som sitter på stortinget for Arbeiderpartiet
og det hele alle de 169 representantene. Da blir vårt regnestykke:
prosent som stemte på AP =
55
· 100 = 32, 5%.
169
b) Hvor mange prosent flere representanter har Høyre enn Fremskrittspartiet?
48
= 1, 655.
29
Det vil si at Høyre har 65,5% flere representanter enn FrP.
c) I en meningsmåling kommer det frem at høyre har tapt 6,35% av stemmene siden valget.
Hvor mange stemmer hadde de hatt hvis det var nyvalg da denne meningsmålingen ble
gjennomført?
En nedgang på 6,35% tilsvarer en vekstfaktor på V = 1 −
Høyre ville fått:
48 · 0, 9385 = 45
stemmer hvis det var nyvalg i dag.
5
6,35
100
= 0, 9385. Det vil si at
Oppgave 6
Figuren viser grafen til en lineær funksjon.
a) Finn likningen til funksjonen.
Vi finner først stigningstallet: når x = −1 er y = 1. Når x = 0 er y = 3. Da kan vi
regne ut stigningstallet a:
a=
y2 − y1
3−1
=
= 2.
x2 − x1
0 − (−1)
Stigningstallet er altså 2. Grafen krysser x-aksen når y = 3, det vil si at konstantleddet
b = 3. Da får vi likningen f (x) = 2x + 3.
b) Hva er nullpunktet til funksjonen?
Vi ser at x = −1, 5 når y = 0. Da blir nullpunktet (−1, 5 , 0)
Oppgave 7
Klasse 4B skal på klassetur til Las Vegas. Klassen får et pakketilbud som inkluderer et eget
privatfly og opphold på hotel for hele klassen til 30 000 kr totalt.
a) Finn et uttrykk for prisen per person som funksjon av antall elever.
6
Det er x elever som skal dele på 30 000 kr i utgifter. Da får vi uttrykket
f (x) =
30 000
.
x
Klassen forhører seg med et annet reiseselskap og får et annet tilbud som inkluderer flybillet
og hotelopphold til 2000 kr per person.
b) Hvor mange må være med på turen for at det første tilbudet skal lønne seg?
Det første tilbudet gir en pris på 30 x000 per person, mens det andre har en pris på 2000
kr per person, uavhengig av hvor mange som blir med. Vi kan sette opp en likning:
30 000
= 2000
x
30 000
=x
2000
x = 15.
Hvis det er med flere enn 15 personer, lønner det seg med det første tilbudet.
7