Fasit til kapittel 7

Fasit til kapittel 7
September 24, 2015
1. Anta at geostrofisk balanse gjelser. Tegn kreftene som virker på en geostrofisk strømning rundt et
høytrykk på den sørlige halvkule.
Figur 7.1 i boka viser dette for den nordlige halvkule. Retningene er reversert på den sørlige
halvkule siden Coriolisparameteren har motsatt fortegn.
2. Definer Rossby-tallet og kommenter dets fysiske betydning. Hva betyr det om Rossby-tallet er lite
eller stort?
Rossby-tallet er definert som Ro = fUL er et dimensjonsløst tall som uttrykker forholdet mellom
akselerasjonsleddet og koriolisleddet i ligning (1). L er en karakteristisk lengde, U er en karakteristisk hastighet og f er Coriolisparameteren.(Kommentar: Dette kommer to ganger. Det er delvis
på grunn av latskap, men også for å drille det litt inn.)
3. Definer ”thermal wind relation”. Hva betyr leddene i ligningen? Hva er den fysiske betydningen?
∂ug
∂z
= αg
f ẑ × ∇T (7-18) i boka. Uttrykket sier at dersom det er horisontale temperaturgradienter
vil den geostrofiske vinden variere i høyden. Vestavinden vil øke i høyden grunnet ’thermal wind”
siden disse er assosiert med temperaturgradienten mellom tropene og polene.
4. Oppgave 7.5.6 (i) fra Marshall and Plumb
I dette tilfellet er Coriolisparameteren f = 2Ω sin 30◦ = Ω = 7.27 × 10−5 s−1 , så Rossby-tallet for
en orkan med vindhastighet U = 50 m/s ved en radius L = 50 km er Ro ≈ 13.8. Dette er ikke lite,
og dermed kan vi ikke forvente at vinden er geostrofisk.
5. Oppgave 7.5.2 fra Marshall and Plumb
Trykkgradienten som trengs for å balansere en geostrofisk vind er |∇p| = uf (φ)ρ. For hastighet 10
m/s og 45◦ N blir dette |∇p| = 1.028 × 10−3 kg m2 /s2 Del 2:
6. Oppgave 7.5.3 fra Marshall and Plumb
(a): Motsatt av figur 7.1. (b): Motsatt av figur 7.24
7. Oppgave 7.5.4 fra Marshall and Plumb
VI skal se på et lavtrykksystem på φ = 45◦ S med et trykkfelt ved havoverflaten som beskrives av
uttrykket
p = p0 − ∆p exp(−r2 /R2 )
der R = 500 km, p0 = 1000 hPa, ∆p = 20hP a og ρ = 1.3kg/m3 . Coriolisparamteteren antas
konstant med verdi f = 7.27 × 10−5 s−1 sin φ.
Vi skal finne strukturen til den geostrofiske vinden (i) og avstanden fra sentrum som resulterer i
maksimum geostrofisk vind (ii).
(i) Uttrykket for geostrofisk vind er f u = ρ1 f racdpdr der u er geostrofisk vind langs isobarene og p
er uttrykket over. For å finne strukturen finner vi
dp
d
2r∆p
=
(p0 − ∆p exp(−r2 /R2 )) =
exp(−r2 /R2 )
dr
dr
R2
Dermed blir strukturen i det geostrofiske vindfeltet rundt lavtrykket
u=
1 2r∆p
exp(−r2 /R2 )
f ρ R2
1
(ii)For å finne radiusen der maksimal geostrofisk vind oppstår må vi finne maksimalpunktet i u(r).
Dette gjør vi ved å derievere uttrykket for u og finne nullpunktene
du
d 1 2r∆p
2
2
exp(−r /R )
f
=
dr
dr ρ R2
2∆p
d
2
2 d
2
2
exp(−r /R ) r + r exp(−r /R )
=
ρR2
dr
dr
2r2
2∆p
2r2
2∆p
du
2
2
2
2
2
2
exp(−r
/R
)
−
exp(−r
/R
)
=
exp(−r
/R
)
1
−
=
f
dr
ρR2
R2
ρR2
R2
Vi setter nå f du
dr = 0 og løser for r
2∆p
2r2
2
2
exp(−r /R ) 1 − 2 = 0
ρR2
R
2r2
=0
R2
R
r= √
2
1−
Ved å sette denne verdien for r inn i uttrykket for u finner vi at maksimal vindhastighet er
u=
2∆p
exp(1/2)
f ρR
Oppgave
Den horisontale bevegelsesligningen er
1
Dv
= −f k × v − ∇H p + F
Dt
ρ
∂
∂
der v = (u, v) er den horisontale vindhastigheten, og ∇H = ∂x
, ∂y
(1)
(a) Hva betyr hvert av leddene i ligning (1)?
Dv
Dt
er den materielt deriverte av hastigheten, den totale akselerasjonen ∂v
∂t + ∇ · v. −f k × v er
Coriolisleddet. − ρ1 ∇H p er trykkgradientakselerasjonen og F er friksjonskraften per enhet masse.
(b) Hva mener vi med Rossby-tallet? Hvilke ledd i ligning (1) er det som Rossby-tallet uttrykker
forholdet mellom?
Rossby-tallet er definert som Ro = fUL er et dimensjonsløst tall som uttrykker forholdet mellom akselerasjonsleddet og koriolisleddet i ligning (1). L er en karakteristisk lengde, U er en karakteristisk
hastighet og f er Coriolisparameteren.
(c) Ved Geostrofisk balanse, hvor stort er Rossby-tallet (er det i størrelsesorden 1, mye større eller mye
mindre)? Hvilke ledd i ligning (1) dominerer i denne balansen
Ved Geostrofisk balanse er Rossby-tallet lite, Ro << 1. For storskala bevegelse på midlere breddegrader er typisk Rossby-tall Ro ≈ 0.1. Ved geostrofisk balanse dominerer Coriolisleddet over
akselerasjonen, og i den frie atmosfæren blir lignin (1) redusert til f k × v + ρ1 ∇H p = 0.
2
I grenselaget nær bakken er alle de tre kreftene på høyre side an ligning (1) viktige. På figuren
nedenfor vises isobarene på havnivå for et stort område på midlere bredder på nordlige halvkule
(d) Tegn inn piler på figuren som illustrerer hvordan vindfeltet vil se ut i grenselaget
Se figur. I grenselaget er friksjonen viktig og vil føre til at vinden får en komponent som er på
tvers av isobarene i retning av trykkgradientkraften, det vil si inn i lavtrykk og ut av høytrykk.
Friksjonskraften fører til at vindhastigheten blir noe lavere enn den geostrofiske hastigheten. Typisk
defleksjonsvinkel er 6◦ − 12◦
(e) Hvor konvergerer lufta? Hvor divergerer den? Hva betyr dette for de vertikale bevegelsene ovenfor
grenselaget på disse stedene? Kan du utifra dette forklare hvorfor lavtrykk ofte medfører regnvære,
mens høytrykk gjerne gir pent vær?
Lufta divergerer i høytrykket og konvergerer i lavtrykket. Dette betyr at luft synker ned i høytrykket
og stiger opp i lavtrykket. Siden luft som stiger blir avkjølt og kan bli overmettet med vanndamp vil
det ofterer være regnvær i forbindelse med lavtrykk, mens luften som synker ned i høytrykk er tørr
og gir pent vær.
3