S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

Transcription

Løsninger til oppgavene i boka
S1 kapittel 4 Logaritmer
4.1
a
Vi leser av fra tallet 4 på y-aksen og ser at vi får den tilhørende verdien 0,6 på x-aksen.
lg 4 ≈ 0, 6
b
c
d
Vi leser av fra tallet 12,5 på y-aksen og ser at vi får den tilhørende verdien 1,1 på x-aksen.
lg12,5 ≈ 1,1
Vi leser av fra tallet 0,5 på y-aksen og ser at vi får den tilhørende verdien −0, 25 på x-aksen.
lg 0,5 ≈ −0, 25
Vi kan ikke bestemme logaritmen til et negativt tall, for uansett hva vi opphøyer tallet 10 i, så vil
svaret bli positivt. f ( x) = 10 x har bare positive funksjonsverdier.
4.2
a
4
lg10=
000 lg10
=
4
b
lg 0,1 = lg10−1 = −1
lg 0, 001 = lg10−3 = −3
c
4.3
a
10lg 2 = 2
b
10lg 0,5 = 0,5
c
d
4.4
3
3
= 0, 75
4
10lg(150−125) = 150 − 125 = 25
lg
10 4=
a
lg 0,80 ≈
b
lg 4,5 ≈
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 1 av 42
c
lg 95 ≈
d
lg 750 ≈
e
lg1200 ≈
4.5
a
lg 34 ≈
b
lg 540 ≈
c
2 ⋅ lg 30 ≈
d
lg 3 + lg 0,5 ≈
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 2 av 42
4.6
a
lg107 = 7
b
lg 2 x = 2 x
c
3 ⋅ lg102 = 3 ⋅ 2 = 6
lg104 + 2 ⋅ lg102 = 4 + 2 ⋅ 2 = 4 + 4 = 8
d
4.7
a
2
lg100
= lg10
=
2
b
1
lg10
= lg10
=
1
0
c =
lg1 lg10
=
0
d
lg 0,1 = lg10−1 = −1
a
lg100 + lg102 =
lg102 + lg102 =
2+2 =
4
b
lg105 − 10lg5 = 5 − 5 = 0
c
lg10 + lg1 =lg101 + lg100 =1 + 0 =1
lg1000 − lg 0,1 = lg103 − lg10−1 = 3 − (−1) = 3 + 1 = 4
4.8
d
4.9
lg100 000= lg105= 5= J
0,5
= G
lg10=
0,5
lg1= lg100= 0= E
lg10= lg101 = 1= H
lg 0, 001 =lg10−3 =−3 =B
4.10
3
6
lg100
=
lg1 000=
000 lg10
=
6
1
10lg10
= 10
=
10
lg10 = 1
3 ⋅ lg1 = 3 ⋅ 0 = 0
5 ⋅ lg 0,1 = 5 ⋅ lg10−1 = 5 ⋅ (−1) = −5
Vi får dermed denne stigende rekkefølgen:
5 ⋅ lg 0,1
3 ⋅ lg1
lg10
lg1003
10lg10
4.11
a
b
1
= lg102 − lg10−2 = 2 − (−2) = 2 + 2 = 4
2
10
lg(lg10)
= lg(1)
= 0
lg100 − lg
c
5 ⋅ lg (105 ) = 5 ⋅ 5 = 25
d
10lg 2+ lg3 = 10lg 2 ⋅10lg3 = 2 ⋅ 3 = 6
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 3 av 42
4.12
Vi regner først ut lg1,35 ved hjelp av CAS.
Vi skriver 1,35 med 10 som grunntall:
lg1,35
=
1,35 10
=
100,13
4.13
a
a =⇔
b lg a =
lg b
b
a > b ⇔ lg a > lg b
4.14
a
0 ≤ lg x ≤ 1
100 ≤ 10lg x ≤ 101
1 ≤ x ≤ 10
b
c
1 ≤ lg x ≤ 2
101 ≤ 10lg x ≤ 102
10 ≤ x ≤ 100
−2 < lg x < −1
10−2 < 10lg x < 10−1
0, 01 < x < 0,1
4.15
x
a
Vi bruker regelen a = 10lg a . Dermed har vi at 2 x = 10lg 2 .
b
Vi bruker regelen lg a x = x ⋅ lg a , kombinert med regelen vi brukte i oppgave a. Dermed har vi at
x
lg 2
=
2 x 10
=
10 x⋅lg 2
2x = 2x
c
x
10lg 2 = 10 x⋅lg 2
x
lg10lg 2 = lg10 x⋅lg 2
lg 2 x = x ⋅ lg 2
4.16
a
lg a 5 + lg a 2 = 5lg a + 2 lg a
= 7 lg a
b
3lg b8 − 2 lg b 7 = 3 ⋅ ( 8lg b ) − 2 ⋅ ( 7 lg b )
= 24 lg b − 14 lg b
= 10 lg b
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 4 av 42
c
3
lg c + 8lg c 2 − 2 lg c −=
lg c + 8 ⋅ ( 2 lg c ) − 2 ⋅ ( −3lg c )
=
lg c + 16 lg c + 6 lg c
= 23lg c
4.17
a
lg x3 + lg x −2 =3lg x − 2 lg x
= lg x
b
5lg y 4 − lg y 7 =
5 ⋅ ( 4 lg y ) − 7 lg y
c
= 20 lg y − 7 lg y
= 13lg y
3
2
6 lg z + 2 lg z + lg z −1 = 6 ⋅ ( 3lg z ) + 2 ⋅ ( 2 lg z ) + ( −1) lg z
= 18lg z + 4 lg z − lg z
= 21lg z
4.18
2
lg x )
(
( lg x ) ⋅ ( lg x )
a
lg x
=
lg x
= lg x
b
c
lg ( x 2 )
lg x 2
lg x
lg x
2 lg x
=
lg x
=2
lg x 3 3lg x
=
lg x
lg x
=3
=
4.19
3
lg125
= lg 5=
3lg 5 ≈ 3 ⋅ 0,=
7 2,1
4.20
a
lg 2 x + lg x = ( lg 2 + lg x ) + lg x
= lg 2 + 2 lg x
b
c
lg ( a ⋅ b ) + 4 lg ( 2 ⋅ a ) − 5lg a=
lg ( a ⋅ b 2 ) − 2 lg b =
( lg a + lg b ) + 4 ( lg 2 + lg a ) − 5lg a
= lg a + lg b + 4 lg 2 + 4 lg a − 5lg a
= lg b + 4 lg 2
( lg a + lg b ) − 2 lg b
2
=lg a + 2 lg b − 2 lg b
= lg a
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 5 av 42
4.21
a
3lg 2 x + lg 4 x = 3 ( lg 2 + lg x ) + ( lg 4 + lg x )
= 3lg 2 + 3lg x + lg 22 + lg x
= 3lg 2 + 3lg x + 2 lg 2 + lg x
= 4 lg x + 5lg 2
b
x
lg ( 2 ⋅10 x ) + 3lg102=
( lg 2 + lg10 ) + 3 ⋅ 2 x lg10
x
= lg 2 + x + 6 x
= 7 x + lg 2
c
( lg100 + lg x ) + 3 ( lg10 + lg x 2 )
lg100 x + 3lg10 x 2=
= 2 + lg x + 3 + 3 ⋅ 2 lg x
= 2 + lg x + 3 + 6 lg x
= 7 lg x + 5
4.22
a
( lg a + lg b ) + ( lg a 2 + lg b ) + ( −3) lg b
−3
lg ab + lg a 2b + lg b=
= lg a + lg b + 2 lg a + lg b − 3lg b
= 3lg a − lg b
b
5lg ( ab 2 ) + 2 lg ( a 3b 2 ) − 3lg ( ab 4 ) = 5 ( lg a + lg b 2 ) + 2 ( lg a 3 + lg b 2 ) − 3 ( lg a + lg b 4 )
= 5 ( lg a + 2 lg b ) + 2 ( 3lg a + 2 lg b ) − 3 ( lg a + 4 lg b )
= 5lg a + 10 lg b + 6 lg a + 4 lg b − 3lg a − 12 lg b
= 8lg a + 2 lg b
4.23
2 lg 3 + 3lg10 =lg 32 + lg103
= lg ( 32 ⋅103 )
= lg ( 9 ⋅1000 )
= lg 9000
4.24
a
Venstre side:
lg ( x − 4 ) + lg=
4 lg ( ( x − 4 ) ⋅ 4 )
= lg ( 4 x − 16 )
Høyre side:
lg x
Svaret blir
lg ( x − 4 ) + lg 4 ≠
© Aschehoug
lg x
www.lokus.no
Side 6 av 42
b
Venstre side:
lg ( 6 ⋅ x ) + lg 2=
=
=
( lg 6 + lg x ) + lg 2
lg ( 2 ⋅ 3) + lg x + lg 2
( lg 2 + lg 3) + lg x + lg 2
= 2 lg 2 + lg 3 + lg x
Høyre side:
x ( lg12 + lg x )
=
lg12
= lg ( 3 ⋅ 4 ) + lg x
= ( lg 3 + lg 4 ) + lg x
=lg 3 + lg 22 + lg x
= 2 lg 2 + lg 3 + lg x
Svaret blir
lg ( 6 ⋅ x ) + lg 2 =lg12 x
c
Venstre side:
lg ( x + 1) + lg=
9 lg ( ( x + 1) ⋅ 9 )
= lg ( 9 x + 9 )
Høyre side:
lg ( x + 10 )
Svaret blir
lg ( x + 1) + lg 9
d
lg ( x + 10 )
Venstre side:
lg x ⋅ lg 3
Høyre side:
lg ( x + 3)
Svaret blir
lg x ⋅ lg 3 ≠ lg ( x + 3)
4.25
a
≠
lg
x
10
+ 3lg = ( lg10 − lg x ) + 3 ( lg x − lg10 )
x
10
=
1 − lg x + 3lg x − 3lg10
= 1 − lg x + 3lg x − 3 ⋅1
= 2 lg x − 2
b
lg
2
10
− lg =( lg 2 − lg10 ) − ( lg10 − lg 2 )
10
2
= lg 2 − 1 − 1 + lg 2
= 2 lg 2 − 2
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 7 av 42
4.26
a
lg
100
x
+ 3lg = ( lg100 − lg x ) + 3 ( lg x − lg10 )
x
10
= 2 − lg x + 3lg x + 3 ⋅ ( −1)
=−
2 lg x + 3lg x − 3
= 2 lg x − 1
b
lg
2
10
− lg = ( lg 2 − lg103 ) − ( lg10 − lg 4 )
3
10
4
= lg 2 − 3 − (1 − lg 22 )
= lg 2 − 3 − 1 + 2 lg 2
= 3lg 2 − 4
4.27
a
lg
a
a
1
+ lg 2 + 2 lg = ( lg a − lg b ) + ( lg a − lg b 2 ) + 2 ( lg1 − lg b )
b
b
b
= lg a − lg b + lg a − 2 lg b + 2 ⋅ 0 − 2 lg b
= 2 lg a − 5lg b
b
lg
a
1
lg1 − lg a 2b3 ) − 3 ( lg a − lg b −2 )
− 3lg −2 =
(
ab
b
=
− lg a 2b3 − 3lg a + 3lg b −2
2 3
=
− ( lg a 2 + lg b3 ) − 3lg a + 3 ( −2 lg b )
=
−2 lg a − 3lg b − 3lg a − 6 lg b
=
−5lg a − 9 lg b
4.28
Gitt at a > 0 , har vi
lg
1
=
0 − lg a =
− lg a
( lg1 − lg a ) =
a
4.29
a
2 lg a + lg a 2 = 2 lg a + 2 lg a
= 4 lg a
b
lg
c
lg ab + lg a 2b = ( lg a + lg b ) + ( lg a 2 + lg b )
a
+ lg b = ( lg a − lg b ) + lg b
b
= lg a
= lg a + lg b + 2 lg a + lg b
= 3lg a + 2 lg b
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 8 av 42
d
lg ab3 + lg
1
= ( lg a + lg b3 ) + ( lg1 − lg b3 )
3
b
= lg a + 3lg b + 0 − 3lg b
= lg a
4.30
a
b
 a
lg ( ab 2 ) + lg  2  = ( lg a + lg b 2 ) + ( lg a − lg b 2 )
b 
= lg a + 2 lg b + lg a − 2 lg b
= 2 lg a
lg ( x ⋅10 x ) = ( lg x + lg10 x )
= lg x + x
c
lg ( x ⋅102 x ) =( lg x + lg102 x )
= lg x + 2 x
d
 3
lg ( 3 ⋅10 x ) − lg  x
 10

x
x
 = ( lg 3 + lg10 ) − ( lg 3 − lg10 )

= lg 3 + x − lg 3 + x
= 2x
4.31
a
lg xy + lg
b
lg
x
− lg x 2 = ( lg x + lg y ) + ( lg x − lg y ) − 2 lg x
y
=0
25
+ lg 5 x 4 =
x
( lg 25 − lg x ) + ( lg 5 + lg x 4 )
= lg 52 − lg x + lg 5 + 4 lg x
= 2 lg 5 − lg x + lg 5 + 4 lg x
= 3lg x + 3lg 5
c
lg x 2 + 5lg
10
=2 lg x + 5 ( lg10 − lg x 2 )
x2
= 2 lg x + 5 ⋅1 − 5 ( 2 lg x )
= 2 lg x + 5 − 10 lg x
= 5 − 8lg x
d
lg x3 3lg x
=
lg x 2 2 lg x
3
=
2
= 1,5
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 9 av 42
4.32
a
102lg3 = (10lg3 )
= ( 3)
2
3
=9
1
10lg3
1
=
3
b
10− lg3 =
c
1000lg3 = (103 )
lg3
= (10lg3 )
3
= 33
d
= 27
10lg3
10lg3−lg 2 = lg 2
10
3
=
2
= 1,5
4.33
a
lg 8 = lg 23
= 3lg 2
= 3 ⋅ 0,30
= 0,90
b
=
lg
6 lg ( 2 ⋅ 3)
c
= lg 2 + lg 3
= 0,30 + 0, 48
= 0, 78
lg=
45 lg ( 5 ⋅ 9 )
= lg 5 + lg 9
= lg 5 + lg 32
= lg 5 + 2 lg 3
d
= 0, 70 + 2 ⋅ 0, 48
= 0, 70 + 0,96
= 1, 66
 13 
lg 6,5 = lg  
 2
= lg13 − lg 2
= 1,11 − 0,30
= 0,81
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 10 av 42
4.34
a
lg ab −5 + lg
b
− 2 lg ( a 4 ⋅ b )=
a3
( lg a + lg b ) + ( lg b − lg a ) − 2 ( lg a
−5
3
4
+ lg b )
= lg a − 5lg b + lg b − 3lg a − 2 ( 4 lg a ) − 2 lg b
=lg a − 5lg b + lg b − 3lg a − 8lg a − 2 lg b
=
−10 lg a − 6 lg b
b
2
 x2 
 x
3
4
lg   + 2 lg (10 ⋅ =
x ) lg  2  + 2 ( lg103 + lg x 4 )
 10 
 10 
( lg x
=
2
− lg102 ) + 2 ⋅ 3 + 2 ( 4 lg x )
= 2 lg x − 2 + 6 + 8lg x
= 10 lg x + 4
4.35
a
b ) lg ( a 2b 2 ) − ( lg a + lg b ) + lg ( a − b )
lg ( a ⋅ b ) − lg ab + lg ( a − =
2
( lg a
=
2
+ lg b 2 ) − lg a − lg b + lg ( a − b )
= 2 lg a + 2 lg b − lg a − lg b + lg ( a − b )
= lg a + lg b + lg ( a − b )
b
c
lg x3 − lg x −5 3lg x − ( −5lg x )
=
1
( lg1 − lg x 2 )
lg 2
x
3lg x + 5lg x
=
−2 lg x
8lg x
=
−2 lg x
= −4
lg x 4 + 2 lg x 3
( lg x )
2
=
=
=
=
4 lg x + 2 ( 3lg x )
( lg x )
2
4 lg x + 6 lg x
( lg x )
2
10 lg x
( lg x )
2
10
lg x
4.36
a
Vi bruker regelen a = 10lg a .
Vi får
ab = 10lg ab
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 11 av 42
b
Vi bruker regelen fra oppgave a på begge faktorene i produktet ab.
ab= a ⋅ b
= 10lg a ⋅10lg b
c
z
Vi bruker den generelle logaritmeregelen x y +=
x y ⋅ xz .
Vi får
10lg a ⋅10lg b =
10lg a + lg b
d
Av svarene i oppgavene a og c kan vi slutte at
=
ab 10lg a ⋅10lg b
= 10(
4.37
a
lg a + lg b )
lg x = 4
10lg x = 104
x = 10 000
b
lg x = −1
c
10lg x = 10−1
x = 0,1
lg x = n
10lg x = 10n
x = 10n
4.38
a
lg 2 x = 4
b
2 x = 104
2 x = 10 000
2 x 10 000
=
2
2
x = 5000
lg 3 x = 2
3 x = 102
3 x = 100
c
3 x 100
=
3
3
100
=
x
≈ 33,33
3
lg ( x − 2 ) =
3
10
lg ( x − 2 )
= 103
x−2=
1000
x 1000 + 2
=
x = 1002
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 12 av 42
4.39
a
3lg x − 2 =
1
3lg x = 1 + 2
3lg x = 3
3lg x 3
=
3
3
lg x = 1
10lg x = 101
x = 10
b
3lg ( x − 2 ) =
3
3lg ( x − 2 ) 3
=
3
3
lg ( x − 2 ) =
1
10lg( x − 2) = 101
x−2=
10
c
x = 12
0
( lg x − 2 ) ⋅ lg ( x − 2 ) =
Vi løser likningen med produktsetningen og setter hver faktor lik 0.
lg x − 2 =
0 ∨ lg ( x − 2 ) =
0
lg
2
lg x = 2
10 ( x − ) = 100
10lg x = 102
x = 100
1
x−2=
x=3
4.40
a
( lg x )
2
+ 4 lg x + 3 =
0
−4 ± 42 − 4 ⋅1 ⋅ 3
2 ⋅1
−4 ± 2
lg x =
2
−4 + 2
−4 − 2
x
x
∨ lg=
lg=
2
2
−1
∨ lg x =
−3
lg x =
lg x =
x 10−1
x 10−3
=
∨ lg=
1
1
x= =
x=
=
0,1 ∨
0, 001
10
1000
Vi kontrollerer med CAS:
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 13 av 42
b
( lg x )
2
− 2 lg x − 8 =
0
lg x =
− ( −2 ) ±
2±6
2
2+6
lg x=
2
lg x =
4
( −2 )
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( −8 )
2 ⋅1
lg x =
2−6
2
∨ lg x =
−2
∨ lg x=
x= 104
∨ lg x= 10−2
1
x =10 000 ∨
x=
=0, 01
100
Vi kontrollerer med CAS:
4.41
a
lg x = lg 2
b
10lg x = 10lg 2
x=2
lg x = 4 lg 2
lg x = lg 24
10lg x = 10lg 2
4
x = 24
x = 16
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 14 av 42
lg 3 x = 2 lg 3
c
lg 3 x = lg 32
2
10lg3 x = 10lg3
3 x = 32
3x = 9
x=3
4.42
a
lg ( 6 − x ) =
lg x
10
b
lg ( 6 − x )
= 10lg x
6− x =
x
6 = 2x
x=3
lg ( 6 − 2 x ) − lg x =
1
 (6 − 2x) 
lg 
 =1
x


10
c
 6− 2 x 
lg 

 x 
= 101
6 − 2x
= 10
x
6 − 2x =
10 x
6 = 12 x
6
x=
12
1
x= = 0,5
2
lg ( 5 − 3 x ) = lg ( x − 3)
10 ( ) = 10 ( )
5 − 3 x =x − 3
8 = 2x
x=4
Vi ser her at x ikke kan være 4, fordi da blir uttrykket lg ( 5 − 3 x ) til
lg 5 −3 x
lg x −3
lg ( 5 − 3 ⋅ 4 )= lg ( 5 − 12 )= lg ( −7 ) . Vi kan ikke ta logaritmen til negative tall, og vi har fått en falsk
løsning. Likningen har ingen løsning.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 15 av 42
4.43
a
lg x 2 = 2
2
10lg x = 102
x 2 = 100
x 2 = 100
x = ±10
lg x3 = 6
b
3
10lg x = 106
x3 = 1 000 000
3
x3 = 3 1 000 000
x = 100
c
100
=
6
x
 100 
lg  x5 ⋅
6
=
x 

lg x5 + lg
lg (100 x 4 ) = 6
10
(
lg 100 x 4
)
= 106
100 x 4 = 1 000 000
x 4 = 10 000
4
x 4 = 4 10 000
x = ±10
Vi ser her at x > 0 , så dermed er −10 en falsk løsning. Svaret blir x = 10 .
4.44
a
lg x = 2
10lg x = 102
x = 100
b
lg x = 1
10lg x = 101
x = 10
c
lg x = 0
10lg x = 100
x =1
d
lg x = −1
10lg x = 10−1
=
x
1
= 0,1
10
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 16 av 42
4.45
a
b
2 lg x = 2
lg x = 1
10lg x = 101
x = 10
lg x + 1 =
5
lg x = 4
10lg x = 104
x = 10 000
c
= lg x − 2,5
1,5
4 = lg x
10lg x = 104
x = 10 000
d
lg ( x + 1) =
5
x
10lg( +1) = 105
x +1 =
100 000
x = 99 999
4.46
a
lg ( 2 − x ) =
lg 3
10
b
lg ( 2 − x )
= 10lg3
2− x =
3
−x =
1
x = −1
lg 2 x = 1
10lg 2 x = 101
2 x = 10
x=5
c
lg x + lg 4 =
2
lg ( 4 x ) = 2
10lg 4 x = 102
4 x = 100
x = 25
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 17 av 42
d
lg ( 2 x − 1) =
0
10
lg ( 2 x −1)
= 100
2x −1 =
1
2x = 2
x =1
4.47
a
( lg x )
( lg x )
2
=4
2
= 4
lg x = ±2
lg x =∨
2
lg x =
−2
10lg x =
102 ∨ 10lg x =
10−2
1
= 0, 01
x = 100 ∨ x =
100
b
lg x 2 = 4
2
10lg x = 104
x 2 = 10 000
x 2 = 10 000
x = ±100
c
lg x 2 + lg x =
0
lg ( x 2 ⋅ x ) =
0
lg x3 = 0
3
10lg x = 100
x3 = 1
3
d
x3 = 3 1
x =1
0
( lg x ) + lg x =
lg x ⋅ ( lg x + 1) =
0
2
x 0
∨ lg x +=
lg=
1 0
−1
lg x =∨
0
lg x =
10lg x =100 ∨ 10lg x =10−1
x =1
© Aschehoug
∨ x=
1
= 0,1
10
www.lokus.no
Side 18 av 42
4.48
a
lg x 2 − lg x − 2 =
0
2 lg x − lg x =
2
lg x = 2
10lg x = 102
x = 100
b
( lg x )
2
− lg x − 2 =
0
lg x =
− ( −1) ±
( −1)
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( −2 )
2 ⋅1
1± 3
2
1+ 3
1− 3
lg x =
∨ lg x =
2
2
lg x =
2
∨ lg x =
−1
lg x =
x = 102
100
x=
c
∨ lg x = 10−1
1
0,1
∨
x= =
10
lg x 2 + lg x =
lg 8
lg ( x 2 ⋅ x ) =
lg 8
lg x3 = lg 8
3
10lg x = 10lg8
x3 = 8
3
x3 = 3 8
x=2
4.49
=
3,5 2 lg x + 1,5
2 = 2 lg x
1 = lg x
10lg x = 101
x = 10
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 19 av 42
4.50
a
3lg x 2 = 6
lg x 2 = 2
2
10lg x = 102
x 2 = 100
x 2 = 100
x = ±10
b
3lg x 4 − 5lg x 2 =
4
lg x 4⋅3 − lg x 2⋅5 =
4
lg x12 − lg x10 =
4
 x12 
lg  10  = 4
x 
lg x 2 = 4
2
10lg x = 104
x 2 = 10 000
x 2 = 10 000
x = ±100
c
lg ( 2 x + 3) =
2 lg x
lg ( 2 x + 3) =
lg x 2
10lg( 2
x + 3)
= 10lg x
2
x2
2x + 3 =
− x2 + 2x + 3 =
0
x=
−2 ± 22 − 4 ⋅ ( −1) ⋅ 3
2 ⋅ ( −1)
−2 ± 4
−2
−2 + 4
−2 − 4
=
∨=
x
x
−2
−2
−1
∨ x=
x=
3
Men vi har at x > 0 , og dermed er x = −1 en falsk løsning. Svaret blir x = 3 .
x=
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 20 av 42
4.51
a
3 ( lg x ) − 2 lg x − 1 =0
2
lg x =
− ( −2 ) ±
2±4
6
2+4
lg x=
6
( −2 )
2
− 4 ⋅ 3 ⋅ ( −1)
2⋅3
lg x =
lg x =
1
x= 101
x =10
b
2−4
6
1
∨ lg x =
−
3
∨ lg x=
−
1
∨ lg x= 10 3
1
1
∨
x = 1 =3
10
10 3
2 lg ( x − 5 ) = lg 4 + lg x 2
lg ( x − 5 ) = lg ( 4 ⋅ x 2 )
2
10
lg ( x −5 )
( x − 5)
2
= 10
2
( )
lg 4 x 2
=
4 x2
4x2
x 2 − 10 x + 25 =
−3 x 2 − 10 x + 25 =
0
x=
− ( −10 ) ±
( −10 ) − 4 ⋅ ( −3) ⋅ 25
2 ⋅ ( −3)
2
10 ± 20
−6
10 + 20
10 − 20
=
∨=
x
x
−6
−6
−10 5
−5
∨ x= =
x=
−6 3
x
>
5
Men vi har at
, og dermed er begge løsningene falske. Likningen har ingen løsning.
lg ( x + 2 ) + lg ( x − 2 ) =
lg 21
x=
c
lg ( ( x + 2 ) ⋅ ( x − 2 ) ) =
lg 21
lg ( x 2 − 4 ) =
lg 21
10
(
lg x 2 − 4
) 10lg 21
=
x2 − 4 =
21
x 2 = 25
x 2 = 25
x = ±5
Men vi har at x > 2 , og dermed er x = −5 en falsk løsning. Svaret blir x = 5 .
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 21 av 42
4.52
a
lg x ⋅ ( lg x − lg 2 ) =
0
lg x = 0
∨ lg x − lg 2 = 0
10lg x =100 ∨ 10lg x =10lg 2
x= 1
∨ x= 2
b
0
( lg x − 5) ⋅ ( lg x − lg 5) =
lg=
x−5 0
lg=
x 5
∨ lg x=
− lg 5 0
∨ lg=
x lg 5
10lg x= 105
∨ 10lg x= 10lg5
=
x 100 000 ∨=
x 5
c
lg ( x − 3) ⋅ ( lg x − lg 3) =
0
lg ( x − 3=
) 0
10
lg ( x −3)
∨ lg x − lg 3= 0
=100 ∨ 10lg x =10lg3
x −=
3 1
∨ =
x 3
x= 4
∨ x= 3
Men vi har at x > 3 , og dermed er løsningen x = 3 falsk. Likningen har løsningen x = 4 .
4.53
a
lg x ⋅ ( lg x − lg n ) =
0
lg x = 0
∨ lg x − lg n = 0
10lg x =100 ∨ 10lg x =10lg n
x= 1
∨ x= n
b
0
( lg x − n ) ⋅ ( lg x − lg n ) =
n 0
lg x − =
lg x = n
n 0
∨ lg x − lg=
∨ lg x = lg n
10lg x =10n ∨ 10lg x =10lg n
x= 10n ∨ x= n
c
lg ( x − n ) ⋅ ( lg x − 2 lg n ) =
0
lg ( x − n=
) 0
∨ lg =
x lg n 2
lg ( x − n )
∨ 10lg x =10lg n
10
=100
x −=
n 1
2
∨=
x n2
x =n + 1 ∨ x =n 2
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 22 av 42
4.54
a
L =k − 20 ⋅ lg r
51 =k − 20 ⋅ lg 5
k= 51 + 20 lg 5
Konstanten k ≈ 64,98 .
b
L =k − 20 ⋅ lg r
= 64,98 − 20 ⋅ lg r
55
Vi løser denne likningen i CAS og bruker kommandoen Løsninger[ <Likning>, <Variabel>.
c
Avstanden r fra høyttaleren er altså 3,16 meter.
Vi starter med Aslak. Vi antar han står m meter unna høyttaleren. Han opplever da en lydstyrke
som tilsvarer
L =k − 20 ⋅ lg r
L 64,98 − 20 ⋅ lg m
=
Berit står dobbelt så langt unna. Hun står dermed 2m i avstand fra høyttaleren, og opplever en
lydstyrke som tilsvarer
L =k − 20 ⋅ lg r
=
L 64,98 − 20 ⋅ lg ( 2m )
=
L 64,98 − 20 ⋅ ( lg 2 + lg m )
=
L 64,98 − 20 ⋅ lg 2 − 20 ⋅ lg m
Sammenlikner vi de to lydstyrkene, ser vi at Berit opplever en lydstyrke som er eksakt 20 lg 2
mindre enn Aslak, siden leddet −20 lg 2 er det eneste som skiller de to uttrykkene for lydstyrken.
Dette tilsvarer en tilnærmet verdi på
6,02 desibel lavere lydstyrke for Berit.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 23 av 42
4.55
a
t=
−45lg ( 0, 02T − 0, 4 )
t=
−45lg ( 0, 02 ⋅ 50 − 0, 4 )
Det vil altså ta ca. 10 minutter før temperaturen i safta har falt til 50 °C .
b
Tiden t = 0 idet Carmine fylte flaska. Vi får følgende likning:
0=
−45lg ( 0, 02T − 0, 4 )
Temperaturen var 70 °C da hun fylte flaska.
c
Tre kvarter tilsvarer t = 45 , siden tiden måles i minutter. Vi får likningen
45 =
−45lg ( 0, 02T − 0, 4 )
Temperaturen i safta var 25 °C etter tre kvarter.
4.56
a
5 x = 25
5 x = 52
x=2
b
2 ⋅ 5 x −3 =
250
2 ⋅ 5 x −3 250
=
2
2
x −3
5 = 125
5 x −3 = 53
3
x −3 =
x=6
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 24 av 42
c
1
2
x
2 = 2−1
2x =
x = −1
d
1
103
10 x = 10−3
10 x =
x = −3
4.57
a
102 x −1 = 1000
102 x −1 = 103
2x −1 =
3
2x = 4
x=2
b
2x
2
+x
=1
2x
2
+x
= 20
0
x2 + x =
0
x ⋅ ( x + 1) =
x= 0 ∨ x + 1= 0
0 ∨ x=
−1
x=
c
2
10 x = 10
2
10 x = 101
x2 = 1
x = ±1
x
d
1
1
  =
 2  16
x
1 1
  = 
2 2
x=4
4
4.58
a
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 25 av 42
b
c
d
4.59
a
32 x − 3x =
0
0
(3 ) − 3 =
3 ⋅ ( 3 − 1) =
0
x 2
x
x
x
3x = 0 ∨ 3x − 1= 0
3x = 0 gir ingen løsninger siden 3x > 0 for alle x.
3x − 1 =0
3x = 1
lg 3x = lg1
x lg 3 = 0
x=0
b
102 x − 3 ⋅10 x =
0
(10 )
x 2
− 3 ⋅10 x =
0
10 x ⋅ (10 x − 3) =
0
10 x = 0 ∨ 10 x − 3 = 0
10 x = 0 gir ingen løsninger siden 10 x > 0 for alle x.
10 x − 3 =
0
10 x = 3
x lg10 = lg 3
x = lg 3
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 26 av 42
c
2 ⋅ 5 x − 52 x =
0
2 ⋅ 5x − ( 5x ) =
0
2
5x ⋅ ( 2 − 5x ) =
0
5x = 0 ∨ 2 − 5x = 0
5 x = 0 gir ingen løsninger siden 5 x > 0 for alle x.
2 − 5x =
0
5x = 2
x lg 5 = lg 2
x=
lg 2
lg 5
4.60
a
52 x + 5 x − 6 =
0
(5 )
x 2
+ 5x − 6 =
0
x
5 =
−1 ± 12 − 4 ⋅1 ⋅ ( −6 )
2 ⋅1
−1 ± 25
5x =
2
−1 ± 5
5x =
2
−1 + 5
−1 − 5
x
x
∨ 5=
5=
2
2
x
x
∨ 5 =
−3
5 =
2
5x = −3 gir ingen løsning.
5x = 2
lg 5 x = lg 2
x lg 5 = lg 2
x=
lg 2
lg 5
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 27 av 42
b
32 x − 2 ⋅ 3x − 3 =
0
(3 )
x 2
− 2 ⋅ 3x − 3 =
0
x
3 =
− ( −2 ) ±
( −2 )
2
− 4 ⋅1 ⋅ ( −3)
2 ⋅1
2 ± 16
2
2
±
4
3x =
2
2
+
4
2−4
3x=
∨ 3x=
2
2
x
x
3 =
3
∨ 3 =
−1
3x =
3x = −1 har ingen løsning.
3x = 3
3x = 31
x =1
4.61
a
3x + 5 = 9
3x +5 = 32
x+5 =
2
x = −3
b
5 x = 125
5 x = 53
c
x=3
43 x + 7 =
23
43 x = 16
43 x = 4 2
3x = 2
2
x=
3
2x
2 − 2x =
0
d
0
(2 ) − 2 =
2 ⋅ ( 2 − 1) =
0
x 2
x
x
2
2x = 0 ∨
2 x − 1= 0
2 x = 0 har ingen løsning.
2 x − 1 =0
2x = 1
2 x = 20
x=0
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 28 av 42
4.62
102 x = 4
a
lg102 x = lg 4
2 x lg10 = lg 22
2 x ⋅1 =2 lg 2
2 lg 2
x=
2
x = lg 2
b
c
10 x +3 = 1
10 x +3 = 100
x+3=
0
x = −3
2
5 x − 4 x +5 = 25
2
5 x − 4 x + 5 = 52
2
x2 − 4 x + 5 =
0
x2 − 4 x + 3 =
x=
− ( −4 ) ±
( −4 )
2
− 4 ⋅1 ⋅ 3
2 ⋅1
4±2
2
4+2
4−2
=
∨ =
x
x
2
2
=
∨ =
x 3
x 1
x=
d
32 x − 7 ⋅ 3x − 18 =
0
(3 )
x 2
0
− 7 ⋅ 3x − 18 =
x
3 =
− ( −7 ) ±
( −7 )
− 4 ⋅1 ⋅ ( −18 )
2
2 ⋅1
7 ± 121
2
7 ± 11
3x =
2
7 + 11
7 − 11
x
x
3=
∨ 3=
2
2
x
x
3 =
9
∨ 3 =
−2
3x =
3x = 9
3x = 32
x=2
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 29 av 42
4.63
10 x = 8
lg10 x = lg 8
x lg10 = lg 8
x ⋅1 =lg 8
=
x lg 8 ≈ 0,90
4.64
a
2 x = 17
lg 2 x = lg17
x lg 2 = lg17
x=
b
lg17
lg 2
lg17
lg 2
1, 23
x≈
0,30
12,3
x=
3
x = 4,1
x=
4.65
a
L = 100 − 90 ⋅ 0,90 x
55 = 100 − 90 ⋅ 0,90 x
−45 =
−90 ⋅ 0,90 x
90 ⋅ 0,90 x =
45
45
0,90 x =
90
x
0,90 = 0,5
b
0,90 x = 0,5
lg 0,90 x = lg 0,5
lg 0,5
x ⋅ lg 0,90 =
x=
lg 0,5
lg 0,90
Fisken er altså ca. 6,5 år gammel.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 30 av 42
4.66
Vi får likningen 10−0,13t = 0, 25 .
Vi løser likningen med CAS og bruker kommandoen Løsninger[ <Likning>, <Variabel>.
Det tar altså litt over 4,5 måneder før det er 0,25 mg igjen i kroppen.
4.67
a
( 5 − 3 )( 3
x
2x
− 4) =
0
x
5 − 3=
0
5 =3x
4 0
∨ 32 x −=
∨
(3 )
x 2
=4
lg 3x =
lg 5 ∨ 3x =
±2
lg 5 ∨ 3x =
2
x lg 3 =
∨ 3x =
−2
lg 5
x=
∨ x lg 3 =lg 2 ∨ Ingen løsning
lg 3
lg 5
lg 2
∨ x=
x=
lg 3
lg 3
b
32 x = 9 ⋅ 3x + 2
x
32=
32 ⋅ 3x + 2
32 x = 32+ x + 2
2x = 2 + x + 2
x=4
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 31 av 42
3 ⋅ 5 x =7 ⋅ 2 x
5x 7
=
2x 3
c
x
7
5
  =
3
2
5
7
x lg = lg
2
3
7
lg
x= 3
5
lg
2
lg 7 − lg 3
x=
lg 5 − lg 2
32 x − 2 ⋅ 3x
=0
3x + 2
d
(3 )
x 2
− 2 ⋅ 3x
x
= 0
3 +2
3 ⋅ ( 3x − 2 ) =
0
⋅ ( 3x + 2 )
x
3x = 0 ∨ 3x − 2 = 0
3x = 0 har ingen løsning.
3x − 2 =
0
3x = 2
x lg 3 = lg 2
lg 2
x=
lg 3
4.68
1000 x = 64
(10 )
3 x
= 82
103 x = 82
lg103 x = lg 82
3 x lg10 = 2 lg 8
3 x ⋅1 =2 lg 8
2 lg 8
3
2 ⋅ 0,90
x≈
3
x= 2 ⋅ 0,3
x=
x = 0, 6
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 32 av 42
4.69
3 ⋅ 2 x −1= 17 a 2 + b 2
a
17
3
17
lg 2 x −1 = lg
3
( x − 1) lg 2 =lg17 − lg 3
2 x −1 =
lg17 − lg 3
x −1 =
lg 2
lg17 − lg 3
x
=
+1
lg 2
lg17 − lg 3 lg 2
x
=
+
lg 2
lg 2
lg17 − lg 3 + lg 2
x=
lg 2
b
lg17 − lg 3 + lg 2
lg 2
1, 23 − 0, 48 + 0,30
x≈
0,30
1, 05
x=
0,30
10,5
x=
3
x = 3,5
x=
4.70
I= I 0 ⋅ 0,85 x gir oss følgende likning for halvering av intensiteten:
0,5 = 0,85 x
Vi løser likningen med CAS og bruker kommandoen Løs[ <Likning med x> ].
Det vil si at strålingen må gå 4,27 cm inn i betongen.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 33 av 42
4.71
T (t ) =
73, 4 ⋅ 0,978t + 20
Vi finner T (0) , temperaturen idet termosen fylles.
T (0) =
73, 4 ⋅ 0,9780 + 20
= 73, 4 ⋅1 + 20
= 93, 4
Når denne temperaturen er halvert, holder safta
93, 4 °C
= 46, 7 °C .
2
Vi får dermed denne likningen:
46, 7 =
73, 4 ⋅ 0,978t + 20
Det vil altså ta ca. 45,5 timer før temperaturen er halvert.
4.72
52 x − 5x+1 + 6 =
0
a
( 5 ) − ( 5 ⋅ 5 ) + 6 =0
( 5 ) − 5 ⋅ 5 + 6 =0
x 2
x
x 2
1
x
x
5 =
− ( −5 ) ±
( −5)
2
− 4 ⋅1 ⋅ 6
2 ⋅1
5 ±1
2
5 +1
5 −1
5 x=
∨ 5 x=
2
2
x
x
5= 3
∨ 5= 2
x lg 5 = lg 3 ∨ x lg 5 = lg 2
5x =
x
=
© Aschehoug
lg 3
lg 5
x
∨ =
lg 2
lg 5
www.lokus.no
Side 34 av 42
3x + 1 = 2 ⋅ 3− x
2
3x +=
1 x ⋅3x
3
b
2
(3 ) + 3 =
( 3 ) + 3 − 2 =0
x 2
x 2
x
x
x
3 =
−1 ± 12 − 4 ⋅1 ⋅ ( −2 )
2 ⋅1
−1 ± 3
2
−1 + 3
−1 − 3
x
x
∨ 3=
3=
2
2
x
x
∨ 3 =
−2
3 =
1
3x =
c
3x = 1
x lg 3 = lg1
0
x=
lg 3
x=0
10 x + 4 = 12 ⋅10− x
12
10 x +=
4
⋅10 x
x
10
(10 ) + 4 ⋅10 =12
(10 ) + 4 ⋅10 − 12 =0
x 2
x 2
x
x
x
10 =
−4 ± 42 − 4 ⋅1 ⋅ ( −12 )
2 ⋅1
−4 ± 8
2
−4 + 8
−4 − 8
x
x
10=
∨ 10=
2
2
x
x
10 =
2
∨ 10 =
−6
10 x =
10 x = −6 har ingen løsning.
10 x = 2
x lg10 = lg 2
x ⋅1 =lg 2
x = lg 2
4.73
a
N (t ) =
14 350 ⋅1,05t
© Aschehoug
t ∈ [ 0 , 5]
www.lokus.no
Side 35 av 42
b
Vi får likningen 14 350 ⋅1, 05t =
17 000 .
Det vil altså ta ca. 3,5 år.
4.74
a =
P(t ) 20 000 ⋅ 0,95t
b
Vi får likningen 20 000 ⋅ 0,95t =
14 000 . Vi løser likningen med CAS og bruker kommandoen
Løsninger[ <Likning>, <Variabel>.
Det vil altså ta rett under 7 år, altså ca. år 2021.
4.75
a
Tallet forteller at hun har 25 000 kr på konto ved oppstart.
b
Renten finner vi ved å se på vekstfaktor. Renten blir 3, 75 % per år.
c
Vi får likningen 25 000 ⋅1, 0375 x =
30 000 . Vi løser likningen med CAS og bruker kommandoen
Løs[ <Likning med x> ]
Det vil ta 5 år siden renten legges til ved slutten av året.
4.76
a
Verdien avtar 15 % i året, noe som tilsvarer en vekstfaktor på 0,85. Vi får uttrykket
=
H (t ) 450 000 ⋅ 0,85t
b
Verdien avtar 10 % i året, noe som tilsvarer en vekstfaktor på 0,90. Vi får uttrykket
=
O(t ) 350 000 ⋅ 0,90t
c
Vi setter de to uttrykkene lik hverandre.
H (t ) = O(t )
450 000 ⋅ 0,85t= 350 000 ⋅ 0,90t
Vi løser likningen med CAS.
Det vil altså ta 4,4 år før bilene er like mye verdt, altså i år 2018.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 36 av 42
4.77
a
b
c
4.78
a
Det ble satt ut 40 dyr.
b
Vi får likningen 40 ⋅1,15t =
80 . Vi løser likningen med CAS.
Det vil ta nesten 5 år før det er 80 dyr på øya.
4.79
a
Verdien vil minke med 20 % per år, noe som gir en vekstfaktor på 0,80.
N (t ) 35 000 ⋅ 0,80t
=
b
17 500 . Løser likningen med CAS.
Det vil ta litt over 3 år før verdien er halvert til 17 500 kr, altså i år 2017.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 37 av 42
4.80
Vi finner først 60 % av kjøpesummen på 25 000 kr:
25 000 ⋅ 0.60 =
15 000 kr
Verdien vil minke med 12 % per år, noe som gir en vekstfaktor på 0,88.
15 000 . Vi løser likningen med CAS.
Det vil ta 4 år.
4.81
Vi får likningen 5 ⋅1, 095t =
30 . Vi løser likngen med CAS.
Det vil si at det er trygt å øke dosen i 19 dager.
4.82
Randis aksjefond vil ha utviklingen
R(t ) 150 000 ⋅1, 04t .
=
Joars bil vil ha utviklingen
=
J (t ) 450 000 ⋅ 0,80t .
Vi setter uttrykkene lik hverandre og løser likningen i CAS.
Det vil ta litt over 4 år før verdiene er like.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 38 av 42
Kapitteltest
Del 1 – Uten hjelpemidler
Oppgave 1
a
lg105 = 5
b
103lg 2 = (10lg 2 )
= ( 2)
3
3
=8
c
lg1003 = lg (102 )
3
= lg106
=6
Oppgave 2
a
lg 25 = 5lg 2
≈ 5 ⋅ 0,30
= 1,5
b
c
5
lg= lg 5 − lg 2
2
≈ 0, 70 − 0,30
= 0, 40
lg=
35 lg ( 5 ⋅ 7 )
= lg 5 + lg 7
≈ 0, 70 + 0,85
= 1,55
Oppgave 3
a
2
lg x3 + 3lg x=
3lg x + 3 ⋅ 2 lg x
= 3lg x + 6 lg x
= 9 lg x
b
2
a
lg ( ab ) − lg  3 = lg a 2b 2 − ( lg a − lg b3 )
b 
=
( lg a
2
+ lg b 2 ) − lg a + lg b3
= 2 lg a + 2 lg b − lg a + 3lg b
= lg a + 5lg b
c
lg ( x ⋅10 x ) + lg104 x = lg x + lg10 x + lg104 x
= lg x + x + 4 x
= 5 x + lg x
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 39 av 42
Oppgave 4
1
= 0, 25
4
4−1=
1
=lg1 − lg10 =0 − 1 =−1
10
lg10 = 1
lg
1
1
= = 0,5
lg 2
10
2
Vi får dermed denne stigende rekkefølgen:
10− lg 2=
lg
1
10
4−1
10− lg 2
lg10
Oppgave 5
a
3lg x + 2 =
11
3lg x = 9
lg x = 3
10lg x = 103
x = 1000
b
lg x 2 + lg x − 3 =
0
lg ( x 2 ⋅ x ) =
3
lg x3 = 3
3
10lg x = 103
x3 = 1000
3
c
x3 = 3 1000
x = 10
2
( lg x ) + 2 lg x − 3 =0
lg x =
−2 ± 22 − 4 ⋅1 ⋅ ( −3)
2 ⋅1
−2 ± 4
2
−2 + 4
−2 − 4
lg x=
∨ lg x=
2
2
lg x =
1
∨ lg x =
−3
lg x =
10lg x= 101
x = 10
© Aschehoug
∨ 10lg x= 10−3
1
1
∨ x=
=
= 0, 001
3
10 1000
www.lokus.no
Side 40 av 42
Oppgave 6
a
2 x = 16
2 x = 24
x=4
b
1
8
1
21− x = 3
2
1− x
2 = 2−3
1 − x =−3
− x =−4
x=4
21− x =
Del 2 – Med hjelpemidler
Oppgave 7
a
Et verditap på 7,5 % i året tilsvarer en vekstfaktor på 0,925. Vi får følgende likning:
225 000 ⋅ 0,925t =
150 000
b
Det vil ta 5,2 år.
Oppgave 8
a
5000 ⋅ v x= 8000 ⋅ 0,95 x
5000 ⋅ v x= 8000 ⋅ 0,95 x : 5000
8000
⋅ 0,95 x
5000
x
v= 1, 6 ⋅ 0,95 x
=
vx
b
x
v=
1, 6 ⋅ 0,95 x
Vi setter inn x = 4 som skal være en løsning, inn i likningen:
4
v=
1, 6 ⋅ 0,954
Vi løser likningen i CAS med kommandoen Løsninger[ <Likning>, <Variabel> ].
v kan altså være −1, 07 eller 1,07.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 41 av 42
Oppgave 9
a
M (=
t ) M 0 ⋅10− kt
Vi setter inn halveringstiden og halvering i uttrykket og får denne likningen:
0,5 = 10− k ⋅5568
Vi løser likningen i CAS med kommandoen Løsninger[ <Likning>, <Variabel> ].
=
k 0, 0000540643 ≈ 5, 41 ⋅10−5
b
Vi får følgende likning når vi setter inn hvor mye som er igjen av stoffet og konstanten k:
(
)
− 5,41⋅10−5 t
0, 763 = 10
Vi løser likningen i CAS.
Det vil si at båten var ca. 2171 år gammel.
© Aschehoug
www.lokus.no
Side 42 av 42

S1 kapittel 4 Logaritmer Løsninger til oppgavene i boka

Transcription

Similar documents

R1 kapittel 7 Sannsynlighet Løsninger til oppgavene i boka Kapitteltest

Prøve kapittel 2

Grip teksten NORSK Vg2

Guidet tur til Nummer 8-10 lærerressurs

Tekstutdrag Til tittelen: Mumiens mysterium

Tekstutdrag Til tittelen: Ensomhetens grunn

Oppgaver til kapittel 10 og 11

UKEPLAN FOR 2.trinn, UKE 15 Mål