Formler i matte - 10 klasse

SAMMENDRAG
OG FORMLER
Nye Mega 10A og 10B
1
Sammendrag og formler – Nye Mega 10A
Kapittel A
GEOMETRI
Oversikt over vinkelkonstruksjoner
90
135
120
60
45
30
67 12
75
Den pytagoreiske læresetningen
REGEL
I en rettvinklet trekant er arealet av kvadratet på hypotenusen lik
summen av arealene av kvadratene på katetene.
Syns du dette virker «gresk»? Kanskje det blir enklere hvis vi tegner en rettvinklet trekant og skriver læresetningen på en litt kortere form
C
A
a
Katet
b
C
c
B
A
Hy
po
ten
us
Katet
B
I en rettvinklet trekant med hypotenusen a og
katetene b og c har vi at a2 = b2 + c2
Ofte sier vi dette enda enklere:
«I en rettvinklet trekant har vi at hypotenusen i andre er lik kateten i andre pluss
kateten i andre.»
(hypotenus)2 = (katet)2 + (katet)2
2
Ligninger som inneholder x2
Ligningen x2 = 9 har to løsninger x = 3 og x = –3 fordi både 32 og (–3)2 er 9.
Når vi regner med den pytagoreiske læresetningen, er svaret vi er ute etter, lengden
av et linjestykke. Derfor benytter vi da bare den positive løsningen x = 3.
EKSEMPEL
Oppgave: Regn ut lengden av a i trekanten.
a=?
b = 4 cm
c = 7 cm
a er hypotenus.
Da har vi ifølge «pytagoras»:
a2 = b2 + c2
a2 = 42 + 72
a2 = 16 + 49
a2 = 65
a = √65 ≈ 8,1
a ≈ 8 cm
Trekant med vinkler på 30°, 60° og 90°
REGEL
I en trekant der vinklene er 30°, 60° og 90°, er hypotenusen
alltid dobbelt så lang som den minste kateten.
Tangeringspunkt
Tangent
Tangent
En linje som har bare ett punkt felles med en sirkel,
kalles en tangent. Punktet som er felles for sirkelen og
tangenten, kalles tangeringspunktet. Tangenten står
normalt på radien i tangeringspunktet.
3
Arealet av en sirkelsektor
REGEL
Arealet av en sirkelsektor kan vi finne med formelen
r
n°
π r 2 n°
A = _______
360°
Når er to vinkler like store?
u
REGEL
Toppvinkler er par vis like store.
∠u = ∠v
v
REGEL
De samsvarende vinklene vi får når
to parallelle linjer skjæres av en
tredje linje, er like store.
x
y
∠x = ∠y
REGEL
Sentralvinkel
el
ink
v
i
r
ife
Per
Sentralvinkelen er dobbelt så stor som
periferivinkelen over samme bue
En vinkle med toppunkt i
senrum av en sirkel kalles en
sentralvinkel. En vinkel med
toppunkt på sirkelperiferien
kalles periferivinkel.
4
Vi regner ut sider i formlike trekanter
ved å gå veien om målestokk
EKSEMPEL
Oppgave: Regn ut lengden av AB.
F
C
4,5 cm
3,0 cm
A
B
x
Δ ABC ~ Δ DEF
D
7,5 cm
E
AB = x cm
_3,0
___
Målestokken M = 4,5 ≈ 0,67
x = M · DE
x ≈ 0,67 · 7,5
x ≈ 5,0
AB ≈ 5,0 cm
Tips!
Begynn med en
kjent side i den
trekanten der x er,
når du skal regne
ut målestokken.
Vi regner ut sider i formlike trekanter
ved å sette opp en proporsjon
EKSEMPEL
Oppgave: Regn ut lengden av AB.
F
C
4,5 cm
3,0 cm
A
B
x
Δ ABC ~ Δ DEF
D
7,5 cm
E
AB = x cm
Fordi trekantene er formlike, har vi:
AB : DE = AC : DF
x : 7,5 = 3,0 : 4,5
Produktet av ytterleddene = produktet av innerleddene
4,5 · x
4,5x
x
AB
=
=
=
=
7,5 · 3,0
22,5
5,0
5,0 cm
5
Sammendrag og formler – Nye Mega 10A
Kapittel B
TALL OG ALGEBRA
REGEL
Når vi skal løse opp en parentes med plusstegn foran,
kan vi ta bort parentsen og trekke sammen leddene.
a + (a + b) = a + a + b = 2a + b
REGEL
Når vi skal løse opp en parentes med minustegn foran, kan vi
ta bort parentesen og samtidig skifte fortegn på alle leddene
inne i parentesen. Deretter kan vi trekke sammen leddene.
3a – (a + b) = 3a – a – b = 2a – b
3a – (a – b) = 3a – a + b = 2a + b
3a – (–a + b) = 3a + a – b = 4a – b
REGEL
Når vi multipliserer et tall eller en variabel (bokstav) med et
uttrykk i en parentes, multipliserer vi tallet eller variabelen
med hvert ledd i parentesen.
Regn ut 7(3a – 4b).
Vi får da:
7(3a – 4b) = 7 · 3a – 7 · 4b = 21a – 28b
REGEL
Vi multipliserer
to parenteser ved å
multiplisere hvert
ledd i den ene
parentesen med
hvert ledd i den
andre parentesen.
EKSEMPEL
EKSEMPEL
Regn ut
(x + 2)(x + 3)=
(x + 2)2 kan vi
regne ut slik:
Vi regner slik:
(x + 2)(x + 3)=
x·x+x·3+2·x+2·3=
x² + 3x + 2x + 6 =
x² + 5x + 6
(x + 2)2 =
(x + 2)(x + 2) =
x·x+x·2+2·x+2·2=
x2 + 2x + 2x + 4 =
x2 + 4x + 4
6
BRØK
Å addere og subtrahere brøker med samme nevner
EKSEMPEL
Å trekke sammen tellerne og beholde nevneren.
_2_ + _3_ = _2+3
____ = _5_
7 7
7
7
_7_ + _4_ – _1_ = _7+4–1
_______ = 10
__
9 9 9
9
9
Utvide brøker, forkorte brøker
REGEL
Vi utvider en brøk ved å multiplisere telleren og nevneren
med det samme tallet. Da forandrer ikke brøken verdi.
EKSEMPEL
_ med 2.
Utvid brøken 3
5
Vi får
3_ = 3____
· 2 = __
6
5
5 · 2 10
3
Skriv tre brøker som har samme verdi som _ .
5
3_ = 3____
· 2 = __
6 = _6____
· 3 = 18
· 4 = ___
72
__ = 18
_____
5
5 · 2 10 10 · 3 30 30 · 4 120
3_ = __
6 = 18
72
__ = ___
5 10 30 120
REGEL
Vi forkorter en brøk ved å dividere telleren og nevneren
med det samme tallet. Da forandrer ikke brøken verdi.
EKSEMPEL
10
10 : 2 = _5
__ = _____
14 14 : 2
7
Vi forkorter med 2.
5 = _____
5 : 5 = _1
__
10 10 : 5
2
Vi forkorter med 5.
7
Å addere og subtrahere brøker med ulike nevnere
EKSEMPEL
_ + 1
_?
Hvor mye er 1
2
3
Vi bruker det vi har lært om å utvide brøkene.
Det kan vi benytte for å få den samme nevneren på brøkene.
Da spør vi: «Hvilket tall er det minste tallet som er
delelig med både 2 og 3?» Du vet at svaret er 6.
Vi sier da at 6 er minste felles multiplum for 2 og 3.
Oppgaven løser vi slik:
1_ + 1_ = ____
1 · 3 + ____
1 · 2 = 3_ + 2_ = 5_
2
3
2·3
3·2
6
6
6
Vi utvider brøkene slik at de får den samme nevneren. Vi sier at 6 er fellesnevneren. Noen ganger forkorter vi skrivemåten for fellesnevneren til FN.
REGEL
Når vi skal trekke sammen brøker med ulike nevnere, utvider vi
alle brøkene slik at de får felles nevner (like nevnere).
Å addere og subtrahere brøker som inneholder bokstaver
Når vi har lik nevner i alle brøkene
EKSEMPEL
_5_ + _3_ = _5__+__3_ = _8_
a a
a
a
Vi adderer tellerne og
beholder nevneren.
2x
__ + _3_y + 8x
__ + _y_ =
5
5
5 5
y_ 10x
2x__+____
3y__+__8x
+__
+ 4y
___
____
= _________
5
5
8
Multiplikasjon av brøker
REGEL
Vi multipliserer to brøker med hverandre ved å
multiplisere teller med teller og nevner med nevner.
EKSEMPEL
2 5·2 10
5 · __ = ____ = ___
3
3
3
EKSEMPEL
eller
2 5 2 5 ·2 10
5 · __ = __ · __ = ____ = ___
3 1 3 1· 3 3
6
___
11
3
6 ·3 18
· __ = ______ = ___
7 11· 7 77
Divisjon av brøker
REGEL
Når vi skal dividere med en brøk,
multipliserer vi med den omvendte brøken.
EKSEMPEL
5_ ___
5
_5_ : 2 = ___
=
6
6 · 2 12
eller
·1_ ___
5
_5_ : 2 = _5_ : _2_ = _5_ · _1_ = _5__
=
6
6 1 6 2 6 · 2 12
EKSEMPEL
1
_5_ : _2_ = _5_ · _3_ = 15
___ = 1 ___
7 3 7 2 14
14
9
Sammendrag og formler – Nye Mega 10A
Kapittel C
ANVENDT MATEMATIKK
Vei – fart – tid
HVOR LANGT?
EKSEMPEL
Du skal finne ut: Hvor langt?
Du skal finne s.
Hold fingeren over s.
Da står det v · t i formelen.
Hvor langt = fart · tid
s=v·t
Eksempel
Stine er på tur med farfaren sin. De kjører med en
gjennomsnittsfart på 60 km/t (km/h). Turen tar 4 timer.
Hvor langt har de kjørt?
Du skal finne s.
s=v·t
s = 60 · 4
s = 240
De har kjørt 240 km.
10
HVOR FORT?
EKSEMPEL
Du skal finne ut: Hvor fort?
Du skal finne v.
Hold fingeren over v.
Da står det s : t i formelen.
Hvor fort = strekning : tid
v=s:t
Eksempel
Eivind kjører turbuss.
En dag kjører han 165 km
på 3 timer. Hvor stor har
gjennomsnittsfarten vært?
Du skal finne v.
v=s:t
v = 165 : 3
v = 55
Gjennomsnittsfarten har vært på 55 km/t (km/h).
HVOR LANG TID?
EKSEMPEL
Du skal finne ut: Hvor lang tid?
Du skal finne t.
Hold fingeren over t.
Da står det s : v i formelen.
Hvor lang tid = strekning : fart
t=s:v
Eksempel
Hvor lang tid bruker Lise på
å kjøre 225 km dersom
gjennomsnittsfarten
er 45 km/t (km/h)?
Du skal finne t.
t=s:v
t = 225 : 45
t=5
Hun bruker 5 t.
11
Å regne med prosent
EKSEMPEL
Hege ønsker seg nye støvletter. Før jul koster støvlettene 799 kr.
Etter jul selges de med 40 % rabatt. Hvor mye koster støvlettene etter jul?
Prosent betyr hundredel.
Du kan regne slik:
Støvlettene koster
799 kr · 40
_____________
– rabatt
100
319,60 kr
Pris på salg
479,40 kr
799,00 kr
Etter jul koster støvlettene 479,40 kr
EKSEMPEL
Inger-Johanne skal kjøpe seg gitar. Gitaren koster 2 700 kr til ordinær pris. Inger-Johanne
kjøper gitaren kontant og betaler 2 295 kr. Hvor mange prosent avslag får hun?
Du kan regne slik:
Gitaren koster
2 700 kr
– Hun betalte
2 295 kr
Avslag
Avslag i prosent:
405 kr
405 kr
_____________
2 700 kr = 0,15 = 15 %
Inger-Johanne får 15 % i avslag
EKSEMPEL
Hesten Cora selges med 20 % rabatt fordi den har vintereksem. Da selges den for 21 000 kr.
Hva ville hesten Cora ha kostet dersom den ikke hadde hatt vintereksem?
Du kan regne slik:
Cora koster opprinnelig 100 %, og den selges med et avslag
på 20 %. Salgsprisen 21 000 kr svarer til 80 % av opprinnelig pris.
1%=
21 000 kr
_____________
= 262,50 kr
80
100 % = 262,50 kr · 100 = 26 250 kr
Hesten Cora ville ha kostet 26 250 kr
12
Å gjøre om tidsenheter
2,40 timer = 2 timer + 0,40 timer
Forkortet skriver vi dette slik
2,40 t = 2t + 0,40 t
0,40 t = 0,40 · 60 min = 24 min
Da er:
2,40 t = 2 t + 0,40 · 60 min = 2 t + 24 min
Dette skriver vi slik:
2,40 t = 2 t + 24 min
Å regne med promille
EKSEMPEL
En lysestake veier 420 g. Den inneholder 830 ‰ rent sølv.
Hvor mange gram rent sølv inneholder lysestaken?
Promille betyr tusendel, og vi skriver promille slik: ‰.
g · 830
_420
____________
= 348 g
1 000
Lysestaken inneholder 348 g rent sølv
Å regne med valuta
EKSEMPEL
Joachim er på ferie i Spania.
Han skal kjøpe seg nye solbriller
som koster 18,50 euro (EUR).
Hvor mye er dette i norske kroner (NOK)?
Du kan regne slik:
1 EUR tilsvarer 7,74 NOK.
7,74 ·18,50 = 143,19 ≈ 143
18,50 EUR tilsvarer 143 NOK
Solbrillene koster 143 NOK.
Du skal finne NOK.
NOK = kurs · valuta
13
EKSEMPEL
Oda er på ferie i Sverige. Hun skal kjøpe seg ei bukse som koster
360 svenske kroner (SEK). Hvor mye er dette i norske kroner (NOK)?
Du kan regne slik:
100 SEK tilsvarer 83,58 NOK.
1 SEK tilsvarer 0,84 NOK.
0,84· 360 = 302,40
360 SEK tilsvarer 302,40 NOK
Buksa koster 302,40 NOK.
EKSEMPEL
Jørgen skal på ferie til Hellas. Han har spart
2 400 kr som han vil veksle i euro (EUR).
Hvor mye får Jørgen i euro?
Du kan regne slik:
1 EUR tilsvarer 7,74 NOK.
2400 : 7,74 = 310,08 ≈ 310
2 400 NOK tilsvarer 310 EUR.
Jørgen får 310 EUR.
Du skal finne valuta.
NOK
valuta = _______
kurs
EKSEMPEL
Mia er på shopping i London. Hun vil kjøpe seg et par sko som koster
30 engelske pund (GBP). Hun vil betale med euro (EUR).
Hva blir prisen i euro?
Du kan regne slik:
1 GBP tilsvarer 11,12 NOK.
30 · 11,12 = 333,60
30 GBP tilsvarer 333,60 NOK.
1 EUR tilsvarer 7,74 NOK.
333,60 : 7,74 = 43,11≈43
30 GBP tilsvarer 43 EUR.
Prisen på skoene er 43 EUR.
14
Sammendrag og formler – Nye Mega 10B
Kapittel D
LIGNINGER
Ligninger med en ukjent
REGEL
Vi kan addere (legge til) eller subtrahere (trekke fra) like mye
på hver side av likhetstegnet i en ligning uten at likheten forsvinner.
I praksis gjør vi dette ved å flytte ledd fra den ene siden av ligningen
til den andre siden, samtidig som vi lar leddet skifte fortegn.
REGEL
Vi kan multiplisere begge sidene av en ligning
med det samme tallet uten at likheten forandres.
EKSEMPEL
2x = 10
2x = 10
__
__
2
2
x=5
EKSEMPEL
_x = 5
2
_x = 5 | ·2
2
Vi multipliserer
ligningen med 2.
1
_x__·__2_ = 5 · 2
2
1
Vi forkorter.
x = 10
15
Å SETTE PRØVE PÅ SVARET
Å sette prøve på svaret vil si at vi setter inn den verdien vi
fant for x i den opprinnelig ligningen, for å se om verdien av
ligningens venstre side er den samme som verdien av
ligningens høyre side.
Tine løste ligningen
5x + 12 = 42 + 2x
og fant svaret
x = 10.
Å løse en ligning er jo det samme som å finne den verdien
av x som gjør ligningens venstre side like ligningens høyre
side. Når vi skal sette prøve på ligninger, gjør vi det slik:
For å finne ut om
x = 10 er rett løsning
av ligningen, satte
hun prøve på svaret,
slik vi har vist til
høyre.
Venstre side:
5x + 12 =
5 · 10 + 12 =
50 + 12 = 62
Høyre side:
42 + 2x =
42 + 2 · 10 =
42 + 20 = 62
V.S. = H.S.
x = 10 er da løsningen på ligningen.
Ligninger med to ukjente
A GRAFISK LØSNING
EKSEMPEL
Løs ligningssettet
y=x+3
y = –2x + 9
I
II
Løsning:
Legg merke til at begge ligningene her er skrevet på funksjonsform.
Vi lager verditabell:
I y=x+3
x
x+3
y
1
1+3
4
– 4 – 4 + 3 –1
5
5+3
8
II y = – 2x + 9
(x,y)
(1,4)
(– 4, – 1)
(5,8)
x
– 2x + 9 y
(x,y)
2
–2.2+9 5
(2,5)
–1 –2 . (–1)+ 9 11 (–1,11)
4
– 2.4 + 9 1
(4,1)
II y
10
I
8
6
(2,5)
4
2
x
– 12 – 10 – 8 – 6
–4 –2
–2
2
4
6
8
10
–4
–6
Løsningen av ligningssettet er x = 2, y = 5.
16
B INNSETTINGSMETODEN
EKSEMPEL
Løs ligningssettet
I
x+y =5
II
x–y =1
Løsning:
I
II
Husk at y = 5 – x
Vi har at
x+y =5
y =5–x
x–y
x – (5 – x )
x–5+x
x+x
2x
x
=
=
=
=
=
=
1
1
1
1+5
6
3
y =5–x
y =5–3
y=2
Vi løser ligning I
med hensyn på y,
det vil si at vi får y
alene på venstre
side.
Vi setter uttrykket vi fant for
y, inn i ligning II
og finner x av
ligning II:
x=3
Vi går tilbake til
ligning I og setter
inn x = 3.
x = 3 og y = 2 er løsningen av ligningssettet.
17
Sammendrag og formler – Nye Mega 10B
Kapittel E
FUNKSJONER
Lineære funksjoner
REGEL
En funkjson som kan skrives på formen y = ax, går alltid gjennom origo.
Funksjoner som kan skrives
y = a1x + b1
y = a1x + b2
y = a1x + b3
har parallelle grafer. De skjærer andreaksen i b1, b2 osv.
I funksjonsuttrykket
y = ax + b
kalles ofte a stigningstallet.
REGEL
Funksjoner som kan skrives på formen
y = ax + b
der a og b er tall, kaller vi lineære funksjoner.
Grafen til disse funksjonene er alltid rette linjer.
18
Kvadratiske funksjoner
EKSEMPEL
Framstill grafen til funksjonen y = x2.
Vi lager verditabell.
x
–5
–4
–3
–2
–1
0
1
2
3
4
5
y
25
16
9
4
1
0
1
4
9
16
25
y
24
22
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
x
–8
–6
–4
–2
0
2
4
6
8
Proporsjonale størrelser
REGEL
To størrelser som øker eller minker i samme forhold,
kaller vi proporsjonale størrelser.
To størrelser som er proporsjonale, kan alltid skrives på formen
y=k.x
der k kan være et hvilket som helst tall.
Grafen til proporsjonale størrelser går alltid gjennom origo.
k kaller vi proporsjonalitetskonstanten.
19
Sammendrag og formler – Nye Mega 10B
Kapittel F
AREAL OG OMKRETS
I det følgende benytter vi O for omkrets og A for areal.
Kvadrat
O = a + a + a + a = 4a
A = a · a = a2
a
a
Rektangel
O = l + b + l + b = 2l + 2b
A = l · b = lb
b
l
Parallellogram
b
h
O = l + b + l + b = 2l + 2b
A=l·h
l
Trekant
h
g·h
2
A=
–––––––
A=
––––––––––––––
g
Trapes
b
h
(a + b)h
2
a
Sirkel
d
r
O = 3,14 · d = πd
eller 2πr
A = πr2
Når vi skal regne med måltall
som er avrundede tall, skal
svaret ha så mange gjeldende
siffer som det er gjeldende
siffer i det måltallet som har
færrest gjeldende siffer.
20
ROMGEOMETRI
Volum av et prisme
REGEL
h
b
l
s
V=l·b·h
Volumet av en terning er:
V = s · s · s = s3
s
s
Volumet V av et rett, firkantet prisme er:
REGEL
h
G
V=G·h
h
l
Volumet av et rett prisme kan vi
regne ut ved å multiplisere arealet
av grunnflaten med høyden i prismet.
b
Hvis vi har et rett, firkantet prisme,
er G = l · b
Da er V = l · b · h
Overflaten av et prisme
EKSEMPEL
Regn ut overflaten av et rett, firkantet prisme med disse målene:
Per regnet slik:
Overflaten er:
5,0 cm · 4,0 cm · 2 = 40 cm2
4,0 cm · 3,0 cm · 2 = 24 cm2
5,0 cm · 3,0 cm · 2 = 30 cm2
Overflaten = 94 cm2
3,0 cm
4,0 cm
5,0 cm
Nina regnet slik:
Jeg bruker formelen for overflaten av et rett, firkantet prisme.
Overflaten = 2lb + 2lh + 2bh
I dette tilfellet er l = 5,0 cm, b = 4,0 cm, h = 3,0 cm
Jeg får da:
Overflaten = 2 · 5,0 cm · 4,0 cm + 2 · 5,0 cm · 3,0 cm + 2 · 4,0 cm · 3,0 cm
= 40 cm2 + 30 cm2 + 24 cm2 = 94 cm2
21
Volum av en sylinder
REGEL
h
Volumet av en sylinder finner vi ved multiplisere
arealet av grunnflaten i sylinderen med høyden.
V=G·h
G
h
Hvis vi kjenner sylinderens radius, r, får vi
V=
π r2h
r
Overflaten av en sylinder
REGEL
Overflaten av en sylinder = 2π r2 + 2π rh
EKSEMPEL
Regn ut overflaten av sylinderen:
Overflaten = 2π r2 + 2π rh
h = 10,0 cm
= 2 · 3,14 · 5,0 cm · 5,0 cm + 2 · 3,14 · 5,0 cm · 10,0 cm
= 157 cm2 + 314 cm 2
= 471 cm2
r = 5,0 cm
22
Volum av kjegler
Volumet av en rett kjegle er lik en tredel av volumet
av en rett sylinder med samme grunnflate.
V=
G
·h
_____
3
eller V =
π__________
· r2 · h
3
Overflate av kjegler
A =
π r 2 + π rs
s
π er grunnflaten, og i π rs
r2
er s sidekanten der s2 = r2 + h2.
r
Volumet av kuler
Formelen for volumet av en kule er
V=
4
· π · r3
___________
3
r
der r er radien til kula.
Overflaten av kuler
Formelen for overflaten av en kule er
A = 4 · π · r2
der r er radien til kula.
23
Massetetthet
REGEL
Hvis vi kaller
massen m
volumet V
massetettheten d (densiteten),
har vi:
m=d·V
massen = massetettheten · volumet
24