Aggregation von Kredit- und Marktrisiko

Transcription

Number 15
Working Paper Series by the University of Applied Sciences of bfi Vienna
Aggregation von
Kredit- und Marktrisiko
Mai 2005
Christian Cech
Fachhochschule des bfi Wien
Michael Jeckle
Fachhochschule des bfi Wien
in cooperation with
Bank Austria Creditanstalt
Sponsored by Austrian Research Promotion Agency under the
programme
2
University of Applied Sciences bfi Vienna
ABSTRACT
In dieser Arbeit werden die unterschiedlichen in der akademischen Literatur
vorgeschlagenen Methoden der Risikoaggregation von Kredit- und
Marktrisiko vorgestellt. Diese können grob in "Bottom-Up" und "Top-Down"
Ansätze eingeteilt werden. "Bottom-Up" Ansätze lassen detailliertere
Analysen zu, bringen jedoch einen weitaus größeren Arbeitsaufwand mit
sich. "Top-Down" Ansätze gehen von aggregierten Daten, nämlich
Gewinn/Verlustverteilung für das Kreditrisiko einerseits und das Marktrisiko
anderseits aus. In der Arbeit wird detailliert auf die Umsetzung von "TopDown" Ansätzen bei Verwendung von elliptischen Copulas (Normal Copula
und Student t-Copulas) eingegangen. Abschließend wird skizziert, wie aus
bankinternen Daten zuerst die Marginalverteilungen von Kredit- und
Marktrisiko geschätzt und anschließend die Abhängigkeitsstruktur modelliert
werden kann.
This paper presents different methods of risk aggregation of credit and
market risk suggested in the academic literature dealing with this topic.
These methods can roughly be categorized in bottom-up and top-down
approaches. Bottom-up approaches can be used for detailed analyses, but
entail much more work. Top-down approaches use aggregate data, namely
profit and loss distribution for credit risk on the one hand and for market risk
on the other. This paper analyzes in detail the implementation of top-down
approaches using elliptical copulas (normal copula and Student t-copulas).
In conclusion, it outlines how the marginal distribution of credit and market
risk can be assessed using internal bank data and how the dependence
structure can subsequently be modelled.
1. Einleitung.................................................................................................................4
2. Herausforderungen bei der Aggregation von Kredit- und Marktrisiko......................6
3. "Bottom-up" Ansätze .............................................................................................10
4. "Top-down" Ansätze ..............................................................................................12
4.1. Multifaktorielle Modelle ...................................................................................12
4.2. Copula Modelle ...............................................................................................14
4.3. Umsetzung eines Copula-Ansatzes ................................................................21
5. Zusammenfassung................................................................................................27
Ausgewählte Literatur................................................................................................28
Working Paper Series No.15
3
1. Einleitung
Im Bankbereich kam es in den letzten Jahren zu tiefgreifenden Veränderungen der
Risikomessung und -steuerung. Parallel zum Diskussionsprozess rund um die neuen
Eigenmittelrichtlinien (Basel II) gab es in Banken verstärkte Anstrengungen, die
Risikomessung und das Risikomanagement zu optimieren. Die internen Systeme von
vielen Banken übertreffen bereits heute die von Basel II geforderten aufsichtlichen
Mindeststandards. Insbesondere wurde die Wichtigkeit von Diversifikationseffekten
innerhalb einer Risikoart erkannt und es wurde begonnen, neben den Marktportfolios
(Portfolio der Positionen im Handelsbuch) auch die Kreditportfolios auf eine optimale
Ausnutzung des Diversifikationseffektes hin zu optimieren.1
In
letzter
Zeit
gibt
es
im
Rahmen
der
Umsetzung
der
integrierten
Gesamtbanksteuerung verstärkt Bemühungen, auch die Diversifikationseffekte
zwischen unterschiedlichen Risikoarten zu quantifizieren. Bisher wurde das Risiko
von unterschiedlichen Risikoarten meistens summiert, was der Annahme einer
perfekt positiven Korrelation zwischen den Risikoarten gleichkommt. Werden auch
die
Diversifikationseffekte
zwischen
den
unterschiedlichen
Risikoarten
mitberücksichtigt, kann die Risikomessung und in der Folge das Risikomanagement
von Banken weiter verbessert werden, wenngleich die Diversifikationseffekte
innerhalb
einer
Risikoart
in
der
Regel
größer
sein
dürften,
als
die
Diversifikationseffekte zwischen Risikoarten. In Anlehnung an Kuritzkes et al. (2002)
können die Risikoaggregation auf unterschiedlichen Ebenen und die damit
verbundenen Diversifikationseffekte wie in Abb. 1 dargestellt werden. Die
Interdependenzen des Risikos unterschiedlicher Risikoarten sind bisher weit weniger
genau untersucht, als jene des Risikos innerhalb einer Risikoart. Um eine integrierte
Gesamtbanksteuerung
umzusetzen,
ist
es
jedoch
essenziell,
auch
diese
Abhängigkeiten besser zu verstehen.
1
Diversifikationseffekte beschreiben im allgemeinen Risikoreduktion durch Streuung.
4
Abb. 1: Schematische Darstellung der Diversifikationseffekte auf den
unterschiedlichen Ebenen des Risikomanagements
Diversifikationseffekte innerhalb eines
Risikofaktors (Netting von long und short positions)
Level II Diversifikationseffekte innerhalb einer Risikoart
Level III Diversifikationseffekte zwischen Risikoarten
Abnehmende
Diversifikationseffekte
Level I
Die vorliegende Arbeit untersucht die Möglichkeit der Aggregation (und damit der
Quantifizierung
der
Diversifikationseffekte)
zwischen
dem
Markt-
und
dem
Kreditrisiko von Banken.
Die vorliegende Arbeit untersucht die Möglichkeit der Aggregation (und damit der
Quantifizierung der Diversifikationseffekte) von Markt- und Kreditrisiko von Banken.
Im folgenden Abschnitt wird auf grundsätzliche Problemstellungen bei der
Aggregation dieser beiden Risikoarten eingegangen.
In Abschnitt 3 werden "Bottom-Up"-Ansätze und damit verbundene Anforderungen
an Risikomesssysteme kurz dargestellt.
In Abschnitt 4 wird auf die leichter zu realisierende Aggregation mittels "Top-Down"Ansatz eingegangen und es wird dargestellt, wie die Risikoaggregation mit Hilfe von
Simulationstechniken unter Verwendung von Copulas erfolgt. Copulas ermöglichen
die Darstellung von unterschiedlichen Abhängigkeitsstrukturen. In dieser Arbeit wird
auf Normal Copulas und auf Student t-Copulas (elliptische Copulas) eingegangen.
5
2. Herausforderungen bei der Aggregation von Kredit- und
Marktrisiko
Bei der Aggregation von Value-at-Risk (VaR) oder Unexpected Loss (UL) im
Marktrisiko werden oftmals folgende Formeln verwendet, um die Risikomaße für das
Marktportfolio zu berechnen.
VaRMarktportfolio = ULT ⋅ C ⋅ UL − δ T ⋅ µ
[1]
ULMarktportfolio = ULT ⋅ C ⋅ UL
[2]
wobei UL ... Spaltenvektor des Unexpected Loss für einzelne Risikofaktoren
C ... Korrelationsmatrix der Veränderungen der Risikofaktoren
δ ... Spaltenvektor der Deltaäquivalente (Exposures) pro Risikofaktor
µ ... Spaltenvektor der Erwartungswerte der Risikofaktorveränderungen
und
ULi = δ i ⋅ σ i ⋅ Φ −1(α )
∀i
wobei σi ... Standardabweichung der Veränderungen des i-ten Risikofaktors
Φ-1(.) ... Inverse der Standardnormalverteilungsfunktion
α ... Konfidenzniveau, z.B. 99%
Diese Formeln sind zulässig, wenn die diskreten Veränderungen der Risikofaktoren
als normalverteilt (und unabhängig voneinander) angenommen werden können.2 Die
Renditeverteilung von Kreditportfolios ist jedoch stark linksschief, da dem hohen
Verlustpotential nur beschränkte Gewinnmöglichkeiten gegenüberstehen. Um diesen
wichtigen Punkt hervorzuheben, sind die Marginalverteilungen (Randverteilungen)
eines Markt- und eines Kreditportfolios schematisch in Abb. 2 dargestellt. Da die
Rendite von Kreditportfolios keinesfalls als normalverteilt angenommen werden kann,
_______________________________
2
D.h. die Formeln können nicht für stetige Veränderungen von Risikofaktoren (z.B. stetige Renditen
("log-returns") von Aktienkursen) verwendet werden.
6
Abb. 2: Schematische Darstellung der Renditeverteilungen von typischen
Kreditportfolios und Marktportfolios
Renditeverteilung bei Aktien
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Renditeverteilung bei Krediten
Verlust / Gewinn
Verlust / Gewinn
ist es auch unzulässig,_ Risikomaße wie den Value-at-Risk oder den Unexpected
Loss mittels der aus dem Marktrisiko bekannten analytischen Formeln (Formeln [1]
und [2]) zu aggregieren. Würden die Risikomaße für Kreditrisiko mit den obigen
Formeln berechnet, so würde man das Kreditrisiko unterschätzen.
Ein weiteres Problem sind die unterschiedlichen Zeithorizonte, über die Markt- und
Kreditrisiko normalerweise gemessen werden. Während bei Marktrisiko Ein-Tagesoder 10-Tages-Horizonte üblich sind, wird beim Kreditrisiko üblicherweise ein EinJahres-Horizont verwendet. Dies spiegelt die unterschiedlich lange Halte- bzw.
Umschichtungsdauer wider: Instrumente des Handelsbuches (Marktrisiko) werden in
der Regel eher kurzfristig gehalten und werden im Falle von sich negativ
entwickelnden Marktbewegungen auch schnell wieder abgestoßen. Auf Grund der
mangelnden Handelbarkeit von Krediten in der Vergangenheit, konnte das
Kreditportfolio nur sehr mühsam und langsam grundlegend umgeschichtet werden,
weshalb der langfristigere Zeithorizont bei der Betrachtung von Kreditportfolios
angebracht scheint bzw. schien.
Um Risikomaße von unterschiedlichen Risikoarten zu aggregieren, ist es jedoch
notwendig, dass sie über den selben Zeithorizont gemessen werden. Im Rahmen der
Marktrisikomessung ist eine Skalierung auf längere Zeithorizonte üblich, um EinTages-Risikomaße auf 10-Tages-Risikomaße zu skalieren. Aus Formel [1] für den
Ein-Tages Unexpected Loss kann mithilfe der sogenannten "Wurzel-Zeit Formel"
7
relativ leicht der Unexpected Loss und Value-at-Risk für längere Zeithorizonte
berechnet werden:
ULMarktportfolio,T =T = ULMarktportfolio,T =1 ⋅ T
[3]
VaRMarktportfolio,T =T = ULMarktportfolio,T =1 ⋅ T − δ T ⋅ (µT )
[4]
Obige Formeln unterstellen jedoch, dass die diskreten Veränderungen der
Risikofaktoren normalverteilt und unabhängig voneinander (iid – independently and
identically distributed) sind. Sollen die Risikomaße von Ein-Tages-Werten auf sehr
lange Zeithorizonte (beispielsweise ein Jahr) hinaufskaliert werden, so sollte die
Annahme von normalverteilten Marginalverteilungen und die Unabhängigkeit der
Realisierungen (d.h. keine Autokorrelation) noch kritischer hinterfragt werden.3
Ein noch schwerwiegenderes Problem ist, dass übliche vordefinierte Reaktionen des
Marktrisikomanagements wie Stop-Loss Limite etc. nicht in die obigen Formeln
einfließen. Wie erwähnt ist die Haltedauer von Positionen des Handelsbuches eher
kurzfristig. Formeln [3] und [4] berechnen jedoch – unter den oben ausgeführten
Verteilungsannahmen – die Risikomaße für ein Buy-and-Hold Portfolio mit aktueller
Portfoliostruktur für den jeweiligen Betrachtungshorizont.
Um das Marktrisiko auf einen Ein-Jahres Horizont – den beim Kreditrisiko üblichen
Zeithorizont – hinaufzuskalieren, sollte also nicht die "Wurzel-Zeit Formel" verwendet
werden. Ein möglicher "Bottom-up" Ansatz zur Ermittlung des Marktrisikos für
längere Zeithorizonte ist es, die Renditen für Marktportfolios unter genau definierten
Reaktionsfunktionen (z.B. Stop-Loss Limite etc.) zu simulieren. Die Kalibrierung
solcher Modelle stellt sich jedoch als schwierig und zeitintensiv dar.
Alternativ können die Zeithorizonte bei der Betrachtung der Renditen von
Kreditportfolios verkürzt werden. Da aber nur wenige Kredite häufiger als einmal pro
3
Dies gilt insbesondere für das Zinsrisiko, das idR über Diskontierungsfaktor-Stützstellen für
unterschiedliche Laufzeiten und Währungen berechnet wird. Bei langen Zeithorizonten und
unterstellten normalverteilten Veränderungen der Diskontierungsfaktoren ist es möglich, dass ein
Diskontierungsfaktor selbst bei einem in der Praxis üblichen Konfidenzniveau von beispielsweise 99
Prozent einen Wert größer als eins annimmt, was einem negativen Zinsniveau entspricht.
8
Jahr
bewertet
werden,
ist
es
nicht
möglich,
Datenbanken
mit
direkten
Beobachtungen zu schaffen. Insgesamt stellt sich die Datenlage für Kreditportfolios
und deren Renditen schlechter dar als für Marktportfolios: Renditebeobachtungen
werden seltener gemacht und die Zeitreihen reichen weniger lange zurück.
Für das Problem, dass nur kurze Zeitreihen zur Verfügung stehen, zeigen Rosenberg
und Schuermann (2004) einen möglichen Lösungsweg: Sie schätzen zunächst aus
einer 9jährigen Historie mit vierteljährlichen Beobachtungen ein multifaktorielles
Regressionsmodell für die Gewinne/Verluste des Kreditportfolios, wobei die
erklärenden Variablen Marktrisikofaktoren sind. Dieses Regressionsmodell wenden
sie
an
einer
29jährigen
Historie
von
Marktrisikofaktoren
an.
Die
daraus
resultierenden geschätzten Realisierungen ("Beobachtungen") dienen in der Folge
als Datenbasis für die Rendite von Kreditportfolios.
9
3. "Bottom-up" Ansätze
Bei "Bottom-up" Ansätzen wird die Aggregation von Markt- und Kreditrisiko von unten
her aufgebaut. Ausgangspunkte sind die elementaren Risikofaktoren für das Marktund Kreditrisiko.
Am einfachsten erscheint eine Aggregation, wenn die Risikofaktoren eine
gemeinsame Normalverteilung aufweisen. Wenn man in einem ersten Schritt davon
ausgeht, dass die Risikofaktoren für das Marktrisiko durch eine multidimensionale
Normalverteilung beschrieben werden können, stellt sich die Frage, wie das
Kreditrisiko zu modellieren ist.
Gehen wir einmal vom gängigen Modell Credit Metrics aus, wie es von JP Morgan
entwickelt wurde. Basis der Berechnung der Gewinn- und Verlustverteilung für das
Kreditportfolio sind die Unternehmenswerte. Diese werden als Linearkombination
normalverteilter Zufallsvariablen modelliert und sind somit selbst normalverteilt. Die
erklärenden Variablen sind einerseits die systematischen Faktoren und andererseits
die unsystematischen Faktoren. Die systematischen Faktoren werden durch
Aktienindizes
approximiert
(unterstellte
Normalverteilung
der
Renditen),
die
unsystematische Faktoren sind untereinander und zu den systematischen Faktoren
unkorreliert.
Um
die
gemeinsame
Verteilung
der
Unternehmenswerte
zu
beschreiben, bedarf es lediglich der Korrelationsstruktur zwischen den Aktienindizes.
Um nun Markt- und Kreditrisiko zu aggregieren, bedarf es zusätzlich noch der
Korrelationen zwischen den Risikofaktoren des Marktrisikos und dem Kreditrisiko,
das heißt es gilt, die Korrelationen zwischen den Marktrisikofaktoren und den
Aktienindizes zu berechnen. Auf Basis dieser so festgelegten multidimensionalen
Normalverteilung lässt sich mittels Monte Carlo Simulation eine Gewinn/VerlustVerteilung simulieren.
Auch alle anderen Kreditportfoliomodelle, für die normalverteilte Zufallsvariablen die
Basis für das Ausfallverhalten bilden, müssten sich auf diese Weise integrieren
lassen. Dazu gehören das KMV Modell (Credit Monitor) und das Modell von Mc
Kinsey (Credit Portfolio View).
10
Wenn das Gesamtmodell aus Zufallsvariablen, deren Marginalverteilungen aus
unterschiedlichen Verteilungsklassen entstammen, besteht, dann kann man auf der
Basis von Copulas oder POTs (Peaks over Thresholds) eine Simulation
durchführen.4
Neben Monte Carlo Simulation gibt es im Bereich des Marktrisikos die historische
Simulation. Diese scheint im Bereich der Risikoaggregation jedoch wenig
zielführend, da für die Risikofaktoren des Kreditportfolios nicht hinreichend viele
Szenarien vorliegen dürften.
In der bisherigen Darstellung wurde der LGD (Loss Given Default) als fix
angenommen.
Geht
man
von
dieser
Annahme
ab
und
unterstellt
einen
stochastischen LGD, dann wirft das keine größeren Probleme auf, solange der LGD
zu den anderen elementaren Risikofaktoren unkorreliert ist. Die Simulation lässt sich
also leicht um stochastische LGDs erweitern. Wenn der LGD allerdings mit den
Risikofaktoren stochastische Abhängigkeiten aufweist, dann hängt es davon ab, wie
die Stochastik des LGD modelliert ist.
Liegt nur eine einfache Verteilung vor – gern wird hier eine Betaverteilung
angenommen –, dann müsste man zunächst modellieren, wie die bedingte LGDVerteilung in Abhängigkeit von den Realisierungen der sonstigen Risikofaktoren
aussieht. Wird der stochastische LGD als Funktion anderer Variablen modelliert,
dann hängt es davon ab, wie deren bedingte Verteilung in Abhängigkeit von den
anderen Risikofaktoren aussieht.
4
Das Konzept von Copulas wird im folgenden Abschnitt besprochen. Im Rahmen von POTs wird
zwischen Kernverteilungen und Randverteilungen unterschieden: Im Risikomanagement hat man oft
mit Verteilungen zu tun, die in großen Bereichen einer bestimmten Verteilung (beispielsweise einer
Normalverteilung) ähnlich sind, sich an den Rändern aber deutlich von dieser Verteilung
unterscheiden. Deshalb wird der Kernbereich mit einer Kernverteilung modelliert, die Ränder (tails) ab
einer gewissen Schwelle (treshold) werden als Randverteilung modelliert. Vgl. etwa Wiedemann
(2004), S. 290ff.
11
4. "Top-down" Ansätze
Bei "Top-down" Ansätzen geht man von bereits aggregierten Daten aus. Diese Daten
– beispielsweise die Renditeverteilung für das Marktportfolio einerseits und das
Kreditportfolio
andererseits
–
werden
miteinander
verknüpft,
um
so
eine
Gesamtverteilung bzw. das "Gesamtrisiko" zu berechnen. Auf die Einzelbestandteile
des Markt- und Kreditportfolios wird im Gegensatz zu "Bottom-up" Ansätzen nicht
eingegangen.
Innerhalb der "Top-Down" Ansätze kann grob zwischen mutltifaktoriellen Modellen
und Copula Modellen unterschieden werden. Im folgenden Unterabschnitt 4.1. wird
ein multifaktorielles Modell, wie es von Alexander und Pézier (2003) vorgeschlagen
wird, kurz vorgestellt. In Abschnitt 4.2. folgt eine Darstellung der Copula Modelle. In
Abschnitt 4.3. wird schließlich die Umsetzung eines "Top-down" Ansatzes mit
Copulas skizziert.
4.1. Multifaktorielle Modelle
Eine möglicher Ansatz zur Berechnung des Gesamtrisikos wird von Alexander und
Pézier (2003) vorgestellt. Ausgehend von Gewinn/Verlust-Zeitreihen schätzen sie für
acht Geschäftseinheiten5 multifaktorielle Regressionen mit sechs erklärenden
Variablen (Risikofaktoren-Veränderungen).6 Es werden also wie erwähnt nicht
sämtliche Einzelbestandteile der Portfolios verwendet, um das Risiko zu berechnen
("Bottom-up" Modelle), sondern es wird versucht, die Gewinn/Verlust-Verteilung mit
einigen wenigen Risikofaktoren und einem Regressionsmodell zu schätzen. Der
Gewinn/Verlust für Geschäftseinheit i, Pi, wird folgendermaßen dargestellt
5
Corporate Finance, Trading & Sales, Retail Banking, Commercial Banking, Payment & Settlement,
Agency & Custody, Asset Management, Retail Brokerage.
6
Risikofaktoren: 1Y treasury rate; 10Y – 1Y treasury (slope); Implied interest rate volatility; S&P 500
index; S&P 500 implied volatility; Credit Spread: 10Y US BBB swap spread.
12
Pi = α i + β i ,1 ⋅ x1 + β i ,2 ⋅ x 2 + ... + β i , n ⋅ x n + ε i
[5]
wo αi der erwartete Gewinn/Verlust, x1 bis xn die Veränderungen der Risikofaktoren,
βi,1 bis βi,n die zu schätzenden factor-loadings und εi das Residuum ist. Somit lässt
sich aus den Standardabweichungen der Veränderungen der Risikofaktoren leicht
die Standardabweichung der Gewinne/Verluste bestimmen. Diese dient Alexander
und Pézier (2003) als Risikomaß.
Es wird vereinfachend Pearson's Korrelationskoeffizient verwendet, um die
Abhängigkeit der Risikofaktoren zu messen. Um auf den Effekt der tail dependence,
also
der
Wahrscheinlichkeit
von
gleichzeitigen
starken
Bewegungen
der
Risikofaktoren einzugehen, werden jedoch nur die Beobachtungen in den tails der
marginalen Verteilungen der Risikofaktoren-Veränderungen zur Schätzung der
Korrelation herangezogen. Weiters wird die Kurtosis ("fat tails") der marginalen
Verteilungen durch eine Normal-Mixture Verteilung abgebildet. Die Normal-Mixture
Verteilung ist eine Kombination von zwei Normalverteilungen. Um "fat tails" mittels
Normal-Mixture Verteilung darzustellen, werden zwei Normalverteilungen mit
gleichem Erwartungswert µ , aber unterschiedlichen Standardabweichungen σ1 und
σ2, sowie Gewichtungen w1 und w2 an die empirisch beobachteten Daten angepasst.
Die
Normal-Mixture
Verteilung
ist
die
Summe
der
beiden
gewichteten
Normalverteilungen. In Abb. 3 sind beispielhaft die Dichtefunktionen einer
Normalverteilung und einer Normal-Mixture Verteilung abgebildet.
Abb. 3: Dichtefunktionen für eine Normalverteilung und eine Normal-Mixture
Verteilung. (Parameter Normalverteilung: µ = 0, σ = 1; Parameter NormalMixture Verteilung: µ1 = µ2 = 0, σ1 = 3, σ2 = 0.6, w1 = 0.45, w2 = 0.55)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
Normalverteilung
0
0.5
1
1.5
2
2.5
Normal-Mixture Verteilung
13
Um aus der Standardabweichung der Gewinne/Verluste den VaR zu schätzen,
werden mittels Monte Carlo Simulation abhängige Normalverteilungen generiert und
diese in Normal-Mixture Verteilungen transformiert. Aus der Gesamtverteilung kann
dann ein Skalierungsfaktor berechnet werden, mit dem die Standardabweichung der
Gewinne/Verluste multipliziert wird, um den VaR zu berechnen.7
Saita (2004) weist auf mögliche Doppelgleisigkeiten bei der Risikoaggregation mit
multifaktoriellen Regressionen hin. Da das Kreditrisiko in den meisten Banken einen
sehr
großen
Teil
des
Gesamtrisikos
ausmacht,
sollten
multifaktorielle
Regressionsmodelle, wie sie von Alexander und Pézier (2003) vorgeschlagen
werden, auf den meist schon sehr genauen, bestehenden Modellen zur Berechnung
des
Kreditrisikos
Gewinne/Verluste
aufgesetzt
im
werden.
Marktrisiko
Zur
können
Schätzung
nötigenfalls
der
weitere
Regression
für
Risikofaktoren
hinzugefügt werden. Saita (2004) bezeichnet diesen Ansatz als "mixed multifactor
approach".
4.2. Copula Modelle
Eine weitere Methode ist die Aggregation des Markt- und Kreditrisikos mittels
Copulas. Das Konzept der Copulas erlaubt es, die marginalen Verteilungen, also die
Gewinne/Verluste oder die Renditen des Markt- und des Kreditportfolios gesondert
von der Abhängigkeitsstruktur zu modellieren. Dies ermöglicht im Gegensatz zur
üblichen analytischen VaR-Formel (Formel [1]) einerseits die Aggregation von nicht
normalverteilten Marginalverteilungen, andererseits kann die Abhängigkeitsstruktur
individuell angepasst werden. In dieser Arbeit wird auf elliptische Copulas (Normal
Copula und Student t-Copulas) eingegangen.
Liegen Zeitreihen der Gewinne/Verluste vor, so kann man entweder die
Gewinne/Verluste direkt modellieren, oder entsprechende Renditeverteilungen
7
Dieser Skalierungsfaktor muss für jedes Konfidenzniveau einzeln simuliert werden. Hall (2002)
erläutert das Problem von Skalierungsfaktoren für unterschiedliche Konfidenzniveaus bei (links-)
schiefen Renditeverteilungen im Detail.
14
berechnen.8 Die Rendite für das Marktportfolio wird oftmals als Student t-Verteilung
oder als Normal-Mixture Verteilung (vgl. oben) modelliert. Diese Verteilungen weisen
bei entsprechender Parametrisierung im Vergleich zur Normalverteilung eine höhere
Kurtosis auf ("fat tails"), was empirischen Beobachtungen entspricht. Für die Rendite
des Kreditportfolios wird oftmals eine Betaverteilung oder eine Weibullverteilung
angenommen.
Sind die marginalen Verteilungen geschätzt, so können sie mithilfe von Copulas zu
einer Gesamtverteilung verbunden ("aggregiert") werden. In der Regel wird die
Gesamtverteilung mittels Monte Carlo Simulation berechnet. Deshalb werden im
folgenden die Schritte zur Simulation einer Gesamtverteilung dargestellt.
Wir bezeichnen mit FKredit die Verteilungsfunktion der Renditen des Kreditportfolios
(beispielsweise eine Betaverteilung) und mit FMarkt die Verteilungsfunktion der
Renditen des Marktportfolios (beispielsweise eine Student t-Verteilung). Wir nehmen
zunächst
eine
Abhängigkeitsstruktur
wie
bei
einer
multivariaten
Standardnormalverteilung an. Eine Verbindung der marginalen Verteilungen mit einer
solche Abhängigkeitsstruktur wird mit einer Normal Copula (auch als Gaussian
Copula bezeichnet) durchgeführt. Schließlich wird noch ein Abhängigkeitsparameter
ρ benötigt. In dem hier beschriebenen Fall einer bivariaten Verteilung stellt ρ einen
Wert dar, ansonsten eine Korrelationsmatrix. Auf die Schätzung von ρ wird im
nächsten Abschnitt eingegangen.
Um mit einer Monte Carlo Simulation die Gesamtverteilung zweier beliebiger
marginaler Verteilungen zu berechnen, werden in einem ersten Schritt zwei
unabhängige standardnormalverteilte Zufallszahlenvektoren Z1 und Z2 generiert. In
einem zweiten Schritt werden diese mittels Choleskyzerlegung in zwei abhängige
standardnormalverteilte Zufallszahlenvektoren X und Y umgewandelt. Im Fall der hier
beschriebenen bivariaten Verteilung lauten die Formel für die Berechnung von X und
Y
8
Als Basis für die Renditeberechnung gelten beim Marktrisiko "trading assets plus liabilities", beim
Kreditrisiko "lending assets". Aufgrund dieser Werte werden auch die Gewichte berechnet.
15
X = Z1
In
einem
und
dritten
Schritt
Y = ρ Z1 + 1 − ρ 2 Z 2
werden
die
[6]
Vektoren
X
und
Y
mit
der
Standardnormalverteilungsfunktion Φ in die zwischen 0 und 1 (0 und 100 Prozent)
gleichverteilten Vektoren U und V umgerechnet
U = Φ (X )
und
V = Φ (Y )
;
U, V ~ U (0,1)
[7]
Somit ist die Abhängigkeitsstruktur fertig modelliert. Um nun die Realisierungen der
marginalen Verteilungen zu berechnen, werden in einem letzten Schritt die Vektoren
−1
−1
A und B mittels der Inversen der marginalen Verteilungsfunktionen FKredit
und FMarkt
berechnet
−1
−1
(U) = FKredit
(Φ(X ))
A = FKredit
und
−1
−1
(V ) = FMarkt
(Φ(Y ))
B = FMarkt
[8]
Die Gesamtverteilung ist nun die Summe von wA·A und wB·B, wobei wA und wB die
Gewichte für das Kredit- und das Marktportfolio darstellen.
Die Normal Copula geht von einer Abhängigkeitsstruktur entsprechend einer
multivariaten Standardnormalverteilung aus. Beobachtungen zeigen aber, dass die
Wahrscheinlichkeit von gemeinsamen starken Marktbewegungen stärker ist, als
durch die Abhängigkeitsstruktur einer Normal Copula anzunehmen wäre. Diese
größeren Abhängigkeiten bei gemeinsamen starken Marktbewegungen werden als
positive tail dependence bezeichnet. Als eine einfache Erweiterung der Normal
Copula bietet sich die Student t-Copula an. Die Abhängigkeitsstruktur der Student tCopula
weist
gemeinsamen
starken
Marktbewegungen
eine
höhere
Wahrscheinlichkeit zu als die Normal Copula. Als weiterer Parameter muss für eine
Student t-Copula die (positiv ganzzahlige) Anzahl der Freiheitsgrade ν festgelegt
werden. Je geringer die Anzahl der Freiheitsgrade, desto stärkeres Gewicht erhalten
gemeinsame starke Marktbewegungen.
16
Abb. 4: Scatterplots für U,V ~ U(0,1) und A,B ~ N(0,1) bei Verwendung einer
~ ~ ~ U(0,1) und ~ ~ ~ N(0,1) bei
Normal Copula (linke Scatterplots) und für U
,V
A, B
Verwendung einer Student t-Copula mit 3 Freitheitsgraden (rechte
Scatterplots). ρ = 0.5, N = 1000.
Student t-Copula
(3 Freiheitsgrade)
U, V ~U (0,1)
~ ~
U, V ~ U (0,1)
~
Normal Copula
~
()
()
~
~
~
~
A = Φ −1 U und B = Φ −1 V
A, B ~N (0,1)
~ ~
A, B ~ N (0,1)
~
A = Φ −1(U) und B = Φ −1(V )
~
In Abbildung 4 sind die unterschiedlichen Abhängigkeitsstrukturen einer Normal
Copula und einer Student t-Copula mit 3 Freiheitsgraden mit dem selben
Korrelationskoeffizienten (ρ = 0.5) dargestellt. Als Marginalverteilungen wurden zu
Darstellungszwecken jeweils Standardnormalverteilungen angenommen.
17
Um eine Gesamtverteilung mithilfe einer Student t-Copula zu simulieren, geht man
sehr ähnlich vor, wie bei einer Normal Copula.9 Neben den beiden unabhängigen
standardnormalverteilten Zufallszahlenvektoren Z1 und Z2 braucht man weiters einen
Vektor S von chi-quadrat-verteilten Zufallszahlen mit ν Freiheitsgraden. Ein solcher
Vektor kann auch leicht selbst simuliert werden, indem weitere ν unabhängige
standardnormalverteilte Zufallszahlenvektoren Z3, Z4, ..., Zν+2 generiert werden. Aus
der Summe der quadrierten standardnormalverteilten Zufallszahlenvektoren ergibt
sich der Vektor S
si =
ν +2
∑ zi2,k
k =3
= zi2,3 + zi2,4 + ... + zi2,ν + 2
∀i
[9]
Nachdem die Vektoren Z1 und Z2 mittels Cholesky Zerlegung in die abhängigen
Vektoren X und Y umgewandelt wurden (vgl. [6]), werden sie mit dem Vektors S
~
~
transformiert zu X und Y
ν
x~i = x i ⋅
si
ν
y~i = y i ⋅
si
und
∀i
[10]
~
~
Die so berechneten Vektoren X und Y werden nun mit einer Student t-
Verteilungsfunktion mit ν Freiheitsgraden in die zwischen 0 und 1 gleichverteilten
~
~
Vektoren U und V umgerechnet.
()
~
~
U = Tν X
und
()
~
~
V = Tν Y
;
~ ~
U, V ~ U (0,1)
[11]
~
~
Der letzte Schritt, also die Umwandlung der Vektoren U und V in Realisierungen der
~
~
marginalen Verteilungen A und B erfolgt analog zur Normal Copula mithilfe der
Inversen der marginalen Verteilungen (vgl._[8]).
9
Vgl. hierzu etwa Frey et al. (2001), S. 3f.
18
Abb. 5: Arbeitsschritte zur Simulation von Abhängigkeitsstrukturen mit einer Normal Copula
Zufallszahlen
~N(0,1) iid
und Student t-Copulas
Normal Copula
Student t-Copulas
Simulation von 2
unabhängigen
standardnormalverteilten
Zufallszahlenvektoren:
Z1 und Z2
Simulation von ν+2
unabhängigen
standardnormalverteilten
Zufallszahlenvektoren:
Z1 , Z2 , ..., Zν+2
Berechnung eines chiquadrat-verteilten
Zufallszahlenvektors S
Abhängige
Zufallszahlen
„Uniformisierung“
Umrechnung in
Realisierungen
Berechnung der
Gesamtverteilung
X = Z1
Y = ρ Z1 + 1 − ρ 2 Z 2
U = Φ (X )
V = Φ (Y )
ν +2
∑ zi2,k
∀i
ν
x~i = x i ⋅
si
∀i
ν
y~i = y i ⋅
si
∀i
si =
k =3
~
U = Tν
~
V = Tν
(X~ )
(Y~ )
()
()
−1
A = FKredit
(U)
~
~
−1
A = FKredit
U
−1
B = FMarkt
(V )
~
~
−1
B = FMarkt
V
w A A + wB B
~
~
w A A + wB B
Die Arbeitsschritte zur Simulation von Abhängigkeitsstrukturen mit einer Normal
Copula und Student t-Copulas sind nochmals in Abb. 5 dargestellt.
19
Es gibt neben der Normal und Student t-Copulas eine Vielzahl anderer Copulas, die
Möglichkeiten bieten, Abhängigkeitsstrukturen "maßgeschneidert" festzulegen. So
können etwa für gemeinsame Abwärtsbewegungen der Risikofaktoren andere
Abhängigkeitsstrukturen
festgelegt
werden,
Aufwärtsbewegungen. Die Parameter der Copulas
als
10
für
gemeinsame
werden jeweils durch eine
Maximum Likelihood geschätzt.
Cherubini et al. (2004), S. 154, merken an, dass "a potential problem comes from the
simple fact that the number of combinations that can be made has virtually no limit,
and one can easily get lost looking for the best combination of the marginals and the
copula." Dies ist auch der Hauptkritikpunkt, der Copulas entgegengebracht wird:
Copulas bieten durch die getrennte Modellierung von marginalen Verteilungen und
Abhängigkeitsstrukturen eine Vielzahl an Möglichkeiten, um Gesamtverteilungen zu
modellieren. Dadurch wird es aber sehr schwierig, die "richtigen" Parameter zu
schätzen.
Rosenberg und Schuermann (2004) berechnen in ihrer Arbeit die Gesamtverteilung
der Gewinne/Verluste für ein Bankportfolio mit marginalen Verteilungen für Kredit(Weibullverteilung),
Markt-
(Student
t-Verteilung)
und
operationelles
Risiko
(Häufigkeitsverteilung einer Monte Carlo Simulation). Zur Aggregation verwenden sie
eine Normal Copula und Student-t Copulas mit 5 bzw. 10 Freiheitsgraden.
Erwartungsgemäß ist der Gesamt-VaR, der mit einer Student t-Copula mit 5
Freiheitsgraden berechnet wird, am höchsten. Weiters berechnen sie den GesamtVaR mittels des von ihnen eingeführten "Hybrid-VaR": Hier werden zunächst die
Einzel-VaRs für ein bestimmtes Konfidenzniveau entsprechend den unterstellten
Marginalverteilungen (Weibullverteilung für das Kreditrisiko und Student t-Verteilung
für das Marktrisiko) berechnet. Aus diesen Einzel-VaRs wird der Gesamt-VaR mittels
der üblichen analytischen VaR Formel berechnet.11 Die Methode des Hybrid-VaR
erzielt erstaunlich gute Ergebnisse. Für die unterstellten marginalen Verteilungen und
10
Für eine Normal Copula ist dies der Korrelationskoeffizient ρ, für Student t-Copulas der
Korrelationskoeffizient ρ und die Anzahl der Freiheitsgrade ν.
11
D.h. entsprechend Formeln [1] und [2]. Die Berechnung des GesamtVaR mittels Hybrid-VaR ist
mathematisch unsauber, da die übliche analytische VaR Formel nur für multivariate
Normalverteilungen verwendet werden darf (vgl. Embrechts et al. (1999), S.4). Rosenberg und
Schuermann (2004) sind sich dieser Tatsache bewusst.
20
Gewichte liegt der Gesamt-Var, der mittels Hybrid-VaR berechnet wurde, zwischen
den Gesamt-VaRs, die mittels Student t-Copulas mit 5 und 10 Freiheitsgraden
berechnet wurden.
4.3. Umsetzung eines Copula-Ansatzes
In diesem Unterabschnitt wird skizziert, wie ein Copula-Ansatz zur Ermittlung des
Gesamtrisikos implementiert werden kann. Der erste Arbeitsschritt ist die Schätzung
der Marginalverteilungen und der Copula-Parameter. Der zweite Arbeitsschritt
besteht
in
der
Simulation
von
Gesamtverteilungen
unter
der
Annahme
unterschiedlicher Copulas, wie sie im vorigen Abschnitt beschrieben wurde. Die
Arbeitsschritte zur Schätzung der Marginalverteilungen und der Copula-Parameter
sind in Abb. 6 zusammenfassend dargestellt.
Zur Umsetzung eines Copula-Ansatzes braucht man zunächst eine geeignete
Datenbasis, um das Modell zu parametrisieren. Die Datenbasis besteht aus
Gewinn/Verlustverteilungen, die für das Kreditportfolio einerseits und für das
Marktportfolio andererseits über den selben Zeithorizont mit der selben Frequenz
gemessen wurden.12 Diese Gewinn/Verlust-Verteilungen werden in der Folge in
Renditeverteilungen transformiert, an die das Modell angepasst wird.
Die Renditen von Marktportfolios lassen sich in den meisten Banken leicht (auch
hochfrequent) eruieren. Bei Kreditportfolios sind jedoch in der Regel nur viel seltener
direkte Beobachtungen von Gewinnen/Verlusten möglich (für die meisten Kredite auf
einer jährlichen Basis). Um eine ausreichend große Datenbasis zur Verfügung zu
haben, sind jedoch jährliche Beobachtungen meistens nicht ausreichend. Ist in der
Bank
bereits
ein
Regressionsmodell
zur
Abschätzung
des
Kreditrisikos
implementiert, so besteht ein möglicher Lösungsweg darin, Gewinne/Verluste für das
Kreditportfolio mittels des bereits implementierten Regressionsmodells und einer
______________________________________
12
Im hier beschriebenen Copula-Ansatz wird von gleichbleibenden Marginalverteilungen und
Abhängigkeitsstrukturen
ausgegangen.
Mögliche
Strukturbrüche
während
des
Beobachtungszeitraums werden nicht modelliert.
21
Abb. 6: Arbeitsschritte zur Ermittlung der Marginalverteilungen und des
Korrelationskoeffizienten ρ
Monatliche diskrete
Renditen werden
mittels
Regressionsmodell und
Zeitreihe der
Faktorrealisierung
geschätzt.
beispielsweise
beispielsweise
Monatliche stetige
Renditen werden aus
historischen Daten
gemessen und
standardisiert.
rM, standardisiert ~ Tν
rK ~ ln(B(0,1,p,q))
FMarkt(rm) ~ U(0,1)
FKredit(rm) ~ U(0,1)
Schätzung der
Copula-Parameter
(ML)
Datenbasis
Kreditrisiko
Marginalverteilungen
schätzen (ML)
Marktrisiko
CopulaParameter
Zeitreihe der Faktorrealisierungen und der Gewichtungen des historischen
Kreditportfolios (betreffend die Faktoren des Regressionsmodells) zu schätzen. Auf
diese Weise können Gewinne/Verluste häufiger als auf einer jährlichen Basis
geschätzt werden. Monatliche oder vierteljährliche Gewinn/Verlust-Schätzungen
scheinen angebracht, um eine genügend große Datenbasis zu haben.
Diese Vorgehensweise kann problematisch sein, da für das Kreditrisiko somit keine
tatsächlich beobachteten Renditen, sondern nur Schätzungen vorliegen. Dies kann
einen Einfluss auf die Modellierung der Abhängigkeitsstruktur haben. Wie stark
dieser Einfluss ist, hängt von der Güte des Regressionsmodells ab, mit dem die
Kreditportfoliorenditen geschätzt werden.
22
Ist die Datenbasis vorhanden, so werden in einem weiteren Schritt die
der
Renditen
des
Kreditportfolios
einerseits
und
des
Marktportfolios andererseits modelliert. Wie bereits erwähnt bieten sich für die
Renditeverteilungen
des
Marktportfolios
eine
Student
t-Verteilung,
für
die
Renditeverteilung des Kreditportfolios eine Betaverteilung an. Die Parametrisierung
der Marginalverteilungen erfolgt über eine Maximum Likelihood Schätzung.
Mittels der so festgelegten Marginalverteilungen FKredit
Kreditportfolios und FMarkt
für die Rendite des
für die Rendite des Marktportfolios werden die
Beobachtungen der Datenbasis in zwischen 0 und 1 gleichverteilte Werte
umgerechnet (U~(0,1)). Somit hat man zwei Vektoren mit "uniformisierten" Daten.
Aus diesen Daten werden mittels Maximum Likelihood die Parameter der Copulas
geschätzt. Für eine Normal Copula muss nur ein Parameter (ρ Normal), für Student tCopulas müssen zwei Parameter (ρ t-Copula und die Anzahl der Freiheitsgrade ν)
geschätzt werden.13
Abschließend wird mit einem Likelihood Ratio Test die entsprechend parametrisierte
Student t-Copula gegen die Normal Copula getestet. Die Normal Copula wird in
diesem Fall als eine Student t-Copula mit einer "großen" Anzahl an Freiheitsgraden
betrachtet. Werden im obigen Arbeitsschritt "Schätzen der Copula-Parameter" für die
t-Copula eine große Anzahl an Freiheitsgraden ν geschätzt, so ist dies ein Indikator
für eine Normal Copula. Ein geringes ν wiederum ist ein Anzeichen für eine Student
t-Copula.
Es
ist
anzumerken,
dass
die
im
obigen
Arbeitsschritt
geschätzten
Korrelationsparameter ρ Normal und ρ t-Copula in der Regel nicht dem linearen
Korrelationskoeffizienten entsprechen, der im Zusammenhang mit multivariaten
Normalverteilungen – beispielsweise bei der Berechnung des Marktrisikos –
13
Alternativ können die beiden Arbeitsschritte "Schätzung der Parameter der Marginalverteilungen"
und "Schätzung der Copula-Parameter" zu einem Arbeitsschritt zusammengefasst werden. In diesem
Fall würden diese Parameter gleichzeitig mittels Maximum Likelihood geschätzt.
23
verwendet wird. Der Pearson-Korrelationskoeffizient für die Vektoren M und N
berechnet sich folgendermaßen:
Pearson
=
ρm
,n
σ m,n
,
σ m ⋅σ n
wo σm,n = Cov(M,N)
[12]
Die Pearson-Korrelation wird üblicherweise direkt aus den Realisierungen der
Verteilungen berechnet und entspricht dann dem oben erwähnten linearen
Korrelationskoeffizienten. Die Vektoren M und N entsprechen in diesem Fall den
empirischen Renditebeobachtungen.
Im Zusammenhang mit Copulas und nicht-normalverteilten Marginalverteilungen
sollte die Pearson-Korrelation jedoch aus den "uniformisierten" Daten (die Vektoren
M und N stellen also in diesem Fall Vektoren mit zwischen 0 und 1 gleichverteilten
Werten dar) berechnet werden. Auch die Kovarianz und die Standardabweichungen
werden aus den uniformisierten Daten berechnet. Die so berechnete PearsonKorrelation entspricht Spearman's Rho für die ursprünglichen, nicht-uniformisierten
Daten.
Spearman's
Rho
ist
als
Maßzahl
vorzuziehen.
im
Zusammenhang
dem
mit
linearen
nicht-normalverteilten
Korrelationskoeffizienten
14
Abschließend soll die Bedeutung von unterschiedlichen Abhängigkeitsannahmen für
das Risikomanagement durch ein Beispiel noch einmal hervorgehoben werden. Wir
modellieren
die
Renditen
eines
Marktportfolios
als
Student
t-Verteilung,
rMarkt ~ µ+σ·Tν, mit folgenden Parametern: µ = 1.16%, σ = 1.26%, ν = 11. Die
Renditen eines Kreditportfolios werden als Betaverteilung, rKredit ~ ln(1-B(p,q)·0.45)
mit p =0.7 und q =37.6 modelliert. Die Gewichte betragen 60% für das Kreditportfolio
und 40% für das Marktportfolio. Die beiden Marginalverteilungen werden mit einer
Normal Copula und einer Student t-Copula mit 5 Freiheitsgraden verbunden.
14
Spearman's Rho unterscheidet sich idR vom linearen Korrelationskoeffizienten (Ausnahme:
multivariate Standardnormalverteilung). Rosenberg und Schuermann (2004) dokumentieren auf S. 49
die unterschiedlichen Werte der Pearson-Korrelation, die sich aus den linksschiefen marginalen
Verteilungen ergeben. Spearman's Rho wird sich idR auch von den geschätzten Copula-Parametern
ρ Normal und ρ t-Copula unterscheiden. Dennoch ist Spearman's Rho – im Gegensatz zum linearen
Korrelationskoeffizienten – im Zusammenhang mit nicht-normalverteilten Marginalverteilungen ein
"sinnvolles" Abhängigkeitsmaß.
24
Abb. 7: Gesamtverteilung der Renditen (Wahrscheinlichkeitsverteilung),
wenn die Marginalverteilungen für das Kredit- und das Marktportfolio mit
einer Normal Copula und einer Student t-Copula mit 5 Freiheitsgraden
verbunden werden. N = 1 000 000.
Betrachtet man die simulierten Gesamtverteilungen in Abb. 7, so sind die
Auswirkungen der unterschiedlichen Abhängigkeitsstrukturen (Normal Copula und
Student t-Copula) mit freiem Auge nur schwer auszumachen.
Die Unterschiede zeigen sich jedoch, wenn man den linken tail der Verteilung, an
dem das Risikomanagement in erster Linie interessiert ist, genauer untersucht. In
Abb. 8 sind die Quantile der Gesamtrenditeverteilungen bis zum 1%-Quantil (obere
Grafik) und bis zum 0.1%-Quantil (untere Grafik) abgebildet.15 Die Renditen weichen
umso stärker voneinander ab, je geringer das betrachtete Quantil ist. Dies spiegelt
die größere Wahrscheinlichkeit von gemeinsamen Abwärtsbewegungen, die durch
die Student t-Copula modelliert werden, wider.
Wird
nun
ein
bestimmtes
Rating
(oder
analog:
eine
bestimmte
Ausfallwahrscheinlichkeit des Kreditinstitutes selbst) angestrebt, so muss darauf
geachtet werden, dass genügend ökonomisches Kapital gehalten wird, um mögliche
Verluste abzufedern und so eine Insolvenz des Kreditinstitutes zu verhindern. Liegt
eine
positive
tail
dependence,
also
eine
größere
Wahrscheinlichkeit
von
gemeinsamen starken Marktbewegungen vor, so ist in jedem Fall mehr
ökonomisches Kapital zu halten, als dies bei einer Normal Copula der Fall wäre.
15
Das 0.03%-Quantil, das der Rendite bei einem VaR(99.97%) entspricht und damit im
Zusammenhang mit dem oftmals angestrebten AAA-Rating steht, wurde hervorgehoben.
25
Abb. 8: Quantile der Gesamtverteilung der Renditen, wenn die
Marginalverteilungen für das Kredit- und das Marktportfolio mit einer Normal
Copula und einer Student t-Copula mit 5 Freiheitsgraden verbunden werden.
N = 1 000 000.
Abb. 8 verdeutlicht, dass eine positive tail dependence bei der Berechnung von
Risikomaßzahlen bzw. bei der Schätzung des benötigten ökonomischen Kapitals
eine wichtige Einflussgröße darstellt. Würde die positive tail dependence nicht
modelliert, so würde man das Risiko unterschätzen.
26
5. Zusammenfassung
Im Rahmen der integrierten Gesamtbanksteuerung ist es für Banken von großem
Interesse, die Risiken der unterschiedlichen Risikoarten zu einem Gesamtrisiko zu
aggregieren. Hierzu ist es notwendig, die Abhängigkeitsstrukturen zwischen den
unterschiedlichen
Risikoarten
zu
kennen.
In
dieser
Arbeit
werden
die
unterschiedlichen in der akademischen Literatur vorgeschlagenen Methoden der
Risikoaggregation von Kredit- und Marktrisiko vorgestellt. Diese können grob in
"Bottom-Up" und "Top-Down" Ansätze eingeteilt werden. "Bottom-Up" Ansätze
lassen detailliertere Analysen zu, bringen jedoch einen weitaus größeren
Arbeitsaufwand mit sich. "Top-Down" Ansätze gehen von aggregierten Daten,
nämlich Gewinn/Verlust-Verteilung für das Kreditrisiko einerseits und das Marktrisiko
anderseits, aus. Diese Marginalverteilungen werden unter Verwendung von Copulas
zu einer Gesamtverteilung kombiniert. Copulas ermöglichen die getrennten
Modellierungen von Marginalverteilungen einerseits und von Abhängigkeitsstrukturen
andererseits. Insbesondere die empirisch beobachtete positive tail dependence, also
die erhöhte Abhängigkeit bei gemeinsamen starken Auf- bzw. Abwärtsbewegungen,
kann modelliert werden. In der Arbeit wird detailliert auf die Umsetzung von "TopDown" Ansätzen bei Verwendung von elliptischen Copulas (Normal Copula und
Student t-Copulas) eingegangen. Abschließend wird skizziert, wie aus bankinternen
Daten
die
von
Kredit-
und
Marktrisiko
und
die
Abhängigkeitsstruktur geschätzt werden können, und es wird die Bedeutung der
positive tail dependence anhand eines Beispiels nochmals verdeutlicht.
27
Ausgewählte Literatur
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•
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working paper
•
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•
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•
Hall, C., (2002): Economic capital: towards an integrated risk framework, Risk,
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•
Wiedemann, A., (Hrsg.), (2004): Risikotriade Zins-, Kredit- und operationelle
Risiken, Bankakademie Verlag GmbH, Frankfurt/Main
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•
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•
Dimakos, X., Aas, K., (2003): Integrated Risk Modelling, Norwegian
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•
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capital framework, CAS Forum Summer 2002, Dynamic Financial Analysis
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28
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•
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Credit Risks, ISMA Centre Discussion Papers in Finance 2003-13, University
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•
Pézier, J., (2003): Application-Based Financial Risk Aggregation Methods,
ISMA Centre Discussion Papers in Finance 2003-11, University of Reading
Verwendung von Copulas im Risikomanagement:
•
Cherubini, U., Luciano, E., Vecchiato, W., (2004): Copula methods in finance,
Wiley Finance, ISBN 0-470-86344-7
•
Frey, R., McNeil, A., Nyfeler, M., (2001): Modelling Dependent Defaults: Asset
Correlations Are Not Enough!, working paper (8 Seiten)
•
Frey, R., McNeil, A., (2001): Modelling Dependent Defaults, working paper (30
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•
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•
Schönbucher, P., (2002): Taken to the limit: Simple and not-so-simple loan
loss distributions, working paper
29
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2004 erschienene Titel
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Thomas Wala / Leonhard Knoll / Stephanie Messner: Temporäre Stilllegungsentscheidung mittels stufenweiser
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Oktober 2004.
Thomas Wala / Leonhard Knoll: Finanzanalyse - empirische Befunde als Brennglas oder Zerrspiegel für das Bild
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Josef Mugler / Clemens Fath: Added Values durch Business Angels. Wien November 2004.
Andreas Breinbauer / Rudolf Andexlinger (Hg.): Logistik und Transportwirtschaft in Rumänien. Marktstudie
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Christian Cech / Michael Jeckle: Integrierte Risikomessung für den österreichischen Bankensektor aus
Analystenperspektive. Studie in Kooperation mit Walter Schwaiger (TU Wien). Wien November 2004.
Robert Schwarz / Michael Jeckle: Gemeinsame Ausfallswahrscheinlichkeiten von österreichischen Klein- und
Mittelunternehmen. Studie in Kooperation mit dem „Österreichischen Kreditschutzverband von 1870“. Wien
November 2004.
2005 erschienene Titel
Thomas Wala: Aktuelle Entwicklungen im Fachhochschul-Sektor und die sich ergebenden Herausforderungen für
berufsbegleitende Studiengänge. Wien Jänner 2005.
Martin Schürz: Monetary Policy’s New Trade-Offs? Wien Jänner 2005.
Christian Mandl: 10 Jahre Österreich in der EU. Auswirkungen auf die österreichische Wirtschaft. Wien Februar
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Walter Wosner: Corporate Governance im Kontext investorenorientierter Unternehmensbewertung. Mit
Beleuchtung Prime Market der Wiener Börse. Wien März 2005.
Stephanie Messner: Ratingmodelle österreichischer Banken. Eine empirische Untersuchung im Studiengang
Bank- und Finanzwirtschaft der Fachhochschule des bfi Wien. Wien April 2005.
Johannes Jäger: Basel II: Perspectives of Austrian banks and small and medium sized enterprises. Research
th
Project in Economics (5 term – V5). Wien März 2005.
30
2
Fachhochschule des bfi Wien Gesellschaft m.b.H.
A-1020 Wien, Wohlmutstraße 22, Tel: ++43/1/720 12 86, Fax: ++43/1/720 12 86/19
e-mail: info@fh-vie.ac.at, http://www.fh-vie.ac.at
IMPRESSUM: Fachhochschule des bfi Wien Gesellschaft m.b.H., Wohlmutstraße 22, A-1020 Wien, Tel: ++43/1/720 12 86

Aggregation von Kredit- und Marktrisiko

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