Statistische Verfahren für die Schraubfallanalyse

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Statistische Verfahren für
die Schraubfallanalyse
Statistische Verfahren für die
Schraubfallanalyse
Kapitel ........................................................................................Seite
1. Einführung ..................................................................................4
2. Grundlagen der Statistik ...........................................................5
2.1 Streuung..................................................................................5
2.2 Verteilungsfunktionen.............................................................6
2.3 Histogramm ............................................................................7
2.4 Mittelwert ...............................................................................7
2.5 Standardabweichung ..............................................................8
2.6 Schätzung einer Normalverteilung.......................................10
2.7 Mittelwert und Standardabweichung der Stichprobe...........12
3. Genauigkeitsanforderungen ....................................................13
3.1 Mittelwertversatz und kombinierte Streuung.......................13
3.2 Beispiel ................................................................................14
4. Prozesse verstehen ....................................................................16
5. Maschinen- und Prozessfähigkeit ...........................................17
5.1 Cp-Wert .................................................................................18
5.2 Cpk-Wert ................................................................................19
5.3 Wege zur Prozessfähigkeit ...................................................20
5.4 Maschinenfähigkeitsindizes .................................................21
5.5 Was ist sonst noch zu beachten? ..........................................22
6. Qualitätsregelkarten.................................................................23
6.1 -Diagramme........................................................................24
6.2 Die Untergruppe ...................................................................25
6.3 Alarmsignale.........................................................................26
6.4 Bereichsdiagramme ..............................................................26
6.5 Anmerkung zur Handhabung von Qualitätsregelkarten.......27
Zusammenfassung ....................................................................27
Anhang.......................................................................................28
A1. Beispiele für einfache statistische Berechnungen ...............28
A2. Beispiele für die Berechnung der Maschinen- oder
Prozessfähigkeit...................................................................32
A3. Beispiele für Qualitätsregelkarten .......................................33
A4. Leistungsanalyse bei Montagewerkzeugen –
Berechnung gemäß ISO 5393 ............................................34
TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
3
1. Einführung
Das Ziel dieses Taschenbuches ist eine Einführung in die
Statistik und deren Nutzung im Produktionsprozess. Anhand
statistischer Kennzahlen kann man Werkzeuge miteinander
vergleichen und beurteilen, ob sich ein Werkzeug für eine
bestimmte Anwendung eignet. Mit Hilfe der statistischen
Prozesskontrolle (SPC) lässt sich nachvollziehen, wie sich
ein Produktionsprozess im Laufe der Zeit verändert. Das
Taschenbuch soll auch das Potenzial der Statistik als
Hilfsmittel für die Produktion verdeutlichen.
4 TASCHENBUCH STATISTISCHE VERFAHREN FÜR DIE SCHRAUBFALLANALYSE
2. Grundlagen der Statistik
Mit Hilfe statistischer Methoden werden aus den Daten einer
Stichprobe Eigenschaften einer Grundgesamtheit abgeleitet.
Die Wahrscheinlichkeitstheorie liefert die Grundlagen für die
erforderlichen Schätz- und Testverfahren.
Im Zusammenhang mit der Schraubfallanalyse können wir
die Statistik nutzen, um aus einer begrenzten Anzahl
Verschraubungen auf „alle“ Verschraubungen zu schließen,
die ein Werkzeug in einem Prozess ausführen soll oder wird
(die „Grundgesamtheit“). Daraus ergeben sich Rückschlüsse
auf die Qualität des Schraubwerkzeugs und seine
Prozessfähigkeit.
2.1 Streuung
Statistik hat viel mit Streuung, also Toleranzen, zu tun.
Streuungen kommen in der Natur ebenso vor wie bei industriellen Prozessen. Bei letzteren kann schon eine kleine
Abweichung vom Soll-Wert, beispielsweise eine Maßabweichung, einen starken Einfluss auf das Endprodukt und
seine Funktionsweise haben. Daher ist es wichtig, diese
Schwankungen im Prozess zu erkennen, zu verstehen und
gegebenenfalls zu überwachen oder korrigierend in den
Prozess einzugreifen.
Es gibt zwei Arten von Streuung. Zufällige Streuungen sind
allgegenwärtig und zum Teil vorhersehbar. Sie haben viele
Ursachen. Beispiele für zufällige Streuungen bei DruckluftWerkzeugen sind kleine Abweichungen der Gewindedurchmesser, unterschiedliche Reibung, der Einfluss des
Bedieners oder Schwankungen des Luftdrucks. Es ist schwierig, diese Einflussfaktoren auf das Schraubergebnis voneinander zu trennen. Streuungen lassen sich durch Verbesserungen der Prozessabläufe in den Griff bekommen. Zufällige
Streuungen sind normal und vom Prozess und seiner Umgebung abhängig. Sie werden auch als „allgemeine
Einflussfaktoren“ bezeichnet.
Systematische Streuungen treten sporadisch und vereinzelt
auf. Sie sind nicht vorhersehbar. Es ist jedoch meist einfach,
ihre Ursachen zu ermitteln. Sie lassen sich durch eine Überwachung der Prozessabläufe in den Griff bekommen.
Systematische Streuungen haben meistens bestimmte
Abbildung 1. Beispiele für
zufällige Streuungen bei
Luftwerkzeugen sind
Schwankungen des
Luftdrucks und der Einfluss
des Bedieners.
Abbildung 2. Auf den
Menschen zurückzuführende
Fehler, wie das Vergessen
von Unterlegscheiben oder
die Verwendung falscher
Schrauben, sind Beispiele für
systematische Streuungen.
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Ursachen, die erkannt und eliminiert werden müssen.
Beispiele sind falsche Kalibrierungen und der Verschleiß von
Werkzeugen sowie Fehler, die auf den Menschen zurückzuführen sind, etwa falsche Bedienung. Sie werden auch als
„spezielle Einflussfaktoren“ bezeichnet.
Große Bedeutung hat der Einsatz statistischer Analysemethoden bei der Qualitätskontrolle von Montageprozessen.
Die traditionelle Methode sieht so aus: Man analysiert, was
geschehen ist, und gestaltet – nachdem das Problem erkannt
wurde – den Prozess um. Man kann statistische Methoden
aber auch einsetzen, um vorherzusagen, wie sich ein Prozess
künftig verändern oder entwickeln wird. So lassen sich systematische Streuungen rechtzeitig erkennen und Prozesse umgestalten, bevor fehlerhafte Produkte gefertigt werden und
die Fabrik verlassen.
2.2 Verteilungsfunktionen
In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Funktion, die Ereignissen Wahrscheinlichkeiten zuordnet. Ist von einer Zufallsvariablen die
Verteilungsfunktion bekannt, so kann man die Wahrscheinlichkeit berechnen, mit der die Zufallsvariable Werte zwischen zwei reellen Zahlen annimmt. Beim Würfeln errechnet
sich die Wahrscheinlichkeit, eine Zahl zwischen 3 und 5 zu
würfeln, zu 1:2. Es ergeben sich ganz verschiedene
Funktionsgraphen für die unterschiedlichsten Ereignisse.
Nehmen wir als Beispiel eine Verschraubung, bei der wir das
Drehmoment messen, das auf eine Schraube übertragen wird.
Die Werte variieren von Verschraubung zu Verschraubung.
Nehmen wir an, wir haben genügend Messwerte, um in einer
Grafik die Häufigkeit, wie oft ein bestimmter Messwert aufgetreten ist (y-Werte), über den Drehmoment-Ist-Werten (xAchse) aufzutragen. Das Ergebnis wäre ein Histogramm wie
in Abbildung 3. In der Statistik ist diese Kurvenart als
„Normalverteilung“ bekannt.
Es gibt viele Arten von Verteilungsfunktionen. Kurven, die
sich aus Funktionen oder Beispielen wie diesem – oder auch
dem in Abbildung 4 genannten – ergeben, heißen „Normalverteilung“ oder „Gaußsche Glockenkurve“ (siehe auch
Kapitel 2.4).
Eine Normalverteilung verläuft immer symmetrisch und wird
vom Mittelwert und der Standardabweichung bestimmt. Bei
einer Normalverteilung beeinflussen ausschließlich zufällige
Streuungen das Ergebnis.
2.3 Histogramm
Ein Histogramm ergibt sich, wenn die Messwerte aus einer
Stichprobe, zum Beispiel Ergebnisse einer Anzahl Testverschraubungen, in Kategorien aufgeteilt werden (etwa alle
Verschraubungen zwischen 20 und 21 Nm). Dann kann die
Anzahl der Ergebnisse in jeder Kategorie gezählt und in
einem Diagramm aufgetragen werden. Damit lässt sich die
Verteilung der verschiedenen Ergebnisse darstellen.
2.4 Mittelwert
Normalverteilungen finden sich überall, in der Natur ebenso
wie bei industriellen Prozessen. Liegt eine große Anzahl an
Messwerten vor, beispielsweise von 1000 Verschraubungen
mit einem Werkzeug, kann man ein Histogramm anfertigen.
Die Kurve wird umso genauer, je mehr Messwerte einfließen. Würde man beispielsweise die Größe aller schwedischen Männer messen, käme man auf einen Durchschnitt
(Mittelwert) von 1,80 m. Der Mittelwert ist der am häufigsten vorkommende Wert in einer Normalverteilung. Sehr
viele Männer werden tatsächlich 1,80 m groß sein, recht
viele auch noch, sagen wir, 1,78 m oder 1,79 m, 1,81 m oder
1,82 m. Aber es gibt nicht viele Männer, die sehr groß oder
sehr klein sind, also zum Beispiel unter 1,60 m oder über
2,00 m.
Abbildung 3. Histogramm.
Ein anderes Beispiel ist das Kürzen von vielen Stäben.
Nehmen wir an, der Soll-Wert liegt bei 20,00 cm. Dabei
dürfte es sich auch um den Mittelwert handeln. Je nach eingesetztem Verfahren, zum Beispiel der Genauigkeit der Sägemaschine, kommen manche Stäbe nur auf 19,90 cm, andere
dafür auf 20,10 cm. Das entspricht der natürlichen Streuung
des Prozesses und ist normal.
Abbildung 4.
Normalverteilungen finden sich überall. Ein
Beispiel dafür ist die
Größe von Personen. Ein
anderes Beispiel ist das
Ergebnis eines Versuchs,
viele Stäbe auf dieselbe
Länge zu kürzen.
7
2.5 Standardabweichung
Wird mit einem Schraubwerkzeug, das auf ein Drehmoment
von beispielsweise 30 Nm eingestellt ist, eine sehr große
Anzahl Verschraubungen abgearbeitet, ist es unwahrscheinlich, dass man bei jeder einzelnen exakt diesen Wert erreicht.
Das gilt sogar dann, wenn man mit dem Werkzeug immer
wieder genau dieselbe Schraubverbindung anzieht, beispielsweise in einem Testverband. Zufallsfaktoren wie Materialverschleiß und eine unterschiedliche Handhabung des
Werkzeugs können dazu führen, dass die aufgebrachten
Drehmomente den Sollwert über- oder unterschreiten. Man
sagt dann, dass die Messwerte vom Mittelwert abweichen.
Diese Abweichung lässt sich mathematisch mit dem Begriff
der Standardabweichung beschreiben.
Es ist gar nicht wichtig, die Formel für die Standardabweichung, die später noch vorgestellt wird, im Detail zu verstehen.
Aber es ist hilfreich, zu wissen, wie sie berechnet wird und
worum es dabei geht. Die Standardabweichung ist der
Betrag, um den jeder einzelne Messwert durchschnittlich
(und daher mit der größten Wahrscheinlichkeit) vom Mittelwert abweicht.
Worin besteht der praktische Nutzen der Standardabweichung? Wir haben bereits gesehen, dass der Mittelwert den
Durchschnittswert der Verteilung (aller Verschraubungen der
Stichprobe oder der Grundgesamtheit) und die Standardabweichung die Streuung angibt. Mit ihrer Hilfe können wir
abschätzen, wie viele Werte innerhalb eines bestimmten
Bereichs um den Mittelwert liegen werden (streuen). Und es
lässt sich mit Hilfe der Standardabweichung errechnen, um
wie viel ein bestimmter Prozentsatz der Messwerte in der
Stichprobe vom Mittelwert abweicht.
σ ist ein Klein-Buchstabe des griechischen Alphabets. σ wird
als Symbol für die Abweichung vom Mittelwert (Durchschnitt) einer Verteilungsfunktion verwendet. Bei Produktionsprozessen gibt σ an, wie gut der Prozess abläuft. Ein
niedriger σ-Wert bedeutet, dass die meisten Werte nahe am
Soll liegen. Ein hoher σ-Wert zeigt an, dass die Streuung
groß ist und die Werte stärker vom Soll-Wert abweichen.
Beispielsweise kann man 20 Werte einer Grundgesamtheit
wie in Abbildung 5 gruppieren. Angenommen, sie gehören
einer Normalverteilung an. Dann wird auch der nächste
Anziehwert irgendwo in diesem „Bereich“ liegen. Es ist
mathematisch erwiesen, dass
• 68 % aller Werte in den Grenzen von „Mittelwert ± σ“
liegen,
• 95 % aller Werte zwischen ± 2σ um den Mittelwert und
• 99,7 % aller Werte in den Grenzen von ± 3σ um den
Mittelwert liegen.
Ein wichtiges Merkmal einer Normalverteilung ist, dass sich
die Standardabweichung immer symmetrisch in Form einer
Glocke um den Mittelwert verteilt, also mit den gleichen
prozentualen Anteilen der Stichprobe rechts und links vom
Mittelwert. Das ist ein mathematisches Gesetz.
Das können wir zu unserem Vorteil nutzen. Denn jetzt, wo
wir wissen, wie viel Prozent der Werte innerhalb einer
bestimmten σ-Grenze liegen werden, können wir vorhersagen, wie sich der Prozess in der Zukunft verhalten wird.
Erinnern Sie sich noch an die zufällige und systematische
Streuung? Wir haben gesehen, dass bei einer Normalverteilung alle systematischen Streuungen eliminiert sind und
nur die zufällige Streuung eine Rolle spielt. Außerdem
wissen wir, dass 99,7 % aller Werte innerhalb von 6σ (also
Mittelwert ± 3σ) liegen.
Abbildung 5. Bei einer Normalverteilung wissen wir jederzeit,
wie viel Prozent der Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs
liegen.
Damit können wir eine wichtige Annahme treffen: Auch
wenn bei einer Normalverteilung 0,3 % aller Schraubwerte
außerhalb der 6σ Grenzen liegen, nehmen wir einfach an,
dass alle Schraubwerte außerhalb dieser Grenzen auf systematische Streuungen im Prozess zurückzuführen sind.
Anders gesagt: Der Prozess selbst wird nur von zufälligen
Streuungen beeinflusst und ist damit unter Kontrolle, solange
die Schraubwerte innerhalb der 6–σ−Grenzen liegen.
Verschraubungen außerhalb der 6–σ−Grenzen bedeuten, dass
ein neuer (unbekannter) Faktor den Prozess beeinflusst und
dieser – durch systematische Streuung beeinträchtigt – nicht
mehr unter Kontrolle ist. Wir müssen den Grund dafür
herausfinden und beseitigen. Die beiden Grafiken in
Abblidung 6 zeigen einen Vergleich von zwei
Normalverteilungen.
Abbildung 6. Die beiden Grafiken in
Abbildung zeigen einen Vergleich
von zwei Normalverteilung
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2.6 Schätzung einer Normalverteilung
Abbildung 7. Es ist
unmöglich, eine
Grundgesamtheit (zum
Beispiel die deutsche
Bevölkerung) vollständig zu erfassen. Wir
müssen uns auf eine
beschränkte Anzahl
Werte, eine Stichprobe
oder ein „Batch“, verlassen und beziehen.
Für eine Anzahl bei einem Schraubfall gemessener oder
angezeigter Werte können wir einen Mittelwert und eine
Standardabweichung berechnen. Würden wir eine unendliche
Zahl von Verschraubungen messen, wären wir sicher, den
Mittelwert und die Standardabweichung ganz exakt ermitteln
zu können: den Mittelwert der Grundgesamtheit und die
Standardabweichung der Grundgesamtheit. Soweit die
Theorie. In der Realität ist das nicht möglich, wir müssen uns
deshalb mit einer begrenzten Anzahl Verschraubungen begnügen. In der Statistik spricht man von einer Stichprobe, bei
Verschraubungen sprechen wir von einer Untergruppe oder
einem „Batch“. Das aber bedeutet, wir wissen nicht wirklich
sicher, ob unsere Berechnungen (Mittelwert und Standardabweichung) richtig sind, da sie ja nur auf einer begrenzten
Anzahl an Verschraubungen beruhen. Was wir schließlich
erhalten, ist eine Schätzung der realen Werte. Je mehr Verschraubungen Grundlage unserer Berechnung sind, desto
sicherer können wir sein, dem Mittelwert und der Standardabweichung der Grundgesamtheit nahe zu kommen.
Der Durchschnittswert einer Verteilung ist der Mittelwert der
Grundgesamtheit (griechischer Klein-Buchstabe „μ“, sprich
„mü“). Die Standardabweichung σ der Grundgesamtheit gibt
ihre Streuung an. Der Mittelwert μ der Grundgesamtheit wird
wie folgt berechnet:
Hierbei gilt:
Σ – ist der griechische Groß-Buchstabe Sigma. Er wird in der
Mathematik als Summenzeichen verwendet. Die Formel wird
gelesen: „μ“ ist gleich der Summe für i von 1 bis n aller
Messwerte xi geteilt durch n. „n“ ist die Anzahl der
Messwerte.
xi
steht für die Werte der einzelnen Ergebnisse
(Verschraubungen), und zwar die i-te Messung der
Variable x.
Führen wir beispielsweise fünf Verschraubungen durch, dann
wäre n = 5. Der erste gemessene Wert wäre (nur zum Beispiel) x1 = 10 Nm, der zweite x2 = 10,2 Nm, der dritte x3 =
9,6 Nm, der vierte x4 = 9,8 Nm und der fünfte x5 = 9,9 Nm.
xi ist dann die Summe aller fünf Verschraubungswerte (für i
gleich 1 bis 5), also 10 + 10,2 + 9,6 + 9,8 + 9,9 = 49,5 Nm.
Sie wird geteilt durch die Gesamtanzahl der
Verschraubungen, nämlich 5. Das Ergebnis ist der
Mittelwert: μ = 49,5 : 5 = 9,9.
Theoretisch wäre n als Grundgesamtheit = 82 Millionen
Deutsche oder 1 Million Verschraubungen, die ein Werkzeug
in einem Prozess in seinem Leben schafft.
Die Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) wird wie
folgt berechnet:
∑ni=1(xi-μ)2 ist die Summe aller Differenzen der Messwerte
zu Mittelwert. Damit sich die positiven und negativen
Abweichungen vom Mittelwert nicht gegenseitig egalisieren,
müssen wir noch quadrieren und anschließend aus dem
Ergebnis die Wurzel ziehen. Denn wir wollen ja vergleichbare Absolutwerte erhalten (mathematisch: „Beträge“).
Das heißt, Sie addieren wieder fünf Werte, in diesem Fall
Quadratzahlen, die sich aus den fünf Messwerten – jeweils
minus den Mittelwert μ – ergeben. Nun teilen wir das Ganze
durch die Anzahl der Verschraubungen (im Beispiel 5, aber
richtigerweise müssten wir durch „alle“ Verschraubungen
teilen). Schließlich ziehen wir die Wurzel aus diesem
Gesamtwert, da wir (Nm)2 haben und Nm brauchen. So
erhalten wir die Standardabweichung der Grundgesamtheit.
In der Praxis ist es unrealistisch, jedes Schraubergebnis zu
messen. n wäre mindestens 1 Million, was völlig unpraktikabel ist. Stattdessen nutzt man eine repräsentative
Stichprobe, um den Mittelwert und die Standardabweichung
der Grundgesamtheit zu bestimmen oder, genauer gesagt,
sich ihm anzunähern.
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2.7 Mittelwert und Standardabweichung der
Stichprobe
Der Mittelwert der Stichprobe wird mit bezeichnet (ausgesprochen: ,,x quer”) und genauso berechnet wie der
Mittelwert der Grundgesamtheit (μ):
Die Standardabweichung einer Stichprobe wird mit dem
Buchstaben s gekennzeichnet und weicht leicht von der
Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ) ab:
Hierbei gilt:
xi
n
ist der Wert des i-ten Ergebnisses in der
Stichprobe.
ist die Gesamtzahl der Ergebnisse in der
Stichprobe.
ist analog zur Berechnung von σ (Sigma)
wieder die Summe der Quadrate der
Differenzen zum Mittelwert.
Die Verwendung von n-1 anstelle von n ergibt eine genauere
Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit
und ist besonders wichtig, wenn mit kleinen
Stichprobengrößen gearbeitet wird. Wieso das so ist, hat mit
den tieferen Abgründen der Statistik zu tun, soll hier aber
nicht erklärt werden.
Denken Sie immer daran, dass wir niemals die gesamte
Grundgesamtheit für unsere Berechnungen verwenden können – das ist unmöglich. Wir müssen kleinere Stichproben
verwenden und Schätzwerte des wahren Mittelwerts und der
wahren Standardabweichung berechnen.
Somit ist der Mittelwert der Stichprobe ( ) eine Schätzung
des Mittelwerts der Grundgesamtheit (μ).
Die Standardabweichung der Stichprobe (s) ist eine Schätzung der Standardabweichung der Grundgesamtheit (σ).
3. Genauigkeitsanforderungen
In der Schraubmontage werden häufig bestimmte
Genauigkeitsanforderungen an die Schraubwerkzeuge gestellt. Diese werden als Soll-Drehmoment sowie einer maximal akzeptablen Abweichung vom Soll-Wert, zum Beispiel
± 10 %, angegeben. Die Genauigkeit eines
Schraubwerkzeugs wird in der Regel berechnet aus 50 % der
natürlichen Streuung (die sich aus dem zuvor Gesagten zu 3σ
ergibt) geteilt durch den Soll-Wert. So lassen sich verschiedene Werkzeuge bei einem bestimmten Soll-Wert miteinander vergleichen, ohne Bezug auf einem bestimmten
Schraubfall zu nehmen (Toleranzen). Wie im nächsten
Kapitel dargestellt, sind die Berechnungen der Genauigkeit
den Berechnungen der Prozess- und Maschinenfähigkeit oder
Eignung ähnlich (bei Genauigkeitsberechnungen wird die
natürliche Streuung mit dem Mittelwert verglichen, bei
Eignungsberechnungen die natürliche Streuung mit den
Toleranzvorgaben des Schraubfalls).
Liegen die Genauigkeitsanforderungen beispielsweise bei
40 Nm ± 10 %, muss sicher sein, dass 3 σ kleiner als 4 Nm
(10 % von 40 Nm) sind beziehungsweise „100 · 3σ /
Durchschnitt“ unter 10 % liegt. Wenn wir das Werkzeug testen und auf einen Mittelwert von 40 Nm und eine Standardabweichung von 1,2 Nm kommen, dann beträgt die Genauigkeit (3 · 1,2 / 40) = 3,6 / 40 = 0,09 = 9 %. Das Werkzeug ist
also genau genug für diesen Schraubfall.
3.1 Mittelwertversatz und kombinierte Streuung
Mittelwertversatz tritt auf, wenn man ein und dasselbe
Schraubwerkzeug für harte und weiche Verbindungen verwendet. Man wird dann mit hoher Wahrscheinlichkeit zwei
unterschiedliche Mittelwerte erhalten (einen höheren bei harten Verbindungen) mit zwei unterschiedlichen Verteilungen.
Die Differenz zwischen diesen beiden Mittelwerten ist der
Mittelwertversatz. Ähnlich wie bei der Normalverteilung
suchen wir jetzt die Grenzen, innerhalb derer das ZielDrehmoment mit 99,7 % Wahrscheinlichkeit liegt, bei harten
wie weichen Verbindungen. Das ist die kombinierte
Streuung, die 6σ bei der Normalverteilung entspricht. Sobald
wir die kombinierte Streuung ermittelt haben, können wir sie
zum kombinierten Mittelwert in Beziehung setzen. Die sich
daraus ergebende Größe wird als „Genauigkeit“ bezeichnet.
Drehmoment
Abbildung 8. Der Mittelwertversatz
ist die Differenz zwischen den
Mittelwerten bei harten und weichen Verbindungen.
Mittelwhart
+3shart
Mittelwweich
–3sweich
Abbildung 9. Kombinierter
Mittelwert und kombinierte
Streuung.
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Als Formel sieht das so aus:
Genauigkeit = 100 · 0,5 ((Mittelwerthart + 3σhart) –
(Mittelwertweich – 3σweich)) / Mittelwert
Hierbei gilt:
Mittelwert = (Mittelwertweich + Mittelwerthart) / 2
Dieser Wert wird als „kombinierter Mittelwert“ bezeichnet.
Diese Gleichung gilt zwar in der Regel, doch wir können
nicht sicher sein, dass die Verteilung wirklich so aussieht. So
können wir beispielsweise auch einen negativen Mittelwertversatz erhalten. Wir müssen dann überprüfen, wo die
äußersten Grenzen liegen.
Die entsprechende Formel sieht so aus:
Genauigkeit = 100 · 0,5 Abweichung / Mittelwert
Hierbei gilt:
Abweichung = max (Mittelwerthart + 3σhart, Mittelwert weich +
3σweich) – min (Mittelwertweich – 3σweich, Mittelwerthart – 3σhart)
Kombinierter Mittelwert = (Mittelwertweich + Mittelwerthart)/2
3.2 Beispiel
Angenommen, Messungen an einer harten Verbindung (30°
Drehwinkel bis zum Endmoment) und einer weichen
Verbindung (800° Drehwinkel bis zum Endmoment) hätten
die folgenden Daten ergeben:
Harte Verbindung: Mittelwert = 61 Nm und σ = 1,2 Nm
Weiche Verbindung: Mittelwert = 60,2 Nm und σ = 1,0 Nm
Dann wäre:
Abweichung = max (61 + 3 · 1,2; 60,2 + 3 · 1,0) – min
(61 – 3 · 1,2; 60,2 – 3 · 1,0) = 7,4 Nm
Mittelwert = (61 + 60,2) / 2 = 60,6 Nm
Genauigkeit = 100 · 0,5 · 7,4 / 60,6 = 6,1 %
Erläuterung: Bei der Abweichungsformel wird vom Maximalwert der ersten Klammer (in der zwei Werte berechnet
werden: 61 + 3·1,2 = 64,6 sowie 60,2 + 3 · 1,0 = 63,2) der
Minimalwert aus der zweiten abgezogen. „max“ in der ersten
Klammer wäre also 64,6, „min“ in der zweiten, wie Sie
errechnen können, 57,2.
Aus folgenden Gründen ist es schwierig, die Genauigkeit
von Werkzeugen abzuschätzen:
• Unterschiedliche Genauigkeit bei harten, weichen und
kombinierten Schraubfällen.
• Unterschiedliche Genauigkeit, je nachdem, ob das Werkzeug im oberen oder im unteren Drehmomentbereich
(seiner Möglichkeiten) eingesetzt wird.
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4. Prozesse verstehen
Jedes Unternehmen stellt etwas her; das können Produkte oder
Dienstleistungen sein, und es kann auf vielerlei Arten geschehen. Allen Unternehmen ist gemeinsam, dass sie mit bestimmten Verfahren und Arbeitsweisen arbeiten. Ein Prozess ist in
diesem Zusammenhang schlicht eine strukturierte Reihe von
Arbeitsabläufen, die darauf ausgerichtet sind, ein spezifisches
Produkt für einen bestimmten Kunden oder Markt anzufertigen. Der Prozess hat einen Anfang und ein Ende sowie klar
definierte Mittel und Ergebnisse. Er legt also fest, wie die
Arbeit zu machen ist und umfasst in der Regel eine Reihe zu
wiederholender Tätigkeiten. Das Ziel ist die (maximale)
Wertschöpfung für den Kunden. Darum kommt es schon bei
der Planung eines Prozesses darauf an, sich auf den Standpunkt des Kunden zu stellen. Wer in Prozessen denkt, denkt
auch in Größen wie Kosten, Zeit, Produktqualität und
Kundenzufriedenheit. All diese Größen sind messbar und
können verbessert werden.
Abbildung 10. Ein Prozess ist eine
Reihe von Arbeitsabläufen, die
darauf ausgerichtet sind, ein spezifisches Produkt für einen
bestimmten Kunden oder Markt
herzustellen.
Beispielsweise ist eine Fertigungslinie in einem modernen
Automobilwerk ein typischer „operativer Prozess“. Das heißt,
für den Käufer des Wagens wird ein Wert geschaffen. Entlang
der Linie montiert man die Autos mit unterschiedlichen
Schraubwerkzeugen, alle mit unterschiedlicher Funktionalität,
Leistung und Zuverlässigkeit. Im Montageprozess gibt es
zahlreiche Faktoren, die das Ergebnis der Verschraubungen
beeinflussen. Die Werker, die Schrauben, die Gewinde und
viele weitere Dinge haben Einfluss auf die Verschraubungen.
Das alles trägt zu Streuungen im Gesamtprozess bei. (Erinnern
Sie sich an die Ausführungen über Streuungen in Kapitel 2!)
Abbildung 11. Die industrielle
Produktion ist ein operativer
Prozess. Zahlreiche Faktoren tragen zur Streuung im Prozess bei.
Die Größen, mit denen sich die Leistung von Schraubwerkzeugen messen lässt, sind das Drehmoment und manchmal der
Drehwinkel. Mit Hilfe statistischer Kennzahlen kann man die
Effizienz der Prozesse (Schraubvorgänge) analysieren und den
Montageprozess überwachen, steuern und verbessern.
Langfristig bedeutet das genauere Verschraubungen, bessere
und sicherere Autos sowie mehr Wert für die Kunden.
5. Prozess- und
Maschinenfähigkeit
Wir haben uns bereits mit Statistik und Genauigkeit befasst.
Die Genauigkeit eines Werkzeugs sagt etwas über seine
Leistung, aber das ist nicht genug. Für den Anwender ist
wichtig, was ein Werkzeug an der Produktionslinie leistet.
Wir müssen also die Genauigkeit des Werkzeugs in Beziehung setzen zu den Anforderungen des Anwendungsfalls.
Jeder Schraubfall hat einen Soll-Wert, aber auch eine gewisse
Toleranz, die für den Anwender akzeptabel ist. Durch Vergleich des Mittelwertes und der Standardabweichung mit
dem Soll-Wert und den Toleranzgrenzen des Schraubfalls
können wir angeben, was ein Werkzeug in diesem Anwendungsfall leistet. Für diese Angaben gibt es so genannte
Eignungsindizes (Maschinenfähigkeitsindex und Prozessfähigkeitsindex).
Die Indizes sind teils recht einfach, teils schwieriger zu verstehen. In diesem Taschenbuch behandeln wir die gängigsten
Werte, mit denen Anwender von Montagewerkzeugen am
häufigsten zu tun haben.
Im Gegensatz zur Maschinenfähigkeit (siehe 5.4) muss der
Nachweis der Prozessfähigkeit über einen längeren Zeitraum
erfolgen. Aus einem laufenden Prozess werden in festgelegten Abständen Stichproben entnommen und Qualitätsmerkmale erfasst (gemessen). In die Prozessfähigkeit gehen die
Einflüsse der Maschinen, des Materials und der Bediener ein.
Der Koeffizient Cp (siehe Kapitel 5.1) gibt die prinzipielle
Fähigkeit des betrachteten Prozesses wieder. In der Praxis
wird häufig der kritische Prozessfähigkeitskoeffizient Cpk
verlangt. Hier werden systematische Fehler des Prozesses,
wie etwa Abweichungen des Arbeitspunkt vom Sollwert, mit
berücksichtigt.
Wie wir wissen, ist eine Normalverteilung durch ihren
Mittelwert und ihre Standardabweichung definiert. Und wir
erinnern uns an die Annahme, dass, wenn der Prozess unter
Kontrolle ist, alle Werte innerhalb der 6σ -Grenzen liegen
(wenngleich das nur für 99,7 % zutrifft). Dies wird als natürliche Prozessstreuung bezeichnet.
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5.1 Cp
Der erste und am häufigsten benutzte Index Cp steht für die
Prozessfähigkeit. Die Formel für den Cp-Wert lautet:
Cp = Toleranzintervall =
6σ
Abbildung 12. Bei der
Berechnung des Cp-Wertes bezieht sich das Toleranzintervall
auf 6σ.
Maximal erlaubter Wert – Minimalwert
6σ
Diese Formel setzt einfach das Toleranzintervall
(Maximalwert – Minimalwert) in Bezug zur natürlichen
Prozessstreuung. Bei einem Werkzeug mit einer großen
Streuung und einem Anwendungsfall mit sehr hohen Anforderungen (engen Toleranzgrenzen) erhalten wir einen
niedrigen Cp-Wert. Umgekehrt bekommen wir bei einem
Werkzeug mit einer sehr kleinen Streuung (kleines σ
(Sigma)), aber sehr weiten Toleranzgrenzen, einen hohen Cp.
Das ist natürlich wünschenswert, denn je kleiner die
Streuung im Vergleich zu den Toleranzgrenzen ist, desto kleiner ist das Risiko, dass Verschraubungen außerhalb des
Toleranzbereiche vorkommen. Die Anforderungen an den Cp
variieren. In der Regel soll Cp größer als 1,33 sein. Das bedeutet, das Sechsfache der Standardabweichung deckt nicht
mehr als 75 % des Toleranzintervalls ab.
Dennoch reicht uns das nicht, um auszusagen, ob sich ein
Werkzeug gut oder schlecht für einen bestimmten Anwendungsfall eignet. Denn Cp berücksichtigt nicht, ob der Mittelwert der Verteilung nahe am Soll-Wert liegt oder nicht.
Dieser Index garantiert nicht, dass sich die Verteilung auch
innerhalb des Toleranzintervalls befindet. In Abbildung 13 ist
ein und dasselbe Werkzeug im gleichen Anwendungsfall dargestellt, vor und nach der Drehmomentkalibrierung. In beiden Fällen erhalten wir denselben Cp. Doch selbst wenn die
Streuung im Vergleich zum Toleranzintervall klein ist (hoher
Cp), können wir den Soll-Wert verfehlen, weil die Schraubwerte außerhalb der Toleranzgrenzen liegen. Wir benötigen
also noch ein weiteres Kriterium, das auch die relative
Verteilung zum Soll-Wert widerspiegelt.
Abbildung 13. Ein hoher Cp ist
keine Garantie dafür, dass die
Schraubergebnisse nahe am
Soll-Wert liegen.
5.2 Cpk
Der Cpk–Wert setzt ebenfalls den Mittelwert der Verteilung in
Beziehung zum Soll-Wert des Anwendungsfalls. Man erhält
diesen Indexwert, indem man Verteilung und Anwendungsfall trennt und für jede Seite eine eigene Berechnung
durchführt. Die Formel sieht so aus:
Cpk = min [(Maximalwert – Mittelwert) / 3σ ,
(Mittelwert – Minimalwert) / 3σ]
Abbildung 14. Bei der Berechnung des Cpk–Wertes wird auch
der Soll-Wert berücksichtigt.
Das vorangestellte „min“ heißt: Man nehme den kleineren
Wert der beiden in der Klammer zu errechnenden Beträge.
Maximal- und Minimalwert sind die erlaubten Ober- und
Untergrenzen der Schraubwerte.
Zunächst teilen wir die Differenz zwischen der oberen
Toleranzgrenze und dem Mittelwert durch die Hälfte der
natürlichen Streuung (3σ). In einer zweiten Berechnung teilen wir die Differenz zwischen dem Mittelwert und der unteren Toleranzgrenze durch 3σ. Nun liegen uns zwei wahrscheinlich unterschiedliche Werte vor. Der niedrigere von
beiden ist nun der Cpk-Wert.
Wenn der Mittelwert größer ist als der Soll-Wert, dann ist die
Differenz zwischen der oberen Toleranzgrenze und dem
Mittelwert kleiner als die Differenz zwischen dem
Mittelwert und der unteren Toleranzgrenze. In diesem Fall
ergibt die „obere Berechnung“ den Cpk, weil wir näher an der
oberen Toleranzgrenze liegen.
Was passiert mit dem Cpk, wenn wir genau auf dem SollWert liegen? Nun, in diesem Fall sind wir genauso nah an
der oberen Toleranzgrenze wie an der unteren, und beide
Rechnungen kommen zum selben Resultat.
Abbildung 15. Das Verhältnis
zwischen Cp und Cpk.
In diesem Fall hat der Cpk denselben Wert wie der Cp.
Schlechter
Schlechter
Cpk
Guter
Cp
Guter
Keine Prozessfähigkeit.
Wechseln Sie das Werkzeug oder kalibrieren sie
es, um eine bessere
Genauigkeit zu erzielen.
Prozessfähigkeit, aber
Mittelwert muss kalibriert werden.
Nicht möglich.
Prozessfähigkeit und
gut kalibriert.
19
Damit haben wir die Indizes Cp und Cpk eingeführt. Sieht
man sich die Formeln an, erkennt man, dass der Cp lediglich
das Toleranzintervall in Beziehung zum Prozess-6-σ setzt.
Der Cpk hingegen berücksichtigt auch den Soll-Wert. Wir
wollen, dass sowohl der Cp als auch der Cpk größer als 1,33
sind. Deckt sich unser Mittelwert genau mit dem Soll-Wert,
sind der Cp und der Cpk gleich. Je weiter wir vom Soll-Wert
entfernt sind, desto größer ist die Differenz zwischen Cp und
Cpk. Offensichtlich kann der Cpk niemals höher als der Cp
sein.
5.3 Wie erreicht man Prozessfähigkeit?
Die Frage „Wie gut ist geeignet?“ ist noch immer nicht definitiv beantwortet. Ein Cp-Wert von 1,33 hat sich als allgemein akzeptiertes Kriterium für die untere Grenze herauskristallisiert. Beim Cpk variieren die Anforderungen. Üblicherweise sollte der Cpk größer als 1,33 sein. Bei einem Cpk unter
1,00 ist keine Prozessfähigkeit gegeben.
Es ist sehr wichtig, zu verstehen, warum wir sowohl den Cpals auch den Cpk-Wert verwenden. Nehmen wir nur den CpWert, wissen wir nicht, ob wir im Soll liegen oder nicht.
Verwenden wir nur den Cpk-Wert, können wir nicht wissen,
ob ein guter oder schlechter Cpk-Wert an der Zentrierung des
Prozesses oder an der Streuung liegt. Darum müssen wir
beide Werte nutzen. Zusammen geben sie eine gute
Orientierung, wie gut sich ein Werkzeug in einem bestimmten Anwendungsfall verhält. Beide Indizes zusammen bieten
außerdem die Möglichkeit, verschiedene Werkzeuge miteinander zu vergleichen.
Betrachten Sie einmal die Zielscheiben in Abbildung 16. Die
linke Zielscheibe zeigt einen schlecht zentrierten Prozess,
aber mit geringer Streuung (hoher Genauigkeit). In diesem
Fall ist der Cp hoch und der Cpk niedrig. Auf der mittleren
Zielscheibe sind die Pfeile zufällig um das Ziel verteilt, die
Streuung ist ziemlich groß im Verhältnis zu den Toleranzen.
Der Cp ist vermutlich nicht so gut, aber wenn der „Mittelwert“ im Soll liegt, hat der Cpk denselben Wert wie der Cp.
Die rechte Zielscheibe zeigt einen gut zentrierten Prozess mit
hoher Genauigkeit. Das heißt, dass sowohl der Cp als auch
der Cpk hoch sind. In diesem Fall sprechen wir von
Prozessfähigkeit.
Beispiel:
Eine Verschraubung soll mit 70 Nm ± 10 % angezogen werden. Die obere Toleranzgrenze liegt also bei 77 Nm, die
untere bei 63 Nm. Ein Werkzeug wird getestet, und es ergeben sich ein Mittelwert von 71 Nm und ein σ von 1,2 Nm.
Cp
Cpk
=
=
Abbildung 16.
Linke Zielscheibe: hoher Cp und
niedriger Cpk.
Mittlere Zielscheibe: niedriger Cp
und niedriger Cpk.
Rechte Zielscheibe: hoher Cp und
hoher Cpk.
(77 - 63) / 6 · 1,2 = 1,95
min [(77 - 71) / (3 · 1,2) ,
(71 - 63) / (3 · 1,2)] = min [ 1,67, 2,22 ] = 1,67
Sowohl die Cp- als auch die Cpk-Werte sind größer als 1,33.
Prozessfähigkeit ist gegeben und es braucht nicht nachkalibriert zu werden.
5.4 Maschinenfähigkeitsindizes
Wie wir nun wissen, sind Cp und Cpk Prozessfähigkeitsindizes. Alles, was den Prozess beeinflusst, wirkt sich auf
diese Indizes aus. Aber wenn wir die ganze Streuung weglassen, die den Montageprozess betrifft, außer der Streuung
durch das Werkzeug selbst, bekommen wir die so genannten
Maschinenfähigkeitsindizes Cm und Cmk. Das geht nur unter
stark kontrollierten Bedingungen, am besten in einem
Schraublabor. Derartige Tests sollten dabei an derselben
Verschraubung und von demselben Werker durchgeführt werden (oder, noch besser, Sie spannen das Werkzeug in einer
Vorrichtung ein, um jeden Einfluss durch den Bediener auszuschalten). Die Berechnungen verlaufen für Cm analog wie
für Cm, ebenso für Cmk und Cpk.
Cp und Cpk geben also an, ob Prozessfähigkeit besteht. Cm
und Cmk geben an, ob die Maschine (also das Schraubwerkzeug) für die Anwendung geeignet ist.
21
5.5 Was ist sonst noch zu beachten?
Wenn Sie die Eignung eines Werkzeugs analysieren, ist die
Stichprobengröße von großer Bedeutung, um zuverlässige
Berechnungen des Mittelwerts und der Standardabweichung
zu erhalten. Eine Stichprobengröße von mindestens 25 ist
dringend zu empfehlen.
Und merken Sie auf, wenn jemand behauptet: „Ich habe ein
Werkzeug, das jederzeit eine Cpk-Anforderung von 2,0 erfüllen kann.“ Dann gibt es zwei Möglichkeiten:
1. Er weiß nicht, wovon er redet. Denn es ist sinnlos, über
Eignungsindizes zu reden, ohne die Werkzeugleistung zu
den Anforderungen des Kunden (Toleranzgrenzen) in
Bezug zu setzen.
2. Er weiß, wovon er redet, und versucht, das Werkzeug
besser darzustellen als es ist.
6. Qualitätsregelkarten
Wir haben uns mit Statistik und Genauigkeit sowie mit
Prozessen und Eignungsuntersuchungen befasst. Nun werden
wir etwas über Qualitätsregelkarten und Prüfdiagramme lernen. Wichtige Elemente zu deren Verständnis sind statistische
Kennzahlen, Werkzeugleistung und Produktionsumgebung
(Prozessstreuung).
Qualitätsregelkarten sind wichtige Hilfsmittel der statistischen Prozesskontrolle (SPC). Das Konzept besteht darin, in
bestimmten Abständen immer wieder eine Reihe von
Beobachtungen (Stichproben) aus dem Prozess einzuholen.
Mit Hilfe dieser Beobachtungen (Messungen) wird eine Art
Qualitätsindikator berechnet und in einem Diagramm abgebildet. Der normalerweise in der Schraubmontage verwendete Indikator ist der Mittelwert der Untergruppe und/oder der
Untergruppenbereich.
Erinnern Sie sich noch an den Unterschied zwischen systematischer und zufälliger Streuung? Wenn nicht, blättern Sie
bitte zurück und lesen Sie diesen Abschnitt noch einmal,
denn dieser Unterschied ist sehr wichtig. Wenn der abgebildete Qualitätsindikator innerhalb der 6-σ-Grenzen liegt, sprechen wir davon, dass der Prozess unter statistischer Kontrolle
ist und nur die Zufallsstreuung die Schraubvorgänge beeinflusst.
Wenn diese Grenzen bei Qualitätsregelkarten angewandt
werden, heißen sie Prüfgrenzen. Es gibt auch ein „Idealniveau“, einen zwischen den Prüfgrenzen markierten SollWert, der natürlich der gleiche sein sollte wie unser Soll-Wert
für den Montageprozess. Wenn systematische Streuung im
Prozess auftritt, kann sie die Schraubvorgänge auf unterschiedliche Weise beeinflussen, und zwar den Mittelwert,
die Streuung oder beide.
Qualitätsregelkarten müssen folgenden Anforderungen
genügen:
• Man sollte systematische Veränderungen im Prozess
schnell aufspüren und die Gründe für die Abweichungen
ermitteln können.
• Sie sollten benutzerfreundlich sein.
23
• Die Wahrscheinlichkeit für einen „Fehlalarm“ sollte sehr
gering sein (wenn 6-σ-Grenzen als Prüfgrenzen dienen,
liegt die Wahrscheinlichkeit bei 0,3 %).
• Man sollte erkennen können, wann eine Veränderung
begonnen hat, den Prozess zu beeinflussen.
• Es sollte sicher sein, dass der Prozess unter Kontrolle war.
• Die Qualitätsregelkarten sollten motivieren und ständig
Aufmerksamkeit auf Abweichungen im Prozess und bei
allen qualitätsbezogenen Aspekten lenken.
OPG
6.1
– Diagramme
Zunächst stellen wir eine Qualitätsregelkarte zur Kontrolle
des Durchschnittsniveaus (Mittelwert) einer bestimmten
Einheit vor. Dabei kann es sich um den Durchmesser einer
Schraube oder um das aufgebrachte Drehmoment handeln.
Auf dieser so genannten -Karte (sprich: „x quer“, siehe
auch Kapitel 2.7) wird der Durchschnitt der Beobachtungen
(Messungen) in einem entsprechenden Diagramm abgebildet.
Dazu wird in vorgegebenen Intervallen eine Anzahl von
Messungen, eine Untergruppe, aus dem Prozess eingeholt.
Anschließend wird der Mittelwert für jede Untergruppe
berechnet. Dieser Wert dient uns als Qualitätsindikator.
Abbildung 17. Für Qualitätsregelkarten führen wir
im Prozess eine Anzahl von
Messungen durch, eine
Untergruppe, und bilden die
Durchschnittswerte in
einem Diagramm ab.
Wir wissen, dass wir Schraubfälle mit einer Normalverteilung beschreiben können und uns der Mittelwert und die
Standardabweichung dabei helfen. Wir wissen auch, dass alle
Prozesse wegen unterschiedlicher Abweichungen über die
Zeit streuen (beispielsweise durch Materialunterschiede,
Bedienereinfluss usw.). Die 6-σ-Grenze ermöglicht es uns, zu
erkennen, ob die Prozessstreuung auf zufällige oder besondere Ursachen zurückzuführen ist. (Die Prüfgrenzen basieren
normalerweise auf 6σ, der natürlichen Prozessstreuung.) Das
Erstellen von -Karten ist ganz einfach. Dazu wird die relevante Variable (in unserem Fall das Drehmoment oder der
Drehwinkel) in regelmäßigen Abständen (zum Beispiel einmal pro Stunde oder einmal am Tag) gemessen, wobei in der
Regel jedes Mal eine Gruppe von fünf aufeinander folgenden
Messwerten abgelesen wird.
Wenn die Prüfgrenzen gesetzt sind, können die -Werte
jeder Gruppe von Messwerten auf die Karten übertragen werden. Ist der Montageprozess unter Kontrolle (das heißt, ausschließlich zufällige Streuung beeinflusst den Schraubprozess), streuen die Mittelwerte der Untergruppen zufällig
um den Gesamt-Mittelwert .
6.2 Die Untergruppe
Nehmen wir einmal an, dass die Qualitätsvariable (in unserem Fall die Verschraubungen), die wir überwachen wollen,
den Mittelwert μ und die Standardabweichung σ hat, wenn
der Prozess unter Kontrolle ist. Unser Qualitätsindikator ist
der Mittelwert der Untergruppe, . Im Idealfall haben die
einzelnen Messungen und die Mittelwerte der Untergruppe
denselben Mittelwert (siehe Abbildung 18). Aber es lässt sich
auch erkennen, dass die Streuung σ zwischen den einzelnen
Messwerten größer ist als zwischen den Mittelwerten der
Untergruppen, die ja σ/√ n ist, wobei n für die Anzahl der
Messwerte in jeder Untergruppe steht. Damit ist die
Wahrscheinlichkeit, eine Abweichung von μ zu erkennen,
größer, wenn wir Untergruppen anstelle einzelner Messwerte
untersuchen. Dementsprechend werden die Prüfgrenzen (PG)
normalerweise wie folgt gesetzt (die 6-σ-Grenzen der Untergruppe):
Abbildung 18. Die Streuung
zwischen den einzelnen
Messwerten ist größer als
zwischen den Mittelwerten der
Untergruppe.
Obere PG = μ + 3σ/√n Geschätzt: Obere PG = x + 3s/
Untere PG = μ – 3σ/√n
Untere PG = x – 3s/
Dabei ist der Mittelwert der Mittelwerte der Untergruppen.
Aber wie groß muss eine Untergruppe sein? In Abbildung 19
erkennt man, dass die Standardabweichung nicht mehr sehr
stark abnimmt, wenn die Untergruppengröße (n) mehr als 4
oder 5 beträgt. Das erklärt, warum normalerweise 4, 5 oder 6
als Größen für Untergruppen gewählt werden. Traditionell ist
eine Untergruppengröße von 5 verbreitet.
Abbildung 19. In der Industrie ist eine Untergruppengröße von 5 üblich.
25
6.3 Alarmsignale
Nun kommt etwas Interessantes: Was passiert, wenn etwas
außer den zufälligen Streuungen beginnt, den Schraubprozess
zu beeinflussen? Was, wenn sich die Qualität der Schrauben
plötzlich verschlechtert? Möglicherweise wirkt sich das auf
den Mittelwert der Untergruppen aus. Vielleicht wird die
Streuung innerhalb der Untergruppen beeinflusst. Vielleicht
nimmt das auf die Verbindungen aufgebrachte Drehmoment
allmählich ab. All diese Folgen können nun erkannt werden.
Das Schöne an Qualitätsregelkarten ist, dass der Qualitätsverantwortliche (oder häufig sogar der Werker selbst) potenzielle Probleme erkennen kann. Und zwar rechtzeitig, bevor
die Anziehwerte außerhalb der Toleranzgrenzen driften oder
gar fehlerhaft montiert wird.
Der einfachste Weg, zu merken, dass „außerordentliche“
Faktoren einen Prozess beeinflussen, ist das Auftreten von
Werten außerhalb der Prüfgrenzen. Das ist ein Alarmsignal,
und wir müssen sofort herausfinden, was passiert ist, bevor
wir Anziehwerte außerhalb der Toleranzgrenzen bekommen.
Abbildung 20.
Beispiele, wie Qualitätsregelkarten
aussehen können, wenn sich
systematische Abweichungen in
den Prozess einschleichen.
Abbildung 20 zeigt, wie eine Qualitätsregelkarte aussehen
kann, wenn systematische Streuungen anfangen, den
Montageprozess zu beeinflussen. Die ersten beiden Beispiele
zeigen „Trend-Alarmsignale“. Die Produktion kann während
der Ursachenforschung weitergehen. Das vierte Beispiel
zeigt, wie der Gesamt-Mittelwert anfängt, vom Soll-Wert
abzuweichen. Wir müssen herausfinden, was der Grund für
die Veränderung ist. Vielleicht genügt es ja, das Werkzeug
neu einzumessen.
6.4 Bereichsdiagramme
Um die Streuung im Prozess zu überwachen, können wir entweder die Standardabweichung oder den Bereich innerhalb
der Untergruppen verwenden. Der Bereich („R“ für englisch
„Range“) ist die Differenz zwischen dem größten und dem
kleinsten Wert jeder Untergruppe (siehe auch Anhang 1). Die
Standardabweichung s basiert natürlich auf allen Werten
innerhalb der Untergruppe, während der Bereich auf nur
zwei Werten basiert. Das bedeutet, dass eine s-Karte zuverlässiger ist und mehr Angaben über die Streuung macht.
Allerdings lässt sich ein R-Diagramm leichter berechnen und
– obwohl wir heute Computer haben, die alles für uns
berechnen – ist bei vielen Anwendern immer noch sehr
beliebt.
Der Bereich R hilft uns, die Streuung der Untergruppe zu
schätzen. Dies ist mit Hilfe verschiedener Verfahren möglich,
die man in Handbüchern für statistische Prozesskontrolle findet. Ist die Mittellinie , ergeben sich die Prüfgrenzen für
die Qualitätsregelkarte wie folgt:
Obere PG = D4
Untere PG = D3
●
●
Die R-Karte gibt an, wie sich die Streuung in den Untergruppen entwickelt. Mit ihr kann festgestellt werden, wenn
eine systematische Streuung im Prozess die Streuung der
Untergruppe beeinflusst.
6.5 Anmerkung zur Handhabung von
Qualitätsregelkarten
Um aussagekräftige Karten zu bekommen, sollten die Prüfgrenzen auf einer großen und zuverlässigen Zahl von
Verschraubungen beruhen und regelmäßig mit aktuellen
Daten aus dem Fertigungsprozess neu berechnet werden.
Dieses Kapitel kann nur eine kurze Einführung in die
Prozesskontrolle mit Qualitätsregelkarten geben und nicht
alle Möglichkeiten dieser Karten und Diagramme aufzeigen.
Zusammenfassung
Dieses Taschenbuch erklärt statistische Grundlagen wie
Verteilung, Mittelwert und Standardabweichung. Außerdem
zeigt es, wie diese in der Schraubfallanalyse eingesetzt werden können, um Eignungsuntersuchungen für bestimmte
Anwendungsfälle durchzuführen. Ferner wird erklärt, wie der
(Montage-)Prozess mit Hilfe von Qualitätsregelkarten überwacht und gesteuert werden kann.
Dieses Taschenbuch kann nicht alle Aspekte der Statistik und
die umfangreichen Möglichkeiten der statistischen Prozesskontrolle erläutern. Es kann lediglich in die Thematik einführen. Für weitere Informationen empfehlen wir entsprechende
Fachliteratur.
Auch sprengte es den Rahmen dieser Broschüre, die zahlreichen Produkte vorzustellen, mit denen Atlas Copco Ihnen
helfen kann, die Möglichkeiten statistischer Untersuchungen
für Ihre Produktion zu nutzen. Wenn Sie Informationen dazu
benötigen, wenden Sie sich bitte an Ihren
Atlas-Copco-Verkäufer oder -Fachhändler.
27
Anhang
A1. Beispiel für einfache statistische
Berechnungen
Das folgende Beispiel wird Ihnen helfen, die statistischen
Grundlagen zu verstehen. In diesem Beispiel werden die
Drehmoment-Niveaus von zwei Schraubwerkzeugen anhand
der unten dargestellten Drehmomentwerte miteinander
verglichen. Das Drehmoment-Soll ist 10 Nm.
Atlas-Copco-Werkzeug
Anderes Werkzeug
10
10
10,1
11
10,2
9
9,7
8
10,0
12
10,2
10
10,1
9
9,7
12
9,8
8
10,2
11
Welches der beiden Werkzeuge ist das genauere? Um diese
Frage zu beantworten, berechnen wir zunächst den
Mittelwert der beiden Reihen. Der Mittelwert gibt uns den
Durchschnitt aller bei den verschiedenen Verschraubungen
erhaltenen Werte. Er erhält das Symbol . Der Mittelwert
wird berechnet, indem man die einzelnen Schraubdaten, xi,
addiert (hier also x1 bis x10) und sie durch die Anzahl der
Verschraubungen, n, teilt. Hier ist n = 10.
x= Σni=1 x i /n
Mittelwert,
10
Anderes Werkzeug
10
Beide Werkzeuge haben einen Mittelwert von 10 Nm. (Hätte
eines der Werkzeuge einen Mittelwert von 15 Nm, wüssten
wir, dass dieses Werkzeug nicht so gut ist wie das andere,
welches das Drehmoment-Soll von 10 Nm erreicht.) Doch
haben beide Werkzeuge die gleiche Genauigkeit? Die
Genauigkeit gibt an, wie exakt ein Werkzeug das Soll-Ziel
erreicht. Sie ist ein Maß dafür, wie genau der eingestellte
Wert mit dem gemessenen Ist-Wert einer Variable (hier:
Drehmoment) übereinstimmt.
Wie unterscheiden sich die Werkzeuge jetzt? Betrachten wir
den jeweiligen Wertebereich beider Werkzeuge. Der Bereich
R gibt an, zwischen welchen Werten unsere Verschraubungen
liegen. R errechnet sich aus der Differenz zwischen dem
höchsten und dem niedrigsten Wert im Bereich.
R = xmax – xmin.
Bereich, R
0,5
Anderes Werkzeug
4
Mit dem Atlas-Copco-Werkzeug schwanken unsere
Schraubwerte nur um 0,5 Nm zwischen dem höchsten und
dem niedrigsten Wert, während das andere Werkzeug eine
Streuung von 4 Nm aufweist. Erhielte man nun aber beispielsweise bei 1000 Verschraubungen mit dem Atlas-CopcoWerkzeug auch nur einmal einen Wert, der weit außerhalb
des Bereichs läge, wie etwa 5, bekäme man einen R-Wert
von 5,5. Dann könnte das Atlas-Copco-Werkzeug nicht als
genaues Werkzeug durchgehen.
Wir müssen also eine Rechenmethode finden, die den
Einfluss dieses einen Ausreißerwertes beseitigt.
29
Ein statistischer Indikator für Schwankungen ist die
Standardabweichung. Als Maß für die Abweichung
beschreibt sie die durchschnittliche Differenz zwischen
einem Messwert einer Variablen und dem im Prozess angestrebten Wert (Soll-Wert). Wir berechnen also die Abweichungen für jeden Wert und addieren diese anschließend:
Drehmoment
Anderes Werkzeug
xi -
Drehmoment
xi -
10
0
10
0
10,1
0,1
11
1
10,2
0,2
9
-1
9,7
-0,3
8
-2
10,0
0
12
2
10,2
0,2
10
0
10,1
0,1
9
-1
9,7
-0,3
12
2
9,8
-0,2
8
-2
10,2
0,2
11
1
=10
=0
=10
=0
Das Ergebnis ist für beide Werkzeuge 0. Was ist in diesem
Fall das Problem? Wir haben sowohl positive als auch negative Werte, und sie heben sich in beiden Beispielen genau
auf. Wenn wir aber das Minus eliminieren, erhalten wir die
absoluten Werte jeder Abweichung. Um das Minus mathematisch zu eliminieren, können wir jeden Wert quadrieren. Dann
ergeben sich nur noch „Plus“-Zahlen.
σ
xi -
(xi -
Anderes Werkzeug
)
2
σ
xi -
(xi -
)2
10
0
0
10
0
0
10,1
0,1
0,01
11
1
1
10,2
0,2
0,04
9
-1
1
9,7
-0,3
0,09
8
-2
4
10,0
0
0
12
2
4
10,2
0,2
0,04
10
0
0
10,1
0,1
0,01
9
-1
1
9,7
-0,3
0,09
12
2
4
9,8
-0,2
0,04
8
-2
4
10,2
=10
0,2
(xi –
)=0
(xi–
0,04
11
)2= 0,36
=10
1
(xi –
)=0
1
(xi–
)2=20
Nun haben wir einen Vergleichswert in (Nm)2. Aber was sagt
dieser Wert aus? Er beschreibt die „absolute“ Abweichung.
Dieser Wert hängt von der Anzahl der Verschraubungen ab.
Wir teilen diesen Wert durch die Anzahl der Schraubvorgänge
–1, um einen Durchschnitt zu erhalten. Dann ziehen wir die
Quadratwurzel aus dieser Summe, um wieder einen Wert in
Nm zu erhalten (siehe auch Kapitel 2.7).
s = [Σ ni=1 (x i –x) 2 (n–1)]
Anderes Werkzeug
0,2
1,5
Damit haben wir die Standardabweichung der Stichprobe
berechnet. Die Standardabweichung ist eine Möglichkeit, zu
messen, wie gut Werkzeuge arbeiten, das heißt, wie nahe sie
an einen vorgegebenen Wert kommen. Jetzt zeigt sich ein
deutlicher Unterschied. Das Atlas-Copco-Werkzeug hat eine
Standardabweichung von 0,2 Nm vom Soll, während das
andere Werkzeug eine Standardabweichung von 1,5 Nm aufweist. Dieses Beispiel lehrt uns: Obwohl beide Werkzeuge
denselben Mittelwert haben, können sie sehr unterschiedlich
hinsichtlich ihrer Genauigkeit sein. Das erste Werkzeug ist
genauer; die Schraubwerte des Atlas-Copco-Werkzeugs liegen
näher am Soll-Wert. Die Standardabweichung ist eine
Möglichkeit, das zu ermitteln.
31
A2. Beispiele für die Berechnung der Maschinenoder Prozessfähigkeit
Die Eignung eines Schraubwerkzeugs („Maschinenfähigkeit“) sagt etwas darüber aus, wie es sich im jeweiligen
Anwendungsfall verhält. Um die Maschinen- oder Prozessfähigkeitkoeffizienten zu berechnen, wird die Werkzeuggenauigkeit (Mittelwert und Standardabweichung) in
Beziehung gesetzt zu den Anforderungen des Schraubfalls
(Soll-Wert und Toleranzgrenzen).
Nehmen wir an, wir haben einen Schraubfall mit dem SollWert von 15 Nm und Toleranzen von ± 8 %. Das bedeutet,
die obere Toleranzgrenze liegt bei 16,2 Nm und die untere
Grenze bei 13,8 Nm. Wir hätten folgende 20 Schraubergebnisse für ein Werkzeug an der Produktionslinie ermittelt:
15,4
15,6
15,4
15,1
15,1
15,5
15,0
15,3
15,2
15,1
15,5
15,3
15,4
15,3
15,3
15,1
15,2
15,4
15,1
15,2
Daraus können wir den Mittelwert und die Standardabweichung berechnen:
= 305,5/20 = 15,275
= 0,165
Anschließend berechnen wir Cp und Cpk:
Cp = (Maximalwert – Minimalwert) / 6σ =
(16,2 – 13,8) / (6 · 0,165) = 2,42
Cpk = min [(Maximalwert – Mittelwert) / 3σ; (Mittelwert –
Minimalwert) / 3σ] =
min [(16,2 – 15,275) / 3 · 0,165; (15,275 – 13,8 / 3 · 0,165] =
min [ 1,87; 2,98 ] = 1,87
Sowohl der Cp- als auch der Cpk-Wert sind größer als 1,33;
Prozessfähigkeit ist gegeben. Das Werkzeug braucht nicht
nachkalibriert zu werden, auch wenn der Mittelwert leicht
vom Soll-Wert abweicht.
A3. Beispiel für Qualitätsregelkarten
Nun wollen wir mit den Schraubwerten aus dem vorherigen
Beispiel eine Qualitätsregelkarte erstellen. Nehmen wir an,
dass wir einen Produktionsprozess, der einige Zeit angehalten
worden war, wieder starten. In diesem Fall wissen wir nicht,
wie groß der Mittelwert μ und die Standardabweichung σ
sind. Um die Prüfgrenzen für die Qualitätsregelkarte zu
berechnen, müssen die Berechnungen auf einer ausreichenden Anzahl von Schraubvorgängen basieren. Gemäß
Faustregel sollten mindestens 20 bis 25 Untergruppen für die
Berechnung der Prüfgrenzen vorliegen. Denn man benötigt
mindestens 20 Untergruppen, um sagen zu können, ob der
Prozess unter Kontrolle ist oder nicht. Bei diesem Beispiel
nehmen wir allerdings nur vier Untergruppen, um die Sache
etwas zu vereinfachen.
33
Nehmen wir an, dass wir diese Ergebnisse an vier Tagen
gesammelt haben. Wir haben die Untergruppengröße auf fünf
festgelegt, haben also an jedem Tag fünf Ergebnisse gesammelt:
Tag 1
15,4
15,6
15,4
15,1
15,1
Tag 2
15,5
15,0
15,3
15,2
15,1
Tag 3
15,5
15,3
15,4
15,3
15,3
Tag 4
15,1
15,2
15,4
15,1
15,2
Als erstes berechnen wir den Mittelwert für jede Untergruppe, indem wir jeweils die fünf Werte addieren und durch
5 teilen ( 1 ist der Mittelwert am Tag 1 und so weiter):
=
=
3 =
4 =
1
2
15,32
15,22
15,36
15,2
Ist der Produktionsprozess unter Kontrolle, entspricht der
Soll-Wert dem Gesamt-Mittelwert . Der Gesamt-Mittelwert
ist leicht zu berechnen: = 15,275. Wir wissen, dass die
Prüfgrenzen auf der natürlichen Streuung zwischen den
Mittelwerten der Untergruppen basieren.
Obere PG =
Untere PG =
+ 3 s / √n = 15,275 + (3 · 0,165 / √5) = 15,275 + 0,22 = 15,495
– 3 s / √n = 15,275 – (3 · 0,165 / √5) = 15,275 – 0,22 = 15,055
Jetzt können wir unsere Qualitätsregelkarte erstellen. Wir
nehmen den Gesamt-Mittelwert als Mittellinie und tragen
auch die Prüfgrenzen auf der Karte ein. Nun übertragen wir
die Mittelwerte der Untergruppen auf die Karte.
Wie wir sehen, liegen alle Werte innerhalb der Prüfgrenzen,
und der Produktionsprozess ist unter Kontrolle (auch wenn
einzelne Schraubwerte außerhalb der Grenzen liegen).
Erinnern Sie sich, dass die Grenzen auf der Streuung der
Mittelwerte der Untergruppen basieren, nicht auf den einzelnen Verschraubungen.
Von jetzt an ist es einfach, jeden Tag den Mittelwert einer
neuen Untergruppe in die Karte einzutragen. Solange die
abgebildeten Werte nach dem Zufallsprinzip um die
Mittellinie gestreut sind, ist der Prozess unter Kontrolle.
Abbildung 21. Der Prozess
ist unter Kontrolle, wenn
die Mittelwerte der Untergruppen nach dem Zufallsprinzip um den GesamtMittelwert streuen.
35
A4. Leistungsanalyse bei Montagewerkzeugen –
Berechnung gemäß ISO 5393
Mit Hilfe der ISO 5393, die als internationaler Standard anerkannt ist, können wir die Leistung verschiedener Werkzeuge
bewerten und Werkzeuge miteinander vergleichen. Die ISO
5393 gibt ein grundlegendes Testverfahren und Vorgehen bei
der Analyse der Ergebnisse vor. Auf dieser Basis haben viele
Automobilhersteller ihre eigenen Zertifizierungsstandards
entwickelt.
Nehmen wir zum Beispiel einmal an, dass wir ein Werkzeug
nach dem in der ISO 5393 angegebenen Verfahren getestet
haben. Bei einer harten Verbindung und der höchsten
Drehmomenteinstellung habe es folgende Ergebnisse gegeben (in Nm):
31,5 33,2 32,6 33,7 31,4 32,5 33,1 31,2 33,5 32,6 33,1
31,0 32,3 33,2 32,4 31,5 33,5 33,3 31,5 32,6 31,3 33,7
33,0 31,8 33,0
Wir berechnen nun alle Werte, die für die Analyse der
Anziehgenauigkeit des Werkzeugs erforderlich sind, wie in
der ISO 5393 beschrieben. Nehmen wir an, diese Daten gelten bei der harten Verbindung und der höchsten Drehmomenteinstellung.
Dann wäre der Drehmoment-Mittelwert: (
)
= (31,5 +33,2 + 32,6 + 33,7 + ....+ 33,0) / 25= 32,5 Nm
Bereich:
R = 33,7 – 31,0 = 2,7 Nm
Standardabweichung (s)
2
2
2
s = (31,5–32,5)+(33,2–32,5)+.....+(33,0–32,5) (25–1) == 0,863
0.863Nm
Nm
6-s-Drehmomentstreuung
6 x 0,863 = 5,18 Nm
6-s-Streuung als prozentualer Anteil des mittleren
Drehmoments
= (5,18 / 32,5) x 100 = 15,93 %
Nehmen wir nun an, wir hätten für dasselbe Werkzeug die
folgenden Werte für die Daten der anderen in der ISO 5393
beschriebenen Drehmomenteinstellungen und Schraubfälle
errechnet:
Für die höhere Drehmomenteinstellung bei einer weichen
Verbindung: einen Mittelwert von 31,95 und eine
Standardabweichung von 0,795.
Für die niedrigere Drehmomenteinstellung bei einer harten
Für die niedrigere Drehmomenteinstellung bei einer weichen
Wir können nun folgende Berechnungen für die
höhere Drehmomenteinstellung durchführen:
a = Mittelwert harte Verbindung + 3 s der harten
Verbindung
b = Mittelwert weiche Verbindung + 3 s der weichen
Verbindung
c = Mittelwert harte Verbindung – 3 s der harten
Verbindung
d = Mittelwert weiche Verbindung – 3 s der weichen
Verbindung
Das ergibt:
a=
b=
c=
d=
32,50 + (3 x 0,863) = 35,09
31,95 + (3 x 0,795) = 34,34
32,50 – (3 x 0,863) = 29,91
31,95 – (3 x 0,795) = 29,56
Kombinierter Drehmoment-Mittelwert:
(35,09 + 29,56) / 2 = 32,33 Nm
Mittelwertversatz:
32,5 – 31,95 = 0,55 Nm
37
Kombinierte Drehmomentstreuung:
35,09 – 29,56 = 5,53 Nm
Kombinierte Drehmomentstreuung als prozentualer Anteil
des kombinierten Mittelwerts:
(5,53 / 32,33) x 100 = 17,1 %
Berechnungen für die niedrigere Drehmomenteinstellung:
a = Mittelwert harte Verbindung
b = Mittelwert weiche Verbindung
c = Mittelwert harte Verbindung
d = Mittelwert weiche Verbindung
+ 3 s harte Verbindung
+ 3 s weiche Verbindung
– 3 s harte Verbindung
– 3 s weiche Verbindung
Das ergibt:
a = 23,72 + (3 x 0,892) = 26,40
b = 22,87 + (3 x 0,801) = 25,27
c = 23,72 – (3 x 0,892) = 21,04
d = 22,87 – (3 x 0,801) = 20,47
Kombinierter Drehmoment-Mittelwert:
(26,40 + 20,47) / 2 = 23,44 Nm
Mittelwertversatz:
23,72 – 22,875 = 0,85 Nm
Kombinierte Drehmomentstreuung:
26,40 – 20,47 = 5,93 Nm
Kombinierte Drehmomentstreuung als prozentualer Anteil
des kombinierten Mittelwerts:
(5,93 / 23,44) 100 = 25,3 %
●
Die Werkzeugeignung beträgt 25,3 %, da sich die größte
Drehmomentstreuung bei der niedrigeren Drehmomenteinstellung
ergeben hat.
Dieses Werkzeug wird in der Praxis bei 99,7 % aller
Schraubverbindungen innerhalb von gerundet ± 13 % seines voreingestellten Drehmomentwertes anziehen (das heißt, 99,7 % der
Schraubergebnisse liegen innerhalb von ± 3 s um den Mittelwert).
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