Skript zur Vorlesung Fluidmechanik - Prof. Dr.

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Skript zur Vorlesung
Fluidmechanik
Prof. Dr.-Ing. Peter R. Hakenesch
Version 2.1
i
___________________________________________________________________
Inhalt
1
Einleitung ........................................................................................................... 1
1.1
Allgemeines .............................................................................................................. 1
1.2
Historische Entwicklung ............................................................................................ 2
1.3
CFD als Entwurfswerkzeug ...................................................................................... 2
1.4
Strömungssimulation in Windkanälen....................................................................... 5
1.5
Gliederung der Fluidmechanik .................................................................................. 6
1.6
Begriffsdefinitionen ................................................................................................... 7
1.6.1
Fluid .................................................................................................................... 7
1.6.2
Stationäre und instationäre Strömung, quasistationäre Strömung ..................... 7
1.6.3
Stromlinie und Bahnkurve ................................................................................... 7
1.6.4
Stromfaden und Stromröhre ............................................................................... 8
1.6.5
Ideale und Reale Fluide ...................................................................................... 8
1.7
Klassifizierung von Strömungen ............................................................................... 9
1.7.1
Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung ........................................ 9
1.7.2
Einteilung von Strömungen als Funktion der Kompressibilität .......................... 10
1.7.3
Einteilung von Strömungen als Funktion der Machzahl .................................... 11
1.7.4
Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche .......................... 17
1.8
Einteilung der Fluide nach Fließverhalten .............................................................. 17
2
Hydrostatik ........................................................................................................18
2.1
Grundlagen ............................................................................................................. 18
2.1.1
Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase ............................... 18
2.1.2
Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten ................................................. 19
2.1.3
Druckeinheiten .................................................................................................. 20
2.1.4
Hydrostatischer Druck ...................................................................................... 20
2.1.5
Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon...................................................... 21
2.1.6
Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren) ............................................. 22
2.1.7
Saugwirkung ..................................................................................................... 24
2.1.8
Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes) ................................................... 26
2.1.9
Oberflächenspannung und Kapillarwirkung ...................................................... 28
2.1.10
Viskosität ....................................................................................................... 34
2.2
Druckmessung ........................................................................................................ 37
2.2.1
Druckbegriffe .................................................................................................... 37
2.2.2
Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer ............................ 38
2.2.3
Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel ....................... 39
2.2.4
Differenzdruckmessung .................................................................................... 39
2.2.5
Berücksichtigung des Temperatureinflusses .................................................... 40
2.2.6
Berücksichtigung der Luftfeuchte ..................................................................... 40
2.2.7
Drucksonden..................................................................................................... 41
2.2.8
Schrägrohrmanometer ...................................................................................... 41
2.3
Druckkräfte auf Begrenzungsflächen ..................................................................... 43
2.3.1
Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche ................................................. 43
2.3.2
Druckkraft auf eine geneigte Fläche ................................................................. 43
2.3.3
Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen ............................................. 45
2.3.3.1
Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen ................................................. 45
2.3.3.2
Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen ........................................ 47
2.3.4
Stabilität ............................................................................................................ 48
2.3.4.1
Stabilität schwebender Körper ...................................................................... 48
2.3.4.2
Stabilität schwimmender Körper ................................................................... 49
2.4
Fluide unter Beschleunigung .................................................................................. 51
2.4.1
Niveauflächen ................................................................................................... 51
2.4.2
Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter .............................................. 51
2.4.3
Rotierende Flüssigkeiten .................................................................................. 51
ii
___________________________________________________________________
3
Aerostatik ..........................................................................................................56
3.1
Atmosphäre der Erde ............................................................................................. 56
3.1.1
Die Erdatmosphäre als Wärmekraftmaschine .................................................. 56
3.1.2
Aufbau der Erdatmosphäre............................................................................... 57
3.2
Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe ............................................................ 59
3.2.1
Luftdruck ........................................................................................................... 59
3.2.2
Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement ............................................... 59
3.3
Internationale Standardatmosphäre (ISA) .............................................................. 62
3.3.1
Temperaturverteilung der Standardatmosphäre ............................................... 62
3.3.2
Definitionen der Höhe ....................................................................................... 65
4
Strömung von Fluiden .....................................................................................70
4.1
Grundbegriffe .......................................................................................................... 70
4.1.1
Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes .............................................. 70
4.1.2
Stationäre und instationäre Strömungen .......................................................... 70
4.1.3
Bahnlinie und Stromlinie ................................................................................... 71
4.1.4
Stromröhre, Stromfaden, Stromfläche .............................................................. 72
4.2
Kontinuitätsgleichung ............................................................................................. 73
4.3
Energieerhaltungssatz ............................................................................................ 74
4.3.1
Satz von Bernoulli ............................................................................................. 74
4.3.2
Euler-Gleichung ................................................................................................ 80
4.3.3
Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung ................... 82
4.3.4
Ausfluss aus Gefäßen und Behältern - verlustfrei ............................................ 84
4.3.5
Ausfluss aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck - verlustfrei ................. 84
4.3.6
Ausfluss aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen ..................................... 86
4.3.7
Ausfluss aus Behältern in ruhendes Wasser .................................................... 86
4.3.8
Ausströmen von Fluiden aus Behältern in die Atmosphäre .............................. 87
4.3.9
Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter ............................................ 88
4.4
Strömung mit Energietransport ............................................................................... 89
4.4.1
Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten ........................ 89
4.4.2
Turbine.............................................................................................................. 92
4.4.3
Pumpe und Gebläse ......................................................................................... 93
4.5
Modellgesetze ........................................................................................................ 94
4.5.1
Simulationsproblematik..................................................................................... 94
4.5.2
Kennzahlen ....................................................................................................... 94
4.5.3
Reynoldszahl .................................................................................................... 96
4.6
Grenzschichttheorie ................................................................................................ 98
4.6.1
Grenzschicht ..................................................................................................... 98
4.6.2
Verdrängungsdicke * der Grenzschicht .......................................................... 98
4.6.3
Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte .................................. 99
4.6.4
Transition ........................................................................................................ 101
4.7
Widerstand von Körpern ....................................................................................... 104
4.7.1
Formen des Widerstands................................................................................ 104
4.7.2
Reibungswiderstand ....................................................................................... 105
4.7.3
Druckwiderstand ............................................................................................. 108
4.7.4
Induzierter Widerstand.................................................................................... 115
4.7.5
Interferenzwiderstand ..................................................................................... 118
4.7.6
Gesamtwiderstand .......................................................................................... 119
4.8
Kugelumströmung ................................................................................................ 122
4.8.1
Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung) .................. 122
4.8.2
Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel .................................................... 122
4.9
Zylinderumströmung ............................................................................................. 127
4.9.1
Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung) ....................................... 127
4.9.2
Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders ........................................... 127
iii
___________________________________________________________________
4.10 Rohrströmung ....................................................................................................... 129
4.10.1
Laminare Rohrströmung ............................................................................. 129
4.10.2
Turbulente Rohrströmung ........................................................................... 129
4.10.3
Rohrreibungswiderstand ............................................................................. 130
4.10.4
Rohrreibungszahl  ..................................................................................... 131
4.11 Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren .................................... 134
4.11.1
Widerstand infolge von Ablösung................................................................ 134
4.11.2
Querschnittserweiterung (Diffusor) ............................................................. 135
4.11.3
Querschnittsverengung (Düse) ................................................................... 138
4.11.4
Durchflussmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167).... 140
4.11.5
Krümmer - Richtungsänderung ................................................................... 141
4.11.6
Eintrittsverluste............................................................................................ 142
4.11.7
Verlustziffern  von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung) ...... 143
5
Impulssatz .......................................................................................................147
5.1
5.2
5.3
5.4
5.5
5.6
5.7
5.8
6
Newton’sche Axiome ............................................................................................ 147
Stromröhre und Stromfaden ................................................................................. 148
Impuls ................................................................................................................... 148
Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum ....................... 149
Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum ..................................................................... 150
Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen .................................... 151
Impulssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen ................................................. 152
Anwendungsprinzip des Impulssatzes.................................................................. 153
Drallsatz ..........................................................................................................157
6.1
6.2
Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung ............................................................. 157
Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen ....................................... 163
iv
___________________________________________________________________
Nomenklatur
Lateinische Bezeichnungen
A
[m²]
Fläche
a
[m/s²]
Beschleunigung
a
[m/s]
Schallgeschwindigkeit
c
[m/s]
Geschwindigkeit
[-]
Druckbeiwert
cp
cp
[J/kgK]
spez. Wärme bei konst. Druck
cv
[J/kgK]
spez. Wärme bei konst. Volumen
D
[1/s]
Schergefälle
F
[N]
Kraft, Schub
Fr
[-]
Froude-Zahl
Ec
[-]
Eckert-Zahl
Eu
[-]
Euler-Zahl
Fo
[-]
Fourier-Zahl
g
[m/s²]
Gravitationskonstante
H
[m]
Höhe, Förderhöhe
h
[m]
Höhe
H
[J]
Enthalpie
h
[J/kg]
spez. Enthalpie
Flächenträgheitsmoment
I
[m4]
I
[Ns]
Impuls
I
[N]
Impulsstrom
Kn
[-]
Knudsen-Zahl
k
[m]
Rauigkeit
L
[Nms]
Drall
L
[Nm]
Drallstrom
l
[m]
Länge
M
[-]
Machzahl
M
[-]
Metazentrum
M
[Nm]
Moment
m
[kg]
Masse
m
[kg/s]
Massestrom
n
[-]
Lastvielfaches
n
[-]
Polytropenexponent
P
[W]
Leistung
Pe
[-]
Péclet-Zahl
Pr
[-]
Prandtl-Zahl
p
[Pa]
Druck
Q
[J]
Wärme
q
[J/kg]
spez. Wärme

Q
[J/m²]
Wärmestrom
q
[W/m²]
spez. Wärmestrom
R
[J/kgK]
spez. Gaskonstante (Luft: RLuft = 287,05 J/kgK)
Re
[-]
Reynoldzahl
r
[m]
Radius
S
[-]
Strouhalzahl
S
[J/K]
Entropie
s
[J/K kg]
spez. Entropie
T
[K]
Temperatur
T
[s]
Umlaufzeit
v
___________________________________________________________________
Tu
t
T
U
U
u
u, v, w
V
V
v
W
W
w
We
Y
x, y, z
[-]
[s]
[s]
[J]
[m]
[J/kg]
[m/s]
[m³]
[m/s]
[m³/kg]
[N]
[J]
[J/kg]
[-]
[m²/s²]
[m]
Turbulenzgrad
Zeit
Umlaufzeit
innere Energie
Umfang
spez. innere Energie
Geschwindigkeiten in x, y, z-Richtung
Volumen
Geschwindigkeit
spezifisches Volumen
Widerstand
Arbeit
spez. Arbeit
Weber-Zahl
spez. Förderarbeit
Ortskoordinaten
Griechische Bezeichnungen

[rad, Grad]
Anstellwinkel
K
[-]
Kontraktionszahll

[rad, Grad]
Schiebewinkel

[m³/kgs²]
Gravitationskonstante, Erde = 6,6710-11

[m]
Grenzschichtdicke

[-]
Expansionszahl

[-]
Wirkungsgrad

[%]
Relative Luftfeuchte

[-]
Verustziffer

[-]
Isentropenexponent

[-]
Kraftmaßstabsfaktor

[m]
mittlere freie Weglänge

[W/mK]
Wärmeleitfähigkeit

[-]
Längenmaßstabsfaktor

[-]
Rohrreibungszahl

[-]
Ausflusskoeffizient

[Pas]
dynamische Viskosität

[m²/s]
kinematischen Viskosität

[-]
Zeitmaßstabsfaktor

[-]
Kreiszahl

[-]
Druckverhältnis

[kg/m³]
Dichte
4

[W/m²K ]
Stefan-Boltzmann-Konstante,  = 5,669710-8

[N/m]
Kapillarspannung

[Pa]
Schubspannung

[rad]
Winkelgeschwindigkeit

[-]
Verlustbeiwert
vi
___________________________________________________________________
Indizes

0
0
Diss
d
F
f
K
M
O
p
R
S
s
t
V
W
Größe auf die ungestörte Strömung bezogen
Größe auf Meeresniveau bezogen
Totalgröße
dissipiert
Dampf
Fluid
feucht
Körper
Modell
Original
Druck
Reibung
Flächenschwerpunkt
isentrope Zustandsänderung
Totalgröße
trocken
Verlust
Wand
Symbole



Nabla-Operator
Laplace-Operator
proportional
Fluidmechanik
Einleitung
1
___________________________________________________________________
1
Einleitung
1.1 Allgemeines
Fluidmechanik ist die Wissenschaft von den Gesetzen der Bewegung und des
Kräftegleichgewichtes der ruhenden und bewegten Flüssigkeiten (Hydrodynamik) und Gase
(Thermodynamik, Gasdynamik, Aerodynamik). Sie ist ein Teilgebiet der Technischen
Mechanik und somit Teil der angewandten Physik. Die genaue Bezeichnung dieser
Wissenschaft lautet Mechanik flüssiger Körper oder Fluidmechanik, wobei unter dem
Begriff "flüssiger Körper" dünnflüssige, tropfbare Flüssigkeiten und Gase zu verstehen sind.
Da im Deutschen ein Oberbegriff für tropfbare Flüssigkeiten und Gase fehlt, hat man dafür
nach DIN 5492 den Begriff "Fluid" bzw. “Fluide“ vorgeschlagen. Im Englischen wird die
Bezeichnung "fluid" als Oberbegriff für Flüssigkeiten und Gase, also ein nichtfestes
Kontinuum, verwendet. Der Begriff "Strömungsmechanik", wird aus historischen Gründen
sehr häufig parallel verwendet, umfasst jedoch streng genommen nicht die Wissenschaft von
den Gesetzmäßigkeiten ruhender Flüssigkeiten und Gase, d.h. der Hydrostatik bzw.
Aerostatik.
Verglichen mit der Massenpunktdynamik, die oft schon gute Einblicke in reale Vorgänge gibt,
ist die Strömungslehre wesentlich komplexer. Das Momentanbild einer Planetenbewegung
lässt sich z.B. durch die Koordinaten des Schwerpunktes S, dessen Geschwindigkeit w und
Beschleunigung a darstellen oder durch das 3. Gesetz von Kepler:
Gl. 1-1:
r 3   mS

 const .  3,36  1018 m 3 s 2
T 2 4  2
Das Momentanbild der Umströmung eines Körpers hingegen erfordert die Kenntnis der
Geschwindigkeiten und Drücke nicht eines einzigen Massepunktes, sondern theoretisch
unendlich vieler Punkte im Raum, aus denen das Druck- und Geschwindigkeitsfeld bestimmt
wird.
Abb. 1-1:
Zum Vergleich Massenpunktdynamik – Fluidmechanik
Das Versuchswesen nimmt in der Fluidmechanik eine weit wichtigere Rolle ein als in der
Festkörpermechanik. In der Fluidmechanik stehen meist nicht so sehr die bewegten Teilchen
als vielmehr die ruhenden oder gleichförmig bewegten umströmten Körper im Mittelpunkt des
Interesses, z.B. Landfahrzeuge oder Luftfahrzeuge. Allerdings gewinnen numerische, also
computergestützte Verfahren (CFD computational fluid dynamics) zunehmend an
Bedeutung. Simulation im Windkanal wird mehr und mehr durch Computer-Simulationen
ergänzt.
Fluidmechanik
Einleitung
2
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1.2 Historische Entwicklung
Bis zum 17. Jahrhundert war die Strömungsmechanik durch eine ausschließlich
experimentelle Arbeitsweise gekennzeichnet. Im 17.- 18. Jahrhundert setzte die Entwicklung
der theoretischen Strömungsmechanik ein und erst seit ca. 1960, mit der Verfügbarkeit der
ersten leistungsfähigen elektronischen Rechner begann die Entwicklung der numerischen
Strömungsmechanik. Die drei Elemente Experiment, Theorie und CFD sind jedoch nicht als
isolierte, getrennt einzusetzende Werkzeuge zu verstehen, sondern als sich gegenseitig
ergänzende Verfahren. Wobei jedes einzelne Verfahren unterschiedliche Stärken und
Schwächen aufweist. Somit kann CFD als Bindeglied zwischen theoretischen und
experimentellen Verfahren eingestuft werden.
Theorie
Experiment
CFD
Abb. 1-2:
CFD als Bindeglied zwischen Experiment und Theorie
Das Hauptaugenmerk für viele Anwendungen liegt in der Regel in der Ermittlung der
Druckverteilung an der Oberfläche des umströmten Körpers und den daraus resultierenden
Kräften und Momenten auf den Körper. Diese sind erforderlich zur Bestimmung der
Auslegungslasten für die Struktur und der Bestimmung der aerodynamischen Parameter,
z.B. Auftrieb und Widerstand.
Die Bedeutung der Fluidmechanik zeigt sich z.B. in der
 Vorausberechnung der Antriebsleistung für Fahrzeuge
 Auslegung von Pumpen- und Kompressorleistungen für in Rohrleitungen transportierte
Fluide im Maschinenbau und in der Verfahrenstechnik
 Bereitstellung der Grundlagen für den Entwurf von Gleitlagern, Strömungsmaschinen
(Kreiselpumpen, Ventilatoren, Kompressoren, Dampf-, Gas- und Wasserturbinen)
Dazu ist es jedoch häufig erforderlich das gesamte, den Körper beeinflussende Strömungsfeld zu kennen. Hier bieten sich neben einer reinen theoretischen Analyse oder einfachen
Handbuchmethoden, unterschiedliche Vorgehensweisen an. Entweder die Durchführung von
Modellversuchen im Wind- oder Wasserkanal oder eine numerische Analyse mit Hilfe von
CFD-Methoden. Die Durchführung von Flug- oder Fahrversuchen ist naturgemäß erst in
späteren Phasen des Entwicklungsprozesses möglich.
1.3 CFD als Entwurfswerkzeug
Seit ca. 1970 wird CFD erfolgreich zur Berechnung zweidimensionaler Strömungen, z.B. bei
Profilen eingesetzt. Als effizientes Entwurfswerkzeug zur Berechnung dreidimensionaler
Strömungen entwickelte sich CFD seit ca. 1990. In Abb. 1-3 ist die Druckverteilung an der
Oberfläche eines Flugzeugs in Form von Isobaren, d.h. Linien gleichen Drucks, dargestellt.
Fluidmechanik
Einleitung
3
___________________________________________________________________
Abb. 1-3:
Eulerrechnung zur cp –Verteilung an einer F20 (M = 0,95,  = 8°), [ 1]
Üblicherweise wird hierbei nicht der statische Druck pW an der Wand, sondern die
dimensionslose Form des Druckbeiwerts cp verwendet.
Gl. 1-2:
cp 
pW  p

2
 c
2
Durch CFD-Verfahren lassen sich nicht nur die Strömungsverhältnisse an der Oberfläche
des Körpers bestimmen, sondern es erfolgt eine Berechnung des gesamten Strömungsfeldes in der Umgebung des Körpers. Somit lassen sich auch Wirbelstrukturen im Nahfeld
des umströmten Körpers darstellen. Für die Flügelschnitte a-f sind in Abb. 1-4 Vergleiche
zwischen den Ergebnissen aus numerischer Berechnung und experimentellen Ergebnissen
aus dem Windkanal aufgetragen.
Fluidmechanik
Einleitung
4
___________________________________________________________________
Abb. 1-4:
Darstellung der Isobaren (cp-Verteilung), [ 1]
Fluidmechanik
Einleitung
5
___________________________________________________________________
1.4 Strömungssimulation in Windkanälen
Bei der Entwicklung von Fluggeräten ist man bereits in einer sehr frühen Phase des
Entwurfsprozesses auf eine möglichst genaue mathematische Beschreibung des
aerodynamischen und flugmechanischen Verhaltens des Flugzeugs angewiesen. Dies ist
erforderlich sowohl zur Überprüfung der projektierten Flugleistungen als auch zur Auslegung
des Flugreglers. Trotz der zunehmenden Bedeutung von numerischen Entwurfswerkzeugen
(CFD), stellt der experimentelle Ansatz, d.h. die Erstellung eines aerodynamischen Modells
auf der Basis von Windkanaldaten, noch das grundlegende Entwurfswerkzeug dar. In der
Regel ist es jedoch nicht möglich ein Flugzeug über seinen gesamten Geschwindigkeitsbereich in Originalgröße unter echten Flugbedingungen zu testen. Lediglich im Niedergeschwindigkeitsbereich existieren einige Versuchsanlagen, die über eine entsprechend
große Messstrecke verfügen um Flugzeuge im Originalmaßstab untersuchen zu können, z.B.
NASA AMES 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal mit einer maximalen Strömungsgeschwindigkeit von 100 kts bzw. 51 m/s oder NASA AMES 40 x 80 ft mit einer maximalen
Strömungsgeschwindigkeit von 300 kts bzw. 153 m/s.
Abb. 1-5:
NASA Ames 80 x 120 ft Niedergeschwindigkeitswindkanal
Aufgrund des mit der Geschwindigkeit quadratisch zunehmenden Energiebedarfs zur
Aufrechterhaltung einer kontinuierlichen Umströmung des zu untersuchenden Körpers,
werden Windkanaluntersuchungen daher häufig an geometrisch ähnlichen, jedoch
maßstäblich verkleinerten Modellen durchgeführt. Dabei spielt es prinzipiell keine Rolle ob
das Modell sich durch die ruhende Luft bewegt oder ob ein Fluid sich um ein ruhendes
Modell bewegt.
Der erforderliche Energieaufwand zur Simulation einer transsonischen Strömung (0,8 < M <
1,2) wird an dem in Abb. 1-6 dargestellten Windkanalmodell eines Kampfflugzeugs im
Maßstab 1:15 deutlich. Die während des Versuchs kontinuierlich durchströmte Messstrecke
des Windkanals beträgt 2,4 m x 2,4 m. Zur Gewährleistung dieser Versuchsbedingungen ist
jedoch ein Leistungsbedarf von 70 MW abzudecken. Allein aus Kostengründen sind
Versuchsanlagen, die die Simulation von Strömungsfeldern um Luftfahrzeuge in Originalgröße ermöglichen würden, in diesem Geschwindigkeitsbereich kaum zu realisieren.
Fluidmechanik
Einleitung
6
___________________________________________________________________
Abb. 1-6:
1.5
Eurofighter-Modell (Maßstab 1:15), TWT CALSPAN Buffalo NY, USA
Gliederung der Fluidmechanik
Fehler!
Rheologie
Fluidmechanik
Hydromechanik
Hydrostatik
Hydrodynamik
Mechanik der Gase
Hydraulik
Aerostatik
Aerodynamik
inkompressibel
Unterschall
Gasdynamik
kompressibel
transsonisch
Hyperschall
Abb. 1-7:
Überschall
Verdünnte Gase
Gliederung der Fluidmechanik
(Rheologie: Wissenschaft der nicht-NEWTONschen Fluide z.B. Zahnpasta, flüssiger Beton)
Fluidmechanik
Einleitung
7
___________________________________________________________________
1.6
Begriffsdefinitionen
1.6.1 Fluid
Im Gegensatz zum Festkörper verformt sich ein Fluid unter dem Einfluss einer Schubspannung ständig weiter.
Abb. 1-8:
Verformung eines Fluids zu unterschiedlichen Zeitpunkten t0, t1 und t2
Weitere Annahme:
verteilt
Kontinuumshypothese, d.h. Masse ist stetig über das Volumen
1.6.2 Stationäre und instationäre Strömung, quasistationäre Strömung
Zustandsgrößen im Strömungsfeld (Geschwindigkeit, Druck, Dichte, Temperatur) bleiben
über den betrachteten Zeitraum konstant (stationär) oder können sich zeitlich ändern
(instationär). In Abhängigkeit von dem Beobachtungssystem können instationäre Systeme
in stationäre Systeme überführt werden, die Verwendung eines mit dem Körper mitbewegtes
Beobachtungssystem nimmt die Strömung als stationär war, z.B. flugzeugfestes
Koordinatensystem. Sehr langsam ablaufende Veränderungen werden als quasistationär
bezeichnet.
1.6.3
Stromlinie und Bahnkurve
Abb. 1-9:
Stromlinie und Bahnkurve, [ 13]
Fluidmechanik
Einleitung
8
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Die Bahnkurve beschreibt die Flugbahn, d.h. die Kurve auf der sich ein einziges
Fluidteilchen bewegt. Optisch lässt sich die Bahnkurve z.B. durch die (farbliche) Markierung
des zu beobachteten Teilchens und die Beobachtung über einen längeren Zeitraum t-2 < t <
t2 vermessen.
Die Stromlinie stellt eine Momentaufnahme des gesamten Strömungsfeldes dar. Optisch
lässt sich die Stromlinie durch die (farbliche) Markierung mehrerer Teilchen und die
Beobachtung über einen sehr kurzen Zeitraum vermessen, z.B. durch die photographische
Aufnahme des Strömungsfeldes mit einem einzigen Photo, jedoch einer Belichtungszeit, die
so gewählt wird, dass alle Teilchen einen sehr kurzen, aber dennoch sichtbaren Weg zurücklegen. Dieser zurückgelegte Weg erscheint aufgrund der endlichen Belichtungszeit als Strich
auf der Aufnahme, der wiederum dem Geschwindigkeitsvektor der markierten Teilchen
entspricht.
Die Stromlinie ist somit die Kurve in einem Strömungsfeld, die zu einem bestimmten
Zeitpunkt t0 mit der Richtung der Geschwindigkeitsvektoren übereinstimmt, d.h. die
Geschwindigkeitsvektoren der zu einer Stromlinie gehörenden Fluidteilchen bilden die
Tangenten der Stromlinie.
1.6.4
Stromfaden und Stromröhre
Abb. 1-10:
Stromfaden und Stromröhre
Stromfaden: Gesamtheit aller Stromlinien, die durch die Fläche A1 verlaufen
Stromröhre: Gesamtheit aller Stromlinien, die durch eine geschlossene Kurve K verlaufen
1.6.5
Ideale und Reale Fluide
Ein Ideales Fluid wird durch zwei Eigenschaften gekennzeichnet:
- Inkompressibilität, d.h. die Dichte  ist an jeder Stelle gleich
- Reibungsfreiheit, d.h. es erfolgt keine Umwandlung mechanischer Energie durch Reibung
in Wärme (vgl. auch Potentialströmung)
Bei realen Fluiden treten infolge der Reibung Schubspannungen  in Strömungsrichtung
auf, es erfolgt eine Umwandlung mechanischer Energie in Wärme, d.h. es wird Reibungs-
Fluidmechanik
Einleitung
9
___________________________________________________________________
arbeit verrichtet. Dies führt zur Ausbildung einer sog. Grenzschicht in Wandnähe fester
Körper und Ablösungen der Grenzschicht im Nachlaufbereich.
1.7 Klassifizierung von Strömungen
Strömungen lassen sich nach unterschiedlichen Kriterien klassifizieren
- Unterscheidung entsprechend der Körpergeometrie, d.h. in zwei- oder dreidimensionale
Strömungen
- Unterscheidung nach der Stärke des Kompressibilitätseinflusses d.h. entsprechend der
Anström-Machzahl
- Reibungseffekte (Viskosität).
1.7.1 Einteilung von Strömungen als Funktion der Reibung
Ein wesentliches Merkmal von realen Strömungen besteht darin, dass infolge der freien
Bewegung der Moleküle Masse, Impuls und Energie von einem Ort zu einem anderen Ort im
Fluid transportiert werden können. Diese Molekularbewegung ist die physikalische Ursache
für die sog. Transportvorgänge, d.h. Massestrom, Reibung und Wärmeübertragung. Reale,
mit Reibungseffekten behaftete Strömungen werden als reibungsbehaftet oder viskos
bezeichnet. Strömungen, bei denen der Einfluss der Transportphänomene als gering
betrachtet werden kann, werden als reibungsfrei bezeichnet.
Die Unterschiede zwischen reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung lassen sich am
Beispiel unterschiedlicher Geschwindigkeitsprofile in der Grenzschicht darstellen
Reibungsfreie Strömung
Die Geschwindigkeit entspricht auch direkt an der Wand noch der Geschwindigkeit der freien
Anströmung c
Reibungsbehaftete Strömung
Die Geschwindigkeit nimmt an der Wand den Wert Null an (Haftungsbedingung).
c
Abb. 1-11:
c
Geschwindigkeitsprofile in reibungsfreier und reibungsbehafteter Strömung
Für praktische Anwendungen lässt sich für viele Bereiche das Strömungsfeld in einen
reibungsbehafteten Anteil in der Nähe der Körperoberfläche (Grenzschicht) und in einen
reibungsfreien Anteil außerhalb der Grenzschicht aufteilen. Für schlanke Körper oder Profile,
die bei kleinen Anstellwinkeln angeströmt werden, lassen sich durch diese Vereinfachung
Stromlinien und Druckverteilungen relativ gut berechnen.
Fluidmechanik
Einleitung
10
___________________________________________________________________
reibungsfreie
Außenströmung
Abb. 1-12:
reibungsbehaftete
Grenzschicht
Reibungsbehaftete Grenzschicht, reibungsfreie Außenströmung
Ablösung bei reibungsbehafteter Strömung
Wird der Anstellwinkel des in Abb. 1-12 skizzierten Profils erhöht, so kann bei Überschreiten
eines Grenzwinkels die Strömung der Kontur nicht mehr weiter folgen und die Grenzschicht
löst an der Oberseite des Profils ab und es bildet sich hinter der Ablösestelle ein Ablöseoder Totwassergebiet. Solch ein abgelöstes Strömungsgebiet lässt sich nicht mehr als
reibungsfreie Strömung vereinfachen. Eine ähnliche Situation liegt z.B. hinter einem quer
angeströmten Zylinder vor.
Strömungsablösung
Strömungsablösung
Totwassergebiet
Abb. 1-13:
Strömungsablösung bei Kugel und Zylinder
Strömungsablösung
1.7.2 Einteilung von Strömungen als Funktion der Kompressibilität
Strömungen für die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flüssigkeiten,
werden als inkompressibel bezeichnet, Strömungen mit einer veränderlichen Dichte, z.B.
Gase, werden als kompressibel bezeichnet. Die Annahme einer konstanten Dichte für
Flüssigkeiten stellt lediglich eine (gute) Näherung dar, dies führt jedoch zu einer starken
Vereinfachung in der Berechnung der Strömungsparameter. Obwohl Luft in der Realität ein
kompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten Fehler bei kleineren
Geschwindigkeiten, d.h. bis ca. M = 0,3 die Annahme einer konstanten Dichte getroffen
werden. In Bodennähe (H = 0) entspricht dies einer Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100
m/s bzw. 360 km/h, also dem Geschwindigkeitsbereich von Segelflugzeugen oder kleineren
einmotorigen Sportflugzeugen.
Unter der Annahme der Inkompressibilität können die Strömungsbedingungen entlang einer
Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichung ermittelt werden.
Gl. 1-3:
1
p     c 2  const.
2
Fluidmechanik
Einleitung
11
___________________________________________________________________
Für kompressible Strömungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbaren
Ergebnisse mehr.
Definition der Kompressibilität
Wird der Druck p an einem Volumenelement v um den Betrag dp erhöht, so wird das
Volumenelement v um den Betrag dv komprimiert. Die Kompressibilität  wird beschrieben
durch
Gl. 1-4:
1 dv
v dp
  
Die Kompressibilität  stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.B. für Wasser T = 510-10 m²/N
und für Luft T = 510-5 m²/N bei p = 1 bar. Mit dem spezifischen Volumen v
Gl. 1-5:
v
V 1

m 
ergibt sich für die Kompressibilität 
Gl. 1-6:
1 d
 
 dp
d.h. eine Änderung des Drucks dp bewirkt in Abhängigkeit von der Größe der
Kompressibilität  eine Änderung der Dichte d
Gl. 1-7:
d     dp
Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung ist es
üblich eine relative Dichteänderung von d   0.05 anzusetzen.
1.7.3 Einteilung von Strömungen als Funktion der Machzahl
Stromlinien kennzeichnen die Tangenten an die lokalen Geschwindigkeitsvektoren im
Strömungsfeld. Jedem Punkt in dem Strömungsfeld können die Größen Druck p, Temperatur
T, Dichte  und Geschwindigkeit V zugeordnet werden. Zusätzlich kann jedem Punkt noch
die lokale Schallgeschwindigkeit c zugeordnet werden. Somit ergibt sich analog zur Definition
der Machzahl M der freien Anströmung, also die Strömungsgeschwindigkeit c bezogen auf
die Schallgeschwindigkeit a
Gl. 1-8:
M 
c
a
die Definition der lokalen Machzahl M im Strömungsfeld
Gl. 1-9:
M
c
a
Unterschallströmung
Die reine Unterschallströmung ist dadurch gekennzeichnet, dass im gesamten
Strömungsfeld für die lokale Machzahl M  1 gilt. Ein wichtiges Kriterium der reinen
Unterschallströmung besteht darin, dass sich Druckänderungen auch entgegen der
Strömungsrichtung ausbreiten können.
Fluidmechanik
Einleitung
12
___________________________________________________________________
Transsonische Strömung
Bei einem transsonischen Strömungsfeld können Unterschall- (M < 1) und lokale
Überschallströmung (M  1) im betrachteten Strömungsgebiet gleichzeitig auftreten, z.B.
infolge von Übergeschwindigkeiten am Tragflügel bei einer freien Anströmmachzahl von
M  1. Die Grenze für das erste Auftreten von Überschallgebieten ist abhängig von den
verwendeten Profilen und liegt bei heute üblichen Transsonikprofilen bei ca. M = 0,8, kann
jedoch bei entsprechend dicken Profilen bereits bei M = 0,65 liegen.
Während die Beschleunigung vom Unterschall zum Überschall in einem stetigen Prozess
verläuft, erfolgt die Verzögerung vom Überschall zurück zum Unterschall in einem unstetigen
Prozess, gekennzeichnet durch einen Verdichtungsstoß.
Kennzeichen eines transsonischen Strömungsgebiets ist somit das gleichzeitige Vorliegen
von Unterschall- als auch Überschallgebieten, z.B. hinter einem abgelösten Stoß an der
Profilnase. Generell wird der Machzahlbereich 0,8  M  1,2 als Transsonikbereich
bezeichnet.
Abb. 1-14:
Verdichtungsstöße und kritische Machzahl an einem Profil, [ 5], [ 8]
Bedeutung der kritischen Machzahl als kennzeichnende Größe der Kompressibilität
Infolge des lokalen Auftretens von Überschallgebieten bilden sich lokale Verdichtungsstöße,
die stromabwärts zu stoß-induzierten Ablösungen, verbunden mit einer starken Zunahme
des Druck- bzw. Formwiderstands führen.
Abb. 1-15:
Widerstandsanstieg bei Überschreiten der kritischen Machzahl, [ 2]
Fluidmechanik
Einleitung
13
___________________________________________________________________
Abb. 1-16:
Schlierenaufnahme eines Projektils: Ernst Mach 1888, [ 14]
Überschallströmung
Das Kennzeichen der reinen Überschallströmung besteht darin, dass im gesamten
Strömungsfeld für die lokale Machzahl M  1 gilt. Ein weiteres wichtiges Kriterium der reinen
Überschallströmung besteht darin, dass sich Druckänderungen nicht mehr entgegen der
Strömungsrichtung, sondern nur noch stromabwärts auswirken können.
Abb. 1-17:
Mach’scher Kegel in einer Überschallströmung, [ 5], [ 8]
Hyperschallströmung
Auch für den Übergang von der Überschall- zur Hyperschallströmung existiert keine scharf
definierte Grenze. Eingebürgert hat sich eine Machzahl der freien Anströmung von M  4,5 5. Charakteristische Eigenschaften einer Hyperschallströmung sind die eng an der Körperoberfläche anliegen Stöße und die infolge der starken Temperaturerhöhung hinter dem
Verdichtungsstoß auftretenden chemischen Prozesse, d.h. Dissoziation mit späterer
Rekombination sowie die Bildung von Plasma. In diesem Geschwindigkeitsbereich lässt sich
die Annahme, Luft als ideales Gas zu betrachten, nicht länger aufrechterhalten.
sin  
1
M
Fluidmechanik
Einleitung
14
___________________________________________________________________
Abb. 1-18:
Verdichtungsstoß an einer Rampe bei M = 36
Abb. 1-19:
Modell des Raumtransporters Sänger mit Oberstufe Horus, H2K DLR Köln
Bedingt durch das hohe Temperaturniveau treten in Hyperschallströmungen zwei Gruppen
von chemisch-physikalischen Phänomen auf. Zum einen werden mit zunehmender
Temperatur die inneren Freiheitsgrade der Moleküle angeregt, Dissoziations- und
Ionisationseffekte treten auf und zum anderen kommt es zu chemischen Wechselwirkungen
zwischen der Grenzschicht und der Oberfläche des Flugkörpers. Die Katalyzität der
Oberfläche bildet bei wiederverwendbaren Systemen, z.B. Space Shuttle, eine schwer zu
quantifizierende Größe, da sich die Katalyzität des Thermalschutzsystems mit zunehmender
Anzahl der Flüge erhöht.
Abb. 1-20:
Space Shuttle (Rockwell) und chemische Reaktion beim Wiedereintritt, [ 9]
Fluidmechanik
Einleitung
15
___________________________________________________________________
Die Abweichung des Verhaltens von Luft vom dem Verhalten eines idealen Gases, das sich
im chemischen Gleichgewicht befindet ist in Abb. 1-21 dargestellt. Berechnet wurden die
Staupunkttemperaturen bei unterschiedlichen Wiedereintrittsgeschwindigkeiten in einer Höhe
von H = 52 km.
Abb. 1-21:
Staupunkttemperaturen und chemische Reaktionen von Luft, [ 3]
ideales Gas:
p  v  R T
Abb. 1-22:
Verhalten von Luft im Vergleich zu dem Verhalten des idealen Gases:
Fluidmechanik
Einleitung
16
___________________________________________________________________
Strömung verdünnter Gase
Alle bisherigen Betrachtungen gingen von der Strömung als Kontinuum aus. Insbesondere in
großer Höhe, d.h. ab ca. 70 km, lässt sich diese Annahme nicht länger aufrechterhalten. Die
Strömung stellt sich als freie Molekülströmung dar, die dadurch gekennzeichnet ist, dass
aufgrund der geringen Dichte fast keine Kollisionen mehr zwischen den einzelnen Molekülen
stattfinden.
Kontinuumströmung
Bei einer Kontinuumströmung sind noch genügend Molekülkollisionen möglich um alle
chemischen Reaktionen nach einem Verdichtungsstoß wieder in ein Gleichgewicht zu
bringen. Sinkt die Anzahl der Kollisionen unter eine kritische Grenze, so befindet sich die
Strömung in einem chemischen Nicht-Gleichgewicht. Zur Unterscheidung der
unterschiedlichen Strömungsbereiche bei der Betrachtung verdünnter Gase, lässt sich die
Knudsen-Zahl Kn einführen, die das Verhältnis der mittleren freien Weglänge  der Moleküle
zu einer charakteristischen Länge lref des umströmten Körpers beschreibt. Die mittlere freie
Weglänge  ergibt sich zu
Gl. 1-10:


 m

 2  k T
und die Knudsenzahl Kn
Gl. 1-11:
Kn 

lref
In Abhängigkeit von der Knudsen-Zahl lassen sich bei verdünnten Gasen drei unterschiedliche Strömungsbereiche unterscheiden:
- Kn  10-2 :
Es liegt eine Kontinuumströmung vor.
- 10-2  Kn  5:
Die Strömung beginnt vom Kontinuumsverhalten abzuweichen, d.h. Stoßwellen
weisen eine endliche Dicke auf und in der Grenzschicht kommt es zu
Gleitströmungen, d.h. ähnlich wie im theoretisch reibungsfreien Fall, wird an der
Wand die Geschwindigkeit in der Grenzschicht nicht zu Null. Stoßwelle und
Grenzschicht fallen zusammen.
- Kn  5:
Es liegt eine freie Molekülströmung, es kommt kaum noch zu Molekülkollisionen,
Stoßwellen und Grenzschichten sind nicht mehr eindeutig definiert.
Fluidmechanik
Einleitung
17
___________________________________________________________________
1.7.4
Zusammenfassung der einzelnen Geschwindigkeitsbereiche
Unterschall
Transsonikbereich
Transsonikbereich
Überschall
Hyperschall
Abb. 1-23:
1.8
Stromlinien und Mach-Linien als Funktion der Machzahl
Einteilung der Fluide nach Fließverhalten
c
c


dc
 const.
dz
dc
 const.
dz
Das Ziehen einer Platte mit konstanter Geschwindigkeit c
über ein Fluid in einem konstanten Abstand z zur Wand
erfordert eine Zugkraft F, die ein Maß für die
Verschiebbarkeit der Fluidteilchen gegeneinander darstellt. Der Proportionalitätsfaktor  wird als dynamische
Viskosität bezeichnet.
Scherspannung
Gl. 1-12:
  
dc
dz
Scherkraft
Gl. 1-13:
´
dc
dz
Abb. 1-24:
F  A  
dc
dz
Unterscheidung von Fluiden nach
Fließverhalten
Fluidmechanik
Hydrostatik - Grundlagen
18
___________________________________________________________________
2
Hydrostatik
2.1
Grundlagen
2.1.1 Physikalische Eigenschaften der Flüssigkeiten und Gase
Zustandsgrößen beschreiben den thermodynamischen Zustand eines Stoffes, z.B. durch
Druck p, Temperatur T und Dichte  bzw. spez. Volumen v 1  . Thermodynamische
Zustandsgrößen für Reinstoffe, (z.B. H2O) können in Abhängigkeit von zwei Zustandsgrößen
beschrieben werden, z.B. durch v  v p, T  , T  T  p, v  und p  pv, T  .
Im thermodynamischen Gleichgewicht können nicht beliebig viele Phasen gleichzeitig
vorliegen. Für Fluide (Flüssigkeiten und Gase) sind zwei Zustandsgrößen zur Bestimmung
des Gleichgewichtszustands entsprechend der Gibbs'sche Phasenregel ausreichend
Gl. 2-1:
f K 2 P
f
K
P
Anzahl der Freiheitsgrade
Anzahl der Systemkomponenten
Anzahl der Phasen
Zustandsgrößen sind über Zustandsgleichungen miteinander gekoppelt, z.B. über die
Zustandsgleichung des idealen Gases (ideale Gasgleichung)
Gl. 2-2:
p  v  R T
bzw. über die kalorischen Zustandsgleichungen
Gl. 2-3:
Gl. 2-4:
Abb. 2-1:
cp 
cv 
dh
dT
du
dT
p  const .
v const .
Zustandsdiagramm eines generischen Stoffes
Fluidmechanik
19
___________________________________________________________________
2.1.2
Kompressibilität von Gasen und Flüssigkeiten
Generell ist die Dichte ist eine Funktion von Druck und Temperatur, d.h. es gilt     p, T  ,
dies gilt für alle Stoffe, d.h. Gase als auch Flüssigkeiten und Festkörper.
Definition der Kompressibilität
Betrachtet man ein kleines Volumenelement v, so wirkt an allen Seiten der Druck p. Wird der
Druck p um den Betrag dp erhöht, so wird das Volumenelement v um den Betrag dv
komprimiert. Die Kompressibilität  wird beschrieben durch
1 dv
v dp
  
Gl. 2-5:
In Abhängigkeit von der bei der Kompression über die Systemgrenze übertragenen
Wärmemenge ändert sich jedoch die Gastemperatur. Unter der Annahme einer Kompression
bei konstanter Temperatur, lässt sich die isotherme Kompressibilität definieren als
1  v 
 T     
v  p T
Gl. 2-6:
Nimmt man jedoch einen Kompressionsprozeß an, bei dem keine Wärme über die
Systemgrenze übertragen wird (adiabate Zustandsänderung) und bei dem Reibungseffekte
vernachlässigt werden (isentrope Zustandsänderung), so lässt sich die isentrope
Kompressibilität definieren als
Gl. 2-7:
1  v 
 s     
v  p  s
Die Kompressibilität  stellt eine Stoffgröße dar und beträgt z.B. für Wasser T = 510-10 m²/N
und für Luft T = 510-5 m²/N bei p = 1 bar. Mit der Definition des spezifischen Volumens v
Gl. 2-8:
v
1

ergibt sich für die Kompressibilität
Gl. 2-9:
1 d
 
 dp
d.h. eine Änderung des Drucks dp bewirkt in Abhängigkeit von der Größe der
Kompressibilität  eine Änderung der Dichte d
Gl. 2-10:
d     dp
Als Unterscheidungskriterium zwischen kompressibler und inkompressibler Strömung ist es
üblich eine relative Dichteänderung von d   0.05 anzusetzen.
Strömungen, für die die Dichte als konstant angenommen werden kann, z.B. Flüssigkeiten,
werden als inkompressibel bezeichnet und bilden den Schwerpunkt der Vorlesung
Fluidmechanik bzw. technische Strömungsmechanik. Strömungen mit einer
veränderlichen Dichte, z.B. Gase, werden als kompressibel bezeichnet und werden hier
nicht eingehend behandelt. Eine ausführliche Diskussion dichteveränderlicher Fluide findet
sich jedoch in der Vorlesung Aerodynamik, unter dem Kapitel Gasdynamik. Wie später noch
gezeigt wird, führt die Annahme einer konstanten Dichte zu einer starken Vereinfachung in
der Berechnung der Strömungsparameter.
Fluidmechanik
20
___________________________________________________________________
Vereinfachung für Gase
Obwohl Luft in der Realität ein kompressibles Fluid darstellt, kann ohne nennenswerten
Fehler bei kleineren Geschwindigkeiten, d.h. bis ca. M = 0,3 die Annahme  = const.
getroffen werden. In Bodennähe (H = 0, p = 1013 hPa) entspricht dies einer Strömungsgeschwindigkeit bzw. Fluggeschwindigkeit von ca. c = 100 m/s bzw. 360 km/h, also dem
Geschwindigkeitsbereich von schnellen Landfahrzeugen, Segelflugzeugen oder kleineren
einmotorigen Sportflugzeugen. Unter der Annahme einer konstanten Dichte können die
Strömungsbedingungen entlang einer Stromlinie somit mittels der Bernoulli-Gleichung
ermittelt werden:
Gl. 2-11:
p
1
   c 2  const.
2
Für kompressible Strömungen liefert diese einfache Gleichung jedoch keine brauchbaren
Ergebnisse mehr
2.1.3 Druckeinheiten
Generell sind für Drücke die Einheit Pa zu verwenden, insbesondere in der Meteorologie ist
jedoch die Einheit hPa = 100 Pa üblich, da dies der älteren Bezeichnung mbar entspricht.
Einheit
Pa = N/m²
hPa = mbar
MPa
bar
atm
mm Wassersäule = mm WS
mm Quecksilber = mm Hg = Torr
(760 mmHg = 1 atm)
psi = lb/in²
(1 in = 25.4 mm)
psf = lb/ft²
(1 ft = 12 in = 0,3048 m)
Tab. 2-1:
Multiplikationsfaktor
1
102
106
105
1,01325105
9,80665
133,32
SI - Einheit
Pa
Pa
Pa
Pa
Pa
Pa
Pa
6894,757
47,88 = 6894,757/144
Pa
Pa
Druckeinheiten
2.1.4
Hydrostatischer Druck
Druck ist eine ungerichtete Größe, d.h. das Druckfeld stellt ein Skalarfeld dar. Im Gegensatz
zu einem Vektorfeld, z.B. einem Geschwindigkeitsfeld. Die resultierende Druckkraft wirkt
immer senkrecht auf die Oberfläche.
FG
Abb. 2-2:
Kräftebilanz an einer Flüssigkeitssäule
Fluidmechanik
21
___________________________________________________________________
Für das Kräftegleichgewicht an einer Flüssigkeitssäule in z-Richtung gilt:
Gl. 2-12:
FD ,o  FG  FD ,u  0
Gl. 2-13:
p0  A  h  A    g  p  A  0
Gl. 2-14:
p0  h    g  p  0
Für den statischen Druck p in der Tiefe h folgt für  = const.:
Gl. 2-15:
p  p0  h    g
Dies ist das sog. hydrostatische bzw. fluidstatische Grundgesetz
_________________________________________________________________________
Üb. 2-1:
Berechnung des Drucks am Boden in einem nach oben offenen, mit Wasser
gefüllten Behälters
T
= 12 °C
(Wassertemperatur
h
= 10 m
(Füllhöhe)
= 1 bar
(Luftdruck)
p0
_________________________________________________________________________
geg.:
2.1.5


Hydrostatisches (Pascal'sches) Paradoxon
Gemäß dem fluidstatischen Grundgesetz p  p0  h    g bestimmt sich der Druck über die
Höhe h der darüber befindlichen Flüssigkeitssäule
Kraft auf den Boden eines Gefäßes wird ausschließlich von der Höhe der darüber
befindlichen Flüssigkeitssäule und nicht von der Form des Gefäßes bestimmt
Gleiche Grundfläche A bedeutet gleiche Kraft F, d.h. F  p  A
Abb. 2-3:
Pascal’sches Paradoxon
Fluidmechanik
22
___________________________________________________________________
2.1.6
Verbundene Gefäße (kommunizierende Röhren)
Für ein System aus verbundenen Gefäßen oder Röhren folgt aus der Gleichgewichtsbedingung der Kräfte in z-Richtung:

Ist das System mit einer Flüssigkeit gleicher Dichte befüllt, so befinden sich die
Oberflächen auf gleicher Höhe

Ist das System mit zwei sich nicht mischenden Flüssigkeiten unterschiedlicher Dichte
gefüllt, so ergeben sich unterschiedliche Spiegelhöhen z1 und z2
Abb. 2-4:
Kommunizierende Gefäße
Die Druckbilanz auf der linken Seite (1-1) ergibt
Gl. 2-16:
p1  pb  h1  1  g  h0   2  g
Für die rechte Seite (2-2) folgt
Gl. 2-17:
p2  pb  h2   2  g  h0   2  g
wegen p1  p2 folgt daraus
Gl. 2-18:
pb  h1  1  g  h0   2  g  pb  h2   2  g  h0   2  g
Gl. 2-19:
h2 1

h1  2
Für ein System, das mit einer Flüssigkeit gleicher Dichte befüllt ist, d.h.
Gl. 2-20:
h1  h2
1   2
folgt daraus
Fluidmechanik
23
___________________________________________________________________
Aus dem Prinzip der kommunizierenden Gefäße lässt sich das Arbeitsprinzip einer
hydraulischen Presse ableiten
Abb. 2-5:
Hydraulische Presse
Die Kräftebilanz am Kolben (1) ergibt
Gl. 2-21:
p1  A1  p0  A1  F1

p1  p 0 
F1
A1

p 2  p0 
F2
A2
Die Kräftebilanz am Kolben (2) ergibt
Gl. 2-22:
p2  A2  p0  A2  F2
mit dem hydrostatisches Grundgesetz p2  p1    g   z1  z 2     g  h folgt
F2
F
 p0  1    g  h
A2
A1
Gl. 2-23:
p0 
Gl. 2-24:
F2 F1
    g  h
A2 A1
Aufgrund der hohen Drücke in Hydrauliksystemen kann der hydrostatische Druckanteil
  g  h häufig vernachlässigt werden.
_________________________________________________________________________
Üb. 2-2:
Hydraulische Presse mit reibungs- und gewichtsfreien Kolben
Fluidmechanik
24
___________________________________________________________________
1.
2.
3.
Welche Kraft F1 ist am Kolben (1) aufzuwenden, um die Masse m = 2000 kg mit dem
Kolben (2) anzuheben?
Wie groß ist der Druck p2 am Boden des Kolben (2)
Wie groß ist der Fehler bei Anwendung der Näherungslösung?
_________________________________________________________________________
2.1.7
Saugwirkung
Das Arbeitsprinzip einer Saugpumpe leitet sich aus dem fluidstatischen Grundgesetz
p  p0  h    g und dem Prinzip kommunizierender Röhren ab
Abb. 2-6:
Saugpumpe
Druckbilanz in der Ansaugstrecke (1-1)
Gl. 2-25:
p1  pS ,abs  H S  h     g
Druckbilanz für die offene Seite (2-2)
Gl. 2-26:
p2  pb  h    g
wegen p1  p2 folgt
Gl. 2-27:
pS ,abs  H S    g  pb
Daraus ergibt sich für die Ansaughöhe
Gl. 2-28:
HS 
pb  pS ,abs pS ,u

g
g
Fluidmechanik
25
___________________________________________________________________
Maximale Ansaughöhe
Die maximale Ansaughöhe wird begrenzt durch den Dampfdruck der angesaugten
Flüssigkeit. Bei Unterschreiten des temperaturabhängigen Dampfdrucks geht die
angesaugte Flüssigkeit von der flüssigen in die gasförmige Phase über. Der erzielbare
Saugdruck pS,abs, der die maximale Ansaughöhe definiert, wird also begrenzt von dem
Dampfdruck pDa der Flüssigkeit und dem herrschenden Luftdruck pb .
Abb. 2-7:
Dampfdruckkurve HDa = f(T) von Wasser
Die Bedingung zur Erzielung der maximalen Ansaughöhe lautet:
Saugdruck > Dampfdruck, d.h. pS ,abs  pDa
Die maximale, theoretische Ansaughöhe ergibt sich bei pS ,abs  p Da
Gl. 2-29:
H S ,th 
pb  pDa
p
p
 b  Da  H b  H Da
g
g g
Die tatsächliche Ansaughöhe HS liegt jedoch immer etwas unter der theoretisch maximalen
Höhe HS,th d.h. H S  H S ,th
Fluidmechanik
26
___________________________________________________________________
Üb. 2-3:
Berechnung der Ansaughöhe einer Pumpe
Temperatur
T [°C]
0
5
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Tab. 2-2:
Dichte
 [kg/m³]
999,8
1000,0
999,6
998,2
995,6
992,2
988,0
983,2
977,7
971,3
965,3
958,3
Dampfdruck
pDa [bar]
0,006
0,009
0,012
0,024
0,042
0,074
0,123
0,198
0,311
0,473
0,700
1,013
Dampfdruckhöhe
HDa [mWS]
0,06
0,09
0,12
0,24
0,43
0,75
1,25
2,02
3,17
4,82
7,14
10,33
Dampfdruckkurve HDa = f(T) von Wasser
Temperatur
Luftdruck
T = 20°C
pb  1 bar = 105 Pa
_________________________________________________________________________
2.1.8
Statischer Auftrieb (Prinzip des Archimedes)
Erstes dokumentiertes historisches Beispiel für ein zerstörungsfreies Prüfverfahren:
Überprüfung des Goldanteils in der Krone des König Hieron II von Syrakus
?
Abb. 2-8:
Archimedes (285 – 212 BC)
Die scheinbare Gewichtsreduzierung eines in ein Fluid eingetauchten Körpers wird als
statischer Auftrieb bezeichnet. Die Ursache besteht in der Druckdifferenz an Ober- und
Unterseite des eingetauchten Körpers.
Fluidmechanik
27
___________________________________________________________________
Abb. 2-9:
Statischer Auftrieb
Die Kräftebilanz in horizontaler Richtung ergibt Null, da die Drücke in gleicher Tiefe identisch
sind. Die Kräftebilanz in vertikaler Richtung auf die Projektionsfläche dA eines zylindrischen
Elements ergibt
Gl. 2-30:
dF1   p0  z 1  F  g   dA
(Oberseite)
Gl. 2-31:
dF2   p0  z 2  F  g   dA
(Unterseite)
Die Auftriebskraftkraft dFA lautet
Gl. 2-32:
dFA  dF2  dF1  z2  z1    F  g  dA
Die Gewichtskraft des Körpers dFK lautet
Gl. 2-33:
dFK   z2  z1    K  g  dA
Der archimedische Auftrieb ergibt sich aus der Integration der Kräfte dFA über das gesamte
Körpervolumen VF
Gl. 2-34:
FA  g   F   dVF  g   F  VF
VF
Resultierende Gesamtkraft = Gewicht des verdrängten Fluids - Gewicht des Körpers
Gl. 2-35:

 

dF  dFA  dFK    F  g   z2  z1   dA    K  g  z2  z1   dA  g  dmF  dmK 
  
 

dV F
dV K

 

Die Integration der Kräfte dF über das gesamte Körpervolumen V ergibt
Gl. 2-36:
!


F  g    F   dVF   K   dVK   g   F  VF   K  VK   g  mF  mK   0
VF
VK


Fluidmechanik
28
___________________________________________________________________
Üb. 2-4:
Um wieviel steigt der Meeresspiegel, wenn das arktische Eis abtaut?
geg.:
 Eis  920 kg m 3
 Meerwasser  1025 kg m3
_________________________________________________________________________
2.1.9
Oberflächenspannung und Kapillarwirkung
2.1.9.1 Teilchenkräfte
Teilchenkräfte bilden den Sammelbegriff für Masseanziehungskräfte bei Molekülen und
Atomen. Festkörper bilden eine Gitterstruktur mit sehr großen Molekularkräften. Fluide
weisen im Gegensatz zu Festkörpern keine Gitterstruktur auf, wodurch die Molekularkräfte
deutlich geringer sind als bei Festkörpern. Dies führt zu einer leichteren Verschiebbarkeit der
Teilchen innerhalb von Fluiden im Vergleich zu Festkörpern. Teilchenkräfte bestimmen die
Form der freien Oberfläche eines Fluids. Unterschieden wird zwischen Kohäsionskräften,
d.h. Kräfte zwischen gleichartigen Teilchen in der gleichen Phase und Adhäsionskräften,
d.h. Kräfte zwischen verschiedenartigen Teilchen in unterschiedlichen Phasen.
2.1.9.2 Begriffsdefinitionen
Adhäsion:
Wirkung zwischen fester/fester und fester/flüssiger Phase
Adsorption: Wirkung zwischen fester/gasförmiger Phase; es erfolgt eine Anlagerung von
Gasen oder Dämpfen an der Oberfläche fester Körper
Absorption: Aufnahme von Gasen oder Dämpfen in Flüssigkeiten oder Feststoffen
Mit dem Begriff der Absorption eng verbunden ist das Henry-Gesetz1 , welches besagt:
Die in Flüssigkeiten gelöste Gasmenge nimmt mit steigendem Druck und/oder sinkender
Temperatur zu.
Dieser Zusammenhang lässt sich häufig bei lang anhaltenden Hochtemperaturperioden im
Sommer an Gewässern beobachten, wenn infolge der ansteigenden Wassertemperatur der
Sauerstoffgehalt im Wasser abnimmt und dadurch ein Fischsterben ausgelöst wird.
1
engl. Physiker u. Chemiker (1774 - 1836)
Fluidmechanik
29
___________________________________________________________________
2.1.9.3 Grenzflächenspannung
H2O
Hg
Randwinkel <90°:
Adhäsion > Kohäsion
(Wasser/Glas)
Randwinkel >90°:
Kohäsion > Adhäsion
(Quecksilber/Glas)
Abb. 2-10:
Grenzflächenkräfte
Teilchenkräfte treten an den Trennflächen verschiedener Stoffe oder Phasen in Erscheinung
und bilden sog. Grenzflächenkräfte. Moleküle in der Grenzschicht erfahren durch
Kohäsionskräfte eine resultierende Kraft F nach innen und die Grenzfläche wirkt wie eine
dünne Membran (Bsp. Wasserläufer; Eigengewicht ist kleiner als die Oberflächenspannung)
Benetzungsformen
- Gas/Gas:
Keine Grenzflächen infolge Durchmischung, keine Grenzflächenkräfte
- Gas/Flüssigkeit:
Kohäsionskräfte der Flüssigkeit sind dominierend, Kapillarspannung
- Gas/Festkörper:
Festkörper bestimmt alleine durch seine Form die Grenzfläche
- Flüssigkeit/Festkörper:
(1) Kohäsion > Adhäsion (Randwinkel >90°) 
nichtbenetzendes Fluid
(hydrophob), zusammengezogene, kugelförmige Oberfläche
(2) Kohäsion < Adhäsion (Randwinkel <90°) 
benetzendes Fluid (hydrophil)
- Flüssigkeit/Flüssigkeit:
Verhalten ähnlich dem von Gasen, keine Grenzflächen
Abb. 2-11:
Benetzungsformen als Funktion des Randwinkels
Oberflächenaktive Substanzen
Die Oberflächenspannung kann durch unterschiedliche Faktoren beeinflusst werden, wie
etwa Verunreinigungen oder waschaktive Substanzen, die zu einer starken Reduzierung der
Oberflächenspannung führen. Ebenso bilden Alkohole und Fettsäuren durch hydrophile
(COOH-Gruppe) und hydrophobe (CH3-Gruppe) Anteile eine monomolekulare Schicht
zwischen Wasser- und Luftmolekülen welche die Oberflächenspannung reduziert.
Fluidmechanik
30
___________________________________________________________________
Tropfengröße und Dosierung
Insbesondere bei medizinischen Anwendungen wird häufig eine mittlere Tröpfchengröße zur
Dosierung von Medikamenten verwendet. Die Tropfengröße selbst wird durch Dichte und
Oberflächenspannung der Fluide bestimmt. Zur Bestimmung der Tropfengröße können
unterschiedliche Verfahren, wie z.B. Stalagmometer, Kapillar- oder Ringmethode verwendet
werden.
2.1.9.4 Kapillarität
Grenzflächenspannung bzw. Kapillarspannung 
Die intermolekularen Anziehungskräfte heben sich,
mit Ausnahme einer dünnen Schicht (<10-9 m) an der
freien Oberfläche, im Inneren des Fluids auf. Daraus
resultiert ein Spannungszustand an der Oberfläche
und die freie Oberfläche versucht einen Minimalwert
anzunehmen um den Spannungszustand zu
minimieren.
Der Krümmungsdruck pK wird definiert durch
Abb. 2-12:
Gl. 2-37:
pK 
Gl. 2-38:

 1
1 
dF

   

dA
 rK 1 rK 2 
 Kraft   N 
 !
 Länge   m 
Krümmungsdruck
Einfluss der Oberflächenform auf den Krümmungsdruck pK
rK 1  rK 2  
Ebene Oberfläche:
Gl. 2-39:
pK  0
Kugelkalottenförmige Oberfläche:
Gl. 2-40:
pK 
2 
rK
Zylinderförmige Oberfläche:
Gl. 2-41:
pK 
rK 1  rK 2  rK

rK
rK 1  rzyl  rK , rK 2  
Fluidmechanik
31
___________________________________________________________________
Kapillarwirkung
Abb. 2-13:
Kapillarwirkung
Kapillaraszension (z.B. Wasser im Glasrohr)
Die Steighöhe eines Fluids in einem Rohr ergibt sich aus Kräftegleichgewicht zwischen
Adhäsionskräften und dem Gewicht der angehobenen Flüssigkeit.
Kapillardepression (z.B. Quecksilber im Glasrohr)
Der abgesenkte Spiegel ergibt sich aus Kräftegleichgewicht zwischen Adhäsionskräften und
dem Gewicht der abgesenkten Flüssigkeit
Stoffpaarung
Randwinkel W [grd]
Wasser oder Äthylalkohol/Glas
0
Alkohol/Plexiglas
< 10
Wasser/Plexiglas
 80
Quecksilber/Glas
 140
Wasser/Lotusblatt
 160
Tab. 2-3:
Randwinkel für unterschiedliche Materialpaarungen
Der Zusammenhang zwischen Randwinkel und Krümmungsradius ergibt sich aus
Gl. 2-42:
rK 
R
cos  W
Anhebung bzw. Absenkung zK ergibt sich aus dem Krümmungsdruck pK
Gl. 2-43:
pK  z K   F  g
Anhebung bzw. Absenkung zK
Gl. 2-44:
zK 
2 
4    cos  W

 F  g  rK
D  F  g
Gewichtskraft = Kapillarkraft
Gl. 2-45:
D2 
 z  F  g   D  
4
mittlere Anhebung bzw. Absenkung z
D = Rohrdurchmesser
Fluidmechanik
32
___________________________________________________________________
Gl. 2-46:
z
4 
D  F  g
Fluide (T = 20°C)
Luft - Quecksilber
Wasser
Ethanol
Ethylether
Öl
Wasser Quecksilber
Öl
Ethanol
Tab. 2-4:
 [N/m]
0,470
0,073
0,025
0,016
0,028
0,380
0,020
0,002
Kapillarspannungen
Abb. 2-14:
Mittler Kapillarsteighöhen
z
2.1.9.5 Bestimmung der Oberflächenspannung
Tropfenmethode (Stalagmometer)
Fließt eine Flüssigkeit langsam aus einer Kapillare bilden sich bei konstanter Temperatur
Tropfen gleicher Größe. Die Oberflächenspannung  ist der Dichte  der Flüssigkeit direkt
und der Anzahl n der Tropfen umgekehrt proportional.
Ein Stalagmometer besitzt zwischen zwei Eichmarken ein bestimmtes Volumen. Die
Kalibrierung des Geräts erfolgt anhand einer Flüssigkeit mit bekannter Oberflächenspannung
(z. B. Wasser).
Abb. 2-15:
Stalagmometer
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
33
___________________________________________________________________
Üb. 2-5:
Bestimmung der Oberflächenspannung von 2-Methylpropanol
Aus einem Stalagmometer flossen bei T = 20°C n = 405 Tropfen 2-Methylpropanol aus. Die
Dichte der Flüssigkeit betrug ρ = 0,9477 g/cm3. Wie groß ist ihre Oberflächenspannung ,
wenn mit dem gleichen Gerät n(H2O) = 137 Tropfen Wasser von 20°C gezählt wurden?
_________________________________________________________________________
Kapillarmethode
Für eine Glaskapillare mit dem Radius r, in der
eine Flüssigkeit aufsteigt gilt:
Gewichtskraft der Flüssigkeitssäule = Tragkraft
durch die Oberflächenspannung
Abb. 2-16:
Gl. 2-47:
r 2   h    g  2  r  
Gl. 2-48:

r h  g
N  m 1
2

Kapillarmethode

_________________________________________________________________________
Üb. 2-6:
Bestimmung der Oberflächenspannung von Wasser bei 18°C
Berechnung des Radius r der Kapillare mittels einer eingewogenen Quecksilbersäule
geg.: T
=
18°C
(Temperatur)
=
1,297 g
(Einwaage an Quecksilber in der Kapillare)
mHg
lHg
=
5,40 cm
(Fadenlänge des Quecksilbers in der Kapillare)
Hg
=
13,595 g/cm3 = 13,95103 kg/m³
(Dichte)
19,85 mm
(Mittelwert für die Höhe der Wassersäule)
hH2O =
_________________________________________________________________________
Ring- oder Bügelmethode
Ein Aluminiumring mit einer scharfen Schneide wird über drei Fäden an einem Kraftmesser
befestigt. Beim Herausziehen aus dem Fluid hebt die Schneide eine dünne ringförmige
Flüssigkeitsschicht aus der Wasseroberfläche.
Fluidmechanik
34
___________________________________________________________________
Messwerte
=
F1
F2
=
r
=
Gewichtskraft des Ringes in Luft
Gewichtskraft vor dem Abreißen
Radius des Ringes
Oberflächenspannung σ
Gl. 2-49:
Abb. 2-17:

F2  F1
2  r     2
Ringmethode
Der Faktor 2 in Gl. 2-49 im Nenner ergibt sich aus der Kapillarspannung an den Berührungslinien oben am Ringrand/Flüssigkeit und unten an Flüssigkeit/Flüssigkeit.
_________________________________________________________________________
Üb. 2-7:
Bestimmung der Oberflächenspannung von H2O mittels Ringmethode
T
m
F2
d
=
=
=
=
25°C
4,910 g
7,51210-2 N
60 mm
(Masse des Ringes)
(Zugkraft vor dem Abreißen)
(Durchmesser des Ringes)
_________________________________________________________________________
2.1.10
Viskosität
Definition nach DIN 1342
Eigenschaft fließfähigen Systems bei der Verformung eine mechanische Spannung
aufzunehmen, die von der Verformungsgeschwindigkeit abhängt, bzw. Schub- oder
Tangentialspannung ist die Ursache für die im Fluid hervorgerufene Verformungsgeschwindigkeit. Viskosität ist eine Stoffgröße und stellt ein Maß für die Verschiebbarkeit der
Fluidteilchen gegeneinander dar.
Newton'sches Fluidreibungsgesetz
Herleitung über Plattenzugversuch: Zwischen ruhender und bewegter Wandfläche bildet sich
ein Geschwindigkeitsgefälle, das bei kleinen Schichtdicken linearisiert werden kann.
Gl. 2-50:
F    A
dcx
dz
Fluidmechanik
35
___________________________________________________________________
Tangentialspannung  (auch: Scher- oder Schubspannung)
Abb. 2-18:
Plattenzugversuch
Die Scherkraft F bezogen auf die Plattenfläche A ergibt Tangentialspannung 
Gl. 2-51:

F
dc
  x
A
dz
Der Gradient D  dc x dz wird auch als Schergefälle bezeichnet.
Reibungsverhalten verschiedener Fluide
Abb. 2-19:
Reibungsverhalten verschiedener Fluide
Newton'sche Fluide
Bezeichnung für alle Fluide, die sich entsprechend dem Newton'schen Fluidreibungsgesetz
verhalten, d.h. einen konstanten Proportionalitätsfaktor  (= dynamische Viskosität) aufweisen.
Fluide mit dilatantem (= dehnbarem) Verhalten
Die Scherspannung, d.h. Viskosität steigt progressiv mit wachsendem Schergeschwindigkeitsgefälle, z.B. bei Klebstoffen oder nassem Sand. Bei geringen Schergeschwindigkeiten
wirkt das Wasser im Sand als Gleitmittel, bei einer Erhöhung der Geschwindigkeit reißt der
Wasserschmierfilm ab und Sand reibt gegen Sand, wodurch die Scherspannung ansteigt.
Fluidmechanik
36
___________________________________________________________________
Pseudoplastisches (strukturviskoses) Verhalten
Die Scherspannung steigt degressiv mit wachsender Schergeschwindigkeit, z.B. in
Schmelzen, Dispersionen mit länglichen Partikeln, die zuerst ineinander verhakt sind und
sich mit zunehmender Scherbewegung ausrichten, wodurch der Widerstand nachlässt.
Plastisches Verhalten (Bingham-Fluide)
Bis zum Erreichen eines Schwellwertes entspricht das Verhalten dem eines Festkörpers, bei
Überschreiten der charakteristischen Scherspannung beginnt der Stoff, ähnlich einem
Newton'schen Fluid zu fließen, z.B. Honig, Wachs, Teer, Fette.
Fluidmechanik
Hydrostatik - Druckmessung
37
___________________________________________________________________
2.2
Druckmessung
2.2.1
Druckbegriffe
Abb. 2-20:
Druckdefinitionen
Die Zustandsgröße Druck ist immer auf ein Referenzniveau bzw. auf einen Referenzdruck
bezogen. In Abhängigkeit von dem verwendeten Bezugsniveau lassen sich unterschiedliche
Drücke definieren.
Absolutdruck pabs gegenüber Vakuum
Gl. 2-52:
pabs  p  pVakuum

0
Relativdruck prel, d.h. Druck gegenüber dem Luftdruck p0 , Überdruck oder Unterdruck
Gl. 2-53:
pG ,rel  pabs  p0   f  h f  g
Überdruck (hf > 0), Flüssigkeitssäule wird im Manometer nach oben gedrückt
Unterdruck (hf < 0), Flüssigkeitssäule wird im Manometer nach unten gedrückt
Differenzdruck p, Differenz zwischen zwei Drücken p1 und p2
Gl. 2-54:
p  p1  p2
Fluidmechanik
38
___________________________________________________________________
2.2.2
Druckmessung in einem Kessel mittels U-Rohr Manometer
Bestimmung des Kesseldrucks pG in der Höhe der
Anschlussstelle
Kräftegleichgewicht im Rohr:
Gl. 2-55:
pG  G  hg  g  p0   f  h f  g
Gl. 2-56:
pG  p0   f  h f  g  G  hg  g
bei
G   f gilt
Gl. 2-57:
Abb. 2-21:
pG  p0   f  h f  g
U-Rohr Manometer
Die Messergebnisse werden nur geringfügig durch die Kapillarität im Rohr beeinflusst, sofern
der Rohrdurchmesser des Manometers entsprechend groß gewählt wird.
_________________________________________________________________________
Üb. 2-8:
Einfluss der Kapillarität in einem Quecksilber U-Rohr Manometer
D
W
T
Hg/H20
Hg/Luft
=
=
=
=
=
6 mm
140 grd
20°C
0,380 N/m
0,470 N/m
(Rohrinnendurchmesser)
(Randwinkel Hg/Glas)
(Temperatur)
(Grenzflächenspannung)
(Grenzflächenspannung)
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
39
___________________________________________________________________
2.2.3
Berücksichtigung des hydrostatischen Drucks in einem Kessel
Die Änderung des hydrostatischen Drucks ist
in der Regel bei Gasen über die Behälterhöhe
vernachlässigbar. Der Druck im Kessel kann
näherungsweise über die Höhe als konstant
angenommen werden. Dies gilt jedoch nicht
für Flüssigkeiten.
Abb. 2-22:
Hydrostatischer Druck in einem Kessel
Druck im Kessel auf der Höhe hx
p x  pL   f  x  g
Gl. 2-58:
Druckgleichgewicht im Manometer bei h2
Gl. 2-59:
p x   f  y  g  p0   Hg  h  g
Gl. 2-60:
p x  p0   Hg  h  g   f  y  g
2.2.4
Differenzdruckmessung
Die Druckdifferenz p  p1  p2 ergibt sich aus der
Druckgleichgewicht bei A-A
f
Hg
Abb. 2-23:
Differenzdruckmessung
Gl. 2-61:
p1   f  g  h1  p2   f  g  h2   Hg  g  h
Gl. 2-62:
p1  p2    f  g  h2  h1    Hg  g  h
Gl. 2-63:
p   Hg   f  g  h
Fluidmechanik
40
___________________________________________________________________
Bei geringen Geschwindigkeiten (M < 0,3) kann bei Gasen die Dichte gegenüber der
Flüssigkeit im Manometer vernachlässigt werden, d.h. Gl. 2-63 vereinfacht sich zu:
p   Hg  g  h
Gl. 2-64:
Hierbei wird implizit die Annahme getroffen, dass im Rohr eine quasi-eindimensionale
Strömung vorliegt, d.h. die Strömungsparameter ändern sich hauptsächlich in und nicht quer
zur Strömungsrichtung. Der Wanddruck pw entspricht dem statischen Druck in der Strömung.
2.2.5
Berücksichtigung des Temperatureinflusses
Die temperaturbedingte Volumenänderung der Flüssigkeit im Manometer, z.B. Quecksilber
ist bei Druckmessungen zu berücksichtigen.
T°C
 kg/m³
Tab. 2-5:
0
13595
10
13570
20
13546
30
13521
Dichte von Quecksilber als Funktion der Temperatur
Länge der Quecksilbersäule bei T = 0°C
L0  LT  1  1,81 10 4  T 
Gl. 2-65:
LT [mm Hg]
Länge bei Raumtemperatur T [°C]
Näherungsbeziehung zur Temperaturkorrektur der Quecksilbersäule
L0  LT 
Gl. 2-66:
T
8
2.2.6
Berücksichtigung der Luftfeuchte
Ab einer relativen Luftfeuchte von  > 50% ist der Einfluss der Feuchte auf die spezifische
Gaskonstante R, die in die Berechnung der Luftdichte  eingeht zu berücksichtigen, d.h. der
Wert der spezifischen Gaskonstante von trockener Luft Rt ist entsprechend Gl. 2-68 zu
korrigieren, wobei Rf die um die relative Luftfeuchte  korrigierte spezifische Gaskonstante
von Luft darstellt.
p
Rf T
Gl. 2-67:

Gl. 2-68:
Rf 
Rt
  pd  Rt
 1 
1
p  Rd

287 ,05
 1  0,3773    p d

p

mit
Rt  287 ,05 J kg  K
Rd  461 J kg  K
spez. Gaskonstante von trockener Luft

spez. Gaskonstante von Wasserdampf
relative Luftfeuchte
pd
p
Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft
Luftdruck
Fluidmechanik
41
___________________________________________________________________
Der Sättigungsdampfdruck von Wasser in Luft pd kann für die vorliegende Temperatur T
entweder einer Dampftafel entnommen oder über die Magnus2-Formel berechnet werden.
pd  611,213  e
Gl. 2-69:
2.2.7
 17 ,5043T 


 241,2  T 
Pa  ,
T [°C] Lufttemperatur
Drucksonden
Abb. 2-24:
Drucksonden
Wanddruckmessung
Statische Drucksonde
pWand  pK  pstatisch
pWand  p   F  h  g
pstatisch  p
pstatisch  p   F  h  g
Pitot-Sonde, Prandtl-Rohr
pstatisch  p
pPitot  ptotal  pt  p  pdyn
Bei inkompressiblen Strömungen lässt sich aus dem dynamischen Druck pdyn, d.h. der
Differenz aus Totaldruck pt und statischem Druck p
p dyn  pt  p  q 
Gl. 2-70:

2
 c2
die Strömungsgeschwindigkeit c bestimmen
c
Gl. 2-71:
2.2.8
2

  pt  p   2  g 
F
h

Schrägrohrmanometer
Weiterentwicklung des U-Rohr Manometers,
Neigung des Messschenkels führt zu einer
Aufweitung der Skala, entsprechend sin,
maßgebend ist lediglich die Differenz h in den
Spiegelhöhen.
Gl. 2-72:
Abb. 2-25:
2
Schrägrohrmanometer
H. G, Magnus (1802-1870), dt. Physiker und Chemiker
p1  p2   M  h  g   M  l  sin   g
Fluidmechanik
42
___________________________________________________________________
Üb. 2-9:
Geschwindigkeitsmessung mittels Schrägrohrmanometer und Prandtl-Rohr
Ein Schrägrohrmanometer ist an ein Prandtl-Rohr in der Messstrecke eines Windkanals
angeschlossen.
Abgelesene Werte am Schrägrohrmanometer:
l
=
100 mm
(Länge der aufgestiegenen Messflüssigkeit)
M
=
800 kg/m³ (Dichte der Messflüssigkeit, Alkohol)

=
30 grad (Neigungswinkel des Manometers)
Tageswerte im Labor:
p
=
..720 mm Hg
T
=
24°C

=
....70 %
(Luftdruck)
(Lufttemperatur)
(relative Feuchte)
Berechnen Sie für diese Bedingungen die Strömungsgeschwindigkeit in der Messstrecke des
Windkanals, wenn sich die Druckdifferenz am Manometer entsprechend Abb. 2-25 aus p1
(Gesamtdruck) und p2 (statischer Druck) ergibt.
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
Hydrostatik – Druckkräfte auf Begrenzungsflächen
43
___________________________________________________________________
2.3
Druckkräfte auf Begrenzungsflächen
Abb. 2-26:
Druckkräfte auf Begrenzungsflächen, [ 10]
Betrachtet wird im Folgenden ein Behälter, der bis zur Höhe H mit einem Fluid der Dichte 
gefüllt ist und an dessen Oberflächen und Außenseiten der Umgebungsdruck po herrscht.
2.3.1
Druckkraft auf eine ebene, horizontale Fläche
Die Druckkraft auf die Bodenplatte ergibt sich aus der Bilanz aus hydrostatischem Druck und
Umgebungsdruck.
Gl. 2-73:
2.3.2
FB  Fi  Fa    g  H  A
Druckkraft auf eine geneigte Fläche
Hydrostatische Kraft dF auf ein Flächenelement dA in der Tiefe h, mit h  y  cos
Gl. 2-74:
Gl. 2-75:


dF h    ph   p0  dA   p0    g  y  cos  p0   dA    g  y  cos  dA





h


F    g  cos   y  dA
 A
Schwerpunktsabstand yS der Fläche A bezogen auf die x-Achse
Gl. 2-76:
yS 
1
 y  dA
A A
Resultierende Druckkraft auf die geneigte Fläche A
Gl. 2-77:
F    g  cos  yS  A
Mit der Tiefe hS des Flächenschwerpunkts S
Gl. 2-78:
hS  cos  yS
Gl. 2-79:
F    g  cos  yS  A    g  hS  A   phS   p0  A
Fluidmechanik
44
___________________________________________________________________
Die resultierende Kraft auf die Fläche A ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck der im
Flächenschwerpunkt S herrscht
Gl. 2-80:
p hS   p 0    g  hS
Druckpunkt D
Mit Ausnahme einer horizontalen, ebenen Fläche verteilt sich der Druck nicht konstant über
die Fläche A. Dies hat zur Folge, dass der Kraftangriffspunkt oder Druckpunkt, nicht im
Flächenschwerpunkt liegt. Die Druckpunktkoordinate yD ergibt sich aus dem Momentengleichgewicht bezüglich der x-Achse.
Gl. 2-81:
F  yD   y  dF 
 A
 
g  cos   y  dA    g  cos    y
 y



 
 
A
2
 dA
A



dF
Ix
Ix:
Flächenträgheitsmoment der Fläche A in Bezug auf die x-Achse
Der Abstand yD des Druckpunktes D von der Flüssigkeitsoberfläche ergibt sich aus Gl. 2-77
eingesetzt in Gl. 2-81.
Gl. 2-82:
  g  cos  yS  A  yD    g  cos  I x
2
Mit dem Steiner‘schen Satz I x  I Sx  yS  A , wobei ISx das Flächenträgheitsmoment der
Fläche A in Bezug auf eine Achse durch den Flächenschwerpunkt S, parallel zur x-Achse
beschreibt, ergibt sich für die Koordinate yD des Druckpunktes D
2
Gl. 2-83:
yD 
I Sx  yS  A
I
 Sx  yS
yS  A
yS  A
Abstand e zwischen Flächenschwerpunkt S und Druckpunkt D der Fläche A (in y-Richtung)
Gl. 2-84:

e  yD  yS 
I Sx
0
yS  A
Druckpunkt liegt immer tiefer als der Schwerpunkt
Momentengleichgewicht bezüglich y-Achse liefert Druckpunktkoordinate xD
Gl. 2-85:
F  xD   x  dF 
 A
g  cos   y  dA    g  cos    x  y  dA 
 
 x



 
 
A
xD 
A



dF
I xy
Ixy:
Zentrifugalmoment der Fläche A in Bezug auf x,y-System
Hat die belastete Fläche A eine Symmetrieachse parallel zur y-Richtung, so liegt der
Druckpunkt D auf dieser Symmetrieachse im Abstand e unter dem Schwerpunkt S
Sonderfall: Senkrechte ebene Fläche
Kraft auf die senkrechte Wand
Gl. 2-86:
F    g  hS  A
Abstand Druckpunkt zu Flächenschwerpunkt

  0, y  h
I xy
yS  A
Fluidmechanik
45
___________________________________________________________________
e  hD  hS 
Gl. 2-87:
I Sx
hS  A
Allgemein gilt:
Druckkräfte auf geneigte oder senkrechte Flächen sind unabhängig vom absoluten
Flüssigkeitsvolumen, lediglich die Füllhöhe ist maßgebend (vgl. hydrostatisches Paradoxon).
_________________________________________________________________________
Üb. 2-10:
Kraft auf eine Absperrklappe
geg.:
hS1
D
H
B
=
=
=
=
=
=
ges.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Kraft F1 auf die Absperrklappe?
Lage des Kraftangriffspunktes von F1?
Drehmoment der Klappe bezüglich x-x?
Klappenlagerung bei x-x oder y-y?
Kraft F2 auf die linke Wand?
Lage des Kraftangriffspunktes von F2?


5m
1m
30 grad
103 [kg/m³
7m
10 [m
_________________________________________________________________________
2.3.3
Druckkräfte auf gekrümmte Begrenzungsflächen
2.3.3.1 Einfach gekrümmte (abwickelbare) Flächen
Abb. 2-27:
Druckkräfte auf abwickelbare Flächen, [ 10]
Fluidmechanik
46
___________________________________________________________________
Hydrostatische Kraft dF am Element dA
Gl. 2-88:
dF    g  h  dA
Gl. 2-89:
dFx    g  h  dA  sin     g  h  dAx
Gl. 2-90:
dFh    g  h  dA  cos     g  h  dAh
Die Druckbelastung ergibt sich aus der Projektion des belasteten Flächenelements senkrecht
zur betrachteten Kraftrichtung.
Horizontale Kraftkomponente Fx für die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Fläche
Gl. 2-91:
hSx:
Fx    g 
 h  dA
x
 Ax 
   g  hSx  Ax   p hSx   p0  Ax
Abstand des Flächenschwerpunktes Sx der Projektionsfläche Ax zur Oberfläche
Die Projektionsfläche Ax ergibt sich aus der Projektion von 1-2 zu 1'-2', horizontale Druckkräfte von 2-3 heben sich gegen 3-4 auf und liefern keinen Beitrag. Das Momentengleichgewicht an Ax ergibt den Angriffspunkt Dx der Kraft Fx :
Gl. 2-92:
ISy:
ex  hDx  hSx 
I Sy
hSx  Ax
Axiales Flächenträgheitsmoment der Fläche Ax bezüglich einer zur y-Achse parallelen
Achse durch den Schwerpunkt Sx der Projektionsfläche Ax
Vertikale Kraftkomponente Fh für die durch die Kurve 1-2-3-4 beschriebene Fläche
entspricht der Gewichtskraft des über der Kurve 1-2-3-4 befindlichen (realen oder fiktiven)
Fluidvolumens, unabhängig davon ob sich in dem Volumen Verdrängungskörper (Kurve 5-67-8) befinden oder nicht, ergibt sich die vertikale Kraftkomponente Fh zu
Gl. 2-93:
Fh    g 
 h  dA
h
 Ah 
   g V
Da die Gewichtskraft des Fluidvolumens V im Masseschwerpunkt SF angreift, verläuft die
vertikale Kraftkomponente Fh durch den Schwerpunkt SF des oberhalb der bedrückten Fläche
liegenden Volumens.
Die Gesamtkraft F ergibt sich aus horizontaler und vertikaler Komponente Fx, und Fh
Gl. 2-94:
F  Fx  Fh ,  F  arctan
2
2
Fx
Fh
Fluidmechanik
47
___________________________________________________________________
Aufdruckkraft Fh'
Abb. 2-28:
Aufdruckkraft auf einen eingetauchten Körper, [ 10]
Das Flächenelement dA' wird in der Tiefe h durch die Druckkraft dF' belastet. Die vertikale
Komponente dFh' ergibt sich aus der Höhe der Flüssigkeitssäule über der belasteten Fläche
dAh'
Gl. 2-95:

 
dFh  dF   cos     g  h  d
A
cos
    g  dV 


 dAh
Die Aufdruckkraft Fh' senkrecht nach oben ergibt sich aus der Gewichtskraft des fiktiven
Volumens V' über der belasteten Fläche 9-10. Die Wirkungslinie verläuft durch den
Masseschwerpunkt SF'.
Gl. 2-96:

Fh    g  V 
2.3.3.2 Beliebig gekrümmte (nicht abwickelbare) Flächen
Abb. 2-29:
Druckkräfte auf beliebig gekrümmte Flächen, [ 10]
Fluidmechanik
48
___________________________________________________________________
Die Druckbelastung einer beliebig gekrümmten Fläche lässt sich durch Projektion der
gekrümmten Flächen in die h-y-Ebene bzw. h-x-Ebene auf ein ebenes Problem zurückführen
und die Projektionsflächen werden analog zu einer senkrechten Wand behandelt.
Horizontale Kraftkomponenten Fx, Fy
Die Kraft auf die senkrechte Wand ergibt sich aus dem hydrostatischen Druck im Flächenschwerpunkt multipliziert mit der Projektionsfläche Ax bzw. Ay.
Fx    g  hSx  Ax und
Gl. 2-97:
 h  dA
 
Fy    g  hSy  Ay
Gl. 2-98:
hSx 
Gl. 2-99:
ex 
Gl. 2-100
y Dx 
Ax
Ax
I Sy
hSx  Ax
I yh
hSx  Ax
 h  dA
y
x
und
hSy 
und
ey 
und
y Dy 
Ay
Ay
I Sx
hSy  Ay
I xh
hSy  Ay
Vertikale Kraftkomponente Fh
Kraft ergibt sich aus dem realen oder fiktiven Fluidvolumen V zwischen der Fläche und der
Fluidoberfläche. Wirkungslinie der Gewichtskraft Fh verläuft durch den Masseschwerpunkt SF
des Volumens V
Gl. 2-101:
2.3.4
Fh    g  V
Stabilität
2.3.4.1 Stabilität schwebender Körper
FG > FA:
FG = FA:
FG < FA:
SK
SF
Abtauchen
Schwimmen
Auftauchen
Masseschwerpunkt des Körpers
Masseschwerpunkt des verdrängten Fluids
Abb. 2-30:
Stabilität eines schwebenden Körpers
Die Linie, die durch den Masseschwerpunkt des Körpers SK und durch den Masseschwerpunkt des verdrängten Fluids SF führt, wird als Schwimmachse bezeichnet. Ein stabiles
Gleichgewicht erfordert, dass SK unterhalb von SF liegt.
Fluidmechanik
49
___________________________________________________________________
2.3.4.2 Stabilität schwimmender Körper
Ausgangslage
FG
FA
Gewichtskraft des Körpers, greift im
Körperschwerpunkt SK an
Gewichtskraft des verdrängten Fluids,
greift im Schwerpunkt SF des
verdrängten Fluids an
Abb. 2-31:
Schwimmender Körper - Ausgangslage
Auslenkung aus der Gleichgewichtslage
Abb. 2-32:
Schwimmender Körper - Auslenkung aus der Gleichgewichtslage
Wird der schwimmende Körper aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, so verbleibt der
Körperschwerpunkt SK auf seiner Position. Das Volumen des verdrängten Fluids VF bleibt
gleich, ändert aber seine Form, wodurch sich der Schwerpunkt des verdrängten Volumens
von SF auf SF' verschiebt. Die in den beiden Schwerpunkten angreifenden Kräfte FA und FG
liegen nun nicht mehr auf der gleichen Wirkungslinie. In dem in Abb. 2-32 skizzierten
Beispiel bildet sich ein aufrichtendes Moment.
Der Schnittpunkt von Schwimmachse und Auftriebskraft FA wird als Metazentrum M
bezeichnet. Die sog. metazentrische Höhe hM beschreibt den Abstand des Metazentrums
von dem Körperschwerpunkt SK
Gl. 2-102:
hM 
I0
e
VF
Wobei I0 das Trägheitsmoment der Schwimmfläche darstellt.
Stabilitätsbedingung
Ein eigenstabiles Verhalten, d.h. ein selbständiges Zurückkehren in die Ausgangslage nach
einer Auslenkung infolge einer Störung, z.B. Welle, wird durch die metazentrische Höhe hM
definiert.
hm  0 , instabil:
hm  0, a  0
stabil: hm  0, a  0 , indifferent:
Fluidmechanik
50
___________________________________________________________________
Stabilitätsverhalten verschiedener Schiffstypen
Abb. 2-33:
Stabilität unterschiedlicher Schiffstypen in Abhängigkeit von Beladung, [ 10]
Aufrichtender Hebelarm a über Krängungswinkel 
1
2
3
4
5
6
Seenotrettungskreuzer, 23m
Seenotrettungsboot, 8,3m
Patrouillenboot, 38m
Motoryacht
4a 100% Vorräte
4b
25% Vorräte
Containerschiff, 1100 Container zu 14t
Gorch Fock
6a unter Segel, 100% Vorräte, 70 Mann in den Rahen, 200 an Deck
6b Rumpf ohne Aufbauten
_________________________________________________________________________
Üb. 2-11:
Stabilität eines Schiffsrumpfes
Der eingetauchte Bereich entspricht einer
zylindrischen Halbellipse mit der
Gesamtlänge L
Gesucht ist die maximale Lage des
Körperschwerpunkts über der
Wasseroberfläche bis Instabilität eintritt
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
Hydrostatik – Fluide unter Beschleunigung
51
___________________________________________________________________
2.4
Fluide unter Beschleunigung
2.4.1
Niveauflächen
Die Verbindungsfläche aller Punkte mit gleichem Druck in einem Fluid wird als Niveaufläche
(Isobarenfläche) bezeichnet. Niveauflächen bilden sich immer senkrecht zu den vorliegenden
Massekräften (Gravitation, Trägheit). Freie Oberflächen von Flüssigkeiten werden durch den
Umgebungsdruck belastet und bilden ebenfalls Niveauflächen, d.h. an jeder freien Oberfläche eines Fluids herrscht immer ein Druckgleichgewicht zwischen dem Druck an der
Oberfläche des Fluids und dem Umgebungsdruck. Wirkt als einzige Kraft nur die Gravitation
auf das Fluid, so stellt sich als Niveaufläche eine horizontale Ebene, bzw. Kugelfläche
(Ozean) ein. Zusätzliche Trägheitskräfte bewirken eine Verschiebung der Niveaufläche.
2.4.2
Gleichförmig horizontal beschleunigter Behälter
Abb. 2-34:
Horizontal beschleunigter Behälter
Der Spiegel der freien Oberfläche steht immer senkrecht zum resultierenden Beschleunigungsvektor. Der Neigungswinkel  des Flüssigkeitsspiegels gegenüber der Horizontalen
ergibt sich aus dem Verhältnis der Trägheitskräfte zur Gewichtskraft.
Gl. 2-103:
2.4.3
tan  
Trägheitskraft dm  a a


Gewichtskraft dm  g g
Rotierende Flüssigkeiten
Abb. 2-35:
Rotierender Behälter mit Flüssigkeit
Fluidmechanik
52
___________________________________________________________________
Rotiert ein Gefäß mit konstanter Winkelgeschwindigkeit  um seine Hochachse, so sinkt der
Spiegel zur Mitte hin ab. Die resultierende Kraft am Element dm ergibt sich aus
Zentrifugalbeschleunigung dFT und Erdbeschleunigung dFG
Gl. 2-104:
dFT  dm  r   2
Gl. 2-105:
dFG  dm  g
Der Winkel der Tangente an die Oberfläche berechnet sich aus dem Verhältnis der
Beschleunigungskräfte
Gl. 2-106:
tan  
dz dFT dm  r   2  2



r
dr dFG
dm  g
g
Die Parabelform der Oberfläche ergibt sich aus der Abhängigkeit der Zentrifugalbeschleunigung vom Rotationsradius r.
Bestimmung der Form der freien Oberfläche z = z(r)
Aus
Gl. 2-107:
dz  2

r
dr g
tan  
folgt
Gl. 2-108:
dz 
2
g
 r  dr
Die Integration von zmin bis zmax
z
Gl. 2-109:
 dz 
z min
2
g
r

 r  dr
r  r z min
ergibt für eine Rotation um die Symmetrieachse mit r  zmin   0
Gl. 2-110:
z r   zmin 
2
2 g
r2
Die maximale Steighöhe zmax am Rand, d.h. bei r  zmax   R ergibt sich aus Gl. 2-110
Gl. 2-111:
zmax  zmin 
2
2 g
 R2
Das Volumen eines Rotationsparaboloids entspricht dem halben Volumen des einhüllenden
Zylinders, d.h.
Gl. 2-112:
1
VRot .Paraboloid   VZylinder
2
und damit lässt sich Gl. 2-111 auch schreiben als
Gl. 2-113:
z max  z min  2  z0  z min  
2
2 g
 R2
Fluidmechanik
53
___________________________________________________________________
Mit
z min  z0 
Gl. 2-114:
2
4 g
 R2
ergibt sich aus Gl. 2-110 die Form der freien Oberfläche bei einer Rotation um die
Symmetrieachse
Gl. 2-115
:
 r  2 1 
 R    
z r   z0 
2 g
 R  2 
2
2
Druck auf den Behälterboden
Abb. 2-36:
Rotierender Behälter mit Flüssigkeit
Der Druck auf den Behälterboden ergibt sich zu
Gl. 2-116:

 r  2 1  
2
p r   p0    g  z r   p0    g   z0 
 R 2     

2 g
 R  2  


z r 
Die parabolische Druckzunahme nach außen ist insbesondere für radial durchströmte
Strömungsmaschinen von Bedeutung, z.B. bei Radialverdichtern.
Druck im Inneren des Behälters
Die Druckzunahme in der Ebene A-A zwischen 1 und 2 beträgt (Abb. 2-36)
Gl. 2-117:
p 2  p1    g   z 2  z1 
mit
Gl. 2-118:
folgt
z1 
2
2 g
2
 r1  z min ,
z2 
2
2 g
2
 r2  z min
Fluidmechanik
54
___________________________________________________________________
Gl. 2-119:
p 2  p1   
2
2

2
 r2  r1
2

Mit der Umfangsgeschwindigkeit u  r   folgt
Gl. 2-120:
p2  p1 

2

2
 u2  u1
2

Rotierende Flüssigkeit mit Deckel3
p0
z2
z1
Abb. 2-37:
p0
Rotierender Behälter mit Deckel
Das Kräftegleichgewicht in vertikaler Richtung wird in jedem Punkt der Ebene A-A durch die
darüber liegende Flüssigkeitssäule hergestellt, d.h. der Deckel ersetzt in der Kräftebilanz das
Fluidvolumen VA . Die Kraft FD auf Deckel entspricht somit dem Gewicht des Volumens VA .
Gl. 2-121:
FD  m  g    g  VA
Das Volumen VR eines Rotationskörpers, der durch die Rotation einer Kurve r(z) um die
z-Achse entsteht, wird beschrieben durch
z2
Gl. 2-122:
VR     r 2  z  dz
z1
Die Berechnung des fiktiven Volumens VA ergibt sich somit zu
Gl. 2-123:
3
VA VZylinder  VR    R 2   z2  z1  VR
Es ist zu beachten, dass der Deckel mit einer Belüftung versehen sein muss, d.h. der Luftdruck
unterhalb und oberhalb des Deckels muss gleich sein
Fluidmechanik
55
___________________________________________________________________
Üb. 2-12:
Zentrifuge
D
z0
=
=
32 cm (Innendurchmesser)
8 cm (Füllhöhe)
Bei welcher Drehzahl n erreicht der Flüssigkeitsspiegel den Behälterboden?
Wie hoch steigt die Flüssigkeit in diesem Fall an der
Wand des Behälters?
_________________________________________________________________________
Üb. 2-13:
Zentrifuge mit belüftetem Kolben
z
R

In eine mit der Drehzahl n = 1 s-1 rotierende
Zentrifuge wird ein reibungsfrei dichtender Kolben K
gesetzt. Der Kolben besitzt in der Mitte eine
Belüftungsbohrung, d.h. an der Oberseite und an der
nicht benetzten Unterseite des Kolbens herrscht der
gleiche Luftdruck p .
Berechnen Sie die Masse mK des Kolbens, wenn
dieser auf einer Höhe z1 = 1,0 m von der rotierenden
Flüssigkeit getragen wird.
p
K
p
z1
r
Behälterradius:
Füllstand bei  = 0:
Dichte der Flüssigkeit:
Umgebungsluftdruck:
R
z0
FL
p
=
=
=
=
1,0 m
0,2 m
10³ kg/m³
105 Pa
Fluidmechanik
Aerostatik – Atmosphäre der Erde
56
___________________________________________________________________
3
Aerostatik
3.1
Atmosphäre der Erde
3.1.1
Die Erdatmosphäre als Wärmekraftmaschine
Die Atmosphäre der Erde ist in ein ständigen Veränderungen unterworfenes dynamisches
System, eine Art Wärmemaschine [ 11], der auf der sonnenzugewandten Seite durch
Absorption von Sonnenstrahlung Wärme zugeführt und auf der sonnenabgewandten Seite
Wärme durch Abstrahlung entzogen wird. Infolge der Erdrotation ändern sich die
Strahlungsverhältnisse auf der Erdoberfläche permanent. Eine weitere Komplikation der
Verhältnisse, im Vergleich zu einer einfachen Wärmekraftmaschine im thermodynamischen
Sinn, ergibt sich aus der asymmetrischen Verteilung von Meer und Landmassen auf der
Erdoberfläche, da diese auch unterschiedliche Absorptions- und Emissionseigenschaften
aufweisen.
Zusammensetzung der Luft
Die Atmosphäre selbst besteht aus einer Mischung unterschiedlicher Gase, deren
Zusammensetzung jedoch über die Höhe relativ konstant bleibt. Hauptbestandteil bildet mit
ca. 78% Stickstoff, gefolgt von ca. 21% Sauerstoff, weitere Komponenten bilden
Wasserdampf, Kohlendioxid, Ozon und in sehr geringen Mengen Edelgase wie z.B. Argon
und Neon, vgl. Tab. 3-1. Die chemische Zusammensetzung von Luft ist bis in sehr große
Höhen nahezu konstant, während Druck und Temperatur eine Höhenabhängigkeit
aufweisen.
Gas
Stickstoff
Sauerstoff
Argon
Kohlendioxid
Neon
Helium
Krypton
Wasserstoff
Xenon
Ozon
Tab. 3-1:
N2
O2
Ar
CO2
Ne
He
Kr
H2
Xe
O3
Volumenprozent
78,09
20,95
0,93
0,03 (schwankt)
0,0018
0,0005
0,0001
0,00005
0,000008
0,00001 (schwankt)
Temperatur [°C]
-20
-10
0
10
20
30
Chemische Zusammensetzung der Erdatmosphäre
Wasserdampf [g/m³]
1,0
2,3
4,9
9,3
17,2
30
Fluidmechanik
57
___________________________________________________________________
3.1.2
Abb. 3-1:
Aufbau der Erdatmosphäre
Aufbau der Erdatmosphäre, [ 11]
Eine feste Grenze existiert in der Höhe nicht; stattdessen erfolgt ein kontinuierlicher
Übergang in den interplanetarischen Raum. Die untersten und im Sinne der Flugzeugaerodynamik interessantesten Schichten, bilden die Troposphäre und Stratosphäre. Der
Übergang zwischen diesen beiden Schichten erfolgt vergleichsweise diskontinuierlich und
die Trennungsschicht (Tropopause) liegt in unseren Breiten bei ca. 10 km Höhe und in den
Tropen bei ca. 17 – 18 km. Veränderungen in der Atmosphäre, also das Wettergeschehen,
spielen sich vorwiegend in der untersten Schicht, der Troposphäre ab. In der Troposphäre
selbst spielt der Bereich in Bodennähe, die so genannte Reibungsschicht bis in 500 – 1000 m
über dem Boden eine besondere Rolle, da hier die Atmosphäre von den Verhältnissen an
der Erdoberfläche beeinflusst wird. Die Höhe der Tropopause ist nicht nur eine Funktion des
geographischen Breitengrades, sondern unterliegt auch jahreszeitlichen Schwankungen.
Der für das Wettergeschehen relevante Anteil der Atmosphäre bildet im Vergleich zum
Erddurchmesser nur eine hauchdünne Schale, d.h. alle Hauptströmungen der Luft erfolgen
horizontal. Vertikalbewegungen können demgegenüber nur eine vergleichsweise geringe
Geschwindigkeit aufweisen, haben jedoch eine besondere Relevanz bei Vorgängen, wie
Wolkenbildung und Niederschlag in seinen unterschiedlichen Formen.
Die größten Höhenunterschiede der Tropopause treten entlang der Bänder maximaler
Windgeschwindigkeiten (jet streams) auf. Oberhalb der Tropopause befindet sich bis zu
einer Höhe von ca. 50 km die Stratosphäre. Nahm bis zum Erreichen der Tropopause die
Lufttemperatur noch mit ca. 6.5 K/1000m ab, so stellt sich in der Stratosphäre anfangs eine
isotherme Schicht ein um anschließend ab einer Höhe von ca. 20 km wieder anzusteigen.
Der Temperaturanstieg innerhalb der oberen Stratosphäre ist auf die starke Absorption des
UV-Anteils im Sonnenlicht durch Ozon zurückzuführen. Der Ozongehalt erreicht in der
Stratosphäre in einer Höhe zwischen 20 – 25 km sein Maximum.
Fluidmechanik
58
___________________________________________________________________
Die Obergrenze der Stratosphäre wird durch die Stratopause gebildet. Das nun folgende
Höhenband von 50 – 80 km, die Mesosphäre ist durch einen negativen Temperaturgradienten
mit zunehmender Höhe gekennzeichnet und der Luftdruck hat sich auf 1 - 0.01 HPa reduziert.
Nach der Mesosphäre folgt die Ionosphäre oder Thermosphäre bis in ca. 800 km Höhe, die
infolge von ionisierten Schichten (E-Schichten oder Heaviside-Schichten) Radiowellen
reflektieren und dadurch Überreichweiten erzeuge können. Oberhalb von 800 km erreicht
man die Exosphäre, die den Übergang von der Atmosphäre zum interplanetaren Raum
bildet. Von besonderem Interesse in dieser Schicht ist der so genannte Van-AllenStrahlengürtel, der den Hauptteil der kosmischen Strahlung (Gamma-Strahlung) abschirmt.
Bemannte Raumfahrtmissionen außerhalb dieses Schutzgürtels, also auch bereits kurze
Missionen zu Mond oder Mars, beinhalten dadurch ein immenses Risiko der gesundheitlichen Schädigung infolge hoher Strahlungsbelastung.
Einfluss der Luftfeuchtigkeit
Der Wasserdampfanteil in der Atmosphäre ist abhängig von Lufttemperatur und der relativen
Feuchte. Insbesondere die spez. Gaskonstante R unterliegt einem Feuchteeinfluss
R feuchte
Gl. 3-1:
T [°]
pS [Pa]
0
611
Tab. 3-2:
5
872
10
1227
Luft

15
1704
Rtrockene Luft
0.377    pS
1
p
20
2337
Sättigungsdruck von Luft
25
3166
30
4241
35
5622
40
7375
45
9582
50
12340
55
15740
60
19920
Fluidmechanik
59
___________________________________________________________________
3.2
Abhängigkeit des Luftdrucks von der Höhe
3.2.1
Luftdruck
Bei inkompressiblen Fluiden ( = const.) wie z.B. Wasser, kann von einer linearen Druckänderung in Abhängigkeit von der Höhe bzw. Tiefe ausgegangen werden. Bei kompressiblen
Fluiden ( ≠ const.) z.B. Luft, trifft diese lineare Abhängigkeit nicht mehr zu. Hier ändert sich
der Druck exponentiell mit der Höhe.
Der Luftdruck p [Pa = N/m²] entspricht einer Kraft F, die eine Fläche von A = 1 m² durch die
darüber befindliche Luftsäule der Höhe h erfährt
Gl. 3-2:
p
F m  g  V  g   A  h  g



  g h
A
A
A
A
wobei z der vom Boden nach oben gerichtet in Koordinatenrichtung entspricht
Gl. 3-3
3.2.2
p    g  h    g  z
Kräftegleichgewicht an einem Volumenelement
Das Kräftegleichgewicht in z-Richtung an einem Volumenelement der Dicke dz lautet
Gl. 3-4:
Fp ,1  Fp , 2  FG  0
Gl. 3-5:
p  dA   p  dp   dA  dm  g  0
mit der Masse dm    dA  dz folgt
Abb. 3-2:
Gl. 3-6:
p  dA   p  dp   dA    dA  dz  g  0
Gl. 3-7:
 dp  dA    dA  dz  g  0
Gl. 3-8:
dp     g  dz
Kräftebilanz am Fluidelement
Dieser Gleichung wird als hydrostatische Grundgleichung bezeichnet und gilt für kompressible
als auch für inkompressible Fluide.
Fluidmechanik
Literatur
60
___________________________________________________________________
Polytrope (allgemeine) Zustandsänderung
Unter der Annahme einer polytropen Zustandsänderung
Gl. 3-9:
1
p  v n  const . , mit v 
und n = Polytropenexponent

lautet die Abhängigkeit des Drucks von der Dichte
Gl. 3-10:
p   
 
p 0   0 
n
bzw. für die Dicht gilt
1
Gl. 3-11:
1  p0  n

 
  0  p 
1
wobei der Polytropenexponent n die Art der Zustandsänderung beschreibt:
n = 1: Isotherme Zustandsänderung
n = : Adiabate Zustandsänderung (Luft = 1,4)
Zustandsgleichung des idealen Gases
Gl. 3-12:
0 
p0
R  T0
1

0

R  T0
p0
Einsetzen der Zustandsgleichung des idealen Gases (Gl. 3-12) in Gl. 3-11 ergibt
Gl. 3-13:
R  T0

p0

1
1
 p n
R T
  0   n1 n 0 1 n
p
p0
 p
Hydrostatische Grundgleichung
Gl. 3-14:
dp     g  dz
Aus der hydrostatischen Grundgleichung folgt
Gl. 3-15:
1


dz  g
dp
Daraus folgt die lineare Differentialgleichung
Gl. 3-16:

R T
dz  g
 n1 n 0 1 n
dp
p0
p
bzw.
Gl. 3-17:
Gl. 3-18:
dz  
R  T0
1
 1 n  dp
n 1 n
g  p0
p
z
R  T0
z0
0
 dz   g  p
n 1 n

p

p0
p
dp
dp
k   1n
1n
p
p0 p
k
Wobei der Index „0“ den Ausgangspunkt der Berechnung bezeichnet.
Fluidmechanik
Literatur
61
___________________________________________________________________
In Abhängigkeit davon ob es sich um eine nicht-isotherme (n  1) Temperaturschichtung, z.B.
in der Troposphäre oder eine isotherme (n = 1) Temperaturschichtung, z.B. im unteren
Bereich der Stratosphäre handelt, muss das Integral in Gl. 3-18 unterschiedlich ausgewertet
werden.
Nicht-isotherme Temperaturschichtung (n  1)
p
Gl. 3-19:
Gl. 3-20:
k
dp
1
n
p0
p
p
dp
k
p0
p
1
n
n
k 
p
n 1
k 
n 1 p
n
p0
n 1
n 1 
n  n
  p  p0 n 
n 1 

Ersetzen der Konstanten k
Gl. 3-21:
n 1
n 1 
R  T0
n  n
n 
p
p


z  z0  

0
n 1 n
n 1 
g  p0

Gl. 3-22:
n 1


R  T0 n  p  n

    1
z  z0  

g
n  1  p0 


Gl. 3-23:

p  n 1 g
 1 

  z  z 0 
p0 
n R  T0

Gl. 3-24:
T
n  1 g z  z0
1 
 
T0
n R T0
Gl. 3-25:
dT
n 1 g


dz
n R
Gl. 3-26:
  dT z  z0 
 1

 0  dz T0 
1
n 1
Isotherme Temperaturschichtung (n = 1)
p
Gl. 3-27:
k
p0
dp
p
1
n
p
p
dp
 k  ln
p0
p
p0
k  
g
Gl. 3-28:

 z  z0 
p
 e RT0
p0
Gl. 3-29:

 z  z 

 e RT
0
g
0
0
n
n 1
Fluidmechanik
Internationale Standardatmosphäre
62
___________________________________________________________________
3.3 Internationale Standardatmosphäre (ISA)
Die Normatmosphäre (DIN 5450 bzw. seit 1975 DIN ISO 2535) basiert auf jahreszeitlich und
geographisch gemittelten Messwerten für Druck, Dichte und Temperatur und dient als
Normierungssystem zur Auslegung und Vergleich von Flugleistungen. Berücksichtig werden
unterschiedlichen Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche.
3.3.1
Temperaturverteilung der Standardatmosphäre
90
180,65
88
80
180,65
79
70
252,65
61
60
270,65
52
270,65
47
H [km]
50
40
228,65
32
30
20
216,65
20
10
216,65
11
0
170
Abb. 3-3:
190
210
230 T [K] 250
Temperaturverteilung der Standardatmosphäre
270
288,15
0
290
310
Fluidmechanik
63
___________________________________________________________________
Höhenbereiche mit linear veränderlicher Temperatur
Höhe H [km]
0 < H < 11
20 < H < 32
32 < H < 47
52 < H < 61
61 < H < 79
Tab. 3-3:
Temperaturgradient a [K/km]
-6,5
+1,0
+2,8
-2,0
-4,0
Temperaturgradienten für unterschiedliche Höhenbereiche
Gl. 3-30:
Th  TA  a  h  hA 
Gl. 3-31:
 T  a R
ph  p A   h 
 TA 
Gl. 3-32:
T 
 h   A   h 
 TA 
g0

 g
  0  1
 a R 
Höhenbereiche mit isothermer Schichtung
Höhe [km]
11 < H < 20
47 < H < 52
79 < H < 88
Tab. 3-4:
Höhenbereiche mit konstanter Temperatur
Th  TA  const.
Gl. 3-33:
ph  p A  e
Gl. 3-34:
h   A  e
Gl. 3-35:
 g
 0
 RTh

 h  hA 


 g
 0
 RTh

 h  hA 

Die höhenabhängige Berechnung von Druck, Dichte und Temperatur erfolgt mit den in Tab.
3-5 angegebenen Temperaturgradienten a und Anfangswerten ()A nach ISA.
h [m]
011103 20103 32103 47103 52103 61103 79103 Tab. 3-5:
11103
20103
32103
47103
52103
61103
79103
88103
hA [m]
0
11103
20103
32103
47103
52103
61103
79103
TA [K]
288,15
216,65
216,65
228,65
270,65
270,65
252,65
180,65
a [K/m]
-6,510-3
0,0
+1,010-3
+2,810-3
0,0
-2,010-3
-4,010-3
0,0
pA [Pa]
101325
22632
5475
868
111
59
18
1
Anfangswerte und Temperaturgradienten nach ISA
A [kg/m³]
1,2250
0,3639
0,0880
0,0132
0,0014
0,0008
0,0002
1,910-5
Fluidmechanik
64
___________________________________________________________________
Höhe
h [m]
0
Temperatur
T [K]
288,15
Tab. 3-6:
Temperaturgradient
a [K/m]
-6,510-3
Druck
p [Pa]
101325
Dichte
 [kg/m³]
1,2250
c [m/s]
340
Werte der Standard-Atmosphäre (ISA) für h = 0 (MSL)
Ausgehend von der Temperaturverteilung in der Atmosphäre lassen sich folgende weitere
Parameter berechnen:
Die temperatur- und somit höhenabhängige Schallgeschwindigkeit a kann für ideale Gase als
reine Temperaturfunktion beschrieben werden
Gl. 3-36:
a    R T
mit der spezifischen Gaskonstante R
Gl. 3-37:
R  c p  cv
(Luft = 1,4)
und dem Isentropenexponent
Gl. 3-38:
(RLuft = 287,05 [J/kgK]

cp
cv
Machzahl
Gl. 3-39:
M
c
a
Wärmeleitfähigkeit
Gl. 3-40:
  2 ,648151 10 
3
T 1,5
T  245,4  10
12
T
 W 
 m  K 
Viskosität
Die dynamische Viskosität  [Pas] von Luft lässt sich näherungsweise nach der
Sutherlandformel als Funktion der Temperatur berechnen.
Abb. 3-4:
Temperaturabhängigkeit der dynamischen Viskosität
Fluidmechanik
65
___________________________________________________________________
dynamische Viskosität 
  1,458  10  6 
Gl. 3-41:
T 1,5
Pa  s 
T  110 ,4
kinematische Viskosität 

Gl. 3-42:
 m2 
 
 s 
Reynoldszahl
Gl. 3-43:
Re 
c  lref


c  lref  

3.3.2
Definitionen der Höhe
Die umgangssprachliche Bezeichnung Höhe, also der Abstand eines Punktes zum Boden,
erfordert im Sinne der Fluidmechanik eine genauere Beschreibung. Möglich sind
unterschiedliche Definitionen, z.B.
- geometrische Höhe
- absolute Höhe
- geopotentielle Höhe
- Druckhöhe
- Temperaturhöhe
- Dichtehöhe
Geometrische Höhe hG
Abstand eines Punktes über dem Meeresspiegel, z.B. Höhenangaben in Landkarten
Abb. 3-5:
Geometrische Höhe, Höhenlinien
Fluidmechanik
66
___________________________________________________________________
Absolute Höhe ha
Abstand eines Punktes zum Erdmittelpunkt, r = Erdradius (Mittlerer Äquatorradius rE =
6378 km)
Gl. 3-44:
ha  hG  r
Geopotentielle Höhe h
Die quadratische Änderung der Gravitation mit dem Abstand zum Erdmittelpunkt
2
Gl. 3-45:
 r
 r 
g  g 0     g 0  
 r  hG
 ha 



2
wird bei der geopotentiellen Höhe h berücksichtigt
Gl. 3-46:
 r 
  hG
h  
r
h

G 

Druckhöhe
Einfache Höhenmesser in Flugzeugen arbeiten in der Regel als barometrische Höhenmesser, d.h. es wird der statische Luftdruck außerhalb des Flugzeugs gemessen und daraus
eine Höhe ermittelt. Die Druckhöhe beschreibt somit die Zuordnung eines Luftdrucks p(h) zu
einer Höhe h.
Abb. 3-6:
Barometrischer Höhenmesser
Fluidmechanik
67
___________________________________________________________________
Abb. 3-7:
Höhenmessereinstellungen
Die Druckhöhe entspricht in der Regel nicht der geometrischen Höhe, wird jedoch zur
Staffelung des Flugverkehrs nach so genannten Flugflächen FL (flight levels) verwendet.
H  FL  100 ft 
Gl. 3-47:
z.B. FL120 entspricht einer geometrischen Höhe von 12000 ft = 3658 m, sofern der reale
Luftdruck auf Meeresniveau bezogen p0 = 1013,25 hPa beträgt. Alle Höhenangaben werden
bei diesem Verfahren auf den Standarddruck auf Meeresniveau (QNH4) von p0 = 1013,25 hPa
bezogen. Da in der Regel der Luftdruck jedoch nicht dem Standarddruck entspricht, gibt
diese Höhenmessereinstellung eine von der geometrischen Höhe abweichende Flughöhe
an. Die Flugzeuge bewegen sich dadurch auf Flächen konstanten Drucks, nicht auf einer
konstanten geometrischen Höhe. Dies hat jedoch den Vorteil, dass eine gleichbleibende
relative Höhenstaffelung des Flugverkehrs gewährleistet wird.
Die Umrechnung des aktuellen Luftdrucks (QFE) auf der Flugplatzhöhe h auf den Luftdruck
bezogen auf Meeresniveau (QNH) erfolgt mittels

QNH  QFE a  b  h
Gl. 3-48:
mit
aR
1
a

0,0065
 287,05 
 0,1902612
g
9,80665
b  
4
 hPa
p

a
ISA, h  0
TISA, h  0
 0,0065 
1013,25a
288,15
 8,417168  10 5
Die Bezeichnungen QNH und QFE stammen noch aus der Morsezeit, wobei allen wetterrelevanten
Informationen ein Q vorangestellt wurde. NH steht im Englischen für normal height, also Meeresniveau und FE
für field elevation, also Platzhöhe.
Fluidmechanik
68
___________________________________________________________________
QNH
QFE
h
R

g
pISA, h=0
TISA, h=0
[hPa] statischer Luftdruck bezogen auf Meeresniveau
[hPa] statischer Luftdruck auf Flugplatzhöhe
[m]
Flugplatzhöhe
[J/kg] spez. Gaskonstante von Luft bei eine relativen Feuchte  = 0
[K/m] Temperaturgradient in der Troposphäre nach ISA
[m/s2] Erdbeschleunigung auf der Höhe h = 0
[hPa] Luftdruck entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0
[K]
Temperatur entsprechend ISA auf der der Höhe h = 0
Vom Hoch ins Tief - das geht schief
Abb. 3-8:
Flugflächen
Temperaturhöhe
Zusätzlich zum statischen Druck wird die statische Temperatur außerhalb des Flugzeugs
gemessen. Bis zu einer Höhe von 11 km lässt sich dieser gemessenen Temperatur über die
Standardatmosphäre ebenfalls eindeutig eine Höhe zuordnen. Das wäre die so genannte
Temperaturhöhe, hat jedoch für technische Anwendung keine Relevanz.
Dichtehöhe
Die Dichtehöhe ergibt sich über die Zustandsgleichung des idealen Gases aus den
gemessenen Werten für Druck und Temperatur. Die Dichthöhe wird insbesondere zur
Berechnung der Flugleistungen, insbesondere der Startstrecke verwendet.
Näherungsformel zur Berechnung der Dichtehöhe
Gl. 3-49:
hDichte  h  1013,25  QNH   10  Th  Th ,ISA   40 m
mit
h
QNH
Th
Th,ISA
[m]
[hPa]
= Platzhöhe
= Luftdruck bezogen auf MSL
= aktuelle Temperatur am Platz
= Temperatur am Platz bei ISA-Bedingungen
Fluidmechanik
69
___________________________________________________________________
Üb. 3-1:
Gasballon mit Heliumfüllung
geg.:
DBallon
RHe
mHülle
mKorb
=
=
=
=
6m
2078 J/kgK
20 kg
10 kg
Die Hülle des Ballons ist vollständig flexibel
1.
Berechnen Sie die Nutzlast, die der Ballon bei
einem Start auf der Höhe h = 0 unter ISA-Bedingungen
heben kann
2.
Welchen Durchmesser hat der Ballon in einer
Höhe h = 12 km unter ISA-Bedingungen
_________________________________________________________________________
Üb. 3-2:
Auslegung einer Druckkabine
Die Druckkabine eines Flugzeugs soll für einen konstanten Kabineninnendruck ausgelegt
werden, der einer Höhe von h = 2400 m entspricht. Die maximale Flughöhe beträgt FL400.
Welcher Differenzdruck p lastet auf der Kabine
a)
Bei ISA-Bedingungen?
b)
Bei einem Luftdruck auf MSL von p0 = 1000 hPa und einer Temperatur auf MSL
von T0 = 35°C?
Fluidmechanik
Strömung von Fluiden - Grundbegriffe
70
___________________________________________________________________
4
Strömung von Fluiden
4.1
Grundbegriffe
4.1.1
Allgemeine Beschreibung des Strömungsfeldes
Ein Strömungsfeld lässt sich allgemein beschreiben durch das Geschwindigkeitsfeld
 
c  c x, y , z , t  , welches ein Vektorfeld darstellt und durch die skalaren Größen Druck
p  p  x, y , z , t  , Dichte     x, y , z , t  und Temperatur T  T  x, y , z , t  .
Zur Lösung des Gleichungssystems existieren 6 Gleichungen:
Drei Bewegungsgleichungen (drei Komponenten)
Kontinuitätsgleichung
Energiesatz
Thermische Zustandsgleichung
Bei idealen Flüssigkeiten existiert keine Temperaturabhängigkeit der Zustandsgrößen. Für
ideale Gase müssen aus dem Wertetripel p,  , T lediglich immer nur zwei bekannt sein.
4.1.2
Stationäre und instationäre Strömungen
Strömungen lassen sich in Abhängigkeit von dem zeitlichen Verhalten der Zustandsgrößen
V, p, T und  in stationäre und instationäre Strömung unterteilen.
stationär
Gl. 4-1:
A
quasistationär
c, p, T, 
Gl. 4-2:
A
dc
dp
dT
d
 0,
 0,
 0,
0
dt
dt
dt
dt
Zustandsgrößen in einer Strömung
c
Eine kontinuierliche Rohrströmung bei der keine zeitliche
Änderung des Massestroms oder der Temperatur vorliegt
entspricht einer stationären Strömung. Eine instationäre
Strömung würde z.B. bei dem Ausfluss einer Flüssigkeit aus
 und die
einem Behälter entsprechen. Der Massestrom m
Ausflussgeschwindigkeit V ändern sich in Abhängigkeit von dem
Füllstand h entsprechend der Torricelli'schen Ausflussgleichung.
Die dabei erreichte Ausflussgeschwindigkeit c entspricht der
Geschwindigkeit, die in Fluidelement bei einem freien Fall aus
der gleichen Höhe h erreichen würde.
Gl. 4-4:
Abb. 4-2:
dc dp dT d
 

0
dt dt dt dt
Instationär
Gl. 4-3:
Abb. 4-1:
dc dp dT d
 

0
dt dt dt dt
Instationäre Strömung
c 2 g h
Fluidmechanik
71
___________________________________________________________________
4.1.3
Bahnlinie und Stromlinie
Eine Bahnlinie beschreibt die Kurve, die ein Fluidelement zu unterschiedlichen Zeitpunkten
( t  t0 , t1 , ...., tn ) durchläuft. Die Sichtbarmachung erfolgt z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen in die Strömung und mittels einer photographischen Aufnahme bei der innerhalb der
Belichtungszeit die Teilchen das betrachtete Strömungsfeld vollständig durchqueren. Die
Bahnlinie entspricht also der Flugbahn eines Teilchens.
Abb. 4-3:
Wasserkanalaufnahme von NACA 64A015,  = 0° [ 14]
Eine Stromlinie schmiegt sich tangential an die Geschwindigkeitsvektoren eines Strömungsfeldes an. Die Sichtbarmachung erfolgt z.B. durch Zugabe von Schwebeteilchen in die
Strömung und mittels einer photographischen Aufnahme mit einer Belichtungszeit, die so
gewählt wird, dass dabei die Teilchen in dem betrachteten Strömungsfeld nur eine kurze
Strecke zurücklegen (Momentaufnahme). Das Strömungsfeld lässt sich durch eine
Kurvenschar veranschaulichen, die in jedem Punkt den zughörigen Geschwindigkeitsvektor
tangieren.
Abb. 4-4:
Stromlinien eines Strömungsfeldes
Der Abstand zwischen zwei Stromlinien kann beliebig dicht, ähnlich der Staffelung von
Höhenlinien in einer Wanderkarte, zueinander definiert werden. Über die Stromlinien hinweg
kann kein Masseaustausch stattfinden, d.h. zwischen zwei Stromlinien liegt immer ein
konstanter Massestrom vor. Aufgrund der Bedingung eines konstanten Massestroms
zwischen den Stromlinien führt (bei Unterschallströmungen) eine Stromlinienverdichtung,
also eine Querschnittsverengung, zu einer Strömungsbeschleunigung und eine Stromlinienerweiterung bewirkt eine Strömungsverzögerung. Stromlinien können keine Unstetigkeitsstelle (Knick) oder Überschneidungen aufweisen. Dies gilt für alle Arten von Iso-Linien, also
z.B. Isobaren oder Isochoren. Überschneidungen von Iso-Linien in einem Strömungsfeld
würde bedeuten, dass man einem Fluidteilchen zum gleichen Zeitpunkt am gleichen Ort z.B.
mehrere unterschiedliche Geschwindigkeiten oder Drücke zuordnen könnte.
Fluidmechanik
72
___________________________________________________________________
Bei stationären Strömungen fallen Bahnkurven und Stromlinien zusammen.
Abb. 4-5:
Stromlinie und Bahnlinie, [ 13]
4.1.4
Stromröhre, Stromfaden, Stromfläche
Die Zusammenfassung aller Stromlinien, die durch eine Eintrittsfläche A im Raum treten,
wird als Stromröhre bezeichnet. Bei der Annahme einer eindimensionalen Strömung
innerhalb der Stromröhre, d.h. die Strömungsgrößen ändern sich nur in Strömungsrichtung
und verhalten sich quer zu Strömungsrichtung konstant, können die Strömungsgrößen auf
einer einzigen Stromlinie konzentriert angenommen werden. Diese repräsentative Stromlinie
entspricht einer Stromröhre mit infinitesimalem Querschnitt dA und wird als Stromfaden
bezeichnet. Die umhüllende Mantelfläche der Stromröhre wird als Stromfläche bezeichnet,
wobei der Massestrom nur durch Ein- bzw. Austrittsfläche A1 und A2 stattfindet.
Abb. 4-6:
Stromröhre, Stromfaden und Stromfläche, [ 13]
Fluidmechanik
Strömung von Fluiden - Kontinuitätsgleichung
73
___________________________________________________________________
4.2
Wird eine Stromröhre von einem Fluid mit einer
mittleren Geschwindigkeit c im Querschnitt A
durchströmt, so bildet das Volumenelement dV,
welches um die Strecke ds bewegt wird, den
Volumenstrom V . Bei kleinen Querschnittsänderungen in Strömungsrichtung kann die
Querschnittsänderung dA im Vergleich zur
Verschiebung
ds
in
Strömungsrichtung
vernachlässigt werden, d.h. s  dA  0 .
Abb. 4-7:
Stromröhre - Kontinuitätsgleichung
Volumenstrom
Gl. 4-5:
dV  d  A  s   A  ds  s  dA  A  ds
Gl. 4-6:
dV
ds
V 
 A  A c m3 s
dt
dt


Massestrom
  dm dt ergibt sich aus
Der Massestrom m
Gl. 4-7:
d
dV
dm d   V 

V 

dt
dt
dt
dt
Gl. 4-8:
m  V     V
Für stationäre Strömungen, d.h.   0 vereinfacht sich Gl. 4-8 zu
Gl. 4-9:
m   V    c  A kg s 
Masseerhaltungssatz
Da bei stationären Strömungen die Masse im betrachteten Kontrollvolumens konstant bleibt
und innerhalb der Stromröhre der Massestrom nur durch die Ein- bzw. Ausrittsfläche A1 und
A2 möglich ist, muss in jedem beliebigen Querschnitt Ai der Stromröhre gelten
Gl. 4-10:
m 1  m 2  1  c1  A1   2  c2  A2  const .
Differenzieren von Gl. 4-10 ergibt die differentielle Form der Kontinuitätsgleichung
Gl. 4-11:
m    c  A  const .
Gl. 4-12:
dm  d   c  A  0
Fluidmechanik
Strömung von Fluiden - Kontinuitätsgleichung
74
___________________________________________________________________
c  A  d  c    dA    A  dc  0 
Gl. 4-13:
d
Gl. 4-14:


1
 c A
dA dc
 0
A
c
_________________________________________________________________________
Üb. 4-1:
Rohrverzweigung eines Abwasserrohrs
geg.:
D1
V1
V :V
2
= D2
3
c3
=
=
100 mm
42,4 m³/h
=
=
2:1
c1
ges.:
D3
c2
Durchmesser Abzweigungsrohr
Geschwindigkeit im Querschnitt 2
_________________________________________________________________________
4.3
Energieerhaltungssatz
4.3.1
Satz von Bernoulli
Der Energieerhaltungssatz lässt sich aus der thermodynamischen Betrachtung eines
offenen, durchströmten Systems am Beispiel eines Strömungsprozesses mit Austausch von
Wärme und Arbeit herleiten. Betrachtet werden hierbei lediglich die Energie- und
Massenströme, die die Systemgrenze überschreiten, sowie die Änderungen der Energie im
Inneren des Systems. Eine Kenntnis der technischen Abläufe innerhalb der Systemgrenzen
ist nicht erforderlich.
Zapfluft Kabinendruck
Luft
Kerosin
m L1
Zapfluft Enteisung
Abgas
m L 2 ; q ab
m ab , qab
m zu
wel
Abb. 4-8:
m B , q zu
Strömungsprozeß mit Austausch von Wärme und Arbeit
Systemgrenze
Fluidmechanik
Strömung von Fluiden - Energieerhaltungssatz
75
___________________________________________________________________
Die Energiebilanz über die Systemgrenze ergibt den ersten Hauptsatz der Thermodynamik
für offene stationär durchströmte Systeme


1


Q12  P12  m   h2  h1   c22  c12  g   z 2  z1 
2


Gl. 4-15:

bzw. bezogen auf die Masse des strömenden Mediums, d.h. den Massestrom m


1
q12  wt ,12  h2  h1   c22  c12  g  z 2  z1 


2


Transportenergien
Gl. 4-16:
Systemenergien
Wärme Q12 und Arbeit W12 stellen dabei die sog. Transportenergien dar, d.h. Energien, die
über die Systemgrenze transportiert werden. Die Enthalpie H, sowie die kinetische und
potentielle Energien Ekin und Epot stellen Systemenergien dar, das sind Energien, die sich
innerhalb der Systemgrenze ändern. Bei reibungsbehafteten, also allen in der Realität
ablaufenden Prozessen ist noch die Dissipationsenergie EDiss als zusätzliche Transportgröße
zu berücksichtigen.
In der Regel werden die Energieterme auf die Systemmasse m und Energieströme und
 bezogen und als spezifische Größen bezeichnet.
Leistungen auf den Massestrom m
Transportgrößen
Wärme
Wärmestrom
Arbeit
Leistung
Dissipationsenergie
Systemgrößen
kinetische Energie
Q12 J 
spez. Wärme
J

Q12  W 
s

W12 J 
spez. Wärmestrom
spez. Arbeit
J

P  W 
s

E Diss J 
Ekin,12 
spez. Leistung
spez. diss. Energie


m
2
2
 c2  c1 J 
2
spez. kin. Energie
potentielle Energie
E pot,12  m  g  z 2  z1 J  spez. pot. Energie
Enthalpie
H  U  p  V J 
spez. Enthalpie
innere Energie
U  m  cv  T J 
spez. innere Energie
Druckenergie
p  V J 
spez. Druckenergie
Tab. 4-1:
Energie und Leistungsgrößen
J
 kg 
 
J
q12  12  
m  kg 
q12 
Q12
m
Q
W12  J 
m  kg 
P J 
w12  12  
m  kg 
w12 
ediss 
Ediss  J 
m  kg 
J 
 kg 
 
E pot ,12  J 
e pot ,12 
m  kg 
ekin,12 
Ekin,12
m
h
HJ
m  kg 
u
UJ 
m  kg 
pv
p V
m
J
 kg 
 
Fluidmechanik
76
___________________________________________________________________
Enthalpie:
Gl. 4-17:
Summe aus innerer Energie U und Druckenergie pV
H  U  p V
bzw. spez. Enthalpie h
Gl. 4-18:
h
H
u  p v
m
Kalorische Zustandsgleichungen zur Beschreibung der inneren Energie und Enthalpie
Gl. 4-19:
 u 
 u 
du  
  dT     dv
T v
 
 v T


 cv
spez. isochore Wärmekapazität cv
Gl. 4-20:
 u 
cv  
  cv T , v 
 T  v
Gl. 4-21:
 h 
 h 
dh  
  dT     dp
 T 
 p T
p
 cp
spez. isobare Wärmekapazität cp
Gl. 4-22:
 h 
cp 
  c p T , p 
 T  p
Innere Energie und Enthalpie fester und flüssiger Phasen
Für inkompressible Fluide, d.h.  = const. bzw. v = const. gilt
Gl. 4-23:
c p T   cv T  
du
c
dT
Änderung der spez. inneren Energie u
Gl. 4-24:
u T2   u T1   c  T2  T1 
Änderung der spez. Enthalpie h
Gl. 4-25:
hT2 , p2   hT1 , p1   c  T2  T1    p2  p1   v1
Innere Energie und Enthalpie idealer Gase
du
 cv T 
dT
Gl. 4-26:
cv 
Gl. 4-27:
du  cv T   dT
Gl. 4-28:
u 2  u1   cv T   dT
T1
T2
Fluidmechanik
77
___________________________________________________________________
dh
 c p T 
dT
Gl. 4-29:
cp 
Gl. 4-30:
dh  c p T   dT
T1
Gl. 4-31:
h2  h1   c p T   dT
T2
Da die Temperaturabhängigkeit bei den spezifischen Wärmen cp und cv gleich ist, entfällt die
Temperaturabhängigkeit bei der Berechnung der spezifischen Gaskonstante R aus der
Differenz der beiden spezifischen Wärmen, d.h. bei idealen Gasen ist R keine Funktion der
Temperatur.
Gl. 4-32:
c p T   cv T   R
Innere Energie und Enthalpie bei konstanten Werten für cp und cv
Gl. 4-33:
u2  u1  cv  T2  T1 
Gl. 4-34:
h2  h1  c p  T2  T1 
Erster Hauptsatz der Thermodynamik für ein offenes System
Gl. 4-35:
q12  wt ,12  eDiss  ekin ,12  e pot ,12  h12
 


Transportenergien
Gl. 4-36:
Systemenergien


1
2
2
q12  wt ,12  eDiss   c2  c1  g   z 2  z1   cv  T2  T1   v   p2  p1 
2    

e pot ,12
spez . Druckenergie
u12
ekin ,12
Gl. 4-37:


1
2
2
q12  wt ,12  eDiss   c2  c1  g   z 2  z1   h2  h1 


2   

e pot ,12
spez . Enthalpie
ekin ,12
Bernoulli-Gleichung
Je nach Anwendungsfall kann die Bernoulli-Gleichung durch Berücksichtigung einzelner
Terme aus dem ersten Hauptsatz hergeleitet werden. Mögliche Vereinfachungen können in
der Vernachlässigung folgender Terme bestehen
- kein Wärmefluss über die Systemgrenze, (adiabates System):
q12
=0
=0
- keine technische Arbeit über die Systemgrenze:
wt,12
- keine Reibung an der Systemgrenze, (reibungsfreies System):
ediss
=0
= T2
- konstante Temperatur im System, (isothermes System):
T1
- kein Höhenunterschied zwischen Zustand (1) und (2):
z1
= z2
Zusätzliche weitere Vereinfachungen gelten für ein stationär durchströmtes System, d.h.
m  const . und ein inkompressibles Fluid, d.h.   const . und führen den ersten Hauptsatz in
den Satz von Bernoulli über.
Fluidmechanik
78
___________________________________________________________________


1
2
2
0   c2  c1  g  z2  z1   v   p2  p1 
2
Gl. 4-38:
Allgemein gilt: Die Energie längs eines Stromfadens ist konstant
Unterschiedlichen Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung
Energieform
c2
m
2

Gl. 4-39:
kinetische Energie

m g  z

potentielle Energie
 
p V 
Druckenergie
E ges

 const.
Gesamtenergie
Division von Gl. 4-39 durch V ergibt die Druckform
Gl. 4-40:

2
 c2    g  z  p 
E ges
V
 const.
Division von Gl. 4-40 durch g ergibt die Höhenform
Gl. 4-41:
c2
p
z
 const.
g
2 g
Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen,
(reibungsfrei), ohne Zu- bzw. Abfuhr von Arbeit oder Wärme
Abb. 4-9:
durchströmten
Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System
System
Fluidmechanik
79
___________________________________________________________________
Zusammenfassung - Darstellungsformen der Bernoulli-Gleichung
dynamischer
Anteil
spezifische
Energiegleichung
c2
2

potentieller
Anteil
statischer
Anteil
p
g h 

  g h 
p
h 
p
g
Gesamtenergie,
-druck bzw. -höhe

eges  const .
 N  m m2 
 kg  s 2 



p ges  const .
N

 m 2  Pa 
hges  const .
m
Druckgleichung

c2
2

Höhengleichung
c2

2 g
Tab. 4-2:

Unterschiedliche Schreibweisen der Bernoulli-Gleichung
_________________________________________________________________________
Üb. 4-2:
Stationär durchströmte Gasturbine
Ein- und Austrittsebene der Turbine liegen auf
gleiche Höhe
P, wt,12
m 1
(1)
T1, p1,
z1, A1
ges.:
(2)
m 2
T2, p2,
z2, A2
spez. technische Arbeit wt,12
Wellenleistung P
Isentrope Expansion von 14049 m³/h Heißgas
von p1  18,9 bar auf p 2  1,02 bar
Turbineneintrittsquerschnitt
A1  0,01942 m 2
Turbinenaustrittsquerschnitt A2  0,4306 m 2
Turbineneintrittstemperatur
T1  980 C
spez. Gaskonstante
R  287 ,1 J kg  K
Isentropenexponent
  1,34
spez. Wärmekapazitäten
cp, cv = const.
Fluidmechanik
80
___________________________________________________________________
Üb. 4-3
Verlustfrei durchströmtes Rohrsystem
(2)
(1)
(3)
(4)
m 1
 = 103 kg/m³
z1 = 100 m
m 2  200 kg / s
d1 = 0,3 m
z3 = 60 m
z2 = 50 m
d3 = 0,1 m
d2 = 0,1 m
z4 = 20 m
d4 = 0,2 m
Berechnen Sie für das verlustfrei durchströmte Rohrsystem an den Positionen (1)-(4) jeweils
den dynamischen Druck q   2  c 2 , potentiellen Druck   g  z , statischen Druck p, und den
Gesamtdruck pges. Der Gesamtdruck im Querschnitt (4) beträgt pges = 10,85bar
_________________________________________________________________________
4.3.2
Euler-Gleichung
Eine weitere Möglichkeit zur Herleitung der Bernoulli-Gleichung ergibt sich aus einer
Kräftebilanz an einem Volumenelement des Stromfadens unter folgenden Annahmen:
-
keine Berücksichtigung der thermischen
Energie
keine Berücksichtigung der inneren
Energie
keine Reibung
c
Abb. 4-10:
z
Kräftebilanz an einem Fluidelement in Strömungsrichtung
z=0
Fluidmechanik
81
___________________________________________________________________
Kräftebilanz in Stromrichtung
Gl. 4-42:
dF  dFm  dFp  dm  a  dm 
dc
dt
Am Fluidelement angreifende Gewichtskraft in Strömungsrichtung
Gl. 4-43:
dFm  dFg  cos    dm  g 
dz
ds
mit
Gl. 4-44:
cos   
dz
ds
Druckkraft dFp
Gl. 4-45:
dFp  p  dAS   p  dp   dAS   dp  dAS
Masse des Elements dm
Gl. 4-46:
dm    dAS  ds
Flächenelement
dm
  ds
Gl. 4-47:
dAS 
Gl. 4-48:
dF  dm 
Gl. 4-49:
ds 
dc
dz
dm
ds
  dm  g   dp 

dt
ds
  ds dm
dc
1
  g  dz  dp 

dt
mit
Gl. 4-50:
ds
c
dt
Gl. 4-51:
 c  dc   g   dz     dp
Gl. 4-52:
1 2
1
c   g  z   p  const.  
2

1
Druckform der Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-53:

2
c 2    g  z  p  const .
Fluidmechanik
82
___________________________________________________________________
4.3.3
Verlustfreie Rohrströmung - Anwendung der Bernoulli-Gleichung
c1
Venturi-Rohr
Messung des Volumenstroms V in Leitungen
mit Hilfe von Druckmessstellen an der
Zuströmseite (1) und im engsten Querschnitt (2).
Die Querschnittsverengung bewirkt eine
Erhöhung der Geschwindigkeit, d.h. c 2  c1

c2
Annahmen
- Reibungsfreie Strömung, d.h. eDiss = 0
- Eindimensionale Strömung, d.h. keine
Änderung der Strömungsgrößen über den
Querschnitt
- Horizontale Anordnung, z(1) = z(2), d.h. epot = 0
- Inkompressible Strömung, d.h. es gilt
Fl
1   2    const.
Abb. 4-11:
Venturi Rohr
Ausgehend von der Druckform der Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-54:

2
 c 2    g  z  p  const. 

2
 c1    g  z1  p1 
2

2
 c2    g  z 2  p2
2
folgt aufgrund der horizontalen Versuchsanordnung, d.h. z(1) = z(2), dass die potentielle
Energie verschwindet, d.h. epot = 0 und die Bernoulligleichung vereinfacht sich zu
Gl. 4-55:

2
 c 2  p  const.
bzw.
Gl. 4-56:

2
2
 c1  p1 

2
2
 c2  p2
Volumenstrom V
Gl. 4-57:
V  A  c  const.
bzw.
Gl. 4-58:
V  A1  c1  A2  c2
Statische Druckdifferenz aus der Manometermessung
Gl. 4-59
p 2  p1   Fl  g  h
Geschwindigkeit im Querschnitt (1)
Gl. 4-60
A1  c1  A2  c2
Fluidmechanik
83
___________________________________________________________________
bzw.
c1  c2 
Gl. 4-61:
A2
A1
eingesetzt in die vereinfachte Bernoulli-Gleichung
2
A 
 2
 c2   2   p1   c2  p2
2
2
 A1 

Gl. 4-62:
2

2

2
Gl. 4-63:
A 
2
2
c2   2   c2   p2  p1  

 A1 
Gl. 4-64:
 A  2 
2
c2   2   1   p2  p1  


 A1 
Gl. 4-65:
c2 
2
2
2   p1  p2 
  A 2 
  1   2  
  A1  
ergibt sich der Volumenstrom V unter der Annahme einer verlustfreien Strömung
V  c 2  A2 
Gl. 4-66:
2   p1  p 2 
 A2
  A 2 
  1   2  
  A1  
_________________________________________________________________________
Üb. 4-3:
Venturi-Rohr, Durchflussmessung bei verlustfreier Strömung (Luft)
geg.:
d1
d2
ges.:
=
=
Luft =
p1 - p2 =
150
100
1,225
250
mm
mm
kg/m³
mmWS
Volumenstrom V
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
84
___________________________________________________________________
4.3.4
Ausfluss aus Gefäßen und Behältern - verlustfrei
Aus der allgemeinen Druckform der Bernoulli-Gleichung für den Stromfaden von (1) nach (2)
Gl. 4-67:

2
 c1    g  z1  p1 
2

2
 c2    g  z 2  p2
2
ergibt sich mit
z1 = h1, z2 = 0
p1 = p0 (freie Oberfläche)
p2 = p0 (Freistrahl)
A2
    c  A  const . folgt bei
Aus der Kontinuitätsgleichung m
konstanter Dichte für die Geschwindigkeiten
c1  c2 
Gl. 4-68:
A2
A1
Abb. 4-12: Ausfluss aus einem Behälter
Eingesetzt in die Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-69:

2
A 
 2
 c2   2     g  h1  p0   c2  p0
2
2
 A1 
2
ergibt sich für die Ausflussgeschwindigkeit c2
Gl. 4-70:
c2 
2  g  h1
A 
1   2 
 A1 
2
Unter der Annahme, dass A1 >> A2, das entspricht c1  0, also einem konstanten
Wasserspiegel (1), vereinfacht sich die Beziehung zu
Gl. 4-71:
(Torricelli‘sche Ausflussgleichung)
c2  2  g  h1
4.3.5
Ausfluss aus Gefäßen und Behältern unter Überdruck - verlustfrei
Aus der allgemeinen Druckform der Bernoulli-Gleichung für den Stromfaden von (1) nach (2)
Gl. 4-72:
1

2
 c1    g  z1  p1 
2

2
ergibt sich mit
z1 = h1, z2 = 0
p1 = p1ü + p0
p2 = p0 (Freistrahl)
und analog zu dem offenen Behälter
c1  c2  A2 A1
Abb. 4-13: Ausfluss aus einem Behälter unter Überdruck
 c2    g  z 2  p2
2
Fluidmechanik
85
___________________________________________________________________
eingesetzt in die Bernoulli-Gleichung

2
A 
 2
 c2   2     g  h1  p0  p1ü   c2  p0
2
2
 A1 
Gl. 4-73:
2
ergibt sich für die Ausflussgeschwindigkeit c2
c2 
Gl. 4-74:
2  g  h1 
2

A 
1   2 
 A1 
 p1ü
2
Unter der Annahme, dass A1 >> A2, das entspricht c1  0, also einem konstanten
Wasserspiegel (1), vereinfacht sich die Beziehung zu
c2  2  g  h1 
Gl. 4-75:
2

 p1Ü
_________________________________________________________________________
Üb. 4-4:
Ausfluss aus einem Behälter unter Überdruck - verlustfrei
geg.:
P1Ü =
h1
=
d2
=
H2O =
1 bar
2m
2 cm
1000 kg/m³
c2
ges.: c2, V
_________________________________________________________________________
Üb. 4-5:
Ausfluss aus einem Benzinschlauch unter Überdruck - verlustfrei
c2
geg.:
P1Ü =
h2
d1
d2
Benzin
ges.:
c2
=
=
=
=
=
4 bar
0.2 m
10 mm
2 mm
780 kg/m³
Ausströmgeschwindigkeit
Fluidmechanik
86
___________________________________________________________________
4.3.6
Ausfluss aus Behältern mit scharfkantigen Öffnungen
Alle bisherigen Betrachtungen gingen immer von einem Ausfluss durch gerundete Düsen
aus, d.h. der Strahlquerschnitt Astr entspricht dem Düsen- oder Lochquerschnitt AL. Bei dem
Ausfluss durch eine scharfkantige Bohrung wäre die Strömung infolge der Umlenkung
gezwungen die Kante (Radius r = 0) mit einer theoretisch unendlich großen Geschwindigkeit
(c2 = ) zu umströmen. Da die Strahlgeschwindigkeit c2 in der Ausströmöffnung nicht ganz
erreicht wird, muss sich der Strahlquerschnitt verringern um die Forderung nach einem
konstanten Massestrom noch zu erfüllen. Das Flächenverhältnis von Lochbohrung zu
Strahlquerschnitt wird als Kontraktionszahl  bezeichnet.
Kontraktionszahl 

Gl. 4-76:
AStr
1
AL
Näherungswert für lange Spalte (ebene Strömung) und
runde Ausströmöffnungen:

Gl. 4-77:
Abb. 4-14:

2 
 0,611
Ausfluss aus scharfkantiger Öffnung
Für gut ausgerundete Ausströmöffnungen gilt für die Kontraktionszahl   1
4.3.7
Ausfluss aus Behältern in ruhendes Wasser
Beim Ausströmen von Fluiden in ein ruhendes Fluid stellt sich die gleiche Strahlkontraktion
wie beim Ausströmen in die freie Atmosphäre ein. Der scharf umrissene Strahl vermischt
sich jedoch nach kurzer Entfernung mit dem ruhenden Fluid und die kinetische Energie wird
durch Reibung in Wärme umgewandelt. Aufgrund des reibungsbehafteten Durchmischungsvorgangs nach dem Ausströmen ist die Bernoulli-Gleichung nur zwischen den Punkten (1)
und (2) erfüllt, nicht jedoch zwischen (2) und (3).
Druckform der Bernoulli-Gleichung (1) - (2)
Gl. 4-78:

2
 c1    g  z1  p1 
2

2
 c2    g  z 2  p2
2
Mit
A1 >> A2, das entspricht c1  0 (konstanter Pegel)
p1 = p0
p 2    g  h3  h2   p0
z1 = h1
z2 = h2
Abb. 4-15:
Ausfluss in ein ruhendes Fluid
eingesetzt in die Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-79:
  g  h1  p0 

2
 c2    g  h2  p0    g  h3  h2 
2
Fluidmechanik
87
___________________________________________________________________
ergibt sich für die Austrittsgeschwindigkeit
Gl. 4-80:
c2  2  g  h1  h3 
4.3.8
Ausströmen von Fluiden aus Behältern in die Atmosphäre
Beim Ausströmen von Gasen in die freie Atmosphäre stellt sich wie bei Flüssigkeiten eine
Strahlkontraktion ein. Kurz nach dem Ausströmen erfolgt eine turbulente Durchmischung mit
der Umgebung. Am Strahlrand wird dem Strahl der Umgebungsdruck p0 aufgeprägt.
Abb. 4-16:
Ausströmen von Gasen in die Atmosphäre
Freistrahlbedingung
Da der Strahlrand eine Niveaufläche darstellt, d.h. der Druck am Rand des Fluides entspricht
immer dem Umgebungsdruck, wird der der Druck der Umgebung dem austretenden Strahl
aufgeprägt. In Abhängigkeit von dem Umgebungsdruck kann die Strömung entweder überoder unterexpandieren. Die maximale Aufweitung des Strahls stellt sich beim Ausströmen
bei verschwindendem Umgebungsdruck ein, d.h. beim Ausströmen gegen Vakuum.
_________________________________________________________________________
Üb. 4-6:
Auslegung eines Belüftungssystems
Belüftungsrohr mit scharfkantigen Ausblaslöchern
geg.:
V  0,7 m 3 s
d  10 mm
pÜ  1100 Pa
Luftstrom
Bohrungsdurchmesser
Überdruck im Rohr
 Luft  1,2 kg m Luftdichte
Kontraktionszahl
  0,6
3
c zu  10 m s
Zuströmgeschwindigkeit
ges.:
- Durchmesser des Rohres
- Anzahl der Bohrungen im Belüftungsrohr
Fluidmechanik
88
___________________________________________________________________
4.3.9
Verlustbehaftetes Ausfließen aus einem Behälter
Der theoretisch verlustfreie Ausströmvorgang lässt sich durch die Torricelli’sche Ausflussgleichung c2,th  2  g  h beschreiben, wobei h die Höhe des Pegelstands darstellt. Unter
realen Bedingungen ist dieser Vorgang jedoch reibungsbedingt Verlusten unterworfen, d.h.
die reale Ausströmgeschwindigkeit c2 im Austrittsquerschnitt wird immer kleiner sein, als die
theoretische Geschwindigkeit c2,th. Die reale Austrittsgeschwindigkeit c2 entspricht der
Geschwindigkeit, die sich aus der dem um eine (fiktive) Verlusthöhe hV verminderte Höhe
des Pegelstands h ergibt.
Gl. 4-81:
c2  2  g  h  hV 
Die Abminderung der Geschwindigkeit lässt sich durch eine Verlustziffer  beschreiben
Gl. 4-82:

2  g  h  hV 
c2
h  hV


c2 ,th
h
2 g h
Der sich einstellende Volumenstrom V ergibt sich mit der Kontraktionszahl  zu
*
AStr A2

1
AL
A2
Gl. 4-83:

Gl. 4-84:
V    A  c2    A    c2,th
Kontraktionszahl  und Verlustziffer  lassen sich zu dem Ausflusskoeffizient 
zusammenfassen
Gl. 4-85:
   
Der Volumenstrom kann nun berechnet werden mittels
Gl. 4-86:
V    A  c2,th    A  2  g  h
Technische Ausführungen zur Gewährleistung von verlustminimiertem Ausfließen unter
definierten Bedingungen stellen scharfkantige Öffnungen oder sog. BORDA-Mündungen dar.
Abb. 4-17:
a) scharfkantige Öffnung b) BORDA-Mündung
Öffnung
scharfkantig
gerundet
Tab. 4-3:
Verlustziffer 
0,97
0,97 - 0,99
Kontraktionszahl 
0,61 - 0,64
1
DIN 1952: Werte für Blenden und Venturirohre
Ausflusskoeffizient 
0,59 - 0,62
0,97 - 0,99
Fluidmechanik
Strömung mit Energietransport
89
___________________________________________________________________
4.4
4.4.1
Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten
Sind in einem System Baugruppen enthalten, die Energieformen verändern, z.B. durch Zuoder Abfuhr von Arbeit (Pumpe, Turbine) oder Wärme (Brennkammer) so sind die
entsprechenden Terme im 1. Hauptsatz zu berücksichtigen
- - wt12 spez. Arbeit
- - q12 spez. Wärme
Bei einer realen, reibungsbehafteten Strömung muss die dissipierte Energie durch ein
Verlustglied berücksichtigt werden, z.B. durch
- eDiss spez. dissipierte Energie
- eV
spez. Verluste
spez. Verlusthöhe
- hV
Druckverlust
- pV
Die Energieform der Bernoulli-Gleichung
Gl. 4-87:
c2
m
2

 m g  z

kinetische Energie
potentielle Energie
 
p V 
Druckenergie
E ges

 const.
Gesamtenergie
Gl. 4-88:
c2
p
 g  z   eges  const.

2
Gl. 4-89:
1 2
p 1 2
p
 c1  g  z1  1   c2  g  z2  2
2
 2

ist um die technische Arbeit wt12 und Verlustterme eV zu erweitern
Gl. 4-90:
1 2
p 1 2
p
wt12   c1  g  z1  1   c2  g  z2  2  eV
2
 2

bzw.
Gl. 4-91:


1
2
2
wt12   c2  c1  g  z2  z1    p2  p1   v  eV
2
Verluste können durch eine Verlustziffer  erfasst werden und lassen sich unterteilen in
Verluste durch Reibung eVR und Verluste infolge von Einbauten eVE
Gl. 4-92:
eV  eVR  eVE
Fluidmechanik
90
___________________________________________________________________
Bezeichnungen für Pumpen und Turbinen
Spez. Förderarbeit (Pumpen) Y
Die einem Fluid pro kg Flüssigkeit zugeführte mechanische Arbeit wird bei Pumpen als
spezifische Förderarbeit Y bezeichnet und entspricht der spezifischen technischen Arbeit wt12
(Thermodynamik).
Y
[Nm/kg = m²/s²]
Totaldruckänderung infolge Arbeit
Zusammen mit der Dichte des Fluids berechnet sich die Totaldruckänderung pt im Fluid
aus der Förderarbeit Y
Gl. 4-93:
pt  Y  
[Pa]
Förderhöhe H oder HNutz (Pumpe) bzw. Nutzfallhöhe (Turbine)
Gl. 4-94:
H
Y
g
[m]
Hydraulische Leistung Ph
Gl. 4-95:
Ph  m  Y    V  Y    V  g  H
[W]
bzw. wegen Y = wt12
Gl. 4-96:
Ph  m  wt12   V  wt12   V  g  H
Pumpenwirkungsgrad P und Turbinenwirkungsgrad T
Der Pumpenwirkungsgrad ergibt sich aus der an der Welle zugeführte mechanische Leistung
PW und der hydraulischen Leistung Ph, P < 1
Gl. 4-97:
P 
Ph
PW
Bei der Berechnung des Turbinenwirkungsgrads T steht die hydraulische Leistung im
Nenner, T < 1
Gl. 4-98:
T 
PW
Ph
Fluidmechanik
91
___________________________________________________________________
Die Zusammensetzung der einzelnen Energieanteile bei Zu- bzw. Abfuhr von Arbeit oder
Wärme unter Berücksichtigung der Reibungsverluste ist in Abb. 4-18 dargestellt.
Abb. 4-18:
Zusammensetzung der Energieanteile in einem offenen System mit Reibung
Zusammenfassung - Strömungen unter Berücksichtigung von Arbeit und Verlusten
Spezifische Energiegleichung
2
Gl. 4-99:
2
c1
p
c
p
 g  z1  1  Y  2  g  z 2  2  ediss
2

2

Höhengleichung
2
Gl. 4-100:
2
c1
p
c
p
 z1  1  H  2  z 2  2  hV
2 g
g
2 g
g
Druckgleichung
Gl. 4-101:
1
1
2
2
   c1    g  z1  p1  pt     c2    g  z2  p2  pV
2
2
Fluidmechanik
92
___________________________________________________________________
4.4.2
Turbine
p0
Energie wird über die Systemgrenze abgeführt,
Y  wt ,12  0
(1)
Mit den Annahmen
- konstanter Umgebungsdruck:
p1 = p2 = p0
- keine Strömungsgeschwindigkeit an Ober- und
Unterwasserspiegel:
c1 = c2 = 0
- Pegelstände:
z1 = H1, z2 = 0
wt12 < 0
p0
Abb. 4-19:
(2)
Systemgrenze
Wasserkraftwerk, Turbinenbetrieb
ergibt sich für die allgemeine Höhenform für Strömungen mit Energietransport für den
Stromfaden von (1) nach (2)
2
Gl. 4-102:
2
c1
p
c
p
 z1  1  H  2  z 2  2  hV
2 g
g
2 g
g
Diese vereinfacht sich mit den oben getroffenen Annahmen und Vereinfachungen für die
Turbine zu
Gl. 4-103:
H1 
p0
p
 H  0  hV
 g
 g
Nutzfallhöhe H = HNutz:
Gl. 4-104:
H   H 1  hV   0
Die zur Energieumwandlung zur Verfügung stehende Nutzfallhöhe HNutz wird also um die
Reibungsverluste in Form der Verlusthöhe hV reduziert. Der Betrag von HNutz ist negativ, da
Energie aus dem System abgeführt wird.
Technische Arbeit wt12 = Y
Gl. 4-105:
wt12  g  H Nutz  0
Druckabfall pt in der Turbine
Gl. 4-106:
pt    g  H Nutz    wt12  0
Hydraulische Leistung Phyd. der Turbine
Gl. 4-107:
p
Phyd .  m  wt12  m  g  H Nutz  V    g  H Nutz  m  t  V  pt  0

Wellenleistung PWelle der Turbine hängt von dem Gesamtwirkungsgrad Turbine < 1 ab
Gl. 4-108:
PWelle Turbine  Phyd .  0
Fluidmechanik
93
___________________________________________________________________
4.4.3
Pumpe und Gebläse
Bei Pumpen oder Gebläsen wird dem System
Energie über die Systemgrenze zugeführt, d.h.
die übertragene technische Arbeit ist positiv,
p0 (2)
Y  wt ,12  0
Analog zu den für die Turbine getroffenen
Annahmen
- konstanter Umgebungsdruck:
p1 = p2 = p0
- keine Strömungsgeschwindigkeit an Oberund Unterwasserspiegel:
c1 = c2 = 0
- Pegelstände:
z1 = 0, z2 = H2
wt12 > 0
(1) p0
Abb. 4-20:
Systemgrenze
Wasserkraftwerk, Pumpbetrieb
ergibt sich für die allgemeine Höhenform für Strömungen mit Energietransport für den
Stromfaden von (1) nach (2)
2
Gl. 4-109:
2
c1
p
c
p
 z1  1  H  2  z 2  2  hV
2 g
 g
2 g
 g
Diese vereinfacht sich mit den oben getroffenen Annahmen und Vereinfachungen für die
Turbine zu
Gl. 4-110:
p0
p
 H  H 2  0  hV
 g
 g
Förderhöhe H = HNutz:
Gl. 4-111:
H  H 1  hV  0
Die erforderliche Arbeit zur Überwindung der Höhendifferenz H2 erhöht sich also um die
Reibungsverluste in Form der Verlusthöhe hV. Der Betrag von HNutz ist positiv, da Energie
dem System zugeführt wird.
Spezifische technische Arbeit wt12 = Y
Gl. 4-112:
wt12  g  H Nutz  0
Druckanstieg pt in der Pumpe
Gl. 4-113:
pt    g  H Nutz    wt12  0
Hydraulische Leistung Phydr. der Pumpe
Gl. 4-114:
p
Phydr .  m  wt12  m  g  H Nutz  V    g  H Nutz  m  t  V  pt  0

Wellenleistung PWelle der Pumpe hängt von dem Gesamtwirkungsgrad Pumpe < 1 ab
Gl. 4-115:
PWelle 
Phydr .
 Pumpe

Phydr .
hydr . mech .
0
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
94
___________________________________________________________________
4.5
Modellgesetze
4.5.1
Simulationsproblematik
Im Rahmen technischer Entwicklungen ist es häufig erforderlich, Aussagen bezüglich des
Verhaltens des Endprodukts bereits in einem frühen Entwicklungsstadium zu erhalten.
Insbesondere bei Flugzeugentwicklungen sind zur Validierung der im Vorentwurf
prognostizierten Flugleistungen und zur Auslegung des Flugreglers bereits in der
Vorentwurfsphase Informationen bezüglich des Flugverhaltens erforderlich. In der Regel
Jahre bevor der erste Prototyp abheben wird. Neben theoretischen Verfahren, Handbuchmethoden und CFD-Simulation stellt die Strömungssimulation im Windkanal die wichtigste
Methode zur Datengewinnung dar.
Mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit steigt entsprechend
1
E kin   m  c 2
2
Gl. 4-116
der erforderliche Energieaufwand zur Aufrechterhaltung einer kontinuierlichen Strömung an.
Dies bedingt, dass mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit bzw. Machzahl, die
Querschnitte der Messstrecken immer kleiner werden und im höheren Machzahlbereich
keine kontinuierliche Strömung mehr aufrecht erhalten werden kann und auch die
Messzeiten immer kürzer werden, d.h. bis zu einer Größenordnung von ca. 1 Millisekunde.
Daher werden in der Regel im Experiment maßstäblich verkleinerte Modelle der
Originalausführung verwendet.
Versuche mit Modellen in Originalgröße lassen sich in der Regel nur im Niedergeschwindigkeitsbereich (M < 0.4) durchführen. Geeignete Versuchsanlagen die Versuche in einer
solchen Größenordnung ermöglichen, existieren z.B. bei NASA Ames oder bei TSAGI bei
Moskau.
4.5.2
Kennzahlen
Zur Übertragung der im Experiment gewonnenen Ergebnisse auf die Großausführung
müssen beide Strömungsfelder mechanisch ähnlich sein, dies erfordert eine Ähnlichkeit
hinsichtlich
- Geometrie
- Zeit und
- Kraft
Mit den Indizes 'O' für Original und 'M' für Modell gilt für diese drei Basisgrößen:
Geometrie
L0    LM

2
3
Zeit
t0    t M

= Längenmaßstab
= Flächenmaßstab
= Volumenmaßstab
= Zeitmaßstab
Kraft
F0    FM

= Kräftemaßstab
Tab. 4-4:

L0
LM
t0
tM
F
 0
FM

Dimensionen der Basisgrößen
Daraus ergeben sich die Maßstäbe für die abgeleiteten Größen wie Geschwindigkeit v,
Beschleunigung a, und die Massenkräfte.
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
95
___________________________________________________________________
Geschwindigkeit
cO
cM
Beschleunigung
aO
aM
LO
t

 O 
LM 
tM
cO c O 
t
c

 O  M  2
cM tO  
tM tM
Masse
m O v O   O 3   O



M
mM v M   M
Massenkraft
FO mO  aO


FM mM  a M
Tab. 4-5:
Dimensionen der abgeleiteten Größen
Die Bedingung für dynamische Ähnlichkeit (Bertrand'sche Bedingungsgleichung) lautet
Gl. 4-117:

 
2
Liegen im wesentlichen nur Massekräfte vor, so sind die Maßstäbe ,  und  frei wählbar.
Die zusätzliche Berücksichtigung der Schwerkraft stellt eine zweite Bedingung dar und
erfordert
Gl. 4-118:

mO  aO mO  g O mO 1


 
mM  aM mM  g M mM 1
 
zusätzlich gilt
Gl. 4-119:
aO g O 1 

 
aM g M 1  2

  2
Aufgrund der Proportionalität zwischen Masse, Gewicht und Volumen gilt
Gl. 4-120:
 6    3

    3   6
Dies bedeutet, dass nur ein einziger Maßstab frei gewählt werden kann, während alle
anderen festgelegt sind. Soll zusätzlich noch eine dritte Bedingung, z.B. Ähnlichkeit der
Reibungskräfte erfüllt werden, so sind die Schubspannungen zwischen Körperoberfläche
und Fluid zu berücksichtigen
Gl. 4-121
FO
A
O

1  O  2
FM 
M
AM

  2
Diese Forderung kann aber wegen     3   6 nicht erfüllt werden
Allgemein gilt:
Modellgesetze lassen sich gleichzeitig nur für zwei Arten von Kräften erfüllen
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
96
___________________________________________________________________
In der Fluidmechanik ergeben sich daraus fünf Modellgesetze, die neben den Massenkräften
noch folgende Kräfte berücksichtigen:
Reibungskräfte
Reynolds-Zahl
Re
Gewichtskräfte
Froude-Zahl
Fr
Druckkräfte
Euler-Zahl
Eu
Periodendauer
Strouhal-Zahl
Sr
Kompressibilität
Mach-Zahl
M
Tab. 4-6:


Re 
cL


cL

c2
Lg
p
Eu 
 c2
L
f d

Sr 
c t
v
c Strömung
M
c Schall
Fr 
Kennzahlen auf der Basis von Massenkräften
[m²/s] = kinematische Viskosität
[Pas] = dynamische Viskosität
4.5.3
Reynoldszahl
Zur Abbildung reibungsbehafteter (viskoser) Effekte in einer Strömung, z.B. Reibungswiderstand, Grenzschichten, Ablöseerscheinungen usw. ist es erforderlich die Reynoldszahl
korrekt zu duplizieren. Dies erfordert die Abbildung des Verhältnisses der Reibungskräfte
zwischen Fluid und Körperoberfläche zu den Trägheitskräften des strömenden Fluids.
Gl. 4-122:
Re 
c  L c  L   Trägheitsk raft




Reibungskr aft
Trägheitskraft
Gl. 4-123:
FTr  m  a    V  a
Für die Anteile der Trägheitskraft, d.h. Volumen V und Beschleunigung a gilt
Gl. 4-124:
Gl. 4-125:
V  L3
a
L
t2
eingesetzt in die Trägheitskraft FTr Gl. 4-123 folgt
Gl. 4-126:
FTr  L3   
L
L2
2




L
t2
t2
Mit der Abhängigkeit der Geschwindigkeit c
Gl. 4-127:
c
L
t
folgt für die Trägheitskraft FTr
Gl. 4-128:
FTr  L2    c 2
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
97
___________________________________________________________________
bzw.
FTr  k  L2    c 2
Gl. 4-129:
Reibungskraft
FR  A   A  
Gl. 4-130:
dc
dy
Die Anteile der Reibungskraft verhalten sich entsprechend proportional
Gl. 4-131:
A  L2
Gl. 4-132:
dy  L
eingesetzt in Gl. 4-130 folgt für die Reibungskraft FR
FR  L2  
Gl. 4-133:
c
 L   c
L
bzw.
FR  C  L   c
Gl. 4-134:
Reynolds-Zahl
Gl. 4-135:
FTr k  L2    c 2 k L    c k L  c
Re 

 
 
FR
C  L   c C
C 

Gl. 4-136:
Re 
LO  c O
O

LM  c M
M

 const .
______________________________________________________________________________
Üb. 4-7:
Ähnlichkeitsgesetze im Modellversuch
In der Messstrecke eines Wasserkanals befindet sich das Modell eines Autos im
Maßstab 1:50 mit einer Länge von 10 cm. Mit welcher Geschwindigkeit bewegt sich das
Originalfahrzeug, wenn in diesem Wasserkanalversuch bei einer Strömungsgeschwindigkeit von c = 12 m/s alle viskosen (= reibungsbehafteten) Phänomene
vollständig simuliert werden?
Kinematische Viskosität von Luft:
Luft = 1510-6 m²/s
Kinematische Viskosität von Wasser:
Wasser = 10-6 m²/s
______________________________________________________________________________
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
98
___________________________________________________________________
4.6 Grenzschichttheorie
Einer der Kernpunkte der auf Prandtl5 zurückgehenden Grenzschichttheorie beinhaltet die
Aufteilung des Strömungsgebietes in einen wandnahen Bereich, der sogenannten Grenzschicht, die aufgrund der reibungsbehafteten (viskosen) Fluidbewegung einen starken
Geschwindigkeitsgradienten aufweist und einen äußeren Bereich, der Außenströmung, in
der eine nahezu reibungsfreie Strömung vorliegt.
4.6.1
Grenzschicht
Bei einer realen Strömung wird das Fluid an der Körperoberfläche reibungsbedingt auf die
Geschwindigkeit Null abgebremst (Haftungsbedingung). Als Grenzschicht wird das
Übergangsgebiet zwischen Körperoberfläche (c = 0) und freier Anströmung (c = c)
bezeichnet, wobei die Dicke  der Grenzschicht definiert wird als der Abstand von der
Körperoberfläche, an der die Strömung den Wert c  0,99  c erreicht hat. Im Gegensatz zur
Geschwindigkeit c bleibt der Druck p in der Grenzschicht senkrecht zur Oberfläche nahezu
konstant, d.h. der statische Druck der freien Außenströmung p wird der Grenzschicht
aufgeprägt.
4.6.2
Verdrängungsdicke * der Grenzschicht
Da über Stromlinien kein Masse- und Energietransport
erfolgen kann, bewirkt das Prinzip der Masseerhaltung,
dass eine Strömungsverzögerung eine Stromlinienerweiterung erzeugt und ebenso eine Strömungsbeschleunigung zu einer Stromlinienverengung führt.
Infolge der Geschwindigkeitsverringerung innerhalb der
Grenzschicht müssen die Stromlinien in der Grenzschicht weiter auseinander liegen als in der Außenströmung. Die daraus resultierende Verdrängungsdicke
der Grenzschicht lässt sich über den Masseerhaltungssatz berechnen. Der Massestrom durch die Stromröhre
ist nur durch die Ein- bzw. Austrittsfläche A1 und A2
möglich.
Abb. 4-21:
Massestrom durch eine Stromröhre
Somit muss in jedem beliebigen Querschnitt Ai der Stromröhre gelten
Gl. 4-137:
m 1  m 2  1  c1  A1   2  c2  A2  const.
Die Verdrängungswirkung bzw. Versperrungseffekt der Grenzschicht kann als Aufdickung
der Wand um die Verdrängungsdicke * der Grenzschicht interpretiert werden.

Gl. 4-138:

c y  
  dy
   1 
c 
0
*
Für eine vollständig laminare Grenzschicht gilt
5
Ludwig Prandtl, dt. Physiker, Göttingen (1875 - 1953)
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
99
___________________________________________________________________
 *  1,73 
Gl. 4-139:
 x
c
1
 
3
(laminar)
und für die vollständig turbulente Grenzschicht beträgt die Verdrängungsdicke *
 *  0,01738  Re x  0.861 
Gl. 4-140:
c
Abb. 4-22:

1
 
c 8
(turbulent)
c
c
Verdrängungsdicke der Grenzschicht
4.6.3
Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte
Die grundlegenden Eigenschaften einer Grenzschicht lassen sich an der Entwicklung der
Strömung an einer ebenen Platte herleiten.
Abb. 4-23:
Grenzschicht an der längs angeströmten ebenen Platte
Laminare Grenzschicht
Der Staupunkt S befindet sich an der Vorderkante der Platte an deren Auftreffen die Staupunktstromlinie in eine laminare Anlaufstromlinie über und unter der Platte verzweigt. Mit
zunehmendem Abstand x zum Staupunkt erfolgt eine Zunahme der laminaren Grenzschichtdicke entsprechend
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
100
___________________________________________________________________
Gl. 4-141:
 lam  5 
x
x 
5
c
Re x
d.h.
 lam  x
Mit wachsender Lauflänge destabilisiert die Strömung und schlägt am Umschlagpunkt
(Transitionspunkt) von einer gleichmäßigen laminaren zu einer turbulenten Grenzschicht um.
Eine turbulente Grenzschicht hat jedoch nichts mit einer abgelösten Grenzschicht zu tun. Es
gilt in der Regel eher das Gegenteil, d.h. eine Strömung mit turbulenter Grenzschicht wird in
aller Regel sehr viel länger der Körperkontur folgen als eine Strömung mit laminarer
Grenzschicht.
Dieser Umschlag erfolgt bei einer sog. kritischen Reynoldszahl. Für Luft gilt näherungsweise
Rkrit = 3 - 5105, diese kann in günstigen Fällen aber auch erst bei Rkrit = 3106 liegen.
Laminare Unterschicht
In direkter Wandnähe bildet sich auch bei turbulenter Grenzschicht aufgrund der geringen
Geschwindigkeiten infolge der Haftungsbedingung an der Wand eine laminare (viskose)
Unterschicht mit einer Stärke von 0,02 – 0,05turb aus. Die Strömungsverhältnisse im Inneren
der viskosen Unterschicht werden von Reibungskräften dominiert und die Dicke der
laminaren Unterschicht U beträgt
Gl. 4-142:
Rex'
U
 0 ,7
 77  Re x'
 lam
= Re-Zahl gebildet mit der Lauflänge x‘ der turbulenten Grenzschicht
Turbulente Grenzschicht
Bei voll ausgebildeter Turbulenz werden permanent Fluidteilchen in Drehbewegung versetzt,
während andere gleichzeitig wieder abgebremst werden. Die Zufuhr von Energie infolge des
Impulsaustauschs mit der Außenströmung bewirkt, dass die turbulente Grenzschicht ein
höheres kinetisches Energieniveau aufweist als eine laminare Grenzschicht. Aufgrund der
permanenten Durchmischung wird der Parallelbewegung der Strömung noch eine
zusätzliche unregelmäßige Quergeschwindigkeit zur Hauptströmungsrichtung überlagert.
Abb. 4-24:
Voll ausgebildete turbulente Grenzschicht an einer ebenen Platte, [ 14]
Aufgrund der permanenten Durchmischung stellt sich bei einer turbulenten Grenzschicht
eine völlig andere Geschwindigkeitsverteilung ein als bei einer laminaren Grenzschicht. Der
Mittelwert der Geschwindigkeit verteilt sich gleichmäßiger über den Querschnitt und hat
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
101
___________________________________________________________________
somit einen stärkeren Geschwindigkeitsanstieg dc x dz als im laminaren Fall. Aufgrund des
steileren Geschwindigkeitsgradienten stellt sich wegen    dc x dz eine höhere Schubspannung  und somit ein erhöhter Reibungswiderstand ein. Infolge der besseren
Durchmischung ergibt sich ein erhöhter Wärmeübergang als im Vergleich zur laminaren
Strömung. Das höhere kinetische Energieniveau der turbulenten Grenzschicht bewirkt auch
eine Verzögerung der Ablösung. Die Dicke der turbulenten Grenzschicht turb einschließlich
laminarer Unterschicht beträgt
Gl. 4-143:
 turb  0,37  x  
Rex'
Abb. 4-25:
5
1
 0 ,2
 0,37  x   Re x 
Re x 
= Re-Zahl gebildet mit der Lauflänge x' der turbulenten Grenzschicht
Laminares und turbulentes Geschwindigkeitsprofil
_________________________________________________________________________
Üb. 4-8:
Längs angeströmte ebene Platte
geg.: c  50[km h] ,  Luft  15,1 10 6 [ m 2 s ] , Rkrit  3 105
ges.:
Lage des Umschlagpunkts
Dicke der Grenzschicht am Umschlagpunkt
_________________________________________________________________________
4.6.4
Transition
Als Transition wird der Umschlag von einer laminaren zu einer turbulenten Strömung
bezeichnet. Dieser Vorgang, der sich infolge hoher Reynoldszahlen von alleine einstellen
kann (natürliche Transition) oder aber an Stolperstellen erzwungen werden kann
(erzwungene Transition) stellt ein Stabilitätsproblem der Strömung dar, welches die Lösung
der Grenzschicht-Differentialgleichung erfordert. Eine analytische Lösung gestaltet sich
schwierig. Aber auch für numerische Verfahren stellt die Modellierung von Turbulenz und
Ablösung ein Problem dar. Lediglich die experimentelle Simulation bei korrekter Reynoldszahl, z.B. unter kryogenen Versuchsbedingungen, liefert eine korrekte Abbildung der Grenzschicht, der Turbulenz und des Ablöseverhaltens.
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
102
___________________________________________________________________
Einflussfaktoren der Transition sind
- Geometrie des umströmten Körpers: Schlankheitsgrad, Zuspitzung
- Turbulenzniveau in der Zuströmung
- Reynoldszahl
Generell wird eine laminare Grenzschicht als unterkritisch und eine vollständig turbulente
Grenzschicht als überkritisch bezeichnet. Bei scharfkantigen Körpern wirkt die Schneide als
Stolperstelle, an der Querströmungen erzeugt werden, die zur Turbulenz führen.
Erzwungene Transition bei Windkanalversuchen
Aufgrund des Modellmaßstabs werden Versuche häufig mit einer niedrigeren Reynoldszahl
durchgeführt als die, die sich bei der Originalausführung ergibt. Diese Re-Zahl kann so
niedrig sein, dass hierbei keine natürliche Transition erfolgt. Die geometrische Verteilung von
laminarer Strömung und turbulenter Strömung auf der Körperoberfläche bestimmt jedoch
maßgeblich den Reibungswiderstand und das Ablöseverhalten. Um diese geometrische
Verteilung im Versuch abzubilden, wird an einer empirisch ermittelten Stelle, z.B. 5% der
Profiltiefe, der Umschlag von laminarer zu turbulenter Grenzschicht durch Stolperstellen,
sogenannten Transitionslinien erzwungen.
Möglichkeiten zur Transitionsfixierung
Im Niedergeschwindigkeitsbereich finden in der Windkanalversuchstechnik als auch im
Segelflugbereich Zackenbänder, die quer zur Anströmung aufgeklebt werden, Verwendung.
Im Hochgeschwindigkeitsbereich wurde früher Karborund, ein Metallpulver, welches auf den
Transitionslinien aufgeklebt wurde verwendet. Nachteilig waren hier insbesondere die
schlechte Reproduzierbarkeit sowie die Verunreinigung der Strömung im Windkanal durch
abgelöste Karborundteilchen, was bei Windkanälen mit einem geschlossenen Kreislauf zum
’Sandstrahlen’ des Modells führte. Einen wesentlich höheren Grad an Reproduzierbarkeit
weisen aufgeklebte Zylinder (dots) auf.
Abb. 4-26:
Zackenband am Höhenruder eines Segelflugzeugs (ASH25) zur Transitionsfixierung
Fluidmechanik
Grenzschichttheorie
103
___________________________________________________________________
Location
W ing
Canard
Fin
Nose
Intake
Tip pod
Abb. 4-27:
Abb. 4-28:
XR
XT
[ mm ]
[mm]
4.2
1.5
3.0
n/a
n/a
n/a
23.0
4.6
10.0
38.0
12.7
12.7
Disc
height h
[mm ]
Disc
diameter d
[mm]
Disc
spacing x
[mm]
0.102
1.090
2.54
Transsitionsfixierung durch dots an einem Hochgeschwindigkeitswindkanalmodell
Erzwingung von Transition durch ’dots’ am Seitenleitwerk eines Modells
Fluidmechanik
Widerstand von Körpern
104
___________________________________________________________________
4.7
4.7.1
Formen des Widerstands
In realen, reibungsbehafteten Strömungen erfährt jeder Körper infolge der Druckverteilung
an seiner Oberfläche eine resultierende Kraft R, die im zweidimensionalen Fall (Profil)
vektoriell in zwei Komponenten aufgeteilt werden kann,
- eine Komponente tangential zur Strömungsrichtung V (= Widerstand W) und
- eine Komponente senkrecht zur Strömungsrichtung V (= Auftrieb A)
Die resultierende Kraft R infolge der
Anströmung eines Tragflügelprofils lässt sich
aufteilen in den Auftrieb A und den Widerstand
W, bzw. eine Normalkraft N und eine
Tangentialkraft T.
Abb. 4-29:
Resultierende Kräfte an einem angeströmte Profil
In einer theoretisch reibungsfreien, zweidimensionalen Strömung (Potentialströmung)
erzeugt das gleiche Profil zwar ebenfalls einen Auftrieb A, jedoch keinen Widerstand W (Abb.
4-30), d.h. die Integration der Druckverteilung um das Profil ergibt eine resultierende Kraft A
(= Auftrieb), die senkrecht auf der Anströmrichtung V steht, jedoch keine Kraft tangential zur
Strömungsrichtung, die dem Widerstand W in Abb. 4-29 entsprechen würde (d’Alembert’sches Paradoxon).
V
Abb. 4-30:
Resultierende Auftriebskraft in einer ebenen Potentialströmung
Reibung, wie sie in jeder realen Strömung auftritt, ist somit die physikalische Ursache für das
Entstehen von Widerstand.
Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers lässt sich in einzelne Anteile zerlegen
Reibungswiderstand
(bespülte Oberfläche)
Druck- oder Formwiderstand (Ablösung)
Induzierter Widerstand
(Druckausgleich, auch bei reibungsfreier Strömung)
Interferenzwiderstand
(Gegenseitige Beeinflussung von Baugruppen)
Wellenwiderstand
(Totaldruckverluste infolge von Stößen)
Restwiderstand
(Antennen, Anbauten, Bauungenauigkeiten, ...)
Fluidmechanik
105
___________________________________________________________________
4.7.2
Reibungswiderstand
Infolge der Rauigkeit an der Körperoberfläche werden die Fluidteilchen an der Oberfläche
auf die Geschwindigkeit Null abgebremst (Haftungsbedingung). Ausgehend von der
Geschwindigkeit Null an der Körperoberfläche wächst mit zunehmendem Abstand von der
Wand die Geschwindigkeit bis zum Wert der freien Anströmung c an. Es bildet sich dadurch
ein Geschwindigkeitsgradient in der Strömung senkrecht zur Oberfläche, der sich durch das
Auftreten einer Schubspannung  manifestiert. Die Stärke der Schubspannung lässt sich
über einen Plattenzugversuch ermitteln.
Gl. 4-144:

F
dc
  x
A
dz
Der Proportionalitätsfaktor entspricht der dynamischen Viskosität  [Pas]. Der Geschwindigkeitsgradient dc x dz wird als Schergefälle D bezeichnet.
dcx
dz
Gl. 4-145:
D
Abb. 4-31:
Scher- oder Schubspannung  bzw. Tangentialspannung
Für parallele Schichtströmungen lässt sich für dünne Schichten die nicht-lineare
Geschwindigkeitsverteilung in der Scherschicht linearisieren.
Abb. 4-32:
6
Parallele Schicht- bzw. Scherströmung (Couette6-Strömung)
Maurice Frédéric Alfred Couette, frz. Forscher (1858 - 1943)
Fluidmechanik
106
___________________________________________________________________
Reibungswiderstandsbeiwert
Der Reibungswiderstand eines umströmten Körpers berechnet sich aus der Größe seiner
bespülten Oberfläche O und dem Reibungsbeiwert cR, der sich aus der hydraulischen
Beschaffenheit der Oberfläche ergibt sowie dem Staudruck q   2  c 2 .
WR  cR  O 
Gl. 4-146:

2
 c2
Für eine ebene Platte an der eine laminare Grenzschicht anliegt gilt für den dimensionslosen
Reibungsbeiwert cR
cR 
Gl. 4-147:
1,328
Re
wobei die Reynoldszahl mit der Länge der Platte berechnet wird.
Der Reibungsbeiwert bei vollständig turbulenter Grenzschicht der ebenen Platte, d.h. von der
Plattenvorderkante liegt eine turbulente Grenzschicht an, beträgt
cR 
Gl. 4-148:
0,074
5
Re
Für größere Reynoldszahlen, d.h. ab Re > 107, sollte die Beziehung nach Prandtl-Schlichting
verwendet werden
cR 
Gl. 4-149:
0,455
log Re2 ,58
In vielen Fällen liegt erst nach einer laminaren Anlaufstrecke eine turbulente Grenzschicht
vor. Die Berücksichtigung der laminaren Anlaufstrecke erfolgt mit Hilfe der Korrekturfaktoren
nach Prandtl mit
Gl. 4-150:
cR 
0,074 A

5
Re Re
cR 
A
0,455

2 ,58
Re
log Re
oder
Gl. 4-151:
Rekrit
A
Tab. 4-7:
3105
1050
5105
1700
106
3300
3106
8700
Korrekturfaktoren für laminare Anlaufstrecke
Bei Berücksichtigung der laminaren Anlaufstrecke wird die Reynoldszahl auf die gesamte
Plattenlänge bezogen. Die Korrektur erfordert die Berechnung des Umschlagpunktes
(Transitionspunkt) von laminarer zu turbulenter Grenzschicht.
Einfluss der Rauigkeit auf den Reibungswiderstand
Bei einer laminaren Grenzschicht hat die Oberflächenrauigkeit kaum einen Einfluss auf den
Reibungswiderstand, da Vertiefungen aufgefüllt werden und das Fluid darüber hinwegströmt.
Die Rauigkeit hat jedoch einen starken Einfluss auf die Transition, d.h. der Umschlag von
laminarer zu turbulenter Grenzschicht erfolgt bei einer rauen Wand deutlich früher als bei
einer glatten Wand.
Fluidmechanik
107
___________________________________________________________________
Hydraulisch glatte Oberfläche
Als hydraulisch glatt wird eine Oberfläche definiert,
deren maximale Rautiefe k kleiner ist als die
laminare Unterschicht und dadurch die Unebenheiten in der Unterschicht verschwinden. Die
relative Rauigkeit k/l entspricht der Rauigkeit k
bezogen auf Plattenlänge l
Abb. 4-33:
Rautiefe k
Im Experiment können unterschiedliche Rauigkeiten durch Sand unterschiedlicher Körnung
simuliert werden, der sog. Sandrauigkeit kS.

 l 
cR  1,89  1,62  log 
 k S 

Gl. 4-152:
2.5
für
10 2 
l
106
kS
Strömungsbelastete Bauteile, wie z.B. Turbinenschaufeln sollten aus Gründen der Widerstandsminimierung die Forderung nach einer hydraulisch glatten Oberfläche erfüllen. Die
zulässige relative Sandrauigkeit hängt von der Reynoldszahl ab, z.B.
Re = 106

kS/l = 10-4
Re = 108

kS/l = 10-6
d.h. mit zunehmender Re-Zahl steigen die Anforderungen an die Oberflächengüte. Die
Bedingung für hydraulisch glatte Oberfläche können als Funktion der Re-Zahl definiert
werden.
k
Re  
100
 l  zulässig
Gl. 4-153:
oder

k zulässig 100  
 c
Gl. 4-154:
Objekt
Schiff
Geschwindigkeit [km/h]
50
20
600
200
150
600
Flugzeug
(H = 0)
Flugzeug
(H = 10 km)
Gebläse
Wasserturbine
Gasturbine
Dampfturbine
Tab. 4-8:



[m/s]
14
5.5
167
56
42
167
kin, Viskosität [m²/s]
1,010-6
1,010-6
15,110-6
15,110-6
15,110-6
35,310-6
kS,zulässig [mm]
0,007
0,020
0,010
0,025
0,035
0,020
15
50
4
10
300-700
100
200
15,110-6
15,110-6
1,010-6
1,010-6
40-6010-6
1,510-6
1610-6
0,100
0,030
0,025
0,010
0,005 - 0,020
0,0015
0,008
Zulässige Rauigkeiten für hydraulisch glatte Oberflächen
Fluidmechanik
108
___________________________________________________________________
Abb. 4-34:
Reibungswiderstand der ebenen Platte
4.7.3
Druckwiderstand
Ideale reibungsfreie Strömung
In einer Potentialströmung, d.h. einer reibungsfreien idealen Strömung folgen die Stromlinien
der Kontur. Zusätzlich zu dem vorderen Staupunkt bildet sich stromabwärts auf der Rückseite der Platte ein zweiter Staupunkt. Die Gesamtenergie entlang jeder Stromlinie ist
konstant und somit ist auch die Bernoulli-Gleichung entlang jeder Stromlinie erfüllt. Diese
Umströmung verursacht eine symmetrische Druckverteilung auf der Zuströmseite wie auf der
Abströmseite und es kann keine Druckdifferenz zwischen Vorder- und Rückseite entstehen.
Da auf beiden Seiten der Platte der gleiche Druck herrscht bildet sich somit auch kein
Druckwiderstand.
Abb. 4-35:
Potentialströmung um eine ebene Platte
Fluidmechanik
109
___________________________________________________________________
Potentialströmungen können in der Natur nicht vorkommen, bilden jedoch aufgrund der
einfachen mathematischen Zugänglichkeit eine Möglichkeit Strömungsfelder näherungsweise gut zu erfassen. Dabei ist jedoch zu beachten, dass diese Näherungslösungen nur
angewendet werden können auf Strömungen, die lediglich kleinen Richtungsänderungen
unterworfen sind. Sobald größere Krümmungen überwunden werden müssen und die
Strömung zur Ablösung von der Kontur neigt, verlieren Potentialverfahren ihre Gültigkeit.
Reale reibungsbehaftete Strömung
Bei der realen, reibungsbehafteten Strömung um eine ebene Platte verliert die Strömung
infolge Reibung auf der Zuströmseite an kinetischer Energie und kann den Druckanstieg an
der Plattenrückseite nicht mehr überwinden und bewegt sich in Richtung des geringsten
Druckanstiegs. Diese Strömungsablösung erzeugt ein Nachlaufgebiet (Totwasser) auf der
Rückseite der Platte. Der Gesamtdruck im Nachlaufgebiet entspricht ungefähr dem der
Außenströmung, jedoch ist die Geschwindigkeit höher, wodurch sich ein geringerer
statischer Druck als in der Außenströmung einstellt. Dieses Unterdruckgebiet an der Rückseite bildet eine Kraft entgegen der Fortbewegungsrichtung der Platte, den sog. Druck- oder
Formwiderstand WD.
Abb. 4-36:
Potentialströmung um eine ebene Platte
Die Entstehung des Druck- oder Formwiderstand WD kann auch durch eine Energiebilanz am
Gesamtsystem begründet werden. Infolge der Bewegung der Platte durch ein Strömungsfeld, welches sich zum Zeitpunkt t = t1 in Ruhe befindet, wird das Fluid zum Zeitpunkt t = t2
aus der Ruhe in eine rotatorische Bewegung beschleunigt. Zur Beschleunigung einer Masse
muss immer Arbeit verrichtet werden. Diese Arbeit bzw. Energie muss zusätzlich zur
Vortriebsleistung des durch das Strömungsfeld bewegten Körpers verrichtet werden und
schlägt sich somit negativ als Widerstand in der Bilanz nieder.
Fluidmechanik
110
___________________________________________________________________
Prinzip der Strömungsablösung
Ablösung tritt immer dann auf, wenn die Strömung einen Druckanstieg in Strömungsrichtung
nicht mehr überwinden kann, z.B. bewirken große Richtungsänderungen eine Aufweitung der
Stromlinien und somit eine Reduzierung der Geschwindigkeit c, wodurch sich der statische
Druck p entsprechend der Bernoulli-Gleichung (Druckform)
Gl. 4-155:
pt 

2
 c 2  p  const.
erhöht.
Das Prinzip der Strömungsablösung lässt sich an dem in Abb. 4-37 skizzierten Strömungsverlauf über eine stark gekrümmt Oberfläche erläutern.
Abb. 4-37:
Grenzschichtablösung mit Rückströmgebiet
Bereich B
Die Strömungsbeschleunigung infolge des reduzierten Strömungsquerschnitts, erkennbar an
der Verengung der Stromlinien, wirkt der reibungsbedingten Verzögerung der Strömung
innerhalb der Grenzschicht entgegen und bewirkt, dass die beschleunigte Strömung nicht
ablöst. Die maximale Strömungsgeschwindigkeit wird im Punkt G und dadurch gleichzeitig
auch das Druckminimum erreicht.
Bereich V
Die Verzögerung der Außenströmung, erkennbar an der Aufweitung der Stromlinien, führt zu
einem Druckanstieg. Da das Fluid aber bereits in der Grenzschicht verzögert wird, muss zur
Bewältigung des Massestroms die Grenzschichtdicke weiter zunehmen. Die Geschwindigkeitsverringerung bewirkt aber auch eine Verringerung der kinetischen Energie, wodurch die
Strömung anfälliger gegenüber Störungen wird. Der zunehmende Druck bewirkt, dass Fluidteilchen an der Wand zum Stillstand kommen und nicht in das Gebiet mit höherem Druck
vordringen. Im Punkt A weicht die Strömung in Richtung des geringsten Drucks aus und löst
sich von der Wand ab.
Nach der Ablösung strömen im Wandbereich Fluidteilchen dem Druckgradienten folgend
entgegen der Hauptströmungsrichtung und bilden ein Rückströmgebiet, welches die Außen-
Fluidmechanik
111
___________________________________________________________________
strömung von der Körperoberfläche abdrängt. Die Unstetigkeitsfläche zwischen Grenzschicht
und Außenströmung löst sich aufgrund der Labilität in Einzelwirbel auf. Diese Wirbelerzeugung bedeutet eine Beschleunigung ruhender Masse in eine Drehbewegung wozu
Arbeit verrichtet werden muss, die sich als Druck- oder Formwiderstand in der Bilanz niederschlägt.
Aufgrund des höheren kinetischen Energieniveaus der turbulenten Grenzschicht im
Vergleich zur laminaren Grenzschicht, neigt eine turbulente Grenzschicht weniger zur
Ablösung als die laminare Grenzschicht. Zu beachten ist, dass entsprechend der BernoulliGleichung eine Erhöhung der Strömungsgeschwindigkeit immer mit einer Abnahme des
statischen Drucks einhergeht und umgekehrt eine statische Druckerhöhung immer an eine
Strömungsverzögerung gekoppelt ist, Abb. 4-37.
Abb. 4-38:
Stromlinienverlauf bei reibungsfreier Strömung und reibungsbehafteter Strömung
Abb. 4-39:
Kriechende Strömung, laminar, c = 1 mm/s,
turbulente Strömung, Re = 2000 [ 14]
Fluidmechanik
112
___________________________________________________________________
Karman'sche Wirbelstraße7
In Abhängigkeit von Strömungsgeschwindigkeit und Körpergeometrie können bei quer
angeströmten Körpern alternierend links- und rechtsdrehende Wirbel an der Rückseite
ablösen. Sofern der Wirbelabstand h von der Strömungsachse zum Wirbelabstand L in
Strömungsrichtung das Verhältnis h L  0,28 bildet, sind solche Wirbelstraßen sehr stabil.
Bei quer angeströmten Antennen oder Drähten kann dies zur Bildung eines Pfeiftons führen.
Abhilfe schaffen hier Drähte, die spiralförmig um die Antenne gewunden werden, bzw.
Metallwendeln, die zur Vermeidung von Resonanzfrequenzen um Kamine angebracht
werden können.
Abb. 4-40:
Karman'sche Wirbelstraße
Nachlaufdelle
Die Beschleunigung eines ruhenden Fluids in eine Rotationsbewegung, z.B. zur Erzeugung
einer Wirbelstraße, erfordert die Verrichtung von Arbeit. Dieser Energieaufwand macht sich
in einem Geschwindigkeits- bzw. Impulsverlust stromabwärts bemerkbar und wird als
Nachlaufdelle bezeichnet. Aus der Vermessung des Geschwindigkeitsfelds (Impulsverlust)
stromabwärts eines Körpers mit einem Nachlaufrechen kann auf den Druckwiderstand des
Körpers geschlossen werden.
Abb. 4-41:
7
Bestimmung des Druckwiderstands eines Körpers aus dem Impulsverlust
Todor Kármán, ungarischer Physiker, 1881 - 1963
Fluidmechanik
113
___________________________________________________________________
Druckwiderstand
Gl. 4-156:
WD   q  q dS
S
Abb. 4-42:
Nachlaufrechen
Laminare und turbulente Ablösung
Abb. 4-43:
Ebene Platte, laminare Ablösung,  = 2,5°, Re = 104, [ 14]
Abb. 4-44:
Ebene Platte, turbulente Ablösung,  = 2,5°,Re = 5104, [ 14]
Abb. 4-45:
Zylinder, laminare (oben) und turbulente (unten) Ablösung, [ 14]
Fluidmechanik
114
___________________________________________________________________
Bestimmende Größe für den Druckwiderstand ist die Größe und Form des abgelösten
Totwassergebiets, d.h. konstruktive Maßnahmen zur Verringerung des Druckwiderstands
zielen immer auf eine Verkleinerung des Totwassergebiets ab. Dies ist entweder durch die
Zufuhr von kinetischer Energie in die Grenzschicht oder durch das Erzwingen einer
Transition von laminarer zu turbulenter Grenzschicht möglich. Eine turbulente Grenzschicht
verursacht zwar einen höheren Reibungswiderstand, hat aber aufgrund der größeren
kinetischen Energie eine geringere Neigung zur Ablösung als im laminaren Fall. Zusätzlich
mit der Verkleinerung des Totwassergebiets und somit einer Verringerung des Druckwiderstands behalten Ruder und Klappen infolge der nun anliegenden Strömung ihre Wirksamkeit,
die andernfalls bei abgelöster Strömung verloren geht.
Widerstandsreduzierung durch
Verkleinerung des Ablösegebiets
Laminare Grenzschicht
(unterkritisch),
Ablösewinkel α ≈ 70 bis 80°
Turbulente Grenzschicht nach
Stolperdraht (überkritisch),
Ablösewinkel α ≈ 110 bis 120°
Abb. 4-46:
Kugel- oder Zylinderumströmung mit prinzipiellem Stromlinien- und Druckverlauf
Fluidmechanik
115
___________________________________________________________________
Abb. 4-47:
Verzögerung der Ablösung durch Spaltklappen bei Hochauftriebssystemen
4.7.4
Induzierter Widerstand
In einer theoretisch reibungsfreien, zweidimensionalen Strömung um einen Körper (z.B.
Profil) ergibt die Integration der Druckkräfte eine resultierende Kraft A (= Auftrieb), die
senkrecht auf der Anströmrichtung V steht, jedoch keine Kraft tangential zur Strömungsrichtung, d.h. einen Widerstand W (d'Alembert'sches Paradoxon). Betrachtet man jedoch
einen Körper, der dreidimensional umströmt wird, z.B. einen Tragflügel, so stellt sich
aufgrund der Druckunterschiede von Ober- zu Unterseite am Rand des Flügels eine
Ausgleichströmung quer zur Anströmrichtung ein und es bilden sich an beiden Flügelenden
je ein Randwirbel. Die Erzeugung dieser Wirbel erfordert die Verrichtung von Arbeit, da eine
Luftmasse aus der Ruhe in eine Drehbewegung beschleunigt wurde, die jedoch zu dem
Vortrieb des Flugzeugs keinerlei Beitrag leistet. Die verrichtete Arbeit schlägt sich somit
negativ in der Bilanz als induzierter Widerstand nieder. Ein dreidimensionaler Körper erfährt
somit auch in einer theoretisch reibungsfreien Strömung einen Widerstand.
Abb. 4-48: Entstehung der freien Wirbel am
Tragflügel endlicher Spannweite
Fluidmechanik
116
___________________________________________________________________
Bestimmungsgrößen des induzierten Widerstands am Beispiel des Tragflügels
Der Beiwert des induzierten Widerstands CWi berechnet sich entsprechend
2
Gl. 4-157:
CWi 
e CA
 
mit
e

Gl. 4-158:
= Formfaktor, bei idealer, sog. 'elliptischer' Auftriebsverteilung gilt e = 1
= Streckung, Verhältnis von Spannweite b zur Flügelfläche S

b2
S
Der Auftriebsbeiwert ergibt sich aus dem Staudruck q   2  c und der Flügelfläche S zu
2
:Gl. 4-159
CA 
A
 2  c 2  S
Eine Minimierung des induzierten Widerstands lässt sich somit durch eine Minimierung des
Auftriebs oder eine Maximierung der Flügelstreckung erreichen.

Segelflugzeuge
Sportflugzeuge
Verkehrsflugzeuge
Kampflugzeuge
Abb. 4-49:
15 - 30
6 – 10
6 - 20
2-5
Einfluss der Streckung  auf den induzierten Widerstand CWi
Bei Verkehrsflugzeugen liegt der Auftriebsbeiwert im Reiseflug bei ca. CA,Reiseflug  0,5 - 1,0 und
bei Start oder Landung aufgrund der deutlich niedrigeren Start- bzw. Landegeschwindigkeit
im Vergleich zur Reisefluggeschwindigkeit in einer Größenordnung ca. CA,Start/Landung  5 – 6. Da
der Auftriebsbeiwert quadratisch in den induzierten Widerstand und somit die Stärke der
erzeugten Wirbelschleppen eingeht, stellen insbesondere Start und Landung die
Flugabschnitte dar, in denen Wirbelschleppen mit maximaler Stärke erzeugt werden. Dies ist
bei der zeitlichen und räumlichen Staffelung des an- und abfliegenden Verkehrs an
Flughäfen zu beachten.
Fluidmechanik
117
___________________________________________________________________
Abb. 4-50:
Freie Wirbel am Tragflügel endlicher Spannweite
Abb. 4-51:
Wirbelschleppe eine Boeing 747
Fluidmechanik
118
___________________________________________________________________
Die durch die Wirbel induzierte Beschleunigung des Strömungsfeldes lässt sich aber auch
zur Reichweitenerhöhung bei engen Formationsflügen ausnutzen. Der Tragflügel der Folgemaschine erfährt durch den induzierten Wirbel der Führungsmaschine eine zusätzliche
Anströmgeschwindigkeit, die seinen effektiven Anstellwinkel erhöht und somit seinen
Gesamtwiderstand verringert. Dieses Verfahren ist allerdings in der Vogelwelt schon lange
bekannt und lässt sich insbesondere bei der V-Formation von Zugvögeln gut beobachten.
Abb. 4-52:
Widerstandsreduzierung im Formationsflug
4.7.5
Interferenzwiderstand
Die Kombination von Baugruppen führt in der Regel immer zu einer Veränderung der
Strömungsverhältnisse des Gesamtsystems, d.h. der Gesamtwiderstand ist häufig größer als
die Summe der Einzelwiderstände. Eine Verringerung ist jedoch ebenfalls möglich und
basiert auf der Verkleinerung des Ablösegebiets durch geeignete Vorkörper, z.B. beim
Windschattenfahren im Radsport, bei Autorennen oder bei Kolonnenfahrten von LKWs.
Links: Großes Ablösegebiet verursacht hohen
Widerstand
Rechts: Widerstandskörper mit Platte:
geringerer Gesamtwiderstand
Abb. 4-53:
Strömung am Einzelrohr und am fluchtenden Rohrbündel
Fluidmechanik
119
___________________________________________________________________
Die Reduzierung des aerodynamischen Widerstands cW,aero ist in Abhängigkeit von dem
Fahrzeugabstand a in Abb. 4-54 dargestellt.
Abb. 4-54:
Reduzierung des aerodynamischen Widerstands bei LKW-Kolonnen, [ 7]
4.7.6
Gesamtwiderstand
Der Gesamtwiderstand eines umströmten Körpers setzt sich zusammen aus der Summe der
Einzelwiderstände:
Gl. 4-160:
Wges WR  WD  Wind  Wint  WRest
Unter dem Restwiderstand Wrest werden alle Zusatzwiderstände zusammengefasst, die durch
Anbauteile oder innere Durchströmung entstehen wie z.B. Radverkleidung, Streben, Spiegel,
Kühlluft, Innenbelüftung, Zierleisten etc. Bei Triebwerken tritt zusätzlich noch ein Einlaufwiderstand (spillage drag) auf.
Bei bekanntem Widerstandsbeiwert Cw und der Referenzfläche S ergibt sich der Gesamtwiderstand zu
Gl. 4-161:
W  CW  q  S  CW 

2
2
 c  S
Cw - Wert
Bei dem Cw – Wert handelt es sich um einen dimensionslosen Beiwert, der von der
Geometrie des umströmten Körpers abhängt und alle Widerstandsanteile berücksichtigt, d.h.
er beschreibt die 'aerodynamische Güte' des Entwurfs.
Gl. 4-162:
CW 
W
W

2
q S 
 c  S
2
Zur Bestimmung des Beiwerts kann die Bezugsfläche S prinzipiell frei gewählt werden, sofern
bei der Umrechnung in Absolutwerte wieder die identische Fläche, bzw. bei Modellversuchen, die dem Maßstab entsprechend skalierte Fläche verwendet wird. Üblich ist die
Verwendung der projizierten Stirnfläche (Automobilbau) oder die projizierte Flügelfläche
(Flugzeugbau). Die alleinige Angabe des Cw – Wertes (KFZ-Werbung) erlaubt noch keinen
Fluidmechanik
120
___________________________________________________________________
Rückschluss auf den Anteil des aerodynamischen Widerstands am Gesamtwiderstand und
damit den Treibstoffverbrauch; hier ist zusätzlich noch die dazugehörige Bezugsfläche S
erforderlich.
_________________________________________________________________________
Üb. 4-9:
Windlast auf einen Kamin
Ein Kamin mit einer Höhe H = 100 m hat am Boden einen Durchmesser d1 = 6 m und an der
Spitze einen Durchmesser d2 = 0.5 m. Der Durchmesser ändert sich linear mit der Höhe. Die
Windgeschwindigkeit beträgt c = 1,6 m/s. Bei einer Dichte von  = 1,234 kg/m³ beträgt die
kinematische Zähigkeit der Luft  = 1510-6 m²/s.
Der Widerstandsbeiwert des Kamins kann im unterkritischen Bereich (Red < 3,5105) mit
cw,unter = 1,2 und im überkritischen Bereich mit cw,über = 0,4 abgeschätzt werden.
Wie hoch ist unter diesen Bedingungen die resultierende Kraft auf den Kamin?
_________________________________________________________________________
Gesamtwiderstand einfacher Körper
Tab. 4-9:
Gesamtwiderstand rotationssymmetrischer Körper
Rechteckige Platte
Tab. 4-10:
b/h
1
2
4
10
18

cW
1.10
1.15
1.19
1.29
1.4
2.01
Gesamtwiderstand ebener Platten
Fluidmechanik
121
___________________________________________________________________
Tab. 4-11:
Gesamtwiderstand rotationssymmetrischer Körper
Fluidmechanik
Kugelumströmung
122
___________________________________________________________________
4.8
Kugelumströmung
4.8.1
Ideale reibungsfreie Umströmung der Kugel (Potentialströmung)
Bei geringen Geschwindigkeiten und somit sehr kleinen Re-Zahlen stellt sich auch bei realen
Strömungen eine Stromlinienverteilung ein, die näherungsweise der der idealen Potentialströmung entspricht. Solche Strömungen werden als kriechende Strömungen bezeichnet und
können z.B. bei dem Fließverhalten von flüssigem Beton, Zahnpasta oder Lavaströmen
beobachtet werden.
Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung berechnen sich Geschwindigkeit,
Druck und Druckbeiwert als Funktion des Umfangswinkels 
Geschwindigkeit auf der Oberfläche cS
Gl. 4-163:
3
c S     c  sin 
2
Druckverteilung pS
Gl. 4-164:
  c    2 
 
pS    p   c  1   S
2
  c  

Abb. 4-55:
2
Reibungsfreie Kugelumströmung
Druckbeiwert cp
Gl. 4-165:
c p   
pS    p

2
 c
2
 c   
9
 1   sin 2 
1   S
4
 c 
2
4.8.2
Reibungsbehaftete Umströmung der Kugel
In einer realen, reibungsbehafteten Strömung stellt sich in Abhängigkeit von der Struktur der
Grenzschicht ein unterschiedlich großes Ablösegebiet auf der strömungsabgewandten Seite
der Kugel ein (vgl. Kap. 4.7.3 Druckwiderstand).
laminare Grenzschicht
Ablösung bei  ≈ 70° - 80°
turbulente Grenzschicht
Ablösung bei  ≈ 110° - 120°
Abb. 4-56:
Reibungsbehaftete Kugelumströmung
Fluidmechanik
Kugelumströmung
123
___________________________________________________________________
Die Strömungsverhältnisse an einer Kugel werden maßgeblich vom Zustand der Grenzschicht dominiert. In Abhängigkeit davon ob es ich um eine unterkritische (laminare) oder
eine überkritische (turbulente) Grenzschicht handelt, verschiebt sich die Position der
Ablösestelle auf der Kugeloberfläche (vgl. Abb. 4-56). Die Lage der Ablösestelle wiederum
definiert die Größe des sich daraus ergebenden Totwassergebiets stromabwärts der Kugel,
welches wiederum die strömungsphysikalische Ursache für den Druck- bzw. Formwiderstand
darstellt.
Bei kleinen Reynoldszahlen ( ReD  1,7  105 ), d.h. fast vollständig laminarer Umströmung,
lässt sich der Widerstandsbeiwert cW der Kugel über unterschiedliche Näherungsformeln
abschätzen, wobei die Reynoldszahl mit dem Kugeldurchmesser D berechnet wird.
Gl. 4-166:
cW 
24
ReD
Gl. 4-167:
cW 
24
4

 0 ,4
ReD
ReD
Gl. 4-168:
cW 
21,5
6,5

 0,23
ReD
ReD
Abb. 4-57:
Widerstandstandsbeiwert einer laminar umströmten Kugel
Der Umschlag von einer laminaren zu einer turbulenten Grenzschicht erfolgt nicht bei einer
bestimmten Re-Zahl, sondern in einem Übergangsbereich (kritischer Bereich), sofern die
Transition nicht über eine Transitionsfixierung erzwungen wird.
Fluidmechanik
Kugelumströmung
124
___________________________________________________________________
laminare Anströmung
turbulente
Anströmung
ReD 
Abb. 4-58:
cd

Widerstandsbeiwert der Kugel bei unter- und überkritischer Anströmung
Bei realen Strömungen wird ein Körper nur selten einer vollständig laminaren Strömung
begegnen. Lediglich bei sehr kleinen Reynoldszahlen, Flügen in großen Höhen in der
Stratosphäre oder in einem Laminarwindkanal (Eiffelkanal) wäre dies z.B. möglich. Der
Verlauf des Widerstandsbeiwerts einer Kugel bei vollständig laminarer Anströmung
entspricht der rechten Kurve in Abb. 4-58. Die linke Kurve beschreibt den Verlauf des
Widerstandsbeiwertes für den Fall, dass die Strömung bereits vor dem Auftreffen auf die
Kugel vollständig turbulent ist. Der signifikant geringere Kugelwiderstand bei vollständig
turbulenter Anströmung im Vergleich zur laminaren Anströmung ergibt sich aufgrund der
länger anliegenden turbulenten Grenzschicht und dem dadurch kleineren Ablösegebiet auf
der stromabgewandten Seite der Kugel (vgl. Abb. 4-56). Der höhere Reibungswiderstand der
turbulenten im Vergleich zur laminaren Grenzschicht wirkt sich deutlich geringer auf den
Gesamtwiderstand aus, als der höhere Druckwiderstand infolge eines größeren Ablösegebiets.
Bei Re  1,7  105 bleibt die Strömung trotz 'Stolperdraht' laminar und lässt sich nicht in den
turbulenten Zustand zwingen. In dem Übergangsbereich von 1,7  105  ReD  3,85  4 ,05  105
wird die kritische Reynoldszahl bei der eine natürliche, also Re-Zahlabhängige Transition
stattfindet, per Definition festgelegt auf die Reynoldszahl, bei der der Widerstandsbeiwert
den Wert cW  0 ,3 erreicht, d.h.
Gl. 4-169:
Rekrit  Re cW  0,3 .
Ab einer Reynoldszahl von ReD  5  105 erfolgt mit zunehmender Reynoldszahl wieder ein
Anstieg des Widerstands. Die Größe des Ablösegebiets verändert sich nicht mehr, d.h. der
Druckwiderstand bleibt konstant, der Reibungswiderstand erhöht sich jedoch als Funktion
der Reynoldszahl und wird zur dominierenden Größe.
Fluidmechanik
Kugelumströmung
125
___________________________________________________________________
Einfluss einer erzwungenen Transition durch Stolperdraht
Die deutliche Reduzierung des Widerstands einer Kugel durch eine erzwungene Transition
ist in Abb. 4-59 skizziert.
Abb. 4-59:
Einfluss einer erzwungenen Transition auf den Widerstand
Turbulenzfaktor TF
Natürliche, d.h. nicht erzwungene Transition ist eine Funktion der Turbulenz der Zuströmung,
die sich durch den Turbulenzfaktor TF beschreiben lässt. Dabei wird die kritische Re-Zahl
einer theoretisch laminaren Zuströmung mit Rekrit  4 ,05  105 ins Verhältnis gesetzt mit der
Reynoldszahl, bei welcher der Widerstandsbeiwert der Kugel den Wert cW  0,3 erreicht.
Gl. 4-170:
TF 
Rekrit laminar 
4 ,05  105

Rekrit Zuströmung  Rekrit cW  0,3
Würde der Körper eine vollständig laminare Zuströmung erfahren, so ergibt dies einen
Turbulenzfaktor von TF 1 . Bei einer vollständig turbulenten Zuströmung ergibt sich ein
Turbulenzfaktor von TF  2 ,4 .
Der Druckbeiwert an der Rückseite der Kugel (= Basisdruck) bei kritischer Re-Zahl ergibt
sich zu
Gl. 4-171:
cW  0,3  c p 
p  p

2
 c
2
  0,22
Insbesondere bei Windkanalmessungen ist der Turbulenzfaktor zur Bestimmung der realen
Reynoldszahl erforderlich. Die mittels der Beziehung
Gl. 4-172:
Re Messung 
c  l ref

für die Versuchsbedingungen berechnete Reynoldszahl geht von einer vollständig laminaren
Anströmung aus und ist noch um den Turbulenzfaktor TF zu korrigieren, um das in der
Strömung vorliegende Turbulenzniveau zu berücksichtigen.
Gl. 4-173:
Re eff  TF  Re Messung
Fluidmechanik
Kugelumströmung
126
___________________________________________________________________
Turbulenzgrad Tu
Der Turbulenzgrad einer Strömung wird durch die Überlagerung der Strömungsgeschwindigkeit c der freien Anströmung mit Störgeschwindigkeiten u , v , w in Richtung der
drei Koordinatenachsen x, y , z beschrieben.
Gl. 4-174:
Tu 
1
1 2

 u  v 2  w 2 
c 3
Diese Störgeschwindigkeiten lassen sich zu einer mittleren Störgeschwindigkeit, oder
mittleren Quergeschwindigkeit c zusammenfassen
Gl. 4-175:
c

1 2
 u  v2  w2
3

und für den Turbulenzgrad gilt
Gl. 4-176:
Tu 
c
c
Einfluss der Rauigkeit auf den Widerstand
Im unterkritischen Bereich hat eine größere Rauigkeit die Wirkung eines Stolperdrahts zur
Transitionserzwingung und wirkt sich so insgesamt widerstandsverringernd aus, wohingegen
im überkritischen Bereich eine größere Rauigkeit eine Vergrößerung des Widerstands
bewirkt.
Mit zunehmender Rauigkeit treten drei unterschiedliche Effekte auf
- Die Widerstandsreduzierung infolge der Transition wird immer geringer
- Die plötzliche Widerstandsreduzierung nach der Transition erfolgt bei immer
kleineren Reynoldszahlen
- Der Widerstand bei turbulenter Grenzschicht steigt immer weiter an
Abb. 4-60:
Einfluss der Rauigkeit auf den Widerstand
Fluidmechanik
Zylinderumströmung
127
___________________________________________________________________
4.9
Zylinderumströmung
4.9.1
Ideale reibungsfreie Strömung (Potentialströmung)
Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung und eines unendlichen langen
Zylinders, d.h. es liegt eine zweidimensionale Strömung vor, ergibt sich für die Geschwindigkeit und die Druckverteilung an der Oberfläche des Zylinders als Funktion des Umfangwinkels 
Geschwindigkeit an der Oberfläche
Gl. 4-177:
cS    2  c  sin 
Druckverteilung an der Oberfläche
Gl. 4-178:
c p   1  4  sin 2 
4.9.2
Reibungsbehaftete Umströmung eines Zylinders
Die Strömungsverhältnisse an einem quer angeströmten Zylinder gleichen denen an einer
Kugel. Die Umfangswinkel an denen sich die Strömung ablöst betragen für eine laminare
Grenzschicht (unterkritisch) ca.  ≈ 80° und bei einer turbulenten Grenzschicht (überkritisch),
ca.  ≈ 140°. Im Nachlauf des Zylinders können sich Wirbelsysteme mit alternierender
Drehrichtung bilden (Karman'sche Wirbelstraße, Abb. 4-40).
Allgemein gilt für quer angeströmte Körper mit großem Dickenverhältnis und deutlichen
Unterschieden im Widerstand bei unterkritischer und überkritischer Strömung, dass sich die
kritische Reynolds-Zahl mit zunehmender Rauigkeit zu kleineren Werten verschiebt.
Abb. 4-61:
Widerstandsbeiwerte von Kugel und Zylinder
Der in Abb. 4-61 skizzierte Verlauf des Zylinderwiderstands als Funktion der Reynoldszahl
bezieht sich auf einen theoretisch unendlich langen Zylinder, d.h. es liegt eine zweidimensionale Strömung vor. Für quer angeströmte Zylinder oder Prismen lassen sich die die
cW - Werte der zweidimensionaler Anströmung durch einen Korrekturfaktor K entsprechend
Tab. 4-12 auf eine dreidimensionale Umströmung anpassen.
Fluidmechanik
Zylinderumströmung
128
___________________________________________________________________
Höhe/Durchmesser h/D
Korrekturfaktor
0 < h/D  4
K  0,6
4 < h/D  8
K  0,7
8 < h/D  40
K  0,8
40 < h/D  
K  1,0
Tab. 4-12:
Gl. 4-179:
h
h

cW    K  cW    
D
D

Korrekturfaktoren für dreidimensional umströmte Zylinder
_________________________________________________________________________
4-10: Aerodynamischer Widerstand eines Kamins
geg.:
c
D
H
T
p
=
=
=
=
=
40
0.25
8
20
1020
m/s
m
m
°C
hPa
Windgeschwindigkeit
Kamindurchmesser
Kaminhöhe
Lufttemperatur
Luftdruck
ges.:
Resultierende Kraft F auf den Kamin
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
Rohrströmung
129
___________________________________________________________________
4.10
Rohrströmung
4.10.1
Laminare Rohrströmung
Bei Reynoldszahlen Red < 2320 bildet sich nach einer Anlaufstrecke von ca. l  0 ,06  d  Re d
eine vollständig laminare Strömung, die aufgrund der inneren Reibung ein parabolisches
Geschwindigkeitsprofil aufweist. Unter den Annahmen einer stationären, inkompressiblen
und horizontalen Strömung ergibt sich folgende Geschwindigkeitsverteilung
Gl. 4-180:
  r 2 
cr  cmax  1    
  R  
und eine mittlere Strömungsgeschwindigkeit
Gl. 4-181:
Abb. 4-62:
1
cm   cmax
2
Laminares Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung
Bei der Betrachtung von Rohrströmungen wird die Reynoldszahl Red generell mit dem Rohrinnendurchmesser d und nicht mit der Rohrlänge L gebildet!
4.10.2
Turbulente Rohrströmung
Bei Reynoldszahlen Red > 2320 bildet sich nach einer Anlaufstrecke von ca. l 10  d eine
vollständig turbulente Strömung. Der Hauptströmungsrichtung werden Schwankungsbewegungen in Längs- und Querrichtung überlagert wodurch die Reibungsverluste erhöht
werden.
Geschwindigkeitsverteilung
Gl. 4-182:
  r k 
cr   cmax  1    
  R  
n
k, n = f(Re-Zahl, Rauigkeit)
1 k  2
1
1
n
11
6
Für ein glattes Rohr, Red = 45000 gilt k = 2, n = 1/7
Mittlere Strömungsgeschwindigkeit bei k = 2, n = 1/7
Gl. 4-183:
Abb. 4-63:
cm  0,875  cmax
turbulentes Geschwindigkeitsprofil einer Rohrströmung
Fluidmechanik
Rohrströmung
130
___________________________________________________________________
4.10.3
Rohrreibungswiderstand
Turbulente Rohrströmung liegt vor unter der Bedingung
Gl. 4-184:
Red 
cd 


cd

 2320 ,
d = Rohrinnendurchmesser
Der Reibungswiderstand an der Rohrwand beträgt
Gl. 4-185:

W   O c f 
 c 2  
d
L
2 benetzte Fläche

dyn. Druck
m    c  A  const. muss bei konstantem
Aufgrund der Kontinuitätsbedingung
Rohrquerschnitt A auch die mittlere Strömungsgeschwindigkeit cm konstant bleiben, d.h.
Verluste können sich nur in Form von Druckverlusten bemerkbar machen. Die
Aufrechterhaltung der Strömung erfordert ein Druckgefälle p oder ein natürliches Gefälle mit
der Neigung hV,12/L, wobei hV12 der Druckverlusthöhe und L der Rohrlänge entspricht.
c
c
Abb. 4-64:
Druckverlust infolge Rohrreibung
Kräftebilanz in Strömungsrichtung
Gl. 4-186:
F1  W  F2
Gl. 4-187:
p1  A1  W  p2  A2
mit der Kreisfläche
 d2
Gl. 4-188:
A1  A2  A 
Gl. 4-189:
A   p1  p2  W  c f 
4
lautet der Druckverlust p
Gl. 4-190:
L 
p  4  c f    c 2
d 2
Mit der Rohrreibungszahl 
Gl. 4-191:
 4cf

2
 c2   d  L
V
A
Fluidmechanik
Rohrströmung
131
___________________________________________________________________
ergibt sich für den Druckverlust p
Gl. 4-192:
L 
p      c 2
d 2
Der Druckverlust p lässt sich auch in eine Verlusthöhe h umrechnen. Das entspricht z.B.
dem erforderliche Neigungswinkel einer offenen Rinne zur Aufrechterhaltung der Strömung.
Zusammen mit dem hydrostatischen Druck
Gl. 4-193:
p  g h
ergibt sich die Druckverlusthöhe hV
Gl. 4-194:
L c2
h  hV    
d 2 g
Mit dem Verlustbeiwert 
Gl. 4-195:
  
L
d
lautet die Verlusthöhe hV
Gl. 4-196:
hV   
c2
2 g
oder der Druckverlust p
Gl. 4-197:
p   

2
 c2
Dies gilt für laminare als auch für turbulente Strömungen.
4.10.4
Rohrreibungszahl 
Bei Rohrströmungen ergeben sich aufgrund der unterschiedlichen Oberflächenbeschaffenheit der Innenwand, d.h.
- hydraulisch glatt
- Übergang zwischen glatt und rau
- vollständig rau
unterschiedliche Werte für die Rohrreibunsgzahl
Hydraulisch glatte Rohre
Die Bedingung für hydraulisch glatt ist erfüllt, wenn die Dicke der laminaren Unterschicht U
in der Grenzschicht größer ist als die absolute Rauigkeit k
U
Gl. 4-198:
k
Gl. 4-199:
k
8

d Re 
Gl. 4-200:
U 
4
32 ,8  d
Re 
absolute Rauigkeit
relative Rauigkeit
Dicke der laminaren Unterschicht U
Bis zum Erreichen der kritischen Re-Zahl Rekrit = 2320 gilt für die Rohrreibungszahl 
Fluidmechanik
Rohrströmung
132
___________________________________________________________________
Gl. 4-201:

64
Re
(Hagen-Poiseuille)
Bei Re-Zahlen größer als Rekrit gilt die empirische Beziehung nach Nikuradse
Gl. 4-202:
1



 2  log Re   0 ,8
oder
Gl. 4-203:

 

 2  log  Re
2 ,51 


1
Vereinfachungen nach Blasius für 2300 < Red < 105
Gl. 4-204:

0 ,3164
4 Re
d
oder nach Nikuradse für 2300 < Red < 106
Gl. 4-205:
  0 ,0032 
0 ,221
0 ,237
Red
Bei hydraulisch glatten Rohren ist die Rohrreibungszahl ausschließlich eine Funktion der
Reynoldszahl.
Vollständig raue Rohre
Die Bedingung für eine vollständig raue Oberfläche lautet
Gl. 4-206:
k
200

d Re 
Rohrreibungszahl  nach Nikuradse
Gl. 4-207:
d 
 2  log    1,14

k
1
oder
Gl. 4-208:
d

 2  log  3,71  
k


1
Vereinfachung nach Moody
Gl. 4-209:
  0.0055  0,15  3
k
d
Bei vollständig rauen Rohren ist die Rohrreibungszahl ausschließlich eine Funktion der
Rauigkeit.
Fluidmechanik
Rohrströmung
133
___________________________________________________________________
Übergangsgebiet zwischen glatt und rau
Die Bedingung für das Übergangsgebiet zwischen glatter und rauer Oberfläche lautet
8
Gl. 4-210:
k
 Red    200
d
Rohrreibungszahl  nach Colebrook
 k
2 ,51
  2  log 


 3,71  d Red  
1
Gl. 4-211:




Vereinfachung

Gl. 4-212:
  0 ,0055  1  3 20000 

k 106 


d Red 
Im Übergangsgebiet ist die Rohrreibungszahl eine Funktion der Reynoldszahl und der
Rauigkeit
Abb. 4-65:
Moody-Diagramm: Rohrreibungszahl als Funktion der Rauigkeit und Reynoldszahl
Fluidmechanik
Widerstandswert für zusätzliche Einbauten in Rohren
134
___________________________________________________________________
Hydraulischer Durchmesser dhydr
Zur Berechnung der Rohrreibungszahl bei Rohren mit nicht kreisförmigem Querschnitt oder
bei Rohren, die nicht vollständig befüllt sind, z.B. bei Abwasserkanälen, wird ein
hydraulischer Ersatzdurchmesser dhydr aus der Rohrquerschnittsfläche A und dem benetzten
Umfang U berechnet.
Gl. 4-213:
d hydr  4 
A
U
Bei Strömungen in offenen Gerinnen tritt aufgrund des konstanten Umgebungsdrucks kein
Druckverlust pV, sondern nur eine Verlusthöhe hV auf, die mit dem hydraulischen
Durchmesser des Gerinnes berechnet wird.
Gl. 4-214:
hV   
c2
L
c2
 

2 g
d hydr. 2  g
Abb. 4-66:
Offenes Gerinne
In allen zuvor verwendeten Gleichungen, z.B. zur Berechnung der relativen Rauigkeit oder
der Reynoldszahl, ist der Rohrdurchmesser d durch den hydraulischen Ersatzdurchmesser
dhydr. zu ersetzen.
4.11
Widerstandsbeiwert für zusätzliche Einbauten in Rohren
4.11.1
Widerstand infolge von Ablösung
Neben dem Reibungswiderstand kann bei Rohrströmungen noch ein zusätzlicher
Widerstand durch Ablösungen und Verwirbelungen auftreten. Diese werden verursacht durch
- Einbauten, Armaturen, Ventilen, Blenden und Drosselklappen
- Richtungsänderungen, Krümmern
- Querschnittsveränderungen, stetig und unstetig
- Rohrein- und -auslauf
Die Berücksichtigung dieser Verluste erfolgt durch den Verlustbeiwert 
Gl. 4-215:

pV 12

2
 c2
Druckverlust pV 12 mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit im Rohr c
Gl. 4-216:
pV 12   

2
 c2
Verlusthöhe hV 12 mit der mittleren Strömungsgeschwindigkeit im Rohr c
Gl. 4-217:
hV 12   
c2
2 g
Die theoretische Erfassung der Verluste infolge von Rohreinbauten ist nur in Ausnahmefällen
möglich. Zur Bestimmung des Verlustbeiwertes  bieten sich unterschiedliche Verfahren an
- Empirische Bestimmung der Verlustbeiwerte
- Nachrechnung des Druckverlustes infolge von Einbauten aus der Summe der
einzelnen Teilverluste in den einzelnen Abschnitten. Dazu ist jedoch eine
Geschwindigkeitsmessung in den einzelnen Abschnitten erforderlich.
Fluidmechanik
135
___________________________________________________________________
Mit dem Verlustbeiwert 
  
Gl. 4-218:
L
d
ergibt sich für den Druckverlust in einem System, bestehend aus i-Rohrstücken und kEinbauten
p   
Gl. 4-219:

2
 c2 
 
L 2
2
  i  i  ci    k  ck 
2  i
di
k

Der Druckverlust setzt sich aus dem Anteil infolge der Rohrreibung, berücksichtigt durch die
Rohreibungszahl  und dem Anteil infolge von Einbauten, berücksichtigt durch den
Verlustbeiwert , zusammen.
4.11.2
Querschnittserweiterung (Diffusor)
Während eine Düse zur Strömungsbeschleunigung eingesetzt wird, hat ein Diffusor die
umgekehrte Aufgabe. Ein Diffusor wird in Rohrleitungssystemen verwendet um die
Strömungsgeschwindigkeit zu reduzieren, d.h. die kinetische Energie zu verringern und
gleichzeitig den Druck zu erhöhen (Druckrückgewinn). Anwendungen finden sich z.B. in
geschlossenen Windkanälen um nach einer Überschallmessstrecke die Strömung zu
verzögern.
Stufendiffusor
Die unstetige Querschnittserweiterung
bewirkt einen strahlartigen Strömungseintritt in das größere Volumen. Die
Länge der Mischstrecke kann mit
Gl. 4-220:
LM 10  D2
abgeschätzt werden. Der Massestrom
berechnet sich mit der mittleren
Geschwindigkeit im Querschnitt 1 oder 2
zu
Gl. 4-221:
Abb. 4-67:
m    cm ,1  A1    cm, 2  A2
Stufendiffusor
Die am Diffusor angreifenden Kräfte ergeben sich aus den Druckkräften zu
Gl. 4-222:
Fp ,1  p1  A1
Gl. 4-223:
FW , x  p1   A2  A1 
und
Fp , 2   p2  A2
Die Druckänderung im Stufendiffusor berechnet sich aus der mittleren Geschwindigkeit cm,2
im Querschnitt 2 und den Formfaktoren  und 

p1  p2     2  cm, 2  1  cm,1  cm, 2
Gl. 4-224:


2

Formfaktor der energiestromgemittelten Geschwindigkeit
Formfaktor der impulsstromgemittelten Geschwindigkeit
(vgl.: Rohreinlaufströmung, Impulssatz)
Fluidmechanik
136
___________________________________________________________________
Auflösung des Energiesatzes nach dem Verlustglied pV 12 ergibt
Gl. 4-225:
pV 12   p1  p2  

2
 cm ,1
2
2

cm , 2 


 1   2 
2 

c
m ,1 

Einsetzen der Druckänderung p1  p2 liefert
Gl. 4-226:
Gl. 4-227:


pV 12     2  cm , 2  1  cm ,1  cm , 2 
pV 12 

2
2
 cm ,1
2

2
 cm ,1
2
2

cm , 2 


 1   2 
2 

c
m ,1 

2
2

cm , 2
cm , 2
cm , 2 


 2  2 
 2  1 
 1   2 
2
2 

c
c
c
m ,1
m ,1
m ,1 

mit
Gl. 4-228:
cm,2
c m ,1

A1
A2
folgt für die Verlustzahl 
Verlustzahl  des Stufendiffusors
Gl. 4-229:

2
pV 12

2
 cm ,1
2
A
A
 1  2  1  1  2   2   2   1 2
A2
A2
bei vollständig turbulenter Strömung gilt  i ,  i 1 und somit für die Verlustzahl 
Gl. 4-230:

pV 12

2
 cm ,1
2

A 
 1  1 
 A2 
2
Wirkungsgrad des Stufendiffusors St
Der Wirkungsgrad des Diffusors berechnet sich aus dem Verhältnis des realen
Druckanstiegs bezogen auf den Druckanstieg, der sich bei einer isentropen Zustandsergeben würde, (isentrop:
änderung, d.h. einer verlustfreien Druckerhöhung mit pV 12  0
Index s).
Gl. 4-231:


2  1  cm ,1  cm , 2   2  cm , 2
2
p p

 St  2 1 
2
2
A
 p2  p1 s
1  cm,1   2  cm , 2
1 2
A1
2
Druckerhöhung im Stufendiffusor
Bei bekanntem Wirkungsgrad lässt sich die Druckerhöhung im Diffusor aus dem
Querschnittsverhältnis A1 A2 und der mittleren Geschwindigkeit cm,1 im Querschnitt 1
berechnen.
Gl. 4-232:
p2  p1  St 

2
 cm ,1
2
2

  A 2 
 A1  

2
 1   2      St   cm ,1  1   1  
2

  A2  
 A2  
Fluidmechanik
137
___________________________________________________________________
Konischer Diffusor
Im Gegensatz zum Stufendiffusor weist der
konische Diffusor eine stetige Querschnittserweiterung auf. Auch hier besteht die
Aufgabe in einem Druckrückgewinnung aus
kinetischer Energie.
Der optimale Öffnungswinkel  ist eine
Funktion des Rohrquerschnitts und beträgt
für Kreisquerschnitt opt  4 und für Rechteckquerschnitte opt  5 . Die Formfaktoren
i, i werden zu Eins gesetzt.
Abb. 4-68:
Konischer Diffusor
Verlustzahl Diff
Die Verlustzahl des Diffusors bezogen auf die Zuströmgeschwindigkeit c1 beträgt
Gl. 4-233:
 Diff 
pV 12

2
 c1
2
Diffusorwirkungsgrad Diff
Analog zum Stufendiffusor berechnet sich der Wirkungsgrad aus dem Verhältnis des realen
Druckanstiegs im Diffusor bezogen auf den isentropen, d.h. d.h. verlustfreien Druckänderung
mit pV 12  0 , (isentrop: Index s)

Gl. 4-234:
 Diff

2
2
2

 c1  c2  pV 12
p2  p1
2



2
2
 p2  p1 s
 c1  c2
2


c
1  22   Diff
c1

2
c
1  22
c1
mit der Kontinuitätsgleichung und der Definition für die Verlustzahl Diff folgt
Gl. 4-235:
 Diff 1 
 Diff
A 
1   1 
 A2 
2
oder
Gl. 4-236:
 Diff
  A 2 
 1   Diff  1   1  
  A2  
Druckerhöhung im konischen Diffusor
Gl. 4-237:
p2  p1  Diff
  A 2 
  c1  1   1  
2
  A2  

2
Fluidmechanik
138
___________________________________________________________________
Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels 
Diff
St

Abb. 4-69:
Konischer Diffusor
Stufendiffusor
Öffnungswinkel
Diffusorwirkungsgrad als Funktion des Öffnungswinkels 
4.11.3
Querschnittsverengung (Düse)
Bei Strömungen mit Unterschallgeschwindigkeit bewirkt eine Querschnittsverengung immer
eine Erhöhung der Geschwindigkeit und eine Absenkung des statischen Drucks (vgl.
Druckform der Bernoulli-Gleichung: p   2  c 2  const. )
Stufendüse
Die unstetige Querschnittsverengung (1  2*) einer
Stufendüse bewirkt eine Strahlkontraktion auf A2*,
(2*  2)
gefolgt von einer Strahlaufweitung auf A2
Die Kontraktionszahl K
*
A
K  2
A2
Gl. 4-238:
Abb. 4-70:
Totwassergebiet
Stufendüse
lässt sich bestimmen durch die Regressionsformel
2
Gl. 4-239:
A 
A 
A
 K  0,614  0,133  2  0,261   2   0,511   2 
A1
 A1 
 A1 
3
Die Verlustzahl  infolge Kontraktion und Aufweitung ergibt sich aus der Kontraktionszahl zu
Gl. 4-240:
 1  K 

 K 
  1,5  
Fluidmechanik
139
___________________________________________________________________
Blende
Blenden werden eingesetzt zur Messung von Volumenströmen und zur Druckminderung.
Abb. 4-71:
Stromlinienverlauf in einer Blende
Unter der Annahme einer reibungsfreien Durchströmung lautet die Bernoulli-Gleichung
p1 
Gl. 4-241:

2
*
 c1  p 2 
2

2
 c 2, s *2
Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich der Volumenstrom
*
V  c1  A1  c2,s *  A2
Gl. 4-242:
mit  K  A2
Gl. 4-243:
*
A2 folgt aus dem Volumenstrom
c1  c2,s *  K 
A2
A1
eingesetzt in Bernoulli-Gleichung ergibt sich für die verlustfreie Geschwindigkeit c2,s* im
Querschnitt 2*
Gl. 4-244:
1
c2 , s * 
1K
2
A 
  2 
 A1 
2


2  p1  p2

*

Die Reibungsverluste können durch die Verlustziffer  berücksichtigt werden, d.h. durch das
Verhältnis von realer zu reibungsfreier Fließgeschwindigkeit.
Gl. 4-245:

c2
*
c 2, s
*
Der Volumenstrom im Querschnitt (2) lautet
Gl. 4-246:
*
*
V  c2  A2  c2 *  A2    c2,s *  A2
Gl. 4-247:
V  c2  A2 
  K
2
A 
1   K   2 
1 
 A


2
Durchflußzahl 
 A2 
c2  c2 , s *    K

2  p1  p2

*

Fluidmechanik
140
___________________________________________________________________
bzw. mit dem Wirkdruck pW und der Durchflusszahl 
2  pW
V    A2 
Gl. 4-248:

Der Druckverlust pV,13 zwischen Querschnitt 1 und 3 berechnet sich über die Verlustziffer 
pV ,13  p3  p1   
Gl. 4-249:

2
 c3
2
Für Flächenverhältnisse 0,05  A2 A1  0,95 lässt sich die Verlustziffer approximieren durch
Gl. 4-250:
2
3
4
5

 A2  
 A2 
 A2 
 A2 
A2
  exp 8,94941  47 ,8557   169 ,798     349 ,829     353,634     140,833    
A1

 A1  
 A1 
 A1 
 A1 
4.11.4
Durchflussmessung mit genormten Drosselgeräten (DIN EN ISO 5167)
Zur Durchflussmessung existieren Drosselsysteme. Messgrößen sind unabhängig von der
konstruktiven Ausführung die statischen Drücke vor und an bzw. hinter dem engsten
Querschnitt. Zusätzlich ist die Kenntnis der Querschnitte bzw. Durchmesser erforderlich.
Blende
Abb. 4-72:
Düse
Venturidüse
Konstruktive Ausführungen unterschiedlicher Drosselgeräte
Zur Berechnung des Volumenstroms ist die Durchflusszahl , die Expansionszahl  und der
sog. Wirkdruck pW erforderlich.
Gl. 4-251:

V1      d 2 
4
pW

Massestrom
Gl. 4-252:
m  1  V1
Wirkdruck pW
Gl. 4-253
pW  p1  p 2
Der Einfluss der Kompressibilität, z.B. bei Gasen wird durch die Expansionszahl 
berücksichtigt, für inkompressible Fluide gilt   1 .
Fluidmechanik
141
___________________________________________________________________
Die Durchflusszahl  wurde empirisch aus Kalibrierversuchen mit Drosselgeräten bestimmt

Gl. 4-254:
C  , Re D 
1  4
Der Durchflusskoeffizient C  , Re D  ist wiederum eine Funktion des Verhältnisses   d D ,
d.h. des Durchmessers d am engsten Querschnitt der Drosselstelle bezogen auf den
Rohrdurchmesser.
Die Reynoldszahl wird auf den Rohrdurchmesser D bezogen, Re D  c1  D  .
Mit dem Druckverhältnis

Gl. 4-255:
p2
p1
und dem Faktor
 19000   

A  
Re
D


Gl. 4-256:
0.8
können Durchflusskoeffizient C und Expansionszahl  näherungsweise aus Tab. 4-13
bestimmt werden. Der Faktor   c p cv stellt den Isentropenfaktor des Gases dar, z.B. gilt
für Luft:  Luft 1.4
Drosselgerät
Blende mit
Eckdruckentnahme
Expansionszahl 
Durchflusskoeffizient C
0,351  0,256  
0.7
D  71,12 mm 
 106   

 0,000521  
 ReD 
Düse
 106   

 0,0188  0,0063  A   3.5 
 ReD 
0,99  0,2262   4.1 

 0,00175    0,0033  
2
Venturidüse
Tab. 4-13:
1
0,5961  0,0261   2  0,216   8 
1


 0,93   8  1    


0.3
2
1.15
4.15
4
106 

  Re
 D
0 ,9858  0 ,196   4.5
 1
  
1  4
1  


2
 1
1 
1  4  
wie Düse
Durchflusskoeffizient C und Expansionszahl 
4.11.5
Krümmer - Richtungsänderung
Verluste durch den Einbau von Krümmern lassen sich aufteilen in Reibungsverluste und
Verluste infolge Ablösung, Tabellen berücksichtigen in der Regel nur den Verlust infolge der
Ablösung. Reibungsverluste werden durch Ergänzung der Rohrlänge um die gestreckte
Krümmerlänge erfasst
Gl. 4-257:
lKrümmer 
r = Radius,
  r 
180
 = Winkel des Rohrbogens
Fluidmechanik
142
___________________________________________________________________
Einbauelemente können zur Verlustberechnung durch gerade Rohrstücke ersetzt werden
Gl. 4-258:
 
 L
p ges  p Re ibung  p Einbau          c 2
 2
 d
mit der zusätzlichen Rohrlänge
Gl. 4-259:
L 

d

folgt für den Druckverlust
Gl. 4-260:
 L  L   2
p ges    
 c
d  2

4.11.6
Eintrittsverluste
Abb. 4-73:
Rohreinlaufströmung:
Geschwindigkeitsprofil (a) und Druckabfall (b)
Die Ausbildung des Geschwindigkeitsprofils in der Einlaufstrecke sL erfordert das Verrichten
von Dissipationsarbeit bzw. Dissipationsenergie jsL, beschrieben durch die Verlustzahl sL
Gl. 4-261:
 sL 
  jsL
 2
2
c
0.333 laminar
0.018 turbulent
 sL  
Der Druckverlust für ein gerades Rohrstück der Länge L ergibt sich zu
Gl. 4-262:
 
 L
pV ,12    j12       sL    c 2
 2
 D
Fluidmechanik
143
___________________________________________________________________
4.11.7
Verlustziffern  von Formstücken und Einbauten (Zusammenfassung)
Querschnittserweiterung - unstetig (Stufendiffusor)
   1
2

A 
  1  1 
A2 

1  1  1   2  1
  1  2  1 
2
A1
A
 2   2   2   1 2
A2
A2
Querschnittserweiterung - stetig (konischer Diffusor)
 Diff
  A 2 
 1   Diff  1   1  
  A2  
Querschnittsverengung - unstetig (Stufendüse)
2
A 
A 
A
 K  0,614  0,133  2  0,261   2   0,511   2 
A1
 A1 
 A1 
 1  K 


 K 
  1,5  
Querschnittsverengung - unstetig (Blende)
Für 0,05 
A2
 0,95 gilt
A1


A2
8,94941  47 ,8557  

A1


2
3 

A 
A 
  exp   169,798   2   349,829   2   

 A1 
 A1  


4
5

 A2 
 A2  
  353,634     140,833    
 A1 
 A1  

3
Fluidmechanik
144
___________________________________________________________________
Querschnittsverengung - stetig (Konturdüse)
0    0,075
Querschnittsverengung - stetig (konische Düse)
m 
1  2
2
mittlere Rohrreibungszahl
  A  0.5 
 1   2   

8  tan    A1  


m
  A  0.5  A 1.0  A 1.5 
 1   2    2    2  
  A1 
 A1 
 A1  
Richtungsänderung - Rohrbogen, glatt, Re  2  10 5
 rK 
   2...3
 D opt
Rohrbögen mit Leitblechen
  0,15
Rohrbögen mit profilierten Leitblechen
  0,05
Fluidmechanik
145
___________________________________________________________________
Richtungsänderung - Segment-Krümmer
rK/D
1
2
3
3,25
4
5
6
2 x 45°
0,44
0,31
0,35
3 x 30°
0,42
0,27
0,19
0,40
0,45
0,55
0,22
0,26
0,29
V1
V3
 = 45°
23
13
4 x 22,5°
0,40
0,24
0,185
0,18
0,19
0,21
0,23
Richtungsänderung – Rohrknie
Verzweigungen - Stromvereinigung
A1  A2  A3
V  V  V
1
2
3
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,04
0,17
0,19
0,09
-0,17
-0,54
-0,92
-0,38
0
0,22
0,37
0,37
 = 90°
23
13
0.04
0.17
0.30
0.41
0.51
0.60
-1.20
-0.40
0.08
0.47
0.72
0.91
Verzweigungen – Stromtrennung
A1  A2  A3
V  V  V
1
2
3
V1
V3
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
 = 45°
32
31
0,04
-0,06
-0,04
0,07
0,20
0,33
0,90
0,68
0,50
0,38
0,35
0,48
 = 90°
32
31
0.04
-0.08
-0.05
0.07
0.21
0.35
0.95
0.88
0.89
0.95
1.10
1.28
Fluidmechanik
146
___________________________________________________________________
Stromtrennung
_________________________________________________________________________
Üb. 4-11:
Rohrströmung
Ein Behälter wird über eine Pumpe mit einem
Volumenstrom V versorgt. Das Wasser
verlässt den Behälter über ein gekrümmtes
Abflussrohr mit einer Gesamtlänge l und einer
mittleren Rauigkeit k in die freie Umgebung.
Der Wasserspiegel im Behälter bleibt
konstant.
geg.:
V  3,6  103 m 3 s , D = 0,0276 m, l = 2 m,
a = 1 m, H = 6 m, p0 = 1 bar, k = 10-6 m,
E = 0,05, A = 0,05, K = 0,14,  = 110-6 m²/s,
 = 1000 kg/m³
ges.:
Das Lüftungsventil ist geöffnet
1.
Austrittsgeschwindigkeit c2
2.
Berechnen Sie die Rohrreibungszahl im Abflussrohr
3.
Wie hoch ist der Wasserspiegel h im Inneren des Behälters?
Bei Überschreiten der Pegelhöhe h schließt das Lüftungsventil und bleibt geschlossen. Der
neue Volumenstrom beträgt V   2  V und die neue Pegelhöhe h’ bleibt wieder konstant.
Neue Austrittsgeschwindigkeit c2’
Berechnen Sie die Rohrreibungszahl im Abflussrohr
Luftdruck im Behälter als Funktion des Pegelstandes bei isothermer
Kompression/Expansion
7.
Wie hoch ist der Wasserspiegel h’ im Inneren des Behälters?
_________________________________________________________________________
4.
5.
6.
Fluidmechanik
Impulssatz
147
___________________________________________________________________
5
Impulssatz
5.1
Newton’sche Axiome
Sir Isaac Newton
04.01.1643 - 31.03.1727
(gregorianischer Kalender8)
bzw.
25.12.1642 - 20.03.1727
(julianischer Kalender9)
Abb. 5-1:
Sir Isaac Newton:
'Philosophiae Naturalis Principia Matheamtica'
Newton formulierte seine drei Axiome 1687 in der 'Philosophiae Naturalis Principia
Matheamtica' (Mathematische Grundlagen der Naturphilosophie). Das erste Axiom gilt nur in
Inertialsystemen und wurde bereits 1638 von Galileo Galilei aufgestellt. Das zweite Axiom
beschreibt das Grundgesetz der Dynamik und das dritte Axiom das Prinzip der
mechanischen Wechselwirkung.
Erstes newton'sches Axiom: Das Trägheitsprinzip (lex prima)
Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, solange die
Summe aller auf ihn einwirkenden Kräfte Null ist
Zweites newton'sches Axiom: Das Aktionsprinzip (lex secunda)
Die Änderung der Bewegung einer Masse ist der Einwirkung der bewegenden Kraft
proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie, nach welcher jene
Kraft wirkt
Drittes newton'sches Axiom: Das Reaktionsprinzip (lex tertia)
Kräfte treten immer paarweise auf. Übt ein Körper A auf einen anderen Körper B eine Kraft
aus (actio), so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengerichtete Kraft von Körper B auf Körper
A (reactio)
8
eingeführt 1583 durch Papst Gregor XIII
wurde aufgrund der Abspaltung der anglikanischen Kirche 1534 unter Heinrich VIII zu dieser Zeit
noch in England verwendet
9
Fluidmechanik
Impulssatz
148
___________________________________________________________________
5.2 Stromröhre und Stromfaden
Den Axiomen Newtons liegt das Prinzip des Stromfadens zugrunde, d.h. Stromlinien werden
zu einer Stromröhre (vgl. Kapitel 1.6.4) zusammengefasst. Masse- und Energietransport
können lediglich entlang der Stromlinie erfolgen, senkrecht zur Stromlinie sind keine
Transportvorgänge möglich. Masse- und Energietransport sind somit nur über die Ein- und
Austrittsflächen A1 und A2 zulässig. Werden die Querschnittsflächen A1 und A2 infinitesimal
klein, so bleiben die Zustandsgrößen der Strömung c, p, , T konstant. Alle durch die
infinitesimalen Querschnittsflächen dA1 und dA2 verlaufenden Stromlinien werden zu einem
repräsentativen Stromfaden zusammengefasst (eindimensionale Stromfadentheorie).
Abb. 5-2:
Stromröhre und Stromfaden
5.3 Impuls
Die bei Strömungsvorgängen auftretenden Kräfte lassen sich durch den Impulssatz, der auf
dem Newton'schen Grundgesetz der Dynamik beruht berechnen.




dc d m  c 
 F  m  a  m  dt  dt
Gl. 5-1:

Der Impuls I eines Körpers beschreibt das Produkt aus seiner Masse m und seiner

Geschwindigkeit c
Gl. 5-2:


I mc

Da es sich bei der Geschwindigkeit c um einen Vektor handelt, stellt auch der Impuls eine
vektorielle Größe dar, der eine Richtung und eine Geschwindigkeit aufweist. Die Änderung
des Impulses (bei konstanter Masse) kann nur durch eine Geschwindigkeitsänderung
erfolgen und entspricht einer Kraftwirkung
Gl. 5-3:

 d m  c  dI
 F  dt  dt
Fluidmechanik
Impulssatz
149
___________________________________________________________________
5.4
Stationäre Fadenströmung durch einen raumfesten Kontrollraum
Eintrittsebene (1)
Austrittsebene (2)


dI 2  dm2  c2


dI 1  dm1  c1
Die Impulsänderung dI des Gesamtsystems in einem durchströmten ortsfesten Kontrollraum
infolge Zu- und Abstrom der Massenelemente dm1 und dm2 kann beschrieben werden durch
die Differenz zwischen dem Impuls in der Eintrittsebene (1) zum Zeitpunkt t = t1 und dem
Impuls in der Austrittsebene (2) zum Zeitpunkt t = t1 = t1 + dt.

I t 2 

I0

 


 

dI  I t2   I t1   I 0  dI 2  I 0  dI1


 




Gl. 5-4:
I t1 
= Gesamtimpuls aller Massenelemente im Kontrollraum
Im Inneren des Kontrollraums befinden sich an den Stellen I und II zur Zeit t1 und t2
unterschiedliche Massenelemente dm, die sich jedoch bei Vorliegen einer stationären

Strömung mit der gleichen Geschwindigkeit bewegen. Dadurch bleibt der Gesamtimpuls I 0
unverändert.
Gl. 5-5:
dm1  dm2  dm bzw.
dm
 m    c  A  const.
dt
Zeitliche Impulsänderung im System
Gl. 5-6:
Impulsstrom
Gl. 5-7:



 
dI dI 2  dI1 dm  


 c2  c1   m  c2  c1 
dt
dt
dt


dI 
 I  m  c N 
dt
Impulssatz für stationäre Fadenströmung
Gl. 5-8:
  
 
F
  I2  I1  m  c2  c1 
Die Summe aller auf das Fluid im Kontrollraum wirkenden Kräfte ist gleich dem
austretendem Impulsstrom abzüglich des eintretenden Impulsstroms.
Fluidmechanik
Impulssatz
150
___________________________________________________________________
5.5 Kräfte auf ein Fluid im Kontrollraum
Bei der Berechnung der Kräfte auf ein Fluid in einem Kontrollraum ist zu unterschieden ob
der Kontrollraum, d.h. die Stromröhre AM mit dem Außendruck pa beaufschlagt wird (z.B.
freigeschnittenes Rohrstück) oder nicht (z.B. Ausströmen aus einem Rohr ins Freie).
Freie oder körpergebundene Stromröhre AM ohne Außendruck pa
Abb. 5-3:
 
Fp1 , Fp 2

FG

FW

FS

FK
Stromröhre AM.ohne Außendruck pa
Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2
Gewichtskraft des Fluids im Kontrollraum
Von der Stromröhre auf das Fluid ausgeübte Kraft infolge Druck- oder Reibung
Stützkraft, von einem festen Körper innerhalb der Stromröhre auf das Fluid
 

Körperkräfte = Reaktionskräfte des Fluids, von innen auf die Stromröhre FKi
 








oder Einbauten FKS , FKi   FW , FKS   FS , FK  FKi  FKS
Körpergebundene Stromröhre AM ,die mit dem Außendruck pa beaufschlagt wird
Abb. 5-4:
 
Fp1 , Fp 2

Fa

FH

FK
Stromröhre AM.mit Außendruck pa
Druckkräfte auf die Ein- und Austrittsflächen A1, A2
Druckkraft infolge des Außendrucks pa auf die Stromröhre, ungleich Null, da sie
nur auf die Mantelfläche und nicht die gesamte Oberfläche wirkt


Haltekraft der körpergebundenen Stromröhre, FH   FK
Körperkraft des Fluids von innen auf die Stromröhre unter Berücksichtigung des
Außendrucks
Fluidmechanik
Impulssatz
151
___________________________________________________________________
Der Impulssatz unter Berücksichtigung aller Teilkräfte lautet allgemein
  
 
 F  I2  I1  m  c2  c1 
Gl. 5-9:
Für eine freie oder körpergebundene Stromröhre AM, die nicht mit einem Außendruck pa
beaufschlagt wird
Gl. 5-10:
  





 
F
  I2  I1  m  c2  c1   Fp1  Fp 2  FW  FS  FG
bzw. für eine freie oder körpergebundene Stromröhre AM, die mit einem Außendruck pa
beaufschlagt wird
Gl. 5-11:
5.6
  





 





F

I

I

m

c

c

F

F

F

F

F

2
1
2
1
p1
p 2
W
S
G
Unterscheidung von drei Klassen von Anwendungsfällen
(1)
Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche: Zu bestimmen ist die Reaktionskraft

FKS auf einen umströmten Körper innerhalb der Stromröhre oder der Körper
ist Teil der Stromröhre
(2)
Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche.
Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenen
Teils der Stromröhre und auf evtl. Einbauten
(3)
Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche,
die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird: Zu bestimmen ist die

Reaktionskraft FK auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter

Berücksichtigung der Außendruckkraft Fa
(1)
Stromröhre ist eine freie Kontrollfläche

Zu bestimmen ist die Reaktionskraft FKS auf einen umströmten Körper innerhalb der Stromröhre oder der Körper ist Teil der Stromröhre
Gl. 5-12:







 
FK  FKS   FS   m  c2  c1   Fp1  Fp 2  FW  FG
Herrscht auf der Stromröhre und in den Ein- und Austrittsflächen A1 und A2 konstanter Druck,
z.B. Umgebungsdruck (Freistrahl), so gilt
Gl. 5-13:



Fp1  Fp 2  FW  0
Fluidmechanik
Impulssatz
152
___________________________________________________________________
(2)
Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche
Zu bestimmen ist die Reaktionskraft auf die Innenseite des körpergebundenen Teils der
Stromröhre und auf evtl. Einbauten
Gl. 5-14:
(3)










 
FK  FKi  FKS   FW  FS   m  c2  c1   Fp1  Fp 2  FG
Stromröhre ist teilweise oder vollständig eine körpergebundene Kontrollfläche,
die mit einem Außendruck pa beaufschlagt wird

Zu bestimmen ist die Reaktionskraft FK auf die Stromröhre und auf evtl. Einbauten unter

Berücksichtigung der Außendruckkraft Fa
Gl. 5-15:
Gl. 5-16:
Gl. 5-17:




FK  FKi  FKS  Fa  

Fpi   pi  pa   Ai


FH   FK
F
W






 
 FS  Fa   m  c2  c1   Fp1  Fp 2  FG
Differenzdruckkraft zum Außendruck pa
Haltekraft
5.7 Impulssatz für mehrere Ein- und Austrittsflächen
Sind in einem Kontrollraum mehrere Ein- und/oder Austrittsflächen vorhanden, so ergibt sich
die Gesamtkraft aus der Summe der Änderungen der Austrittsimpulse abzüglich der Summe
der Eintrittsimpulse zuzüglich der Druckkräfte und der Gewichtskraft des Fluids.
Gl. 5-18:
m


n
 nm 


FK    m  ci Austritt   m  c j E int ritt    Fpk  FG
j 1
 i1
 k 1
Fluidmechanik
Impulssatz
153
___________________________________________________________________
5.8 Anwendungsprinzip des Impulssatzes
Das Prinzip zur Berechnung von Kräften an durchströmten Bauteilen soll anhand des in Abb.
5-5 skizzierten Rohrkrümmers verdeutlicht werden. Es handelt sich hierbei um eine körpergebundene Stromröhre unter Berücksichtigung eines Außendrucks pa.
Abb. 5-5:
Rohrkrümmer
Ablauf zur Berechnung der Körperkraft FK bzw. der Haltekraft FH = - FK
1.
Skizze des Bauteils
2.
Kontrollraum, strichpunktierte Linie
3.
Ein- und Austrittsfläche kennzeichnen (1), (2)
4.
Koordinatensystem festlegen
5.
Winkeldefinition mathematisch positiv definieren (linksdrehend
= positiv)

6.
7.
8.

einzeichnen

 i in Ein- und Austrittsflächen (1), (2) mittels
Berechnung von ci , pi , i und m
Kontinuitäts-, Energie- und thermischer Zustandsgleichung
Berechnung der Beträge für
- Druckkräfte
Fpi   pi  pa   Ai
bzw.
Fpi  pi  Ai
FG VKontrollraums   Fluid  g
- Gewichtskraft
9.


Geschwindigkeiten ci , Druckkräfte Fpi , Impulsströme Ii und Gewichtskraft FG


Berechnung der Komponenten der Körperkraft FK (   FH bzw. Haltekraft)
Gl. 5-19:
FKx  FK  cos  K   m  c2  cos  2  c1  cos 1   Fp1  cos 1  Fp 2  cos  p 2  FG  cos  G
Gl. 5-20:
FKy  FK  sin  K   m  c2  sin  2  c1  sin 1   Fp1  sin 1  Fp 2  sin  p 2  FG  sin  G


Körperkraft FK   FH
Gl. 5-21:
2
FK  FKx  FKy
2
Fluidmechanik
Impulssatz
154
___________________________________________________________________
Gl. 5-22:
 FKy 

 FKx 
 K  arctan
_________________________________________________________________________
Üb. 5-1:
Rohrkrümmer mit Leitblechen
geg.:
D1  300 mm
D2  200 mm
z2  z1  400 mm
V  0,024 m3
1  90 grad
2  45 grad
V  0,35 m3 s
(Krümmervolumen)
 H O  103 kg m3
2
p1 1.3bar
pa 1.0 bar
ges.:
1.
2.
3.
(Druck in Eintrittsebene)
(Außendruck)

FK
Körperkraft auf den Krümmer mit Einbauten unter Berücksichtigung des
Außendrucks pa ?

FH
Haltekraft an den Flanschen?

FK
Körperkraft des Fluids auf Einbauten und innere Krümmerwand ohne
Außendruck?
Der Krümmer wird reibungsfrei durchströmt, d.h. FW = 0
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
Impulssatz
155
___________________________________________________________________
Üb. 5-2:
Ebene angeströmte Platte
geg.:
Platte wird unter dem Neigungswinkel 
angeströmt.
Potentielle Energien, Reibungskräfte und
Massenkräfte können vernachlässigt werden
FG  0
ges.:
1.
Strahlkraft auf die Platte bei   90
(formelmäßig)
2.
Strahlkraft auf die Platte, wenn diese
mit u < c1 in Strahlrichtung bewegt wird
_________________________________________________________________________
Üb. 5-3:
Dampfturbinenschaufel
geg.:
DG1  950 mm
DN 1  530 mm
DG 2  1020 mm
DN 2  495 mm
ca1  150 m s
(Axialgeschwindigkeitskomponente)
ca 2  165 m s
1  0,127 kg m 3
p1  0,1836 bar
p2  0 ,14 bar
ges.: Axialschub Fax auf Rotor und Schaufel
im Bereich der Endschaufel
_________________________________________________________________________
Üb. 5-4:
Windkraftturbine
ges.:
1.
Maximale ideale Turbinenleistung PTurb, max
2.
Schubkraft auf den Rotor FKx
Fluidmechanik
Impulssatz
156
___________________________________________________________________
Üb. 5-5:
Turboluftstrahltriebwerk
geg.:
m L  77 kg s
m B  4.13 kg s
c2  985 m s
H  15 km
M  2 ,0
Luftmassestrom
Brennstoffmassestrom
Strahlaustrittsgeschwindigkeit
Flughöhe
Flugmachzahl
ges.:
1.
Schubgleichung für ein Einkreis-TL-Triebwerk
2.
Schub in der Flughöhe H  15 km , angepaßte Düse d.h. p2 = pa
_________________________________________________________________________
Üb. 5-6:
Raketentriebwerk
ges.:
Schubgleichung für ein Raketen-Triebwerk
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
Drallsatz
157
___________________________________________________________________
6
Drallsatz
6.1
Drallerhaltung bzw. Drehimpulserhaltung

Der lineare Impuls I eines Massepunktes ist definiert durch seine Masse m und seine

Geschwindigkeit c
Gl. 6-1:


I mc

Für diese punktförmige Masse m ergibt sich mit dem Ortsvektor r der Drall oder Drehimpuls

L zu
Gl. 6-2:

   
L  m  r  c   r  I

Da der Drehimpuls eine Funktion des Ortvektors r ist, besteht immer eine Abhängigkeit des
Dralls von seinem Bezugspunkt.


Analog zur zeitlichen Änderung des Impulses I bei der sich eine Kraft F ergibt
Gl. 6-3:

 dI
 F  dt


ergibt sich für die zeitliche Änderung des Dralls L ein Moment M
Gl. 6-4:

 dL
 M  dt
d.h. die Summe aller auf die Masse wirkenden Momente bewirkt eine zeitliche Änderung des
Dralls.
Starrer Körper
Ein starrer Körper kann als ein System
einzelner Massepunkte mi betrachtet werden,
deren räumlicher Abstand sij zueinander zeitlich
konstant bleibt
Gl. 6-5:
 
ri  r j  sij  const .
bzw.
Gl. 6-6:
Abb. 6-1:
dsij
dt
0
Starrer Körper
Fluidmechanik
Drallsatz
158
___________________________________________________________________
Starrer Körper in Rotation
Die Beschreibung des Bewegungszustandes eines starren Körpers im ruhenden
Inertialsystem erfolgt durch den Gesamtdrehimpuls
Gesamtdrehimpuls des starren Körpers
 N  
L   ri  I i
Gl. 6-7:
i 1
mit


I mc
folgt
 N
 
L   mi  ri  ci
Gl. 6-8:
i 1

Rotiert der Körper mit  um eine feste Achse, z.B.
die z-Achse (Abb. 6-2), so gilt für die Geschwindigkeit

ci des Massepunktes mi
  
ci    ri
Gl. 6-9:
Abb. 6-2:
Starrer Körper in Rotation
Gesamtdrehimpuls des starren Körpers
Gl. 6-10:
 N
  N
  
L   mi  ri  ci   mi  ri    ri 
i 1
i 1
Für eine Rotation um die z-Achse gilt bei einer symmetrischen Masseverteilung
Gl. 6-11:
 0   xi      yi 
0

  
      
   0     ri   0    yi      xi 
   z   0 
 

   i 
 
Gl. 6-12:
 xi      yi      xi  zi
 
     
ri    ri    yi      xi       yi  zi
 z   0    x 2  y 2
i
i
 
 i 








Mit dem senkrechten Abstand ri ,  des Masseelements mi zur Drehachse gilt für den
Drehimpuls für den gesamten Körper
Gl. 6-13:
  N
 
L    mi  ri ,   
 i 1

Fluidmechanik
Drallsatz
159
___________________________________________________________________
Massenträgheitsmoment des starren Körpers
Der Ausdruck in Gl. 6-13
N
Gl. 6-14:
J   mi  ri ,
i 1
bezeichnet das Massenträgheitsmoment des starren Körpers um seine Drehachse
Der Drehimpuls lautet unter Verwendung des Masseträgheitsmoment J
Gl. 6-15:
  N
 

L    mi  ri ,     J  
1
i

Trägheitsmoment J
Bei homogener Massenverteilung gilt für das Massenträgheitsmoment
Gl. 6-16:
J   r 2  dm     r 2  dV
m 
V 
Analogie zwischen Impuls und Drehimpuls
Aus der Ableitung des Drehimpulses
Gl. 6-17:
nach der Zeit
Gl. 6-18:
  
L r I

dL    
 r I r I
dt
folgt wegen
Gl. 6-19:




I  m  c  m  r  r

I
dass Impuls- und Geschwindigkeitsvektor parallel gerichtet sind, d.h.
Gl. 6-20:
und es gilt
Gl. 6-21:
  
r  I  0

dL      
 r  I  r  I r  I
dt 

0
Wegen des 2. Newton'schen Axioms gilt
Gl. 6-22:
 
F I
und somit ergibt sich aus der zeitlichen Änderung des Drehimpulses ein Drehmoment
Gl. 6-23:

dL     
 r  I r  F M
dt
bzw. ein Drehmoment bewirkt eine zeitliche Änderung des Drehimpulses
Fluidmechanik
Drallsatz
160
___________________________________________________________________
Gl. 6-24:

dI  
I  F
dt
(Impulsstrom = Kraft)
und

dL  
L  M
(Drallstrom = Moment)
Gl. 6-25:
dt

dL 
 M folgt, dass der Gesamtdrehimpuls des Systems konstant bleibt,
Aus der Beziehung
dt
solange keine äußeren Momente auf das System wirken, d.h.
Gl. 6-26

 
dL
M 0 
0
dt
bzw.

L  const.
Drehimpulserhaltung bedeutet, dass gilt
Gl. 6-27:
  
L  J    const.
Eine Veränderung des Trägheitsmoments J bewirkt somit eine Änderung der Drehgeschwindigkeit . Dieser Effekt lässt sich in den unterschiedlichsten Anwendungen
beobachten, z.B. beim Eiskunstlauf (Pirouette). Das Anziehen der Arme an die Körperhochachse (= Rotationsachse) bewirkt eine Verkleinerung des Masseträgheitsmoments um die
Drehachse. Die Forderung nach einem konstanten Gesamtdrehimpuls führt zu einer
Erhöhung der Drehgeschwindigkeit.
Gl. 6-28:
J1  1  J 2  2  const .
Gl. 6-29:
J 2  J1  2  1
Abb. 6-3:
Pirouetteneffekt
Ähnlich verhält sich ein Reckturner, der beim Schwungaufnehmen (Position 1) seinen
Körperschwerpunkt durch das Strecken der Beine möglichst weit von der Drehachse
(= Reckstange) entfernt und beim Aufschwung durch Anheben der Beine den Schwerpunktsabstand zur Drehachse reduziert. Da das Masseträgheitsmoment direkt vom Abstand des
Körperschwerpunkts zur Drehachse abhängt, hat der Turner in Position (2) ein geringeres
Masseträgheitsmoment in Bezug auf die Reckstange und somit aufgrund der Drehimpulserhaltung eine erhöhte Drehgeschwindigkeit, die ihn in einer beschleunigten Bewegung um
die Reckstange führt.
J1  1  J 2  2  const .
J 2  J1  2  1
Abb. 6-4:
Aufschwung am Reck
Fluidmechanik
Drallsatz
161
___________________________________________________________________
Der Versuch zur Drehimpulserhaltung (Pirouetteneffekt) lässt sich auch leicht mit Hilfe eines
drehbaren Bürostuhls und zwei Gewichten nachvollziehen.
Abb. 6-5:
Versuch: Drehimpulserhaltung (Physikalisches Institut Universität Dortmund)
Verkleinerung des Trägheitsmoments durch Heranziehen der Gewichte an die Rotationsachse bewirkt eine Erhöhung der Drehgeschwindigkeit der Versuchsperson.
Dass es sich beim Drehimpuls um eine vektorielle Größe handelt lässt sich mit dem in Abb.
6-6 dargestellten Versuch mit einem rotierenden Rad nachweisen.
Abb. 6-6:
Versuch: Drehimpuls als Vektor (Physikalisches Institut Universität Dortmund)
In Abb. 6-6a wird mittels des Schwungrads ein Drehimpuls erzeugt, die Versuchsperson
bleibt in Ruhe. Bei senkrechter Lagerung des Rades, Abb. 6-6b beginnt die Versuchsperson
sich um die Hochachse zu drehen, der Gesamtdrehimpuls Lz bleibt nach wie vor gleich Null.
Einfluss der Drehimpulserhaltung bei Wetterphänomenen - Tornado
Voraussetzung für die Entstehung eines Tornados, z.B. im Mittelwesten der USA, ist das
Zusammentreffen trocken-kalter Luftmassen aus Kanada mit feucht-warmen Luftmassen aus
dem Golf von Mexiko. Die kalte Luft schiebt sich trotz ihrer größeren Dichte über die warme
Luftmasse und es bildet sich eine instabile Schichtung mit großem vertikalem Temperaturunterschied. Kalte Luft hat eine wesentlich geringere Fähigkeit Feuchtigkeit aufzunehmen als
warme Luft und es kommt zur Kondensation des in der Luft enthaltenen Wasserdampfes,
was zur Bildung von Wolken mit starkem Niederschlag führt. Durch die Kondensation wird
zusätzliche Wärme (Verdampfungsenthalpie) freigesetzt, wodurch es zur Ausbildung einer
nach oben gerichteten Luftbewegung kommt.
Am Boden bildet die horizontal nachströmende Luft aufgrund der Corioliskraft einen
Linkswirbel (Nordhalbkugel) mit einem Durchmesser von lediglich 10-20 Metern. Die große
Rotationsgeschwindigkeit im Wirbelkern ergibt sich aufgrund der Drehimpulserhaltung.
Fluidmechanik
Drallsatz
162
___________________________________________________________________
Infolge der hohen Drehgeschwindigkeiten erzeugen die dadurch auftretenden Zentrifugalkräfte hohe Unterdrücke im Zentrum des Wirbels (p  50-100 hPa). Die oben liegende Kaltluft
wird jetzt infolge des Unterdrucks im Wirbelkern und ihrer größeren Dichte als die unten
liegende Warmluft, ähnlich einem Abflussrohr, nach unten gesaugt. Um diesen Wirbel
kondensiert die feucht-warmen Luft und es kommt zur Ausbildung des charakteristischen
dunklen Rüssels des Tornados. Die destruktive Wirkung eines Tornados ergibt sich insbesondere infolge des starken Druckgefälles von 50–100 hPa und den hohen Windgeschwindigkeiten von bis zu 400 km/h.
Abb. 6-7:
Tornados über Festland und Meer
_________________________________________________________________________
Üb. 6-1:
Versuch zur Drehimpulserhaltung - Tornado in der Wasserflasche
Wasser in der oberen Flasche wird durch eine Anfangsbeschleunigung
in eine Rotation mit einer Umfangsgeschwindigkeit c  2    f  r    r
versetzt.
geg.:
Flasche:
R  40 mm
r  4[mm
f1  1 s-1
= Anfangsradius
= Wirbelinnendurchmesser
= Anfangsdrehfrequenz
ges.:
Rotationsfrequenz f2 im Inneren des Tornados im Flaschenhals
_________________________________________________________________________
Fluidmechanik
Drallsatz
163
___________________________________________________________________
6.2 Anwendung des Drallsatzes auf Strömungsmaschinen
Die Differenz zwischen aus- und eintretendem Drallstrom in einen Kontrollraum entspricht
der Summer aller im Kontrollraum auf das Fluid wirkenden Momente
Gl. 6-30:
Gl. 6-31:
 

   
L2  L1  m  r2  c2  r1  c1    M

  dL
 

 M  L  dt  m  r  c 
Der Drallstrom entspricht der Drehenergie der Fluidmasse um einen Bezugspunkt.
 durchströmten Schaufelkanal
Anwendung des Drallsatzes auf einen mit m
Summe aller Momente um O
Gl. 6-32:
 




M

M

M

M

M

M

A1
A2
W
S
G
Moment infolge von

M A1, 2 Druckkräften im Ein- und Austritt

MW

MS

MG
Abb. 6-8:
Wandkräften
Stützkräfte an Einbauten
Gewichtskräften
Schaufelkanal
mit
cn
cu
Projektion der Geschwindigkeit in die dargestellte Ebene
Umfangskomponente der Geschwindigkeit senkrecht auf dem Radius r
Gesucht werden die Drehmomente um eine Bezugsachse durch den Bezugspunkt O.
Beiträge werden hierzu lediglich von Geschwindigkeitskomponenten geliefert, die in einer
Ebene normal zur Bezugsachse und senkrecht auf dem Radius stehen, d.h. die Umfangskomponente cu der Geschwindigkeit c.
Unter Vernachlässigung der Gewichtskraft und der Momente im Ein- und Austritt lautet das
resultierende Moment zur Bezugsachse, welches auf das Fluid ausgeübt wird
Gl. 6-33:
M M
M
M
A1
0
A2
0
W
 M S  M G  M W  M S  m  r2  cu 2  r1  cu1   M

0
Das Reaktionsmoment des Fluids M K auf die körpergebundene Fläche der Stromröhre
beträgt
Gl. 6-34:
M K   M   m  r2  cu 2  r1  cu1 
Fluidmechanik
Drallsatz
164
___________________________________________________________________
Unter der Annahme einer idealen, reibungsfreien Strömung werden die Momente infolge
Reibung an der Wand zu Null, d.h. M W  0 . Befinden sich keine Einbauten, z.B. Umlenkschaufeln im Strömungskanal, so verschwinden auch die Momente infolge der Stützkräfte,
d.h. M S  0 und Gl. 6-33 vereinfacht sich wegen M  0 zu
Gl. 6-35:
 m  r2  cu 2  r1  cu1   0
r2  cu 2  r1  cu1

bzw. cu 2  cu1 
r1
r2
Dies entspricht der Gleichung des Potentialwirbels für Ringräume ohne Schaufeln oder für
Behälter und Kanäle.
Anwendung des Drallsatzes auf das Laufrad einer Strömungsmaschine (Verdichter)
A1, 2
Ein- und Austrittsebene
Ta1,a 2
Tangentialebenen zu A1, 2
c1, 2
Absolutgeschwindigkeiten
cu1,u 2
Umfangsgeschwindigkeiten
Gl. 6-36:
w1, 2
cu1,u 2  c1, 2  cos 1, 2
Relativgeschwindigkeiten
cm1,m 2 Gemittelte Geschwindigkeiten
 W 1, 2
Neigungswinkel der Tangentialebenen
Für Axialmaschinen gilt:
 W 1, 2  0
Für Radialmaschine gilt:
W 1, 2  90
und
cn1  c1 ,
Abb. 6-9:
cn 2  c2
Laufrad eines Verdichters
Moment auf das Fluid im Kontrollraum
Gl. 6-37:
M  m  rm 2  cu 2  rm1  cu1 
Übertragene Leistung P12 vom Laufrad auf das Fluid
Mit dem mittleren Radius rm bzw. dem mittleren Durchmesser der Stromfläche
Gl. 6-38:
D
rm  m
2
2
bzw.
DG  DN
Dm 
2
2
und der Umfangsgeschwindigkeit u und der Drehzahl n
Gl. 6-39:
u  r    D    n bzw. um  rm    Dm    n
Fluidmechanik
Drallsatz
165
___________________________________________________________________
ergibt sich für die auf das mit  rotierende Laufrad übertragene Leistung P12
Gl. 6-40:
P12  M    m  rm 2  cu 2  rm1  cu1   
Gl. 6-41:
P12  m  um 2  cu 2  um1  cu1 
Spezifische technische Arbeit wt12
 ergibt die spez. technische Arbeit wt12
Die Leistung P12 bezogen auf den Massestrom m
Gl. 6-42:
P12
 wt12  um 2  cu 2  um1  cu1 
m
Momente, die von feststehenden Leiträdern auf das Fluid ausgeübt werden
Das Leitrad steht fest, d.h. es gilt  = 0 und an den Leiträdern wird keine Leistung mit dem
Fluid ausgetauscht, d.h. P12  wt12  0 . Das Leitrad nimmt das Reaktionsmoment M K   M
auf, welches sich durch Ersetzen der Umfangsgeschwindigkeiten cu1, u 2 in Gl. 6-37 durch die
Absolutgeschwindigkeiten c1, 2 am Ein- und Austritt des Leitrades berechnen lässt.
Gl. 6-43:
M  m  rm 2  c2  rm1  c1 
(Moment auf das Verdichtergehäuse)
_________________________________________________________________________
Üb. 6-2:
Laufrad einer Kreiselpumpe
geg.:
c1  10,15 m s
c2  26,05 m s
1  80
Winkel zu
cu1
 2  22,6
Winkel zu
cu 2
n  2950 min 1
DN 1  70 mm
DG1  90 mm
DN 2  174 mm
DG 2  180 mm
l2  4 ,5 mm
ges.:
 durch die Pumpe
(1)
Massestrom m
(2)
Drehmoment M und innere Leistungsübertragung P12 vom Rotor auf das Fluid
(3)
Spezifische technische Arbeit wt12 und geleistete spezifische Strömungsarbeit yt am
Fluid bei einem Gesamtwirkungsgrad von t = 0.7
Fluidmechanik
Literatur
166
___________________________________________________________________
Literatur
[ 1]
Anderson, J. D.: 'Computational Fluid Dynamics', McGraw-Hill Book Company,1995
[ 2]
Anderson, J. D.: 'Fundamentals of Aerodynamics', McGraw-Hill Book Company,1985
[ 3]
Anderson, J. D.: 'Hypersonic and High Temperatue Gas Dynamics', McGraw-Hill Book
Company,1989
[ 4]
Böswirth, L.: ’Technische Strömungslehre’, 7. Aufl., Vieweg, Wiesbaden 2007
[ 5]
Dubs, F.: 'Hochgeschwindigkeits-Aerodynamik', Birkhäuser Verlag Basel, Stuttgart 1966
[ 6]
Herwig, H.: ’Strömungsmechanik’, Springer Berlin, Heidelberg 2002
[ 7]
Hucho, W.H.: ’Aerodynamik des Automobils’, 5. Auflage, Vieweg, Wiesbaden 2005
[ 8]
Hünecke, K.: 'Modern Combat Aircraft Design', Naval Institute Press, Annapolis, Maryland 1987
[ 9]
Koppenwallner, G. 'Fundamentals of Hypersonics: Aerodynamics and Heat Transfer', VKI Short
Course Hypersonic Short Course Aerothermodynamics, Von Kármán Institute for Fluid Dynamics,
Rhode Saint Genese, Belgium, LS 1984-01, 1984
[ 10] Kümmel, W.: ’Technische Strömungsmechanik’, 3. Aufl., Teubner Wiebaden 2007
[ 11] Liljequist G. H.: ‘Allgemeine Meteorologie’, Vieweg Verlag Braunschweig, 1974
[ 12] Sigloch, H.: ’Technische Fluidmechanik’, VDI Verlag Düsseldorf 1996
[ 13] Truckenbrodt, E.: 'Lehrbuch der angewandten Fluidmechanik', Springer-Verlag, 1983
[ 14] Van Dyke, M: 'An Album of Fluid Motion', The Paraboloic Press, Stanford CA, 1982

Skript zur Vorlesung Fluidmechanik - Prof. Dr.

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