3. Finanzmathematik 3.1. Zinsrechnung 3.1.1. Grundbegriffe K

3.
Finanzmathematik
3.1.
Zinsrechnung
3.1.1. Grundbegriffe
K . . . Kapital (caput - das Haupt) = Betrag, der der
Verzinsung unterworfen ist; Geldbetrag (Währung)
z . . . Zinsen = Vergütung (Preis) für das Überlassen eines
Kapitals für eine bestimmte Zeit
( −→ Laufzeit einer Kapitalanlage)
Habenzinsen: Preis, der für ein Guthaben gezahlt wird
Sollzinsen: Preis, der für ein Darlehen zu zahlen ist
n . . . Laufzeit der Kapitalanlage = Zeit, während der
Zinsen zu zahlen sind (oder gezahlt werden) in
Zinsperioden (z.B. Jahre)
i . . . Zinssatz (Zinsrate) = Betrag an Zinsen, der für ein
Kapital von 1 e in einer Zinsperiode (z.B. ein Jahr) anfällt
p . . . Zinsfuß = Betrag an Zinsen, der für ein Kapital von
100 e in einer Zinsperiode anfällt (p = i · 100)
Die Höhe der Zinsen ist abhängig von
• Kapital
• Laufzeit
• Zinssatz
Bei einer Laufzeit von einer Zinsperiode gilt
z = K ·i
1
(1.1)
Bemerkung:
- Der Zinssatz i bezieht sich in der Regel auf ein Jahr.
- Es können auch andere Zinsperioden festgelegt werden, die kürzer
sind als ein Jahr (z.B. 1/2 Jahr, 1 Monat, 1 Woche, 1 Tag).
Man spricht dann von unterjähriger Verzinsung
(oder unterjährlicher Verzinsung).
- Das bedeutet nicht, dass man das Kapital für ein Jahr oder
entsprechend der Zinsperiode der Bank anlegen muss. Kürzere und
längere Laufzeiten sind durchaus üblich. In diesen Fällen muss man
Rechenregeln angeben, wie die Zinsen zu berechnen sind.
- Man muss also immer unterscheiden zwischen
Zinsperiode und Laufzeit der Kapitalanlage.
Vereinbarung:
Wenn nicht anders angegeben, soll die Zinsperiode im folgenden
immer ein Jahr sein.
Zinsen können unterschiedlich berechnet werden
nach der Länge der
Behandlung der bereits
Zeitpunkt der Zinszahlung,
Zinsperiode
gezahlten Zinsen
wenn das Kapital weiterhin
angelegt bleibt
jährliche
unterjährige
einfache
Verzinsung
Verzinsung
Verzinsung
Zinseszinsen
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nachschüssige
vorschüssige
Zinszahlung
Zinszahlung
Einfache Verzinsung:
Die Zinsen werden pro Zinsperiode ermittelt und (gleich oder am
Laufzeitende) ausbezahlt, selbst aber nicht mitverzinst.
- auch Bürgerliche Verzinsung genannt
Verzinsung mit Zinseszinsen:
Zinsen werden wiederangelegt und in der darauffolgenden Zinsperiode mitverzinst.
Nachschüssige Zinszahlung:
Zahlung der Zinsen am Ende der Zinsperiode (bzw. am Ende der
Laufzeit der Kapitalanlage, falls diese vor dem Ende der Zinsperiode
liegt).
Vorschüssige Zinszahlung:
Zinszahlung am Anfang der Zinsperiode oder am Anfang der Laufzeit der Kapitalanlage (von untergeordneter Bedeutung).
Vereinbarung:
Wir betrachten ausschließlich nachschüssige Verzinsung.
Bezeichnungen:
K0 . . . Anfangskapital
n . . . Laufzeit der Kapitalanlage in Zinsperioden
Kn . . . (End-) Kapital nach n Zinsperioden
Die Berechnung von Kn aus K0 wird als Aufzinsen,
die Berechnung von K0 aus Kn als Abzinsen, Diskontierung
oder Barwertbestimmung bezeichnet.
Der Barwert eines nach n Zinsperioden anfallenden Betrages Kn
ist der Anfangsbetrag ( K0 ), der im entsprechenden Zinsmodell nach
n Zinsperioden den Betrag Kn liefert.
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3.1.2. Einfache Verzinsung
Für eine Zinsperiode: z = K0 i
Beispiel:
K0 = 10.000
n = 3
i
= 0,04
Kapital nach einem Jahr: K1 = K0 + z = 10.400
Kapital nach zwei Jahren: K2 = K0 + 2z = 10.800
Kapital nach drei Jahren: K3 = K0 + 3z = 11.200
Allgemein:
Kn = K0 + n K0 i = K0(1 + ni)
(1.2)
Barwertformel der bürgerlichen Verzinsung:
K0 =
Kn
1 + ni
(1.3)
Problem: unterjährliche Laufzeit
• Die (Rest-) Laufzeit der Kapitalanlage liegt unter einem Jahr
(= Zinsperiode)
• Zahlung der Zinsen am Ende der Laufzeit
• Berechnung der Zinsen erfolgt proportional zum Jahreszins bzw.
zur Anzahl der Zinstage
• Die kleinste Zeitspanne, für die Zinsen berechnet werden, ist ein
Tag.
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Bezeichnung:
f=
t
Anzahl der Tage im Jahr
zf . . . Zinsen für t Tage, t ∈ {1, . . . , 365}
Ziel: Berechnung von zf
1. Berechnung der Zinstage
Dafür gibt es verschiedene Methoden (Usancen):
- Usance 30/360
alle Monate werden mit 30 Tagen gerechnet, das Jahr mit
12 · 30 = 360 Tagen
- Usance act/360
Zinstage exakt (actual), das Jahr mit 360 Tagen
- Usance act/act
beides exakt (im Euro-Anleihenmarkt)
Vereinbarung:
Die Usance act/act wird im folgenden unterstellt.
2. Zinsen für t Tage
zf = f K 0 i
Interpretation:
zf = (f i) K0 = f (i K0)
↑
↑
anteiliger Jahreszinssatz
anteilige Jahreszinsen
5
(1.4)
3.1.3.
Zinseszinsrechnung
- Zinszahlungen erfolgen auch während der Laufzeit einer
Kapitalanlage
- Zinsen werden dem Kapital zugeschlagen, sofort wieder
angelegt und somit in der nächsten Zinsperiode mitverzinst
- Zinszahlungen erfolgen jeweils am Ende einer Zinsperiode
Beispiel:
Wir betrachten eine Kapitalanlage mit einer Laufzeit von 3 Jahren
und einem Zinssatz von 6% (p.a.).
Der angelegte Betrag sei 10.000 e .
=⇒ K0 = 10.000
n = 3
i = 0,06
Kapital
nach einem Jahr: K1 = K0(1 + i)
= 10.600,00
nach zwei Jahren: K2 = K1(1 + i) = K0(1 + i)2 = 11.236,00
nach drei Jahren: K3 = K2(1 + i) = K0(1 + i)3 = 11.910,16
Allgemein erhält man:
Kn = K0(1 + i)n
(1.5)
Diese Formel heißt auch Zinseszinsformel.
Bezeichnung:
q n = (1 + i)n . . . Aufzinsfaktoren
(geben an, auf welchen Betrag ein Kapital von
1 e bei einem Zinssatz i und Wiederanlage
der Zinsen nach n Zinsperioden anwächst)
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Wieder kann für n jede positive reelle Zahl eingesetzt werden.
Diese Berechnungsvorschrift wird im Falle eines nichtganzzahligen n
als durchgehend zinseszinslich bezeichnet, im Unterschied zur
gemischten Verzinsung, die in Deutschland zum Beispiel für
Sparbücher u.ä. (noch) angewandt wird.
Vergleich von einfacher und zinseszinslicher Verzinsung:
K0 = 10.000
i
= 5%
Kn
6
13.000
12.000
11.000
13401 r ©
©
12763 r©©©
12155 r ©©
©
11576©r©©
r ©
11025
©©
r©
©©
10.000 ©
..
.
-
0
1
2
3
4
5
6
7
n
Gemischte Verzinsung entspricht dem Verbinden der Punkte durch
Geradenstücke.
Durchgehend zinseszisliche Verzinsung entspricht der Exponentialfunktion K0(1 + i)x durch die Punkte.
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Weiter gelten:
Kn
(1 + i)n
r
Kn
i = n
−1
K0
(1.6)
K0 =
n =
(1.7)
ln Kn − ln K0
ln(Kn/K0)
=
ln(1 + i)
ln(1 + i)
(1.8)
Formel (1.6) heißt Barwertformel oder Formel der zinseszinslichen Diskontierung.
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Bei durchgehend zinseszinslicher Verzinsung kann n jeden
beliebigen (nichtnegativen) Wert annehmen.
Kn = K0 q n = K0(1 + i)n
Beispiel:
im = 1% pro Monat
K1 Jahr = K0 (1 + im)12 = K0 · 1, 0112 = K0 · 1, 1268
= K0 · (1 + 0, 1268)
gleiches Resultat wie für iJahr = 12, 68%
Bei m Zinsperioden im Jahr mit Zinssatz im und durchgehend
zinseszinslicher Verzinsung heißt
ieff = (1 + im)m − 1
der effektive Jahreszinssatz bzw.
der konforme Jahreszinssatz zu im.
Bei einem Zinssatz von i (p.a.) heißt
√
im = m 1 + i − 1
der zu i konforme Zinssatz für die unterjährliche Verzinsung.
Allgemein: Der jährliche Zinssatz, bei dem sich bei einmaliger
Verzinsung am Jahresende die gleichen Zinsen wie bei der
unterjährlichen Verzinsung ergeben, heißt effektiver Zinssatz oder
effektiver Jahreszins ieff .
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Außerdem nennt man bei unterjährlicher Verzinsung
inom = m · im
den nominellen Jahreszinssatz.
Dieser ist leicht zu bestimmen und eine Näherung für den effektiven
Zinssatz, aber nicht gleich diesem!
Die Angabe eines nominellen Jahreszinssatzes hat nur einen Sinn bei
gleichzeitiger Angabe der Zinsperiode!
im Beispiel: im
= 1%
inom = 12%
ieff
pro Monat
bei monatlicher Verzinsung
= 12, 68%
Zinssätze können also konform ineinander umgerechnet werden.
Es ist deshalb unerheblich, ob man mit täglicher, wöchentlicher,
monatlicher . . . Verzinsung rechnet, sofern man den Zinssatz
konform bestimmt (und n entsprechend anpasst).
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