Zinsen, Zinseszins, Rentenrechnung und Tilgung

Zinsen, Zinseszins, Rentenrechnung
und Tilgung
1. Zinsen, Zinseszins
2. Rentenrechnung
3. Tilgung
Nevzat Ates, Birgit Jacobs
1 Zinsen
Zinsrechnen mit dem Dreisatz
Zinsrechnen mit den Formeln
Zinseszins
Aufgabe: Corina legt zu Jahresanfang 1400€ bei ihrer Sparkasse an. Der Zinssatz
beträgt 3,75%. Zinsen werden mitverzinst.
Wie viel Euro Zinsen erhält sie nach 1 Jahr und 7 Monaten?
Auf welches Guthaben ist der Anfangsbetrag somit angewachsen?
Rechnung ohne Formel:
Die Zinsen betragen 84,27€ und der Guthaben nach 1 Jahr
und 7 Monaten beträgt 1484,27€
Zinsrechnen mit dem Wachstumsfaktor
2 Rentenrechnung
Definition: Unter einer Rente versteht man eine
Folge von regelmäßig wiederkehrenden Ein- bzw.
Auszahlungen mit im Allgemeinen gleichhohen
Beträgen (= Rentenraten)
Klassifikation:
Fälligkeit der Rentenraten: vorschüssig
oder nachschüssig
Zahlungsperiode: jährlich oder
unterjährlich (Monate
Tage etc.)
Übersicht über wichtige Abkürzungen:
r = (konstante) Rentenrate
R0 = Rentenbarwert
Rn = Rentenendwert
i = Zinssatz p.a.
n = Laufzeit der Rentenzahlung
q = Aufzinsfaktor
Jährliche Zinsen
Nachschüssige Rente
Von einer nachschüssigen Rente spricht man, wenn die Rentenzahlungen
jeweils zum Ende einer Periode (Jahr) erfolgen
Abbildung 1: Entwicklung des Rentenendwertes nach 3 Jahren
• Beispiel
•
K. zahlt am Jahresende 10.000€ (r) auf ein Konto, welches p=8%
Verzinsung bietet. Wie hoch ist der Kontostand nach 10 Jahren (n)?
R1 = 10.000
R2 = 10.000*1,08 +10000 = r*(1+q)
R3 = R2*1,08 +10.000 = r*(1+q)*q+r = r*(1+q+q2)
...
R10 = R9*1,08+10.000 = r*(1+q+q2+q3+q4+q5+q6+q7+q8+q9)
R10 = 144.865,62€ (Kontostand nach 10 Jahren)
Allgemeine Formel für Rentenendwert:
Rn = r*(1+q+q2+.....+q n-1) =
rekursive Formel: Rn=Rn-1* q +r; R1=r, n>2
• Der Rentenbarwert (R0) gibt an, was eine zukünftige, über
n Perioden fließende Rentenrate heute (Zeitpunkt 0) wert
ist. Dazu wird der Rentenendwert Rn auf den Zeitpunkt 0
abgezinst, d.h. man dividiert Rn durch qn.
Der auftretende Faktor:
heißt (nachschüssiger) Rentenbarwertfaktor
Beispiel
Hans möchte ein Haus kaufen. Der Besitzer fordert 15, jeweils am
Jahresende zu zahlende Raten in Höhe von 50.000€. Welcher Betrag
muss gezahlt werden, wenn Hans seine Schuld beim Hauskauf sofort
begleichen möchte (bei Anlage des Kaufpreises bei einer Bank kann
man 6% Zinsen p.a. erhalten)?
Lösung: Hier wird der Rentenbarwert gesucht
r= 50000
n= 15
p= 6%
Es ergibt sich: R0 = 50000 * 1,0615 – 1
1,0615 1,06 - 1
R0 = 485612,45€
Sind von den vier Größen Rn (bzw. R0),r,n und q drei bekannt, so kann die
jeweils vierte Größe durch Umstellen der bereits bekannten Formeln
ermittelt werden.
• Nachschüssige Rentenrate r
a) aus dem Rentenendwert:
b) aus dem Rentenbarwert:
•Nachschüssige Rentenperiode n
a)
aus dem Rentenendwert: n = log ( Rn/r *(q-1)+1)
log q
b)
aus dem Rentenbarwert: n = log (1- R0/r *(q-1))
log q
Beispielfrage:Jemand hat 80000€ durch jährlich nachschüssige Raten in Höhe von 8229,12€
angespart. Die Verzinsung betrug p=5,5%. Wie viel Jahre lang mußte die Rate überwiesen
werden?
Vorschüssige Rente
•
Bei einer vorschüssigen Rente werden alle Ratenzahlungen am Beginn einer
Rentenperiode geleistet
Abbildung 2: Entwicklung des Rentenendwertes nach 3 Jahren
Hier wird die eingezahlte Rate bereits im ersten Jahr verzinst, d.h.der nachschüssige Rentenendwert wird
mit q multipliziert.
Es ergibt sich:
Für den Rentenbarwert ergibt sich: R0=
rekursive Formel:Rn=(Rn-1+r)*q; R1=r*q, n>2
Aufgabe 1
Herr Meier möchte jährlich 8.000€ über einen Zeitraum von
15 Jahren bei einer Bank anlegen.
• Über wie viel Geld kann er bei vorschüssiger bzw.
nachschüssiger Einzahlung verfügen?
• Wie hoch ist die Differenz ?
• Wie viel Geld hat Herr Meier nach 25 Jahren jeweils
angespart?
Aufgabe 2
Herr Schmidt ist 65 Jahre alt und hat Geld angespart. Er möchte
sich über die nächsten 20 Jahre eine Zusatzrente auszahlen lassen
von 3500€. Wie viel Geld muss er bei einer Bank, die einen
Zinssatz von 4,5% bietet, anlegen, wenn er sich die Raten
1) zum Jahresbeginn
2) zum Jahresende
auszahlen lässt?
3 Tilgung
Jeder aufgenomme Kredit muss zurückgezahlt werden .Dazu gibt es zwei Varianten
1.
2.
Man zahlt die die gesamte Schuldsumme einschließlich Zinsen und Gebühren
Man verpflichtet sich den Schuldbetrag durch regelmäßige Zahlungen in
gleichbleibenden Abständen zurückzuzahlen. (Hypothek , Kredit, Darlehen,
Anleihe…). Die Rückzahlung setzt sich aus Tilgungsrate (Tilgungsbetrag) und
Zinsen zusammen.
Unter Tilgungsbetrag versteht man denjenigen Betrag, um den sich die Restschuld durch die
Rückzahlung vermindert. Annuität ist Summe aus Tilgungsleistung und Zinsen.
Es gibt viele Rückzahlungsmodelle. Wir beschränken uns auf die Fälle, in denen die
Rückzahlung jeweils zum Zinstermin erfolgt. Dies bedeutet beispielsweise: wird die Verzinsung
der Schuldsumme jährlich vorgenommen, so erfolgen auch die Rückzahlungen jährlich.
Übersicht über wichtige
Abkürzungen
Bsp. Für die Ratentilgung.
Kredit in Höhe von 120 000€ soll in 6 Jahren zurückgezahlt werden. Die
Tilgungsrate beträgt 20 000€ und der Zinssatz liegt bei 9%
Jahr
Restschuld (zu Beginn des Jahres) Zinsen Tilgung Annuität
1
120000
10800
20000
30800
2
100000
9000
20000
29000
3
80000
7200
20000
27200
4
60000
5400
20000
25400
5
40000
3600
20000
23600
6
20000
1800
20000
21800
Wird die Anfangsschuld
in n Jahren mit der
konstanten jährlichen Rate T getilgt so gilt:
Für die Restschuld benötigt man folgende Formel:
Beispiel:
d.h. nach dem 4. Jahr also im 5. Jahr hat man eine Restschuld von 40 000€
Berechnung der Zinsen in der j-ten Periode
Für die Höhe der in der j-ten Periode (hier Jahre) anfallenden Zinsen
ergibt sich:
Beispiel:
Im 4. Jahr betragen die Zinsen 5400€
Berechnung der Annuität
Für die Höhe der in der j-ten Periode (hier Jahre)
anfallenden Annuität ergibt sich:
Beispiel:
Im 4. Jahr beträgt die Annuität 25400€
Die Tilgungsrate T kann auch durch die Angabe
eines Prozentannuität
vorgegeben sein.
Beispiel: Kredit in Höhe von 120 000€. Die Prozentannuität beträgt
24% und der Zinssatz liegt bei 9%
Jahr
1
2
3
4
5
Restschuld
(zu Beginn des Jahres)
120000
91200
62400
33600
4800
Zinsen
10800
8208
5616
3024
432
Tilgung Annuität
28800
39600
28800
37008
28800
34416
28800
31824
4800
5232
Wie man sieht unterscheidet sich die Tilgungsrate im 5. Jahr von den Vorjahren. In
so einem Fall gelten nun die Folgenden Formeln.
Mit den Folgenden Formeln kann man nur die Tilgung, Annuität
und die Zinsen im letzten Jahr berechnen.
Falls keine ganze Zahl ist. Wird mit die größte ganze Zahl, die kleiner ist als , bezeichnet.
Dann ergibt sich die Tilgungsrate des letzten Jahres r (= +1)
Entsprechend gilt für die Zinsen, die für das letzte Jahr anfallen.
Für die Annuität im letzten Tilgungsjahr gilt: Beispiel.
Die Tilgungsrate im letzten Jahr beträgt 4800€
Die Zinsen im letzten Jahr betragen 432€
Die Annuität im letzten Jahr beträgt 5232€
Berechnung der Zinsen und Annuität zu einem bestimmten Zeitpunkt
Die Zinsen im 3. Jahr betragen 516€
Die Annuität im 3. Jahr beträgt 34416€
Restschuld
Die Restschuld nach dem 3. Jahr beträgt 33600€
Annuitätentilgung
In diesem Modell bleibt die Annuität im gesamten
Rückzahlungszeitraum konstant, während sich die Tilgungsrate
ändert.
Bsp. Für die Annuitätentilgung
Ein Kredit in Höhe von 120 000€ soll in 6 Jahren zurückgezahlt werden. Die
Annuitätentilgung beträgt 26750,37€ und der Zinssatz liegt bei 9%
Jahr
Restschuld
(zu Beginn des Jahres)
Zinsen
Tilgung
Annuität
1
120000,00
10800,00 15950,37
26750,37
2
104049,63
9364,47 17385,91
26750,37
3
86663,72
7799,73 18950,64
26750,37
4
67713,08
6094,18 20656,20
26750,37
5
47056,88
4235,12 22515,25
26750,37
6
24541,63
2208,75 24541,63
26750,37
Um die Annuität zu berechnen, können auch bestimmte Formeln, die schon
in der Rentenrate erwähnt worden ist, angewendet werden.
Liegt ein Tilgungsplan vor, so kann man aus diesem die Restschuld nach j Jahren
sowie die Tilgungsrate und die Zinsbelastung im j-ten Jahr einfach ablesen. Man
kann aber auch auf bestimmte Formel zugreifen.
Nach dem 2. Jahr hat man eine Restschuld in Höhe von 86663,72€
Die Tilgung beträgt im 2. Jahr 17385,90 €
Praxis
In der Praxis spielt die Kredithöhe und Tilgungsdauer eine Rolle.
1.Kredithöhe: Welcher Kreditbetrag S kann bei einem angenommen Zinssatz von p%
aufgenommen werden, wenn dieser in n Jahren mit Hilfe der vorgegebenen Annuität getilgt
werden soll.
2.Tilgungsdauer: Wie lange dauert es, bis eine benötigter Kredit der Höhe S mit Hilfe der
vorgegebenen Annuität bei einem Zinssatz von p% getilgt ist.
Zu1. Durch umstellen der Formel nach S, kann leicht die Kredithöhe bestimmt
werden.
Zu2. Um die Tilgungsdauer zu berechnen muss die Formel nach n umgeformt werden.
A‐S(q‐1) ist genau die Tilgung für des 1. Jahres ,somit gilt Man kann nicht erwarten, dass n eine ganze Zahl ist, somit muss man
auch im letzten Jahr nicht die volle Annuität zahlen.
Falls n keine ganze Zahl ist bezeichnen wir mit wieder die größte ganze
Zahl, die kleiner oder gleich n ist
Tilgungsrest
Beispiel
K. benötigt dringend einen Darlehen von 2 250 000 €. Er ist in der Lage eine Annuität von
270 000€ für die Rückzahlung aufzubringen. Gesucht ist die Tilgungsdauer bei einem
Darlehensverzinsung von 9%. Zusätzlich soll die Annuität, die am Ende des letzten Jahres
fällig wird, bestimmt werden.