rentenzahlung abschreibung

Transcription

15.08.2006
Skript
Finanzmathematik
WS 2006/07
Prof. Dr. Waike Moos
Fachbereich Wirtschaftswissenschaften
Hochschule Niederrhein
Finanzmathematik
FB Wirtschaftswissenschaften
Ergänzende Literaturempfehlungen ............................................................................... 4
0. Wofür benötigt man Finanzmathematik?................................................................... 5
1. Mathematische Grundlagen: Arithmetische und geometrische Folgen und Reihen5
1.1 Arithmetische Folgen und Reihen .................................................................................. 7
1.2 Geometrische Folgen und Reihen ................................................................................... 9
2. Zins- und Zinseszinsrechnung .................................................................................. 12
2.1 Einfache Zinsen .............................................................................................................. 13
2.2 Zinseszinsen .................................................................................................................... 14
2.3 Unterjährige Verzinsung ............................................................................................... 19
2.3.1 Unterjährige einfache Verzinsung............................................................................. 19
2.3.2 Unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen ............................................................... 21
2.3.3 Nicht ganzzahlige Laufzeiten in der Praxis............................................................... 22
2.3.4
Effektivzins und Nominalzins – Ein Cartoon .................................................... 23
2.3.5 Effektiver Zins bei unterjähriger Verzinsung............................................................ 23
2.3.6 Konformer unterjähriger Periodenzinssatz................................................................ 25
2.4 Stetige Verzinsung.......................................................................................................... 26
3. Abschreibungsrechnung............................................................................................ 28
3.1 Lineare Abschreibung.................................................................................................... 29
3.2 Arithmetisch degressive Abschreibung........................................................................ 31
3.3 Geometrisch degressive Abschreibung......................................................................... 32
4. Rentenrechnung......................................................................................................... 36
4.1 Begriffe der Rentenrechnung........................................................................................ 36
4.2 Jährliche konstante nachschüssige Rente bei fester Laufzeit .................................... 37
4.2.1 Rentenendwertformel ................................................................................................ 38
4.2.2 Rentenbarwertformel................................................................................................. 39
4.3 Jährliche vorschüssige konstante Rente bei fester Laufzeit....................................... 42
4.4 Unterjährige konstante Raten bei fester Laufzeit und jährlicher Verzinsung......... 44
4.5 Ewige Rente mit konstanten Raten............................................................................... 45
5. Tilgungsrechnung...................................................................................................... 49
5.1 Begriffe der Tilgungsrechnung ..................................................................................... 49
5.2. Jährliche Ratentilgung.................................................................................................. 50
5.3 Jährliche Annuitätentilgung.......................................................................................... 54
5.3.1 Exakte Annuitätentilgung.......................................................................................... 54
5.3.1.1 Formeln für die Restschuld RS k bzw. S k ......................................................... 58
5.3.1.2 Formeln für die Tilgungsrate Tk ........................................................................ 60
2
Finanzmathematik
5.3.1.3 Formeln für die Zinsen im Jahre k Z k ............................................................... 61
5.3.2 Prozentannuitäten ...................................................................................................... 63
5.4 Sonderformen der Tilgungsrechnung .......................................................................... 67
5.4.1 Tilgungsfreie Zeiten .................................................................................................. 68
5.4.2 Kreditgebühren.......................................................................................................... 70
6. Investitions- und Finanzierungsentscheidungen ..................................................... 70
6.1 Grundsätzliche Überlegungen....................................................................................... 70
6.2 Kapitalwertmethode....................................................................................................... 73
6.3 Methode des internen Zinssatzes .................................................................................. 79
7. Festverzinsliche Wertpapiere..................................................................................... 84
7.1 Begriffe und Symbole..................................................................................................... 84
7.2 Zusammenhang zwischen Kurswert und Effektivzins bei festverzinslichen
Wertpapieren........................................................................................................................ 85
7.3 Festverzinsliche Wertpapiere mit vom Nennwert abweichenden Rückzahlungskurs
................................................................................................................................................ 90
3
Finanzmathematik
Ergänzende Literaturempfehlungen
....falls das Skript nicht ausführlich genug ist.....
Locarek, Hermann: Finanzmathematik, Oldenbourg Verlag
Tietze, Jürgen: Einführung in die Finanzmathematik, 6. Auflage, Vieweg Verlag,
Wiesbaden.
Zur Wirtschaftsmathematik I und II in einem Buch:
Peters, Horst: Wirtschaftsmathematik Klausur Intensiv Training. Kohlhammer
Stuttgart.
Preuß, Wolfgang und Günter Wenisch: Lehr- und Übungsbuch Mathematik in
Wirtschafts- und Finanzwesen. Fachbuchverlag Leipzig
4
Finanzmathematik
0. Wofür benötigt man Finanzmathematik?
Die Finanzmathematik
ist ein Teilgebiet der angewandten Wirtschaftsmathematik, insbesondere für
Investitions- und Finanzierungsprobleme geeignet
rechnet mit Einnahmen und Ausgaben von Geld,
rechnet mit der Vergabe, Verzinsung und Rückzahlung von Krediten,
beschäftigt sich mit dem Zins, der eine entscheidende Rolle spielt.
Das Problem der Unsicherheit von zukünftigen Zahlenströmen wird vernachlässigt.
Zahlungsausfälle, Konkurse und Marktzusammenbrüche spielen bei den hier
vorgestellten Verfahren keine Rolle (Idealwelt der Ökonomen!). Die Unsicherheit
kommt erst in der Statistik II!
Mathematisches Handwerkszeug?
Potenzen und Logarithmen
Summenzeichen
Polynome
Nullstellenbestimmung und...
...ein paar Grenzwerte
1. Mathematische Grundlagen: Arithmetische
und geometrische Folgen und Reihen
Definition: Unter einer Zahlenfolge versteht man eine Abbildung a (von der Menge
der natürlichen Zahlen in die Menge der reellen Zahlen)
a:N → R
mit den reellen Werten a(1),..., a(i ),..., a(n ) bzw. a1 , a2 ,..., ai ,..., an , wobei der
Wert ai das i -te Glied der Folge ist.
r
5
Finanzmathematik
Man interessiert sich also für den Wert eines Folgengliedes und seine Position bzw.
Nummer in der Folge.
Üblicherweise fängt man beim 1. Folgenglied an zu zählen
Bei Kapitalwachstumsvorgängen fängt man allerdings immer beim 0. Folgenglied an zu
zählen, um deutlich zu machen, dass beim 0. Folgenglied noch nichts gewachsen ist.
Eigentlich ist es aber egal, ob man beim 1. oder 0. Folgenglied anfängt, da man sich
immer nur für die Anzahl der Wachstumsvorgänge zwischen zwei Folgengliedern
interessiert.
Wenn dieses das 0. Glied ist, ist jenes das 7. Glied. Es liegen 7 Wachstumsvorgänge
dazwischen.
Wenn dieses das 1. Glied ist, ist jenes das 8. Glied. Es liegen 7 Wachstumsvorgänge
dazwischen.
Beispiele:
1,3,5,7,9,11,...
20,18,16,14,12,10,...
2,4,8,16,32,...
r
6
Finanzmathematik
1.1 Arithmetische Folgen und Reihen
Definition:
Eine Zahlenfolge, bei der die Differenz zweier aufeinanderfolgender
Glieder jeweils gleich ist, heißt arithmetische Folge,
z.B.
a2 − a1 = d
oder
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d oder a1 + d + d
= a1 + 2 ⋅ d
a4 = a3 + d oder a2 + d + d = a1 + d + d + d = a1 + 3 ⋅ d
a n = a n −1 + d
= a1 + (n − 1) ⋅ d
= a0 + n ⋅ d
Beachten Sie:
an = a1 + (n − 1) ⋅ d
aber
an = a0 + n ⋅ d
je nachdem, ob man beim 0. oder beim 1. Folgenglied zu zählen beginnt.
r
Bemerkung: Folgen können ansteigend sein bei positivem d oder fallend bei
negativem d .
r
Definition:
Als arithmetische Reihe sn bezeichnet man die Summe der
Folgenglieder der arithmetischen Folge. Von besonderem Interesse ist die
Summe der ersten n Folgenglieder, d.h. die n -te Partialsumme der
arithmetischen Folge.
n
sn = a1 + a2 + a3 + a4 + ... + an = ∑ [a1 + (i − 1) ⋅ d ]
i =1
7
Finanzmathematik
Der Wert der endlichen arithmetischen Reihe berechnet sich als:
sn =
n
⋅ (a1 + an )
2
r
Beweis:
Wie kommt man auf obigen Ausdruck (Gauß’scher Trick)?
sn = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2 ⋅ d ) + ... + (a1 + (n − 2) ⋅ d ) + (a1 + (n − 1) ⋅ d )
Schreiben Sie die Summe zweimal untereinander, einmal „von vorne“ und einmal „von
hinten“.
sn
= n ⋅ a1 + d ⋅ (1 + 2 + ... + (n − 1))
sn
= n ⋅ a1 + d ⋅ (( n − 1) + ( n − 2) + ... + 2 + 1)
2s n = 2na1 + d ⋅ (1 + 2 + ... + ( n − 1) + ( n − 1) + ( n − 2) + ... + 1)
die Summe in der Klammer lässt sich zusammenfassen zu:
2 s n = 2na1 + d ⋅ ( n + n + n... + n)
in der Klammer stehen n-1 Summanden.
Nun wird alles durch 2 geteilt:
s n = n ⋅ a1 + d ⋅
Jetzt wird
sn =
(n − 1) ⋅ n
2
n
ausgeklammert:
2
n
⋅ (2a1 + d ⋅ (n − 1))
2
=
n
⋅ (a1 + a1 + (n − 1) ⋅ d )
2
=
n
⋅ (a1 + a n )
2
r
Bemerkung:
Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist durch sein Anfangsglied a1 , die
konstante Differenz d und die Stellenzahl n bestimmt.
Jedes Glied einer arithmetischen Folge ist das arithmetische Mittel seiner beiden
direkten Nachbarn, d.h. ak =
(ak +1 + ak −1 ) .
2
Eine unendliche arithmetische Reihe besitzt keine Summe, da das Endglied bei
ansteigenden Folgen unendlich groß wird, d.h. gegen + ∞ geht (bzw. gegen − ∞
bei fallenden Folgen)
Gauß als „Entdecker“ der Formel für die arithmetische Reihe.
r
8
Finanzmathematik
an
Arithmetische Folgen
40
30
20
10
n
23
21
19
17
15
13
11
9
7
5
3
-10
1
0
-20
Folge 1:
Folge 2:
Folge 3:
-30
Folge 1
-40
Folge 2
-50
Folge 3
a1 = −10 ,
a1 = 5 ,
a1 = 10 ,
d =2
d = −2
d = 0,5
1.2 Geometrische Folgen und Reihen
Definition: Eine Zahlenfolge, bei der der Quotient zweier beliebiger benachbarter
Glieder konstant ist, heißt geometrische Folge.
z.B.:
a2
=q
a1
oder
a2 = a1 ⋅ q
allgemein:
a3 = a2 ⋅ q
= a1 ⋅ q 2
a4 = a3 ⋅ q
= a2 ⋅ q 2
an = an −1 ⋅ q
= a1 ⋅ q 3
bzw.
a n = a1 ⋅ q n −1 bzw. a n = a 0 ⋅ q n
r
9
Finanzmathematik
Bemerkung:
Jedes Glied einer geometrischen Folge ist durch sein Anfangsglied a1 , den
konstanten Faktor q und die Stellenzahl n bestimmt.
Jedes Glied einer geometrischen Folge ist das geometrische Mittel seiner beiden
direkten Nachbarn, d.h. a k = a k +1 ⋅ a k −1 .
r
Definition: Bildet man die Summe der Glieder einer geometrischen Folge, so erhält
man eine geometrische Reihe sn .
sn
= a1 + a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 + ... + a1 ⋅ q (n −1)
q ⋅ sn =
a1 ⋅ q + a1 ⋅ q 2 + ... + a1 ⋅ q (n −1) + a1 ⋅ q n
___________________________________________
q ⋅ sn − sn = a1 ⋅ q n − a1
bzw. nach Ausklammern
(
)
sn ⋅ (q − 1) = a1 ⋅ q n − 1
sn = a1 ⋅
qn −1
für q > 1
q −1
und (aus Konventionsgründen werden Zähler und Nenner mit (-1)
multipliziert)
sn = a1 ⋅
1− qn
für q < 1
1− q
r
Bisher wurden nur endliche Reihen betrachtet. Bei unendlichen Reihen, n → ∞ , sind
drei Fälle zu unterscheiden:
1) Der Faktor q ist größer als 1
Dann werden die Folgenglieder immer größer. Für n → ∞ werden auch die
Folgenglieder unendlich. Solche Reihen besitzen keine endliche Summe.
10
Finanzmathematik
q = 2; a1 = 3
Beispiel:
a1 ⋅ q1 = 6;
a1 ⋅ q 2 = 12;
a1 ⋅ q 3 = 24 usw.
Die Folgenglieder werden schnell sehr groß.
2) Der Faktor q ist kleiner als 1 und > 0
Dann werden die Folgenglieder immer kleiner.
1
q= ;
2
Beispiel:
a1 = 2
a1 ⋅ q1 = 1;
1
a1 ⋅ q 2 = ;
2
a1 ⋅ q 3 =
1
usw.
4
Solche Folgen heißen auch Nullfolgen, in symbolischer
Schreibweise: lim n→∞ an = 0 .
3) Der Faktor q ist negativ
Dann springen die Werte der Folgenglieder „hin und her“.
q = −2;
Beispiel:
a1 = 1
Die Folge lautet: 1, -2, 4, -8, 16, -32, usw.
Solche Folgen spielen in der betriebswirtschaftlichen Praxis keine
Rolle.
an
Geometrische Folgen
25
20
15
Folge 1
10
Folge 2
Folge 3
5
17
15
13
11
9
7
5
3
1
0
n
11
Finanzmathematik
q = 0,8
q = 1,1
q = 1,2
a1 = 20 ,
a1 = 3 ,
a1 = 1 ,
an
Folge 1
17
15
13
11
9
5
3
1
6
4
2
0
-2
Geometrische Folgen
7
Folge 1:
Folge 2:
Folge 3:
-4
Folge 2
-6
-8
-10
-12
Folge 3
Folge 1:
Folge 2:
Folge 3:
n
a1 = −1 ,
a1 = −10 ,
a1 = 1 ,
q = 1,1
q = 0,5
q = −1,1
2. Zins- und Zinseszinsrechnung
Zinsen sind der Preis, den ein Schuldner dem Gläubiger für die befristete
Überlassung von Kapital bezahlen muss. Der Betrag der Zinsen wird aus dem
Zinssatz, der Höhe des überlassenen Kapitals und der Dauer der Überlassung
berechnet.
Man unterscheidet zwischen jährlicher Verzinsung und unterjähriger
Verzinsung.
Bei der jährlichen Verzinsung beträgt die Zinsperiode ein Jahr. Die
Zinsen werden einmal im Jahr zu einem bestimmten Zeitpunkt gezahlt.
Nach §608 BGB ist die Fälligkeit von Zinsen nach einem Jahr erreicht,
wenn nichts anderes vereinbart ist.
Bei der unterjährigen Verzinsung beträgt die Zinsperiode einen Bruchteil
eines Jahres, z.B. 3 Monate, 80 Tage o.ä..
Zinsperioden von mehr als einem Jahr spielen in der Praxis keine Rolle.
12
Finanzmathematik
Im weiteren wird nur die nachschüsssige Verzinsung betrachtet, bei der die
Zinsen am Ende der Zinsperiode fällig werden. Die vorschüssige Verzinsung ist
in der Praxis unüblich.
Symbole
Bedeutung
Beispiel
K0
Anfangskapital
Endkapital
ganzzahlige Laufzeit
Zins
(nominaler) Prozentzinssatz
100 €
105 €
1 Jahr
5€
5%
(nominaler) Zinssatz
0,05
Aufzinsungsfaktor
1+0,05=1,05
Kn
n
Z
p
p
100
q = 1+ i
1
q
i=
f
1
= 0,9524
1,05
180
für ein halbes Jahr
360
Abzinsungsfaktor
gebrochene Laufzeit=
Zinstage der Laufzeit
Zinstage pro Jahr
Anlagedauer
2.1 Einfache Zinsen
Bei der einfachen Verzinsung werden die Zinsen bei längerer Anlagedauer nicht wieder
mitverzinst, sondern ausgezahlt.
K1 = K 0 + K 0 ⋅ i
= K 0 ⋅ (1 + i )
K 2 = K 0 + K 0 ⋅ 2i
= K 0 ⋅ (1 + 2i )
K 3 = K 0 + K 0 ⋅ 3i
= K 0 ⋅ (1 + 3i )
K 4 = K 0 + K 0 ⋅ 4i
= K 0 ⋅ (1 + 4i )
Satz:
Das Endkapital bei einfacher Verzinsung und ganzjähriger Laufzeit nach n Jahren
erhält man als
Kn =
K0 + K0 ⋅ i ⋅ n
=
K 0 ⋅ (1 + i ⋅ n )
r
13
Finanzmathematik
Beispiel:
Ein Betrag von 100 € wird bei einer einfachen Verzinsung von 2% genau drei Jahre
lang ausgeliehen. Die Zinszahlung soll am Ende der Laufzeit erfolgen. Wie groß ist die
am Ende der Laufzeit angesammelte Summe aus Kapital und Zinsen?
n = 3; K 0 = 100; i = 0,02; p = 2
K 3 = 100 + 100 ⋅ 0,02 ⋅ 3 = 106 €
oder
K 3 = 100 ⋅ (1 + 0,02 ⋅ 3) = 100 ⋅ (1 + 0 ,06) = 100 ⋅1,06
= 106 €
r
Beispiel:
Eine Mutter verspricht ihrer Tochter ihr nach Ende des Studiums, d.h. in drei Jahren,
5.000 € zu zahlen. Was muss Sie heute anlegen, um in drei Jahren über diesen Betrag
verfügen zu können (4%, einfache Verzinsung).
K0 =
5.000
5.000
=
= 4.464,29 €
1 + 0,04 ⋅ 3
1,12
r
2.2 Zinseszinsen
Bei der Zinseszinsrechnung erfolgen während der mehrjährigen Laufzeit einer
Kapitalanlage Zinszahlungen jeweils am Ende eines Jahres. Diese Zinsen werden sofort
wieder angelegt und zum Kapital dazu addiert, so dass ab dem Zeitpunkt der
Wiederanlage auch die Zinsen mitverzinst werden.
K1
=
K0 + K0 ⋅ i
=
K 0 ⋅ (1 + i )
K2
=
K1 + K1 ⋅ i
=
K1 ⋅ (1 + i )
=
K 0 ⋅ (1 + i )
K3
=
K2 + K2 ⋅ i
=
K 2 ⋅ (1 + i )
=
K 0 ⋅ (1 + i )
K4
=
K3 + K3 ⋅ i
=
K 3 ⋅ (1 + i )
=
K 0 ⋅ (1 + i )
Kn
=
K n −1 + K n −1 ⋅ i
=
K n −1 ⋅ (1 + i )
=
2
3
4
K 0 ⋅ (1 + i )
n
Satz:
Das Endkapital bei zinseszinslicher Verzinsung und ganzjähriger Laufzeit nach n
Jahren erhält man als
Kn
=
K 0 ⋅ (1 + i )
n
=
K0 ⋅ qn
r
14
Finanzmathematik
Erinnern Sie:
Geometrische Folgen
an = a1 ⋅ q (n −1)
Zinseszinsrechnung:
K n = K 0 ⋅ (1 + i ) ⋅ q (n −1)
K n = K 1 ⋅ q ( n −1)
Die Kapitalbeträge stellen also Glieder einer geometrischen Folge mit konstantem
Quotienten (1 + i ) bzw. q und dem Anfangsglied K 0 ⋅ (1 + i ) = K1 dar.
Beispiel:
Eine Spareinlage von 100 € wird für 4 Jahre angelegt und mit 6% verzinst. Welche
Höhe hat das Kapital bei zinseszinslicher Verzinsung nach 4 Jahren?
n=4
;
K 0 = 100
;
p=6
;
i = 0,06
;
q = 1,06
Kn = K0 ⋅ qn
K 4 = 100 ⋅1,06 4
=
126,25 €
Bei einfacher Verzinsung beträgt die Kapitalsumme:
K n = K 0 ⋅ (1 + n ⋅ i )
K 4 = 100 ⋅ (1 + 0 ,24 )
=
124 ,00 €
Bei einfacher Verzinsung ist die Kapitalsumme am Ende des mehrjährigen
Anlagezeitraums kleiner als bei der Zinseszinsrechnung.
r
Satz:
Die Zinsen Z k des Jahres k berechnen sich als
Zk =
K k − K k −1 = K k −1 ⋅ i
r
15
Finanzmathematik
Tabelle 1: Kapital und Zinsen bei Zinseszinsrechnung
1
k
Kk
2
3
4
....
106,00 112,36 119,10 126,25
Zk
6
6,36
6,74
7,15
98
99
100
...
30.197,76 32.009,63 33.930,21
...
1.709,31 1.811,87 1.920,58
Im o.g. Beispiel werden unter Berücksichtigung von Zinseszinsen nach 100 Jahren
1.920,58 € Zinsen gezahlt. Die Kapitalsumme beträgt am Ende der Laufzeit 33.930,21
€.
Tabelle 2: Kapital und Zinsen bei einfacher Verzinsung
k
Kk
Zk
1
2
3
4
...
106,00 112,00 118,00 124,00
6,00
6,00
6,00
...
6,00
98
99
100
688,00 694,00 700,00
...
6,00
6,00
6,00
Beispiel:
Ein bei der Gründung der Stadt Mönchengladbach angelegter Cent soll 2.000 Jahre
später wieder abgehoben werden. Wie lautet der auszuzahlende Betrag, wenn der
vereinbarte Zinssatz 1% bzw. 4% beträgt und das Geld
mit einfacher Verzinsung
zinseszinslich angelegt wurde?
p =1
;
i = 0,01 ; K 2.000 = 0 ,01⋅ (1 + 0,01⋅ 2.000 ) = 0,21 €
p=4
;
i = 0,04 ; K 2.000 = 0,01⋅ (1 + 0 ,04 ⋅ 2.000) = 0 ,81 €
p =1
;
i = 0 ,01 ; K 2.000 = 0 ,01 ⋅ (1 + 0 ,01)
p=4
;
i = 0 ,04 ; K 2.000 = 0 ,01 ⋅ (1 + 0 ,04 )
2 .000
= 4.392.862,05 €
2 .000
≅ 1,17 ⋅1032 €
r
16
Finanzmathematik
Tabelle 3: Aufzinsungsfaktoren
n in
Jahren
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p in %
1
1,0100 1,0201 1,0303 1,0406 1,0510 1,0615 1,0721 1,0829 1,0937
1,1046
2
1,0200 1,0404 1,0612 1,0824 1,1041 1,1262 1,1487 1,1717 1,1951
1,2190
3
1,0300 1,0609 1,0927 1,1255 1,1593 1,1941 1,2299 1,2668 1,3048
1,3439
4
1,0400 1,0816 1,1249 1,1699 1,2167 1,2653 1,3159 1,3686 1,4233
1,4802
5
1,0500 1,1025 1,1576 1,2155 1,2763 1,3401 1,4071 1,4775 1,5513
1,6289
6
1,0600 1,1236 1,1910 1,2625 1,3382 1,4185 1,5036 1,5938 1,6895
1,7908
7
1,0700 1,1449 1,2250 1,3108 1,4026 1,5007 1,6058 1,7182 1,8385
1,9672
8
1,0800 1,1664 1,2597 1,3605 1,4693 1,5869 1,7138 1,8509 1,9990
2,1589
9
1,0900 1,1881 1,2950 1,4116 1,5386 1,6771 1,8280 1,9926 2,1719
2,3674
10
1,1000 1,2100 1,3310 1,4641 1,6105 1,7716 1,9487 2,1436 2,3579
2,5937
Tabelle 4: Abzinsungsfaktoren
n in
Jahren
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p in
%
1
0,9901 0,9803 0,9706
0,9610 0,9515
0,9420 0,9327
0,9235 0,9143 0,9053
2
0,9804 0,9612 0,9423
0,9238 0,9057
0,8880 0,8706
0,8535 0,8368 0,8203
3
0,9709 0,9426 0,9151
0,8885 0,8626
0,8375 0,8131
0,7894 0,7664 0,7441
4
0,9615 0,9246 0,8890
0,8548 0,8219
0,7903 0,7599
0,7307 0,7026 0,6756
5
0,9524 0,9070 0,8638
0,8227 0,7835
0,7462 0,7107
0,6768 0,6446 0,6139
6
0,9434 0,8900 0,8396
0,7921 0,7473
0,7050 0,6651
0,6274 0,5919 0,5584
17
Finanzmathematik
7
0,9346 0,8734 0,8163
0,7629 0,7130
0,6663 0,6227
0,5820 0,5439 0,5083
8
0,9259 0,8573 0,7938
0,7350 0,6806
0,6302 0,5835
0,5403 0,5002 0,4632
9
0,9174 0,8417 0,7722
0,7084 0,6499
0,5963 0,5470
0,5019 0,4604 0,4224
10
0,9091 0,8264 0,7513
0,6830 0,6209
0,5645 0,5132
0,4665 0,4241 0,3855
kann nach jeder in ihr
Bemerkung: Die Zinseszinsformel K n = K 0 ⋅ q n
enthaltenen Variablen durch einfache Umformung aufgelöst werden.
K0 =
Auflösung nach K 0 :
Kn
qn
Erinnern Sie: q = 1 + i ist der Aufzinsungsfaktor,
1
ist der
q
Abzinsungsfaktor.
Für Fragestellungen, wenn nach dem Barwert eines
Verzinsungsvorganges gefragt ist: Wie viel muss heute angelegt
werden, damit in Zukunft ein gewisses Endkapital erreicht wird?
Auflösung nach i :
Wegen q n =
Kn
K
K
, gilt q = n n und i = n n − 1 mit q = 1 + i
K0
K0
K0
Für Fragestellungen der Form: Welcher Zinssatz muss geboten
werden, damit sich das Kapital nach n Jahren vervielfacht (z.B.
K n doppelt so groß wie K 0 nach 8 Jahren)?
Auflösung nach n :
Der Ausdruck q n =
Kn
muss logarithmiert werden. Mit den
K0
Rechenregeln für den Logarithmus erhält man:
K 
ln q n = ln n 
 K0 
( )
⇔
n ⋅ ln q = ln K n − ln K 0
18
Finanzmathematik
Daraus folgt: n =
ln K n − ln K 0
.
ln q
Achtung: Die Lösung n ist in der Regel nicht mehr ganzzahlig, so
dass man entsprechend auf- oder abrunden muss und besser x
schreibt
Für Fragestellungen: Wie lange dauert es, bis sich ein mit 5%
angelegter Betrag verdreifacht?
i = 0,05
n=
;
q = 1,05
ln 3K 0 − ln K 0 ln 3 + ln K 0 − ln K 0
ln 3
=
=
= 22,52 Jahre, d.h. bei
ln 1,05
ln 1,05
ln 1,05
nachschüssiger, jährlicher Verzinsung 23 Jahre.
2.3 Unterjährige Verzinsung
Bei der unterjährigen Verzinsung beträgt die Anlagedauer des Kapitals weniger
als ein Jahr.
In Deutschland ist es üblich zu rechnen:
1 Zinsjahr = 360 Zinstage = 12 Zinsmonate mit jeweils
30 Zinstagen
Wenn nichts anderes angegeben ist, berechnet man die Anlagedauer immer vom
folgenden Tag bis zum Tag der Abhebung: z.B. Anlage am 16.3, Abhebung am
30.3. umfasst 14 Zinstage, Anlage am 16.3., Abhebung am 30.10 umfasst 14
Tage und 7 Monate (7 mal 30 Tage) also insgesamt 224 Tage.
Auch hier kann man die einfache Verzinsung von der Verzinsung mit
Zinseszinsen unterscheiden.
2.3.1 Unterjährige einfache Verzinsung
Bei der einfachen unterjährigen Verzinsung werden die Zinsen mehrmals im Jahr
ausgezahlt und neben dem Kapital unverzinslich angesammelt.
Satz: Das Endkapital bei unterjähriger einfacher Verzinsung berechnet sich als:
K f = K 0 ⋅ (1 + i ⋅ f )
19
Finanzmathematik
r
Woran erinnert Sie diese Formel?
Beispiel:
f=
180
= 0,5 für eine halbjährige Anlage,
360
f=
90 1
= für eine quartalsweise Anlage
360 4
f=
30
1
=
für eine monatliche Anlage
360 12
r
Beispiel:
Für kurzfristige Festgeldanlagen gewährt die Schweizer Bank
„Tobler&One“ 8% einfache Zinsen pro Jahr. Ein Unternehmen zur
Herstellung von Schokolade möchte 100.000 € für 36 Tage anlegen.
K0=100.000, einfacher Jahreszins=0,08
f =
36
= 0,1
360
K "0 ,1" = 100.000 ⋅ (1 + 0,08 ⋅ 0,1) = 100.800
r
Beispiel:
Das Schokoladen-Unternehmen benötigt die 100.000€ erst in drei Jahren.
Das Geld wird zu 4% einfachen Halbjahreszinsen angelegt.
K0=100.000, einfacher Halbjahreszins=0,04 , Anlagedauer 6 Halbjahre
K 3 = 100.000 ⋅ (1 + 0,04 ⋅ 6) = 124.000
r
Bei „krummen“, nicht ganzzahligen Laufzeiten bei einfacher Verzinsung, die über
ein Jahr hinausgehen, muss die Laufzeit der Kapitalanlage in der Einheit „[in Jahren]“
angegeben werden, wobei die Laufzeit dann keine natürliche „ganze“ Zahl mehr,
sondern eine reelle, („krumme“) ist.
Beispiel:
Die Studentin Viola Knete hat 100.000€ übrig, die sie für die Dauer ihres
Hauptstudiums (zwei Jahre, 4 Monate und 17 Tage lang) zu 8% einfachen
Jahreszinsen anlegt.
K0=100.000, Anlagedauer: = 2 +
4 17
+
= 2,3806
12 360
einfacher Jahreszins i=0,08
20
Finanzmathematik
K "2 ,3806" = 100.000 ⋅ (1 + 0,08 ⋅ 2,3806 ) = 119.044,80€
r
2.3.2 Unterjährige Verzinsung mit Zinseszinsen
Bei der unterjährigen Verzinsung mit Zinseszinsen bestehen allgemein m
Zinsperioden pro Jahr (z.B. 2 für die halbjährliche, 4 für die quartalsweise
Verzinsung,12 für Monate, 360 für Tage usw.).
Am Ende einer Zinsperiode werden die Zinsen ausgezahlt und dem Kapital
zugerechnet, so dass die gezahlten Zinsen bereits in der nächsten Zinsperiode
mitverzinst werden.
Bei m Zinsperioden pro Jahr kann der relative Periodenzinssatz aus
i∗ =
i
m
berechnet werden mit i ∗ der relative Periodenzinssatz , i der nominale
Jahreszinssatz.
Satz: Das Endkapital eines Zinseszinsvorgangs, bei dem mehrmals jährlich ( m mal
jährlich) Zinsen gezahlt und im weiteren mitverzinst werden berechnet sich als
(
K n = K0 ⋅ 1 + i∗
)
m ⋅n
r
Achtung:
Der Exponent beträgt m ⋅ n , (anstatt n bei der jährlichen Verzinsung).
Allerdings ist auch der relative Zinssatz i ∗ =
i
kleiner als der
m
Jahreszinssatz i .
Beispiel:
Die Bank „Bank360“ bietet eine tägliche zinseszinsliche Verzinsung zu
einem jährlichen Nominalzins von 6%, (i=0,06). Auf wie viel wachsen
100 € an, die ein Jahr lang angelegt werden?
K 1 = 100 ⋅ (1 +
0,06 360⋅1
)
= 106,183
360
r
21
Finanzmathematik
2.3.3 Nicht ganzzahlige Laufzeiten in der Praxis
Bei „krummen“, nicht ganzahligen Laufzeiten in der Praxis muss die übliche
Bankenpraxis berücksichtigt werden, dass für das noch nicht abgelaufene Jahre nur
einfache Verzinsung vorgenommen wird.
Es wird dann eine gemischte Verzinsung durchgeführt mit Zinseszinsrechnung für die
abgelaufenen Jahre und einfacher Verzinsung für das noch nicht abgelaufene Jahr.
Man zerlegt die gesamte Anlagedauer in eine Dauer n, für die mit Zinseszinsen
gerechnet wird, und eine Anlagedauer f, für die mit einfachen Zinsen gerechnet wird.
Satz: Das Endkapital bei gemischter Verzinsung ist:
K gemischt = K 0 ⋅ (1 + i ) ⋅ (1 + i ⋅ f )
n
r
Beispiel:
Das Kapital von Viola Knete in Höhe von 100.000 wird zwei Jahre, 4
Monate und 17 Tage lang zu 8% Jahreszinsen angelegt. Zinseszinsen
werden erst bei einer Anlagedauer ab einem Jahr gezahlt.
K0=100.000, Anlagedauer: n = 2 und f =
4 17
+
= 0,3806
12 360
K gemischt = 100.000 ⋅ (1 + 0,08) ⋅ (1 + 0,08 ⋅ 0,3806) =120.191,45
2
r
22
Finanzmathematik
2.3.4 Effektivzins und Nominalzins – Ein Cartoon
Hohoho! Ich bin ein
Nominalzins von 8%!
Das sagt noch gar
nichts! Vielleicht bis
du tatsächlich nur ein
Effektivzins von 6%.....
2.3.5 Effektiver Zins bei unterjähriger Verzinsung
Bemerkung: Solange noch keine unterjährige Verzinsung auftrat, erhöhte sich das
Kapital nach einem Jahr Anlagedauer gemäß des angegebene Zinssatzes. Der
„Name“ bzw. die Größenordung des Zinssatzes gab exakt die Vergrößerung des
Kapitals nach einem Jahr an. Deswegen werden solche Zinssätze auch als
nominale Zinssätze bezeichnet. Sobald irgendein Sachverhalt eintritt, der zu
einem abweichenden Kapitalwachstum führt, als der „Name“ des Zinssatzes
bzw. der nominale Zinssatz verspricht, spricht man vom effektiven Zinssatz1.
Der effektive Zinssatz gibt die Kapitalvergrößerung an, die effektiv
(=tatsächlich) nach einem Jahr aufgetreten ist.
1
Vom nominalen Zinssätze abweichende effektive Zinssätze treten auf bei
Unterjähriger, zinseszinslicher Verzinsung,
Geschenken in Form von Startguthaben,
Aufschlägen bei der Rückzahlung des angelegten Kapitals,
....
23
Finanzmathematik
Frage:
Ist der effektive Zinssatz bei unterjähriger zinseszinslicher Verzinsung
größer
oder kleiner
als der nominale Zinssatz?
Beispiel: 100 € werden bei jährlicher Verzinsung zu 6% angelegt. Alternativ wird eine
monatliche zinseszinslicher Verzinsung zu. i ∗ =
i
0,06
=
= 0,005 relativem
m
12
Zinssatz geboten. Das Kapital beträgt bei der jährlichen Verzinsung nach
einem Jahr 106 €. Bei monatlicher Verzinsung beträgt das Kapital
(
K n = K0 ⋅ 1 + i∗
)
m ⋅n
= 100 ⋅ (1 + 0,005) = 106 ,17 € , so dass – hier kann man das
12
Ergebnis direkt ablesen – der effektive Prozentzinssatz 6,17 % beträgt,
während der nominelle Zinssatz nur 6% beträgt.
r
Satz: Allgemein gilt für die Berechnung des effektiven Jahres-Zinssatzes j aus dem
relativen Zinssatz i ∗ :
(
j = 1 + i∗
)
m
−1
r
Beweis:
Wenn der effektive Zinssatz j gesucht ist, muss die Gleichung nach j
aufgelöst werden.
( ) = K ⋅ (1 + j )
(1 + i ) = (1 + j )
(1 + i ) = (1 + j )
j = (1 + i ) − 1
K 0 ⋅ 1 + i∗
m⋅n
n
0
∗ m⋅ n
n
∗ m
∗ m
r
Beispiel:
In obigem Beispiel ergibt sich nun rechnerisch für den Effektivzinssatz:
j = (1 + 0,005) − 1 = 0,0617 , d.h. 6,17% Effektivzins.
12
r
24
Finanzmathematik
2
m
i
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,1
0,01002
0,02010
0,03022
0,04040
0,05062
0,06090
0,07122
0,08160
0,09202
0,10250
Effektivzinssatz j bei m unterjährigen Zinsperioden
4
6
12
52
Effektivzinssatz j
0,01004
0,01004
0,01005
0,01005
0,02015
0,02017
0,02018
0,02020
0,03034
0,03038
0,03042
0,03045
0,04060
0,04067
0,04074
0,04079
0,05095
0,05105
0,05116
0,05125
0,06136
0,06152
0,06168
0,06180
0,07186
0,07207
0,07229
0,07246
0,08243
0,08271
0,08300
0,08322
0,09308
0,09344
0,09381
0,09409
0,10381
0,10426
0,10471
0,10506
360
0,01005
0,02020
0,03045
0,04081
0,05127
0,06183
0,07250
0,08328
0,09416
0,10516
In der Tabelle für die Effektivzinssätze bei unterschiedlichen nominellen Zinssätzen i
und unterschiedlicher unterjähriger Periodenanzahl m ist erkennbar, dass der
Effektivzins j nicht beliebig weit wächst, sondern gegen eine Obergrenze konvergiert.
2.3.6 Konformer unterjähriger Periodenzinssatz
Oft wird in der Praxis gewünscht, dass trotz mehrfacher Zinszahlungen pro Jahr
bei unterjähriger Verzinsung ein nominaler Jahreszinssatz nicht überschritten
wird.
Der durch die unterjährige Verzinsung erreichte Effektivzinssatz für das Jahr soll
also den nominellen Jahreszinssatz nicht überschreiten.
Unter diesen Bedingungen kann für die unterjährige Verzinsung nicht der
relative Zinssatz vergütet werden, sondern ein anderer, etwas geringerer, den
man konformen unterjährigen Zinssatz k nennt.
Satz: Bei unterjähriger Verzinsung ist der konforme unterjährige Zinssatz k zum
nominalen Jahreszinssatz i
k = m1+ i −1
r
Beweis:
Zur Berechnung des konformen unterjährigen Zinssatzes k gilt die
Bedingung, dass ein Endkapital, das in einem jährlichen
25
Finanzmathematik
Verzinsungsvorgang mit dem nominellen Jahreszinssatz i erreicht wird,
gleich sein muss einem Endkapital eines unterjährigen
Verzinsungsvorgangs mit dem konformen unterjährigen Periodenzins k :
K 0 ⋅ (1 + i ) = K 0 ⋅ (1 + k )
n
m⋅n
Wenn der konforme unterjährige Zinssatz gesucht ist, muss die
Gleichung nach k aufgelöst werden.
(1 + i )n = (1 + k )n⋅m
(1 + i ) = (1 + k )m
k = m 1+ i −1
r
Beispiel:
In obigem Beispiel würde der konforme unterjährige Periodenzinssatz
k = 12 (1 + 0,06 ) − 1 = 0,00487 (statt dem relativen Periodenzinssatz von
i∗ =
0,06
= 0,005 ) betragen.
12
r
Vervollständigung der Symbolliste:
Symbole
Bedeutung
i
m
i∗
j
k
nomineller Jahreszins
Anzahl unterjährige Perioden
relativer Periodenzins
effektiver Zinssatz (jährlich)
konformer unterjähriger Periodenzins
Beispiel
0,06
12 Monate
0,005
0,0617
0,00487
2.4 Stetige Verzinsung
Eine stetige Verzinsung resultiert, wenn bei der unterjährigen Verzinsung die
Periodenzahl m immer weiter erhöht wird, so dass die einzelnen
Zinsperioden infinitesimal klein werden.
Probleme dieser Art spielen in der Finanzmathematik eine untergeordnete Rolle.
Sie sind jedoch wichtig für demographische, ökologische, physikalische,
chemische und biologische Fragestellungen.
26
Finanzmathematik
Auch bei besonderen Problemen der Investitionsrechnung, wie z.B. der
Bestimmung des optimalen Ersatzzeitpunktes einer Maschine oder bei der Frage
nach der optimalen Nutzungsdauer kommt die stetige Verzinsung zur
Anwendung.
Herleitung der Formel für die stetige Verzinsung:
Starten Sie mit der Formel für die unterjährige Verzinsung
i 

K n = K 0 ⋅ 1 + 
 m
Setzen Sie
m ⋅n
i 1
m
= bzw.
= v .....dann rechnet es sich leichter
m v
i
Aus dieser Definition folgt:
m = v ⋅i
Setzt man diesen Ausdruck für m in die obige Gleichung ein, dann ergibt sich:
 1
K n = K 0 ⋅ 1 + 
 v
v⋅i ⋅n
 1  v 
bzw. durch geeignetes Klammersetzen K n = K 0 ⋅ 1 +  
 v  
i ⋅n
Wenn nun angenommen wird, dass die Länge der unterjährigen Zinsperioden immer
kleiner wird, dann wird m (die Anzahl der unterjährigen Zinsperioden) immer größer
(z.B. 360 Tage, 8.640 Stunden usw.).
Aus der Beziehung m = v ⋅ i folgt, dass bei Anwachsen von m auch v anwachsen muss.
Wenn die Länge der Zinsperioden infinitesimal klein wird, d.h. wenn man bspw. die
Kapitalanlage für Tage, Stunden oder gar Minuten betrachtet, wird die Zahl m der
Zinsperioden pro Jahr (1 Jahr = 360 Tage = 8.640 Stunden = 518.400 Minuten usw.)
und damit auch der Koeffizient v unendlich groß.
Der Mathematiker Euler hat nachgewiesen, dass für diesen Fall gilt:
 1  v 
lim v→∞ 1 +   = 2,718281828459... . Das ist die Eulersche Zahl e .
 v  
Die Gleichung für den Endwert eines Verzinsungsvorgangs bei unterjähriger
Verzinsung mit infinitesimal kleinen Perioden wird dann zu
K n = K 0 ⋅ e i ⋅n
r
27
Finanzmathematik
Diese Gleichung wird auch als Wachstumsfunktion (siehe
Wirtschaftsmathematik I) und Verzinsungsvorgänge dieser Art als stetige
Verzinsung bezeichnet.
Wachstumsfunktionen dienen der Beschreibung des Bevölkerungswachstums
oder anderer volkswirtschaftlicher Fragestellungen, des Wachstums von
Kulturen von Zellen, Viren Bakterien o.ä.
Die Bedeutung der Wachstumsfunktion liegt darin, dass hierbei in infinitesimal
kleinen Abständen zu einem Bestand etwas hinzukommt, dass schon im nächsten
Moment selber wieder zu einer weiteren Vermehrung beiträgt.
3. Abschreibungsrechnung
Abschreibungen sind die buchmäßige Erfassung der Wertminderung eines
Wirtschaftsgutes während der Nutzungsdauer (AfA = Absetzung für Abnutzung).
Stichworte:
Verbrauchsbedingter oder wirtschaftlicher Verschleiß führt zu Wertminderung
Begrenzte Nutzungsdauer
Die Wertminderung wird auf die Nutzungsdauer verteilt
Das EStG enthält Rahmenvorschriften für die anzusetzende Nutzungsdauer
Erinnerungswert oder Schrottwert
Symbole
Bedeutung
Beispiel
K0
Neuwert
100 €
Kn
Restwert, Schrottwert
n
ganzzahlige Nutzungsdauer
10 Jahre
Am
Abschreibungsbetrag in Periode m
10 €
1€
z.B. in Periode m = 5
pm =
Am
⋅100
K m −1
Abschreibungsprozentsatz
vom Restwert (nach m − 1 Perioden)
m = 1,..., n,
hier m − 1 = 4
28
Finanzmathematik
p = p1
Abschreibungssatz bei lin. Abschreibung
p = pm
Abschreibungssatz bei geo. degr. Abschreibung
p mN =
Am
⋅ 100
K0
Abschreibungsprozentsatz vom Neuwert
3.1 Lineare Abschreibung
Eine Art der Wertminderung ist die Bildung gleicher Abschreibungsbeträge für jede
Periode der Nutzungsdauer. Formal lässt sich diese lineare Abschreibung
folgendermaßen darstellen:
Am = d = const., für m = 1,..., n
Daraus ergeben sich die Restwerte K m am Ende der Abschreibungsperioden m :
K1
=
K0 − d
K2
=
K1 − d
=
K0 − 2 ⋅ d
K3
=
K2 − d
=
K0 − 3 ⋅ d
Kn
=
K n −1 − d
=
K1 − (n − 1) ⋅ d
=
K0 − n ⋅ d
Allgemein ergibt sich für eine beliebige Abschreibungsperiode m :
Km = K0 − m ⋅ d .
Bei der Folge der Buchwerte K m handelt es sich also um Glieder einer arithmetischen
Folge.
Der Abschreibungsbetrag d ist bei gegebenem Neu- und Restwert und gegebener
Abschreibungsdauer:
d=
K0 − Kn
n
Die Abschreibungsprozentsätze lassen sich folgendermaßen herleiten:
29
Finanzmathematik
d
⋅100
K m −1
Abschreibungsprozentsatz vom Restwert:
pm =
Abschreibungssatz:
p = p1 =
Abschreibungsprozentsatz vom Neuwert:
p mN =
Beispiel:
d
⋅100
K0
d
⋅ 100
K0
Eine Maschine zur Herstellung von Nickelnieten für Jeanskleidung mit
Anschaffungskosten von 50.000 € soll nach 10 Jahren auf einen Restwert
von 10.000 € abgeschrieben werden. Wie lauten die jährlichen
Abschreibungen, die Abschreibungsprozentsätze und wie sieht der
Abschreibungsplan aus?
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Km
50.000
46.000
42.000
38.000
34.000
30.000
26.000
22.000
18.000
14.000
10.000
Am=d
4.000
4.000
4.000
4.000
4.000
4.000
4.000
4.000
4.000
4.000
pmN
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
8,00
pm
8,00
8,70
9,52
10,53
11,76
13,33
15,38
18,18
22,22
28,57
r
30
Finanzmathematik
3.2 Arithmetisch degressive Abschreibung
Die Abschreibungsbeträge Am sollen jedes Jahr um einen festen Betrag d fallen.
Beispiel:
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Km
50.000
44.875
40.000
35.375
31.000
26.875
23.000
19.375
16.000
12.875
10.000
Am
5.125
4.875
4.625
4.375
4.125
3.875
3.625
3.375
3.125
2.875
pmN
10,25
9,75
9,25
8,75
8,25
7,75
7,25
6,75
6,25
5,75
pm
10,25
10,86
11,56
12,37
13,31
14,42
15,76
17,42
19,53
22,33
Die Abschreibungsbeträge fallen jedes Jahr um d=250 €.
r
Der Abschreibungsbetrag im Jahr m ist:
Am = A1 − ( m − 1) ⋅ d
Beispiel: A5 = 5.125 − (5 − 1) ⋅ 250 = 4.125
r
Um nach n Jahren vom Neuwert K0 auf den Restwert Kn zu gelangen, muss für den
Veränderungsbetrag d gelten:
d = 2⋅
Beispiel:
n ⋅ A1 − ( K 0 − K n )
n( n − 1)
Man will die Maschine für Nickelnieten nach 10 Jahren von 50.000 auf
10.000 abschreiben. Der erste Abschreibungsbetrag A1 soll 5.125 € sein.
31
Finanzmathematik
d = 2⋅
10 ⋅ 5.125 − (50.000 − 10.000 )
10(10 − 1)
= 250
r
Damit die arithmetisch degressive Abschreibung „funktioniert“, d.h., damit die
Abschreibungsraten fallen und auch in Periode n noch etwas abgeschrieben werden
kann, muss für den ersten Abschreibungsbetrag folgende Bedingung gelten:
K0 − Kn
K − Kn
< A1 < 2 ⋅ 0
n
n
Beispiel:
Der Abschreibungsbetrag könnte im gewählten Beispiel der Maschine für
Nickelnieten zwischen
50.000 − 10.000
10
< A1 < 2 ⋅
50.000 − 10.000
10
, d.h. zwischen 4.000 und 8.000
liegen.
r
3.3 Geometrisch degressive Abschreibung
Manchmal ist es sachlich nicht einzusehen, dass ein immer größerer Anteil vom
Buchwert abgeschrieben wird. Im Beispiel der linearen Abschreibung der
Nickelnietenmaschine werden im 10. Jahr fast 30% des Buchwertes aus dem 9.
Jahr in Höhe von 14.000 € abgeschrieben.
Bei der geometrisch degressiven Abschreibung wird erzwungen, dass der
Abschreibungsbetrag Am ein fester Prozentsatz pm des Buchwertes der
Vorperiode ist.
pm = p =
Am
⋅ 100 = const.
K m −1
Setzt man für Am = K m −1 − K m ein, löst die Gleichung nach K m auf und ersetzt K m −1
schrittweise, bis man nur noch K 0 auf der rechten Gleichungsseite hat, so erhält man
die Folge der Restwerte bei geometrisch degressiver Abschreibung.
32
Finanzmathematik
p 

K m = K 0 ⋅ 1 −

 100 
m
für m = 1,..., n
Für die Abschreibungsbeträge bei geometrisch degressiver Abschreibung ergibt sich:
Am = K m −1 − K m = K m −1 ⋅
p
100
bzw.
p 

Am = K 0 ⋅ 1 −

 100 
m −1
⋅
p
100
Die Abschreibungsbeträge einer geometrisch degressiven Abschreibung bilden
eine geometrische Folge, und zwar eine Nullfolge.
Der Restwert 0 kann zwar durch die geometrisch degressive Abschreibung nie
ganz erreicht werden, man kann aber immer nach einer gewissen Anzahl von
Perioden auf eine andere Abschreibungsart umstellen, so dass der Restwert von 0
doch noch erreicht wird.
Beispiel:
Im o.g. Beispiel der Maschine für Nickelnieten ergibt sich bei geometrisch
degressiver Abschreibung und einer vorgegebener Nutzungsdauer von 10
Jahren:
m
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Km
50.000
42.567
36.239
30.852
26.265
22.361
19.037
16.207
13.797
11.746
10.000
Am
7.433
6.328
5.387
4.586
3.905
3.324
2.830
2.409
2.051
1.746
p mN
14,87
12,66
10,77
9,17
7,81
6,65
5,66
4,82
4,10
3,49
pm
14,87
14,87
14,87
14,87
14,87
14,87
14,87
14,87
14,87
14,87
r
33
Finanzmathematik
Vergleich von linearer, arithmetisch degressiver und geometrisch
degressiver Abschreibung
Km
50.000
45.000
40.000
35.000
30.000
25.000
20.000
15.000
10.000
m
0
1
2
3
4
5
6
7
Restwerte lineare Abschreibung
Restwerte arithmetisch degressive Abschreibung
Restwerte geometrisch degr. Abschreibung
8
9
10
Die Gleichung der Folge der Restwerte bei geometrisch degressiver Abschreibung
p 

K m = K 0 ⋅ 1 −

 100 
m
lässt sich nach allen in ihr vorkommenden Variablen
auflösen, um unterschiedliche Fragestellungen zu beantworten.
Auflösung nach p :
Bei vorgegebenen Werten für die Nutzungsdauer n , den Neuwert K 0 und den Restwert
K n ergibt sich für den Abschreibungsprozentsatz p :

K 
p = 1 − n n  ⋅100
K0 

Beispiel:
Im Beispiel der Maschine für Nickelnieten ergibt sich bei einer
Nutzungsdauer von 10 Jahren ein Abschreibungsprozentsatz

10.000 
p = 1 − 10
⋅ 100 = 14,87%
50.000 

r
34
Finanzmathematik
Auflösung nach n :
Bei vorgegebenen Werten für den Abschreibungsprozentsatz p ,
den Neuwert K 0 und den Restwert K n ergibt sich für die Anzahl
der erforderlichen Abschreibungsperioden oder die Nutzungsdauer
n (Achtung: da n oft nicht ganzzahlig ist, schreibt man besser x
für n !)
x=
Beispiel:
ln K n − ln K 0
p 

ln1 −

 100 
Im Beispiel der Nickelnieten ergibt sich für die Nutzungsdauer
x=
ln 10.000 − ln 50.000
= 10 , d.h. 10 Jahre.
 14,87 
ln1 −

100 

r
Beispiel:
In spätestens wie vielen Jahren ist eine Fabrikeinrichtung für die
Herstellung von Linkshänder-Nähmaschinen mit einem
Anschaffungswert von 600.000 € bei geometrisch degressiver
Abschreibung mit einem Abschreibungssatz von 15% auf einen
Restwert von 40.000 € abgeschrieben?
x=
ln 40.000 − ln 600.000
= 16,66 , d.h. 17 Jahre
15 

ln1 −

 100 
r
Nach dem EstG berechnet sich der maximale Abschreibungssatz bei der geometrisch
degressiven Abschreibung aus dem kleineren Wert zwischen
-
dem Doppelten des Abschreibungssatzes bei linearer Abschreibung
-
aber maximal 20%.
Beispiel:
Eine Maschine mit Anschaffungskosten von 100.000€ und 20 Jahren
Laufzeit soll geometrisch-degressiv mit dem maximalen
Abschreibungssatz abgeschrieben werden.
35
Finanzmathematik
Abschreibungssatz bei linearer Abschreibung:
100.000 − 0
= d = 5.000
20
d
5.000
⋅100 =
⋅100 = p = 5%
K0
100.000
Min{2⋅5%;20%}=10%.
r
4. Rentenrechnung
4.1 Begriffe der Rentenrechnung
Definition: Unter eine Rente versteht man einen Zahlungsstrom,
in gleichen Abständen
in gleicher Höhe
regelmäßig wiederkehrend
Die Gesamtheit der Zahlungen heißt Rente. Die einzelne Zahlung heißt
Rentenrate.
r
Definition: Der Abstand zwischen zwei Rentenzahlungen heißt Rentenperiode (z.B.
1 Monat bei „Rentnern“, 1 Jahr bei den meisten hier verwendeten
Beispielen). Es gibt nachschüssige Renten am Ende (üblicher Fall) und
vorschüssige Renten am Anfang der Rentenperiode.
r
Bemerkung:
Wenn das Kapital länger als eine Zinsperiode angelegt wird, wird
zinseszinslich verzinst.
Wenn das Kapital kürzer als eine Zinsperiode angelegt wird, wird
einfach verzinst.
36
Finanzmathematik
Übersicht über die verwendeten Rentenformen
Abschnitt 4.2
Abschnitt 4.3
Abschnitt 4.4
Rentenperiode
1 Jahr
1 Jahr
m unterjährige Perioden
Vor- oder nachschüssige Zahlung
nach
vor
nach
Verzinsung
Zinseszins
Zinseszins
bis zu einem Jahr:
einfach, danach
zinseszinslich
Laufzeit
Bemerkungen
begrenzt
begrenzt
Standardfall mit Verschiebung
RBF und REF sämtlicher
Zahlungen um
eine Periode
nach vorne
Abschnitt 4.5
1 Jahr
nach
Zinseszins
begrenzt
ewig
zuerst Umrechung in
Euler
hypothetische, konforme
Jahresrente, dann
"Standardfall"
4.2 Jährliche konstante nachschüssige Rente bei fester
Laufzeit
Die Rentenrate wird zum Ende der jeweiligen Rentenperiode (des Jahres)
ausgezahlt.
Ab diesem Zeitpunkt werden die Rentenraten mit dem Zinssatz i zinseszinslich
mitverzinst.
Bei einer Laufzeit von n Rentenperioden werden n Rentenraten gezahlt..
Beispiele:
(1) Theo Knapp bringt 5 Jahre lang einmal jährlich am Jahresende 100 €
zur Bank, die diese Einzahlungen bei 5% Zinseszinsen ansammelt.
Welcher Betrag wird Theo nach Ablauf von 5 Jahren zur Verfügung
stehen (Rentenendwert)?
(2) Aus einem Lottogewinn stehen Berta Gierig für die nächsten 10 Jahre
jährliche Zahlungen in Höhe von je 10.000 € zu. Welchen Wert hat dieser
Lottogewinn heute, wenn von 6% Zinseszinsen ausgegangen wird, d.h.
mit welchem Betrag könnte Berta heute ihre Rente kapitalisieren lassen
(Rentenbarwert)?
(3) In 18 Jahren sollen dem neugeborenen Kind Benjamin der Familie
Ver’Wöhn 25.000 € zur Verfügung stehen. Wie hoch müssen die
jährlichen Raten sein, die die Ver’Wöhns während der nächsten 18 Jahre
bei 5% Zinsen einzahlen müssen, damit nach 18 Jahren exakt der
gewünschte Betrag für Benjamin zur Verfügung steht?
(4) Dem selbständigen Marktforscher Kain Risiko werden aus einer
Lebensversicherung an seinem 65. Geburtstag 100.000 € ausgezahlt.
Diesen Betrag möchte Kain Risiko verrenten. Er legt ihn zu 6%
Zinseszinsen bei einer Bank mit der Maßgabe an, ihm jährlich 10.000 €
37
Finanzmathematik
auszuzahlen. Wie lange dauert es, bis das Kapital aufgezehrt ist
(Rentendauer)?
Symbole
r
n
i
R0
Rn
Bedeutung
konstante Rentenrate
ganzzahlige Laufzeit
Zinssatz
Barwert der nachschüssigen Rente
Endwert der nachschüssigen Rente
R0
'
Barwert der vorschüssigen Rente
Rn
'
Endwert der vorschüssigen Rente
Beispiel
1.000 €
10 Jahre
0,04
25.000 €
37.006 €
4.2.1 Rentenendwertformel
Beispiel:
Theo Knapp bringt am Ende eines jeden Jahres 100 € zur Sparkasse, die
diese Einzahlungen mit 5% verzinst. Welcher Betrag wird Theo nach
Ablauf von 5 Jahren zur Verfügung stehen?
Herleitung der nachschüssigen Rentenendwertformel (REF):
Allgemein gilt:
Rn = r + r ⋅ q + r ⋅ q 2 + ... + r ⋅ q n −1 ,
Ausklammern von r liefert:
(
Rn = r ⋅ 1 + q + q 2 + ... + q n −1
q = 1+ i
)
n Glieder einer geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied a1 = 1 und
dem konstanten Faktor q ! Für die Berechnung der Summe der
geometrischen Reihe Summenformel verwenden!
Nachschüssige REF:
Rn = r ⋅
qn −1
q −1
qn −1
Der Ausdruck
wird als nachschüssiger Rentenendwertfaktor
q −1
bezeichnet.
38
Finanzmathematik
Beispiel:
In o.g. Beispiel erhält Theo 100 ⋅
1,055 − 1
= 552,56 € .
1,05 − 1
r
nachschüssige Rentenendwertfaktoren
n
2
p=1%
2,0100
3,0301 4,0604
5,1010 6,1520
7,2135 8,2857 9,3685 10,4622
p=2%
2,0200
3,0604 4,1216
5,2040 6,3081
7,4343 8,5830 9,7546 10,9497
3
2,0300
3,0909 4,1836
5,3091 6,4684
7,6625 8,8923 10,1591 11,4639
4
2,0400
3,1216 4,2465
5,4163 6,6330
7,8983 9,2142 10,5828 12,0061
5
2,0500
3,1525 4,3101
5,5256 6,8019
8,1420 9,5491 11,0266 12,5779
6
2,0600
3,1836 4,3746
5,6371 6,9753
8,3938 9,8975 11,4913 13,1808
7
2,0700
3,2149 4,4399
5,7507 7,1533
8,6540 10,2598 11,9780 13,8164
8
2,0800
3,2464 4,5061
5,8666 7,3359
8,9228 10,6366 12,4876 14,4866
9
2,0900
3,2781 4,5731
5,9847 7,5233
9,2004 11,0285 13,0210 15,1929
10
2,1000
3,3100 4,6410
6,1051 7,7156
9,4872 11,4359 13,5795 15,9374
3
4
5
6
7
8
9
10
Erhält man eine Rente für die Dauer von 5 Jahren bei 6% Zinseszinsen, so beträgt der
Rentenendwert das 5,6371-fache der Rentenrate.
4.2.2 Rentenbarwertformel
Neben dem Endwert einer Rente interessiert auch häufig deren Barwert.
Beispiel:
Berta Gierig möchte bereits heute über den Gesamtwert ihrer Rente
abzüglich der zu zahlenden Zinsen verfügen.
Aus dem errechneten Endwert Rn des Rentenvorgangs, der Laufzeit n und der
Verzinsung mit p % bzw. i kann der Rentenbarwert ermittelt werden.
39
Finanzmathematik
Man zinst den zum Endzeitpunkt feststehenden Rentenendwert auf den
Anfangszeitpunkt, d.h. den Beginn der Rente ab.
R0 = Rn ⋅
1
qn
Der Endwert muss im o.g. Beispiel noch errechnet oder die
Rentenendwertformel eingesetzt werden. Die nachschüssige
Rentenbarwertformel (RBF) lautet:
R0 = r ⋅
Beispiel:
qn −1 1
⋅
q −1 qn
Der Endwert von Berta Gierigs Lottogewinn beträgt
10.000 ⋅
1,0610 − 1
= 131.807 ,95 € .
1,06 − 1
Der Barwert Bertas Lottogewinns beträgt
131.807 ,95
= 73.600 ,87 € .
1,0610
Sie könnte sich also 73.600,87 € sofort auszahlen lassen.
r
nachschüssige Rentenbarwertfaktoren
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
p=1% 1,9704 2,9410 3,9020 4,8534 5,7955 6,7282 7,6517 8,5660 9,4713
P=2% 1,9416 2,8839 3,8077 4,7135 5,6014 6,4720 7,3255 8,1622 8,9826
3
1,9135 2,8286 3,7171 4,5797 5,4172 6,2303 7,0197 7,7861 8,5302
4
1,8861 2,7751 3,6299 4,4518 5,2421 6,0021 6,7327 7,4353 8,1109
5
1,8594 2,7232 3,5460 4,3295 5,0757 5,7864 6,4632 7,1078 7,7217
6
1,8334 2,6730 3,4651 4,2124 4,9173 5,5824 6,2098 6,8017 7,3601
7
1,8080 2,6243 3,3872 4,1002 4,7665 5,3893 5,9713 6,5152 7,0236
40
Finanzmathematik
8
1,7833 2,5771 3,3121 3,9927 4,6229 5,2064 5,7466 6,2469 6,7101
9
1,7591 2,5313 3,2397 3,8897 4,4859 5,0330 5,5348 5,9952 6,4177
10
1,7355 2,4869 3,1699 3,7908 4,3553 4,8684 5,3349 5,7590 6,1446
Erhält man eine Rente für die Dauer von 8 Jahren bei 8% Zinseszinsen, so beträgt der
Rentenbarwert das 5,7466-fache der Rentenrate. Man könnte sich also heute das
5,4766-fache der Rentenrate auszahlen lassen.
Beispiel:
Eine Steuerberaterin kauft die Praxis eines älteren Kollegen und muss als
Kaufpreis 10 Jahre lang jährlich nachschüssig 12.500 € an ihn zahlen.
Durch welchen Betrag könnte sich die Steuerberaterin sofort „freikaufen“,
wenn mit 8% Zinseszinsen kalkuliert wird?
Mit dem 6,7101-fachen der Jahresrate, 6,7101⋅12.500 = 83.876,25 € könnte
sich die Steuerberaterin sofort „freikaufen“.
Alternativ kann man mit der Rentenbarwertformel rechnen:
R0 = 12.500 ⋅
1,0810 − 1 1
⋅
= 83.876,02 €
1,08 − 1 1,0810
(Die Beträge weichen durch Rundungsfehler voneinander ab. Der korrekte
Rentenbarwertfaktor lautet eigentlich 6,7100813989)
r
Beispiel:
Familie Ver’Wöhn fragt nach den Raten der Rentenzahlung. Dazu muss
die Rentenendwertformel nach r aufgelöst werden.
r = Rn ⋅
r = 25.000 ⋅
q −1
qn − 1
1,05 − 1
= 888,66 € .
1,0518 − 1
Familie Ver’wöhn müsste jährlich 888,66 € einzahlen, damit Benjamin
nach 18 Jahren über 25.000 € verfügen kann.
r
Beispiel:
Die Rentendauer für Kain Risiko errechnet sich aus der Auflösung der
Rentenbarwertformel nach n bzw. nach x , da nicht immer ganzzahlig.
Man rechnet aus, zu welchem Zeitpunkt die letzte Rentenzahlung erfolgen
kann.
41
Finanzmathematik
Aus R0 = r ⋅
qn −1 1
⋅ folgt
q −1 qn
r ⋅ q n − r = R 0 ⋅ q n ⋅ (q − 1)
r ⋅ q n = R0 ⋅ q n ⋅ i + r
r = − R0 ⋅ q n ⋅ i + r ⋅ q n
r = q n ⋅ (− R 0 ⋅ i + r )
qn =
r
r − R0 ⋅ i


r

ln
r − R0 ⋅ i 

x=
ln q
10.000


ln

10.000 − 100.000 ⋅ 0,06  ln 2,5

x=
=
= 15,73 Jahre
ln 1,06
ln 1,06
Nach gut 15 Jahren ist das Kapital von Kain Risiko aufgebraucht!
r
4.3 Jährliche vorschüssige konstante Rente bei fester
Laufzeit
Die Rentenrate wird zu Beginn der jeweiligen Rentenperiode (des Jahres)
ausgezahlt.
Ab diesem Zeitpunkt werden die Rentenraten mit dem Zinssatz i zinseszinslich
mitverzinst.
Bei einer Laufzeit von n Rentenperioden werden n Rentenraten gezahlt (genau
wie bei der nachschüssigen Rente).
Jede Zahlung erfolgt genau eine Periode früher als im nachschüssigen Fall.
Die vorschüssige Rentenrate errechnet sich aus der nachschüssigen durch
r' = r ⋅ q
mit r’ die jährliche vorschüssige Zahlung und r die jährliche nachschüssige
Zahlung.
Die vorschüssige Rentenendwertformel ergibt sich als:
42
Finanzmathematik
q n +1 − q
Rn = r ⋅
q −1
'
mit r die vorschüssige Rentenrate.
Die vorschüssige Rentenbarwertformel lautet dann:
'
R0 = r ⋅
q n +1 − q 1
⋅
q −1 qn
mit r die vorschüssige Rentenrate.
Bemerkung: Auch bei der vorschüssigen Rentenbarwertformel wird genau n Perioden
abgezinst!
r
Beispiel:
Durch eine geschickte Einkommensteuererklärung erhält Herr
Ausgefuchst jeweils zum Jahresanfang 1.000€
Einkommensteuerrückzahlung. Wie viele Jahre muss er bei 6% Zinsen
jährlich das Geld anlegen, bis das angewachsene Kapital samt Zinsen
100.000 € übersteigt?
Auflösen der vorschüssigen Rentenendwertformel nach n:
'
Rn ( q − 1) = r ( q n +1 − q )
'
Rn i
r
'
Rn i
r
= ( q n +1 − q )
+ q = q n +1

 Rn ' i
ln 
+ q

 r
−1 = n
ln q
100000 ⋅ 0,06

ln 
+ 1,06
1000

 − 1 = 32,54
ln 1,06
Nach 33 Jahren hat Herr Ausgefuchst die 100.000€ überschritten.
r
43
Finanzmathematik
4.4 Unterjährige konstante Raten bei fester Laufzeit und
jährlicher Verzinsung
Der typische „Rentner“ erhält seine Rente nicht einmal im Jahr sondern monatlich. Bei
der unterjährigen Rente werden periodisch in jedem Jahr m Rentenraten gezahlt (z.B.
m = 4 Quartale oder m = 12 Monate). Theoretisch können eine
nachschüssige und eine
vorschüssige Zahlung der Rente unterschieden werden.
Darüber hinaus unterscheidet man eine
jährliche Verzinsung von einer
unterjährigen Verzinsung.
-
-
Übereinstimmung von Zins- und Rentenperiode (z.B. Monatszinsen und
monatliche Rente)
Abweichung von Zins- und Rentenperiode (z.B. Quartalszinsen und
monatliche Rente oder Monatszinsen und Quartalsrente.)
Im weiteren wird nur eine nachschüssige Rente mit m Raten pro Jahr bei jährlicher
Verzinsung betrachtet.
Wichtige Anwendungsbeispiele sind:
Rechnungen zur Wirtschaftlichkeit von Investitionen
Analyse von Betriebsrenten
Die m mal jährlich nachschüssig fließenden Rentenraten sind bei einer jährlichen
Zinsperiode durch Aufzinsen in eine konforme nachschüssige Jahresrente re
umzuwandeln.
Erinnern Sie:
Bei jährlichen Zinszahlungen werden innerhalb des Jahres keine
Zinseszinsen berechnet!
Daraus folgt:
Die Aufzinsung der m unterjährigen Rentenraten erfolgt wie bei
der einfachen Verzinsung!
Erläuterung:Die Bank gewährt die Zinszahlungen pro Jahr, die Einzahlungen erfolgen
jedoch m mal unterjährig. Die im Laufe des Jahres eingezahlten Beträge
werden deshalb nicht mit Zinseszinsen sondern nur mit einfachen Zinsen
verzinst. Die erste Rentenrate eines Jahres ist bei bspw. Monatsraten noch
für 11 Monate angelegt, die zweite für 10 Monate usw. und die letzte, die
44
Finanzmathematik
genau zum Jahresende eingezahlt wird, wird im betrachteten Jahr gar nicht
mehr verzinst.
Die Summe der m aufgezinsten unterjährigen Rentenraten r entspricht
der nachschüssigen konformen Jahresrente re.
re =
i 
 (m − 1) ⋅ i 
 3⋅i 
 2⋅i 

r + r ⋅ 1 +  + r ⋅ 1 +

 + ... + r ⋅ 1 +
 + r ⋅ 1 +
m 
m 
m 



 m
i⋅r
⋅ (1 + 2 + 3 + ... + m − 1)
m
i ⋅ r ( m − 1) ⋅ m
= r ⋅m +
⋅
m
2
=
r ⋅m +
re =
Interpretation:
Beispiel:
i ⋅ (m − 1)

r ⋅ m +

2


Aus den m unterjährigen Zahlungen werden konforme
(=gleichwertige) jährliche Ersatzzahlungen errechnet.
Ein Fußballspieler erhält von seinem ehemaligen Verein 5 Jahre lang eine
vierteljährliche nachschüssige Rente von 100 €. Welches Kapital besitzt
der Spieler bei 6% jährlichen Zinseszinsen nach 5 Jahren?
Die konforme (jährliche) Ersatzrentenrate beträgt:
 0,06 ⋅ (4 − 1)
re = 100 ⋅ 4 +
 = 409 €
2

Durch Addition der konformen Ersatzrentenraten ergibt sich der Endwert
der Rente (das Endkapital) Rn :
Rn = re ⋅
qn −1
i ⋅ (m − 1) q n − 1

= r ⋅ m +
 ⋅ q −1
2
q −1


Alternativ:
Aus Tabelle der Rentenendwertfaktoren:
qn −1
= 5,6371
q −1
Rn = 409 ⋅ 5,6371 = 2.305,57 €
r
4.5 Ewige Rente mit konstanten Raten
45
Finanzmathematik
Definition: Wird für die Rente kein Endtermin und damit bei den jährlichen Renten
kein endlicher Wert für n vereinbart, so bezeichnet man die
Rentenverpflichtung als ewige Rente.
r
Der Endwert einer ewigen Rente ist unendlich groß! Man kann also
sinnvollerweise nur den Barwert und die Höhe der Rentenrate einer ewigen
Rente betrachten.
Üblicherweise wird von jährlichen nachschüssigen Rentenraten ausgegangen.
Bei einer ewigen Rente kann man sich vorstellen, dass sie aus den Zinsen eines
sehr großen Kapitalbestands gezahlt wird. Der Kapitalbestand muss so groß
sein, dass man aus den darauf entfallenden Zinsen unbegrenzt viele Perioden
lang Rentenraten zahlen kann. Offensichtlich ist das nur dann der Fall, wenn
durch die Rentenzahlungen der ursprüngliche Kapitalbestand nicht geschmälert
wird. Das bedeutet, dass die Rentenzahlungen ausschließlich aus den Zinsen
finanziert werden.
Beispiel:
Wird zwischen den beiden Grundstückseigentümern Herr Zufuß und Frau
Mitweg vereinbart, dass Herr Zufuß für ein Wegerecht jährlich
nachschüssig je 100 € auf unbegrenzte Zeit an Frau Mitweg zahlen muss,
ist der Barwert der ewigen Rente der Kapitalbetrag, mit dem Herr Zufuß
die gesamte Rentenverpflichtung sofort ablösen kann. Frau Mitweg könnte
diesen Barwert zu einem vereinbarten Zinssatz i bei einer Bank anlegen,
die ihr aus dem Zinserlös am Ende eines jeden Jahres 100 € auszahlt. Herr
Zufuß wird dabei den zu zahlenden Kapitalbetrag so bemessen, dass
dessen Zinserträge nach einem Jahr genau 100 € ausmachen.
r
Herleitung:
Zur Ermittlung des Barwertes müssen alle zukünftigen Rentenraten auf den
Anfangszeitpunkt der Betrachtung abgezinst werden. Aus den abgezinsten Beträgen
wird dann die Summe gebildet.
2
3
1
 1 
 1 
R0 = r ⋅
+ r ⋅
 + r ⋅
 + ...
1+ i
1+ i 
1+ i 
Ausklammern von r ergibt:
 1  1  2  1 3

R0 = r ⋅ 
+
 +
 + ...
1 + i  1 + i   1 + i 

46
Finanzmathematik
Der Ausdruck in der eckigen Klammer ist eine unendliche geometrische Reihe mit dem
Anfangsglied a1 =
1
1
und dem konstanten Faktor
< 1.
1+ i
1+ i
Verwendet man für die Umrechnung die Formel für die geometrische Reihe mit dem
konstanten Faktor
1
< 1:
1+ i
 1 
1− 

1+ i 

s n = a1 ⋅
1
1−
1+ i
n
n
 1 
 wird für n → ∞ Null),
, (
1+ i 
so erhält man
1
1
1
1
⋅
=
⋅
=
1
1+ i 1+ i
1+ i i
−
1+ i 1+ i
1+ i
Durch Einsetzen des Wertes der eckigen Klammer
1
i
1
in die Formel für R0 ergibt sich
i
als Barwert der ewigen Rente:
R0 =
r
i
r
Beispiel:
Für die Verpachtung des Audimax an einen Sportverein für
Papierschwalbenweitflug muss der Verein der Hochschule eine ewige
Rente von 2.000 € jährlich nachschüssig zahlen. Wie groß ist der Barwert
dieser Rente, wenn mit 8% Jahreszinsen gerechnet wird?
R0 =
2.000
= 25.000 €
0 ,08
r
Beispiel:
Der Barwert einer ewigen Rente, die jährlich nachschüssig fällig ist,
betrage 50.000 €. Wie hoch sind bei 7,5% Jahreszins die Rentenraten?
50.000 =
r
,
0 ,075
r = 3.750 €
r
47
Finanzmathematik
Beispiel:
Ein reicher Erbonkel hat 25.000 € übrig. Bei welchem Jahreszins kann er
seiner arbeitslosen Nichte, jährlich nachschüssig eine ewige Rente in
Höhe von je 1.500 € finanzieren, damit sie trotz knapper Kasse jedes Jahr
für 4 Wochen nach Mallorca fliegen kann?
25.000 =
1.500
,
i
i = 0,06
r
48
Finanzmathematik
5. Tilgungsrechnung
5.1 Begriffe der Tilgungsrechnung
Gegenstand der Tilgungsrechnung ist ein von einem Gläubiger (z.B. Bank) an
einen Schuldner (z.B. Bankkunde) ausgeliehener Geldbetrag S (Schuld,
Darlehen, Kredit).
Der Geldbetrag soll in regelmäßigen Beträgen (Annuitäten Ak) schrittweise
zurückgezahlt werden. In jeder Annuität ist ein Rückzahlungsbetrag
(Tilgungsanteil Tk) und ein Zinsbetrag Zk enthalten. „Gezahlt wird immer
die Annuität!“.
Je größer der Tilgungsanteil in einer Annuität ist, umso schneller wird die
Schuld zurückgezahlt. Je größer der Tilgungsanteil in einer Annuität ist,
umso kleiner ist der Schuldenstand Sk nach einer gewissen Laufzeit k.
Symbole
Bedeutung
n
Tk
RS k
Laufzeit des Kredits in Jahren
Tilgungsrate am Ende des Jahres k , k=1,...,n
Zinszahlung für das Jahr k (nachschüssig)
Annuität für das Jahr k , Ak = Tk + Z k
Schuldenstand zu Beginn des Jahres k
Sk
S
i
iT
Schuldenstand am Ende des Jahres k
Gesamtschuld, Schuldenstand am Ende des Jahres 0
Nominalzinssatz des Kredites
Tilgungssatz (bei Prozentannuitätentilgung)
Zk
Ak
Außerdem gilt:
Der Schuldenstand zu Beginn des ersten Jahres stimmt mit dem Betrag der
Schuld überein: RS1 = S
Am Ende des Jahres n ist die Schuld getilgt und es fallen keine weiteren
Zahlungen mehr an. S n = 0 = RS n +1
Die Restschuld verringert sich um die jeweiligen Tilgungszahlungen
RS k = S − (T1 + T2 + T3 + ... + Tk −1 ) = S − ( A1 − Z 1 ) − ... − ( Ak −1 − Z k −1 )
Der Tilgungsplan ist eine tabellarische Darstellung von Restschuld RS k , Zins Z k ,
Tilgung Tk und Annuität Ak für jede Periode k .
49
Finanzmathematik
Beispiel eines Tilgungsplanes:
k
RS k
Zk
Tk
Ak
Sk
1
2
3
S
S − T1
S ⋅i
(S − T1 ) ⋅ i
T1
T2
T1 + Z1
T2 + Z 2
S − T1
S − T2 − T1
S − T3 − T2 − T1
n
n +1
Tn
Tn ⋅ i
Tn
Tn + Z n
0
0
Zu Beginn des Jahres 2 hat der Schuldenstand den Wert der Gesamtschuld minus
der Tilgung aus dem Jahr 1.
Die Zinszahlungen betragen den Wert des Schuldenstandes mal Zinssatz.
Die Annuität des Jahres 2 setzt sich aus der Tilgung und der Zinszahlung des
Jahres 2 zusammen.
Der Schuldenstand am Ende des Jahres 2 entspricht der Gesamtschuld minus
den Tilgungen aus den Jahren 1 und 2.
Zu Beginn des letzten Jahres n beträgt der Schuldenstand noch genau eine
Tilgung. Wenn man im Laufe des letzten Jahres noch einmal tilgt (plus den
entsprechenden Zinsen), ist man schuldenfrei.
Im letzten Jahr fallen Zinszahlungen in Höhe von einer Tilgung mal Zinssatz an.
Die Annuität des letzten Jahres n setzt sich zusammen aus der Tilgung und der
Zinszahlung des letzten Jahres.
Der Schuldenstand am Ende des letzten Jahres ist 0, weil man im Laufe des
letzten Jahres die letzte Tilgung und die letzten Zinsen gezahlt hat.
Zu Beginn des neuen Jahres n + 1 ist man schuldenfrei.
5.2. Jährliche Ratentilgung
Im Falle der Ratentilgung sind alle Tilgungsraten gleich hoch (ähnlich wie bei den
Abschreibungsbeträgen der linearen Abschreibung),
T1 = T2 = T3 = ... = Tn = T
50
Finanzmathematik
wobei die Summe aller Tilgungen der Schuld S entsprechen muss, damit der
n
Schuldenstand zu Beginn des Jahres n + 1 = 0 ist, d.h. ∑ Tk = S .
k =1
Es wird also die Forderung aufgestellt:
Tk = T =
S
n
für k = 1,..., n
Die zu zahlenden Zinsen berechnen sich, indem der Zinssatz auf die Restschuld bzw.
den Schuldenstand angewendet wird:
Z k = RS k ⋅ i
Die Schuld am Ende einer Periode bzw. die Restschuld am Anfang einer Periode
errechnet sich über die Tilgungszahlung der Periode.
S k = RSk − T oder
S k = T ⋅ (n − k ) oder
 k
S k = S ⋅ 1 − 
 n
Unter Verwendung von RS k = S k −1
 k − 1
RS k = S ⋅ 1 −
 = T ⋅ (n − k + 1)
n 

Durch die Festlegung der Tilgungsraten kann nun die jährliche Annuität berechnet
werden.
Ak = T + Z k
Einsetzen von obigen Formeln T =
Ak =
S
+ RS k ⋅ i
n
Ak =
S S
+ ⋅ (n − k + 1) ⋅ i
n n
S
und Z k = RS k ⋅ i ergibt
n
51
Finanzmathematik
Nach Umformen ergibt sich
Ak =
S
⋅ [1 + (n − k + 1) ⋅ i ]
n
Satz: Die gesamte Zinsbelastung bei der Ratentilgung ist:
n
n
k =1
k =1
Z = ∑ Z k = i ⋅ ∑ RS k = i ⋅
n ⋅ (n + 1)
n +1
⋅T = i ⋅ S ⋅
2
2
r
Beweis:
n
n
n
k =1
k =1
k =1
i ⋅ ∑ RS k = i ⋅ ∑ T ⋅ (n − k + 1) = i ⋅ T ⋅ ∑ (n − k + 1)
= i ⋅ T ⋅ [(n − 1 + 1) + (n − 2 + 1) + ... + (n − (n − 1) + 1) + (n − n + 1)]
= i ⋅ T ⋅ [(n − 0 ) + (n − 1) + ... + (n − (n − 2 )) + (n − (n − 1))]
= i ⋅ T ⋅ (1 + 2 + 3 + ... + n )
n
= i ⋅ T ⋅ ⋅ (1 + n )
2
Weil T =
S
n
S n
gilt: i ⋅ T ⋅ ⋅ (1 + n ) = i ⋅ ⋅ ⋅ (1 + n ) .
n
2
n 2
r
Für konkrete Vorgaben für die Schuld S , den Zinssatz i und die Laufzeit des Kredits
n , kann nun ein konkreter Tilgungsplan aufgestellt werden.
Beispiel:
Der Student Anton Mobil benötigt 36.000 € für den Kauf eines
Kleinwagens. Er nimmt zu Jahresbeginn zu 10% einen entsprechenden
Kredit auf, der nach drei Jahren zurückgezahlt werden muss. Wie sieht der
Tilgungsplan aus? Bleibt Anton noch Geld für den Kauf von MathematikLehrbüchern übrig?
52
Finanzmathematik
k
RS k
Zk
Tk
Ak
Sk
1
36.000
3.600
12.000
15.600
24.000
2
24.000
2.400
12.000
14.400
12.000
3
12.000
1.200
12.000
13.200
0
4
0
Σ=7.200
Die Zeile für das Jahr 4 kann man weglassen, da man am Ende des Jahres 3 (ebenso wie
am Anfang des Jahres 4) bereits schuldenfrei ist.
r
Beispiel:
Eine Schuld von 120.000 € soll bei einer jährlichen Verzinsung von 9,5%
in 6 Jahren durch jährlich gleich hohe Tilgungsraten getilgt werden.
Erstellen Sie den Tilgungsplan. Wie ändern sich die Annuitäten A5 und
A6 , wenn im 5. und 6. Jahr der Zins plötzlich auf 10,5% steigt?
k
RS k
Zk
Tk
Ak
Sk
1
120.000
11.400
20.000
31.400
100.000
2
100.000
9.500
20.000
29.500
80.000
3
80.000
7.600
20.000
27.600
60.000
4
60.000
5.700
20.000
25.700
40.000
5
40.000
3.800
20.000
23.800
20.000
6
20.000
1.900
20.000
21.900
0
Fall der plötzlichen Zinserhöhung
5
40.000
4.200
20.000
24.200
20.000
6
20.000
2.100
20.000
22.100
0
r
53
Finanzmathematik
5.3 Jährliche Annuitätentilgung
Wie in den Beispielen der jährlichen Ratentilgung zu sehen ist, wird der Schuldner
durch die Zahlung der Annuitäten in den ersten Jahren viel stärker belastet als in den
späteren Jahren. Das liegt daran, dass zwar die Tilgungszahlungen in jedem Jahr gleich
hoch ausfallen, die Zinszahlungen im Laufe der Zeit aber abnehmen, da die Restschuld
im Laufe der Zeit ebenfalls kleiner wird (Erinnern Sie: Die Zinszahlungen errechnen
sich aus Restschuld mal Zinssatz). Diese ungleichmäßige Belastung eines Schuldners
in den unterschiedlichen Jahren, in denen er die Schuld zurückzahlt, kann unerwünscht
sein.
Bei der Annuitätentilgung ist die Belastung des Schuldners in jeder
Tilgungsperiode gleich hoch.
Nicht die Tilgungsraten, sondern die Annuitäten als Summe aus Tilgung und
Zinsen sind in jeder Periode gleich hoch.
Man unterscheidet exakte Annuitäten und Prozentannuitäten.
5.3.1 Exakte Annuitätentilgung
Bei der exakten Annuitätentilgung (ebenso wie bei der Prozentannuitätentilgung) ist die
Annuität konstant
A1 = A2 = ... = An = A
Wie hoch muss diese Annuität nun sein, damit am Ende der Laufzeit genau die Schuld
einschließlich Zinsen zurückgezahlt wird? Dazu geht man von folgender Überlegung
aus:
Am Anfang der Kreditlaufzeit steht die ausgezahlte Schuldsumme S . Sie stellt
damit einen Barwert dar:
Idee:
Interpretieren Sie die Schuld S als Rentenbarwert einer jährlich
nachschüssigen Rentenzahlung in konstanter Höhe A , wobei die
Laufzeit der Rente genau n Jahre beträgt. n Jahre lang wird eine
Annuität A gezahlt. Wenn man diese Zahlungen addieren und
aufzinsen würde, hätte man den Rentenendwert.
54
Finanzmathematik
Ohne Tilgung würde die Schuld bis zum Ende der Kreditlaufzeit auf einen
bestimmten Endwert anwachsen
Gesucht ist nun der konstante, in mehreren Raten zu zahlende gleichbleibende
Betrag A , der im Laufe der n Jahre exakt auf dieselbe Summe wie der Endwert
der Schuld S anwächst.
Idee:
Zur Veranschaulichung stelle man sich vor, dass die Schuldsumme
auf einem Konto einschließlich der Zinsen auf einen Endwert
anwächst. Auf einem anderen Konto sammelt der Schuldner seine
Tilgungszahlungen verzinslich an. Am Ende der Kreditlaufzeit
müssen die Beträge auf beiden Konten übereinstimmen, so dass das
Guthaben des Schuldners gerade ausreicht, um die Schuld auf dem
anderen Konto zu decken.
Die Berechnung der konstanten Annuität entspricht also der Bestimmung einer
qn −1 1
⋅
nach r
Rentenrate bei vorgegebenem Barwert (Erinnern Sie: R0 = r ⋅
q −1 qn
q −1
auflösen ergibt: r = R0 ⋅ q n ⋅ n ).
q −1
r entspricht hier der gesuchten Annuität A , der Rentenbarwert R0 entspricht der
Schuldsumme S . Daraus folgt für die konstante Annuität A :
A = S ⋅ qn ⋅
Der Annuitätenfaktor q n ⋅
q −1
qn −1
q −1
ist der Kehrwert des nachschüssigen
qn −1
Rentenbarwertfaktors.
Man kann nun auch folgende Fragestellung beantworten: Jemand kann eine jährliche
Annuität A für einen Kredit aufbringen, der bei p % in n Jahren getilgt werden soll.
Wie hoch kann der Kreditbetrag S gewählt werden? Solche Fragestellungen sind bspw.
für Bauwillige interessant, die wissen möchten, welche Kredithöhe sie zur Finanzierung
ihres Bauvorhabens aufnehmen können. Die Lösung erhält man, indem man die Formel
A = S ⋅ qn ⋅
q −1
nach S auflöst.
qn −1
55
Finanzmathematik
qn −1 1
S = A⋅
⋅
q −1 qn
Man erhält:
Übrigens:
Letztgenannte Formel ist – bis auf die abweichende Symbolik - identisch
qn −1 1
mit der nachschüssigen Rentenbarwertformel R0 = r ⋅
⋅
q −1 qn
Die Auflösung der o.g. Formel für die Annuität nach der Laufzeit n bzw. x lautet:
x=
ln A − ln T1
ln q
Beweis:
S ( q − 1) = A ⋅ ( q n − 1) ⋅
Z 1 = A ⋅ ( q n − 1) ⋅
1
qn
für die linke Seite gilt: S ( q − 1) = S ⋅ i = Z 1
1
qn
Z 1 ⋅ q n = A ⋅ ( q n − 1)
A ausmultiplizieren
q n ⋅ Z1 = A ⋅ q n − A
q n ⋅ Z1 − q n ⋅ A = A
q n ausklammern
( A − Z1 )q n = A
weil A − Z 1 = T1 gilt
qn =
A
T1
Logarithmieren
n ⋅ ln q = ln A − ln T1 bzw. n =
ln A − ln T1
ln q
r
56
Finanzmathematik
Annuitätenfaktoren bei verschiedenen Kreditlaufzeiten und Zinssätzen
n
2
3
4
5
6
7
8
9
10
i
0,01 0,5075 0,3400 0,2563 0,2060 0,1725 0,1486 0,1307 0,1167 0,1056
0,02 0,5150 0,3468 0,2626 0,2122 0,1785 0,1545 0,1365 0,1225 0,1113
0,03 0,5226 0,3535 0,2690 0,2184 0,1846 0,1605 0,1425 0,1284 0,1172
0,04 0,5302 0,3603 0,2755 0,2246 0,1908 0,1666 0,1485 0,1345 0,1233
0,05 0,5378 0,3672 0,2820 0,2310 0,1970 0,1728 0,1547 0,1407 0,1295
0,06 0,5454 0,3741 0,2886 0,2374 0,2034 0,1791 0,1610 0,1470 0,1359
0,07 0,5531 0,3811 0,2952 0,2439 0,2098 0,1856 0,1675 0,1535 0,1424
0,08 0,5608 0,3880 0,3019 0,2505 0,2163 0,1921 0,1740 0,1601 0,1490
0,09 0,5685 0,3951 0,3087 0,2571 0,2229 0,1987 0,1807 0,1668 0,1558
0,1 0,5762 0,4021 0,3155 0,2638 0,2296 0,2054 0,1874 0,1736 0,1627
Beispiel:
Bei einem Zinssatz von 7% ( i = 0,07 ) und einer Kreditlaufzeit von
5 Jahren muss der Schuldner 5 Jahre lang das 0,2439-fache der
Schuld zurückzahlen. Bei einer Schuld von 10.000 € zahlt er fünf
Jahre lang jeweils 2.439 € zurück.
Probe:
Insgesamt werden 5 ⋅ 2.439 € = 12.195 € gezahlt. Der
Barwert dieses Betrags (abgezinst über 5 Jahre bei 7% Zinsen ist:
R0 = r ⋅
1,07 5 − 1 1
qn −1 1
⋅ n , d.h. 2.439 ⋅
⋅
= 2.439 ⋅ 4,1 = 10.000 .
1,07 − 1 1,07 5
q −1 q
Der Barwert entspricht also exakt der ursprünglich ausgeliehenen
Summe.
r
Beispiel:
Einem Bauherrn wird eine Hypothek von 100.000 € bei 100%
Auszahlung und 8,5% Jahreszins angeboten, die in 16 Jahren durch
exakte Annuitätentilgung zurückgezahlt werden soll. Wie hoch ist
die Annuität?
57
Finanzmathematik
Es gilt:
S = 100.000, n = 16, p = 8,5%, i = 0,085, q = 1 + i = 1,085
Verwenden Sie: A = S ⋅ q n ⋅
A = 100.000 ⋅1,08516 ⋅
q −1
qn −1
1,085 − 1
= 100.000 ⋅ 0 ,1166135 = 11.661,35 €
1,08516 − 1
Der Bauherr muss jedes Jahr 11.661,35 € zurückzahlen, damit er
nach 16 Jahren schuldenfrei ist.
Der Tilgungsplan sieht wie folgt aus:
Jahr k
(1)
RS k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
100.000
96839
93409
89687
85649
81268
76514
71357
65761
59689
53101
45953
38198
29783
20654
10748
(2)
Zk
Tk
8.500
8.231
7.940
7.623
7.280
6.908
6.504
6.065
5.590
5.074
4.514
3.906
3.247
2.532
1.756
914
3.161
3.430
3.722
4.038
4.381
4.754
5.158
5.596
6.072
6.588
7.148
7.755
8.415
9.130
9.906
10.748
(3)
(4)
(3) = (2) ⋅ 0,085 (4) = (5) − (3)
Ak
Sk
(5)
(6)
(6) = (2) − (4)
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
11.661,35
96.839
93.409
89.687
85.649
81.268
76.514
71.357
65.761
59.689
53.101
45.953
38.198
29.783
20.654
10.748
0
r
5.3.1.1 Formeln für die Restschuld RS k bzw. S k
Hat man einen Tilgungsplan aufgestellt, kann man für jedes Jahr die Restschuld RS k
bzw. S k −1 nach k Jahren, die Tilgungsrate Tk und die Zinsbelastung Z k im k -ten Jahr
ablesen.
Um diese Werte auch ohne Tilgungsplan ermitteln zu können, sind bestimmte Formeln
nötig.
58
Finanzmathematik
Untersucht werden soll die Höhe der Restschuld S k zum Ende des k -ten Jahres, k ≤ n
mit n =die Gesamtlaufzeit (Erinnern Sie: RS k = S k −1 ).
Satz:
Die Restschuld Sk ist identisch mit dem auf den Zeitpunkt k bezogenen Barwert aller
noch zu zahlenden Annuitäten.
Sk = A ⋅
1
q n−k
⋅
q n−k − 1
q −1
Die Restschuld Sk in Abhängigkeit von der Startschuld S ist:
qn − qk
Sk = S ⋅ n
q −1
oder
Sk = S ⋅ q k − A ⋅
qk −1
q −1
r
Beweis:
Die Restschuld zum Ende des Jahres k beträgt:
1
1
1
S k = A ⋅ + A ⋅ 2 + ... + A ⋅ n − k
q
q
q
1 1
1
= A ⋅  + 2 + ... + n − k
q
q q
Beispiel:



(siehe o.g. Tilgungsplan) k = 14, n − k = 16 − 14 = 2, S k = der Barwert
der zwei noch zu zahlenden Annuitäten aus dem 15. und 16. Jahr.
1 1 
1 
 1
S k = A ⋅  + 2  = 11.661,35 ⋅ 
+
= 11.661,35 ⋅1,7711 = 20.653,58 €
2 
 1,085 1,085 
q q 
r
Die Summe der geometrischen Reihe in der eckigen Klammer ergibt unter Verwendung
der Formel für die geometrische Reihe für den konstanten Faktor < 1:
1 1
1 
1 q n−k − 1
+
+
...
+
=
⋅
.
 q q2
q n − k  q n − k q − 1

59
Finanzmathematik
Obigen Ausdruck kann man statt der eckigen Klammer in die Formel für S k einsetzen
und erhält S k = A ⋅
1
q n−k
⋅
q n−k − 1
.
q −1
Setzt man nun für A den Ausdruck A = S ⋅ q n ⋅
q −1
von weiter vorne ein, so ergibt sich
qn −1
die Restschuld zum Ende des Jahres k in Abhängigkeit von der Schuld S
Sk = S ⋅
qn − qk
qn −1
r
Alternativ kann man die Formel auch für die Restschuld zu Beginn des Jahres k
aufstellen (Erinnern Sie: S k = RS k +1 bzw. S k −1 = RS k ):
RS k = S k −1 = S ⋅
Beispiel:
q n − q k −1
qn −1
Die Restschuld zu Beginn des Jahres 12 (entspricht der Restschuld zum
Ende des Jahres 11) beträgt:
RS12 = S11 = 100.000 ⋅
1,08516 − 1,08512−1
= 45.953,22 € .
1,08516 − 1
r
5.3.1.2 Formeln für die Tilgungsrate Tk
Die Tilgungsrate in der k -ten Periode ist gleich der Annuität minus Zinsen, wobei
sich die Zinsen errechnen als Zinssatz mal Restschuld RS k zu Beginn des Jahres k .
Formal bedeutet das:
Tk = A − Z k = A − RS k ⋅ i
Setzt man nun für A und RS k die entsprechenden Formeln ein, so erhält man:
Tk = S ⋅ q n ⋅
q −1
q n − q k −1
q n ⋅ i − q n ⋅ i + q k −1 ⋅ i
−
S
⋅
⋅
i
=
S
⋅
qn −1
qn −1
qn −1
60
Finanzmathematik
Tk = S ⋅
Beispiel:
q k −1 ⋅ (q − 1)
qn −1
Aus dem o.g. Beispiel sei die Tilgungsrate des Jahres 9 zu bestimmen. Es
gilt:
T9 = 100.000 ⋅
1,0859−1 ⋅ 0 ,085
= 6.071,71 €
1,08516 − 1
r
5.3.1.3 Formeln für die Zinsen im Jahre k Z k
Die Zinsen, die in der k -ten Periode zu zahlen sind, ergeben sich aus der Annuität,
vermindert um die Tilgungsrate Tk der k -ten Periode: Z k = A − Tk
Setzt man für A und Tk die Formeln von weiter oben ein, so erhält man:
Zk = S ⋅ qn ⋅
=
q −1
q k −1 ⋅ (q − 1)
−
S
⋅
qn −1
qn −1
S ⋅ i ⋅ q n − S ⋅ i ⋅ q k −1
qn −1
Vereinfachung ergibt:
Zk = S ⋅i ⋅
Beispiel:
q n − q k −1
qn −1
Aus o.g. Beispiel sollen die Zinsen der 7. Periode bestimmt werden. Es
gilt:
Z 7 = 100.000 ⋅ 0 ,085 ⋅
1,08516 − 1,0857 −1
= 100.000 ⋅ 0 ,085 ⋅ 0 ,7651 = 6.503,71 €
1,08516 − 1
r
61
Finanzmathematik
Beispiel:
Ein Entwicklungsland erhält am 1.1.1986 einen Kredit in Höhe von
10.000.000 € zu 2,5% Zinsen. Dieser Kredit soll durch exakte
Annuitätentilgung in 25 Jahren zurückgezahlt werden.
Wie hoch ist die Annuität?
Wie hoch ist die Restschuld am 1.1.1996?
Wie hoch ist die Tilgungsrate des Jahres 1995?
Wie hoch ist die Zinszahlung des Jahres 1998?
Verwenden Sie:
A = S ⋅ qn ⋅
q −1
,
qn −1
Verwenden Sie:
10.000.000 ⋅1,02525 ⋅
RS k = S k −1 = S ⋅
RS11 = 10.000.000 ⋅
Verwenden Sie:
Tk = S ⋅
T10 = 10.000.000 ⋅
Verwenden Sie:
1,025 − 1
= 542.759,21 €
1,02525 − 1
q n − q k −1
,
qn −1
k = 11
1,02525 − 1,02510
= 6.720.106,80 €
1,02525 − 1
q k −1 ⋅ (q − 1)
,
qn −1
k = 10
1,0259 ⋅ 0,025
= 365.616,14 €
1,02525 − 1
q n − q k −1
Zk = S ⋅ i ⋅ n
,
q −1
Z13 = 10.000.000 ⋅ 0 ,025 ⋅
k = 13
1,02525 − 1,02512
= 149.030,62 €
1,02525 − 1
Die vier Formeln für Annuität, Restschuld, Tilgung und Zinszahlung hängen alle nur
von der Gesamtschuld S , der Laufzeit n , der betrachteten Periode k und dem Zinssatz
i ab.
62
Finanzmathematik
Jahr k
RS k
1986
1987
1988
1989
1990
1991
1992
1993
1994
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
10.000.000
9.707.241
9.407.163
9.099.582
8.784.313
8.461.161
8.129.931
7.790.420
7.442.422
7.085.723
6.720.107
6.345.350
5.961.225
5.567.496
5.163.924
4.750.263
4.326.261
3.891.658
3.446.190
2.989.586
2.521.566
2.041.846
1.550.133
1.046.127
529.521
(1)
(2)
Zk
Tk
250.000
242.681
235.179
227.490
219.608
211.529
203.248
194.761
186.061
177.143
168.003
158.634
149.031
139.187
129.098
118.757
108.157
97.291
86.155
74.740
63.039
51.046
38.753
26.153
13.238
292.759
300.078
307.580
315.270
323.151
331.230
339.511
347.999
356.699
365.616
374.757
384.125
393.729
403.572
413.661
424.003
434.603
445.468
456.604
468.020
479.720
491.713
504.006
516.606
529.521
(3)
(4)
(3) = (2) ⋅ 0,025 (4) = (5) − (3)
Ak
Sk
(5)
(6)
(6) = (2) − (4)
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
542.759
9.707.241
9.407.163
9.099.582
8.784.313
8.461.161
8.129.931
7.790.420
7.442.422
7.085.723
6.720.107
6.345.350
5.961.225
5.567.496
5.163.924
4.750.263
4.326.261
3.891.658
3.446.190
2.989.586
2.521.566
2.041.846
1.550.133
1.046.127
529.521
0
r
5.3.2 Prozentannuitäten
Bei der Annuitätentilgung wird in jeder Tilgungsperiode eine gleich hohe
Annuität gezahlt.
Diese Annuitäten machen i.d.R. keine glatten Beträge aus.
Zur Buchungsvereinfachung wird es jedoch oft gewünscht, dass die Annuitäten
„runde“ Beträge ausmachen.
63
Finanzmathematik
Um diese runden Beträge der Annuitäten zu erhalten, bedient man sich der
Tilgung mit Prozentannuitäten. Dabei legt man die Höhe der Annuität als
bestimmten Prozentsatz von der ursprünglichen Gesamtschuld fest.
A = (i + iT ) ⋅ S
mit i der Nominalzinssatz des Kredits und iT der Tilgungssatz.
Bei den Prozentannuitäten ergibt sich nach einer bestimmten Anzahl von
Tilgungsperioden eine Restschuld, die kleiner ist als der Annuitätenbetrag. Diese
Restschuld wird entweder zum gleichen Zeitpunkt bezahlt wie die letzte Annuität oder
sie wird im darauffolgenden Jahr unter Berechnung von Zinsen getilgt.
Satz: Die Tilgungsrate des Jahres k errechnet sich als:
Tk = T1 ⋅ q k −1 = iT ⋅ S ⋅ q k −1
r
Satz: Die Zinsen des Jahres k berechen sich als:
Z k = A − Tk = (i + iT ) ⋅ S − iT ⋅ S ⋅ q k −1
r
Satz: Für die Restschuld zum Beginn des Jahres gilt:
(
)
 i

RS k = S ⋅ 1 − T q k −1 − 1 
i


r
Satz: Die Restschuld am Ende eines Jahres k ist2:
Sk = S ⋅ qk − A ⋅
qk −1
q −1
r
Satz: Die Laufzeit des Kredites bei gegebenen Nominalzinsen i und
Tilgungsprozentsätzen iT errechnet sich als3:
2
Die Formel ist dieselbe die, die bei der exakten Annuitätentilgung verwendet wird.
64
Finanzmathematik
x=
ln(i + iT ) − ln iT
ln(1 + i )
Alternativ kann man auch die Formel für die Laufzeit aus der exakten
Annuitätentilgung verwenden.
x=
ln A − ln T1
ln q
r
Frage:
Kann man bei der Prozentannuitätentilgung eigentlich grundsätzlich die
Formeln für die exakte Annuitätentilgung verwenden?
Beispiel:
Familie R.&E. Lax erhalten für den Anbau eines Wintergartens mit
Swimming-Pool und Saunalandschaft ein Bauspardarlehen in Höhe von
80.000 €, das mit 5% jährlichem Darlehenszins belastet wird. Es wird eine
nachschüssige Prozentannuität in Höhe von 12% der Ursprungsschuld
vereinbart. Der Tilgungssatz beträgt also iT=0,07, der Nominalzins i=0,05.
Damit ergibt sich als Annuität A = 80.000 ⋅ (0,05 + 0,07 ) = 9.600 €
Familie R.&E. Lax muss pro Jahr 9.600 € zurückzahlen. Die
Tilgungsraten nehmen im Laufe der Jahre immer mehr zu, die Zinsen auf
die Restschuld nehmen im Laufe der Jahre immer mehr ab. Am Ende der
Laufzeit besteht noch eine Restschuld in Höhe von 441,99€.
Da die Belastung mit den Annuitäten gleichmäßig über die Jahre verteilt
ist, kann sich Familie R.&E. Lax schon in frühen Jahren nach der
Baumaßnahme neue Badehosen und Saunatücher leisten.
3

Man verwendet die Bedingung RSk+1=0 in der Formel RS k = S ⋅ 1 −

(
(
)
iT k −1

q − 1  . Es reicht
i

)
 i

⋅ 1 − T q k −1 − 1  =0 zu setzen. Daraus folgt nach Auflösen nach der Laufzeit x durch Umstellen und
i


Logarithmieren die o.g. Formel.
65
Finanzmathematik
Restschuld
zu Beginn
des Jahres
Annuität
k
RS k
= 0,12 ⋅ 80.000
Ak
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
80.000,00
74.400,00
68.520,00
62.346,00
55.863,30
49.056,47
41.909,29
34.404,75
26.524,99
18.251,24
9.563,80
9.600,00
9.600,00
9.600,00
9.600,00
9.600,00
9.600,00
9.600,00
9.600,00
9.600,00
9.600,00
9.600,00
Jahr
(1)
(2)
Zinsen auf Restschuld
die
am Ende
Tilgungsrate Restschuld des Jahres Abschlusszahlung
(3)
(4)
= (3) − (5)
(5)
(6)
= 0,05 ⋅ (2 ) = (2 ) − (4 )
Tk
Zk
Sk
5.600,00
5.880,00
6.174,00
6.482,70
6.806,84
7.147,18
7.504,54
7.879,76
8.273,75
8.687,44
9.121,81
4.000,00
3.720,00
3.426,00
3.117,30
2.793,17
2.452,82
2.095,46
1.720,24
1.326,25
912,56
478,19
74.400,00
68.520,00
62.346,00
55.863,30
49.056,47
41.909,29
34.404,75
26.524,99
18.251,24
9.563,80
441,99
(7 )
441,99
r
Beispiel:
Gesucht ist nun die Tilgungsrate, die Zinsen des Jahres 8 und die
Restschuld zum Beginn des des Jahres 8.
Die Tilgungsrate des Jahres 8 beträgt:
T8 = 0,07 ⋅ 80000 ⋅ 1,058−1 = 7879,76
Die Zinsen des Jahres 8 betragen:
Z 8 = 9600 − 7879,76 = 1720,24
Die Restschuld zu Beginn des 8. Jahres beträgt:
(
)
 0,07

RS 8 = 80000 ⋅ 1 −
1,058−1 − 1  = 34404,75
 0,05

r
Beispiel:
Gesucht ist die Schuld zum Ende des Jahres 7.
S 7 = 80000 ⋅ 1,05 7 − 9600 ⋅
1,05 7 − 1
= 34404,75
1,05 − 1
66
Finanzmathematik
Der erste Summand gibt an, auf wie viel die Schuld S nach k Jahren
angewachsen wäre. Der zweite Summand gibt den Endwert aller gezahlten
Annuitäten an.
r
Beispiel:
Gesucht ist die Laufzeit des Kredits
Für das Beispiel mit dem Bauherrn ergibt sich eine Laufzeit x von
x=
ln( 0,12) − ln( 0,07 )
ln 9.600 − ln 5.600
= 11,047 oder x =
= 11,047 . Die
ln(1,05)
ln 1,05
Tilgung erfolgt in 11 ganzen Jahren. Danach bleibt eine geringe
Abschlusszahlung übrig.
r
Für die Bestimmung der Höhe der Abschlusszahlung zerlegt man die Laufzeit in einen
ganzzahligen4 und einen nicht ganzzahligen Bestandteil. Bis zum Ende der
ganzzahligen Periode sind nur volle Annuitäten zu zahlen. Die Abschlusszahlung
ergibt sich als
qn −1
AZ = S ⋅ q − A
q −1
n
Beispiel:
1,0511 − 1
AZ = 80.000 ⋅ 1,05 − 9.600
= 441,99 .
1,05 − 1
11
r
5.4 Sonderformen der Tilgungsrechnung
In der Praxis ist die Gestaltung der Darlehen vielfältig durch
Tilgungsfreie Zeiten
Kreditgebühren
Unterjährige Tilgung (nicht behandelt)
Zinsverrechnungen (nicht behandelt)
Zinsbindung und Disagio-Splitting (nicht behandelt)
Diese Gestaltungsspielräume ermöglichen es den Banken einen Effektivzinssatz zu
erzielen, der über dem Nominalzinssatz liegt.
4
Die Nachkommazahlen werden einfach abgeschnitten.
67
Finanzmathematik
5.4.1 Tilgungsfreie Zeiten
Bei manchen Darlehen gibt es zu Beginn einige tilgungsfreie Jahre, um den
Schuldner zu Beginn der Laufzeit zu entlasten.
Nach der tilgungsfreien Zeit läuft das Darlehen ganz normal als Ratenkredit oder
als Annuitätendarlehen weiter.
Die Gesamtlaufzeit beträgt dann n+ n~ mit n~ die tilgungsfreien Jahre.
Wenn während der tilgungsfreien Zeit auch keine Zinsen gezahlt werden, erhöht
~
~
sich die Schuld auf S = S (1 + i ) n .
Wenn zumindest die Zinsen während der tilgungsfreien Jahre bezahlt werden,
erhöht sich die Schuldensumme nicht. Die ersten n~ Annuitäten betragen dann:
Ak = Z k = S ⋅ i für die tilgungsfreien Jahre 1 bis n~ .
Beispiel:
Frankreich gibt einem afrikanischen Entwicklungsland einen Kredit in Höhe von 20
Mio. € zu 2% Zinsen. Die Tilgung erfolgt nach 6 zahlungsfreien Jahren (keine
Tilgungszahlungen, keine Zinszahlungen) ab dem 7. Jahr als Prozentannuitäten in Höhe
von 10% der Ursprungsschuld.
a) Wie groß ist die Schuld zu Beginn des 7. Jahres?
b) Erstellen Sie den Tilgungsplan
c) Nach wie vielen Jahren ist die Schuld getilgt?
~
~
a) S = S (1 + i ) n = 20.000.000 ⋅ (1,02) 6 = 22.523.248,38
b)
68
Finanzmathematik
k
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
Summe
c) x =
RSk
20.000.000
20.400.000
20.808.000
21.224.160
21.648.643
22.081.616
22.523.248
20.973.713
19.393.188
17.781.051
16.136.672
14.459.406
12.748.594
11.003.566
9.223.637
7.408.110
5.556.272
3.667.398
1.740.745
Zk
400.000
408.000
416.160
424.483
432.973
441.632
450.465
419.474
387.864
355.621
322.733
289.188
254.972
220.071
184.473
148.162
111.125
73.348
34.815
5.775.560
Tk
Ak
1.549.535
1.580.526
1.612.136
1.644.379
1.677.267
1.710.812
1.745.028
1.779.929
1.815.527
1.851.838
1.888.875
1.926.652
1.965.185
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
2.000.000
Sk
20.400.000
20.808.000
21.224.160
21.648.643
22.081.616
22.523.248
20.973.713
19.393.188
17.781.051
16.136.672
14.459.406
12.748.594
11.003.566
9.223.637
7.408.110
5.556.272
3.667.398
1.740.745
-224.440
ln A − ln T1 ln 2.000.000 − ln 1.549.535
=
= 12,89 . Kurz vor Ende des 12. Jahres ab
ln q
ln 1,02
Tilgungsbeginn ist die Schuld getilgt. Tilgungsbeginn ist erst im 7. Jahr, so dass noch 6
Jahre dazu addiert werden müssen. Die gesamte Schuld ist kurz vor Ende des 18. Jahres
getilgt. Im 19. Jahr (aufrunden) ist die Schuld komplett getilgt. Man hat sogar etwas zu
viel gezahlt.
Der effektive jährlichen Zins5 bezogen auf die gesamte Laufzeit für den Kredit ist:
19
20.000000 + 5.775.560 − 224.440
− 1 = 0,013 .
20.000.000
Alleine bezogen auf die aufgerundeten 13 Jahre, in denen tatsächlich getilgt wird,
beträgt er
13
20.000.000 + 5.775.560 − 224.440
− 1 = 0,019 .
20.000.000
r
5
Erinnern Sie: effektiver Zins= n
das, was man nach n Jahren " rausbekommt"
−1
das, was reingesteckt wurde
69
Finanzmathematik
5.4.2 Kreditgebühren
Um einen niedrigeren Zinssatz angeben zu können, werden die Darlehensnehmer mit
Kreditgebühren belastet.
Gebühren können einmalig am Beginn der Laufzeit, als konstante regelmäßige
Gebühren, oder als Gebühren in Abhängigkeit von der Annuität, der Tilgung
oder der Restschuld berechnet werden.
Bei einmaligen Gebühren werden bspw. die Gebühren von der Kreditsumme
~
abgezogen, so dass der Schuldner nur den verminderten Betrag S = S − G erhält,
obwohl er den Betrag S zurückzahlen muss.
Oder bei einmaligen Gebühren werden die Gebühren auf die Kreditsumme
~
aufgeschlagen S = S + G . Der Schuldner erhält zwar S ausbezahlt, muss jedoch
~
S zurückzahlen.
6. Investitions- und
Finanzierungsentscheidungen
6.1 Grundsätzliche Überlegungen
Äquivalenzprinzip der Finanzmathematik:
Benötigt man, wenn man Kapitalbeträge oder Zahlungen zu verschiedenen
Zeitpunkten miteinander vergleichen will.
Besagt, dass zwei Zahlungen A und B , wobei A im Zeitpunkt m und B im
Zeitpunkt k erfolgt, dann gleichwertig sind, wenn ihre Zeitwerte zum
gleichen Bezugszeitpunkt übereinstimmen6:
A
∼ B ⇔ A ⋅ q k −m = B
Um die Gleichwertigkeit zu beurteilen, muss immer ein gemeinsamer
Bezugszeitpunkt festgelegt werden. Häufig ist das das Jahr 0 oder das Jahr n.
6
Mit Hilfe des Äquivalenzprinzips lässt sich auch noch eine neue (bessere?) Definition des Effektivzinssatzes
finden: Derjenige nachschüssige Jahreszinssatz, für den zwei Zahlungsreihen aus Leistung und Gegenleistung
äquivalent werden, heißt Effektivzinssatz.
Beispiel: Sie legen 92,01 € an und erhalten nach 5 Jahren 135,20 € (43,18 € Zinsen + 92,10 € Kapital). Das ergibt
einen Effektivzins von 8%. Denselben Effektivzins erzielen Sie, wenn Sie 92,01 € anlegen und 5 mal 6 € jährliche
Zinsen erhalten und am Ende des 5. Jahres 100 € zurückbekommen. Das Beispiel finden Sie in Kapitel 7.2 wieder.
70
Finanzmathematik
~
A
B
2008
Beispiel:
2012
Zu welcher Zahlung B , die nach 6 Jahren erfolgen soll, ist eine Zahlung
A von 100 € nach zwei Jahren gleichwertig? i betrage 0,07.
A = 100,
q = 1,07,
B = A ⋅ q k −m ,
m = 2,
k =6
B = 100 ⋅ 1,07 6− 2 = 131,07 €
Eine Zahlung von 131,07 € nach sechs Jahren ist genauso viel wert wie
eine Zahlung von 100 € nach zwei Jahren.
r
Bemerkung: Das Äquivalenzprinzip gilt nur bei der Zinseszinsrechnung.
r
Beispiel:
Die Studentin F. Leißig soll von ihrer Mutter zum Abschluss des Studiums
1.000€ erhalten, wenn sie von heute an gerechnet noch ein Jahr braucht.
Sie soll 1.100€ erhalten, wenn sie noch zwei Jahre benötigt und vorher ein
Jahr ins Ausland geht. Die Tante, die sich schon immer in die Erziehung
eingemischt hat, bietet 950€ sofort. Welches Angebot sollte F. Leißig bei
einem Kalkulationszins von 5% annehmen?
Der gemeinsame Bezugszeitpunkt ist das Jahr 2.
950⋅1,052=1047,38
1.000⋅1,051=1.050
1.100⋅1,050=1.100
F. Leißig sollte noch zwei Jahre studieren und dann die 1.100€ annehmen.
r
Beispiel:
Beim Verkauf eines Hauses werden 4 Angebote gemacht:
A:
280.000 € sofort in bar
B:
200.000 € sofort in bar, 90.000 € in drei Jahren
C:
240.000 € sofort in bar, 60.000 € in fünf Jahren
71
Finanzmathematik
D:
100.000 € sofort in bar, 100.000 € in einem Jahr und 100.000 € in
zwei Jahren
Der Kalkulationszinssatz betrage 6%. Welches Angebot ist für den Käufer
am günstigsten?
Als gemeinsamer Bezugszeitpunkt wird hier das Jahr 0 gewählt.
Die Barwerte sind:
A0 = 280.000 €, B0 = 275.565,74 €, C0 = 284.835,49 €, D0 = 283.339,27 €
B0 hat den niedrigsten Barwert, ist also für den Käufer am günstigsten.
r
Symbole
Bedeutung
Beispiel
Et
Einnahme am Ende des Jahres t
Ausgabe am Ende des Jahres t
Anschaffungsausgabe am Ende des Jahres 0
Periodenüberschuss des Jahres t Pt=Et-At
Barwert der Investition
Endwert der Investition
Kapitalwert der Investition
interner Zinssatz, q ∗ = 1 + i ∗
1.000 €
600 €
20.000 €
400 €
21.000 €
30.000 €
1.000 €
0,0635
At
A0
Pt
K0
Kn
G
i∗
Definition: Investition = Verwendung und Wiedergewinnung finanzieller Mittel
Finanzierung = Beschaffung und Rückzahlung von Geld.
Investitionen und Finanzierungen führen zu Einnahmen und Ausgaben,
die innerhalb einer bestimmten Zeitspanne zu verschiedenen Zeitpunkten
anfallen.
r
Am Anfang einer Investition steht eine Ausgabe oder Auszahlung, At ≥ 0 .
Am Anfang einer Finanzierung steht eine Einnahme oder Einzahlung Et ≥ 0
Es genügt häufig, die Periodenüberschüsse Pt =Et-At zu betrachten.
Vor dem Treffen einer bestimmten Investitions- bzw. Finanzierungsentscheidung
ist zu prüfen, welche unter verschiedenen Alternativen die beste ist.
Dabei müssen die Kosten verschiedener alternativer Investitionen oder der Wert
verschiedener Finanzierungsmöglichkeiten vergleichbar gemacht werden.
72
Finanzmathematik
Vergleichbarkeit ist aber nur gegeben, wenn man vom gleichen
Planungszeitraum und vom gleichen Kapitaleinsatz ausgeht.
6.2 Kapitalwertmethode
Die Kapitalwertmethode ist ein Verfahren, verschiedene Investitions- bzw.
Finanzierungsalternativen vergleichbar zu machen.
Beispiel:
Ein Taxiunternehmen möchte einen zusätzlichen Wagen anschaffen. Die
Anfangsausgaben dieser Investition betragen 20.000 €. Der Unternehmer
rechnet damit, den Wagen drei Jahre lang nutzen zu können.
Im ersten Jahr rechnet er mit Ausgaben für Versicherung, Kraftstoff und
Reparaturen in Höhe von 42.500 €.
Im zweiten Jahr rechnet er mit Ausgaben in Höhe von 45.200 € und im
dritten Jahr mit Ausgaben in Höhe von 50.700 €.
Er prognostiziert Einnahmen in Höhe von 46.500 € für das erste Jahr, von
59.200 € für das zweite Jahr und 55.700 € für das dritte Jahr.
Alle Zahlungsströme finden jeweils am Ende des Jahres statt!
Es wird angenommen, dass Periodenüberschüsse zum
Kalkulationszins angelegt werden können.
Zeitstrahl der Investition "Kauf eines Taxis"
Ausgabe At
t0
t1
t2
t3
20.000
42.500
45.200
50.700
46.500
59.200
55.700
4.000
14.000
5.000
Einnahme Et
Periodenüberschuss Pt
-20.000
73
Finanzmathematik
Da ab Jahr 1 nur positive Periodenüberschüsse entstehen, handelt es sich
um eine Normalinvestition.
Der Unternehmer möchte wissen, ob es sich lohnt die Investition zu
tätigen oder als Alternative die 20.000 € zu 6% bei der Bank anzulegen.
Die Anlage bei der Bank würde nach drei Jahren
K 3 Bank = K 0 ⋅ (1 + i ) bzw. 20.000 ⋅1,063 = 23.820 ,32 € bringen.
3
Achtung: Die Periodenüberschüsse der Investitionsalternative “Taxi”
fallen zu verschiedenen Zeitpunkten an, so dass ein Vergleich mit der
Geldanlage bei der Bank erst möglich ist, wenn ein identischer zeitlicher
Bezugspunkt gewählt wurde und die Beträge entsprechend auf- oder
abgezinst wurden.
Einnahmen sind umso „wertvoller“, je früher sie erfolgen, da mit dem
Geld in der Zwischenzeit gewinnbringend gearbeitet werden kann.
Um die Investitionsalternative mit der Geldanlage bei der Bank zu
vergleichen, werden die Periodenüberschüsse ebenfalls auf das Jahr 3
aufgezinst. Der gemeinsame Bezugszeitpunkt ist das Jahr 3.
K 3Taxi = 4.000 ⋅1,06 2 + 14.000 ⋅1,06 + 5.000 = 24.334,40 € .
Wenn der Unternehmer die genannten Überschüsse tatsächlich erzielt und
er sie, sobald er sie erzielt hat, zur Bank bringt und zu 6% anlegt, hat er
am Ende des Jahres 3 insgesamt 24.334,40 €. Das ist mehr als beim
Verzicht auf die Investition und der kompletten Überweisung an eine
Bank.
Die Investition sollte durchgeführt werden.
r
Bisher:
Als identischer Bezugszeitpunkt wurde der Endwert gewählt. Die
Zahlungsströme wurden aufgezinst.
Der Endwert der Investition (Summe der aufgezinsten
Periodenüberschüsse) wurde mit dem Endwert der alternativen
Anlagemöglichkeit (aufgezinstes Anfangskapital) verglichen.
Jetzt:
Die Endwerte der beiden alternativen Anlagemöglichkeiten können auch
auf ihre Barwerte abgezinst werden.
Der Barwert K0 der Investition ist die Summe der abgezinsten
Periodenüberschüsse.
74
Finanzmathematik
K 0Taxi = 24.334 ,40 ⋅
1
= 20.431,63 €
1,063
(=
4000 14000 5000
)
+
+
1,06 1,06 2 1,06 3
Der Barwert der Alternativanlage ergibt genau die Anschaffungsausgaben,
denn dieser Betrag ist ja zur Ermittlung des Endwertes aufgezinst worden.
K 0 Bank = 20.000 €
Bemerkung: Statt den Vergleich von Investitions- oder Finanzierungsalternativen über
Vergleich der Endwerte bzw. den Vergleich der Barwerte7 (=Summe der
abgezinsten Periodenüberschüsse) vorzunehmen, kann man auch den
Kapitalwert (net present value) ausrechnen.
r
Definition: Der Kapitalwert G ist die Differenz zwischen dem Barwert der
Einnahmen und dem Barwert der Ausgaben. Dabei werden die
jeweiligen Barwerte durch Abzinsen mit dem Kalkulationszinssatz
ermittelt.
Die Investition mit dem größten Kapitalwert ist am vorteilhaftesten
r
Satz: Die allgemeine Formel für den Kapitalwert ist:
n
G = ∑ (Et − At ) ⋅
t =1
n
G = ∑ Et ⋅
t =1
1
− A0
qt

1  n
1
−  ∑ At ⋅ t + A0 
t
q  t =1
q

Da A0 = A0 ⋅
n
1
gilt
q0
G = ∑ Et ⋅
t =1
1  n
1
−  ∑ At ⋅ t
t
q  t =0
q

 .

Der Kapitalwert errechnet damit sich als:
n
G = ∑ (Et − At ) ⋅
t =0
n
1
1
Pt ⋅ t
=
∑
t
q
q
t =0
r
7
Dabei ist der „Barwert“ der Anlage bei der Bank immer gleich dem Anfangskapital.
75
Finanzmathematik
Beispiel:
Der Kapitalwert der Taxi-Investition ist:
G = −20.000 + 4.000 ⋅
1
1
1
+ 14.000 ⋅
+ 5.000 ⋅
= 431,63 €
2
1,06
1,06
1,063
Der Kapitalwert ist positiv, also ist die Investition vorteilhaft.
r
Bisher wurde bei der Investition Eigenfinanzierung unterstellt. Das Anfangskapital ist
vorhanden. Die Alternativanlage ist die Anlage des vorhandenen Kapitals bei der Bank,
das dort mit dem Habenzins als Kalkulationszinssatz verzinst wird.
Wenn statt der Eigenfinanzierung die Fremdfinanzierung vorliegt (wohl in der Praxis
der häufigere Fall), ändert sich die Fragestellung über die Durchführung der Investition.
Hier lautet die Frage:
Durchführung der Investition und zugleich der dazu notwendigen
Fremdfinanzierung zu einem bestimmten Sollzinssatz.
Die „Alternativanlage“ ist die Unterlassung der Investition, wodurch auch die
Finanzierungskosten gespart werden.
Als Kalkulationszinssatz dient hier der Sollzinssatz der Fremdfinanzierung der
Investition.
Es wird angenommen, dass sowohl Überschüsse zum Kalkulationszins angelegt
als auch Defizite zum Kalkulationszins aufgenommen werden können.
Finden Sie die letzte Annahme realistisch?
Rechnerisch spielt es bei der Kapitalwertmethode keine Rolle, ob
Eigenfinanzierung oder Fremdfinanzierung vorliegt. Es wird immer mit dem
Kalkulationszins gerechnet.
Beispiel:
Nehmen Sie an, dass die Investition in das Taxi zu 8% fremdfinanziert
werden müsste. Die Kreditrückzahlungen werden aus den
Periodenüberschüssen geleistet. Auf die Restschuld auf dem Kreditkonto
werden 8% Zinsen berechnet.
76
Finanzmathematik
Für Periode 1 ergibt sich:
− 20.000 + 4.000 − 0,08 ⋅ 20.000 = −17.600 €
− 17.600 + 14.000 − 0,08 ⋅17.600 = −5.008 €
-5.008+5.000-0,08⋅5.008= -408,64
Rückzahlung
Restschuld in Höhe der
Zinsen auf Restschuld
zu Beginn Periodenüber
die
am Ende
des Jahres
schüsse
Tilgungsrate Restschuld des Jahres
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
=(3)-(5)
=0,08*(2)
=(2)-(4)
Jahr
(1)
1
2
3
20.000,00
17.600,00
5.008,00
4.000,00
14.000,00
5.000,00
2.400,00
12.592,00
4.599,36
1.600,00
1.408,00
400,64
17.600,00
5.008,00
408,64
Am Ende der Periode 3 ist die Kreditschuld noch nicht getilgt. Die
Einnahmen reichten also nicht aus, um den Kredit bei 8% Zinsen zurück
zu zahlen.
Das hätte man auch schneller rechnen können!
Der gleiche Betrag hätte sich ergeben, wenn man den Endwert der
Investition zum Kalkulationszinssatz von 8% errechnet hätte.
K 3 = −20.000 ⋅1,083 + 4.000 ⋅1,082 + 14.000 ⋅1,08 + 5.000 = −408,64 €
Alternativ hätte man den Kapitalwert ermitteln können.
Über die Kapitalwertmethode ergibt sich zu einem Kalkulationszinssatz
von 8%:
n
G = ∑ Et ⋅
t =1
1  n
1
−  ∑ At ⋅ t
t
q  t =0
q
G = −20.000 + 4.000 ⋅
 n
1
 = ∑ (Et − At ) ⋅ t
q
 t =0
1
1
1
+ 14.000 ⋅
+ 5.000 ⋅
= −324,39 < 0 .
2
1,08
1,08
1,083
Der Kapitalwert ist negativ, also sollte die Investition zugunsten des
Nichtstuns unterlassen werden. Nichtstun bringt nichts, kostet aber auch
nichts!
77
Finanzmathematik
Im Falle der Fremdfinanzierung ist die Investition nicht vorteilhaft, da der
Gewinn nach der Kapitalwertmethode negativ ist. Es tritt ein Verlust auf.
Bei Nichtdurchführung tritt weder ein Gewinn noch ein Verlust auf.
r
Beispiel:
Die Brauerei Hopfenglück kann in Eigenfinanzierung in zwei
verschiedene Abfüllanlagen M I und M II investieren, um die Produktion
zu erhöhen. Als Kalkulationszinssatz wird ein Zinssatz von 4% unterstellt.
Die erwarteten Einnahmen und Ausgaben während der Nutzungsdauer der
Abfüllanlagen sind:
Periodenüberschüsse Pt
t0
t1
t2
t3
MI
-60.000
40.000
20.000
10.000
M II
-60.000
10.000
20.000
40.000
a) Wie sollte sich die Brauerei entscheiden?
b) Was passiert bei Fremdfinanzierung zum Kalkulationszinssatz von 4%?
a) Nach der Kapitalwertmethode ergibt sich für die Kapitalwerte der
Investitionen
MI :
G = −60.000 + 40.000 ⋅
M II :
G = −60.000 + 10.000 ⋅
1
1
1
+ 20.000 ⋅
+ 10.000 ⋅
= 5.842 ,63 €
2
1,04
1,04
1,043
1
1
1
+ 20.000 ⋅
+ 40.000 ⋅
= 3.666 ,36 €
2
1,04
1,04
1,043
Der Kapitalwert der ersten Abfüllanlage M I ist größer als der der
Abfüllanlage M II , so dass die Investition in M I vorzuziehen ist.
b) Die Ergebnisse bleiben unverändert.
r
78
Finanzmathematik
6.3 Methode des internen Zinssatzes
Bei der Methode des internen Zinssatzes gelten dieselben Voraussetzungen und
Bezeichnungen wie bei der Kapitalwertmethode.
Gegeben sind hier jedoch nicht Einnahmen und Ausgaben und ein
Kalkulationszinssatz, für die dann der Kapitalwert berechnet werden muss.
Vielmehr soll bei gegebenen Einnahmen und Ausgaben gerade der
Kalkulationszinssatz errechnet werden, bei dem der Kapitalwert gleich Null
wird.
Definition: Der interne Zinssatz i*, q*=1+ i* ist derjenige Zinssatz, bei dem der
Kapitalwert G = 0 wird. Es soll also die Nullstelle der Gleichung für den
n
1
t =0
q∗
Kapitalwert errechnet werden 0 = ∑ Pt ⋅
t
.
Der interne Zinssatz einer Investition stellt die Verzinsung des
eingesetzten Kapitals dar. Er entspricht der Rendite einer Investition.
Wenn i*> i (Kalkulationszinssatz) ⇒ Investition ist vorteilhaft.
Wenn i*< i (Kalkulationszinssatz) ⇒ Investition ist nicht vorteilhaft.
Wählen Sie immer die Investition mit dem größten i*!
Beispiel:
Das neue Mensa-Eiscafe möchte in eine neue Eismaschine investieren.
Die Investoren rechnen mit folgenden Periodenüberschüssen:
Periodenüberschuss Pt
t0
t1
t2
-100
50
60
a) Welche Rendite wird erzielt?
b) Lohnt sich die Investition bei Bankzinsen von 6%?
c) Stellen Sie den Kapitalwert in Abhängigkeit von verschiedenen Zinsen
grafisch dar.
79
Finanzmathematik
a) Gesucht ist der interne Zinssatz i ∗ , bei dem der Kapitalwert der
Investition gleich Null wird.
0 = −100 + 50 ⋅
1
1
+ 60 ⋅ ∗2
∗
q
q
bzw.
2
0 = −100q ∗ + 50q ∗ + 60
Mit der „p-q-Formel“ ergeben sich die Nullstellen
q ∗1, 2 = 0,25 ± 0,0625 + 0,6
q ∗1 = 1,06394,
q ∗ 2 = −0,5639
Es interessieren nur Nullstellen > 0 .
Der interne Zinssatz bzw. die Rendite ist i ∗ = 0,06394 .
b) Die Rendite ist größer als 6%, also lohnt sich die Investition.
1
q
c) Die Kapitalwertfunktion heißt: G( q ) = −100 + 50 ⋅ + 60 ⋅
1
q2
G(q)
20
15
10
5
0
-5 1
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,1
-10
-15
-20
q
r
Exkurs:
Das Newton-Verfahren ist ein Näherungsverfahren zur Bestimmung der
Nullstellen von Polynomen höherer Ordnung:
Betrachten Sie G (q ∗ ) = −100q ∗ + 50q ∗ + 60
2
1. Geben Sie einen realistischen Startwert vor, z.B. q ∗ = 1,06 und setzen ihn
in G (q ∗ = 1,06) ein; G (1,06 ) = 0,64
2. Bestimmen Sie die erste Ableitung
( )
G′ q ∗ = −200q ∗ + 50;
(
)
G′ q ∗ = 1,06 = −162
80
Finanzmathematik
 0,64 
 = 1,06395
 − 162 
3. q ∗1 = 1,06 − 
4. G (1,06395) = −0,00156 ≈ 0 .
Der interne Zinssatz über das Newton-Näherungsverfahren ist 6,395%.
Das entspricht fast der exakten Lösung von 6,394%.
Beispiel:
Berechnung des internen Zinssatzes über das Newton-Verfahren für die
Taxi-Investition:
( )
G′(q ) = −60.000q
3
2
∗2
+ 8.000q ∗ + 14.000
G q ∗ = −20.000q ∗ + 4.000q ∗ + 14.000q ∗ + 5.000
∗
3
2
0 = −20.000q ∗ + 4.000q ∗ + 14.000q ∗ + 5.000
Wählen Sie den Startwert q = 1,07
G (1,07 ) = 58,74
G′(1,07 ) = −46.134
 58,74 
q ∗1 = 1,07 − 
 = 1,07127
 − 46.134 
G (1,07127 ) = −0,09764 ≈ 0 .
Die Investition in das neue Taxi ist bei Eigenfinanzierung sinnvoll, da der
Kalkulationszinssatz 4,5% beträgt und der interne Zinssatz mit 7,127%
größer ist.
Bei Fremdfinanzierung ist bei einem Kalkulationszinssatz von 8% die
Investition nicht vorteilhaft, da der interne Zinssatz mit 7,127 kleiner ist
als der Kalkulationszins.
Würde die Bank ihre Zinsen auf 7% senken, ergäbe sich im Falle der
Fremdfinanzierung ein Kapitalwert von
G = −20.000 + 4.000 ⋅
1
1
1
+ 14.000 ⋅
+ 5.000 ⋅
= 47 ,95 € .
2
1,07
1,07
1,07 3
Die Investition bringt einen zwar geringen aber immerhin positiven
Kapitalwert und sollte durchgeführt werden.
81
Finanzmathematik
Die Methode des internen Zinssatzes kommt zu exakt demselben
Ergebnis, da der interne Zinssatz mit 7,127 knapp über dem
Kalkulationszinssatz von 7% liegt.
r
Zusammenfassung:
Bei der Methode des internen Zinssatzes
kommt es zu einer Aufzinsung bzw. Abzinsung aller Periodenüberschüsse einer
Investition und zwar zum internen Zinssatz.
wird unterstellt, dass alle Periodenüberschüsse auch zum internen Zinssatz bei
einer Bank angelegt werden können.
wird unterstellt, dass bei Vorliegen eines Defizits in einer der Perioden ( Pt < 0 ),
zum Ausgleich dieses Defizits ein Kredit zum internen Zinssatz aufgenommen
werden kann.
unterstellt – wie bei der Kapitalwertmethode – die Gleichheit von Soll- und
Habenzinsen.
Eine Investition ist vorteilhaft für i* > i.
Beispiel:
Eine Investition in eine Luxus-Pommesbude am Nordpark verlangt
Anschaffungsausgaben von 10.000 € und liefert folgende
Periodenüberschüsse: P1 = 12.000 €, P2 = −1.600 € .
a) Wie groß ist der Kapitalwert der Investition?
b) Wie hoch ist die Rendite der Investition?
c) Stellen Sie den Kapitalwert in Abhängigkeit von verschiedenen
Zinssätzen grafisch dar.
a) G = −10.000 +
12.000 1.600
−
= 59,17
1,04
1,04 2
b) 0 = −10.000 +
12.000 1.600
− *2
q*
q
82
Finanzmathematik
0 = −10.000q *2 + 12.000q * − 1.600
0 = q *2 − 1,2q * + 1.600
q1*.2 = 0,6 ± 0,36 − 0,16
q1* = 1,0472
q 2* = 0,1529
Der interne Zinssatz bzw. die Rendite beträgt 4,72%.
Solange Geld bei der Bank zu einem kleineren Zinssatz ausgeliehen
werden kann, ist die Investition in die Luxus-Pommesbude sinnvoll.
c) Die Kapitalwertfunktion lautet:
G(q)
200
100
0
1
1,01
1,02
1,03
1,04
1,05
1,06
1,07
1,08
1,09
1,1
-100
-200
q
83
Finanzmathematik
7. Festverzinsliche Wertpapiere
7.1 Begriffe und Symbole
Symbole
Bedeutung
Beispiel
K0
Nominalkapital, Nennwert
100 €
C0
Kurswert, Emissionskurs
92 €, 92%
Cn
Rückzahlungswert, Rückzahlungskurs
103 €, 103%
i
Nominalzinssatz
0,06
p
Nominalzinssatz in %
6%
j
Effektivzinssatz
0,08
q eff
Aufzinsungsfaktor zum Effektivzins 1+j
1,08
Beim Kauf eines Wertpapiers erwirbt der Investor die Forderung auf finanzielle
Gegenleistung in Form von Zahlungen zu bestimmten Zeitpunkten.
Von der Vielzahl an Finanzanlagen (Wertpapiere, Aktien, Optionen) werden hier
nur die festverzinslichen Wertpapiere (Anleihen, Bonds,
Schuldverschreibungen, Obligationen, Pfandbriefe, Bundesschatzbriefe Typ B)
behandelt.
Eigenschaften festverzinslicher Wertpapiere:
Zwischen der Ausgabe (Emission) und der Rückgabe gibt es bestimmte vertraglich
fixierte Leistungen und Gegenleistungen.
Im Emissionszeitpunkt (t=0) zahlt der Investor pro K 0 = 100 €
Nennwert (Nominalwert) einen Preis von C 0 (Kurswert,
Emissionskurs). Häufig wird der Emissionskurs als Prozent-Wert
des Nennwertes angegeben.
Beispiel:
Bei einem Emissionskurs von 99% kostet ein
Wertpapier von 100 € Nennwert genau 99 €.
Die emittierende Unternehmung gewährt dem Investor während der
vorgegebenen Laufzeit (jährlich nachschüssige) Zinsen und
Rückzahlung am Ende des letzten Jahres der Laufzeit.
84
Finanzmathematik
Die Zinsen (Kuponzahlung) werden durch Anwendung des
nominellen Zinssatzes i auf den Nennwert berechnet.
Angefallene Zinsen werden bis zum Ende der Laufzeit
zinseszinslich angelegt.
Beispiel: Bei einem Nominalzins von 6% für ein Wertpapier
zum Nennwert 100 €, erhält man am Ende jeden
Jahres genau 6 € Zinsen.
Beispiel: Es gibt auch Nullkuponanleihen (Zerobonds)!
Am Ende der Laufzeit nimmt der Emittent das Wertpapier zum
Rücknahmekurs C n zurück. Häufig wird der Rücknahmekurs
als Prozentwert des Nennwertes angegeben.
Beispiel: Bei C n =103% bekommt man an Ende der Laufzeit
103 € ausgezahlt.
7.2 Zusammenhang zwischen Kurswert und Effektivzins bei
festverzinslichen Wertpapieren
Wichtige Frage:
Lohnt sich der Kauf eines Wertpapiers?
Stehen bei der gegebenen Ausstattung eines Wertpapiers, der Preis
des Papiers C 0 mit der Leistung Zinszahlungen und Rückzahlung
C n in angemessenem Verhältnis?
Wie groß ist die Rendite oder der Effektivzins8 des Wertpapiers?
Dazu muss man nach dem Äquivalenzprinzip sämtliche
Zahlungsströme aus den unterschiedlichen Zeitpunkten auf einen
gemeinsamen Vergleichszeitpunkt abzinsen, z.B. auf den Zeitpunkt
t=0, (Barwert berechnen!)
8
Die Begriffe Effektivzins, Rendite und interner Zins sind synonym. Der Effektivzins und Rendite wird häufig bei
Kapitalanlagen und Wertpapieren verwendet, der interne Zins dagegen eher bei Investitionen. Eine alternative
Definition von Effektivzins = n
das, was man nach n Jahren " rausbekommt"
− 1 ist: Der im Zeitablauf
das, was reingesteckt wurde
konstante nachschüssige Jahreszins, bei dessen Anwendung Leistung und Gegenleistung finanzmathematisch
äquivalent sind.
85
Finanzmathematik
Beispiel:
Der Student Onno Moos hat ein Wertpapier erworben, das ihm 5 Jahre
lang jeweils am Ende des Jahres 6% Zinsen auf den Nennwert von 100 €
und am Ende des fünften Jahres eine Rückzahlung zum Nennwert bringt.
Die Nominalverzinsung des Wertpapiers beträgt also 6%.
Für Onno ergeben sich folgende Einnahmen:
t0
t1
t2
t3
t4
t5
6
6
6
6
6
100
106
Zur Berechnung des Barwerts dieser Einnahmen muss
1.)
der Barwert der 5 Rentenraten in Höhe von 6 € berechnet (mit dem
Rentenbarwertfaktor) und
2)
die Zahlung von 100 € im Jahr 5 auf das Jahr 0 abgezinst werden.
qn −1 1
1
C0 = i ⋅ K 0 ⋅
⋅ n + Cn ⋅ n
q −1 q
q
C0 = 6 ⋅
1,06 5 − 1 1
1
⋅
+ 100 ⋅
= 25,27 + 74 ,73 = 100 € .
5
1,06 − 1 1,06
1,06 5
Es ist nicht überraschend, dass nach dieser Konstruktion der Barwert der
Zinszahlungen und des Rückzahlungswertes des Wertpapiers genau 100 €
entspricht.
Welchen Zinssatz hat Onno bei diesem Wertpapier effektiv erzielt?
j=n
Kn
133,82
−1 = 5
− 1 = 0,06.
C0
100
Der Effektivzins stimmt hier genau mit dem Nominalzins überein.
Falls Onno eine höhere effektive Verzinsung als 6% wünscht, wird er das
Wertpapier nicht zum Nennwert von 100 € kaufen, sondern er wird nur
einen billigeren Kaufpreis akzeptieren.
Wünscht er eine Effektivverzinsung von 8%, so wird er für das
Wertpapier nur C 0 bezahlen, mit
86
Finanzmathematik
C0 = i ⋅ K 0 ⋅
C0 = 6 ⋅
n
qeff
−1 1
1
⋅ n + Cn ⋅ n mit q eff = 1 + j und j der Effektivzins
qeff − 1 qeff
qeff
1,08 5 − 1 1
1
⋅
+ 100 ⋅
= 92 ,01 € .
5
1,08 − 1 1,08
1,08 5
Beachten Sie, dass nach wie vor die jährlichen Zinseinnahmen nach wie
vor bei bei 6 € liegen. Die Zinseinnahmen beziehen sich auf den
Nennwert.
r
Wenn Kurswert < Nennwert ⇔ Effektivzins > Nominalzins
Der Kurs als Preis für den Käufer eines Wertpapiers, einer Anleihe oder ganz
allgemein einer Kapitalschuld ist ein Instrument, eine von der
Nominalverzinsung abweichende Effektivverzinsung zu erzielen.
Mit Hilfe eines bestimmten Kurses ist es möglich, trotz Verwendung von
„glatten“ Nominalverzinsungen kleinste Abstufungen der Effektivverzinsung zu
erreichen. Durch den Nominalzins wird die „Grobeinstellung“, durch den
Emissionskurs wird die „Feineinstellung“ bei der Rendite vorgenommen.
Bei gegebenem Nennwert, Nominalverzinsung und Effektivverzinsung kann der
Kurswert errechnet werden.
Bei gegebenem Nennwert, Nominalverzinsung und Kurswert kann die
Effektivverzinsung errechnet werden. (rechnerisch aufwändig).
Beispiel:
Der Emittent möchte Onno nur eine Effektivverzinsung von 5%
gewähren. Zu welchem Kurs kann der Emittent das Wertpapier anbieten?
C0 = 6 ⋅
1,05 5 − 1 1
1
⋅
+ 100 ⋅
= 104 ,33 € .
5
1,05 − 1 1,05
1,05 5
r
Beispiel:
Der Emittent eines Pfandbriefes zur Finanzierung des Lehrbuches
„Finanzmathematik für Abzocker“ bietet für die Dauer des Studiums 5
Jahre lang jeweils am Jahresende Zinszahlungen von 5% auf den
87
Finanzmathematik
Nennwert von 100 € an. Zusätzlich erfolgt nach 5 Jahren eine
Rückzahlung der Schuld zum Nennwert.
t0
t1
t2
t3
t4
t5
5
5
5
5
5
100
5
C0 = 5 ⋅
5
5
5
5
1,05 5 − 1 1
1
⋅
+ 100 ⋅
= 21,64 + 78,35 = 100 €
5
1,05 − 1 1,05
1,05 5
r
Beispiel:
Ein Bond der Privatbank „Rei&Bach“ besitzt bei jährlicher Zinszahlung
eine Nominalverzinsung von 6,5% und wird nach 8 Jahren zum Nennwert
zurückgezahlt. Zu welchem Kurs muss die Zinsschuld ausgegeben
werden, wenn sie über eine Effektivverzinsung von 8% verfügen soll?
C 0 = 6,5 ⋅
1,088 − 1 1
1
⋅
+ 100 ⋅
= 91,38 € .
8
1,08 − 1 1,08
1,08 8
r
Bisher wurde immer der Kurs eines Wertpapiers ausgerechnet, wenn der Effektivzins
gegeben ist.
Oft stellt sich für den Käufer einer Anleihe – insbesondere beim Vergleich mehrerer
Anlagemöglichkeiten – das umgekehrte Problem:
Es ist jene Rendite zu bestimmen, die ein Wertpapier bei gegebener Nominalverzinsung
liefert.
Zur Bestimmung dieser Effektivverzinsung ist die Kursformel
C0 = i ⋅ K 0 ⋅
n
q eff
−1
q eff
1
1
+ 100 ⋅ n nach q eff = 1 + j aufzulösen, wobei der Quotient der
n
− 1 q eff
qeff
⋅
Wert einer geometrischen Reihe ist, also
88
Finanzmathematik
C0 =
1
q
n
eff
( [
]
2
n −1
⋅ p ⋅ 1 + q eff + q eff
+ ... + q eff
+ 100
)
Nach einigen Umformungen ergibt sich folgende Gleichung (Polynom n -ten Grades):
n
n −1
n−2
C 0 q eff
− pq eff
− pq eff
− ... − pq eff − p − 100 = 0
Ab n > 4 gibt es für diese Gleichung nur noch Näherungslösungen!
Ausweg:
lineare Interpolation bzw. Ausprobieren
Verwendung einer geeigneten Software
Bankenformel
Beispiel:
Angenommen, ein Wertpapier besitze eine Nominalverzinsung von
p = 5,5% , eine Laufzeit von 10 Jahren und einen Kurs von 94 €. Wie hoch
ist der Kurs?
Die Bankenformel9 lautet:
p Näherung = j Näherung ⋅ 100 =
C − C0
p
⋅ 100 + n
C0
n
Gute Annäherungen nur bei langen Laufzeiten und niedrigen Zinssätzen.
Schnelle Berechnung „mit der Hand“ möglich.
Liefert einen guten Ausgangspunkt für die lineare Interpolation.
Beispiel (Fortsetzung):
5,5
100 − 94
⋅ 100 +
= 6,45 .
94
10
Der Effektivzins beträgt 6,45%.
r
9
Die Bankenformel bezieht als Näherung für den effektiven Zins den Nominalzins auf den Emissionskurs bzw.
Kaufpreis. Damit wird noch nicht berücksichtigt, dass der Rücknahmekurs ein anderer als der Emissionskurs sein
kann. Deshalb wird noch die Differenz zwischen Rücknahme- und Emissionskurs addiert und auf die Laufzeit
verteilt. Der Rückzahlungsgewinn wird also linear auf das eingesetzte Kapital verteilt, vernachlässigt also
Zinseszinseffekte.
89
Finanzmathematik
7.3 Festverzinsliche Wertpapiere mit vom Nennwert
abweichenden Rückzahlungskurs
Viele festverzinsliche Wertpapiere haben einen vom Nennwert K 0
abweichenden Rückzahlungskurs C n .
Der Rückzahlungskurs wird in Prozent vom Nennwert des Wertpapiers
angegeben.
Beispiel:
Ein Wertpapier zum Nennwert 100 € wird zum Rücknahmekurs von
110% zurückgenommen, d.h. man erhält 110 € nach Ablauf der Laufzeit.
Die Formel zur Berechnung des Kurses ändert sich nicht.
Es gilt also wieder:
C0 = i ⋅ K 0 ⋅
n
−1
q eff
q eff
1
1
+ Cn ⋅ n
n
− 1 q eff
q eff
⋅
Die Bankenformel ist wieder:
Beispiel:
C − C0
p
⋅ 100 + n
C0
n
Die Ich-AG von Maike Woos benötigt dringend frisches Kapital. Sie will
ein festverzinsliches Wertpapier (Nominalwert 100 €) emittieren, das dem
Käufer während der Laufzeit von 10 Jahren eine Effektivverzinsung von
11% garantiert. Der Emissionskurs soll 97,5% betragen, der
Rücknahmekurs 101%.
Mit welchem Nominalzins muss das Wertpapier ausgestattet werden?
C0 = i ⋅ K 0 ⋅
n
−1
q eff
q eff
97,5 = i ⋅ 100 ⋅
1
1
+ Cn ⋅ n
n
− 1 q eff
q eff
⋅
1,1110 − 1 1
1
⋅
+ 101 ⋅
10
1,11 − 1 1,11
1,1110
97,5 = i ⋅ 100 ⋅ 5,889 + 35,57
61,929 = i ⋅ 588,9
i = 0,10516
90
Finanzmathematik
r
Beispiel:
Welche Rendite erzielt ein Wertpapierkäufer beim Kauf eines
festverzinslichen Wertpapiers, das zu 96,5% emittiert wird, eine Laufzeit
von 12 Jahren hat, einen Rücknahmekurs von 105% und einen
Nominalzins von 7,25% hat?
7,25
105 − 96,5
⋅ 100 +
= 8,22%
96,5
12
r
ENDE
91

rentenzahlung abschreibung

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